1. Inženjerski pothvat - ffri.hrzvonimir/Kvantitativne/01 Inzenjerski pothvat.pdf · 4 Kvantitativne metode 1.1.1 Strojarski inženjeri Strojarski inženjeri se u pripremi inženjerskih

1. Inženjerski pothvat 1.1 Uvod 1

1.1.1 Strojarski inženjeri 4 1.1.2 Morfologija pripreme inženjerskih pothvata 5 1.1.3 Sistemska analiza i blok sheme 7

1.2 Prikupljanje podataka i vrijednosti veličina 9 1.2.1 Zapisi vrijednosti veličina 9 1.2.2 SI jedinice i zakonom dopuštene jedinice izvan SI-a 11 1.2.3 Dimenzije i dimenzijska analiza 11

1.3 Modeliranje, simulacija i optimalizacija 12 1.3.1 Modeliranje 13 1.3.2 Simulacija 14 1.3.3 Optimalizacija 15 1.3.4 Opći kvantitativni postupak 15

1.4 Proračun 16 1.4.1 Vrste proračuna 16 1.4.2 Tijek proračuna 17 1.4.3 Preračunavanje podataka/rezultata proračuna 18

1.1 Uvod Inženjerskim pothvatom se naziva skup različitih aktivnosti koje poduzima inženjer (sam

ili s timom suradnika) kako bi ostvario postavljeni cilj:

U pravilu, konačni je cilj inženjerskog pothvata povećanje dobiti tvrtke – neposredno (npr. povećanje prihoda izlaskom na tržište s novim proizvodom) ili posredno (npr. smanjenje troš-kova reorganizacijom proizvodnje).

Uspješnom pothvatu prethodi temeljita priprema:

2 Kvantitativne metode

Zajedničko je svim aktivnostima pripreme korištenje različitih kvantitativnih metoda (mo-deliranja, proračuni, simulacije, optimalizacije) koje rezultiraju jasnim pokazateljima:

a) kvanititativnim, koji se izražavaju s brojčanim iznosima i jedinicama, na primjer, promjer d = 12 mm, sila F = 1200 N, trošak T = 294 kn, ili

b) semi-kvantitativnim s opisnim izrazima, na primjer, dobar izgled, odlična otpornost koroziji, slaba temperaturna postojanost.

U pravilu, kvantitativnoj, odnosno semi-kvantitativnoj analizi prethodi detaljna kvalitativna sistemska analiza aktualnog problema.

Sve oštrija konkurencija na tržištu nameće potrebu stalnog istraživanja i/ili razvoja, te stjecanje novih znanja i usvajanje inovacija (novi ili poboljšani proizvodi i/ili).

• Istraživanje (viša razina tima, opreme i očekivanih rezultata)

• Razvoj (niža razina tima, opreme i očekivanih rezultata)

Za provedbu istraživanja/razvoja inženjer treba oprezno odabrati tim suradnika, imajući u

vidu da stariji iskusni suradnici mudro daju prednost u praksi iskušanim i potvrđenim proiz-vodima i/ili tehnologijama (i kvantitativnim metodama), u odnosu na izazovne inovacije ko-jima daju prednost mlađi neiskusni suradnici. Iskusni inženjeri znaju da je razvoj u pravilu moguć u malim koracima, te da se rad potreban za razradu inovacije i prateći troškovi često značajno podcijene. Međutim, kad je poželjan inženjerski pothvat koji podrazumijeva značaj-ne inovacije, što je danas relativno čest slučaj, prethodna iskustva starijih inženjera mogu zbog predrasuda kočiti generiranje i usvajanje inovacija („Nemoj sada filozofirati!“).

Konstruiranje dijelova (uz korištenje dostupnih materijala) i projektiranje sustava (uz korištenje dostupnih dijelova) obuhvaćaju prije svega proračune, nacrte i opise, kao apstrakci-je aktualnog dijela/sustava.

• Konstruiranje i projektiranje

Konstruiranje je tradicionalno prisutno od samih početaka nastave na tehničkim fakulteti-

ma. Međutim, pristup projektiranju „po receptima iz kuharice“ (do oko 1970. godine) diskre-ditirao je projektiranje, te je ono isključivano iz sveučilišne nastave.

Suvremenim pristupom kvantitativnim metodama (od oko 1960. godine), sa sistemskom analizom koja pored proračuna obuhvaća modeliranje, simulaciju i optimalizaciju, uz raču-nalnu podršku, značajno je unaprijeđeno projektiranje i ono ponovo nalazi svoje mjesto u fa-kultetskoj nastavi. Naravno, novim pristupom kvantitativnim metodama značajno je unaprje-đeno i konstruiranje.

Uspostavljanjem optimalnog režima pogona sustava (s održavanjem) postiže se: (a) konti-nuirana proizvodnja (minimalni broj/trajanje zastoja u radu) i konstantna kvaliteta proizvoda (stabilna prodaja) uz (b) minimalne sumarne troškove.

01. Inženjerski pothvat 3

Pogonski inženjeri analiziraju, pripremaju, startaju, kontroliraju i prekidaju proizvodne procese. Pod kontrolom se ovdje podrazumijeva praćenje odvijanja proizvodnog procesa te brzo uočavanje i učinkovito otklanjanje poremećaja.

Inženjeri održavanja provode mjere preventivnog održavanja opreme i otklanjaju kvarove. U cilju postizanja optimalne učinkovitosti oni stalno analiziraju i po potrebi prilagođavaju op-remu – njenu pripravnost (po potrebi oprema može odmah startati s radom), pouzdanost (sta-bilni rezultati rada opreme usprkos poremećajima pogonskih uvjeta) i fleksibilnost (moguća je prilagodba opreme različitim zahtjevima).

Bez učinkovite organizacije rada tima mala je vjerojatnost uspješne pripreme inženjer-

skog pothvata, a ponekad se značajni ciljevi mogu postići učinkovitijom organizacijom kao inovacijom. Učinkovita organizacija usklađuje često suprotne interese članova tima u pripre-mi pothvata (maksimalna plaća uz minimalni napor) usmjeravajući ih ka postizanju optimal-nog rješenja. Korištenjem kvantitativnih metode rješava se temeljni problem organizacije – iz-rada kvantitativnih ili bar semi-kvantitativnih podloga za donošenje tehno-ekonomski oprav-danih odluka. U odsustvu takvih podloga inženjer se mora oslanjati na kvalitativni inženjerski osjećaj koji je dragocjen za tvrtku ali može biti u velikoj mjeri frustrirajući za inženjera.

