Capítulo 14. Modelos de transmisión de enfermedades parasitarias Jorge Rabinovich

Centro de Estudios Parasitológicos y de Vectores Universidad Nacional de La Plata

1. INTRODUCCIÓN Este capítulo trata sobre el uso de modelos matemáticos, una herramienta que ha demostrado ser de gran utilidad, tanto para la comprensión de una amplio espectro de problemas ecológicos y epidemiológicos de las enfermedades parasitarias como para el desarrollo de soluciones a dichos problemas. Por otra parte, como consecuencia del uso de los modelos matemáticos en la intervención y el control de la transmisión de muchas enfermedades parasitarias, se ha logrado avanzar hacia una mejor comprensión del comportamiento y de la dinámica de los sistemas hospedero/parásito. Sería imposible en un mero capítulo proporcionar todos los elementos necesarios para poder dominar esta herramienta, ya que existen centenares de libros con dicho propósito. Aquellos lectores que tengan interés en profundizar los conceptos presentados aquí, podrán encontrar un tratamiento más exhaustivo en una abundante bibliografía sobre este tema (Cullen, 1985; Ford, 1999; Hannon and Ruth, 1997; Gold, 1977; Gurney and Nisbet, 1998; Hoppensteadt, 1982; Mangel and Clark, 1988; McCallum, 2000; Melli and Zannetti, 1992; Mesterton-Gibbons, 1995; Renshaw, 1991). Los estudios de la epidemiología médica clásica se han basado siempre en preguntas que tratan a la mayoría de los componentes de la transmisión de una manera relativamente independiente. Tomemos una referencia de síntesis, como la “Bionomía de Vectores en la Epidemiología y Control de la Malaria” (Zahar, 1985.); veremos que al índice lo componen los siguientes elementos principales: (1) distribución geográfica de los vectores, (2) el hábitat de reproducción, (3) la dispersión, (4) la distribución espacial y estacional, (5) el comportamiento de reposo, (6) el comportamiento de la picada, (7) selección de hospedadores, (8) longevidad, (9) infección natural, y (10) resistencia a insecticidas. Ahora bien, de todos esos componentes, ¿cuáles son los que más aportan a la comprensión de la transmisión de la malaria al hombre? Y una vez respondida esa pregunta, ¿cómo integramos esos componentes? Para contestar esas dos preguntas debemos sumergirnos en el tema de las descripciones matemáticas de los procesos involucrados. Justamente con relación a la malaria, justificando el primer modelo matemático por él desarrollado, (Ross, 1916) sostenía:

“Todo este tema puede ser sometido al estudio por dos métodos muy distintos también usados en otras ramas de las ciencias, que son complementarios entre sí, y que deberían converger en los mismos resultados –los métodos a posteriori y a priori. En el primero comenzamos con estadísticas observadas, ensayamos sobre ellas el ajuste de leyes analíticas, y trabajamos retrospectivamente hacia las causas subyacentes... y en el segundo suponemos un conocimiento de las causas, construimos nuestras ecuaciones diferenciales, y finalmente verificamos los resultados calculados comparándolos con los de las estadísticas observadas”.

Tanto los métodos como las conclusiones (“para contrarrestar la malaria no es necesario eliminar totalmente el mosquito sino reducirlo por debajo de ciertos números” Ross, 1916)

2produjeron un efecto impactante en los malariólogos de esa época, así como también una gran resistencia. Pero actualmente la actividad de modelado ya está pasando a ser prácticamente una parte integral de la tarea científica, y como tal está considerada como un lenguaje para discutir conceptos de cualquier disciplina. La historia de la aplicación de los modelos matemáticos en la epidemiología (ver sección 3) pone en evidencia que son una herramienta útil para cotejar conocimientos y experiencias y determinar si el éxito de un objetivo cualquiera es posible bajo un conjunto dado de restricciones y, en caso negativo, qué cambios son necesarios para alcanzarlo (McKenzie, 2000). 2. EL MODELADO COMO HERRAMIENTA En términos muy generales, los modelos son herramientas intelectuales que reflejan, en forma de una representación simple o abstracta, sistemas o procesos del mundo real. Formalmente el Diccionario de la Real Academia Española lo define como: “Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja (por ejemplo, la evolución económica de un país), que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento”. De dicha definición se desprende que los propósitos esenciales de los modelos serían:

1. como una herramienta de investigación, ya que permiten contrastar hipótesis, confrontar el comportamiento de sistemas de diferentes estructuras o funciones, o asignar diferente peso a las variables y parámetros en función de los análisis de sensibilidad,

2. como un instrumento para sintetizar información, junto con un proceso de clarificar ideas

y conceptos (en la síntesis se debe tener claro la diferente importancia de las diferentes variables y los diversos parámetros) y, adicionalmente,

3. como una mecanismo para realizar predicciones, ya sea con cierto grado de detalle

mediante modelos de simulación o del comportamiento de un sistema bajo ciertas condiciones.

En resumen, la construcción de modelos matemáticos nos ayuda a (a) definir mejor los problemas, (b) organizar nuestras ideas sobre cómo interpretamos los sistemas reales, (c) entender mejor la información que disponemos, (d) comunicar y verificar nuestra comprensión del problema a terceros, y (e) hacer predicciones para el apoyo a la toma de decisiones. En función de ese bagaje de “virtudes” no debe de extrañar que, desde hace ya tiempo, se hizo evidente la importancia del uso de los modelos matemáticos en la toma de decisiones. Sin embargo, precisamente los problemas que solían requerir decisiones más urgentes eran aquellos que estaban impregnados de mayor incertidumbre. A principios de los años 70 se intenta reducir la incertidumbre, utilizando métodos estadísticos, probabilísticos y de computación cada vez más sofisticados. Pero hacia finales de esa misma década se comienza a aceptar la incertidumbre como un componente natural de los problemas que requieren una toma de decisión, y por lo tanto ésta pasa a estar representada en los modelos matemáticos de esos problemas. Es así como aparecen los conceptos de “estocasticidad ambiental” (la incertidumbre originada en el ambiente, generalmente vinculada a los elementos climáticos) y de “estocasticidad demográfica” (la incertidumbre originada por la variabilidad biológica, generalmente manifiesta

3en la variabilidad de múltiples parámetros demográficos). También para esa época se reconocen como parte de toda decisión (y por lo tanto de los modelos matemáticos que se usan para servirles de apoyo) tanto los componentes individuales y sociales, como el juicio y el prejuicio humanos. La internalización del concepto de incertidumbre y de los componentes sociales e institucionales en la toma de decisiones se vio acompañada por el desarrollo de una serie de conceptos (resiliencia, manejo adaptativo, teoría de catástrofes) y toda una batería de métodos y técnicas (optimización, análisis de sensibilidad de los modelos, toma de decisiones por árboles decisionales, y sistemas expertos, entre otros). 2.1 Los modelos Cuando se encara el modelado de sistemas complejos, evidentemente se recurre a grados variables de simplificación. Por eso los modelos suelen ser definidos como "caricaturas" de la realidad (Holling, 1978; Walters and Hilborn, 1978). Por consiguiente los modelos matemáticos, al igual que las caricaturas, simplifican y distorsionan. Los modelos, al simplificar de manera intencional, dejan fuera del análisis ciertas variables, ciertas relaciones entre variables y ciertas interacciones que de alguna manera el modelista puede justificar que no afectarán el objetivo buscado en el desarrollo del modelo. Al distorsionar pasa algo similar: se da más peso a ciertas relaciones, o se utiliza más información en ciertos elementos del modelo que en otros, o se incluyen ciertas interacciones en una parte del modelo pero no en otra. Todo esto es perfectamente lícito si, como se acostumbra, se puede demostrar que hay coherencia entre esas simplificaciones y distorsiones y el objetivo que se pretende alcanzar con el modelo. Si ello se demuestra, entonces los modelos se pueden considerar como sustitutos del sistema real (Ford, 1999); es decir, los modelos constituyen un subrogante de aquello real que nos interesa analizar. Un sistema ambiente-hospedero-parásito es demasiado complejo como para pretender manipularlo y aprender sobre él mismo controlando –por ejemplo- todas sus variables y condiciones posibles en el mundo real. El uso de un modelo como subrogante de ese sistema ambiente-hospedero-parásito real permite modificarlo, alterarlo, someterlo a condiciones límites, etc., e ir aprendiendo acerca de como son su comportamiento y capacidad respuesta. Más aún, este esquema es la base de todo un enfoque metodológico del manejo ambiental denominado manejo adaptativo. A menudo en este proceso de modelado el objetivo es doble: alcanzar una meta de manejo o de toma de decisiones, y al mismo tiempo contribuir a un mejor conocimiento del sistema epidemiológico bajo análisis. Los primeros resultados de los modelos frecuentemente llevan a conclusiones incoherentes que obligan a revisar el modelo, detectando así falencias en el conocimiento que ayudan en entender mejor un sistema ecológico/epidemiológico, ya que se puede rastrear fácilmente cuales fueron las concepciones erróneas que generaron las inconsistencias. 2.1.1 Tipos de modelos

2.1.1.1 Un poco de historia El hombre ha utilizado modelos posiblemente desde tiempos inmemoriales. Más aún no sería extraño que en el preludio de sus formas más primitivas de pensar, de concebir y de crear, la capacidad de elaborar modelos haya sido uno de los atributos distintivos que caracterizó el

4despegue evolutivo del género Homo de los otros linajes que no sobrevivieron, como los Australopithecus y los Paranthropus. La razón de esta aseveración es que los modelos más básicos (y posiblemente los más antiguos) son los llamados modelos mentales y es probable que hayan aparecido con el surgimiento de la conciencia en el Homo sapiens sapiens. Con la acelerada evolución desplegada por estos hombres modernos, ya en épocas prehistóricas se observan además construcciones (por ej., edificios, pirámides) y comportanientos (por ej., uso de cementerios) que insinúan la posibilidad de la existencia de modelos físicos, es decir, donde se ponen a prueba las ideas (es decir, los modelos mentales) mediante objetos físicos. Cuando se analiza el período histórico, la misma escritura se puede considerar como un modelo geométrico, y como otro paso en esta evolución de los modelos que acompaña y ha tenido un papel esencial en reforzar y acelerar la evolución social del hombre. Con el advenimiento de aspectos más sofisticados de la cultura, como lo es la ciencia, los modelos ya toman formalmente el carácter de hipótesis, representando nuestra forma de entender la conformación del mundo en que vivimos, adquiriendo así un carácter abstracto más profundo que –finalmente- es coronado en la actualidad con la expresión de máxima abstracción dada por los modelos matemáticos. Si se considera ese proceso evolutivo podríamos clasificar los modelos en:

2.1.1.2 Modelos mentales Las personas usan modelos todo el tiempo, modelos que podemos denominar informales: se trata de esos conceptos que llevamos en nuestras mentes y que constituyen imágenes que representan una simplificación del complejo mundo que nos rodea, por eso los llamamos modelos mentales. Estos modelos suelen ser sumamente importantes al punto que fueron descritos como “suposiciones profundamente arraigadas, generalizaciones e incluso imágenes que influencian cómo entendemos el mundo y cómo llevamos a cabo nuestras acciones” (Senge, 1990).

