Embed Size (px)
Citation preview
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 4 - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Lũy thừa và căn thức:
1n
na
a
(với 0a và *n¥ )
m
r mnna a a (với 0a và *, ,
mr n n
n ¢ ¥ )
lim nra a (với 0, , na r ¡ ¤ và lim nr ).
Khi n lẻ, nnb a b a (với mọi a)
Khi n chẵn, 0
n
n
bb a
b a
(với 0a ).
- Biến đổi lũy thừa: Với các số 0, 0,a b và tùy ý, ta có:
. ; : ;a a a a a a a a
. . ; : :a b a b a b a b
- So sánh: Nếu 0 a b thì: 0; 0a b a b
Lôgarit:
- Lôgarit cơ số a: loga b a b (0 1a và 0b )
- Lôgarit cơ số 10: 10log lgb b hay logb
- Lôgarit cơ số e: log ln 2,7183e b b e
- Tính chất: log 1 0a và log b
a a b với 0, 1a a .
loga ba b với 0, 0, 1a b a .
- Biến đổi lôgarit trong điều kiện xác định:
log . log loga a abc b c
1log log log ,log loga a a a a
bb c c
c c
log loga ab b (với mọi ), 1
log logna ab b
n (
*n¥ )
- Đổi cơ số trong điều kiện xác định:
Trang 2
loglog
log
ab
a
xx
b hay log .log loga b ab x x
1log
logb
a
ab
hay 1
log .log 1;log loga b aab a b b
Hàm số lũy thừa y x :
Liên tục trên tập xác định của nó
Đạo hàm 1 1' , ' 'x ax u u u ;
/ /
1 1
1 '0 ,n n
n nn n
ux x u
n x n u , với 0u u x .
Hàm số y x đồng biến trên 0; khi 0 ; nghịch biến trên 0; khi 0 .
Hàm số mũ:
Liên tục trên tập xác định ¡ , nhận mọi giá trị thuộc 0; .
1 0 1lim ; lim
0 0 1 0 1
khi khi
khi khi
x x
x x
a aa a
a a
Đạo hàm: ' ln ; 'x x x xa a a e e ;
' 'ln ; ' 'u u u ua a u a e e u với u u x .
Đồng biến trên ¡ nếu 1a , nghịch biến trên ¡ nếu 0 1a .
Hàm số lôgarit logay x :
Liên tục trên tập xác định 0; , nhận mọi giá trị thuộc ¡ .
1lim log
0 1
khi
khi a
x
ax
a
;
0
1lim log
0 1
khi
khi a
x
ax
a
Đạo hàm 1 1 1
log ' ; ln ' ; ln 'ln
a x a xx a x x
' ' '
log ' ; ln ' ; ln 'ln
a
u u uu u u
u a u u với u u x .
Hàm số logay x đồng biến trên 0; nếu 1a , nghịch biến trên 0; nếu 0 1a .
Giới hạn:
0
0
ln 11 1lim 1 ;lim 1;lim 1
x x
x x
x
xee
x x x
Trang 3
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 4.1: Thực hiện phép tính
1 3
1 2 13 5 1 220,75 03 3 3
1 181 ; 0,001 2 .64 8 9
125 32A B
Hướng dẫn giải
1 3
3 3 53 54 4 1 1
35 2
A
1 3
3 1 1 1 1 803 5 8 3
5 2 27 27 27
1 2 4
3 2 6 3 2 43 3 31 111
10 2 . 2 2 1 10 2 2 1 716 16
B
.
Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức trong điều kiện xác định:
1 7 1 514 3 3 3 34
3 1 1 4 2 1
4 2 3 3 3 3
1. . 1;
1
a a a a a a aP a Q
aa a a a a a
Hướng dẫn giải
4 4
4
4
1 1 1. . 1 1 1
1 1
a a a aP a a a
a a a
1 1
2 23 3
1 1
3 3
1 11 1 2
1 1
a a a aQ a a a
a a a a
Bài toán 4.3: Trục căn ở mẫu
a) 3
1
2 3 b)
6
1
5 13 48
Hướng dẫn giải
a) 3 3 3
3
3 3
3 2 3 3 2 9 41 3 2
12 3 9 2
b) Vì 2 2
5 13 48 5 2 3 1 4 2 3 3 2
Trang 4
nên
233
36
3 1 3 1 . 4 2 31 1
23 13 15 13 48
Bài toán 4.4: Không dùng máy, tính giá trị đúng:
a) 15 6 6 15 6 6 b) 3 37 5 2 7 5 2
Hướng dẫn giải
a) Ta có 2
3 2 2 3 18 12 12 6 30 12 6
nên 3 2 2 3 3 2 2 3
15 6 6 15 6 6 62 2
Cách khác: Đặt 15 6 6 15 6 6 ; 0x x .
Ta có 2 30 2 225 216 36x nên chọn 6x .
b) Ta có: 3
7 5 2 1 3 2 6 2 2 1 2
Tương tự 3
7 5 2 1 2
Do đó 3 37 5 2 7 5 2 1 2 1 2 2 2
Cách khác: Đặt 3 37 5 2 7 5 2x . Ta có:
3 3 3 37 5 2 7 5 2 3 7 5 2 7 5 2 . 7 5 2 7 5 2x
3 310 2 3 7 5 2 7 5 2 10 2 3x .
