1. Obtener el vector gradiente de las siguientes funciones ...personal.us.es/jsmonter/jes1/pdf/PblExaMatItemas3y4.pdfGradAe2 x2 y Cos A3 x y2E, 8x, y, z

1. Obtener el vector gradiente de las siguientes funciones en un punto genérico,

especificando las condiciones que

debe verificar este punto :

aL f Hx, y, zL = Ln Kx + y

zO bO f Hx, y, zL =

eSen H x yL cO f Hx, y, zL =

x + y

z

d f Hx, y, zL = ySen H x zL e f

Hx, y, zL = H x y Lz f f Hx, y, zL = Sen H x yL Cos Hx y L

g f Hx, y, zL = zx y z h f Hx, y, zL =

e2 x2 y Cos I 3 x y2 M i f Hx, y, zL = Iz2+ 1Mx

GradBLogBx + y

zF, 8x, y, z<F

:1

x + y

,

1

x + y

, -

1

z

>

GradAeSin @x zD, 8x, y, z<E

9eSin@x zD

z Cos@x zD Log@eD, 0, eSin@x zD

x Cos@x zD Log@eD=

GradBx + y

z, 8x, y, z<F

:1

2x+y

zz

,

1

2x+y

zz

, -

x + y

2x+y

zz2

>

GradAySin @x zD, 8x, y, z<E

9ySin@x zD

z Cos@x zD Log@yD, y-1+Sin@x zD

Sin@x zD, x ySin@x zD

Cos@x zD Log@yD=

Grad@H x y Lz, 8x, y, z<D

9y Hx yL-1+zz, x Hx yL-1+z

z, Hx yLzLog@x yD=

Grad@Sen @ x yD Cos @x y D, 8x, y, z<D8-y Sen@x yD Sin@x yD + y Cos@x yD Sen

¢@x yD,

-x Sen@x yD Sin@x yD + x Cos@x yD Sen¢@x yD, 0<

Grad@zx y z, 8x, y, z<D

9y z1+x y z

Log@zD, x z1+x y z

Log@zD, zx y z Hx y + x y Log@zDL=

GradAe2 x2 y Cos A3 x y2E, 8x, y, z<E

94 e2 x

2y

x y CosA3 x y2E Log@eD - 3 e

2 x2

yy

2SinA3 x y

2E,

2 e2 x

2y

x2

CosA3 x y2E Log@eD - 6 e

2 x2

yx y SinA3 x y

2E, 0=

GradAIz2+ 1Mx

, 8x, y, z<E

:I1 + z2Mx

LogA1 + z2E, 0, 2 x z I1 + z

2M-1+x>

2. Obtener la matriz hessiana de las siguientes funciones en un punto genérico,

especificando las condiciones que

debe verificar este punto :

aL f Hx, yL = x y bM f Hx, yL = LnAx + y2E

Grad@Sqrt@x yD, 8x, y<D

:y

2 x y

,

x

2 x y

>

La matriz Hessiana será :

Grad@%, 8x, y<D

::-

y2

4 Hx yL3�2

, -

x y

4 Hx yL3�2

+

1

2 x y

>, :-

x y

4 Hx yL3�2

+

1

2 x y

, -

x2

4 Hx yL3�2

>>

Tambien podemos obtener la matriz Hessiana directamente con :

In[1]:= DA x y , 88x, y<, 2<E

Out[1]= ::-

y2

4 Hx yL3�2

, -

x y

4 Hx yL3�2

+

1

2 x y

>, :-

x y

4 Hx yL3�2

+

1

2 x y

, -

x2

4 Hx yL3�2

>>

Grad@Log@x + y^2D, 8x, y<D

:1

x + y2

,

2 y

x + y2

>

Grad@%, 8x, y<D

::-

1

Ix + y2M2

, -

2 y

Ix + y2M2

>, :-

2 y

Ix + y2M2

, -

4 y2

Ix + y2M2

+

2

x + y2

>>

La matriz Hessiana directamente :