2.1.1.3 Modelos físicos Estos son los modelos que suelen representar en una escala más pequeña lo que normalmente ocurre en la escala real. Si bien suelen ser muy usados en la ingeniería (por ejemplo, los túneles de viento en el que se someten a prueba los prototipos de los aviones) también se han empleado en las ciencias ambientales (por ejemplo, la representación física de un estuario de unos 100-200 km de longitud en una dimensión de 40-50 metros de longitud; o un aparato de madera con una tabla en plano inclinado que tiene perforaciones y en las cuales caen bolitas de madera representando el proceso de nacimiento y muerte de una población).

2.1.1.4 Modelos geométricos Se trata de los modelos que suelen representar en el papel una imagen dibujada de un sistema real que permite interpretar algunos de sus atributos. Un mapa, por ejemplo, es un modelo geométrico. En particular un mapa de tipo topográfico pone en evidencia –cuando las isolíneas de altura se tornan más juntas– que se dan cambios de pendiente muy abruptos (gran modificación de la altura en poca distancia lineal).

52.1.1.5 Modelos biológicos Estos son muy familiares para los biólogos, agrónomos, médicos y veterinarios, ya que representan la situación en la que una especie biológica se toma como equivalente de otra para realizar experimentos, bajo la suposición que las diferencias entre ambas especies –aún cuando existen– no afectará los resultados o la interpretación de los resultados de esos experimentos. En el caso de la medicina, el uso de ciertas especies de ratones o de simios para experimentos de los cuales se obtienen conclusiones aplicables al ser humano data de mucho tiempo.

2.1.1.6 Modelos matemáticos Es evidente que ninguno de los cuatro tipos de modelos arriba mencionados permite realizar cálculos o predicciones sobre el comportamiento de un sistema modelado (o si lo permiten ello es modalidades muy primitivas o limitadas). Esas limitaciones quedan eliminadas si se utilizan modelos matemáticos. Para los fines de esta presentación introductoria al modelado matemático de la transmisión de enfermedades parasitarias, bastará con referirnos a los siguientes tipo de modelos que se presentan aquí con la modalidad de dicotomías o formas alternativas básicas: (a) modelos descriptivos versus modelos explicativos, (b) modelos agregados versus modelos desagregados (c) modelos continuos versus modelos discretos, (d) modelos determinísticos versus modelos probabilísticos, y (e) modelos analíticos y modelos de simulación.

2.1.1.6.1 Modelos descriptivos o explicativos Un modelo descriptivo (también llamado “correlativo”) es aquél al que sólo se le requiere que refleje adecuadamente una relación observada entre dos (o más) variables. Es similar a una regresión estadística y su principal requisito es que ajuste los resultados del modelo a los datos de manera satisfactoria. Por el contrario un modelo explicativo, además de un ajuste satisfactorio del modelo a los datos también debe proporcionar algún concepto que refleje el mecanismo causal subyacente a la relación representada por el modelo. La Fig. 1 muestra esta importante diferencia, observándose que para que un modelo matemático sea explicativo tanto los datos como las relaciones contribuyen a establecer el concepto, y que además de ponerse a prueba la relación con los datos la predicción permite no solo cierto grado prudente de extrapolación, sino que además permite generar inferencias para aplicarlas a situaciones análogas.

2.1.1.6.2 Modelos agregados o desagregados La simplificación del mundo real que pretenden representar los modelos matemáticos se puede plasmar en forma más o menos detallada en términos de los niveles de tipo causal o explicativo que se desea utilizar. Un modelo altamente agregado es aquél que busca expresar las relaciones causa-efecto en forma más superficial y por lo tanto más simplificada, mientras que el modelo desagregado expresa las relaciones causa-efecto recurriendo a relaciones más profundas, es decir, con una mayor dosis de realismo en las relaciones causa-efecto. En la Fig. 2 se da un ejemplo, para el caso de la transmisión del parásito causante de la enfermedad de

6Chagas, entre un modelo agregado (mayor número de vinchucas por persona lleva a una mayor incidencia de esta enfermedad) y otro desagregado que aunque culmina con la misma relación final incursiona en los niveles de dinámica poblacional (aumento de la fecundidad de las vinchucas lleva a un aumento en la abundancia poblacional), en los niveles ecofisiológicos (niveles nutricionales y comportamiento de búsqueda) y en los niveles fisiológicos (activación de propioceptores del estómago y activación de sensores térmicos). Los modelos de tipo agregado suelen ser más generales y se utilizan para comprender el comportamiento general de un sistema, es decir, esencialmente tienen por objetivo lograr explicaciones. Por el contrario los modelos matemáticos de tipo desagregado suelen pretender más realismo y por ello tienen más aplicaciones con fines predictivos de tipo cuantitativo. Esta diferenciación ha llevado también a identificarlos como modelos estratégicos y modelos tácticos, respectivamente. Debe tenerse en cuenta que no siempre un proceso de desagregación de un modelo conlleva un aumento en el poder predictivo del mismo. En la Fig. 3 se observa que si bien con el número de componentes de un modelo (variables, relaciones, funciones, interacciones, parámetros) aumenta el nivel de la explicación (caso de los niveles de comportamiento y de ecofisiología en el ejemplo de la Fig. 2) dicho aumento si bien puede hasta cierto punto incrementar el poder predictivo del modelo, a la larga el modelo comienza a reducir su poder explicativo. La razón es muy sencilla: el modelo ha ido sacrificando su grado de simplificación y cada vez se parece más a la realidad y, al igual que con la propia realidad, la interpretación y la predicción se hacen cada vez más difíciles. El aspecto del nivel predictivo de los modelos es algo importante ya que en realidad no existen modelos “buenos” o modelos “malos”; los modelos matemáticos sólo se juzgan por su consistencia lógica y por su poder predictivo o explicativo en relación a modelos alternativos.

2.1.1.6.3 Modelos determinísticos o probabilísticos Los modelos matemáticos de carácter determinístico son aquellos en los cuales una vez establecidas las condiciones iniciales de las variables y el valor de los parámetros, los valores de los resultados quedan totalmente determinados. Es decir, en estos modelos no hay ningún componente aleatorio. Por el contrario, en los modelos matemáticos de tipo probabilístico (llamados también modelos estocásticos) se incluyen uno o más componentes aleatorios, de manera que los resultados no están dados por un valor sino por una distribución de probabilidades. Los modelos de tipo determinístico son más simples que los estocásticos, y en general son más fáciles de resolver analíticamente. Sin embargo para ciertos propósitos los modelos estocásticos son necesarios, e incluso en ocasiones se debe utilizar una combinación de ambos tipos de modelos (McCallum, 2000). Por ejemplo, frecuentemente los modelos estratégicos se suelen basar en modelos determinísticos mientras que los modelos tácticos suelen basarse en modelos estocásticos, particularmente si se desean incorporar la estocasticidad ambiental y demográfica..

2.1.1.6.4 Modelos continuos o discretos Un criterio de gran importancia que permite diferenciar los modelos matemáticos es el modo en que se maneja el tiempo en sus dos formas básicas: de manera continua o en pasos discretos.

7Los modelos en los que se considera el tiempo como continuo en general se estructuran mediante una o más ecuaciones diferenciales, en las cuales la tasa de cambio de una o más variables se representa como una función de varios parámetros o variables. En general las ecuaciones diferenciales (ecuaciones que representan un cambio) suelen expresarse como una derivada que es función de todas las “entradas” menos todas las “salidas”, es decir, representa un cambio neto. Por ejemplo, en el caso de una población cuyo número de individuos denotamos por N:

∑ ∑−= sedtdN

(1)

la derivada del número de individuos de una población en función del tiempo es el resultado neto de todas sus entradas (e) y sus salidas (s). Si bien estos modelos tienen la ventaja que su comportamiento a menudo puede ser analizado analíticamente (con las herramientas del análisis matemático) en muchos casos de sistemas ecológicos o epidemiológicos complejos esto se hace difícil y a veces imposible. Sin embargo cuando ello es posible también en general es posible determinar la sensibilidad del modelo a variaciones en los parámetros sin necesidad de proceder a tediosas y costosas simulaciones. En el caso de los modelos matemáticos de tipo discreto el tiempo se considera en intervalos o “pasos” de tiempo que no son infinitesimales y cuya duración queda fijada por la naturaleza del proceso que es modelado. En general esos pasos de tiempo suelen ser fijos, aunque también se pueden usar pasos de tiempo variables. Esos pasos de tiempo pueden ser de carácter arbitrario (por ej., día, semanas, meses, años) o tener un sentido ecológico (por ej., la duración promedio de una generación). Los pasos de tiempo basados en la duración de una generación son muy usados en los modelos de transmisión de enfermedades parasitarias de transmisión vectorial, ya que con frecuencia los insectos vectores son de tipo univoltino, es decir, aquellas especies de insectos que tienen una generación por año (nunca coexisten dos generaciones). De manera análoga a la ecuación (1), también en los modelos discretos el resultado usualmente queda expresado como una diferencia neta entre entradas y salidas. Por ejemplo, en el caso de un modelo de una población en el que los pasos de tiempo están basados en la duración de una generación el número de individuos N estaría dado por:

( )∑ ∑−+= − se hNN tt 1 (2) donde el subíndice t representa la generación, y h es el intervalo de tiempo de los cambios. Los modelos matemáticos discretos en los que el intervalo de tiempo es variable también se suelen llamar modelos de “eventos”, ya que a menudo se expresan en términos de ciertos sucesos o acontecimientos de sentido biológico. Por ejemplo, en una población N, en la que hubiéramos supuesto que la migración no juega ningún papel importante, la ecuación de cambio de un modelo matemático discreto estaría dada por:

][][1 muertessnacimientoNN tt −+= − (3) Además de razones derivadas de la naturaleza de los procesos que están siendo modelados, existen razones prácticas para utilizar un modelo continuo o un modelo discreto. En general hay diversas ventajas y desventajas entre uno y otro tipo de modelo matemático. Los modelos discretos tienen ciertos atractivos para el modelado en epidemiología ya que : (i) la mayor parte de los procesos epidemiológicos son de naturaleza discreta (nacimiento, muerte, parasitismo,

8inmigración, etc.), (ii) cuando existen variables intrínsecamente continuas (por ejemplo, el crecimiento del tamaño de un parásito) se las puede considerar como evaluadas por un muestreo discreto en el tiempo, (iii) si el modelo matemático continuo es sumamente complejo e imposible de resolver analíticamente (lo cual es usual en epidemiología) en general se debe recurrir a soluciones por aproximación que suelen implicar la “discretización” de las ecuaciones, y (iv) casi todo lo que se puede hacer con modelos matemáticos continuos puede hacerse con modelos matemáticos discretos, aunque a veces es más dificultoso (como, por ejemplo, el análisis de estabilidad).

