GEOMETRIJSKA KRISTALOGRAFIJA Geometrijska kristalografija kao deo mineralogije i

kristalografije bavi se prou~avawem geometrijskih karakteristika kristala bilo minerala ili drugih hemijskih jediwewa.

Ranije je istaknuto da se kristali javqaju kao poliedarska tela, odre|enog oblika. Imaju}i u vidu i osnovne karakteristike kristalne materije, mo`e se dati i ne{to potpunija definiciju kristala:

Pod kristalom podrazumevamo ~vrstu kristalnu materijuodre|enog hemijskog sastava, pravilne unutra{we strukture i vi{e ili mawe pravilnog spoqa{weg poliedarskog oblika, nastalu procesom kristalizacije.

1. GRANI^NI ELEMENTI KRISTALA Spoqa{wu poliedarsku formu kristalu daju grani~ni elementi u

koje spadaju: 1. Pqosni 2. Ivice 3. Rogqevi

id1669531 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

Pqosni kristala su vi{e ili mawe glatke ravne povr{ine koje sa svih strana ograni~avaju kristal. Prema svom obliku pqosni mogu biti veoma razli~ite - trougaone, kvadratne, pravougaone, trapezne itd.

Pqosni kristala su produkt procesa kristalizacije u prirodi ili ve{ta~kim uslovima. Presekom dve pqosni na kristalu odre|enog oblika obrazuje se ivica kao grani~ni element.

Rogaq je ta~kasti grani~ni element kristala, koji postaje presekom

najmawe tri ivice odnosno pqosni. Na kristalima rogqevi mogu biti pravilni i nepravilni. Pravilan rogaq postaje presekom ivica iste du`ine, dok se nepravilni rogqevi obrazuju presekom ivica razli~ite du`ine.

Primeri uz grani~ne elemente

Ojlerov izraz P+ R = I + 2

Posmatrano morfolo{ki, kristal mo`e biti ograni~en odre|enim brojem pqosni istog ili razli~itog oblika. Na osnovu ove osobine izvode se pojmovi proste forme (oblika) i slo`ene forme (kristalne kombinacije) kristala. Prostu formu kristala predstaqa kristal koji ima odre|eni broj pqosni istog oblika. Kod slo`ene forme kristala prisutan je odre|eni broj pqosni razli~itog oblika.

Prost oblik kristala analcima

Prost oblik kristala brukita

Kristalna kombinacija cirkona 2. SIMETRIJA KRISTALA

Simetrija kao geometrijski pojam predstavqa posebnu vrstu linearnih izometrijskih preslikavawa, i pored kristala prisutna je i kod drugih pojava. Linearna izometrijska preslikavawa poseduju od-re|ene osobine, koje }emo ovde razmotriti. Preslikavawe f : Rn --> Rn

se naziva linearno izometrijskim ako su ispuweni slede}i uslovi :

( r ) = ( r ) ; r Rn

( r + p ) = ( r ) + ( p ) ; p Rn

r = A r

Linearna izometrijska preslikavawa mogu biti razli~ita. Nas }e posebno interesovati tzv. simetri~na preslikavawa kod kojih je ispuwen tre}i uslov, a realizuje se rotacijom oko ose, reflektovawem preko ravni i ta~ke.

OSA SIMETRIJE Osa simetrije kod kristala predstavqa linearno izometrijsko

preslikavawe rotacijom grani~nih elemenata kristala u prostoru za ugao , pri ~emu grani~ni elementi kristala dolaze u polo`aj supstitucije n-puta ( n = 2 / ).

Rn Rn

A, A

R n R n

r, p - vektori polo`aja, - ceo broj , A-matrica preslikavawa po pravilu ili zakonu () ~iji se stepen poklapa sa stepenom prostora (n) u kome se vr{i preslikavawe.

n = 2 / - predstavqa stepen ose

Na kristalima mogu postojati ose simetrije ~iji je ugao obrta za 360, 180, 120, 90 i 60 stepeni. Ako se u izraz za stepen ose (n = 2 / ) unesu vrednosti za ugao obrta,

dobija se da na kristalima mogu postojati rotacijske ose prvog, drugog,tre}eg, ~etvrtog i {estog stepena.

