1

Материалы по курсу “Теория поля”Разработаны Сергеем Сергеевичем Вергелесом

ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН, Черноголовка13 декабря 2019 г.

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ КАФЕДРЫ ПТФ ФОПФ МФТИ 2

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ КАФЕДРЫ ПТФ ФОПФМФТИ

Задачи на семинар “криволиней-ные координаты”

∙ Задача 1: Найдите метрический тензор в форме𝑔𝜇𝜈 и 𝑔𝜇𝜈 для вращающейся системы координат в про-странстве Минковского 𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧:

𝑡′ = 𝑡

𝑥′ =√𝑥2 + 𝑦2 cos(𝜙− 𝜔𝑡)

𝑦′ =√𝑥2 + 𝑦2 sin(𝜙− 𝜔𝑡)

𝑧′ = 𝑧.

где 𝑥, 𝑦 =√𝑥2 + 𝑦2cos𝜙, sin𝜙, а 𝜔 — фиксирован-

ный параметр.

∙ Задача 2: Докажите выражения (10.17) для ди-вергенции и лапласиана, записанных в криволинейныхкоординатах.

∙ Задача 3: Найдите метрический тензор для сфе-рической системы координат. Запишите операции взя-тия дивергенции и ротора в терминах контравариант-ных компонент векторов. В тех же терминах сформули-руйте теорему Остроградского-Гаусса.

∙ Задача 4: Найдите метрический тензор для ци-линдрической системы координат. Запишите операциивзятия дивергенции и ротора в терминах контравари-антных компонент векторов. В тех же терминах сфор-мулируйте теорему Остроградского-Гаусса.

∙ Задача 5: Покажите, что если 𝐹𝜇𝜈 = −𝐹 𝜈𝜇, тоего дивергенция может быть представлена в виде пол-ной производной делённой на

√|𝑔|, см. (10.20). Покажи-

те также, что выполняется равенство

∇𝜆𝐹𝜇𝜈 +∇𝜈𝐹𝜆𝜇 +∇𝜇𝐹𝜈𝜆 = 𝜕𝜆𝐹𝜇𝜈 + 𝜕𝜈𝐹𝜆𝜇 + 𝜕𝜇𝐹𝜈𝜆.

Задачи на семинар “Римановы про-странства”

∙ Задача 1: Докажите равенство (10.79)(∇𝜇∇𝜈 −∇𝜈∇𝜇

)𝐴𝜎 ≡ 𝐴𝜎;𝜇𝜈 −𝐴𝜎;𝜈𝜇 = −𝑅𝜍𝜎 𝜇𝜈𝐴𝜍 .

для коммутатора ковариантных производных ковари-антного вектора. Получите аналогичное равенство для

контравариантного вектора.

∙ Задача 2: Какая симметрия тензора кривизныследует из тождества (∇𝜇∇𝜈 −∇𝜈∇𝜇)𝑔𝜎𝜍 = 0?

∙ Задача 3: Пользуясь общими симметрийны-ми свойства тензора кривизны, установите, что в дву-мерном пространстве он полностью определяется ска-лярной кривизной. Покажите, что если двумерное про-странство является вложенным в трёхмерное евклидовопространство, то тензор кривизны полностью определя-ется гауссовой кривизной поверхности.

∙ Задача 4: Пользуясь общими симметрийнымисвойства тензора кривизны, установите, что в трёхмер-ном пространстве он полностью определяется тензоромРиччи. Покажите, что тождество Бианки не наклады-вает независимых ограничений на тензор кривизны.

∙ Задача 5: Посчитайте количество независимыхкомпонент в тензоре кривизны для 4-х мерного про-странства.

∙ Задача 6: Общей формулой для количества неза-висимых компонент тензора кривизны в 𝑑-мерном про-странстве является 𝑑2(𝑑2− 1)/12. Докажите это соотно-шение.

Задачи на семинар “Гравитацион-ное излучение”∙ Задача 1: Предположим, что два тела с массой

Солнца вращаются по круговой орбите вокруг друга,расстояние между ними равно одной астрономическойединице. Учитывая потери энергии этих двух тел награвитационное излучение, опишите как будет менятьсясо временем расстояние между ними.

∙ Задача 2: Принцип регистрации гравитацион-ной волны. Расстояние между точками определяется че-рез трёхмерный тензор (7.8). Пусть пока гравитацион-ная волна не пришла, пространство можно было считатьабсолютно плоским, и обе точки двигаются по близкимгеодезическим, находясь в покое друг относительно дру-га: их разделял вектор 𝑟. Найдите изменение расстоя-ния между точками в результате действия гравитацион-ной волны. Указание: удобно принять поперечную ка-либровку для гравитационной волны.

∙ Задача 3: Пусть электромагнитная монохро-матическая волна распространяется вдоль оси 𝑂𝑧 имеялинейную поляризацию электрического поля вдоль оси

3 МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ КАФЕДРЫ ПТФ ФОПФ МФТИ

𝑂𝑥, E = Ew cos(𝑘𝑧−𝜔𝑡); кроме того, в этой области про-странства имеется также постоянное однородное маг-нитное поле B0 = (B0, 0, 0). Найти уравнение на гра-витационную волну, которая будет возбуждаться интер-ференцией электромагнитное волны и постоянного маг-

нитного поля.

∙ Задача 4: Найти обратное влияние гравитаци-онной волны (её считать слабой) на электромагнитнуюволну.

Задачи на зачёт

∙ Задача 1: Покажите, что если A𝜇 – векторное поле, то величина F𝜇𝜈 = 𝜕𝜇A𝜈 −𝜕𝜈A𝜇 является тензором, даже если присутствует ненулевой тензор кручения. Чемусоответствует операция построения тензора F𝜇𝜈 по заданному векторному полю A𝜇 втерминах дифференциальных форм? Если A𝜇 — 4-потенциал электромагнитного поля,то что из себя представляет система уравнений ddA = 0, где A = A𝜇d𝑥

𝜇?

∙ Задача 2: Покажите, что полная энергия чёрной дыры равна 𝐸 = 𝑟𝑔𝑐4/(2𝐺),

где 𝑟𝑔 — радиус Шварцшильда этой чёрной дыры.

∙ Задача 3: Напишите тензор энергии-импульса чёрного излучения. Из уравненийЭйнштейна получите зависимость температуры (плотности энергии) чёрного излуче-ния от масштаба Вселенной. Сравните результат с термодинамическим рассмотрениеми с красным смещением частоты распространяющегося фотона по мере расширенияВселенной. На каком возрасте Вселенной чёрное излучение должно играть ведущуюроль в динамике расширения Вселенной? Как в этом режиме масштаб Вселенной за-висит от времени?

∙ Задача 4: Найдите отклонение светового луча в центрально симметричном поле.Задачу решите в сферических координатах (как это делается для массивной частицынаходящейся на финитной траектории).

∙ Задача 5: Какова должна быть частота обращения Земли вокруг своей оси,чтобы прецессия гироскопа, движущегося по около-земной орбите определялась неградиентом гравитационного потенциала, а вращением Земли?

∙ Задача 6: Пусть в цилиндрических координатах 𝜌, 𝜙, 𝑧 поверхность тора за-даётся уравнением 𝑧2 + (𝜌− 2𝑅)2 = 𝑅2. Метрика на этом торе определяется евклидо-вой метрикой 3-х мерного пространства, в которое вложен тор. Найдите (внутренний)тензор кривизны в ортогональном базисе. Если, например, считать, что тор образованмыльной плёнкой обладающей поверхностным натяжением 𝜎, то разница давлений наразных сторонах плёнки определяется средней кривизной 1/𝐾m = 1/𝑅1 + 1/𝑅2, где𝑅1,2 — радиусы кривизны поверхности тора. Как связан тензор внутренней кривизныс радиусами кривизны 𝑅1,2?

∙ Задача 7: Найдите сечение захвата чёрной дырой ультрарелятивистских частиц.

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ КАФЕДРЫ ПТФ ФОПФ МФТИ 4

Найдите первую поправку по 1/𝛾 ≪ 1.

∙ Задача 8: Найдите круговые орбиты в поле тяжести чёрной дыры (зависимостьскорости движения от радиуса и/или периода обращения).

∙ Задача 9: Стоящая на поверхности невращающейся планеты пушка стреляетчасами ровно вверх. В момент вылета выпущенные из пушки часы были синхрони-зованы с часами, оставшимися на поверхности планеты. Скорость выпущенных часовтакова, что они в процессе свободного движения возвращаются (падают) обратно напланету. На которых часах набежавшее время будет больше после того, как выпу-щенные часы вернутся на планету? Как этот ответ согласуется с известным из СТОпарадоксом близнецов?

5 I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Часть I

КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАГлава 1

ЛАГРАНЖЕВ И ГАМИЛЬТОНОВФОРМАЛИЗМЫ

§1.1. Формализм Лагранжа: одна степень свободы

Пусть 𝐿(𝑞, 𝑞) – лагранжиан системы, где 𝑞(𝑡) – тра-ектория движения системы. Сейчас мы предполагаем,что величина 𝑞 является скаляром, так что под систе-мой может понимать, например, одномерная координа-та материальной точки.

Уравнения движения определяются экстремумомфункционала

𝑆 =

ˆd𝑡 𝐿(𝑞, 𝑞), (1.1)

который называется действием. Для общеупотребитель-ных теорий этот экстремум оказывается минимумом.Траектория 𝑞(𝑡), на которой достигается экстремум дей-ствия, называется истинной траекторией. По таким тра-екториям в действительности может эволюционироватьклассическая система.

Найдём истинную траектория частицы. На истиннойтраектории 𝑞(𝑡) действие достигает экстремума, поэто-му при фиксированных граничных условиях любая ма-лая вариация 𝛿𝑞 истинной траектории 𝛿𝑞 должна приве-сти к нулевой вариации действия (линеаризованной повариации траектории), 𝛿𝑆 = 0. Граничными условиямипримем следующие условия: частица начинает двигать-ся в момент времени 𝑡𝑎 в точке 𝑞𝑎, а заканчивает дви-жение в момент времени 𝑡𝑏 в точке 𝑞𝑏; при вычислениивариации действия будем сначала предполагать, что ва-риации подвергнуты и граничные значения 𝑞𝑎,𝑏 (тогдакак 𝑡𝑎,𝑏 фиксированы). В таком случае

𝛿𝑆 = 𝑆(𝑞 + 𝛿𝑞)− 𝑆(𝑞) = (1.2)

=

𝑡𝑏ˆ

𝑡𝑎

d𝑡

(𝛿𝐿

𝛿𝑞− d

d𝑡

𝛿ℒ𝛿𝑞

)𝛿𝑞 +

𝛿𝐿

𝛿𝑞𝛿𝑞𝑏𝑎

При фиксированном начальном и конечном положени-ях, когда 𝛿𝑞(𝑡𝑎) = 𝛿𝑞(𝑡𝑏) = 0, вариация действия ока-зывается равной нулю, т.е. траектория 𝑞(𝑡) является ис-тинной, если на ней выполняется уравнение Лагранжа

d

d𝑡

𝛿𝐿

𝛿𝑞=𝛿𝐿

𝛿𝑞. (1.3)

Это уравнение является обыкновенным дифференци-альным уравнением по времени на координату 𝑞. По-скольку лагранжиан зависит от первой производной 𝑞,то уравнение Лагранжа в общем случае является урав-нением второго порядка. Поэтому для его решения необ-ходимо два граничных условия, в нашем случае этимиграничными условиями являются значения координаты𝑞 в начале и в конце движения.

Рассмотрим наиболее простой пример лагранжиана– лагранжиан нерелятивистской частицы массы 𝑚, дви-жущейся в потенциале Π(𝑞):

𝐿(𝑞, 𝑞) =𝑚𝑞2

2− Π(𝑞).

В этом случае уравнение Лагнаржа принимает видуравнения Ньютона для частицы, движущейся под дей-ствием внешней силы 𝑓(𝑞):

𝑚𝑞 = 𝑓, 𝑓(𝑞) = −𝜕Π𝜕𝑞

.

Продолжение: книга Фейнман и Хибс, 1968, Гл.2, §1

Глава 1. Лагранжев и Гамильтонов формализмы 6

§1.2. Формализм Гамильтона: одна степень свободы

Лагранжиан формально зависит от двух величин –координаты 𝑞 и скорости 𝑞, но реально при вариациидействия 𝑆 независимую вариацию имеет только траек-тория, 𝛿𝑞(𝑡), тогда как вариация скорости может бытьнайдена из этой вариации простым дифференцирова-нием по времени, d(𝛿𝑞)/d𝑡. Этот же факт находит от-ражение в том, что уравнение Лагранжа оказываетсяуравнением второго порядка.

Как известно, дифференциальное уравнение второ-го порядка эквивалентно системе из двух дифференци-альных уравнений первого порядка, при этом требуетсяввести, помимо координаты 𝑞, ещё одну независимуюфункцию времени, которая должна иметь нетривиаль-ную зависимость от скорости 𝑞. Формализм Гамильтона,в частности, выполняет именно эту функцию. Кроме то-го, в нём уравнения движения переписываются в сим-метричной форме, что позволяет сделать ряд важныхзаключений.

Введём импульс

𝑝 =𝜕𝐿

𝜕𝑞(1.4)

и будем считать, что есть две возможности задатьЛагранжиан: через пару переменных 𝑞, 𝑞 и через парупеременных 𝑞, 𝑝; если известна одна пара переменных,то вторая пара может быть получена используя равен-ства (1.4). Введём функцию Гамильтона (гамильтониан)

ℋ(𝑞, 𝑝) = 𝑝𝑞 − 𝐿 (1.5)

Уравнение движение второго порядка в формализмеЛагранжа переписывается в виде системы двух урав-нений первого порядка в формализме Гамильтона:

𝑞 =𝛿ℋ𝛿𝑝, = −𝛿ℋ

𝛿𝑝. (1.6)

Чтобы получить эти уравнения, можно заметить, чтос формальной точки зрения гамильтониан зависит отпары переменных 𝑞′, 𝑝. При этом в этой паре пере-менных мы обозначили 𝑞′ = 𝑞, чтобы отличать вари-ации этих переменных от вариаций переменных 𝑞, 𝑞.Их приращения связаны между собой линейным преоб-разованием

(𝛿𝑞′

𝛿𝑝

)=

⎛⎜⎝ 1 0

𝜕2𝐿

𝜕𝑞 𝜕𝑞

𝜕2𝐿

𝜕𝑞2

⎞⎟⎠(𝛿𝑞𝛿𝑞

)

Используя эту линейную связь, выражая гамильтони-ан через лагранжиан согласно (1.5) и полагая, что им-пульс 𝑝 = 𝑝(𝑞, 𝑞), можно непосредственно убедиться, чтоуравнения Гамильтона (1.6) эквивалентны уравнениюЛагранжа (1.3).

Уравнения можно переписать в более компактнойформе:

𝜕𝑡𝑄 = ε𝛿ℋ𝛿𝑄

, ε =

(0 1−1 0

), 𝑄 =

(𝑞

𝑝

).

1.2.1 Скобки ПуассонаСкобки Пуассона двух некоторых функций 𝐹 и 𝐺от канонических переменных вычисляются согласно ра-венству

[𝐹,𝐺] =𝛿𝐹

𝛿𝑞

𝛿𝐺

𝛿𝑝− 𝛿𝐺

𝛿𝑞

𝛿𝐹

𝛿𝑝.

Из этого определения вытекает, что элементарная скоб-ка Пуассона [𝑞, 𝑝] = 1. В терминах скобки Пуассонауравнения движения переписываются в виде

𝑖 = [𝑄𝑖,ℋ].

где 𝑖 = ‘𝑞’, ‘𝑝’. Отсюда следует, что скорость измене-ния любой величины 𝐹 (𝑞, 𝑝) определяется её скобкойПуассона с Гамильтонианом

= [𝐹,ℋ]. (1.7)

1.2.2 Каноническое преобразование

1.2.3 Переменные уничтожения и рож-дения 𝑎 и 𝑎*

Построим переменные

𝐴 =

(𝑎

𝑎*

),

соответствующие операторам рождения-уничтожения вквантовой теории:

𝐴 = U𝑎𝑄,𝛿

𝛿𝐴= U−1,𝑇

𝑎

𝛿

𝛿𝑄,

U𝑎 =1√2

(1/𝑐 𝑖𝑐1/𝑐 −𝑖𝑐

), det U𝑎 = −𝑖.

Здесь безразмерная постоянная 𝑐 не определена. Онаможет быть зафиксирована исходя из дополнительных(физических) соображений. В дальнейшем мы полагаемеё равной единице. Скобка Пуассона

[𝑎, 𝑎*] =1

det U𝑎= 𝑖,

так что формально преобразование U𝑎 не являетсяканоническим; В терминах новых переменных скоб-ка Пуассона приобретает дополнительный множительdet U𝑎:

[𝐹,𝐺] = 𝑖

(𝛿𝐹

𝛿𝑎*𝛿𝐺

𝛿𝑎− 𝛿𝐺

𝛿𝑎*𝛿𝐹

𝛿𝑎

).

7 I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

В переменных 𝑎 и 𝑎* уравнения Гамильтона (1.6) пере-писываются в виде

= −𝑖𝜖𝛿ℋ𝛿𝐴

. (1.8)

Формулы (1.6)-(1.8) могут быть без труда обобщены наслучай системы с 𝑁 степенями свободы.

1.2.4 Действие в формализме Гамильто-на

В формализме Гамильтона действие системы по-прежнему есть интеграл по времени от лагранжиана,

𝑆 =

ˆd𝑡 𝐿, (1.9)

но теперь лагранжиан зависит от четырёх переменных:

𝐿 = 𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑝, ) = 𝑝𝑞 −ℋ(𝑞, 𝑝), (1.10)

или 𝐿 = 𝐿(𝑎, , 𝑎*, *) = 𝑖𝑎*−ℋ(𝑎, 𝑎*),

с точностью до полного дифференциала по времени. Ва-рьирование действия по 𝑞, 𝑝 даёт уравнения Гамиль-тона (1.6), варьирование по переменным 𝑎, 𝑎* – урав-нения (1.8).

Важно подчеркнуть, что временные производные от𝑝, 𝑞 входят в действие не более чем в первой степени.Поэтому уравнения движения Гамильтона (1.6) оказы-ваются уравнениями первой степени по времени, тогдакак уравнение движения Лагранжа (1.3) в общем случаеявляется уравнением второго порядка по времени.

Вариация действия (1.9) по положению началь-ной/конечной точек интегрирования даёт каноническиеимпульсы и энергию. Воспользуемся (1.10), для того,чтобы переписать действие в виде

𝑆 =

𝑡𝑏ˆ

𝑡𝑎

d𝑡 𝐿 =

ˆ(𝑝d𝑞 − ℋ d𝑡) (1.11)

Предположим теперь, что при вариации 𝑡𝑎,𝑏 → 𝑡𝑎,𝑏 +𝛿𝑡𝑎,𝑏, 𝑞𝑎,𝑏 → 𝛿𝑞𝑎,𝑏. Тогда вариация действия по измене-нию положения конца пути равна

𝛿𝑆

𝛿𝑡𝑎,𝑏= ∓ℋ(𝑡𝑎,𝑏),

𝛿𝑆

𝛿𝑞𝑎,𝑏= ±𝑝(𝑡𝑎,𝑏). (1.12)

Методически интересно получить это же утвержде-ние (1.12) из рассмотрения вариации действия в лагран-жевой форме (1.2). Такой путь более громоздкий, по-скольку тот факт, что уравнения Лагранжа являютсяуравнениями второй степени, нарушает независимостьвариаций времени и координаты. Варьированное дей-ствие имеет вид

𝑆var =

𝑡𝑏+𝛿𝑡𝑏ˆ

𝑡𝑎+𝛿𝑡𝑎

d𝑡 𝐿(𝑞 + 𝛿𝑞, 𝑞 + 𝛿𝑞).

Для краткости выкладок ниже мы положим 𝛿𝑡𝑎 =0, 𝛿𝑞𝑎 = 0. Вариация действия равна

𝛿𝑆 =

𝑡𝑏ˆ

𝑡𝑎

d𝑡

(𝛿𝐿

𝛿𝑞− d

d𝑡

𝛿𝐿

𝛿𝑞

)𝛿𝑞 + (𝑝𝑏 𝛿𝑞(𝑡𝑏) + 𝐿𝛿𝑡𝑏) =

=

𝑡𝑏ˆ

𝑡𝑎

d𝑡

(𝛿𝐿

𝛿𝑞− d

d𝑡

𝛿𝐿

𝛿𝑞

)𝛿𝑞 +

(𝑝𝑏𝛿𝑞𝑏 −ℋ𝛿𝑡𝑏

), (1.13)

сравни с (1.2). В процессе выкладок мы воспользовалисьопределениями импульса (1.4) и гамильтониана (1.5),а также следующим соотношением для вариации обоб-щённой координаты 𝑞

𝛿𝑞(𝑡𝑎,𝑏) = 𝛿𝑞𝑎,𝑏 − 𝑞(𝑡𝑎,𝑏)𝛿𝑡𝑎,𝑏,

которое можно понять, воспользовавшись Рис. 1.1. Вто-рое слагаемое в (1.13) соответствует результату варьи-рования (1.12) концов траектории.

𝑡

𝑞

𝑡𝑎 𝑡𝑏

𝑞𝑏 𝛿𝑞𝑏𝛿𝑞(𝑡𝑏)

𝛿𝑡𝑏

Рис. 1.1 Вариация действия с нефиксированнымконцом. Сплошная линия – неварьированный путь;

штрихованная – варьированный.

1.2.5 Уравнение Гамильтона-Якоби

Вернёмся к уравнению (1.12). Гамильтониан в первомуравнении зависит от координаты и импульса, импульсже является частной производной действия по коорди-нате. Поэтому, полагая траекторию истинной и действиезависящим от времени, координаты начальной точки 𝑞и конечной точки 𝑞𝑎 траектории, получаем

𝜕𝑆

𝜕𝑡+ℋ

(𝑞, 𝜕𝑆/𝜕𝑞; 𝑡

)= 0 (1.14)

Это уравнение называется уравнением Гамильтона-Якоби (Hamilton-Jacobi equation). Наша конечная цель– найти траекторию частицы, например в виде зависи-мости 𝑞(𝑡).

Как от параметра, функция 𝑆 зависит от коорди-наты начальной точки траектории 𝑞𝑎, и от начальноговремени 𝑡𝑎.

𝑆 = 𝑆𝑏(𝑡, 𝑞; 𝑞𝑎) + 𝑆𝑎(𝑡𝑎, 𝑞𝑎). (1.15)

Глава 1. Лагранжев и Гамильтонов формализмы 8

Можно сказать, что разбиение справа есть сумма дей-ствий на промежутках времени (𝑡0, 𝑡) и (𝑡𝑎, 𝑡0), где 𝑡0 –произвольное фиксированное время. Поэтому

𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑎= −𝑝𝑎,

𝜕𝑆

𝜕𝑡𝑎= 𝐸𝑎. (1.16)

где 𝑝𝑎𝑖 – начальный импульс частицы, а 𝐸𝑎 – началь-ная энергия в точке ‘a’; в силу уравнений движения𝐸𝑎 = ℋ(𝑡𝑎, 𝑞𝑎, 𝑝𝑎).

1.2.5.1 Несколько степеней свободы

Продолжим рассуждения, посчитав, что мы сделалипрямолинейное обобщение выше изложенных рассуж-дений на систему с 𝑠 степенями свободы. Как началь-ные координаты 𝑞𝑎𝑖, так и начальные импульсы 𝑝𝑎𝑖 есте-ственным образом не зависят от времени 𝑡 – параметравдоль траектории движения. Поэтому 2𝑠 величин 𝑞𝑎𝑖, 𝑝𝑎𝑖являются в этом смысле интегралами движения. Ещёодним интегралом движения является начальное 𝑡𝑎, то-гда как начальная энергия 𝐸𝑎 определяется уже назван-ными интегралами движения.

В силу специфики конкретной задачи, от коорди-нат 𝑞𝑎𝑖 оказывается часто удобным перейти к другомунабору 𝛼𝑖 = 𝛼𝑖(𝑞𝑎𝑖) независимых интегралов движе-ния. Время не следует включать в аргументы 𝛼𝑖 в си-лу существования разбиения (1.15), но с точки зрения

уравнения Гамильтона-Якоби, сам кусок действия 𝑆𝑎можно считать постоянной интегрирования, зависящейкак от параметров от величин 𝛼𝑖. Отвлекаясь теперь отсмысла совокупности 𝛼𝑖, 𝑆𝑎 как от начальных коорди-нат и времени, отметим, что с точки зрения уравненияГамильтона-Якоби, функция 𝑆 зависит от 𝑠+1 парамет-ра и представима в виде разбиения (1.15), поскольку онавходит в это уравнение только посредством своих част-ных производных.

Таким образом, алгоритм нахождения траекториисистемы с помощью уравнения Гамильтона-Якоби сле-дующий. Сначала надо найти саму функцию 𝑆 в виде(1.15):

𝑆 = 𝑓(𝑡, 𝑞𝑖;𝛼𝑖) +𝐴(𝛼𝑖). (1.17)

Затем составить 𝑠 уравнений

𝜕𝑓

𝜕𝛼𝑖= 𝛽𝑖, (1.18)

где 𝛼𝑖 и 𝛽𝑖 – интегралы движения, определяемые на-чальными условиями. Эти 𝑠 уравнений позволяют вы-числить зависимости 𝑠 координат 𝑞 как функций отвремени и 2𝑠 интегралов движения. При желании, вме-сто функции 𝑓 в (1.18) можно дифференцировать всюфункцию 𝑆, тогда в вычисления будет непосредственнововлечено начальное время 𝑡𝑎.

§1.3. Законы сохранения

Рассмотрим любую инфинитезимально малую вари-ацию истинной траектории 𝑎(𝑡) системы с одой степеньюсвободы:

𝑎′ = 𝑎 + 𝛿𝑎, (1.19)

С учётом уравнений движения (1.3) получаем, что приинфинитезимально малом преобразовании на траекто-рии истинного движения изменение лагранжиана равно

𝛿𝑆 =

ˆd𝑡(𝐿′ − 𝐿), 𝐿′ − 𝐿 =

d

d𝑡

(𝜕𝐿

𝜕𝑞𝛿𝑞

), (1.20)

или в формализме Гамильтона

𝐿′ = 𝐿 +d

d𝑡(𝑖𝑎* 𝛿𝑎). (1.20𝑎)

1.3.1 Теорема НётерТеорема Нётер (Noether’s theorem) утверждает, что еслисистема обладает некоторой симметрией, выражающей-ся в инвариантности уравнений движения относительнонекоторой группы преобразований, то система обладаетсохраняющейся величиной.

При дальнейшем рассмотрении этого Пункта 1.3.1мы предполагаем простейший вариант: у системы одна

степень свободы, и её лагранжиан не зависит явно отвремени. В этом случае симметрия состоит в инвари-антности уравнений движения относительно сдвига повремени, а сохраняющейся величиной является энергия.

Первый способ доказательства теоремы Нётер ос-нован на рассмотрении малой произвольной вариацииобобщённой координаты 𝑞 и изложен в Пункте 1.3.1.2.Этот способ соответствует замене переменных поля винтеграле по траекториям. Пример применения заменыпеременных поля в интеграле по траекториям можнонайти, например, в Вергелес, 2008, Приложение В: Тен-зор энергии импульса.

Второй вариант доказательства вытекает из рас-смотрения произвольной деформации временной оси,см. Пункт 1.3.1.1. Логика этого метода, применённая вполевой задаче к деформации пространственных коор-динат, соответствует методу виртуальных перемещений.В задачах о непрерывных средах метод виртуальных пе-ремещений обычно применяют для нахождения тензоранапряжений.

Наконец, есть вывод, в котором рассматриваютсясовместные деформация координаты временной оси ивариация обобщённой координаты, которые будучи взя-ты в совокупности, непосредственно соответствуют сим-метрии лагранжиана. Этот вывод дан, в частности, в

9 I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

учебнике Пескин и Шредер (2001, §2.2, Теорема Нётер)и изложен в Пункте 1.3.1.3, но, по нашему мнению, яв-ляется менее продуктивным.

1.3.1.1 Вывод интеграла движения через про-извольную деформацию временой оси

Отталкиваясь от того факта, что уравнения движенияинвариантны относительно сдвига времени, рассмотримпроизвольную деформацию временной оси

𝑡′ = 𝑡+ 𝑢(𝑡),

предполагая 𝑢(𝑡) малой величиной; будем также счи-тать, что на границе временного промежутка интегри-рования 𝑢(𝑡) обращается в ноль. В этом случае получаемследующие законы преобразования величин, их первыхпроизводных и меры интегрирования по времени:

𝜕𝑡 →(1 + 𝜕𝑡′𝑢

)𝜕𝑡′ , d𝑡 =

(1− 𝜕𝑡′𝑢

)d𝑡′,

𝑎(𝑡) → 𝑎(𝑡′) − 𝑢𝜕𝑡′𝑎(𝑡′),

𝜕𝑡𝑎(𝑡) → 𝜕𝑡′𝑎(𝑡′) − 𝑢𝜕2𝑡′𝑎(𝑡

′) (1.21)

в первом порядке по малому 𝑢 (в выражении для 𝜕𝑡𝑎слагаемые, содержащие 𝜕𝑡𝑢, взаимно сократились); под-разумевается, что 𝑎(𝑡) и 𝑎(𝑡′) – одна и та же функция,взятая, однако, от разных аргументов.

Вариация действия (1.9) при деформации временнойоси (т.е. при замене переменной интегрирования) долж-на быть тождественно равна нулю,

𝛿𝑆 = −ˆ (

𝐿 +𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑞𝑢 +

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑞𝑢

)d𝑡 = (1.22)

=

ˆ (d𝐿

d𝑡− 𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑞 − 𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑞

)𝑢d𝑡 = 0.

Отметим, что на этом шаге мы использовали отсутствиеявной зависимости лагранжиана от времени, и поэто-му именно здесь закладывается результат – сохранениеэнергии при движении. При втором варианте записи в(1.22) круглая скобка равна нулю в силу произвольностидеформации 𝑢. Равенство нулю может быть интерпрети-ровано следующим образом: первое слагаемое в скобкеесть полная производная лагранжиана, которая можетбыть расписана через частные производные координатыи скорости (остальные слагаемые).

