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1
Eléments de mécanique des fluides
.be
q
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
2
• Hydrostatique– Forces appliquées sur des parois
• Planes
• Courbes
Objectif de la séance
.be
Cou bes
– Pression d’Archimède
– Stabilité des corps
• Dynamique des fluides– Notions cinématiques
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
2
3
Hydrostatique
.be
y q
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
4
Par équilibre d’un cube de fluide
Rappel
zdpg
dz 0xdp
dx 0ydp
dy
.be
Par équilibre local en un point du fluide
* p gp z cst
x y zp p p p
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
La constante peut être évaluée si l’on connaît la pression en un point donné du domaine (par ex. la surface libre où p=patm)
p gp
3
5Statique des fluides : force de pression sur un corps solide
Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi plane Posons psurface = patm
En pression relative p’surface=0O
.be
c op H
p’A = ρghA
p’E = ρgH = p’max
Rappel de trigonométrie :
A
hA
E
HL
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ww.hach.ulg.ac. . .
sin.
. . . .cos tan
. .
c op H
hypo L
c adj c op
hypo c adj
E
6
Statique des fluides : force de pression sur un corps solide
Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi plane
O
.be
0 0
i
E E
E
F p dl gh dl
l dl
Version « math » :
A
hA
Ep = pA
L
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
0
2
sin
sin2
gl dl
Lg
E
p = pmax
4
7Statique des fluides : force de pression sur un corps solide
Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi plane
Version « géométrique » :O
.be
2
max
sin2
sin
.2 2
LComme F g
et L H
L LF gH p
A
hA
Ep = pA
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac. 2 2E
p = pmax Aire d’un triangle de base L
de hauteur pmax
8
Statique des fluides : force de pression sur un corps solide
Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi plane
O
.be
Point d’application de F
~ « centre de poussée »
~ centre de gravité du
triangle de pression
E
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac. E
p = pmax
5
9Statique des fluides : force de pression sur un corps solide
Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi plane
.be
0
max
0
0
0
E
E
p x x b dx
xp x b dx
L
Vue « géométrique » Equilibre de moment
~ balancepmax
O Eb a
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
3 2 2
0
03 2
2;
3
2
3
3
Ex bx L bL
L
L Lb a
L
2/3 1/3
x
10
Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi plane
Statique des fluides : force de pression sur un corps solide
O
.be
Conclusions :
Action du fluide sur la paroi
Intensité totale
max2 2
L LF gH p
C
E
a
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
Pt d’action
a2 2
3
La
E
p = pmax
F
6
11Statique des fluides : force de pression sur un corps solide
Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi quelconque
.be
max min
min max
2
2
3
p pF L
p pLa
p p
E
Op = pmin
a
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ww.hach.ulg.ac. min max3 p p E
p = pmax
F
12
Statique des fluides : force de pression sur un corps solide
Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi quelconque
.be
E
O
p = pmax
p = pmin
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http://w
ww.hach.ulg.ac. E
7
13Statique des fluides : force de pression sur un corps solide
Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi quelconque
A BP2
.be
1 2
1 2
:
. :
. :
Equilibre de OEBA
R P P F
Hor H F
Vert V P P
E
Op = pmin
P1 F
A B
V
P2
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http://w
ww.hach.ulg.ac. E
p = pmax
R
H
V
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Statique des fluides : force de pression sur un corps solide
Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi quelconque
Composante horizontale : résultante
.be
E
O
p = pmax
p = pmin
Op = pmin
qui s’exerce sur la surface considérée projetée sur un plan
vertical.
