1 L3 PRO. 2 Echantillonnage – Estimation dun paramètre Extraction de n échantillons dune population P Si lon extrait plusieurs échantillons représentatifs

1

L3 PRO

2

Echantillonnage – Estimation d’un paramètre

Extraction de n échantillons d’une population P

Si l’on extrait plusieurs échantillons représentatifs de taille n fixée, les différences observées entre les résultats obtenus sont dues à des fluctuations d’échantillonnage. A partir d’un échantillon, on n’a donc pas de certitudes mais des estimations de paramètres.

L'estimation d'un paramètre peut être faite - par un seul nombre: estimation ponctuelle- par 2 nombres entre lesquels le paramètre peut se trouver: estimation par intervalle

3


Estimation ponctuelle d’une moyenne

1

)(1

2

2

n

xxs

n

ii

x

Estimateur sans biais

n

iixn

x1

1

x barre

n

ss xx Ecart type de la moyenne

4


Pour améliorer la connaissance de la moyenne, il faut augmenter la taille de l’échantillon

5

Intervalle de confiance de la moyenne

Cas des grands échantillons (variance connue):

Soit une population obéissant à une loi normale de moyenne et d’écart type .

1)Pr( 2/2/

nZx

nZx


6


Exemple:

45 hommes

cm 10

cm 164

x

9.2164

9.166;161

45

1096.1164;

45

1096.1164

x

x

x

à 95% de confiance

7


8

Cas des petits échantillons:

Quand n<30 ou quand la variance est inconnue, on prend la loi de Student.

1)Pr( 2/2/n

stx

n

stx xx


Intervalle de confiance de la moyenne

Finalement on peut toujours utiliser la loi de Student puisque t tend vers la loi normale quand n est grand…

Pour = n-1 degrés de liberté

9

La loi de Student: t()

degrés de liberté

Converge vers la loi Normale quand augment.

10

La probabilité d’obtenir une valeur de t à l’extérieur de l’intervalle (-t/2 et t/2) -> TABLES.

)( 2/ttP

La loi de Student: t()

11


12


Exemple:6 hommes

cm 11

cm 165

xs

x

12165

177;153

6

1157.2165;

6

1157.2165

x

x

x

à 95% de confiance

Finalement on peut toujours utiliser la loi de Student puisque t tend vers la loi normale quand n est grand…

13


Intervalle de confiance de la variance

Soit une population obéissant à une loi normale de moyenne (inconnue) et d’écart type (inconnu).

1))1()1(

Pr(2

2/

22

2)2/1(

2xx snsn


14

Si Z1, Z2, Zn sont des variables aléatoires normales centrées réduites et indépendantes entres elles, la somme des carrées de ces varaibles aléatoires obéit à la loi du 2 à degrés de libertés

222

21

2 .... ZZZ

La loi du Khi carré: 2

15


16

En fait, les calculs sont fastidueux -> TABLES

)( 22 P


17


18


Intervalle de confiance de l’écart type (idem)

Soit une population obéissant à une loi normale de moyenne et d’écart type .

1))1()1(

Pr(2

2/

2

2)2/1(

2xx snsn


19


Estimation ponctuelle d’un pourcentage

La population est formée d’individus ayant ou non un caractère A. Soit p la probabilité pour qu’un individu pris au hasard dans la population présente le caractère A.

1

)1(

/

2

n

pps

nap

p

Quand on dispose d’un seul échantillon de taille n, la meilleure estimation ponctuelle de P est donc la fréquence p observée sur l’échantillon.

20


Grands échantillons (n>30), p ni voisin de 0, ni voisin de 1, (np>5, n(1-p)>5)

La variable fréquence obéit à une loi normale centrée réduite

1))1()1(

Pr( 2/2/ n

ppZpP

n

ppZp

Intervalle de confiance d’un pourcentage

21


Un problème très fréquent!Un quotidien publie tous les mois la cote du chef du gouvernement à partir d'un sondage réalisé sur un échantillon représentatif de 1000 personnes. En janvier, la cote publiée était de 38% d'opinions favorables, en février de 36%. Un journaliste commente alors ces valeurs par "Le chef du gouvernement perd 2 points !!"

