1 Números reales - …ies.julioverne.leganes.educa.madrid.org/web/attachments/669... · La prueba contiene los conceptos más importantes de la unidad. Se ha hecho hincapié en conceptos

411� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

Números reales

CONTENIDOS

NÚMEROS REALES

• Números racionales.• Números irracionales.• Números reales.• La recta real.• Intervalos.• Aproximaciones.• Errores en la aproximación.

SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN

PRUEBA INICIAL

La prueba inicial es un resumen de los contenidos de lasUnidades 1 y 2 del curso anterior sobre números racio-nales y números reales, haciendo hincapié en los proce-dimientos básicos: interpretación y operaciones con nú-meros decimales y fracciones, representación gráfica delos números racionales y aproximaciones.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba contiene los conceptos más importantes de launidad. Se ha hecho hincapié en conceptos procedimen-tales y gráficos: diferentes formas de expresar los núme-ros reales como fracción, como decimal, su represen-tación en la recta, etc. Al final hay un par de cuestionesreferidas a las aproximaciones y medidas de error.

1INTRODUCCIÓN

El núcleo central de la unidad es el trabajo con losnúmeros reales. Se comienza repasando los númerosracionales, la equivalencia entre los números decimalesy las fracciones y la transformación de unos en otros. A partir de aquí, se define el número irracional.

Se practicará con las transformaciones de númerosdecimales en fracciones, y viceversa, de forma que los alumnos entiendan cuál es el sentido de estatransformación.

El concepto de número irracional es básico paraestudios posteriores y se trabajará tanto de formaanalítica como gráfica. Se amplía el concepto de rectareal, a partir de los números racionales e irracionales, y la representación de números y de intervalos.

A lo largo de la unidad, conviene hacer reflexionar a los alumnos sobre la presencia de los númerosirracionales en distintos contextos relacionados con laslongitudes, áreas, etc., así como las diferentes formasde cálculo con dichos números: exacta o aproximada.Las aproximaciones y estimaciones numéricasconstituyen una herramienta del cálculo y se hatrabajado en cursos anteriores. Conviene resaltar el análisis de los resultados a partir de la valoración de los errores y determinar, en cada caso, el método deresolución más adecuado. Respecto al cálculo exactocon radicales se estudiará en la unidad siguiente.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Esta unidad enlaza directamente con las unidades 1 y 2 del curso anterior, completando el trabajo con los números. En consecuencia, será necesario repasar los conceptos y procedimientosde esas unidades. Los conceptos básicos son:

• Lectura, escritura y representación de númerosdecimales.

• Operaciones sencillas con números decimales y fracciones.

• Conversión de números decimales en fracciones.

• Aproximaciones con números decimales.

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EVALUACIÓN INICIAL

Completa la siguiente tabla indicando a qué conjuntos pertenecen los números.

En una tienda de tejidos miden con un metro defectuoso de exactamente 984 mm. Si una clienta compra 12 metros de tejido que cuesta 4,55 €/m, ¿cuánto le han cobrado de más?

Toma como unidad el cuadrado mayor, y escribe la fracción irreducible que representa la parte sombreada en cada caso.

Sin operar clasifica los números en enteros, decimales exactos o decimales periódicos.

a) b) c) d)

Luego, escribe la expresión decimal exacta y redondeada a las centésimas. Representa los resultados de los apartados a) y b) de forma precisa en la recta real.

Opera y simplifica.

5

9

3

4

5

7

15

2⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

:

5

35

15

128

8

8

7

7

8

4

3

2

1

NÚMEROS REALES1

� � � � �

−13

7

8

2

23

−7 8,�

a) b) c) d)

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� MATEMÁTICAS 4.° B ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES

Completa la siguiente tabla indicando a qué conjuntos pertenecen los números.

En una tienda de tejidos miden con un metro defectuoso de exactamente 984 mm. Si una clienta compra 12 metros de tejido que cuesta 4,55 €/m, ¿cuánto le han cobrado de más?

Error en cada metro: 1 − 0,984 = 0,016 metros ⎯⎯⎯⎯⎯→ 0,192 metros ⎯⎯⎯⎯⎯→ 1,02 €

Toma como unidad el cuadrado mayor, y escribe la fracción irreducible que representa la parte sombreada en cada caso.

a) b) c) d)

Sin operar, clasifica los números en enteros, decimales exactos o decimales periódicos.

a) b) c) d)

Luego, escribe la expresión decimal exacta y redondeada a las centésimas. Representa los resultados de los apartados a) y b) de forma precisa en la recta real.

a) b) c) d)

D. exacto D. periódico Entero D. periódico

Opera y simplifica.

59

315 40420

5 2753 780

1 37= ⋅ − = ⋅ =.

. 553 780

275756.

=5

9

3

4

5

7

15

2⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

:

5

3515

2 3 2 3= =, ,�

3128

816=8

71 142857 1 14= =, ,�7

80 875 0 88= =, ,

35

15

128

8

8

7

7

8

4

2 8100

425

⋅ =4 9100

925

⋅ =3 5100

320

⋅ =4 6100

625

⋅ =

3

2

1

413

� � � � �

−13

7

8

2

23

−7 8,�

∈ ∈

∈∈∈ ∈

∈∈

∈∈

12 metros 4,55 €/m

a) b) c) d)

−2 −1 0 1 278

−2 −1 0 1 2 387

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EVALUACIÓN DE LA UNIDADcontenidos

Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales.

a) 0,410034100341003...

b) 2,101001000100001...

c) 1,222333344444…

d) 2,123412341234…

Expresa los números decimales como fracciones, y viceversa.

a) 3,14 d)

b) e)

c) f)

Representa, de forma exacta en la recta real, los siguientes números.

a) b) c) −1

Representa en la recta real los intervalos y conjuntos.

a) A = (0, 5) c) C = [−5, +�)

b) B = [−3, 2) d) D = ⏐x ⏐ ≤ 3

4

1

35

3

809

110

11

20

20 321,�3

7

5 3,�

2

1Reconocimiento de larelación de los númerosracionales e irracionales

con los números decimalesperiódicos e ilimitados

no periódicos.

Expresión de un númeroracional en forma

decimal. Obtención de la expresión fraccionaria

de un número decimalexacto o periódico.

Representación en la rectade números reales

e intervalos.

• Enumerar e identificar elementos ....................................................................................................... 1, 3, 4

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones .......................................................... 2, 3, 4, 5

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ...........................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................................................................... 6, 7, 8

CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS

NÚMEROS REALES1829566 _ 0411-0440.qxd 27/6/08 08:50 Página 414


Comprueba si los números y pertenecen o no a los intervalos anteriores.

Dado el número real , escribe:

a) Una sucesión de números decimales por defecto.

b) Una sucesión de números decimales por exceso.

c) Una sucesión de intervalos encajados.

d) Aproximaciones de esta raíz a las centésimas.

El presupuesto de una reparación es de 500 €, con un margen de error del 12 %. ¿Entre qué valores puede oscilar el coste de la reparación?

En las instrucciones de una báscula se indica que su precisión es de 5 centigramos. Pesamos una pila de reloj y la báscula marca 11 gramos y 230 miligramos. ¿Entre qué valores puede oscilar el peso real de la pila? Si suponemos que el peso real de la pila es de 11 gramos y 245 miligramos,¿cuáles son los errores absoluto y relativo cometidos al dar como peso 11 gramos y 230 miligramos?

8

7

116

1415

55

Obtención de una secuenciade aproximaciones

decimales por defecto y por exceso de un número

irracional. Obtención deaproximaciones de números

decimales medianteredondeo y truncamiento

hasta un orden dado.

Determinación del errorabsoluto y el error relativo

de una aproximación y una estimación. Cálculo

de la cota o el margen de error de una

aproximación.

Cálculo de errores y cotas de error de una aproximación

o de una estimación, y expresión en forma

decimal o porcentaje.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................ 1

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .............................................................................................

• Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................... 6

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ...................................................................................... 7, 8


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NÚMEROS REALES1EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Clasificación de números reales.

Son racionales los números de los apartados a) y d) y son irracionales los de los apartados b) y c).

Expresiones decimales y fraccionarias.

a) 3,14= c) e)

b) d) f)

Representación de puntos en la recta.

Representación de intervalos en la recta.

Comprobación de pertenencia.

∈A ∉B ∈C ∈D

∉A ∈B ∈C ∈D

Expresión de un número real en forma de intervalos.

a) = {3; 3,3; 3,31; 3,316; 3,3166; 3,31662; ...}

b) = {4; 3,4; 3,32; 3,317; 3,3167; 3,31663; ...}

c) ⊂ (3, 4) ⊂ (3,3; 3,4) ⊂ (3,31; 3,32) ⊂ (3,316; 3,317) (3,3166; 3,3167) ⊂ ...

d) Por redondeo: = 3,32. Por truncamiento: = 3,31.

Errores (I).

El coste puede oscilar entre: 500 −12 % y 500 + 12 % → (440, 560) euros.

Errores (II).

El peso real puede estar entre 11,230 ±0,05, es decir, entre 11,180 y 11,280.

Error absoluto: Ea = ⏐11,245 − 11,230⏐= 0,015

Error relativo: Er = = 0,0013339... → 0,133%0 01511 245

,,

8

7

1111

11

11

11

6

−145

−145

−145

−145

5555

5

4

3

809110

7 354= , �5 3489

,�=3

70 428571= ,�

20 32118 289

900,

.�=11

200 55= ,

314100

15750

=

2

1

−1

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 1 2 513

AB

DC

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Potencias y radicales

CONTENIDOS

POTENCIAS Y RADICALES

• Potencias de exponente entero.

• Notación científica.

• Radicales.

• Potencias de exponente fraccionario.

• Operaciones con radicales.

• Racionalización.


PRUEBA INICIAL

Esta prueba contiene unas actividades de repaso de po-tencias y trabajo con números decimales y en notacióncientífica, y es un resumen de los contenidos de la uni-dad 2 del curso anterior. Se hace énfasis en los aspec-tos procedimentales de las operaciones con potencias,por lo que es necesario realizar un repaso previo de laspropiedades de las potencias con exponente natural oentero.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba tiene dos partes claramente diferenciadas:la primera parte está formada por una serie de activi-dades referidas a potencias y notación científica (activi-dades 1 a 5): cálculo con potencias de exponente en-tero y trabajo con números en notación científica, y lasegunda parte se refiere al cálculo con radicales (acti-vidades 6 a 10), siendo las actividades 8 a 10 de opera-ciones con radicales y racionalización, que presentanmás dificultad para los alumnos.

2INTRODUCCIÓN

En esta unidad se trabajan sobre todo losprocedimientos de manipulación de los númerosreales expresados como potencias, radicales y en notación científica, necesarios para trabajar con la calculadora. Es una unidad básicamenteprocedimental. No resulta difícil trabajar con las potencias, pero sí es complicado trabajar con los radicales, por lo que conviene conocer sus propiedades, y por ello será imprescindibleexplicar las relaciones que tienen con las potenciaspara que los alumnos lo entiendan mejor.


Esta unidad está relacionada con las Unidades 1 y 2 del curso anterior y la unidad anterior de este curso.Los conocimientos previos que deben tener los alumnos son:

• Potencias con base y exponente enteros.• Trabajo con números decimales y en notación

científica.

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Escribe la base, el exponente y calcula estas potencias.

Calcula las siguientes potencias. a) b)

Expresa como una sola potencia:

Calcula y simplifica la siguiente potencia:

Escribe en notación científica los números o expresiones numéricas.

a) 1.700.000.000 b) 0,0000000017 c) 0,0025 + 0,00000032 − 0,00002

Un glóbulo rojo tiene forma de cilindro, con un diámetro de 7 millonésimas de metro y 2 millonésimas de altura. Expresa el volumen del glóbulo en notación científica.

6

5

8 4 2 3⋅( )−4

3 913

2 3

4

2⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟

−−

⋅ 273

( )−( )−3 2 21

5

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

2

1


EVALUACIÓN INICIAL

POTENCIAS Y RADICALES2

Base Exponente Resultado

1

5

4⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

7

2

23

3−2

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Escribe la base, el exponente y calcula estas potencias.

Calcula las siguientes potencias. a) b)

a)

b)

Expresa como una sola potencia:

Calcula y simplifica la siguiente potencia:

Escribe en notación científica los números o expresiones numéricas.

a) 1.700.000.000 b) 0,0000000017 c) 0,0025 + 0,00000032 − 0,00002

a) 1.700.000.000 = 1,7 ⋅ 109

b) 0,0000000017 = 1,7 ⋅ 10−9

c) 0,0025 + 0,00000032 −0,00002 = 2,48032 ⋅ 10−3

Un glóbulo rojo tiene forma de cilindro, con un diámetro de 7 millonésimas de metro y 2 millonésimas de altura. Expresa el volumen del glóbulo en notación científica.

El volumen de un cilindro es: V = b ⋅ h, siendo la base un círculo.

V = ⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅− − −ππ 7

210 2 10

49 24

106

2

6 12ππ ++ −( ) −= ⋅6 17 37 7 10, m

6

5

8 4 2 2 2 2 2 22 3 3 2 2 33 4 3 1 3

⋅( ) = ( ) ⋅ ( )( ) = ⋅( ) = ( ) =− − − − −33

8 4 2 3⋅( )−4

3 913

27 3 3 3 32 3

4

2 2 3 1 4⋅ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟ ⋅ = ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅−

− − − 33 2 1 6 4 6 1 6 4 6 53 3 3 3 3 3( ) = ⋅ ⋅ ⋅ = =− − + + + −( )

3 913

2 3

4

2⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟

−−

⋅ 273

−( )( ) = −( ) =−( )

= =− −

3 31

3

13

181

2 2 4

4 4

15

5 5 252

1 2 2⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟ = ( ) = =−

− −

( )−( )−3 2 21

5

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

2

1

419

2

3

3

−2

−4

2

8

625

− 37

949

19

15

Base Exponente Resultado

1

5

4⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

7

2

23

3−2

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Opera, aplicando las propiedades de las potencias.

Expresa en notación científica.

a) 0,000075

b) 159 millones

c) 6 cienmilésimas

d)

Escribe en forma decimal o entera estos números expresados en notación científica.

a) 3 ⋅ 107

b) 2,7 ⋅ 10−4

Halla el valor de: 1,32 ⋅ 104 +

En cada caso, calcula el valor de x para que se cumpla la igualdad.

a) x3 = 8

b)

c) 2x = 512

d) x5 = −0,00032

e) 9 = x

x = 2

5

4 76 10 3 2 108 5 10

3 11

3

, ,,

⋅ ⋅ ⋅⋅

−

4

3

32

10 000.

2

0 2

0 5

0 3

1 000

16

5

5

1

3,

,

,

.

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥−

−

1Interpretación de potencias.Realización de operaciones

con potencias aplicando sus propiedades.

Expresión de números en notación científica.

Cálculo con números en notación científica.

Reconocimientode las partes de un radical

y su significado.

• Enumerar e identificar elementos ..................................................................................................... 2, 3

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ...........................................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................ 1, 2, 8

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .........................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ......................................................................................... 1, 4, 7, 8, 9


POTENCIAS Y RADICALES2829566 _ 0411-0440.qxd 27/6/08 08:50 Página 420


Extrae fuera del signo radical todos los factores que puedas.

a)

b)

c)

d)

Efectúa estas sumas y restas de radicales.

a)

b)

Realiza los siguientes cálculos.

a)

b)

Racionaliza estas expresiones.

a)

b)1

2 3 3 2−

6 2

85

9

a b ac abc

c a b c b a b c

2 3 53

5 2 2 33

⋅

⋅

4 6 2 3

5 18 3 32

⋅

⋅

8

3 5 3 2 3 4 243 2 27+ + − +

2 2 3 32 6 8 5 2 4 32− + + +

7

27

125

80 000.

1

128

3433

6Simplificacióny amplificación de radicales.Operaciones con radicales.

Racionalizaciónde expresiones con raíces

en el denominador.

421

• Clasificar y discriminar según criterios .............................................................................................. 2, 5

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ...........................................................................................

• Combinar, componer datos, resumir, etc. .........................................................................................

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .................................................................................... 5


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POTENCIAS Y RADICALES2EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Operaciones con potencias.

Notación científica (I).

a) 0,000075 = 7,5 ⋅ 10 −5 c) 6 cienmilésimas = 6 ⋅ 10 −5

b) 159 millones = 159 ⋅ 106 = 1,59 ⋅ 108 d) = 32 ⋅ 10−4 = 3,2 ⋅ 10 −3

Notación científica (II).

a) 3 ⋅ 107 = 30.000.000 b) 2,7 ⋅ 10−4 = 0,00027

Operaciones con notación científica.