2.1.1.6.5 Modelos analíticos o de simulación Muchos de los modelos matemáticos continuos y discretos pueden ser resueltos de manera analítica. Por ejemplo, una ecuación diferencial puede ser resuelta y obtenerse de ella su forma integrada que permite obtener una expresión del cambio de las variables en función del tiempo. También en muchos casos se puede analizar el comportamiento del sistema de ecuaciones diferenciales que describe los procesos que se están modelando, es decir, se puede estudiar si tiene una o más condiciones de equilibrio, si esos equilibrios son estables o inestables, si se comporta de manera oscilatoria y en ese caso, si las oscilaciones son sostenidas o amortiguadas, etc. Existen muchos programas comerciales de computación que facilitan esa tarea ya que permiten obtener las soluciones de las ecuaciones diferenciales por métodos de aproximación, así como también existen programas que facilitan el análisis del comportamiento de equilibrio del sistema de ecuaciones. Por otro lado también aprovechando los avances de la computación, que facilita la repetición de una inmensa cantidad de cálculos en tiempos brevísimos, se acostumbra a realizar los análisis de comportamiento de los modelos mediante ejercicios de simulación. Estos modelos de simulación simplemente asignan valores a los parámetros y condiciones iniciales a las variables obteniéndose las trayectorias en el tiempo de las variables de interés. Adicionalmente se suelen crear lo que se denominan "escenarios hipotéticos", es decir, condiciones que "emulan" diferentes situaciones (por ejemplo, diferentes condiciones climáticas o ecológicas, o distintas alternativas de decisión) y estimar sus consecuencias y de esta manera poder comparar la relación ventajas/desventajas de cada combinación de situaciones y servir de apoyo a la toma de decisiones. 2.2 Componentes de un modelo matemático Los componentes de un modelo matemático, es decir, sus diferentes elementos constitutivos, pueden ser clasificados de distinta manera pero la que se presenta más abajo es una de las formas más usuales de hacerlo. Es necesario aclarar que la siguiente descripción de los componentes es más afín a los modelos matemáticos de simulación que a los modelos matemáticos analíticos. Para su interpretación debe tenerse presente que previamente se debe haber realizado el ejercicio de establecer un límite entre lo que se está modelando “dinámicamente” y lo que son condiciones “externas” que, si bien influyen (y a veces de manera muy importante) en el comportamiento del modelo matemático, no son una parte explícita del modelo mismo.

2.2.1 Las entradas. Es lo que recibe el sistema modelado desde el “exterior”. Ese “exterior” es lo que, de acuerdo a los fines del modelo (y a veces un poco arbitrariamente) hemos decidido dejar “fuera” del

9modelo.

2.2.2 Las salidas. El concepto es similar al de las entradas pero hacia el “exterior” y afectan a la dinámica del sistema como una pérdida.

2.2.3 La variables de estado. Son las variables que indican “lo que está ocurriendo” en el sistema modelado en cada unidad de tiempo. Se denominan así porque son las variables que nos dan un cuadro (o foto) del estado del sistema en cada momento. Al evaluar la evolución de los cuadros sucesivos del sistema a lo largo del tiempo las distintas fotos se convierten en una “película” configurando así la dinámica del sistema.

2.2.4 Los parámetros. Se trata de los factores habitualmente constantes que son también parte estructural del sistema. A veces estos factores no se mantienen constantes, e incluso pueden ser funciones de algunas de las variables de estado; sin embargo, en general –a diferencia de estas últimas– su grado de variación suele ser muy pequeño.

2.2.5 Las variables forzantes. Son variables externas que afectan al sistema como moduladores, es decir, no lo afectan por proveer de una entrada sino por modificar parámetros o funciones entre variables. Las variaciones de dichas variables externas son independientes de la dinámica del sistema modelado. Es el caso típico de las variables climáticas.

2.3 Pasos en la construcción de un modelo matemático Como bien se sostiene en diferentes ámbitos, la construcción o desarrollo de un modelo matemático es no sólo ciencia sino también un arte. Por ello lo que se presenta a continuación debe tomarse sólo a título de sugerencia de cómo proceder –en términos muy genéricos– si se desea plasmar un problema dado (generalmente de características dinámicas) en un modelo matemático. Se pueden imaginar muchísimas variantes a esta proposición pero sirve como un punto de partida para entender e interpretar muchos de los modelos que ya existen en la literatura de la transmisión de enfermedades parasitarias. PASO 1. Identificar los límites del problema, tanto en el espacio como en el tiempo, y decidir

sobre el grado de resolución del modelo. Por grado de resolución se entiende la “cantidad de detalle” que se desea que esté representada en el modelo. A veces esto debe hacerse de manera arbitraria, o por razones de economía o de limitaciones de información.

PASO 2. Seleccionar el nivel de jerarquía u organización de la descripción del proceso a

modelar. En general esto implica poder reconocer y decidir cuáles son los componentes estructurales que se consideran importantes que en el modelo. De cierta manera esto es lo más relacionado al concepto de agregación de un modelo, tal como fuera presentado en la sección 2.1.1.5.2. Una forma usual de llevar a cabo esto, y que es de gran ayuda en la clarificación de los aspectos dominantes de la dinámica de un sistema, es tratando de identificar los principales subsistemas. En el caso de la transmisión de enfermedades parasitarias posibles subsistemas “naturales” son la población del

10parásito, la población del o de los hospederos, la población de la especie vectora (si la hay), las intervenciones de control, etc.

PASO 3. Identificar y desarrollar los componentes de cambio. Este paso es de suma importancia

ya que ya que en él se establece cuáles son las variables afectadas de cambios de estado en el tiempo que interesa representar. Es decir, consiste en identificar las transiciones (Tij) en una variable de estado (B) de su estado en un momento i a otro momento del tiempo j.

Bi BjTij

PASO 4. Asignar relaciones funcionales a cada componente de cambio, es decir, dar una forma

y una relación específica a Tij. No siempre pero con frecuencia la relación funcional suele ser una en la que el componente de cambio Tij es función de Bi (Fig. 4). En este mismo paso es aconsejable también identificar las hipótesis alternativas, es decir, funciones que tengan comportamientos distintos (diferentes curvas de la Fig. 4), a menos que lo datos sugieran muy claramente una forma de la relación funcional determinada.

Tal como se expuso en la sección 5.1.1.5.1. en todo modelo explicativo, además de un ajuste satisfactorio del modelo a los datos también se debe proporcionar algún concepto que refleje el mecanismo causal subyacente a la relación representada por el modelo. Por eso, a menudo más de una forma funcional puede llegar a dar un ajuste satisfactorio; en estos casos más que decidirse por aquél modelo que evidencie una calidad de ajuste a los datos ligeramente superior, es preferible seleccionar el que recurre a las suposiciones más coherentes con la interpretación del fenómeno que está siendo modelado. Por ejemplo, en la Fig. 5 se pone en evidencia que la bondad de ajuste entre modelo y datos es superior para el modelo logístico que para un modelo matricial de dos edades. Sin embargo para muchos fines (por ej. cuando se trata de la población de un vector de un parásito que es infectivo sólo en un estadio de su ciclo de vida) un modelo matricial de dos edades puede llegar a ser más útil o coherente aunque su ajuste sea más pobre, que otro que tenga un mejor ajuste pero que recurre a suposiciones simplificadoras indeseables (como la no existencia de estructura de edades del modelo logístico). Este último aspecto es esencial, ya que el énfasis de todo modelo debe ser el plantear y descartar hipótesis, y por lo tanto todo modelo que cumpla esta finalidad debe ser efímero. Nunca un científico debe “enamorarse” de un modelo que ha desarrollado, por más “elegante”, preciso, y/o útil que parezca. Más aún, y existen evidencias de ello, a veces las predicciones de los modelos matemáticos no contrastan bien con la realidad, y existe la tentación seguir insistiendo en la búsqueda de los datos que “ajusten” bien a un modelo, cuando debería ser todo lo contrario: esa disparidad nos debe empujar a revisar (y hasta cambiar totalmente) de modelo matemático hasta que esa información de campo y/o de laboratorio esté bien representada por el modelo. Como bien dijera Rogers, (1986), los modelos son como postes de luz que deberían usarse para iluminar y no para apoyarse en ellos.

112.4 Dificultades en el desarrollo de modelos matemáticos Si se recuerda lo expresado anteriormente sobre los ingredientes de “arte” que tiene la actividad de modelado, es evidente que rara vez la construcción de modelos matemáticos se lleva a cabo de una manera directa, mecánica, o fluida. Independientemente de la experiencia del “modelista” a menudo la complejidad del propio sistema a ser modelado se constituye en un dificultad genuina. Por otro lado con frecuencia esta actividad requiere de un equipo compuesto por especialistas de varias disciplinas, con lo cual se generan una variedad de problemas (desde aquellos más vinculados a las “jergas” de los especialistas hasta los de personalidad), que a menudo entorpecen la elaboración del propio modelo. La siguiente es una lista de algunos de los aspectos que deben ser tenidos en cuenta al iniciarse una actividad de modelado.

a. Los problemas que derivan de la dificultad de una adecuada representación de la heterogeneidad del mundo real en el modelo,

b. El desarrollo, análisis, solución y comportamiento de modelos complejos (particularmente los no lineales),

c. Una insuficiente comprensión del funcionamiento del sistema que se está modelando,

d. La escasez de datos (incluso en los casos en que los datos sean abundantes, ya que a menudo los datos de las variables o parámetros clave suelen ser los que no han sido medidos),

e. Distorsiones o énfasis ocultos (a veces por desconocimiento y otras veces intencionales) de algunos procesos o variables deformando inadecuadamente el modelo como representación simplificada de la realidad.

