2. 직선의 방정식 111

2 직선의 방정식 수학+미술

‘최소주의(미니멀리즘)’는 단순함, 간결함, 반복, 등을 통하여 절제된 형

태의 본질을 추구하는 예술ㆍ문화적인 흐름을 말한다. 르윗(LeWitt, Sol,

1928∼2007)은 형태의 반복과 배치를 수학적으로 계산하여 최소주의의 개

념을 정립해 나간 예술가로서 주로 직선을 이용한 벽화를 그렸다. 그는 평

행한 직선과 수직인 직선을 반복적으로 그려 그림을 입체적으로 묘사하였

다. [참고 자료: 스티븐 파딩, “501 위대한 화가”]

“두 직선의 평행 조건과 수직 조건은 각각 무엇일까?”

준|비|학|습 1 다음 직선의 기울기와 절편, 절편을 각각 구하시오.

(1) (2)

2 다음과 같은 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.(1) 기울기가 이고 점 을 지나는 직선

(2) 두 점 , 를 지나는 직선

112 Ⅲ. 도형의 방정식

01 직선의 방정식⦁직선의 방정식을 구할 수 있다.

한 점과 기울기를 알 때, 직선의 방정식은 어떻게 구할까?

개 념 열 기 오른쪽 그림은 어떤 학생이 거울을 보는 모습을 좌표평면

위에 나타낸 것이다. 이 학생이 거울의 아래 끝 A를 내려

다보았더니 자신의 발끝 B가 보였다고 한다.

∠ABO , BO 일 때, 직선 AB의 기울기와 절

편을 구하여라. (단, O는 원점)

위의 개념 열기에서 직선 AB의 기울기가 이고 점 A 을 지나므

로 그 방정식은 이다.

이와 같이 중학교에서는 직선의 기울기와 직선이 지나는 한 점의 좌표를 알 때,

그 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하였다.

이제 일반적으로 좌표평면 위의 한 점 A 을 지나고 기울기가 인 직선

의 방정식을 구해 보자.

직선 의 방정식을

⋯⋯ ①

이라고 하면 이 직선은 점A 을 지나므로

즉, 이다.

이것을 ①에 대입하여 정리하면

이다.

특히 오른쪽 그림과 같이 점 A 을 지나고 축에

평행한 직선의 기울기는 이므로 이 직선 의 방정식은

×

즉, 이다.

2. 직선의 방정식 113

이상을 정리하면 다음과 같다.

한 점과 기울기를 알 때, 직선의 방정식

점 A 을 지나고 기울기가 인 직선의 방정식은

(1) 점 을 지나고 기울기가 인 직선의 방정식은

, 즉

(2) 점 를 지나고 기울기가 인 직선의 방정식은

문제 01 다음 직선의 방정식을 구하시오.

(1) 점 을 지나고 기울기가 인 직선

(2) 점 를 지나고 기울기가 인 직선

두 점을 지나는 직선의 방정식은 어떻게 구할까?

좌표평면 위의 서로 다른 두 점 A , B 를 지나는 직선 의 방정

식을 구해 보자.

≠일 때, 직선 의 기울기는

이고

점 A 을 지나므로 직선 의 방정식은

이다.

일 때, 직선 은 축에 평행하고

점 A 을 지나므로 직선 의 방정식은

이다.

(직선의 기울기)

의 값의 증가량의 값의 증가량

114 Ⅲ. 도형의 방정식

이상을 정리하면 다음과 같다.

두 점을 지나는 직선의 방정식

두 점 A , B 를 지나는 직선의 방정식은

① ≠일 때,

② 일 때,

(1) 두 점 , 을 지나는 직선의 방정식은

, 즉

(2) 두 점 , 을 지나는 직선의 방정식은

문제 02 다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.

(1) (2)

문제 03 절편이 이고 절편이 인 직선의 방정식은

임을 설명하시

오. (단, ≠ ≠ )

문제 04 일정한 압력에서 온도가 C일 때 부피가 L이

고, 온도가 C일 때 부피가 L인 어떤 기체가

있다. 이 기체의 온도가 C일 때 부피를 L라

하고, 와 사이의 관계를 그래프로 나타내면 오

른쪽 그림과 같다.

(1) 두 점 A , B 을 지나는 직선의

방정식을 구하시오.

(2) 온도가 C일 때, 이 기체의 부피를 구하시오.