En fait: On construit un intervalle de confiance autour des proportions. Avec un seuil de 95%, on obtient respectivement [35;41] et [33;39] pour les valeurs 36% et 38%. Les deux intervalles ayant une intersection non vide, on ne peut pas conclure qu'il y ait eu baisse ou augmentation de la cote du chef de gouvernement.

22

L3 PRO

23

On sait qu’un homme de néanerthal mesure en moyenne 165 cm.

Sur un site on trouve 16 hommes avec une moyenne de 167 et un écart type de 8 cm (e.t. échantillon).

Comparaison de la moyenne avec la valeur théorique de 165 cm

Quel est le problème…?

Théorie de la statistique de décision

Possibilités:Moyenne très élevée: Nous pourrons être amenés à croire que ces hommes ont des tailles différentes de 165 cm

Moyenne faiblement plus élevée: on ne pourra pas conclure si c’est significativement supérieur à la norme ou si c’est l’effet du hasard.

24

Question: à partir de quelle limite pouvons nous raisonnablement conclure à une différence?

H0: =165 (il n’y pas de différence)H1: ≠165

Calcul de

Sur la table la probabilité pour que la moyenne d’échantillonnage soit différente celle de la population de plus 2,131 de écart-type est de 5%.

216

8

n

ss xx


25

On sait qu’un homme de Neandertal mesure en moyenne 165 cm.

Sur un site on trouve 40 hommes avec une moyenne de 167 et un écart type de 8 cm (e.t. échantillon).

Comparaison de la moyenne avec la valeur théorique de 165 cm

Quel est le problème…?


Possibilités:Moyenne très élevée: Nous pourrons être amenés à croire que ces hommes ont des tailles différentes de 165 cm

Moyenne faiblement plus élevée: on ne pourra pas conclure si c’est significativement supérieur à la norme ou si c’est l’effet du hasard.

26

Question: à partir de quelle limite pouvons nous raisonnablement conclure à une différence?

H0: =165 (il n’y pas de différence)H1: ≠165

Calcul de

On mesure en fait 167 +/- 2.48 à 95% de confiance, ce qui n’est pas différent de 165 cm!

265.140

8

n

ss xx


27

Les deux risques d’erreur dans un test.

Décision H0 est vraie H1 est vraie H0 acceptée H0 rejetée

Bonne décision Erreur

Erreur Bonne décision

Erreur de 1ere espèce

Erreur de 2nde espèce (compliquée)1-

1-

A priori on ne sait pas à quel type d’erreur on sera confronté:Le résultat de l’échantillon a révélé 167 cm probablement par pur hasard.On conclue que la moyenne pourrait être 165 cm alors qu’en fait elle est mesurée à 167 cm.


28

H0 : hypothèse nulle ou principaleEx: Les haches de type A présentent les mêmes teneurs en Sn que les haches de type B.

H1 : hypothèse alternative ou contraire …

Soumission à une épreuve de vérité!

Conclusion : différence attribuable aux fluctuations d’échantillonnage???


29

Niveau de signification : un peu arbitraire…significatif : 0.05hautement significatif : 0.01très hautement significatif : 0.001.

Test bilatéral / unilatéral : bilatéral : différence sans se préoccuper du sens.Unilatéral : > ou <. Zone de rejet d’un seul coté de la distribution de probabilité de référence.

Echantillons indépendants ou appariés:Indépendants : aucune influence du 1er ech sur le 2nd.Appariés : prélèvements par paires. Ex : fumeurs H + F.