3. BREVE RESEÑA DEL DESARROLLO MATEMÁTICO DE LA TRANSMISIÓN DE ENFERMEDADES

PARASITARIAS En el Siglo XVII se inician los primeros intentos de cuantificar las variables epidemiológicas mediante las estadísticas médicas. Con Grant y Petty ("The London Bill of Mortality") comienzan los esfuerzos de predicción y ajustes de curvas a los datos de defunciones (Trias, 1980). Más tarde aparecen los estudios epidemiológicos clásicos, que tratan de responder las siguientes preguntas: ¿Cuántas y qué tipos de personas son las afectadas? ¿Cuál es la magnitud geográfica del problema?¿cuál es la dinámica del problema? Sin embargo en estas primeras épocas del desarrollo cuantitativo de la epidemiología las respuestas se formulaban esencialmente en términos descriptivos (picos y variaciones estacionales en el número de casos, etc.). Para lograr las respuestas a esas preguntas en general se recurría a definir las principales variables, a identificar las fuentes de error y a evaluar los datos para la asignación de pesos. Posteriormente aparecen los modelos epidemiológicos con el fin de identificar los procesos involucrados en la transmisión (su "dinámica"), y analizar los fenómenos a gran escala para la planificación en salud. Hamer (1906) y Ross (1911) lo aplican a la transmisión de la malaria, Reed y Frost en 1928 desarrollan modelos binomiales de epidemias, (citado en (Soper, 1929)), (Soper, 1929) desarrolla los modelos de epidemias de sarampión, Kermak y McKendrick (1932) elaboran modelos de enfermedades endémicas en relación a epidemias de ratones, y (Macdonald, 1952) modelos de malaria y esquistosomiasis.

12 A partir de los años sesenta, los modelos incorporan posibles controles para la transmisión, y lo llevan a cabo mediante simulación (Trias, 1980); otros modelos analizan la planificación del control de la tuberculosis usando el criterio de costo/beneficio. En 1973 se aplican métodos de optimización matemática (Gupta and Rink, 1973), y la programación lineal se utiliza por primera vez en 1976 cuando es aplicada a la vacunación contra la poliomielitis (Trias, 1980). A su vez, en 1975 se desarrolla el primer modelo matemático de la transmisión de la enfermedad de Chagas (Rabinovich and Rossell, 1976). 4. EL SISTEMA A DE ENFERMEDADES MODELAR: LA TRANSMISIÓN PARASITARIA Dentro de una concepción moderna de la epidemiología y utilizando un marco conceptual basado en la ecología sanitaria, los problemas asociados a la transmisión de las enfermedades por elementos ambientales juega un papel dominante. En la próxima sección, se presentan las propiedades de estabilidad de un sistema en general y de los sistemas hospedero-parásito en particular, las formas de analizar su dinámica, los métodos para el ajuste de parámetros entre los modelos y los datos de campo, y los análisis de sensibilidad. Finalmente se mencionan algunas formas de llevar a cabo los procesos de optimización asociados al uso de los modelos. 4.1 Tipos de transmisión de enfermedades parasitarias El concepto de transmisión implica un conjunto de fenómenos por los cuales un parásito pasa de un hospedero infectado a un hospedero sano. Si bien por parte del agente patológico toda puerta de entrada y de salida del hospedero son potencialmente utilizables (boca, vías aéreas superiores, las mucosas urinaria y genital, piel), existen enfermedades en las que los mecanismos involucrados implican una transmisión directa y otras en las que el mecanismo de transmisión es directo, o sea, contaminativa, como ya se explicó en el capítulo 2. Son muchas las posibles combinaciones y formas de transmisión en términos del número de hospederos, reservorios, fases y condiciones infectivas, fases y tiempos de vida libre, etc. Por ello uno de los pasos esenciales al iniciar cualquier actividad de modelado de la transmisión de enfermedades parasitarias es elaborar claramente (a menudo con una fuerte ayuda gráfica) el ciclo de vida de los organismos involucrados y la relación de cada uno de ellos con el ambiente. 4.2 Equilibrio y estabilidad

4.2.1 Conceptos básicos Se han escrito centenares de libros sobre los tópicos del equilibrio y la estabilidad de sistemas en general, y de sistemas ecológicos en particular (incluyendo los epidemiológicos). Sería demasiado ambicioso pretender cubrir adecuadamente este tema en unas pocas páginas. Pero se intentará resumir los conceptos más fundamentales, y poner énfasis en la evolución de esos conceptos en tiempos recientes.

4.2.1.1 La homeostasis y los equilibrios

13Hasta hace unos 25-30 años era frecuente considerar a la condición de equilibrio de un sistema de una manera estática; esta concepción tenía su origen en las ideas médicas de la homeostasis de comienzo de siglo: si un organismo era agredido por un cuerpo extraño (digamos un parásito) el organismo respondía con una serie de respuestas tratando de contrarrestar esa agresión (anticuerpos, fiebre, etc.) para retornar a su condición original. En otras palabras si los mecanismos de defensa eran exitosos, y la agresión era superada, el organismo recuperaba su condición de equilibrio. Este enfoque de arraigue fundamentalmente fisiológico fue trasladado a las ciencias ecológicas, considerando que un sistema ecológico utilizaría mecanismos similares. Diversos indicadores y experiencias, principalmente derivadas de las intervenciones del hombre en el ambiente, indicaban que ello no ocurría así en el mundo real. Los bosques eran talados, pero suspendida la actividad de corte, los bosques que crecían eran otros distintos a los originales. Se reducía la transmisión de una enfermedad por control químico de un vector, pero la incidencia recrudecía con mayor intensidad con posterioridad a la interrupción del control. Había indicios que sugerían que en los ecosistemas las cosas ocurrían como si se cambiaran las reglas de juego, como si la dinámica de las relaciones entre los componentes del sistema se modificara o al menos entrara en un ámbito en que la aplicación de dichas reglas produjera resultados diferentes. Ideas similares ya habían aparecido en el terreno de la física, en que los sistemas no lineales suelen mostrar comportamientos análogos. En parte por influencia de esta ciencia, pero a través de la labor de aquellos científicos que conocían profundamente el comportamiento de los sistemas ecológicos, surge la noción de una estabilidad “no estática”, de un sistema en que los equilibrios pueden o no ser estables. Antes de iniciar la descripción de esa concepción de la estabilidad veamos una importante herramienta que facilita su interpretación: los análisis en el espacio de fases.

4.2.1.2 Los análisis en los espacios de fase Una de las formas más comunes de analizar el comportamiento de un sistema ecológico o epidemiológico, tanto real como modelado, es observando el comportamiento de las variables de interés a lo largo del tiempo (Fig. 6a). Pero existe otra forma de hacerlo que es mucho más ilustrativa en términos de la dinámica del sistema en relación a la estabilidad, que es el denominado espacio de fase. El concepto es sumamente sencillo: en vez de visualizar la evolución de las variables a lo largo del tiempo se analiza gráficamente una variable contra otra (en el caso de dos variables), y los sucesivos puntos representan los valores a lo largo del tiempo (Fig. 6b). Supongamos que las gráficas de la Fig. 6 representan los resultados de un modelo de tansmisión en el cual los hospederos solo pueden estar en uno de dos estados: susceptibles o infectivos; en este caso es razonable expresar la situación del hospedero como la fracción de la población total que está en cada uno de esos estados. Si el sistema tiene una dinámica por la cual ambas fracciones de los hospederos van variando a lo largo del tiempo (Fig. 6a). Pero si para cada momento del tiempo graficamos los valores de cada población (susceptibles e infectivos) una en función de la otra, ese diagrama nos da una idea de la evolución temporal de la transmisión. En la Fig. 6b se observa que a medida que pasa el tiempo la espiral culmina en una especie de elipse que se repite de manera permanente, lo que se interpreta como una situación “estable”.

14

Fig. 6b. Diagrama de fase de la dinámica de la población susceptible y e infectada resultado de un modelo epidemiológico simple. Las flechas indican la dirección de cambio a lo largo del tiempo y la estrella es el punto final de equilibrio (cuando ambas poblaciones se mantienen estables).

4.2.1.3 La estabilidad En términos generales el concepto de estabilidad se refiere generalmente a la tendencia de un sistema a permanecer cerca de un punto de equilibrio o de retornar a el luego de una perturbación. El significado de esta concepción de la estabilidad se ilustra en la Fig. 7 con las condiciones de estabilidad en el espacio de fase (Orians, 1975). En este caso, para mantener la generalidad se ha mantenido la denominación de los ejes como “Dimensión 1” y “Dimensión 2”, pero que para nuestros intereses representarían la población susceptible y la población infectiva en una epidemia (como en la Fig. 6b), o la población de mosquitos vectores y de nuevos casos de parasitosis, es decir, dos posibles variables de interés en un siistema epidemiológico. En la Fig. 7A se muestra la condición de la constancia: las dos dimensiones se mantienen, con un cierto grado de variabilidad como era de esperarse, de manera más o menos constante en el tiempo. En la Fig. 7B se pone en evidencia la condición de la inercia: la capacidad de un sistema de resistir perturbaciones externas (menor longitud de las flechas, mayor resistencia a las perturbaciones externas). Este concepto es similar al concepto de resiliencia propuesto por (Holling, 1973) que desarrollamos en la sección 4.2.1.4. La Fig. 7C muestra la elasticidad como una propiedad indicadora de la velocidad a la que el sistema regresa a su condición anterior a la de una perturbación (en este ejemplo, las flechas gruesas indican una mayor velocidad que las flechas delgadas). La amplitud (Fig. 7D) es un atributo vinculado al área (en el espacio de fase) al que el sistema es estable (amplitud de las variaciones de las poblaciones susceptible e infectiva, por ejemplo: mayor el diámetro del círculo, mayor la amplitud de las variaciones). Esta condición también se suele denominar estabilidad global. La Fig. 7E es similar a la Fig. 6b: la propiedad de estabilidad del sistema es la de una oscilación de una amplitud dada (mayor el círculo, mayor la amplitud de la oscilación en la dos dimensiones); esta condición también recibe el nombre de ciclo estable límite. Finalmente la Fig. 7F pone en evidencia una propiedad importante: la capacidad del sistema de alcanzar un cierto punto o zona de equilibrio a pesar de las diferencias en sus condiciones iniciales (se alcanza la misma zona de estabilidad –la zona de puntos– independientemente del opunto de partida).

4.2.1.4 La resiliencia. El concepto de resiliencia, originado a partir de la física y de la ingeniería, se refiere a la capacidad de un cuerpo de recuperar su tamaño y forma original después de haber sufrido una compresión, de haber sido curvado, o de haber sido estirado. Por extensión, en el área de la ecología se refiere a la capacidad de un sistema ecológico para retornar a su estado normal luego de ser perturbado. En un sentido ecológico más estricto se refiere a la capacidad de un

15sistema ecológico de recuperar una condición de equilibrio aunque ésta no sea igual a la que tenía antes de ser perturbado. Este concepto ha tenido una gran repercusión en el modelado de los sistemas ecológicos-epidemiológicos ya que modificó de manera profunda la concepción de equilibrio que se tenía hasta esos momentos. Asimismo ha constituido la base del llamado Manejo Adaptativo. La Fig. 8 resume la estructura básica del enfoque del Manejo Adaptativo, donde se identifican las tres fuentes principales de errores que pueden producir incertidumbres (y sorpresas) y como un sistema de retroalimentación permite realizar las correcciones necesarias.