2. 직선의 방정식 115

일차방정식 이 나타내는 도형은 무엇일까?

직선의 방정식 , , 은 각각

, ,

과 같이 나타낼 수 있다.

이와 같이 직선의 방정식은 모두 에 대한 일차방정식

의 꼴로 나타낼 수 있다.

거꾸로 일차방정식 ≠ 또는 ≠ 은

≠ , ≠ 일 때,

≠ , 일 때,

, ≠ 일 때,

문제 05 다음 중 직선을 나타내는 방정식을 모두 고르시오.

(1) (2) (3) (4)

정보 처리 | 추론

수학 역량 기르기 오른쪽 그림은 의 값이 일 때,

방정식

⋯⋯ ①

이 나타내는 직선을 공학적 도구를 이용하

여 그린 것이다.

1 이 직선들은 모두 한 점 A를 지남을 알

수 있다. 공학적 도구를 이용하여 점 A

의 좌표를 확인해 보자.

2 임의의 실수 에 대하여 방정식 ①은 두 직선 ,

의 교점을 지나는 직선의 방정식이 됨을 설명해 보자.

공학적 도구를 이용할 때는

공학적 도구를 이

용하여 수학적 개념

과 원리를 이해할 수

있도록 한다.

116 Ⅲ. 도형의 방정식

02 두 직선의 평행과 수직 ⦁두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 이해한다.

두 직선의 평행 조건은 무엇일까?

개 념 열 기

무타포는 조정의 한 종

류로 타수(방향을 결정

하는 사람) 없이 명이

한 팀이 되어 m를

가는 경기이다.

무타포 경기에서는 같은 쪽에 있는 노 개를 서

로 평행하도록 젓는 것이 힘을 전달하는 데 유리

하다고 한다. 오른쪽 그림은 무타포의 한 장면을

좌표평면 위에 나타낸 것이다.

(단, 노는 직선으로 생각한다.)

1 노 ①과 노 ②의 기울기를 구하시오.

2 노 ①과 노 ②는 서로 평행한지 말하시오.

좌표평면 위의 두 직선이 서로 평행할 조건을 알아보자.

두 직선

, ′ ′′이 서로 평행하면 두 직선의 기울기는 같고 절편은

다르므로

′ , ≠′이다.

거꾸로 ′이고 ≠′이면 두 직선 과 ′은 서로 평행하다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

두 직선의 평행 조건

두 직선 , ′ ′′에 대하여

과 ′이 서로 평행하면 ′ , ≠′이다.

거꾸로 ′ , ≠′이면 과 ′은 서로 평행하다.

| 참고 | ′ , ′이면 두 직선은 일치한다.

철길에서 두 직선의

평행을 생각할 수 있

다.

두 직선이 평행

2. 직선의 방정식 117

(1) 두 직선 , 는 기울기가 으로 같고 절편이 다르므로 서로 평행하다.

(2) 두 직선 , 은 서로 (평행하다, 평행하지 않다).

문제 01 다음 중 서로 평행한 직선끼리 선으로 연결하시오.

① • • ㉠

②

• • ㉡

③ • • ㉢

예제

1점 을 지나고 직선 에 평행한 직선의 방정식을 구

하시오.

직선의 방정식 을 변형하면

이므로 직선의 기울

기는 이다.

따라서 구하는 직선은 기울기가 이고 점 을 지나므로 이 직선

의 방정식은 , 즉

문제 02 점 를 지나고 다음 직선에 평행한 직선의 방정식을 구하시오.

(1) (2)

문제 해결 | 의사소통

수학 역량 기르기 두 직선 , ′ ′ ′ ′ 이 평행하기 위한 조건

을 구하려고 한다. (단, ≠ , ′′≠)

1 다음 두 학생의 설명이 옳은지를 말하고, 그 이유를 설명해 보자.

′ ′ ′이면두 직선 ′은 서로 평행해

두 직선 ′이 서로 평행하면 ′ ′ ′이야.

2 두 직선 , ′이 서로 평행하기 위한 조건을 구해 보자.

문제를 해결할 때는

문제의 조건과 정

보를 파악하고 풀이

계획을 세운다.

118 Ⅲ. 도형의 방정식

두 직선의 수직 조건은 무엇일까?