Ta có phương trình:
3 23 10 2 0 2 2 2 2 5 0 2 2x x x x x x
Bài toán 4.5: Tính gọn
a) 4 449 20 6 49 20 6
b) 4 4
2 5 2 2 5 2 5 2 2 5
Hướng dẫn giải
a) Ta có 2
44 449 20 6 25 10 24 24 5 2 6
Trang 5
4
4 3 2 3 2
Tương tự: 4 49 20 6 3 2 (do 3 2 )
Suy ra 4 449 20 6 49 20 6 2 3
b) Đặt 4 4
2 5 2 2 5 , 2 5 2 2 5M N
Ta có: 2
4 2 5 4 2 5 1MN
2
4 4 4 2 2 24 2 5 2 6 2 5 5 1M N M N M N
2
2 2 2 2 5 15 2 2 5 3
2M N M N MN
Vậy 4 4 5 1
2 5 2 2 5 2 5 2 2 52
M N
.
Bài toán 4.6:
a) Cho 3 31 23 513 23 513
13 4 4
x
. Tính 3 2 1A x x
b) Tính
24 3 6 8 2 1 200 9999... ...
1 3 2 4 1 1 99 101
k kB
k k
Hướng dẫn giải
a) Đặt 3 323 513 23 513
,4 4
a b
3 3 23
2a b , 1ab và 3 1x a b
Vì 3 3 23 1 27 27 9 1x x x x
3 227 1 3 3 1 29x x x nên
3 3
3 1 3 3 1 29 3 29
27 27
x x a b a bA
3 323
293 3 29 32
27 27 2
a b ab a b a b
Trang 6
b) Với mọi 2k thì
2 2
2 1 1 1 1 1 12 1
1 1 1 1 1 1
k k k k k kk k
k k k k k k
3 3
1 1
2
k k . Do đó
3 3 3 3 3 3 3 3 3 313 1 4 2 5 3 6 4 ... 101 99
2B
33 3 31 999 101 8
1 2 101 1002 2
999 101 101 2 2
2
Bài toán 4.7: Cho ; ;2 2
x x x x x x
x x
a a a a a ash x ch x th x
a a
với 0, 1a a . Chứng minh
2 2 1ch x sh x , 2
22
1
th xth x
th x
.
Hướng dẫn giải
Ta có 2 2
2 2
2 2
x x x xa a a ach x sh x
2 2 2 22 2 41
4 4
x x x xa a a a
Ta có: 2 2 2
2
2 2
21 1
2
x xx x
x x x x
a aa ath x
a a a a
nên
2 2
2 2 2
2 22 .
1 2
x x x x
x x x x
th x a a a a
th x a a a a
22 2
2 22 2
22
2
x x x x x x
x xx x x x
a a a a a ath x
a aa a a a
.
Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh:
a) Nếu 1 1 1 1
a b c a b c
thì
1 1 1 1n n n n n na b c a b c
Trang 7
b) Nếu n n nax by cz ,
1 1 11
x y z thì:
1 1 1n n n n n nn ax by cz a b c
Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết suy ra 1 1 1 1
a b a b c c
. 0a b a b c c abc ab a b c a b b c c a
có 2 số đối nhau mà ta có n lẻ đpcm.
b) VT = 1 1 1n n n
n nn n n nn n
ax by czax ax x a y b z c
x y z x y z
VT 1 1 1 n n na b cx y z
đpcm.
Bài toán 4.9: Tính:
a) 5
3 3 3log 18 5log 2 log 2 53 18;3 3 2 32
2
322 2
log 5log 5 3 log 5 log 53 31 1
2 2 2 58 125
51
0,52
log 2log 2 5
51 12 32
32 2
.
b) 23
7 7 7 7
1 6log 36 log 14 3log 21 log7 log 7 2
2 14.21
.
Bài toán 4.10: Rút gọn các biểu thức:
a) 3 4 6 7 8log 2.log 3.log 5.log 6.log 7A
b) log loga bb a
B a b
Hướng dẫn giải
a) 3 4 5 6 7 8log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 7A
8 2
log log3 log4 log5 log6 log7 log2 1 1. . . . . log 2 log 2
log3 log4 log5 log6 log7 log8 log8 3 3
b) Đặt 22log log x
a ax b b x b a
Mặt khác 2
1 1log logb ba a
x x
Trang 8
Do đó: 2 1.
0x
x xB a a .
Bài toán 4.11:
a) Cho 6 12log 15 ,log 18x y , tính 25log 24 theo x, y
b) Cho 2 3 7log 3, log 5, log 2a b c , tính 140log 63 theo a, b, c.
Hướng dẫn giải
a) Ta có 2 2 2
2 2
log 3.5 log 3 log 5
log 2.3 1 log 3x
và
2
2 2
2
2 2
log 2.3 1 2log 3
log 2 .3 2 log 3y
Suy ra 2 2
2 1 1 2log 3 ;log 5
2 2
y x y xy
y y
Do đó
3
225 2
2
log 2 .3 5log 24
log 5 2 1 2
y
x y xy
.
b) 2
140 140 140 140log 63 log 3 .7 2log 3 log 7
2 23 7 3 7
2 1 2 1
log 140 log 140 log 2 .5.7 log 2 .5.7
3 3 3 7 7
2 1
2log 2 log 5 log 7 2log 2 log 5 1
Ta có 3 7 7 2 3
2
1 1log 2 ,log 5 log 2.log 3.log 5
log 3cab
a ;
3
7 7 2
1 1 1log 7
log 3 log 2.log 3 ca
Vậy 140
2 1 2 1log 63
2 1 2 1 2 1
ac
c cab abc cb
a ca
Bài toán 4.12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
Tính
2 2 2
3 7 11log 7 log 11 log 25T a b c
Hướng dẫn giải
Ta có:
3 7 11
3 7 11log 7 log 11 log 25
log 7 log 11 log 25T a b c
3 11
7
1log 25
log 11log 7 3 2 227 49 11 7 11 25 469 .
