1. LICZBY ZESPOLONE 1.1 PODSTAWOWE DEFINICJE I WŁASNO�CI Def. 1.1.1 (liczba zespolona, płaszczyzna zespolona) Liczb� zespolon� nazywamy uporz�dkowan� par� liczb rzeczywistych np. (x,y), (u,v), (a,b). Liczby zespolone oznaczamy krótko przez z, w itp. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczmy przez C. Mamy zatem

{ }RyxyxzCdef

∈== ,:),( . Uwaga. Liczb� zespolon� z = (x,y) przedstawiamy na płaszczy�nie w postaci punktu o współrz�dnych (x,y) lub w postaci wektora o pocz�tku w punkcie (0,0) i ko�cu w punkcie (x,y). W tej interpretacji zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy płaszczyzn� zespolon�. Def. 1.1.2 (równo��, suma i iloczyn liczb zespolonych) Niech ),( 111 yxz = , ),( 222 yxz = b�d� liczbami zespolonymi. 1. Równo�� liczb zespolonych okre�lamy przez warunek:

212121 oraz yyxxzzdef

==⇔= . 2. Sum� liczb zespolonych okre�lamy wzorem:

( )212121 , yyxxzzdef

++=+ . 3. Iloczyn liczb zespolonych okre�lamy wzorem:

( )1221212121 , yxyxyyxxzzdef

+−=⋅ . Fakt 1.1.3 (własno�ci działa� w zbiorze liczb zespolonych) Niech z1, z2, z3 b�d� dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy 1. dodawanie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.

1221 zzzz +=+ 2. dodawanie liczb zespolonych jest ł�czne, tzn.

( ) ( )221321 zzzzzz ++=++

3. dla ka�dej liczby zespolonej z liczba zespolona )0,0(0def

= spełnia równo��

zz =+ 0

4. dla ka�dej liczby zespolonej ),( yxz = liczba ),( yxzdef

−−=− spełnia równo��

0)( =−+ zz 5. mno�enie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.

1221 zzzz ⋅=⋅ 6. mno�enie liczb zespolonych jest ł�czne, tzn.

( ) ( )321321 zzzzzz ⋅⋅=⋅⋅

7. dla ka�dej liczby zespolonej z liczba zespolona )0,1(1def

= spełnia równo��

zz =⋅1 8. dla ka�dej liczby zespolonej 0),( ≠= yxz liczba zespolona

���

����

�

+−

+=

2222,

1yx

yyx

xz

def

spełnia równo��

11 =⋅z

z

9. mno�enie liczb zespolonych jest rozdzielne wzgl�dem dodawania, tzn. ( ) 3121321 zzzzzzz ⋅+⋅=+⋅ .

Uwaga. Liczby zespolone 0, –z, 1 oraz z1 wprowadzone odpowiednio w punktach 3, 4, 7 oraz 8 powy�szego faktu s�

jedynymi liczbami o ��danych w tych punktach własno�ciach. Liczby te nazywamy odpowiednio: elementem neutralnym dodawania, elementem przeciwnym liczby z, elementem neutralnym mno�enia oraz elementem odwrotnym do liczby z. Def. 1.1.4 (odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych) Niech z1, z2 ∈ C b�d� dowolnymi liczbami zespolonymi. 1. odejmowanie liczb zespolonych okre�lamy wzorem:

)( 2121 zzzzdef

−+=− 2. dzielenie liczb zespolonych okre�lamy wzorem:

21

2

1 1z

zzz def

⋅= , o ile z2 ≠ 0.

Uwaga. Wszystkie reguły czterech podstawowych działa� algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mno�enie, dzielenie) znane z liczb rzeczywistych obowi�zuj� tak�e w zbiorze liczb zespolonych. W szczególno�ci prawdziwe s� wzory skróconego mno�enia, wzory na sum� wyrazów ci�gu arytmetycznego i geometrycznego itd. Fakt 1.1.5 (zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych) Podzbiór R zbioru liczb zespolonych C zło�ony z liczb postaci (x,0), gdzie x ∈ R, ma nast�puj�ce własno�ci: 1. )0,()0,()0,( 2121 xxxx +=+ ,

2. )0,()0,()0,( 2121 xxxx −=− ,

3. )0,()0,()0,( 2121 xxxx ⋅=⋅ ,

4. ���

����

�= 0,

)0,()0,(

2

1

2

1

xx

xx

, gdzie x2 ≠ 0.

Uwaga. Z własno�ci tych wynika, zbiór R mo�na uto�samia� ze zbiorem liczb rzeczywistych R. B�dziemy pisali x zamiast (x,0); w szczególno�ci 0 = (0,0) oraz 1 = (1,0). 1.2 POSTA� ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ Def. 1.2.1 (jednostka urojona) Liczb� zespolon� (0,1) nazywamy jednostk� urojon� i oznaczamy j� przez i;

)1,0(def

i = . Fakt 1.2.2 (posta� algebraiczna liczby zespolonej) Ka�d� liczb� zespolon� mo�na jednoznacznie zapisa� w postaci:

iyxz += , gdzie Ryx ∈, . Uwaga. Ten sposób przedstawienia liczb zespolonych nazywamy ich postaci� algebraiczn�. Nie ka�de przedstawienie liczby zespolonej w postaci x + iy jest jej postaci� algebraiczn�. Niezb�dne jest dodanie warunku x, y ∈ R. Def. 1.2.3 (cz��� rzeczywista i urojona liczby zespolonej) Niech x + iy b�dzie postaci� algebraiczn� liczby zespolonej z. Wówczas 1. liczb� x nazywamy cz��ci� rzeczywist� liczby zespolonej z, co zapisujemy

xzdef

=Re , 2. liczb� y nazywamy cz��ci� urojon� liczby zespolonej z, co zapisujemy

yzdef

=Im .

Liczb� zespolon� postaci iy, gdzie y ∈ R \ {0}, nazywamy liczb� czysto urojon�.

Rys. 1.2.1 Interpretacja geometryczna jednostek rzeczywistej i urojonej oraz liczby zespolonej

w postaci algebraicznej. Uwaga. Dodawanie, odejmowanie i mno�enie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak, jak dodawanie, odejmowanie i mno�enie wielomianów zmiennej i, przy warunku 12 −=i . Przy dzieleniu przez liczb� zespolon� x + iy, gdzie x, y ∈ R, nale�y dzieln� i dzielnik pomno�y� przez liczb� x – iy, aby w mianowniku uzyska� liczb� rzeczywist�. Fakt 1.2.4 (o równo�ci liczb zespolonych w postaci algebraicznej) Dwie liczby zespolone s� równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich cz��ci rzeczywiste i urojone s� równe, tzn.

��

==

⇔=21

2121 ImIm

ReRe

zz

zzzz .

1.3 SPRZ��ENIE I MODUŁ LICZBY ZESPOLONEJ Def. 1.3.1 (sprz�enie liczby zespolonej) Sprz��eniem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczb� zespolon� z okre�lon� wzorem:

iyxzdef

−= . Liczba sprz��ona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii osiowej wzgl�dem osi Rez. Fakt 1.3.2 (własno�ci sprz�enia liczb zespolonych) Niech z, z1, z2 ∈ C. Wtedy

1. 2121 zzzz +=+ 5. zzz Re2=+

2. 2121 zzzz −=− 6. zizz Im2=−

3. 2121 zzzz ⋅=⋅ 7. ( ) zz =

4. 2

1

2

1

z

zzz

=���

����

�, o ile z2 ≠ 0

8. ( ) ( )zz ImIm −=

Uwaga. Równo�ci podane w punktach 1 i 3 prawdziwe s� odpowiednio dla dowolnej liczby składników i czynników. Def. 1.3.3 (moduł liczby zespolonej) Modułem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczb� rzeczywist� |z| okre�lon� wzorem:

22 yxzdef

+= .

Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem warto�ci bezwzgl�dnej liczby rzeczywistej. Geometrycznie moduł liczby zespolonej z jest odległo�ci� punktu z od pocz�tku układu współrz�dnych. Uwaga. Moduł ró�nicy liczb zespolonych z1, z2 jest długo�ci� odcinka ł�cz�cego punkty z1, z2 płaszczyzny zespolonej. Fakt 1.3.4 (własno�ci modułu liczby zespolonej) Niech z, z1, z2 ∈ C. Wtedy

1. zzz −== 5. 2121 zzzz −≤−

2. 2121 zzzz ⋅=⋅ 6. 2zzz =⋅

3. 2

1

2

1

z

z

zz

= , o ile z2 ≠ 0 7. zz ≤Re

4. 2121 zzzz +≤+ 8. zz ≤Im

Uwaga. Warunki podane w punktach 2 i 4 powy�szego faktu prawdziwe s� tak�e dla dowolnej liczby odpowiednio czynników i składników. Przy obliczaniu ilorazu liczb zespolonych w i z ≠ 0 wygodnie jest stosowa� to�samo��:

2z

zwzw = .

1.4 POSTA� TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ Def. 1.4.1 (argument i argument główny liczby zespolonej) Argumentem liczby zespolonej z = x + iy ≠ 0, gdzie x, y ∈ R, nazywamy ka�d� liczb� ϕ ∈ R spełniaj�c� układ równa�:

�

�

=

=

zy

zx

ϕ

ϕ

sin

cos

.

Przyjmujemy, �e argumentem liczby z = 0 jest ka�da liczba ϕ ∈ R. Argumentem głównym liczby zespolonej z ≠ 0 nazywamy argument ϕ tej liczby spełniaj�cy nierówno�� 0 ≤ ϕ < 2π. Przyjmujemy, �e argumentem głównym liczby z = 0 jest 0. Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy przez zarg . Ka�dy argument ϕ liczby zespolonej z ≠ 0 ma posta�

πϕ kz 2arg += , gdzie k ∈ Z.

Rys. 1.4.1 Argument liczby zespolonej Rys. 1.4.2 Argument główny liczby zespolonej

Uwaga. Argumenty liczby zespolonej s� miarami z s� miarami k�ta zorientowanego utworzonego przez dodatni� cz��� osi rzeczywistej i wektor wodz�cy tej liczby (rys. 1.4.1). Argument główny liczby zespolonej jest najmniejsz� nieujemn� miar� k�ta zorientowanego utworzonego przez dodatni� cz��� osi rzeczywistej i wektor wodz�cy tej liczby (rys. 1.4.2). Czasem przyjmuje si�, �e argument główny liczby zespolonej jest liczb� z przedziału (-π,π]. Fakt 1.4.2 (posta� trygonometryczna liczby zespolonej) Ka�d� liczb� zespolon� z mo�na przedstawi� w postaci:

( )ϕϕ sincos irz += , gdzie r ≥ 0 oraz ϕ ∈ R. Liczba r jest wówczas modułem liczby z, a ϕ jednym z jej argumentów. Fakt 1.4.3 (równo�� liczb zespolonych postaci trygonometrycznej) Liczby zespolone ( )1111 sincos ϕϕ irz += , ( )2222 sincos ϕϕ irz += , gdzie r1, r2 ≥ 0 oraz ϕ1, ϕ2 ∈ R, s� równe wtedy i tylko wtedy, gdy:

021 == rr albo 021 >= rr oraz πϕϕ k221 += dla pewnego k ∈ Z. Fakt 1.4.4 (mnoenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometryczne) Niech ( )1111 sincos ϕϕ irz += , ( )2222 sincos ϕϕ irz += , gdzie r1, r2 ≥ 0 oraz ϕ1, ϕ2 ∈ R b�d� liczbami zespolonymi. Wtedy

1. [ ])sin()cos( 21212121 ϕϕϕϕ +++=⋅ irrzz

2. [ ])sin()cos( 21212

1

2

1 ϕϕϕϕ −+−= irr

zz

, o ile z2 ≠ 0.

Inaczej mówi�c, przy mno�eniu liczb zespolonych ich moduły mno�ymy, a argumenty dodajemy. Podobnie, przy dzieleniu liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy. Uwaga. Pierwszy ze wzorów w ostatnim fakcie jest prawdziwy tak�e dla dowolnej liczby czynników. Fakt 1.4.5 (o argumentach iloczynu, ilorazu, sprz�enia oraz liczby przeciwnej) Niech z, z1, z2 ∈ C oraz niech n ∈ N. Wtedy 1. πkzzzz 2argarg)arg( 2121 ++= dla pewnego k ∈ Z;

2. ( ) πkznz n 2argarg += dla pewnego k ∈ Z;

3. πkzzzz

2argargarg 212

1 +−=���

����

� dla pewnego k ∈ Z, o ile z2 ≠ 0;

4. ( ) πkzz 2argarg +−= dla pewnego k ∈ Z;

5. ππ kzz 2arg)arg( ++=− dla pewnego k ∈ Z;

6. πkzz

2arg1

arg +−=��

���

� dla pewnego k ∈ Z, o ile z ≠ 0;

Uwaga. W rzeczywisto�ci k mo�e przyjmowa� warto�ci 1. 0 lub –1; 2. dowolne; 3. 0 lub 1; 4. 1; 5. 0, 1 lub –1; 6. 1. Fakt 1.4.6 (wzór de Moivre’a) Niech ( )ϕϕ sincos irz += , gdzie r ≥ 0, ϕ ∈ R oraz niech n ∈ N. Wtedy

( )ϕϕ ninrz nn sincos += .

Def. 1.4.7 (symbol ϕie ) Dla ϕ ∈ R liczb� zespolon� cosϕ + isinϕ oznaczamy krótko przez ϕie ;

ϕϕϕ sincos iedef

i += .