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http://w
ww.hach.ulg.ac. E
E
p = pmax
8
15Statique des fluides : force de pression sur un corps solide
Application : Calcul de force exercée par le fluide sur une paroi quelconque
Composante verticale : Poids du
.be
E
O
p = pmax
p = pmin
O
volume de fluide au dessus de la paroi
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http://w
ww.hach.ulg.ac. E
E
16
Poussée d’Archimède
Force résultante des pressions sur ABC = Fi = poids du volume fluide ABCEFA
Force résultante des pressions sur ADC = Fs = poids du volume fluide ADCEFA
Force résultante totale = Fa = - poids du volume fluide ABCDA
.be
D
A
F E
Fs
Fa
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
B
CFi
9
17Poussée d’Archimède
Chercher le point d’application par équilibre des moments
V
xdV xV dV LdA
1x xdV
V Définition du centre de gravité
.be O
xdA
p1dA
L
VV du volume déplacé
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http://w
ww.hach.ulg.ac. x
p2dA
18
• Supposons – un volume quelconque V
– délimité par une surface fermée S
– plongé entièrement dans un fluide de masse volumique
Poussée d’Archimède
V,
Sg
.be
plongé entièrement dans un fluide de masse volumique – soumis à un champ de pesanteur uniforme g
• On cherche à déterminer la résultante des forces de pression exercées sur le volume :
ùF p n dS
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http://w
ww.hach.ulg.ac. où
– dS est un élément infinitésimal de la surface considérée,
– n désigne la normale à l’élément de surface, orientée par convention vers l'extérieur de cette surface
S
n
10
19
• Afin de pouvoir appliquer le théorème de la divergence, de manière à transformer l’intégrale de surface en une intégrale de volume, on considère un vecteur uniforme et non nul
Poussée d’Archimède
u
.be
• u étant uniforme, on peut écrire :
• Selon le théorème de la divergence,
S S S
F u p n dS u p n u dS p u n dS
u
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
divV
F u p u dV
20
• Or, en analyse vectorielle,
i if
Poussée d’Archimède
div grad divp u p u p u
.be
• Et puisque u est uniforme, on a
• Par conséquent,
u
div gradpu p u
div grad gradV V V
F u p u dV p u dV p dV u
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ww.hach.ulg.ac.
• On en déduit donc que
gradV
F p dV
11
21
• Or, d'après la loi fondamentale de l'hydrostatique,
Poussée d’Archimède
grad p g
.be
• D'où
• La résultante des forces de pression est donc égale en grandeur au poids du volume de fluide déplacé, mais orientée dans le sens contraire du poids,
flgradV V V
F p dV g dV dV g M g
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
p ,c'est-à-dire vers le haut.
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Corps flottant
Poids du corps solide = Fs
Poussée d’Archimède = Fa
A l’équilibre Fs = Fa
Si mouvement vers le bas : Fs = cste et Fa augmente le corps remonte
.be
Fa
Si mouvement vers le haut : Fs = cste et Fa diminue le corps redescend
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Fs
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23Stabilité des corps
Stabilité « linéaire » : un faible déplacement dans une direction engendre une force opposée tendant à retrouver la position d’origine
Stabilité « de rotation » : une faible rotation engendre une force opposée tendant à retrouver la position d’origine
.be
stable instable neutre
à retrouver la position d origine
Fs
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Fs
Fs
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Stabilité des corps immergés
Un corps totalement immergé est stable en rotation si son centre de gravité est en dessous du centre de poussée
.be
Fs
Fa Fa
Fs
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ww.hach.ulg.ac.
Fs Fa FaFs
13
25Stabilité des corps flottants
Un corps flottant est inconditionnellement stable en rotation si son centre de gravité est en dessous du centre de poussée
.be
Fa
Fs
Fa
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ww.hach.ulg.ac. Fs
26
Stabilité des corps flottants
Un corps flottant est conditionnellement stable en rotation si son centre de gravité est au dessus du centre de poussée
G t d ité d lid
.be
FsFa
G
B
G : centre de gravité du solide
B : centre de gravité du fluide déplacé
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27Stabilité des corps flottants
Un corps flottant est conditionnellement stable en rotation si son centre de gravité est au dessus du centre de poussée
M
M : métacentre
.be
G
B B
M
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Métacentre: Point d’intersection de l’axe longitudinal d’un navire et de la verticale passant par le centre de poussée, lorsque le navire est incliné
28
Stabilité des corps flottants
Un corps flottant est stable en rotation si son métacentre est au dessus du centre de gravitéUn corps flottant est instable en rotation si son métacentre est en dessous du centre de gravité
.be
B
M
M : métacentre
Fs
sinsCouple F MG
G
M
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ww.hach.ulg.ac. B
B
15
29Stabilité des corps flottants
.be
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30
Stabilité des corps flottants
.be
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16
31Stabilité des corps flottants
.be
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32
Stabilité des corps flottants
.be
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33Statique des fluides : Principe d’Archimède
Poussée sur une surface fermée
.be
Tout corps plongé dans un fluide subit une poussée: égale au poids du fluide « déplacé »
(intérieur à la surface extérieure du corps)
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ww.hach.ulg.ac. s’appliquant verticalement de bas en haut
(pas de composante horizontale)
s’appliquant au centre de gravité du volume de fluide limité par la surface externe du corps
(centre de poussée)
34 Dynamique des Fluides
.be
Introduction, définitions et notions cinématiques
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ww.hach.ulg.ac.
