1. FUNKTION APPROKSIMOINTI - Jyväskylän yliopisto · Funktion approksimoinnilla tarkoitetaan funktion arviointia toisella (yksinkertaisemmalla) funktiolla. Syitä tähän ovat:

1. FUNKTION APPROKSIMOINTI

Funktion approksimoinnilla tarkoitetaan funktion arviointia toisella (yksinkertaisemmalla) funktiolla. Syitä tähän ovat:

ë Alkuperäisen funktion arvot ovat vaikeita tai hitaita laskea. Halutaan esimerkiksi korvata alkuperäinen funktio sellaisella funktiolla, jonka arvon määrittämisessätarvitaan vain neljää peruslaskutoimitusta. Tällaisia ovat mm. polynomi- ja murtofunktiot.ë Funktion arvot tunnetaan vain osassa määrittelyjoukon pisteistä, ts. funktion analyyttista lauseketta ei tunneta ollenkaan tai se tunnetaan vain määrittelyjoukon osassa. Esimerkiksi empiirisen eli kokeellisen funktion tapauksessa tunnetaan funktion arvoja yleensä äärellisessä (laskettavissa olevassa) diskreetissä joukossa.

Approksimoivat funktiot voidaan jakaa karkeasti kahteen luokkaan:

1) Approksimoiva funktio saa ennalta annetuissa pisteissä samat arvot kuin approksimoitava funktio. Näin halutaan erityisesti, kun pyritään korvaamaan alkuperäinen funktio helpommin laskettavalla. Menetelmistä mainittakoon interpolointi, jossa pyritään arvioimaan tunnettujen arvojen välisiä arvoja korvaavalla funktiolla, ja ekstrapolointi, jossa pyritään arvioimaan tunnettujen arvojen perusteella muodostetulla korvaavalla funktiolla tunnettujen arvojen ulkopuolelle jääviä arvoja. Mikäli funktiosta tunnetaan myös ensimmäisen tai suuremman kertaluvun derivaattoja, voidaan funktiota approksimoida Taylorin polynomeilla.2) Approksimoiva funktio liittyy jollakin muulla tavalla approksimoitavaan funktioon, esimerkiksi sovitetaan toisen asteen yhtälön parametrit tunnettuun aineistoon siten, että tunnetuissa pisteissä approksimoivan ja approksimoitavan funktion arvojen erotuksien neliöiden summa minimoituu.Tätä menetelmää kutsutaan pienimmän neliösumman käyränsovitukseksi. Eri käyränsovitus-menetelmät soveltuvat hyvin pyrittäessä löytämään funktio, joka kuvaa jotakin fysikaalista tai muuta ilmiötä ja käytettävissä on vain äärellinen otos tai äärellinen määrä mittaustuloksia. Tällöin luopuminen pisteittäisestä osumisesta alkuperäiseen funktioon voidaan perustella sillä, että esim.fysikaalisiin mittauksiin liittyy aina mittausvirhe.

à 1.1 Lineaarinen interpolointi ja ekstrapolointi

Tunnetaan muuttujan arvoja x0 ja x1vastaavat funktion arvot f Hx0L ja f Hx1L. Arvioidaan muuttujan arvojen x0 ja x1 välisiä funktion arvoja korvaamalla funktion f kuvaaja sillä suoralla y, joka kulkee pisteiden Hx0, f Hx0LL ja Hx1, f Hx1LL kautta.

Suoran kulmakerroin on f Hx1L- f Hx0LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx1-x0

, joten saadaa yhtälö

y = f Hx0L + f Hx1L- f Hx0LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx1-x0

Hx- x0LLaskettaessa nyt funktion arvoa pisteessä x` , x0 < x` < x1 , korvataan funktio f HxL x:n suhteen enintään ensimmäistä astetta olevalla lineaarisella interpolaatiopolynomilla pHxL = y. Saadaan likiarvoyhtälö

f Hx`L º pHx`L = f Hx0L + f Hx1L- f Hx0LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx1-x0

Hx` - x0LLikiarvon virheelle voidaan johtaa yhtälö

sHxL = 1ÅÅÅÅ2 Hx- x0L Hx- x1L f '' HtL, jollakin t œD x0, x1@edellyttäen, että funktiolla f on jatkuva toisen kertaluvun derivaatta välillä @x0, x1D. Koska lukua t ei yleensä tunneta, pyritään löytämään f'':lle maksimi välillä D x0, x1@ ja saadaan siten virheelle yläraja. Jos interpolaatiopolynomia käytetään myös funktion f

arvojen approksimointiin välin @x0, x1D ulkopuolella, kutsutaan menetelmää ekstrapoloin-niksi.

à 1.2 Interpolaatiopolynomit

Mikäli approksimoitavan funktion arvoja tunnetaan useammalla kuin kahdella muuttujan arvolla, voidaan approksimointiin käyttää lineaarisen interpolaatiopolynomin ohella korkeampaa astelukua olevia polynomeja. Mikäli funktion arvo tunnetaan n+1:llä muut-tujan arvolla, voidaan muodostaa korkeintaan astetta n oleva interpolaatiopolynomi. Siis jos tunnetaan funktion arvo kolmella muuttujan arvolla, voidaan muodostaa korkeintaan astetta kaksi oleva interpolaatiopolynomi. On kuitenkin syytä huomata, että interpolaa-tiopolynomin asteluvun kasvattaminen ei välttämättä johda parempaan approksimaatiotu-lokseen kuin esimerkiksi interpolaatiosuoran käyttö, vaan pahimmassa tapauksessa johtaa approksimaatiovirheen rajuun kasvuun. Voidaan kuitenkin menetellä siten, että sovelle-taan paloittain esimerkiksi 3. asteen interpolaatiopolynomeja, jolloin approksimoitavan funktion kuvaajan kaarevuus tulee paremmin huomioitua, mutta approksimoivan poly-nomin heilahtelu pysyy kontrolloituna.

2 MAA12teksti.nb

à 1.3 Esimerkkejä

ü Esimerkki 1.

Funktiosta f tunnetaan seuraavan taulukon mukaiset arvot:

x 1 2 3f HxL 0.7 0.9 1.4

Määritetään lineaarisella interpoloinnilla f H1.5L ja f H2.5L. Kannattaa huomata, että interpo-laatiosuoran yhtälön muodostaminen ei ole välttämätöntä, vaan voidaan käyttää verrantoa:

0.9-0.7ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2-1 =Dy

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1.5-1 , josta Dy = 0.1, joten f H1.5L = 0.7+ 0.1= 0.8

1.4-0.9ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3-2 =Dy

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2.5-2 , josta Dy = 0.25, joten f H2.5L = 0.9+ 0.25= 1.15.

ü Esimerkki 2.

Tutkitaan funktion f HxL = ln x arvoja välillä @3, 6D käyttäen pisteiden H3, ln 3L ja H6, ln 6L kautta kulkevaa interpolaatiosuoraa. Suoran yhtälö on

y = ln 3+ ln 6-ln 3ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ6-3 Hx- 3L = ln 2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 Hx- 3L + ln 3 = ln 2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 x+ ln 1.5

Plot @8Log@xD, Log @2Dê 3 ∗ x + [email protected] D<, 8x, 2, 7 <D

3 4 5 6 7

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

2

xˆ 3.5 4 4.5 5 5.5

yˆ 1.2141 1.3297 1.4452 1.5607 1.6762

f HxˆL 1.2528 1.3863 1.5041 1.6094 1.7047

» yˆ − f HxˆL » 0.0387 0.0566 0.0589 0.0487 0.0285

Koska f '' HxL = - 1ÅÅÅÅÅÅx2 , joka tarkasteluvälillä jatkuva, saadaan interpolaatiosuoran virheeksi

sHxL = 1ÅÅÅÅ2 Hx- 3L Hx- 6L H- 1ÅÅÅÅÅt2 L jollakin t œD 3, 6@.

Lausekkeeseen liittyvän paraabelin Hx- 3L Hx- 6L = x2 - 9 x+ 18 arvot ovat tarkasteluvä-lillä D 3, 6@ negatiivisia ja huippu on kohdassa x = 4.5, joten

MAA12teksti.nb 3

» Hx- 3L Hx- 6L » § » H4.5- 3L H4.5- 6L » = 9ÅÅÅÅ4 . Lisäksi » f '' HxL » = » - 1ÅÅÅÅÅÅx2 » < 1ÅÅÅÅ9 , kun x œD 3, 6@. Absoluuttiselle virheelle pätee siis

» sHxL » < 1ÅÅÅÅ2 ÿ 9ÅÅÅÅ4 ÿ 1ÅÅÅÅ9 = 1ÅÅÅÅ8 = 0.125, kun x œD 3, 6@.

ü Tehtävä 1.

Määritä lineaarisella interpoloinnilla f H0.65L ja f H2.20L, kun funktiosta tiedetään

x 0 1 3f HxL 3.1000 2.4679 2.1001

Ratkaisu:

Verrantoa apuna käyttäen saadaan

2.4679-3.1000ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1-0 =Dy

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ0.65-0 , josta Dy º -0.4109, joten f H0.65L º f H0L - 0.4109= 3.1000- 0.4109= 2.6891 ja

2.1001-2.4679ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3-1 =Dy

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2.20-1 , josta Dy º -0.2207, joten

f H2.20L º f H1L - 0.2207= 2.4679- 0.2207= 2.2472.

ü Tehtävä 2.

f H35L = 1.544 ja f H45L = 1.653. Muodosta interpolaatiosuoran yhtälö ja käytä sitä funk-tion arvon approksimointiin muuttujan arvoilla 39 ja 42.

Ratkaisu:


Hx- x0L = 1.544+ 1.653-1.544ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ45-35 Hx- 35L = 0.0109 x+ 1.1625, joten

f H39L º 0.0109ÿ39+ 1.1625= 1.5876 ja f H42L º 0.0109ÿ42+ 1.1625= 1.6203.

ü Tehtävä 3.

Muodosta funktionf HxL = è!!!x interpolaatiosuora välillä @1, 4D, approksimoi sen avulla

funktion arvoa muuttujan arvoilla 2.8 ja 3.4 ja vertaa laskimen antamiin arvoihin. Määrää lisäksi interpolaatiosuoran virhekaavan avulla arvio interpoloinnin virheelle.

Ratkaisu:


Hx- x0L = è!!!1 +

è!!!!4-

è!!!!1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4-1 Hx- 1L = 1ÅÅÅÅ3 x+ 2ÅÅÅÅ3

xˆ 2.8 3.4

yˆ 1.6 1.8

f HxˆL 1.673 1.844

» yˆ − f HxˆL » 0.073 0.044

f '' HxL = - 1ÅÅÅÅ4 x-3ÅÅÅÅ2 , joka jatkuva ja » f '' HxL » < 1ÅÅÅÅ4 tarkasteluvälillä.

sHxL = 1ÅÅÅÅ2 Hx- 1L Hx- 4L I- 1ÅÅÅÅ4 t-3ÅÅÅÅ2 M, t œD 1, 4@

4 MAA12teksti.nb

Kuten esimerkissä 2., saavuttaa lausekkeen » Hx- 1L Hx- 4L » arvo maksimin paraabelin huippua vastaavalla muuttujan arvolla, tässä siis, kun x = 2.5, jolloin » H2.5- 1L H2.5- 4L » = 9ÅÅÅÅ4 . Saadaan absoluuttiselle virheelle yläraja:

» sHxL » < 1ÅÅÅÅ2 ÿ 9ÅÅÅÅ4 ÿ 1ÅÅÅÅ4 = 9ÅÅÅÅÅÅÅ32 = 0.28125.

Huom. Tässä tapauksessa virheelle voidaan määrittää maksimi helposti myös suoraanlaskemalla:

sHxL = è!!!x - H 1ÅÅÅÅ3 x+ 2ÅÅÅÅ3 L, s ' HxL = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

2 è!!!

x- 1ÅÅÅÅ3 ja derivaatalla on tarkasteluvälillä nollakohta

arvolla 9ÅÅÅÅ4 , joka maksimi. Virheen maksimiksi saadaan siis

sH 9ÅÅÅÅ4 L = "#####9ÅÅÅÅ4 - H 1ÅÅÅÅ3 ÿ 9ÅÅÅÅ4 + 2ÅÅÅÅ3 L = 1ÅÅÅÅÅÅÅ12 º 0.083.

ü Esimerkki 3.

Ratkaistaan tehtävä 1. käyttäen toisen asteen interpolaatiopolynomia eli selvitetään ensin sen paraabelin yhtälö, joka kulkee annettujen kolmen pisteen kautta. Paraabelin yhtälö on muotoa p2HxL = a0 + a1 x+ a2 x2 . Sijoitetaan yhtälöön tunnetut pisteet ja saadaan yhtälöryhmä:

loooomnoooo

a0 + a1 ÿ0+ a2 ÿ02 = 3.1000

a0 + a1 ÿ1+ a2 ÿ12 = 2.4679

a0 + a1 ÿ3+ a2 ÿ32 = 2.1001

ñ

looomnooo

a0 = 3.1000a0 + a1 + a2 = 2.4679

a0 + 3 a1 + 9 a2 = 2.1001

Sijoitetaan a0 alempiin yhtälöihin ja ratkaistaan niistä a1 ja a2, saadaan

looomnooo

a0 = 3.1000a1 = -0.7815a2 = 0.1494

Interpolaatiopolynomiksi saadaan siis p2HxL = 0.1494 x2 - 0.7815 x+ 3.1000.

f H0.65L º 2.6551 ja f H2.20L º 2.1037 (Vertaa tehtävässä 1. saatuihin arvoihin.)

ü Esimerkki 4.

Approksimoidaan funktiota f HxL = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1+x2 interpolaatiopolynomeilla välillä @-6, 6D.Havaitaan kuvaajista funktion heilahtelun ja samalla virheen kasvavan asteluvun (tässä 4,6 ja 12) kasvaessa.

MAA12teksti.nb 5

polynomit = Table AExpand AInterpolatingPolynomial A

Table A9x,1

��1 + x2

=, 8x, −6, 6, n <E, x EE, 8n, 1, 3 <E;

polynomit êê TableForm

kuva1 =

Plot @Evaluate @polynomit D, 8x, −6, 6 <, DisplayFunction → Identity D;

kuva2 = Plot A 1��1 + x2

, 8x, −6, 6 <, PlotStyle → AbsoluteThickness @2D,

DisplayFunction → Identity E;

Show@kuva1, kuva2, DisplayFunction → $DisplayFunction D;

1 − 5585 x2��8177 + 42983 x4��204425 − 5946 x6��204425 + 619 x8��327080 − 23 x10��408850 + x12��1635400

1 − 841 x2��3145 + 57 x4��3145 − x6��3145

1 − 23 x2��185 + x4��370

-6 -4 -2 2 4 6

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

ü Tehtävä 4.