Fakt 1.4.8 (własno�ci symbolu ϕie ) Niech ϕ, ϕ1, ϕ2 b�d� dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech k b�dzie dowoln� liczb� całkowit�. Wtedy

1. ( ) 2121 ϕϕϕϕ iii eee ⋅=+ 5. 0≠ϕie

2. ( )2

1

21

ϕ

ϕϕϕ

i

ii

ee

e =− 6. πϕϕϕϕ lee ii 221

21 +=⇔= , gdzie l ∈ Z

3. ( ) ϕϕ ikki ee = 7. 1=ϕie

4. ( ) ϕπϕ iki ee =+2 8. ( ) πϕϕ lei 2arg += dla pewnego l ∈ Z Fakt 1.4.9 (posta� wykładnicza liczby zespolonej) Ka�d� liczb� zespolon� z mo�na zapisa� w postaci wykładniczej, tj. w postaci

ϕirez = , gdzie r ≥ 0, ϕ ∈ R. Liczba r jest wówczas modułem liczby z, a ϕ jej argumentem. Fakt 1.4.10 (o równo�ci liczb zespolonych w postaci wykładniczej) Niech r1, r2 ≥ 0 oraz ϕ1, ϕ2 ∈ R. Wówczas

0212121 ==⇔= rrerer ii ϕϕ albo 021 >= rr oraz πϕϕ k221 += , gdzie k ∈ Z.

Fakt 1.4.11 (działania na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej) Niech ϕiez = , 1

1ϕiez = , 2

2ϕiez = , gdzie r, r1, r2 ≥ 0 oraz ϕ, ϕ1, ϕ2 ∈ R, b�d� liczbami zespolonymi oraz niech k b�dzie

liczb� całkowit�. Wtedy

1. ϕirez −= 4. ϕikkk erz =

2. )( πϕ +=− irez 5. )(2121

21 ϕϕ +=⋅ ierrzz

3. ϕierz

−= 11, o ile z ≠ 0 6. )(

2

1

2

1 21 ϕϕ −= ierr

zz

, o ile z2 ≠ 0

1.5 PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH Def. 1.5.1 (pierwiastek z liczby zespolonej) Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy ka�d� liczb� zespolon� w spełniaj�c� równo��:

zwn = .

Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z oznaczamy przez n z . Uwaga. Symbol n ma inne znaczenie w odniesieniu do liczb rzeczywistych, a inne do liczb zespolonych (w tym tak�e rzeczywistych traktowanych jak zespolone). Pierwiastek w dziedzinie rzeczywistej jest okre�lony jednoznacznie i jest to funkcja R → R dla n nieparzystych oraz [0,∞) →[0,∞) dla n parzystych. Pierwiastkowanie w dziedzinie zespolonej jest natomiast rozwi�zywaniem równania zwn = , zatem n z jest zbiorem rozwi�za� tego równania. Symbolu pierwiastka w dziedzinie zespolonej nie wolno u�ywa� do �adnych działa� i oblicze�, gdy� podstawowe wzory dla pierwiastków, prawdziwe

w dziedzinie rzeczywistej tutaj nie maj� sensu, np. 24 zz ≠ . Fakt 1.5.2 (wzór na pierwiastki z liczby zespolonej) Ka�da liczba zespolona ( )ϕϕ sincos irz += , gdzie r ≥ 0 oraz ϕ ∈ R, ma dokładnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór tych pierwiastków ma posta�:

{ }110 ,,, −= nn wwwz � ,

gdzie

��

���

� ++=n

ki

nk

rw nk

πϕπϕ 2sin,

2cos dla k = 0, 1, …, n – 1.

Uwaga. Dla k = 0, 1, …, n – 2 prawdziwa jest zale�no��:

k

kk ni

nw

ni

nww �

�

���

�=��

���

�=+ππππ 2

sin,2

cos2

sin,2

cos 01 .

Fakt 1.5.2 (interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej) Zbiór pierwiastków stopnia n ≥ 3 z liczby zespolonej ( )ϕϕ sincos irz += , gdzie r = |z| oraz ϕ = argz, pokrywa si� ze

zbiorem wierzchołków n–k�ta foremnego wpisanego w okr�g o promieniu n r i �rodku w pocz�tku układu współrz�dnych.

Pierwszy wierzchołek tego wielok�ta jest w punkcie ��

���

� +=n

in

rw n ϕϕsincos0

, a k�t mi�dzy promieniami wodz�cymi

kolejnych wierzchołków jest równy nπ2 (rys. 1.5.1).

Rys. 1.5.1 Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej

2. WIELOMIANY 2.1 PODSTAWOWE POJ�CIA I WŁASNO�CI Def. 2.1.1 (wielomian rzeczywisty) Wielomianem rzeczywistym stopnia n ∈ N ∪ {0} nazywamy funkcj� W: R → R okre�lon� wzorem:

011

1)( axaxaxaxW nn

nn ++++= −

− � ,

gdzie ak ∈ R dla 0 ≤ k ≤ n oraz an ≠ 0. Ponadto przyjmujemy, �e funkcja W(x) ≡ 0 jest wielomianem stopnia –∞. Liczby ak, 0 ≤ k ≤ n, nazywamy współczynnikami wielomianu W. Def. 2.1.2 (wielomian zespolony) Wielomianem zespolonym stopnia n ∈ N ∪ {0} nazywamy funkcj� W: C → C okre�lon� wzorem:

011

1)( czczczczW nn

nn ++++= −

− � ,

gdzie ck ∈ C dla 0 ≤ k ≤ n oraz cn ≠ 0. Ponadto przyjmujemy, �e funkcja W(z) ≡ 0 jest wielomianem stopnia –∞. Liczby ck, 0 ≤ k ≤ n, nazywamy współczynnikami wielomianu W. Uwaga. Ka�dy wielomian rzeczywisty mo�na traktowa� jako wielomian zespolony rozszerzaj�c jego dziedzin� z R na C. Tak b�dziemy post�powa� przy omawianiu pierwiastków zespolonych wielomianów rzeczywistych. Wielomian zespolony lub rzeczywisty b�dziemy nazywali krótko wielomianem. Def. 2.1.3 (suma, rónica i iloczyn wielomianów) Niech P i Q b�d� wielomianami. Sum�, ró�nic� i iloczyn wielomianów P i Q okre�lamy w sposób naturalny, tj. przyjmujemy:

( ) )()()( xQxPxQPdef

±=± , ( ) )()()( xQxPxQPdef

⋅=⋅ . Def. 2.1.4 (podzielno�� wielomianów) Mówimy, �e wielomian S jest ilorazem, a wielomian R reszt� z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, je�eli dla ka�dego x ∈R (x ∈ C) spełniony jest warunek

)()()()( xRxSxQxP +⋅= oraz stopie� reszty R jest mniejszy od stopnia dzielnika Q. Je�eli R(x) ≡ 0, to mówimy, �e wielomian P jest podzielny przez wielomian Q. 2.2 PIERWIASTKI WIELOMIANÓW Def. 2.2.1 (pierwiastek wielomianu) Liczb� rzeczywist� (zespolon�) x0 nazywamy pierwiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W, je�eli W(x0) = 0. Tw. 2.2.2 (Bezout) Liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, �e

)()()( 0 xPxxxW −= . Uwaga. Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x – x0 jest równa W(x0).

Def. 2.2.3 (pierwiastek wielokrotny wielomianu) Liczba x0 jest pierwiastkiem k–krotnym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, �e

)()()( 0 xPxxxW k−= oraz 0)( 0 ≠xP . Fakt 2.2.4 (o pierwiastkach wielokrotnych wielomianu) Liczba x0 jest pierwiastkiem k–krotnym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy

0)()()( 0)1(

0/

0 === − xWxWxW k� oraz 0)( 0)( ≠xW k .

Tw. 2.2.5 (o pierwiastkach całkowitych wielomianu) Niech

011

1)( axaxaxaxW nn

nn ++++= −

− �

b�dzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba całkowita p ≠ 0 b�dzie pierwiastkiem wielomianu W. Wtedy p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0. Tw. 2.1.6 (o pierwiastkach wymiernych wielomianu) Niech

011

1)( axaxaxaxW nn

nn ++++= −

− �

b�dzie wielomianem stopnia n o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba wymierna qp , gdzie p i q s� liczbami

całkowitymi wzgl�dnie pierwszymi, b�dzie pierwiastkiem wielomianu W. Wtedy p jest dzielnikiem współczynnika a0, a q jest dzielnikiem współczynnika an tego wielomianu. Uwaga. Je�eli an = 1, to wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu s� całkowite. 2.3 ZASADNICZE TWIERDZENIE ALGEBRY Tw. 2.3.1 (zasadnicze twierdzenie algebry) Ka�dy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony. Fakt 2.3.2 (o przedstawieniu wielomianu w postaci iloczynu dwumianów) 1. Ka�dy wielomian zespolony stopnia n ∈ N ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (uwzgl�dniaj�c pierwiastki

wielokrotne). 2. Niech wielomian W stopnia n ∈ N ma pierwiastki zespolone zj o krotno�ciach odpowiednio kj, gdzie kj ∈ N dla 1 ≤ j ≤ m

oraz k1 + k2 + … + km = n. Wtedy mk

mkk

n zzzzzzczW )()()()( 2121 −⋅⋅−⋅−= � ,

gdzie cn jest współczynnikiem stoj�cym przy zn w wielomianie W. Fakt 2.3.3 (wzory Viete’a) Niech 01

11)( czczczczW n

nn

n ++++= −− � b�dzie wielomianem zespolonym stopnia n ∈ N. Wówczas liczby z1, z2, ..., zn

s� pierwiastkami wielomianu W (z uwzgl�dnieniem krotno�ci) wtedy i tylko wtedy, gdy

( )

�

�

−=

−=+++

=+++

−=+++

−

−−−

−−

−

n

nnn

n

nnnn

n

nnn

n

nn

cc

zzzzz

cc

zzzzzzzzz

cc

zzzzzz

cc

zzz

01321

312421321

213121

121

1...

...

...

...

.

Uwaga. Je�eli znamy niektóre pierwiastki wielomianu, to wzory Viete’a pozwalaj� znale�� pozostałe pierwiastki tego wielomianu. Fakt 2.3.4 (o pierwiastkach zespolonych wielomianu rzeczywistego) Niech W b�dzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Wówczas liczba zespolona z0 jest k–krotnym pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba 0z jest pierwiastkiem k–krotnym tego wielomianu. Tw. 2.3.5 (o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na czynniki rzeczywiste) Niech W b�dzie wielomianem stopnia n ∈ N o współczynnikach rzeczywistych. Ponadto niech xj b�d� pierwiastkami rzeczywi-stymi tego wielomianu o krotno�ci kj, gdzie kj ∈ N dla 1 ≤ j ≤ r oraz niech jj zz , , gdzie Imzj > 0, b�d� pierwiastkami

zespolonymi tego wielomianu o krotno�ci lj, gdzie 1 ≤ j ≤ s, przy czym ( ) ( ) nllkk sr =+++++ ...2... 11 . Wtedy

sr lss

lkr

kn qxpxqxpxxxxxaxW )(...)()(...)()( 2

112

111 ++⋅⋅++⋅−⋅⋅−= ,

gdzie pj = –2Rezj oraz qj = |zj|2 dla 1 ≤ j ≤ s, a an jest współczynnikiem wielomianu W stoj�cym przy xn.

Inaczej mówi�c, ka�dy wielomian rzeczywisty mo�na przedstawi� w postaci iloczynu wielomianów rzeczywistych stopnia co najwy�ej drugiego. Mówimy wówczas o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na rzeczywiste czynniki nierozkładalne. 2.4 UŁAMKI PROSTE Def. 2.4.1 (funkcja wymierna) Funkcj� wymiern� rzeczywist� (zespolon�) nazywamy iloraz dwóch wielomianów rzeczywistych (zespolonych). Def. 2.4.2 (funkcja wymierna wła�ciwa) Funkcj� wymiern� nazywamy wła�ciw�, je�eli stopie� wielomianu w liczniku ułamka okre�laj�cego t� funkcj� jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Uwaga. Ka�da funkcja wymierna jest sum� wielomianu oraz funkcji wymiernej wła�ciwej. Def. 2.4.3 (ułamki proste) 1. Zespolonym ułamkiem prostym nazywamy zespolon� funkcj� wymiern� postaci:

nazA

)( +, gdzie A, a ∈ C oraz n ∈ N.

2. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy rzeczywist� funkcj� wymiern� postaci:

naxA

)( +, gdzie A, a ∈ R oraz n ∈ N.

3. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy rzeczywist� funkcj� wymiern� postaci:

nqpxxBAx

)( 2 +++

, gdzie p, q, A, B ∈ R oraz n ∈ N, przy czym 042 <−=∆ qp

Tw. 2.4.4 (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste) Ka�da funkcja wymierna wła�ciwa rzeczywista (zespolona) jest sum� rzeczywistych (zespolonych) ułamków prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne.

1. Zespolona funkcja wymierna wła�ciwa postaci )()(

zQzP

, gdzie

mkm

kkn zzzzzzczQ )(...)()()( 21

21 −⋅⋅−−= ,

jest sum� k1 + k2 + ... + km zespolonych ułamków prostych, przy czym czynnikowi ikizz )( − odpowiada suma ki ułamków

prostych postaci:

( ) ( ) i

i

ki

ik

i

i

i

i

zz

A

zz

Azz

A

−++

−+

−...

221 ,

gdzie Ai1, Ai2, …, ikAi ∈ C dla 1 ≤ i ≤ m.

2. Rzeczywista funkcja wymierna wła�ciwa postaci )()(

xQxP

, gdzie

sr lss

llkr

kkn qxpxqxpxqxpxxxxxxxaxQ )(...)()()(...)()()( 2

222

112

212121 ++⋅⋅++⋅++⋅−⋅⋅−⋅−= ,

jest sum� k1 + k2 + ... + km rzeczywistych ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz l1 + l2 + ... + ls rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju, przy czym • czynnikowi ik

ixx )( − odpowiada suma ki ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci

( ) ( ) i

i

ki

ik

i

i

i

i

xx

A

xx

Axx

A

−++

−+

−...