Теперь воспользуемся тем, что траектория 𝑞(𝑡) ис-тинная, т.е. выполнено уравнение движения (1.3). Тогдапосле интегрирования по частям третьего слагаемого вкруглой скобке (первый вариант равенства) правой ча-сти (1.22) получим, что

0 = 𝛿𝑆 =

ˆd𝑡

(𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑞 − 𝐿

) =

ˆd𝑡 𝑢 𝜕𝑡𝐻. (1.23)

Ввиду произвольности вариации 𝑢, приходим в тому,что производная от гамильтониана должна обращать-ся в ноль,

𝜕𝑡𝐻 = 0,

т.е. полная энергия системы сохраняется.

1.3.1.2 Вывод интеграла движения через произ-вольную деформацию обобщённой коор-динаты

Рассмотрим другой способ, основанный на вариацииобобщённой координаты на истинной траектории. Пустьвариация координаты равна

𝑞 → 𝑞 + 𝑢𝑞, 𝑞 → 𝑞 + 𝜕𝑡(𝑢𝑞). (1.24)

Заметим, что вариация 𝑞 соответствует (1.21), тогда каквариация 𝑞 уже другая: она получается непосредствен-ным дифференцированием по времени вариации 𝑞. Ве-личина 𝑢 предполагается малой и обращающейся в нольна границе временного промежутка интегрирования, а востальном произвольная. Вариации действия и лагран-жиана на истинной траектории суть

𝛿𝑆 =

ˆd𝑡 𝛿𝐿 = 0, 𝛿𝐿 =

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑢𝑞 +

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝜕𝑡(𝑢𝑞) =

= 𝑢

(𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑞 +

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑞

)+ 𝑝𝑞 𝜕𝑡𝑢 = 𝑢

d𝐿

d𝑡+ 𝑝𝑞𝜕𝑡𝑢. (1.25)

Мы воспользовались тем, что лагранжиан не зависитявно от времени, поэтому

d𝐿

d𝑡=

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑞 +

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑞

и проведём интегрирование по частям во втором пред-ставлении вариации лагранжиана в (1.25). В результатемы получим, что вариация действия (1.9) равна тому жевыражению (1.23), взятым с противоположным знаком.

Пусть теперь лагранжиан не зависит явно от обоб-щённой координаты 𝑞. В этом случае сохраняющейся ве-личиной является также и канонический импульс. Пока-жем это. Вариацию координаты теперь возьмём в виде,соответствующему сдвигу по координате, а не по време-ни, как это было в (1.24). В результате вариация коор-динаты и действия равны

𝛿𝑞 = 𝜕𝑡𝑢(𝑡), 𝛿𝑆 =

ˆ𝑝 d𝑢 = −

ˆ𝜕𝑡𝑝 𝑢d𝑡, (1.26)

т.е. импульс сохраняется,

𝜕𝑡𝑝 = 0.

1.3.1.3 Однопараметрическое семейство реше-ний

Предположим, что для любой истинной траекториидвижения системы 𝑞(𝑡) (и 𝑝(𝑡), если запись ведётся вформализме Гамильтона) существует семейство другихистинных траекторий, задаваемых параметром 𝛼:

𝑞′(𝑡) = 𝑞′ (𝑞, 𝛼) , 𝑝′(𝑡) = 𝑝′(𝑞, 𝛼), (1.27)

или 𝑎′(𝑡) = 𝑎′ (𝑎, 𝛼)

Глава 1. Лагранжев и Гамильтонов формализмы 10

в терминах переменной 𝑎(𝑡). Для определённости мы по-лагаем, что если параметр 𝛼 = 0, то преобразование яв-ляется тождественным, т.е. преобразованный путь сов-падает с исходным.

Все траектории (1.27) являются решением (1.6). По-этому при преобразовании (1.27), в частности, при пре-образовании (1.19), лагранжиан 𝐿 в (1.9) изменяется наполный дифференциал по времени,

𝛿𝑆 =

ˆd𝑡(𝐿′ − 𝐿), 𝐿′ − 𝐿 =

d𝐽(𝛼)

d𝑡, (1.28)

поскольку вариация преобразованного действия долж-на приводить к траектории (1.27).

Теперь покажем, что существование семейства реше-ний (1.27) означает, что при движении системы сохра-няется некоторая величина 𝐼. Действительно, посколь-ку выражения (1.28) и (1.20) были получены непосред-ственно (без применения операции интегрирования почастям), то поправка к лагранжиану (1.28) при 𝛼 → 0равна аналогичной поправке (1.20). В результате полу-чаем получаем

d𝐼

d𝑡= 0, 𝐼 = 𝜕𝛼(𝑖𝑎

* 𝛿𝑎− 𝐽)𝛼=0

, (1.29)

где вариация пути 𝛿𝑎 соответствует параметрическомусемейству (1.27),

𝛿𝑎 = 𝛼𝜕𝛼𝑎′(𝑡, 𝛼)

𝛼=0

.

Таким образом, для того, чтобы иметь возможностьнайти интеграл движения 𝐼, необходимо уметь вычис-лять величину 𝐽 в (1.28), а точнее – величину 𝜕𝛼𝐽

𝛼=0

в (1.29).Рассмотрим тот же элементарный пример закона со-

хранения энергии для системы с одной степенью свобо-ды. Если лагранжиан системы (вместе с ним и гамиль-тониан) не зависит явно от времени, то из существова-ния решения 𝑎(𝑡) следует существование решения

𝑎′(𝑡) = 𝑎(𝑡+ 𝛼).

В этом случае величина 𝐽 , введённая в (1.28) и необхо-димая нам в виде (1.29), равна

𝛿𝑎 = 𝛼, 𝜕𝛼𝐽𝛼=0

= 𝐿.

Используя (1.9) получаем, что сохраняющаяся величи-на 𝐼 в (1.29) есть гамильтониан, 𝐼 = 𝐻.

1.3.2 ПолеРассмотрим полевую формулировку. К каждой точ-ке пространства прикреплено некоторое фиксированноечисло степеней свободы, которые и являются в этом слу-чае каноническими переменными в лагранжевом описа-нии. Координаты же в этом случае служат для перечис-ления канонических переменных.

Мы предполагаем, что нулевой координатой (пер-вой по счёту) является временная координата, апространство-время является 𝑑-мерным пространством.

В случае полевой задачи действие

𝑆 =

ˆd𝑑𝑥ℒ. (1.30)

где ℒ – 𝑑-мерная плотность лагранжиана. В случаелагранжева формализма ℒ = ℒ(𝜑𝑎, 𝜑𝑎,𝜇), где индекс𝑎 = 1, . . . , 𝑁 нумерует компоненты поля или разныеполя. В случае гамильтонова формализма плотностьлагранжиана ℒ(𝑎𝑎, 𝑎𝑎,𝜇, 𝑎*𝑎, 𝑎*𝑎,𝜇).

Уравнения движения .

𝜕ℒ𝜕𝜑− 𝜕𝜇

𝜕ℒ𝜕𝜑,𝜇

= 0. (1.31)

Величина, которую принято называть тензоромэнергии-импульса,

𝑇 𝜈𝜇 =𝜕ℒ𝜕𝜑𝑎, 𝜈

𝜑𝑎, 𝜇 − 𝛿𝜈𝜇ℒ, (1.32)

удовлетворяет уравнениям

𝜕𝜈𝑇𝜈𝜇 = 0, (1.33)

если выполнены уравнения движения (1.31). Уравнения(1.33) означают, что величины

𝑃𝜇 =

ˆd𝑥1 . . . d𝑥𝑑−1 𝑇 0

𝜇 (1.34)

сохраняются во времени.Определение (1.32) можно переписать через любые

другие независимые комбинации полей. Пусть Φ𝑎, 𝑎 =1, . . . , 𝑁 — любые 𝑁 независимых функций 𝑁 величин𝜑𝑎 (так что якобиан перехода от одних к другим явля-ется ненулевым). Тогда верно равенство

𝑇 𝜈𝜇 =𝜕ℒ

𝜕Φ𝑎, 𝜈Φ𝑎, 𝜇 − 𝛿𝜈𝜇ℒ, (1.35)

Переход от производных по 𝜑𝑎, 𝜈 к производным по Φ𝑎, 𝜈действительно возможен. Чтобы показать это, исполь-зуем соотношение

𝜑𝑐,𝜆 =𝜕𝜑𝑐𝜕Φ𝑎

𝜕Φ𝑎𝜕𝑥𝜆

=𝜕𝜑𝑐𝜕Φ𝑎

𝛿𝜈𝜆 Φ𝑎,𝜈 ,

𝛿𝜑𝑐,𝜆 =𝜕𝜑𝑐𝜕Φ𝑎

𝛿𝜈𝜆 𝛿Φ𝑎,𝜈 +𝜕2𝜑𝑐

𝜕Φ𝑎𝜕Φ𝑏(𝛿Φ𝑏 → 0) 𝛿𝜈𝜆 Φ𝑎,𝜈

для того, чтобы преобразовать первое слагаемоев (1.35):

𝜕ℒ𝜕𝜑𝑐,𝜆

(𝜕𝜑𝑐,𝜆𝜕Φ𝑎,𝜈

Φ

= 𝛿𝜈𝜆𝜕𝜑𝑐𝜕Φ𝑎

)· 𝜕Φ𝑎𝜕𝑥𝜇

=𝜕ℒ𝜕𝜑𝑐, 𝜈

𝜑𝑐, 𝜇.

Мы учли то, что вариация плотности лагранжиана (вфиксированной точке пространства) по производнымполей Φ𝑎,𝜈 происходит при фиксированном в этой точкезначения самих полей Φ𝑏. Таким образом, эквивалент-ности (1.32) и (1.35) доказано.

1.3.2.1 Теорема Нётер

11 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Часть II

ЭЛЕКТРОДИНАМИКАГлава 2

ЧЕТЫРЁХ-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ

Литература Джексон (1965), Ландау и Лифшиц (1988), Топтыгин (2005), Топтыгин (2002), Мешков и Чириков (1987),Угаров (1977),

§2.1. Постулаты релятивистской механики

2.1.1 Недостаточность галилеевской ме-ханики и необходимость новой тео-рии.

Независимость вида математической записи законовфизики относительно выбора инерциальной системы от-счёта должна предполагаться в любой физической тео-рии. Если же все системы отсчёта одинаковы, то нет вы-деленной, а значит вопрос об абсолютной скорости телабессмысленнен. А. Пуанкаре в начале XX века сформу-лировал это интуитивное соображение так: в природеесть закон, заключающийся в том, что абсолютную ско-рость обнаружить невозможно никаким способом. По-этому актуальным является только вопрос о том, как из-меняется математическое описание физических систем,когда мы изменяем систему отсчёта. Ответ на этот во-прос накладывает ограничения на возможный вид урав-нений движения материи.

Первый закон Ньютона утверждает, что свободноетело, пущенное с любой скоростью в любом направле-нии, должно двигаться равномерно и прямолинейно влюбой инерциальной системе координат. Следователь-но, координаты для любых двух инерциальных пря-моугольных декартовых систем связаны между собойнекоторым линейным преобразованием. В этом утвер-ждении не было бы ничего удивительного, если бы речьшла только о 3-х пространственных координатах; тогдамножество допустимых линейных преобразований огра-ничивалось бы ортогональными поворотами.

Однако в этих общих рассуждениях участвует и ещёодна координата — время. Понятно, что время долж-но быть всё же логически отделено. Необходимы допол-нительные физические соображения, которые бы выде-лили допустимую подгруппу линейных преобразованийвсех 4-х координат. Как оказывается, для разных физи-ческих моделей ответ оказывается различным.

В классической механике максимальная относитель-ная скорость движения двух тел может быть сколь угод-но большой. Поэтому в ней рассматривалось всего два

типа взаимодействия. Первое — гравитационное взаи-модействие двух материальных точек, сформулирован-ное И. Ньютоном. Считалось, что это взаимодействиераспространяется с бесконечной скоростью, т.е. опреде-ляется текущим положением тел. Второе — это близко-действие двух абсолютно недеформируемых (абсолютнотвёрдых) тел конечного размера, когда они приходят всоприкосновение. По определению, при воздействии наабсолютно твёрдое тело конечного размера в одной еготочке, все другие его точки в этот же момент начинаютиспытывать ускорение, определяемое ускорением цен-тра масс и угловым ускорением тела. Таким образом,здесь также встроено представление о бесконечной ско-рости распространения взаимодействия.

Математическое описание этих двух взаимодействийпо форме остаётся тем же самым при переходе из однойинерциальной системы координат в другую, если пред-положить, что координаты этих систем связаны междусобой преобразованием Галилея. Пусть 𝑣 – скорость си-стемы 𝐾 ′ относительно системы 𝐾. ПреобразованиемГалилея является

𝑡′ = 𝑡, 𝑟′ = 𝑟 − 𝑣𝑡, (2.1)

где 𝑡, 𝑟 и 𝑡′, 𝑟′ – координаты одной и той же материаль-ной точки в инерциальных системах 𝐾 и 𝐾 ′ соответ-ственно. Если законы физики инвариантны относитель-но преобразований вида (2.1) то говорят о галилеевскойинвариантности. О механике в этом случае говорят како классической или галилеевской механике. Время припреобразовании Галилея остаётся неизменным, и пото-му носит абсолютный характер.

Во второй половине XIX века Д.К. Максвелл сфор-мулировал уравнения электродинамики в пустоте. Изэтих уравнений может быть получено волновое урав-нение, которое описывает распространение света. Про-блема заключалась в том, что уравнения Максвелла необладают галилеевской инвариантностью. Наоборот, со-гласно уравнениям Максвелла электромагнитная (све-товая) волна в любой инерциальной системе координат

Глава 2. Четырёх-мерное пространство-время 12

распространяется с одной и той же скоростью, равнойконстанте 𝑐. Численное значение этой константы равно

𝑐 = 299 792 458м/с.

Из этого факта следует общее ограничение: любое мас-сивное тело может двигаться только со скоростью, мень-шей скорости света. Действительно, в противном слу-чае в системе отсчёта этого тела световая волна долж-на быть неподвижна, если тело движется со скоростьюсвета по направлению распространения волны. Итак,скорость 𝑐 – максимальная скорость распространениявзаимодействия, а любое массивное тело может дви-гаться только со скоростью, меньшей 𝑐.

Для восстановления инвариантности уравнений фи-зики при переходе из одной инерциальной системы ко-ординат в другую следовало отказаться от преобразо-вания Галилея в пользу другого линейного преобра-зования координат. Такое преобразование предложилХ.А. Лоренц (поэтому оно носит его имя), но оконча-тельно обдумал этот факт и сформулировал готовуютеорию специальной теории относительности (СТО)А. Эйнштейн в 1905 году. В этой теории два события,одновременные в одной системе координат, но разне-сённые по пространству, в общем случае не являютсяодновременными в другой системе координат. Понятиевремени стало относительным. Поэтому новую теориюстали называть теорией относительности (theory ofrelativity), построенную на её основе механику стали на-зывать релятивистской механикой.

Тем не менее, при замене преобразования Галилеяпреобразованием Лоренца возникала новая проблема:теперь мгновенно распространяющееся гравитационноевзаимодействие не могло быть органично включено вобщефизическую картину. Процесс создания общей тео-рии относительности (ОТО), включающей в себя и гра-витацию (гравитационное взаимодействие теперь такжераспространялось с конечной скоростью), был завершёнв 1916 году, где лидером также оказался А. Эйнштейн.

2.1.2 Постулаты специальной теории от-носительности

Упомянем сначала базовые постулаты, которые лежатв основе всех физических теорий.

Все физические явления описываются математи-ческими законами. Не существует явлений материаль-ного мира, которые не могли бы быть описаны матема-тической моделью.

Принцип причинности. Этот принцип утверждает,что какое-либо событие, произошедшее в любой времяв любой точке, может повлиять только на то, что будетпосле этого события. В такой форме этот принцип ещёне формализован, при построении конкретной теорииего надо доопределять.

Теперь перейдём к конкретной теории. Сейчас мыограничиваемся специальной теорией относительности

(СТО), в которой не рассматривается гравитация. Длярасширения теории до общей теории относительности,включающей гравитацию, необходимо добавить новыепостулаты и модифицировать часть постулатов СТО.

2.1.2.1 Базовые понятия в релятивистской ме-ханике

Свободное тело Будем говорить, что тело предо-ставлено самому себе, или называть его свободным те-лом, если оно находится на значительном расстоянии отдругих тел, так что его взаимодействием с этими дру-гими телами можно пренебречь.

Инерциальная система отсчёта Инерциальной си-стемой отсчёта называется система отсчёта, в которойтело, предоставленное самому себе, движется равномер-но и прямолинейно.

Четырёх-мерное пространство-время Мы будемизучать движение тел и распространение волн в 4-мерном пространстве времени. Четыре измерения скла-дываются из одного, соответствующего времени, и трёх,соответствующих обычному наблюдаемому простран-ству.

Событие Событием мы будем называть точку вчетырёх-мерном пространстве-времени.

Событие фиксирует место и время.

2.1.2.2 Постулаты, касающиеся свойств про-странства

Эти постулаты переходят в релятивистскую механикуиз классической механики.

∙ Пространство и время однородны: физическиепроцессы в замкнутой системе не зависят от её ме-стоположения в пространстве и во времени.

∙ Пространство изотропно: физические процессы взамкнутой системе не зависят от её ориентации впространстве.

2.1.2.3 Постулаты, касающиеся инерциальныхсистем отсчёта

∙ Равноправие инерциальных систем отсчёта.

Во всех инерциальных системах отсчёта физиче-ские законы выглядят одинаково, т.е. одинаковаих математическая запись.

∙ Ограниченность максимальной скорости.

Существует максимальная скорость движения илипередачи сигнала в пространстве. Из предыдуще-го постулата следует, что она одна и та же во всех

13 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

инерциальных системах отсчёта. Эту максималь-ную скорость мы будем обозначать буквой

скорость света: 𝑐.

С максимальной скоростью 𝑐 распространяется,в частности, свет в вакууме.

Второй постулат является новым с точки зренияклассической механики.

2.1.3 Принцип минимума действияНьютонова механика формулировалась, исходя из по-стулирования уравнений движения. В дальнейшем былопоказано, что уравнения движения могу быть полученыиз принципа минимума действия.

Построение обновлённой теории предпочтительнейначинать непосредственно с определения действия, и за-тем находить уравнения движения путём его миними-зации. Соображения для такого выбора следующие. Посмыслу, действие есть величина, не зависящая от вы-бора системы координат, или, как говорят, являющаясярелятивистским инвариантом. А именно, фиксирован-ной траектории частицы, записанной в любой системекоординат, действие ставит в соответствие одно и то жечисло. Уравнения движения не обладают этим простымсвойством. Хотя они и имеют одинаковый математиче-ский вид во всех системах отсчёта, но конкретные значе-ния величин в уравнении движения разумеется зависятот выбора системы координат.

Общие принципы построения действия для описа-ния лагражневой системы в специальной теории отно-сительности (СТО) следующие:

∙ Действие должно являться релятивистским инва-риантом, т.е. его значение для конкретной траек-тории системы не должно зависеть от выбора си-стемы координат;

∙ Действие должно иметь максимально простой вид,который, тем не менее, должен содержать в себевсю необходимую физику.

∙ Согласно принципам построения лагранжиана вклассической механике, в лагранжиан не должнывходить производные от координат по времени бо-лее чем первого порядка.

Преобразование Лоренца перемешивает между собойвременную и пространственные компоненты. Поэтомупроизводные по времени и по координате должны вхо-дить в действие симметричным образом.

2.1.3.1 Поле и материальные точки в классиче-ской теории поля

В релятивистской теории не могут рассматриваться аб-солютно твёрдые тела, поскольку абсолютно твёрдое те-ло предполагает бесконечную скорость распростране-ния сигнала по этому телу. Поэтому массивные частицы

могут рассматриваться только как материальные точ-ки. Для материальной частицы действие должно бытьинтегралом по той части пространства-времени, где су-ществует частица. То есть, действие должно быть инте-гралом вдоль траектории частицы.

В специальной теории относительности получает са-мостоятельный смысл концепция поля. Если в ньюто-новской механике взаимодействие передавалось непо-средственно от одного тела к другому, а понятие полямогло рассматриваться только как вспомогательное, тов релятивистской механике поле приобретает собствен-ное существование, вообще говоря независимое от ча-стиц. Частица взаимодействует непосредственно толь-ко с полем в точке, где она находится. Взаимодействиес другими частицами происходит посредством распро-страняющегося поля: сначала одна частица создаёт из-менение поля; после этого поле распространяется отэтой частице к другой со скоростью, не превышающейскорость света; затем та другая частица начинает ис-пытывать воздействие пришедшего к ней изменённогополя. Поэтому действие для поля должно быть инте-гралом по всему пространству-времени от плотностилагранжиана поля.

Принцип построения действия при существованииразличных частей системы состоит в том, что действиеесть арифметическая сумма разных вкладов. Есть вкла-ды, которые отвечают за движение отдельных частей –частиц и поля – самих по себе, а есть вклады, которыеотвечают за взаимодействие этих частей.

2.1.3.2 Принцип ковариантности уравненийдвижения

2.1.4 Встроенные противоречия класси-ческой теории поля и её связь сквантовой теорией

Большинство точечных частицы помимо массы облада-ют также электрическим зарядом. Заряд частицы ин-дуцирует электрическое поле, в результате чего полнаяэнергия покоящейся частицы складывается из её энер-гии покоя, связанной с массой, и энергией электрическо-го поля. Поскольку электрическое поле распределено позакону Кулона, то электрическая часть энергии оказы-вается формально бесконечной для точечной частицы –интеграл по пространству от объёмной плотности энер-гии электрического поля расходится на малых расстоя-ниях от частицы.

Эта бесконечность проявляется в конкретных вы-числениях при исследовании задачи об излучении уско-ренно движущейся частицей электромагнитных волн.Можно подвести полный баланс сохранения энергиитолько между моментами, когда частица движется рав-номерно и прямолинейно. Однако пока она движется сускорением, установить полный баланс энергии оказы-вается невозможным, поскольку в уравнении на баланс

Глава 2. Четырёх-мерное пространство-время 14

присутствует бесконечная добавка от энергии поля то-чечного заряда.

Выход из этого даёт квантовая теория, согласно ко-торой массивные частицы описываются волновой функ-

цией, имеющей конечный размер локализации. Еслиплотность заряда остаётся конечной во всех точкахпространства, то электромагнитная энергия становитсяограниченной по величине.

§2.2. Инерциальные системы координат

Основы тензорного анализа, свойства трёхмерногоевклидового пространства и 4-х мерного пространстваМинковского даны в Главе 9. Здесь мы предполагаем,что читатель знаком с этим математическим аппаратом.

2.2.1 Инерциальные декартовы системыкоординат

Пусть в инерциальной системе отсчёта 𝐾 задана декар-това система координат. Пространственные координатымы обозначаем

𝑥𝑖 ≡ 𝑟𝑖, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙, . . . = 1, 2, 3 или 𝑥, 𝑦, 𝑧.

В Пункте 2.1 говорилось о том, что переход от од-ной инерциальной системы координат к другой долженсоответствовать линейному преобразованию координат.Если при этом линейном преобразовании время оста-вить неизменным, то мы получим преобразование Га-лилея (2.1). Для того, чтобы построить новую теорию,время надо включить время наравне с пространствен-ными координатами в качестве одной из компонент пол-ного 4-вектора, определяющего событие — место и вре-мя. Мы будем следовать традиции, в которой время 𝑡есть нулевая компонента

𝑥0 ≡ 𝑐𝑡,

где 𝑐 – скорость света. Весь 4-вектор мы будем обозна-чать

𝑥𝜇, 𝜇, 𝜈, 𝜆. . . . = 0, 1, 2, 3.

Если нам потребуется отделить временную (нулевую)координату от пространственных (трёх последних), томы это будем обозначать следующим образом:

𝑥 ≡ ||𝑥𝜇|| = 𝑐𝑡, 𝑟.

В принципе, можно вводить декартову систему ко-ординат и в неинерциальной системе отсчёта. Если небудет оговорено противное, мы всегда будем подразуме-вать, что декартова система координат введена в инер-циальной системе отсчёта, и будем отождествлять этидва понятия.

2.2.1.1 Интервал

Возьмём два события 𝐴 и 𝐵 с координатами

𝐴 : 𝑥𝜇, 𝐵 : 𝑥𝜇 + d𝑥𝜇 (2.2)

соответственно. По определению, интервалом междуэтими двумя событиями называется величина

d𝑠2 = 𝑐2 d𝑡2 − d𝑟2 =

=(d𝑥0)2 − [(d𝑥1)2 + (d𝑥2)2 + (d𝑥3)2]

Если световой луч прошёл через оба события 𝐴 и𝐵 (2.2), это означает, что интервал между ними равеннулю,

d𝑠2 = 0. (2.3)

Это равенство должно выполняться в любой системекоординат, поскольку свет в пустоте распространяетсявсегда с фиксированной скоростью 𝑐.

2.2.1.2 Метрический тензор

Более кратко определение интервала можно записать ввиде

(d𝑠)2

= 𝑔𝜇𝜈 d𝑥𝜇d𝑥𝜈 , (2.4)

где по повторяющимся индексам происходит суммиро-вание от 0 до 3. Метрический тензор 𝑔𝜇𝜈 диагонален,его диагональные элементы суть

||𝑔𝜇𝜈 || = diag1,−1,−1,−1.

См. Пункт 2.2.3, где обсуждаются смысл и свойства вве-дённого метрического тензора.

2.2.2 Переход из одной инерциальнойсистемы координат в другую

Пусть даны две инерциальные системы координат 𝐾и 𝐾 ′, а координаты некоторого тела в этих системахотсчёта равны 𝑥𝜇 и 𝑥′𝜇. Эти координаты связанымежду собой линейным соотношением

𝑥′𝜈 = Λ′𝜈𝜇 𝑥

𝜇 + 𝑥′𝜈,0. (2.5)

в котором матрица Λ′𝜈𝜇 и 𝑥′𝜈,0 характеризуют относи-

тельное движение и расположение систем отсчёта 𝐾и 𝐾 ′. Напомним, что связь между координатами телав разных системах отсчёта должна быть линейной, по-скольку только так можно добиться прямолинейного иравномерного движения свободного тела (движущегосяс произвольной допустимой скоростью в произвольномнаправлении) одновременно в обеих инерциальных си-стемах отсчёта.

15 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

2.2.2.1 Матрица Лоренца и преобразование Ло-ренца

Из сформулированных постулатов классической теорииотносительности следует, что матрица перехода Λ, опи-сывающая в (2.5) переход из одной системы координатв другую, должна удовлетворять равенству

𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜎𝜍 Λ′𝜎𝜈 Λ′𝜍

𝜇 , ⇒ abs (det ||Λ′𝜎𝜈 ||) = 1, (2.6)

т.е. сохранять метрический тензор. Матрица, удовлетво-ряющая уравнению (2.6), называется матрицей Лорен-ца, а преобразование координат, которое она осуществ-ляет, называется преобразованием Лоренца.

Доказательство (2.6) основывается на постулате онезависимости скорости распространения света от вы-бранной системы координат, см. (2.3). Таким образом,ограничение на матрицу преобразования Лоренца (2.6)является математическим выражением введённого по-стулата релятивистской механики. Само доказательствоприведено ниже в Пункте 2.2.2.3.

2.2.2.2 Количество параметров преобразованияЛоренца

Пусть матрица преобразования Лоренца Λ слабо отли-чается от тождественного преобразования,

Λ′𝜇𝜈 = 𝛿𝜇𝜈 + 𝜖Ω𝜇𝜈 , 𝜖→ 0. (2.7)

После приравнивания нулю коэффициента при первойстепени 𝜖 в уравнении (2.6) получаем, что матрица Ωдолжна удовлетворять уравнению

Ω𝜇𝜈 + Ω𝜈𝜇 = 0.

Таким образом, в матрице Ω содержится 6 независи-мых параметров.

Совершая переход 1/𝜖 раз и устремляя 𝜖 → 0, по-лучаем конечное преобразование Лоренца

Λ′ = exp(||Ω𝜇𝜈 ||

). (2.8)

Матрица Лоренца, которую можно представить в виде(2.8), соответствует переходу между системами коорди-нат, у которых время течёт в одну сторону, т.е. Λ′0

0 > 0,а пространственные оси в обеих системах отсчёта обра-зуют однонаправленную тройку координат.

Число шесть непрерывных параметров в матрицеЛоренца можно интерпретировать следующим образом:три параметра суть углы Эйлера, описывающие произ-вольный поворот пространственных осей одной системыотносительно пространственных осей другой системы;остальные три параметра суть три компоненты скоро-сти относительного движения систем координат.

Все остальные матрицы Лоренца, не представимыев виде (2.8), можно получить из (2.8) путём умноже-ния её на матрицы, соответствующие обращению вре-мени или пространственной инверсии. Таким образом,вся совокупность матриц Лоренца параметризуется 6-юнепрерывными параметрами и двумя дискретными.

2.2.2.3 Доказательство сохранения метрическо-го тензора при переходе из одной инер-циальной системы координат в другую

Установим ограничения, накладываемые на матрицу пе-рехода Λ (2.5) постулатами теории относительности,т.е. докажем (2.6).

Для этого рассмотрим два события 𝐴 и 𝐵, таких,что свет, испущенный из 𝐴, как раз приходит в 𝐵.Это означает, что интервал между этими двумя собы-тиями равен нулю, см. (2.4). Пусть события 𝐴 и 𝐵, всистемах отсчёта 𝐾 и 𝐾 ′ имеют координаты

𝐾: 𝐴: 𝑥𝜇 и 𝐵: 𝑥𝜇 + d𝑥𝜇

𝐾 ′: 𝐴: 𝑥′𝜇 и 𝐵: 𝑥′𝜇 + d𝑥′𝜇.

Переход из системы 𝐾 в систему 𝐾 ′ осуществляетсяпри помощи матрицы Λ (2.5),

d𝑥′𝜇 = Λ′𝜇𝜈 d𝑥𝜈 .

Запишем условие равенства нулю интервала между𝐴 и 𝐵 в обеих системах отсчёта:

(d𝑠)2

= 𝑔𝜇𝜈 d𝑥𝜇 d𝑥𝜈 = 0, (2.9)

(d𝑠′)2

= 𝑔𝜇𝜈 d𝑥′𝜇 d𝑥′𝜈 = 𝐺𝜇𝜈 d𝑥

𝜇 d𝑥𝜈 = 0, (2.10)

𝐺𝜇𝜈 = Λ′𝜎𝜇 Λ′𝜏

𝜈 𝑔𝜎𝜏 .