Määritä pisteisiin (-1, 14), (1,0), (3,2) ja (4, -6) liittyvä 3. asteen interpolaatiopolynomi.

Ratkaisu:

Kolmannen asteen (interpolaatio)polynomin muoto on p3HxL = a0 + a1 x+ a2 x2 + a3 x3 .Sijoitetaan tunnetut pisteet ja saadaa neljän yhtälön ryhmä:

looooooomnooooooo

a0 +a1 ÿ H-1L +a2 ÿ H-1L2 +a3 ÿ H-1L3 = 14

a0 +a1 ÿ1 +a2 ÿ12 +a3 ÿ13 = 0

a0 +a1 ÿ3 +a2 ÿ32 +a3 ÿ33 = 2

a0 +a1 ÿ4 +a2 ÿ42 +a3 ÿ43 = -6

ñ

loooooomnoooooo

a0 -a1 +a2 -a3 = 14a0 +a1 +a2 +a3 = 0a0 +3 a1 +9 a2 +27 a3 = 2a0 +4 a1 +16 a2 +64 a3 = -6

6 MAA12teksti.nb

Laskemalla kaksi ylintä yhtälöä yhteen saadaan 2 a0 + 2 a2 = 14ñ a0 = -a2 + 7.Vähentämällä toinen yhtälö ensimmäisestä saadaan -2 a1 - 2 a3 = 14ñ a1 = -a3 - 7.Sijoittamalla a0 ja a1 kahteen alimmaiseen yhtälöön saadaan yhtälöpari

: 7- a2 +3 H-7- a3L +9 a2 +27 a3 = 27- a2 +4 H-7- a3L +16 a2 +64 a3 = -6

ñ

9 8 a2 +24 a3 = 1615 a2 +60 a3 = 15

ñ 9 a2 +3 a3 = 2a2 +4 a3 = 1

Vähentämällä yhtälöparin alemmasta yhtälöstä ylempi, saadaan a3 = -1. Sijoittamalla a3

saadaan a2 = 5 ja edelleen sijoittamalla a2 ja a3 aiempiin yhtälöihin, saadaan a1 = -6 jaa0 = 2. Interpolaatiopolynomiksi saadaan p3HxL = 2- 6 x+ 5 x2 - x3 .

pisteet = ListPlot @88−1, 14 <, 81, 0 <, 83, 2 <, 84, −6<<,

PlotStyle −> PointSize @0.02 D, DisplayFunction → Identity D;

p3 = Plot @2 − 6 x + 5 x2 − x3, 8x, −1, 4 <, DisplayFunction → Identity D;

Show@p3, pisteet, PlotRange → All,

DisplayFunction → $DisplayFunction D;

Clear @pisteet, p3 D

-1 1 2 3 4

-5

5

10

ü Tehtävä 5.

Olkoon f HxL = è!!!x . Oletetaan tunnetuksi muuttujan arvoja 1, 2.25 ja 4 vastaavat funktion

arvot. Muodosta interpolaatiopolynomi ja approksimoi sen avulla funktion arvoa pisteissä 2.8 ja 3.4. Vertaa arvoja tehtävässä 3. saatuihin.

Ratkaisu:

Tunnetut pisteet ovat (1, 1), (2.25, 1.5) ja (4, 2). Sijoitetaan pisteet toisen asteen(interpolaatio)polynomin yleiseen muotoon p2HxL = a0 + a1 x+ a2 x2 ja ratkaistaanyhtälöryhmä:

loooomnoooo

a0 +a1 ÿ1 +a2 ÿ12 = 1

a0 +a1 ÿ2.25 +a2 ÿ2.252 = 1.5

a0 +a1 ÿ4 +a2 ÿ42 = 2

ñ

looomnooo

a0 +a1 +a2 = 1a0 +2.25 a1 +5.0625 a2 = 1.5a0 +4 a1 +16 a2 = 2

MAA12teksti.nb 7

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan a0 = 1- a1 - a2 . Sijoitetaan se alempiin yhtälöihin,jolloin saadaan yhtälöpari:

9 1.25 a1 +4.0625 a2 = 0.53 a1 +15 a2 = 1

ñ 9 3 a1 +9.75 a2 = 1.23 a1 +15 a2 = 1

Vähentämällä alempi yhtälö ylemmästä saadaan -5.25 a2 = 0.2ñ a2 = - 4ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ105 . Sijoitta-malla saadaan a1 = 55ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ105 = 11ÅÅÅÅÅÅÅ21 ja a0 = 54ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ105 = 18ÅÅÅÅÅÅÅ35 . Interpolaatiopolynomi on siisp2HxL = 18ÅÅÅÅÅÅÅ35 + 11ÅÅÅÅÅÅÅ21 x- 4ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ105 x

2.

Approksimaatioiksi saadaan p2H2.8L º 1.6823 ja p2H3.4L º 1.8549.

Lisätehtävä 1. Voidaan osoittaa, että interpolaatioparaabelin virheelle pätee kaavas2HxL = 1ÅÅÅÅ6 Hx- x0L Hx- x1L Hx- x2L f ''' HtL, missä x0 < x1 < x2 ja t œD x0, x2@. Approksimoikaavan avulla absoluuttista virhettä.

Ratkaisu:

Koska f ''' HxL = 3ÅÅÅÅ8 x-5ÅÅÅÅ2 , niin f ''' HtL < 3ÅÅÅÅ8 , kun t œD 1, 4@. Lausekkeelle Hx- 1L Hx- 2.25L Hx- 4L = x3 - 7.25 x2 + 15.25 x- 9 löydämme tarkasteluvälillä maksimin

derivoimalla ja etsimällä derivaatan nollakohdat: 3 x2 - 14.5 x+ 15.25= 0 fl x º 3.2867 tai x º 1.5466. Näistä jälkimmäinen osoittautuu tarkasteluvälin maksimiksi. Huomaa, että pyöristys on tehty ylöspäin, joten saamme arvion

s2HxL = 1ÅÅÅÅ6 ÿ Hx- 1L Hx- 2.25L Hx- 4L ÿ 3ÅÅÅÅ8 t-5ÅÅÅÅ2 <

1ÅÅÅÅ6 ÿ H1.5466- 1L H1.5466- 2.25L H1.5466- 4L ÿ 3ÅÅÅÅ8 < 0.0590kun 1 < x < 4 (ja 1 < t < 4).

Lisätehtävä 2. Tutki approksimaatiovirhettä differentiaalilaskennan keinoin.

Ratkaisu:

sHxL = è!!!x - H 18ÅÅÅÅÅÅÅ35 + 11ÅÅÅÅÅÅÅ21 x- 4ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ105 x

2L , joten s ' HxL = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2

è!!!x

+ 8ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ105 x- 11ÅÅÅÅÅÅÅ21 , jonka nollakohdat

saadaan laskimella tai kuten tässä, Mathematica -ohjelmalla:

σ@x_D : =è!!!!

x −ikjjj

18��35

+11��21

x −4

��105

x2y{zzz

Dσ@x_D : = D@σ@xD, x D

nollakohdat = NSolve @Dσ@xD 0, x D

88x → 3.21504<, 8x → 1.4792<<

σ@x ê. nollakohdat D

8−0.0115303, 0.0104725<

8 MAA12teksti.nb

Plot @σ@xD, 8x, 1, 4 <D; Clear @σ, D σD

1.5 2 2.5 3 3.5 4

-0.01

-0.005

0.005

0.01

Havaitaan, että absoluuttisen virheen maksimi saavutetaan kohdassa x º 3.21504, jolloin » sH3.21504L » º 0.0115.

xˆ 2.8 3.4

p HxˆL 1.6 1.8

p2 HxˆL 1.6823 1.8549

f HxˆL 1.6733 1.8439

» p HxˆL − f HxˆL » 0.0733 0.0439

» p2 HxˆL − f HxˆL » 0.0090 0.011

Toisen asteen interpolaatiopolynomi antaa siis neliöjuurifunktiolle tässä tapauksessa huomattavasti paremman approksimaation kuin lineaarinen interpolaatiopolynomi. Havain-nollistetaan tätä vielä kuvalla:

Plot A9è!!!!x ,

1��3 x +

2��3

,18��35

+11��21

x −4

��105

x2=, 8x, 1, 4 <E;

1.5 2 2.5 3 3.5 4

1.2

1.4

1.6

1.8

2

MAA12teksti.nb 9

à 1.4 Taylorin polynomit

Idea interpolaatiopolynomien käytön takana funktion approksimoinnissa oli, että funk-tiosta tarvitsee tietää hyvin vähän. Jo funktion arvot muutamilla muuttujan arvoilla riit-tivät. Entä jos funktioista tiedetään enemmän, esimerkiksi derivaatta jossakin pisteessä? Tieto derivaatasta antaa hyödyllistä tietoa approksimoitaessa funktion arvoja jonkin pisteen ympäristössä. Tällaisia eri kertaluvun derivaattoja hyödyntäviä approksimaa-tiopolynomeja kutsutaan Taylorin polynomeiksi..

à 1.5 Ensimmäisen asteen Taylorin polynomi

Tunnetaan funktion f ja sen derivaatan arvot kohdassa x=0 ja halutaan approksimoida funktion arvoja tämän kohdan ympäristössä. Muodostetaan ensimmäisen asteen polynomi p1HxL = a0 + a1 x, jonka kuvaaja y = p1HxL esittää mahdollisimman hyvin funktion kulkua kohdan x=0 ympäristössä. Lisäksi vaaditaan, että f H0L = p1H0L ja f ' H0L = p1 ' H0L. Koska p1 ' HxL = a1 , saadaan sijoittamalla a1 = f ' H0L ja a0 = f H0L.Olemme saaneet muodostettua funktion f ensimmäisen asteen Taylorin polynomin kohdassa x=0:

p1HxL = f H0L + f ' H0L xü Esimerkki 4.

Määritetään funktion f HxL = ex ensimmäisen asteen Taylorin polynomi kohdassa x=0. Koska f H0L = f ' H0L = e0 = 1, saadaan p1HxL = 1+ x.

Plot @8�x , 1 + x<, 8x, −1, 2 <D;

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

1

2

3

4

5

6

7

10 MAA12teksti.nb

à 1.6 Toisen asteen Taylorin polynomi

Mikäli tunnemme funktionf ja sen derivaatan arvon lisäksi sen toisen derivaatan arvon kohdassa x=0, voimme muodostaa sille toisen asteen Taylorin polynomin, joka on muotoa p2HxL = a0 + a1 x+ a2 x2. Tällöin p2 ' HxL = a1 + 2 a2 x ja p2 '' HxL = 2 a2. Sijoittamalla ehtoihin

looomnooo

p2H0L = f H0Lp2 ' H0L = f ' H0Lp2 '' H0L = f '' H0L

saadaan funktion f toisen asteen Taylorin polynomi kohdassa x=0:

p2HxL = f H0L + f ' H0L x+ 1ÅÅÅÅ2 f '' H0L x2

ü Esimerkki 5.

Määritetään funktion f HxL = ex toisen asteen Taylorin polynomi kohdassa x=0. Koskaf H0L = f ' H0L = f '' H0L = e0 = 1, saadaan p2HxL = 1+ x+ 1ÅÅÅÅ2 x2.

Plot A9�x , 1 + x, 1 + x +1��2 x2=, 8x, −1, 2 <E;

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

1

2

3

4

5

6

7

à 1.7 Yleinen Taylorin polynomi

Oletetaan, että tunnemme funktion f ja sen n ensimmäistä derivaatan arvoa kohdassa x=0.n. asteen polynomi on muotoa pnHxL = a0 + a1 x+ ...+ an xn = ⁄i=0

n ai xi . Vaaditaan, ettäpolynomin ja funktion ja niiden derivaattojen arvot yhtyvät kohdassa x=0:

looooooooomnooooooooo

pnH0L = f H0Lpn ' H0L = f ' H0Lpn '' H0L = f '' H0L

ª

pnHnLH0L = f HnLH0L

MAA12teksti.nb 11

Sijoitetaan pn :n ja sen derivaattojen lausekkeet ehtoihin ja saamme yhtälöt polynomin kertoimien ratkaisemiseksi:

looooooooomnooooooooo

a0 = f H0La1 = f ' H0L

2 a2 = f '' H0Lª

n! an = f HnLH0Lsaadaan funktion f yleinen Taylorin polynomi kohdassa x=0:

pnHxL = f H0L + x ÿ f ' H0L + x2ÅÅÅÅÅÅ2! f '' H0L + … + xn

ÅÅÅÅÅÅn! fHnLH0L=‚

i=0

n xiÅÅÅÅÅi! f

HiLH0LHuom. 0!=1.

ü Esimerkki 6.

Muodostetaan Mathematica -ohjelmalla eksponenttifunktion 1.-6. asteen Taylorinpolynomit kohdassa x=0 ja piirretään niiden kuvaajat (mukaanlukien eksponenttifunktio)samaan koordinaatistoon

polynomit = Table @Normal @Series @�x , 8x, 0, n <DD, 8n, 1, 6 <D;

polynomit êê TableForm

Plot @Evaluate @Prepend @polynomit, �xDD, 8x, −1, 2 <D;

Clear @polynomit D

1 + x

1 + x + x2��2

1 + x + x2��2 + x3��6

1 + x + x2��2 + x3��6 + x4��24

1 + x + x2��2 + x3��6 + x4��24 + x5��120

1 + x + x2��2 + x3��6 + x4��24 + x5��120 + x6��720

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

1

2

3

4

5

6

7

12 MAA12teksti.nb

ü Tehtävä 6.

Laske funktion f HxL = lnH1+ xL ensimmäisen, toisen ja kolmannen asteen Taylorin polynomit kohdassa x=0 ja piirrä funktion ja polynomien kuvaajat samaan koordinaatis-toon välillä [-1, 2] (laskin).

Ratkaisu:

f ' HxL = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1+x , f '' HxL = - 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH1+xL2 ja f ''' HxL = 2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH1+xL3 . Saadaan siis

p2HxL = x- x2ÅÅÅÅÅÅ2 ja p3HxL = x- x2

ÅÅÅÅÅÅ2 + x3ÅÅÅÅÅÅ3 .

f = Plot @Log@1 + xD, 8x, −1, 2 <,

PlotStyle → AbsoluteThickness @2D, DisplayFunction → Identity D;

polynomit = Plot A9x −x2

��2

, x −x2

��2

+x3

��3

=, 8x, −1, 2 <,


Show@f, polynomit, DisplayFunction → $DisplayFunction D;

Clear @f, polynomit D

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-3

-2

-1

1

2

ü Tehtävä 7.