4.3 Herramientas para el modelado de la dinámica de los sistemas hospedero-parásito Existen actualmente muchas herramientas que simplifican la tarea del modelado de los sistemas ecológico-epidemiológicos. Para no abundar en detalles analizaremos aquí las principales herramientas asociadas a dos tipos de modelos: los modelos analíticos y los modelos de simulación. Para los modelos analíticos se han desarrollado una serie de “paquetes” de aplicaciones que simplifican la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, así como la maximización, y la presentación de los resultados. Mathematica (Wolfram, 1999) y Maple (Heck, 1996) son los dos programas que han tenido mayor difusión. Para los modelos de simulación existen otros “softwares” que permiten no solo la simulación discreta, sino también una simulación en la que se resuelven automáticamente ecuaciones diferenciales, utilizando métodos de aproximación. En general suelen estar basados en lenguajes propios, pero relativamente sencillo e intuitivos, y los más modernos están basados en la llamada programación orientada a objetos, lo que les permite una interfaz muy amigable con el modelista. Entre estos productos de software los más conocidos son el Dynamo (O’Donoghue, 1994) y el Stella (Stella, 1997). Otros productos comerciales, también tienen una cierta capacidad de programación pero su fuerte es, por ejemplo, el ajuste de parámetros entre datos y modelos (Scientist) (Micro-Math, 1995). Por último no debe despreciarse la utilidad de los usuales paquetes de software estadísticos, la mayoría de los cuales actualmente suelen traer capacidades de programación que permite a los usuarios avanzados poder programar en un lenguaje independiente pero al mismo tiempo recurrir a toda la potencia de las herramientas estadísticas que ofrecen estos programas de estadística. Tampoco deben descartarse las clásicas planillas de cálculo, que han evolucionado mucho en la última década, adquiriendo la capacidad de simular sistemas modelados y de optimizar los mismos, así como el poder resolver sistemas de ecuaciones con lo cual también permiten el ajuste entre datos y modelos. 4.4 Ajuste de parámetros entre modelos y datos de campo De acuerdo a la sección anterior existen varios paquetes de soluciones matemáticas de sistemas de ecuaciones, así como los de simulación, que permiten llevar a cabo los ajustes entre los datos de campo o laboratorio y los modelos. El ajuste de parámetros entre diversos modelos y los datos de campo hasta ahora ha sido

16resuelto fundamentalmente por métodos sencillos, basados en alguna de las tantas medidas de bondad de ajuste (chicuadrado o prueba G). La prueba del chicuadrado es una de las más clásicas Una de las desventajas de este método es que deben agruparse aquellas clases de observaciones en que su frecuencia es igual o menor que cinco.

( )∑=

−=

n

i i

ii

FFF

1

22

ˆˆ

χ

Donde son las frecuencias observadas y calculadas por el modelo, respectivamente, y n es el número de clases que participan en el cálculo (observaciones aisladas o agrupadas).

ii Fy F ˆ

Otro de los métodos utilizado para evaluar la bondad de ajuste es el método de la prueba G, que no obliga a agrupar clases de observaciones, independientemente de la frecuencia de cada una de las clases de datos.

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

i i

ii F

FFG1 ˆln2

Donde son, como antes, las frecuencias observadas y calculadas por el modelo, respectivamente, y n es el número de observaciones.

ii Fy F ˆ

Existen otras formas, incluso más eficientes que las pruebas del chicuadrado y de G, como por ejemplo el método de máxima verosimilitud, que permiten llevar a cabo una selección de parámetros para maximizar la bondad de ajuste. 4.5 Análisis de sensibilidad Los modelos que desarrollamos pueden contener errores de tres tipos (Aracil, 1986): 1) errores debidos a cálculo numérico, lo cuales en su mayor parte están ligados a problemas de precisión de los equipos de computación, 2) errores en la estructura del modelo, los cuales son los más importantes y para los cuales no se disponen adecuados métodos para su estudio, y 3) errores en los parámetros del modelo y en sus condiciones iniciales. Es en relación a estos últimos que se dispone de técnicas para su análisis. El análisis de sensibilidad de un modelo consiste en estudiar el efecto de las variaciones de los valores que toman los parámetros y las condiciones iniciales sobre el comportamiento de la dinámica representada por el modelo. Esa Arespuesta@ del modelo a perturbaciones en sus parámetros y condiciones iniciales permite aumentar nuestra comprensión del comportamiento del modelo (y por ende de su capacidad de representar la realidad para un fin dado) y le confiere una mayor validez al mismo.

4.5.1 Análisis de sensibilidad por simulación

17Se puede proceder a variar (“perturbar” los parámetros cuya sensibilidad se trata de analizar realizando “corridas” o “pasadas” del modelo para cada una de estas variaciones. Así, por ejemplo, si se trata de estudiar la sensibilidad de un modelo a las variaciones de un parámetro p, se realizan simulaciones del modelo para variaciones de este valor de p de un 5%, un 10% etc., de su valor nominal. Por valor nominal se entiende aquél valor que representa la mejor estimación o el valor más plausible cuando ninguna estimación existe. Este procedimiento de análisis de sensibilidad es tedioso. El análisis de sensibilidad por simulación se ha popularizado bastante, en especial con el aumento progresivo de la potencia de computación. La capacidad de computación, es importante ya que la forma en que aumenta el número de simulaciones necesarias crece exponencialmente con el número de parámetros a perturbar y la cantidad de valores asignados a cada uno de ellos. La relación está dada por Nm , donde N es el número de valores asignados a cada parámetro y m es el número de parámetros a perturbar. Así, por ejemplo, si uno se propusiera perturbar 5 parámetros, y asignarle sólo 5 valores a cada uno de ellos, se tendría que simular el modelo completo 3.125 veces. Este procedimiento no sólo involucra mucho tiempo de computación sin que además genera un número enorme de resultados que sería muy difícil analizar. Por ello, para tratar de sintetizar esa voluminosa información producida por los análisis de sensibilidad por simulación, los resultados numéricos de las simulaciones son sometidos a dos tipos de análisis posteriores: (a) a un análisis por regresión múltiple, o (b) a un análisis gráfico. Veamos cada uno de ellos por separado.

4.5.1.1 Análisis por regresión múltiple Para aplicar esta técnica se procede a simular el modelo tantas veces como sea necesario haciendo variar los valores de los parámetros y de las condiciones iniciales. Éstos, junto con los de los resultados de todas las variables de interés, son guardados en un archivo de salida. Con dicho archivo se procede a realizar análisis de regresión múltiple (en particular es altamente recomendable los de tipo paso a paso “stepwise” para el cual los diversos valores de los parámetros son las variables independientes y las variables del sistema que usamos como indicadores de sensibilidad son las variables dependientes. El análisis de regresión múltiple calcula los valores de coeficientes de regresión cuya significación estadística podemos poner a prueba. En otras palabras cierto parámetro con cierto valor de perturbación puede producir un efecto estadísticamente significativo sobre cierta variable de interés (número de nuevos casos entre los susceptibles, digamos) mientras que otros parámetros (o el mismo parámetro pero con otra magnitud de perturbación) no lo produce. El método del análisis de regresión múltiple tiene además una ventaja adicional a la de la determinación de la significación estadística: permite determinar la importancia relativa de cada uno de los parámetros en sus efectos sobre la dinámica del sistema modelado, mediante la técnica de convertir los coeficientes de regresión parciales en coeficientes de regresión parciales estandardizados.

4.5.1.2 Análisis cuantitativo visual Otra forma de analizar los resultados de simulación en un estudio de sensibilidad, es observando los gráficos del comportamiento del sistema ante las variaciones de los parámetros y condiciones iniciales, lo cual provee de una imagen de la sensibilidad del modelo frente a

18este parámetro. Esta técnica si bien es cuantitativa, su uso es totalmente subjetivo. La forma de representar gráficamente los resultados de las simulaciones de sensibilidad pueden hacerse en gráficas cartesianas o polares. Pero en ambos casos es recomendable previamente computar ciertas relaciones entre las variables de salida de las simulaciones para simplificar la evaluación visual. En general se recomienda crear un archivo de resultados con la razón entre las series de tiempo de las trayectorias perturbadas sobre las trayectorias nominales (se denominan trayectorias nominales a la serie de resultados basados en los valores de los parámetros que se consideran como los más probables o razonables). En otras palabras, si en una simulación por 20 años tenemos resultados de una perturbación al parámetro p1 y deseamos conocer sus efectos sobre la variable del sistema V1, tendremos 20 valores de V1 para la trayectoria nominal (aquella en la que se simuló con el valor de p1 sin perturbación) y 20 valores de V1 para la trayectoria con la perturbación en p1. Entonces procedemos a dividir cada uno de los 20 valores de la trayectoria perturbada por cada uno de los 20 valores de la trayectoria nominal, obteniendo así 20 valores de una proporción que nos indica el grado de efecto de esa perturbación sobre p1 sobre la variable V1. Una posibilidad es representar esas proporciones en coordenadas cartesianas, con el tiempo de simulación en el eje de las abcisas, y las proporciones en el eje de las ordenadas (en general conviene usar el valor 1 como valor de referencia en las ordenadas, ya que si el efecto de la perturbación fuera nulo, la serie perturbada y la nominal serían idénticas y la proporción mantendría un valor constante de 1). En el gráfico se pueden representar varias curvas, con diversos grados de perturbación del parámetro p1 (por ejemplo, 10%, 20%, 30%, etc.).

Otra posibilidad es representar las proporciones en coordenadas polares. El método propuesto por (Thornton et al., 1979) usa el siguiente esquema: se usa como referencia un círculo de radio 1, se dibuja una cruz de brazos de longitud 2, y se usa la convención de truncar valores de las proporciones superiores a 3. En la Fig. 9 se observan los resultados de aplicar este sistema de análisis de sensibilidad a un modelo de dinámica poblacional del vector de la enfermedad de Chagas, Rhodnius prolixus. Puede observarse que en algunos estadios ninfales los valores de la serie de tiempo perturbada están por debajo de los valores de la serie nominal (ya que están por dentro del círculo unidad), mientras que en otras los valores de la serie perturbada están por encima de los valores de la serie nominal (ya que están por fuera del círculo unidad),

4.5.2 Análisis de sensibilidad por métodos analíticos El segundo enfoque del análisis de sensibilidad de un modelo consiste en la aplicación de técnicas analíticas. Estas técnicas conducen a realizar el análisis de sensibilidad de forma más simple que por simulaciones sucesivas, pero tiene mayor complejidad matemática. Con los métodos analíticos es posible obtener un algoritmo para el análisis de sensibilidad con el que se obtienen trayectorias temporales de los cambios que se producen en las variables de estado en respuesta a variaciones pequeñas y constantes, en los parámetros y en las condiciones iniciales (Aracil, 1986).