Trang 9
Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) log logc cb a
a b
b)
2 3
11 1 1 1...
log log log log 2logna aa a a
n n
b b b b b
Hướng dẫn giải
a) log
log log log .log logbc
c b c b cb a b a aa b b b
b) VT = 1 2 3
...log log log loga a a a
n
b b b b
11
1 2 3 ... .log 2loga a
n nn
b b
Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) Nếu 2 2 2a c b thì log log 2log .logb c b c b c b ca a a a .
b) Nếu , ,a b c lập cấp số nhân thì log log log
log log log
a b a
b c c
d d d
d d d
Hướng dẫn giải
a) Theo giả thiết: 2a b c b c . Xét 1a : đúng.
Xét 1a thì 1 1
log log 2 2log log
a a
b c b c
b c b ca a
nên log log 2log .logb c b c b c b ca a a a
b) Ta có
log1 1
log loglog log log log
d
a b
d d d d
c
bd d
a b a b
Tương tự:
log1 1
log loglog log log log
d
b c
d d d d
c
ad d
b c b c
Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên log logd d
c b c b
a a b a
Do đó log log log log
log log log log
a b d a
b c d c
d d c d
d d a d
Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh:
a) Nếu log 1 log .loga a ax x z , log 1 log .loga a ay y x thì:
Trang 10
log .log .log .log .log .log 1a a x y z
y z
aA x y z a a a
x .
b) Nếu
log log log
x y z x y z x y z x y z
x y z
thì . . .y x z y x zx y y z z x
Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết, ta có: log 1 log .loga a ax x z
1 1log log
1 loglog
a a
a za
x zaz
z
Do đó: log log 1x a
z
a z . Tương tự log log 1y a
x
a x
Mà log 1 log .loga a ay y z , nên log log
log 1 1 log1 log log 1
a aa a
a a
y yy z
z y
log 1 log .loga a az y z
Tương tự trên, ta cũng có log log 1z a
y
a y . Do đó
log .log . log .log . log .log 1a y a z a x
x y z
A x a y a z a
b) Nếu một trong các số , ,x y z y z x z x y bằng 0 thì cả ba số đều bằng 0 và dẫn đến
0x y z , mâu thuẫn.
Do đó , ,x y z y z x z x y khác 0.
Từ giả thiết thì:
log . log .
log . log .
log . log .
x y y z x y x z x y
y z z x y z y x y z
z x x y z x z y z x
Ta có: log . logx y y z x y x z x y
log log .z x y
x y y xy z x
log log log . 1z x y
x y y x y xy z x
2
log log log .z
x y y x y xz x y
Trang 11
Tương tự 2
log log log .x
y z z y z yz x y
Do đó: . . log log log logy x z yx y y z x y y x y z z y
2 2log . log .
z xy x z y
y z x z x y
log . logy x z x y x y y z x : đúng
Chứng minh tương tự: . .z y x zy z z x .
Bài toán 4.16: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 1 a b c . Chứng minh rằng:
log log log log log log 0a a b b c cb c a .
Hướng dẫn giải
Vì 1 a b nên log 1 log log log log 0a a a b ab b b
Ta có 1 a c nên log 1c a
Suy ra 0 log log log logc c b ca a
Do đó log log log log log loga a b b c cb c a
log log log log log log
log log .log .log log 1 0
b a b b b c
b a b c b
b c a
b c a
Bài toán 4.17: Trong khai triển nhị thức 13
2
3 , 0P x x x x x
.
a) Tìm hệ số của 13x b) Tìm số hạng không chứa x
Hướng dẫn giải
Số hạng tổng quát của 13
2
3P x x x x
là:
13
2 13 52
3 61 13 13.
kk
kk k
kT C x x x C x
a) Hệ số của 13x ứng với
13 5213 10
16
kk
là:
10
11 13 286T C .
b) Số hạng không chứa x ứng với 13 52 0 4k k là 4
5 13 715T C .
Trang 12
Bài toán 4.18: Trong khai triển nhị thức
61
lg 1 12xx x
, biết số hạng thứ tư bằng 200. Tìm x?
Hướng dẫn giải
ĐK: 1
0,10
x x . Ta có:
6 61 61 1 6
2 lg 1 2 lg 1lg 1 12 12 126
0
.
k kx xkx
k
x x x x C x x
Số hạng thứ 4 ứng với 3k , theo giả thiết bằng 200 nên:
3 1 7 lg
2 lg 1 43 4lg 4
6
7 lg200 10 lg 1
4lg 4
x
x x xC x x x
x
2
4
10lg 1lg 3lg 4 0
lg 4 10
xxx x
x x
(Chọn).
Bài toán 4.19: Chứng minh các giới hạn:
a)
0 0
log 11 1lim ln ;lim
ln
xa
x x
xaa
x x a
b) 0
1 1lim 1 ;lim
x na
x x
a ax ae
x x n
Hướng dẫn giải
a)
ln ln
0 0 0
1 1 1lim lim lim .ln ln
ln
xx a x a
x x x
a e ea a
x x x a
0 0
log 1 ln 1 1lim limlog
ln
a
ax x
x xe
x x a
b) 1
lim 1 lim 1
ax
a
x
a
x x
ae
xx
a
0 0 1 2
1 1 1 1lim lim
1 1 ... 1
n
x x n nn n
ax ax a
x nx ax ax
Bài toán 4.20: Tìm các giới hạn sau:
Trang 13
a)
2 5
0lim
x x
x
e e
x
b)
0
2 5 2lim
3 5 2
x x
x xx
Hướng dẫn giải
a)
2 5 2 5
0 0
1 1lim lim 2 5 3
x x x x
x x
e e e e
x x x
b) 0 0
2 1 5 12 5 2 ln 2 ln5 ln10
lim lim3 1 5 13 5 2 ln3 ln5 ln15
x x
x x
x xx xx x
x x
x x
Bài toán 4.21: Tìm các giới hạn sau:
a) 2
0
ln 1 3lim
1 cos2x
x
x
b)
0
6 3lim
ln 1 6 ln 1 3
x x
x x x
Hướng dẫn giải
a) 2 2
20 0
ln 1 3 ln 1 3lim lim
1 cos2 2sinx x
x x
x x
2 2
20
3ln 1 31 sin 3lim :
2 3 2x
x x
x x
b)
0 0
ln 1 6 ln 1 36 3 6 1 3 1lim lim :
ln 1 6 ln 1 3
x x x x
x x
x x
x x x x x x
1
ln 6 ln 3 : 6 3 ln 23
.
Bài toán 4.22: Tìm các giới hạn sau:
a) 1
lim 13
x
x x
b)
3lim
1
x
x
x
x
Hướng dẫn giải
a)
3 311 1
lim 1 lim 13 3
xx x x
x xe e
x x
Trang 14
b)
21 1
2
23 2 1lim lim 1 lim 1
11 1
2
xx x
x x
x x x
xe
xx x
Bài toán 4.23: Tìm các giới hạn sau:
a)
22 23
20
1lim
ln 1
x
x
e x
x
b)
1
0lim
2
x x x
x
a b
với 0 , 1a b .
Hướng dẫn giải
a)
2 2 22 2 2 23 3
2 2 220 0
ln 11 1 1 1lim lim :
ln 1
x x
x x
xe x e x
x x xx
2 22
2 220 2 233
ln 11 1 7lim 2 :
2 31 1 1
x
x
xe
x xx x
b)
12
1 1
12
0 0lim lim 1 1
2 2
x x
x x
a b
xx x x xx a b
x x
a b a b
11 1 ln ln2
ln2 2 2
0 0lim lim
x x
x xa b
a b a b
abx x x
x xe e e e ab
Vậy
1
0lim
2
x x x
x
a bab
Bài toán 4.24: Tính các giới hạn sau:
a) 1
1 1lim
1 lnx x x
b)
cot
0lim 1
x
xx
Hướng dẫn giải
a) 1 1
1 1 ln 1lim lim
1 ln 1 lnx x
x x
x x x x
Trang 15
1 1
11ln 1 '
lim lim11 ln '
lnx x
x x xxx x
xx
1 1 1
1 '1 1 1lim lim lim
ln 1 ln 1 ' ln 2 2x x x
xx
x x x x x x
b) Ta có:
20 0 0 0
1ln 1 'ln 1 1lim cot ln 1 lim lim lim 1
tan tan ' tan 1x x x x
xx xx xx x x
nên 0
lim cot ln 1cot cot ln 1
0 0lim 1 lim x
x xx x x
x xx e e e
Bài toán 4.25: Tìm các giới hạn sau:
a) 2
1
2
0lim cos x
xx
b)
5
0lim cos3 x
xx
Hướng dẫn giải
a) Ta có
2 20 0 0 0
ln cos 'ln cos tan 'tanlim lim lim lim
2 4 4 '2 'x x x x
xx xx
x x xx
2
0
tan 1 1lim
4 4x
x
Nên
2 202
ln cos ln cos 11 lim2 2 42
0 0lim cos lim x
x x
x xx
x xx e e e
b)
0 0 0
15sin35ln cos3 '5ln cos3 cos3lim lim lim 0
' 1x x x
xxx x
x x
Nên
0
5 ln cos35ln cos35 lim0
0 0lim cos3 lim 1x
xx
x xx
x xx e e e
Bài toán 4.26: Tính giới hạn sau:
a)
1
ln
2
1lim
1
x
x x x
b)
lnlim
x
x x
Hướng dẫn giải
a) 1
1ln
ln2
2
1lim lim 1
1
xx
x xx x
x x
Trang 16
Ta có: 2
2
1ln 1
1lim lim 1
1lnx x
x xx
x
x
Vậy:
1
ln1
2
1lim
1
x
xe e
x x
b) 1 1 ln ln
lim ln lim ln limx x
x
x x xx x x
Đặt ln xg x thì lng và ' lng x
Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
lnlim lim ' ln
x
x x
g x gg
x x
Bài toán 4.27: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
a) 2 4 1xy x e b)
2 2
2 2
x x
x xy
c)
5 5x xy x x
Hướng dẫn giải
a) 42 4
4
4 4
2 1 12' 2 1
1 1
xxx
x x
x x ex ey x e
e e
b)
2
2 ln 2 2 ln 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 ln 2'
2 2
x x x x x x x x
x xy
2 22
2
2 2
2 2 2 2 4ln 2ln 2
2 2 2 2
x x x x
x x x x
c) Ta có 5 5 ln5 5x x x x xy x x x e nên
4 ln 4' 5 5 ln5 ln 1 5 5 ln5 ln 1x x x x xy x e x x x x
Bài toán 4.28: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) 2 2lny x x a
b) 2
3log 5 6y x x
c) 2 tancos . xy x e
Hướng dẫn giải
Trang 17
a) 2 2
2 2 2 2
11
'
x
x ay
x x a x a
b) 22
2 5 4 10'
5 6 ln35 6 ln 3
x xy
x xx x
c) 2 tan 2 tan 2 tan2 2
' sin . . sincos cos
x x xy x e e e xx x
Bài toán 4.29: Chứng minh:
a) Nếu 4 2x xy e e thì: ''' 13 ' 12 0y y y
b) Nếu
22 21
1 ln 12 2
xy x x x x thì: 2 ' ln 'y xy y
Hướng dẫn giải
a) 4 4 4' 4 2 , '' 16 2 , ''' 64 2x x x x x xy e e y e e y e e nên:
4 4 4''' 13 ' 12 64 2 13 4 2 12 2 0x x x x x xy y y e e e e e e
b)
2 22
2 2
11 1
' 12 2 1 2 1
x
x xy x x
x x x
22
2 2
2 1 11
2 1 2 1
xx x x
x x
Do đó, ta có: 2 2 22 1 ln 1y x x x x x
2 2' 1xy x x x và 2ln ' ln 1y x x
2 ' ln 'y xy y : đpcm.
Bài toán 4.30: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số
a) 5kxy b) 2ln 6 1y x x
Hướng dẫn giải
a) 2
' ln5 .5 ; '' ln5 .5kx kxy k y k
Ta chứng minh quy nạp: ln5 .5
nn kxy k
Trang 18
b) Với 1
3x hoặc
1
2x :
ln 2 1 3 1 ln 2 1 ln 3 1y x x x x
1 1'
2 1 3 1y
x x
Ta chứng minh quy nạp
1
1 !1mm m
m
m a
ax b ax b
Suy ra
1 11 11 1 !2 1 1 !3
2 1 3 1
n nn nn
n n
n ny
x x
Bài toán 4.31: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:
a)
xey
x b)
2. xy x e
Hướng dẫn giải
a) \ 0D ¡ ,
2
1' , ' 0 1
xe xy y x
x
.
BBT
x 0 1
'y − − 0 +
y
e
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng ;0 và 0;1 đồng biến trên khoảng 1; , đạt CT 1;e
b) 2, ' 2 , ' 0 0xD y x x e y x ¡ hoặc 2x .
BBT
x 0 2
'y − 0 + 0 −
y 24e
0
Trang 19
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng 0;2 , nghịch biến trong các khoảng ;0 và 2; , đạt CĐ
22;4e, CT 0;0 .
Bài toán 4.32: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:
a) 2ln 1y x b) ln 1y x x
Hướng dẫn giải
a) 2
2; 1 1; , '
1
xD y
x
Khi 1x thì ' 0y nên hàm số nghịch biến trên ; 1
Khi 1x thì ' 0y nên hàm số đồng biến trên 1;
Hàm số không có cực trị.
b) 1
1; , ' 1 , ' 0 01 1
yD y y x
x x
' 0, 0;y x nên hàm số đồng biến trên 0;
' 0, 1;0y x nên hàm số nghịch biến trên 1;0
Ta có
2
1'' 0
1y
x
nên đạt cực tiểu tại 0, 0CTx y .
Bài toán 4.33: Cho a, b, c là các sự thực dương. Chứng minh hàm số
x x x
x x x x x x
a b cf x
b c c a a b
đồng biến với mọi x dương.
Ta có
2
.ln .ln .ln'
x x x x x xx
x x x x
a a b c a b b c ca
b c b c
2
ln ln ln lnx x x x
x x
a b a b a c a c
b c
Do đó
/
2
ln ln ln ln'
x x x xx
x x x xsym sym
a b a b a c a caf x
b c b c
2 2
ln ln ln lnx x x x
x x x xsym
a b a b a b a b
b c a c
Trang 20
2 2
2ln ln 0
x x x x x
x x
x x x xsym
a b a b ca b a b
a c b c
Bài toán 4.34: So sánh các số:
a) 4 13 và 5 23 b) 3 7 15 và 310 28
Hướng dẫn giải
a) 5 420 2020 3 204 13 13 371293; 23 23 279841
Ta có 371293 279841 nên 54 13 23
b) 3 37 15 2 4 3 3 10 28
Bài toán 4.35: So sánh các số:
a) 6003 và
4005 b)
4 51
3
và 3 23
Hướng dẫn giải
a) Ta có: 200
600 3 2003 3 27 và
200
400 2 2005 5 25 . Vậy 600 4003 5
b) Ta có
4 5 2 51 1
33
và
3 2
3 2 13
3
Ta có 2 2
3 2 2 5 3 2 2 5 18 20 : đúng
Vì cơ số 1
0 13
nên
4 52 5 3 2
3 21 1 13
3 3 3
.
Bài toán 4.36: Hãy so sánh các số:
a) 3log 4 và 4
1log
3 b) 6log 11
3 và 6log 0,997
Hướng dẫn giải
a) Ta có 3log 4 1 và 4
1log 0
3 , suy ra 3 4
1log 4 log
3
b) Ta có 6log 1,1 0 nên 6log 1,1 03 3 1 (vì 3 1 ) và 6log 0,99 0 nên 6log 0,99 07 7 1 (vì 7 1 ).
Suy ra 6log 1,1
63 7log 0,99 .
Bài toán 4.37: Hãy so sánh các số:
Trang 21
a) 8 9log 27 log 25 b) 4 9log 9 log 25
Hướng dẫn giải
a) 8 8 9log 27 log 25 log 25
b) 4 2 8 9log 9 log 3 log 27 log 25
Bài toán 4.38:
a) So sánh hai số 1 2 3 10001 2 3 ... 1000 và
22222
b) Chứng minh với n số 2, 6n thì 2
2 222...22 222...2N
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy rằng
22 42 2 162 2 22 2 2
Mà 10 62 1024 1000,2 64
16 10 62 2 .2 64000 nên
2222 640002 2
Mặt khác: 2 2 3 1000 1000 10011 2 3 ... 1000 1000.1000 1000
1001
10 10010 640002 2 2
Từ đó suy ra
2222 2 2 3 10002 1 2 3 ... 1000
b) Ta chứng minh quy nạp 22 , 6n n n
Với n số 2, đặt 2 222...22 , 222...2n
n na b N
Ta có 4222...2 10 2n n nên
4
4 524 4 .2 22 2 2
nn nn n
nb
Và mặt khác 2 22 2 2 1
2 5 2 8.2 2 2 0nn n
na n
N
Nên 2 52 22 2
a nn
n na b
. Ta có đpcm.
Bài toán 4.39: Chứng minh:
a) 1log 1 log 2n nn n với mọi số nguyên 1n
b) m m ma b c , nếu 1m , a b c với 0, 0a b
Hướng dẫn giải
a) 1 1
log 1 log 1 1 log 1n n nA n nn n
Trang 22
1 1 1
1 1log 2 log 1 1 1 log 1
1 1n n nB n n
n n
Ta có 1 1 1 1
1 1 log 1 log 11 1
n nn n n n
và 1
1 1log 1 log 1
1 1n n
n n
1
1 1log 1 log 1
1n n
n n
. Do đó A B .
b) Ta có 1
m m
m m m a ba b c
c c
Mà , 0, 0a b c a b nên 0 1,0 1a b
c c
Suy ra với 1m thì
1 1
;
m ma a b b
c c c c
Từ đó ta có: 1
m ma b a b
c c c c
Bài toán 4.40:
a) Cho , , 0a b c . Chứng minh . . . .a b c b c aa b c a b c
b) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn. Chứng minh:
2 2 2
2 2 23 3 3b b c c a a
Hướng dẫn giải
a) Giả sử max ; ;a a b c .
- Xét a b c : BĐT .a b b c a ca b c
Vì 0a b c nên . .a b b c a b b c a ca b c b c
- Xét a c b : BĐT .a b c b a ca b c
Vì 0a c b nên . .c b a c c b a c a bb c a a a
b) Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là cạnh lớn nhất trong các cạnh của tam giác. Khi đó, ta có
2 2 2a b c ,
2 2 2
3 3 3a b c nên:
Trang 23
2 2 2
2 2 23 3 3a a b b c c
và
2 2 2
2 2 23 3 3a a c c b b
Do a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn nên 2 2 2b c a
1 1 1
3 3 3; ;x a y b z c thì 3 3 3y z x
Ta có: 3 2 2
2 2 6 6 2 2 2 2 6 6 3 3 3 3 3 63 2y z y z y z y z y z y z y z x x
Suy ra 2 2 2y z x hay
2 2 2
3 3 3b c a đpcm.
Bài toán 4.41:
a) Cho , , 0a b c . Chứng minh 3 . .a b c
a b cabc a b c
b) Cho 4 số 1
, , , ;14
x y z t
. Chứng minh:
1 1 1 1log log log log 8
4 4 4 4x y z ty z t x
.
Hướng dẫn giải
a) BĐT 3log log . .a b c
a b cabc a b c
log 3 log log loga b ca b c abc a b c
log log log 3 log log log
log log log log log log 0
a b c a b c a a b b c c
a b a b b c b c c a c a
BĐT này đúng vì cơ số 10 1 nên 0x y log logx y hoặc 0 log logx y x y nên
log log 0x y x y , 0, 0x y .
b) Ta có:
2
21 10
2 4a a a
với mọi a.
Và vì 1
, , , 14
x y z t nên hàm nghịch biến, do đó:
VT 2 2 2 2log log log logx y z ty z t x
2 log log log logx y z ty z t x
448. log .log .log .log 8 1 8x y z ty z t x .
Bài toán 4.42: Chứng minh:
Trang 24
a) 1 1 , , 3nnn n n n ¥
b) 1 11n n n nn nx y x y với n nguyên, 2n và , 0x y .
Hướng dẫn giải
a) Với , 3n n ¥ , bất đẳng thức tương đương
11 ln ln 1
ln 1 ln
n nn n n n
n n
Xét ln
xf x
x trên 3; thì 2
ln 1' 0
ln
xf x
x
.
Do đó f đồng biến trên 3; nên: 1 3 1n n f n f n (đpcm)
b) Với 0x hoặc 0y , bất đẳng thức đúng.
Với 0xy , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
1
11 1
n n
n nx x
y y
. Xét 11
1
1
nn
nn
tf t
t
với 0;t .
Ta có
1
2 111
. 1' ; ' 0 1
1 1
n
n nn nn n
t tf t f t t
t t
.
BBT
x 0 1
'f t 0 + 0 −
f t
1 1
Suy ra 1f t với mọi 0;t đpcm.
Bài toán 4.43: Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi 0x
a) 1xe x b)
2
12
x xe x
c) 2
ln 12
xx x
Hướng dẫn giải
Trang 25
a) Xét hàm số 1, 0xf x e x x thì ' 1 0, 0xf x e x nên f đồng biến trên 0; vì f liên
tục trên 0; nên f đồng biến trên 0; : 0x 0 0f x f : đpcm.
b) Xét 2
1, 02
x xf x e x x thì ' 1xf x e x .
Theo câu a) thì ' 0f x nên f đồng biến trên 0; .
0 0 0x f x f : đpcm.
c) BĐT: 2
ln 1 0, 02
xx x x
Xét 2 2
ln 1 , 0, ' 02 1
x xf x x x x f x
x
và f liên tục trên 0; nên f đồng biến trên 0;
Do đó: 0 0 0x f x f : đpcm.
Bài toán 4.44: Chứng minh:
a) sin tan 3 24 2 2 , 0;
2
x x x x
b) 2 2 2
x xe
x x
với mọi x
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
sin tan sin tan 2sin tan 24 2 2 4 .2 2x x x x x x
Ta cần chứng minh: 2sin tan 2 3 22 2 2sin tan 3x x x x x x
Xét 2sin tan 3 ,02
f x x x x x
2
2 2
1 1' 2cos 3 2cos 3 2 2 3 0
cos cosf x x x
x x
nên f đồng biến trên 0; : 0 0 02
x f x f
: đpcm.
b) Nếu 0x thì BĐT đúng. Nếu 0x , vì 2 2 2 0,x x x nên
BĐT 2 2 2
x
xx x
e . Xét 2 2 2, 0f x x x x
Trang 26
' 2 2, ' 0 1f x x f x x . Lập BBT thì min 1 1 f x f
Xét 2
1, 0, ' ; ' 0 1
x x
x x x
x e xe xg x x g x g x x
e e e
Lập BBT thì 1
max g x g xe
. Vì min max f x g x đpcm.
Bài toán 4.45: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
2
cos 2 ,2
x xe x x x
b) 22ln 1 , 0x xe e x x x .
Hướng dẫn giải
a) Xét hàm số 2
cos 2 ,2
x xf x e x x D ¡
' sin 1 ; ' 0 0xf x e x x f x x
'' 1 cos 0,xf x e x x nên 'f x đồng biến trên ¡ , ta có:
' ' 0 0, ; ' ' 0 0, 0f x f x f x f x .
BBT:
x 0
'f x − 0
f x
0
Vậy 2
cos 2 0,2
x xf x e x x x
b) Xét hàm số 22ln 1 , 0;x xf x e e x x D
2
2' : ' 0 0
1
x xf x e e f x xx
.
Vì 2x xe e và 2
22
1 x
nên ' 0, 0f x x .
Do đó f x đồng biến trên 0; nên 0 0f x f đpcm.
Trang 27
Bài toán 4.46: Cho 0 1;0 1x y và x y . Chứng minh rằng:
1ln ln 4
1 1
y x
y x y x
Hướng dẫn giải
Do x y , không giảm tổng quát, giả sử y x . Xét hàm số
41
tf t t
t
, với
22 1
0 1 ' 01
tt f t
t t
Vậy f t là hàm đồng biến trên 0;1 mà y x nên ta có f y f x hay
ln 4 ln 41 1
y xy x
y x
và do 0y x nên suy ra:
1ln ln 4
1 1
y x
y x y x
đpcm.
Bài toán 4.47: Cho 0a b . Chứng minh 1 1
2 22 2
b a
a b
a b
Hướng dẫn giải
Với 0a b , bất đẳng thức tương đương
4 1 4 1
4 1 4 12 2
b ba b
b aa b
a b
ln 1 4 ln 1 4
.ln 4 1 .ln 4 1
a b
a bb aa b
Xét ln 1 4
, 0
x
f x xx
2 2
1 4 ln 4 1' . ln 1 4 4 .ln 4 1 4 .ln 1 4 0
1 4
xx x x x x
xf x x
x x
nên f nghịch biến: 0 :a b f a f b đpcm.
Bài toán 4.48: Cho 1, 1p q thỏa p q pq và , 0a b .
Chứng minh
p qa bab
p q
Hướng dẫn giải
Trang 28
Xét hàm số p qa b
f a abp q
với 0a .
1
1 1 1' , ' 0p p pf a a b f a a b a b
Mà 1 1 1 1p pq p q nên 1qa b
Lập BBT thì 1min 0 qf f b đpcm.