Määritä funktion f HxL = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1+x n. asteen Taylorin polynomi kohdassa x=0

Ratkaisu:

Kirjoitetaa funktion derivaattoja, jotta "huomataan" säännönmukaisuus:

f H0LHxL = Hx+ 1L-1 = H-1L0 ÿ0! ÿ Hx+ 1L-1

f H1LHxL = -1 ÿ Hx+ 1L-2 = H-1L1 ÿ1! ÿ Hx+ 1L-2

f H2LHxL = 2 ÿ Hx+ 1L-3 = H-1L2 ÿ2! ÿ Hx+ 1L-3

f H3LHxL = -6 ÿ Hx+ 1L-4 = H-1L3 ÿ3! ÿ Hx+ 1L-4

f H4LHxL = 24ÿ Hx+ 1L-5 = H-1L4 ÿ4! ÿ Hx+ 1L-5

ª

f HnLHxL = H-1Ln ÿn! ÿ Hx+ 1L-Hn+1L

MAA12teksti.nb 13

Voidaan siis päätellä, että f HiLH0L = H-1Li ÿ i !. Sijoitetaan yleisen Taylorin polynomin lausekkeeseen:

pnHxL = ‚i=0

n xiÅÅÅÅÅi! ÿ H-1Li ÿ i != ⁄i=0

n H-1Li ÿ xi = 1- x+ x2 - x3 + … + H-1Ln ÿ xn

ü Tehtävä 8.

Määritä funktion f HxL = sinHxL kolmannen ja viidennen asteen Taylorin polynomitkohdassa x=0 ja piirrä niiden kuvaajat välillä @-p, pD .

Ratkaisu:

p3HxL = f H0L + f ' H0L ÿ x+ x2ÅÅÅÅÅÅ2! ÿ f '' H0L + x3

ÅÅÅÅÅÅ3! ÿ f H3LH0L =sinH0L + cosH0L ÿ x- sinH0L ÿ x2

ÅÅÅÅÅÅ2 - cosH0L ÿ x3ÅÅÅÅÅÅ6 =

x- x3ÅÅÅÅÅÅ6

p5HxL =p3HxL + x4

ÅÅÅÅÅÅ4! ÿ f H4LH0L + x5ÅÅÅÅÅÅ5! ÿ f H5LH0L = x- x3

ÅÅÅÅÅÅ6 + sinH0L ÿ x4ÅÅÅÅÅÅÅ24 + cosH0L ÿ x5

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ120 = x- x3ÅÅÅÅÅÅ6 + x5

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ120

f = Plot @Sin @xD, 8x, −π, π<,

PlotStyle → AbsoluteThickness @2D, DisplayFunction → Identity D;

polynomit = Plot A9x −x3

��6

, x −x3

��6

+x5

��120

=, 8x, −π, π<,


Show@f, polynomit, DisplayFunction → $DisplayFunction D;

Clear @f, polynomit D

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

à 1.8 Yleinen Taylorin polynomi kohdassa x=a

Funktion f yleinen Taylorin polynomi kohdassa x=a on

pnHxL = f HaL + f ' HaL Hx- aL + Hx-aL2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2! f '' HaL + … +Hx-aLn

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn! f HnLHaL = ‚i=0

n Hx-aLi

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅi! f HiLHaLPerustelu:

14 MAA12teksti.nb

Olkoon gHxL = f Hx+ aL kaikilla määrittelyjoukon arvoilla.Tällöin myös gHnLHxL = f HnLHx+ aL. Tutkitaan funktion g Taylorin polynomia kohdassa x=0.

pnHxL = ‚i=0

n xiÅÅÅÅÅi! g

HiLH0L, joten pnHx- aL = ‚i=0

n Hx-aLi

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅi! gHiLH0L = ‚i=0

n Hx-aLi

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅi! f HiLHaL.ü Tehtävä 9.

Kehitä funktiolle f HxL = 2 x3 - x2 + 5 x- 2 lauseke, joka etenee Hx- 2L:n kasvavien potens-sien mukaan, eli muodosta Taylorin kolmannen asteen polynomi kohdassa x=2.

Ratkaisu:

Lasketaan ensin funktion derivaatat ja niiden arvot kohdassa x = 2:

f HxL = 2 x3 - x2 + 5 x- 2 f H2L = 20f ' HxL = 6 x2 - 2 x+ 5 f ' H2L = 25f '' HxL = 12 x- 2 f '' H2L = 22f H3LHxL = 12 f H3LH2L = 12

p3HxL = f H2L + f ' H2L ÿ Hx- 2L + Hx-2L2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2! ÿ f '' H2L + Hx-2L3

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3! ÿ f H3LH2L =20+ 25 Hx- 2L + 22ÅÅÅÅÅÅÅ2 Hx- 2L2 + 12ÅÅÅÅÅÅÅ6 Hx- 2L3 = 20+ 25 Hx- 2L + 11 Hx- 2L2 + 2 Hx- 2L3

ü Tehtävä 10.

Kehitä x4 - 3 x2 + 4 sellaiseksi polynomiksi, joka etenee Hx+ 2L:n kasvavien potenssienmukaan.

Ratkaisu:

f HxL = x4 - 3 x2 + 4 f H-2L = 8f ' HxL = 4 x3 - 6 x f ' H-2L = -20f '' HxL = 12 x2 - 6 f '' H-2L = 42f H3LHxL = 24 x f H3LH-2L = -48f H4LHxL = 24 f H4LH-2L = 24

p4HxL = 8- 20 Hx+ 2L + 42ÅÅÅÅÅÅÅ2 Hx+ 2L2 - 48ÅÅÅÅÅÅÅ6 Hx+ 2L3 + 24ÅÅÅÅÅÅÅ24 Hx+ 2L4 =

8- 20 Hx+ 2L + 21 Hx+ 2L2 - 8 Hx+ 2L3 + Hx+ 2L4

à 1.9 Taylorin polynomin virhe

Voidaan osoittaa, että funktion f n. asteen Taylorin polynomin pn virhe s kohdassa x=0on

sHxL = xn+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! f Hn+1LHtL, missä t œD 0, x@ on muuttujasta x riippuva luku.

Kohdassa x=a virheen s lauseke on

sHxL = Hx-aLn+1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! f Hn+1LHtL, missä t œD a, x@ on muuttujasta x riippuva luku.

MAA12teksti.nb 15

Käytännössä virheen arviointi tapahtuu yleensä siten, että yritetään löytää jokin yläraja Mtekijälle f Hn+1LHtL.(Vertaa interpolaatiopolynomin virheen määritys.)

ü Esimerkki 7.

Mikä pitää olla funktion f HxL = ex Taylorin polynomin asteluku kohdassa x = 0, jotta virhe kohdassa x = 1 olisi pienempi kuin 10-4?

Sovelletaan virhekaavaa ja arvioidaan:

sH1L = 1n+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! et <

teD 0, 1@ 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! e <e<2.8 2.8ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L!

Saadaan epäyhtälö 2.8ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! § 10-4 , josta Hn+ 1L! ¥ 28000. Kokeilemalla havaitaan, että

epäyhtälö pätee, kun n ¥ 7.

Verrataan tätä tulosta laskimen antamiin arvoihin. Funktion 6. asteen Taylorin polynomikohdassa x = 0 on

p6HxL = 1+ x+ x2ÅÅÅÅÅÅ2! + x3

ÅÅÅÅÅÅ3! + x4ÅÅÅÅÅÅ4! + x5

ÅÅÅÅÅÅ5! + x6ÅÅÅÅÅÅ6! = 1+ x+ x2

ÅÅÅÅÅÅ2 + x3ÅÅÅÅÅÅ6 + x4

ÅÅÅÅÅÅÅ24 + x5ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ120 + x6

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ720

p6H1L = 1+ 1+ 1ÅÅÅÅ2 + 1ÅÅÅÅ6 + 1ÅÅÅÅÅÅÅ24 + 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ120 + 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ720 = 1957ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ720 º 2.7180556

eº 2.7182818, joten virhe on noin 2.2ÿ10-4 .

p7HxL = p6HxL + x7ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5040 , joten p7H1L = 13700ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5040 º 2.718254 ja virhe on pienempi kuin 2.8ÿ10-5.

ü Tehtävä 11.

Approksimoidaan funktiota f HxL = sinx Taylorin polynomilla kohdassa x = 0. Mikä on oltava Taylorin polynomin asteluku, jotta absoluuttinen virhe olisi pienempi kuin 10-3?

Ratkaisu:

Koska funktion (n+1). derivaatta on aina kosini tai sini (merkin vaihdellessa), voidaankäyttää arviota » f Hn+1LHtL » § 1 kaikilla t. Saadaan absoluuttiselle virheelle kohdassa x=5arvio

» sH5L » = 5n+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! … f Hn+1LHtL … § 5n+1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L!Koska absoluuttisen virheen tulisi olla alle 10-3 , saadaan epäyhtälö

5n+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! § 10-3 eli 1000ÿ5n+1 § Hn+ 1L!. Kokeilemalla huomataan, että epäyhtälö toteutuu

kun n ¥ 17.

ü Tehtävä 12.

Muodosta funktioiden sinx ja cosx sarjakehitelmät kirjoittamalla niiden Taylorinpolynomeista kohdassa x = 0 "niin monta termiä", että keksit säännön.

Ratkaisu:

16 MAA12teksti.nb

sinx = x- x3ÅÅÅÅÅÅ3! + x5

ÅÅÅÅÅÅ5! - x7ÅÅÅÅÅÅ7! + … = ‚

i=0

¶ H-1Li x2 i+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH2 i+1L!

cosx = 1- x2ÅÅÅÅÅÅ2! + x4

ÅÅÅÅÅÅ4! - x6ÅÅÅÅÅÅ6! + … = ‚

i=0

¶ H-1Li x2 iÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH2 iL!

ü Tehtävä 13.

Kuinka tarkka on funktion f HxL = ex sinx toisen asteen Taylorin kohdan x = 0 polynominarvo välillä x œD - pÅÅÅÅ4 , pÅÅÅÅ4 @?

Ratkaisu:

f ' HxL = exHcosx+ sinxLf '' HxL = 2 ex cosxf H3LHxL = 2 exHcosx- sinxLVälillä D - pÅÅÅÅ4 , pÅÅÅÅ4 @ cosx- sinx < cosH- pÅÅÅÅ4 L - sinH- pÅÅÅÅ4 L = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!

2- -1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!

2=

è!!!2 ja 2 ex < 2 e

pÅÅÅÅÅ4

» sHxL » = À x3ÅÅÅÅÅÅ3! f

H3LHtL À §H pÅÅÅÅÅ4 L3

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ6 ÿ2 epÅÅÅÅÅ4 ÿ

è!!!2 < 0.5010

Karkeampi arvio: » sHxL » = À x3ÅÅÅÅÅÅ3! f

H3LHtL À §H pÅÅÅÅÅ4 L3

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ6 ÿ4 epÅÅÅÅÅ4 < 0.7084.

p2 = Normal @Series @�x Sin @xD, 8x, 0, 2 <DD;

Plot A8�x Sin @xD, p2 <, 9x, −π��4

,π��4=E;

Clear @p2D;

-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

à 1.10 Taylorin polynomin ominaisuuksia

Mikäli Taylorin polynomin määrittäminen suoraan jollekin funktiolle tuntuu vaikealta,voidaan yrittää hyödyntää Taylorin polynomin lineaarisuutta. Merkitään funktion f n.asteen Taylorin polynomia TnH f L.TnHa0 f + a1 gL = a0 TnH f L + a1 TnHgL, missä a0, a1 œ Ñ vakioita ja f , g funktioita.

Taylorin polynomilla kohdassa x = 0 on myös sijoitusominaisuus:

MAA12teksti.nb 17

TnHgHxLL = TnH f HcxLL, missä gHxL = f HcxL ja c œ Ñ vakio.

ü Tehtävä 14.

Hyperbolinen kosini cosh määritellään coshx = ex+e-xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 . Määrää funktion ex n. asteen

Taylorin polynomikohdassa x = 0 ja soveltamalla siihen Taylorin polynomin ominaisuuk-sia määrää funktion cosh x 2n. asteen Taylorin polynomi.

Ratkaisu:

TnHexL = 1+ x+ x2ÅÅÅÅÅÅ2! + x3

ÅÅÅÅÅÅ3! + x4ÅÅÅÅÅÅ4! + … + xn

ÅÅÅÅÅÅn! = ‚i=0

n xiÅÅÅÅÅi!

Käytetään sijoitusominaisuutta (tässä gHxL = e-x ja f HxL = ex, jolloin gHxL = f H-xL):TnHe-xL = 1- x+ x2

ÅÅÅÅÅÅ2! - x3ÅÅÅÅÅÅ3! + x4

ÅÅÅÅÅÅ4! - … +H-xLn

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn! = ‚i=0

n H-xLi

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅi!

Käytetään lineaarisuutta:

T2 nHcoshxL = T2 nH ex+e-xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 L = 1ÅÅÅÅ2 @T2 nHexL + T2 nHe-xLD =

1ÅÅÅÅ2 A2+ 2 ÿ x2ÅÅÅÅÅÅ2! + 2 ÿ x4

ÅÅÅÅÅÅ4! + … + 2 ÿ x2 nÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH2 nL! E = 1+ x2

ÅÅÅÅÅÅ2! + x4ÅÅÅÅÅÅ4! + … + x2 n

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH2 nL! = ‚i=0

n x2 iÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH2 iL!

Kuvassa hyperbolinen kosini ja sen toisen asteen Taylorin polynomi kohdassa x = 0:

p8 = Normal @Series @Cosh@xD, 8x, 0, 2 <DD;

Plot @8Cosh@xD, p8 <, 8x, −3, 3 <D;

Clear @p8D;

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

à 1.11 Kertausta

ü Tehtävä 15.

Määrää funktion f HxL = e-x2 (Gaussin kellokäyrä) toisen asteen Taylorin polynomi

kohdassa x = 0. Piirrä funktion ja Taylorin polynomin kuvaajat samaan koordinaatistoonvälillä @-3, 3D. Laske polynomin avulla likiarvo kohdassa x = 0.3. Vertaa laskimenarvoon ja laske virhe.

18 MAA12teksti.nb

ü Tehtävä 16.

Laske Taylorin polynomin avulla luvun è!!!

e likiarvo kolmen desimaalin tarkkuudella.

ü Tehtävä 17.