4.5.3 Diseño de los análisis de sensibilidad El análisis de sensibilidad contribuye tanto a la validación de un modelo como a su utilidad. La contribución a la validación del modelo es obvia porque una cualidad intrínseca del mismo es,

19precisamente, su insensibilidad a las variaciones de los parámetros. Esta falta de sensibilidad permite que las conclusiones que se extraigan del modelo no estén excesivamente asociadas a particulares valores de los parámetros (los que en algunos casos pueden ser discutibles) si no que dependan lo más posible de la estructura del modelo. En cuanto a la utilidad del modelo, por ej., para la toma de decisiones respecto a la implementación de determinadas políticas, el análisis de sensibilidad tiene una singular importancia porque permite conocer cuáles son los parámetros que tienen mayor influencia para actuar sobre una determinada variable. En resumen, el análisis de sensibilidad permite saber en qué medida una determinada conclusión que se extrae del análisis de un modelo depende de una cierta hipótesis sobre el valor de algún parámetro. Permite saber qué precisión se exigirá a cada uno de los parámetros que intervienen en el modelo para que las conclusiones que se extraigan del mismo sean aceptables. Por lo que respecta a la fase de explotación del modelo para el establecimiento de una política de actuación sobre el sistema real, el análisis de sensibilidad permite decidir cuáles son los parámetros que tienen mayor influencia en el comportamiento del sistema y, por lo tanto, sobre los que debe actuarse en la realidad para obtener un determinado efecto en el comportamiento del mismo. 4.6 Nociones de optimización Supongamos que se desea controlar el vector de una enfermedad, y las densidades del mismo se determinan al comienzo de diferentes períodos de igual duración. Las decisiones de control se tomarán al inicio de cada período en base a los valores de dichas densidades. Si la decisión es controlar, entonces lo que se desea conocer es cuánto se debe controlar (o sea, que cantidad de la población del vector debo eliminar). Supondremos además que cada decisión debe ser una decisión óptima en el sentido de maximizar la expectativa de la efectividad la del control, o minimizar el costo de una campaña de control, durante todo el período de actividades. Siguiendo el desarrollo de Mann (1971) suponemos además que las tasas de natalidad y mortalidad de la población del vector no son específicas por edades (todos los miembros de la población tienen la misma probabilidad de producir descendencia o de morir), y los individuos de la población son independientes unos de otros. En estas condiciones el tamaño total poblacional en el momento t, designado z(t), estará dado por la ecuación diferencial clásica dz/dt= >z(t) donde > es la tasa intrínseca de crecimiento natural per cápita y por unidad de tiempo. La solución para una > constante está representada por

te z(0)z(t) ξ= si consideramos períodos de tiempo unitarios entonces el tamaño poblacional al tiempo t+1 se puede expresar en función del tamaño poblacional al tiempo t por

ξe zz 1-tt = Si bien es constante en el tiempo, > puede ser afectada por factores externos, y por ello la consideramos una variable aleatoria continua en cada período de tiempo. También suponemos

20que la distribución de > es de tipo Markoviano, es decir, su distribución depende sólo de la distribución en el período inmeditamente anterior. La función de densidad probabilística de la tasa de crecimiento de la plaga está representada por Ni(>), donde i identifica que el proceso de distribución está en el estado i. También supongamos que el valor monetario del efecto de una enfermedad transmitida por la especie vectora motivo del control es función de una sola variable 0 (por ejemplo, el dinero que genera cada persona sana por un día de trabajo); aceptemos además que a su vez ésta es una variable aleatoria continua con una función de densidad probabilística dada por 2(0), que genera una función llamada renta r(0) (utilidad o beneficio que rinden las personas que no están enfermas), y que para un 0 fijo se supone que tiene un único valor en un período de decisión dado. El costo de controlar la plaga es una función del nivel poblacional de la plaga antes y después del control, y se designa como c(·). También el daño causado por la población plaga es función del nivel de densidad de la plaga y se designa como h(·) y que cumple las propiedades de

h(k) y 0 h(k) kk ∞→→

∞== limlim0

Al suponer que en cada período de tiempo el daño puede ser medido por el número medio de individuos presentes de la especie vectora, entonces el daño esperado (D) estaría dado por

[ ] ξξξ dzezhD )()(5.0 Φ+= ∫∞

∞−

donde z es el nivel poblacional de la población vectora inmediatamente después de la acción de control. En relación a la función de la renta de la población humana en función de la población vectora, es razonable suponer una función cóncava y decreciente del número de individuos de la población vectora presentes (o sea, la velocidad de caída de la renta aumenta a medida que la densidad de los vectores aumenta). Una función de ese tipo estaría representada por

[ ] DrdzezhzR( −=Φ+= ) , ∫∞

∞−

)()()(5.0, ηξξζη ξ

donde R(0, >, z) designará los beneficios obtenidos en presencia de la población vectora. Para simplificar imaginemos ahora un procesos de decisión de un sólo período de manejo. Los costos se cargarán inmediatamente al inicio del período cuya decisión de control se ha tomado. Suponemos además que los individuos de la población vectora son eliminados durante el período de decisión pero antes de haber provocado infección en ese período. Supongamos que designamos como y a la densidad de la población vectora al inicio del período y la variable de decisión (es decir, el nivel de densidad de la plaga después del control) se designará como z. Por otro lado para mantener las cosas sencillas supongamos que el costo de controlar es lineal en función del número de individuos de la población vectora que se eliminan. Entonces la

21política óptima de control en base a un único período está caracterizada por Si y > z0 entonces eliminar y - z0 Si y z0 entonces no controlar, y donde z0 se define como aquel valor de z que satisface la ecuación dD/dz= c cuando tal solución existe. Cuando la solución no existe entonces ocurrirá que z0= 0+ o z0= y. Para visualizar mejor este caso imaginemos la siguiente función probabilística de densidad de la tasa intrínseca de crecimiento natural >: Ni(>)= 3e-3> para > ≥ 0, o Ni(>)=0 en caso contrario

(> < 0). Supongamos además que c= 20, y h(k)= k2. Entonces deseamos determinar el siguiente mínimo

)}(2075.1min{

)}(203)21(41{min

)}()()(21{min

2

323

zyz

zydezeeh

zycdzezh

−+=

−+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=

−+Φ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−∞

∞−

∞

∞−

∫

∫

ξ

ξξ

ξξξ

ξ

para todo z 0 Z, donde Z = {z: 0 < z # y}. Diferenciando D respecto de z, y resolviendo haciendo el resultado igual a 20, obtenemos z0= 5.7. En otras palabras, si y > 5.7 debemos eliminar y - 5.7 individuos de la población vectora; en caso contrario no se debe intentar ningún esfuerzo de control. Supongamos ahora el caso que el costo de control fuera una función no lineal del nivel de la población vectora. Igual que antes aceptemos que y y z son la densidad de los vectores antes y después del control. Desarrollaremos el mismo ejemplo anterior, pero donde ahora la función de costo c(y, z)= 20(y - z)/z . Por un proceso de derivación similar obtendremos que el mínimo estará dado por

}/)(2075.1min{ 2 zzyz −+ y, al igual que antes diferenciando D respecto de z, y resolviendo haciendo el resultado igual a 20, obtenemos z0(y)= (5.7 y)1/3. En otras palabras, si y >(5.7 y)1/3 debemos eliminar y - (5.7 y)1/3 individuos de la población vectora y, en caso contrario, no se debe intentar ningún esfuerzo de control. Esta política produce un costo mínimo de 1.75 (z0)2 + 20(y-z0)/z0. Por consiguiente si y >(5.7 y)1/3 el costo mínimo es [1.75(5.7 y)2/3 + 20 y(5.7 y)1/3 -20], y si y (5.7 y)1/3 el costo mínimo es 1.75 y2.

224.7 El concepto de metapoblaciones Una de las principales características de la mayoría de las situaciones de transmisión de enfermedades parasitarias, es que las poblaciones participantes (parásito y hospedero) manifiestan una cierta “partición” en tiempo y espacio que se evidencia en unidades poblacionales numerosas, pequeñas y separadas, que colonizan, se establecen y desaparecen permanentemente. Ya (Nicholson and Bailey, 1935) alertaron sobre la importancia de esta partición en la dinámica de los procesos poblacionales y las condiciones de equilibrio y, por ello mismo, en las condiciones y características de la transmisión. Esta forma de estudio de la partición en tiempo y espacio fue posteriormente definida por (Levins, 1969) como constituida por una serie de extinciones y colonizaciones de poblaciones locales. En dicho trabajo y otros desarrollados posteriormente (Levins, 1970) se observan claramente los componentes que sugieren su aplicación al control de plagas, particularmente mediante el control biológico, y a los problemas epidemiológicos. Actualmente el concepto de metapoblaciones ha alcanzado niveles de mayor complejidad, demostrándose que los procesos metapoblacionales tienen profundos efectos sobre la persistencia demográfica, la coexistencia de las especies interactuantes, la variación genética y la evolución (Hastings and Harrison, 1994). El modelo matemático original para el análisis de la dinámica de metapoblaciones se basaba en una población dividida en poblaciones locales de un cierto hábitat (comúnmente denominadas “parches”, traducción libre e incorrecta del inglés “patches”). Las suposiciones simplificadoras eran muchas: (a) el número de parches era alto (de manera que los factores estocásticos podían despreciarse), (b) las densidades en los parches podían llegar a ser altas de manera que no era posible ignorar los fenómenos de densodependencia, (c) los parches estaban todos constituidos por habitats idénticos, (d) los parches estaban todos equidistantes entre sí, y (e) la dinámica de poblaciones a nivel de cada parche era tan “rápida” que los parches eran descriptos como pertenecientes a sólo dos estados: ocupados o desocupados. En resumen, los únicos procesos ecológicos que operaban eran la extinción “local” de un parche o la colonización de un parche desocupado por los emigrantes de los parches ocupados. Estas suposiciones permitieron presentar un modelo muy sencillo, que se puede expresar en términos de la tasa de cambio de la proporción de parches ocupados, dada por (4), donde p representa la fracción de parches ocupados, e es un parámetro que expresa la tasa de extinción de los parches ocupados, y m el parámetro que representa la tasa de colonización de los parches desocupados.

ep - p)-mp(1 =dtdp (4)

El comportamiento de este modelo es bastante sencillo: si la tasa de colonización es mayor que la tasa de extinción (o sea, si m>e) entonces la metapoblación mostrará un equilibrio estable con una fracción p= 1- e/m de parches ocupados. En caso contrario se dará la extinción a nivel de la metapoblación. 5. MODELOS ESPECÍFICOS

235.1 Características generales de los modelos epidemiológicos Existe una gran variedad de modelos matemáticos desarrollados para representar la epidemiología de enfermedades parasitarias. Su base fundamental es sumamente simple: existe una población de hospederos en la cual un número reducido de sus miembros padece alguna enfermedad o parasitosis que puede ser transmitida a otros miembros de esa población, en forma directa o mediante alguna población vectora. Por otro lado en la mayor parte de estos modelos el objetivo es determinar la posibilidad que la enfermedad se propague y estimar la proporción de la población total afectada a largo plazo (bajo la suposición que la enfermedad se establecezca). Para lograr este objetivo se necesita incorporar en la estructura de los modelos los mecanismos de transmisión que parecen producir esos efectos. Con este fin en general se parte de una subdivisión de la población es tres categorías: (a) susceptibles (S), (b) los individuos infectados (I), que podrían transmitir la enfermedad a otro individuo o a una especie vectora, y (c) los individuos resistentes (R), que son los que han perdido la capacidad de ser infectados, por haber adquirido inmunidad natural o por vacunación; estos individuos desde luego ya no contribuyen a la posterior tranmisión de la enfermedad. El modelo más simple basado en estas tres categorías es:

NIS R

INIS I

NIS S

β

σβ

β

−=

−−=

−=

'

1'

'

donde los apóstrofes representan las derivadas en función del tiempo, y β es la tasa efectiva de contacto per cápita. En este modelo hay tres suposiciones básicas:

1. No hay muertes (éstas se consideran despreciables durante el período de análisis de la epidemia); por consiguiente N= S+I+R y además N’=0.