221 ,

gdzie Ai1, Ai2, …, ikAi ∈ R dla 1 ≤ i ≤ r.

• czynnikowi jljj qxpx )( 2 ++ odpowiada suma lj ułamków prostych drugiego rodzaju postaci

( ) ( ) j

jj

l

jj

jljl

jj

jj

jj

jj

qxpx

CxB

qxpx

CxB

qxpx

CxB

++

+++

++

++

+++

222

22

2

11 ... ,

gdzie RCCCBBBjj jljjjljj ∈,...,,,...,, 2121 dla 1 ≤ j ≤ s.

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI 3.1 MACIERZE – PODSTAWOWE OKRE�LENIA Def. 3.1.1 (macierz rzeczywista i zespolona) Macierz� rzeczywist� (zespolon�) wymiaru m × n, gdzie m, n ∈ N, nazywamy prostok�tn� tablic� zło�on� z mn liczb rzeczywi-stych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach.

Uwaga. Macierze b�dziemy oznaczali du�ymi literami alfabetu np. A, B, X itp. Element macierzy A stoj�cy w i–tym wierszu oraz w j–tej kolumnie oznaczamy przez aij. Macierz A mo�na tak�e zapisywa� w postaci nmija ×][ lub [aij], gdy znany jest jej

wymiar. Macierze A lub B s� równe, gdy maj� te same wymiary m × n oraz aij = bij dla ka�dego 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n. Def. 3.1.2 (rodzaje macierzy) 1. Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy s� równe 0 nazywamy macierz� zerow� wymiaru m × n i oznaczmy

nm×0 lub przez 0, gdy znamy jej wymiar.

����

�

����

�

�

000

000000

�

����

�

�

2. Macierz, której liczba wierszy równa si� liczbie kolumn nazywamy macierz� kwadratow�. Liczb� wierszy (kolumn) nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej. Elementy macierzy, które maj� ten sam numer wiersza co kolumny, tworz� główn� przek�tn� macierzy.

3. Macierz kwadratow� stopnia n ≥ 2, w której wszystkie elementy stoj�ce nad główn� przek�tn� s� równe 0, nazywamy

macierz� trójk�tn� doln� stopnia n.

������

�

������

�

�

nnnnn aaaa

aaa

aa

a

�

�����

�

�

�

321

333231

2221

11

0

00000

Podobnie okre�la si� macierz trójk�tn� górn�.

������

�

������

�

�

nn

n

n

n

a

aa

aaa

aaaa

�

�����

�

�

�

000

000

333

22322

1131211

4. Macierz kwadratow� stopnia n, w której wszystkie elementy nie stoj�ce na głównej przek�tnej s� równe 0, nazywamy

macierz� diagonaln� lub przek�tniow� stopnia n.

������

�

������

�

�

nna

a

a

a

�

�����

�

�

�

000

000

000000

33

22

11

Macierz diagonaln� stopnia n, w której wszystkie elementy głównej przek�tnej s� równe 1, nazywamy macierz� jednostkow� stopnia n. Macierz jednostkow� stopnia n oznaczamy przez In lub przez I, gdy znany jest jej stopie�.

������

�

������

�

�

1000

01000010

0001

�

�����

�

�

�

3.2 DZIAŁANIA NA MACIERZACH Def. 3.2.1 (suma i rónica macierzy) Niech A = [aij] i B = [bij] b�d� macierzami wymiaru m × n. Sum� (ró�nic�) macierzy A i B nazywamy macierz C = [cij], której elementy okre�lone s� wzorem:

ijij

def

ij bac += ��

���

� −= ijij

def

ij bac

dla 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n. Piszemy wtedy C = A + B (C = A – B). Def. 3.2.2 (mnoenie macierzy przez liczb�) Niech A = [aij] b�dzie macierz� wymiaru m × n oraz niech α b�dzie liczb� rzeczywist� lub zespolon�. Iloczynem macierzy A przez liczb� α nazywamy macierz B = [bij], której elementy s� okre�lone wzorem:

ij

def

ij ab α=

dla 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n. Piszemy wtedy B = αA. Fakt 3.2.3 (własno�ci działa� na macierzach) Niech A, B, C b�d� dowolnymi macierzami tego samego wymiaru rzeczywistymi lub zespolonymi oraz niech α, β b�d� odpowiednio liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Wtedy

1. A + B = B + A 5. α(A + B) = αA + αB 2. A + (B + C) = (A + B) + C 6. (α + β)A = αA + βA 3. A + 0 = 0 + A = A 7. 1⋅A = A 4. A + (–A) = 0 8. (αβ)A = α(βA)

Def. 3.2.4 (iloczyn macierzy) Niech A = [aij] ma wymiar m × n, a macierz B = [bij] wymiar n × k. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [cij], wymiaru m × k, której elementy okre�lone s� wzorem:

njinjiji

def

ij bababac +++= ...2211

dla 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n. Piszemy wtedy C = AB. Uwaga. Element cij iloczynu macierzy A i B otrzymujemy sumuj�c iloczyny odpowiadaj�cych sobie elementów i–tego wiersza macierzy A i j–tej kolumny macierzy B. Iloczyn macierzy A i B mo�na obliczy� tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A równa si� liczbie wierszy macierzy B.

Rys. 3.2.1 Schemat obliczania elementów iloczynu macierzy A i B

Fakt 3.2.5 (własno�ci iloczynu macierzy) 1. Niech macierz A ma wymiar m × n, a macierze B i C wymiar n × k. Wtedy

ACABCBA +=+ )( . 2. Niech macierze A, B maj� wymiar m × n, a macierz C wymiar n × k. Wtedy

BCACCBA +=+ )( . 3. Niech macierz A ma wymiar m × n, a macierz B wymiar n × k oraz niech α b�dzie liczb� rzeczywist� lub zespolon�.

Wtedy )()()( ABBABA ααα == .

4. Niech macierz A ma wymiar m × n, macierz B ma wymiar n × k, a macierz C wymiar k × l. Wtedy )()( BCACAB = .

5. Niech macierz A ma wymiar m × n. Wtedy AAIAI mn == .

Uwaga. Własno�ci podane w punktach 1 i 2 nazywamy rozdzielno�ci� dodawania wzgl�dem mno�enia, a własno�� podan� w punkcie 4 ł�czno�ci� mno�enia. Mno�enie macierzy kwadratowych nie jest przemienne, bowiem na ogół AB ≠ BA. Zamiast

���czynnikówn

AAA... b�dziemy pisali An.

Def. 3.2.6 (macierz transponowana) Niech A = [aij] b�dzie macierz� wymiaru m × n. Macierz� transponowan� do macierzy A nazywamy macierz B = [bij] wymiaru n × m okre�lon� wzorem:

ji

def

ij ab =

dla 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n. Macierz transponowan� do macierzy A oznaczamy AT. Uwaga. Przy transponowaniu, kolejne wiersze macierzy wyj�ciowej staj� si� kolejnymi kolumnami macierzy transponowanej. Ilustrujemy to na przykładzie macierzy wymiaru 3 × 4.

����

�

����

�

�

=���

�

���

�

�

=

342414

332313

322212

312111

34333231

24232221

14131211

,

aaa

aaa

aaa

aaa

A

aaaa

aaaa

aaaa

A T .

Fakt 3.2.7 (własno�ci transpozycji macierzy) 1. Niech A i B b�d� macierzami wymiaru m × n. Wtedy

TTT BABA +=+ )( . 2. Niech A b�dzie macierz� wymiaru m × n oraz niech α b�dzie liczb� rzeczywist� lub zespolon�. Wtedy

( ) AATT = oraz ( ) TT AA αα = .

3. Niech A b�dzie macierz� wymiaru m × n, a B macierz� wymiaru n × k. Wtedy

TTT ABAB =)( . 4. Niech A b�dzie macierz� kwadratow� oraz niech r ∈ N. Wtedy

rTTr AA )()( = . Def. 3.2.8 (macierz symetryczna i antysymetryczna) Niech A b�dzie macierz� kwadratow�. 1. Macierz A jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

AAT = . 2. Macierz A jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

AAT −= . Uwaga. Macierz jest symetryczna, gdy jej elementy poło�one symetrycznie wzgl�dem głównej przek�tnej s� sobie równe. Macierz jest antysymetryczna, gdy jej elementy poło�one symetrycznie wzgl�dem głównej przek�tnej ró�ni� si� tylko znakiem, a elementy głównej przek�tnej s� równe 0. Fakt 3.2.9 (własno�ci macierzy symetrycznych i antysymetrycznych) 1. Niech A b�dzie dowoln� macierz� kwadratow�. Wtedy

a) macierz A + AT jest symetryczna, b) macierz A – AT jest antysymetryczna.

2. Niech A b�dzie dowoln� macierz�. Wtedy macierze AAT i ATA s� symetryczne. 3. Ka�d� macierz kwadratow� mo�na jednoznacznie przedstawi� w postaci sumy macierzy symetrycznej i antysymetrycznej:

( ) ( )TT AAAAA −++=21

21

.

3.3 DEFINICJA INDUKCYJNA WYZNACZNIKA Def. 3.3.1 (wyznacznik macierzy) Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj�, która ka�dej macierzy rzeczywistej (zespolonej) A = [aij] przypi-suje liczb� rzeczywist� (zespolon�) detA. Funkcja ta jest okre�lona wzorem indukcyjnym: 1. je�eli macierz A ma stopie� n = 1, to

11det aA = , 2. je�eli macierz A ma stopie� n ≥ 2, to

nnn AaAaAaA 11

11212

211111

11 det)1(...det)1(det)1(det +++ −++−+−= gdzie Aij oznacza macierz otrzyman� z macierzy A przez skre�lenie i–tego wiersza i j–tej kolumny.

Uwaga. Wyznacznik macierz A oznaczamy tak�e przez det[aij] lub |A|, a w formie rozwini�tej przez

����

�

����

�

�

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

�

����

�

�

21

22212

11211

det lub

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

�

����

�

�

21

22212

11211

.

B�dziemy mówili wymiennie stopie� wyznacznika ↔ stopie� macierzy, element wyznacznika ↔ element macierzy, wiersz wyznacznika ↔ wiersz macierzy, kolumna wyznacznika ↔ kolumna macierzy. Fakt 3.3.2 (reguły obliczania wyznaczników 2-go i 3-go stopnia)

1. Niech ��

��

�=

dc

baA b�dzie macierz� stopnia 2. Wtedy

.

2. Niech

���

�

���

�

�

=ihg

fed

cba

A b�dzie nacierz� stopnia 3. Wtedy

. Uwaga. Podany wy�ej sposób obliczania wyznaczników stopnia 3 nazywamy reguł� Sarrusa. Ten sposób obliczania wyznaczników nie przenosi si� na wyznaczniki wy�szych stopni. Fakt 3.3.3 (interpretacja geometryczna wyznaczników 2-go i 3-go stopnia) 1. Niech D oznacza równoległobok rozpi�ty na wektorach ),( 11 yxa =�

, ),( 22 yxb =�

(rys. 3.3.1). Pole |D| tego równoległoboku wyra�a si� wzorem:

|det|22

11��

��

�=

yxyx

D .

Rys. 3.3.1 Interpretacja geometryczna wyznacznika drugiego stopnia

2. Niech V oznacza równoległo�cian rozpi�ty na wektorach ),,( 111 zyxa =�

, ),,( 222 zyxb =�

, ),,( 333 zyxc = (rys. 3.3.2).

Obj�to�� |V| tego równoległo�cianu wyra�a si� wzorem:

|det|

333

222

111

���

�

���

�

�

=zyx

zyx

zyx

V .

Rys. 3.3.2 Interpretacja geometryczna wyznacznika trzeciego stopnia

Def. 3.3.4 (dopełnienie algebraiczne) Niech A = [aij] b�dzie macierz� kwadratow� stopnia n ≥ 2. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywamy liczb�:

ijji

def

ij AD det)1( +−= ,

gdzie Aij oznacza macierz stopnia n – 1 powstał� przez skre�lenie i–tego wiersza i j–tej kolumny macierzy A. Tw. 3.3.5 (rozwini�cia Laplace’a wyznacznika) Niech A b�dzie macierz� kwadratow� stopnia n ≥ 2 oraz niech liczby 1 ≤ i, j ≤ n b�d� ustalone. Wtedy wyznacznik macierzy A mo�na obliczy� ze wzorów: 1. ininiiii DaDaDaA +++= ...det 2211 . Inaczej mówi�c, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów i–tego wiersza i ich dopełnie� algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwini�ciem Laplace’a wyznacznika wzgl�dem i–tego wiersza. 2. njnjjjjj DaDaDaA +++= ...det 2211 .

Inaczej mówi�c, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów j–tej kolumny i ich dopełnie� algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwini�ciem Laplace’a wyznacznika wzgl�dem j–tej kilumny. Uwaga. Dla ustalonych liczb 1 ≤ r, s ≤ n, gdzie r ≠ s, prawdziwe s� wzory:

0...

0...

2211

2211

=+++=+++

nrnsrsrs

rnsnrsrs

DaDaDa

DaDaDa.

Inaczej mówi�c, suma iloczynów elementów dowolnego wiersza i dopełnie� algebraicznych elementów innego wiersza jest równa 0. Podobnie, suma iloczynów dowolnej kolumny i odpowiadaj�cych im dopełni� algebraicznych innej kolumny jest równa 0. Fakt 3.3.6 (wyznacznik macierzy trójktnej) Niech A = [aij] b�dzie macierz� trójk�tn� doln� lub górn� stopnia n ≥ 2. Wtedy

nnaaaA ⋅⋅⋅= ...det 2211 . Inaczej mówi�c, wyznacznik macierzy trójk�tnej jest równy iloczynowi elementów stoj�cych na głównej przek�tnej. 3.4 DEFINICJA PERMUTACYJNA WYZNACZNIKA* Def. 3.4.1 (permutacja) Permutacj� n–elementow�, gdzie n ∈ N, nazywamy ka�de ró�nowarto�ciowe odwzorowanie p zbioru {1, 2, …, n} na siebie. Permutacj� tak� zapisujemy w postaci

���

����

�=

ni pppp

nip

��

��

21

21,

gdzie pi oznacza warto�� permutacji p dla i, 1 ≤ i ≤ n. Zbiór wszystkich permutacji n–elementowych oznaczamy przez Pn. Uwaga. Istnieje n! ró�nych permutacji n–elementowych. Def. 3.4.2 (inwersja, znak permutacji)

Niech ���

����

�=

nji pppppnji

p���

���

21

21 b�dzie permutacj� n–elementow�. Para {pi, pj} elementów tej permutacji

tworzy inwersj�, gdy

ji pp > oraz ji < .

Znak permutacji p jest okre�lony wzorem

kdef

p )1()sgn( −= , gdzie k oznacza liczb� par elementów tej permutacji, które tworz� inwersje. Def. 3.4.3 (wyznacznik macierzy) Niech A = [aij] b�dzie macierz� kwadratow� stopnia n. Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczb� detA okre�lon� wzorem:

�∈

=n

nPp

nppp

def

aaapA ...)sgn(det21 21 ,

gdzie ���

����

�=

npppn

p�

�

21

21 , a sumowanie obejmuje wszystkie (tj. n!) permutacje n–elementowe.

Uwaga. Obie definicje wyznacznika, indukcyjna i permutacyjna, s� równowa�ne. 3.5 WŁASNO�CI WYZNACZNIKÓW Fakt 3.5.1 (własno�ci wyznaczników) 1. Wyznacznik macierzy kwadratowej maj�cej kolumn� (wiersz) zło�on� z samych zer jest równy 0.

0

00

00

21

22221

11211

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

��

�����

��

��

2. Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak je�eli mi�dzy sob� przestawimy dwie kolumny (wiersze).

nink

ik

ik

nkni

ki

ki

aa

aa

aa

aa

aa

aa

����������

22

11

22

11

−= .

3. wyznacznik macierzy kwadratowej maj�cej dwie jednakowe kolumny (wiersze) jest równy 0.

0=

ωω

ββαα

�����

.

4. Je�eli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy kwadratowej zawieraj� wspólny czynnik, to czynnik ten mo�na wył�czy� przed wyznacznik tej macierzy.

nnninn

ni

ni

nnninn

ni

ni

aaaa

aaaa

aaaa

c

acaaa

acaaa

acaaa

��

������

��

��

��

������

��

��

21

222221

111211

21

222221

111211

= .

Ponadto

nnninn

ni

ni

n

nnninn

ni

ni

aaaa

aaaa

aaaa

c

cacacaca

cacacaca

cacacaca

��

������

��

��

��

������

��

��

21

222221

111211

21

222221

111211

= .

5. Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (wiersza) s� sumami dwóch składników jest równy sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (wiersza) s� zast�pione tymi składnikami.

nnninn

ni

ni

nnninn

ni

ni

nnnininn

nii

nii

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

��

������

��

��

��

������

��

��

��

������

��

��

/21

2/22221

1/11211

21

222221

111211

/21

2/222221

1/111211

+=

+

++

.

6. Wyznacznik macierzy nie zmieni si�, je�eli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy odpowiadaj�ce im elementy innej kolumny (innego wiersza) tej macierzy pomno�one przez dowoln� liczb�.

nnnknknjnn

nkkj

nkkj

nnnknjnn

nkj

nkj

aacaaaa

aacaaaa

aacaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

���

��������

���

���

���

��������

���

���

+

++

=

21

22222221

11111211

21

2222221

1111211

.

Ogólnie: wyznacznik macierzy nie zmieni si�, je�eli do elementów dowolnego wiersza (kolumny) dodamy sum� odpowia-daj�cych im elementów innych wierszy (kolumn) tej macierzy pomno�onych przez dowoln� liczb�.

7. Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji s� równe.

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

�

����

�

�

�

����

�

�

21

22212

12111

21

22221

11211

=

Uwaga. Korzystaj�c z powy�szych własno�ci wyznaczników mo�na istotnie upro�ci� jego obliczanie. W tym celu w wybranym wierszu lub kolumnie wyznacznika staramy si� uzyska� mo�liwie najwi�cej zer. Do oznaczenia podanych wy�ej operacji na macierzach b�dziemy stosowali nast�puj�ce symbole: 1. wi ↔ wj – oznacza zamian� mi�dzy sob� i–tego oraz j–tego wiersza, 2. ki ↔ kj – oznacza zamian� mi�dzy sob� i–tej oraz j–tej kolumny, 3. cwi – oznacza pomno�enie i–tego wiersza przez liczb� c, 4. cki – oznacza pomno�enie i–tej kolumny przez liczb� c, 5. wi + cwj – oznacza dodanie do elemnetów i–tego wiersza odpowiadaj�cych im elementów j–tego wiersza pomno�onych

przez liczb� c, 6. ki + ckj – oznacza dodanie do elemnetów i–tej kolumny odpowiadaj�cych im elementów j–tej kolumny pomno�onych

przez liczb� c, Wymienione wy�ej przekształcenia macierzy nazywamy operacjami elementarnymi. Fakt 3.5.2 (algorytm Chió obliczania wyznaczników) Niech A = [aij] b�dzie macierz� kwadratow� stopnia n ≥ 3 oraz niech a11 ≠ 0. Wówczas

�����

�

�����

�

�

⋅= −

//3

/2

/3

/33

/32

/2

/23

/22

211

det)(1

det

nnnn

n

n

n

aaa

aaa

aaa

aA

�

����

�

�

, gdzie ��

��

�=

iji

jij aa

aaa

1

111/ det

dla i, j = 2, 3, …, n. Uwaga. Algorytm Chió stosujemy głównie do obliczania wyznaczników macierzy niwielkich stopni, których elementy s� liczbami całkowitymi. Algorytm ten w prosty sposób pozwala obni�a� stopnie obliczanych wyznaczników.

///3

/2

///3

/2

/3

/3

/33

/32

/2

/2

/23

/22

211

32

32

333332

222322

111312

1

1

31

21

11

)(1

nnnjnn

inijii

nj

nj

n

nnnjnn

inijii

nj

nj

nj

n

i

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

a

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

aaaa

a

a

a

aa

��

�����

�����

��

��

��

����

����

��

��

↓→←

↑=

↓→←

↑

→←

↓

↑ −

, gdzie ��

��

�=

iji

jij aa

aaa

1

111/ .

Rys. 3.5.1 Schemat algorytmu Chió obliczania wyznaczników Tw. 3.5.3 (Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy) Niech A i B b�d� macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Wtedy

BABA detdet)det( ⋅=⋅ . Fakt 3.5.4 (wyznacznik Vandermonde’a) Niech n ≥ 2 oraz niech z1, z2, …, zn b�d� liczbami zespolonymi. Wtedy

∏≤<≤

−

−

−

−==nlk

kl

nnnn

n

n

def

n zz

zzz

zzz

zzz

zzzV1

12

12

222

11

211

21 )(

1

11

),...,,(

�

�����

�

�

.

Je�eli liczby z1, z2, …, zn s� parami ró�ne, to 0),...,,( 21 ≠nzzzV . 3.6 MACIERZ ODWROTNA Def. 3.6.1 (macierz odwrotna) Niech A b�dzie macierz� stopnia n. Macierz� odwrotn� do macierzy A nazywamy macierz B spełniaj�c� warunek:

AB = BA = In ,

gdzie In oznacza macierz jednostkow� stopnia n. macierz odwrotn� do macierzy A oznaczamy przez A–1. Uwaga. Je�eli macierz A ma macierz odwrotn�, to nazywamy j� odwracaln� i wówczas detA ≠ 0. Macierz odwrotna do danej macierzy jest okre�lona jednoznacznie. Def. 3.6.2 (macierz osobliwa i nieosobliwa) Macierz kwadratow� A nazywamy macierz� osobliw�, gdy

0det =A . W przeciwnym przypadku mówimy, �e macierz A jest nieosobliwa. Fakt 3.6.3 (warunek odwracalno�ci macierzy) Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa. Tw. 3.6.4 (o postaci macierzy odwrotnej) Niech macierz A = [aij] stopnia n b�dzie nieosobliwa. Wtedy

T

nnnn

n

n

DDD

DDD

DDD

AA

����

�

����

�

�

=−

�

����

�

�

21

22221

11211

1

det1

,

gdzie Dij oznaczaj� dopełnienia algebraiczne elementów aij macierzy A.

Uwaga. Dla macierzy nieosobliwej ��

��

�=

dc

baA wzór na macierz odwrotn� ma posta�:

��

��

�

−−

−=−

ac

bd

bcadA

11 .

Fakt 3.6.5 (własno�ci macierzy odwrotnych) Niech macierze A i B tego samego stopnia b�d� odwracalne oraz niech α ∈ C\{0}. Wtedy macierze A–1, AT, AB, αA tak�e s� odwracalne i prawdziwe s� równo�ci:

1. ( ) ( ) 11 detdet −− = AA 4. ( ) 111 −−− = ABAB

2. ( ) AA =−− 11 5. ( ) ( )11 1 −− = AAα

α

3. ( ) ( )TT AA 11 −− =

Fakt 3.6.6 (bezwyznacznikowy sposób znajdowania macierzy odwrotnej) Niech A b�dzie macierz� nieosobliw�. Aby znale�� macierz odwrotn� do macierzy A post�pujemy w nast�puj�cy sposób. Z prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkow� I tego samego stopnia. Na wierszach otrzymanej w ten sposób macierzy blokowej [A|I] b�dziemy wykonywa� nast�puj�ce operacje elementarne: 1. przestawia� mi�dzy sob� dwa dowolne wiersze (wi ↔ wj), 2. dowlny wiersz mno�y� przez stał� ró�n� od zera (cwi), 3. do elementów dowolnego wiersza dodawa� sumy odpowiadaj�cych im elementów innych wierszy pomno�onych przez

dowolne liczby (wi + cwj). Przy pomocy tych operacji sprowadzamy macierz blokow� [A|I] do postaci [I|B]. Macierz B jest wtedy macierz� odwrotn� do macierzy A, tj. B = A–1.

[ ] [ ]1wierszachna aniadzia || − → AIIA l

Rys. 3.6.1 Schemat bezwyznacznikowego sposobu znajdowania macierzy odwrotnej. 3.7 ALGORYTM SPROWADZANIA MACIERZY DO POSTACI JEDNOSTKOWEJ Fakt 3.7.1 (algorytm Gaussa) Niech A b�dzie macierz� stopnia n ≥ 2 o wyznaczniku ró�nym od zera. Macierz t� mo�na przekształci� do macierzy jednostkowej In wykonuj�c na jej wierszach nast�puj�ce operacje elementarne: 1. zamiana mi�dzy sob� dwóch dowolnych wierszy, 2. mno�enie dowolnego wiersza przez liczb� ró�n� od zera, 3. dodawanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadaj�cych im elementów innego wiersza pomno�onych przez

dowoln� liczb�. Macierz jednostkow� uzyskamy w dwóch krokach: I krok. Otrzymanie macierzy trójk�tnej górnej z jedynkami na głównej przek�tnej postaci:

������

�

������

�

�

1000

10010

1

3

223

11312

�

�����

�

�

�

n

n

n

b

bb

bbb

Operacje elementarne wykonujemy tak, aby kolejne kolumny macierzy A uzyskały przedstawion� powy�ej posta�. Przekształcenia zaczynamy od uzyskania odpowiedniej postaci pierwszej kolumny. Je�eli a11 ≠ 0, to wiersze w1, w2, …, wn macierzy A przekształacamy kolejno na wiersze //

2/1 ,...,, nwww według wzorów:

�

�

−=

−=

=

/11

/

/1212

/2

11

1/1

waww

waww

aw

w

nnn

�

.

Je�eli natomiast a11 = 0, to wiersze macierzy A przestawiamy tak, aby w jej lewym górnym rogu znalazł si� element niezerowy i dalej wykonujemy wymienione wcze�niej operacje. Kolejne kolumny z jedynkami na przek�tnej i zerami poni�ej przek�tnej uzyskujemy stosuj�c przedstawione wy�ej post�powa-nie do macierzy coraz ni�szych stopni, pocz�wszy od stopnia n – 1 a� do stopnia 1 wł�cznie. II krok. Otrzymanie macierzy jednostkowej postaci:

������

�

������

�

�

1000

0100

00100001

�

�����

�

�

�

Wiersze /1

/1

/ ,...,, www nn − otrzymanej macierzy trójk�tnej przekształcamy kolejno na wiersze //1

//1

// ,...,, www nn − macierzy jednost-kowej w nast�puj�cy sposób:

�

�

−−−−=

−−=

−=

=

−−−−−−

−−−

//1

//313

//212

/1

//1

//2

//112

/22

//2

//1

/1

//1

///

... nn

nnnnnnnn

nnnnn

nn

wbwbwbww

wbwbww

wbww

ww

�

.