Igualdades potenciales y exponenciales.

a) x3 = 8 → x = 2 c) 2x = 512 → x = 9 e) → x = ± 3b) → x = 4 d) x5 = −0,00032 → x = −0,2

Simplificación de radicales.

a) c)

b) d)

Sumas y restas con radicales.

a)

b)

Productos y cocientes con radicales.

a) b)

Racionalización.

a)

b) =1 2 3 3 2

2 3 3 2 2 3 3 2

2 3 3 212 18

2 3 3 2⋅ +( )+( ) ⋅ +( )

= +−

= − +66

1

2 3 3 2−

= 6 2 2

2 2

6 2 22

3 2 3 825

35 25

2 410610 5⋅

⋅= ⋅ = =6 2

85

9

= cab

cba2

3a b ac abc

c a b c b a b c

2 3 53

5 2 2 33

⋅

⋅= 2

15

4 6 2 3

5 18 3 32

⋅

⋅

8

= 8 3 4 3 3 2 3 3 22 32− ⋅ + ⋅ = −3 5 3 2 3 4 243 2 27+ + − +

= 2 2 3 4 2 6 2 2 5 2 4 4 2 23 2− ⋅ + ⋅ + + ⋅ =2 2 3 32 6 8 5 2 4 32− + + +

7

= 35

35

35

3

3=27

125= 1

212

127 3

=1

128

= 2 5 2 5 2 200 27 4 3 2⋅ = ⋅ =80 000.= =7 7333433

6

x = 2

9 = x

5

1,32 ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⋅

= ⋅104,76 10 3,2 10

8,5 101,32 104

3 11

34

−

++ ⋅⋅

= ⋅ + ⋅ =1,5232 108,5 10

1,32 10 1,792 10 1,911

34 5 224 105⋅

4

3

32

10 000.

2

=

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

−15

12

310

5

5

3

⋅⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

−

−

− −

2

10 52 2 5 2

5 3 2 5 5

12

9 3

5 3 3 12

5 3 9 9 3== ⋅2 5

3

5 4

3

0 2

0 5

0 3

1 000

16

5

5

1

3,

,

,

.

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥−

−

1

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Polinomios y fracciones algebraicas

CONTENIDOS

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

• Polinomios.

• Regla de Ruffini.

• Teorema del resto.

• Raíces de un polinomio.

• Potencia de un polinomio.

• Factorización.

• Fracciones algebraicas.


PRUEBA INICIAL

Esta prueba resume los contenidos fundamentales delos polinomios estudiados en el curso anterior: diferen-ciar expresiones algebraicas de polinomios, identificarlas diferentes partes de un polinomio, reducir y ordenarpolinomios, operaciones sencillas con polinomios, y cal-cular el valor numérico de un polinomio.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba que se ha diseñado contiene actividades rela-tivas a la división de polinomios, la aplicación de la reglade Ruffini y el teorema del resto (actividades 1 a 5), yla factorización de polinomios de forma directa o con frac-ciones algebraicas (resto de actividades).

3INTRODUCCIÓN

En esta unidad se perfecciona el manejo del lenguaje algebraico, que es fundamental en el proceso de abstracción matemático, iniciado en cursosanteriores, y que va a ser necesario para estudiar las Unidades 4 y 5 de este curso, que tratan sobre ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Al finalizar la unidad, los alumnos tendrán que manejarcon soltura la división de polinomios, fundamental en el cálculo de raíces de polinomios, y también los productos notables desarrollados y sin desarrollar.

La regla de Ruffini es también sencilla y suele resultarinteresante para los alumnos. El aspecto más difícil es la factorización, por lo que convendría practicarlacon diferentes ejemplos e indicar los pasos que debenseguirse.

Se termina la unidad con las fracciones algebraicas,que suponen una aplicación de todos los conceptosanteriores.


En la Unidad 3 del curso anterior se trabaja con las expresiones algebraicas. Este manejo de las expresiones es fundamental tanto para esta unidad como en el estudio de ecuaciones y sistemas. Los aspectos más importantes que habrá que revisar son:

• Operaciones con números desconocidos medianteel lenguaje algebraico.

• Cálculo de sumas y restas de monomiossemejantes.

• Determinación de valores numéricos de expresionesalgebraicas.

• Sumas y restas de polinomios.

• Multiplicación de polinomios.

• Desarrollo de las igualdades notables.

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Completa la tabla indicando el grado, el coeficiente y la parte literal de los monomios.

Señala cuáles de las siguientes expresiones son polinomios.

a) b) c) d)

De cada polinomio, señala el grado, el coeficiente principal, el término de grado 3 y el términoindependiente.

Reduce y ordena el siguiente polinomio.

P(x) = 4x − 3x2 + 5 − 3x + 7x3 − 2x2 − 3x3 + 4

Saca factor común en .

Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x + 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 1 M(x) = x + 4

realiza las siguientes operaciones.

a) P(x) − Q(x) b) Q(x) ⋅ M(x)

Dado el polinomio P(x) = 2x3 − 3x2 + x − 1, calcula su valor numérico.

a) x = −1 b) x = 1 c) x = 0 d) x = 2

7

6

723

45

3 2 3 2 2x yz xyz x y z+ −5

4

3

3 73

525 x x+

2

73 2

xx−

2

73 2x

x−x 3 4+

2

1


EVALUACIÓN INICIAL

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS3

Monomio

2x 4

−7ab 2

Coeficiente Parte literal Grado

2

52 3 2m n p

Polinomio

21x3 + 4x2 − 4x

Grado Coeficienteprincipal

Términode grado 3

Términoindependiente

41

48 33 2 5x x x− + −

4

7

3

25 24 3 2x x x x+ − +

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Completa la tabla indicando el grado, el coeficiente y la parte literal de los monomios.

Señala cuáles de las siguientes expresiones son polinomios.

a) b) c) d)

Son polinomios las expresiones pertenecientes a los apartados b) y d).

De cada polinomio, señala el grado, el coeficiente principal, el término de grado 3 y el término independiente.

Reduce y ordena el siguiente polinomio.

P(x) = 4x − 3x2 + 5 − 3x + 7x3 − 2x2 − 3x3 + 4 = (7 −3)x3 + (−3 −2)x2 + (4 −3)x + (5 + 4) == 44x3 −5x2 + x + 9

Saca factor común en .

=

Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x + 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 − 1 M(x) = x + 4

realiza las siguientes operaciones.

a) P(x) − Q(x) = (x4 −2x + 3) − (2x3 −3x2 −1) = x4 −2x3 + 3x2 −2x + 4

b) Q(x) ⋅ M(x) = (2x3 −3x2 + 1)(x + 4) = 2x4 + 5x3 −12x3 − x −4

Dado el polinomio P(x) = 2x3 − 3x2 + x − 1, calcula su valor numérico.

a) x = −1 b) x = 1 c) x = 0 d) x =

a) P(−1) = −7 b) P(1) = −1 c) P(0) = −1 d) P 2 5 2 7( ) = −2

7

6

xyz x z z xy723

45

2 2+ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟7

2

3

4

53 2 3 2 2x yz xyz x y z+ −

723

45

3 2 3 2 2x yz xyz x y z+ −5

4

3

3 73

55 2x x+

2

73 2

xx−

2

73 2x

x−x 3 4+

2

1



425

Monomio

2x4

−7ab2

2

−7

x4

ab2

4

3

m2n3p2 7

Coeficiente Parte literal Grado

2

52 3 2m n p

47

− 34

3x

25

Polinomio

21x 3 + 4x 2 − 4x 3

5

4

21

8

21x3

4x3

0

0

−3

Grado Coeficienteprincipal

Término degrado 3

Términoindependiente

41

48 33 2 5x x x− + −

4

7

3

25 24 3 2x x x x+ − +

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Haz la división entera entre los dos polinomios, señalando el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de la división.

(x 5 − 2x3 − x2 − 60x + 3) : (x− 3)

Completa el algoritmo aplicando la regla de Ruffini, y escribe los polinomiosdividendo, divisor, cociente y resto y la relación que hay entre ellos.

Dado el polinomio P (x) = x3 + 3x2 − x + 4:

a) Calcula P(2).

b) Halla el resto de la división de P(x) entre (x − 2) aplicando la regla de Ruffini.

c) Compara los resultados anteriores. ¿Cómo son?

Mediante la regla de Ruffini o el teorema del resto, averigua si los siguientespolinomios son divisibles por (x − a).

a) x3 − a3 b) x3 + a3 c) x4 − a 4 d) x4 + a4

4

3

2

1Realización de divisionesenteras de polinomios.

Aplicación de la regla de Ruffini para realizar

la división de un polinomioentre el binomio (x − a).

Aplicación del teorema del resto para averiguar

si un polinomio es divisiblepor (x − a).

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................................................. 2

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 5

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 2, 3

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................................................................................... 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8


POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS3

1 2 −4 −5 −2 3

1 1 −5 0 −2

−1

R =

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Calcula el valor de m en P (x) = 8x3 −4x2 + 2x + m para que x = −2sea una raíz del polinomio.

Dado el polinomio P (x) = x 4 + 7x 3 + 12x2 −4x −16, calcula sus raíces y factorízalo.

Halla el valor de k del siguiente polinomio: P (x) = x 4 −9x2 −4x + x,sabiendo que es divisible por x −1. Escribe su descomposición factorial.

Calcula, reduciendo a común denominador.

3

4

3

2

1

4 43 3 2 4 3 2x x x x x x x−−

−+

− +

8

7

6

5Factorización de unpolinomio con coeficientes

enteros hallandolos divisores del término

independiente.

Simplificación de fraccionesalgebraicas y reducción a común denominador.

427

Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... 7, 8

Contrastar operaciones, relaciones, etc. ..................................................................................................................

Combinar, componer datos, resumir, etc. ...............................................................................................................

Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................... 7


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POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS3EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

División de polinomios.

−x5 + 3x4 − 2x3 − 21x2 − 60x + 3 x − 3−x5 + 3x4 x4 + 3x3 + 7x2 + 20x

−x5 + 3x4 − 2x3 − 21x2 − 60x + 3−x5 − 3x4 + 9x3 − x2 + 60x + 3

−x5 + 3x4 + 7x3 − 21x2 − 60 xx+ 3−x5 + 3x4 − 7x3 + 21x2 + 60x + 3

−x5 + 3x4 − 2x3 + 20x2 − 60 xx+ 3−x5 + 3x4 − 2x3 − 20x2 + 60 x + 3

−x5 + 3x4 − 2x3 − 21x2 + 60x + 3

Algoritmo de Ruffini.

D(x) = x5 + 2x4 − 4x3 − 5x2 − 2x + 3d(x) = x + 1 C(x) = x4 + x3 − 5x2 − 2R(x) = 5

Teorema del resto (I).

a) P(2) = 2 3 + 3 ⋅ 22 − 2 + 4 = 22 b) Ruffini:

c) Son iguales.

Teorema del resto (II).

a) P(a) = a3 − a3 = 0 b) P(a) = a3 + a3 = 2a3 c) P(a) = a4 − a4 = 0 d) P(a) = a4 + a4 = 2a4

Teorema del resto (III).

Aplicamos el teorema del resto: Resto = P(−2) = −52 + m

Como el resto ha de ser igual a 0: −52 + m = 0 → m = 52

Teorema del resto (IV).

Las raíces son: x = 1, x = −2 (doble) y x = −4 y la descomposición factorial es:P(x) = (x−1)(x + 2) 2(x + 4)

Descomposición factorial.

Si P(x) es divisible por x −1 → P(1) = 1 −9 −4 + k = 0 → k = 12. Aplicamos Ruffini al polinomio P(x) = x4 −9x2 −4x + 12 y obtenemos las raíces: x = 1, x = −2 (doble) y x = 3.La descomposición factorial es: P(x) = (x −1)(x + 2)2(x −3)

Fracción algebraica.

3 2

22 2

x x

x x x=

−( )−( ) ++( )

−−( ) +( )−( ) +( )

+⋅ +( )−2

3 2 2

2 2

1 2

22 2 2

x x

x x x

x

x x(( ) +( )= − +

−( ) +( )2 2 22

5 14

2 2x

x

x x x

34

32

14 43 3 2 4 3 2x x x x x x x−

−−

+− +

=

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 −4 −5 −2 3

−1 −1 5 0 2

51 1 −5 0 −2

−1

R =

1 3 −1 4

1 5 9

2 10 18

R = 22

2

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Ecuaciones e inecuaciones

CONTENIDOS

ECUACIONES E INECUACIONES

• Ecuaciones de primer y segundo grado.

• Otros tipos de ecuaciones.

• Inecuaciones.


PRUEBA INICIAL

Las actividades de la prueba inicial están dirigidas a com-probar si los alumnos tienen bien asimilados los proce-dimientos de resolución de ecuaciones de primer y se-gundo grado, así como la forma de trabajar condesigualdades y de representar diferentes tipos de inter-valos en la recta real.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba contiene actividades procedimentales de launidad: se repasan las ecuaciones de segundo grado,completando cuadrados y aplicando la fórmula gene-ral. Hay dos actividades sobre ecuaciones de segundogrado y tres actividades referidas a las propiedades delas ecuaciones de segundo grado. La segunda parte tra-baja las inecuaciones, su representación gráfica y pro-blemas. La actividad 8 será la que resulte más compli-cada, y se tendrá que explicar bien a los alumnos cómoresolver las inecuaciones con fracciones y las reglas delos signos.

4INTRODUCCIÓN

Los contenidos de esta unidad son básicos en las Matemáticas. Las ecuaciones se han trabajado en cursos anteriores y no deberían suponer ningunadificultad para los alumnos. Se completa la unidad con las propiedades de la suma y la resta de lassoluciones de una ecuación, así como el estudio deotros tipos de ecuaciones basadas en la ecuación de segundo grado. Convendrá hacer hincapié en el tipo de ecuación y en la aplicación del métodomás sencillo para su resolución.

En este curso se estudian las inecuaciones de primergrado, que pueden suponer más dificultades para los alumnos. Se tendrá que insistir en las similitudes y las diferencias con las ecuaciones para que los alumnos consoliden mejor los conceptos.


Los contenidos básicos para el estudio de esta unidadse han desarrollado en la Unidad 4 del curso anterior y en la unidad anterior de este curso. Estos contenidos son:

• Diferenciación entre identidades y ecuaciones.

• Resolución de ecuaciones de primer y de segundogrado.

• Trabajo con desigualdades.

• Representación de intervalos en la recta real.

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EVALUACIÓN INICIAL

Escribe los tres conjuntos en forma de intervalo, o viceversa. Después, represéntalos en la recta real.

a) (−8, 0)

b) {x / −� < x ≤ 2; x ∈ �}

c) ⏐x ⏐ ≤ 4

Indica si las siguientes expresiones algebraicas son identidades o ecuaciones.

a) 5(x + 1) = 5(x − 2) b) 2x + 3 = x + 3(2 − x) − 3 + 4x c) x = x + 3x − 6

Aplicando propiedades de las desigualdades, despeja la variable z de la desigualdad.

3(z − 3) < 27 + 4z

Resuelve la ecuación de primer grado:

Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 + 8x = 0

Resuelve la ecuación de segundo grado: (x −3)(x + 4) = 0

Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 −5x + 6 = 07

6

5

3 57

22 8

5x

xx− = − +

4

3

2

1

ECUACIONES E INECUACIONES4829566 _ 0411-0440.qxd 27/6/08 08:50 Página 430



Escribe los tres conjuntos en forma de intervalo, o viceversa. Después, represéntalos en la recta real.

a) (−8, 0) = {x / −8 < x < 0; x ∈R}

b) {x / −� < x ≤ 2; x ∈ �} = (−�, 2 ]

c) ⏐x ⏐ ≤ 4 → {x / −4 ≤ x ≤ 4; x ∈R} = [−4, 4]

Indica si las siguientes expresiones algebraicas son identidades o ecuaciones.

a) 5(x + 1) = 5(x − 2) b) 2x + 3 = x + 3(2 − x) − 3 + 4x c) x = x + 3x − 6

a) No es una ecuación ni una identidad.

b) Es una identidad.

c) Es una ecuación.

Aplicando propiedades de las desigualdades, despeja la variable z de la desigualdad.

3(z − 3) < 27 + 4z

a) Quitamos paréntesis: 3z − 9 < 27 + 4 z

b) Transponemos términos: 3z − 4z < 27 + 9 → −z < 36

c) Cambiamos los signos e invertimos la desigualdad: z > 36

Resuelve la ecuación de primer grado:

Quitamos denominadores: 15x − 25 = 70x − (14x + 56). Quitamos paréntesis y transponemos términos:

15x − 70x + 14x = 25 − 56 → − 41x = −31. Despejamos la x:

Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 + 8x = 0

Sacamos factor común: x(x + 8) = 0. Hay dos soluciones: x1 = 0 y x2 = −8

Resuelve la ecuación de segundo grado: (x − 3)(x + 4) = 0

Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 − 5x + 6 = 0

Aplicamos la fórmula: . Hay dos soluciones: x1 = 3 y x2 = 2x = ± − − ⋅ ⋅⋅

5 5 4 1 62 1

2( )

7

( ) ( )x x x xx x

− + = − = =+ = = −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

3 4 0 3 0 34 0 4

1

2→ →

→

6

5

x = 3141

3 57

22 8

5x

xx− = − +

4

3

2

1

431

CB

A

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

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Resuelve la ecuación x 2 + 10x = 11, completando cuadrados y por el método general.

