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1
No movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante, porém sua direcção muda continuamente
Movimento de satélites artificiais
Movimento circular uniforme
Exemplos:
Pontos de um disco num gira discos
Pontos de um disco rígido de computador
Ponteiros de um relógio
As pessoas girando com o movimento da Terra
2
Movimento circular uniforme
x
y
r
xe
ye
Vector posição
r e
Para descrever o MCU utilizamos as coordenadas polares
x s
dr
O arco sobre a trajetória que subentende um ângulo é:
rs
drds
O arco descrito em dt é dado por
ds
3
O movimento circular é um movimento periódico
O tempo de uma volta completa é o período T
ao tempo que demora para descrever um ângulo de 2
A velocidade angular é T
2
v
v
A
B
ca
ca
No movimento circular uniforme a velocidade angular é constante
A aceleração centrípeta é responsável pela mudança da direcção da velocidade
O vector velocidade é sempre tangente à trajectória da partícula e é perpendicular ao raio da trajectória
A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo
No SI a unidade da velocidade angular é 1s
Pode-se escrever também1s rad
Demonstraremos que
r
ou f 2 onde f é a frequência
A unidade da frequência no SI é o hertz (Hz)
4
x
y
r
xe
ye
A velocidade da partícula é a
derivada em ordem ao tempo de rv
)(dt
d
O módulo da velocidade é v
Relaciona a velocidade angular velocidade linear v
22222 )cos(sin rrv
rv
porque
)cos(sincossin 2222222222 rrr
v
v
xv yv
5
O valor absoluto da velocidade linear não varia mas a direcção varia
O movimento circular uniforme é acelerado e a única função da aceleração é mudar a direcção da velocidade
A aceleração é
Observe que a direcção da aceleração tem sentido inverso ao do vector posição
É a aceleração centrípeta que faz variar o vector velocidade
O módulo da aceleração centrípeta é
como rv
está dirigida para o centro da circunferência e por esse motivo chama-se aceleração centrípeta
v
v
A
B
ca
ca
6
Exemplo 13. Um pião roda uniformemente com frequência de 16 Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto na superfície do pião em r = 3 cm ?
A velocidade angular é: f 2 Hz) rad)(162(
-1-1 s rad 101~s rad 48.100Hz) rad)(1614.32(
A aceleração centrípeta será
-222-12 s m 0.306m) 103()s rad 101( rac
7
Como , a velocidade angular também não é constante.
é a aceleração tangencial e tem a mesma direcção do vector velocidade
Movimento circular uniformemente variado
No movimento circular uniformemente variado, a velocidade linear não é constante. v
A aceleração é
rv
[dt
d ]
onde
+ dt
d
é a aceleração angular
ta
v ca
cujo módulo é
tav
8
ta
a
ca
Módulo da aceleração total
Quando a aceleração angular é constante podemos obter
b) Sabendo que a velocidade da partícula é e calcule a aceleração da partícula.
Exemplo 14. Um ponto na trajetória de uma partícula é dada pelas equações (em unidades SI):
y(t) = -1.0 t2 + 10.0 t + 2.0
x(t) = 0.2 t2 + 5.0 t + 0.5
)3()6( rrr
a) Calcular
em t = 3 s : x(3) =17 m e y(3) =23 m
em t = 6 s : x(6) =38 m e y(6) =26 m
m)3 21(
) m 23 m 17() m 26 m 38()3()6(
yx
yxyx
ee
eeeerrr
2
2
m/s0.2100.2
m/s4.0)0.5 4.0(
tdt
d
dt
dva
tdt
d
dt
dva
y
y
xx
2m/s) 0.24.0( yx eea
0.5 4.0 tvx 10 0.2 tv y
222 m/s0.22.4 yx aaaa
O módulo da aceleração e ângulo
0.54.0
0.2
x
y
a
atg o79
9
1010
1.3 Movimento em três dimensões
zyx ezeyexr
Para um movimento em três dimensões o vector posição é
zzyyxx evevevv
A velocidade é
zzyyxx eaeaeaa
A aceleração é
r
xe
ye
ze
x
z
y
zmzymyxmx evevevv
A velocidade média é
zmzymyxmx eaeaeaa
A aceleração média é