Kuinka tarkka on funktion f HxL = ex cosx toisen asteen Taylorin kohdan x = 0 polynominarvo välillä x œD - pÅÅÅÅ4 , pÅÅÅÅ4 @?

2. LINEAARIALGEBRAA

à 2.1 Kertausta lineaarisesta kahden tuntemattoman yhtälöparista

Lineaarinen kahden tuntemattoman yhtälöpari on muotoa

(1)9 a11 x+ a12 y = b1

a21 x+ a22 y = b2, missä aij ja bi vakioita ja x, y tuntemattomia muuttujia.

Yhtälöpari muodostuu siis kahdesta suoran yhtälöstä. Pistettä Hx, yL sanotaan yhtälöparin(1) ratkaisuksi, jos se toteuttaa molemmat yhtälöparin yhtälöistä. Yhtälöparilla voi ollayksi, ei yhtään tai äärettömän monta ratkaisua. Kuvaajien avulla ilmaistuna kaksi suoraavoivat leikata toisensa (eri kulmakertoimet) tai olla yhdensuuntaisia. Mikäli yhdensuun-taisten suorien vakiotermit ovat eri suuria, ei ratkaisua ole ja mikäli vakiotermit ovatsamat, suorat yhtyvät ja kaikki suorien pisteet toteuttavat yhtälöparin.

Oletetaan, että vakiot aij eivät ole nollia. Kerrotaan yhtälöt vakioilla a22 ja a12:

(2)9 a11 a22 x+ a12 a22 y = a22 b1

a12 a21 x+ a12 a22 y = a12 b2

Vähennetään yhtälöt toisistaan:

(3)Ha11 a22 - a12 a21L x = a22 b1 - a12 b2

Jos Ha11 a22- a12 a21L ∫ 0, saadaan jakamalla

(4)x =

a22 b1-a12 b2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa11 a22-a12 a21

joka voidaan sijoittaa toiseen yhtälöparin yhtälöistä y:n ratkaisemiseksi.

Lauseketta a11 a22- a12 a21 sanotaan yhtälöparin (1) determinantiksi.Edellä olevantarkastelun perusteella havaitsemme, että yhtälöparilla (1) on yksi ratkaisu, mikäli sendeterminantti ei ole nolla.

MAA12teksti.nb 19

ü Tehtävä 2.1

Määritä yhtälöparien determinantit. Mikäli determinantti eroaa nollasta, ratkaiseyhtälöpari.

a) : x- 3 y = 4-4 x+ 2 y = 6

b) : 2 x- y = -35 x+ 7 y = 4

c) : 2 x- 8 y = 5-3 x+ 12 y = 8

d)

: 5 x+ 2 y = 32 x+ 5 y = 3

Ratkaisu:

a) det=-10, loomnoo

x = - 13ÅÅÅÅÅÅÅ5

y = - 11ÅÅÅÅÅÅÅ5

b) det=19, loomnoo

x = - 17ÅÅÅÅÅÅÅ19

y = 23ÅÅÅÅÅÅÅ19

c) det=0 d) det=21, loomnoo

x = 5ÅÅÅÅÅÅÅ21

y = 19ÅÅÅÅÅÅÅ21

ü Tehtävä 2.2

Määrää vakiot a ja b siten, että yhtälöparilla 9 ax+ by= cax- by= c

on yksikäsitteinen ratkaisu.

Ratkaisu:

det= -2 ab, joten yksikäsitteinen ratkaisu saadaan, kun a ∫ 0 ∫ b.

ü Tehtävä 2.3

Ernesti on talvisin töissä jokilaivalla, joka silloin tällöin juuttuu jäihin. Päivinä, jolloinlaiva jää kiinni, Ernesti kaataa jäälle kiehuvaa vettä ja tienaa siten 250 kruunua/päivä.Lämpiminä päivinä hänen ei tarvitse tehdä mitään ja hän tienaa 100 kruunua. 20 työpäivänjälkeen hän on ansainnut 3200 kruunua. Miten monena päivänä hän on sulatellut jäätäkiehuvalla vedellä?

Ratkaisu:

Merkitään sulattelupäivien lukumäärää x:llä ja lämpimien päivien lukumäärää y:llä. Muo-

dostetaan yhtälöpari : 250 x+ 100 y = 3200x+ y = 20

, josta saadaan sulattelupäivien x luku-

määräksi 8.Tehtävän voi ratkaista myös suoraan yhtälön 250 x+ 100 H20- xL = 3200 avulla.

ü Tehtävä 2.4

Tapakasvatuksen teemapäivänä luokassa harjoiteltiin kättelyä. Jokainen luokan oppilaskätteli kuutta tyttöä ja kahdeksaa poikaa. Tyttöjen ja poikien välisiä kättelyjä oli viisimuita vähemmän. Kuinka monta oppilasta luokassa oli?

Ratkaisu:

Olkoon poikien lukumäärä x ja tyttöjen lukumäärä y. Pojat kättelevät tyttöjä 6x kertaa ja tytöt poikia 8y kertaa. Poikien välisiä kättelyitä on 8 xÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = 4 x kappaletta ja tyttöjen välisiä

20 MAA12teksti.nb

kättelyitä on 6 yÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = 3 y kappaletta. Saadaan yhtälöpari

: 6 x = 8 y4 x+ 3 y = 6 x+ 5

ñ : x = 20y = 15

eli luokassa oli 35 oppilasta.

ü Tehtävä 2.5

Matkapuhelinoperaattori Kohina tarjoaa puheluja 500 minuuttia 20 euron perusmaksulla kuukaudessa siten, että ylimenevistä puheluista peritään 0,10 euroa/min. Toinen operaat-tori Suhina veloittaa puheluistaan 6,9 senttiä/min. ja liittymän perusmaksu on 2 euroa/kk. Piirrä kuvaajat kummastakin liittymätyypistä samaan koordinaatistoon ja laske millä minuuttimäärillä Kohina-liittymä tulee edullisemmaksi kuin Suhina-liittymä.

Ratkaisu:

Kohina: f HtL = : 20 t œ @0, 500D20+ 0.10 Ht - 500L t œD 0, ¶@

Suhina: gHtL = 2+ 0.069 t

kohina1 = Plot @20, 8t, 0, 500 <, DisplayFunction → Identity D;

kohina2 =

Plot @0.10 t − 30, 8t, 500, 1300 <, DisplayFunction → Identity D;

suhina = Plot @0.069 t + 2, 8t, 0, 1300 <, DisplayFunction → Identity D;

Show@kohina1, kohina2, suhina, DisplayFunction → $DisplayFunction D;

Clear @kohina1, kohina2, suhina D;

200 400 600 800 1000 1200

20

40

60

80

100

Ratkaisemalla suorien leikkauskohdat selviää, että Kohina tulee edullisemmaksi, kun puhuu enemmän kuin 261 ja vähemmän kuin 1032 minuuttia kuukaudessa.Mitenkä tehtävä liittyy yhtälöpareihin?

à 2.2 Kolme yhtälöä, kolme tuntematonta

Kolmen yhtälön ryhmien tapauksessa "helpon" ratkaisutavan näkeminen vaikeutuu.Löytyisikö jokin systemaattinen tapa, jota voisi soveltaa jopa laajempiinkin yhtälöryhmiin?

Yhtälöryhmän yhtälöille voidaan suorittaa seuraavia alkeisoperaatioita ilman, että ratkaisumuuttuu:- Yhtälöitä voidaan kertoa puolittain nollasta eroavalla vakiolla, merkitään Ri Ø cRi .

MAA12teksti.nb 21

- Yhtälöön voidaan lisätä jokin toisen yhtälön monikerta, merkitään Ri Ø Ri + cRj .- Yhtälöiden järjestystä voidaan vaihtaa, merkitään Ri ¨ Rj .Indeksit viittaavat yhtälöiden rivinumeroihin.

Ratkaisu etenee seuraavasti:- Jaetaan ensimmäinen yhtälö siten, että x1:n kertoimeksi tulee 1.- Eliminoidaan x1-termit muista yhtälöistä lisäämällä niihin sopivia ensimmäisen yhtälönmonikertoja.- Jaetaan toinen yhtälö siten, että x2:n kertoimeksi tulee 1.- Eliminoidaan x2-termit muista yhtälöistä lisäämällä niihin sopivia toisen yhtälön moniker-toja.- Jaetaan kolmas yhtälö siten, että x3 :n kertoimeksi tulee 1.- Eliminoidaan x3-termit muista yhtälöistä lisäämällä niihin sopivia kolmannen yhtälönmonikertoja.

Yllä esiteltyä menetelmää kutsutaan Gauss-Jordanin eliminointimenetelmäksi.

ü Tehtävä 2.6

Ratkaise yhtälöryhmä looomnooo

2 x1 +4 x2 +6 x3 = 184 x1 +5 x2 +6 x3 = 243 x1 +x2 -2 x3 = 4

Ratkaisu:

loooomnoooo

2 x1 +4 x2 +6 x3 = 184 x1 +5 x2 +6 x3 = 243 x1 +x2 -2 x3 = 4

ØøøøøøøøR1Ø

1ÅÅÅÅ2 R1

loooomnoooo

x1 +2 x2 +3 x3 = 94 x1 +5 x2 +6 x3 = 243 x1 +x2 -2 x3 = 4

ØøøøøøøøøøøR2ØR2-4 R1

loooomnoooo

x1 +2 x2 +3 x3 = 9-3 x2 -6 x3 = -12

3 x1 +x2 -2 x3 = 4 Øøøøøøøøøøø

R3ØR3-3 R1

loooomnoooo

x1 +2 x2 +3 x3 = 9-3 x2 -6 x3 = -12-5 x2 -11 x3 = -23

ØøøøøøøøøøR2Ø-

1ÅÅÅÅ3 R2

loooomnoooo

x1 +2 x2 +3 x3 = 9x2 +2 x3 = 4

-5 x2 -11 x3 = -23Øøøøøøøøøøø

R1ØR1-2 R2

R3ØR3+5 R2

loooomnoooo

x1 -x3 = 1x2 +2 x3 = 4

-x3 = -3 Øøøøøøø

R3Ø-R3

loooomnoooo

x1 -x3 = 1x2 +2 x3 = 4

x3 = 3Øøøøøøøøøøø

R1ØR1+R3

R2ØR2-2 R3looomnooo

x1 = 4x2 = -2

x3 = 3

ü Tehtävä 2.7


x1 -2 x2 +3 x3 = 114 x1 +x2 -x3 = 42 x1 -x2 +3 x3 = 10

Ratkaisu:

22 MAA12teksti.nb

looomnooo

x1 -2 x2 +3 x3 = 114 x1 +x2 -x3 = 42 x1 -x2 +3 x3 = 10

Øøøøøøøøøøø

R2ØR2-4 R1

R3ØR3-2 R1

loooooomnoooooo

x1 -2 x2 +3 x3 = 119 x2 -13 x3 = -403 x2 -3 x3 = -12


1ÅÅÅÅ9 R2

loooooomnoooooo

x1 -2 x2 +3 x3 = 11

x2 - 13ÅÅÅÅÅÅÅ9 x3 = - 40ÅÅÅÅÅÅÅ9

3 x2 -3 x3 = -12


R1ØR1+2 R2

R3ØR3-3 R2

loooooomnoooooo

x1 + 1ÅÅÅÅ9 x3 = 19ÅÅÅÅÅÅÅ9

x2 - 13ÅÅÅÅÅÅÅ9 x3 = - 40ÅÅÅÅÅÅÅ94ÅÅÅÅ3 x3 = 4ÅÅÅÅ3


3ÅÅÅÅ4 R3

loooooomnoooooo


x2 - 13ÅÅÅÅÅÅÅ9 x3 = - 40ÅÅÅÅÅÅÅ9

x3 = 1

Øøøøøøøøøøøøø

R1ØR1-1ÅÅÅÅ9 R3

R2ØR2+13ÅÅÅÅÅÅÅ9 R3

looomnooo

x1 = 2x2 = -3

x3 = 1

ü Tehtävä 2.8


x1 +x2 -x3 = 74 x1 -x2 +5 x3 = 42 x1 +2 x2 -3 x3 = 0

Ratkaisu:

looomnooo

x1 +x2 -x3 = 74 x1 -x2 +5 x3 = 42 x1 +2 x2 -3 x3 = 0


R2ØR2-4 R1

R3ØR3-2 R1

loooooomnoooooo

x1 +x2 -x3 = 7-5 x2 +9 x3 = -24

-x3 = -14Øøøøøøøøøø

R2Ø-1ÅÅÅÅ5 R2

R3Ø-R3

loooooomnoooooo

x1 +x2 -x3 = 7

x2 - 9ÅÅÅÅ5 x3 = 24ÅÅÅÅÅÅÅ5

x3 = 14

ØøøøøøøøøøR1ØR1-R2

loooooomnoooooo


x2 - 9ÅÅÅÅ5 x3 = 24ÅÅÅÅÅÅÅ5

x3 = 14

Øøøøøøøøøøøø


R2ØR2+9ÅÅÅÅ5 R3

looomnooo

x1 = -9x2 = 30

x3 = 14

à 2.3 Matriisit

Kuten edeltävistä tehtävistä saattoi havaita, yhtälöiden määrän lisääntyessä merkinnätkäyvät nopeasti hankalammiksi ja huolimattomuusvirheitä tulee helposti. Tilanteen helpot-tamiseksi otamme käyttöön matriisi -merkintätavan. Matriisi on suorakulmainen järjest-etty numerotaulukko.

ü Esimerkki 2.1

Tehtävän 2.6 yhtälöryhmän muuttujien kertoimet voidaan esittää 3µ3 kerroinmatriisina:

MAA12teksti.nb 23

(5)A =

i

k

jjjjjjj2 4 6

4 5 63 1 −2

y

{

zzzzzzz

Yhtälöryhmän informaatio voidaan esittää kokonaisuudessaan laajennetulla 3µ4matriisilla:

(6)i

k

jjjjjjj2 4 6 184 5 6 243 1 −2 4

y

{

zzzzzzz

ü Esimerkki 2.2

Tehtävän 2.6 ratkaisu voidaan esittää nyt selkeämmin:

i

kjjjjjj2 4 6 184 5 6 243 1 −2 4

y

{zzzzzz →

R1→1��2 R1

i

kjjjjjj1 2 3 94 5 6 243 1 −2 4

y

{zzzzzz →

R2→R2−4 R1R3→R3−3 R1

i

kjjjjjj1 2 3 90 −3 −6 −120 −5 −11 −23

y

{zzzzzz

→R2→−

1��3 R2

i

kjjjjjj1 2 3 90 1 2 40 −5 −11 −23

y

{zzzzzz →

R1→R1−2 R2R3→R3+5 R2

i

kjjjjjj1 0 −1 10 1 2 40 0 −1 −3

y

{zzzzzz →

R3→−R3i

kjjjjjj1 0 −1 10 1 2 40 0 1 3

y

{zzzzzz →

R1→R1+R3R2→R2−2 R3

i

kjjjjjj1 0 0 40 1 0 −20 0 1 3

y

{zzzzzz

ü Tehtävä 2.9

Ratkaise matriisimuodossa looomnooo-2 x1 +x2 +6 x3 = 185 x1 +8 x3 = -163 x1 +2 x2 -10 x3 = -3

ü Esimerkki 2.3

Tarkastellaan yhtälöryhmää looomnooo

2 x1 +4 x2 +6 x3 = 184 x1 +5 x2 +6 x3 = 242 x1 +7 x2 +12 x3 = 30

.