Pripremu inženjerskih pothvata u pravilu prate osobito značajne ekonomske analize (po-većati dobiti tvrtke). Pri tome se inženjeri ne upuštaju u dublje ekonomske analize, kao što je, na primjer, suvremena BSC (Balanced ScoreCard) sistemska analize kojom se parcijalne ak-tivnosti usmjeravaju k učinkovitoj realizaciji strategije tvrtke.

Dublje, detaljne ekonomske analize inženjeri trebaju ih prepustiti ekonomistima te od njih tra-žiti jasna kvantitativno obrazložena usmjeravanja pripreme pothvata.

Inženjeri ipak moraju u dovoljnoj mjeri poznavati elementarnu ekonomsku analizu (orijen-tacioni troškovi i cijene te mogućnosti osiguranja financiranja) kako bi pothvat, u čiju je prip-remu često već uloženo mnogo vremena i truda tima, mogli kvantitativno braniti od neoprav-danog prekida s kvalitativnim obrazloženjem: „Nema financijskih sredstava!“. Ipak, neki se inženjerski pothvati provode u cilju opće dobrobiti i kada nisu ekonomski opravdani, na prim-jer, ekološki opravdana izgradnja spalionice smeća.


1.1.1 Strojarski inženjeri Strojarski inženjeri se u pripremi inženjerskih pothvata oslanjaju prije svega na znanja iz

matematike, fizike, materijala, mehanike krutih tijela, mehanike fluida i topline, organizacije i ekonomije . Teško je nabrojati sve poslove koje danas obavljaju strojarski inženjeri, a rijetka je srednja ili veća tvrtka ili institucija u kojoj nema posla za strojarskog inženjera (T-1.1).

Malo je vjerojatno da će strojarski inženjer koji danas počinje s radom do kraja karijere os-tati usko specijaliziran samo za obavljanju jedne vrste posla (npr. konstruiranje dijelova stro-jeva za obradu metala rezanjem) na radu u samo jednoj tvrtki (npr. proizvodnja strojeva za obradu metala rezanjem). Međutim, široka i temeljita izobrazba, uključivo ovladavanje suv-remenim kvantitativnim metodama, omogućava strojarskim inženjerima relativno laku prila-godbu novim poslovima u novim tvrtkama/institucijama.

Od strojarskog se inženjera se očekuju sljedeće osobine: • interes za strojarsku tehniku i različite inženjerske aktivnosti • sposobnost uočavanja, analize i definiranja problema te njihovo kreativno i praktič-

no rješavanje • interes za kvantitativne metode i tehničko crtanje • sposobnost rada bez nadzora i prihvaćanje odgovornosti • volja za poštivanje propisa, normi, preporuka, osobito mjera zaštite na radu • sposobnost dobre usmene i pismene komunikacije

S jedne strane, ako neko ne posjeduje ove osobine nema smisla utrošiti puno napornog ra-da za stjecanje diplome strojarskog inženjera. S druge strane, većina se pobrojanih osobina može i steći upornim radom tijekom studija, a to ima smisla jer strojarski inženjer lako nalazi posao i za njegovo je obavljanje dobro plaćen. Na primjer, u SAD je srednja godišnja plaća strojarskih inženjera bila 2007. godine oko 70 000 $, a ispod 10 % inženjera imaju plaće ma-nju od 45 000 $ i veću od 105 000 $.

Tablica T-1.1 Poslovi koje obavljaju strojarski inženjeri

Poslovi koje danas u praksi obavljaju strojarski inženjeri

Tvrtke i institucije u kojima se zapošljavaju strojarski inženjeri

konstruiranje dijelova strojarskih sustava razrada tehnologija izrade dijelova organizacija i kontrola proizvodnje dijelova organizacija i poboljšanje kvalitete organizacija i nadzor ugradnje dijelova projektiranje strojarskih sustava (podsustava) izbor pogonskih materijala razrada tehnologija izgradnje sustava organizacija i nadzor izgradnje sustava organizacija i nadzor puštanja u rad organizacija i nadzor probnog rada organizacija i kontrola tehnoloških procesa organizacija i nadzor održavanja i popravaka ispitivanje i poboljšanje kvalitete procesa provedba mjera zaštite (na radu i okoline) analiza troškova proizvodnje izrada pogonskih uputa za proizvode analiza rada i prilagodba proizvoda

metaloprerađivačka industrija industrija strojeva za poljodjelstvo automobilska industrija industrija šinskih vozila brodogradnja zrakoplovna industrija industrija elektroopreme prehrambena industrija kemijska i petrokemijska industrija naftna industrija projektne organizacije rudnici i metalurška industrija poljoprivredne organizacije građevinarske organizacije komunalne organizacije željeznica i transportne organizacije elektrocentrale, toplane, hladnjače državna uprava, škole i fakulteti


1.1.2 Morfologija pripreme inženjerskih pothvata Tijekom pripreme pothvata, strojarski inženjer, sam ili s timom suradnika, s jasnom i jed-

noznačnom predodžbom cilja, prikuplja podloge, postavlja, razrađuje i selektira rješenja, te dolazi do najboljeg načina ostvarivanja postavljenog cilja u okvirima aktualnih ograničenja – optimalnog rješenja (S-1.1, S-1.2).

Slika S-1.1 Vrste rješenja i ograničenja Slika S-1.2 Tijek pripreme pothvata

Jedan dio ograničenja, koje inženjer ne može mijenjati (npr. prirodni resursi, ekonomske zakonitosti, norme), naziva se vanjskim ograničenjima (S-1.1) – ona obuhvaćaju skupinu doz-voljenih rješenja. Drugi dio ograničenja manje je krut (npr. raspoložive tehnologije, financij-ski resursi, suradnici) i inženjer ih tijekom pripreme pothvata može u izvjesnoj mjeri promi-jeniti. Ova se ograničenja nazivaju unutarnjim ograničenjima i obuhvaćaju skupinu mogućih rješenja. U pravilu, samo jedno od mogućih je i optimalno rješenje – predstavlja najbolji mo-gući način ostvarivanja cilja pothvata. Utvrđeno optimalno rješenja sijedi konačna odluka, temeljena na tehno-ekonomskim kvantitativnim ili bar semi-kvantitativnim podlogama.