Resuelve esta ecuación de segundo grado:

Calcula el discriminante de las ecuaciones de segundo grado, y escribe el número de soluciones sin resolverlas.

a) x2 − x − 12 = 0 b) (x + 3)(x + 5) = 2 c) (x − 3)2 = 2x − 7

Resuelve estas ecuaciones.

a) x4 − 10x2 + 9 = 0 b)

Calcula, sin resolver la ecuación, el valor de la suma y del producto de sus soluciones.

2x2 + 7x − 15 = 0

Averigua para qué valores de k tendrá soluciones reales la ecuación de segundo grado x 2 −8x + k = 0.

6

5

2 2 3x x+ = −

4

3

xx

−+

=6

242

1Resolución de ecuacionesde segundo grado,

completando cuadrados y aplicando la fórmula

general.

Determinación del númerode soluciones de una

ecuación de segundo gradoa partir de su discriminante.

Resolución de ecuacionesirracionales y bicuadradas.

Aplicación de laspropiedades de la ecuación

de segundo grado.

• Enumerar e identificar elementos ............................................................................................................

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ..................................................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................... 5, 6, 7

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ................................................................................................ 3

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................ 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10


4 ECUACIONES E INECUACIONES

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Resuelve las inecuaciones y representa gráficamente la solución.

a) 3x − 3 > x − 5 b) 3(x + 1) ≤ (2x − 6) c)

Resuelve esta inecuación:

El perímetro de un rectángulo es 24 cm y su área mide 35 cm2.Halla el valor de los lados.

Un padre propone a su hijo un test de 100 preguntas con la siguientecondición: por cada pregunta acertada le dará 0,50 € y cada pregunta fallada le quitará 30 céntimos. Al final del test, el hijo obtiene más de 26 €.¿Cuántas preguntas como mínimo ha contestado bien?

10

9

2 13 4

1xx−+

≤8

2 1

3

3 4

5

( ) ( )x x−>

−

7Resolución de inecuacionesde primer grado, y representación

del conjunto solución.

Resolución de problemasmediante ecuaciones

de segundo grado e inecuaciones

de primer grado.

433

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .............................................................................................................. 5

• Combinar, componer datos, resumir, etc. ...........................................................................................................

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ....................................................................................................... 1


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ECUACIONES E INECUACIONES4EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Resolución de una ecuación de segundo grado (I).

Completando cuadrados: x2 + 10x = 11 → x2 + 2 ⋅ 5 ⋅ x + 52 = 11 + 52 → (x + 5)2 = 36

Extraemos la raíz cuadrada:

Fórmula general:

Resolución de una ecuación de segundo grado (II).

Quitamos denominadores: x(x + 2) −6 = 4(x + 2). Quitamos paréntesis y ordenamos:

Discriminante y número de soluciones.

a) Δ= (−1)2 −4 ⋅ (−12) >0 b) Δ= 82 −4 ⋅ 17 <0 c) Δ= 42 −4 ⋅ 4 = 0

Por tanto, el número de soluciones reales de cada ecuación es: a) 2 b) 0 c) 1 (doble)

Ecuaciones bicuadradas e irracionales.

a)

b) Elevamos al cuadrado: 2x + 2 = ( x −3)2 → 2x + 2 = x2 −6x + 9, ordenamos: x2 −8x + 7 = 0

y resolvemos: Comprobando las soluciones vemos que ambas son válidas.

Propiedades de la ecuación de segundo grado (I).

Resolución de inecuaciones de primer grado (I).

a) (−1, +�) b) (−�, −9] c)

Resolución de inecuaciones de primer grado (II).

Problemas con ecuaciones.

Si llamamos x a uno de los lados, el otro lado será 12 − x y, por tanto, resulta que x(12 − x) = 35,que es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: x1 = 7 y x2 = 5

Problemas con inecuaciones.

Si llamamos x al número de respuestas correctas, hemos de resolver la siguiente inecuación: 0,5x − (100 − x) ⋅ 0,3 >26 → 0,8x >56 → x >70. El hijo ha contestado bien a más de 70 preguntas.

10

9

( , ] ,− − ∪ − +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟� �5

43

2 13 4

15

3 40

xx

xx

−+

≤ − −+

≤→→ →

8

4619

, +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟�

7

Suma: Producto:− −72

152

5

x xx

= ± − − ⋅ ⋅ = ==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

8 8 4 1 72

71

21

2

( )

z x x

x= ± − ⋅ ⋅

⋅= ± = ± = = = =

=

10 10 4 1 92 1

10 82

5 4 9 3 1 121 3

2

→→−− = − = − = −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 9 3 1 14x

4

3

x x x x x x2 22

2 6 4 8 2 14 02 2 4 1 14

2+ − = + − − = = ± − ⋅ ⋅ −→→ →→ ( ) ( )

⋅⋅= += −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1

1 151 15

1

2

→→ xx

2

x x x= − ± + = − ± = = −10 100 442

10 122

1 111 2⇒ ,

x x x+ = = ± = = −5 36 6 1 111 2→→ ,

1

Propiedades de la ecuación de segundo grado (II).

El discriminante ha de ser positivo:

Δ= (−8)2 −4 ⋅ 1 ⋅ k >0 → 64 >4k → k <16

6

c)a)b)

−9 −1 0 1 2 3

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Sistemas de ecuaciones

CONTENIDOS

SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES

• Sistemas de ecuaciones lineales.

• Clasificación de sistemas.

• Métodos de resolución de sistemas.

• Sistemas de ecuaciones no lineales.

• Sistemas de inecuaciones.


5INTRODUCCIÓN

Los contenidos de esta unidad continúan y amplían los estudiados en el curso anterior y los de la unidadanterior de este curso. Así, se trabajan los sistemas de ecuaciones lineales y los diferentes métodos deresolución, ampliando con los sistemas de ecuacionesno lineales y los sistemas de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas.

Los sistemas de ecuaciones, sus métodos de resolución, el análisis de los resultados y su representación plantean ciertas dificultades a los alumnos. Es necesario que los alumnos sepanresolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, y que conozcan que las ecuacionesde dos incógnitas tienen un tratamiento parecido.

Las inecuaciones se han estudiado ya en la unidadanterior, y será necesario establecer las similitudes y diferencias con las ecuaciones asociadas a cadainecuación para que los alumnos consoliden mejor los conceptos.


En esta unidad se repasan las expresiones algebraicas,las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones,estudiados en las Unidades 4 y 5 del curso anterior y en la Unidad 4 de este curso, así como larepresentación de puntos en el plano.

Los alumnos necesitarán repasar los siguientes conocimientos.

• Cálculo con expresiones algebraicas.

• Resolución de ecuaciones de primer grado y de sistemas de ecuaciones lineales.

• Representación de puntos en el plano.

PRUEBA INICIAL

Esta prueba contiene cuatro actividades: la primera ac-tividad repasa la representación de puntos en el plano,y el resto trabaja los sistemas de ecuaciones para resolver de forma gráfica y analítica.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba contiene actividades que trabajan los conte-nidos de la unidad: ecuaciones con dos incógnitas(actividad 1), sistemas equivalentes (actividad 2), reso-lución de un sistema por los métodos de reducción y sus-titución (actividades 2 y 3), problemas con sistemas(actividades 4 y 5), inecuación con dos incógnitas (actividad 6), resolución de un sistema de inecuaciones(actividad 7) y un problema inverso (actividad 8): dadala gráfica, se hallan las inecuaciones.

PR

OP

UE

STA

SD

E E

VALU

AC

IÓN

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EVALUACIÓN INICIAL

En los ejes de coordenadas de la figura, representa los siguientes puntos.

A(−1, 3) B(2, −2) C(3, 4) D(0, 2)

Dado el sistema de ecuaciones lineales: , representa las dos rectas en unos ejes

de coordenadas y comprueba si los puntos A(0, 5), B(2, 3) y C(3, 2) pertenecen o no a las rectas.

Comprueba que son equivalentes los sistemas y resuélvelos.

Calcula el valor de las bases de ambos rectángulos, sabiendo que la suma de sus áreas es 34 cm2

y que el triple de la base mayor es igual al cuádruplo de la base menor más 4 cm.4

2 4 125 2 6x yx y− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y− =+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 63 6 6

3

2 3 125

x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2

1

SISTEMAS DE ECUACIONES5

Y

X1

2 cm3 cm

1

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En los ejes de coordenadas de la figura, representa los siguientes puntos.

A(−1, 3) B(2, −2) C(3, 4) D(0, 2)

Dado el sistema de ecuaciones lineales: , representa las dos rectas en unos ejes

de coordenadas y comprueba si los puntos A(0, 5), B(2, 3) y C(3, 2) pertenecen o no a las rectas.

Comprueba que son equivalentes los sistemas y resuélvelos.

Son sistemas equivalentes y la solución es: x = 2, y = −2

Calcula el valor de las bases de ambos rectángulos, sabiendo que la suma de sus áreas es 34 cm2

y que el triple de la base mayor es igual al cuádruplo de la base menor más 4 cm.

Llamamos a y b, respectivamente, a las bases de los dos rectángulos:

→ a = 8 cm y b = 5 cm3 2 34

3 4 4a b

a b+ =

= +⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4

2 4 125 2 6x yx y− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y− =+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 63 6 6

3

2 3 125

x yx y+ =

+ =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2

1

437

Como se ve en la figura, los puntos A, B y Cestán en la recta x + y = 5, y el punto C estásobre la recta 2x + 3y = 12, por lo que es la solución del sistema.

2 cm3 cm

Y

X

X

Y

C

A

D

B

B

A

C

1

1

1

1

PR

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UE

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VALU

AC

IÓN

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El doble de un número entero y el triple del otro suman 24. Escribe la expresión algebraica que los relaciona y da dos soluciones diferentes. Si el segundo número es el doble que el primero, ¿cuál será la solución?

Escribe un sistema equivalente a , de forma que los

coeficientes de la variable y sean iguales en las dos ecuaciones. Después, resuélvelo por el método de reducción.

Resuelve el sistema por el método de sustitución y represéntalo

gráficamente:

Un comerciante mezcla vino de dos variedades diferentes: vino del tipo A que vale a 0,95 €/litro y vino de tipo B que vale a 1,40 €/litro, obteniendo 9 hectolitros que vende a 1,15 €/litro. ¿Cuántos litros de cada variedad ha mezclado?

En un edificio viven 96 personas. Si el número de hombres es del número

de mujeres, ¿cuántos hombres y mujeres viven en el edificio?

35

5

4

2 5 154 11

x yx y− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3

x yx y− =+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 82 4 32

1Representación y obtenciónde soluciones de una

ecuación de primer gradocon dos incógnitas.

Obtención de sistemasequivalentes a un sistema

dado. Cálculo de las soluciones

de un sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas mediantelos métodos de sustitución,

igualación y reducción.

Determinación gráfica de las soluciones (si existen)

de un sistema de ecuaciones con dos

incógnitas.

Resolución de problemasreales con sistemas

de ecuaciones.

• Enumerar e identificar elementos ..................................................................................................................... 1, 3

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .......................................................................... 1, 2

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................ 1, 3

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................................................................................ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8


SISTEMAS DE ECUACIONES5829566 _ 0411-0440.qxd 27/6/08 08:50 Página 438


Representa gráficamente la inecuación 3x + 2y ≤6, y escribe alguna solución de la misma.

Representa gráficamente la solución del sistema

de inecuaciones:

Escribe un sistema de inecuaciones cuya solución sea la siguiente gráfica.

8

x yx y− >+ ≤

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 43 6

7

6Reconocimientode inecuaciones de primergrado con dos incógnitas,y obtención de soluciones

particulares de ellas y su conjunto solución.

Resolución de sistemas de inecuaciones de primergrado con dos incógnitas,

y representación del conjunto solución.

Obtención del conjuntosolución de distintos sistemasde dos inecuaciones con dos

incógnitas.

439


• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .............................................................................................................. 1, 3, 6, 7

• Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................................... 4, 5, 6, 7, 8



X

Y

1

1

PR

OP

UE

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SD

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SISTEMAS DE ECUACIONES5EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Ecuación de primer grado con dos incógnitas.

Ecuación: 2x + 3y = 24. Soluciones: x = 0, y = 8; x = −3, y = 10; ...

Si y = 2x → 2x + 3 ⋅ 2x = 24 → 8x = 24 → x = 3. La única solución es: x = 3, y = 6

Sistemas equivalentes.

Multiplicamos la 1.ª ecuación por −4 y la 2.ª ecuación por 3:

Restamos las dos ecuaciones: , y sustituyendo en la 1.ª ecuación:

Resolución de sistemas de ecuaciones.

Sistema:

Despejamos la variable x de la 2.ª ecuación: x = 1 −4y la sustituimos en la 1.ª ecuación: 2(1 −4y) − 5y = 15 →2 −8y − 5y = 15 → −13y = 13 → y = −1x = 1 −4 (−1) = 5La solución es: x = 5, y = −1

Problemas con sistemas de ecuaciones (I).

Si llamamos x a la cantidad de litros de vino del tipo A e y a los litros de vino del tipo B, obtenemos el sistema:

Problemas con sistemas de ecuaciones (II).

Si llamamos x al número de hombres e y al número de mujeres, el planteamiento del problema es:

, cuya solución es: x = 36, y = 60

Inecuación con dos incógnitas. Resolución de sistemas de inecuaciones (I).

Resolución de sistemas de inecuaciones (II).

La gráfica es la solución del sistema:

xxyy

≥<≥<

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

0305

8

76

x y

x y

+ =

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

9635

5

x yx y

x+ =+ = ⋅ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

9000 95 1 40 900 1 150 1 035, , , .

→→ ===

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

500400

litroslitrosy

4

2 5 154 11

x yx y− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3

y = −1910

− = − =10 232310

x x⇒

− + = −+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4 12 326 12 9x yx y

x yx y− =+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 82 4 3

2

1

X

X X

Y

Y Y

1

1

1

1

1

1

(5, −1)

D(1, −3)

A(−2, 2)

B(−3, −2)

C(1, 0)

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Semejanza

CONTENIDOS

SEMEJANZA

• Semejanza.

• Teorema de Tales.

• Semejanza de triángulos.

• Semejanza en triángulos rectángulos.

• Aplicaciones de la semejanza de triángulos.

• Semejanza en áreas y volúmenes.

SUGERENCIAS Y CUESTIONES SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN

PRUEBA INICIAL

Esta prueba consta de una serie de actividades referidasa los aspectos que han de ser conocidos por los alum-nos: concepto de proporcionalidad geométrica, teoremade Tales, teorema de Pitágoras y cálculo de áreas y vo-lúmenes.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Hay algunos conceptos de la unidad que ya habían sidotrabajados en cursos anteriores y en los cuales se ha he-cho más énfasis en la prueba inicial, por lo que las ac-tividades de la prueba de la unidad se han basado enaspectos de cálculo, más que de construcción: las tresprimeras cuestiones están referidas al teorema de Talesy a los criterios de semejanza de triángulos. El resto serefiere a las aplicaciones de la semejanza: en triángu-los rectángulos y en áreas y volúmenes.

6INTRODUCCIÓN

En esta unidad se repasan algunos conceptosy cuestiones estudiados en el primer ciclo de ESO,así como en la Unidad 10: Movimientos y semejanzas,de 3.º ESO, referidos a cuestiones de semejanza comoampliación del concepto de proporcionalidadgeométrica. No se hace hincapié en las construccionesporque se han trabajado en los temascorrespondientes del primer ciclo, y se ha hechoincidencia en los aspectos de cálculo. Son interesanteslos problemas de aplicación y los ejerciciosde semejanza entre áreas o volúmenesen los que los alumnos suelen fallar, al no aplicarel cuadrado o el cubo de la razón de semejanza.


Esta unidad enlaza directamente con las Unidades 8,9 y 10 de 3.º ESO: Figuras planas, Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, y Movimientos y semejanzas.Se trata de revisar los siguientes puntos.

• Proporcionalidad numérica y geométrica.

• Concepto de semejanza. Teorema de Tales.

• Teorema de Pitágoras.

• Áreas de figuras planas. Volúmenes de cuerposgeométricos.

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EVALUACIÓN INICIAL

Observa los pares de segmentos y calcula su razón de semejanza. ¿Están en proporción?

Observa la siguiente figura y contesta.

a) ¿Que triángulos están en posición de Tales?

b) ¿Cuánto mide el lado CN? ¿Y el lado CM?

Dibuja un triángulo rectángulo ABC, siendo A� = 90°, y cuyos lados midan 3, 4 y 5 cm y, después,

traza la altura correspondiente a la hipotenusa (AM), originándose dos triángulos, AMB y AMC.

a) ¿Cómo son estos triángulos?

b) ¿Son semejantes ABC y AMB? ¿Por qué?

c) ¿Son semejantes ABC y AMC? ¿Por qué?

d) ¿Son semejantes AMB y AMC? ¿Por qué?

Completa la tabla.

Calcula el área del cuadrado interior de la figura, sabiendo que el área del cuadrado exterior es de 14,67 cm2.