Muodostetaan vastaava matriisi ja käytetään Gauss-Jordan eliminointia:

24 MAA12teksti.nb

ikjjjjjjj2 4 6 184 5 6 242 7 12 30

y{zzzzzzz Øøøøøøøø

R1Ø1ÅÅÅÅ2 R1

ikjjjjjjj1 2 3 94 5 6 242 7 12 30

y{zzzzzzz Øøøøøøøøøøø

R2ØR2-4 R1

R3ØR3-2 R1ikjjjjjjj1 2 3 90 -3 -6 -120 3 6 12

y{zzzzzzz Øøøøøøøøøø

R2Ø-1ÅÅÅÅ3 R2

ikjjjjjjj1 2 3 90 1 2 40 3 6 12


R1ØR1-2 R2

R3ØR3-3 R2ikjjjjjjj1 0 -1 10 1 2 40 0 0 0

y{zzzzzzz

Tämä voidaan kirjoittaa yhtälöryhmän muodossa : x1 -x3 = 1x2 +2 x3 = 4

. Nähdään, että

yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. Tulos voidaan kirjoittaa myös muodossaH1- x3, 4- 2 x3, x3L.ü Esimerkki 2.4

Tarkastellaan yhtälöryhmää looomnooo

2 x1 +4 x2 +6 x3 = 184 x1 +5 x2 +6 x3 = 242 x1 +7 x2 +12 x3 = 40

. Muodostetaan vastaava matri-

isi ja käytetään Gauss-Jordan eliminointia:

ikjjjjjjj2 4 6 184 5 6 242 7 12 40


R1Ø1ÅÅÅÅ2 R1

ikjjjjjjj1 2 3 94 5 6 242 7 12 40


R2ØR2-4 R1

R3ØR3-2 R1ikjjjjjjj1 2 3 90 -3 -6 -120 3 6 22


R2Ø-1ÅÅÅÅ3 R2

ikjjjjjjj1 2 3 90 1 2 40 3 6 22


R1ØR1-2 R2

R3ØR3-3 R2ikjjjjjjj1 0 -1 10 1 2 40 0 0 10

y{zzzzzzz Øøøøøøøøø

R3Ø1ÅÅÅÅÅÅÅ10 R3

ikjjjjjjj1 0 -1 10 1 2 40 0 0 1

y{zzzzzzz

Viimeinen rivi väittää, että 0=1, mikä ei ole mahdollista. Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua.

Seuraavissa tehtävissä ratkaise yhtälöryhmä Gauss-Jordan -menetelmällä.

ü Tehtävä 2.10

looomnooo

3 x1 +6 x2 -6 x3 = 92 x1 -5 x2 +4 x3 = 6-1 x1 +16 x2 -14 x3 = -3

Ratkaisu:

ikjjjjjjj

3 6 -6 92 -5 4 6-1 16 -14 -3


R1Ø1ÅÅÅÅ3 R1

ikjjjjjjj

1 2 -2 32 -5 4 6-1 16 -14 -3


R2ØR2-2 R1

R3ØR3+R1ikjjjjjjj1 2 -2 30 -9 8 00 18 -16 0


R2Ø-1ÅÅÅÅ9 R2

ikjjjjjjjjj1 2 -2 3

0 1 - 8ÅÅÅÅ9 0

0 18 -16 0

y{zzzzzzzzz Øøøøøøøøøøøøø

R1ØR1-2 R2

R3ØR3-18 R2

ikjjjjjjjjjj1 0 - 2ÅÅÅÅ9 3

0 1 - 8ÅÅÅÅ9 0

0 0 0 0

y{zzzzzzzzzz

MAA12teksti.nb 25

Äärettömän monta ratkaisua, esim. jos valitaan x3 mielivaltaisesti, niin ratkaisu voidaanesittää muodossa H3+ 2ÅÅÅÅ9 x3,

8ÅÅÅÅ9 x3, x3L.ü Tehtävä 2.11

looomnooo

3 x1 +6 x2 -6 x3 = 92 x1 -5 x2 +4 x3 = 65 x1 +28 x2 -26 x3 = -8

Ratkaisu:

ikjjjjjjj3 6 -6 92 -5 4 65 28 -26 -8


R1Ø1ÅÅÅÅ3 R1

ikjjjjjjj1 2 -2 32 -5 4 65 28 -26 -8


R2ØR2-2 R1

R3ØR3-5 R1ikjjjjjjj1 2 -2 30 -9 8 00 18 -16 -23


R2Ø-1ÅÅÅÅ9 R2

ikjjjjjjjjj1 2 -2 3

0 1 - 8ÅÅÅÅ9 0

0 18 -16 -23

y{zzzzzzzzz Øøøøøøøøøøøøø

R1ØR1-2 R2

R3ØR3-18 R2


0 1 - 8ÅÅÅÅ9 0

0 0 0 -23

y{zzzzzzzzzz Øøøøøøøøøø

R3Ø-1ÅÅÅÅÅÅÅ23 R3


0 1 - 8ÅÅÅÅ9 0

0 0 0 1

y{zzzzzzzzzz

Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua.

ü Tehtävä 2.12

looomnooo

x1 +x2 -x3 = 74 x1 -x2 +5 x3 = 46 x1 +x2 +3 x3 = 18

Ratkaisu:

ikjjjjjjj1 1 -1 74 -1 5 46 1 3 18


R2ØR2-4 R1

R3ØR3-6 R1ikjjjjjjj1 1 -1 70 -5 9 -240 -5 9 -24


R2Ø-1ÅÅÅÅ5 R2

ikjjjjjjjjj1 1 -1 7

0 1 - 9ÅÅÅÅ524ÅÅÅÅÅÅÅ5

0 -5 9 -24

y{zzzzzzzzz Øøøøøøøøøøø

R1ØR1-R2

R3ØR3+5 R5

ikjjjjjjjjjj1 0 4ÅÅÅÅ5

11ÅÅÅÅÅÅÅ5


0 0 0 0

y{zzzzzzzzzz

Äärettömän monta ratkaisua, esim. jos valitaan x3 mielivaltaisesti, niin ratkaisu voidaanesittää muodossa H 11ÅÅÅÅÅÅÅ5 - 4ÅÅÅÅ5 x3,

24ÅÅÅÅÅÅÅ5 + 9ÅÅÅÅ5 x3, x3L.ü Tehtävä 2.13

looomnooo

2 x2 +5 x3 = 6x1 -2 x3 = 4

2 x1 +4 x2 = -2

Ratkaisu:

26 MAA12teksti.nb

ikjjjjjjj0 2 5 61 0 -2 42 4 0 -2


R1¨R2

R3Ø1ÅÅÅÅ2 R3

ikjjjjjjj1 0 -2 40 2 5 61 2 0 -1


R2Ø1ÅÅÅÅ2 R2

R3ØR3-R1

ikjjjjjjjjj1 0 -2 4

0 1 5ÅÅÅÅ2 3

0 2 2 -5


R3ØR3-2 R2

ikjjjjjjjjj1 0 -2 4

0 1 5ÅÅÅÅ2 3

0 0 -3 -11

y{zzzzzzzzz

ØøøøøøøøøøR3Ø-

1ÅÅÅÅ3 R3

ikjjjjjjjjjj1 0 -2 4

0 1 5ÅÅÅÅ2 3

0 0 1 11ÅÅÅÅÅÅÅ3

y{zzzzzzzzzz Øøøøøøøøøøøø

R1ØR1+2 R3


i

kjjjjjjjjjjjj1 0 0 34ÅÅÅÅÅÅÅ3

0 1 0 - 37ÅÅÅÅÅÅÅ6

0 0 1 11ÅÅÅÅÅÅÅ3

y

{zzzzzzzzzzzz

Seuraavissa tehtävissä sovella Gauss-Jordan -menetelmää samaan tapaan kuin 3µ4 -matriisienkin tapauksessa.

ü Tehtävä 2.14

: x1 +2 x2 -x3 = 43 x1 +4 x2 -2 x3 = 7

Ratkaisu:

J1 2 -1 43 4 -2 7

N ØøøøøøøøøøøR2ØR2-3 R1

J1 2 -1 40 -2 1 -5

N ØøøøøøøøøøR2Ø-

1ÅÅÅÅ2 R2

ikjjjj1 2 -1 4

0 1 - 1ÅÅÅÅ25ÅÅÅÅ2

y{zzzz Øøøøøøøøøøø

R1ØR1-2 R2 ikjjjj1 0 0 -1


y{zzzz

Ratkaisuja on äärettömän monta. Tulos voidaan esittää seuraavassa muodossa: H-1, 5ÅÅÅÅ2 + 1ÅÅÅÅ2 x3, x3L.ü Tehtävä 2.15

: x1 +2 x2 -x3 +x4 = 73 x1 +6 x2 -3 x3 +3 x4 = 21

Ratkaisu:

J1 2 -1 1 73 6 -3 3 21

N ØøøøøøøøøøøR2ØR2-3 R1

J1 2 -1 1 70 0 0 0 0

NRatkaisuja on äärettömän monta. Tulos voidaan esittää muo-dossa:H7- 2 x2 + x3 - x4, x2, x3, x4L.

ü Tehtävä 2.16

looomnooo

2 x1 +6 x2 -4 x3 +2 x4 = 4x1 -x3 +x4 = 5

-3 x1 +2 x2 -2 x3 = -2

MAA12teksti.nb 27

Ratkaisu:

ikjjjjjjj

2 6 -4 2 41 0 -1 1 5-3 2 -2 0 -2

y{zzzzzzz Øøøøøø

R1¨R2

ikjjjjjjj

1 0 -1 1 52 6 -4 2 4-3 2 -2 0 -2


R2Ø1ÅÅÅÅ2 R2

ikjjjjjjj

1 0 -1 1 51 3 -2 1 2-3 2 -2 0 -2


R2ØR2-R1

R3ØR3+3 R1ikjjjjjjj1 0 -1 1 50 3 -1 0 -30 2 -5 3 13


R2Ø1ÅÅÅÅ3 R2

ikjjjjjjjjj1 0 -1 1 5

0 1 - 1ÅÅÅÅ3 0 -1

0 2 -5 3 13


R3ØR3-2 R2

ikjjjjjjjjjj1 0 -1 1 5

0 1 - 1ÅÅÅÅ3 0 -1

0 0 - 13ÅÅÅÅÅÅÅ3 3 15

y{zzzzzzzzzz Øøøøøøøøøø

R3Ø-3ÅÅÅÅÅÅÅ13 R3

ikjjjjjjjjjj1 0 -1 1 5

0 1 - 1ÅÅÅÅ3 0 -1

0 0 1 - 9ÅÅÅÅÅÅÅ13 - 45ÅÅÅÅÅÅÅ13

y{zzzzzzzzzz Øøøøøøøøøøøø

R1ØR1+R3


i

kjjjjjjjjjjjj1 0 0 4ÅÅÅÅÅÅÅ13

20ÅÅÅÅÅÅÅ13



y

{zzzzzzzzzzzz

Ratkaisuja on äärettömän monta. Tulos voidaan esittää muo-dossa:H 20ÅÅÅÅÅÅÅ13 - 4ÅÅÅÅÅÅÅ13 x4, - 28ÅÅÅÅÅÅÅ13 + 3ÅÅÅÅÅÅÅ13 x4, - 45ÅÅÅÅÅÅÅ13 + 9ÅÅÅÅÅÅÅ13 x4, x4L.

ü Tehtävä 2.17

loooooomnoooooo

x1 -2 x2 +x3 +x4 = 23 x1 +2 x3 -2 x4 = -8

4 x2 -x3 -x4 = 1-x1 +6 x2 -2 x3 = 7

Ratkaisu:

28 MAA12teksti.nb

i

k

jjjjjjjjjjjj1 -2 1 1 23 0 2 -2 -80 4 -1 -1 1-1 6 -2 0 7

y

{

zzzzzzzzzzzz Øøøøøøøøøøø

R2ØR2-3 R1

R4ØR4+R1

i

k

jjjjjjjjjjjj1 -2 1 1 20 6 -1 -5 -140 4 -1 -1 10 4 -1 1 9

y

{

zzzzzzzzzzzz ØøøøøøøøR2Ø

1ÅÅÅÅ6 R2

i

k

jjjjjjjjjjjjjj

1 -2 1 1 2

0 1 - 1ÅÅÅÅ6 - 5ÅÅÅÅ6 - 7ÅÅÅÅ3

0 4 -1 -1 10 4 -1 1 9

y

{

zzzzzzzzzzzzzzØøøøøøøøøøø

R1ØR1+2 R2

R3ØR3-4 R2

R4ØR4-4 R2

i

k

jjjjjjjjjjjjjjjjjjj

1 0 2ÅÅÅÅ3 - 2ÅÅÅÅ3 - 8ÅÅÅÅ3



31ÅÅÅÅÅÅÅ3


55ÅÅÅÅÅÅÅ3

y

{

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzØøøøøøøøø

R3Ø-3 R3

R4Ø-3 R4

i

k

jjjjjjjjjjjjjjjj

1 0 2ÅÅÅÅ3 - 2ÅÅÅÅ3 - 8ÅÅÅÅ3


0 0 1 -7 -310 0 1 -13 -55

y

{

zzzzzzzzzzzzzzzzØøøøøøøøøøøø



R4ØR4-R3

i

k

jjjjjjjjjjjjjj

1 0 0 4 18

0 1 0 -2 - 15ÅÅÅÅÅÅÅ2

0 0 1 -7 -310 0 0 -6 -24

y

{

zzzzzzzzzzzzzz Øøøøøøøøøø

R4Ø-1ÅÅÅÅ6 R4

i

k

jjjjjjjjjjjjjj

1 0 0 4 18

0 1 0 -2 - 15ÅÅÅÅÅÅÅ2

0 0 1 -7 -310 0 0 1 4

y

{

zzzzzzzzzzzzzzØøøøøøøøøøø

R1ØR1-4 R4

R2ØR2+2 R4

R3ØR3+7 R4

i

k

jjjjjjjjjjjjjj

1 0 0 0 2

0 1 0 0 1ÅÅÅÅ2

0 0 1 0 -30 0 0 1 4

y

{

zzzzzzzzzzzzzzü Tehtävä 2.18

loooooomnoooooo

x1 -2 x2 +x3 +x4 = 23 x1 +2 x3 -2 x4 = -8

4 x2 -x3 -x4 = 15 x1 +3 x3 -x4 = -3

Ratkaisu:

MAA12teksti.nb 29

i

k

jjjjjjjjjjjj1 -2 1 1 23 0 2 -2 -80 4 -1 -1 15 0 3 -1 -3

y

{

zzzzzzzzzzzz Øøøøøøøøøøø

R2ØR2-3 R1

R3Ø1ÅÅÅÅ4 R3

R4ØR4-5 R1

i

k

jjjjjjjjjjjjjj

1 -2 1 1 20 6 -1 -5 -14

0 1 - 1ÅÅÅÅ4 - 1ÅÅÅÅ41ÅÅÅÅ4

0 10 -2 -6 -13

y

{

zzzzzzzzzzzzzz Øøøøøø

R2¨R3

i

k

jjjjjjjjjjjjjj

1 -2 1 1 2


0 6 -1 -5 -140 10 -2 -6 -13

y

{

zzzzzzzzzzzzzzØøøøøøøøøøøøø

R1ØR1+2 R2

R3ØR3-6 R2

R4ØR4-10 R2

i

k

jjjjjjjjjjjjjjjjjjj

1 0 1ÅÅÅÅ21ÅÅÅÅ2

5ÅÅÅÅ2


0 0 1ÅÅÅÅ2 - 7ÅÅÅÅ2 - 31ÅÅÅÅÅÅÅ2

0 0 1ÅÅÅÅ2 - 7ÅÅÅÅ2 - 31ÅÅÅÅÅÅÅ2

y

{

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzØøøøøøø

R3Ø2 R3

R4Ø2 R4

i

k

jjjjjjjjjjjjjjjj

1 0 1ÅÅÅÅ21ÅÅÅÅ2

5ÅÅÅÅ2


0 0 1 -7 -310 0 1 -7 -31

y

{

zzzzzzzzzzzzzzzzØøøøøøøøøøøø



R4ØR4+3 R3

i

k

jjjjjjjjjjjjjj

1 0 0 4 18

0 1 0 -2 - 15ÅÅÅÅÅÅÅ2

0 0 1 -7 -310 0 0 0 0

y

{

zzzzzzzzzzzzzzRatkaisuja on äärettömän monta. Tulos voidaan esittää muo-dossa:H18- 4 x4, - 15ÅÅÅÅÅÅÅ2 + 2 x4, -31+ 7 x4, x4L.

ü Tehtävä 2.19

Näytä, että yhtälöryhmällä looomnooo

2 x1 -x2 +3 x3 = a3 x1 +x2 -5 x3 = b-5 x1 -5 x2 +21 x3 = c

on ratkaisu vain kun

c = 2 a- 3 b.

Ratkaisu:

ikjjjjjjj

2 -1 3 a3 1 -5 b-5 -5 21 c


R1Ø1ÅÅÅÅ2 R1

ikjjjjjjjjj

1 - 1ÅÅÅÅ23ÅÅÅÅ2

aÅÅÅÅ2

3 1 -5 b-5 -5 21 c


R2ØR2-3 R1

R3ØR3+5 R1

i

kjjjjjjjjjjjj1 - 1ÅÅÅÅ2

3ÅÅÅÅ2aÅÅÅÅ2

0 5ÅÅÅÅ2 - 19ÅÅÅÅÅÅÅ22 b-3 aÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2

0 - 15ÅÅÅÅÅÅÅ257ÅÅÅÅÅÅÅ2

5 a+2 cÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2

y

{zzzzzzzzzzzz Øøøøøøøø

R2Ø2ÅÅÅÅ5 R2

R3Ø2 R3

ikjjjjjjjjjj1 - 1ÅÅÅÅ2

3ÅÅÅÅ2aÅÅÅÅ2

0 1 - 19ÅÅÅÅÅÅÅ52 b-3 aÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5

0 -15 57 5 a+ 2 c

y{zzzzzzzzzz Øøøøøøøøøøøøø


R3ØR3+15 R2

ikjjjjjjjjjj1 0 - 2ÅÅÅÅ5

a+bÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5

0 1 - 19ÅÅÅÅÅÅÅ52 b-3 aÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5

0 0 0 -4 a+ 6 b+ 2 c

y{zzzzzzzzzz

Yhtälöryhmällä on ratkaisu (itse asiassa äärettömän monta ratkaisua) vain, jos-4 a+ 6 b+ 2 c = 0 ñ c = 2 a- 3 b.

30 MAA12teksti.nb

à 2.4 Determinantit

Olkoon A = Ja11 a12

a21 a22N. Luvussa 2.1 määriteltiin yhtälöparin (kerroinmatriisi A:n)

determinantiksi

(7)det A = a11 a22 − a12 a21

Matriisien yhteydessä (tai käytettäessä matriiseja yhtälöryhmien ratkaisemiseen) puhutaanmatriisien determinanteista. Jos puhutaan yhtälöryhmän determinantista tarkoitetaan sen kerroinmatri-isin determinanttia.Yleensä käytetään seuraavia merkintöjä (2µ2 -kerroinmatriisi A):

(8)det A=|A|= À a11 a12a21 a22

À=a11 a22 − a12 a21

Luvussa 2.1 nähtiin myös, että yhtälöparilla on yksikäsitteinen ratkaisu, jos yhtälöparin kerroinmatriisin determinantti on nollasta eroava eli detA ∫ 0. Voidaan osoittaa, että vastaava tulos pätee myös suuremmille yhtälöryhmille. Tällä kurssilla tyydytään määrit-telemään 3µ3-matriisin determinantti, sekä harjoittelemaan sen laskemista sekä sovelta-mista kolmen yhtälön ja muuttujan yhtälöryhmiin.

Olkoon A =

ikjjjjjjja11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

y{zzzzzzz. Tällöin

(9)

det A = » A » =

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ=

a11 À a22 a23a32 a33

À −a12 À a21 a23a31 a33

À +a13 À a21 a22a31 a32

À

ü Esimerkki 2.5ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ2 3 45 6 78 9 1

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ=

2 À 6 79 1

À -3 À 5 78 1

À +4 À 5 68 9

À = 2 H6 ÿ1- 7 ÿ9L - 3 H5 ÿ1- 7 ÿ8L + 4 H5 ÿ9- 6 ÿ8L = 27

ü Tehtävä 2.20

Laske tehtävien 2.10, 2.11 ja 2.13 yhtälöryhmien kerroinmatriisien determinantit jahuomaa ratkaisujen lukumäärän ja determinantin arvon välinen yhteys. Determinanttienarvot voit tarkastaa Mathematica -ohjelmalla komennolla Det[]. Esimerkiksi edeltävänesimerkin determinantti:

MAA12teksti.nb 31

Det Ai

k

jjjjjjjj

2 3 4

5 6 7

8 9 1

y

{

zzzzzzzzE

27

ü Sivuhuomautus

Vektoritulo aµ b määritellään aµ b =

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

i j kax ay az

bx by bz

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ3µ3 -determinantti on fysiikan harrastajillekin todella tärkeä kapistus: paitsi vektoritulo, joka esiintyy esimer-kiksi pyörivän koordinaatiston sovelluksissa, niin myös vaikkapa vektorifunktion roottori,

joka esiintyy mm. sähköopissa (Maxwellin III yhtälön differentiaalimuoto “Ø

µEØ

= - ∑BØ

ÅÅÅÅÅÅÅÅ∑t ).

3. Mathematica -ohjelman käytöstä

Monien edelläolevien esimerkkien ja tehtävien ohessa on mainittu Mathematica -ohjelma. Sillä on kirjoitettu myös tämä kurssimoniste. Mathematica onkin mainio väline paitsi vaativaan laskentaan, niin myös perustason asioiden havainnollistamiseen ja matemaat-tisen tekstin tuottamiseen.

Tässä yhteydessä ei ole tarkoitus antaa kattavaa ohjausta ohjelman käyttöön, vaan tarjota edellytykset itseohjautuvaan työskentelyyn ohjelman parissa. Ohjelma on erittäin hyvin dokumentoitu, Help -toiminto tarjoaa paitsi komentojen kuvaukset, niin myös toimivat esimerkit. Lisäksi esimerkiksi Help -toiminnon kautta pääsee lukemaan Mathematica käsikirjaa. Mikäli ongelmat eivät ratkea tätäkään kautta, voi turvautua Wolfram Researchin verkkosivustoon, josta löytyy myös runsas valikoima linkkejä toteutettuihin Mathematica -julkaisuihin.

à 3.1 Alkuverryttelyä

è Avattuasi Mathematica -ohjelman näet edessäsi useita ikkunoita. Tärkein eli se, jotakäytät toimintaasi, sisältää eniten valkoista. Klikkaa kyseinen ikkuna aktiiviseksi hiirellä.

è Kirjoita jokin yksinkertainen laskutoimitus (tyyliin 2*2+ 3) ja paina Shift Return (samakuin Shift Enter). Saattaa ihmetyttää, että mikä moisen laskun laskemisessa niin kauankestää, mutta se johtuu siitä, että ohjelman laskentaydin käynnistyy vasta ensimmäisensuoritettavan laskutoimituksen myötä. Ohjelmassa on siis tavallaan erillinen käyttöliit-tymä, jonka kautta käytetään laskentaydintä, kun tarve vaatii.

è Kirjoittele ja kokeile vielä muutamia laskutoimituksia tuntuman saamiseksi.

32 MAA12teksti.nb

è Mathematica -komennot alkavat aina isoilla kirjaimilla. Komentoa seuraavat hakasulkeet[ ], joiden sisään kirjoitetaan komennon parametrit ja optiot. Parametreja ja optioita voiolla paljon, joten niiden opettelussa ei ole tolkkua, jos ohjelmaa käyttää harvakseltaan.Kirjoita seuraavaksi komento Plot[x^2,{x,-5,5}] ja paina Shift Return. Kirjoita sama komento vielä pari kertaa uudestaan siten, että vaihtelet aalto-sulkujen sisällä olevia lukuarvoja.

è Valitse nyt yläpalkista Help ja edelleen Help Browser. Kirjoita Plot ja paina Return. Lueohjeen pari ensimmäistä riviä ja yritä piirtää samaan kuvaan funktiot x2 ja x3 välillä [-6,6].

à 3.2 Da Capo

è Käy moniste uudelleen läpi ja kokeile löytämiäsi Mathematica käskyjä. Tutki myös optio-

iden toimintaa. Esimerkiksi Plot -komennon yhteydessä ne muuttavat kuvan esitystapaajne. Käytä Help -toimintoa käskyjen ja optioiden merkityksen selvittämiseen. Tämänjälkeen tiedät suurinpiirtein, mitä tekevät komennot Plot, Log, Expand, Table, Interpolat-ingPolynomial, Show, ListPlot, Clear, D, NSolve, Series.

è Aivan monisteen alussa mainittiin pienimmän neliösumman käyränsovitus. Mathematic-assa työn hoitaa komento Fit. Selvitä komennon toiminta ja etsi sen avulla luvun 1.tehtävän 5 tapauksessa se paraabeli, joka minimoi neliösumman. Laske sitten saamasiparaabelin yhtälön avulla approksimaatio funktion arvolle pisteissä 2.8 ja 3.4. Vertaaarvoja tehtävässä 5. saatuihin. Piirrä kuvat Mathematicalla.

è Matriisin voit muodostaa joko listamuodossa, esim. 881, 2, 3<, 84, 5, 6<, 87, 8, 9<< tai valitsemalla valikoista tai paletista matriisin. Matriisiin voit lisätä rivejä ja sarakkeita Ctrl Return ja Ctrl , -näppäinyhdistelmillä. Listamuo-don saa muutettua matriisin näköiseksi kirjoittamalla listan perään //MatrixForm. Gauss-Jordan -eliminaation voit suorittaa Row-Reduce -käskyllä. Kerroinmatriisin (jos neliömatriisi) determinantin laskee komento Det. Selvitä komentojen toiminta ja sovella luvun 2. tehtäviin.

à 3.3 Harjoituksia

è Voit määritellä funktioita myös itse. Kokeile seuraavaa funktiota:

tuplaa @x_D : = 2 x

Paina Shift Return määrittelyn perään. Kutsu funktiotasi ensin numeroarvoilla (tuplaa[2])ja sitten symbolisilla arvoilla (tuplaa[2x]). Kaikki tämä toimii, koska Mathematica pyrkiilaskemaan symbolisilla arvoilla. Näin laskennan tarkkuus säilyy. Jos saat vastauksensymbolisessa muodossa, esim

è!!!2 , saat sille likiarvon kirjoittamalla NAè!!!

2 E. Funktiossa

voi esiintyä myös muita muuttujia, joille voidaan antaa arvo ennen funktion kutsumista.

è Muodosta funktio, joka laskee yleisen toisen asteen polynomifunktion arvon kohdassa x.

MAA12teksti.nb 33

è Suunnittele ja toteuta jokin yhdistetty funktio, jossa hyödynnät jotakin Mathematicanvalmisfunktiota.

è Edellä olet käyttänyt sujuvasti merkkejä = , ã ja :=. Selvitä, miten ne eroavat toisis-taan. Keksi esimerkit.

è Mathematica sisältää ohjelmointikielen, jonka ansiosta sen ominaisuuksien laajentaminenerilaisilla komentopaketeilla on helppoa. Menemättä sen syvemmälle ohjelmointiin,kokeile muiden ohjelmointikielten vastaavia käskyjä muistuttavia komentoja If, Do, For jaWhile. Käytä jompaa kumpaa muodostaaksesi talukon, joka koostuu sadasta erilukuparista.