18
35Grandeurs extensives vs intensives
Grandeur extensive
► sa valeur pour un système composé de deux sous-
Grandeur intensive
► rapport de deux grandeurs extensives se rapportant au
.be
systèmes est égale à la somme des valeurs de cette grandeur pour chaque sous-système
• masse,
même sous-système
• masse volumique
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• volume,
• quantité de mouvement,
• énergie totale…
q
• vitesse
• énergie spécifique…
36
• Ecoulement stationnaireL’écoulement ne dépend pas du temps
Les dérivées partielles des grandeurs de l’écoulement par
rapport au temps sont nulles
Notions cinématiques
0t
.be
appo t au te ps so t u es
• Ecoulement instationnaireLes variables de l’écoulement dépendent du temps
Dé d d éfé i l !!!
t
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http://w
ww.hach.ulg.ac. Dépend du référentiel !!!
19
37
• Description cinématique d’un écoulement– Vecteur vitesse:
– Vecteur lieu:
Notions cinématiques
,U r t
, ,r x y z
.be
Vecteur lieu:
Deux manières d’illustrer le champ vectoriel…– Tracer la trajectoire des particules
– Déterminer les lignes de courant
, ,r x y z
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38
• Trajectoire d’une particule« Lieu des endroits où se trouve la particule quand le temps varie »
Notions cinématiques
d rU
.be
Udt
, , ,
, , ,
dxu x y z t
dtdy
v x y z tdtd
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
, , ,dz
w x y z tdt
20
39
• Ligne de courant« Ligne qui, à un instant t fixe, possède en chacun de ses points une
tangente parallèle au vecteur vitesse »
Notions cinématiques
U
.be
dx u
dy v
dy v
dz wdx u
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ww.hach.ulg.ac. dz w
, , , , , , , , ,fixé fixé fixé
dx dy dz
u x y z t v x y z t w x y z t
40
• Trajectoire vs. Ligne de courant– Les lignes de courant changent de position en fonction du temps
– Pour un écoulement stationnaire, les particules suivent continuellement les mêmes trajectoires, les lignes de courant s’identifient dès lors à ces trajectoires
Notions cinématiques
.be
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21
41Notions cinématiques
.be
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42
Notions cinématiques
• Phase de pompage en amont de l’écluse de Lanaye
.be
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22
43
• Par définition, les lignes de courant ne peuvent s’intersecter sauf aux points singuliers que sont les points d’arrêt
Notions cinématiques.be
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44
• Surface de courantSérie de lignes de courant adjacentes
Aucune particule ne peut
pénétrer la surface
Notions cinématiques
.be
pé ét e a su ace
• Tube de courantSurface engendrée par
l’ensemble des lignes de courant qui s’appuient
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ww.hach.ulg.ac.
de courant qui s appuient sur un contour fermé Cchoisi arbitrairement dans le fluide
C
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45Principaux types d’écoulements
A chaque type d’écoulement correspond
.be
certaines versions simplifiées du modèle mathématique de base, traduisant toujours les
mêmes principes
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Cinématique des Fluides
• Description dans un repère cartésien :
z
.be
y
V
xV
yV
zV Point = (xV,yV,zV) V
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x
xV
24
47Cinématique des Fluides
• Description dans un repère cartésien :
z
.be
y
V
xV
yV
zV Point = (xV,yV,zV)
Vecteur position
= (xV,yV,zV) X
V
X
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x
xV
48
Cinématique des Fluides
• Description lagrangienne :
L’observateur suit chaque particule fluide dans son mouvement
.be
z
Particule fluide Trajectoire X(t) = (x(t), y(t), z(t))
~ évolution temporelle de la position (x,y,z) d’une particule donnée
0X
P0
P
dans son mouvement
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ww.hach.ulg.ac. t
X
y
x
= Coordonnées matérielles
~ liées à la particule fluide
, , ,X x y z t
25
49Vision Lagrangienne
.be
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50
Cinématique des Fluides
• Description eulérienne :L’observateur décrit l’état des particules
passant en un point donné
.be
z
Particule fluide
X
P0
P
Les grandeurs en x dépendent des particules X passant en t
En variables matérielles (Lagrange ) :
E i bl i l (E l )
,,
x X tU U X t
t
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x
,U U X t
x
En variables spatiales (Euler) :
,,
X x tU U x t
t
26
51Vision Eulérienne
.be
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52
Cinématique des Fluides
, ,IMPORTANT U X t U x t
.be
Vitesse eulérienne :
• Vitesse des particules qui passent au point donné = (x,y,z).