5

4

3

2

1

SEMEJANZA6

Hipotenusa Cateto Cateto

3 4

13 5

5 8

6 cm 4 cm 8 cm

12 cm

12 cm

2,94 cm

6 cm

(A) (B) (C)

8 cm

A B

C

NM10

cm

8 cm

4 cm

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Observa los pares de segmentos y calcula su razón de semejanza. ¿Están en proporción?

(A) (B) (C) → (B) y (C) están en proporción.

Observa la siguiente figura y contesta.

a) ¿Que triángulos están en posición de Tales?

b) ¿Cuánto mide el lado CN? ¿Y el lado CM?

a) Los triángulos ABCy MNC tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.

b)

Dibuja un triángulo rectángulo ABC, siendo A� = 90°, y cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm y, después,

traza la altura correspondiente a la hipotenusa (AM), originándose dos triángulos, AMB y AMC.

a) ¿Cómo son estos triángulos? Son triángulos rectángulos.

b) ¿Son semejantes ABC y AMB? ¿Por qué? Sí, pues tienen los tres ángulos iguales.

c) Son semejantes ABC y AMC? ¿Por qué? Sí, por la misma razón.

d) Son semejantes AMB y AMC? ¿Por qué? Sí, porque dos triángulos semejantes a un tercero son semejantes entre sí.

Completa la tabla.

Calcula el área del cuadrado interior de la figura, sabiendo que el área del cuadrado exterior es de 14,67 cm2.

Hallamos el lado de cuadrado mayor: l = = 3,83 cm; por lo que x = 3,83 − 2,94 = 0,89 cm y A = l2 = 2,942 + 0,892 = 9,4357 cm2.

14 67,

5

4

3

ABMN

ACCM

CMAC MN

AB= = ⋅ = ⋅ =→ 10 4

12103

cm

ABMN

BCCN

CNBC MN

AB= = ⋅ = ⋅ =→ 8 4

1283

cm

2

812

46

68

1

443

Hipotenusa Cateto Cateto

5 3 4

13 5 12

89 5 8

2,94 cm

12 cmA B

B

A

C

M

C

NM10

cm

8 cm

6 cm 4 cm 8 cm

12 cm6 cm

(A) (B) (C)

8 cm

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4 cm

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Calcula la longitud del segmento BD de la figura.

Comprueba si son o no semejantes los triángulos.

a)

b)

c)

Calcula el valor de las incógnitas de la figura.

Construye un triángulo semejante al de la figura, de forma que la razón de semejanza sea 1,5.

Halla la medida del segmento BDsin utilizar el teorema de Pitágoras.

5

4

3

A b c

A b c

�

�= = == = =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

50 6 5 8

50 26 32

°

°

,

' ' '

a b ca b c= = == = =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

6 5 415 12 10' ' '

A B

A C

� �� = == =

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

32 65

32 73

° °

° °' '

2

1Aplicación del teorema de Tales.

Reconocimientoy construcción de triángulos

semejantes.

Aplicaciónde las propiedades

de la semejanza en triángulos rectángulos.

• Enumerar e identificar elementos ....................................................................................................... 1, 3


• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones .......................................................... 1, 2, 3, 4


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................................................................... 4, 5, 6, 7, 8


SEMEJANZA6

4 cm

2,8 cm

5,5 cm

3,3

cm

5 cm

100°55°

5 cm

E

E

DA

A C

CB D

A

B

x z

t

y

x

C

B

D

A

B

C

x

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Calcula la profundidad de una piscina que mide 4 m de ancho, si una personaque mide 1,80 m al separarse 2,25 m del borde, ve la esquina inferior de lapiscina alineada con la esquina superior.

Hacemos una fotocopia reducida al 80 % de un dibujo en el cual se observa un hexágono de lado 6 cm. ¿Cuál será el área del hexágono de la fotocopia?

Calcula el volumen de estas pirámides semejantes de base cuadrada.8

7

6Aplicación de la semejanzade triángulos para resolver

problemas.

Aplicación de la semejanzaen el cálculo de áreas

y volúmenes.



• Combinar, componer datos, resumir, etc. ...........................................................................................

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ...................................................................................... 8


445

C' C''4 m

80 %6 cm

4 cm6 cm

3,5 cm

2,25 m

1,8 m

B

AC

PR

OP

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SD

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AC

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SEMEJANZA6EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Longitud del segmento.

Aplicando el teorema de Tales: cm

Criterios de semejanza (I).

a) No: b) No: c) Sí:

Criterios de semejanza (II).

Son triángulos semejantes, por lo que x = 55°, t = 100° → y = 180° − (100° + 55°) = 25°,y z es el ángulo suplementario de x: z = 180° −55° = 125°.

Construcción de triángulos semejantes.

Semejanza en triángulos rectángulos.

Como los triángulos ABDy CADson semejantes:

Aplicación de la semejanza.

Como los triángulos ABCy C'CC'' son semejantes:

Semejanza en áreas.

La razón de semejanza es 0,8. El área del hexágono es:

Semejanza en volúmenes.

El volumen de la pirámide es:

La razón de semejanza es:

El volumen de la pirámide mayor es: VV

k V'

'= = = ⋅ =3 33 375 3 375 16 43 55 15, , , ,→ cm

k = =64

1 5,

V B h= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =13

13

3 5 4 16 342 3, , cm

8

AA

A'

'= = = ⋅ =0 8 0 64 93 5 0 64 59 842 2, , , , ,→ cm

A = ⋅ = ⋅ ⋅ = ≈perímetro apotemacm

26 6 3 3

254 3 93 5 2,

7

xx

1 804

2 253 2

, ,,= =→ m

6

ABCA

BDAD

xx= = = ⋅ =→ →3 3

5 5 2 83 3 2 8

5 51 68

,, ,

, ,,

, cm

5

4

3

A A� �= =' y6 526

832

,615

410

512

= ≠A B CA B C

� � �� = = == = =

32 65 8332 75 7

° ° °° °,,

→→' ' ' 33°

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2

ABAC

ADAE

xx x= = + = + = =→ → →5

45

945 20 4

254

6 25,

1

C' C''4 m

2,25 m

1,8 m

B

AC

x

B'

A' C'A C

B

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Trigonometría

CONTENIDOS

TRIGONOMETRÍA

• Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

• Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo.

• Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.

• Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

• Aplicaciones de la trigonometría.


PRUEBA INICIAL

Esta prueba consta de diferentes actividades referidas aaspectos geométricos que son necesarios para el estu-dio de la unidad: triángulos, polígonos y ángulos, trans-formaciones de ángulos y semejanza. Los teoremas dePitágoras y de Tales aparecen en la actividad 3.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Las actividades propuestas para la unidad están dividi-das en dos bloques. El primer bloque es de actividadesde comprensión de los conceptos de la unidad: cálculode razones de diferentes ángulos, transformación de lasrazones de un ángulo y aplicación de la relación funda-mental de la trigonometría. El segundo bloque consta deactividades de aplicación de esos conceptos en la reso-lución de triángulos, cálculo de áreas y otros proble-mas de tipo geométrico.

7INTRODUCCIÓN

Esta unidad comienza definiendo las razonestrigonométricas en un triángulo rectángulo, lo que nospermitirá definir las razones de un ángulo cualquiera.Se deduce la relación fundamental de la trigonometríaa partir del teorema de Pitágoras y se aplican estosconceptos en la resolución de triángulos y otrasaplicaciones sencillas en esta aproximación a la trigonometría.

La principal dificultad de la unidad es reconocer y saber cómo obtener las razones trigonométricas deun ángulo. Conviene dedicar un tiempo a este cálculo,y a la transformación de ángulos fuera del primercuadrante, para asegurar su comprensión por parte de los alumnos. La relación fundamental de latrigonometría, la resolución de triángulos rectángulos y las aplicaciones geométricas y reales requierentambién la realización de diferentes actividades.


Esta unidad es nueva para los alumnos, pero estábasada en diferentes unidades de cursos anteriores:Unidad 4 de 2.º ESO: Sistema sexagesimal, y de este curso: Unidad 6 de 4.º ESO, sobresemejanza de triángulos. En resumen, es convenientehacer un repaso de:

• Formas complejas e incomplejas de medir ángulos.• Transformación de grados a radianes.• Teorema de Pitágoras.• Proporcionalidad geométrica.• Semejanza de triángulos.

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EVALUACIÓN INICIAL

Observa la siguiente señal de tráfico, que indica peligro por la presencia de una pendiente en un tramo de carretera.

a) ¿Cuál es el significado de 9 %?

b) Dibuja una señal de tráfico que indique peligro por una pendiente de 10 % en sentido descendente.

c) ¿Qué significaría, en este caso, 10 %?

La señal de STOP tiene la forma de un polígono regular.

a) ¿Cómo se llama este polígono?

b) ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos?

c) Si unimos cada vértice con el centro del polígono, ¿cómo son los triángulos que se forman? ¿Cuánto miden sus ángulos?

En el triángulo ABC de la figura se traza una recta paralela al lado ABque corta a los otros lados en los puntos D y E. Dados CE = 2,4 cm, CA = 5 cm y DB = 2,1 cm, halla la longitud de CB y AB.

Completa la siguiente tabla, pasando de radianes a grados, y viceversa.

¿Qué ángulo es mayor, 102,25° o 102° 25’?5

4

3

2

1

TRIGONOMETRÍA7

Grados 0° 30° 45° 90° 150° 300°

Radianesπ3

π3

4

π 4

5

π3π

9 %

STOP

B

A

C

E

D

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Observa la siguiente señal de tráfico, que indica peligro por la presencia de una pendiente en un tramo de carretera.

a) ¿Cuál es el significado de 9 %?

b) Dibuja una señal de tráfico que indique peligro por una pendiente de 10 % en sentido descendente.

c) ¿Qué significaría, en este caso, 10 %?

a) La pendiente se define como el cociente: entre dos puntos

de la recta, por lo que si x vale 100 metros, y vale 9 metros.

b) Señal de descenso peligroso del 10 %.

c) Por cada 100 metros en horizontal se bajan 10 metros en vertical.

La señal de STOP tiene la forma de un polígono regular.

a) ¿Como se llama este polígono? Octógono.

b) ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos? 135°

c) Si unimos cada vértice con el centro del polígono, ¿cómo son los triángulos que se forman? Isósceles.¿Cuánto miden sus ángulos? Ángulo central de 45°y ángulos iguales de 67° 30’.

En el triángulo ABC de la figura se traza una recta paralela al lado ABque corta a los otros lados en los puntos D y E.Dados CE = 2,4 cm, CA = 5 cm y DB = 2,1 cm, halla la longitud de CB y AB.

Como aplicación de teorema de Tales:

Aplicando el teorema de Pitágoras:

Completa la siguiente tabla, pasando de radianes a grados, y viceversa.

¿Qué ángulo es mayor, 102,25° o 102° 25’?

102,25° = 102° + ⋅ 60 = 102° 15’ → 102,25° <102° 25’25

100

5

4

AB AC BC= + = + =2 2 2 25 4 04 6 43, , cm

CECA

CDCB

CDCD

CD CB= =+

= =→ →2 45 2 1

1 94 4 04,

,, ,cm; ccm

3

2

myx

= ΔΔ

1

449

Grados 0 30° 45° 90° 150° 300° 60° 180° 135° 144° 540°

Radianes 0π6

π4

π2

56π 5

3π π

3 π3

4

π 4

5

π3π

9 %

B

A

C

E

D

10 %

A

B

Δy

Δx

α

135°

45°67° 30’67° 30’

PR

OP

UE

STA

SD

E E

VALU

AC

IÓN

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Calcula las siguientes razones trigonométricas del triangulo de la figura.

a) sen α b) tg β c) cos α

Si sen y x es un ángulo agudo, halla el resto de razones

trigonométricas directas de dicho ángulo sin utilizar la calculadora.

Completa la siguiente tabla con las razones trigonométricas de estos ángulos notables.

Completa la tabla con los signos que corresponden a cada ángulo en función del cuadrante en que están situados.

Calcula el seno y la tangente de un ángulo de 330°.5

4

3

x = 45

2

1Determinación de lasrazones trigonométricas

de un ángulo cualquiera.

Utilización de la relaciónfundamental

de la trigonometría.

Conocimientoy determinación de las

razones trigonométricas de los ángulos notables.

Determinación del signo delas razones trigonométricas

de un ángulo en función del cuadrante

en que se encuentran.

Utilización de las relacionesentre las razones

trigonométricas de ánguloscomplementarios,

ángulos suplementarios y ángulos opuestos.

• Enumerar e identificar elementos .....................................................................................................

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ...........................................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................ 6, 7, 8


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ......................................................................................... 1, 5, 6, 7, 8, 9


TRIGONOMETRÍA7

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

sen

cos

tg

76° 12’ 213° 45’ 123° 54’ 345°

sen

cos

tg

β

α

3,4

2,5

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Resuelve el siguiente triángulo rectángulo.

Halla el área de un parcela de terreno que tiene forma de triángulo isósceles,sabiendo que los lados iguales miden 56,8 m y que los ángulos iguales miden 76° 30’.

De un rombo sabemos que la medida de sus ángulos menores es de 60°y su diagonal menor mide 25 cm. Calcula su área.

Un avión vuela a una altura de 1.000 m y observa que el ángulo de depresiónde un aeropuerto es de 12° 50’. ¿A qué distancia se encuentra del aeropuerto?

Calcula la altura de la torre de la figura, si sabemos que desde una distancia de 25 m se ve el extremo de la torre con un ángulo de 41° 30’.

10

9

8

7

6Resolución de un triángulorectángulo, conociendo

dos lados o un lado y un ángulo.

Aplicación de la Geometríaen la resolución

de problemas geométricos y reales.

451

• Clasificar y discriminar según criterios .............................................................................................. 3, 4



• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .................................................................................... 2, 3, 4


20 cm

56,8 cm

56,8 cm

AC

B

B

A

D

C

60° 25 cm

76° 30’

76° 30’

25 m

1.000 m12° 50’

21° 45’

41° 30’

B

D

CA

C B

A

PR

OP

UE

STA

SD

E E

VALU

AC

IÓN

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TRIGONOMETRÍA7EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

a) sen α = = 0,8056 b) tg β = = 0,7353 c) cos α = = 0,5924

Relación fundamental de la trigonometría.

sen2 x + cos2 x = 1 → cos2 x = 1 − sen2 x → cos x =

tg x =

Tabla (I). Tabla (II).

Razones de ángulos opuestos.

sen 330° = −sen (360° − 330°) = −sen 30° = − tg 330° = −tg 30° =

Resolución de triángulos.

AB = 20 ⋅ sen 21° 45’ = 7,41 cm AC = 20 ⋅ cos 21° 45’ = 18,58 cm B = 90° − 21° 45’ = 68° 15’

Aplicación de la trigonometría en el cálculo de áreas.

AC = 56,8 ⋅ cos 76° 30’ = 13,26 m y BC = 56,8 ⋅ sen 76° 30’ = 55,23 m, siendo el área: A = 732,36 m2

Aplicación de la trigonometría en contextos geométricos reales (I).

La diagonal mayor vale: D = 2 ⋅ 25 ⋅ sen 60° = 25 y el área es: A = = 541,06 cm2

Aplicación de la trigonometría en contextos geométricos reales (II).

AC = = 4.620,22 m

Aplicación de la trigonometría en contextos geométricos reales (III).

En el triángulo que se forma: tg 41° 30’ = → h = 25 ⋅ tg 41° 30’ = 22,12 mh

25

10

1 00012 30.

sen ° ’

9

D d⋅ = ⋅2

25 3 252

3

8

7

6

− 33

12

5

43

sencos

xx

= =4/53/5

43

134

11625

925

35

2

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ = − = =

2

2 54 22

,,

2 53 4

,,

3 44 22

,,

h = + =2 5 3 4 4 222 2, , ,

1

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

sen 012

22

32

1 0 −1 0

cos 1 32

22

12

0 −1 0 1

tg 0 33

1 3 0 0

76° 12’ 213° 45’ 123° 54’ 345°

sen + − + −

cos + − − +

tg + + − −

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Vectores y rectas

CONTENIDOS

VECTORES Y RECTAS

• Vectores.

• Operaciones con vectores.

• Vectores paralelos y perpendiculares.

• Ecuaciones de la recta.

• Posiciones de dos rectas en el plano.

• Problemas métricos.


PRUEBA INICIAL

La prueba consiste en una serie de actividades sobre es-tos temas: teorema de Pitágoras (actividad 1); vectores(actividad 2), aunque se volverá a definir otra vez al prin-cipio de la unidad; traslaciones en el plano (actividades3 y 4) y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Las actividades que se proponen en la prueba están di-vididas en dos bloques: el primero es de actividades re-lacionadas directamente con los vectores (actividades 1a 5). Destacan la actividad 3, de representación gráfica,y las dos últimas actividades, que son aplicaciones mé-tricas de los vectores. El segundo bloque se refiere a lasrectas (actividades 6 a 10), donde se ven las diferentesformas de las rectas, puntos de corte (actividad 9) y apli-caciones de cálculo de formas diferentes de rectas (acti-vidad 10).