à 3.4 Matemaattisen tekstin kirjoittaminen

Esitetään lyhyesti ohjeet, kuinka pääset alkuun kirjoittamisessa. Valitse yläpalkista Formatja Show Toolbar. Työskentelyikkunasi yläreunaan ilmaantuu palkki, jossa on mm. tallen-nus- ja tulostusnäppäimet. Vasemmassa reunassa on alasvetovalikko, jonka kenttä ilmoit-taa käytössä olevan tyylin. Valikosta voit valita esimerkiksi otsikkotyylin (Title), pääkap-paletyylin (SectionFirst), leipätekstin (Text) jne. Se millaisia tyylejä valikko sisältääriippuu siitä, millainen tyylisivu on käytössä. Mathematica -ohjelma sisältää useita valmi-ita tyylisivuja. Niitä voit vaihdella kokeen vuoksi yläpalkin Format -valikon kohdastaStyle Sheet. Kaikkia tyylisivun tyylien ominaisuuksia voi muokata, mutta koska ominais-uuksia on todella paljon, kannattaa ainakin aluksi tyytyä valmiisiin tyyleihin. Tyylien jatyylisivujen asetuksia pääsee tarkastelemaan ja muuttelemaan Format -valikon kohdastaOption Inspector.

34 MAA12teksti.nb

4. Kompleksiluvut

à 4.1 Johdanto

Termillä kompleksiluku tarkoitetaan muotoa a+ ib olevaa kokonaisuutta, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja i on luku, jolla on ominaisuus i2 = -1. Yleensä kompleksilukujen katsotaan esiintyneen ensimmäisen kerran Girolamo Cardanon teoksessa Ars Magna vuonna 1545. Cardano itse piti esittämiään kompleksilukuja tarpeettomina. Ensimmäiset varsinaiset laskelmat kompleksiluvuilla suoritti Rafael Bombelli teoksessaan L'Algebra vuonna 1572. Vasta vuonna 1702 Leibniz esitteli i:n, luvun -1 neliöjuuren pitäen sitä kuitenkin jonakin outona todellisen ja epätodellisen välillä olevana. Tuona aikana kompleksiluvuista puhut-tiin muutenkin mahdottomina (impossible) tai kuvitteellisina (imaginary). Tämä näkyy vieläkin termissä imaginaariluku, jolla tarkoitetaan imaginaariyksikön Â reaalista moniker-taa (bi, b œ Ñ). Asian epämääräisyyttä 1700-luvulla kuvaa hyvin se, että jopa suuri matemaatikko Leonhard Euler väitti vuonna 1770 virheellisesti, että

è!!!!!!!-2

è!!!!!!!-3 =

è!!!6 .

(Oikeastihan ajattelu menee vaikkapa näin: è!!!!!!!-2

è!!!!!!!-3 =

è!!!!!!!2 i2

è!!!!!!!3 i2 =

è!!!6 i2 = -

è!!!6 .)

Tyydyttävä selitys sille, mitä kompleksiluvut ovat saatiin vasta 1700-luvun lopussa, noin 250 vuotta käsitteen ensiesiintymisensä jälkeen. Wessel, Argand ja Gauss havaitsivat toisistaan riippumatta samoihin aikoihin, että kompleksiluvut voitiin konkreettisesti ymmärtää tason pisteinä tai vektoreina. Kompleksilukujen joukko Â samaistettiin tason Ñ2 kanssa. Tästä johtuu nimitys kompleksitaso. Tämän geometrisen tulkinnan löytymisen jälkeen kompleksiluvuilla laskemisen teoria kehittyi nopeasti. Tärkeimpiä 1800-luvun kompleksianalyysin kehittäjiä olivat mm. Cauchy, Abel, Weierstrass ja Riemann.

Kompleksiluvuista tai laajemmin kompleksianalyysista ja funktioteoriasta puhuttaessa onsyytä mainita ainoa suomalainen Fieldsin mitalin saaja Lars V. Ahlfors (1907-1996).Ahlforsin kirjoittama kompleksianalyysin kirja on edelleen paljon käytetty ja arvostettualan perusteos.

à 4.2 Algebrallinen näkökulma

Perinteinen oppikirjanäkemys kompleksilukuihin on algebrallinen. Kompleksilukuja käsitellään vektoreina ja kompleksilukujen laskutoimitukset samaistetaan vektorien vas-taaviin laskutoimituksiin. Käydään muutamia ominaisuuksia lyhyesti läpi.

ü 4.2.1 Kompleksilukujen joukko

Kompleksilukujen joukko Â samaistetaan tasoon Ñ2 = ÑµÑ.Tällöin kompleksiluku z voidaan esittää järjestettynä lukuparina eli tason pisteenä Hx, yL,missä x, y œ Ñ.Samaistetaan reaaliluku x kompleksilukuun Hx, 0L.

MAA12teksti.nb 35

ü 4.2.2 Laskutoimitukset

Määritellään kompleksilukujen joukossa yhteenlasku + :ÂµÂ Ø Â ja kertolasku ÿ : ÂµÂ Ø Â asettamalla kaikille z1 = Hx1, y1L œ Â ja z2 = Hx2, y2L œ Â

z1 + z2 = Hx1 + x2, y1 + y2Lz1 ÿ z2 = Hx1 x2 - y1 y2, x1 y2 + x2 y1L

ü 4.2.3 Merkintä

Kompleksilukua H0, 1L sanotaan imaginaariyksiköksi ja merkitään symbolilla i.Jos z= Hx, yL œ Â , niin määritelmien nojallaz= Hx, 0L + H0, yL = Hx, 0L + Hy, 0L ÿ H0, 1L = x+ y i.Viimeistä esitysmuotoa kutsutaan kompleksiluvun vektoriesitykseksi.

Huomautus: i2 = H0, 1L H0, 1L =4.2 .2 H-1, 0L, siis

è!!!!!!!!!!!!!!H-1, 0L = i . Vektoriesityksenä i2 = -1 jaè!!!!!!!-1 = i .

ü 4.2.4 Määritelmiä

Olkoon z= x+ y i œ Â , missä x, y œ Ñ. Määritellään kompleksiluvun zliittoluku zê asettamalla zê = x- y i œ Â

itseisarvo » z » asettamalla » z » = è!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 œ Ñ

reaaliosa ReHzL asettamalla ReHzL = x œ Ñ

imaginaariosa ImHzL = y œ Ñ

ü Tehtävä 4.1

Näytä, että a) z1 + z2

êêêêêêêêêê= z1

êêê + z2êêê

b) z1 z2êêêêêêê = z1

êêê ÿ z2êêê

c) z= z

Ratkaisu:

a) z1 + z2êêêêêêêêêê

=4.2 .3 Hx1 + y1 iL + Hx2 + y2 iLêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê

=

Hx1 + x2L + Hy1 + y2L iêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê=

4.2 .4 Hx1 + x2L - Hy1 + y2L i = Hx1 - y1 iL + Hx2 - y2 iL =4.2 .4

z1êêê + z2

êêê

b) z1êêê ÿ z2

êêê =4.2 .3

x1 + y1 iêêêêêêêêêêêê

ÿ x2 + y2 iêêêêêêêêêêêê

=4.2 .4 Hx1 - y1 iL Hx2 - y2 iL = x1 x2 - x1 y2 i - y1 x2 i + y1 y2 i2 =

4.2 .3

Hx1 x2 - y1 y2L - Hx1 y2 + y1 x2L i =4.2 .4 Hx1 x2 - y1 y2L + Hx1 y2 + y1 x2L iêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê

=

x1 x2 + x1 y2 i + y1 x2 i + y1 y2 i2êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê

= Hx1 + y1 iL Hx2 + y2 iLêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê=

4.2 .3z1 z2êêêêêêê

c) z =4.2 .3

x+ y i =4.2 .4

x- y i =4.2 .4

x+ y i =4.2 .3

z

36 MAA12teksti.nb

ü Tehtävä 4.2

Näytä, ettäa) ReHzL = 1ÅÅÅÅ2 Hz+ zêLb) ImHzL = 1ÅÅÅÅÅÅÅ2 i Hz- zêLc) zzê = » z »2Ratkaisu:

a) 1ÅÅÅÅ2 Hz+ zêL =

4.2 .34.2 .4 1ÅÅÅÅ2 Hx+ i y + x- i yL = x =

4.2 .4ReHzL

b) 1ÅÅÅÅÅÅÅ2 i Hz- zêL =

4.2 .34.2 .4 1ÅÅÅÅ2 Hx+ i y - x+ i yL = y =

4.2 .4ImHzL

c) zzê =

4.2 .34.2 .4 Hx+ y iL Hx- y iL = x2 - Hy iL2 =

4.2 .3x2 + y2 = Iè!!!!!!!!!!!!!!

x2 + y2 M2=

4.2 .4 » z »2ü 4.2.5 Napakulma

Olkoon zœ Â \ 80<. Sanotaan, että qœÑ on z:n napakulma, jos cosq = xÅÅÅÅÅÅ»z» ja sinq =yÅÅÅÅÅÅ»z» ,

missä x = ReHzL ja y = ImHzL.Huomautus: napakulma q ei ole yksikäsitteinen johtuen funktioiden sin ja cos jaksollisuud-esta. Kuitenkin välillä @0, 2 p@ tai yleisemmin @a, a+ 2 p@, a œ Ñ kulma on yksikäsit-teinen.

ü 4.2.6 Napakulmaesitys

Jokainen kompleksiluku zœ Â \ 80< voidaan esittää napakoordinaattimuodossa

z= rHcosq + i sinqL,missä q on jokin z:n napakulma ja r = » z ».Kääntäen, jos r > 0, q œ Ñ ja merkitään z= rHcosq + i sinqL, niin » z » = r .

ü Tehtävä 4.3

Näytä, että kohdan 4.2.6 väite pätee.

Ratkaisu:

rHcosq + i sinqL =4.2 .5

» z » I xÅÅÅÅÅÅ»z» + i yÅÅÅÅÅÅ»z» M = x+ i y =

4.2 .3z

Kääntäen » z » = "#########################################Hr cosqL2 + Hr sinq iL2 ="##################################

r2Hcos2 q + sin2 qL = r

MAA12teksti.nb 37

ü 4.2.7 Tulo napakoordinaattiesityksessä

Olkoon z1, z2 œ Â \ 80< ja r i ja qi niiden parametrit napakoordinaattiesityksessä. Tällöinz1 z2 = r1 r2HcosHq1 + q2L + i sinHq1 + q2LL.

ü Tehtävä 4.4

Näytä, että kohdan 4.2.7 kaava pätee.

Ratkaisu:

z1 z2 = @r1Hcosq1 + i sinq1LD@r2Hcosq2 + i sinq2LD =r1 r2Hcosq1 cosq2 - sinq1 sinq2L + iHcosq1 sinq2 + sinq1 cosq2L =

H*Lr1 r2HcosHq1 + q2L + i sinHq1 + q2LLH*L sinin ja kosinin yhteenlaskukaavat

ü Tehtävä 4.5

Esitä napakoordinaattimuodossa:

a) 1+ i b) 2 c) 1-è!!!

3 i

Ratkaisu:

a) è!!!

2 Hcos pÅÅÅÅ4 + i sin pÅÅÅÅ4 L b) 2 Hcos0+ i sin0L c) 2 Hcos pÅÅÅÅ3 + i sin pÅÅÅÅ3 Là 4.3 Geometrinen näkökulma

Kompleksiluvut tason vektoreina (tai pisteinä) saavat uuden merkityksen, kun pohditaan laskutoimituksien geometrisia seurauksia. Ensin on kuitenkin hyvä piirtää kuva siitä, miltä edellä esitetyt määritelmät ja merkinnät tarkoittavat tason koordinaatistossa.

38 MAA12teksti.nb

Graphics`Arrow`

v1 = Graphics @Arrow @80, 0 <, 82, 1 <DD;

v2 = Graphics @Arrow @80, 0 <, 82, −1<DD;

vx = Graphics @8Dashing @80.05, 0.05 <D, Line @882, −1<, 82, 1 <<D<D;

vy1 = Graphics @8Dashing @80.05, 0.05 <D, Line @880, 1 <, 82, 1 <<D<D;

vy2 = Graphics @8Dashing @80.05, 0.05 <D, Line @880, −1<, 82, −1<<D<D;

k = Graphics ACircle A80, 0 <, 0.5, 90,Pi��6

=EE;

tk = Graphics @Text @" θ", 80.6, 0.1 <, TextStyle −> FontSize → 12DD;

tp1 = Graphics @Text @" Hx,y L", 82.2, 1 <, TextStyle −> FontSize → 12DD;

tp2 =

Graphics @Text @" Hx, −yL", 82.2, −1<, TextStyle −> FontSize → 12DD;

z = Graphics @Text @" z=x+yi", 81.3, 0.5 <,

TextStyle −> FontSize → 12DD;

zl = Graphics AText A" z¯=x−yi", 81.3, −0.5 <,

TextStyle −> FontSize → 12EE;

Show@8v1, v2, vx, vy1, vy2, k, tk, tp1, tp2, z, zl <,

Axes → True, PlotRange → 880, 2.2 <, 8−1.1, 1.1 <<,

AxesLabel → 8Re, Im <, AspectRatio → Automatic D;

Clear @v1, v2, vx, vy1, vy2, k, tk, tp1, tp2, z, zl D;

0.5 1 1.5 2Re

-1

-0.5

0.5

1

Im

θ

Hx,yL

Hx,−yL

z=x+yi

z̄=x−yi

ü 4.3.1 Terminologiaa

Kompleksiluvun z itseisarvoa » z » kutsutaan myös moduliksi.

Napakoordinaattiesityksen napakulmaa kutsutaan myös argumentiksi, merkitäänq = Arg HzL.