30

Comparaison des moyennes de 2 grands échantillons indépendants (n1 et n2 >30):

Comparaison de deux moyennes expérimentales–grands échantillons -

2

2

1

2

21

21

n

s

n

s

xxZ

xx

c

Deux échantillons qui suivent des lois normales: 1, 21; 2, 2

2

Si H0 est vraie, Zc suit une loi normale N(0,1)

31

H1 ≠bilatéral


32

H1unilatéral


33

H1 unilatéral


34

H0 H1 Rejet de H0 si = 0.05 = 0.01

1 = 2 1 2

1 > 2

1 < 2

|Zc| |z/2| Zc zZc z

|z/2| = 1.96 z= 1.64 z= 1.64

|z/2| = 2.57 z= 2.33 z= 2.33

Pour résumer:

Maintenant un exemple...


35

Taille des silex sur deux sites

Les moyennes de ces deux échantillons prélevés indépendamment l’un de l’autre diffèrent-elles d’une façon hautement significative?

mms

mms

mmx

n

x

x

09,6

18,37

86,158

50

1

1

22

1

1

mms

mms

mmx

n

x

x

09,5

92,25

46,134

67

2

2

22

2

2


36

n1 et n2 grands -> test sur la loi normale

H0 : a = b

H1 : a b (bilatéral)

2

22

1

21

21

ns

ns

xxZ

xx

c

9.22

6792.25

5018.37

66.13486.158

cZ

= 0.01, Z/2 = 2.57


37

H0 rejetée au seuil de signification de 1%


38

Comparaison d’une moyenne empirique à une moyenne théorique

Même principe que précédemment (quand n est grand):

n

sx

Zx

c0

que l’on teste sur la loi normale N(0,1)

H0: =0

39

Cas des petits échantillons: Test t

Deux populations normales 1 et 2 de même variance (au moins approximativement) 2. Si n1 et n2 sont petits, s2

x1 et s2x2 sont des

estimateurs peu précis de 2.

Dans ce cas, la variable différence centrée réduite n’obéit plus à une loi normale mais à une loi de Student à =n1+n2-2 degrés de liberté.

Comparaison de deux moyennes expérimentales– petits échantillons -

40

La variance de la distribution des différences de moyennes est estimées par s2

D

21

22 11

nnss pdD

2

)1()1(

21

22

212 21

nn

snsns xxpd

avec


41

Ce qui donne…

H0 : a = b

Dc s

xxt 21

Avec = n1 + n2 - 2


42

Si les variances s’avèrent inégales alors test t modifié.

2

2

1

2

21

21

n

s

n

s

xxt

xx

cm

11 2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

21

21

n

n

s

n

n

s

n

s

n

s

xx

xx

avec


43

Comparaison d’une moyenne empirique à une moyenne théorique

Même principe que précédemment. Suivant si n est petit ou grand, on calcule les variables auxiliaires suivantes:

n

sx

tx

c0

n

sx

Zx

c0

que l’on teste sur la loi de Student ou loi normale N(0,1)

H0: =0

44

Fondée sur les différences de chaque paire d’éléments

21 iii xxd

On imagine que la différence obéit à une loi normale, mais en général on utilise une loi de Student à n-1 degrés de liberté:

Comparaison de moyennes de deux échantillons appariés

1

)(et 1

2

n

dds

n

ss

n

ii

dd

d

45

H0 : 1 = 2 ou d = 0

H1: 1 2 , bilatéralH1: 1 > 2 , unilatéralH1: 1 < 2 , unilatéral

d

c s

dt

Comparaison de moyennes de deux échantillons appariés

t calculé pour = n-1 degrés de liberté

46

Comparaison de deux fréquences expérimentales

Comparaison des fréquences de 2 grands échantillons indépendants.

H0 : p1 = p2 = p

Deux échantillons : f1, n1; f2, n2

On approxime la loi binomiale par la loi normale mais:n1>30, n2>30, n1f1>5, n2f2>5, n1(1-f1)>5, n2(1-f2)>5

47

Comparaison de deux fréquences expérimentales

Sous H0 on peut réunir les deux échantillons, et on est conduit à l’estimation de p

21

2211ˆnn

fnfnp

Zc devient

21

21

11)ˆ1(ˆ

nnpp

ffZc

H1: p1≠p2

H1: p1>p2

H1: p1<p2

Test sur la loi normale N(0,1)

48

Comparaison d’une fréquence empirique et d’une fréquence théorique

La différence entre f et p est-elle seulement explicable par les aléas dus à l’échantillonnage?