Od prve vizije cilja do optimalnog rješenja dolazi inženjer iterativnim postupkom (S–1.2): 1. Na samom početku rada mora se postaviti cilj pothvata i odrediti uvjete pod kojima

se on ostvaruje. Postavljeni cilj se tijekom pripreme pothvata dalje razrađuje na parcijalne ciljeve i uvjete njihovog ostvarivanja, iz čega slijede raspodjele zadataka po suradnicima u timu (engleska kratica 5W + H: zašto, ko, što, kada, gdje i kako).

Postavljeni cilj mora biti kratko, jasno i jednoznačno određen (vizija cilja + kvalitativna sistemska analiza). Na primjer, cilj može biti „povećanje dobiti uvođenjem robota u proizvodnju“ (ne „smanjivanje troškova proizvodnje“ – troškovi proizvodnje će vrlo vjerojatno biti povećani, ali će to biti nadoknađe-no povećanom prodajom kvalitetnijeg proizvoda), ili, cilj je „zaštita okoliša iz-gradnjom spalionice smeća“ (ne „smanjivanje troškova grijanja grada“ – uku-pni troškovi grijanja i sanacije smeća će vjerojatno biti tek neznatno smanjeni). Pri određivanju uvjeta treba razlikovati utvrđene neophodne potrebe (bezuvjet-no se moraju poštovati, a u slučaju nemogućnosti njihovog zadovoljavanja odustaje se od pripreme pothvata) i izražene želje (obavezno se trebaju pošto-vati) koje se tijekom pripreme pothvata ipak, u suglasnosti s investitorom, u izvjesnoj mjeri mogu obrazloženo izmijeniti. Na primjer, određeno tehničko svojstvo nekog proizvoda može biti poželjno (izražena želja odjela prodaje), ali ga je teško/skupo ispuniti (odjel proizvodnje), te se postavljeni cilj mora us-kladiti s troškovima proizvodnje i mogućnostima prodaje.


Određeni uvjeti se tijekom razvoja pothvata više puta kritički analiziraju, a ako se to pokaže opravdanim i u izvjesnoj mjeri mijenjaju. (Po Chaddocku, uspješna priprema inženjerskog pothvata predstavlja preobra-žaj nejasno definiranih želja u zadovoljnog investitora.)

2. Na početku pripreme pothvata moraju se prikupiti sve potrebne podloge (relevan-tne informacije). Prikupljanje podloga (npr. svojstva materijala, dostupne tehnolo-gije proizvodnje), koje obuhvaća i metode kvantitativnog rješavanja parcijalnih problema (statističke obrade podataka, modeliranja, proračuni, simulacije, opti-malizacije), faza je koja izaziva najveće utroške vremena i frustracije, a može biti praćena i visokim troškovima dobavljanja stručne literature i konzultacija.

Osnovni izvori informacija su stručna literatura (sveučilišni udžbenici, monog-rafije, priručnici i članci), te važeći propisi, norme, preporuke i podloge proiz-vođača materijala i opreme. Osobito korisne informacije se često nalaze u pod-logama proizvođača (u pravilu su besplatne). Nedostatak literature, propisa, normi i preporuka (cijene), te podloga proizvo-đača (mogućnost dobavljanja), može se u izvjesnoj mjeri ublažiti usmjerenom pretragom Interneta.

3. Postavljanje rješenja (načina ostvarivanja postavljenog cilja) najkreativniji je dio provedbe inženjerskog pothvata – tu inženjer treba pustiti inženjerskoj mašti na vo-lju, ali, imati u vidu i vanjska/unutarnja ograničenja.

Pri postavljanju rješenja treba razlikovati tri tipa pothvata:

Kod priprema pothvata tipa (a) prednost ima sklonost provjerenim rješenjima starijih inženjera, a kod pothvata tipa (b) i (c) sklonost izazovnim inovacijama mlađih inženjera. Moguća rješenja se opisuju grubim skicama i blok dijagra-mima dijelova/sustava s bitnim opaskama, te listama osnovnih svojstava i fun-kcija komponenata. Kako se rijetko sreće s potpuno novim dijelom/sustavom, pri postavljanju mogućih rješenja inženjer se u velikoj mjeri oslanja na pretho-dna iskustva – osobna ili tuđa.

4. Postavljanje dozvoljenih rješenja se ne može odvojiti od procesa razrade mogućih rješenja i njihove selekcije u kome se mogu razlikovati sljedeće tipične faze: • selekcija ideja – izloženih bez ikakvih ograničenja, • selekcija dozvoljenih rješenja (samo su možda moguća) – u okvirima vanjskih

ograničenja, • selekcija mogućih rješenja – u okvirima unutarnjih ograničenja i • selekcija pogodnih rješenja – kandidata za optimalizaciju.

U svakom koraku se rješenje razrađuje do razine potrebne za aktualnu fazu se-lekcije, a s napredovanjem kroz faze selekcije razrada postaje sve detaljnija (proračuni, nacrti, predmjeri i predračuni). U ranim fazama je dostatna gruba selekcija na temelju inženjerskog osjećaja/prosuda i okvirnih cijena, a rješenje se odbacuje odmah nakon uočavanja njihovih nedostataka.


5. Izbor optimalnog rješenja kod jednostavnih problema moguće je provesti samo na temelju inženjerskog osjećaja, dok je za složenije probleme razvijen veći broj for-malnih (do detalja razrađena/usvojena rutina) postupaka optimalizacije. Za izbor optimalnog rješenja iz skupa pogodnih rješenja u pravilu su potrebne detaljne raz-rade pogodnih rješenja, koje često prate i provedbe manje ili više složenih mjere-nja, te dolazi do značajnog povećanja troškova. Na kraju, preostaje odluka koju donosi inženjer oslanjajući se na rezultat optimalizacije i inženjerski osjećaj.

1.1.3 Sistemska analiza i blok sheme Sistemska analiza u pravilu izučava manje ili više složene sustave formirane od kompo-

nenata koje ispoljavaju složena dinamička uzajamna djelovanja. Pojedine komponente sustava se analiziraju kao posebni slučajevi generaliziranog izmjenjivača tvari/energija, uzimajući u obzir sve značajne ulaze i izlaze. Kod složenih sustava (npr. tvornica za proizvodnju posuda pod tlakom, termoelektrana-toplana), u prvim se koracima analize sustav razdvaja na podsus-tave prve, druge, treće … razine, sve dok se ne dođe do dovoljno jednostavnih komponenti za provedbu detaljnije analize procesa (npr. proizvodnja → radiona za obradu metala rezanjem → tokarski stroj → procesni parametri tokarenje osovina, generatori pare → ložište kotla → gorionik/puhalo → procesni parametri izgaranja goriva). Nakon okončanja analize procesa sintetiziraju se postupno sve složenije komponente, do sustava kao cjeline.