8INTRODUCCIÓN

Esta unidad está dividida en dos bloques. En el primer bloque se analiza el concepto de vector y sus características: módulo, dirección y sentido y larelación entre las componentes de un vector y las coordenadas de puntos, que es la base de la Geometría analítica; se sigue con las operacionescon vectores de manera gráfica y analítica: suma, restay producto por un número. A partir de elloobtendremos dos aplicaciones muy importantes:distancia entre dos puntos y cálculo del punto mediode un segmento.

En el segundo bloque estudiaremos las diferentesecuaciones de las rectas, la transformación de unas en otras, las relaciones entre ellas y el estudio de las posiciones de dos rectas en el plano.


Los conceptos de la unidad han sido tratados en 3.º ESO: Movimientos y semejanzas. Aparte de ello,hay algunos conceptos que conviene repasar:

• Coordenadas en el plano.

• Movimientos.

• Vectores.

• Teorema de Pitágoras.

• Resolución de sistemas de ecuaciones.

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OP

UE

STA

SD

E E

VALU

AC

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EVALUACIÓN INICIAL

Calcula el valor del cateto c del triángulo rectángulo, sabiendo que a = 13 y b = 11.

Escribe las coordenadas del vector de la figura y calcula su módulo.

Dados el cuadrado y el vector de la figura:

a) Calcula las coordenadas de los vértices del cuadrado.

b) Escribe las componentes del vector.

c) Calcula los transformados de los vértices del cuadradomediante la traslación del vector.

d) Dibuja el cuadrado transformado.

Un triángulo F tiene por vértices los puntos: A(−3, 0), B(−1, 4) y C(2, 5). Halla el triángulo transformado F' mediante el vector v�(2, −3).

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: 2 4 33 8x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5

4

3

2

1

VECTORES Y RECTAS8C

BAc

ab

Y

X

B

A 1

1

Y

X

v�

A

B C

D

1

1

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Calcula el valor del cateto c del triángulo rectángulo, sabiendo que a = 13 y b = 11.

Escribe las coordenadas del vector de la figura y calcula su módulo.

A(−2, 1), B(3, 2) → AB�(5, 1) ⏐AB�⏐ =

Dados el cuadrado y el vector de la figura:

a) Calcula las coordenadas de los vértices del cuadrado.

b) Escribe las componentes del vector.

c) Calcula los transformados de los vértices del cuadradomediante la traslación del vector.

d) Dibuja el cuadrado transformado.

a) Vértices:

b) Vector : v� = (4, 2)

c) Vértices transformados:

d) Figura transformada.

Un triángulo F tiene por vértices los puntos: A (−3, 0), B(−1, 4) y C (2, 5). Halla el triángulo transformado F' mediante el vector v�(2, −3).

Por traslación, los vértices del triángulo transformado F son:

A(−3, 0) A'(−1, −3) B(−1, 4) B’(1, 1) C(2, 5) C’(4, 2)

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales:

2 4 312 4 32

3514

52

12

3x yx y

x y+ =+ − =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= = = −( )

→ ,

114 354x y− =

reducción⎯⎯⎯⎯→2.ª ec (⋅ 4)

2 4 33 8x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 4 33 8x yx y+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5

+v�(2, −3)⎯⎯⎯⎯→+v�(2, −3)⎯⎯⎯⎯→+v�(2, −3)⎯⎯⎯⎯→

4

A B C D' ' ' '( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 1 1 4 4 4 4 1

A B C D( , ) ( , ) ( , ) ( , )− − − −3 1 3 2 0 2 0 1

3

5 1 262 2+ = ≈u 5,1 u

2

c = − =13 11 48 6 932 2 � , u

1

455

C

BA c

ab

Y

X

B

A 1

1

Y

X

v�

A

B C

D

1

1

Y

X

v�

D'

C'B'

PR

OP

UE

STA

SD

E E

VALU

AC

IÓN

A'

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El vector v� = (−2, 1) tiene su origen en el punto A(−2, 3). Calcula el extremo y el módulo del vector.

Completa la siguiente tabla.

Calcula analíticamente y representa gráficamente los vectores.

u� = (−3, −2) v� = (2, −4) u� + v� 2u� − 2v�

Comprueba si los puntos A (0, −2), B (3, 2) y C (7, 8) están alineados.

Dados los puntos A(−1, −5) y B(−3, 3), calcula la distancia que hay entre ellos y el punto medio del segmento que los une.

Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(0, −2) y B (3, 4). Escribe un vector director de la recta.

6

5

4

3

2

1Reconocimientoy representación de vectores

del plano.

Relación de lascomponentes de un vector

con las coordenadas de los puntos origen

y extremo.

Cálculo del módulo de un vector, dadas

sus componentes.

Cálculo gráfico y analítico desumas y restas de vectores,

y el producto de un vectorpor un número.

Obtención de la distanciaentre dos puntos del plano

y del punto medio de un segmento.

Determinaciónde la ecuación continua de una recta y, a partir

de ella, obtención de la ecuación general y la ecuación explícita.



• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................... 2, 3, 9, 10

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ................................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................ 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9


VECTORES Y RECTAS8

Vector Origen Extremo

(2, 1) (2, 1)

(1, −2) (2, 5)

(3, −4) (5, 2)

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Escribe la ecuación general de la recta que pasa por el punto C(3, 4) y que tiene como vector director v�= (1, −3). Averigua si el punto A (−1, −1)pertenece a dicha recta.

Escribe las ecuaciones de las siguientes rectas.

a) Recta horizontal que pasa por el punto A(3, 5).

b) Recta vertical que pasa por el punto B(−3, 4).

Calcula el punto de corte de las rectas r : 3x + 2y = −1 y s: y = 2x − 3.

Dado el triángulo de vértices A(−1, 0), B(9, −4) y C(−5, 2), calcula.

a) La mediana correspondiente al vértice A.

b) La mediatriz correspondiente al lado BC.

c) La altura correspondiente al lado BC.

10

9

8

7Distinción de si un puntopertenece o no

a una recta dada.

Distinción de si dos rectasson paralelas, secantes

o coinciden.

Determinación del punto de corte, si lo hay,

de dos rectas.

Resolución de problemas de rectas.

457

Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... 6



Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................... 2, 4, 7, 10


PR

OP

UE

STA

SD

E E

VALU

AC

IÓN

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VECTORES Y RECTAS8EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Coordenadas de un vector. Módulo y dirección. Tabla de la relación entre puntos y vectores.

Extremo: B − A = v�

B(x, y) = A + v� = (−2, 3) + (−2, 1) → B(−4, 4)

Módulo: ⏐v�⏐ =

Operaciones con vectores.

= u� + v� = (−3, −2) + (2, −4) = (−1, −6)

= 2u� − 2 v� = 2 ⋅ (−3, −2) − 2 ⋅ (2, −4) =

Alineación de puntos.

Para que estén alineados, los vectores AB� y AC�deben ser proporcionales:

AB� = (3, 4) y AC� = (7, 10)

No están alineados.

Ecuación continua de la recta.

v�= B − A = (3, 6) → Ecuación continua

con A y v�:

Otra ecuación de la recta.

a) x = 3 b) y = 4

Problemas de rectas.

a) MedianaA: A(−1, 0); MBC (2, −1) → r:

b) MediatrizBC: MBC (2, −1); v�= (6, 14)

c) AlturaBC: A(−1, 0); v�= (6, 14) → x y+ = −16

014

→ x y− = +26

114

x y− − = −−

( )13

01

10

8

x y− = +03

26

6

37

410

≠ →

4

= − − + − = − − + − = −( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )6 4 4 8 6 4 4 8 10 4

2u − 2 v�

u + v�

3

( )− + =2 1 52 2 u

21

Vector Origen Extremo

(2, 1) (2, 1) (4, 2)

(1,7) (1, −2) (2, 5)

(3, −4) (2, 6) (5, 2)

Distancia entre puntos. Punto medio de un segmento.

d(A, B) = ⏐AB�⏐ =

M = − + − − +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ = − −( ) ( )

,( )

( , )1 3

25 32

2 1

= + =4 64 68 u

− − −( ) + − −( ) =3 1 3 52 2

( ) ( )

5

Ecuación general de la recta.

Ecuación continua:

Ecuación general: 3x + y − 13 = 0

El punto A (−1, −1) no pertenece a la recta,ya que 3 ⋅ (−1) + (−1) − 13 ≠ 0.

x yx y

− = −−

− + = −31

43

3 9 4→

7

Puntos de corte entre dos rectas.

→ x y= = −57

117

,3 2 1

2 3x y

y x+ = −

= −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

9

Y

X

2u�−2v�

u�+ v�

v�

u�

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Funciones

CONTENIDOS

FUNCIONES

• Concepto de función. Definición de función. Ejemplos de gráficas que no corresponden a funciones.

• Tablas y gráficas. Relación entre tablas y gráficas. Construcción de gráficas a partir de tablas.

• Dominio y recorrido. Estudio del dominio de una función y de su recorrido.

• Funciones definidas a trozos.

• Propiedades de las funciones:

– Continuidad y discontinuidad.

– Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

– Máximos y mínimos.

– Simetrías.

– Periodicidad.

INTRODUCCIÓN

El tema de las funciones se estudia en cada curso. A lo largo de esta unidad y las siguientes unidadesse analizan las funciones en general (Unidad 9)y se estudian con detalle las funciones más importantes: lineales y cuadráticas (Unidad 10)y exponenciales y logarítmicas (Unidad 11).

En la primera parte se repasa el concepto de función y las diferentes formas de expresar una función:tablas, gráficas y expresión analítica. En la segundaparte se estudian los conceptos asociados: dominio, recorrido, continuidad y discontinuidad,crecimiento y decrecimiento, tasa de variación,máximos y mínimos, simetrías, periodicidad… La unidad finaliza con el estudio de las funcionesdefinidas a intervalos.

Se ha de mostrar la importancia del concepto de función en múltiples contextos. Se puede pedir a los alumnos que busquen gráficas en diferentesfuentes y que, después, las analicen.


Conviene repasar algunos conceptos estudiados en cursos anteriores y que resultan importantes en eldesarrollo de la unidad. Teniendo en cuenta que algunos conceptos se volverán a estudiar,conviene repasar:

• Utilización de información. Formas diferentes de expresar una información: tablas, gráficasy enunciados. Paso de unas a otras.

• Concepto de función. Análisis de funciones.

9


PRUEBA INICIAL

Esta prueba contiene tres actividades que servirán pararecordar algunos aspectos del curso anterior y que tam-bién se repasarán a lo largo de la unidad. La primeraactividad servirá para comprobar hasta qué punto losalumnos son capaces de asociar una gráfica con un enun-ciado. La segunda actividad es un enunciado con una ex-presión y la tercera actividad trabaja el cálculo de imáge-nes y de antiimágenes de una función.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba contiene una selección de los conceptos másinteresantes de la unidad: cálculo del dominio y el reco-rrido de una función, cortes con los ejes, trabajo con fun-ciones definidas a intervalos, cálculo algebraico de lassimetrías y estudio de las características más importan-tes de una función: crecimiento y decrecimiento, conti-nuidad, y máximos y mínimos. P

RO

PU

ES

TAS

DE

EVA

LUA

CIÓ

N

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EVALUACIÓN INICIAL

Los siguientes gráficos representan estas situaciones.

I) El nivel de agua de una piscina cuando se está llenando.II) El nivel de agua de una piscina cuando se abre el grifo de salida.III) El espacio que recorre una piedra que dejamos caer desde un avión.IV) El valor del billete de metro en relación con los kilómetros que se realizan.

a) Asocia un gráfico a cada enunciado.

b) Indica en cada eje lo que representa en cada caso.

En la tabla siguiente está relacionado el peso en kilos de naranjas y su precio en euros.

a) Calcula la expresión que da el precio en relación con el peso de las naranjas que se compran.

b) Determina los valores que faltan.

Dada la función que asocia a cada número su doble más 3 veces su inverso:

a) Halla su fórmula o expresión algebraica.

b) Calcula f (4) y f (−4).

c) Determina la antiimagen de 3.

3

2

1

FUNCIONES9

Enunciado I) II) III) IV)

Gráfico

Naranjas (kg) 1,5 3 10

Precio (€) 2,40 4 8

(A)

Y

X

(C)

Y

X

(D)

Y

X

(B)

Y

X

829566 _ 0441-0470.qxd 27/6/08 09:00 Página 460

Naranjas (kg) 1,5 2,5 3 5 10

Precio (€) 2,40 4 4,80 8 16



461

Enunciado I) II) III) IV)

Gráfico (B) (A) (D) (C)

Naranjas (kg) 1,5 3 10

Precio (€) 2,40 4 8

Los siguientes gráficos representan estas situaciones.

I) El nivel de agua de una piscina cuando se está llenando.II) El nivel de agua de una piscina cuando se abre el grifo de salida.III) El espacio que recorre una piedra que dejamos caer desde un avión.IV) El valor del billete de metro en relación con los kilómetros que se realizan.

a) Asocia un gráfico a cada enunciado.

b) Indica en cada eje lo que representa en cada caso.

En la tabla siguiente está relacionado el peso en kilos de naranjas y su precio en euros.

a) Calcula la expresión que da el precio en relación con el peso de las naranjas que se compran.

b) Determina los valores que faltan.

a) Expresión analítica:

b) Tabla:

Dada la función que asocia a cada número su doble más 3 veces su inverso:

a) Halla su fórmula o expresión algebraica.

b) Calcula f (4) y f (−4).

c) Determina la antiimagen de 3.

a) Expresión algebraica:

b) Imágenes:

c) Antiimagen: 3 21

3 2 1 2 3 1 0121

2 2 1

2

= + = + − + = =

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩

xx

x x x x x

x→ → →

⎪⎪⎪⎪

f f( ) ( )4 834

354

4 834

354

= + = − = − − = −

y f x xx

= = +( ) 23

3

k y x= = =2 41 5

1 6 1 6,,

, ,→

2

1

(A)

Y

X

(C)

Y

XDistancia

Dis

tanc

ia

Pre

cio

Niv

el

Niv

el

Tiempo TiempoTiempo

(D)

Y

X

(B)

Y

X

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Encuentra el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.

a) b)

Dadas las funciones:

a) Calcula las siguientes imágenes: f (3), g (−2) y h (2)

b) Determina las antiimágenes: f −1(0), g−1(−1) y h−1(4)

Considera la función f (x ) = x 2 − 2x − 8, y calcula los puntos de corte de dichafunción con los ejes de coordenadas.

Dada la gráfica siguiente, escribe su expresión analítica.4

3

f xx

g x x h x x( ) ( ) ( )=−

= + = −26

3 5 52

g x x( ) = − 9f xx

( ) =−1

2

1Cálculo del dominio y el recorrido de una función

dada su gráfica o su expresión algebraica.

Obtención de imágenes y antiimágenes

en una función.

Cálculo de los puntos de corte de una función

con los ejes de coordenadas.

Representacióne interpretación de funciones

definidas a intervalos.

• Enumerar e identificar elementos ............................................................................................................ 1, 2, 3


• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................... 4


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................ 1, 2, 3, 5


9 FUNCIONES

Y

X

1

1

829566 _ 0441-0470.qxd 27/6/08 09:00 Página 462


Determina de forma algebraica si las funciones tienen algún tipo de simetría.

a) f (x) = 2x3 − 3x b) g (x) = c) h(x) = x + 4

Dada la función, estudia sus características y propiedades.

Cuando subimos a un taxi, la tarifa de bajada de bandera es de 2,50 €y por cada minuto de recorrido hemos de pagar 0,40 € a partir del primer minuto. Construye la tabla de valores y representa la función. ¿Es continua o discontinua?

7

6

x

x

2

4 1−

5Distinción de las simetríasde una función respecto

del eje Y y del origen.

Determinación delcrecimiento o decrecimientode una función, y obtenciónde sus máximos y mínimos.

Determinaciónde la continuidad y discontinuidad.

Estudio y representación de una función.

463

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................ 1, 2, 3

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ..............................................................................................................


• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ....................................................................................................... 6, 7


Y

X

1

1

Y

X

1

1

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FUNCIONES9EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Dominio de una función.

a) . El dominio está formado por todos los números reales menos los números que anulen.

el denominador (x − 2 = 0 → x = 2) → Dom f = R − {2} = (−�, 2) ∪ (2, +�)

b) Para que exista una raíz de orden par → x − 9 ≥ 0 → Dom f = [9, +�)

Imágenes y antiimágenes.

a) f(3) = g(−2) = 3 ⋅ (−2) + 5 = −1

h(2) = h(2) no existe

b)

Puntos de corte con los ejes de f(x) = x2 − 2x − 8.

a) Con el eje Y: f(0) = −8 → P(0, −8) b) Con el eje X: x2 − 2x − 8 = 0 →

Expresión analítica de una función definida a intervalos.

La función es tres líneas rectas:

Estudio de las características de una función.

Es una función definida a trozos. Dom f = R − {2} Im f = RLa función es continua en todo el dominio menos en el punto x = 2.

La función es creciente en los intervalos (−�, −1), (0, 2) y (3, +�) y es decreciente en los intervalos (−1, 0) y (2, 3). Tiene un máximo en el punto R(−1; 1,5) y dos mínimos en los puntos S(0, −1) y T(3, 0).