On approxime la loi binomiale par la loi normale mais:n>30, np>5 et nq>5

H0: f = p

npp

pfZc

)1(

H1: p1≠p2

H1: p1>p2

H1: p1<p2

Test sur la loi normale N(0,1)

49

Comparaison de deux variances expérimentales

Deux échantillons qui suivent des lois normales: 1, 21; 2, 2

2

H0: 21=2

2

calcul de :2

2

B

A

x

xc s

sF

Plus grande variance

Plus petite variance

>1

Si H0 est vraie, Fc suit une loi de Fisher-Snedecor avec 1=n1-1 et 2=n2-1

50

Soit 21 et 2

2, un couple de variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois du 2 à 1 et 2 degrés de libertés.

222

121

/

/

F

Utile pour les tests de variance et de covariance

La loi de Fisher - Snedecor : F(1,2)

51

)(2121 ,, FFP

La loi de Fisher - Snedecor : F(1,2)

52

H1: 21>2

2

Sous H0: Pr(Fc<F)=1-

F

Accept. H0rejet H0


53

H1: 21≠2

2

Sous H0 : Pr(Fc<F)=1-

F

Accept. H0rejet H0

/2


54


Table de Fisher-Snedecor

11/04/23 Statistiques 55

L3 PRO


Les tests non paramétriques ne font aucune hypothèse sur la distribution sous-jacente des données. On les qualifie souvent de tests distribution free. L’étape préalable consistant à estimer les paramètres des distributions (p.e. moyenne et écart type) avant de procéder au test d’hypothèse proprement dit n’est plus nécessaire.

Quand?:

1. L’échelle des données est ordinale plutôt que sous forme d’intervalles ou de rapports. Dans ce cas les opérations arithmétiques n’ont pas de sens!

2. Les mesures sont sur des échelles d’intervalles ou de rapports mais les distributions de fréquences observées sont très éloignées de la distribution normale.

Pourquoi et quand utiliser des statistiques non-paramétriques?

1. Généralités – Conditions d’application


Données Paramétrique Non-paramétrique

Distribution normale

n grand

Précis et fiable Si H0 est rejeté, le résultat devrait être le même qu’avec le test paramétrique

Si H0 est accepté, le résultat n’est peut être pas fiable

Distribution non normale

n petit

Résultat absolument pas fiable: souvent un rejet de H0 abusif

Meilleur résultat possible avec de telles données

1. Généralités – Conditions d’application

Test du χ2 d’adéquation/conformité:Il s'agit de juger de l'adéquation entre une série de données statistiques et une loi de probabilité définie a priori ou à une population donnée.

Test du χ2 d’homogénéité:Il s'agit alors de se demander si deux listes de nombres de même effectif peuvent dériver de la même loi de probabilité.

PrincipeL’analyse se fait à l’aide d’un tableau de corrélation (variables quantitatives regroupées en classes) ou (plus souvent) de contingence (variables qualitatives). Il ne concerne que des données discrètes.

On calcule les fréquences attendues de chacune des cases puis les écarts entre celles-ci et les fréquences observées.

Test du χ2

Tableau de contingence: les MnMs transgéniques

Préparation des données. Test du χ2

Les tableaux de corrélation: le territoire et la masse des marsupiaux

Préparation des données. Test du χ2

61


Pour calculer la statistique χ2, on a besoin des:- fréquences absolues observées- fréquences absolues attendues

Remarque importante: les fréquences du tableau sont des fréquences absolues observées, jamais des fréquences relatives!