Метрический тензор ||𝐺𝜇𝜈 || есть метрический тензор си-стемы 𝐾 ′, пересчитанный в системе 𝐾. Для каждогоd𝑥𝜇, для которого выполняется (2.9), должно выпол-няться и равенство (2.10).

Покажем, что из этого требования следует пропор-циональность

𝐺𝜇𝜈 ∝ 𝑔𝜇𝜈

между матрицами. Заметим сразу, что матрица 𝐺𝜇𝜈симметрична в силу своего построения. Далее, посколь-ку равенство (2.9) сохраняется при заменах

d𝑥𝑖 → −d𝑥𝑖, d𝑥0 → d𝑥0,

d𝑥𝑖 → 𝒪𝑖𝑗 d𝑥𝑗 , d𝑥0 → d𝑥0,

где – ортогональная матрица, то, во-первых мат-ричные элементы 𝐺0𝑖 равны нулю, а во-вторых, сектор𝐺𝑖𝑗 пропорционален единичной матрице. Из последнеговытекает, что метрический тензор в новой системе коор-динат пропорционален метрическому тензору в старойсистеме координат,

𝐺𝜇𝜈 ∝ 𝑔𝜇𝜈 ,

Осталось показать, что коэффициент пропорционально-сти тождественно равен единице. Мы уже выполнили

Глава 2. Четырёх-мерное пространство-время 16

условие сохранения нулевого значения интервала, по-этому следует воспользоваться дополнительными сооб-ражениями.

Абсолютное значение детерминанта метрическоготензора ||𝐺𝜇𝜈 || равно квадрату детерминанта матрицыЛоренца ||Λ′𝜇

𝜈 ||. Поэтому нам надо показать, что абсо-лютное значение детерминанта матрицы Лоренца равноединице. Пусть (

det ||Λ′𝜇𝜈 ||)2

= 𝑎.

Коэффициент 𝑎 может зависеть только от абсолютно-го значения 𝑣 взаимной скорости 𝑣 движения системкоординат 𝐾 ′ и 𝐾. В противном случае нарушит-ся постулат об изотропности пространства. Рассмотримтеперь ещё одну систему координат 𝐾 ′′, которая дви-жется относительно системы 𝐾 ′ со скоростью 𝑣′, помодулю равной 𝑣, а относительно системы 𝐾 — со ско-ростью 𝑣′′. Переходя сначала непосредственно из 𝐾в 𝐾 ′′, а потом через систему 𝐾 ′, получаем равенство:

𝑎(𝑣′′) = 𝑎(𝑣) 𝑎(𝑣′).

Зафиксируем теперь величину скоростей 𝑣, 𝑣′, и бу-дем менять угол между скоростями 𝑣 и 𝑣′, тем са-мым меняя абсолютное значение скорости 𝑣′′. При этомединственным способом сохранить верность выписанно-го равенства является тождественное равенство 𝑎 = 1.

Таким образом, доказано равенство (2.6).

2.2.3 Интервал в пространстве Минков-ского

Итак, из постоянства скорости света в любой инерциаль-ной системе координат следует, что при преобразованииЛоренца сохраняется метрический тензор 𝑔𝜇𝜈 . Из со-хранения метрического тензора в свою очередь следует,что при преобразовании Лоренца сохраняет своё значе-ние интервал (2.4) между любыми двумя событиями. Отаких величинах говорят как о релятивистских инва-риантах. Для того, чтобы обозначить их причастностьк системе тензорного исчисления, см. §§9.1,9.3, такие ве-личины называют также скалярами.

Метрический тензор 𝑔𝜇𝜈 не знакоопределённый, чтоотличает его от евклидовой метрики, которая определя-ет расстояние между двумя точками. Метрику (2.4) на-зывают метрикой Минковского, а линейное простран-ство, в котором введена такая метрика – простран-ством Минковского. При ортогональном повороте впространстве Евклида расстояние, вычисленное по еди-ничной метрике, сохраняется. Поэтому можно сказать,что преобразование Лоренца совершает поворот в про-странстве Минковского. Аналогия с метрикой Евклидане полная: метрика Минковского в силу своей знаконе-определённости не обладает свойством нормы (т.е. нера-венство треугольника в общем случае не выполняется),тогда как метрика Евклида свойством нормы обладает,см. (9.25).

2.2.3.1 Времене-подобные интервалы

Если интервал (2.4) между событиями (2.2) имеет поло-жительное значение,

(d𝑠)2> 0,

то такой интервал называется времене-подобным. Су-ществует система координат, в которой у 4-вектора d𝑥𝜇,ненулевой является только временная компонента,

d𝑥0 =√d𝑠2, d𝑥𝑖 = 0,

то есть эти события 𝐴 и 𝐵 происходят в одной и той жеточке пространства, но в разное время.

2.2.3.2 Пространственно-подобные интервалы

Если интервал (2.4) между событиями (2.2) имеет отри-цательное значение,

(d𝑠)2< 0,

то такой интервал называется пространственно-подобным. Существуют системы координат, в которыху 4-вектора d𝑥𝜇, временная компонента является ну-левой, а пространственная часть имеет ненулевые ком-поненты

d𝑥0 = 0, |𝑟| =

√− (d𝑠)

2,

то есть события 𝐴 и 𝐵 происходят одновременно, но вразных точках пространства.

2.2.4 Частный пример преобразованияЛоренца: лоренцевский буст

Наиболее известным частным видом преобразованияЛоренца является случай, когда системы отсчёта 𝐾 и𝐾 ′ имеют попарно параллельные друг другу простран-ственные оси координат, и 𝐾 ′ движется относительно𝐾 со скоростью 𝑉 , направленной вдоль оси 𝑂𝑥, см.Рис. 2.1. Примем также для простоты, что начала си-стем координат совпадают, т.е. в (2.5) 𝑥′𝜈,0 = 0.

В выбранном случае координаты 𝑦, 𝑧 не изменяютсяпри смене системы координат, поэтому матрица преоб-разования Лоренца является блочно-диагональной,

||Λ′𝜇𝜈 || =

( 0

0 1

), (2.11)

где в выражении для матрицы ||Λ′𝜇𝜈 || в правой части все

матричные элементы являются матрицами 2x2. Усло-вие сохранения метрического тензора (2.6), записанноена матрицу 2x2 , налагает на её матричные элемен-ты три независимых условия, поскольку транспониро-вание (перестановка индексов 𝜇 ↔ 𝜈) приводит к томуже самому уравнению. Таким образом, четыре матрич-ных элемента определяются всего одним параметром.Этим параметром является абсолютное значение скоро-сти 𝑉 относительного движения систем координат.

17 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

2.2.4.1 Быстрота

Явный вид матрицы в (2.11) относительно простополучить используя (2.8). Для этого отбросим сейчаскоординаты 𝑦, 𝑧, которые не изменяются при преобра-зовании, после чего останутся матрицы 2x2. Матрица-генератор инфинитезимально малого ‘поворота’ Ω (2.7)имеет вид

||Ω𝜇𝜈 || =

(0 −𝜙𝜙 0

),

||Ω𝜇𝜈 || = ||𝑔𝜇𝜌Ω𝜌𝜈 || =(

0 −𝜙−𝜙 0

),

то есть согласно (2.8) сама матрица преобразования Ло-ренца

= exp

(0 −𝜙−𝜙 0

)=

(ch𝜙 − sh𝜙− sh𝜙 ch𝜙

). (2.12)

Параметр 𝜙 называется быстротой (rapidity).

𝑦

𝑥

𝑦′

𝑉

𝑥′

𝐾 ′𝐾𝑣

Рис. 2.1 Преобразование Лоренца – лоренцевский буст.Система 𝐾 ′ движется относительно системы 𝐾 со

скоростью 𝑉 вдоль оси 𝑂𝑥. Оси двух системпараллельны друг другу. Частица движется со

скоростью 𝑣 в системе 𝐾.

2.2.4.2 Относительная скорость движения си-стем координат

Свяжем параметр 𝜙 с относительной скоростью движе-ния систем координат 𝑉 . Для этого представим матрицуперехода в виде

=

(𝛾 −𝛾𝛽−𝛾𝛽 𝛾

), 𝛽 ≡ 𝑉

𝑐= th𝜙, 𝛾 =

1√1− 𝛽2

,

(2.13)где 𝛽 называют безразмерной скоростью, а 𝛾 —𝛾-фактором. Проверим, что величина 𝑉 здесь действи-тельно имеет смысл относительного движения системкоординат. Для этого выпишем непосредственно законпреобразования координат (2.5), вытекающий из (2.13):

𝑡′ =𝑡− 𝑥𝑉/𝑐2√1− 𝑉 2/𝑐2

, 𝑥′ =𝑥− 𝑉 𝑡√1− 𝑉 2/𝑐2

. (2.14)

Положение начала пространственных координат систе-мы 𝐾 ′ задаётся уравнением 𝑥′ = 0, которое согласно(2.14) эквивалентно 𝑥 = 𝑉 𝑡, т.е. система 𝐾 ′ относитель-но системы 𝐾 движется со скоростью 𝑉 в направленииоси 𝑂𝑥.

Собственно говоря, Х.А. Лоренц изучал именночастный вид (2.13) преобразования координат. Хотявместо 6 параметров для общего случая это преобра-зование содержит только 1 параметр, с физической сто-роны дела преобразование (2.13) содержит все специфи-ческие свойства преобразования Лоренца. В англоязыч-ной литературе преобразование (2.13) называют лорен-цевским бустом (Lorentz boost).

Матрица обратного перехода получается заменой𝑉 → −𝑉 (или 𝜙→ −𝜙).

Быстрота как параметр удобна тем, что при двух по-следовательных преобразованиях для неё работает ад-дитивный закон сложения. Пусть система координат 𝐾2

движется относительно системы 𝐾1 со скоростью 𝑣21вдоль оси 𝑂𝑥, а система 𝐾3 движется относительно си-стемы 𝐾2 со скоростью 𝑉32 также вдоль оси 𝑂𝑥; про-странственные оси всех трёх координат параллельныдруг другу. Скорости 𝑉21 соответствует быстрота 𝜙21,скорости 𝑉32 — быстрота 𝜙32. Тогда быстрота 𝜙31, соот-ветствующая переходу из 𝐾1 в 𝐾3, равна

𝜙31 = 𝜙32 + 𝜙21, 𝑉31 =𝑉32 + 𝑉21

1 + 𝑉21𝑉32/𝑐2. (2.15)

что следует из представления матрицы Лоренца в ви-де (2.12). Отметим, что быстрота подчиняется аддитив-ному закону только к том случае, если движение про-исходит вдоль одной оси, т.е. одномерно. В противномслучае такая простота теряется.

2.2.4.3 Сокращение размеров движущегося те-ла в направлении движения

Пусть стержень длиной 𝐿 движется вдоль оси 𝑂𝑥 в ла-бораторной системе 𝐾 со скоростью 𝑉 , будучи ориен-тированным вдоль этой же оси. В таком случае в си-стеме 𝐾 ′, движущейся со скоростью 𝑉 вдоль 𝑂𝑥, этотстержень покоится и она называется сопровождающейсистемой координат.

Вопрос, который нас интересует: какова видимаядлина стержня в лабораторной системе 𝐾?

Обозначим концы стержня ‘a’ и ‘b’, так что в дви-жущейся системе отсчёта разность координат его кон-цов 𝑥′𝑏 − 𝑥′𝑎 = 𝐿. По смыслу измерения расстояния мыдолжны производить измерение длины стержня фикси-руя время, так что в лабораторной системе 𝑡𝑏 = 𝑡𝑎 длямоментов изменения. Используя преобразования Лорен-ца (2.14) из 𝐾 в 𝐾 ′, получаем соотношение

𝐿 = 𝑥′𝑏 − 𝑥′𝑎 = 𝛾(𝑥𝑏 − 𝑥𝑎).

Глава 2. Четырёх-мерное пространство-время 18

Таким образом, видимая длина стержня в системе 𝐾сократилась в 𝛾 раз,

𝐿𝐾 = 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 =𝐿

𝛾. (2.16)

Этот феномен называют лоренцевским сокращениемдлины (Lorentz contraction).

Другой релятивистский эффект, заключающийся втом, что часы, связанные с движущимся телом, идут в𝛾 раз медленнее, чем в лабораторной системе координат,обсуждается в Пункте 2.3.3.1.

2.2.5 Частный пример преобразованияЛоренца: поворот в пространстве

Пусть системы 𝐾 и 𝐾 ′ неподвижны друг относительнодруга, однако их пространственные оси повернуты от-

носительно друг друга. Таким образом, преобразованиекоординат ограничивается преобразованием простран-ственных координат матрицей ортогонального поворо-та размерности 3x3. Матрица Лоренца в этом случаеимеет вид

Λ =

(1 0𝑇

0

)(2.17)

где 0 — столбец из трёх нулей, а 0𝑇 , соответственно, —строка из трёх нулей.

Любое преобразование Лоренца Λ, не содержащее всебе операции инверсии и обращения времени, можетбыть представлено в виде

Λ = Λ𝒪1 Λ𝐵 Λ𝒪2, (2.18)

где Λ𝒪1 и Λ𝒪2 являются матрицами поворота типа(2.17), а Λ𝐵 – матрица лоренцевского буста (2.13).

§2.3. Движение материальной точки

В релятивистской механике в теорию не могут бытьвключены абсолютно твёрдые протяжённые тела. Дей-ствительно, рассмотрение движения абсолютно твёрдо-го тела приводит к парадоксам. Например, к первомупарадоксу можно прийти, рассматривая вращение дис-ка с постоянной угловой скоростью. Как было показа-но в Пункте 2.2.4.3, при поступательном движении раз-мер тела в направлении этого движения сокращается.Мы можем разбить окружность диска на небольшие по-чти прямые участки. Каждый участок получит сокра-щение, то есть длина окружности диска станет меньше.С другой стороны, суммарно длина окружности должнаостаться той же самой, поскольку направление радиусане претерпевает релятивистского сокращения. Второйпарадокс содержится в ускоренном движении абсолют-но твёрдого тела под действием внешней силы. С однойстороны, поскольку тело абсолютно твёрдое, то сила,приложенная к его одной точке, должна тут же вызы-вать ускорение всех точек тела. Но это означает, чтовзаимодействие передаётся с бесконечно большой ско-ростью, поскольку тело является протяжённым в про-странстве. Мгновенная передача взаимодействия, одна-ко, запрещена постулатом релятивистской механики.

Поэтому в неквантовой релятивистской теории мас-сивные частицы могут рассматриваться только как ма-териальные точки. Движение любого тела (материаль-ной точки) задаётся линией в 4-х мерном пространствевремени. Действительно, в каждый момент времени те-ло находится в определённой точке пространства.

Любое взаимодействие в релятивистской механикераспространяется со скоростью не превосходящей ско-рости света. Поэтому и любые частицы не могут распро-страняться быстрее скорости света, в противном случае

они могли бы служить переносчиком сверх-световоговзаимодействия. С каждой массивной частицей можетбыть связана система отсчёта. Поэтому массивные ча-стицы могут распространяться только со скоростью,строго меньшей скорости света. В противном случаесвет, испущенный в направлении движения частицы, веё системе координат оказался бы покоящимся.

2.3.1 Мировая линия частицыПусть движение частицы описывается параметрически

𝑥𝜇 = 𝑥𝜇(L), (2.19)

через некоторый параметр L. Траектория (2.19), опи-сывающая движение тела в 4-х мерном пространстве-времени, называется мировой линией.

В трёхмерных обозначениях 4-вектор 𝑥𝜇 = 𝑐𝑡, 𝑟, итрёх-мерная скорость тела 𝑣 имеет компоненты

𝑣𝑖 =d𝑟𝑖

d𝑡= 𝑐

d𝑥𝑖

dL

⧸d𝑥0

dL. (2.20)

2.3.1.1 Световой конус

На Рисунке 2.2 изображена траектория частицы в плос-кости координат 𝑐𝑡, 𝑥. Поскольку скорость частицывсегда меньше скорости света, то наклон касательнойк мировой линии на этом рисунке должен быть всегдабольше, чем 𝜋/4. Вообще, если частица находилась вначале координат, то в дальнейшем она может попастьтолько в область 𝑟2 < 𝑐2𝑡2, 𝑡 > 0. Повлиять на со-стояние в этой точке могут только события из области𝑟2 ≤ 𝑐2𝑡2, 𝑡 < 0. Область 𝑟2 ≤ 𝑐2𝑡2 называется световымконусом для точки 𝑥𝜇 = 0.

19 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

𝑐𝑡

𝑥

𝑥𝜇(𝑠)

Рис. 2.2 Мировая линия массивной частицы.Образующая светового конуса обозначена пунктирнойлинией. Наклон касательной к мировой линии должен

быть всегда больше 𝜋/4.

2.3.2 Движение свободного тела в инер-циальной системе отсчёта

Движение свободного тела в инерциальной системе от-счёта представляет из себя прямую линию, так что ми-ровая линия (2.19) может быть представлена в виде:

𝑥𝜇(L) = 𝑝𝜇L + 𝑥𝜇,0, (2.21)

где 𝑝𝜇 и 𝑥𝜇,0 не зависят от L. Параметры 𝑥𝜇,0 задаютначальное положение тела. В будущем под 4-вектором𝑝𝜇 будет пониматься 4-импульс частицы, однако здесьэто пока что просто некоторый касательный вектор кмировой линии частицы.

Вектор 𝑝𝜇 хотя и имеет 4 координаты, однако в дей-ствительности в этом векторе содержится только 3 неза-висимых параметра, определяющих траекторию движе-ния частицы. Действительно, для определения (прямой)мировой линии частицы достаточно указать только еёнаправление. Этими 3-мя независимыми параметрамимогут быть в том числе и компоненты 3-х мерной ско-рости тела 𝑣, см. (2.20)

𝑣𝑖 = 𝑐𝑝𝑖

𝑝0. (2.22)

2.3.2.1 4-скорость тела

Для массивного тела, движущегося всегда со скоро-стью меньше световой, возможно так перемасштабиро-вать параметр L в (2.21), чтобы он имел смысл интер-вала 𝑠 (2.4) между двумя событиями на мировой линиичастицы. Для этого случая мы переходим к стандартно-му обозначению 𝑝𝜇 → 𝑢𝜇, где 4-вектор 𝑢𝜇 называетсявектором 4-скорости тела. Из цепочки равенств

𝑠2 = (L2 − L1)2 = (2.23)

= 𝑔𝜇𝜈(𝑥𝜇(L2)− 𝑥𝜇(L1)

) (𝑥𝜈(L2)− 𝑥𝜈(L1)

)=

= 𝑔𝜇𝜈𝑢𝜈𝑢𝜇(L2 − L1)

2,

вытекает, что 4-вектор скорости 𝑢𝜇 в (2.21) долженбыть нормирован на единицу,

𝑢𝜇 𝑢𝜇 = 1. (2.24)

При выборе 4-скорости в качестве касательного векто-ра к мировой линии естественно заменить обозначениеL → 𝑠.

Если скорость частицы равна скорости света, то вве-сти 4-скорость согласно нормировке (2.24) невозможно,поскольку в этом случае в (2.21)

𝑝𝜇𝑝𝜇 = 0. (2.25)

2.3.2.2 Связь 4-скорости с трёх-мерными обо-значениями

Введём безразмерную трёх-мерную скорость

𝛽𝑖 = 𝑣𝑖/𝑐, 𝛽2 < 1

(последнее неравенство выполняется всегда, посколь-ку массивная частица движется со скоростью, меньшейскорости света), а также параметр

𝛾 =1√

1− 𝛽2≥ 1,

называемый 𝛾-фактором. Тогда 4-скорость можно запи-сать в виде

||𝑢𝜇|| =𝛾, 𝛾

𝑣

𝑐

≡ 𝛾, 𝛾𝛽. (2.26)

Если частица движется с малой скоростью, так что𝑣 ≪ 𝑐, то такая частица называется нерелятивист-ской. В противном случае, когда её скорость 𝑣 сравнимасо скоростью света 𝑐, частица называется релятивист-ской. Если 𝛾-фактор велик, 𝛾 ≫ 1, то такую частицуназывают ультрарелятивистской.

2.3.3 Общий случай движения частицыТеперь рассмотрим общий случай (2.19) движения мас-сивной материальной точки, когда она может двигатьсяв том числе и ускоренно. Возможно выбрать определе-ние параметра L ≡ 𝑠 в (2.19) “естественным образом”,т.е. так, что приращение d𝑠 есть интервал между со-бытиями разделёнными вектором d𝑥𝜇:

𝑥𝜇 = 𝑥𝜇(𝑠), d𝑥𝜇 = 𝑥𝜇(𝑠+ d𝑠)− 𝑥𝜇(𝑠),

d𝑠2 = 𝑔𝜇𝜈 d𝑥𝜇 d𝑥𝜈 . (2.27)

Таким образом, (2.27) есть обобщение (2.23) на случайнеравномерного движения тела. При таком определениипараметра 𝑠 мгновенная 4-скорость тела даётся равен-ством

𝑢𝜇 =d𝑥𝜇

d𝑠. (2.28)

Глава 2. Четырёх-мерное пространство-время 20

Легко проверить, что определяющее равенство (2.24)для 4-скорости выполнено. В дальнейшем под 𝑠 мывсегда будем понимать параметр, выбранный естествен-ным образом. Чуть ниже в Пункте 2.3.3.1 мы показы-ваем, что так определённый параметр 𝑠 есть по сутисобственное время частицы.

Для безмассовой частицы ...

2.3.3.1 Собственное время

Предположим, что с телом связаны некоторые часы.Показания часов определяются параметром 𝑠: вре-мя 𝜏 , показываемое на этих часах, равно

𝜏 =𝑠

𝑐с точностью до первоначального положения стрелокэтих часов. Действительно, в инерциальной системе от-счёта, в данный момент движущейся с телом, прираще-ние времени

d𝜏 =d𝑠

𝑐вследствие того, что тело в этой системе координат вданный момент покоится и потому изменения его коор-динат в ней равно нулю. Время 𝜏 называется собствен-ным временем тела (proper time), и является атрибутомего мировой линии.

Приращения собственного времени и времени в лабо-раторной системе отсчёта связаны коэффициентом про-порциональности 𝛾:

d𝑡 = 𝛾 d𝜏,

т.е. собственное время движущейся частицы всегда те-чёт медленнее (или также, если она покоится), чем вре-мя в выбранной инерциальной системе координат.

2.3.3.2 Ускорение

Производную 𝑤𝜇 4-скорости по параметру 𝑠,

𝑤𝜇 =d𝑢𝜇

d𝑠, (2.29)

естественно называть 4-ускорением. Его связь с 3-х мер-ным ускорением 𝑎 однако уже не такая простая, каксвязь (2.26) для скорости:

||𝑤𝜇|| =1

𝑐20, 𝛾2𝑎+ 𝛾4(𝑣 · 𝑎)

𝑐31,𝛽, 𝑎 =

d𝑣

d𝑡.

(2.30)

2.3.4 Переход из одной системы коорди-нат в другую. Сложение скоростей.

Пусть есть две инерциальные системы координат 𝐾 и𝐾 ′, переход между которыми (2.5) осуществляется мат-рицей Лоренца Λ′𝜇

𝜈 . Рассмотрим движение материаль-ной точки, записанное в виде (2.21), в котором параметр𝑠 выбран естественным способом. В силу инвариантно-сти значения интервала, этот параметр один и тот жедля обеих систем отсчёта. Поэтому 4-скорость в системе𝐾 ′ есть

𝑢′𝜇 =d𝑥′𝜇

d𝑠=

Λ′𝜇𝜈 d𝑥𝜈

d𝑠= Λ′𝜇

𝜈 𝑢𝜈 . (2.31)

Таким образом, 4-вектор скорости 𝑢𝜈 преобразуется потому же закону (2.5), что вектор координат 𝑥𝜈 ; собствен-но поэтому совокупность четырёх чисел 𝑢𝜈 и следуетназывать 4-вектором.

Рассмотрим теперь частную ситуацию, когда систе-ма 𝐾 ′ движется относительно системы 𝐾 вдоль оси 𝑂𝑥со скоростью 𝑉𝐾 , см. (2.13), а тело движется в системе 𝐾со скоростью 𝑣, см. Рис 2.1. Расписывая (2.31) с учётом(2.26,2.13) и получаем, что скорость 𝑣′ тела в системе𝐾 ′ имеет компоненты

𝑣′𝑥 =𝑣𝑥 − 𝑉𝐾

1− 𝑣𝑥𝑉𝐾/𝑐2, 𝑣′𝑦,𝑧 =

𝑣𝑦,𝑧

𝛾𝐾(1− 𝑉𝐾𝑣𝑥/𝑐2), (2.32)

где 𝛽𝐾 и 𝛾𝐾 определяются через 𝑉𝐾 как это сделано в(2.13). Таким образом, продольная компонента скоростичастицы и её поперечные компоненты по отношению кнаправлению взаимного движения систем отсчёта пре-образуются по-разному.

§2.4. Описание движения частиц в терминах непрерывной среды

Понятие непрерывной среды подразумевает, что всевеличины (масса, импульс, заряд и т.д.) распределены впространстве с некоторой объёмной плотностью. Клас-сическая релятивистская механика исходно имеет дело сточечными частицами. Для точечной частицы её массасосредоточена в каждый момент в одной точке.

Математически, связь между описанием частиц какматериальных точек и величинами непрерывной средыосуществляется через 𝛿-функцию Дирака. Напомним,что 𝛿-функция — это такая функция, которая равна ну-лю во всех точках кроме начала координат, а интеграл

от неё по любой окрестности, содержащей начало коор-динат равен единице.

Установим свойства интегралов и 𝛿-функций впространстве-времени по отношению к преобразовани-ям Лоренца. Из (2.6) следует, что детерминант матрицыпреобразования Лоренца Λ по модулю равен единице, тоесть единице равен якобиан перехода между старыми иновыми координатами. Поэтому мера интегрированияпо 4-х мерному пространству является инвариантом,

dΩ ≡ d4𝑥 = 𝑐d𝑡d3𝑟 = 𝑐d𝑡′ d3𝑟′ ≡ dΩ′. (2.33)

21 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Пусть 𝑦𝜇 – некоторое выделенное событие. Тогда, в силурелятивистской инвариантности меры интегрирования(2.33), инвариантна также 4-х мерная 𝛿-функция

𝛿(4)(𝑥− 𝑦) = 𝛿(4)

(𝑥′ − 𝑦′), (2.34)

𝛿(4)(𝑥− 𝑦

)=

1

𝑐𝛿(𝑡𝑥 − 𝑡𝑦

)𝛿(3)(𝑟𝑥 − 𝑟𝑦

),

поскольку только так достигается условие инвариант-ности результата интегрирования

1 =

ˆdΩ 𝛿(4)(𝑥− 𝑦).

2.4.1 Четырёх-мерный ток

Рассмотрим движение частиц, которое мы хотим опи-сать в терминах непрерывной среды. Каждая части-ца (пока не введена квантовая механика) описываетсяматериальной точкой. Будем нумеровать частицы ин-дексом 𝑎, тогда каждая частица описывает траекторию𝑟𝑎(𝑡), которой соответствует мировая линия 𝑥𝜇𝑎(𝑠). Кро-ме того, каждая частица обладает зарядом 𝑒𝑎 и мас-сой 𝑚𝑎.

Для описания движения заряда надо ввести объём-ную зарядовую плотность 𝜌 и объёмную плотностьюэлектрического тока 𝑗. Для описания движения частицнадо, соответственно, определить концентрацию частиц𝜌n и плотность потока частиц 𝑗n. Например, средниеплотности электрических заряда и тока определяютсякак

𝜌 =1

𝛿𝑉

∑𝑟𝑎∈𝛿𝑉

𝑒𝑎, 𝑗 =1

𝛿𝑉

∑𝑟𝑎∈𝛿𝑉

𝑒𝑎𝑣𝑎. (2.35)

где суммирование происходит по всем частицам, попа-дающим в элемент объёма 𝛿𝑉 .

Ниже в Пункте 2.4.2 мы покажем, что объёмнаяплотность и плотность потока составляют компоненты4-вектора плотности тока,

||𝑗𝜇|| = 𝑐𝜌, 𝑗, ||𝑗 𝜇n || = 𝑐𝜌n, 𝑗n. (2.36)

2.4.1.1 Уравнение непрерывности

Экспериментальный факт состоит в том, что существу-ет точный закон сохранения электрического заряда вовремени. В дифференциальной форме этот закон сохра-нения записывается в виде уравнения непрерывности(continuity equation)

𝜕𝜇𝑗𝜇 = 0, ⇔ 𝜕𝑡𝜌+ div 𝑗 = 0. (2.37)

Уравнение непрерывности, записанное для электриче-ского тока, говорит, что не существует локальных источ-ников заряда. Поэтому изменение количества заряда современем 𝜕𝑡𝜌d𝑉 в элементе объёма d𝑉 связано толькос тем, что есть ненулевой поток заряда через границы

этого объёма. Действительно, уравнение непрерывности(2.37) можно переписать в интегральном виде

𝜕𝑡

ˆ𝑉

d3𝑟 𝜌 = −ˆ𝜕𝑉

d2𝑆𝑖 𝑗𝑖,

где второе интегрирование производится по границе 𝜕𝑉объёма 𝑉 (вектор d2𝑆𝑖 направлен наружу объёма), и обаинтегрирования производятся в один и тот же моментвремени.

2.4.1.2 Сохраняющийся полный заряд

Равенство нулю 4-дивергенции 4-вектора плотности по-тока (2.37) означает, что существует глобальная сохра-няющаяся величина. В данном случае мы имеем дело спотоком заряда, поэтому сохраняющейся величиной яв-ляется полный заряд системы

𝑄 =1

𝑐

ˆd3𝑟 𝑗0 =

ˆd3𝑟 𝜌(𝑡, 𝑟) = const, (2.38)

где интегрирование производится при фиксированномвремени. Действительно, посчитаем производную 𝜕𝑡𝑄согласно уравнению непрерывности (2.37):

𝜕𝑡𝑄 =

ˆd3𝑟 𝜕𝑡𝜌(𝑡, 𝑟) = −

ˆd3𝑟 div 𝑗(𝑡, 𝑟) = 0.