In[2]:= D@Log@x + y^2D, 88x, y<, 2<D

Out[2]= ::-

1

Ix + y2M2

, -

2 y

Ix + y2M2

>, :-

2 y

Ix + y2M2

, -

4 y2

Ix + y2M2

+

2

x + y2

>>

3. Obtener la matriz hessiana de la función f en

el punto H1, 1L y de la función g en el punto H1, 0, -1L.

aL f Hx, yL = x + y bM g Hx, y, zL = x y z - x2 z2

2 PblExaMatItemas3y4.nb

GradA x + y , 8x, y<E

:1

2 x + y

,

1

2 x + y

>

Grad@%, 8x, y<D

::-

1

4 Hx + yL3�2

, -

1

4 Hx + yL3�2

>, :-

1

4 Hx + yL3�2

, -

1

4 Hx + yL3�2

>>


In[5]:= DA x + y , 88x, y<, 2<E

Out[5]= ::-

1

4 Hx + yL3�2

, -

1

4 Hx + yL3�2

>, :-

1

4 Hx + yL3�2

, -

1

4 Hx + yL3�2

>>

In[26]:= Hf@x_, y_D := ::-

1

4 Hx + yL3�2, -

1

4 Hx + yL3�2>, :-

1

4 Hx + yL3�2, -

1

4 Hx + yL3�2>>;

Hf@1, 1D

Out[27]= ::-

1

8 2

, -

1

8 2

>, :-

1

8 2

, -

1

8 2

>>

Hf@1, 1D =

- 1

4 8

- 1

4 8

- 1

4 8

- 1

4 8

GradAx y z - x2 z2, 8x, y, z<E

9y z - 2 x z2, x z, x y - 2 x

2z=

Grad@%, 8x, y, z<D

99-2 z2, z, y - 4 x z=, 8z, 0, x<, 9y - 4 x z, x, -2 x

2==


In[8]:= DAx y z - x2 z2, 88x, y, z<, 2<E

Out[8]= 99-2 z2, z, y - 4 x z=, 8z, 0, x<, 9y - 4 x z, x, -2 x

2==

In[30]:= Hg@x_, y_, z_D := 99-2 z2, z, y - 4 x z=, 8z, 0, x<, 9y - 4 x z, x, -2 x2==;

Hg@1, 0, -1DOut[31]= 88-2, -1, 4<, 8-1, 0, 1<, 84, 1, -2<<

Hg@1, 0, -1D =

-2 -1 4

-1 0 1

4 1 -2

PblExaMatItemas3y4.nb 3

4. Dada la función f Hx, y, zL =

xy+ yz obtener el vector gradiente en un punto genérico y las siguientes derivadas

parciales de segundo orden en el punto H1, 2, 3L :¶

2 f

¶x2Hx, y, zL,

¶2 f

¶y ¶xHx, y, zL,

¶2 f

¶x ¶yHx, y, zL.

Grad@xy+ yx, 8x, y<D

9x-1+y

y + yx

Log@yD, x y-1+x

+ xy

Log@xD=

D@xy+ yx, xD

x-1+y

y + yx

Log@yD

D@%, xD

x-2+y H-1 + yL y + y

xLog@yD2

Tambien directamente D11 :

In[9]:= D@D@xy+ yx, xD, xD

Out[9]= x-2+y H-1 + yL y + y

xLog@yD2

In[32]:= D11f@x_, y_, z_D := x-2+y H-1 + yL y + yx Log@yD2;

D11f@1, 2, 3DOut[33]= 2 + 2 Log@2D2

DAx-1+y y + yx Log@yD, yE

x-1+y

+ y-1+x

+ x-1+y

y Log@xD + x y-1+x

Log@yD

Tambien directamente D12 y D21 :

In[10]:= D@D@xy+ yx, xD, yD

Out[10]= x-1+y

+ y-1+x

+ x-1+y

y Log@xD + x y-1+x

Log@yD

In[34]:= D21f@x_, y_, z_D := x-1+y+ y-1+x

+ x-1+y y Log@xD + x y-1+x Log@yD;