Ose simetrije obele`avamo sa n ili Ln gde u indeksu ozna~avamo stepen ose. Sa n obele`avamo tzv. glavne ose simetrije, tj. one ose simetrije koje imaju najve}i stepen. Sa Ln obele`avamo tzv. sporedne ose simetrije koje su ni`eg stepena od glavne ose simetrije. Za prou~avawe simetrije kristala poseban zna~aj ima prisustvo osa drugog, tre}eg, ~etvrtog i {estog stepena, budu}i da svaki kristal ima beskona~no mnogo osa prvog stepena. Stoga se ose prvog stepena ne smatraju posebnim elementom simetrije. Na jednom kristalu mo`e postojati vi{e osa simetrije istog ili razli~itog stepena, {to zavisi od simetrije samog kristala, odnosno simetrije wegove kristalne re{etke.

ODRE\IVAWE OSA SIMETRIJE NA KRISTALIMA

Ose simetrije se na kristalima odre|uju tako {to se kroz sredinu grani~nih elemenata postavqaju prave pomo}u kojih se ispituje da li postoji operacija preslikavawa za odre|eni ugao, nakon ~ega se utvr|uje stepen ose. Pri odre|ivawu rotacijskih osa simetrije va`no je uo~iti da grani~ni elementi rotacijom opisuju krug.

Kao primer odre|ivawa osa simetrije, uzmimo kristale halita - NaCl i kristal galenita - PbS. Potra`imo sada sve ose simetrije koje ima kristal halita, oblika kocke.

34L3

Halit - NaCl

6L2

Ose simetrije kristala oblika kocke: 34L3 6L2

Kristal galenita ima sve ose simetrije kao i halit, iako se morfolo{ki razlikuju.

Galenit - PbS

RAVAN SIMETRIJE Ravan simetrije kod kristala je svaka ravan koja vr{i operaciju

linearnog izometrijskog preslikavawa reflektovawem grani~nih elemenata preko te ravni.

Preslikavawe koje vr{i ravan simetrije ima nekoliko zna~ajnih osobina:

a) preslikavawe grani~nih elemenata je uvek normalno i ogledalski identi~no;

b) parovi identi~nih preslikanih grani~nih elemenata se uvek nalaze na istim rastojawima u odnosu na ravan simetrije.

Kristal mo`e posedovati jednu ili vi{e ravni ravni simetrije. Ravni simetrije se obele`avaju sa ili P. Sa se obele`avaju tzv. glavne ravni simetrije , dok se sa R obele`avaju sporedne ravnisimetrije. Glavna ravan simetrije je ravan simetrije koja je normalna na glavnu osu simetrije.

3 6P

Halit - NaCl

Prema tome kristal halita oblika kocke ima 3 i 6P ravni simetrije.

CENTAR SIMETRIJE Centar simetrije je ta~ka u unutra{wosti kristala sa kojom je

povezana linearna izometrijska operacija preslikavawa preko te ta~ke. Centar simetrije se kod kristala obele`ava sa C. Kristal odre|enog

morfolo{kog oblika mo`e imati samo jedan centar simetrije ukoliko je prisutan, mada postoje kristali kod kojih se centar simetrije ne javqa kao element simetrije.

Ukoliko kristal poseduje centar simetrije, javqaju se slede}e va`ne posledice: a) rastojawa preslikanih grani~nih elemenata su uvek jednaka, b) preslikani grani~ni elementi su kristalografski indenti~ni i paralelni.

Pogledajmo sada, da li kristal oblika kocke poseduje centar simetrije. O~igledno je da ovaj kristal na osnovu definicije centra simetrije poseduje centar simetrije kao elemenat simetrije. Na osnovu svega izlo`enog kristal halita oblika kocke odnosno heksaedra ima slede}e elemente simetrije

3 4 4L3 6L2 C 3 6P . Gorwi skup elemenata simetrije kristala halita oblika kocke pred- stavqa simetrijsku formulu. Kristal galenita ima istu simetrijsku formulu. Ni`e su dati neki primeri kristala koji nemaju centar simetrije.

Primeri kristala bez centra simetrije KRISTALOGRAFSKE OSE , PARAMETRI I INDEKSI PQOSNI

Kod kristala pored elemenata simetrije u geometrijskom smislu razlikujemo i tri kristalografska pravca koje nazivamo kristalografskim osama. U su{tini, ovi pravci predstavqaju tri osnovna vektora translacije kristalne re{etke.