No tiene simetría.

Problema.7

6

f xx

x xx x

( ) =− <

− ≤ <− + <

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

1 21 2 4

3 4

sisisi

4

QR

( , )( , )

−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 04 0

3

fx

f

g x

− −

−

−=

− + = −

1 1

1

02

60 0

1 3 5 1

( ) ( )

( )

→ →

→

no existe

→→ →

→ → →

x g

h x x x

= − − = −

− = − = =

⎧

⎨ −

−

2 1 2

4 5 4 5 16 21

1

1

( )

( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

2 5− →

23 6

23−

= −

2

f xx

( ) =−1

2

1

Simetrías de una función.

a) f(−x) = −2x3 + 3x = −(2x3 − 3x) = −f(x) →→ Función impar

b) g(−x) = = g(x) →

→ Función par

c) h(−x) = −x + 4 ≠ h(x) ≠ −h(x) →→ No tiene simetría

( )( )

−− −

=−

xx

xx

2

4

2

41 1

5

Y

X1

1

Tiempo (min) Precio (€)

0 2,50

1 2,90

2 3,30

3 3,70

4 4,10

5 4,50

… …Es una función discontinua.

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Funciones polinómicas y racionales

CONTENIDOS

FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

• Funciones polinómicas.

• Función de proporcionalidad inversa.

• Funciones racionales.


10INTRODUCCIÓN

Esta unidad es continuación de la anterior y estádividida en dos partes. En la primera parte se estudianlas funciones cuadráticas o de segundo grado: análisisy representación gráfica a partir de traslacionesde gráficas de funciones más sencillas y estudio de sus características.

En la segunda parte se analiza la funciónde proporcionalidad inversa y sus características:dominio y recorrido, crecimiento, tendencia…,así como su representación gráfica, la hipérbola. Como ampliación de esta gráfica, se estudianlas funciones racionales, definidas como el cocientede dos polinomios: características, tendencia en el infinito, asíntotas, y su representación gráfica como la traslación de una hipérbola.


Esta unidad es una continuación de la unidad anterior,por lo que es conveniente repasar algunos conceptossobre ecuaciones y magnitudes proporcionales. Estos conceptos son:

• Magnitudes directamente e inversamenteproporcionales.

• Funciones. Características.

• Ecuaciones de segundo grado.

PRUEBA INICIAL

Esta prueba contiene cuatro actividades que han de ser-vir de repaso sobre los aspectos más importantes paraestudiar la unidad: magnitudes directa e inversamenteproporcionales, características de una función, cálculode los puntos de corte de una función con los ejes y re-solución de una ecuación de segundo grado.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba contiene una selección de los conceptos fun-damentales de la unidad: la función de segundo grado,estudio analítico, cortes con los ejes, cálculo del vértice,representación gráfica, así como sus propiedades de si-metría, concavidad, etc. Para las funciones racionales,se trabaja el estudio de sus propiedades, la representa-ción gráfica y el estudio del cambio de la gráfica en re-lación con los cambios en la función.

PR

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EVALUACIÓN INICIAL

Escribe las expresiones de cada relación entre pares de magnitudes. Señala las magnitudes que sean de proporcionalidad.

a) El perímetro de un cuadrado y su área.

b) El número de empleados y el tiempo que tardan en acabar un trabajo de 600 horas.

c) La velocidad y el espacio que recorre un coche en 2 horas.

d) El tiempo que se necesita para llenar una piscina de 48 m3 y el caudal del grifo.

Dada la función y = x 2 + 4x − 5, calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Resuelve la ecuación .

Observa la gráfica e indica sus intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos.4

32

15x

x−

−=3

2

1

FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES10

1

1

Y

X

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Escribe las expresiones de cada relación entre pares de magnitudes. Señala las magnitudes que sean de proporcionalidad.

a) El perímetro de un cuadrado y su área.

b) El número de empleados y el tiempo que tardan en acabar un trabajo de 600 horas.

c) La velocidad y el espacio que recorre un coche en 2 horas.

d) El tiempo que se necesita para llenar una piscina de 48 m3 y el caudal del grifo.

a) . No es una relación de proporcionalidad.

b) . Es una función de proporcionalidad inversa.

c) e = 2v. Es una función de proporcionalidad directa.

d) . Es una función de proporcionalidad inversa.

Dada la función y = x 2 + 4x − 5, calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Puntos de corte con los ejes:

a) Con el eje X:

b) Con el eje Y: f(0) = 0 2 + 4 ⋅ 0 − 5 = 5 → M(0, −5)

Resuelve la ecuación .

Eliminamos denominadores: 3x(x − 1) − 2 = 5(x − 1)

Quitamos paréntesis: 3x2 − 3x − 2 = 5x − 5

Transponemos términos y ordenamos:

Las soluciones son:

Observa la gráfica e indica sus intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos.

Es creciente en (−�, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (4,7; +�) y es decreciente en (0, 2) ∪ (2; 4,7).

Tiene un máximo en el punto

y un mínimo en el punto Q(4,7; −1).

P 012

,−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

4

x x1 28 28

68 28

6= + = −

3 8 3 08 8 4 3 3

2 32

2

x x x− + = = ± − ⋅ ⋅⋅

→

32

15x

x−

−=3

x x x xx

22

1

24 5 0

4 4 4 52

15

+ − = = − ± − ⋅ − == −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ → →( ) PPQ( , )( , )1 0

5 0−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2

t = 48caudal

t = 600n.º de empleados

A =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

perímetro4

2

1

467

1

1

Y

X

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Dada la función y = x 2 + 2x −8, calcula su dominio y su recorrido.

Representa gráficamente, en unos mismos ejes, las funciones

, y escribe sus características.

Haz un estudio de la función y = x 2 −2x −4 y represéntala gráficamente.

El gráfico de la siguiente función representa la altura que alcanza un proyectilen función del tiempo que ha pasado desde que se ha lanzado.

a) ¿Crees que es la gráfica del movimiento?

b) Calcula el tiempo que tarda en caer al suelo.

c) Escribe la expresión analítica de la función.

d) Determina la altura después de 3 segundos.

4

3

f x x g x x( ) ( )= = −23

23

2 2y

2

1Cálculo del dominio y el recorrido de una función

de segundo grado.

Obtención de imágenes y antiimágenes de una

función de segundo grado.

Cálculo de los puntos de corte de una función

de segundo grado con los ejes de coordenadas.

Representación gráfica de una función de segundo

grado y = ax2 + bx + ca partir del estudio

de sus características.

Determinacióndel crecimiento

y el decrecimiento de unafunción de segundo grado.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 2, 3, 5, 6

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 1

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................................................................................... 1, 4


FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES10

Y

X

X

1

1

1.000

20

Y

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Representa la función

y escribe sus características.

A partir de la función anterior, representa las funciones en los mismos ejes.

a)

b)

Representa la función .

Escribe su dominio y sus asíntotas.

yxx

= −−

13

6

g xx

( ) =−−

32

f xx

( ) =−−3

2

yx

= −35Obtención de la gráfica de

una función deproporcionalidad inversa apartir de una tabla o de su

expresión algebraica.

Representación gráfica de una función racional

del tipo

a partir de traslaciones y dilataciones de la gráfica

de la función .

Reconocimientode una función racional

y determinación de su gráfica.

Cálculo de las asíntotasverticales y horizontales

de una función racional.

yx

=1

yax b

cx d=

+

+

469






Y

X1

1

Y

X1

1

Y

X1

1

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FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Dominio y recorrido de una función polinómica de segundo grado.

Dom f = R y vértice: x = = −1 → f(−1) = −9 → Im f = [−9, +�)

Diferencias entre las funciones de segundo grado.

Las funciones son simétricas respecto del eje Y (funciones pares). Entre ellas son simétricas (eje de simetría: X).

Ambas tienen su vértice en el punto V(0, 0), que es un punto mínimo en la primera y un punto máximo en la segunda.

La primera función es decreciente en el intervalo (−�, 0) y es creciente en (0, +�), y la segunda función es creciente en (−�, 0)y es decreciente en (0, +�).

Representación gráfica de una función de segundo grado completa.

Estudio:

• Parábola cóncava hacia arriba ya que a > 0. • Tabla:

• Puntos de corte con el eje X:

• Punto de corte con el eje Y: Imagen de 0: f(0) = −4 → M(0, −4)

• Vértice:

Problema.

a) Es la gráfica del movimiento. b) Tiempo: 60 segundos.

c) Expresión analítica: y = a(x − 0)(x − 60) = a(x2 − 60x)4.500 = a(302 − 60 ⋅ 30) = −900a → a = −5 → y = −5x2 + 300x

d) f(3) = −5 ⋅ 9 + 300 ⋅ 3 = 855 m

Hipérbola. Propiedades y traslaciones. Gráfica de una función racional.

Dom f = R − {3}Asíntota vertical: x = 3Asíntota horizontal: y = 1

65

4

xba

Vv = − = − −⋅

= −2

22 1

1 1 5( )

( )→ ,

x x x Px Q

2 2 4 0 1 5 1 23 01 5 3 23 0

− − = = − −= +

⎧⎨→ →

→( , ; )( , ; )

⎪⎪⎪⎩⎪⎪

3

2

−ba2

1

10

x … −2 −1 0 1 2 3 …

y … 4 −1 −4 −5 −4 1 …

Y

X

X

Y

2

2

y x=2

32

y x= −2

32

Y

X

1

1

yx

=−−3

2

Y

X

1

1

yx

=−−

32

1

1

X

Y

1

1

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Funciones exponenciales y logarítmicas

CONTENIDOS

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

• Función exponencial.

• Aplicación: interés compuesto.

• Logaritmos.

• Función logarítmica.

SUGERENCIAS Y CUESTIONES SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN

PRUEBA INICIAL

Esta prueba contiene una serie de cuestiones de cálcu-lo señaladas anteriormente en los conocimientos previos:cálculo básico con potencias, con progresiones geomé-tricas y con intereses simples, para ver si el alumno re-cuerda estos conceptos estudiados en cursos anterioresy que resultan básicos en esta unidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba consta de una serie de actividades de los con-ceptos tratados en la unidad: cuatro actividades referi-das a las funciones exponenciales: representación grá-fica, características y propiedades, cálculo con ecuacionesexponenciales y una aplicación directa: el interés com-puesto. También hay actividades de logaritmos como de-finición, la representación gráfica de funciones logarít-micas, sus características y propiedades; y unasactividades con cálculos entre logaritmos, una ecuaciónlogarítmica y un problema con logaritmos.

11INTRODUCCIÓN

Esta unidad está dividida en dos partes: en la primeraparte se estudia la función exponencial y surepresentación gráfica a partir de tablas; la comparaciónde diferentes tipos de funciones exponenciales y el interés compuesto. En la segunda parte se hace un estudio análogo de la función logarítmica.

Como en las unidades anteriores, se realizarála representación grafica a partir de tablas, como paso previo al estudio analítico más profundo que se efectuará en cursos superiores.

El concepto de logaritmo, sus operacionesy las ecuaciones exponenciales y logarítmicas suelenpresentar algunas dificultades. Será importante aclarar a los alumnos las dudas haciendo actividadesvariadas; también es necesario mostrar diferentescontextos reales en los que existen estas funciones:sonido, radiaciones, estudio de poblaciones, etc. Puedeser conveniente el uso de programas informáticos de representación o de calculadoras gráficas.


Esta unidad es una continuación de las dos unidadesanteriores, por lo que es conveniente hacer un repasode ellas. También es necesario repasar algunosconceptos sobre progresiones y potencias. En resumen, los conceptos que se precisan para el estudio de la unidad son:

• Funciones. Características.

• Potencias con exponentes enteros.

• Progresiones geométricas.

• Interés simple.

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EVALUACIÓN INICIAL

Calcula las siguientes expresiones.

a) b) c) (−5)0 =

Halla el término general de las progresiones geométricas.

a) {5, 15, 45, 135, …} b) c) {1, −2, 4, −8}

Dada la progresión geométrica de razón r = , completa.

En un libro se proponía el siguiente problema: Un legionario romano obtuvo una recompensa en función de los años de servicios prestados. El prefecto le pagaría 1 denario por el primer año, 2 denarios por el segundo, 4 denarios por el tercero, etc. Al licenciarse el prefecto le entregó 4.095 denarios. ¿Cuántos años de servicio había estado en la legión?

El isótopo 109 del Cadmio, 109Cd, es una sustancia radioactiva que emite radiación de forma que superiodo de semidesintegración (el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa de la sustancia)es de 460 días aproximadamente. Eso significa que si tenemos 1 gramo de 109Cd, después de 460 días

quedará gramo; 460 días después, quedará gramo, etc. Completa la tabla siguiente.

Una persona invierte 1.250 € a un interés simple de 2,5 % durante 5 años. ¿Cuánto dinero le devolveráel banco?

6

14

12

5

4

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

a b

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =−a b

1

3

1⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =+a

1

3

3⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

3

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

3

1⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

13

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟3

21

2

1

8

1

32, , , ,…

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

2

3

33

5

3⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =−

1


Tiempo (días) 0 460 920

Masa (g) 8 4 2

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Calcula las siguientes expresiones.

a) = b) = c) (−5)0 = 1

Halla el término general de las progresiones geométricas.

a) {5, 15, 45, 135, …} → an = 5 ⋅ 3n−1 b) → an = 2−2n+3

c) {1, −2, 4, −8} → an = (−2) n−1

Dada la progresión geométrica de razón r = , completa.

En un libro se proponía el siguiente problema: Un legionario romano obtuvo una recompensa en función de los años de servicios prestados. El prefecto le pagaría 1 denario por el primer año, 2 denarios por el segundo, 4 denarios por el tercero, etc. Al licenciarse el prefecto le entregó 4.095 denarios. ¿Cuántos años de servicio había estado en la legión?

Hay que calcular el valor de x de forma que 20 + 21 + 22 + 2 3 + … + 2x = 4.095, que es el resultado de la suma. Se trata de una progresión geométrica, cuyo primer término es a1 = 2 0 = 1

y el término general es an = 2 n−1 y la suma Sn = = 2 n − 1 = 4.095,

por lo que 2n = 4.096 → n = 12. Por tanto, el legionario estuvo 12 años en la legión.

El isótopo 109 del Cadmio, 109Cd, es una sustancia radioactiva que emite radiación de forma que superiodo de semidesintegración (el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa de la sustancia)es de 460 días aproximadamente. Eso significa que si tenemos 1 gramo de 109Cd, después de 460 días

quedará gramo; 460 días después quedará de gramo, etc. Completa la tabla siguiente.

Una persona invierte 1.250 € a un interés simple de 2,5 % durante 5 años. ¿Cuánto dinero le devolveráel banco?

El interés es: I = = 156,25 → Cf = 1.250 + 156,25 = 1.406,25 €C r t⋅ ⋅ = ⋅ ⋅100

1 250 2 5 5100

. ,

6

14

12

5

a r arn

n−−

= ⋅ −−

−1

1

12 2 1

2 1

4

13

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟

⋅a b1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

a b13

13

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟

a

b

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =−a b

13

13

⋅⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟

a1

3

1⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =+a

127

1

3

3⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

19

1

3

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

13

1

3

1⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

13

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟3

21

2

1

8

1

32, , , ,…

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2

− 23

3

3−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

3

353

3

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

3

5

3⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

1

473

Tiempo (días) 0 460 920 1.380 1.840 2.300 2.760 3.220

Masa (g) 8 4 2 112

14

18

116

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Haz una tabla de valores y representa, en unos mismos ejes, las funciones exponenciales.

a) y = 5x b) y =

¿Cuáles son las características de cada función?

Resuelve la ecuación exponencial 42x−1 = 2 ⋅ 2x+3.

Calcula el capital que obtendríamos si invertimos 5.000 € al 3,5 de interésanual compuesto durante 8 años.

Calcula el valor de x en cada una de las expresiones, aplicando el concepto de logaritmo.

a) x = log5 25 c) logx 0,25 = −2

b) 3 = log x d) loga x = 0

4

3

2

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

1Interpretacióny representación de las

funciones exponenciales del tipo y = ax, con a > 0

y a � 1.

Aplicación de la funciónexponencial para resolverecuaciones o problemas.

Aplicación de la funciónlogarítmica para resolverecuaciones y problemas.

• Enumerar e identificar elementos ....................................................................................................... 1, 6


• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones .......................................................... 4, 5, 8


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................................................................... 2, 3, 5, 7, 8


FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS11

1

1

Y

X

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A partir de la gráfica de la función y = ln x, y en los mismos ejes, dibuja la función y = log x, utilizando una tabla.

Una colonia de bacterias se desarrolla siguiendo esta ley exponencial: N = 2.000 ⋅ at (t en días).

a) Determina a si sabemos que, al cabo de una semana, la colonia tiene 10.000 bacterias.

b) ¿Cuál será el número de bacterias después de 15 días?

c) ¿Cuánto tiempo tardará en tener 100.000 bacterias?

Calcula log2 59 mediante las propiedades de los logaritmos.