• Pour t fixé, on associe un vecteur vitesse en chaque point de l’espace.
Vitesse lagrangienne :
• Vitesse d’une particule donnée le long de sa trajectoire.
• Pour t fixé, on associe un vecteur vitesse à chaque
U
x
U
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ww.hach.ulg.ac. vecteur vitesse à chaque
particule.U
27
53Cinématique des Fluides
Voit. N°3
Observateur
.be
Voit. N°1
Voit. N°2
EULER LAGRANGE
V (km/h)150
130
150
130
V (km/h)
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53 t (s)t (s)
130
110
90
Voit. N°1
Voit. N°2
Voit. N°3
110
90
54
Cinématique des Fluides
Considérons une fonction de l’espace et du temps (x,y,z,t)– La dérivée lagrangienne de est notée
,X t
.be
– La dérivée eulérienne de est notée
,
t
,x t
A h i ilé ié
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http://w
ww.hach.ulg.ac. ,x t
t
Approche privilégiée
en hydraulique !
28
55
Ecoulement d’un fluide parfait autour d’un cylindre en translation à vitesse U∞ constante
Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne.be
U
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56
• Démarche :– Solution analytique en axes mobiles (vr, v) en coordonnées r,
ou (u,v) en coordonnées X,Y
– Changement de repère dans des axes fixes
Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
x X U t
.be
C a ge e t de epè e da s des a es es
– Expression des composantes de vitesse dans les axes fixes
– Recherche de la formulation analytique des lignes de courant en axes mobiles
y Y
, ,
dX dY
u X Y v X Y
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http://w
ww.hach.ulg.ac. – Recherche de la formulation analytique des trajectoires en axes
fixes
, ,
, ,
dxu x y t
dtdy
v x y tdt
29
57
Ecoulement d’un fluide autour d’un cylindre, 2D– Vitesses dans un repère fixe par rapport au cylindre (coordonnées cylindriques)
Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
2a
.be Avec a : le rayon du cylindre
2
2
2
1 cos
1 sin
ra
v Ur
av U
r
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
r, : les coordonnées cylindriques
58
Ecoulement d’un fluide autour d’un cylindre, 2D– Vitesses dans un repère fixe par rapport au cylindre
(coordonnées cartésiennes X, Y)
Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
cos sinu v v
.be
2 2 2
22 21
a Y Xu U
Y X
cos sin
sin cosr
r
u v v
v v v
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
2
22 22
a XYv U
Y X
30
59
Ecoulement d’un fluide autour d’un cylindre, 2D– Vitesses dans le repère fixe (coordonnées cartésiennes)
Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
x X U t
.be
y Y
22 2
222, ,
a y x U tu x y t U
y x U t
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ww.hach.ulg.ac.
2
222, , 2
a x U t yv x y t U
y x U t
60
• Lignes de courant
Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
.be
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31
61
• Lignes de courant dans un repère fixe par rapport au cylindre
Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
, ,
dX dY
u X Y v X Y
.be
Coordonnées cylindriques
r
vrd
dr v
2
l i l i1 sin
a
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac. Formulation analytique 2
2
2
1 sin
1 cos
rrd
dr a
r
62
• Lignes de courant dans un repère fixe par rapport au cylindre
Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
2 2
2 2
sin
cos
r ard
dr r a
.be
cosdr r a
2 2
2 2
1
tan
r a drd
rr a
2 21r a d
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
2 2
1
tan
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rr a
32
63
• Lignes de courant dans un repère fixe par rapport au cylindre
Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
2 2
ln ln sin lnr a
Cr
0
.be
r a2
21 sin
aC r
r
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
64
• Trajectoires en axes fixes
Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
, ,dx
u x y tdt
.be
, ,dy
v x y tdt
22 2
222Formulation analytique
a y x U tdxU
dty x U t
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
2
2222
y
a x U t ydyU
dt y x U t
33
65
• Lignes de courant dans un repère fixe par rapport au cylindre
Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
2
21 sin
aC r
r
.be
• Trajectoires en axes fixes
22 2
222
a y x U tdxU
dt
r
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.
22
2
2222
dty x U t
a x U t ydyU
dt y x U t
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Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne
.be
ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
http://w
ww.hach.ulg.ac.