Uwaga. Macierzy o wyznaczniku 0 nie mo�na sprowadzi� do macierzy jednostkowej. Algorytm Gaussa jest bardzo wygodnym narz�dziem przy obliczaniu wyznaczniow, odwracaniu macierzy, okre�laniu ich rz�dów oraz przy rozwi�zywaniu układów równa� liniowych. 4. UKŁADY RÓWNA� LINIOWYCH 4.1 PODSTAWOWE OKRE�LENIA Def. 4.1.1 (układ równa� liniowych, rozwizanie układu równa�) Układem m równa� liniowych z n niewiadomymi x1, x2, …, xn, gdzie m, n ∈ N, nazywamy układ równa� postaci:

�

�

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

�����,

gdzie aij ∈ R, bi ∈ R dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Rozwi�zaniem układu równa� liniowych nazywamy ka�dy ci�g (x1, x2, …, xn) n liczb rzeczywistych spełniaj�cych ten układ. Układ równa�, który nie ma rozwi�za� nazywamy układem sprzecznym. Uwaga. Powy�szy układ równan� liniowych mo�na zapisa� w postaci macierzowej:

AX = B, gdzie

����

�

����

�

�

=

mnmm

n

n

def

aaa

aaa

aaa

A

�

����

�

�

21

22212

11211

,

����

�

����

�

�

=

n

def

x

x

x

X�

2

1

,

����

�

����

�

�

=

m

def

b

b

b

B�

2

1

.

Macierz A nazywamy macierz� główn� układu równa� liniowych, macierz X macierz� (kolumn�) niewiadomych, a B macierz� (kolumn�) wyrazów wolnych. Rozwa�a si� tak�e układy równa� liniowych, w których macierze A, X oraz B s� zespolone. W przypadku „małej liczby” niewiadomych b�dziemy je oznacza� literami x, y, z, t, u, v, w. Def. 4.1.2 (układ jednorodny i niejednorodny) Układ równa� liniowych postaci

AX = 0, gdzie A jest macierz� wymiaru m × n, natomiast 0 jest macierz� zerow� wymiaru m × 1, nazywamy układem jednorodnym. Układ równa� liniowych postaci

AX = B, w którym B jest macierz� niezerow� nazywamy układem niejednorodnym. Uwaga. Jednym z rozwi�za� ka�dego układu jednorodnego AX = 0 jest macierz zerowa

����

�

����

�

�

=

0

00

�X

wymiaru n × 1, gdzie n oznacza liczb� kolumn macierzy A. 4.2 UKŁADY CRAMERA Def. 4.2.1 (układ Cramera) Układem Cramera nazywamy układ równa� liniowych AX = B, w którym A jest macierz� nieosobliw�. Tw. 4.2.2 (wzór Cramera) Układ Cramera AX = B ma dokładnie jedno rozwi�znie. Rozwi�zanie to jest okre�lone wzorem

����

�

����

�

�

=

nA

A

A

AX

det

detdet

det1 2

1

�,

gdzie n oznacza stopie� macierzy A, natomiast Aj, dla 1 ≤ j ≤ n, oznacza macierz A, w której j–t� kolumn� zast�piono kolumn� wyrazów wolnych B, tzn.

����

�

����

�

�

=

nnnnn

n

n

def

j

abaa

abaa

abaa

A

��

������

��

��

21

222221

111211

.

Uwaga. Równo�� okre�laj�c� rozwi�zanie układu równa� liniowych nazywamy wzorem Cramera. Równo�� ta po rozpisaniu przyjmuje posta�:

AA

xdetdet 1

1 = , AA

xdetdet 2

2 = , …, AA

x nn det

det= ,

zwan� wzorami Cramera. Fakt 4.2.3 (metoda macierzy odwrotnej) Rozwi�zanie układu Cramera AX = B jest okre�lone wzorem: BAX 1−= . 4.3 METODA ELIMINACJI GAUSSA DLA UKŁADÓW CRAMERA Fakt 4.3.1 (metoda eliminacji Gaussa dla układów Cramera) Niech AX = B b�dzie układem Cramera, w którym A jest macierz� stopnia n. Rozwi�zanie tego układu znajdujemy w nast�pu-j�cy sposób: 1. budujemy macierz rozszerzon� układu postaci

[ ]

�����

�

�����

�

�

=

nnnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

BA�

�

����

�

�

2

1

21

22221

11211

| .

2. przekształcamy macierz rozszerzon� do postaci [ ]XI | wykonuj�c na jej wierszach nast�puj�ce operacje elementarne:

a) zamian� mi�dzy sob� dwóch dowolnych wierszy (wi ↔ wj), b) pomno�enie dowolnego wiersza przez liczb� ró�n� od zera (cwi), c) dodanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadaj�cych im elementów innego wiersza pomno�onego przez dowoln�

liczb� (wi + cwj). Operacje te maj� na celu doprowadzenie macierzy rozszerzonej do postaci:

[ ]

�����

�

�����

�

�

=

nx

x

x

XI�

�

����

�

�

2

1

100

010001

| .

Ostatnia kolumna macierzy rozszerzonej (macierz X) jest wtedy rozwi�zaniem wyj�ciowego układu równa�.

[ ] [ ]XIBA || wierszachnaeelementarnoperacje →

Rys. 4.3.1 Schemat metody eliminacji Gaussa rozwi�zywania układów równa� liniowych. Uwaga. Przy przekształcaniu macierzy rozszerzonej układu do postaci ko�cowej mo�emy wykorzysta� algorytm Gaussa sprowadzania macierzy nieosobliwej do postaci jednostkowej podany w fakcie 3.7.1. Uwaga. Praktyczn� wersj� metody eliminacji Gaussa dla układów Cramera jest metoda kolumn jednostkowych. Polega ona na przekształceniu macierzy rozszerzonej układu w celu doprowadzenia wszystkich kolumn macierzy tego układu do postaci jednostkowej (tzn. z jedn� jedynk� i reszt� zer). Jedynki z ró�nych kolumn musz� si� przy tym znale�� w ró�nych wierszach. Ko�cowa posta� [I/|X/] macierzy rozszerzonej b�dzie si� ró�ni� od postaci[I|X] jedynie kolejno�ci� wierszy. Dla układu Cramera z n niwiadomymi metoda ta wymaga n kroków, gdy� w ka�dym kroku przekształca si� ostatecznie cał� kolumn�. Kolejno�� przekształcanych kolumn oraz poło�enie ko�cowych „jedynek” jest dowolna, przy czym wygodnie jest do przekształcenia wybra� kolumn� składaj�c� si� z jedynki, „małych” liczb całkowitych i „du�ej” liczby zer. W porównaniu z klasycznym algorytmem Gaussa metoda ta nie wymaga przestawiania wierszy ani budowania macierzy trójk�tnej. Wymaga jednak wykonania wi�kszej liczby mno�e�. Fakt 4.3.2 (algorytm przekształcania j–tej kolumny) Chc�c w miejsce niezerowego elementu aij otrzyma� „jedynk�”, a na pozostałych miejscach j–tej kolumny same zera wystarczy i–ty wiersz macierzy rozszerzonej podzieli� przez aij. Nast�pnie nale�y od pozostałych kolejnych wierszy odejmowa� i–ty wiersz mno�ony odpowiednio przez a1j, a2j, …, ai-1j, ai+1j, …, anj. Schematycznie przedstawimy to poni�ej

���������

�

���������

�

�

→

���������

�

���������

�

�

→

���������

�

���������

�

�

−

−

−

−

+

−

+

−

++

−−

.

.

.

.

.

0

010

0

.

.

.

.

.

1

.

.

.

.

.

11

11

11

1

1

1

:

1

1

1

�

�

��

���

��

��

��

���

��

�

�

��

���

��

��

��

���

��

�

�

��

���

��

��

��

���

��

�

�

injn

ijii

ijii

ij

iji

waw

waw

waw

waw

nj

ji

ji

j

aw

nj

ji

ij

ji

j

a

a

a

a

a

a

a

a

a

.

4.4 METODA ELIMINACJI GAUSSA DLA DOWOLNYCH UKŁADÓW RÓWNA� LINIOWYCH Def. 4.4.1 (równowano�� układów równa� liniowych) Niech A, A/, B, B/ b�d� macierzami o wymiarach odpowiednio m × n, k × n, m × 1, k × 1. Ponadto niech

����

�

����

�

�

=

nx

x

x

X�

2

1

,

�����

�

�����

�

�

=

/

/2

/1

/

nx

x

x

X�

b�d� macierzami niewiadomych, przy czym ci�g ( )//2

/1 ,...,, nxxx jest permutacj� ci�gu (x1, x2, …, xn). Mówimy, �e układy

równa� liniowych AX = B i A/X/ = B/ s� równowa�ne, je�eli zbiory ich rozwi�za� s� identyczne. Fakt 4.4.2 (o równowanym przekształcaniu układów równa�) Podane poni�ej operacje na wierszach macierzy rozszerzonej [A|B] układu równa� liniowych AX = B przekształcaj� go na układ równowa�ny: 1. zamiana mi�dzy sob� wierszy (wi ↔ wj), 2. mno�enie wiersza przez stał� ró�n� od zera (cwi), 3. dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza wyraz po wyrazie (wi + wj), 4. skre�lenie wiersza zło�onego z samych zer (wi), 5. skre�lenie jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych (wi ~ wj).

Dodatkowo otrzymuje si� układ równowa�ny, je�eli w macierzy A zamienimy miejscami dwie kolumny przy jednoczesnej zamianie niewiadomych (ki ↔ kj).

/

1

22221

11111

1

22221

11111

niewiadome

1

niewiadome

1

A

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

xxxxxxxx

mnmimjm

nij

nij

kk

mnmjmim

nji

nji

nijnji

ji =

�����

�

�����

�

�

→

�����

�

�����

�

�

=

↓↓↓↓↓↓↓↓

↔

���

�������

���

���

���

�������

���

���

������ ������� ������� ������� �

Fakt 4.4.3. (metoda eliminacji Gaussa) Niech AX = B b�dzie układem równa� liniowych, gdzie A jest macierz� wymiaru m × n. Wówczas układ ten rozwi�zujemy nast�puj�co: 1. budujemy macierz rozszerzon� układu postaci:

[ ]

�����

�

�����

�

�

=

↓↓↓

mmnmm

n

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

BA

xxx

�

�

����

�

�

��� ���� �

2

1

21

22221

11211

niewiadome

21

|

2. na macierzy rozszerzonej dokonujemy równowa�nych przekształce� układu sprowadzaj�c j� do postaci:

[ ]

������

�

������

�

�

=

↓↓↓↓↓

+

+

+

+

+

1

2

1

1

212

111

//

parametry

//1

niewiadome

//2

/1

00|000|100||010|001

|

r

rrnrr

nr

nr

nrr

z

z

z

z

ss

ss

ss

BA

xxxxx

�

��

��

������

��

��

�� ��� ��� ��� �

.

Wówczas, a) je�eli zr+1 ≠ 0, to układ AX = B jest sprzeczny, b) je�eli zr+1 = 0 i n = r, to układ AX = B jest równowa�ny układowi Cramera i jego jedyne rozwi�zanie ma posta� x1 = z1, x2

= z2, …, xn = zn, c) je�eli zr+1 = 0 i n > r, to układ AX = B ma niesko�czenie wiele rozwi�za�, przy czym r spo�ród zmiennych x1, x2, …, xn

oznaczanych symbolami //2

/1 ,...,, rxxx zale�y od pozostałych n – r zmiennych oznaczanych symbolami //

2/

1 ,...,, nrr xxx ++ w

nast�puj�cy sposób:

�����

�

�����

�

�

����

�

����

�

�

−

����

�

����

�

�

=

�����

�

�����

�

�

+

+

++

++

++

/

/2

/1

21

22212

12111

3

2

1

/

/2

/1

n

r

r

rnrrrr

nrr

nrr

r x

xx

sss

ssssss

z

zz

x

x

x

�

�

����

�

�

��.

Uwaga. Liczba r jest wyznaczona jednoznacznie. Jest to tzw. rz�d macierzy A. Zmienne //2

/1 ,...,, rxxx b�dziemy nazywa�

zmiennymi zale�nymi, a zmienne //2

/1 ,...,, nrr xxx ++ zmiennymi niezale�nymi lub parametrami. Podział zmiennych na zale�ne i

parametry nie jest jednoznaczny, ale nie jest te� dowolny. Przy przekształcaniu macierzy rozszerzonej układu do postaci ko�cowej mo�emy wykorzysta� algorytm sprowadzania macierzy nieosobliwej do postaci jednozstkowej (patrz fakt 3.7.1). W przeciwie�stwie do układu Cramera, omówionego w poprzednim paragrafie, mog� pojawi� si� tu trzy nowe sytuacje: 1. wiersz zło�ony z samych zer – wtedy go skre�lamy, 2. dwa wiersze równe lub proporcjonalne – wtedy skre�lamy jeden z nich, 3. brak elementu niezerowego w kolejnej kolumnie powoduj�cy niemo�no�� ustawienia kolejnej jedynki na przek�tnej –

wtedy cał� kolumn� wraz z jej zmienn� przestawiamy na miejsce przedostatnie przed kolumn� wyrazów wolnych (zmienna ta staje si� parametrem).