2. La transmisión es al azar; ello queda evidenciado porque la probabilidad que un susceptible reciba una infección de un infeccioso es 1/N.

3. La tasa de remoción de individuos infectados (por inmunidad) es constante e igual a 1/σ , donde σ , es el período promedio de infección (tiempo promedio en que un infectado permanece en la clase de los infecciosos).

En general se acepta que β depende del tamaño de la población (es decir, β= β(Ν)) y usualmente se le asigna una relación muy sencilla del tipo: β= pπ(N) donde p denota la probabilidad de transmisión y π(N) denota el número de contactos por individuo, y π(N)S representa el número de contactos promedio por unidad de tiempo en toda la población susceptible. Dado que se supone una mezcla al azar, los contactos entre los individuos de las tres categorías también lo es, y la proporción de susceptibles que entra en contacto con infecciosos

24es I/N. Por lo tanto la tasa total promedio de contactos por unidad de tiempo será [π(N)S] (I/N). Pero no todos los contactos se convierten en infecciones, sino sólo p de ellos. Por consiguiente la incidencia (nuevo número de casos de infección por unidad de tiempo) está dada por B= p [π(N)S] (I/N). Cuando la categoría de individuos R no existe, se trata de enfermedades en las cuales no se genera inmunidad, y en consecuencia los modelos que las describen se denominan modelos SIS. En general los procesos de transmisión de enfermedades parasitarias, especialmente aquellas mediadas por vectores, suelen ser bastante más complejos. A continuación se presenta el desarrollo de los modelos de dos enfermedades particulares: la leishmaniasis y la enfermedad de Chagas. 5.2 Modelos de dos enfermedades particulares

5.2.1 Un modelo de leishmaniasis cutánea Los organismos causantes de la leishmaniasis son protozoarios del género Leishmania (L. braziliensis, L. mexicana, L. tropica, L. major), siendo sus principales vectores dípteros flebótomos, en especial en América, del género Lutzomyia. Diversos mamíferos silvestres son los principales reservorios. La Fig. 10 presente de manera esquemática la relación entre el hombre, los reservorios y el insecto vector Pero el esquema de la Fig. 10 enmascara la compleja realidad detrás de la transmisión, particularmente la que surge cuando deseamos no sólo representar los indicadores adecuados para verificar el comportamiento de un modelo de leishmaniasis (por ejemplo, las cicatrices de las lesiones), sino también si deseamos considerar los aspectos inmunológicos (por ej., la reacción de Montenegro, que se usa para detectar la presencia de infección reciente o pasada en la población general). La Fig. 11 muestra algunas de esas relaciones. Los diferentes parámetros que participan en esta descripción de la transmisión se detallan en la Fig. 12, que ahorra una descripción verbal detallada de cada uno de ellos. Lo que se presenta a continuación es un resumen de un trabajo en desarrollo (Rabinovich y Torres, en preparación). Para el desarrollo de un modelo que refleje las relaciones de las Figs. 11 y 12, se necesita estimar los parámetros, para lo cual se precisan datos de: (1) prevalencia de la leishmaniasis cutánea en función de la edad, lo que permite estimar los parámetros λm y ρ (Fig. 13) en base a

la ecuación: (2) la abundancia y la positividad de los flebótomos en el lugar de la transmisión, así como la tasa de picada para estimar las picadas potencialmente infectivas por persona por mes; y (3) el número de nuevos casos de leishmaniasis cutánea en un cierto período. Información adicional como la condición inmunológica de la población, así como la correlación cruzada entre los picos de flebótomos y los picos de lesiones cutáneas (que permiten estimar el retraso entre la picada infectiva y la aparición de la lesión), son también de utilidad en la

( )a(-

m

m me-1.(a)STM ρ).+λ+

ρ+λλ=

25“parametrización” del modelo. Si la fuerza de infección clínica (λ l) fuera constante en el tiempo, existen varias formas de calcular proporción de nuevos casos de leishmaniasis cutánea entre los susceptibles iniciales como una función del tiempo. Sin embargo, en condiciones de campo esta fuerza de infección es variable de acuerdo la variación en la densidad de los flebótomos y de la proporción de flebótomos infectados. Para ello desarrollamos un modelo que predice los nuevos casos cuando la transmisión es variable, y que está dado por:

],(-],(-] 00 zktztS

eztztSektTP(t −− +−−−=+≤<

εε

Donde T es la variable aleatoria “tiempo en el que una persona entre las N personas susceptibles desarrollará síntomás de leishmaniasis cutánea”, ε es la eficiencia de transmisión, y donde S(i,j] es el número esperado de picadas de flebótomos infectados que una persona recibe en el intervalo (i, j] con t>t0. Las resultados se presentan en la Fig. 14, en base a una población 205 susceptibles de entre 258 personas, de la localidad de La Planta, Estado Miranda, Venezuela. Si bien existe una pequeña discordancia entre los nuevos casos observados y esperados de leishmaniasis cutánea se puede observar como el modelo puede predecir con bastante fidelidad las épocas de máxima incidencia de lesiones, las cuales aparecen aproximadamente dos meses después de los picos de abundancia de flebótomos positivos. Tomando en cuenta que los muestreos de los flebótomos suelen tener varianzas muy grandes, dichas discordancias pueden considerarse relativamente satisfactorias.

5.2.2 Un modelo de la enfermedad de Chagas La enfermedad de Chagas ha sido muy estudiada y se conocen bastante bien todos los elementos esenciales que contribuyen a su transmisión. El agente etiológico (Trypanosoma cruzi) es fundamentalmente transmitido por un insecto vector conocido con distintos nombres vulgares en diferentes regiones de América Latina (vinchucas, chinches, chipos o barbeiros). Los géneros de estos insectos que adquieren particular importancia en la transmisión de la enfermedad de Chagas son el género Triatoma con las especies Triatoma infestans, Triatoma dimidiata y Triatoma brasiliensis como principales vectores, el género Rhodnius, con Rhodnius prolixus y Rhodnius pallecens como principales vectores, y el género Panstrongylus, principalmente la especie Panstrongylus megistus. La distribución de estas especies en América Latina y el Caribe está bien conocida y está íntimamente asociada a la seriedad de la enfermedad en los diferentes países. En el ciclo de transmisión de esta enfermedad en muchos casos participan reservorios silvestres (roedores, comadrejas o zarigüeyas o rabipelados , zorrinos, etc.) y domésticos (especialmente perros y gatos) ( ver Cap. 2. pag ....). Existe una compleja trama de interrelaciones entre el ciclo silvestre de la enfermedad de Chagas y el ciclo doméstico de la enfermedad de Chagas (Zeledón, 1974), haciendo que ambos deban ser considerados en los planes de control de la transmisión de esta enfermedad. Estas relaciones, en términos de su contribución a la transmisión de esta enfermedad, son complicadas, ya que existen complejos procesos de migración de personas, animales e insectos vectores, diferentes tipos de domicilios que afectan la cantidad de vectores que pueden albergar, diferentes capacidades de reproducción de los insectos en función del tipo y

26cantidad de hospedadores que se encuentran en los domicilios. La Fig. 15 resume las principales relaciones en función de la transmisión del T. cruzi. El esquema de la Fig. 15 se toma como base para el desarrollo de un modelo de simulación de la transmisión de la enfermedad de Chagas, con miras a evaluar la efectividad de distintas medidas de control de dicha transmisión. En total se desarrollaron alrededor de una quincena de funciones para representar esas relaciones. Los detalles han sido publicados en (Rabinovich y Himschoot, 1990) pero, a guisa de ejemplo, la siguiente es la función del efecto de la densidad de insectos sobre la fecundidad de los mismos:

( )12

2

***

FNFNALDFN

FN

dondePHVAFNTANATCHNH

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

=

que está representada gráficamente en la Fig. 16 (evaluada para dos especies de insectos vectores: T. infestans y R. prolixus): Una vez parametrizado el modelo se organizaron las simulaciones en función de cuatro escenarios de interés:

ESCENARIO ALTERNATIVAS CONTEMPLADAS 1. Testigo (sin control de transmisión) 2. Control químico (fumigación) 3. Mejora de la vivienda rural 4. Quimioterapia 5. Inmunoterapia

Escenarios de control de la transmisión

6. Combinación de (2) y (3) Tipo 1: rancho rural típico (pared de barro o similar y techo de paja) Tipo 2: rancho rural mejorado (con por lo menos un techo de zinc)

Escenarios de tipos de

viviendas Tipo 3: casa rural de material (con paredes y piso con revoque) Tipo 1: Sin ninguna medida de educación sanitaria Tipo 2: Sacar las gallinas de las casa para reducir las fuentes de alimentación de las vinchucas (zooprofilaxis) Escenarios de

educación sanitaria Tipo 3: Con una organización de base, y la comunidad reúne

recursos propios para mejorar la vivienda, con eventual apoyo del Estado De subsistencia (70% casa tipo 1; 30% casa tipo 2; 0% casa tipo 3) De jornaleros (5% casa tipo 1; 40% casa tipo 2; 5% casa tipo 3)

Escenarios de tipos de

comunidades De cooperativa (0% casa tipo 1; 40% casa tipo 2; 60% casa tipo 3) Los resultados de la aplicación de este modelo en los diferentes escenarios se pueden sintetizar de muchas maneras; la Fig. 17 es una de las formas posibles que combina tres escenarios y presenta el riesgo de transmisión de T. cruzi como indicador de la efectividad de la interrupción control de la transmisión. Para facilitar la representación se muestran los resultados de sólo uno de los tipos de comunidad.

