Upload
lecong
View
334
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
1. Garis dan Lingkaran a. Garis Singgung Titik di Luar Lingkaran
Gambar 11 Titik 𝐿 ℎ, 𝑘 terletak di luar lingkaran dan garis 𝐿𝑆 adalah garis singgung melalui titik 𝐿 ℎ, 𝑘 Panjang garis 𝑃𝐿 adalah 𝑃𝐿 = ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 !
Seperti diketahui garis singgung tegak lurus dengan garis dari pusat 𝑃 𝑎, 𝑏 ke titik singgung 𝑆 𝑡,𝑢 sehingga ∆𝑃𝑆𝐿 siku siku di 𝑆 dan berlaku rumus Phytagoras 𝑃𝐿! = 𝐿𝑆! + 𝑃𝑆!
ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 !!
= 𝐿𝑆! + 𝑟!
ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 ! = 𝐿𝑆! + 𝑟!
ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 ! − 𝑟! = 𝐿𝑆!
ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 ! − 𝑟! = 𝐿𝑆
Panjang garis singgung dari titik 𝐿 ℎ, 𝑘 ke titik singgung 𝑆 𝑡,𝑢 pada lingkaran dengan pusat 𝑃 𝑎, 𝑏 dan jari jari 𝑟 adalah
𝐿𝑆 = ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 ! − 𝑟! 𝐿𝑆! = ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 ! − 𝑟!𝐿𝑆! = ℎ! − 2𝑎ℎ + −𝑎 ! + 𝑘! − 2𝑏𝑘 + −𝑏 ! − 𝑟!
𝐿𝑆! = ℎ! − 2𝑎ℎ + 𝑎! + 𝑘! − 2𝑏𝑘 + 𝑏! − 𝑟!𝐿𝑆! = ℎ! + 𝑘! − 2𝑎ℎ − 2𝑏𝑘 + 𝑎! + 𝑏! − 𝑟!𝐿𝑆! = ℎ! + 𝑘! + −2𝑎 ℎ + −2𝑏 𝑘 + 𝑎! + 𝑏! − 𝑟!
𝐿𝑆 = ℎ! + 𝑘! + 𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶
𝐿𝑆 = ℎ! + 𝑘! + 𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶
Sudut antara garis singgung 𝐿𝑆 dan garis 𝐿𝑃 adalah 𝛼 , maka tan𝛼 = !
!"
Gambar 12
Pada pelajaran tentang garis diketahui gradien suatu garis adalah tangen dari sudut antara garis dan sumbu X atau garis horisontal , maka Gradien garis 𝐿𝑃 adalah 𝑚!" = tan 𝛾 = !!!
!!!= !!!
!!!
Gradien garis singgung 𝐿𝑆 adalah 𝑚!" = tan𝛽 Maka hubungan antara sudut adalah 𝛼 = 𝛽 − 𝛾
Gambar 13 tan𝛼 = tan 𝛽 − 𝛾!!"
= !"#!!!"#!!!!"#! !"#!
𝑟 1+ tan𝛽 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 tan𝛽 − tan 𝛾𝑟 + 𝑟 tan𝛽 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 tan𝛽 − 𝐿𝑆 tan 𝛾𝑟 + 𝐿𝑆 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 tan𝛽 − 𝑟 tan𝛽 tan 𝛾𝑟 + 𝐿𝑆 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 − 𝑟 tan 𝛾 tan𝛽!!!" !"#!!"!! !"#!
= tan𝛽!"!!"!!!"!!!!"
= 𝑚!"
Garis singgung dari suatu titik diluar lingkaran ada dua buah
Gambar 14 Garis singgung yang lain adalah 𝐿𝑆′ Sudut antara garis singgung 𝐿𝑆′ dan garis 𝐿𝑃 adalah 𝛼 = 𝛽 − 𝛾 tan 180! − 𝛼 = !
!"
− tan𝛼 = !!"
tan𝛼 = !!!"
Gambar 15 tan𝛼 = tan 𝛽 − 𝛾!!!"
= !"#!!!"#!!!!"#! !"#!
−𝑟 1+ tan𝛽 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 tan𝛽 − tan 𝛾−𝑟 − 𝑟 tan𝛽 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 tan𝛽 − 𝐿𝑆 tan 𝛾−𝑟 + 𝐿𝑆 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 tan𝛽 + 𝑟 tan𝛽 tan 𝛾−𝑟 + 𝐿𝑆 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 + 𝑟 tan 𝛾 tan𝛽!!!!" !"#!!"!! !"#!
= tan𝛽!" !"#!!!!"!! !"#!
= tan𝛽!"!!"!!!"!!!!"
= 𝑚!"
Jika titik 𝐿 ℎ, 𝑘 terletak di luar lingkaran yang berpusat di 𝑃 𝑎, 𝑏 dan jari jari 𝑟 maka gradien garis singgung dari titik 𝐿 ℎ, 𝑘 pada lingkaran adalah
𝑚!" =𝐿𝑆𝑚!" ± 𝑟𝐿𝑆 ∓ 𝑟𝑚!"
dimana
𝑚!" =𝑘 − 𝑏ℎ − 𝑎
b. Garis Polar
Garis polar adalah garis yang menghubungkan dua titik singgung dari dua garis singgung yang ditarik dari suatu titik yang terletak diluar lingkaran Garis polar tegak lurus dengan garis yang menghubungkan titik diluar lingkaran dengan titik pusat lingkaran
Gambar 16