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高等数学 II 第六章主要内容 1. 计算多元函数极限(简单了解); 2. 计算多元函数的偏导数、全微分、高阶偏
导数(重点掌握); 3. 计算多元函数的极值及最值(熟练掌握); 4. 计算二重积分(直角坐标系下、极坐标系
下)(重点掌握);
偏导数计算类型: 1) 有明显解析式函数的偏导数计算; 2) 复合函数的偏导数计算; 3) 隐函数的偏导数计算; 多元函数的极值类型: 1) 无条件极值; 2) 条件极值;(Lagrange 乘数方法)
计算二重积分
1) 直角坐标系下计算二重积分
—化为累次积分;
2) 极坐标下计算二重积分
---极坐标变换;
3) 二重积分的性质应用
-----计算平面区域的面积,计算空间
图形的体积
微分方程
1 一阶微分方程
1) 可分离变量方程—分离变量方法;
2) 齐次方程---换元方法;
3) 一阶线性微分方程
—公式法,常数变易方法
二阶微分方程
1) 二阶线性微分方程解的结构;
2) 二阶线性齐次微分方程-特征方程法
3) 二阶线性非齐次微分方程;
题型讲解:
一.填空题
1.设 yz x ,则z
x
,z
y
.
2.2 2
2 200
1lim( )sinxy
x yx y
.
3.已知2 2
2 2( , )
x yf x y x y
x y
,则 ( , )f x y .
4.偏导数存在是多元函数可微的 条件.
二.解答下列各题
1.求函数2 1cosz x
y 的偏导数和全微分.
2.设 ( , )z f u v 有二阶连续偏导数,2 2u x y ,
2 3v x y ,求z
x
和
2z
x y
.
3.设由方程2 2 2 2 0x y z z 确定隐函数
( , )z f x y ,求z
x
和
2
2
z
x
.
三.
求函数3 2 2( , ) 3 3 3f x y x x y xy x 的极值.
四.解答下列各题
1.计算2 d
D
x y ,其中D是由抛物线 2y x 与直线
4y 所围成的有界闭区域.
2.计算2
2d d
D
yx y
x ,其中D是由曲线2 2 2x y x 所
围成的有界闭区域.
3.计算1 1
40
1d d
1xI x y
y
.
五.解答下列各题
1.求微分方程1 sin x
y yx x
的通解.
2.求微分方程 4 4 0y y y 满足初始条件
0| 2xy , 0| 0xy 的解.
典型例题选讲(第六章)
例1. 计算下列函数的偏导数或全微分
(1)P62 5(2) (2) P62 7 (3) P62 14 (4) P63 19
例2. 函数的极值 P63 21
例3. 计算二重积分 (1) P63 26(2) (2) P64 28(1) (3) P64 32 (4) P64 38