MAA12teksti.nb 39

ü Tehtävä 4.6

Mieti kuvan avulla, miksi seuraavat yhtäsuuruudet pätevät:

a) ReHzL = 1ÅÅÅÅ2 Hz+ zL b) ImHzL = 1ÅÅÅÅÅÅÅ2 i Hz- zL c) » z » = è!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2

d) tan@Arg HzLD = ImHzLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅReHzL

ü 4.3.2 Kompleksilukujen summan ja tulon geometrinen merkitys

OO= 80, 0 <; A = 82, 1 <; B = 81, 3 <;

a = Graphics @Arrow @OO, ADD; b = Graphics @Arrow @OO, BDD;

c = Graphics @Arrow @OO, A+ BDD;

ac = Graphics @8Dashing @80.05, 0.05 <D, Line @8A, A + B<D<D;

bc = Graphics @8Dashing @80.05, 0.05 <D, Line @8B, A + B<D<D;

ta = Graphics @Text @"z 1", 81, 0.3 <, TextStyle −> FontSize → 12DD;

tb = Graphics @Text @"z 2", 80.4, 2 <, TextStyle −> FontSize → 12DD;

tc = Graphics @Text @"z 1+z2", 81.6, 1.5 <, TextStyle −> FontSize → 12DD;

Show@8a, b, c, ac, bc, ta, tb, tc <, Axes → True,

AxesLabel → 8Re, Im <, AspectRatio → Automatic D;

Clear @a, b, c, ac, bc, ta, tb, tc D;

0.5 1 1.5 2 2.5 3Re

1

2

3

4

Im

z1

z2

z1+z2

ü Tehtävä 4.7

Mieti kuvan avulla, miksi seuraavat yhtäsuuruudet pätevät:

a) zz= » z »2 b) H1+ iL4 = -4 c) H1+ iL13 = -26 H1+ iL

40 MAA12teksti.nb

ü Tehtävä 4.8

Piirrä kuvaajat:

a) » z » = 1 b) » z- z » = 2 c) » 1- z » = 3

Ratkaisu:

a) b) c)

-1 -0.5 0.5 1Re

-1

-0.5

0.5

1Im

-2 -1 1 2Re

-1

-0.5

0.5

1Im

-2 -1 1 2 3 4Re

-3

-2

-1

1

2

3Im

Kuvaaja b) seuraa vaikkapa näin:

» z- z » = » x+ y i - Hx- y iL » = » 2 y i » = "###########H2 yL2 = » 2 y ».ü Tehtävä 4.9

Piirrä ne kompleksitason pisteet, joille

a) z2 + » z » = 0 b) 1 < » z+ i » < 2 c) » z » = » z+ 1 »d) - pÅÅÅÅ4 § ArgHzL § pÅÅÅÅ2 ja » z » ¥ 2

Ratkaisu:

a) z= 0 kelpaa selvästi ratkaisuksi. Tutkitaan, löytyykö muita. Olkoon z∫ 0.

z2 + » z » = 0 ›fl4.2 .6 @rHcosq + i sinqLD2 + r =

0 ñr∫0

rHcosq + i sinqL2 = -1 ›fl4.2 .7

r@cosH2 qL + iHsin2qLD = -1Koska sulkujen sisällä on yksikköympyrän piste ja r œ Ñ+ , voidaan päätellä, ettär = 1 ja cosH2 qL + iHsin2qL = -1. Välillä @0, 2 p@ ratkaisuksi kelpaavat kulmat pÅÅÅÅ2 ja 3 pÅÅÅÅÅÅÅÅ4 .

a) b)

-1 -0.5 0.5 1Re

-1

-0.5

0.5

1Im

-2 -1 1 2Re

-3

-2

-1

1Im

-2 -1 1 2Re

-3

-2

-1

1Im

MAA12teksti.nb 41

c) Jos ei muuten keksi, miten ratkaisujoukon kuvaaja löytyy, voi laskeskella:

» z »2 = » z+ 1 »2 ›fl4.2 cL

z z= Hz+ 1L Hz+ 1L ›fl4.1 aL

z z= Hz+ 1L Iz+ 1M ›fl4.2 .4

z z= Hz+ 1L Hz+ 1L ñ z z= z z+ z+ z+ 1 ñ z+ z= -1 ›fl4.2 aL

2 ReHzL = -1 ñ ReHzL = - 1ÅÅÅÅ2

c)d)

-1-0.75-0.5-0.25 0.250.50.751Re

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1Im

1 2 3 4 5Re

-4

-2

2

4

Im

1 2 3 4 5Re

-4

-2

2

4

Im

à 4.4 Kompleksilukuyhtälöt

Kompleksisia yhtälöitä ratkaistaessa pääsee pitkälle, kun huomaa, että kaksi kompleksi-lukua ovat samoja täsmälleen silloin, kun niiden reaali- ja imaginaariosat ovat samoja.Tämä johtaa useissa tapauksissa yhtälöparin käyttöön.

ü Tehtävä 4.10

Määritä x, y œ Ñ siten, että

a) 2 x+ y i = 6- 2 ib) x+ 9 i = y+ y2 ic) Hx+ 2 iL2 = y i

Ratkaisu:

a) x = 3 ja y = -2 b) 9 x = y

9 = y2 josta 9 x = 3y = 3

tai 9 x = -3y = -3

c) 9 x2 - 4 = 04 x = y

josta 9 x = 2y = 8

tai 9 x = -2y = -8

ü Tehtävä 4.11

Ratkaise yhtälö:

42 MAA12teksti.nb

a) 3 i z = 2- i b) z-3 iÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = i c) i z+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = 1

Ratkaisu:

a) 3 i z = 2- i ñ 3 iHx+ y iL = 2- i ñ 3 x i - 3 y = 2- i , josta saadaan yhtälöpari

9 3 x = -1-3 y = 2

ñloomnoo

x = - 1ÅÅÅÅ3

y = - 2ÅÅÅÅ3

joten yhtälön ratkaisu on z= - 1ÅÅÅÅ3 - 2ÅÅÅÅ3 i . Jos osaa jakaa kompleksi-

luvuilla, niin voi laskea suoraan3 i z = 2- i ñ z= -iL 2ÅÅÅÅÅÅÅ3 i - iÅÅÅÅÅÅÅ3 i = - 1ÅÅÅÅ3 - 2ÅÅÅÅ3 i

b) Suora lasku antaa ratkaisuksi z= 5 i .

c) i z+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = 1 ñ z= -iL 1ÅÅÅÅi = -i

ü Tehtävä 4.12

Ratkaise yhtälöstä z:

a) z- 4 = i z b) 2 i z = H3- iL z+ 1 c) z2 = z2

Ratkaisu:

a) Ei ratkaisua.

b) 2 i z = H3- iL z+ 1 ñ 2 iHx+ y iL =H3- iL Hx- y iL + 1 ñ 2 x i - 2 y = 3 x- 3 y i - x i - y+ 1 ñ 3 x i = 3 x- 3 y i + y+ 1

Saadaan yhtälöpari:: 3 x+ y+ 1 = 03 x = -3 y

ñ : y+ 3 x = -1x = -y

ñ 9 x = - 1ÅÅÅÅ2

y = 1ÅÅÅÅ2

. Siis ratkaisu on

z= - 1ÅÅÅÅ2 + 1ÅÅÅÅ2 i .

c) zœ Ñ tai zœ Â \Ñ.

ü Tehtävä 4.13

Osoita, että

2 » z- 1 » = » z- 4 » ñ » z » = 2

Ratkaisu:

2 » z- 1 » = » z- 4 » ñ 2 » x+ y i - 1 » = À x+ y i - 4 À ñ 2 "########################Hx- 1L2 + y2 =

"########################Hx- 4L2 + y2 ñ x2 + y2 = 4 ñè!!!!!!!!!!!!!!

x2 + y2 = 2 ñ » z » = 2

MAA12teksti.nb 43

à 4.4 Eulerin kaava

Seuraavaksi perustelemme heuristisella tasolla Leonhard Eulerin vuoden 1740 tietämissä löytämän upean ekvivalenssin.

Tarkastellaan kompleksiluvun napakoordinaattiesitystä z= rHcosq + i sinqL. Sulkujen sisällä oleva osa on komp-leksitason origosta yksikköympyrän pisteeseen osoittava yksikkövektori, joka on saman suuntainen kuin komplek-silukua edustava vektori, r on siis vain skaalaus.

Ympyrään liittyy eräs tärkeä ominaisuus: tangentti on aina kohtisuorassa origosta sivua-mispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan. Tässä astuu kuvaan imaginaariyksikön i mielenki-intoinen ominaisuus kompleksilukujen tulossa. Kirjoitetaan tulo i z napakoordinaattimuo-dossa:

Hcos pÅÅÅÅ2 + i sin pÅÅÅÅ2 L ÿ rHcosq + i sinqL = r@cosHq + pÅÅÅÅ2 L + i sinHq + pÅÅÅÅ2 LDHavaitaan, että tulovektori on kohtisuorassa vektoria z vastaan!

Siirrytään sitten hetkeksi fysiikan maailmaan. Kuvitellaan, että kappale liikkuu pitkin jotakin kompleksitason käyrää ja funktio S(t) antaa sen paikkavektorin hetkellä t. Kappa-leen hetkellinen nopeus V(t) on vektori, jonka pituus ja suunta saadaan paikkafunktion S(t) ensimmäisestä aikaderivaatasta. Nopeusvektori on aina liikeradan tangentin suuntainen.

Valitaan SHtL = ei t . Tällöin VHtL = i ei t . Hetkellä t = 0 saadaan SH0L = 1 ja VHtL = i . Joht-uen eksponenttifunktion määrittelevästä ominaisuudesta D ek x = k ek x (k vakio) havaitaan, että nopeusvektori on kaikkina ajan hetkinä kohtisuorassa liikerataan nähden. On siis selvää, että valittu paikkafunktio antaa liikeradaksi kompleksitason yksikköympyrän! Nyt tiedämme, että » SHtL » = 1, joten myös » VHtL » = 1 kaikkina ajan hetkinä t. Siten matkat-tuaan ajan t = q , kappale on liikkunut matkan q pitkin yksikköympyrän piiriä eli paikkavek-torin SHqL =ei q napakulma on q.

Siinähän se kaava onkin!

ei q = cosq + i sinq

ü 4.4.1 Kompleksilukujen tulo uusin merkinnöin

Ensin on hyvä huomata, että z= rHcosq + i sinqL = r ei q .

z1 z2 = Hr1 ei q1L Hr2 ei q2L = r1 r2 eiHq1+q2L

44 MAA12teksti.nb

Kuinka selvää nyt onkaan, että kompleksilukujen tulossa napakulmat lasketaan yhteen ja vektorien pituudet kerrotaan keskenään. Eikä tarvitse muistaa napakoordinaattiesityksen tulokaavaa. Kaikki toimii tavallisilla peruslaskusäännöillä.

ü 4.4.2 Ykkösen kompleksiset juuret

Kompleksilukujen eulerin muotoa käyttämällä on helppoa laskea muotoa zn = z0 olevia yhtälöitä.

z3 = 1 ñ Hr ei qL3= 1 eiÿ0 ñ r3 ei 3 q = 1 eiÿ0

Tästä näemme, että r = 1 ja 3 q = 0. Etsitään ne q œ @0, 2 p@, joille jälkimmäinen yhtälö pätee. Ne ovat 0,2 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 ja 4 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 . Juuret ovat siis e0, eiÿ 2 p

ÅÅÅÅÅÅÅÅ3 ja eiÿ 4 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 . Vektorimuotoon päästään

käyttämällä eulerin kaavaa:

z1 = 1, z2 = cos 2 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 + i sin 2 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 i = - 1ÅÅÅÅ2 + i è!!!!

3ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 ja z3 = cos 4 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 + i sin 4 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 = - 1ÅÅÅÅ2 - i

è!!!!3

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2

ü Tehtävä 4.14

Ratkaise yhtälön z4 = 1 juuret.

ü Tehtävä 4.15

Ratkaise yhtälön z6 = -1 juuret.

ü Huomautus

Kun näitä ykkösen juuria laskeskelee ja miettii, niin havaitsee, että ykkösen n. juuret (eliyhtälön zn = 1 ratkaisut) voidaan esittää kätevästi muodossa

ei k 2 pÅÅÅÅÅÅÅÅn , missä k = 0, …, n- 1. Kokeile!

à 4.5 Toisen asteen yhtälön yleinen ratkaisukaava

Johdetaan reaalikertoimisen toisen asteen yhtälön ratkaisukaava neliöksi täydentämällä: Toisen asteen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa z2 + p z+ q = 0, missä p, q œ Ñ vakio-ita ja zœ Â .

z2 + p z+ q = 0 ñ z2 + 2 z pÅÅÅÅÅ2 + H p

ÅÅÅÅÅ2 L2= H p

ÅÅÅÅÅ2 L2- q ñ Hz+ p

ÅÅÅÅÅ2 L2=

p2

ÅÅÅÅÅÅÅ4 - q ñ … z+ pÅÅÅÅÅ2 … =

$%%%%%%%%%%%%%%p2ÅÅÅÅÅÅÅ4 - q´̈ ¨¨¨̈ ¨̈ ≠ Æ¨¨¨¨̈

=D

ñ z+ pÅÅÅÅÅ2 = ≤

è!!!!D ñ z+ p

ÅÅÅÅÅ2 = ≤è!!!!!!!!-D i ñ z= -

pÅÅÅÅÅ2 ≤ i

è!!!!!!!!-D

Entä, jos vakiokertoimetkin ovat kompleksilukuja? Tällöin voidaan neliöksi täydentämällä johtaa sama tuttu kaava, joka pätee myös reaalikertoimiselle toisen asteen yhtälölle diskrim-inantin ollessa positiivinen tai nolla.Siis jos p, q œ Â vakioita ja zœ Â , niin yhtälön z2 + p z+ q = 0 ratkaisut saadaan kaavasta

z=-p≤

è!!!!!!!!!!!!!!!p2-4 q

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2

MAA12teksti.nb 45

ü 4.5.1 Esimerkki

Ratkaistaan yhtälö z2 + 2 z+ 5 = 0.

D = 22ÅÅÅÅÅÅ4 - 5 = -4

è!!!!!!!!-D =2

Siis z= -1≤ 2 i .

ü Tehtävä 4.16

Tarkasta edellä saadut juuret sijoittamalla ne yhtälön vasemman puolen lausekkeeseen jasieventämällä.

ü 4.5.2 Esimerkki

Ratkaistaan yhtälö z2 +è!!!!!!

32 i z- 6 i = 0.

z=-

è!!!!!!32 i≤$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Iè!!!!!!

32 iM2+4ÿ6 iÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = -

è!!!8 i ≤

è!!!!!!!!!!!!!!!!-8+ 6 i = -

è!!!8 i ≤ H1+ 3 iL = ≤1≤ iI3- 2

è!!!2 M

ü Tehtävä 4.17

Edeltävässä esimerkissä käytettiin tietoa, että è!!!!!!!!!!!!!!!!-8+ 6 i = ≤1≤ 3 i . Täytä puuttuvat

välivaiheet.Vinkki: merkitse Hx+ i yL2 = -8+ 6 i ja ratkaise x ja y.

ü Tehtävä 4.17

Tarkasta esimerkin 4.5.2 juuret sijoittamalla ne yhtälön vasemman puolen lausekkeeseenja sieventämällä.

46 MAA12teksti.nb

Documents

1. FUNKTION APPROKSIMOINTI - Jyväskylän yliopisto · Funktion approksimoinnilla tarkoitetaan funktion arviointia toisella (yksinkertaisemmalla) funktiolla. Syitä tähän ovat: