1. NUMERO DE PRÁCTICA.

2

2. NOMBRE.

DETERMINACIÓN DE COEFICIENTE DE FRICCIÓN EN TUBERÍAS.

3. OBJETIVO:

Desarrollar la competencia para determinar el coeficiente de fricción en tuberías de diferentes materiales y su

relación con la caída de presión en flujos

4. INTRODUCCION.

Todos los fluidos son viscosos, pero en ciertas situaciones y bajo ciertas condiciones, un fluido puede ser

considerado ideal o no viscoso. En este apartado, se consideran fluidos viscosos y la influencia de la viscosidad

conforme afecta al flujo.

La existencia de dos tipos de flujo viscoso es un fenómeno aceptado universalmente. El humo que emana de un

cigarro encendido es visto como un flujo suave y uniforme durante una longitud pequeña de su fuente, después

ocurre un cambio abrupto hacia un flujo muy irregular, con un patrón inestable. Un comportamiento similar puede

ser observado en el agua que fluye lentamente en un grifo.

La existencia de estos dos flujos fue descrita detalladamente por Osborne Reynolds en 1883. Su experimento clásico

es ilustrado en la figura. El agua fluye a través de tubos transparentes cuyo flujo es controlado por una válvula. Se

introduce tinta con la misma gravedad específica que el agua dentro del tubo abierto y se observa su

comportamiento. A bajas velocidades de flujo, los patrones de la tinta son regulares y se forma una sola línea. A altas

velocidades de flujo, la tinta se dispersa a través del tubo debido a un movimiento muy irregular del fluido. El flujo

regular fue denominado “laminar” y al flujo caótico se le denominó “turbulento”.

La diferencia en la apariencia de la tinta se debe a la naturaleza ordenada del flujo laminar para el primer caso y el

carácter aleatorio del flujo turbulento en el último caso. La transición del flujo laminar al turbulento, es una función

El nivel del agua

baja conforme el

flujo continúa

Tinta

Entrada

suave Tubo largo

Válvula para control de

velocidad

Salida

Baja velocidad del flujo (Re<2100). El

filamento permanece recto indicando flujo

laminar

Re>40000. El filamento se rompe

indicando flujo turbulento

Filamento de tinta

dv

dy

de la velocidad de flujo. Reynolds encontró que la viscosidad determina la naturaleza del flujo en los tubos, además

de otras variables: el diámetro del tubo, la densidad del fluido y la viscosidad del fluido. Estas cuatro variables

combinadas en un parámetro adimensional tienen la forma:

vDRe

Este parámetro adimensional es el número de Reynolds nombrado, en su honor, de esta manera.

El flujo de un fluido real es más complejo en su estudio, que el flujo de un fluido ideal. El establecimiento de las

ecuaciones de gobierno en derivadas parciales, por ejemplo, generalmente no admiten una solución simple. Existen

dos modelos del comportamiento de un líquido moviéndose en un conducto, obtenidos de la observación

experimental: el modelo de flujo laminar y el modelo de flujo turbulento. Se muestran a continuación sus principales

características.

Para un flujo laminar, el modelo básico unidimensional, considera el deslizamiento del fluido en “láminas” (placas).

De esta forma explica la aparición de esfuerzos cortantes, al proponer que la capa que corresponde a la pared del

ducto está fija y que la primera capas de fluido se desliza con respecto a esta pared fija, en forma similar al

deslizamiento de las capas de fluido entre sí. Suponiendo un gradiente de velocidades y ubicando la mayor

velocidad del fluido cerca del centro del conducto. Los esfuerzos cortantes asociados se proponen como

dependientes de la viscosidad. El esfuerzo cortante varía de acuerdo a la relación

En régimen laminar, las partículas se mueven según trayectorias paralelas (formando capas)

Se considera que los módulos de la velocidad en capas adyacentes no tienen el mismo valor

La viscosidad es la magnitud física predominante y amortigua cualquier tendencia a la turbulencia. En la mayoría de

los casos prácticos, el flujo laminar se presenta cuando el número de Reynolds es menor a 2000.

Re 2000vLD

Flujo laminar

La distribución de velocidades en una sección recta, es parabólica. La velocidad máxima tiene lugar en el eje de la

tubería y es igual al doble de la velocidad media.

La ecuación que da el perfil de velocidades es:

Perfil de velocidades en un flujo laminar viscoso.

El modelo propuesto para el análisis, es un elemento cilíndrico de radio r y de longitud L. El radio interior del

conducto se designa con R. Se supone que el elemento está sujeto a presiones diferentes en sus extremos.

De acuerdo al régimen laminar propuesto, se supone también que una fuerza tangencial se manifiesta en la superficie lateral del cilindro, provocando un esfuerzo cortante.

El análisis se hace, unidimensionalmente, a partir de las

condiciones de equilibrio estático. Así, debe cumplirse:

Considerando al esfuerzo cortante como la acción de

una fuerza tangencial con respecto al área lateral del

cilindro:

Considerando al esfuerzo cortante dependiente de la

viscosidad:

Al combinar las expresiones para el esfuerzo cortante y despejando a la fuerza tangencial, se obtiene:

Al sustituir Ft en la ecuación de equilibrio, se llega a:

Al considerar que A = r2, la ecuación queda:

2 1 2 2

4r

p pv R r

L

1 2 0p A p A F

2

F F

A rL

dv dv

dy dr

2dv

F rLdr

1 2 2 0dv

p A p A rLdr

Dividiendo entre r y despejando dv

Al integrar dv entre r y R:

Considerando que vR = 0, finalmente:

Esta ecuación permite obtener la velocidad teórica del fluido a cualquier distancia r del centro del conducto. Es la

ecuación que define el perfil de velocidades en el flujo laminar viscoso.

Pérdida de carga (energía) debida a la fricción

El término Hf

correspondiente a la pérdida de carga en la ecuación de Bernoulli, se interpreta como la energía

aprovechada para vencer la resistencia al flujo.

Al aplicar el teorema de Bernoulli en un tramo de tubería horizontal, con diámetro constante D y en régimen

permanente (que no varía en el tiempo):

En virtud de tener flujo permanente y debido a la

horizontalidad del tubo, es válido suponer:

Por consiguiente:

Puede deducirse entonces, que la pérdida de carga por

fricción es equivalente a una pérdida de presión.

Ecuación de Darcy

2 2

1 2

2

1 2

2 0

2 0

dvp r p r rL

dr

dvr p p rL

dr

2 2

1 2

2

1 2

2 0

2 0

dvp r p r rL

dr

dvr p p rL

dr

1 2 2 0dv

r p p Ldr

1 2 2 1

2 2

r p p dr p p rdrdv

L L

2 1

2

p p rdrdv

L

2 1 2 2

4r

p pv R r

L

2 1 2 1 2 2

2 4

R R

r Rr r

p p rdr p pdv R r v v

L L

2 2

2 2 1 12 1

2 2f

p v p vz z H

g g

1 2

1 2

z z

v v

2 1

1 2

f

f

p pH

p pH

Para el cálculo de las pérdidas de carga es de importancia tener en cuenta dos características principales: si la tubería

es lisa o rugosa si el régimen es laminar o turbulento.

La ecuación que proporciona la pérdida de carga en tuberías es la ecuación de Darcy-Weisbach

Donde:

Hf _ pérdida de carga

f_ coeficiente de fricción

L _ longitud de la tubería con sección constante

D _ diámetro interior de la tubería

v _ velocidad media en la tubería

Los esfuerzos experimentales están enfocados a determinar los valores de f.

La ecuación de Darcy es una ecuación empírica; sin embargo, su validez ha resultado incuestionable. A continuación

se presenta un desarrollo de la misma a partir del análisis dimensional.

Para un fluido cualquiera la pérdida de carga viene dada por la caída de presión y es una medida de la resistencia

presentada al flujo a través de la tubería. Si se considera a la caída de presión como una función de: el diámetro de la

tubería D, la viscosidad y la densidad del fluido , la longitud de la tubería L, la velocidad del fluido v y la rugosidad K’ de la tubería, entonces, se puede escribir:

1 2 , , , , ,P P f D L v K

Si proponemos una rugosidad relativa K’ = k/D, de acuerdo a la técnica del análisis dimensional, al proponer

exponentes para las variables, la expresión anterior quedaría:

1 2

h

a b c d e kP P C D L v

D

Al continuar aplicando la técnica de análisis, cada variable se expresa en función de sus magnitudes fundamentales.