Prema tome, uvek je mogu}e paralelno vektorima translacije

kristalne re{etke, postaviti troosni koordinatni sistem koji i predstavqa kristalografski osni krst ili prostije osni krst. Kristalografska osa X je uvek paralelna vektoru a1 translacije

kristalne re{etke, Y - vektoru a2 , dok je Z paralelna vektoru a3. Orijentacija osa krsta na realnim kristalima je takva da je pozitivni deo X-ose usmeren ka posmatra~u, pozitivan deo Y-ose je desno od posmatra~a, dok je Z - osa vertikalna. Prema konvenciji, ugao je ugao izme|u Y i Z -osa, ugao je ugao izme|u X i Z -osa, dok je ugao izme|u X i Y ose.

Osni krst

Za kristalnu materiju broj mogu}ih kristalografskih krstova iznosi sedam. Ovih sedam osnih krstova odlikuju se razli~itom du`inom osa, i vredno{}u odgovaraju}ih uglova. Za dati kristal veli~ina osa i odgovaraju}ih uglova predstavqa zna~ajnu geometrijsku i strukturnu karakteristiku.

Z

a1

a2

a3

Y

X

Osni krst ima veoma zna~ajnu ulogu kod slede}ih prou~avawa kri-

stala: 1. Kod odre|ivawa kordinata ~vorova kristalne re{etke, kao i drugih polo`aja unutar re{etke, 2. Kod odre|ivawa mre`astih ravni u strukturi, koje su zaposednute atomima, molekulima ili slo`enijim grupama, 3. Kod odre|ivawa rasporeda i orijentacija mre`astih ravni u strukturi, kao i kod odre|ivawa polo`aja pqosni kristala na osnovu parametara i indeksa pqosni.

Polo`aj pqosni u prostoru ma kog kristala odre|uje se na osnovuparametara i indeksa pqosni. Parametri i indeksi pqosni jednozna~no defini{u polo`aj pqosni spram kristalografskog osnog krsta u prostoru.

Parametre pqosni definisao je nema~ki kristalograf Weis 1818.godine. Razmotrimo na slici neki op{ti polo`aj pqosni spram kristalografskog osnog krsta.

Pqosan ABC se~e ose krsta u ta~kama A,B i C . Du`ine odse~aka na osama krsta nazivamo parame- trima. Parametri pqosni se naj~e{}e obele`ava- ju sa p, q i r (Weiss), mada se mogu sresti i drugi na- ~ini obele`avawa. OA = p OB = q OC = r

Z C

O Y

B

A X OA = p OB = q OC = r

Parametri pqosni mogu biti pozitivni ili negativni brojevi, u zavisnosti od toga koje ose se~e odgovaraju}a pqosan na kristalu. Negativni parametri obele`avaju se sa crtom iznad odgovaraju}e oznake za parametar (p , q , r ).

Ako je za neku pqosan OA= p, OB = q i OC= r , onda p : q : rpredstavqa parametarski odnos pqosni, odnosno celog prostog oblika kristala kome takva pqosan pripada. Ako se sva tri parametra neke pqosni koji imaju istu vrednost pomno`e bilo kojim brojem, ne dobijamo parametre neke nove pqosni, ve} se vr{i pomerawe paralelno sebi.

U slu~aju da je pqosan paralelna nekoj od osa kristalografskog krsta, takav parametar obele`ava se s znakom ( ), tj. parametar je beskona~no veliki. Parametarski odnos mo`e biti veoma razli~it. Na primer, p : : r ozna~ava pqosan koja je paralelna sa Y-osom, a se~e X i Z - ose.

Recipro~na vrednost parametara tako|e odre|uje polo`aj pqosni spram osnog krsta i naziva se indeksom pqosni. Indeksi pqosni obele`avaju se sa h, k, l ili H, K , L. Indekse pqosni uveo je nema~ki kristalograf Müller 1839 god., te se stoga ~esto nazivaju i Müllero-vim indeksima.

Ako se indeksi pqosni stave u malu zagradu (hkl), takav zapis predstavqa simbol pqosni. Na osnovu definicije imamo da je h = 1/p ; k

= 1/q i l = 1/r te mo`emo odrediti i indekse odgovaraju}ih pqosni. Poznavaju}i parametre ili indekse pqosni, a budu}i da pqosan

predstavqa ravnu povr{inu, mo`emo za svaku pqosan napisati wenu jedna~inu ravni. Ako se poznaju indeksi pqosni (hkl), wena jedna~ina ravni mo`e se napisati na osnovu izraza hx + ky + lz -1 = 0 {to i pred-stavqa jedna~inu ravni pqosni.

Primer: Simbol pqosni Jedna~ina ravni

(111) x+y+z-1= 0 (112) x+y+2z-1= 0

( 221) 2x+2y +z = 0