Za kvalitativnu sistemsku analizu su najpogodnije blok sheme sa skupinama izmjenjivača (S-1.3) kod kojih su svi blokovi, te ulazni i izlazni tokovi, označeni identifikacijskim ozna-kama. Korištene oznake moraju biti različite i asocijativne. Kod kvalitativne analize složenih sustava dolaze do punog izražaja prednosti blok shema (prikazani blok i ulazno/izlazni tokovi su dovoljni da članovi tima formiraju jasnu sliku aktualne komponente) u odnosu na slikovite sheme i tehničke nacrte (i kod jednostavnijih sustava se teško formira jasna slika cjeline te la-ko gubi u manje značajnim detaljima).

Oznake: SPK – sustav kome pripada aktualna komponenta AKS – aktualna komponenta sustava N – broj značajnih komponenti put – procesni ulazni tok (1 ÷ i) pit – procesni ulazni tok (1 ÷ j) sut – procesni ulazni tok (1 ÷ k) sit – procesni ulazni tok (1 ÷ l)

Slika S-1.3 Opći element blok sheme (generalizirani izmjenjivač tvari/energija)

Blok (generaliziranog izmjenjivača tvari/energija) može predstavljati, na primjer, tokarski stroj: SPK = POS (pogon odvajanja strugotine), AKS = UTS1 (univerzalni tokarski stroj broj 1), s N = 5 dijelova (S-1.4 A). Tada su: (a) komadi prije tokarenja: put1 = Kpt1 – tip 1, put2 = Kpt2 – tip 2, …, (b) komadi nakon tokarenja pit1 = Knt1 – tip 1, pit2 = Knt2 – tip 2, …, (c) majstor, tokar 1: sut1 = MTk1, električna energija 400 V∼ / 7,5 kW: sut2 = E400n, prethodno pripremljena tekućina za hlađenje/podmazivanje tipa 1: sut3 = pThp1, …, (d) stru-gotina: sit1 = str, otpadna tekućina za hlađenje/podmazivanje tipa 1: sit2 = oThp1, …. Na sli-ci S-1.4 B prikazana je grupa univerzalnih tokarskih strojeva.


Slika S-1.4 A Blok shema tokarskog stroja Slika S-1.4 B Univerzalni tokarski strojevi

Kada sistemska analiza uključuje generator pare značajni su tokovi: SPK = E (energetika), AKS = GP1 (generator pare 1) (S-1.5 A), (a) napojne vode: put1 = NVd, prikupljeni povrat-ni kondenzat: put2 = PvK, (b) vodena para svojstava 1: pit1 = VdP1, vodena para svojstava 2: pit2 = VdP2, …, (c) majstor, ložač kotla 1: sut1 = MLK1, zemni plin: sut2 = ZPl, električna energija 400 V ∼: sut3 = E400n, …, (d) dimni plinovi: sit1 = DPl, otpadna para : sit2 = OtP, gubici energije: sit3 = GbE, …. Na slici S-1.5 A prikazana je energana s dva generatora pare.

Slika S-1.5 A Blok shema generatora pare Slika S-1.5 B Energana

Na početku kvalitativne sistemske analize ne treba gubiti previše vremena na konačno cje-lovito opisivanje sustava – tijekom razvoja analize, ovisno o prirodi i dubini analize, mogu se dodati novi blokovi i tokovi kao značajni ili se pak isključiti kao beznačajni prethodno uklju-čeni blokovi i tokovi.

Izazovna je mogućnost uključivanja u analizu jediničnih troškova i cijena jer se na taj na-čin dobiva jednorodni opis svih tokova u kunama po satu rada komponente/sustava, te formira izražajna predodžba relevantnih. Na temelju tako formirane blok sheme lako se uspoređuju, na primjer, kod tokarskog stroja – sati rada radnika i utrošak materijala, ili kod kotla – proiz-vodnja pare i potrošnja goriva.


1.2 Prikupljanje podataka i vrijednosti veličina Za kvantitativnu obradu sustava, pored blok sheme, potrebni su brojni kvantitativni podaci.

U slučaju tokarskog stroja (S-1.4), na primjer, potrebni su tehnički nacrti (izgled, dimenzije, tolerancije) komada tipa 1, prije tokarenje (Kpt1) i nakon tokarenja (Knt1), te tehnološka lista s koracima i režimima obrade na tokarskom stroju. Naravno, ako se obrađuje normirani profil dovoljno je priložiti ili navesti odgovarajuću normu i aktualnu dimenziju. Ako se analizira generator pare (S-1.5), na primjer, potrebni su podaci o svojstvima i potrebnim količinama napojne vode NVd (nalaze se u projektu generatora pare, odnosno projektu sustava za prip-remu napojne vode), te svojstvima i potrebnim količinama vodene pare VdP1 i VdP2 (odre-đuju ih potrebe sustava za grijanje ili aktualnog tehnološkog procesa).

1.2.1 Zapisi vrijednosti veličina Tijekom prikupljanja tehničkih i ekonomskih podataka stalno se na umu moraju imati cje-

loviti izrazi vrijednosti veličina (brojčani iznos bez jedinice u pravilu ne znači ništa):

Na primjer, u „potpunom“ izrazu:

L = 10 mm (oznake veličina se pišu skošeno) aktualna je veličina duljina (L), brojčani iznos 10, jedinica mm. Riječ „vrijednost“ uz veliči-nu i znak množenja između brojčanog iznosa i jedinice, u pravilu se izostavljaju i podrazumi-jevaju. Prema tome, uobičajeni je zapis prethodnog izraza:

L = 10 mm koji se čita „Duljina je deset milimetara“

Treba podsjetiti i na ispravno korištenje zagrada: • vitičaste – {}, za navođenje brojčanih iznosa, na primjer: {L} = 10 • uglaste – [], za navođenje jedinica, na primjer: [L] = mm

Uglaste zagrade u zapisu: L = 10 [mm] su višak.