1 2 0 2 2 4 1

h

a b b b c c c e e LF L T L F T L F T L L L T

L

Al igualar los exponentes de F, T y L, del lado izquierdo de la ecuación con los correspondientes al lado derecho de

la misma, se obtiene un sistema de 3 ecuaciones con 5 incógnitas:

1

2 2 4 1

0 2

b c

a b c e h h

b c e

Mediante un manejo algebraico, a, b y c pueden ponerse en función de e:

1

2

3

c e

b e

a e

Al retomar la función exponencial, con los exponentes en función de e:

3 2 1 1

1 2

h

e e e e kP P C D Lv

D

Al dividir, ambos miembros de la ecuación, entre el peso específico

2

2f

L vH f

D g

3 2 1 1

1 2

he e e eC D Lv k DP P

g

Al multiplicar por 2/2 el lado derecho de la ecuación, la igualdad no es alterada:

3 2 1 1

1 22

2

he e e eC D Lv k DP P

g

Se arreglan los términos buscando que la mayoría de términos tengan un exponente e-2:

21 1 2 2

2

1 2

1

22

hee e

e

D ke L v v

D DP PC

g

Al agrupar los términos con exponente e-2, es posible observar que su combinación es equivalente a Re e-2

2 2 22

2

1 2

1

22

e e e

h e

D vL v

DP P kC

D g

2

1 2 2

1

2 Re2

h

e

L vP P Dk

CD g

Los demás términos se agrupan en un formato similar a la ecuación de Darcy

21 2 22 Re

2

h

eP P k L v

CD D g

21 2

2

P P L vf

D g

Es claro que el factor f depende de la rugosidad relativa k/D y del número de Reynolds Re.

Rugosidad.

La rugosidad es un parámetro importante en la determinación de las pérdidas de carga en flujos. La rugosidad k se

define como la media aritmética de la altura de las imperfecciones de una superficie con respecto a un plano ideal de

referencia

La rugosidad relativa es la rugosidad referida al diámetro de la tubería k/D. También es posible su manejo en la

forma D/k.

Los tubos construidos de cristal, Cu, Al, latón o plástico, se consideran hidráulicamente lisos. En cambio, los tubos

que mayormente se utilizan en las instalaciones industriales, edificios de viviendas, etcétera, son generalmente de

hierro galvanizado, aceros comerciales, aceros inoxidables, y otros materiales que presentan rugosidades en las

paredes.

En régimen laminar, la rugosidad de las paredes no afecta al factor de fricción; en cambio, en régimen turbulento la

rugosidad sí influye sobre la distribución de velocidad y el factor de fricción.

Régimen laminar Régimen de transición Régimen turbulento

f = f (Re) f = f (k/D) F = f (k/D, Re)

Calculo de f para un régimen laminar. Liso o rugoso. (Re<2000)

Para este tipo de flujo, es válida la ecuación de Poiseuille:

2 1 2

32 Lvp p

D

Al multiplicar y dividir por 2rgv

Al considerar que:

Se concluye:

Calculo de f para regímenes laminar o turbulento. Liso o rugoso. (Re>2000)

Existen diversas maneras de aproximarse al valor de del coeficiente de fricción. Los investigadores proponen varios

enfoques y los corroboran con resultados experimentales o con los resultados de otros investigadores. Se presenta

enseguida un resumen, no exahustivo, de las expresiones que podrían emplearse.

2000<Re

Régimen

laminar f = f (Re)

2000<Re<10000

Régimen de

transición f = f (k/D)

Re>10000

Régimen

turbulento f= f (k/D, Re)

Tubería

lisa

Blasius

Tubería rugosa

Karman2

Chen

Colebrook

Otra manera de obtener el valor de f, con confianza suficiente para emplearlo en la solución de problemas o en el

diseño, es el denominado diagrama de Moody. Este diagrama es la representación gráfica de algunas de las

ecuaciones anotadas en el cuadro anterior. Cada línea corresponde a un determinado valor de rugosidad relativa k/D.

La intersección de una de estas líneas con la proyección vertical del punto correspondiente al número de Reynolds, para un flujo determinado, proporciona un punto de referencia. La proyección horizontal del punto de referencia,

sobre el eje vertical izquierdo, corresponde al valor del coeficiente de fricción buscado.

2 1 2

2

2

2 1 2 1

32 2

2

64

2

64

Re 2

Lv gvp p

D gv

L vg

Dv D g

p p p pL v

g D g

2

1 2 64

Re 2f

p p L vH

D g

10

12log 1.74

2

D

k

1.1098

0.8981

1 1 5.0452 1 5.8062log log

3.7065 Re 2.8257 Re

k k

D D

10

1 2.512log

3.7 Re

k D

1 2f

p pH

64

Ref

64

Ref

64

Ref

1/4

0.316

Ref

5. RELACION CON LOS TEMAS DEL PROGRAMA

UNIDAD TEMA SUBTEMA

1 Flujo a través de orificios y

conductos cerrados.