D21f@1, 2, 3DOut[35]= 2 + Log@2D

In[11]:= D@D@xy+ yx, yD, xD

Out[11]= x-1+y

+ y-1+x

+ x-1+y

y Log@xD + x y-1+x

Log@yD

5. Dada la función f Hx, y, zL = LnAx + y2+ z3E. aM Obtener el dominio de la función f. bM

Obtener el vector gradiente de f en un punto genérico. cMDeterminar el dominio de definición del vector gradiente de f,

y si es posible, el vector gradiente de en

los puntos H-2, -1, 0L y en H1, 1, -1L.dM Obtener las siguientes derivadas

parciales de segundo orden :¶

2 f

¶y2Hx, y, zL,

¶2 f

¶x ¶zHx, y, zL,

¶2 f

¶y ¶xHx, y, zL.


In[15]:= GradALogAx + y2+ z3E, 8x, y, z<E

Out[15]= :1

x + y2+ z3

,

2 y

x + y2+ z3

,

3 z2

x + y2+ z3

>

cL Dom HGradfL = 9Hx, y, zL Î R3 � x + y2

+ z3> 0=.

In[44]:= Gra@x_, y_, z_D := :1

x + y2+ z3

,2 y

x + y2+ z3

,3 z2

x + y2+ z3

>;

H-2, -1, 0L Ï DomGradf

In[21]:= Gra@1, 1, -1DOut[21]= 81, 2, 3<

DALogAx + y2+ z3E, yE

2 y

x + y2+ z3

D@%, yD

-

4 y2

Ix + y2+ z3M2

+

2

x + y2+ z3

Tambien directamente D22 :

In[12]:= DADALogAx + y2+ z3E, yE, yE

Out[12]= -

4 y2

Ix + y2+ z3M2

+

2

x + y2+ z3

DALogAx + y2+ z3E, xE

1

x + y2+ z3

D@%, zD

-

3 z2

Ix + y2+ z3M2

Directamente D31 y D12 :

In[13]:= DADALogAx + y2+ z3E, zE, xE

Out[13]= -

3 z2

Ix + y2+ z3M2

In[14]:= DADALogAx + y2+ z3E, xE, yE

Out[14]= -

2 y

Ix + y2+ z3M2


6. Dada la función : f Hx, y, zL = Sen@x yD Cos@zD . aL Obtener el dominio de la

función. bL Obtener el vector gradiente de f en un punto genérico. cLDeterminar el dominio de definición del vector gradiente de f ,

y si es posible, el vector gradientede f e

el punto H1, 0, Π L. dL Obtener las siguientes derivadas parciales de

segundo orden :¶

2 f

¶z2Hx, y, zL,

¶2 f

¶y ¶xHx, y, zL,

¶2 f

¶x ¶yHx, y, zL.

aL Dom HfL = R

In[22]:= Grad@Sin@x yD Cos@zD, 8x, y, z<DOut[22]= 8y Cos@x yD Cos@zD, x Cos@x yD Cos@zD, -Sin@x yD Sin@zD<

cL Dom HGradfL = R

In[36]:= Gra@x_, y_, z_D := 8y Cos@x yD Cos@zD, x Cos@x yD Cos@zD, -Sin@x yD Sin@zD<;

Gra@1, 0, Π DOut[37]= 80, -1, 0<

In[23]:= D@D@Sin@x yD Cos@zD, zD, zDOut[23]= -Cos@zD Sin@x yD

In[24]:= D@D@Sin@x yD Cos@zD, xD, yDOut[24]= Cos@x yD Cos@zD - x y Cos@zD Sin@x yD

In[25]:= D@D@Sin@x yD Cos@zD, yD, xDOut[25]= Cos@x yD Cos@zD - x y Cos@zD Sin@x yD

7. Dada la función f Hx, yL =

Sin@x yD5x

. a Obtener el vector gradiente de f,

así como su dominio de definición. b Calcular las

derivadas parciales de segundo orden :¶

2 f

¶y2Hx, yL ,

¶2 f

¶x ¶yHx, yL.

In[38]:= GradBSin@x yD

5x, 8x, y<F

Out[38]= 85-x

y Cos@x yD - 5-x

Log@5D Sin@x yD, 5-x

x Cos@x yD<

aL DomGraf = 9Hx, yL Î R2=

In[39]:= DBDBSin@x yD

5x, yF, yF

Out[39]= -5-x

x2

Sin@x yD

In[40]:= DBDBSin@x yD

5x, yF, xF

Out[40]= 5-x

Cos@x yD - 5-x

x Cos@x yD Log@5D - 5-x

x y Sin@x yD


8. Dada la función f Hx, y, zL = Ln@x y + zD.

aL Obtener el dominio de la función.bL Obtener el vector gradiente de f,

en un punto genéico.cL Determinar el dominio de definición del

vector gradiente de f, y si es posible, el vector gradiente de f en

el punto H1, 1, -2L.

aL Domf = 9Hx, y, zL Ε R3 � x y + z > 0=

In[41]:= Grad@Log@x y + zD, 8x, y, z<D

Out[41]= :y

x y + z

,

x

x y + z

,

1

x y + z

>

cL DomGraf = 9Hx, y, zL Ε R3 � x y + z > 0=

Gra@x_, y_, z_D := :y

x y + z,

x

x y + z,

1

x y + z>;

H1, 1, -2L Ï DomGraf

9. Dada la función f Hx, yL =

x

y - 1y g Hx, yL = x

x

y

a Obtener los dominios de definición de f y g. b Obtener los vectores

gradientes de f y g en un punto genérico, indicando sus respectivos dominios. c

Si es posible, determinar los vectores gradientes en el punto H1, 2L.

aL Domf = :Hx, yL Î R2 �

x

y - 1r 0, y - 1 ¹ 0>, Domg = 9Hx, yL Î R

2 � x > 0, y ¹ 0=

In[45]:= GradBx

y - 1, 8x, y<F

Out[45]= :1

2x

-1+yH-1 + yL

, -

x

2x

-1+yH-1 + yL2

>

In[46]:= GradBx

x

y , 8x, y<F

Out[46]= :xx�y

1

y

+

Log@xDy

, -

x1+

x

y Log@xDy2

>


In[47]:= Graf@x_, y_D := :1

2x

-1+yH-1 + yL

, -

x

2x

-1+yH-1 + yL2

>;

Grag@x_, y_D := :xx�y1

y+

Log@xDy

, -

x1+

x

y Log@xDy2

>;

Graf@1, 2DGrag@1, 2D

Out[49]= :1

2

, -

1

2

>

Out[50]= :1

2

, 0>

10. Dada la función f Hx, yL = LnBx + y

x - y3 F. a Obtener

el dominio de definición de f. b Obtener la matriz Hessiana

de f en un punto genérico indicando su dominio de definición. c

Si es posible calcular la matriz Hessiana en el punto H2, 1L.

aL Domf = 9Hx, yL Ε R2 � x - y ¹ 0=

In[51]:= DBLogBx + y

x - y3 F, 88x, y<, 2<F

Out[51]= ::Hx - yL J-

2

Hx-yL2+

2 Hx+yLHx-yL3

N

3 Hx + yL-

Hx - yL2 J 1

x-y-

x+y

Hx-yL2N

2

3 Hx + yL2

,

-

2

3 Hx - yL2

-

Hx - yL2 J 1

x-y-

x+y

Hx-yL2N J 1

x-y+

x+y

Hx-yL2N

3 Hx + yL2

>,

:-

2

3 Hx - yL2

-

Hx - yL2 J 1

x-y-

x+y

Hx-yL2N J 1

x-y+

x+y

Hx-yL2N

3 Hx + yL2

,

Hx - yL J 2

Hx-yL2+

2 Hx+yLHx-yL3

N

3 Hx + yL-

Hx - yL2 J 1

x-y+

x+y

Hx-yL2N

2

3 Hx + yL2

>>

In[52]:= Simplify@%D

Out[52]= ::4 x y

3 Hx - yL2 Hx + yL2

, -

2 Ix2+ y2M

3 Hx - yL2 Hx + yL2

>, :-

2 Ix2+ y2M

3 Hx - yL2 Hx + yL2

,

4 x y

3 Hx - yL2 Hx + yL2

>>

bL DomHf = 9Hx, yL Ε R2 � x - y ¹ 0, x + y ¹ 0=


In[53]:= Hf@x_, y_D :=

::4 x y

3 Hx - yL2 Hx + yL2, -

2 Ix2+ y2M

3 Hx - yL2 Hx + yL2>, :-

2 Ix2+ y2M

3 Hx - yL2 Hx + yL2,

4 x y

3 Hx - yL2 Hx + yL2>>;

Hf@2,

1D

Out[54]= ::8

27

, -

10

27

>, :-

10

27

,

8

27

>>

11. Dada la función f Hx, yL = Sin2@x yD. aMObtener el vector gradiente de f en un punto genérico. bM

Calcular la derivada parcial de segundo orden :¶

2 f

¶x2Hx, yL

In[56]:= GradASin@x yD2, 8x, y<EOut[56]= 82 y Cos@x yD Sin@x yD, 2 x Cos@x yD Sin@x yD<

In[57]:= DADASin@x yD2, xE, xE

Out[57]= 2 y2

Cos@x yD2- 2 y

2Sin@x yD2

12. Dada la función f Hx, y, zL = xx z. aL Obtener el dominio de la función f. bLObtener el vector gradiente de f en un punto genérico. cL

Determinar el dominio de definición del vector gradiente de f,

y si es posible, el vector gradientede f en

el punto H1, -1, 1L.

aL Domf = 9Hx, y, zL Ε R3 � x > 0=

In[58]:= Grad@xx z, 8x, y, z<D

Out[58]= 9xx z Hz + z Log@xDL, 0, x

1+x zLog@xD=

cL DomGraf = 9Hx, y, zL Ε R3 � x > 0=

In[59]:= Gra@x_, y_, z_D := 9xx z Hz + z Log@xDL, 0, x1+x z Log@xD=;

Gra@1, -1, 1DOut[60]= 81, 0, 0<

13. Dada la función f Hx, yL = LnBx + 3

y3F. a Obtener el vector gradiente de f,

asícomo su dominio de definición. b Calcular las


2 f

¶x2Hx, yL y

¶2 f

¶x ¶yHx, yL.


In[61]:= GradBLogBx + 3

y3F, 8x, y<F

Out[61]= :1

2 H3 + xL, -

3

2 y

>

aL DomGraf = :Hx, yL Ε R2 �

x + 3

y3> 0, y ¹ 0>

In[62]:= DBDBLogBx + 3

y3F, xF, xF

Out[62]= -

1

2 H3 + xL2

In[63]:= DBDBLogBx + 3

y3F, yF, xF

Out[63]= 0

14. Dada la función f Hx, y, zL = zSin@x zD. aM Obtener el vector gradiente de f,

así como su dominio de definición. bM Calcular las


2 f

¶x2Hx, yL y

¶2 f

¶x ¶yHx, yL.

In[64]:= GradAzSin@x zD, 8x, y, z<E

Out[64]= :z1+Sin@x zD

Cos@x zD Log@zD, 0, zSin@x zD

x Cos@x zD Log@zD +

Sin@x zDz

>

aL DomGraf = 9Hx, y, zL Ε R3 � z > 0=

In[65]:= DADAzSin@x zD, xE, xE

Out[65]= z2+Sin@x zD

Cos@x zD2Log@zD2

- z2+Sin@x zD

Log@zD Sin@x zD

In[66]:= DADAzSin@x zD, yE, xEOut[66]= 0


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