Последний интеграл по теореме Остроградского-Гауссаприводится к поверхностному интегралу. Он обращает-ся в нуль, поскольку мы предполагаем, что система ко-нечна, так что далеко при 𝑟 → ∞ нет ни зарядов, нитоков.

Определённый в (2.38) полный заряд является нетолько сохраняющейся величиной, но и релятивистскиминвариантом. Это действительно должно быть так, по-скольку результат подсчёта количества частиц и пере-носимого ими заряда в частности не должен зависетьот выбора системы отсчёта. Нарисовать tx-плоскость,на которой будет две линии интегрирования – в исход-ной и движущейся системе координат. Затем применитьтеорему Гаусса для 4-х мерного интегрирования ...

2.4.1.3 Поток частиц. Связь скорости движениясреды и тока. Релятивистский инвари-ант

Для произвольного типа частиц закона сохранения ихколичества не существует. Однако для некоторых сор-тов частиц закон сохранения выполняется. Тогда верноуравнение непрерывности и для потока частиц,

𝜕𝑡𝜌n + div 𝑗n = 0 ⇔ 𝜕𝜇𝑗𝜇n = 0.

Для 4-тока существует связанный с ним релятивист-ский инвариант

𝑗𝜇𝑗𝜇 = (𝑐𝜌)2 − 𝑗2.

Вектор потока частиц 𝑗𝜇n является времене-подобным4-вектором. Выберем систему отсчёта, в которой про-странственные компоненты 4-тока равны нулю. Напри-мер, для потока частиц эту систему отсчёта естественно

Глава 2. Четырёх-мерное пространство-время 22

назвать сопровождающей, её скорость движения в ла-бораторной системе 𝑣 есть средняя скорость движениячастиц в малом элементе объёма

𝑣 =𝑗n𝜌n, ||𝑈𝜇|| = (𝛾, 𝛾𝑣). (2.39)

Мы обозначили через 𝑈𝜇 соответствую 4-скорость. Ре-лятивистским инвариантом является концентрация ча-стиц ő в сопровождающей системе отсчёта,

ő =𝜌n𝛾, 𝑗𝜇n =

𝑐𝜌n𝛾𝑈𝜇 = 𝑐ő𝑈𝜇, 𝑗n𝜇 𝑗

𝜇n = 𝑐2ő2.

(2.40)Для электрического 4-тока инвариант 𝑗𝜇𝑗

𝜇 можетбыть знакопеременным, поскольку существуют зарядыразных знаков. Если он положителен, то 𝑗𝜇𝑗

𝜇 = 𝑐2𝜚2,где 𝜚 есть объёмная плотность заряда в системе отсчёта,где электрический ток равен нулю, 𝑗 = 0. Если же ин-вариант отрицателен, то 𝑗𝜇𝑗𝜇 = −J2, где J — амплитудаобъёмной плотности тока в системе координат, где объ-ёмная плотность зарядов нуль, 𝜌 = 0. Такая ситуацияможет реализоваться, например, когда на фоне ионно-го положительно заряженного остова двигаются отри-цательно заряженные электроны проводимости.

2.4.2 Связь потока с траекториями ча-стиц

Усреднение по распределению частиц в малом объёмеи переход к величинам непрерывной среды предполага-ет некоторую потерю информации. Мы сначала сдела-ем формально точный переход от траекторий точечныхчастиц к плотности и току. Затем мы покажем, как про-исходит усреднение, хотя часто более удобно проводитьвычисления используя точные величины.

В трёх-мерных обозначениях объёмная плотность иплотность потока через траектории частиц выражаютсяследующим образом:

𝜌(𝑡, 𝑟) =∑𝑎

𝑒𝑎 𝛿(3)(𝑟 − 𝑟𝑎(𝑡)) , (2.41)

𝑗(𝑡, 𝑟) =∑𝑎

𝑒𝑎 𝑣𝑎(𝑡) 𝛿(3)(𝑟 − 𝑟𝑎(𝑡)) ,

где 𝑟𝑎(𝑡) – траектория частицы номер 𝑎. Непосред-ственной проверкой можно убедиться, что 𝜌 и 𝑗, опре-делённые согласно (2.41), действительно удовлетворяютуравнению непрерывности (2.37).

Четырёх-мерный ток можно также написать и в пол-ностью ковариантной форме:

𝑗𝜇(𝑥) = 𝑐∑𝛼

𝑒𝑎

ˆd𝑠 𝑢𝜇𝑎 (𝑠) 𝛿

(4)(𝑥− 𝑥𝑎(𝑠)

)=

= 𝑐 𝑢𝜇(𝑥)∑𝑎

𝑒𝑎

ˆd𝑠 𝛿(4)

(𝑥− 𝑥𝑎

), (2.42)

где интегрирование в каждом слагаемом производитсявдоль мировой линии частицы 𝑥𝑎(𝑠), а четырёх-мерная𝛿-функция определена в (2.34). Равенство между (2.41)и (2.42) легко проверить, подставив в (2.42) выражениедля 4-х мерной 𝛿-функции в виде произведения (2.34),представив

||d𝑥𝜇𝑎 || = 𝑢𝜇𝑎d𝑠 = 𝑐,𝑣𝑎d𝑡𝑎 (2.43)

и проинтегрировав по d𝑡𝑎; после этого придём к (2.41).Когда мы написали второе равенство в (2.42), мы

продолжили 4-скорость 𝑢𝜈 как функцию координат смировых линий частиц на всё пространство. С однойстороны, эта операция виртуальна, поскольку всё рав-но 4-ток отличен от нуля только когда 𝑥 попадает намировую линию одной из частиц. С другой стороны,описание в терминах непрерывной среды интуитивнопредполагает, что все величины сглажены и не имеютдискретности; в этом есть физический смысл доопреде-ления 4-скорости 𝑢𝜇 на всё пространство-время.

Поскольку в (2.42) справа стоит интеграл от про-изведения 4-вектора на 4-скаляр (см. (2.34)), то в це-лом справа стоит 4-вектор. А значит, так определённоев (2.42) 𝑗𝜇 также является 4-вектором.

В физических рассуждениях бывает удобней пользо-ваться усреднёнными величинами. Если за 𝑗𝜇exact обозна-чить выражения (2.41,2.42), то усреднённые величиныдолжны быть определены как результат усреднения понекоторому 4-объёму 𝛿Ω = 𝑐𝛿𝑡 𝛿𝑉 , содержащему боль-шое число частиц

𝑗𝜇(𝑡, 𝑟) =1

𝛿𝑉 𝛿𝑡

ˆ

𝑟′∈𝛿𝑉

d3𝑟′ˆ

𝑡′∈𝛿𝑡

d𝑡′ 𝑗𝜇exact(𝑡+ 𝑡′, 𝑟 + 𝑟′).

(2.44)Если 𝛿𝑡 → 0, то усреднение является усреднением попространству (2.35). Если элемент объёма 𝛿𝑉 → 0, тоусреднение является усреднением по времени.

Операция усреднения (2.44) может быть произведенанад всем слагаемыми в левой части уравнения непре-рывности (2.37). Далее, порядок проведения операцийусреднения и дифференцирования в уравнении непре-рывности может быть изменён без изменения резуль-тата. Поэтому уравнение непрерывности верно и дляусреднённых величин.

2.4.3 Распределение частиц по скоро-стям

Пусть дан ансамбль одинаковых частиц, распределениескоростей которых описывается функцией распределе-нием 𝑓(𝑢), где 𝑢 – три пространственные компоненты4-скорости: для того, чтобы посчитать количество ча-стиц обладающих скоростями принадлежащих интере-сующей области 𝒰 в 3-х мерном пространстве компо-нент 𝑢𝑖, надо взять интеграл по этой областиˆ

𝒰𝑓(𝑢) d3𝑢.

23 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

При переходе в другую инерциальную систему коорди-нат функция распределения преобразуется по закону

𝛾𝑓(𝑢) = 𝛾′𝑓 ′(𝑢′), (2.45)

где 𝛾-фактор берётся при соответствующем значении 𝑢,а 𝑢′ связано с 𝑢 согласно закону преобразования (2.31).

Действительно, сохранение количества частиц припереходе из одной системы координат в другую требует,чтобы выполнялось равенство

𝑓(𝑢) d3𝑢 = 𝑓 ′(𝑢′) d3𝑢′,

то есть, чтобы выражение 𝑓(𝑢)d3𝑢 являлось инвариан-том. С другой стороны, выражение

𝛿(𝑢𝜇𝑢𝜇 − 1)d𝑢0 d3𝑢

(пока написано это выражение, полагаем, что условие𝑢𝜇𝑢𝜇 = 1 ещё не выполнено) является также инвариан-том: первый множитель является инвариантом вслед-ствие того, что скалярное произведение является инва-риантом, второе слагаемое инвариантно, поскольку мо-дуль детерминанта матрицы Лоренца (якобиан перехо-да) равен единице. Интегрируя это выражение по d𝑢0,получаем, что выражение

d3𝑢

𝛾

есть инвариант. Из сопоставления выписанных нами ин-вариантов получаем, что инвариантом является такжевеличина (2.45).

Глава 3. Движение частиц в электромагнитном поле, взаимодействие частиц 24

Глава 3

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМПОЛЕ, ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ

§3.1. Действие и уравнения движения для свободной частицы

Описание движения свободной частицы в соответ-ствии с программой, изложенной в Пункте 2.1.3, нач-нём с построения действия. Действие должно быть ин-тегралом вдоль мировой линии частицы. Для мировойлинии инвариантом является только приращение вдольнеё собственного времени (интервала) d𝜏 = d𝑠/𝑐, см.(2.27) и Пункт 2.3.3.1. Поэтому действие должно иметьвид

𝑆m = −𝑚𝑐ˆ

d𝑠 = −𝑚𝑐ˆ √

𝑔𝜇𝜈 d𝑥𝜇 d𝑥𝜈 , (3.1)

где 𝑚 – коэффициент пропорциональности, которыйимеет физический смысл массы частицы. Общий знакопределяется требованием, чтобы действие имело ми-нимум (а не максимум) на истинной траектории. Такимобразом, принцип минимума действия на истинной тра-ектории для свободной частицы даёт максимизацию еёсобственного времени.

Мировую линию частицы всегда можно параметри-зовать также и через время 𝑡. После этого действие (3.1)переписывается в виде, более похожем на нерелятивист-скую запись:

𝑆m =

ˆd𝑡 𝐿, 𝐿 = −𝑚𝑐2

√1− 𝑣2/𝑐2, (3.2)

в котором координаты 𝑟 зависят от времени 𝑡, а ско-рость 𝑣 = d𝑟/d𝑡. Если теперь предположить, что части-ца движется с нерелятивистскими скоростями, так что𝑣 ≪ 𝑐, то действие приближённо можно записать в виде

𝑆m = −𝑚𝑐2ˆ

d𝑡 +

ˆ𝐿′ d𝑡, 𝐿′ =

𝑚𝑣2

2. (3.3)

Первый вклад не зависит от траектории частицы, поэто-му её определяет только второй вклад, который являет-ся действием для нерелятивистской частицы в класси-ческой механике. Получив правильное выражение длянерелятивистского лагранжиана 𝐿′ в (3.3), мы тем са-мым оправдали выбор общего коэффициента в (3.1).

3.1.1 Вариация мировой линии и дей-ствия

Для определения истинной траектории частицы следуетнайти вариацию действия по вариации мировой линии

частицы. Рассмотрим действие, соответствующее дви-жению частицы от события ‘𝑎’ до события ‘𝑏’:

𝑆m = −𝑚𝑐𝑏ˆ

𝑎

√𝑔𝜇𝜈 d𝑥𝜇 d𝑥𝜈 .

Варьированную мировую линию можно представитьв виде (2.27)

𝑥𝜇(𝑠) + 𝛿𝑥𝜇(𝑠), d𝑠2 = 𝑔𝜇𝜈 d𝑥𝜇 d𝑥𝜈 ,

где 𝛿𝑥𝜇(𝑠) – величина вариации. Отметим, что для ва-рьированной мировой линии параметризующий её 𝑠 вобщем случае уже не является естественным парамет-ром в смысле (2.27). Вариация действия, линеаризован-ная по слабому изменению мировой линии движения ча-стицы, равна

𝛿𝑆m = −𝑚𝑐ˆ 𝑏

𝑎

(√d𝑠2 + 2d𝑥𝜇 d𝛿𝑥𝜇 − d𝑠

)=

= −𝑚𝑐ˆ 𝑏

𝑎

d𝑥𝜇d𝑠

d𝛿𝑥𝜇

d𝑠d𝑠 =

= 𝑚𝑐

ˆ 𝑏

𝑎

d𝑠d𝑢𝜇d𝑠

𝛿𝑥𝜇 − 𝑚𝑐𝑢𝜇 𝛿𝑥𝜇𝑏𝑎. (3.4)

В процессе выкладок мы воспользовались определением4-скорости (2.28).

3.1.2 Энергия и импульс частицыВторое слагаемое в (3.4) даёт возможность определитьимпульс и энергию (гамильтониан) системы согласноравенствам (1.12):

𝛿𝑆

𝛿𝑡𝑏= −𝐸, 𝛿𝑆

𝛿𝑥𝑖𝑏= 𝑝𝑖 ⇔ 𝐸/𝑐,−𝑝 = −

𝛿𝑆

𝛿𝑥𝜇𝑏

.

В результате получаем, что энергия и импульс частицысоставляют 4-вектор, называемый 4-импульсом, пропор-циональный 4-скорости тела,

||𝑝𝜇|| = 𝐸/𝑐,−𝑝 = −𝛿𝑆

𝛿𝑥𝜇𝑏

= 𝑚𝑐 ||𝑢𝜇||. (3.5)

25 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

В частности, мы установили, что 4-импульс является ка-сательным вектором к траектории частицы, что оправ-дывает выбор обозначений в (2.21).

Первое слагаемое в (3.4) определяет уравнения дви-жения:

d𝑝𝜇

d𝑠= 0, (3.6)

то есть энергия и импульс свободного тела сохраняютсяпо мере его движения. Сохранение энергии и импуль-са следовало ожидать сразу, поскольку лагранжиан независит явно от времени и координат, см. Пункт 1.3.1.2.

Про уравнение движения, записанное в виде (3.6)говорят, что оно записано в ковариантной форме. Этоозначает, что равенство (3.6) имеет вид тензорного ра-венства в пространстве Минковского, и потому имеетодин и тот же вид в любой инерциальной системе от-счёта. Таким образом достигается требование о равно-правии инерциальных систем отсчёта, см. Пункт 2.1.2.3.

Воспользуемся (2.26) и свяжем выражения для энер-гии и импульса частицы с трёх-мерными обозначения-ми:

𝐸 =𝑚𝑐2√

1− 𝑣2/𝑐2= 𝛾𝑚𝑐2, (3.7)

𝑝 =𝑚𝑣√

1− 𝑣2/𝑐2= 𝛾𝑚𝑣, 𝑣 =

𝑝𝑐2

𝐸= 𝑐

𝑝

𝑝0.

Последнее равенство следует только из того, что 𝑝𝜇

является вектором касательным к мировой линии ча-стицы, см. (2.22). Из (2.24,3.5) следует, что квадрат 4-импульса пропорционален квадрату массы,

𝑝𝜇𝑝𝜇 = (𝐸/𝑐)2 − 𝑝2 = 𝑚2𝑐2. (3.8)

3.1.2.1 Формула Эйнштейна для массы покоя

Пусть частица покоится, 𝑣 = 0. Трёх-мерный импульс 𝑝частицы в этом случае как и должно быть равен нулю,тогда как энергия равна

𝐸0 = 𝑚𝑐2. (3.9)

Отсюда следует сделать вывод, что масса является од-ной из форм энергии. Этот факт впервые был осознанА. Эйнштейном, поэтому соотношение (3.9) для энер-гии покоя частицы массы 𝑚 называется формулой Эйн-штейна для массы покоя, см. историческую справку вОкунь, 2008.

Если частица движется, то её энергия превышаетэнергию покоя. Разницу между этими энергиями можноназвать кинетической энергией

𝐸kin = 𝐸 − 𝐸0 = (𝛾 − 1)𝑚𝑐2. (3.10)

3.1.2.2 Нерелятивистский предел

В нерелятивистском пределе, когда 𝑣 ≪ 𝑐, можно раз-ложить знаменатель в выражениях (3.7). В результатеполучим

𝐸kin ≈𝑚𝑣2

2, 𝑝 ≈ 𝑚𝑣. (3.11)

Таким образом, выражение как для кинетической энер-гии, так и для импульса совпало с известными выраже-ниеми в ньютоновской механике.

3.1.2.3 Гамильтонова форма уравнений движе-ния

Гамильтониан свободной частицы ℋ

ℋ = 𝑝𝑣 − 𝐿 =√

𝑝2𝑐2 +𝑚2𝑐4 = 𝐸,

где мы воспользовались выражением для лагранжиана(3.2). В случае малых скоростей гамильтониан прибли-жённо равен

ℋ ≈ 𝑚𝑐2 +𝑝2

2𝑚− 𝑝4

8𝑚2𝑐2.

Второе слагаемое соответствует гамильтониану части-цы в галилеевской механике. Третье слагаемое пред-ставляет из себя первую релятивистскую поправку к за-кону дисперсии массивной частицы.

3.1.3 Безмассовые частицы

Известно, что некоторые элементарные частицы имеютнулевую массу. Такими частицами являются, например,фотон и скорее всего нейтрино. В этом случае квадрат4-импульса равен нулю,

𝑝𝜇𝑝𝜇 = 0, ⇔ 𝐸2 = 𝑝2𝑐2 (3.12)

согласно (3.8).Для массивных частиц 4-импульс является касатель-

ным к мировой линии частицы, см. (3.5) и (2.28). Обоб-щая это условие на безмассовые частицы заключаем,что они могут двигаться только со скоростью света, по-скольку квадрат касательного вектора к мировой линииравен нулю, сравни (3.12,2.25). Для безмассовых частицневозможно ввести 4-скорость, тогда как их 4-импульсможет быть любым, удовлетворяющим условию (3.12).

В Пункте 4.5.3 обсуждается закон преобразования4-импульса безмассовых частиц при переходе из однойсистемы отсчёта в другую.

Глава 3. Движение частиц в электромагнитном поле, взаимодействие частиц 26

§3.2. Распад и столкновения частиц

Литература: Балдин, Гольданский и Розенталь, 1959В этом параграфе мы рассмотрим аспекты взаимо-

действия частиц друг с другом. Деталями взаимодей-ствия мы здесь не интересуемся, поскольку построе-ние теорий этих взаимодействия находится за рамкамиклассической релятивистской электродинамики. Важ-ным свойством этих взаимодействий является их корот-кодействие. Иными словами, когда частицы находятсядалеко друг от друга, этими взаимодействиями можнопренебречь. Поэтому мы будем пользоваться прибли-жением, в котором частицы не взаимодействуют, покаони находятся на далёком расстоянии, так что их мож-но считать свободными. Мы рассматриваем только на-чальную конфигурацию частиц (в “далёком прошлом”)и конечную конфигурацию (в “далёком будущем”).

Столкновения частиц, в результате которых части-цы меняют своё внутреннее состояние или рождаютсяновые частицы, называются неупругими столкновени-ями. Важным утверждением классической релятивист-ской электродинамики является утверждение, что мас-са является формой энергии, см. Пункт 3.1.2. Сама жеэнергия является частью 4-импульса. Таким образом,хотя законы сохранения энергии и импульса были по-лучены нами в случае отсутствия неупругих столкнове-ний, пользуясь физическими соображениями, мы долж-ны его распространить на случай также и неупругихстолкновений.

3.2.1 Распад частицыРассмотрим сначала распад частицы массы 𝑀 , за ко-торым следит некоторый наблюдатель. Введём понятиелабораторной системы отчёта 𝐾𝐿; наблюдатель в этойсистеме отсчёта является неподвижным. В этой системеотсчёта частица до распада двигалась со скоростью 𝑉и имела 4-импульс 𝑝𝜇. Введём также сопровождающуюсистему координат 𝐾 ′

𝑀 , которая движется со скоростьючастицы, так частица в ней покоится.

Частица распадается на 𝑁 частиц (продуктов рас-пада), которые после совершения процесса распада ужене взаимодействуют друг с другом. Эти частицы мы бу-дем нумеровать индексом 𝑎; массы частиц равны 𝑚𝑎, их4-импульсы равны 𝑝𝜇𝑎 .

Рассмотрим закон сохранения энергии и импульса,записанный в ковариантной форме

𝑁∑𝑎=1

𝑝𝜇𝑎 = 𝑝𝜇. (3.13)

Если прочесть это равенство в обратную сторону, томожно сделать следующее заключение. 4-импульс 𝑝𝜇

есть суммарный импульс системы, состоящей из 𝑁 ча-стиц. Если известны только импульсы продуктов распа-да, то воспользовавшись формулами (3.13,3.8,3.7), мы

можем последовательно найти полные 4-импульс систе-мы, её эффективную массу и скорость системы центрамасс.

Теперь перейдём в сопровождающую систему от-счёта 𝐾 ′

𝑀 . Уравнение (3.13) на нулевую компоненту 4-импульса тогда примет вид

𝑀 =

𝑁∑𝑎=1

𝑚𝑎√1− 𝑣′2𝑎 /𝑐2

≥𝑁∑𝑎=1

𝑚𝑎. (3.14)

Таким образом, суммарная масса покоя продуктов рас-пада не может быть больше чем масса покоя распавшей-ся частицы. В реальности она всегда меньше, посколькучасть энергии покоя распавшейся частицы переходит вкинетическую энергию продуктов распада.

Конечно, уравнение (3.13) не фиксирует полностьюнаправления и скорости вылета продуктов распада. Этипараметры зависят от внутреннего состояния исходнойчастицы на момент её распада. Чаще всего это состоя-ние определить возможно только вероятностным обра-зом, и поэтому к описанию состояния продуктов распа-да должны также применяться статистические методы.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда частицараспадается на две частицы, и перейдём в сопровожда-ющую систему координат. В таком случае закон сохра-нения импульса приводит к

𝑝′2 = −𝑝′

1.

Естественней всего предположить, что все направлениявылета частицы 1 равновероятны, тогда в нашем слу-чае выписанное уравнение даёт условную вероятностьдля направления импульса частицы 2.

3.2.2 Столкновение частицПри упругом столкновении частиц их количество ивнутренние свойства не меняются, а изменяется толь-ко скорость движения. Пусть до столкновения частицыимели импульсы 𝑝𝜇𝑎 , а после столкновения они приобре-ли импульсы 𝑝𝜇𝑎 . По закону сохранения 4-импульса

𝑁∑𝑎=1

𝑝𝜇𝑎 =

𝑁∑𝑎=1

𝑝𝜇𝑎 = 𝑃𝜇.

общий 4-импульс системы 𝑃𝜇 сохраняется.

В случае неупругого столкновение частиц основнойинтерес представляет случай, когда две относительнолёгкие частицы сталкиваются с ультрарелятивистски-ми скоростями. Эффективная масса 𝑀 такой системывелика. Благодаря этому в результате столкновения мо-гут быть рождены частицы с массой покоя, значительнопревышающей массу покоя сталкивающихся частиц.

Рассмотрим простейший вариант, когда сталкивают-ся две одинаковых частицы массой 𝑚𝑠, движущиеся

27 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

друг навстречу другу с одинаковыми скоростями, по мо-дулю равными 𝑣. В результате столкновения эти части-цы отдают часть своей кинетической энергии на рожде-ние ещё двух частиц массой 𝑚𝑔:

𝑠+ 𝑠 → 𝑠+ 𝑠+ 𝑔 + 𝑔.

Минимальный 𝛾-фактор, при котором ещё возможнаэта реакция, называется порогом реакции. Для того что-

бы его найти, нужно предположить, что после столкно-вения все частицы оказались в состоянии покоя, так чтовся энергия системы оказалась запасённой в энергии по-коя:

𝛾𝑚𝑠 = 𝑚𝑠 +𝑚𝑔.

Если рождающиеся частицы намного тяжелее сталки-вающихся, 𝑚𝑔 ≫ 𝑚𝑠, то условие порога можно прибли-жённо записать в виде 𝛾 ≈ 𝑚𝑔/𝑚𝑠.

§3.3. Совокупность частиц как непрерывная среда, тензорэнергии-импульса

Перепишем уравнения движения (3.6) в терминахнепрерывной среды. Для этого при вариации действия(3.4) положим вариацию пути на концах равной нулю,так что в последней строчке (3.4) остаётся только пер-вое слагаемое. Затем от интегрирования по мировымлиниям перейдём к интегрированию по пространству-времени:

𝛿𝑆 = −𝑚𝑐ˆ

dΩ𝑥

ˆ 𝑏

𝑎

d𝑠 𝛿(4)(𝑥− 𝑥𝑠)𝑢𝜈(𝑥) 𝜕𝜈𝑢𝜇(𝑥) 𝛿𝑥𝜇,

(3.15)где 𝑥𝑠 = 𝑥𝑠(𝑠) – мировая линия частицы, а 𝑢𝜇 – её 4-скорость. Мы воспользовались тем, что тем, что еслипод интегралом стоит 𝛿(4)(𝑥− 𝑥𝑠), то любой множитель𝑓 , исходно зависящий от параметра 𝑠 на мировой ли-нии, можно считать и функцией 4-координаты 𝑥. Сме-щение вдоль мировой линии на d𝑠 означает смещение впространстве-времени на вектор d𝑥𝜇 = 𝑢𝜈d𝑠, поэтому

d𝑓

d𝑠d𝑠 = d𝑓 = (d𝑥𝜈𝜕𝜈)𝑓 = 𝑢𝜈𝜕𝜈𝑓 d𝑠, i.e.

d

d𝑠= 𝑢𝜈𝜕𝜈 .

Таким образом, при переходе от (3.4) к (3.15) мы про-извели замену

d𝑢𝜇(𝑥𝑠)

d𝑠→ˆ

dΩ𝑥 𝛿(4)(𝑥− 𝑥𝑠)𝑢𝜈(𝑥)𝜕𝜈𝑢𝜇(𝑥).

Далее, в подъинтегральном выражении (3.15) можно вкачестве отдельного множителя выделить поток массы

𝑗𝜈m = (𝑐𝜌m, 𝑗m),

см. (2.42), где вместо зарядов надо выбрать массы ча-стиц. Поэтому вариация (3.15) переписывается в виде

𝛿𝑆 =

ˆdΩ 𝑗𝜈m 𝜕𝜈𝑢

𝜇 𝛿𝑥𝜇 =1

𝑐

ˆdΩ 𝜕𝜈𝑇

𝜈𝜇 𝛿𝑥𝜇,

𝑇𝜇𝜈 = 𝑇 𝜈𝜇 = 𝑐 𝑗𝜈m 𝑢𝜇 =

𝑐2𝜌m𝛾

𝑢𝜇𝑢𝜈 , (3.16)

где мы в том числе воспользовались уравнением непре-рывности (2.37) для потока массы, верным в нашем

случае, поскольку в рассматриваемой модели при дви-жении каждая частица по отдельности сохраняет своюмассу.

Тензор 𝑇𝜇𝜈 называется тензором энергии-импульса(stress–energy tensor). Как следует из его последней за-писи (3.16), мы получили его в симметричном виде. Ес-ли принять, что траектории частиц истинные, т.е. вари-ация действия равна нулю, то уравнениями движения втерминах непрерывной среды являются

𝜕𝜇𝑇𝜇𝜈 = 0. (3.17)

Уравнения (3.17) эквивалентны уравнению движениячастиц (3.6), в чём можно убедиться, проделывая вы-кладки в обратном порядке, от (3.17) к (3.4).

Тензор энергии-импульса является физически важ-ным понятием в физике, через него выражаются законысохранения. Здесь мы ввели этот тензор только для мас-сивных точечных частиц, сохраняющих при движениисвою массу покоя. Для совокупной системы частиц иэлектромагнитного поля этот тензор будет обсуждать-ся в §4.3.

3.3.1 Законы сохранения

Рассмотри более подробно уравнения (3.17). Как обсуж-далось в Пункте 2.4.1, равенство нулю 4-дивергенциивекторного поля означает, что существует сохраняюща-яся во времени величина, см. (2.38). Условие равенстванулю тензора энергии-импульса (3.17) содержит в себе 4скалярных уравнения (количество значений индекса 𝜈),поэтому существует 4 сохраняющиеся величины. Понят-но, что этими величинами должны быть полная энергиясистемы и три компоненты пространственного импуль-са.

Для того, чтобы показать это, рассмотрим матрич-ную структуру тензора энергии-импульса. В случае об-щего положения эту структуру для выделения физи-ческого смысла компонент имеет смысл представить в

Глава 3. Движение частиц в электромагнитном поле, взаимодействие частиц 28

виде

||𝑇𝜇𝜈 || =

⎛⎜⎜⎜⎝E 𝑐p𝑇

𝑆

𝑐−

⎞⎟⎟⎟⎠ . (3.18)

Мы ввели объёмные плотности энергии E , потока им-пульса p, вектора потока энергии 𝑆, а также тензорнапряжений 𝜎𝑖𝑘, являющийся симметричной матрицей3x3:

E = 𝑇 00, 𝜎𝑖𝑘 = −𝑇 𝑖𝑘,p𝑖 = 𝑇 0𝑖/𝑐, 𝑆𝑖 = 𝑐𝑇 𝑖0, 𝑆 = 𝑐2p,

(3.19)

Трёх-мерные вектора потока энергии и плотности им-пульса пропорциональны друг другу.

В (3.18) в верхней строчке стоят величины, интегралот которых по пространству равен полному 4-импульсусистемы

||𝑃𝜇|| = 𝐸/𝑐,𝑃 , 𝑃𝜇 =1

𝑐

ˆd3𝑟 𝑇 0𝜇 (3.20)

и являются сохраняющейся величиной, сравни с (2.38).В трёх нижних строчках (3.18) стоит поток сохраняю-щихся величин 𝑃𝜇.