Brojčane iznosi mogu biti: 1. potpuni (točni), kod kojih su sve znamenke poznate – na primjer, broj raspoloživih

strojeva n = 10 kom (komada) i 2. nepotpuni (približni), kod kojih je poznat samo izvjestan broj „značajnih znamenki“

– na primjer, masa dobavljene sirovine m = 2,80 t (tona). Raspoloživih strojeva je točno 10 komada, a masa dobavljene sirovine je između 2,795 i 2,805 tona. Naime, ukoliko se posebno ne napomene, kod nepotpunih brojčanih iznosa pod-razumijeva se točnost zadnje značajne znamenke ± 0,5.

Pri određivanju broja značajnih znamenki treba imati u vidu: (a) značajne znamenke su:

(b) kod znamenki < 1 u značajne znamenke ne spadaju nule ispred prve znamenke razli-

čite od nule (0,001095 kg/cm3), a


(c) kod cijelih brojeva se ne može prosuditi o značajnosti nula iza zadnje znamenke raz-ličite od nule (1000 g/dm3), te takve zapise brojčanih vrijednosti treba izbjegavati.

Navođenjem brojčanih iznosa s većim ili manjim brojem znamenki od značajnih stvara se

zabuna oko točnosti mjerenja ili rezultata proračuna. Na primjer, ako je optičkim pirometrom izmjereno t = 1565 °C (podrazumijeva se 1564,5 < t < 1565,5 °C), ne smije se zapisati „pretočna” vrijednost t = 1565,00 °C (refleksni zapis s dvije decimale) jer se time sugerira kako je mjerenje temperature obavljeno s nekim specijalnim instrumentom (mjerenje oko 1500 °C s točnošću od ± 0,005 °C zahtijeva specijalnu opremu). Ili, zapisom rezultata pro-računa ρ = 1 kg/dm3 bitno se umanjuje točnost rezultata proračuna ako je izračunata vrijed-nost gustoće ρ = 1,00 kg/dm3.

Pri izračunavanjima broj značajnih znamenki rezultata računskih operacija određuje: (a) zbrajanje/oduzimanje – najmanji broje značajnih znamenki iza decimalnog zare-

za: (iste jedinice) Dva tijela imaju mase: m1 = 5,8 kg i m2 = 0,028 kg, te im je ukupna masa:

mu = m1 + m2 = [5,8 (5,75 ÷ 5,85) + 0,028 (0,0275 ÷ 0,0285)] kg = mu = 5,828 (5,8275 ÷ 5,8285 kg (pretočan rezultat)

mu = 5,8 kg (korektan zapis rezultata) (b) množenje/dijeljenje – operand s najmanjim brojem značajnih znamenki:

Opseg kruga polumjera r = 0,52 m: O = 2 r π = 2 0,52 (0,515 ÷ 0,525) m 3,141592654 = 3,267256360 m = 3,3 m

U izrazu za opseg kruga brojčani iznos 2 je točan i ne ograničava broj značajnih mjesta (obu-jam se ne zaokružuje: O ≠ 3 m). Točni brojevi imaju beskonačan broj značajnih znamenki (nula) – podrazumijeva se 2 = 2,00000000… .

Rezultati se izračunavanja s većim brojem znamenki od broja značajnih se zaokružuju:

Treba razlikovati tri konvencionalna zapisa brojčanih vrijednosti:

Na primjer, na vagi se mjeri količina materijala potrebna za pripremu legure. Očitani su broj-čani iznos i jedinica 400 kg (ε = ± 0,5 kg). Izmjerenu masu treba zapisati u gramima.

decimalni zapis inženjerski zapis znanstveni zapis m = 400000 g m = 400 103 g = 400 kg m = 4,00 105 g


1.2.2 SI jedinice i zakonom dopuštene jedinice izvan SI-a Od 1971. godine Međunarodni sustav mjernih jedinica SI (kratica francuskog naziva –

Système International d'Unites), obuhvaća sedam osnovnih mjernih jedinica i dvije dopun-ske.

Hrvatski Zakon o mjernim jedinicama (Narodne novine br. 58 od 18. 6. 1993.) propisuje primjenu Međunarodnog sustava jedinica, ili skraćeno SI jedinica, s tim što su iznimno dopuš-tena izvjesna odstupanja (litra, tona, minuta).

(Bez rad kod brojčanih iznosa s višekratnikom π)

U zapisima vrlo velikih i vrlo malih vrijednosti veličina koriste se decimalni višekratnici s kojima se računa kao i s brojčanim iznosima (uključivo kratice):

4,0000 107 m = 4,0000 104 10–4 107 m = 40000 103 m = 40000 k m = 40000 km

U strojarstvu se često susreću izvedene SI jedinice: Zakon dopušta jedinice van SI-a:

1.2.3 Dimenzije i dimenzijska analiza Dimenzijama se opisuju prirode veličina, a izbor osnovnih dimenzija u svakom području

fizike mora biti dovoljan za razradu svih ostalih izvedenih dimenzija.

Neovisno mjeri li se duljina u milimetrima, metrima ili kilometrima, dimenzija joj je L.

Izvedene dimenzije slijede iz definicija veličina. Na primjer, za srednju putnu brzinu izme-đu točaka 1 i 2 (vs,1/2), te potrebnu silu (F) za ubrzanje (a) tijela mase (m):

vs,1/2 ≡ 1/ 2

1/ 2

st

⇒ dim v = LT

⇒ dim v = L T–1 gdje je dim s = L – dimenzija za duljine dim t = T – dimenzija za vrijeme.

F ≡ m a ⇒ dim F = M L T–2 gdje je dim m = M – dimenzija za masu.

Dimenzijska analiza se često podcjenjuje, čak osporava, ali, neosporno je korisna u:


(a) prisjećanju na zaboravljene formule (na temelju postavke da svaka formula mora biti dimenzijski homogena:) te

(b) planiranju pokusa i uopćavanju dobivenih rezultata (smanjenje broja promjenljivih veličina – varijabli).

PRIMJER P-1.1 Odrediti ubrzanje a točke koja se giba jednoliko brzinom v duž kružnice polumjera r.

prisjeća se: a = f(v,r) = k vx ry dim a = L T–2 dim v = L T–1 dim r = L

na temelju prisjećanja: L T–2 = Lx T–x Ly (izostavljena je konstanta k)

dimenzijska analiza: za L: 1 = x + y za T: –2 = – x ⇒ x = 2, y = –1 ⇒ a = k

2vr

PRIMJER P-1.2 Priprema se eksperimentalno određivanje ovisnosti pada tlaka o brzini fluida koji struji kroz cijev. (Δp = ξ [v2/(2 g)])

Na temelju kvalitativne analize procesa strujanja fluida kroz cijev, zaključuje se: ξ = f(L,D,e,ρ,μ,v,g)

Prema tome, eksperimentalne su varijable: L, D, e – duljina, promjer i hrapavost cijevi, ρ, μ, v – gustoća, dinamička viskoznost i brzina strujanja fluida, te g – ubrzanje Zemljine teže.

Za 5 nivoa i 6 promjenljivih potrebno je 56 = 15 625 pokusa (g je konstanta). Dimenzijskom se analizom (Buckinghamov postupak) utvrđuje formula s tri bezdimenzijske promjenljive, ϕ1 , ϕ2 , ϕ3:

Δp = f1 (ϕ =1LD

, ρμ

ϕ =2v D , ϕ =3

eD

) Za 5 nivoa i 3 promjenljive potrebno je: 53 = 125 pokusa.

2

2v

g

1.3 Modeliranje, simulacija i optimalizacija Za kvantitativnu analizu originala (aktualnih strojarskih dijelova ili sustava) potrebno je

nakon sistemske analize i prikupljanja podataka formirati matematički model – skupinu for-mula, odnosno matematičkih izraza, kojima se u dovoljnoj mjeri opisuju fizička i/ili kemijska i/ili ekonomska svojstva i zakonitosti aktualnog originala. Formirani matematički model ori-ginala je temelj za proračune i/ili simulacije i/ili optimalizacije i svakako najpogodniji je oblik opisa originala ako se pri kvantitativnoj obradi koristi kompjutor.

Pri rješavanju problema strojarskog inženjerstva, u nekim je slučajevima praktično nemo-

guće utvrditi skupinu matematičkih izraza kojim bi se dovoljno točno opisao original – raspo-laže se samo s tabličnim i/ili dijagramskim opisima svojstava/zakonitosti (izvodi iz literature, podloge proizvođača, rezultati provedenih mjerenja ili eksperimentalnih istraživanja). U tak-vim se slučajevima raspoloživi tablični i dijagramski opisi pri formiranju matematičkog mo-dela prevode u matematičke izraze pogodnom statističkom obradom.


1.3.1 Modeliranje U prvom se koraku matematičkog modeliranja, na temelju sistemske analize skicira struk-

tura originala (blok sheme s blokovima i tokovima), kako bi se u drugom koraku original opi-sao skupom matematičkih izraza –matematičkim modelom (S-1.6).

original

matematički model

Slika S-1.6 Blok dijagram komponente protočnog tehničkog sustava

Pri praktičnom formiranju matematičkih modela originala (strojarski dijelovi/sustavi) treba za opisivanje selektirati samo značajna svojstva i zakonitosti. Naime, u pravilu nije moguće sve obuhvatiti formulama jer se dobiva presložen matematički model i/ili postupak njegovog rješavanja. Izbor značajnih svojstava ovisi o prirodi problema i razini analize, te podrazumije-va inženjerski osjećaj i iskustvo. Na primjer, temperatura tokarskog noža tijekom tokarenja može biti (a) beznačajna – kada se analizira potrebna snaga tokarskog stroja i (b) značajna – kada se analizira dinamika trošenja tokarskog noža.

U literaturi se navode deset načela formiranja matematičkih modela: 1. ne postavljati komplicirane matematičke modele ako se original može u potrebnoj

mjeri opisati jednostavnim (započeti s najjednostavnijim modelom, te ga po potrebi proširivati do granice matematičke obradivosti)

2. ne prilagođavati original usvojenom postupku obrade (prilagodba originala mate-matičkom modelu, obradivom savladanim postupkom i/ili dobavljenim softverom)

3. logička analiza originala mora biti rigorozna (logičke pogreške u analizi originala otežavaju kasnije utvrđivanje izvora pogrešnih rezultata – je li izvor u netočnosti prikupljenih podataka ili u greškama izbora/provedbe postupka obrade)

4. matematički model se prije praktične primjene mora provjeriti (testirati matematički model sa starim ili generiranim podacima, te ga eventualno poboljšavati do granice određene točnošću izlaznih/ulaznih informacija – S-1.6)

5. bez obzira na temeljitost analiza, postavljeni matematički model ne shvaćati nes-porno vjernim originalu (ako se rezultati proračuna, simulacije ili optimalizacije ne slažu s iskustvima prakse provesti dopunsku analizu i korigirati matematički model)

6. ne očekivati proširenje granica matematičkog modela na druge originale (mora se analizirati izbor značajnih svojstava/zakonitosti i valjanost prikupljenih podataka)

7. ne pretjerati s korištenjem istog matematičkog modela (model se može prilagođava-ti novim originalima, uz uvijek prisutnu opasnost ne uočavanja značajnih razlika)

8. značajne su koristi već od samog formiranja matematičkog modela (temeljita inže-njerska analiza pomaže u otkrivanju nelogičnosti – na primjer, prodajna cijena na tržištu izuzetno konkurentnog proizvoda je manja od troškova)

9. poboljšanje matematičkog modela ima smisla do granica određenih kvalitetom ras-položivih ulaznih informacija (povećati kvalitetu ulaznih informacija dodatnim pri-kupljanjem/obradom podataka)

10. matematički modeli ne zamjenjuju inženjere koji donose odluke (matematički mo-deli u pravilu nisu sveobuhvatni – na primjer, problemi sa sumporom u nafti)


1.3.2 Simulacija U fazi razvoja i selekcije mogućih rješenja inženjeri simulacijom ispituju i uspoređuju po-

našanje originala u stacionarnim, dinamičkim i ekstremnim radnim uvjetima. Simulacija se u pravilu obavlja s postavljenim matematičkim modelima uz računalnu podršku. Zbog niskih ci-jena moćnih hardvera/softvera digitalnih računala odustaje se od simulacije rada originala na analognim električnim modelima (analogna računala) i u slučajevima kada je njihovo koriš-tenje logičnije. U nekim slučajevima se simulacija obavlja na fizičkim neelektričnim modeli-ma (opiti u laboratorijima i na pilot uređajima).

Po postavljanju matematičkog modela usvajaju se vrijednosti nepromjenljivih veličina (uv-jeti, vanjska i unutarnja ograničenja) i izračunava broj stupanja slobode:

NSS = NV – NF gdje je: NV – broj veličina (fizičkih, kemijskih, ekonomskih) matematičkog modela NF – broj formula matematičkog modela

Broj stupanja slobode NSS određuje okvire mogućih promjena promjenljivih veličina (broj promjenljivih veličina), a moguća su tri slučaja:

a) samo jedno rješenje – nije moguća simulacija b) problem predefiniran – moguća trivijalna rješenja c) moguć veći broj rješenja (beskonačan) ⇒ simulacija.

PRIMJER P-1.3

Iz spremnika S u dva protupožarna hidranta (HA i HB) vodu tlači crpka C. Odrediti broj stu-panja slobode sustava:

Ne analiziraju se: 1. promjene atmosferskog tlaka, 2. pražnjenje bazena, 3. promjene duljine cjevovoda, 4. stupanj otvorenosti ventila, 5. otpor vatrogasnih crijeva.

Matematski model (s K je označena konstantna vrijednost): • usis crpke C (cjevovod 1): f1(v1 , p1 ) = 0 (pat = K, h = K, L01 = K) • crpka (karakteristična krivulja): f2(v2 , p1 , p2) = 0 (v2 = f(Q2) )• potis crpke (cjevovod 2): f3(v2 , p2 , p3) = 0 (L2 = K) • potis crpke (cjevovod 3): f4(v3 , p3 , p4) = 0 (L3 = K) • brzina istjecanja vode (hidrant HA): f5(vHA , p3) = 0 (ξAVen = K, LCrjA = K)


• brzina istjecanja vode (hidrant HB): f6(vHB , p4) = 0 (ξBVen = K, LCrjB = K) • jednadžba kontinuiteta (crpka): f7(v1 , v2) = 0 • jednadžba kontinuiteta: f8(v2 , vHA , v3) = 0 • jednadžba kontinuiteta: f9(v3 , vHB) = 0

NSS = NVM – NFM = 9 – 9 = 0 Prema tome, moguće je samo jedno rješenje – simulacija nije moguća. Simulaciju omogu-

ćava uvođenje dodatnih promjenjivih (linijski gubici u cjevovodima i vatrogasnim crijevima, te lokalni gubici u hidrantima), a time se približava i realnim uvjetima.

1.3.3 Optimalizacija Najvažnije je uočiti mogućnost optimalizacije (aktualni problem moguće je riješiti na više

načina). Dalji je postupak ipak manje ili više formalan – do u detalje su razrađeni brojni spe-cifični postupci (u pravilu s računalnom podrškom).

Pri optimalizaciji inženjer među selektiranim pogodnim rješenjima traži najbolje – opti-malno rješenje, oslanjajući se u velikoj mjeri na inženjerski osjećaj, te na taj način odlučuje i kada je potrebno koristiti formalne metode optimalizacije. Kod složenih originala (dijelo-va/sustava) formalna optimalizacija može biti veoma obimna i uključivati više stotina prom-jenjivih veličina sa složenim uzajamnim vezama (obiman i/ili kompliciran matematički mo-del). Obim postupka optimalizacije se može smanjiti podjelom sustava u lakše obradive dije-love, identifikacijom ključnih (najznačajnijih) promjenljivih veličina i usmjeravanjem pos-tupka k najvećem učinku. Međutim, takav postupak neće uvijek dati optimalno rješenje za original kao cjelinu.

Pri postavci optimizacije ma kog sustava, prvi korak je kvalitativno određivanje cilja i og-raničenja (popis i značajna svojstva, te uzajamno povezivanje komponenti i značajne zakoni-tosti). Kod glavnine tvrtki konačni cilj je maksimalna dobit (izuzeci su: vodovod/kanalizacije, elektroopskrba, zdravstvo, školstvo, vojska), što vodi k pod-ciljevima koje inženjer teži ispu-niti. Glavni pod-cilj inženjera u pravilu je minimalizacija pogonskih troškova (što vrijedi i kod: vodovoda/kanalizacije, elektroopskrbe, zdravstva, školstva, vojske). Često sretani pod-ciljevi su minimalizacija investicija i održavanja (minimalizacija trajanja zastoja u radu), te maksimalizacija kvalitete (minimalizacija škarta, konkurentnost na tržištu) i sigurnosti.

1.3.4 Opći kvantitativni postupak Nakon kvalitativnog određenja cilja i ograničenja provodi se kvantitativni formalni postu-

pak. Generalizirano, cilj provedbe optimalizacije se opisuje funkcijom cilja – jednadžbom:

F = j

optx f(x1, x2, …, xn) (F-1.1)

gdje je: xj – j-ta promjenljiva veličina, dok se ograničenja opisuju skupinom matematičkih izraza:

1 1 2 3 n 1

2 1 2 3 n 2

mm 1 2 3 n

g (x , x , x , ..., x ) Gg (x , x , x , ..., x ) G

.................................Gg (x , x , x , ..., x )

⎧ ⎫ ⎧ ⎫≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

⎨ ⎬ (F-1.2)

gdje je: Gj – j-ta granična vrijednost.


Prema tome, rješavanje postavljenog problema se svodi na matematičko određivanje sku-

pine vrijednosti promjenljivih veličina xi koje u okvirima zadatih ograničenja (F-1.2) daju op-timalno rješenje funkcije cilja F – njenu maksimalnu (F-1.1, opt = max) ili minimalnu vrije-dnost (F-1.1, opt = min). Pri rješavanju problema se često sreće s komplikacijama – funkcija cilja nema rješenja u okvirima određenih granica (vodi k dodatnoj kvalitativnoj analizi i inže-njerskoj eliminaciji jednog ili više ograničenja ili promjenljivih veličina), ili funkcija cilja ima bezbroj rješenja u okvirima postavljenih granica (vodi k dodatnoj kvalitativnoj analizi i inže-njerskom uvođenju jednog ili više dodatnih ograničenja ili promjenljivih veličina).

1.4 Proračun Pod proračunom se podrazumijeva jednokratno rješavanje specifičnog zadatka, bez izra-

ženijeg modeliranja (misaoni model), simulacije i optimalizacije. U svom radu inženjeri pro-vode brojne različite proračune temeljene na:

Heuristički inženjeri rješavaju slabo definirane probleme (svojstva/zakonitosti dijela/sustava nisu potpuno određeni), dio problema rješavaju konvencionalnim postupcima (statički prora-čun grede), a dio normiranim postupcima (proračun posuda pod tlakom).