Conformité. Test du χ2

Les fréquences attendues (théoriques) sont nécessaires

1. Si on connaît déjà (grâce à une théorie) les fréquences attendues théoriques, on les utilise directement. Exemple: l'hérédité des pois de Mendel:


Test du χ2

H0 : Il n’y a pas de relation entre les variables…χ2 = 0

H1: Il y a une relation entre les variables…χ2 > 0


k

j j

jj

k

kk

e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

1

22

2

222

1

2112 ...

où, si N est la fréquence totale

Neo jj Si 2 = 0, fréq théoriques identiques aux fréq. obs., si 2 > 0, elles ne sont pas exactement identiques.

H0: 2=0H1: 2>0


Un exemple

Le tableau suivant montre la distribution des unités 0, 1,2, …, 9 d’une table de nombres aléatoires comportant 250 nombres. Est-ce que la distribution observée est significativement différente de la distribution théorique?

Unités 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fréq Obs 17 31 29 18 14 20 35 30 20 36

Fréq Est. 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

3.23

25

2536...

25

2517 222

Solution:

295.0 critique à = 10-1 = 9 degrés de liberté = 16,92

23.3>16,92. Cette table de nombre aléatoire est suspecte.


Pourquoi 9 degrés de liberté dans l’exemple précédent?

= k -1 si les fréquences théoriques peuvent être calculées sans avoir à estimer les paramètres de la population à partir des statistiques d’échantillon.

= k – 1 – m si les fréquences théoriques peuvent être calculées en n’estimant que m paramètres de la population à partir des statistiques d’échantillon.

Idéalement, au moins 5 occurrences par case!

Degré de liberté. Test du χ2


Degré de liberté. Test du χ2


Homogénéité. Test du χ2



Guérit Ne guérit pas Total

Groupe A (serum) 75 25 100

Groupe B (sans sérum) 65 35 100

Total 140 60 200

Fréquences observées

Guérit Ne guérit pas Total

Groupe A (serum) 70 30 100

Groupe B (sans sérum) 70 30 100

Total 140 60 200

Fréquences attendues sous H0

84.3;1)1)(1(

38.230

3035

30

3025

70

7065

70

7075

295.0

22222

kh

Impossibilité de rejeter H0


ExempleTableau de contingence du nombre de joueurs de hockey de différentes nationalités utilisant différentes marques de bâtons de hockey.

Le choix de la marque du bâton de hockey que les joueurs utilisent est-il influencé par l’origine du joueur?

Étape 1 : Question “biologique”


H0: il n’y a pas de préférence de marque de bâton de hockey chez les joueurs de différentes nationalités (donc: la variable "marque de bâton" et la variable "nationalité" sont indépendantes) :

χ2 = 0H1: les joueurs de différentes nationalités ont des préférences différentes au niveau de la marque de bâton de hockey qu’ils utilisent :

χ2 > 0

Étape 3 : Test statistique utilisé

• données sous forme de fréquences• indépendance des observations• fréquences distribuées normalement

Étape 4: Conditions d’application

Étape 2: Déclaration des hypothèses


fth(i,j) = (ni × nj)/N exemple, la première cellule :

Calcul des fréquences théoriques:


Étape 5 : Distribution de la variable auxiliaire

Si H0 est vraie, la statistique χ2calc suit une distribution de χ2 à υ = (l – 1) × (c – 1)

= (5 – 1) × (6 –1) = 20 d.d.l.

On rejette H0 si χ2calc ≥ χ2

(0,05, 20) = 31,41

Étape 7: Calcul du test

Étape 8: Décision statistique

On ne rejette pas H0 au seuil α = 0,05 car si χ2calc < χ2

(0,05, 20)

Les joueurs de différentes nationalités n’utilisent pas des bâtons de hockey de marques différentes car les compagnies font la promotion de leurs bâtons avec la même intensité dans les pays étudiés.

Étape 6 : Règle de décision

Étape 9: Interprétation biologique



1. Généralités – Les tests non paramétriques en pratique

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