Нижние три строчки в (3.18) представляют из себяпотоки соответствующих величин. Действительно, еслив (3.17) положить, например, 𝜈 = 0, то согласно введён-ным обозначениям мы получим

𝜕𝑡E + div𝑆 = 0. (3.21)

Видно прямое соответствие этого уравнения с уравне-нием непрерывности для плотности заряда, см. (2.37).Поток импульса p представляет из себя не вектор, а мат-рицу 3x3, поскольку сам импульс - векторная величина.Согласно введённым обозначениям, если в (3.17) поло-жить 𝜈 = 𝑘, то мы придём к уравнению

𝜕𝑡p𝑘 − 𝜕𝑖𝜎𝑖𝑘 = 0. (3.22)

Локальная плотность импульса изменяется как по-тому, что частицы имеющие импульс перемещаются впространстве, так и потому, что через поле соседниечастицы обменивают импульсом. Тензор напряженийможно интерпретировать следующий образом: рассмот-рим, например, окрестность начала координат, точку𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0. Тогда 𝜎𝑥𝑖 есть поверхностная плотностьсилы, с которой полупространство 𝑥 > 0 действует наполупространство 𝑥 < 0 через поверхность 𝑥 = 0. Вчастности, изотропную часть тензора напряжений, т.е.величину

𝑝 =1

3𝜎𝑖𝑖 (3.23)

можно рассматривать как давление.

3.3.2 Тензор энергии-импульса пыле-видной материи

Рассмотрим совокупность частиц, которые не испы-тывают столкновений друг с другом. Мы предполага-ем, что пространственно близкие частицы имеют близ-кие скорости. Среду, образованную такими частицами,сравнивают с пылью и потому называют её пылевидной.

В (3.15) рассматривалась вариация действия для од-ной из таких частиц. Поэтому можно воспользоваться(3.16) и записать компоненты тензора энергии-импульсапылевидной материи (здесь мы добавили в индекс сим-волы (𝑚) для подчеркивания того, что речь идёт о ча-стицах) в виде

||𝑇 (𝑚)𝜇𝜈 || =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

E p𝑥𝑐 p𝑦𝑐 p𝑧𝑐

E𝑣𝑥/𝑐 p𝑥𝑣𝑥 p𝑦𝑣𝑥 p𝑧𝑣𝑥

E𝑣𝑦/𝑐 p𝑥𝑣𝑦 p𝑦𝑣𝑦 p𝑧𝑣𝑦

E𝑣𝑧/𝑐 p𝑥𝑣𝑧 p𝑦𝑣𝑧 p𝑧𝑣𝑧

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . (3.24)

Как следует из (3.16), в (3.24) объёмные плотности энер-гии и импульса p

E = 𝛾𝜌m𝑐2 = 𝑐𝛾𝑗0m, p = 𝛾𝜌m𝑣 = 𝛾𝑗m (3.25)

Полный 4-импульс системы (3.20) естественным обра-зом может быть выражен в виде суммы по отдельнымчастицам,

𝐸 =∑𝛼

𝛾𝛼𝑚𝛼𝑐2, 𝑃 𝑖 =

∑𝛼

𝛾𝛼𝑚𝛼𝑣𝑖𝛼

что можно получить, воспользовавшись связью (2.42)непрерывных потоков с мировыми линиями отдельныхчастиц.

Поток каждой компоненты , p равен ей же, по-множенной на локальную скорость. Для демонстрацииэтого, перепишем уравнение (3.22) на локальное изме-нение плотности импульса для свободных частиц:

𝜕𝑡p𝑖 + 𝜕𝑘(𝑣𝑘p𝑖) = 0, ⇔ 𝜕𝑡p + (∇·𝑣)p = 0. (3.26)

Например, величина p𝑣𝑥 есть плотность потока вектораимпульса в 𝑥-направлении. Отметим, что в отличии отплотности потока массы 𝑗m, плотность потока импуль-са p (3.19) не является частью какого-либо 4-вектора.Уравнение на плотность энергии (3.21) выглядит как

𝜕𝑡E + div(𝑣E) = 0, 𝑆 = E𝑣.

Для пылевидной среды верно уравнение непрерывностидля потока массы (2.37), которое вместе с уравнениемпереноса энергии даёт возможность переписать уравне-ние (3.26) в виде

𝜕𝑡𝑣 + (𝑣∇)𝑣 = 0. (3.26𝑎)

29 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Из тензора энергии-импульса пылевидной материиможно составить релятивистский инвариант путём опе-рации свёртки:

𝑇 (𝑚)𝜇𝜇 =

𝑐2𝜌m𝛾

≡ . (3.27)

Мы уже получали этот инвариант другими рассужде-ниями, см. (2.40). Для пылевидной материи возможновыбрать такую систему отсчёта, в которой скорость пы-ли в выделенных точке и момент времени равна нулю;в этой системе отсчёта массовая плотность пыли /𝑐2,где можно назвать плотностью энергии покоя пыли.В таком случае единственным ненулевым матричнымэлементом тензора энергии-импульса является

𝑇 (𝑚)00 ≡ = 𝑇 (𝑚)𝜇𝜇. (3.28)

3.3.3 Тензор энергии-импульса идеаль-ного газа

Литература: Вайнберг, 1975, Гл.2§10.Предположим теперь, что мы имеем дело не с пы-

лью а газом. Его отличие от пыли состоит в том, чтов каждом элементе газа частицы газа имеют ненулевыескорости относительно друг друга. В результате у газаесть внутреннее давление и температура. Мы предпола-гаем сейчас, что число частиц и их масса сохраняются.

Обобщая (3.16,2.35), можно написать выражение дляусреднённого значения тензора энергии-импульса понекоторому элемента объёма 𝛿𝑉 , в котором находитсябольшое количество частиц

𝑇𝜇𝜈 =𝑐

𝛿𝑉

∑𝑎∈𝛿𝑉

𝑝𝜇𝑎 𝑝𝜈𝑎

𝑝0𝑎≡ 𝑐

⟨𝑝𝜇𝑎𝑝

𝜈𝑎

𝑝0𝑎

⟩𝑎

, (3.29)

которое применимо также и для безмассовых частиц.Можно также сказать, что в правой части (3.29) про-изводится усреднение по распределению скоростей ча-стиц.

Выберем теперь для этого элемента объёма сопро-вождающую его систему отсчёта, в которой средний по-ток заключенных в нём частиц равен нулю. У этой си-стемы координат 4-скорость равна 𝑈𝜇, см. (2.39).

Приближение идеального газа состоит в предполо-жении, что в каждом элементе установлено локальноестатистическое равновесие; если же статистика в сосед-нем элементе другая, то обмена теплом между с сосед-ним элементом не происходит. В таком случае распреде-ление скоростей частиц в покоящемся элементе объёмастатистически изотропно, так что, в частности⟨

𝑝𝑖𝑝𝑘

𝑝0

⟩=

1

3𝛿𝑖𝑘⟨𝑝2

𝑝0

⟩,

и тензор энергии-импульса примет вид

||𝑇𝜇𝜈 || =1

𝑐

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 0 0

0 𝑃 0 0

0 0 𝑃 0

0 0 0 𝑃

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ,

= 𝑐⟨𝑝0⟩,

𝑃 =𝑐

3

⟨𝑝2

𝑝0

⟩,

(3.30)где усреднение происходит по частицам внутри выде-ленного элемента объёма 𝛿𝑉 . Согласно определениямобъёмной плотности собственной энергии и давления𝑃 в (3.30) выполняется неравенство

𝑇𝜇𝜇 = − 3𝑃 > 0 (= 0 for massless) (3.31)

для массивных частиц. Для безмассовых частиц этотинвариант как и прежде равен нулю. Для пыли, отдель-но рассмотренной в Пункте 3.3.2, давление равно нулю,𝑃 = 0.

Перейдём теперь с лабораторную систему координат,в которой элемент газа движется со скоростью 𝑈𝜇. То-гда тензор энергии-импульса и поток частиц приобрета-ют вид

𝑇𝜇𝜈 =+ 𝑃

𝑐𝑈𝜇𝑈𝜈 − 𝑃

𝑐𝑔𝜇𝜈 , 𝑗𝜇n = ő𝑈𝜇. (3.32)

Перепишем уравнения сохранения 4-импульса и ко-личества частиц

𝜕𝜇𝑇𝜇𝜈 = 0, 𝜕𝜇𝑗

𝜇n = 0

в виде уравнений течения идеального релятивистскогогаза. Если в трёхмерное векторное уравнение 𝜕𝜇𝑇𝜇𝑖 = 0подставить скалярное уравнение 𝜕𝜇𝑇𝜇0 = 0, то мы при-дём к релятивистскому уравнению Эйлера

𝜕𝑡𝑣 + (𝑣 ·∇)𝑣 = − 𝑐2

𝛾2(+ 𝑃 )

(∇𝑃 +

𝜕𝑡𝑃

𝑐2𝑣

). (3.33)

Проверим, что это уравнение действительно переходит впростое уравнение Эйлера в нерелятивистском пределе.В этом пределе плотность собственной энергии есть по-чти плотность энергии покоя ≈ ő𝑚𝑐2 = 𝜌m𝑐

2, по срав-нению с которой давление мало, 𝑃 ∼ 𝑚𝑣2T ≪ , где 𝑣T —тепловая скорость частиц. Кроме того, в круглой скоб-ке в правой части (3.33) второе слагаемое относительномало как 𝑣2/𝑐2. В результате действительно приходим кнерелятивистскому уравнению Эйлера

𝜌m(𝜕𝑡𝑣 + (𝑣 ·∇)𝑣

)= −∇𝑃.

В частности, этот результат оправдывает то, что мы на-звали величину 𝑃 давлением.

3.3.3.1 Безмассовые частицы

Посмотрим, во что перейдёт этот инвариант для без-массовых частиц. Для таких частиц вектор скорости

Глава 3. Движение частиц в электромагнитном поле, взаимодействие частиц 30

𝑣 = , где — 3-х мерный вектор, по модулю равныйскорости света и задающий направление распростране-ния частиц. Соотношением между плотностями энергиии импульса является 𝑝 = E/𝑐2, см. (3.12). Из (3.24) то-гда вытекает, что след тензора энергии-импульса равеннулю,

𝑇𝜇𝜇 = 0 for massless particles. (3.27𝑎)

Если в (3.27) мы рассмотрим ультра-релятивистские ча-стицы, устремив 𝛾 →∞, то мы получим, что след тензо-ра энергии-импульса параметрически мал по сравнениюс характерным значением его элемента,

𝑇(𝑚)0

0 ≫ 𝑇 (𝑚)𝜇𝜇,

что в определённом смысле можно трактовать так, чтослед тензора энергии-импульса равен нулю.

§3.4. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле

Электромагнитное поле задаётся 4-мя степенямисвободы. Эти степени свободы составляют 4-вектор A𝜇,который называется 4-потенциалом электромагнитногополя. Удобно выделить в 4-потенциале нулевую и трипространственных компоненты, представив его в виде

||A𝜇|| = 𝜙,A. (3.34)

Величина 𝜙 называется скалярным потенциалом, век-тор A называется вектор-потенциалом.

То, что электромагнитное поле задаётся 4-потенциалом A𝜇, конечно не является само разумею-щимся. Справедливость этого будет подтверждена ни-же, когда будут получены знакомые из общей физикисила Лоренца (3.47) и уравнения Максвелла (4.9,4.16).

3.4.1 Вклад в действие, лагранжиан игамильтониан

Сейчас мы изучаем вклад в действие, ответственныйза взаимодействие частицы и электромагнитного поля.Этот вклад имеет следующий вид

𝑆int = − 1

𝑐2

ˆdΩ A𝜇𝑗

𝜇 = −∑𝑎

𝑒𝑎𝑐

ˆA𝜇(𝑥𝑎) d𝑥

𝜇𝑎 .

(3.35)При преобразовании действия от одного вида к друго-му мы воспользовались формулой (2.42) и выражением(2.33) для элемента 4-объёма. Первый вид действия в(3.35) записан в терминах непрерывной среды. Он мо-жет быть более удобен для определения отклика поляна движение заряженных частиц. Здесь мы пока реша-ем обратную задачу: в заданном поле найти движениечастицы. Поэтому нам более удобен второй вид, в кото-ром интегрирование происходит вдоль мировых линийчастиц.

Действие (3.35) релятивистски инвариантно, по-скольку релятивистски инвариантны как элемент 4-объёма dΩ, так и скалярное произведение двух векто-ров.

Для простоты будем в дальнейшем рассматриватьодну частицу, траектория которой есть 𝑟(𝑡).

3.4.1.1 Трёх-мерный вид лагранжиана и га-мильтониана

Перепишем действие (3.35) в трёхмерных обозначени-ях. Приращения 4-координаты вдоль мировой линии||d𝑥𝜇|| = 𝑐,𝑣d𝑡, поэтому первый (дискретный) вариантзаписи действия (3.35) представим виде

𝑆int =

ˆ𝐿intd𝑡, 𝐿int =

𝑒

𝑐A𝑣 − 𝑒𝜙.

Для того, чтобы получить полный лагранжиан 𝐿 мас-сивной заряженной частицы в электромагнитном поле,этот вклад надо сложить с вкладом для свободной ча-стицы (3.2):

𝐿 = −𝑚𝑐2√

1− 𝑣2/𝑐2 + 𝑒

𝑐A𝑣 − 𝑒𝜙. (3.36)

Вектор-потенциал A и скалярный потенциал 𝜙 должныбраться в точке положения частицы 𝑟.

Обобщённый импульс 𝑝gen, канонически сопряжён-ный с координатой частицы 𝑟, находится по общей фор-муле (1.4):

𝑝gen =𝜕𝐿

𝜕𝑣= 𝑝+

𝑒

𝑐A, 𝑝 = 𝛾𝑚𝑣, (3.37)

где простой импульс частицы 𝑝 дан выражением (3.7).Гамильтониан ℋ заряженной массивной частицы вовнешнем поле равен

ℋ = 𝛾𝑚𝑐2 + 𝑒𝜙,

то есть полная энергия равна сумме энергии покоя 𝐸0 =𝑚𝑐2, кинетической энергии 𝐸kin = (𝛾−1)𝑚𝑐2 и потенци-альной энергии заряда во внешнем поле 𝑒𝜙. Перепишемгамильтониан в более естественном для него виде, какфункцию координаты и обобщённого импульса:

ℋ =

√𝑚2𝑐4 +

(𝑝gen −

𝑒

𝑐A)2𝑐2 + 𝑒𝜙, (3.38)

сравни с (3.8). Если имеет место нерелятивистский пре-дел, то второе слагаемое под корнем мало, так что га-мильтониан

ℋ = 𝑚𝑐2 +1

2𝑚

(𝑝gen −

𝑒

𝑐A)2

+ 𝑒𝜙. (3.39)

31 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Без первого слагаемого этот гамильтониан имеет видгамильтониана Паули (без вклада от спина частицы),используемого в квантовой механике для описания дви-жения заряженной нерелятивистской частицы в элек-тромагнитном поле.

Из вида гамильтониана (3.38) получаем уравнениеГамильтона-Якоби (1.14), которое имеет смысл записатьв ковариантном виде

𝑔𝜇𝜈(𝜕𝜇𝑆 −A𝜇

)(𝜕𝜈𝑆 −A𝜈

)= 𝑚2𝑐2. (3.40)

3.4.2 Уравнения движенияПроведём варьирование действия

𝑆 = 𝑆m + 𝑆int

таким же образом, как это было сделано для действиядля свободной частицы 𝑆m (3.1). Для сокращения запи-си будем предполагать вариацию пути равной нулю наконцах, поскольку мы уже нашли гамильтониан (3.38) иобобщённый импульс (3.37). Вариация действия равна

𝛿𝑆 = −ˆ𝑝𝜇 d𝑠 𝛿𝑥𝜇 −

𝑒

𝑐

ˆ (A𝜇

d𝛿𝑥𝜇

d𝑠+ 𝛿A𝜈

d𝑥𝜈

d𝑠

)d𝑠.

Первое слагаемое в действии мы написали, воспользо-вавшись (3.4). Первое слагаемое в круглой скобке про-интегрируем по частям. Во втором слагаемом изменение4-потенциала при вариации происходит потому, что онзависит от координаты, которая изменилась при вари-ации. В процессе преобразования пользуемся соотноше-ниями

dA𝜇d𝑠

= 𝑢𝜈𝜕𝜈A𝜇, 𝛿A𝜈 = 𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇A𝜈 , d𝑥𝜈 = 𝑢𝜈d𝑠.

В результате приходим к тому, что

𝛿𝑆 =

ˆd𝑠(d𝑝𝜇

d𝑠− 𝑒

𝑐

(𝜕𝜇A𝜈 − 𝜕𝜈A𝜇

)𝑢𝜈)𝛿𝑥𝜇. (3.41)

Таким образом, уравнение движения в ковариантнойформе есть

d𝑝𝜇d𝑠

=𝑒

𝑐F𝜇𝜈𝑢

𝜈 , F𝜇𝜈 = 𝜕𝜇A𝜈 − 𝜕𝜈A𝜇. (3.42)

3.4.3 Тензор электромагнитного поляИтак, уравнение движения (3.42) гласит, что импульсзаряженной изменяется под действием электромагнит-ного поля, которое зашито в тензоре второго ранга F𝜇𝜈 .Этот тенор называется тензором электромагнитногополя (electromagnetic tensor). Из его определения следу-ет, что он антисимметричен по своим индексам,

F𝜇𝜈 = −F𝜈𝜇. (3.43)

Это означает, что он содержит всего 6 независимыхкомпонент, а его диагональные элементы равны нулю,

F𝜇𝜇 = 0. Выпишем явно матричную структуру тензораэлектромагнитного поля:

||F𝜇𝜈 || =↓𝜇

⎛⎜⎜⎝0 E𝑗

−E𝑖 −ε𝑖𝑗𝑘 B𝑘

⎞⎟⎟⎠ =𝜇→ 𝑖𝜈 → 𝑗

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 E𝑥 E𝑦 E𝑧

−E𝑥 0 −B𝑧 B𝑦

−E𝑦 B𝑧 0 −B𝑥

−E𝑧 −B𝑦 B𝑥 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . (3.44)

Величина E ведёт себя как вектор, а B — как псевдо-вектор (аксиальный вектор) в трёхмерном простран-стве. Поле E называется электрическим полем, а полеB – магнитным полем. Эти названия будут оправданыниже, когда мы запишем уравнение движения части-цы (3.42) в трёх-мерной форме, см. Пункт 3.4.4. Тензорэлектромагнитного поля можно кратко переписать в ви-де бивектора

||F𝜇𝜈 || = (E,−B), ||F𝜇𝜈 || = (−E,−B), (3.45)

см. определение (9.36).Свяжем электрическое и магнитное поля непосред-

ственно с 4-потенциалом. Для этого распишем опреде-ление тензора электромагнитного поля (3.42) для раз-личных его компонент, см. (3.44):

F𝑖0 = E𝑖 = −𝜕𝑖A0 − 𝜕0A𝑖, (𝜇 = 𝑖, 𝜈 = 0),

F𝑖𝑗 = −ε𝑖𝑗𝑘B𝑘 = −𝜕𝑖A𝑗 + 𝜕𝑗A𝑖 (𝜇 = 𝑖, 𝜈 = 𝑗).

Первое уравнение просто перепишем в векторном виде,воспользовавшись определением (3.34) для скалярногои векторного потенциалов, а во втором уравнении передэтим произведём свёртку с ε𝑙𝑖𝑗 . В результате получим

E = −1

𝑐𝜕𝑡A− grad𝜙, (3.46)

B𝑙 = ε𝑙𝑖𝑗𝜕𝑖A𝑗 ⇔ B = rotA.

3.4.4 Уравнения движения в трёхмер-ной форме

Рассмотрим пространственные компоненты уравнениядвижения частицы (3.42), положив 𝜇 = 𝑖:

𝛾

𝑐

d𝑝𝑖

d𝑡=

𝑒

𝑐

(F𝑖0𝑢0 − F𝑖𝑘𝑢𝑘

)=

𝛾

𝑐

(𝑒E𝑖 +

𝑒

𝑐ε𝑖𝑘𝑙B

𝑙𝑣𝑘),

где мы воспользовались тем, что d𝑠 = 𝑐d𝑡/𝛾. Таким об-разом, мы получили силу 𝐹 , действующую на частицусо стороны электромагнитного поля, которая называет-ся силой Лоренца:

d𝑝

d𝑡= 𝐹 = 𝑒E+

𝑒

𝑐[𝑣 ×B]. (3.47)

Глава 3. Движение частиц в электромагнитном поле, взаимодействие частиц 32

Выражение (3.47) отличается от нерелятивистского вы-ражения тем, что в (3.47) производная по времени бе-рётся от релятивистского импульса 𝑝 (3.7). Справа сто-ит уже известная из нерелятивистской электродинами-ки сумма сил со стороны электрического поля, 𝑒E, и состороны магнитного, 𝑒[𝑣 ×B]/𝑐.

Уравнение на временную компоненту (3.42) не яв-ляется независимым, поскольку компоненты 4-импульсасвязаны ограничением (3.8). Тем не менее, оно облада-

ет физическим смыслом: оно даёт мощность, передава-емую от поля к частице,

d𝐸kin

d𝑡=

(𝑣 · d𝑝

d𝑡

)= 𝑒(E·𝑣), (3.48)

где 𝐸kin – кинетическая энергия (3.10). Энергию части-це передаёт только электрическое поле, тогда как маг-нитное поле не совершает работы над зарядом. Полнаяэнергия частицы (3.38) при этом сохраняется.

33 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Глава 4

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ЕГОВОЗБУЖДЕНИЕ ЗАРЯДАМИ

§4.1. Свойства электромагнитного поля

Итак, в §3.4 было получено, что взаимодействиеэлектромагнитного поля с заряженной частицей опре-деляется тензором электромагнитного поля (3.42)

F𝜇𝜈 = 𝜕𝜇A𝜈 − 𝜕𝜈A𝜇,

где A𝜇 – 4-потенциал электромагнитного поля (3.34).Компоненты тензора электромагнитного поля приведе-ны в (3.44), они представляют из себя совокупность ком-понент электрического и магнитного полей.

В этом параграфе мы установим основные свойстваэлектромагнитного поля, следующие из его определе-ния.

4.1.1 Калибровочная инвариантностьТеория электромагнитного поля отличается от моде-лей классической механики в том числе и тем, чтоформулировка уравнений движения поля происходитне в физически измеримых переменных — компонентахэлектромагнитного поля, — а в терминах 4-потенциала,непосредственно не измеряемого. Более того, каждо-му фиксированному распределению электромагнитногополя соответствует бесконечно много распределений 4-потенциала. Эти 4-потенциалы переходят друг в другапутём так называемого калибровочного преобразования.

Действительно, обратимся к исходному действию(3.35), в котором стоит скалярное произведение 4-потенциала на 4-ток. В силу уравнения непрерывности,т.е. закона сохранения заряда (2.37), одна из компонент4-тока является зависимой от 3-х остальных. Поэтому иодна из компонент 4-потенциала является с точки зре-ния информативности лишней.

Калибровочное преобразование 4-потенциала — этотакое его изменение, в результате которого действиеостаётся прежним при учёте уравнения непрерывности(2.37). Калибровочное преобразование имеет вид

A𝜇 → A𝜇 + 𝜕𝜇𝑓, (4.1)

где 𝑓 – произвольная функция координат и времени.В результате такой замены действие действительно неизменится, поскольку в результате интегрирования почастям его изменение 𝛿𝑆int приводится к виду

𝛿𝑆int = −1

𝑐2

ˆdΩ 𝑗𝜇𝜕𝜇𝑓 =

1

𝑐2

ˆdΩ 𝑓 𝜕𝜇𝑗

𝜇 = 0.

(Мы проинтегрировали по частям в предположении, чтона бесконечности 𝑓 убывает, что не ограничивает общ-ности рассуждений). В том, что движение частицы неизменится при замене A𝜇 (4.1) можно убедиться и по-другому, посчитав при такой замене изменение тензо-ра электромагнитного поля (3.42): оно равно нулю, по-скольку результат двойного дифференцирования не за-висит от порядка дифференцирования.

Таким образом, и старое и новое A𝜇 соответствуютодним и тем же E и B. Про тот факт, что уравнениядвижения инвариантны по отношению к замене (4.1),говорят как о калибровочной инвариантности.

4.1.1.1 Калибровки частного вида

Не смотря на то, что в свете калибровочной инвариант-ности отдельные компоненты 4-потенциала не имеют са-мостоятельного физического смысла, по соображениямматематического удобства часто работают в калибров-ках определённого вида.

Наиболее известной калибровкой является калибров-ка Лоренца, в которой

𝜕𝜇A𝜇 = 0. (4.2)

Эта калибровка соответствует уравнению непрерывно-сти для 4-тока (2.37) и потому удобна для нахожденияполя по заданному току. Условие калибровки Лоренца(4.2) имеет релятивистки инвариантный вид, поэтомуесли в какой-то системе координат оно выполнено, тооно выполнено во всех системах координат. Это усло-вие калибровки не фиксирует единственным образом 4-потенциал: если функция 𝑓 в (4.1) является гармониче-ской функцией, то новый 4-потенциал также бездивер-гентен,

𝑔𝜇𝜈𝜕𝜈(A𝜇 + 𝜕𝜇𝑓) = 𝜕𝜇A𝜇 = 0, if 2𝑓 = 0. (4.3)

Используется также другая калибровка, называе-мая кулоновой калибровкой (Coulomb gage), задаваемаяусловием

divA = 0. (4.4)

Если используется эта калибровка, то уравнение на ска-лярный потенциал 𝜙 воспроизводит статическое уравне-ние Кулона на потенциал электрического поля. Кулоно-ва калибровка релятивистски неинвариантна: если она

Глава 4. Электромагнитное поле и его возбуждение зарядами 34

имеет место в одной системе координат, то в общем слу-чае в другой системе координат условие (4.4) не будетвыполнено.

4.1.2 Преобразование Лоренца для ком-понент электромагнитного поля

Исследуем, как преобразуются компоненты электромаг-нитного поля при переходе из одной системы координатв другую. На этот вопрос относительно легко ответить втерминах 4-потенциала A𝜇, потому что он как 4-векторпреобразуется по закону типа (2.31). Тем не менее, инте-ресней ответить на вопрос о преобразовании непосред-ственно в терминах электрического E и магнитного Bполей, поскольку именно они определяют силу воздей-ствия на частицу со стороны поля.

Поскольку электрическое и магнитное поля состав-ляют вместе тензор электромагнитного поля, то на-до исходить из закона преобразования тензора второгоранга:

F′𝜇𝜈 = Λ′𝜇𝜆 Λ′𝜈

𝜎 F𝜆𝜎. (4.5)

В качестве преобразования выберем лоренцевскийбуст (2.11,2.13), что упростит вычисления, но не огра-ничит физической общности результата. В матричномвиде уравнение (4.5) можно переписать в виде

||F′𝜇𝜈 || = Λ′

(𝑓11 𝑓12

−𝑓𝑇12 𝑓22

)Λ′𝑇 ,

где мы разбили матрицу тензора электромагнитного по-ля F на блоки 2x2 (их матричные элементы легко най-ти из (3.44)). Аналогичное разбиение матрицы преобра-зования Λ′ приведено в (2.11,2.13), откуда в частностивидно, что эта матрица симметричная, Λ′𝑇 = Λ′. Непо-средственной проверкой легко убедиться, что 𝑓11 =𝑓11, поскольку 𝑓𝑇

11 = −𝑓11. В результате получаем, чтопри преобразовании (4.5) матрицы тензора электромаг-нитного поля изменяется только недиагональный блоч-ный элемент 𝑓12,

𝑓 ′12 = 𝑓12.

Воспользовавшись теперь явным видом тензора элек-тромагнитного поля (3.44), заключаем, что продоль-ные компоненты (по отношению к скорости взаимно-го движения систем отсчёта, т.е. в нашем случае 𝑥-компоненты) обоих полей не изменяются, а изменяют-ся только поперечные компоненты (те 𝑦, 𝑧-компоненты).Для произвольного направления скорости относитель-ного движения систем координат закон преобразованияможно выписать в следующей форме:

E′‖ = E‖, E′

⊥ = 𝛾(E⊥ + [𝛽 ×B⊥]), (4.6)

B′‖ = B‖, B′

⊥ = 𝛾(B⊥ − [𝛽 ×E⊥]).

где, напомним, 𝛽 = 𝑉 /𝑐 — вектор безразмерной ско-рости относительного движения систем координат, см.(2.13).

4.1.3 Первая пара уравнений Максвелла

Поскольку компоненты и E и B являются производны-ми от компонент 4-потенциала A𝜇, то они не полностьюнезависимы друг от друга и между ними есть связи.

Действительно, рассмотрим псевдо-тензор F𝜇𝜈 , ду-альный тензору электромагнитного поля F𝜆𝜎, см.Пункт 9.3.1.1:

F𝜇𝜈 =1

2ε𝜇𝜈𝜆𝜎F𝜆𝜎 = ε𝜇𝜈𝜆𝜎𝜕𝜆A𝜎. (4.7)

Матричными компонентами F𝜇𝜈 являются те же ком-поненты E и B, но поменянные местами с изменениемзнака у E: в обозначениях (9.36)

||F𝜇𝜈 || = (−B,E).

Непосредственной проверкой можно убедиться, что 4-дивергенция тензора F𝜇𝜈 равна нулю,

𝜕𝜈F𝜇𝜈 = ε𝜇𝜈𝜆𝜎𝜕𝜈𝜕𝜆A𝜎 = 0, ⇔ (4.8)

⇔ 𝜕𝜈𝐹𝜇𝜆 + 𝜕𝜆𝐹𝜈𝜇 + 𝜕𝜇𝐹𝜆𝜈 = 0,

поскольку результат двойного дифференцирования независит от его порядка. Уравнение (4.8) содержит в се-бе 4 скалярных уравнения, которые в трёхмерном видемогут быть переписаны как

divB = 0, rotE = −1

𝑐

𝜕B

𝜕𝑡. (4.9)

Эти уравнения составляют первую пару уравненийМаксвелла.

Уравнения Максвелла (4.9) могут быть получены инепосредственно из трёхмерных определений (3.46).

4.1.4 Релятивистские инварианты элек-тромагнитного поля

Из компонент электромагнитного поля можно составитькомбинации, сохраняющие своё значение в любой систе-ме координат. Эти комбинации называются инвариан-тами электромагнитного поля, этих инвариантов два:

1

2F𝜇𝜈F𝜇𝜈 = B2 −E2, −1

4F𝜇𝜈F𝜇𝜈 = (E·B). (4.10)

Обе этих величины являются скалярами с точки зрениятензорного исчисления, то есть являются релятивист-скими инвариантами. Точнее, вторая величина являет-ся псевдо-скаляром, поскольку при операции простран-ственной инверсии она меняет знак.

