dr Krzysztof �yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I0.in». 3 pa¹dziernika 2017

Liczby zespoloneFunkcje trygonometryczne - wtr¡cenie

Funkcje trygonometryczne

Zde�niujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :

sinα =y

r, cosα =

x

r,

tgα =y

x, ctgα =

x

y,

gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r =√x2 + y2.

Wªasno±ci funkcji sinus y = sinx:

• Df = R, Wf =< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, sin(x+ 2π) = sinx;

• ograniczon¡, −1 ≤ sinx ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• nieparzysta, sin(−x) = − sinx.

Rysunek 1: Wykres funkcji f(x) = sinx

1

dr Krzysztof �yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I0.in». 3 pa¹dziernika 2017

Wªasno±ci funkcji kosinus y = cosx :

• Df = R, Wf =< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, cos(x+ 2π) = cos x;

• ograniczon¡, −1 ≤ cosx ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• parzysta, cos(−x) = cos x.

Rysunek 2: Wykres funkcji f(x) = cos x

Wªasno±ci funkcji tanges y = tg x:

• Df = R \ {π2+ kπ : k ∈ Z}, Wf = R;

• okresowa o okresie podstawowym π, tg(x+ π) = tg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, tg(−x) = − tg x.

Rysunek 3: Wykres funkcji f(x) = tg x

2

dr Krzysztof �yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I0.in». 3 pa¹dziernika 2017

Wªasno±ci funkcji kotanges y = ctg x:

• Df = R \ πk : k ∈ Z}, Wf = R;

• okresowa o okresie podstawowym π, ctg(x+ π) = ctg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, ctg(−x) = − ctg x.

Rysunek 4: Wykres funkcji f(x) = ctg x

Znaki funkcji trygonometrycznych w ¢wiartkach

ϕ I ¢w. II ¢w. III ¢w. IV ¢w.

sinϕ + + − −cosϕ + − − +

tgϕ + − + −ctgϕ + − + −

Mo»na nauczy¢ si¦ wierszyka, który obrazuje powy»sz¡ tabel¦: w pierwszej ¢wiartce same plusy,w drugiej tylko sinus(jest dodatni), w trzeciej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus.

Wzory redukcyjne

ϕ π2− α π

2+ α π − α π + α 3π

2− α 3π

2+ α 2π − α

sinϕ cosα cosα sinα − sinα − cosα − cosα − sinαcosϕ sinα − sinα − cosα − cosα − sinα sinα cosαtgϕ ctgα − ctgα − tgα tgα ctgα − ctgα − tgαctgϕ tgα − tgα − ctgα ctgα tgα − tgα − ctgα

3

dr Krzysztof �yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I0.in». 3 pa¹dziernika 2017

Przykªad. Wykorzystuj¡c wªasno±ci (równie» wzory redukcyjne) funkcji trygonometrycznychmamy:a) sin 5

4π = sin(π + π

4) = − sin π

4= −

√22;

b) cos(−2313π) = cos 231

3π = cos 11

3π = cos(π + π

3) = − cos π

3= −1

2;

c) tg 334π = tg 3

4π = tg(π

2+ π

4) = − ctg π

4= −1;

d) ctg(−253π) = − ctg 81

3π = − ctg 1

3= −

√33.

Moduª liczby zespolonej

De�nicja.Moduªem liczby zespolonej z = a+ ib nazywamy liczb¦ rzeczywist¡ |z| okre±lon¡ nast¦-puj¡co:

|z| =√a2 + b2.

Ma on nast¦puj¡ce wªasno±ci:

1. |z| = |z|,

2. |z1 · z2| = |z1| · |z2|,

3. |zn| = |z|n,

4.∣∣∣ z1z2 ∣∣∣ = |z1|

|z2| ,

5. |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.

Przykªad.

|3− 4i| =√

32 + (−4)2 =√25 = 5.

Argument liczby zespolonej

De�nicja. Argumentem niezerowej liczby zespolonej z = a + bi (ozn. arg z ) nazywamy ka»d¡liczb¦ ϕ ∈ R speªniaj¡c¡ warunki:

cosϕ =a

|z|oraz sinϕ =

b

|z|.