개 념 열 기 오른쪽 그림은 두 삼각자를 좌표평면 위에 놓은 것이

다. 다음을 구하시오. (단, O는 원점) 1 두 직선 OB AB의 기울기의 곱

2 두 직선 OD CD의 기울기의 곱

좌표평면 위의 두 직선이 서로 수직일 조건을 알아보자.

두 직선

, ′ ′′이 서로 수직일 조건은 원점을 지나고 두 직선 과 ′에 각각 평행한 두 직선

와 ′가 서로 수직일 조건과 같다.오른쪽 그림과 같이 직선 과 두 직선

, ′의 교점을 각각 P Q라고 하면

P , Q ′이다.두 직선 와 ′가 서로 수직이면삼각형 POQ는 직각삼각형이므로

OPOQ

PQ

이다.

이때 OP , OQ

′ , PQ

′이므로 ′ ′

이고, 이 식을 정리하면 ′ 이다.따라서 두 직선 과 ′이 서로 수직이면 ′ 이다.거꾸로 ′ 이면 두 직선 과 ′은 서로 수직이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

두 직선의 수직 조건

두 직선 , ′ ′′에 대하여

과 ′이 서로 수직이면 ′ 이다.

거꾸로 ′ 이면 과 ′은 서로 수직이다.

2. 직선의 방정식 119

(1) 두 직선 , 는 두 기울기의 곱이 이므로 서로 수직이다.

(2) 두 직선

,

은 서로 (수직이다, 수직이 아니다).

문제 03 다음 중 서로 수직인 직선끼리 선으로 연결하시오.

① • • ㉠

②

• • ㉡

③ • • ㉢

예제

2점 를 지나고 직선 에 수직인 직선의 방정식을 구하

시오.

직선의 방정식 을 변형하면

이므로 직선의 기

울기는

이다.

구하는 직선의 기울기를 이라고 하면

× ,

따라서 구하는 직선은 기울기가 이고, 점 를 지나므로 이 직선

의 방정식은

, 즉

문제 04 점 을 지나고 다음 직선에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.

(1) (2)

문제 05 두 직선 , ′ ′ ′ ′ 이 서로 수직일 조건은

′ ′ 임을 설명하시오. (단, ≠ , ′′≠)

120 Ⅲ. 도형의 방정식

03 점과 직선 사이의 거리 ⦁점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있다.

점과 직선 사이의 거리는 어떻게 구할까?

개 념 열 기 오른쪽 그림에서 발자국은 건호가 구름판을 밟

고 제자리멀리뛰기를 하여 생긴 것이다. 건호

의 기록이 m일 때, m는 어떻게 측정한 거

리인지 그림 위에 나타내시오.

좌표평면 위의 점 P 과 점 P를 지나지 않는 직선

(≠ 또는 ≠ ) 사이의 거리를 구해 보자.

≠ ≠ 일 때

오른쪽 그림과 같이 점 P에서 직선 에 내린 수선

의 발 H의 좌표를 라고 하면 직선 PH와

직선 의 기울기는 각각

,

이고, 두 직

선이 서로 수직이므로

×

이다.

이 식을 변형하면

이고, 이것을 ≠ 로 놓으면

, ⋯⋯ ①

이므로 PH는 다음과 같다.

PH

⋯⋯ ②

2. 직선의 방정식 121

한편 점 H 는 직선 위의 점이므로

⋯⋯ ③

이다.

이때 ①에서 , 를 ③에 대입하면 다음과 같다.

⋯⋯ ④

④를 ②에 대입하면PH는 다음과 같다.

PH

⋯⋯ ⑤

≠ , 일 때(직선이 축과 평행한 경우)

직선 의 방정식은

이므로

PH

이고, 이것은 ⑤에 을 대입한 것과 같다.

, ≠ 일 때(직선이 축과 평행한 경우)

와 같은 방법으로 PH는 ⑤에 을 대입한 것과 같음을 알 수 있다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

점과 직선 사이의 거리

점 P 과 점 P를 지나지 않는 직선 ≠ 또는

≠ ) 사이의 거리는

특히 원점 O와 직선 사이의 거리는 다음과 같다.

점 과 직선 사이의 거리 는

× ×

122 Ⅲ. 도형의 방정식

문제 01 다음 점과 직선 사이의 거리를 구하시오.

(1) 점 와 직선

(2) 원점과 직선

문제 02 평행한 두 직선 와 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리를

이용하여 구하는 방법을 설명하시오.