Других инвариантов электромагнитного поля не су-ществует; если пытаться составить релятивистски ин-вариантные величины более высокой степени по F, тобудет получаться либо ноль (если степень нечётна), ли-бо полиномиальная комбинация инвариантов (4.10).

35 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

§4.2. Уравнения движения электромагнитного поля

Для точечной частицы каноническими переменными(степенями свободы) при лагранжевом описании явля-ются три пространственных координаты тела.

Поле описывается другим способом. К каждой точ-ке пространства прикреплено некоторое фиксированноечисло степеней свободы, которые и являются в этом слу-чае каноническими переменными в лагранжевом описа-нии. Координаты же в этом случае служат для пере-числения канонических переменных. В случае электро-магнитного поля обобщёнными координатами являютсякомпоненты 4-потенциала A𝜇.

4.2.1 Действие свободного электромаг-нитного поля

Действие для свободного электромагнитного по-ля должно быть квадратично по производным 4-потенциала, обладать калибровочной инвариантностью(не изменяться при замене вида (4.1)) и быть инвариант-ным по отношению к любому преобразованию Лоренца,в том числе и к операции инверсии. Из Пункта 4.1.4следует, что такой инвариант существует и единстве-нен; таким образом, действие

𝑆𝑓 = − 1

16𝜋𝑐

ˆdΩ F𝜈𝜇 F𝜈𝜇 =

1

𝑐

ˆdΩ ℒ𝑓 , (4.11)

ℒ𝑓 = − 1

16𝜋F𝜈𝜇 F𝜈𝜇.

Коэффициент 1/𝑐 выбран из соотношения размерности,а численный коэффициент 1/(16𝜋) добавлен для того,чтобы в итоге получились уравнения Максвелла с об-щепринятыми коэффициентами. Величину ℒ𝑓 можноназвать объёмной плотностью лагранжиана. Используя(4.10) получаем, что лагранжиан свободного поля есть

𝐿𝑓 =

ˆd3𝑟ℒ𝑓 =

1

8𝜋

ˆd3𝑟 (E2 −B2). (4.12)

В этом параграфе мы изучаем движение поля при за-данном движении электрических зарядов. Действие, ко-торое описывает движения поля, складывается из двухчастей – действия свободного электромагнитного поля(4.11) и части действия (3.35), отвечающего за взаимо-действия поля и частиц:

𝑆 = 𝑆𝑓 + 𝑆int (4.13)

Проведём вариацию действия 𝑆, положив A𝜇 → A𝜇+𝛿A𝜇 и предполагая вариацию поля 𝛿A𝜇 убывающей набесконечности:

𝛿𝑆 = − 1

4𝜋𝑐

ˆdΩF𝜈𝜇 𝜕𝜈𝛿A𝜇 −

1

𝑐2

ˆdΩ 𝑗𝜇𝛿A𝜇 =

=1

4𝜋𝑐

ˆdΩ

(𝜕𝜈F

𝜈𝜇 − 4𝜋

𝑐𝑗𝜇)𝛿A𝜇. (4.14)

Преобразуя первое слагаемое, мы сначала воспользо-вались тем, что выражения для действия представля-ет из себя квадратичную форму, потом антисимметрич-ностью тензора электромагнитного поля (3.43), а затемпроизвели интегрирование по частям. В результате по-лучаем, что уравнениями движения поля являются

𝜕𝜈F𝜈𝜇 =

4𝜋

𝑐𝑗𝜇. (4.15)

4.2.2 Вторая пара уравнений Максвелла

Перепишем уравнения (4.15) в трёх-мерной форме. Дляэтого, как и при получении первой пары уравненийМаксвелла, распишем определение тензора электромаг-нитного поля (3.42) для различных его компонент, см.(3.44):

𝜕𝑖F𝑖0 = 𝜕𝑖E

𝑖 =4𝜋

𝑐𝑗0, (𝜇 = 0, 𝜈 = 𝑖),

𝜕0F0𝑖 + 𝜕𝑗F

𝑗𝑖 = −𝜕0E𝑖 − ε𝑗𝑖𝑘𝜕𝑗B𝑘 =

4𝜋

𝑐𝑗𝑖,

(𝜇 = 𝑖, 𝜈 = 0, 𝑗).

Остаётся перевести 4-ток в трёхмерные обозначения со-гласно (2.41). В результате в векторных обозначенияхэти равенства переписываются в виде

divE = 4𝜋𝜌, rotB =1

𝑐𝜕𝑡E+

4𝜋

𝑐𝑗. (4.16)

Уравнения (4.16) составляют вторую пару уравненийМаксвелла. Напомним, что первая пара уравненийМаксвелла выписана в (4.9).

4.2.3 Поле, создающиеся токами: запаз-дывающие потенциалы

Если движение зарядов полностью определено, то естьизвестен 4-ток 𝑗𝜇(𝑥), то вторая пара уравнений Макс-велла (4.15) (или (4.16)) позволяет найти распределениеполя. В этом пункте мы рассмотрим один из математи-чески наиболее компактных способов нахождения поляпо заданному движению зарядов.

Перепишем уравнение (4.15) в терминах 4-потенциала:

𝜕𝜈𝜕𝜈A𝜇 − 𝜕𝜇𝜕𝜈A𝜈 =

4𝜋

𝑐𝑗𝜇.

Результат решения поставленной нами задачи с точкизрения физических величин (то есть полей E и B) не за-висит от того, какая именно калибровка будет выбрана.С другой стороны, выписанное уравнение приобретаетболее простой вид, если калибровка лоренцева, см. (4.2):

Глава 4. Электромагнитное поле и его возбуждение зарядами 36

в таком случае второе слагаемое в левой части уравне-ния исчезает, и мы приходим к уравнению

2A𝜇 =4𝜋

𝑐𝑗𝜇, 2 ≡ 𝜕𝜈𝜕

𝜈 =1

𝑐2𝜕2𝑡 − Δ, (4.17)

где Δ – оператор Лапласа в трёх-мерном координатномпространстве. Оператор 2 принято называть операто-ром д’Аламбера.

Таким образом, в результате использования калиб-ровки Лоренца вторая пара уравнений Максвелла, за-писанная в терминах 4-потенциала, распадается на 4независимых уравнения для каждой компоненты 4-потенциала. При каждом фиксированном 𝜇 уравнение(4.17) является неоднородным волновым уравнением (ес-ли соответствующая компонента тока равна нулю, тотакое уравнение называется просто волновым уравнени-ем).

4.2.3.1 Функция Грина

Решение неоднородного волнового уравнения удобно за-писывать через функцию Грина волнового уравнения,

𝐺(𝑡, 𝑟) =𝛿(𝑡− 𝑟/𝑐)

𝑟, (4.18)

которая удовлетворяет уравнению

2𝐺(𝑡, 𝑟) = 4𝜋 𝛿(𝑡) 𝛿(3)(𝑟) = 4𝜋𝑐 𝛿(4)(𝑥),

где ||𝑥𝜇|| = 𝑐𝑡, 𝑟. Свойства функции Грина подробнообсуждаются в Пункте 5.1.1. Функция Грина связыва-ет вклад в сигнал в точке 𝑟 в момент времени 𝑡 > 0от заряда, который находился в начале координат в ну-левой момент времени. Отметим, что функций Грина,вообще говоря, существует бесконечно много. Мы вы-брали вполне определённую – запаздывающую функциюГрина, руководствуясь принципом причинности: реак-ция поля на источник должна наступать не ранее появ-ления этого источника.

Выражение (4.18) можно интерпретировать следую-щим образом: если в начале координат в нулевой моментвремени находился покоящийся источник единичной ам-плитуды, то в результате от этого источника начнёт рас-пространяться сигнал со световой скоростью в формесферической волны, так что на расстоянии 𝑟 от него онбудет зафиксирован в момент времени 𝑡 = 𝑟/𝑐.

Функцию Грина можно записать также и в ковари-антном виде:

𝐺(𝑥) = 2𝑐 𝜃(𝑥0)𝛿(𝑥𝜇𝑥

𝜇), (4.19)

где ||𝑥𝜇|| = 𝑐𝑡, 𝑟, а 𝜃-функция равна единице при по-ложительном аргументе и нулю при отрицательном егозначении. Принцип причинности гарантируется как разприсутствием этой функции в качестве множителя.

4.2.3.2 Запаздывающие потенциалы

Используем результат Пункта 4.2.3.1: 4-потенциал в ка-либровке Лоренца равен

A𝜇(𝑡, 𝑟) =1

𝑐2

ˆdΩ𝑧 𝐺(𝑥− 𝑧) 𝑗𝜇(𝑧) =

=1

𝑐

ˆd3𝑧 d𝑡𝑟 𝐺(𝑡− 𝑡𝑟, 𝑟 − 𝑧) 𝑗𝜇(𝑡𝑟, 𝑧) =

=1

𝑐

ˆd3𝑧

𝑗𝜇(𝑡− |𝑟 − 𝑧|/𝑐, 𝑧)|𝑟 − 𝑧|

, (4.20)

где 4-вектора ||𝑥𝜇|| = 𝑐𝑡, 𝑟, ||𝑧𝜇|| = 𝑐𝑡𝑟, 𝑧, а элемент4-объёма dΩ𝑧 = 𝑐d𝑡𝑟 d

3𝑧. Первое и второе выражениядля 4-потенциала A𝜇 представляет из себя общее вы-ражение, следующее из уравнения на 4-потенциал (4.17)и определения функции Грина 𝐺, см. Пункт 5.1.1.

Последнее выражение для 4-потенциала A𝜇 получе-но при использовании конкретного вида функции Гри-на (4.18). Решение волнового уравнения, записанное вэтом виде, называется запаздывающими потенциала-ми. Смысл этого выражения следующий: сигнал в точ-ку 𝑟 из точки 𝑧 приходит за время |𝑟 − 𝑧|/𝑐, необходи-мое пройти сигналу со световой скоростью. Таким обра-зом, чтобы понять, каково воздействие происходящегов точке 𝑧 на точку 𝑟 в момент времени 𝑡, надо узнать,что было в точке 𝑧, но в более ранний момент времени𝑡𝑟 = 𝑡−|𝑟−𝑧|/𝑐. Сила воздействия падает обратно про-порционально расстоянию между точками, как 1/|𝑟−𝑧|,что соответствует частному случаю – закону Кулона.

В Пункте 6.1.1 продемонстрировано, как из обще-го выражения для запаздывающих потенциалов (4.20)выводится закон Кулона для распределения электриче-ского поля статических зарядов. В Пункте‘6.2.1 получензакон Био-Савара-Лапласа для распределения магнит-ного поля, индуцированного постоянными токами.

37 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

§4.3. Тензор энергии-импульса

В §3.3 было показано, что законы сохранения энер-гии и импульса полной системы можно записать в виделокальных законов сохранения. Каждый локальный за-кон сохранения представляет из себя равенство нулю 4-дивергенции некоторого 4-столбца, нулевая компонентакоторого является объёмной плотностью сохраняющей-ся величины, а пространственные – плотностью пото-ка этой величины. В случае энергии и импульса соот-ветствующие столбцы образуют тензор второго ранга –тензор энергии-импульса 𝑇𝜇𝜈 .

В этом параграфе мы обобщим результаты, получен-ные в §3.3, на случай взаимодействующей системы заря-женных массивных частиц и электромагнитного поля.

4.3.1 Нётеровский метод построениятензора энергии-импульса

4.3.2 Вариация действияПри построении вариации поля мы будем придержи-ваться логики, описанной в Пункте 1.3.1.1. Такой вы-бор вариации приведёт к тому, что построенный намитензор энергии-импульса окажется симметричным.

Вариацию поля A𝜇 → A𝜇 + 𝛿A𝜇 выберем в виде

𝛿A𝜇 = −𝛿𝑥𝜈 𝜕𝜈A𝜇 − 𝜕𝜇𝛿𝑥𝜈 A𝜈 = −𝛿𝑥𝜈𝐹𝜈𝜇 − 𝜕𝜇(𝛿𝑥𝜈𝐴𝜈),(4.21)

где параметр вариации 𝛿𝑥𝜈 = 𝛿𝑥𝜈(𝑥). Такой вид вари-ации можно обосновать следующим образом. Предста-вим, что мы варьируем не непосредственно само поле,а координатную сетку, делая её слабо криволинейной(в Пункте 1.3.1.1 деформировалась только временнаяось). Сетка при своей деформации увлекает за собой по-ле. Новые декартовы координаты 𝑥′𝜈 выражаются черезстарые 𝑥𝜈 (теперь уже слабо криволинейные) как

𝑥′𝜈 = 𝑥𝜈 − 𝛿𝑥𝜈 ,

где 𝛿𝑥𝜈 – вектор смещения каждой точки старой сет-ки. Для того, чтобы разобраться с тем, как при этомизменяется A𝜇, положим, что это векторное поле естьградиент некоторого скалярного поля 𝜑, A𝜇 = 𝜕𝜇𝜑. То-гда

𝛿𝜑 = 𝜑(𝑥′)− 𝜑(𝑥) = −𝛿𝑥𝜈𝜕′𝜈𝜑,

𝛿A𝜇 = 𝜕′𝜇𝛿𝜑 = −𝜕′𝜇(𝛿𝑥𝜈𝜕′𝜈𝜑).

Убирая штрихи, мы приходим к (4.21).Соответственно вышеизложенной логике, мировые

линии частиц также увлекаются деформированной ко-ординатной сеткой. Поэтому вариацию траекторий ча-стиц выберем в виде

𝑥𝜈(𝑠) → 𝑥𝜈(𝑠) + 𝛿𝑥𝜈(𝑥(𝑠)), (4.22)

то есть вариация траектории 𝛿𝑥𝜇(𝑠) есть значение пара-метра вариации 𝛿𝑥𝜇(𝑥) в точке 𝑥 = 𝑥(𝑠).

Перейдём к варьированию действия

𝑆 = 𝑆m + 𝑆int + 𝑆f

всей системы. При вариации действия свободного поля(4.11) следует учесть, что второе слагаемое в последнемвыражении для вариации 4-потенциала (4.21) представ-ляет градиент, и потому является калибровочным пре-образованием и не изменяет действие. Таким образом,

𝛿𝑆f = − 1

4𝜋𝑐

ˆdΩF𝜏𝜇

(𝜕𝜏𝛿A𝜇 = −𝜕𝜏 (𝛿𝑥𝜈F𝜈𝜇)

)=

=1

4𝜋𝑐

ˆdΩ 𝛿𝑥𝜈

(𝜕𝜏 (F𝜈𝜇 F

𝜏𝜇)− F𝜏𝜇𝜕𝜏F𝜈𝜇)=

=1

𝑐

ˆdΩ 𝛿𝑥𝜈 𝜕𝜏

(−F𝜏𝜇F𝜈𝜇

4𝜋− 𝛿𝜏𝜈ℒ𝑓

). (4.23)

В процессе выкладок мы произвели интегрирование почастям, предположив, что вариация обращается в нульна бесконечности. Затем мы воспользовались тем, чтотензор электромагнитного поля антисимметричен, см.(3.43), а ℒ𝑓 есть плотность лагранжиана электромаг-нитного поля (4.11)

Относительно не сложно показать, что вариация ча-сти действия 𝑆int (3.35) действительно равна нулю. Дляэтого надо посчитать два вклада в вариацию: от вариа-ции поля, и от вариации траекторий частиц. Последняянайдена в (3.41), а первую можно найти, проделав вы-кладки аналогичные проделанным в (4.23). В результа-те два вклада в точности сокращают друг друга.

Вариация части действия свободных частиц найденав (3.16), поскольку мы выбрали ту же самую вариациюкоординаты (4.22).

В результате получаем, что вариация полного дей-ствия всей системы равна

𝛿𝑆 =1

𝑐

ˆdΩ 𝛿𝑥𝜈 𝜕𝜇𝑇

𝜇𝜈 , 𝑇𝜇𝜈 = 𝑇 (𝑚)𝜇𝜈 + 𝑇 (𝑓)𝜇𝜈 ,

(4.24)то есть имеют место законы сохранения энергии и им-пульса,

𝜕𝜇𝑇𝜇𝜈 = 0. (4.25)

Тензор энергии-импульса массивных частиц 𝑇 (𝑚)𝜇𝜈 былвычислен в §3.3, см. (3.16,3.24). Согласно (4.23), тензорэнергии-импульса электромагнитного поля равен

𝑇 (𝑓)𝜇𝜈 = 𝑔𝜇𝜈F𝜆𝜎F𝜆𝜎16𝜋

− F𝜇𝜆F𝜈𝜆4𝜋

. (4.26)

Это выражение симметрично по индексам 𝜇, 𝜈, поэтомуи весь полученный тензор энергии-импульса симметри-чен,

𝑇𝜇𝜈 = 𝑇 𝜈𝜇. (4.27)

Глава 4. Электромагнитное поле и его возбуждение зарядами 38

Отметим, что полный тензор энергии-импульсаявляется арифметической суммой тензоров энергии-импульса двух взаимодействующих подсистем – заря-женных частиц и электромагнитного поля. Тогда какв действии присутствует член, ответственный за взаи-модействие этих подсистем, 𝑇𝜇𝜈 формально остался бытаким же, если бы эти две подсистемы стали невзаимо-действующими. Это свойство является частным свой-ством классической релятивистской электродинамики,в квантовой теории оно исчезает.

4.3.2.1 Симметрия тензора энергии-импульса

Законы сохранения энергии и импульса останутся в си-ле, если к тензору энергии-импульса добавить величи-ну, не изменяющую нулевую 4-дивергенцию (4.26). Дей-ствительно, замена

𝑇𝜇𝜈 → 𝑇𝜇𝜈 + 𝜕𝜆𝜓𝜆𝜇𝜈 , 𝜓𝜆𝜇𝜈 = −𝜓𝜇𝜆𝜈 (4.28)

при произвольном 𝜓𝜇𝜆𝜈 не нарушает (4.25) ввиду потре-бованной антисимметричности 𝜓𝜇𝜆𝜈 по первым двум ин-дексам. Полный интеграл от величин 𝑇 0𝜈 по-прежнемупредставляет из себя полный 4-импульс 𝑃 𝜈 истемы:

ˆd3𝑟 (𝑇 0𝜈 + 𝜕𝑖𝜓

𝑖0𝜈) =

ˆd3𝑟 𝑇 0𝜈 = 𝑐𝑃 𝜈 .

С другой стороны, такая замена нарушает симметрич-ность тензора энергии-импульса (4.27).

В результате выкладок нами был получен тен-зор энергии-импульса в симметричном виде не случай-но, а по причине специального выбора вида вариаций(4.21,4.22). Например, в Ландау и Лифшиц, 1988, §§32,33 была выбрана вариация поля без второго слагаемого(4.21). Поэтому и тензор энергии-импульса электромаг-нитного поля в результате вариации действия получил-ся несимметричным, см. там же, стр. 114, после чего ещёпотребовалось найти правильное 𝜓 для его приведенияк симметричному виду.

Симметричный вид тензора энергии-импульса удо-бен тем, что он позволяет интерпретировать матрич-ные элементы максвелловского тензора напряжений как силы, приложенные к сторонам бесконечно мало-го кубического элемента объёма пространства. Толь-ко в случае симметрии тензора энергии-импульса та-кой бесконечно малый объём не будет приобретать бес-конечно большого углового ускорения. Математическиэто означает возможность определения тензора моментаимпульса через тензор энергии-импульса, что проделанов § 4.4.

Отметим также, что не существует нетривиально-го преобразования (4.28), переводящего симметричныйтензор энергии-импульса снова в симметричный, но от-личный от исходного. Иными словами, требование сим-метричности тензора энергии-импульса полностью фик-сирует этот тензор. Доказательство этого утвержденияможет бвть проведено прямолинейным образом: из тре-бования

𝜓𝜆𝜇𝜈 = 𝜓𝜆𝜈𝜇 = −𝜓𝜇𝜆𝜈

следует, что все компоненты 𝜓 равны нулю.

4.3.3 Матричная структура тензораэнергии-импульса электромагнит-ного поля

Напомним, что общую структуру тензора энергии-импульса мы обсуждали в Пункте 3.3.1, а сама она при-ведена в (3.18). В §3.3 мы исследовали матричные эле-менты части тензора энергии-импульса 𝑇 (𝑚)𝜇𝜈 , связан-ного с массивными частицами, см. (3.24). Поэтому сей-час нам остаётся исследовать часть 𝑇 (𝑓)𝜇𝜈 , связанную сэлектромагнитным полем.

Из (4.26) вытекает, что объёмная плотность электро-магнитной энергии

𝑇 (𝑓)00 = E =E2 +B2

8𝜋(4.29)

Плотность потока энергии 𝑆 равна

𝑇 (𝑓)𝑖0 = 𝑆𝑖/𝑐, 𝑆 =𝑐

4𝜋[E×B]. (4.30)

Выражение для потока энергии (4.30) называют век-тором Умова-Пойнтинга (Poynting-vector). Из симмет-рии тензора энергии-импульса следует (см. рассужде-ния Пункта 3.3.1), что этому же вектору равна объёмнаяплотность импульса, p = 𝑆/𝑐2, связанного с электромаг-нитным полем.

Тензор напряжений равен

𝜎𝑖𝑘 =1

4𝜋

(E𝑖E𝑘 +B𝑖B𝑘 − E2 +B2

2𝛿𝑖𝑘)

(4.31)

След от электромагнитной части энергии-импульсаоказывается равным нулю, см. (4.32,4.31),

𝑇 (𝑓)𝜇𝜇 = 0. (4.32)

Отметим, что это соответствует свойству тензораэнрегии-импульса безмассовых (или пределу ультра ре-лятивистских) частиц (3.27a).

39 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

§4.4. Момент импульса

Момент импульса (angular momentum) в классиче-ской механике для одной точечной частицы определяет-ся как векторное произведение, L = [𝑟×𝑝]. Его сохране-ние выражает тот факт, что законы движения изотроп-ны.

Для того, чтобы расширить определение моментаимпульса на 4-х мерное пространство-время, сделаемнесколько наблюдений. Во-первых, аксиальному векто-ру момента импульса L соответствует тензор второгоранга L𝑖𝑘. Таким образом, моменту импульса должен со-ответствовать тензор второго ранга L𝜇𝜈 . Во-вторых, какмы установили в случае с полным зарядом 𝑄 и полным4-импульсом 𝑃𝜇, 4-токи этих величин являются тензо-рами рангов на один больше, то есть ранга 1 и 2 соответ-ственно. Поэтому в случае с полным моментом импуль-са L𝜇𝜈 его поток является тензором ранга 3. Наконец,в-третьих, тензор момента импульса должен быть анти-симметричным, поскольку в трёхмерном пространствеимеет место аналогичное свойство L𝑖𝑘 = −L𝑘𝑖.

Покажем, что определением тензора момента им-пульса является

L𝜇𝜈 =1

𝑐

ˆd3𝑟

(𝑥𝜇𝑇 𝜈0 − 𝑥𝜈𝑇𝜇0

)=

1

𝑐

ˆd3𝑟 𝑆0𝜇𝜈 ,

L𝜇𝜈 = −L𝜈𝜇, 𝑆𝜆𝜇𝜈 =(𝑥𝜇𝑇 𝜈𝜆 − 𝑥𝜈𝑇𝜇𝜆

), (4.33)

где 𝑆𝜆𝜇𝜈 – поток момента импульса; ниже мы увидим,что для определения момента импульса важно, что тен-зор энергии-импульса симметричен. Связь между пото-ком момента импульса 𝑆𝜆𝜇𝜈 и его интегральным значе-нием L𝜇𝜈 аналогична связи (3.20) между потоком им-пульса 𝑇𝜇𝜈 и его полным значением 𝑃𝜇. Поток моментаимпульса по своей природе определён неоднозначно, по-скольку его определение зависит от выбора начала си-стемы координат.

Используя равенство нулю 4-дивергенции тензораэнергии-импульса (3.17) и его симметричность (3.16),можно убедиться, что 4-дивергенция потока моментаимпульса равна нулю,

𝜕𝜆𝑆𝜆𝜇𝜈 = 0.

Как из (3.17) следует закон сохранения импульса (3.20),так из этого равенства следует закон сохранения мо-мента импульса L𝜇𝜈 (4.33). Отметим, что без свойствасимметричности тензора энергии-импульса определениетензора момента импульса теряет свой смысл. Такимобразом, хотя тензор энергии-импульса можно записатьи в несимметричной форме, см. Пункт 4.3.2.1, но сим-метричная форма имеет то преимущество, что она даётвозможность определить момент импульса.

Поскольку тензор четырёх-мерного момента импуль-са антисимметричен (является би-вектором), то его ком-

поненты образуют два трёхмерных вектора, один поляр-ный, и один аксиальный,

||L𝜇𝜈 || =

(𝐸

𝑐(𝑉 𝑡−𝑅), L

)(4.34)

см. определения Пункта 9.3.1 для антисимметричноготензора второго ранга. Вектор L есть ранее введённыйтрёхмерный вектор момента импульса,

L𝑖𝑘 =

ˆd3𝑟

(𝑥𝑖p𝑘 − 𝑥𝑘p𝑖

)= ε𝑖𝑘𝑚L𝑚, (4.35)

где p – пространственная плотность 3-х мерного им-пульса. Пространственно-временными компонентами 4-тензора момента импульса являются

L𝑖0 = 𝑡

ˆd3𝑟 p𝑖 − 1

𝑐

ˆd3𝑟 𝑥𝑖E ≡ 𝐸

𝑐(𝑉 𝑖𝑡−𝑅𝑖),

где — пространственная плотность энергии. Мы опре-делили скорость 𝑉 движения центра масс и 𝑅 — теку-щее положение центра масс:

𝑉 =𝑐2𝑃

𝐸, 𝑅 =

1

𝐸

ˆd3𝑟 𝑟 E , (4.36)

где 𝐸 и 𝑃 – полные энергия и импульс системы, опре-делённые согласно (3.20). Определение скорости центрамасс 𝑉 соответствует частному случаю одной части-цы (3.7). Положение центра масс 𝑅 определяется черезплотность энергии, что можно интерпретировать какследствие эквивалентности массы и энергии, см. напри-мер (3.7). Поскольку сохраняются во времени в том чис-ле компоненты L𝑖0 четырёх-мерного момента импульса,то центр масс движется со скоростью 𝑉 ,

d𝑅

d𝑡= 𝑉 . (4.37)

4.4.1 Внутренний орбитальный моменти собственный спин частиц

Компоненты момента импульса содержат неоднознач-ность, связанную с выбором начала координат: если на-чало координат сместить на вектор −𝑅′𝜇 = −(𝑐𝑡′,𝑅′),то компоненты момента импульса изменится согласноправилу

L𝜇𝜈 → L𝜇𝜈 +𝑅′𝜇𝑃 𝜈 −𝑅′𝜈𝑃𝜇. (4.38)Возможно, однако, найти линейную комбинацию этихкомпонент, которая оставалась бы инвариантной присдвиге начал координат. Такой линейной комби-нацией является псевдо-4-вектор Паули-Любанского(Pauli–Lubanski pseudovector)

𝑆𝜇 = ε𝜇𝜌𝜎𝜍𝑢𝜌L𝜎𝜍 , 𝑢𝜇 =

𝑃𝜇√𝑃𝜎𝑃𝜎

; 𝑆𝜇𝑢𝜇 = 0. (4.39)

Преобразование (4.38) не изменяет 4-вектор 𝑆𝜇, по-скольку добавка в (4.38) приводит к появлению вклада

Глава 4. Электромагнитное поле и его возбуждение зарядами 40

в 𝑢𝜌L𝜎𝜍 в (4.39), квадратичного по импульсу 𝑃𝜇. Такимобразом, 𝑆𝜇 является полноценным релятивистским 4-вектором, в том числе обладая и инвариантностью поотношению к трансляциям. Поэтому этот вектор явля-ется характеристикой исключительно вращения систе-мы. Вычислим его в системе координат, в которой центртяжести системы покоится, т.е. 𝑉 = 0 в (4.36):

𝑆 =

ˆd3𝑟 [𝑟 × p] = L, 𝑆0 = 0, if

ˆd3𝑟 p ≡ 𝑃 = 0.

(4.40)Псевдо-вектор Паули-Любанского можно ввести

только для массивных частиц, поскольку для безмас-совых частиц невозможно определить 4-скорость.

4.4.1.1 Спин частиц

Элементарные частицы обладают внутренним момен-том количества движения, называемом спином. В си-стеме покоя частицы 𝐾 ′ спин частицы 𝑆 = ~s, где ~ —постоянная Планка. Из принципов квантовой механикиследует, что безразмерный вектор спина s может прини-мать только полуцелые значения. Кроме того, с такойчастицей связан также магнитный момент 𝜇, которыйсонаправлен спину частицы,

𝜇 = g𝜇0s, 𝜇0 =𝑒~2𝑚𝑐

, (4.41)

где 𝑚 — масса частицы, 𝑒 — её заряд, 𝜇0 — квантоваяединица магнитного диполя для данного типа частиц.Безразмерная константа g называется g-фактором . Егозначение зависит от типа частиц; отметим, что в рамкахнеквантовой релятивистской механики g-фактор равенединице.

Спин частицы принято характеризовать псевдо-4-вектором 𝑎𝜇, пропорциональным вектору Паули-Любанского (4.39): в сопровождающей системе отсчёта

𝐾 ′ : ||𝑎𝜇|| = (0,𝜇), (4.42)

где 𝑢𝜇 – 4-скорость частицы. Напомним релятивистскиеравенства

𝑎𝜇𝑢𝜇 = 0, 𝑎𝜇𝑎𝜇 = −𝜇2. (4.43)

4.4.2 Уравнение движения спина в одно-родном поле

Обзорная работа по теме: Тернов и Бордовицын, 1980.Рассмотрим тело, центр масс которого покоится, и

которое может вращаться в пространстве и имеет маг-нитный момент 𝜇, жёстко связанный с его простран-ственной ориентацией. Тогда уравнение движения теламожет быть записано в виде

dL

d𝑡= [𝜇×B], (4.44)

см. (10.131). Отметим, что 3-х мерный вектор механи-ческого момента не зависит от точки отсчёта системы

координат, поскольку скорость центра масс равна ну-лю. Правая же часть этого уравнения по определениюот выбора точки отсчёта не зависит.