Argument liczby z = 0 jest nieokre±lony. Argumentem gªównym niezerowej liczby z (ozn. Arg z )nazywamy ten argument ϕ liczby z, nale»y do przedziaªu [0, 2π).

Posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej

Dokonujemy przeksztaªcenia dla liczby zespolonej z 6= 0 :

z = a+ bi =√a2 + b2 ·

{a√

a2 + b2+ i

b√a2 + b2

}= |z|(cosϕ+ i sinϕ).

Otrzyman¡ posta¢ z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) nazywamy postaci¡ trygonometryczn¡ liczby zespolonej.

4

dr Krzysztof �yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I0.in». 3 pa¹dziernika 2017

Posta¢ wykªadnicza liczby zespolonej

Korzystaj¡c ze wzorów Eulera:

cosϕ =eiϕ + e−iϕ

2, sinϕ =

eiϕ − e−iϕ

2i

mamy:eiϕ = cosϕ+ i sinϕ.

Wobec tego Mo»emy zapisa¢z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) = |z|eiϕ.

Posta¢ z = |z|eiϕ nazywamy postaci¡ wykªadnicz¡ liczby zespolonej.

Mno»enie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

De�nicja. Dwie liczby zespolonych s¡ równe:

• |z1| = 0⇒ z1 = z2 ⇔ |z2| = 0,

• |z1| 6= 0 ∧ |z2| 6= 0⇒ z1 = z2 ⇔ (|z1| = |z2| ∧ Arg z1 = Arg z2).

Twierdzenie. Niech z1, z2 ∈ C i z1 = |z1|(cosϕ1 + i sinϕ1), z2 = |z2|(cosϕ2 + i sinϕ2). Wówczas:

• z1 · z2 = |z1| · |z2|[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)]

• z1z2

= |z1||z2| [cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)].

Wniosek. Niech z1, z2 ∈ C. Wówczas:

• arg (z1 · z2) = arg z1 + arg z2,

• arg(z1z2

)= arg z1 − arg z2,

• Arg (z1 · z2) = Arg z1 + Arg z2 ± 2kπ dla pewnego k ∈ N,

• Arg(z1z2

)= Arg z1 − Arg z2 ± 2kπ dla pewnego k ∈ N.

Pot¦gowanie liczb zespolonych

Twierdzenie. (Wzór de Moivre'a)Niech z = r(cosϕ+ i sinϕ) b¦dzie dowoln¡ liczb¡ zespolon¡ oraz n ∈ N. Wówczas zachodzi wzór

zn = rn(cosnϕ+ i sinnϕ).

Uwaga. Powy»szy wzór zachodzi równie» dla liczb caªkowitych ujemnych.

5

dr Krzysztof �yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I0.in». 3 pa¹dziernika 2017

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

De�nicja. Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy ka»d¡ liczb¦ zespolon¡ wspeªniaj¡c¡ warunek: wn = z.

Twierdzenie. Dla ka»dej liczby zespolonej z = r(cosϕ+ i sinϕ) istnieje dokªadnie n ró»nych liczbzespolonych z0, z1, . . . , zn−1 takich, »e (zk)

n = z. Pierwiastki te wyra»aj¡ si¦ wzorem:

zk =n√r

(cos

ϕ+ 2kπ

n+ i sin

ϕ+ 2kπ

n

)dla k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.

Geometryczne zbiór pierwiastków stopnia n ≥ 3 z liczby zespolonej z pokrywa si¦ ze zbio-rem wierzchoªków n-k¡ta foremnego wpisanego w okr¡g o promieniu n

√r i o ±rodku w pocz¡tku

ukªadu wspóªrz¦dnych. Wierzchoªki wyznaczone s¡ w punktach z0, z1, ..., zn−1, a k¡t pomi¦dzy ichs¡siednimi promieniami wodz¡cymi wynosi 2π

n.