27Se puede observar que el control químico es el más efectivo de todos. Lo sorpresivo es que para los otros escenarios de control, el nivel de Educación Sanitaria Tipo 2 (zooprofilaxis y aceptar y/o solicitar al Estado la fumigación de las viviendas) evidencia riesgos de transmisión más altos que los de Educación Sanitaria Tipo 1 (sin ninguna medida de educación sanitaria). Un análisis de los resultados del modelo indica que la explicación de dichos resultados radicaba en que si bien la zooprofilaxis (eliminación de las gallinas del interior de las casa) disminuía el número de insectos vectores, la población de los mismos aumentaba notablemente en prevalencia (es decir, existía un porcentaje de insectos positivos mucho mayor). Ello a su vez se debía a que la fuente de alimentación estaba compuesta exclusivamente de mamíferos (particularmente perros y el hombre) que son todos ellos reservorios de T. cruzi, a diferencia de las gallinas, que son refractarias a la infección al igual que todas las aves.

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29Disease. Ciba Foundation Symposium 20 (New Series). Pp. 51-85.

30Leyendas de las figuras

Fig. 1. Representación del proceso de modelado poniendo en evidencia las diferencias entre las dos opciones que corresponden a los modelos matemáticos descriptivos y explicativos. Modificado a partir de Gold (1977).

Fig. 2. Comparación entre un modelo agregado y uno desagregado, ilustrada con la transmisión del parásito de la enfermedad de Chagas. El gráfico de arriba de la izquierda da una relación “agregada” indicando que se espera un aumento de la incidencia cuanto mayor es el número de vinchucas por persona. El mismo resultado se obtiene pero en base al aumento de la abundancia de vinchucas, por el aumento de la fecundidad, resultado de una mayor ingesta sanguínea, que a su vez responde a un comportamiento de búsqueda estimulado por los propioceptores estomacales que es función del nivel nutricional.

Fig. 3. Relaciones genéricas entre los niveles de desagregación de un modelo y su poder predictivo o explicativo.

Fig. 4. Posibles relaciones funcionales entre una variable de estado (Bi) y su componente de cambio (Tij). Fig. 5. Diferencias en la bondad de ajuste de los datos de campo (los círculos negros) a dos modelos poblacionales distintos: un modelo logístico y un modelo matricial de dos edades. Fig. 6a. Gráfico de las variaciones a lo largo del tiempo del número de individuos susceptibles e infectados resultado de un modelo epidemiológico simple. Fig. 7. Ilustración de la variedad de conceptos de estabilidad (ver texto para su descripción). (Tomado de (Orians, 1975)). Fig. 8. Representación sintéticas de las principales fuentes de error y la forma en que se incorporan para reducir las incertidumbres en el enfoque del Manejo Adaptativo. Fig. 9 Resultados de realizar un análisis de sensibilidad a un modelo de dinámica poblacional de la vinchuca Rhodnius prolixus. Se observa la gran diferencia en la respuesta de cada estadio ninfal a la modificación del 25% en el parámetro de fecundidad. Fig. 10. Esquema de las principales relaciones entre los reservorios, el insecto vector y el hombre en la transmisión de la leishmaniasis (tomado de Acha, 1977). Fig. 11. Componentes y relaciones y contribuyen a la transmisión de la leishmaniasis cutánea. MST representa la prueba de Montenegro. M y L representan la positividad (+) y la negatividad (-) de tipo inmunológico y clínico, respectivamente. Fig. 12. Relación entre los parámetros que participan en el modelo que se presenta para describir la transmisión de la leishmaniais cutánea. λ1= fuerza de infección clínica; λm= fuerza de infección inmunológica; α= proporción de infecciones que resultan en lesiones epidérmicas (λ1= αλm); β= número medio de picadas de flebótomos recibido por persona por unidad de tiempo; m= tasa de picada de flebótomos positivos (picadas potencialmente infectivas/persona/mes); p= proporción de flebótomos que son positivos; ε = eficiencia de

31transmisión. Fig. 13. Estimación de los parámetros λm= fuerza de infección inmunológica y ρ (tasa instantánea de reversión MST+ a MST-). En base a datos de prevalencia de leishmaniasis cutánea en función de la edad de la población de la localidad de La Planta, Estado Miranda, Venezuela. Fig. 14. Nuevos casos de leishmaniasis cutánea observados y predecidos por el modelo, y la abundancia de flebótomos positivos, en un análisis de casi dos años de datos en la localidad de La Planta, Estado Miranda, Venezuela. Fig. 15. Principales relaciones entre componentes en función de la transmisión del T. cruzi para una situación de tipo subtropical o tropical en la que las distancias entre las casa y la vegetación es importante en vincular los ciclos silvestres y domésticos. Fig. 16. Función del efecto de la densidad sobre la fecundidad evaluada para T. infestans y R. prolixus. Fig. 17. Resultados de la efectividad de la interrupción control de la transmisión de T. cruzi bajo seis escenarios posibles de control, en uno de los tipos de comunidades, para tres niveles de educación sanitaria. Para el Nivel de Educación Sanitaria 3 se ha utilizado un eje de escala diferente para diferenciarlos de los otros dos, pero debe destacarse que el riesgo de transmisión de T. cruzi es despreciable frente a los otros dos niveles de educación sanitaria.

32

Modelo descriptivo

Datos

Relación

Predicción

Predicción(Bajo mayor amplitud de situaciones,

aceptándose extrapolaciones prudentes)

Inferencias(Orientadas a situaciones afines)

Concepto

Relación

Comprensión Interpretación

Modelo explicativo

Fig. 1

33

No. vinchucas/personaInci

denc

ia d

e C

haga

s No. de personas

No. de vinchucas

Fecundidad

No.

de

vinc

huca

sFe

cund

idad

Nivel nutricionalde las vinchucas

Niv

el n

utri

cion

alde

las

vinc

huca

sNo. de personas

Nivel nutricionalde las vinchucas

Estím

ulo

d e lo

spr

o pio

c ept

ores

Estímulo de lospropioceptores

Com

porta

mie

nto

d eb ú

squ e

da d

e a l

ime n

to

Comportamiento debúsqueda de alimento

Act

ivac

ión

sens

ore s

t érm

i cos

Activación sensorestérmicos

Inge

sta

sang

uíne

a

Modelo agregado

Modelo desagregado

Fig. 2

34

Desagregación

No.

de

com

pone

ntes

No. de componentes Nivel de explicación

Niv

el d

e ex

plic

ació

n

Pode

r pre

dict

ivo

Fig. 3

Bi

Tij

Fig. 4

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8

Tiempo

No.

de

indi

vidu

os

10

Modelo logístico

Modelo matricialde dos edades

Fig. 5

35

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

0 100 200 300 400 500 600

Tiempo

Sus

cept

ible

s

0

5

10

15

20

25

Infe

ctad

os

Población susceptible Población infectada

Fig. 6a

900

925

950

975

1000

1025

1050

1075

1100

0 5 10 15 20 25No. de infectados

No.

de

susc

eptib

les

Fig. 6b

36

Fig. 7

37

Manejo adaptativo del ambiente

Errores en laimplementaciónde las acciones

Perturbacionesnaturales

Decisiones yAcciones

PolíticaRetroactiva

Sistema bajomanejo

Estimacióncon el modelo

Prediccionesde las variables

de estado

Informaciónde los

monitores

Errores demedida

Valor deparámetros y

variablesdel sistema

¿Diferenciasaceptables?

No Si

Identificación dela fuente de error

Manejo adaptativo del ambiente

Errores en laimplementaciónde las acciones

Perturbacionesnaturales

Decisiones yAcciones

PolíticaRetroactiva

Sistema bajomanejo

Decisiones yAcciones

PolíticaRetroactiva

Sistema bajomanejo

Estimacióncon el modelo

Prediccionesde las variables

de estado

Informaciónde los

monitores

Errores demedida

Valor deparámetros y

variablesdel sistema

¿Diferenciasaceptables?

No Si

Identificación dela fuente de error

Fig. 8

38

Fig. 9

Fig. 10

39

L- L+

M-

M+

δ δ

M- L- M- L+

M+ L- M+ L+

δ δ

ρ ρ(1-α) λ+κ

λ+κ

γ

αλ

π(αλ)

β= nacimientos; δ= muertes; γ= pérdida cicatriz; λ= fuerza de infección;ρ= pérdida positividad MST; κ= fuerza de infección por reacción cruzada;α=prop. de picadas lesión cicatriz; π= riesgo relativo M+ L- / M-L-

βN

L- L+

M-

M+

δ δ

M- L- M- L+

M+ L- M+ L+

δ δ

ρ ρ(1-α) λ+κ

λ+κ

γ

αλ

π(αλ)

β= nacimientos; δ= muertes; γ= pérdida cicatriz; λ= fuerza de infección;ρ= pérdida positividad MST; κ= fuerza de infección por reacción cruzada;α=prop. de picadas lesión cicatriz; π= riesgo relativo M+ L- / M-L-

βN

Fig. 11

40

Fig. 12

41

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 20 40 60 8Edad (años)

Pro

porc

ión

MS

T +

0

Fig. 13

42

0

1

2

3

4

5

6

7

J9 1 F 9 1 M 9 1 A 9 1 M 9 1 J9 1 J9 1 A 9 1 S9 1 O 9 1 N 9 1 D 9 1 J9 2 F 9 2 M 9 2

M o n th

P o sit iv e sa n d f lie s

O b ser v e d n e w c a se s

E x p e c te d n e w c a se s

Fig. 14

43No. de personas

No. de animales

No. de vinchucas/hosp

Tipo de casa

Natalidad

Vinchucas no Infectadas

Vinchucas Infectadas

Prop vinchucas infectadas

Inmigración

Activa Pasiva

Distancia palma-casa Distancia casa-casa

Tipo de casaEnemigos naturales

Emigración EmigraciónMortalidad

Frec. picadas Prefer. sangre

No. de personas

No. de animales

No. de vinchucas/hosp

Tipo de casa

Natalidad

Vinchucas no Infectadas

Vinchucas Infectadas

Prop vinchucas infectadas

Inmigración

Activa Pasiva

Distancia palma-casa Distancia casa-casa

Tipo de casaEnemigos naturales

Emigración EmigraciónMortalidad

Frec. picadas Prefer. sangre

Fig. 15

44

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Densidad total (vinchucas / casa)

No.

de

huev

os /

hem

bra

/ día

Rhodnius prolixusTriatoma infestans

Fig. 16

45

Riesgo de transmisión (Tipo de Comunidad 1)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Testigo Controlquímico

Mejora deviviendas

QuimioterapiaInmunoterapiaC. químico +Mejora viv.

Tipo de Campaña de Control

Edu

caci

ón S

anita

ria 1

y 2

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.0035

0.004

0.0045

0.005

Edu

caci

ón S

anita

ria 3Nivel de Educación Sanitaria 1

Nivel de Educación Sanitaria 2Nivel de Educación Sanitaria 3

Fig. 17