Если магнитное поле неоднородно, то на тело дей-ствует сила, равная

𝐹 = (𝜇 · ∇)B (4.45)

см. (10.130). Если тело имеет полный заряд, отличныйот нуля, то полная сила, действующая на тело, равнасумме силы Лоренца (3.42) и силы (4.45). Напомним, чтоуравнения (4.44,4.45) верны в нерелятивистском преде-ле.

Рассмотрим движение заряженной частицы, облада-ющей спином, в однородном электромагнитном поле.В однородном поле вклад в силу (4.45), действующуюна частицу, равен нулю, и поэтому её пространствен-ное движение определяется исключительно силой Ло-ренца (3.42).

При описании движения спина мы стартуем не слагранжиана, как это было для пространственного дви-жения частиц и уравнений движения электромагнитно-го поля. Здесь мы исходим из того, что соответствую-щий лагранжиан нам не известен. Поэтому нам остаётсядругой путь: обобщить уравнение движения спина (4.44)на релятивистский случай. Будем работать в терминахвектора 𝑎𝜇 (4.42). Из вида уравнения прецессии спина(4.44) в нерелятивистском предел следует, что производ-ная 𝑎𝜇 вдоль мировой линии линейна по этому векторуи по электрическому полю, и может зависеть ещё толькоот вектора 4-скорости частицы. Поэтому общим видомуравнения на спин является

d𝑎𝜇

d𝑠=

𝜇0

~𝑐(𝐶1F

𝜇𝜈𝑎𝜈 + 𝐶2𝑢𝜇 F𝜆𝜈𝑢𝜆𝑎𝜈

),

где 𝐶1,2 – пока неизвестные безразмерные константы.Для определения первой константы перейдём в сопро-вождающую систему координат, где 𝑣 = 0 и потомувклад от 𝐶2 в производную пространственных компо-нент 𝑎𝑖 равен нулю. В силу (4.41)

d𝜇

d𝑡=

g𝜇0

~[𝜇×B] ⇒ 𝐶1 = g.

Для определения константы 𝐶2 продифференцируемпервое равенство (4.43) вдоль мировой линии, вос-пользовавшись уравнением движения спина и уравне-нием движения самой заряжённой бесспиновой части-цы (3.42):

0 =d(𝑎𝜇𝑢𝜇)

d𝑠=

𝑒

2𝑚𝑐(g − 2 + 𝐶2)F

𝜇𝜈𝑢𝜇𝑎𝜈

В итоге получаем уравнение Баргмана-Мишеля-Телегди

d𝑎𝜇

d𝑠=𝜇0

~𝑐(gF𝜇𝜈𝑎𝜈 − (g − 2)𝑢𝜇 F𝜆𝜈𝑢𝜆𝑎𝜈

),

𝜇0

~𝑐=

𝑒

2𝑚𝑐.

(4.46)Уравнение (4.47) непосредственно применимо для

заряженных частиц, таких как электрон и протон. У

41 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

нейтрона полный заряд равен нулю, но он обладает спи-ном и ненулевым магнитным моментом. Уравнение дви-жения его магнитного момента может быть полученоиз уравнения (4.47) предельным переходом g𝜇0 = 𝜇n =const, g→∞:

d𝑎𝜇

d𝑠=𝜇n

~𝑐(F𝜇𝜈𝑎𝜈 − 𝑢𝜇 F𝜆𝜈𝑢𝜆𝑎𝜈

). (4.47)

4.4.2.1 Магнитные моменты некоторых частиц

Приведём численные значения магнитных моментовэлементарных и некоторых других частиц. Эти значе-ния не могут быть теоретически обоснованы в рамкахнеквантовой релятивистской электродинамики, поэто-му здесь их следует воспринимать как справочные.

спин, 𝜇0 магнитный момент,𝑠 𝑠g𝜇0

электрон 1/2 −𝜇𝐵 𝜇e = −1.00116·𝜇𝐵

нейтрон 1/2 − 𝜇n = −1.91304·𝜇𝑁

протон 1/2 𝜇𝑁 𝜇p = 2.79284·𝜇𝑁

дейтон 1 𝜇𝑁/2 𝜇d = 0.85735·𝜇𝑁

Дейтон есть ядро атома дейтерия, т.е. эта частица состо-ит из одного протона и одного нейтрона. Знак в правойколонке означает, сонаправлены или противонаправле-ны спин и магнитный момент частицы, а в третьей ко-лонке 𝜇0 определено в (4.47). Магнетон Бора 𝜇𝐵 и ядер-ный магнетон 𝜇𝑁 определяются равенствами

𝜇𝐵 =|𝑒| ~2𝑚𝑒𝑐

= 9.274 · 10−21 эрг/Гс,

𝜇𝑁 =|𝑒| ~2𝑚𝑝𝑐

= 5.050 · 10−24 эрг/Гс,

𝑚𝑒 – масса электрона, 𝑚𝑝 – масса протона, а 𝑒 – элемен-тарный заряд.

4.4.2.2 Аномальный магнитный момент

Для заряженных частиц со спином 𝑠 = 1/2 выделя-ют нормальный и аномальный магнитный момент. Нор-

мальный магнитный момент соответствует значениюg = 2, разность g − 2 даёт вклад в аномальный маг-нитный момент. Например, для электрона аномальныймагнитный момент 𝜇′

𝑒 равен

𝜇′𝑒 ≡

𝜇𝐵2(g− 2) ≈ 𝛼

2𝜋𝜇𝐵 ≈ 0.00116𝜇𝐵, 𝛼 =

𝑒2

~𝑐, (4.48)

где малая безразмерная константа 𝛼 ≈ 1/137 называет-ся постоянной тонкой структуры.

Протон, нейтрон и тем более дейтон являются со-ставными частицами. В связи с этим их аномальныймагнитный момент имеет относительную величину по-рядка единицы.

Если у частицы нет аномального магнитного момен-та (или он по крайне мере мал, как у электрона), тодинамика её спина приобретает дополнительные особен-ности, поскольку влияние второго слагаемого в правойчасти уравнения (4.47) на динамику спина становитсямалым. А именно, пусть частица движется в постоян-ном магнитном поле. Тогда, если g = 2, то угол междувектором скорости 𝑣 в лабораторной системе координати магнитным моментом 𝜇 в сопровождающей системекоординат 𝐾 ′ остаётся постоянным по мере движениячастицы.

Действительно, в случае g = 2 уравнения на4-импульс 𝑝𝜇 (3.42) и на 4-вектор собственного момента𝑎𝜇 (4.47) совпадают. Если есть только магнитное поле,то временная компонента этих 4-векторов не изменяет-ся, а пространственные компоненты прецессируют во-круг направления магнитного поля с одной и той жеугловой частотой,

d

d𝑠

(𝑝

)=

𝑒

𝑚𝑐

[(𝑝

)×B

], (4.49)

причём 𝛾 = const в процессе движения. Таким образом,амплитуды векторов 𝑣 и и угол между ними не из-меняются во времени, а значит и 𝜇 вращается вместе сэтими векторами в силу связи (4.42).

§4.5. Электромагнитные волны

Рассмотрим динамику электромагнитного поля в пу-стоте, то есть в области пространства, где нет зарядов.В этой области динамика поля в терминах 4-потенциалаудовлетворяющего условию калибровки Лоренца опи-сывается однородным волновым уравнением, см. (4.17).Этому же уравнению подчиняется и само электромаг-нитное поле, поскольку поля E и B линейно связаны с4-потнециалом 𝐴𝜇, см. (3.46). Волновое уравнение мож-но получить также и из уравнений Максвелла (4.9,4.16),

запишем его для электрического поля:

2E =

(1

𝑐2𝜕2𝑡 −Δ

)E = 0, divE = 0, (4.50)

В силу бездивергентности электрического поля в пу-стоте, у него есть только две независимые компоненты.Волновое уравнение справедливо и для магнитного по-ля B с тем же условием divB = 0.

Глава 4. Электромагнитное поле и его возбуждение зарядами 42

4.5.1 Плоская электромагнитная волнаПредположим, что все компоненты поля зависят толь-ко от одной координаты, пусть это будет координата 𝑂𝑧.Тогда волновое уравнение упростится до вида(

1

𝑐2𝜕2𝑡 − 𝜕2𝑧

)E =

(1

𝑐𝜕𝑡 − 𝜕𝑧

)(1

𝑐𝜕𝑡 + 𝜕𝑧

)E = 0,

𝜕𝑧E𝑧 = 0. (4.51)

Для того, чтобы волновое уравнение удовлетворялось,электрическое поле должно зависеть либо только откомбинации 𝑧 − 𝑐𝑡, либо только от комбинации 𝑧 + 𝑐𝑡.Таким образом, поле E может быть представлено в видесуммы волн, бегущих со скоростью 𝑐 в положительноми отрицательном направлении оси 𝑂𝑧,

E(𝑡, 𝑧) = E+(𝑡− 𝑧/𝑐) + E−(𝑡+ 𝑧/𝑐). (4.52)

Например, рассмотрим вариант, когда есть тольковклад E+ от бегущей в положительном направленииволны (будем опускать индекс ‘+’ для краткости). Всилу линейности уравнений Максвелла, магнитное по-ле B волны зависит от времени и координат через этуже комбинацию 𝑡− 𝑧/𝑐. Бездивергентность обоих полейозначает, что их 𝑧-компоненты равны нулю. Таким обра-зом, электромагнитная волна является полностью попе-речной. Из уравнений Максвелла следует, что в каждойточке электрическое и магнитное поля плоской волнысвязаны между собой соотношениями

B = [𝑛×E], E = −[𝑛×B], (4.53)

где 𝑛 – единичный вектор, указывающий направлениераспространения волны (при нашем выборе системы ко-ординат 𝑧-направление).

Вычислим тензор энергии-импульса, связанный с бе-гущей волной. Из (4.32,4.30), а также (4.53) следу-ет, что вектор Пойнтинга имеет ненулевой только 𝑧-компоненту, которая оказывается равной 𝑐, где —объёмная плотность энергии. Тензор напряжений (4.31)имеет ранг равный единице, имея ненулевым только𝜎𝑧𝑧-элемент. Собирая всё вместе, имеем

=E2

4𝜋, 𝑆 = 𝑐𝑛, 𝜎𝑖𝑘 = −𝑛𝑖𝑛𝑘. (4.54)

Полный тензор энергии-импульса плоской монохрома-тической волны может быть записан также в виде

𝑇𝜇𝜈 = 𝑛𝜇𝑛𝜈 , ||𝑛𝜇|| = 1,𝑛. (4.55)

Подчеркнём, что 𝑛𝜇 не является 4-вектором.

4.5.2 Плоская монохроматическая элек-тромагнитная волна

Плоская волна называется монохроматичной, если оназависит от координаты и времени по гармоническому

закону

E(𝑡, 𝑟) = 2Re E(𝑡, 𝑟), (4.56)

E(𝑡, 𝑟) = E0 exp(−𝑖𝜔𝑡+ 𝑖k𝑟) = E0 exp(−𝑖𝑘𝜇𝑥𝜇),

где E – комплексное электрическое поле, E0 – комплекс-ная амплитуда электрического поля волны, 𝜔 – цикли-ческая (угловая) частота волны (angular frequency), k– волновой вектор (wavenumber), Re – операция взятиядействительной части, а ||𝑥𝜇|| = 𝑐𝑡, 𝑟. Поскольку урав-нения Максвелла линейны, то их возможно записыватьв терминах комплексных полей, а уже после вычисле-ний переходить к физическим действительным полям.Мы также ввели четырёх-мерный волновой вектор

||𝑘𝜇|| =𝜔𝑐,k, k =

𝜔

𝑐𝑛, 𝑘𝜇𝑘𝜇 = 𝜔2𝑐2 − k2 = 0.

(4.57)Последние два равенства равносильны и следуют изволнового уравнения. Они означают, что электромаг-нитная волна распространяется со скоростью света.

Покажем, что 𝑘𝜇 действительно является 4-вектором. Преобразование Лоренца линейно и веще-ственно, поэтому преобразование Лоренца электромаг-нитного поля (4.6) можно проводить с комплекснымполем E, введённым в (4.56), а уже потом выделятьдействительную часть. При таком подходе ясно, чтофазовый множитель exp(−𝑖𝑘𝜇𝑥𝜇) в электрическом по-ле является релятивистским инвариантом (величину−𝑘𝜇𝑥𝜇 называют фазой волны). Поскольку 𝑥𝜇 является4-вектором, то и совокупность 4-х параметров 𝑘𝜇 такжедолжна являться 4-вектором.

Периоды колебаний монохноматической волны впространстве и времени равны

𝜆 =2𝜋𝑐

𝜔=

2𝜋

|k|, 𝜈 =

𝜔

2𝜋, (4.58)

и называются длиной волны и частотой волны соот-ветственно. Видимый свет является электромагнит-ной волной с определённым диапазоном длин волн, от390 нм (фиолетовый) до 770 нм (красный). Таким обра-зом, свет распространяется с ранее введённой скоростью𝑐, которую потому и называют скоростью света.

4.5.2.1 Поляризации плоской монохроматиче-ской волны

Посмотрим, сколько существует линейно независимыхплоских электромагнитных волн c фиксированным вол-новым вектором k. Из связи электрического и магнит-ного полей волны следует, что оба поля ортогональнынаправлению распространения волны 𝑛 = k/𝑘. В ре-зультате остаётся только два линейно независимых на-правления для электрического поля E. Таким образом,для электромагнитной волны существуют две независи-мые поляризации.

Число поляризаций можно посчитать и рассуждаяв терминах 4-потенциала A𝜇, что может представлять

43 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

некоторые преимущества. Если мы имеем дело с плос-кой волной, то вектор-потенциал имеет вид

A𝜇 = 2Re(𝛼𝜇 exp(−𝑖𝑘𝜈𝑥𝜈)

), 𝛼𝜇𝑘

𝜇 = 0.

Мы также записали условие того, что выбрана калиб-ровка Лоренца (4.2): существование этого условия при-водит к тому, что 4 компоненты 4-потенциала задаютсяне более чем тремя независимыми параметрами. Одна-ко калибровка всё ещё не фиксирована полностью: су-ществуют калибровочные преобразования (4.3) не изме-няющее условие калибровки Лоренца. В нашем случаев качестве потенциала такого преобразования должнабыть взята функция с той же пространственной зависи-мостью, что и у 4-потенциала: 𝑓 = Re(−𝑖𝑓 exp(−𝑖𝑘𝜈𝑥𝜈))с постоянным 𝑓 . В терминах комплексного вектора 𝛼𝜇это калибровочное преобразование выглядит как

𝛼𝜇 → 𝛼𝜇 + 𝑓𝑘𝜇.

Калибровочным преобразованием мы можем добитьсятого, что нулевая компонента 4-потенциала обратитсяв нуль, 𝛼0 = 0; для этого надо выбрать 𝑓 = −𝛼0/𝑘.Вместе с этим обратится в нуль скалярное произведе-ние векторных частей волнового вектора и комплекснойамплитуды 4-потенциала, (𝛼·𝑛) = 0. Найденная калиб-ровка называется поперечной калибровкой.

Пусть направлением распространения волны явля-ется 𝑂𝑧, так что ||𝑘𝜇|| = (𝑘, 0, 0, 𝑘). Тогда ненулевымиостаются только 2 компоненты 𝐴𝛽 , 𝛽 = 𝑥, 𝑦, которыеможно представить в виде суммы двух круговых поля-ризаций

||𝛼𝛽 || = 𝛼+

(1

−𝑖

)+ 𝛼−

(1

𝑖

). (4.59)

При повороте вокруг оси 𝑂𝑧 на угол 𝜙 комплексные ам-плитуды двух возможных поляризаций 𝛼± преобразу-ются по закону

𝛼± → 𝛼± exp(±𝑖𝜙). (4.60)

Таким образом, электромагнитные волны имеют спи-ральность (проекция спина на направление распростра-нения) ±1 и, соответственно, спин равный 1.

4.5.3 Эффект Доплера и аберрация све-та

Определим, как изменяются направление распростране-ния и частота плоской монохроматической электромаг-нитной волны при смене системы координат.

Пусть в системе 𝐾 волновой вектор имеет компо-ненты k = 𝑘 cos 𝜃, 𝑘 sin 𝜃, 0, а в системе 𝐾 ′, движу-щейся относительно системы 𝐾 со скоростью 𝑣 вдольоси 𝑂𝑥, компоненты волнового вектора равны k′ =𝑘′ cos 𝜃′, 𝑘′ sin 𝜃′, 0. Связь между введёнными парамет-рами задаётся через лоренцевский буст, см. Пункт 2.2.4:в терминах 4-волнового вектора 𝑘𝜇⎛⎜⎜⎝

𝑘′

𝑘′ cos 𝜃′

𝑘′ sin 𝜃′

0

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝𝛾𝑘 (1− 𝛽 cos 𝜃)𝛾𝑘 (cos 𝜃 − 𝛽)𝑘 sin 𝜃0

⎞⎟⎟⎠ , 𝑘 =𝜔

𝑐.

(4.61)Отметим, что поскольку 𝑘𝜇𝑘𝜇 = 0, 4-импульс безмассо-вой частицы (см. Пункт 3.1.3) преобразуется по тем жезаконам (4.61), что и волновой 4-вектор 𝑘𝜇.

4.5.3.1 Аберрация света

Из (4.61) следует, что в новой системе отсчёта 𝐾 ′

направление распространения плоской монохроматиче-ской волны отличается от того, которое было в системе𝐾. Поделив первую компоненту на нулевую, а потомвторую на нулевую, получим, что

cos 𝜃′ =cos 𝜃 − 𝛽1− 𝛽 cos 𝜃

, sin 𝜃′ =sin 𝜃

𝛾(1− 𝛽 cos 𝜃). (4.62)

Обратный закон преобразования получается из (4.62)переменой местами штриха и заменой 𝑣 → −𝑣.

Эффект изменения направления распространенияэлектромагнитной волны при переходе в другую си-стему координат называется аберрацией (aberration oflight).

4.5.3.2 Эффект Доплера

Помимо направления, при переходе в другую системукоординат изменяется также и частота волны. Нулеваякомпонента в уравнении (4.61) есть

𝜔′ = 𝛾𝜔(1− 𝛽 cos 𝜃). (4.63)

Эффект изменения частоты волны (в данном случаеэлектромагнитной) при смене системы координат назы-вается эффектом Доплера (Doppler effect).

Глава 4. Электромагнитное поле и его возбуждение зарядами 44

§4.6. Поле движущегося точечного заряда

Запаздывающие потенциалы (4.20) имеют дело снепрерывной средой. Часто бывает удобным опериро-вать в терминах точечных зарядов. Выражения для 4-потенциала при известных траекториях движения за-ряженных частиц в калибровке Лоренца называют-ся потенциалами Лиенара-Вихерта (Lienard-Wiechertpotential).

4.6.1 Потенциалы Лиенара-ВихертаДля простоты будем рассматривать одну частицу и обо-значим её траекторию (мировую линию) 𝑧(𝑠). В трёх-мерном виде траектория частицы задаётся законом 𝑧(𝑡),а её скорость равна 𝑣(𝑡). Поскольку частица движетсясо скоростью, меньшей скорости света, то сигнал в мо-мент и точку наблюдения ||𝑥𝜇|| = 𝑐𝑡, 𝑟 доходит толькоот одного участка траектории частицы. Иными слова-ми, уравнение

𝑡 = 𝑡𝑟 +|𝑟 − 𝑧(𝑡𝑟)|

𝑐, 𝑇 = 𝑡− 𝑡𝑟. (4.64)

имеет ровно одно решение относительно момента 𝑡𝑟. Мыввели время распространения сигнала 𝑇 . Пусть момен-ту испускания сигнала 𝑡𝑟 соответствует положение намировой линии 𝑠 = 𝑠𝑟. Определим 4-вектор 𝑅𝜇, соеди-няющий точку испускания сигнала с точкой его приёма:

||𝑅𝜇(𝑥)|| = ||𝑥𝜇 − 𝑧𝜇(𝑠𝑟)|| = 𝑐𝑇,𝑅, 𝑅𝜇𝑅𝜇 = 0.

(4.65)Последнее равенство выражает то, что сигнал распро-страняется со скоростью света.

4.6.1.1 Получение потенциалов Лиенара-Вихерта через условие ковариантности

Потенциалы Лиенара-Вихерта быстрее всего получитьиз требования лоренцевской инвариантности всех мате-матических формул, описывающих физические соотно-шения.

Перейдём в систему координат 𝐾 ′, в которой за-ряд в момент испускания 𝑠𝑟 покоился. В силу (4.20),4-потенциал зависит только от скорости частиц и их по-ложения, но не от их ускорения. Поэтому потенциал всобытии 𝑥′𝜇 может быть вычислен как статический по-тенциал заряда (см. Пункт 6.1.1):

||A′𝜇|| = 𝑒

𝑅′ , 0

⇔ A𝜇 =𝑒𝑢𝜇

𝑅𝜈𝑢𝜈. (4.66)

Вторым равенством мы переписали результат в (един-ственно возможной) ковариантной форме. Дело в том,что поскольку A′𝜇 является контравариантным векто-ром, то и справа должен стоять также контравариант-ный вектор для того, чтобы это равенство было верно

в любой системе координат. В рамках условия задачив нашем распоряжении есть два 4-вектора – скоростьзаряда 𝑢𝜇 и вектор от источника до приёмника 𝑅𝜇; вспециально выбранной системе координат 𝐾 ′ 4-векторскорости как раз равен ||𝑢′𝜇|| = 1, 0.

В трёх-мерном виде получаем следующие выраже-ния для потенциалов:

Φ(𝑡, 𝑟) =𝑒(

𝑅𝑣 ·𝑛) , A(𝑡, 𝑟) =

𝑒𝑣/𝑐(𝑅𝑣 ·𝑛

) , (4.67)

где 𝑅 = 𝑟 − 𝑧(𝑡𝑟), единичный вектор 𝑛 = 𝑅/𝑅, и

𝑅𝑣 = 𝑅− 𝑣

𝑐𝑅,

(𝑅𝑣 ·𝑛

)=𝑅𝜈𝑢𝜈𝛾

= 𝑅

(1− (𝑣 ·𝑛)

𝑐

).

4.6.1.2 Получение потенциалов Лиенара-Вихерта непосредственно из выраженийдля запаздывающих потенциалов

Воспользуемся формулой (2.42), а также ковариантны-ми выражениями для функции Грина (4.19) и запазды-вающих потенциалов (4.20). После интегрирования попространству-времени и тем самым снятия 4-х мерной𝛿-функции, получим, что запаздывающие потенциалыпереписываются в виде интеграла по мировой линии за-ряда

𝐴𝜇(𝑥) = 2𝑒

ˆd𝑠 𝜃

(𝑋0)𝛿(𝑋𝜇𝑋

𝜇)𝑢𝜇(𝑠), (4.68)

𝑋𝜇(𝑠) = 𝑥𝜇 − 𝑧𝜇(𝑠), 𝑋𝜇(𝑠𝑟) ≡ 𝑅𝜇(𝑥).

Чтобы интегрированием по d𝑠 снять 𝛿-функцию в (4.68),воспользуемся тем, что

𝜃(𝑋0) d

d𝑠𝑋𝜈𝑋

𝜈

𝛿(𝑋𝜇𝑋

𝜇)

= 𝛿(𝑠− 𝑠𝑟),

d

d𝑠𝑋𝜈𝑋

𝜈 = −2𝑋𝜈𝑢𝜈 .

Таким образом, потенциалы Лиенара-Вихерта суть:

𝐴𝜇(𝑥) = 2𝑒

ˆd𝑠

𝛿(𝑠− 𝑠𝑟)|2𝑋𝜈𝑢𝜈 |

𝑢𝜇(𝑠) =𝑒 𝑢𝜇

𝑢𝜈𝑅𝜈,

где в последнем равенстве 4-скорость заряда 𝑢 такжеберётся при 𝑠 = 𝑠𝑟. Полученное выражение совпадаетс (4.66).

4.6.2 Электрическое и магнитное поля

По результату (4.67) вычислим интересные с физиче-ской точки зрения электрическое и магнитное поля. Для

45 II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

того, чтобы это сделать, нужно уметь вычислять про-изводную от момента испускания сигнала 𝑠𝑟 по положе-нию приёмника 𝑥. Дифференцируя скалярное равенствов (4.65), получаем

0 =𝜕(𝑅𝜈𝑅

𝜈)

𝜕𝑥𝜇= 2𝑅𝜈

(𝛿𝜈𝜇 −

𝜕𝑠𝑟𝜕𝑥𝜇

d𝑧𝜈

d𝑠𝑟

)⇒

⇒ 𝜕𝑠𝑟𝜕𝑥𝜇

=𝑅𝜇𝑅𝜈𝑢𝜈

.

Также нам понадобятся соотношения

𝜕(𝑅𝜎𝑢

𝜎)

𝜕𝑥𝜇= 𝑢𝜇 +

𝑅𝜇𝑅𝜎𝑢𝜎

𝜕(𝑅𝜆𝑢

𝜆)

𝜕𝑠𝑟= 𝑢𝜇 +

𝑅𝜇(𝑅𝜆𝑤

𝜆 − 1)

𝑅𝜎𝑢𝜎

Теперь можно воспользоваться (3.42) для вычислениятензора электромагнитного поля по выражению (4.66)для 4-потенциала:

F𝜇𝜈 =𝑅𝜇𝑢𝜈 −𝑅𝜈𝑢𝜇(

𝑅𝜎𝑢𝜎)3 + (4.69)

+𝑅𝜇𝑤𝜈 −𝑅𝜈𝑤𝜇(

𝑅𝜎𝑢𝜎)2 −

(𝑅𝜇𝑢𝜈 −𝑅𝜈𝑢𝜇

)𝑅𝜆𝑤

𝜆(𝑅𝜎𝑢𝜎

)3В трёх-мерных обозначениях с учётом выражения для4-ускорения (2.30) равенство (4.69) переписывается в ви-де

E =𝑒𝑅𝑣

𝛾2(𝑅𝑣 ·𝑛

)3 +𝑒[𝑅×

[𝑅𝑣 × 𝑎

]]𝑐2(𝑅𝑣 ·𝑛

)3 , (4.70)

B = [𝑛×E],

где 𝑎 – ускорение частицы в момент 𝑡𝑟. Отметим, чтомагнитное и электрические поля ортогональны другдругу.

В (4.70) первое слагаемое в выражении для E со-ответствует статическому полю; это слагаемое остаёт-ся единственным, если заряд движется равномерно ипрямолинейно. В соответствии с законом Кулона, приудалении от источника оно убывает обратно пропорцио-нально квадрату расстояния. Для движущегося заряда,однако, распределение поля уже становится не изотроп-ным в пространстве.

Второе слагаемое в (4.70) появляется только тогда,когда заряд движется с ускорением. При удалении отисточника интенсивность этой части поля убывает мед-леннее, обратно пропорционально расстоянию. Такоеубывание соответствует сферической волне, уходящейот источника. Действительно, этот вклад в электриче-ское поле ортогонален направлению 𝑛 от источника, каки должно быть для плоских волн (4.53).

4.6.2.1 Излучение релятивистски движущегосязаряда

Проанализируем структуру поля излучения (4.70) в уль-трарелятивистском пределе 𝛾 ≫ 1. В знаменателе мно-

житель

(𝑅𝑣 ·𝑛) = 𝑅(1− 𝑣

𝑐cos 𝜃

)→ 𝑅

2𝛾2(𝛾2𝜃2 + 1),

где 𝜃 – угол между скоростью частицы 𝑣 и направле-нием наблюдения 𝑛; мы сделали разложение по маломупараметру 1/𝛾 при малых углах 𝜃 ≪ 1. Из этого раз-ложения следует, что знаменатель в (4.70) мал, когда𝜃 . 1/𝛾. Таким образом, основное излучение от частицуходит по направлению её движения в телесный угол сраствором 1/𝛾.

Характерная частота излучения ... если действуеттолько магнитное поле, то

𝜔 ∼ 𝛾3 𝑐

𝜌, (4.71)

где 𝜌 – радиус кривизны траектории частицы.

4.6.3 Поле равномерно движущегося за-ряда

Рассмотрим частный случай равномерно движущегосязаряда, т.е. когда его ускорение равно нулю, 𝑎 = 0. Вэтом случае электрическое поле, создаваемое зарядом,даётся первым слагаемым в (4.70). Покажем, что в слу-чае равномерного движения это слагаемое можно пере-писать в другом, геометрически более понятном виде.

На Рис.4.1 изображена прямолинейная траекториязаряда 𝑧(𝑡) (прямая 𝐸𝐵) и точка наблюдения 𝐴. По-скольку поле заряда должно быть аксиально симмет-ричным, введём для точки наблюдения радиальную ко-ординату 𝜌 ≡ 𝐴𝐵, равную расстоянию до траектории𝐸𝐵, и аппликату 𝑙 ≡ 𝐵𝐶, равную смещению текуще-го положения заряда 𝑧(𝑡) до позиции максимальногосближения с точкой наблюдения. Точка 𝐸 соответству-ет моменту 𝑡𝑟 испускания электромагнитного сигнала,который зафиксирован в точке 𝐴 в настоящий моментвремени 𝑡, т.е. в (4.67) расстояние 𝑅 ≡ 𝐸𝐴 = 𝑐(𝑡 − 𝑡𝑟).Единичный вектор 𝑛 из (4.67) направлен вдоль векто-ра−→𝐸𝐴.

Глава 4. Электромагнитное поле и его возбуждение зарядами 46

𝑅 = 𝑟 −𝑧(𝑡𝑟

)

𝑅𝑣=𝑟−𝑧(𝑡)

(𝑡, 𝑟)

𝑧(𝑡𝑟) 𝑧(𝑡)𝑣𝑅/𝑐

𝜃𝑡𝜃

𝐴

𝐵𝐶

𝐷

𝐸

𝜌

𝑙 𝑣

Рис. 4.1 Равномерное и прямолинейное движениезаряда и его поле.