Uwaga. Praktyczn� wersj� metody eliminacji Gaussa dla dowolnych układów równa� liniowych jest metoda kolumn jednostkowych. Jest ona rozszerzeniem metody opisanej dla układów Cramera (patrz fakt 4.3.2) na przypadek ogólny. Polega ona na równowa�nym przekształceniu macierzy rozszerzonej układu, w celu doprowadzenia mo�liwie najwi�kszej liczby kolumn do postaci jednostkowej. Jedynki z ró�nych kolumn jednostkowych powinny si� przy tym znale�� w ró�nych wierszach. Przekształcenie poszczególnych kolumn wykonujemy dokładnie tak samo, jak dla układów Cramera. Przy wyborze

tych kolumn oraz miejsc na jedynki mamy pełn� dowolno��. Jednoznacznie okre�lona jest tylko liczba tych kolumn, ale pojawia si� ona w naturalny sposób na ko�cu post�powania. Najwygodniej jest bra� do przekształce� kolumny zawieraj�ce „małe” liczby całkowite i „du�o” zer. W przypadku dowolnych układów równa� w trakcie post�powania mog� pojawi� si� wiersze zerowe – wtedy je skre�lamy, wiersze równe lub proporcjonalne – wtedy skre�lamy jeden z nich. Mo�e si� tak�e zdarzy�, �e w macierzy rozszerzonej układu pojawi si� wiersz zerowy z elementem niezerowym w kolumnie wyrazów wolnych. Taki układ równa� jest oczywi�cie sprzeczny. Je�li tak si� nie zdarzy, to post�powanie ko�czy si� wtedy, gdy liczba wyró�nionych kolumn jest równa liczbie wierszy, które pozostały w macierzy. Rozwi�zanie układu odczytujemy teraz z ko�cowej postaci macierzy, wyró�nione „jedynki” wskazuj� zmienne zale�ne. 5. GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI 5.1 WEKTORY Def. 5.1.1 (przestrze� R3) Przestrzeni� R3 nazywamy zbiór wszystkich uporz�dkowanych trójek (x,y,z) liczb rzeczywistych;

{ }RzyxzyxRdef

∈= ,,:),,(3 . Uwaga. Przestrze� R3 b�dziemy interpretowa� geometrycznie na trzy sposoby, tzn. jako: 1. zbiór wszystkich punktów P = (x,y,z) w przestrzeni (rys. 5.1.1). W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 nazywamy

punktami i oznaczamy przez A, B, C, P, Q itd. Liczby x, y, z nazywamy wtedy współrz�dnymi punktu P = (x,y,z).

Rys. 5.1.1 Punkty w przestrzeni

2. zbiór wszystkich wektorów zaczepionych OPa =� w przestrzeni. Wektory te maj� wspólny pocz�tek O = (0,0,0), a ko�ce

w punktach P = (x,y,z) (rys. 5.1.2). Wektor OP nazywamy wektorem wodz�cym punktu P. W tej interpretacji elementy

przestrzeni R3 nazywamy wektorami i oznaczamy przez wvucba������

,,,,, itd. Wektory wodz�ce punktów b�dziemy

oznaczali przez 10 ,, rrr���

itd. Liczby x, y, z nazywamy współrz�dnymi wektora ),,( zyxa =� .

Rys. 5.1.2 Wektory zaczepione

3. zbiór wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni. Przez wektor swobody u

� (rys. 5.1.3) rozumiemy tutaj zbiór

wszystkich wektorów zaczepionych w ró�nych punktach, które maj� ten sam kierunek, a zwrot oraz długo�� co wektor u�

. W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 tak�e nazywamy wektorami.

Rys. 5.1.3 Wektory swobodne

Def. 5.1.2 (punkty współliniowe i współpłaszczyznowe) 1. Mówimy, �e punkty A, B, C przestrzeni R3 s� współliniowe, gdy istnieje prosta, do której nale�� te punkty (rys. 5.1.4).

Rys. 5.1.4 Punkty A, B, C s� współliniowe

2. Mówimy, �e punkty K, L, M, N przestrzeni R3 s� współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do której nale�� te punkty.

Rys. 5.1.5 Punkty K, L, M, N s� współpłaszczyznowe

Def. 5.1.3 (wektory współliniowe i współpłaszczyznowe) 1. Mówimy, �e wektory ba

��, s� współliniowe, gdy istnieje prosta, w której zawarte s� te wektory (rys. 5.1.6). Wektory

współliniowe b�dziemy nazywa� tak�e wektorami równoległymi; piszemy wtedy ba��

|| . Przyjmujemy, �e wektor o�

jest równoległy do dowolnego wektora.

Rys. 5.1.6 Wektory ba

��, s� współliniowe

2. Mówimy, �e wektory wvu

���,, s� współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, w której zawarte s� te wektory.

Przyjmujemy, �e wektor o�

i dwa dowolne wektory s� współpłaszczyznowe.

Rys. 5.1.7 Wektory wvu

���,, s� współpłaszczyznowe

Def. 5.1.4 (działania na wektorach) Niech ),,( zyxu =� , ),,( 111 zyxw =

�, ),,( 222 zyxv =�

oraz niech α ∈ R. Sum� wektorów w�

i v�

okre�lamy wzorem:

),,( 212121 zzyyxxvwdef

+++=+ ��.

Ró�nic� wektorów w�

i v�

okre�lamy wzorem:

),,( 212121 zzyyxxvwdef

−−−=− ��.

Iloczyn wektora u�

przez liczb� rzeczywist� α okre�lamy wzorem:

),,( zyxudef

αααα =�.

Dodatkowo przyjmujemy oznaczenia )0,0,0(def

o =� oraz ),,( zyxu

def

−−−=− �. Wektor o

� nazywamy wektorem zerowym, a

wektor u�− wektorem przeciwmym do wektora u

�.

Fakt 5.1.5 (warunki równoległo�ci i współpłaszczyznowo�ci wektorów) 1. Mówimy, �e wektory a

� i b�

s� równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista α taka, �e

ab��

α= .

2. Mówimy, �e wektory a�

, b�

, c�

s� współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy istniej� liczby rzeczywiste α i β takie, �e

bac��� βα += .

Fakt 5.1.6 (własno�ci dziła� na wektorach) Niech wvu

���,, b�d� wektorami w R3 oraz niech α, β ∈ R. Wtedy

1. dodawanie wektorów jest działaniem przemiennym,tj. uvvu���� +=+ ,

2. dodawanie wektorów jest działaniem ł�cznym, tj. wvuwvu������ ++=++ )()( ,

3. wektor o�

jest elementem neutralnym dodawania, tj. uou��� =+ ,

4. wektor u�− jest elementem przeciwnym do wektora u

�, tj. ouu

��� =−+ )( ,

5. uu�� =⋅1 ,

6. )()( uu�� βααβ = ,

7. ))( uuu��� βαβα +=+ ,

8. vuvu���� ααα +=+ )( .

Fakt 5.1.7 (o własno�ciach rzutów wektorów) Niech wvu

���,, b�d� dowolnymi wektorami w R3 oraz niech α ∈ R. Ponadto niech l b�dzie dowoln� prost� w przestrzeni.

Wtedy 1. rzut prostok�tny sumy wektorów vu

��, na prost� l jest równy sumie rzutów tych wektorów na t� prost�,

2. rzut prostok�tny iloczynu wektora w�

przez liczb� α na prost� l jest równy iloczynowi rzutu tego wektora na t� prost� przez liczb� α.

Def. 5.1.8 (układ współrz�dnych w przestrzeni) Układem współrz�dnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinaj�ce si� w jednym punkcie 0, które s� wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrz�dnych oznaczamy przez Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, a płaszczyzny xOy, yOz, xOz płaszczyznami układu współrz�dnych. Def. 5.1.9 (orientacja układu współrz�dnych w przestrzeni) W zale�no�ci od wzajemnego poło�enia osi Ox, Oy, Oz układu współrz�dnych wyró�niamy dwie jego orientacje: układ prawoskr�tny (rys. 5.1.8) i układ lewoskr�tny (rys. 5.1.9).

Rys. 5.1.8 Układ współrz�dnych o orientacji prawoskr�tnej

Rys. 5.1.9 Układ współrz�dnych o orientacji lewoskr�tnej

Uwaga. Nazwa układ prawoskr�tny pochodzi z nast�puj�cej interpretacji: je�eli praw� r�k� umie�cimy tak, aby kciuk wskazywał dodatni� cz��� osi Oz, to zgi�te palce wska�� kierunek obrotu od osi Ox do osi Oy. Podobn� interpretacj� ma układ lewoskr�tny. Def. 5.1.10 (wersory na osiach układu współrz�dnych) Wektory )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( === kji

��� nazywamy wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz (rys. 5.1.8 i 5.1.9).

Def. 5.1.11 (długo�� wektora) Długo�� wektora ),,( zyxv =

� jest okre�lona wzorem:

222 zyxvdef

++=�.

Uwaga. Długo�� wektora ),,( zyxv =� jest równa odległo�ci punktu P = (x,y,z) od pocz�tku układu współrz�dnych (rys. 5.1.10).

Rys. 5.1.10 Interpretacja geometryczna długo�ci wektora

Fakt 5.1.12 (własno�ci długo�ci wektora) Niech vu

��, b�d� wektorami w R3 oraz niech α ∈ R. Wtedy

1. 0≥u�

, przy czym ouu��� =⇔= 0 3. vuvu

���� +≤+

2. uu�� ⋅= αα 4. vuvu

���� −≤−

Uwaga. Nierówno�� 3 jest prawdziwa tak�e dla dowolnej liczby składników. Nierówno�� t� ze wzgl�du na jej interpretacj� geometryczn� nazywamy nierówno�ci� trójk�ta (rys. 5.1.11). równo�� w tej nierówno�ci jest mo�liwa tylko wtedy, gdy ou

�� = lub ov

��= albo, gdy uv

�� β= dla pewnego β > 0.

Rys. 5.1.11 Ilustracja nierówno�ci trójk�ta

Fakt 5.1.13 (połoenie punktu podziału odcinka) Niech 1r

� oraz 2r�

b�d� wektorami wodz�cymi odpowiednio punktów A i B. Punkt P podziału odcinka AB w stosunku 1 : λ, gdzie λ > 0, ma wektor wodz�cy

λλ

++

=1

21 rrr

���

.

Uwaga. Je�eli ),,(),,,( 22221111 zyxrzyxr ==��

, to współrz�dne wektora ),,( zyxr =� wyra�aj� si� wzorami:

�

�

++

=

++

=

++

=

λλ

λλ

λλ

1

1

1

21

21

21

zzz

yyy

xxx

.

Rys. 5.1.12 Podział odcinka AB w stosunku 1 : λ

Fakt 5.1.14 (współrz�dne �rodka masy układu punktów materialnych) Niech ir

�, gdzie 1 ≤ i ≤ k, b�d� wektorami wodz�cymi punktów materialnych Pi o masach mi. Wektor wodz�cy �rodka masy C

tego układu punktów materialnych ma posta�:

k

kk

mmmrmrmrm

r++++++

=......

21

2211

����

.

Uwaga. Je�eli ),,( iiii zyxr =�, gdzie 1 ≤ i ≤ k, to współrz�dne wektora ),,( zyxr =� wyra�aj� si� wzorami:

�

�

++++++

=

++++++

=

++++++

=

k

kk

k

kk

k

kk

mmmzmzmzm

z

mmmymymym

y

mmmxmxmxm

x

......

......

......

21

2211

21

2211

21

2211

.

5.2 ILOCZYN SKALARNY Def. 5.2.1 (iloczyn skalarny) Niech vu

��, b�d� dowolnymi wektorami w R3. Iloczyn skalarny wektorów u

� i v�

okre�lamy wzorem:

ϕcos⋅⋅= vuvudef ���

��

,

gdzie ϕ jest miar� k�ta mi�dzy wektorami u�

i v�

(rys. 5.2.1).

Rys. 5.2.1 Ilustracja do definicji iloczynu skalarnego

Uwaga. Miara k�ta mi�dzy wektorami niezerowymi u

� i v�

wyra�a si� wzorem:

vuvu��

��

�

⋅= cosarcϕ .

Rzut prostopadły wektora u�

na wektor v�

wyra�a si� wzorem:

vv

vuw

��

��

�� ⋅=

2.

Fakt 5.2.2 (wzór do obliczania iloczynu skalarnego) Niech ),,( 111 zyxu =�

oraz ),,( 222 zyxv =�

b�d� wektorami w R3. Wtedy

212121 zzyyxxvu ++=��� . Fakt 5.2.3 (własno�ci iloczynu skalarnego) Niech wvu

���,, b�d� dowolnymi wektorami w R3 oraz niech α ∈ R. Wtedy

1. uvvu�

���

�� = ,

2. ( ) ( )uvvu�

���

�� αα = ,

3. ( ) wvwuwvu�

���

���

��� +=+ ,

4. 2

uuu��

�� = ,

5. vuvu���

�� ⋅≤ ,

6. wektory u�

i v�

s� prostopadłe ⇔ 0=vu�

��

. Uwaga. Równo�� podana w punkcie 3 jest prawdziwa tak�e dla dowolnej liczby wektorów składników. Równo�� w nierówno-�ci 5 jest mo�liwa tylko wtedy, gdy wektory u

� i v�

s� równoległe. 5.3 ILOCZYN WEKTOROWY Def. 5.3.1 (iloczyn wektorowy) Niech u

� i v

� b�d� niewspółliniowymi wektorami w R3. Iloczynem wektorowym uporz�dkowanej pary wektorów u

� i v

�

nazywamy wektor w�

, który spełnia warunki: 1. jest prostopadły do płaszczyzny rozpi�tej na wektorach u

� i v�

(rys. 5.3.1), 2. jego długo�� jest równa polu równoległoboku rozpi�tego na wektorach u

� i v�

, tj. równa ϕsin⋅⋅ vu��

, gdzie ϕ jest miar�

k�ta mi�dzy wektorami u�

i v�

, 3. orientacja trójki wektorów wvu

���,, jest zgodna z orientacj� układu współrz�dnych Oxyz.

Iloczyn wektorowy pary wektorów u�

i v�

oznaczamy przez vu�� × . Je�eli jeden z wektorów u

�, v�

jest wektorem zerowym lub wektory te s� współliniowe, to przyjmujemy, �e ovu

��� =× .

