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Le isometrie

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Cosa sono le isometrie?Avete un album di fotografie?

Provate a spostare una di queste per dare una sistemazione migliore all’album!

La vostra foto non cambierà né in forma né in grandezza: rimarrà la stessa, cambierà solo la posizione.

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Anche in geometria è possibile “spostare” una figura

geometrica lasciandone inalterate forma e dimensioni. Questi

movimenti che trasformano figure assegnate in altre congruenti

(cioè sovrapponibili) prendono il nome di isometrie.

Cosa sono le isometrie?

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LA TRASLAZIONE

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Costruire con carta e forbici• Ritaglia un triangolo e fora due punti al suo interno

• Appoggia il triangolo su un foglio, con un lato su un righello. Ricalca il suo contorno e, attraverso i fori, segna anche i punti al suo interno.

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Fai scorrere il triangolo sul righello

Scopri che le distanze tra i punti corrispondenti nei due triangoli sono uguali: AA’=BB’=CC’=EE’=FF’Hai eseguito una traslazione.Quando una figura nel piano subisce una traslazione tutti i suoi punti sono spostati a distanze uguali in una certa direzione.

Costruire con carta e forbici

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Alcuni allievi avranno effettuato uno spostamento considerevole, altri un piccolo spostamento.Ogni allievo avrà spostato la figura nella direzione e nel verso preferito.

Quindi, per stabilire la posizione di F’ è necessario conoscere:a) di quanto si sposta la figura, cioè l’intensità dello spostamento;b) in che direzione si sposta la figura, cioè la direzione dello spostamento;c) in che verso si sposta la figura, cioè il verso dello spostamento.

Il vettore

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Composizione di due traslazioni• Considera la figura F e il vettore v indicato

nella figura seguente.

• Costruisci la figura F’ corrispondente della F nella traslazione di vettore assegnato.

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La simmetria assiale… foglia, stecchino e altre foglie sono

stati incollati su una lastra trasparente.La lastra trasparente è stata ribaltata

attorno allo stecchino. Dopo il ribaltamento si nota che:- tutte le foglie mostrano la pagina

inferiore, ma mantengono la stessa forma;

- solo la foglia attraversata dallo stecchino è rimasta nella stessa posizione, mentre le altre appaiono spostate a sinistra ma alla stessa distanza dallo stecchino.

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La simmetria assiale Che cosa possono rappresentare in

geometria la lastra, la foglia e lo stecchino?

- La lastra trasparente rappresenta un piano

- Le foglie rappresentano varie figure geometriche

- Lo stecchino rappresenta una retta r del piano

r

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Due figure sono simmetriche rispetto ad una retta se tutti i punti dell’una sono i simmetrici dei punti dell’altra.

Per costruire la figura simmetrica di una figura poligonale, costruisci il simmetrico di ogni suo vertice e uniscili.

Costruzione geometrica

Si può verificare che segmenti ed angoli corrispondenti hanno rispettivamente la stessa lunghezza ed ampiezza.

’

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• La figura poligonale ha un punto in comune con l’asse di simmetria…

...verso le figure con assi di simmetria interni

• La figura poligonale ha più punti in comune con l’asse di simmetria…

A A´

B B´

Le figure sono dotate di asse di simmetria

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ROTAZIONE La maniglia di una porta

che viene abbassata e il pendolo di un orologio che oscilla compiono uno stesso tipo di movimento: una ROTAZIONE.

Tutti i punti dell’oggetto descrivono degli archi di circonferenza della stessa ampiezza ed aventi lo stesso centro.

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Con l’aiuto del goniometro e di una riga esegui la rotazione di un quadrato, con:

• centro di rotazione O esterno alla figura

• ampiezza di rotazione 60°

• senso antiorario

Costruzione geometrica

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UNA ROTAZIONE DI CENTRO O E AMPIEZZA E’ UNA ISOMETRIA CHE SPOSTA UNA FIGURA

NEL PIANO NEL SENSO INDICATO.

IN MODO CHE A E A’ SONO DUE PUNTI CORRISPONDENTI E L’ANGOLO TRA LORO COMPRESO SIA DI

AMPIEZZA a.

Costruzione geometrica

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SIMMETRIA CENTRALE

H NZ

. .

.

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Unendo i punti A e A’, B e B’, C e C’ otteniamo i segmenti AA’, BB’, CC’.

A

C

B

O

180

A'

C'

B'

La simmetria centrale

Infatti AO = OA’,BO = OB’ e CO = OC’

Puoi verificare che :il punto O appartieneai segmenti AA’, BB’,CC’ ed è il loro punto medio.

Per questa caratteristica i punti si dicono simmetrici rispetto al punto O e lo spostamento che porta il triangolo ABC in A’B’C’ è detto simmetria centrale.

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In generale vale la seguente:

Una simmetria centrale, di cui O è il centro di simmetria, è una rotazione di 180°, con verso orario o antiorario, di centro O.

E’ un’isometria che conserva la lunghezza dei lati e l’ampiezza degli angoli.

Simmetria centrale