6

dr Krzysztof �yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I0.in». 3 pa¹dziernika 2017

Zadania

1.Wykonaj podane dziaªania w zbiorze liczb zespolonych. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.(a) (−4 + 3i) + (8− 7i) (b) (4i− 3)− (1− 10i) (c) (1 +

√2i)− (

√3− 6i)

(d) (√2 + i)(3−

√3i) (e) (

√7 +√3i)(√7 +√3i) (f) (3− 2i)(1 + i) + |3 + 4i|

(g) i(2−3i)5+4i

(h) (2−3i)21−i −

3−7i2−3i (i) (1−i)3−1

(1+i)3+1

2. W zbiorze liczb zespolonych rozwi¡» podane równania.(a) z2 − 4z + 13 = 0 (b) z + i− z + i = 0 (c) (i− 3)z = 5 + i− z(d) z2 + (2 + 2i)z + 3− 2i = 0 (e) 3+i

z−2i+1= i−1

2−iz (f) Re z−iz−2i(i+1)Im z−i = 1− 3i

(g) z2 + (1 + 3i)z + i− 2 = 0 (h) z2 − 6z + 10 = 0

3. Na pªaszczy¹nie zespolonej narysowa¢ zbiory liczb speªniaj¡ce podane warunki.(a) Re z = 3 (b) Im z = −2 (c) |z − 2i| < 3(d) π

3< arg z < 4

3π (e) 1 < |z − 3 + 2i| < 3 (f) |z2| ≥ |Im (4z)|+ 5

4. Przedstaw w postaci trygonometrycznej nast¦puj¡ce liczby zespolone.(a) 5 (b) i (c) − i (d) − 2 + 2i

(e) 1− i (f)√3− i (g)

√2−√6i

5. Zamie« stopnie na radiany:(a) 45◦ (b) 90◦ (c) 150◦ (d) 275◦

(e) 330◦ (f) 480◦ (g) 3090◦ (h) 910◦

6. Zamie« radiany na stopnie:(a) π

3(b) 3

4π (c) 7

6π (d) 4

3π

(e) 116π (f) 45

4π (g) 42

3π (h) 37

6π

7. Korzystaj¡c ze wzorów redukcyjnych oraz wªasno±ci funkcji trygonometrycznych oblicz:(a) sin 135o (b) cos 2

3π (c) tg 5

6π (d) cos 180o

(e) ctg 54π (f) sin(−1290o) (g) cos(−72

3π) (h) ctg(−315o)

(i) tg(−570o) (j) sin 773π (k) cos 11

3π (l) tg 510o

(m) ctg 323π (n) sin(−372

3π) (o) cos 584

3π (p) tg 10017

4π

8. Oblicz i zapisz w postaci algebraicznej.

(a) (√3− i)32 (b) (2

√3− 2i)30 (c)

(1−i√3+i

)6(d) (cos 330 + i sin 330)10 (e) (1 + i)−6 (f) (1+i)22

(1−√3i)6

(g) (1+i)42

(√3−i)17 (h) (1−i

√3)6

i9(1+i)3(i)

(−√3+i

1−i

)209. Oblicz i narysuj na pªaszczy¹nie zespolonej.(a) 3

√1 (b) 6

√64 (c) 4

√116i (d) 5

√1 + i

(e)√1−√3i (f) 3

√−2− 2i (g)

8√√

3− i (h) 4√1 + i

(i)√3− 4i (j)

4√−1−

√3i

Literatura:

1. Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra i geometria analityczna. De�nicje, twierdzenia, wzory,wyd. O�cyna Wydawnicza GiS, 2008r.

2. Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra i geometria analityczna. Przykªady i zadania, wyd. O�-cyna Wydawnicza GiS, 2008r.

7

dr Krzysztof �yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I0.in». 3 pa¹dziernika 2017

3. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. De�nicje, twierdzenia, wzory., wyd.O�cyna Wydawnicza GiS, 2001r.

4. Krysicki W., Wªodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach., wyd. PWN, t.I, 2001r.

5. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Przykªady i zadania., wyd. O�cynaWydawnicza GiS, 2001r.

6. Siewierski L., �wiczenia z anzlizy matematycznej., wyd. PWN, 1982r.

8