Resuelve la ecuación logarítmica .log ( )log ( )

251

22−

−=x

x8

7

6

5



• Combinar, componer datos, resumir, etc. ...........................................................................................

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ...................................................................................... 2


475

Y

X1

1

PR

OP

UE

STA

SD

E E

VALU

AC

IÓN

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Tabla de valores y funciones exponenciales.

Tabla de valores:

Función continua; creciente; Im f >0; f(0) = 1

Función continua; decreciente; Im f >0; f(0) = 1

Ecuación exponencial.

Interés compuesto.

€

Expresiones con logaritmos.

a) x = log5 25 = log5 (52) → x = 2 c) logx 0,25 = −2 → x−2 = 0,25 → → x = 2

b) 3 = log x → x = 10 3 = 1.000 d) loga x = 0 → x = a0 = 1

Comparación de funciones logarítmicas.

Tabla de valores:

Se cortan en P(1, 0).

Si x < 1 → log x > ln x y si x > 1 → log x < ln x

Problema.

a)

b) N(15) = 2.000 ⋅ 1,25815 = 62.531 bacterias

c)

Propiedades de los logaritmos.

logloglog

,,

,2 59592

1 77080 3010

5 8830= = =

7

100 000 2 000 1 25850

1 2580. . ,

loglog ,

,log= ⋅ = =t t⎯→ 9998 17→ t = días

10 000 2 000 5 7 57 7. . log log logllog= ⋅ = ⋅ = =a a a a→ ⎯→ → oog

log ,5

75 1 2587= =→ a

6

5

1 14

122 2x

= =

4

C C ift= + = +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ = ⋅0

8

1 5 000 13 5100

5 000( ) .,

. 11 3168 6 584, .=

3

4 2 2 2 2 2 22 1 3 2 2 1 1 3 2 2 1x x x x x x− + − + + − += ⋅ = =→ →( ) ( ) ( ) 44 4 2 4 2→ →x x x− = + =

2

1

11

x … −2 −1 0 1 2 …

y = 5x … 1/25 1/5 1 5 25 …

y = (1/5) x … 25 5 1 1/5 1/25 …

x … 1/4 1/3 1/2 1 2 …

y = log x … −0,602 −0,477 −0,301 0 0,301 …

y = ln x … −1,386 −1,09 −0,69 0 0,69 …

Ecuación logarítmica.

log ( )log ( )

log ( ) log ( )25

12 25 1

22 2−

−= − = −x

xx x→ →

→ 22 2 24 0 4 32x x x y x− − = = = −→ (no válida)

8

Y

X1

1y = 5xy

x

=⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟

15

Y

X

1

1

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Estadística

CONTENIDOS

ESTADÍSTICA

• Estadística. Variables estadísticas:

– Variables cuantitativas y cualitativas.

– Población, muestra, tamaño de la muestra e individuo.

• Tablas de frecuencias:

– Frecuencia absoluta y relativa. Frecuencias acumuladas.

• Gráficos estadísticos:

– Tipos de gráficos estadísticos: diagrama de barras, histograma y diagrama de sectores.

• Medidas de centralización:

– Media, mediana y moda.

• Medidas de posición:

– Cuartiles.

– Percentiles.

• Medidas de dispersión:

– Rango, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

• Interpretación de las medidas estadísticas.

INTRODUCCIÓN

La Estadística se ha trabajado desde 1.º ESO. En esta unidad se repasan algunas de las cuestionesmás importantes y se añade el trabajo con técnicas de muestreo, orden y recuento de datos, datos agrupados en intervalos, tablas y gráficos.

En el cálculo de los diferentes tipos de medidas de centralización y dispersión, los alumnos tienden a equivocarse, por lo que habrá que tenercuidado.

Respecto a las medidas de posición se ha de dedicaratención al cálculo gráfico y numérico de los cuartiles y percentiles.


Conviene hacer un repaso de la Unidad 13 de 3.º ESO, sobre aspectos básicos de cálculoy representación gráfica.

• Reconocimiento de variables cuantitativas discretasy continuas.

• Recuento de datos. Obtención de una tablaestadística. Frecuencias.

• Cálculo de la media aritmética de una población o muestra.

• Lectura e interpretación de un gráfico estadístico.

12


PRUEBA INICIAL

Esta prueba consta de cuatro actividades: concepto devariable discreta y continua (actividad 1); representacióngráfica (actividad 2); cálculo de parámetros de centrali-zación con datos discretos (actividad 3) e interpretaciónde datos (actividad 4).

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba de la unidad está formada por cuatro acti-vidades: el reconocimiento y el cálculo de un muestreo(reparto proporcional); la obtención de una tabla de fre-cuencias a partir de una serie de datos, y su represen-tación gráfica, y el cálculo de las diferentes medidas decentralización en datos agrupados en intervalos.

PR

OP

UE

STA

SD

E E

VALU

AC

IÓN

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EVALUACIÓN INICIAL

Clasifica las variables estadísticas que se pueden estudiar de un municipio en discretas y continuas.

a) Número de hijos de las familias del municipio.

b) Peso de los alumnos de ESO del municipio.

c) Velocidad media de los coches que pasan por la calle Mayor del municipio.

d) Número de ordenadores que hay en cada casa del municipio.

En una ciudad, anotamos las marcas de coches que pasan por el semáforo principal de la calle Mayor y, en diez minutos, hemos anotado las siguientes marcas. Dibuja un diagrama de sectores correspondiente a estos datos.

En un estudio entre 145 familias, se observa que el número de hijos se distribuye de la siguiente manera.

Calcula la media, la moda y la mediana.

Los tres gráficos representan las ventas de tres empresas de bebidas a lo largo del año. Sabiendo que las bebidas que se venden son (1) cava, (2) vino de mesa y (3) cerveza, indica a cuálcorresponde cada una de ellas.

4

3

2

1

ESTADÍSTICA

Hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Familias 31 25 35 20 0 16 12 5 1

Marcas N.º de coches

Seat 11

Renault 10

Peugeot 14

Audi 7

Opel 5

Ford 9

Mercedes 4

12

E F M A M J J A S O N D

(A)


(B)


(C)

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Clasifica las variables estadísticas que se pueden estudiar de un municipio en discretas y continuas.

a) Número de hijos de las familias del municipio → Variable discreta.b) Peso de los alumnos de ESO del municipio → Variable continua.c) Velocidad media de los coches que pasan por la calle Mayor del municipio → Variable continua.d) Número de ordenadores que hay en cada casa del municipio → Variable discreta.

En una ciudad anotamos las marcas de coches que pasan por el semáforo principal de la calle Mayor y, en diez minutos, hemos anotado las siguientes marcas. Dibuja un diagrama de sectores correspondiente a estos datos.

Calculamos el sector que le corresponde a cada marca. Como hay 60 coches, a cada coche le corresponde:

Seat tendrá: 11 · 6 = 66º

Renault tendrá: 10 · 6 = 60º…,

obteniéndose el siguientediagrama de sectores.

En un estudio entre 145 familias, se observa que el número de hijos se distribuye de la siguiente manera.

Calcula la media, la moda y la mediana.

Media: Moda: Mo = 2 Mediana: Me = 2

Los tres gráficos representan las ventas de tres empresas de bebidas a lo largo del año. Sabiendo que las bebidas que se venden son (1) cava, (2) vino de mesa y (3) cerveza, indica a cuálcorresponde cada una de ellas.

El gráfico (A) corresponde a la cerveza (consumo muy alto en los meses de verano).El gráfico (B) corresponde al vino de mesa (consumo estable durante todo el año).El gráfico (C) corresponde al cava (consumo muy alto los meses de diciembre y enero, un poco más altodurante el verano y en el resto del año se mantiene estable).

4

xf xfi i

i

=∑∑

= =350145

2 41,

3

60 360 6→→

→°1

°0 x

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=x

2

1

479

Hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Familias 31 25 35 20 0 16 12 5 1

Marcas N.º de coches

Seat 11

Renault 10

Peugeot 14

Audi 7

Opel 5

Ford 9

Mercedes 4

Seat

Ford

Opel

Audi

Peugeot

Mercedes

Renault


(A)


(B)


(C)

PR

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En un club de fútbol hay socios de diferentes categorías: de la categoría A hay403 socios, de la categoría B hay 1.084 socios, de la categoría C hay 320 sociosy de la categoría D hay 165 socios. Si queremos elegir una junta directiva de 24 personas, ¿cuántas personas han de elegirse de cada categoría?

El número de personas que viven en 40 casas de una ciudad se determina en la siguiente tabla.

a) Forma una tabla de frecuencias, agrupando los valores en seis intervalos.

b) Construye un histograma y el polígono de frecuencias con estos datos.

Calcula la mediana, la moda y el intervalo de la mediana de la distribuciónanterior.

3

2

1Reconocimientode los conceptos: población,

muestra y muestreo.Aplicación de las técnicas

de muestreo.

Diferenciacióny representación

de los distintos gráficosestadísticos.

Cálculo de las medidas de centralización: media,

mediana, moda y cuartiles.

Obtención de las medidasde dispersión: varianza,

desviación típica y coeficiente de variación.

• Enumerar e identificar elementos .....................................................................................................

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ........................................................... 2

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................ 2, 4


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ......................................................................................... 3, 4


ESTADÍSTICA12

92 182 163 77 78 156 146 161 122 180

154 150 56 182 71 166 116 94 125 135

119 138 148 61 108 145 106 149 172 159

99 72 68 146 129 167 190 98 167 173

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Se ha hecho una encuesta a 300 personas sobre la cantidad de dinero que llevan.

a) Representa los datos mediante un diagrama de sectores.

b) Amplía la tabla y calcula la media aritmética, la mediana y la moda.

c) Calcula los tres cuartiles de esta distribución.

d) Obtén la desviación típica y el coeficiente de variación.

4Utilización de la calculadoracientífica para obtener los

parámetros de centralizacióny de dispersión.

Aplicación de la Estadística en situaciones de la vida

cotidiana.

481

• Clasificar y discriminar según criterios ..............................................................................................



• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .................................................................................... 1


Euros Personas

[5, 20) 179

[20, 35) 93

[35, 50) 28

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UE

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ESTADÍSTICA


Técnicas de muestreo.

De forma proporcional:

Tabla y representación gráfica.

Cálculo de parámetros de centralización, posición y dispersión (I).

Completamos la tabla y hacemos las sumas de las columnas.

; moda: Mo = 162,5, e intervalo de la mediana: [125, 150),

ya que es el intervalo que tiene la frecuencia acumulada mayor que .

Cálculo de parámetros de centralización, posición y dispersión (II).

x– = 19,95 Q1 = 12,5 Q2 = Me = 17,5 Q3 = 27,5 σ= 10,495 CV = 0,526

4

40 12

20 5+ = ,

xf xN

i i=∑

= =5 15040

128 75.

,

3

2

n nn

A C

B

= ⋅ = = ⋅ ==

0 01217 403 4 9 5 0 01217 329 3 9 4, , , ,→ →00 01217 1 084 13 2 13 0 01217 165 2 01 2, . , , ,⋅ = = ⋅ =→ →nD

n n n nA B C D

403 1 084 320 16524

1 9720 01217= = = = =

. .,

1

12

Intervalo xi fi Fi hi Hi

[50, 75) 62,5 5 5 5/40 = 0,125 5/40 = 0,08

[75, 100) 87,5 7 12 7/40 = 0,175 12/40 = 0,3

[100, 125) 112,5 4 16 4/40 = 0,1 16/40 = 0,4

[125, 150) 137,5 9 25 9/40 = 0,225 25/40 = 0,625

[150, 175) 162,5 11 36 11/40 = 0,275 36/40 = 0,9

[175, 200) 187,5 4 40 4/40 = 0,1 40/40 = 1

12

10

8

6

4

2

50 75 100 125 150 175 200

xi 62,5 87,5 112,5 137,5 162,5 187,5 Totales

fi 5 7 4 9 11 4 40

Fi 5 12 16 25 36 40 —

fi xi 312,5 612,5 450 1.237,5 1.787,5 750 5.150

Euros Personas xi fi xi xi2 fi xi

2

[5, 20) 179 12,5 2.237,5 156,25 27.968,75

[20, 35) 93 27,5 2.557,5 756,25 70.331,25

[35, 50) 28 42,5 1.190 1.933,75 54.145

Totales 300 — 5.985 — 152.445

28

17993

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Combinatoria

CONTENIDOS

COMBINATORIA

• Métodos de conteo.

• Números combinatorios.

• Binomio de Newton.

• Variaciones y permutaciones.

• Combinaciones.

• Distinción entre variaciones y combinaciones.


PRUEBA INICIAL

Esta prueba contiene cuatro actividades de cálculo deformas diferentes de vestirse, o de elegir un menú en unrestaurante mediante diferentes técnicas, sobre todo dia-gramas en árbol. Las dos últimas actividades se resuel-ven mediante tablas de doble entrada.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba consta de una serie de actividades que sirvenpara revisar todos los conceptos estudiados en la uni-dad. Se comienza con una actividad para realizar con undiagrama en árbol (técnica de recuento). Las siguien-tes actividades son ejercicios de aplicación directa de lasfórmulas de las variaciones, permutaciones y combina-ciones, y las últimas actividades son aplicaciones del bi-nomio de Newton, ecuaciones y un problema.

INTRODUCCIÓN

Esta unidad es interesante para los alumnos, ya que se basa en conceptos referidos a contabilizar los posibles agrupamientos de diferentes objetos y en distintas situaciones.

Las dificultades de la unidad se encuentranen la distinción y la diferenciación de variacionesy combinaciones, o en la repetición de elementos.No obstante, el tipo de operaciones que se realizan es sencillo y no ha de tener ninguna dificultad.

Será conveniente plantear y resolver problemas de la vida cotidiana con variaciones en las condiciones,para que los alumnos vean las diferencias entrelas distintas formas de agrupar elementos. Los números combinatorios y el binomio de Newton,como aplicación de la combinatoria, también requierenhacer numerosas actividades para que los alumnosinterioricen los mecanismos de cálculo.

Por último, estas actividades serán básicas en el estudio de la siguiente unidad de probabilidad.


Esta unidad es nueva para los alumnos y se basa en conocimientos e ideas de técnicas de recuento que forman parte de las unidades de cursosanteriores. Por ello, es interesante repasar alguno de los conceptos numéricos de las primeras unidades del curso.

13

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EVALUACIÓN INICIAL

En la carta de un restaurante, el cliente puede elegir su menú, escogiendo un primer plato, un segundo plato y un postre. La carta tiene 4 primeros platos, 8 segundos platos y 7 postres. ¿Cuántos menús diferentes podrá elegir cada cliente?

Marcos tiene para vestirse tres pares de zapatos: A, B y C; cuatro pares de pantalones: M, N, P y Q, y cinco camisas: 1, 2, 3, 4 y 5. Haz un diagrama que refleje de cuántas maneras diferentes se puede vestir.

Haz una tabla con todos los resultados posibles que se obtienen al lanzar dos dados.

Elabora una tabla de doble entrada con los posibles resultados que podemos obtener con las fichas de dominó. ¿Cuántas fichas hay?

4

3

2

1

COMBINATORIA13829566 _ 0471-0496.qxd 27/6/08 09:13 Página 484

En la carta de un restaurante, el cliente puede elegir su menú, escogiendo un primer plato, un segundo plato y un postre. La carta tiene 4 primeros platos, 8 segundos platos y 7 postres. ¿Cuántos menús diferentes podrá elegir cada cliente?

Puede elegir un primer plato de 4, un segundo plato de 8 y un postre de 7, o sea: 4 ⋅ 8 ⋅ 7 = 224 menús.

Marcos tiene para vestirse tres pares de zapatos: A, B y C; cuatro pares de pantalones: M, N, P y Q,y cinco camisas: 1, 2, 3, 4 y 5. Haz un diagrama que refleje de cuántas maneras diferentes se puede vestir.

Si llamamos Z = {A, B, C}, Y = {M, N, P, Q} y X = {1, 2, 3, 4, 5}, una forma de vestir consiste en escoger un elemento de cada uno de los conjuntos Z, Y y X; por ejemplo, AN3, BM5, CP2…,por lo que el número de formas diferentes será el producto del número de elementos de cada conjunto: 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 formas diferentes.

En la figura se observan las 20 agrupaciones diferentes que se pueden hacer con el par de zapatos A,y lo mismo pasaría con B y C; por tanto, hay 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 formas diferentes de vestirse.

Haz una tabla con todos los resultados posibles que se obtienen al lanzar dos dados.

Elabora una tabla de doble entrada con los posibles resultados que podemos obtener con las fichas de dominó. ¿Cuántas fichas hay? Hay 28 fichas.

4

3

2

1



485

1.ª⏐2.ª 1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Q

A

PNM

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

xi 1 2 3 4 5 6 0

1 (1, 1)

2 (2, 1) (2, 2)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

0 (0, 1) (0, 2) (0, 3) (0, 4) (0, 5) (0, 6) (0, 0)

PR

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Las contraseñas que se utilizan en algunos correos electrónicos están formadaspor cuatro dígitos. Juan ha olvidado su contraseña, y sabe que está formada por las cifras 8, 1, 4 y 6, aunque no recuerda el orden. Haz un diagrama de árbol y escribe todos los posibles códigos de esta contraseña.