Rys.5.3.1 Wektor w

� jest iloczynem wektorowym wektorów u

� i v�

. Fakt 5.3.2 (wzór do obliczania iloczynu wektorowego) Niech ),,( 111 zyxu =�

oraz ),,( 222 zyxv =�

b�d� wektorami w R3. Wtedy

222

111

zyx

zyx

kji

vu

���

�� =× ,

gdzie kji���

,, oznaczaj� wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz. Fakt 5.3.3 (własno�ci iloczynu wektorowego) Niech wvu

���,, b�d� dowolnymi wektorami w R3 oraz niech α ∈ R. Wtedy

1. uvvu���� ×−=× ,

2. ( ) ( )vuvu���� ×=× αα ,

3. ( ) wvwuwvu������� ×+×=×+ ,

4. wuvuwvu������� ×+×=+× )( ,

5. vuvu���� ⋅≤× ,

6. wektory u�

i v�

s� równoległe ⇔ 0=×vu��

. Uwaga. Równo�� w nierówno�ci 5 jest mo�liwa tylko wtedy, gdy wektory u

� i v

� s� prostopadłe. Iloczyn wektorów

zapisanych jako kombinacje liniowe wersorów kji���

,, mo�na obliczy� stosuj�c powy�sze własno�ci oraz wykorzystuj�c tabelk�:

× i�

j�

k�

i�

o�

k�

j�

−

j�

k�

− o�

i�

k�

j�

i�

− o�

Def. 5.3.4 (moment siły) Momentem siły F

� przyło�onej w punkcie P, wzgl�dem punktu O nazywamy wektor M

� okre�lony wzorem:

FOPM��

×= .

Rys. 5.3.2 Moment siły

5.4 ILOCZYN MIESZANY Def. 5.4.1 (iloczyn mieszany) Niech wvu

���,, b�d� wektorami w R3. Iloczyn mieszany uporz�dowanej trójki wektorów wvu

���,, okre�lamy wzorem:

( ) ( ) wvuwvudef �

������ ×=,, .

Fakt 5.4.2 (interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów) Iloczyn mieszany wektorów wvu

���,, jest równy (z dokładno�ci� do znaku) obj�to�ci równoległo�cianu V rozpi�tego na

wektorach wvu���

,, (rys. 5.4.1).

( )wvuV���

,,= .

Rys. 5.4.1 Równoległo�cian rozpi�ty ma wektorach wvu

���,,

Fakt 5.4.3 (wzór do obliczania iloczynu mieszanego) Niech ),,( 111 zyxu =�

, ),,( 222 zyxv =�

, ),,( 333 zyxw =�

b�d� wektorami w R3. Wtedy

( )333

232

111

,,zyx

zyx

zyx

wvu =���.

Fakt 5.4.4 (własno�ci iloczynu mieszanego) Niech rwvu

����,,, b�d� wektorami w R3 oraz niech α ∈ R. Wtedy

1. ),,(),,( uwvwvu������ = ,

2. ),,(),,( wuvwvu������ −= ,

3. ),,(),,(),,( wvrwvuwvru���������� +=+ ,

4. ),,(),,( wvuwvu������ αα = ,

5. wektory wvu���

,, le�� w jednej płaszczy�nie ⇔ 0),,( =wvu���

,

6. wvuwvu������ ⋅⋅≤),,( .

Uwaga. Równo�� w ostatniej nierówno�ci jest mo�liwa tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z wektorów wvu���

,, jest zerowy albo, gdy te wektory s� wzajemnie prostopadłe. Obj�to�� czworo�cianu V o wierzchołkach A1 = (x1,y1,z1), A2 = (x2,y2,z2), A3 = (x3,y3,z3), A4 = (x4,y4,z4) wyra�a si� wzorem:

����

�

����

�

�

=

111

1

det61

444

333

222

111

zyx

zyx

zyx

zyx

V .

5.5 RÓWNANIA PŁASZCZYZNY Fakt 5.5.1 (równanie normalne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny π przechodz�cej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodz�cym 0r

� i prostopadłej do wektora

oCBAn�� ≠= ),,( (rys. 5.5.1) ma posta�:

0)(: 0 =− nrr�

���π ,

gdzie ),,( 000 zyxr =�

jest wektorem wodz�cym punktów przestrzeni. Wektor n�

nazywamy wektorem normalnym tej płaszczyzny.

Rys. 5.5.1 Płaszczyzna π przechodzi przez punkt P0 i jest prostopadła do wektora n

� W formie rozwini�tej równanie płaszczyzny π przyjmuje posta�:

0)()()(: 000 =−+−+− zzCyyBxxAπ . Powy�sze zale�no�ci nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny. Fakt 5.5.2 (równanie ogólne płaszczyzny) Ka�de równanie postaci:

0: =+++ DCzByAxπ , gdzie |A| + |B| + |C| > 0, przedstawia płaszczyzn�. Płaszczyzna ta ma wektor normalny ),,( CBAn =

� i przecina o� Oz w

punkcie CD

z −= , o ile C ≠ 0 (rys. 5.5.2).

Rys. 5.5.2 Płaszczyzna π jest opisana przez równanie Ax + By + Cz + D = 0, C ≠ 0

Fakt 5.5.3 (równanie parametryczne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny π przechodz�cej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodz�cym 0r

� i rozpi�tej na niewspółliniowych

wektorach ),,( 111 cbau =�

i ),,( 222 cbav =�

(rys. 5.5.3) ma posta�:

vtusrr���� ++= 0:π , gdzie s, t ∈ R

lub inaczej: ),,(),,()(),,(: 222111000 cbatcbaszyxzyx ++++=π , gdzie s, t ∈ R.

W formie rozwini�tej równanie tej płaszczyzny przyjmuje posta�:

�

�

++=++=++=

210

210

210

:

tcsczz

tbsbyy

tasaxx

π , gdzie s, t ∈ R.

Powy�sze zale�no�ci nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny.

Rys. 5.5.3 Płaszczyzna π przechodzi przez punkt P0 i jest równoległa do wektorów u

� i v

�

Fakt 5.5.4 (równanie płaszczyzny przechodzcej przez 3 punkty) Równanie płaszczyzny π przechodz�cej przez 3 niewspółliniowe punkty Pi = (xi,yi,zi), gdzie 1 ≤ i ≤ 3, (rys. 5.5.4) ma posta�:

0

11

11

:

333

222

111 =

zyx

zyx

zyx

zyx

π .

Rys. 5.5.4 Płaszczyzna wyznaczona przez trzy punkty

Fakt 5.5.5 (równanie odcinkowe płaszczyzny) Równanie płaszczyzny π odcinaj�cej na osiach Ox, Oy, Oz układu współrz�dnych odpowiednio odcinki (zorientowane) a, b, c ≠ 0 (rys. 5.5.5) ma posta�:

1: =++cz

by

axπ .

Powy�sz� zale�no�� nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.

Rys. 5.5.5 Płaszczyzna odcinaj�ca na osiach układu odcinki a, b, c

5.6 RÓWNANIA PROSTEJ Fakt 5.6.1 (równanie parametryczne prostej) Równanie prostej l przechodz�cej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodz�cym 0r

� i wyznaczonej przez niezerowy wektor

kierunku ),,( cbav =�

(rys. 5.6.1) ma posta�:

vtrrl��� += 0: , gdzie t ∈ R

lub inaczej: ),,(),,(),,(: 000 cbatzyxzyxl += , gdzie t ∈ R.

Powy�sz� zale�no�� nazywamy równaniem parametrycznym prostej w postaci wektorowej.

Rys. 5.6.1 Prosta l przechodzi przez punkt P0 i jest równoległa do wektora v

�

Po rozpisaniu na współrz�dne parametryczne prosta przyjmuje posta�:

�

�

+=+=+=

ctzz

btyy

atxx

l

0

0

0

: , gdzie t ∈ R.

Fakt 5.6.2 (równanie kierunkowe prostej) Równanie prostej l przechodz�cej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku ),,( cbav =

� (rys.

5.6.2) ma posta�:

czz

byy

axx

l 000:−

=−

=−

.

Ten sposób zapisu równania parametrycznego prostej nazywamy jej równaniem kierunkowym.

Rys. 5.6.2 Prosta l przechodzi przez punkt P0 i jest równoległa do wektora v

�

Uwaga. Poniewa� jest to zapis umowny równania prostej, w mianownikach powy�szych ułamków mog� wyst�pi� zera.

Fakt 5.6.3 (równanie kraw�dziowe prostej) Równanie prostej l, która jest cz��ci� wspóln� dwóch nierównoległych płaszczyzn 0: 11111 =+++ DzCyBxAπ ,

0: 22222 =+++ DzCyBxAπ (rys. 5.6.3), ma posta�:

��

=+++=+++

0

0:

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxAl .

Ten sposób zapisu prostej nazywamy jej równaniem kraw�dziowym. Uwaga. Wektor kierunkowy v

� prostej l ma posta� 21 nnv

���×= , gdzie ),,( 1111 CBAn =

�, ),,( 2222 CBAn =�

.

Rys. 5.6.3 Prosta l jest cz��ci� wspóln� płaszczyzn π1 i π2

5.7 WZAJEMNE POŁO�ENIA PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁASZCZYZN Def. 5.7.1 (rzut punktu na płaszczyzn� i na prost) Rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyzn� π nazywamy punkt P/ tej płaszczyzny (rys. 5.7.1) spełniaj�cy warunek:

π⊥/PP .

Rys. 5.7.1 Rzut prostopadły P/ punktu P na płaszczyzn� π oraz odległo�� d punktu P od tej płaszczyzny

Podobnie rzutem prostopadłym punktu P na prost� l nazywamy punkt P/ tej prostej (rys. 5.7.2) spełniaj�cy warunek:

lPP ⊥/ .

Rys. 5.7.2 Rzut prostopadły P/ punktu P na prost� l oraz odległo�� d punktu P od tej prostej

Uwaga. W podobny sposób definiuje si� rzut uko�ny punktu na płaszczyzn� lub prost� w kierunku ustalonego wktora. Fakt 5.7.2 (odległo�� punktu od płaszczyzny) Odległo�� d punktu P0 = (x0,y0,z0) od płaszczyzny 0: =+++ DCzByAxπ wyra�a si� wzorem:

222

000

CBA

DCzByAxd

++

+++= .

Uwaga. Odległo�� punktu P od płaszczyzny π jest równa długo�ci odcinka PP/, gdzie P/ jest rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyzn� π (rys. 5.7.1). Podobnie, odległo�� punktu P od prostej l jest równa długo�ci odcinka PP/, gdzie P/ jest rzutem prostopadłym punktu P na prost� l (rys. 5.7.2). Fakt 5.7.3 (odległo�� płaszczyzn równoległych) Odległo�� d mi�dzy płaszczyznami równoległymi 0: 11111 =+++ DzCyBxAπ , 0: 22222 =+++ DzCyBxAπ (rys. 5.7.3) wyra�a si� wzorem:

222

21

CBA

DDd

++

−= .

Rys. 5.7.3 Odległo�� mi�dzy płaszczyznami π1 i π2

Def. 5.7.4 (kt nachylenia prostej do płaszczyzny) K�tem nachylenia prostej l do płaszczyzny π nazywamy k�t ostry α mi�dzy prost� l, a jej rzutem prostopadłym l/ na płaszczyzn� π (rys. 5.7.4). Je�eli prosta l jest równoległa do płaszczyzny π, to przyjmujemy, �e k�t jej nachylenia do tej płaszczyzny jest równy 0.

Rys. 5.7.4 K�t nachylenia prostej l do płaszczyzny π

Fakt 5.7.5 (miara kta nachylenia prostej do płaszczyzny) K�t nachylenia ϕ prostej o wektorze kierunkowym v

� do płaszczyzny o wektorze normalnym n

� wyra�a si� wzorem:

vn

vn��

��

⋅×

= cosarcϕ lub vn

vn��

��

�

⋅−= cosarc

2πϕ .

Def. 5.7.6 (kt mi�dzy prostymi) K�tem mi�dzy prostymi nazywamy k�t ostry utworzony przez wektory kierunkowe tych prostych (rys. 5.7.5). Przyjmujemy, �e k�t mi�dzy prostymi równoległymi jest równy 0.

Rys. 5.7.5 K�t mi�dzy prostymi przecinaj�cymi si� oraz mi�dzy prostymi sko�nymi

Fakt 5.7.7 (miara kta mi�dzy prostymi) Miar� k�ta ϕ mi�dzy prostymi o wektorach kierunkowych 1v

� i 2v

� wyra�a si� wzorem:

21

21cosvv

vvarc ��

��

�

⋅=ϕ .

Def. 5.7.8 (kt mi�dzy płaszczyznami) K�tem mi�dzy płaszczyznami nazywamy k�t ostry mi�dzy wektorami normalnymi tych płaszczyzn (rys. 5.7.6). Przyjmujemy, �e k�t mi�dzy płaszczyznami równoległymi jest równy 0.

Rys. 5.7.6 K�t mi�dzy płaszczyznami

Fakt 5.7.9 (miara kta mi�dzy płaszczyznami) Miar� k�ta ϕ mi�dzy płaszczyznami π1 i π2 o wektorach normalnych odpowiednio 1n

� i 2n

� wyra�a si� wzorem:

21

21cosnn

nnarc ��

��

�

⋅=ϕ .

6. GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZY�NIE 6.1 PROSTA NA PŁASZCZY�NIE Fakt 6.1.1 (równanie prostej) 1. Równanie prostej l przechodz�cej przez punkt P0 = (x0,y0) i nachylonej od dodatniej cz��ci osi Ox pod k�tem α (rys. 6.1.1)

ma posta�: )(tg: 00 xxyyl −=− α .

