1. 미분의 정의

2. 다항함수의 미분

3. 미분의 성질

미분과 적분의 활용

미분의 응용 (함수의 최댓값, 최솟값)

모든 미분가능한 함수 는

극값 (최댓값, 최솟값)에서 도함수 가 0 의 값을 갖는다.

(“도함수가 기울기를 나타난다”

고 생각하면 너무 당연한 결과)

f(x)

df(x)/dx

y(x) = x3 − 4xy′�(x) = 3x2 − 4

-5 -2.5 0 2.5 5

-2.5

2.5

y(x) = x3 − 4xy′�(x) = 3x2 − 4

미분의 응용 (함수의 최댓값, 최솟값)

지면에서 쏘아올린 물체의 높이가

x = 30 t - 5 t2 로 나타날때 물체

가 가장 높은지점에 도달할때의 시

간과 그 최대 높이를 구하시오

• 초기속도: 30 m/s

• 중력가속도: 10 m/s2

0 2.5 5 7.5

8

16

24

32

40

48

h

t

미분의 응용 (함수의 최대값, 최소값)

x

12 m

12 m

그림과 같이 한변의 크기가 12 m 인 종이의 모서리를 오려내

어 상자를 만들 때 부피가 가장 커지는 x 의 값은 얼마인가?

미분의 응용 (변화율)

다음과같이 수조에 물을 채울때

시간당 높이의 변화율을 구하시오 (교과서 60 페이지 연습문제 5.10)

높이의 변화율 (dh/dt)

h

40 m

5 m3/s

미분의 응용 (함수의 최대값, 최소값)

x

12 m

12 m

그림과 같이 한변의 크기가 12 m 인

종이의 모서리를 오려내어 상자를

만들 때 부피가 가장 커지는 x 의 값

은 얼마인가?

적분의 응용 (면적)

반지름이 r 인 구의 표면적 S 가 다음과 같음을 보이시오

S= 4πr2

r

적분의 응용 (가중 평균)

다음과 같이 주어진 10m 막대의 밀도 σ(x) = x2 의 형태로

나타날 때 막대의 무게 중심 위치를 구하시오

10 mx = 0

σ(x) = x2

적분의 응용 (위치에너지)

질량 m 을 갖는 물질은 질량 M 을 갖는 지구와 중심위치가 r 만큼 떨어져 있

을 때 만큼의 중력을 받는다. 지구의 반지름을 a 라고 할 때, 지

구표면에서 출발한 물체가 지구를 벗어나는데 필요한 에너지

를 구하고 이를 이용하여 지구를 탈출하는데 필요한 속도를 계산하시오.

F = − GMmr2

∫∞

a− F ⋅ dr

a

G = 6.67 x 10-11 N m2 kg2

M = 6 x 1024 kg a = 6400 x 103 m

적분의 응용 (면적의 가중평균)

다음과 같이 6m 높이의 상자에 물이 채워져있을 때, 가운데위치한 반지름 1m 의 원형 면적이 받는 평균수압을 계산하시오.수압은 물의 깊이에 비례하며, 1m 깊이의 물은 0.1 기압 -

10000 Pa (N/m2)을 발생시킨다)

1m6m

2mp

y

p = 0.1y+0.2

ma = F

d 2xdt 2 = −

kmx

simple case (k=1, m=1)d 2xdt 2 = −x x(0)= −1

v(0)= 0

x=-1

미분방정식 (소개 - 기초)

다음과 같이 용수철에 추를 달아서 1 m 잡아 당겼다가 놓으면 추는 어떤

운동을 하는지 설명하시오. 용수철 상수 k=1, 질량은 m=1 으로 가정하자.

0 0.25π 0.5π 0.75π π 1.25π 1.5π 1.75π 2π

-2

-1

1

2

결과

t(sec)case1x(t=0) = -1 v(t=0) = 0

x(m)

미분방정식 (종단 속도)

구름 속에서 성장한 물방울은 중력을 받아 가속되며 땅으로 떨어지게 되는

데, 이 때 공기의 저항을 받기 때문에 계속 가속되지 않고 일정한 종단 속도

에 머무르게 된다. 이러한 과정을 식으로 나타내면 아래와 같다. 물방울 속

도의 시간변화를 구하시오.

solve

solve

dv/dt = − g − kv

dv/dt = − kv

dv/dt = − g − kv