En un grupo de 4.º ESO se hace una votación para elegir los cargos de delegadoy subdelegado de 25 alumnos, con la condición de que en un mismo alumno no pueden recaer los dos cargos. ¿De cuántas maneras se pueden repartir?

¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6?De ellos, ¿cuántos son mayores que 540? ¿Y cuántos son pares?

¿De cuántas maneras se pueden colocar ocho trofeos en una estantería?4

3

2

1Utilización de diagramasmultiplicativos y de árbol

en el estudio de situacionesde la vida cotidiana.

Distinción entre variacionessin repetición y variaciones

con repetición, y cálculo de su valor en cada caso.

Distinción de laspermutaciones como caso

particular de las variaciones,y cálculo de su valor.



• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................... 8


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9


COMBINATORIA13829566 _ 0471-0496.qxd 27/6/08 09:13 Página 486


El profesor de Matemáticas quiere organizar un concurso por parejas en la clasepara resolver problemas. En la clase hay 14 chicos y 14 chicas y el profesordesea hacer parejas mixtas. ¿Cuántas parejas diferentes puede organizar? ¿Y si las parejas son de cualquier tipo?

En un campeonato de fútbol se presentan 17 equipos. ¿Cuántos partidosse tienen que jugar para que todos los equipos jueguen entre sí?

Calcula la siguiente potencia: (2x + 3y)4

En un grupo de 20 personas hay 5 personas que hablan solo inglés, 7 personasque hablan solo francés y el resto habla los dos idiomas. ¿De cuántas maneraspodemos elegir dos personas del grupo, de forma que siempre haya una personaque hable cada idioma?

Calcula el valor de x en cada una de las ecuaciones.

a) b) V 5x = 6V 3

x16

216

4x x−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

9

8

7

6

5Comprensión y distinción delas combinaciones respecto

de las variaciones y las permutaciones.

Cálculo del número de grupos que se forman

con las combinaciones.

Utilización de las propiedades de los números

combinatorios para obtenerla potencia de un binomio

(binomio de Newton).

Aplicación de la combinatoriaen la resolución

de problemas de la vidacotidiana.

487

Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... 1



Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................... 2, 3, 4, 5, 6


PR

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COMBINATORIA


13Contraseñas.

1.ª cifra 2.ª cifra 3.ª cifra 4.ª cifra Contraseña

46 8 14688 6 1486

1 64 8 16488 4 1684

84 6 18466 4 1864

Por tanto, hay 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 códigos, porque ocurrirá igual empezando por 4, 6 u 8.

Elección de delegado.

Una agrupación es un par de números dispuestos en cualquier orden, sin repetición: V225 = 25 ⋅ 24 = 600

Cifras.

Se trata de cifras que se pueden repetir y en las que sí importa el orden: VR34 = 43 = 64

Para que sean números mayores que 540, la primera cifra ha de ser un 6: VR24 = 42 = 16, o la primera cifra

ha de ser un 5; la segunda, un 4 o 5 o 6, y la tercera será cualquier número: 1 ⋅ 3 ⋅ 4 = 12 → 26 números

Para que los números sean pares, la última cifra ha de ser un 2: VR24 = 42 = 16 o un 4: 42 = 16 → 32 números

Trofeos.

Se trata de permutaciones de 8 elementos: P8 = 8! = 40.320 formas diferentes

Problemas de Matemáticas.

En el primer caso, elegimos un chico y una chica: 14 ⋅ 14 = 196 parejas diferentes.

En el segundo caso, como AB = BA,resulta que hay:

Binomio de Newton.

= 16x4 + 4 ⋅ 8x3 ⋅ 3y + 6 ⋅ 4x2 ⋅ 9y2 + 4 ⋅ 2x ⋅ 27y3 + 81y4 = 16x4 + 96x3y + 216x2y2 + 216xy3 + 81y4

Idiomas.

10 posibles parejas hablan solo inglés, 21 hablan solo francés y el total de posibles parejas es 190;entonces podemos escoger 190 − 10 − 21 = 159 parejas de las características pedidas.

Ecuaciones.

a)

b) V5x = 6V3

x → x(x− 1)(x−2)(x−3)(x−4) = 6 ⋅ x(x−1)(x−2) → (x−3)(x−4) = 6 →xx==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

16

(no válida)

162

164

2 4x x

x x−

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ − + −→ ( ) ( ) == =16 11→ x

9

8

2 3 40

2 41

24 4

x y x x+( ) = ⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟( ) + ⎛⎝

⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟( )33 1 2 2

3 42

2 3 43

y x y( ) + ⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟( ) ( ) + ⎛⎝

⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ 22 3 4

43

1 3 4x y y( ) ( ) + ⎛⎝

⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟( ) =

7

C282 28

228 27

2378=

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ =

⋅ = parejas

5

4

3

2

1

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

Campeonato de fútbol.

Se trata de formar parejas en las que importa el orden, por lo que se trata de combinaciones:

C172 17

217 16

2136=

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ =

⋅ =

6

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Probabilidad

CONTENIDOS

PROBABILIDAD

• Experimentos aleatorios. Sucesos:

– Suceso elemental. Espacio muestral.

– Sucesos compatibles e incompatibles.

• Operaciones con sucesos:

– Unión e intersección de sucesos.

– Suceso complementario.

• Probabilidad de un suceso.

• Regla de Laplace.

• Frecuencia y probabilidad.

• Propiedades de la probabilidad.

• Probabilidad condicionada.

• Sucesos dependientes e independientes:

– Cálculo de probabilidades condicionadas en sucesos dependientes e independientes.

INTRODUCCIÓN

La probabilidad se ha trabajado en todos los cursos, y se utiliza actualmente en numerosas disciplinas y en aspectos de predicción de fenómenos. Por ello es conveniente trabajar los conceptos de la unidadmediante sucesos de la vida ordinaria y próximos a los alumnos, o realizar los ejercicios de formapráctica: extracción de bolas de una bolsa,lanzamiento de dados o monedas, etc.

Las dificultades de la unidad surgen en los conceptosporque los cálculos y los procedimientos son sencillos.Es útil trabajar con diagramas en árbol.


Los conceptos previos que se han de revisar antes de comenzar la unidad son los correspondientes a la Unidad 14 de 3.º ESO:

• Distinción entre experimentos aleatorios y deterministas.

• Concepto intuitivo de probabilidad.

• Aplicación de la regla de Laplace en casos sencillos.

14


PRUEBA INICIAL

Esta prueba contiene cuatro actividades sobre la proba-bilidad, y el alumno tiene que distinguir los experimen-tos aleatorios de los deterministas, asignar una probabi-lidad a un suceso aleatorio de forma cualitativa, y aplicarla regla de Laplace en casos sencillos.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Se ha hecho una selección de actividades que trabajanlos conceptos de la unidad: espacio muestral y sucesos(actividad 1); frecuencia y probabilidad (actividad 2); ope-raciones con sucesos y cálculo de probabilidad (activi-dad 3); regla de Laplace y cálculo de probabilidades enexperimentos compuestos y en experimentos no equipro-bables (actividades 4 y 5). Las últimas actividades estánreferidas al cálculo de probabilidades en experimentoscompuestos y al cálculo de la probabilidad condicionadacon sucesos dependientes o independientes.

PR

OP

UE

STA

SD

E E

VALU

AC

IÓN

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EVALUACIÓN INICIAL

Averigua si los siguientes experimentos son deterministas o aleatorios.

a) Lanzar desde una torre, y con una velocidad de 20 m/s, un objeto, y calcular su velocidad al llegar.

b) Calentar agua a 100 ºC en condiciones normales y observar si hierve o no.

c) Lanzar un dado y mirar la puntuación obtenida.

d) En la parada del autobús, anotar el número de la línea del primer autobús que llega.

Asocia a cada uno de los sucesos estadísticos una de las palabras en función de su probabilidad.

Sucesos Probabilidad

Saco una ficha de dominó y la suma Segurode los puntos es mayor que 2

Lanzo un dado cúbico y sale Casi seguroun número par

Saco una carta de una baraja y sale Probableel as de bastos

Si hoy es jueves, mañana será viernes Casi imposible

Lanzamos al aire tres dados y la suma Imposiblede los puntos obtenidos es 20

En la clase de 4.º hay 17 chicas y 13 chicos. Si elegimos al azar a una persona para ser delegado de la clase, ¿qué probabilidad hay de que sea una chica?

Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Describe, en cada caso, el tipo de suceso y calcula las probabilidades de estos sucesos, aplicando la regla de Laplace.

a) Sacar el as de espadas.

b) Sacar una figura o un número menor que 8.

c) Sacar oros.

d) Sacar copas o bastos.

e) Sacar una carta que no sea figura.

f) Sacar una carta que sea múltiplo de 8.

4

3

2

1

PROBABILIDAD14829566 _ 0471-0496.qxd 27/6/08 09:13 Página 490



Averigua si los siguientes experimentos son deterministas o aleatorios.

a) Lanzar desde una torre, y con una velocidad de 20 m/s, un objeto, y calcular su velocidad al llegar.

b) Calentar agua a 100 ºC en condiciones normales y observar si hierve o no.

c) Lanzar un dado y mirar la puntuación obtenida.

d) En la parada del autobús, anotar el número de la línea del primer autobús que llega.

Son deterministas los experimentos a) y b) y son aleatorios los experimentos c) y d).

Asocia a cada uno de los sucesos estadísticos una de las palabras en función de su probabilidad.

Sucesos Probabilidad

Saco una ficha de dominó y la suma Segurode los puntos es mayor que 2

Lanzo un dado cúbico y sale Casi seguroun número par

Saco una carta de una baraja y sale Probableel as de bastos

Si hoy es jueves, mañana será viernes Casi imposible

Lanzamos al aire tres dados y la suma Imposiblede los puntos obtenidos es 20

En la clase de 4.º hay 17 chicas y 13 chicos. Si elegimos al azar a una persona para ser delegado de la clase, ¿qué probabilidad hay de que sea una chica?

Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Describe, en cada caso, el tipo de suceso y calcula las probabilidades de estos sucesos, aplicando la regla de Laplace.

a) Sacar el as de espadas.

b) Sacar una figura o un número menor que 8.

c) Sacar oros.

d) Sacar copas o bastos.

e) Sacar una carta que no sea figura.

f) Sacar una carta que sea múltiplo de 8.

a) c) e)

b) d) f) P(FF) = 0P D( ) = 2040

P B( ) = 1

P E( ) = 2840

P C( ) = 1040

P A( ) = 140

4

P( )chica = 1730

3

2

1

491

PR

OP

UE

STA

SD

E E

VALU

AC

IÓN

F

F

F

F

F

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Lanzamos un dado cúbico. Sean los sucesos.A = {sacar un número par}, B = {sacar un múltiplo de 3} y C = {obtener un número que sea potencia de 2}

a) Escribe estos sucesos.

b) Estudia la compatibilidad de los tres sucesos.

c) Calcula A ∪ B y B ∩ C.

Lanzamos muchas veces una taba y obtenemos los siguientes resultados.

a) Hoyo (la cara más cóncava), 654 veces.

b) Panza (la cara más convexa), 432 veces.

c) Carne (la cara lateral en forma de pico), 312 veces.

d) Fondo (la cara opuesta a la carne), 253 veces.

Calcula la probabilidad de obtener cada uno de los resultados posibles.

Una encuesta revela que, en una ciudad, el 45 % de los habitantes lee el periódico A, el 30 % lee el periódico B y un 15 % lee los dos periódicos.Si preguntamos a una persona, di cuál es la probabilidad de que no lea ninguno de los periódicos.

Lanzamos al aire una moneda y un dado. Calcula la probabilidad de obtenercara y par.

4

3

2

1Identificación de los sucesos de un experimento aleatorio,y realización de operaciones

con ellos.Distinción de si dos sucesos

son compatibles,incompatibles o contrarios.

Utilización de la relaciónentre frecuencia relativa

y probabilidad.

Cálculo de probabilidadesde sucesos compatibles,

incompatibles y contrarios.

Distinción entre experimentoaleatorio simple

y compuesto.Cálculo de la probabilidad de sucesos equiprobables

mediante la regla de Laplace.

• Enumerar e identificar elementos ............................................................................................................ 1


• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...............................................................

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ................................................................................................ 2, 4, 8

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................ 3, 5, 6, 7, 8


PROBABILIDAD14

Hoyo Barriga Carne Fondo

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Pulsamos la ruleta de la figura y observamos la puntuación obtenida. Calcula la probabilidad de obtener cada uno de los resultados posibles.

De una bolsa que contiene 6 bolas blancas y 3 bolas negras, se extraen dos bolas al azar sin devolución y se anota el color. Describe el experimentomediante un diagrama de árbol, y calcula la probabilidad de cada uno de los posibles resultados.

De un juego de cartas se extraen tres cartas sin devolución. Calcula la probabilidad de que sean tres figuras. ¿Y si se juega con devolución?

En una urna tenemos 4 bolas blancas, 5 verdes y 3 amarillas. Calcula la probabilidad de que saquemos una bola blanca en la segundaextracción si la primera bola ha sido verde.

8

7

6

5Obtención de probabilidades en contextos

de no equiprobabilidad.

Cálculo de probabilidades de sucesos independientes

y dependientes.

Aplicación de la probabilidad a situaciones de la vida

cotidiana.

Resolución de problemas de probabilidad

condicionada.

493




• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................


1

2

3

4

5

PR

OP

UE

STA

SD

E E

VALU

AC

IÓN

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PROBABILIDAD


Espacio muestral y sucesos.

a) A = {2, 4, 6} B = {3, 6} C = {1, 2, 4}

b) A y B son compatibles, A y C soncompatibles y B y C son incompatibles.

c) A ∪ B = {2, 3, 4, 6} B ∩ C = ∅

Operaciones con sucesos.

Si consideramos que E es el espacio muestral, podemos dividirlo en cuatrosubconjuntos disjuntos.

P(A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − [P(A) + P(B' − P(A ∩ B)] == 1 − (0,45 + 0,30 − 0,15) = 0,4

Experimentos compuestos.

En el siguiente diagrama se ve que es un experimento compuesto con 2 ⋅ 6 = 12 sucesos elementales equiprobables:

E = {(c, 1), (c, 2) , …, (x, 5), (x, 6)} P(cara, par) =

Sucesos no equiprobables.

Si llamamos x a la probabilidad de que salga un 1 (sector menor), tenemos que:

P(1) = x P(2) = 2x P(3) = 3x P(4) = x P(5) = x

x + 2x + 3x + x + x = 1 →

Diagramas de árbol.

Las probabilidades son:

Cartas de una baraja.

Con devolución, son sucesos independientes: P(Fig, Fig, Fig) =

Sin devolución, son sucesos dependientes: P(Fig, Fig, Fig) =

Probabilidad condicionada.

P(2.a blanca/1.a verde) =P

P( )

( )verde, blanca

verde=

⋅=

512

411

512

411

8

1240

1139

1038

0 0222⋅ ⋅ = ,

1240

1240

1240

0 027⋅ ⋅ = ,

7

P N N( , ) = ⋅ =39

28

672

P B N( , ) = ⋅ =69

38

1872

P N B( , ) = ⋅ =39

68

1872

P B B( , ) = ⋅ =69

58

3072

6

P P P P P( ) ( ) ( ) ( ) ( )118

228

338

418

518

= = = = =x = 18

→

5

312

14

=

4

3

1

14Frecuencia y probabilidad.

P B P D( ).

, ( ).

,= = = =4321 651

0 261253

1 6510 153

P A P C( ).

, ( ).

,= = = =6541 651

0 396312

1 6510 189

2

c x

Blanca6/9

3/9Negra

Blanca5/8

3/8 Negra

Blanca6/8

2/8 Negra

A B

A∩

B

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

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Queda prohibida, salvo excepción prevista en la ley, cualquier forma de reproduc-ción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contarcon la autorización de los titulares de la propiedad intelectual. La infracción de losderechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad inte-lectual (artículos 270 y siguientes del Código Penal).

© 2008 by Santillana Educación, S. L.Torrelaguna, 60. 28043 MadridPRINTED IN SPAINImpreso en España por

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Proyecto gráfico:Portada: CARRIÓ/SÁNCHEZ/LACASTAInteriores: Rosa María Barriga

Ilustración: Estudio Haciendo el león, Bartolomé Seguí, José María Valera

Jefa de proyecto: Rosa MarínCoordinación de ilustración: Carlos AguileraJefe de desarrollo de proyecto: Javier TejedaDesarrollo gráfico: José Luis García, Raúl de Andrés

Dirección técnica: Ángel García Encinar

Coordinación técnica: Félix RotellaConfección y montaje: Pedro Valencia, Hilario Simón, Luis González

Corrección: Marta Rubio, Gerardo Z. GarcíaDocumentación y selección fotográfica: Nieves Marinas

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1 Números reales - …ies.julioverne.leganes.educa.madrid.org/web/attachments/669... · La prueba contiene los conceptos más importantes de la unidad. Se ha hecho hincapié en conceptos