Rys. 6.1.1 Rys. 6.1.2

2. Równanie prostej l przechodz�cej przez punkty P1 = (x1,y1), P2 = (x2,y2) (rys. 6.1.2) ma posta�:

))(())((: 112112 xxyyyyxxl −−=−− . 3. Równanie prostej l odcinaj�cej na osiach Ox i Oy odcinki (skierowane) o długo�ciach odpowiednio a i b, gdzie ab ≠ 0,

(rys. 6.1.3) ma posta�:

1: =+by

ax

l .

Jest to tzw. równanie odcinkowe prostej.

Rys. 6.1.3 Rys. 6.1.4

4. Równanie prostej l przechodz�cej przez punkt P0 = (x0,y0) i maj�cej wektor normalny 0),( ≠= BAn

� (rys. 6.1.4) ma

posta�: 0)()(: 00 =−+− yyBxxAl .

Jest to tzw. równanie normalne prostej.

Rys. 6.1.5 Rys. 6.1.6

5. Równanie parametryczne prostej l przechodz�cej przez punkty P1 = (x1,y1), P2 = (x2,y2) (rys. 6.1.5) ma posta�:

��

−+=−+=

tyyyy

txxxxl

)(

)(:

121

121, t ∈ R.

6. Równanie parametryczne (posta� wektorowa) prostej l przechodz�cej przez punkt P0 o wektorze wodz�cym 0r�

i maj�cej

kierunek zadany przez wektor v�

(rys. 6.1.6) ma posta�:

vtrrl��� += 0: , t ∈ R,

gdzie r�

jest promieniem wodz�cym punktu P płaszczyzny.

Fakt 6.1.2 (warunki równoległo�ci prostych) 1. Proste l1: A1x + B1y + C1 = 0, l2: A2x + B2y + C2 = 0 s� równoległe wtedy i tylko, gdy 01221 =− BABA .

2. Proste l1: y = m1x + b1, l2: y = m2x + b2 s� równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy 21 mm = .

3. Proste 111 : vtrrl���

+= , t ∈ R, 222 : vtrrl���

+= , t ∈ R, s� równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy 21 vkv�� = dla pewnego k ≠ 0.

Rys. 6.1.7 Proste równoległe

Fakt 6.1.3 (warunki prostopadło�ci prostych) 1. Proste l1: A1x + B1y + C1 = 0, l2: A2x + B2y + C2 = 0 s� prostopadłe wtedy i tylko, gdy 02121 =+ BBAA .

2. Proste l1: y = m1x + b1, l2: y = m2x + b2 s� prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy 121 −=mm .

3. Proste 111 : vtrrl���

+= , t ∈ R, 222 : vtrrl���

+= , t ∈ R, s� prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy 021 =vv�

��

.

Rys. 6.1.8 Proste prostopadłe

Fakt 6.1.4 (kt mi�dzy prostymi) 1. Miara k�ta ostrego ϕ utworzonego przez proste l1: A1x + B1y + C1 = 0, l2: A2x + B2y + C2 = 0 wyra�a si� wzorem:

22

22

21

21

2121

)()()()(cosarc

BABA

BBAA

++

+=ϕ .

2. Miara k�ta ostrego ϕ utworzonego przez proste l1: y = m1x + b1, l2: y = m2x + b2 wyra�a si� wzorem:

21

21

1garc

mmmm

t+

−=ϕ .

Je�eli m1m2 = – 1, to przyjmujemy, �e 2πϕ = .

Rys. 6.1.9 K�t ostry mi�dzy prostymi l1 i l2

Fakt 6.1.5 (odległo�ci punktów i prostych) 1. Odległo�� d punktów P1 = (x1,y1), P2 = (x2,y2) wyra�a si� wzorem:

212

21221 )()( yyxxPPd −+−== .

Rys. 6.1.10 Odległo�� punktów P1 i P2 Rys. 6.1.11 Odległo�� punktu P0 od prostej l

2. Odległo�� d punktu P0 = (x0,y0) od prostej l: Ax + By + C = 0 wyra�a si� wzorem:

22

000 ),(

BA

CByAxlPdd

+

++== .

3. Odległo�� d prostych l1: A1x + B1y + C1 = 0, l2: A2x + B2y + C2 = 0 wyra�a si� wzorem:

22

2121 ),(

BA

CClldd

+

−== .

Rys. 6.1.12 Odległo�� dwóch prostych równoległych

6.2 PRZEKSZTAŁCENIA PŁASZCZYZNY Fakt 6.2.1 (przekształcenia płaszczyzny) 1. Współrz�dne punktu P/ otrzymanego w wyniku przesuni�cia punktu P = (x,y) o wektor ),( bav =

� wyra�aj� si� wzorami:

�

�

+=

+=

byy

axxP

/

// : .

Rys. 6.2.1 Przesuni�cie punktu P o wektor v

� Rys. 6.2.2 Symetrie wzgl�dem osi układu współrz�dnych

2. Współrz�dne punktów P/ i P// otrzymanych w wyniku symetrii punktu P = (x,y) odpowiednio wzgl�dem osi Ox i Oy

wyra�aj� si� wzorami:

�

�

−=

=

yy

xxP

/

// : ,

�

�

=

−=

yy

xxP

//

//// : .

3. Współrz�dne punktu P/ otrzymanego w wyniku symetrii punktu P = (x,y) wzgl�dem pocz�tku układu współrz�dnych wyra�aj� si� wzorami:

�

�

−=

−=

yy

xxP

/

// : .

Rys. 6.2.3 Symetria wzgl�dem pocz�tku układu

współrz�dnych Rys. 6.2.4 Obrót wokół pocz�tku układu współrz�dnych o

k�t α

4. Współrz�dne punktu P/ otrzymanego w wyniku obrotu punktu P = (x,y) wokół pocz�tku układu współrz�dnych o k�t α (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) wyra�aj� si� wzorami:

�

�

+=

−=

αααα

cossin

sincos:

/

//

yxy

yxxP .

5. Współrz�dne punktów P/ i P// otrzymanych w wyniku podobie�stw (powinowactw) punktu P = (x,y) w skali k wzgl�dem odpowiednio osi Ox i Oy wyra�aj� si� wzorami:

�

�

=

=

kyy

xxP

/

// : ,

�

�

=

=

yy

kxxP

//

//// : .

Rys. 6.2.5 Podobie�stwo w skali k=-1/2 wzgl�dem osi Ox oraz podobie�stwo w skali k=1/3 wzgl�dem osi Oy

Rys. 6.2.6 Jednokładno�� w skali k=2 wzgl�dem pocz�tku układu współrz�dnych

6. Współrz�dne punktu P/ otrzymanego w wyniku jednokładno�ci (podobie�stwa) punktu P = (x,y) w skali k wzgl�dem

pocz�tku układu współrz�dnych wyra�aj� si� wzorami:

�

�

=

=

kyy

kxxP

/

// : .

Fakt 6.2.2 (równania krzywych przesuni�tych i obróconych) 1. Niech Γ oznacza zbiór punktów (x,y) ∈ R2 spełniaj�cych równanie F(x,y) = 0. Wtedy zbiór Γ/ otrzymany w wyniku

przesuni�cia zbioru Γ o wektor ),( bav =�

jest opisany przez równanie:

0),(:/ =−−Γ byaxF .

Rys. 6.2.7 Zbiór Γ/

powstał w wyniku przesuni�cia zbior Γ o wektor v�

2. Niech Γ oznacza zbiór punktów (x,y) ∈ R2 spełniaj�cych równanie F(x,y) = 0. Wtedy zbiór Γ/ otrzymany w wyniku obrotu zbioru Γ wokół pocz�tku układu współrz�dnych o k�t α jest opisany przez równanie:

0)cossin,sincos(:/ =+−+Γ αααα yxyxF .

Rys. 6.2.8 Zbiór Γ/

powstał ze zbioru Γ w wyniku jego obrotu wokół pocz�tku układu współrz�dnych o k�t α

Uwaga. Podobn� posta� maj� równania zbiorów Γ/ otrzymanych w wyniku zastosowania do zbioru Γ = {(x,y)∈R2: F(x,y) = 0} pozostałych przekształce� płaszczyzny, tj. symetrii osiowej lub punktowej, podobie�stwa wzgl�dem prostej lub punktu. 6.3 KRZYWE STO�KOWE Def. 6.3.1 (okrg) Okr�giem o �rodku w punkcie O i promieniu r > 0 nazywamy zbiór punktów płaszczyzny poło�onych w odległo�ci r od punktu O (rys. 6.3.1).

Rys. 6.3.1 Okr�g o �rodku w punkcie O i promieniu r

Fakt 6.3.2 (równanie okr�gu) Równanie okr�gu o �rodku w pocz�tku układu współrz�dnych i promieniu r > 0 ma posta�:

222 ryx =+ . Def 6.3.3 (elipsa) Elips� o ogniskach w punktach F1, F2 oraz o du�ej osi 2a, gdzie 2a > 2c = |F1F2|, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których suma odległo�ci od ognisk F1 i F2 jest stała i równa 2a (rys. 6.3.2)

aPFPF 221 =+ .

Rys. 6.3.2 Elipsa o ogniskach F1 i F2

Fakt 6.3.4 (równanie elipsy) Równanie elipsy o �rodku w pocz�tku układu współrz�dnych i półosiach a > 0 i b > 0 ma posta�:

12

2

2

2

=+by

ax

.

Zale�no�� mi�dzy półosiami a, b oraz ogniskow� c elipsy ma posta�: 222 cba =− .

Def. 6.3.5 (hiperbola) Hiperbol� o ogniskach w punktach F1, F2 oraz o du�ej osi 2a, gdzie 2a < 2c = |F1F2|, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których warto�� bezwzgl�dna ró�nicy odległo�ci od ognisk F1 i F2 jest stała i równa 2a (rys. 6.3.3)

aPFPF 221 =− .

Rys. 6.3.3 Hiperbola o ogniskach F1 i F2

Fakt 6.3.6 (równanie hiperboli) Równanie hiperboli o �rodku w pocz�tku układu współrz�dnych i półosiach rzeczywistej a > 0 i urojonej b > 0 ma posta�:

12

2

2

2

=−by

ax

.

Zale�no�� mi�dzy półosiami a, b oraz ogniskow� c hiperboli ma posta�: 222 cba =+ .

Asymptoty hiperboli maj� równania:

xab

yl =: , xab

yl −=:/ .

Def. 6.3.7 (parabola) Parabol� o ognisku w punkcie F i kierownicy k, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległo�� od ogniska jest równa ich odległo�ci od kierownicy (rys. 6.3.4).

),( kPdPKPF == .

Rys. 6.3.4 Parabola o ognisku F i kierownicy k

Fakt 6.3.8 (równania paraboli)

1. Równanie paraboli, której ognisko F ma współrz�dne ��

���

� 0,2p , gdzie p ≠ 0, a kierownica k ma równanie

2

px −= ma

posta�:

pxy 22 = .

2. Równanie cbxaxy ++= 2 , gdzie a ≠ 0, przedstawia parabol�. Osi� tej paraboli jest prosta a

bx

2−= , a wierzchołek

),( ww yxW = ma współrz�dne okre�lone wzorami:

ab

xw 2−= ,

ayw 4

∆−= , gdzie acb 42 −=∆ .

Je�eli a > 0, to parabola ma ramiona skierowane do góry, a dla a < 0 na dół.

Rys. 6.3.5 Parabola o równaniu y = ax2 + bx + c, gdzie a ≠ 0

Uwaga. Okr�g, elips�, parabol� i hiperbol� nazywamy krzywymi sto�kowymi, gdy� ka�da z nich jest przekrojem powierzchni bocznej sto�ka pewn� płaszczyzn�. Fakt 6.3.9 (równania parametryczne krzywych stokowych) 1. Równanie parametryczne elipsy E o �rodku w pocz�tku układu współrz�dnych i półosiach a > 0, b > 0 ma posta�

��

==

tby

taxE

sincos

: , t ∈ [0,2π).

Gdy przyjmiemy a = b = r, to otrzymany równanie parametryczne okr�gu. 2. Równanie paramrtryczne hiperboli H o �rodku w pocz�tku układu współrz�dnych i półosi rzeczywistej a > 0 oraz półosi

urojonej b > 0 ma posta�:

��

=±=

tby

taxH

shch

: , t ∈ R.

Uwaga. Przyjmuj�c we wzorze znak „+” otrzymamy praw� gał�� hiperboli, a przyjmuj�c znak „–” otrzymamy lew� gał��. Fakt 6.3.10 (równania stycznych do krzywych stokowych) 1. Równanie stycznej s do okr�gu O: x2 + y2 = r2 wystawionej w punkcie P1 = (x1,y1) nale��cym do tego okr�gu ma posta�:

211: ryyxxs =+ .

Rys. 6.3.6 Styczna do okr�gu O w punkcie P1

2. Równanie stycznej s do elipsy 1: 2

2

2

2

=+by

ax

E wystawionej w punkcie P1 = (x1,y1) nale��cym do tej elipsy ma posta�:

1:2

12

1 =+b

yy

a

xxs .

Rys. 6.3.7 Styczna do elipsy E w punkcie P1

3. Równanie stycznej s do hiperboli 1: 2

2

2

2

=−by

ax

H wystawionej w punkcie P1 = (x1,y1) nale��cym do tej hiperboli ma

posta�:

1:2

12

1 =−b

yy

a

xxs .

Rys. 6.3.8 Styczna do hiperboli h w punkcie P1

4. Równanie stycznej s do paraboli P: y2 = 2px wystawionej w punkcie P1 = (x1,y1) nale��cym do tej paraboli ma posta�:

)(: 11 xxpyys += .

Rys. 6.3.9 Styczna do paraboli P w punkcie P1