Bài toán 4.49: Cho , 0a b và 1a b . Chứng minh bất đẳng thức
. . , ,ax by x ye a e b e x y
Hướng dẫn giải
Ta có 1b a do đó 0 1a nên BĐT:
1. 1
ax a y x ye a e a e
. 1 . 1 0
a x y a x yy y x y x ye e e a e e a e a
Xét . 1, . ' , ' 0at t at tf t e a e a t f t a e e f t t ¡
BBT
x 0
'f + 0 −
f 0
Suy ra 0,f t t đpcm.
Bài toán 4.50: Cho , , 0a b c . Chứng minh
a) 1b aa b b) 2c a b
a b b c c a
Hướng dẫn giải
a) Nếu 1a hoặc 1b thì 1b aa b
Nếu 0 , 1a b . Xét 1 1 , 0,0 1f x x x x
1
1
1' 1 1 0
1f x x
x
nên 0 0 0 1 1x f x f x x
(*)
Trang 29
Áp dụng 1 1 1
, 01 1
b aa x a
x xb a b ab
Tương tự: 1 1
11
a b abb a b
ya a b ab
b) Trong 3 số , ,a b b c c a nếu có một số, chẳng hạn 1a b thì 1c
a b và
1a b a bb c c a b a suy ra đpcm. Còn nếu cả 3 số đó bé hơn 1 thì dùng bất đẳng thức (*).
3. BÀI LUYỆN TẬP
Bài tập 4.1: Thực hiện phép tính
10,75 12
24 30,5 0,2531 1
27 25 0,5 625 2 19 316 4
A B
Hướng dẫn
Dùng 5 quy tắc về mũ. Kết quả 12, 10A B .
Bài tập 4.2: Rút gọn các biểu thức:
a)
23 34 4
4
1. 1 2
ax a x ax a aR
x xa x ax
với 0, 0,a x a x .
b)
2 2
2 2
a a b a a bS
, với
2, 0,a b a b .
Hướng dẫn
a) Kết quả 1a
R ax a x ax
b) Kết quả
2 2
2 2
a a b a a bS
Bài tập 4.3: Tính gọn
a) 4 2 3 4 2 3 2 b) 3 39 80 9 80 3
Hướng dẫn
a) Viết bình phương đủ trong căn thức hay đặt ẩn phụ VT rồi bình phương. Kết quả
4 2 3 4 2 3 2 .
b) Viết lập phương đủ trong căn thức hay đặt ẩn phụ VT rồi lập phương. Kết quả 3 39 80 9 80 3
Trang 30
Bài tập 4.4: Trong khai triển nhị thức:
21
33
a b
b b
, tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng
nhau.
Hướng dẫn
Dùng nhị thức Niutơn: 2
0
nk n k k
n
k
a b C a b
Kết quả 9
21
21!293
9!12! 930C .
Bài tập 4.5:
a) Tính 3
log 50 theo 3 3log 15 ,log 10a b .
b) Tính ln 6,25 theo ln 2, ln5c d .
Hướng dẫn
a) Đưa về cơ số 3. Kết quả 2 2 2a b
b) Đưa về cơ số e. Kết quả 2 2d c .
Bài tập 4.6: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) Nếu 2 2 7a b ab thì 7 7 7
1log log log
3 2
a ba b
b) Nếu 12 24log 18 ,log 54a b , thì 5 1ab a b .
Hướng dẫn
a) 22 2 7 9a b ab a b ab hoặc biến đổi tương đương điều cần chứng minh.
b) Đưa về cơ số 2: 2
2 1log 3
2
a
a
và 2
3 1log 3
3
b
b
.
Bài tập 4.7: Tìm các giới hạn sau:
a) 20
sin 4lim
7x xx
x
e b)
3 4
0
1 2 1lim
tanx
x x
x
Hướng dẫn
a) Chia tử và mẫu thức cho x. Kết quả 4
3 ln 7
b) Thêm bớt 1 trên tử thức rồi chia tử và mẫu thức cho x. Kết quả 5
12
Bài tập 4.8: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Trang 31
a) 2 2
31.logy x x b) 2ln 1x
yx
Hướng dẫn
a) Kết quả
2 2
3
2
log 2 1' ln3
1
x x xy
xx
b) Kết quả 2
2 2
ln 12'
1
xy
x x
Bài tập 4.9: Cho f liên tục trên ¡ :
1, ,
.
f x xx y
f x y f x f y
¡ . Tính 'f x .
Dùng định nghĩa và kẹp giới hạn. Kết quả ' xf x e .
Bài tập 4.10: So sánh các số:
a) 33 30 và 3 63 b) 7
63
và 13 4
13
3
Hướng dẫn
a) So trung gian. Kết quả 3 3 3 33 30 1 27 4 64 63
b) Kết quả 5
16 3 41
3 33
Bài tập 4.11:
a) Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:
5 7log
2
và
log5 log 7
2
b) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn 3x y z . Tìm GTNN của
1 1 1
4 2ln 1 4 2ln 1 4 2ln 1K
x y y z z x
Hướng dẫn
a) Đặt 5 7
log2
a
và log5 log 7
2b
Suy ra 5 7
102
a và 5 7 10b .
Trang 32
Kết quả 5 7 log5 log 7
log2 2
.
b) Dùng bất đẳng thức AM-GM.