1.2. Conductos cerrados.

1.2.1. Número de Reynolds. Flujos: laminar y Turbulento

1.3. Coeficiente de fricción. Ecuación de Darcy -Weisbach.

Diagrama de Moody y sus ecuaciones (Nikuradse, Coolebrok).

6. MATERIAL Y EQUIPO:

Tuberías de diferentes diámetros y

materiales

Agua

Bomba centrífuga

Depósito amplio ( V > 0.075 m3)

Manómetros (0 – 10 kg/cm2)

Papel milimétrico

Flexómetro

Vernier.

Tubería PVC

Tubería de cobre

Tubería de Fe galvanizado

Equipo y material para conectar tuberías.

7. METODOLOGIA:

Se formarán equipos de 5 estudiantes cuya primera actividad será visitar el Laboratorio e indagar acerca del material

y equipo con que se cuenta. A partir de esta información, elaborarán un plan para realizar la práctica. En el plan

debe incluirse una lista con detalles muy específicos acerca de las cantidades de las sustancias y características del equipo y materiales que se emplearán. En forma conjunta con el profesor, emprenderán las acciones necesarias para

allegarse estos recursos en la fecha, hora y lugar que acuerden. Otro elemento que deberá tomarse en cuenta en la

planeación debe ser la asignación de las actividades de cada miembro del equipo.

Esta actividad previa es importante, porque el equipamiento del laboratorio puede permitir varias formas de lograr la

medición de un determinado parámetro. En los anexos hay información sobre diferentes aspectos del manejo del

equipo didáctico o del manejo del software.

Anexo 5. Manejo del banco hidráulico Armfield Limited C6.

Después de consensuar la planeación de las actividades, estas se llevarán a cabo de acuerdo a lo establecido en esa planeación.

Posteriormente a la ejecución de las actividades, ya sea por equipo o individualmente, según se haya acordado, los

alumnos elaborarán un reporte de acuerdo a lo indicado en el apartado 9 (Reporte del alumno). Deberá ponerse

atención a lo solicitado de acuerdo a la lista de cotejo. Para fines de evaluación, los aspectos solicitados en la lista de

cotejo se consideran indispensables. Los aspectos no solicitados, aunque sean reportados, tienen una ponderación

menor en el esquema de evaluación (ver rúbrica).

Parte 1. Familiarización con el modelo matemático.

Objetivo:

El alumno desarrolla una expresión matemática para calcular el coeficiente de fricción de un tramo de tubería a

partir de los valores de variables medibles.

1.1 Tomando como referencia la ecuación que relaciona la pérdida de carga con la caída de presión en un flujo, cada

equipo propondrá la manera de relacionar esta ecuación y la ecuación de Darcy, para obtener una expresión que permita el cálculo del coeficiente de fricción de una tubería por la cual circule un líquido.

1 2f

p pH

2

2f

L vH f

D g

?f

Parte 2. Selección de las instalaciones

Objetivo:

El equipo de alumnos propone o selecciona la instalación para experimentar

2.1 El equipo propondrá los componentes de un circuito hidráulico y su instalación, para que pueda comprobarse

experimentalmente la validez de la expresión encontrada en el paso anterior. Explicarán cuáles valores pueden

medirse directamente y cuáles pueden ser inferidos de alguna otra medición. Propondrán también los instrumentos de medición requeridos.

Nota: Si el Laboratorio cuenta con un banco didáctico o con equipo que pueda utilizarse para cumplir el

objetivo, el equipo de alumnos explicará por escrito como puede comprobarse la validez de la expresión

encontrada en el paso anterior, empleando esos elementos.

Parte 3. Experimentación.

Objetivo:

Se obtendrán comprobaciones de la validez de las ecuaciones empleadas

3.1 Después de armar su circuito ó empleando el equipo seleccionado, los integrantes del equipo realizarán la

experimentación suficiente y necesaria que les permitan obtener datos para elaborar gráficas del coeficiente de

fricción (f) contra el número de Reynolds (Re) en una tubería, empleando 5 diferentes gastos volumétricos.

Material

de la

tubería

Viscosidad

del líquido

Peso

específico

Diferencia

de

presiones

Diámetro

interior

Gasto

volumétrico

Velocidad

media

Número de

Reynolds

Factor de

fricción

3.2 Después de armar su circuito ó empleando el equipo seleccionado, los integrantes del equipo realizarán la

experimentación suficiente y necesaria que les permitan obtener datos para elaborar gráficas del coeficiente de

fricción (f) contra el número de Reynolds (Re), manteniendo fijo el gasto volumétrico y empleando:

o 3 Diámetros diferentes de tubería del mismo material

o 3 Tuberías del mismo diámetro, de materiales diferentes.