예제

1직선 에 평행하고 원점에서 거리가 인 직선의 방정식

을 구하시오.

직선 의 기울기가

이므로 이 직선에 평행한 직선의 방

정식은

, 즉 ≠

이고, 원점에서 이 직선까지 거리가 이므로

,

즉, ±

따라서 구하는 직선의 방정식은

또는

또는

문제 03 직선 에 수직이고, 점 에서 거리가 인 직선의 방정

식을 구하시오.

창의ㆍ융합

수학 역량 기르기 오른쪽 그림과 같이 세 점 O , A ,

B 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB가

있다. 삼각형 OAB의 넓이 를 구하는 방법을

가지 이상 말해 보자.

창의적 활동을 할 때는

다양한 해결 방법

을 찾는다.

2. 직선의 방정식 123

Ⅲ-2. 직선의 방정식

정답과 해설 ▶ 290쪽

개념 정리 O, X 문제

• 직선의 방정식

① 점 을 지나고 기울기가 인 직선: ② 서로 다른 두 점 , 를 지나는 직선:

• 두 직선의 평행과 수직

① 두 직선의 평행 조건 ② 두 직선의 수직 조건

• 점과 직선 사이의 거리

점 P 과 점 P를 지나지 않는 직선 ≠ 또는

≠) 사이의 거리는

다음 문장이 참이면 ○표, 거짓이면

×표를 하시오.

1 일차방정식 ≠ 또는 ≠)이 나타내는 도형은 직선이다.

2 기울기가 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만난다.

3 두 직선 은 서로 수직이다.

4 점 와 축 사이의 거리는 이다.

1 다음 직선의 방정식을 구하시오.

(1) 점 를 지나고 기울기가 인

직선

(2) 두 점 , 을 지나는 직

선

(3) 점 을 지나고 축에 평행한 직

선

3 다음 직선과 수직이고 점 을 지나

는 직선의 방정식을 구하시오.

(1)

(2)

2 다음 직선과 평행하고 점 을 지나

는 직선의 방정식을 구하시오.

(1)

(2)

4 점 과 직선 사이의

거리를 구하시오.

124 Ⅲ. 도형의 방정식

9 직선 에 평행하고, 점

에서 거리가 인 직선의 방정

식을 구하시오.5 두 점 , 를 지나는 직선이

점 을 지날 때, 상수 의 값을 모

두 구하시오.

6 세 점 A , B , C 에 대

하여 점 A와 선분 BC의 중점을 지나는

직선의 방정식이 일 때,

상수 의 값을 구하시오.

10 두 직선 , 이

이루는 각을 이등분하는 직선 중에서 기

울기가 양수인 직선의 방정식을 구하시

오.

7 두 점 , 를 지나는 직선이

직선 과 수직일 때, 상수 의

값을 구하시오. 11 다음 그림과 같이 좌표평면 위에 마름모

ABCD와 점 P 가 있다. 점 P에서

마름모 위의 한 점까지 거리의 최솟값과

최댓값을 구하시오.

8 평행한 두 직선 ,

사이의 거리가 일 때, 상수 의 값을

모두 구하시오.

2. 직선의 방정식 125

문제

해결

활동 목표 직선의 방정식을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 A부터 점 Y까지 점

개가 있다. 다음을 해결해 보자.

1 점 개 중에서 다음에 해당하는 점의 좌표를 각각 구해 보자.

① 직선 이 축과 만나는 점

② 점 을 지나고 기울기가

인 직선이 지나는 점

③ 두 직선 가 만나는 점

④ 두 점 을 지나는 직선이 지나는 점

⑤ 직선 이 실수 의 값에 관계없이 항상 지나는 점

⑥ 점 을 지나고 직선 과 평행한 직선이 직선 과

만나는 점

⑦ 직선 와 거리가 가장 가까운 점

⑧ 직선 에 수직이고 원점에서 거리가 인 직선의 방정식을

라고 할 때, 를 좌표, 를 좌표로 하는 점

2 1의 각 좌표에 해당하는 점을 순서대로 적어 영어 단어를 만들어 보자.

문제 만들기

3 영어 단어가 ‘HEART’가 되도록 문제를 만들어 보자.

자기 평가직선의 방정식의 개념, 성질을 이용하여 과제를 해결하였는가?문제를 적절히 만들었는가? 과제 해결 방법을 점검하는 과정이 있었는가?