1.4.1 Vrste proračuna

Procjene – procijenjene vrijednosti veličina mogu biti višestruko (dvostruko, trostruko,

…) veće ili manje od stvarnih vrijednosti veličina (nedostatak podataka i/ili presložen prora-čun). U procjenama se često koristi i red veličine kada se brojčani iznos izražava u obliku po-tencije 10n. Konvencionalno, eksponentu se dodaje jedinica ( 10n+1 ) ako je vrijednost deci-malnog faktora > 3,16227766 ( 10 ).

PRIMJER P-1.4 Koliko ljudi može stati na platformu dimenzija 8 × 12 m?

a = 8 m b = 12 m n = ?

P = a b = 8 12 m = 96 m2 n1 = 8 ljudi/m2 ⇒ procjena potrebnog prostora 0,5 × 0,25 m po čovjeku

n = P n1 = 96 m2 8 ljudi m–2 = 768 ljudi = 750 ljudi


1.4.2 Tijek proračuna U pravilu se zadaci rješavaju koračnim postupkom koji treba strogo poštovati sve do stje-

canja potpune sigurnosti u izračunavanjima:

Analiza zadatka – analizom treba formirati jasnu predodžbu o zadatku (uživjeti se u fizič-

ki problem, ne razmišljajući o postupku rješavanja, te ako je moguće procijeniti traženi rezul-tat), te uredno zapisati što je zadato i što se traži. U ovom koraku nacrtati skicu ili shemu koja nam pomaže u jasnijoj predodžbi fizičkog problema. Po potrebi, zadatak pročitati više puta, jer ako se prerano prijeđe na sljedeće korake rješavanja (zadatak još uvijek nije potpuno ja-san), za dobivanje traženih rezultata je potrebno imati i dosta sreće.

Prikupljanje podataka – ako u zadatku nisu navedeni svi potrebni podaci, prikupljaju se (a) iz literature (u kojoj se objavljuju kao pojedinačne informacije, u tablicama i dijagrami-ma), te (b) mjerenjima. Prepisuju se uvijek izvorni brojčani iznosi i jedinice.

U tablicama/dijagramima je čest prilagođeni zapis vrijednosti veličina: X/[X] = {X}.

PRIMJER P-1.5 Promjene gustoće vode s temperaturom pri 1 atm: (podaci su nađeni kao takvi u literaturi i prepisuju se – ne preračunava se p = 1 atm u Pa)

t/°C 0 (led) 0 (tekućina) 5 10 100 (tekućina) 100 (para)

ρ/(kg m–3) 917 999,8395 999,9638 999,6996 958,3637 0,590

Očitava se za tekuću vodu pri: 0 °C, 1 atm:

3mkg −

ρ = 999,8395 ⇒ ρ = 999,8395 kg m–3 = 999,8395 kg/m3

Zapisati sve veličinske jednadžbe potrebne za rješenje zadatka. Plan rješavanja obuhva-ća sve potrebne veličinske jednadžbe i vrijednosti konstante, te okvire, strjelice i opaske koji-ma se utvrđuje slijed postupka izračunavanja.

Izračunavanje i međurezultati – sve do stjecanja potpune sigurnosti treba u veličinske jednadžbe uvrštavati brojčane iznose i jedinice fizičkih veličina (imati na umu ili pisati znak množenja između brojčanog iznosa i jedinice). Ako se u veličinske jednadžbe uvrste vrijed-nosti fizičkih veličina izražene samo u SI jedinicama (nije obavezno) dobivaju se u SI jedini-cama međurezultati i konačni rezultati. Brojčani iznosi međurezultata mogu sadržati jednu do dvije znamenke više od broja značajnih znamenki.

PRIMJER P-1.6 Pri 0 °C, 1 atm je gustoća tekuće vode ρ = 999,8395 kg/m3 (iz tablice). Kolika je masa 1,5 L vode? (1 L = 1 dm3)

m = ρ V = 999,8395 kg m–3 1,5 dm3 = 1499,75925 kg m–3 (m/10)3 =

1499,8 kg m–3 m3 1/1000 10001 ⇒ 1,5 kg

Pogreška je zadatog obujma: ε = ± 0,05 L ∴ 1,45 L < V < 1,55 L, te je rezultat s preko dvije značajne znamenke pretočan.

Konačni rezultat – (po eventualnom preračunavanju) prikazuje se u obliku (X = [X] {X}) koji daje najjasniju predodžbu o izračunatoj vrijednosti veličine. Konačni rezultat treba: (a) sadržati korektan broj značajnih znamenki, (b) obuhvaćati samo Zakonom dopuštene jedinice.


Obavezna je provjera – usporedba dobivenog rezultata s procjenom u prvom koraku rješava-nja zadatka.

1.4.3 Preračunavanje podataka/rezultata proračuna

Potrebni podatak o vrijednosti veličine (literatura, rezultat mjerenja) prepiše se u izvor-

nom obliku, na primjer, specifična toplina aktualnoga materijala: c = 4,2 Btu/(lb °F), te po-tom preračunava u vrijednost veličine izraženu s SI jedinicom.

Konačni rezultat treba izraziti u najjasnijem obliku, ali, obavezno s SI jedinicom, na primjer, dopušteno naprezanje aktualnoga čelika je: σdoz = 248 N/mm2 (teret mase 25 kg visi na žici presjeka 1 mm2), što je jasnije od σdoz = 248 106 N/m2 ili od σdoz = 248 MPa.

Osnovna ideja preračunavanja je: vrijednosti fizičke veličine se izražava s dvije različite jedinice, te formira i rješava jednadžba:

PRIMJER P-1.7

Izraziti duljinu od 1450 metara u kilometrima.

L = 1450 m L = ? km 1 km = 1 1000 m

L = 1450 m = 1450 10001000

m = 14501000

1000 m = 1,450 km = 1,450 km (ili 1,45 km ?)

Documents

1. Inženjerski pothvat - ffri.hrzvonimir/Kvantitativne/01 Inzenjerski pothvat.pdf · 4 Kvantitativne metode 1.1.1 Strojarski inženjeri Strojarski inženjeri se u pripremi inženjerskih