3.2 Tomando como referencia los datos obtenidos y auxiliándose con un diagrama de Moody, estimarán el valor de

la rugosidad de la tubería para cada uno de los experimentos.

8. SUGERENCIAS DIDACTICAS.

Es conveniente repasar previamente, en forma conjunta, la planeación de cada equipo. El profesor motivará a los

alumnos para que expresen sus dudas y les acompañará en la búsqueda de respuestas. Se recomienda que la

realización de la práctica sea asincrónica con respecto a los tiempos de clase en el aula. El docente deberá asegurarse que los alumnos no tengan dudas acerca de los propósitos de la práctica antes de autorizar su ejecución, ni de la

metodología a emplear.

El profesor deberá participar en la planeación de las actividades y aplicar el esquema de evaluación que previamente

les dé a conocer a los estudiantes.

9. REPORTE DEL ALUMNO

Es importante que los alumnos revisen la lista de cotejo de las evidencias del trabajo práctico.

El alumno deberá incluir en su reporte, evidencias de los siguientes aspectos:

9.1 Hoja de datos generales utilizando el formato ex profeso (anexo del manual de prácticas))

Parte1. Familiarización

Por equipo:

Explicación del procedimiento empleado para obtener la expresión para calcular el coeficiente de fricción,

acompañado de las operaciones algebraicas realizadas y demostrando la homogeneidad dimensional.

Parte 2. Selección de las instalaciones

Por equipo:

Explicación de los criterios empleados para la selección del equipo de pruebas.

Esquema del experimento armado.

Video de una corrida del experimento

Explicación del procedimiento empleado para obtener los datos.

Parte 3. Experimentación.

Por equipo:

Tablas de datos obtenidos experimentalmente y por cálculo.

Material

de la

tubería

Viscosidad

del líquido

Peso

específico

Diferencia

de

presiones

Diámetro

interior

Gasto

volumétrico

Velocidad

media

Número de

Reynolds

Factor de

fricción

Rugosidad

estimada

Gráfica de los datos obtenidos experimentalmente sobre la tubería, manteniendo el gasto volumétrico fijo.

Explicación del procedimiento empleado para determinar la rugosidad de la tubería empleando el diagrama

de Moody

Un ejemplo de la aplicación del procedimiento descrito en el paso anterior anexando copia del diagrama de

Moody empleado.

Conclusión (referida al objetivo de la práctica y que incluya lo observado en todos los experimentos)

10. BIBLIOGRAFIA BASICA

1. Giles, Ranald. Mecánica de los fluidos e hidráulica. Editorial Mc Graw Hill. 2. Mott, Robert. Mecánica de Fluidos. Editorial Prentice Hall. 4ª edición.

3. Mataix, Claudio. Mecánica de fluidos y maquinas hidráulicas. Editorial Oxford. 2ª edición.

4. Streter, Victor L. y Wylie, E. Benjamín. Mecánica de los fluidos. Editorial Mc Graw Hill.

5. King Orase W, Wiler Chester O. y Woodburn James G. Hidráulica. Editorial Trillas.

6. Whithe Frank M. Mecánica de fluidos. Editorial Mc Graw Hill.

7. Hansen Arthur G. Mecánica de fluidos. Editorial Limusa.

8. Bertin, John J. Mecánica de fluidos para ingenieros. Editorial Prentice Hall.

9. Potter, Merle C y Wiggert David C. Mecánica de fluidos. Editorial Thomson. 3ª

HOJA DE COTEJO PARA ENTREGA DE EVIDENCIAS. PRACTICA 2

EVIDENCIA SI NO

Parte 1

Explicación del procedimiento empleado para obtener la expresión para calcular el

coeficiente de fricción

Acompañado de las operaciones algebraicas realizadas

Demostrando la homogeneidad dimensional

Parte 2

Explicación de los criterios empleados para la selección del equipo de pruebas

Esquema del experimento armado.

Video de una corrida del experimento

Explicación del procedimiento empleado para obtener los datos.

Parte

3

Gráfica de los datos obtenidos experimentalmente sobre la tubería, manteniendo el gasto

volumétrico fijo.

Explicación del procedimiento empleado para determinar la rugosidad de la tubería

empleando el diagrama de Moody

Un ejemplo de la aplicación del procedimiento descrito en el paso anterior anexando

copia del diagrama de Moody empleado

Conclusión (referida al objetivo de la práctica y que incluya lo observado en todos los

experimentos)