Сперва заметим, что фигурирующий в (4.67) вектор

𝑅𝑣 = 𝑟 −(𝑧(𝑡𝑟) +

𝑅

𝑐𝑣

)= 𝑟 − 𝑧(𝑡), (4.72)

то есть он соединяет текущее положение заряда и точкунаблюдения. Из Рис.4.1 следует, что отрезки

𝐴𝐵 ≡ 𝜌 = 𝑅𝑣 sin 𝜃𝑡, 𝐸𝐶 = 𝑣𝑅/𝑐, 𝐷𝐴 = (𝑅𝑣 ·𝑛).

Далее, 𝐷𝐴 =√𝑅2𝑣 −𝐷𝐶2, а из подобия прямоугольных

треугольников 𝐸𝐷𝐶 и 𝐸𝐵𝐴 заключаем, что

𝐷𝐶 =𝐸𝐶

𝐸𝐴·𝐴𝐵 =

𝑣

𝑐·𝑅𝑣 sin 𝜃𝑡.

Откуда следует, что комбинация(𝑅𝑣 ·𝑛

)=

√𝑅2𝑣 −𝐷𝐶2 =

= 𝑅𝑣

√1− 𝑣2

𝑐2sin2 𝜃𝑡 =

1

𝛾

√𝛾2𝑙2 + 𝜌2.

Таким образом, электрическое поле — первое слагаемоев (4.70) — есть

E(𝑡, 𝑟) =𝑒(𝑟 − 𝑧(𝑡)

)𝛾2𝑟 − 𝑧(𝑡)

3 1(1− (𝑣/𝑐)2 sin2 𝜃𝑡

)3/2 =

=𝛾 𝑒(𝑟 − 𝑧(𝑡)

)(𝛾2𝑙2 + 𝜌2)3/2

. (4.73)

Из (4.70) следует, что магнитное поле равно

B(𝑡, 𝑟) =[𝑣 ×E]

𝑐. (4.74)

На Рис.4.1 жёлтым схематично обозначена область,где электрическое поле превышает некоторую (наперёдзаданную) величину, было выбрано 𝛾 = 2.5. Выраже-ния (4.73,4.74) говорят о том, что если заряд движетсяс ультрарелятивистской скоростью, 𝛾 ≫ 1, то распреде-ление электромагнитного поля вокруг заряда становит-ся сильно анизотропным. При фиксированном расстоя-нии |𝑟 − 𝑧(𝑡)| до текущего положения заряда, величина1 − (𝑣/𝑐)2 sin2 𝜃𝑡 меняется от единицы при 𝜃𝑡 = 0, 𝜋 до1/𝛾2 при 𝜃𝑡 = ±𝜋/2. Таким образом, поле впереди ипозади движения заряда значительно меньше, чем побокам: при фиксированном расстоянии отношение рав-но 1/𝛾3. Построим поверхность постоянного по ампли-туде электрического поля, сечение которой плоскостьюрисунка (4.1) есть кривая 𝑅𝑣(𝜃𝑡). Поскольку при фикси-рованном направлении от заряда поле обратно пропор-ционально расстоянию, то 𝑅𝑣(𝜋/2) = 𝛾3/2𝑅𝑣(0).

47 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Часть III

ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИ-КИГлава 5

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХВОЛН

§5.1. Функции Грина волнового уравнения

Рассмотрим неоднородное волновое уравнение(4.17), — уравнение на 4-потенциал в калибровке Ло-ренца. Это уравнение описывает возбуждение электро-магнитного поля зарядами. Вид всех компонент этогоуравнения эквивалентен, поэтому возьмём, пример, его0-ю компоненту:

2𝜙 ≡(

1

𝑐2𝜕2𝑡 −Δ

)𝜙 = 4𝜋𝜌.

где 𝜌 = 𝜌(𝑡, 𝑟) – некоторая функция координат и време-ни. Если мы знаем решение уравнения

2𝐺(𝑡, 𝑟) = 4𝜋 𝛿(𝑡) 𝛿(3)(𝑟) =4𝜋

𝑐𝛿(4)(𝑥), (5.1)

где ||𝑥𝜇|| = 𝑐𝑡, 𝑟, то решением уравнения на потенциал𝜙 в общем случае является

𝜙(𝑡, 𝑟) =

ˆ𝐺(𝑡− 𝑡′, 𝑟 − 𝑟′) d𝑡d3𝑟 𝜌(𝑡′, 𝑟′). (5.2)

Функция 𝐺 называется функцией Грина (в данном слу-чае – функцией Грина волнового уравнения).

Оператор д‘Аламбера 2 в (5.1) не зависит откоординат. Поэтому имеет смысл совершить Фурье-преобразование над обеими частями (5.1), где этот опе-ратор должен иметь диагональный вид. В результатеприходим к уравнению

(𝑘2 − 𝜔2/𝑐2)𝐺(𝜔,k) = 4𝜋, (5.3)

𝐺(𝑡, 𝑟) =

ˆ(d𝜔)(d3k)𝐺(𝜔,k) 𝑒−𝑖𝑘𝜇𝑥

𝜇

где 4-х мерный волновой вектор ||𝑘𝜇|| = 𝜔/𝑐,k. Про-блема однако в том, что непосредственно написанного в(5.3) не хватает для того, чтобы найти функцию Грина𝐺(𝑡, 𝑟), поскольку в подинтегральном выражении в об-ратном преобразовании Фурье (5.3) множитель 𝐺(𝜔,k)

имеет полюса при 𝜔 = ±𝑐𝑘, обращаясь в нём в беско-нечность. Это не удивительно, поскольку, как мы зна-ем, существует множество нетривиальных решений од-нородного волнового уравнения, описывающих распро-странение плоских волн, см. § 4.5.

Для того, чтобы обратное преобразование Фурье ста-ло полностью определённым, с математической точкизрения следует доопределить правило обхода полюсову 𝐺(𝜔,k), т.е. сделать так, чтобы полюса сместились сдействительной оси в комплексную плоскость перемен-ной 𝜔. Если выбран некоторый определённый способ об-хода, то переход к другому способу означает изменениефункции Грина вида

𝐺new = 𝐺old +2

𝑐2𝐹 (𝜔,k)𝛿(𝑘2 − 𝜔2/𝑐2), (5.4)

где функция 𝐹 (𝜔,k) не имеет сингулярности, когда𝑘2 − 𝜔2/𝑐2 = 0. Действительно, второе слагаемое в пра-вой части (5.4) не изменяет левую часть уравнения нафункцию Грина (5.3), то есть произвол в выборе второгослагаемого в (5.4) обусловлен неоднозначностью проце-дуры обращения оператора д’Аламбера.

Переход (5.4) от одной функции Грина к другой мо-жет быть легко интерпретирован, будучи переписаннымв координатном представлении:

𝐺new(𝑡, 𝑟) = 𝐺old(𝑡, 𝑟) + (5.5)

+

ˆ(d3k)

𝐹 (𝜔,k)𝑒−𝑖𝜔𝑡 + 𝐹 (−𝜔,k)𝑒𝑖𝜔𝑡

𝜔𝑒𝑖kr,

где частота определяется дисперсионным соотношением𝜔 = +𝑐|k|. Таким образом, преобразование (5.5) сводит-ся к добавлению к функции Грина набора плоских волнс коэффициентами 𝐹 (𝜔,k); поскольку плоские волныудовлетворяют однородному волновому уравнению, тоэта добавка не нарушает равенства (5.1), являющегосяопределением функции Грина.

Глава 5. Распространение электромагнитных волн 48

5.1.1 Запаздывающая функция ГринаПравила обхода полюсов в (5.3) может быть выбраноисходя из физических соображений. Потребуем, чтобы‘отклик’ 𝜙(𝑡) в (5.2) мог бы быть отличен от нуля тольков том случае, если ‘источник’ 𝜌(𝑡′) имеет ненулевую ам-плитуду при 𝑡′ ≤ 𝑡. Удовлетворяющая этому требованиюпричинности функция Грина называется запаздываю-щей функцией Грина. В Фурье-представлении запазды-вающая Функция Грина равна

𝐺(𝜔,k) =4𝜋

𝑘2 − (𝜔/𝑐+ 𝑖0)2= − 4𝜋

𝑘𝜇𝑘𝜇. (5.6)

Добавка ‘𝑖0’ задаёт правила обхода полюсов, соответ-ственно ||𝑘𝜇|| = 𝜔/𝑐+ 𝑖0,k.

𝜔

a)

𝑘

b)

Рис. 5.1 Комплексная структура запаздывающейфункции Грина (5.6): a) Расположение полюсов при

интегрировании по частоте, (5.7); b) положениеполюсов при интегрировании по абсолютному

значению волнового вектора 𝑘, для примера взятслучай 𝜔 < 0. Красными жирными точками

обозначены положения полюсов подинтегральноговыражения, зелёной линией — контура, вдоль которых

производится интегрирование.

Проверим, что именно правило полюсов (5.6) соот-ветствует причинности, т.е. тому, что при 𝑡 < 0 функ-ция Грина 𝐺 тождественно равна нулю. Для этого рас-смотрим обратное Фурье-преобразование от частотно-волнового представления к временно-волновому пред-ставлению:

𝐺(𝑡,k) =

ˆ4𝜋 𝑒−𝑖𝜔𝑡(d𝜔)

𝑘2 − (𝜔/𝑐+ 𝑖0)2(5.7)

Контур интегрирования и положения полюсов подинте-грального выражения (5.7) показаны на Рис. 5.1a. Ко-гда время отрицательно, 𝑡 < 0, то контур интегрирова-ния следует уводить вверх на комплексной плоскости 𝜔,поскольку в этом случае экспонента в подинтегральномвыражении становится малой. На пути такой деформа-ции контур не встречает полюсов, поэтому полный ин-теграл равен нулю.

В обратном случае, когда 𝑡 > 0, экспонента в по-динтегральном выражении (5.7) стремится к нулю прибольшой отрицательной мнимой части частоты 𝜔, по-этому контур интегрирования надо уводить в нижнюю

полуплоскость комплексной плоскости 𝜔. На пути этойдеформации встречаются два полюса подинтегрально-го выражения, в результате чего возникает ненулевойрезультат интегрирования:

𝐺(𝑡,k) =4𝜋 𝜃(𝑡)

𝑘sin(𝑐𝑘𝑡). (5.8)

Найдём теперь функцию Грина в частотно-координатном представлении функция Грана. Для это-го при проведении обратного Фурье-преобразования отволнового вектора k к радиус-вектору 𝑟 в интегрирова-нии по k перейдём к сферическим координатам 𝑘, 𝜗, 𝜙,направив 𝑟 вдоль оси 𝑂𝑧:

𝐺(𝜔, 𝑟) =

∞

0

4𝜋𝑘2d𝑘/(2𝜋)3

𝑘2 − (𝜔 + 𝑖0)2

0

sin𝜗d𝜗𝑒𝑖𝑘𝑟 cos𝜗2𝜋ˆ

0

d𝜙

=1

𝑟

ˆ ∞

−∞

d𝑘

𝜋𝑖

𝑘 exp(𝑖𝑘𝑟)

𝑘2 − (𝜔 + 𝑖0)2

Сначала мы взяли интегралы по углам, воспользовав-шись тем, что sin𝜗d𝜗 = −d cos𝜗. Исходный интегралпо 𝑘 на луче (0,+∞) мы сначала распространили навсю прямую, воспользовавшись тем, что подинтеграль-ное выражение чётно по 𝑘; затем к подинтегральномувыражению мы добавили нечётную функцию, пропор-циональную cos(𝑘𝑟), не изменив значения интеграла,поскольку эта добавка не изменяет значения интегра-ла. Комплексная структура интеграла по 𝑘 показана наРис. 5.1b). После проведения интегрирования приходимк

𝐺(𝜔, 𝑟) ≡ˆ(d3k) 𝐺(𝜔,k) 𝑒𝑖𝑘r =

exp(𝑖(𝜔/𝑐)𝑟

)𝑟

. (5.9)

Теперь легко найти запаздывающую функцию Гри-на в временно-координатном представлении, воспользо-вавшись (5.9):

𝐺(𝑡, 𝑟) =

ˆ(d𝜔)𝐺(𝑡, 𝑟) 𝑒−𝑖𝜔𝑡 =

𝛿(𝑡− 𝑟/𝑐)𝑟

.

Это выражение можно переписать также в ковариант-ном виде:

𝐺(𝑥) = 2𝑐 𝜃(𝑥0)𝛿(𝑥𝜇𝑥

𝜇)

(5.10)

5.1.2 Опережающая и другие функцииГрина

Для того, чтобы отличать разные функции Грина, обо-значим запаздывающую функцию Грина, введённую вПункте 5.1.1, через 𝐺R.

Функция времени и координат

𝐺R −𝐺A ≡ 𝛿(𝑡− 𝑟/𝑐)− 𝛿(𝑡+ 𝑟/𝑐)

𝑟=

= 2𝑐 sign(𝑥0) 𝛿(𝑥𝜇𝑥𝜇).

49 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

удовлетворяет однородному волновому уравнению. По-этому определённая так функция

𝐺A(𝑡, 𝑟) =𝛿(𝑡+ 𝑟/𝑐)

𝑟(5.11)

удовлетворяет уравнению (5.1). Она не равна нулютолько при 𝑡 < 0, поэтому называется опрережающейфункцией Грина (advanced Green function).

В Фурье-представлении разность запаздывающей иопережающей функций Грина равна

𝐺R(𝜔,k)−𝐺A(𝜔,k) = 8𝜋2𝑖 sign(𝜔) 𝛿(𝑘𝜇𝑘𝜇),

что согласуется с общими рассуждениями (5.4)....

5.1.3 Тензорная функция ГринаЗапишем функция Грина для электрического по-ля. Волновое уравнение на электрическое поле вкоординатно-частном представлении имеет вид(

rot rot−𝜔2

𝑐2

)E =

4𝜋𝑖𝜔

𝑐2𝑗. (5.12)

Решение для электрического поля можно получить непрямым путём, а пользуясь уже полученным решениемдля 4-потенциала в Лоренцевой калибровке (ответ дляэлектрического поля естественно не должен зависеть отвыбранной калибровки). В результате получаем для за-паздывающей функции Грина:

𝐸𝑖(𝑟) =

ˆ𝐺𝑖𝑗𝜔 (𝑟 − 𝑟′) d3𝑟′ 𝑗𝑗 , (5.13)

𝐺𝑖𝑗𝜔 (𝑟) = 𝑖𝜔

(𝛿𝑖𝑗 +

𝑐2

𝜔2𝜕𝑖𝜕𝑗

)exp(𝑖𝜔𝑟/𝑐)

𝑟

В частотно-волновом представлении

𝐺𝑖𝑗𝜔,k =

(𝛿𝑖𝑗 − 𝑘𝑖𝑘𝑗

𝜔2/𝑐2

)𝑖𝜔/𝑐

𝑘2 − (𝜔/𝑐+ 𝑖0)2.

В англоязычной литературе функции Грина типа (5.13)называются diadic Green’s function, в отличие от скаляр-ной функции Грина (5.6).

5.1.3.1 Экспериментирование

Дивергенция электрического поля равна

divE = −4𝜋

𝜔div 𝑗.

В областях, где нет источников, где 𝑗 = 0, электриче-ское поле бездивергентно. Поэтому если на электриче-ское поле подействовать проекционным оператором

P𝑖𝑗k = 𝛿𝑖𝑗 − 𝑘𝑖𝑘𝑗

k2

то электрическое поле в этих областях не изменится.Получаем, что

𝑙𝑗𝜔,k = P𝑖𝑙k 𝐺𝑙𝑗𝜔,k

=

(𝛿𝑖𝑗 − 𝑘𝑖𝑘𝑗

k2

)𝑖𝜔

𝑘2 − (𝜔 + 𝑖0)2=

= 𝐺𝑙𝑗𝜔,k −𝑖𝑘𝑖𝑘𝑗

𝜔𝑘2

В координатном пространстве такая “модифицирован-ная” функция Грина имеет вид

5.1.4 Двумерное электрическое поле

Рассмотрим ситуацию, когда по оси 𝑧 соблюдается пол-ная однородность распределения зарядов, и, кроме то-го, электрический ток имеет только 𝑥, 𝑦-компоненты.В таком случае магнитное поле H имеет только 𝑧-компоненту, а электрическое поле E имеет только 𝑥, 𝑦-компоненты.

(Δ⊥ + 𝜔2/𝑐2)𝐻 = −4𝜋 div* 𝑗,

𝐻(𝑟) =

ˆ𝐺⊥(𝑟 − 𝑟′) d2𝑟′ div* 𝑗(𝑟′)

где 𝑟 = 𝑥, 𝑦. Функцию Грина удобно искать непосред-ственно в частотно-координатном пространстве. Во-первых заметим, что имеет место равенство

Δ⊥ ln 𝑟 = 2𝜋𝛿⊥(𝑟),

где, соответственно, 𝑟 =√𝑥2 + 𝑦2. Во-вторых, в силу

скалярности уравнения на 𝐻, функция Грина 𝐺⊥(𝑟) за-висит только от абсолютного значения 𝑟. Наконец, урав-нение на функцию Грина(

𝜕2𝑟 +1

𝑟𝜕𝑟 +

𝜔2

𝑐2

)𝐺⊥(𝑟) = 4𝜋𝛿⊥(𝑟)

имеет вид модифицированного уравнение Бесселя ну-левого порядка. Запаздывающим решением являетсяфункция Ганкеля первого рода нулевого порядка,

𝐺⊥(𝑟) = −𝜋𝑖H(1)

0 (𝜔𝑟/𝑐) (5.14)

Электрическое поле

𝐸𝛼 =𝑖

𝜔(∇*𝛼𝐻 − 4𝜋𝑗𝛼) = (5.15)

=

ˆ𝐺𝛼𝛽(𝑟 − 𝑟′) d2𝑟′ 𝑗𝛽(𝑟′),

𝐺𝛼𝛽(𝑟) = −𝜋𝜔(𝛿𝛼𝛽 +

𝑐2

𝜔2𝜕𝛼𝜕𝛽

)H(1)

0 (𝜔𝑟/𝑐)

сравни с (5.13).

Глава 5. Распространение электромагнитных волн 50

§5.2. Геометрическая оптика

Плоская волна (4.56) отличается тем, что ампли-туда колебания поля в ней постоянна в пространстве-времени, а вся зависимость от времени и координатысодержится в фазе. Приближение геометрической опти-ки предполагает, что локально поле можно представитьв виде плоской монохроматической волны. Однако навременах, больших по сравнению с периодом колебанияволны, или на расстояниях, больших по сравнению сдлиной волны, амплитуда волны и её волновой вектормогут заметно меняться.

Таким образом, предполагается разделение масшта-бов. Малые масштабы — это быстрые осцилляции вол-ны. Большие масштабы — это изменение периода этихосцилляций и амплитуды волны. В соответствии с этимпредположением, представим комплексную амплитудуволны в виде

𝜙 = Re(𝑎 𝑒𝑖𝜓

). (5.16)

Фаза 𝜓 называется эйконалом (eikonal). В пределе, ко-гда применимо приближение геометрической оптики,эта величина изменяется намного быстрее, чем абсолют-ное значение амплитуды 𝑎.

Волновое уравнение, в терминах комплексной ам-плитуды имеющее вид

𝑒−𝑖𝜓(𝜕2𝑡 − 𝑐2Δ)(𝑎𝑒𝑖𝜓

)= 0,

будучи разделённым на действительную и мнимую ча-сти, распадается на два действительных. Действитель-ная часть уравнения может быть переписана в виде(

𝜕𝜓

𝜕𝑡

)2− 𝑐2

(𝜕𝜓

𝜕𝑟

)2=

(𝜕2𝑡 − 𝑐2Δ)𝑎

𝑎→ 0. (5.18𝑎)

В соответствии с нашим приближением, правую частьэтого уравнения можно положить равной нулю, по-скольку она мала по сравнению с первыми производны-ми фазы. Сравнивая выражения для фазы (4.56), спра-ведливое в случае плоской волны, приходим к выводу,что справедливо положить

𝜔(𝑡, 𝑟) = −𝜕𝜓𝜕𝑡, k(𝑡, 𝑟) =

𝜕𝜓

𝜕𝑟, d𝜓 = −𝜔d𝑡+ (k·d𝑟),

(5.17)причём выражение для приращения фазы d𝜓 имеет точ-ность 𝑜(1) для приращений времени d𝑡 и координаты|d𝑟| сравнимых с периодом волны 2𝜋/𝜔 и длины волны2𝜋/𝑘 соответственно. Уравнение (5.18) таким образомоказывается в приближении геометрической оптики ни-чем иным как дисперсионным соотношением

𝑔𝜇𝜈𝜕𝜇𝜓 𝜕𝜈𝜓 = 0, ⇔ 𝜔2 + 𝑐2k2 = 0. (5.18)

Записанное в первом виде, это уравнение называютуравнением эйконала.

Мнимая часть волнового уравнения

𝜕𝑡(𝜔𝑎2) + 𝑐2 div(k𝑎2) = 0. (5.19)

имеет вид сохранения энергии: плотность энергии про-порциональна 𝜔𝑎2, а плотность потока энергии пропор-циональна 𝑐2k𝑎2.

5.2.1 Монохроматическая волнаПредположим, что характеристики волны (амплитуда𝑎, частота 𝜔 и волновой вектор k) не зависят явно отвремени. Такую волну следует назвать монохроматиче-ской: во всём пространстве её комплексная амплитудазависит от времени как exp(−𝑖𝜔𝑡) с одной и той же ча-стотой 𝜔. Действительно, поскольку

0 = 𝜕𝑡k = − grad𝜔 (5.20)

в силу (5.17), то это означает, что частота 𝜔 постояннаяне только во времени, но и в пространстве. Волновойвектор таким образом может изменять только своё на-правление:

k = (𝜔/𝑐)𝑛, 𝑛2 = 1. (5.21)

В пустоте лучи распространяются по прямым лини-ям. Чтобы показать это, возьмём градиент от уравне-ния Эйконала (5.18) и снова воспользуемся уравнени-ем (5.17):

0 = −𝜕𝑘(𝑔𝜇𝜈𝜕𝜇𝜓 𝜕𝜈𝜓

)2𝑘2

=𝜕𝑖𝜓 𝜕𝑖𝑘𝜓

𝑘2= (𝑛 ·∇)𝑛 = 0.

(5.22)Это уравнение означает, что вдоль направления распро-странения луча 𝑛 оно само остаётся неизменным.

5.2.1.1 Волновой фронт

Волновым фронтом называется поверхность 𝑆 =𝑆(𝜓0, 𝑡) с постоянным значением фазы волны (эйкона-ла) 𝜓 = 𝜓0 при фиксированном времени 𝑡. Посколькуволновой вектор k есть градиент эйконала, то в каж-дой точке поверхности 𝑆 волновой вектор нормален ей.Важную роль для геометрической оптики играет сред-няя кривизна фронта (см. (10.29)):

𝐾m = −div𝑛.

Рассмотрим два волновых фронта 𝑆1,2 в один и тотже момент времени, соответствующих двум различнымфазам 𝜓1 < 𝜓2. Если провести нормаль к одной поверх-ности, скажем 𝑆1, то будучи продолженной она окажет-ся нормалью и для поверхности 𝑆2. Расстояние междуточками пересечения Δ𝑙 = Δ𝜓/𝑘 согласно (5.17), гдеразность между фазами фронтов Δ𝜓 = 𝜓2 − 𝜓1, т.е. независит от выбора точки на фронте 𝑆1.

Полученный принцип легко может быть изображёнграфически, см. Рис. 5.2.

51 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

5.2.1.2 Интенсивность лучей

Пространственная структура линий распространениялучей и амплитуды лучей связаны уравнением (5.19),выражающем собой условие бездивергентности потокаэнергии:

div(𝑛𝑎2

)= (𝑛·∇)𝑎2 +𝐾m𝑎

2 = 0,

or (𝑛·∇) ln(𝑎2) = −𝐾m. (5.23)

Таким образом, скорость изменения интенсивности (𝑛·∇) ln(𝑎2) вдоль луча определяется значением среднейкривизны 𝐾m фронта.

Рис. 5.2 Два волновых фронта. Чёрной точкойобозначен фокус (каустика).

§5.3. Параметризация поля в случае сферической геометрии

Предположим, что мы изучаем систему, локализо-ванную в пространстве, и производящую возмущениеполя в окружающем пространстве. Такой системой мо-жет быть, например, излучающая система движущих-ся с ускорением зарядов. Декартова система координатоказывается не вполне подходящей для математическо-го писания подобных задач. Более подходящей являетсясферическая система координат с началом находящемсявнутри рассматриваемой системы.

В этом параграфе мы разрабатываем математиче-ский аппарат, позволяющий описывать электромагнит-ное поле в сферической системе координат. Мы поль-зуемся обозначениями Пункта 10.1.3. В нашем случае3-х мерной криволинейной системой координат явля-ется сферическая система координат 𝑟, 𝜃, 𝜑, а дву-мерной поверхностью является поверхность 𝑟 = constс углами в качестве координат на этой поверхности,𝛼, 𝛽, . . . = 𝜃, 𝜑. Оператор Лапласа Δ мы будем пред-ставлять в виде

Δ =1

𝑟𝜕2𝑟 𝑟 +

1

𝑟2Δa, (5.24)

Δa =1

sin 𝜃𝜕𝜃 sin 𝜃𝜕𝜃 +

𝜕2𝜑

sin2 𝜃

Таким образом, дифференциальный оператор Δa яв-ляется оператором Бельтрами-Лапласа на сфере еди-ничного радиуса (в терминах квантовой механике егоможно назвать оператором квадрата углового момента,взятого с обратным знаком).

5.3.1 Свойства функций Бесселя

I𝜈(𝑧) = 𝑒−𝜋𝜈𝑖/2 J𝜈(𝑒𝜋𝑖/2𝑧)

5.3.1.1 Сферические функции Бесселя

Сферические функции Бесселя связаны с простымифункциями Бесселя универсальным соотношением ти-па

j𝑙(𝑧) =

√𝜋

2𝑧J𝑙+1/2(𝑧).

Сферическая функция Ганкеля первого рода

h(1)

𝑙 (𝑧) = j𝑙(𝑧) + 𝑖y𝑙(𝑧) = −𝑖𝑧𝑙(−1

𝑧

d

d𝑧

)𝑙𝑒𝑖𝑧

𝑧

Явные выражения для первых целочисленных функцийГанкеля первого рода

h(1)

0 (𝑧) = −𝑖𝑒𝑖𝑧

𝑧, h(1)

1 (𝑧) = − (𝑧 + 𝑖)𝑒𝑖𝑧

𝑧2,

h(1)

2 (𝑧) = 𝑖(𝑧2 + 3𝑖𝑧 − 3)𝑒𝑖𝑧

𝑧3

На близких и далёких расстояниях, когда 𝑧 ≪ 1 и 𝑧 ≫ 1соответственно, асимптотиками функции Ганкеля пер-вого рода являются

∼ − 𝑖(2𝑙 − 1)!!

𝑧𝑙+1, ∼ (−𝑖)𝑙+1 exp(𝑖𝑧)

𝑧, (5.25)

см. справочник Olver и др., 2010, Урр. (10.52.4) и(10.52.2).

Теорема суммирования

exp(𝑖𝑘|𝑟 − 𝑟′|)|𝑟 − 𝑟′|

= (5.26)

= 𝑖(−1)𝑙∞∑𝑙=0

(2𝑙 + 1) h(1)

𝑙 (𝑘𝑟) j𝑙(𝑘𝑟′) P𝑙(𝑛·𝑛′)

см. там же, Урр. 10.60.1, 10.60.2.

Глава 5. Распространение электромагнитных волн 52

5.3.2 Параметризация векторного поля

Пусть нам дано трёхмерное векторное поле 𝐸, невозрастающее на бесконечности. Покажем, что этополе можно представить в виде (Neumann—Debyedecomposition)

𝐸 = rot (𝑟𝜒) + rot rot (𝑟𝜂) − grad𝜙, (5.27)

где потенциал 𝜙 также ограничен на бесконечности. Ко-нечно, представление векторного поля в виде (5.27) неединственно, но оно удобно, если задача имеет сфериче-скую симметрию. Сперва возьмём дивергенцию от обеихчастей (5.27), получим

Δ𝜙 = −div𝐸, 𝜙 =1

4𝜋

ˆd3𝑟′ div𝐸

|𝑟 − 𝑟′|. (5.28)

Так определённый потенциал 𝜙 не возрастает на бес-конечности. Не изменяя этого свойства, к нему можнодобавить только константу, что не потребует измененияфункций 𝜂, 𝜒.

Вообще говоря, потенциал 𝜙 оказывается отличнымот нуля по всём пространстве, что может оказатьсянеудобным. Поэтому с практической точки зрения бы-вает удобным заменить выделение потенциальной частиполя на выделение другой части поля, назовём её −4𝜋𝑃 ,которая обращается строго в нуль при больших рассто-яниях 𝑟, и удовлетворяет условию

div𝐸 = −4𝜋 div𝑃 ,

но в общем случае rot𝑃 = 0. Определение 𝑃 при извест-ном поле 𝐸 неоднозначно, оно должно фиксироватьсяиз дополнительных соображений.

Рассмотрим теперь бездивергентное поле 𝐸 + 4𝜋𝑃 ,обозначив его для лаконичности той же буквой 𝐸. Рас-писывая (5.27) покомпонентно, получаем:

𝐸𝛼 = 𝑟∇*𝛼𝜒 + 𝜕𝛼𝜕𝑟(𝑟𝜂), 𝐸𝑟 = −1

𝑟Δa𝜂.

где 𝐸𝛼 — компоненты ковариантного вектора, а косойповерхностный градиент ∇*

𝛼 определён в (10.25). Сфе-рически симметричная часть в функций 𝜒 и 𝜂 даютнулевой вклад в поле 𝐸. Условие бездивергентности всферических координатах имеет вид

𝜕𝑟(𝑟2𝐸𝑟

)+ 𝑟2∇𝛼𝐸𝛼 = 0.

где 𝐸𝛼 — компоненты контравариантного вектора.Найдём функции 𝜒, 𝜂 по заданному полю 𝐸. Проек-

тируя уравнение (5.27) и его ротор на радиус-вектор 𝑟,получаем:

Δa𝜒 = −𝑟 [rot 𝐸]𝑟, Δa𝜂 = −𝑟𝐸𝑟. (5.29)

5.3.3 Электромагнитное полеСогласно шаблону (5.27), представим электромагнитноеполе в виде

E =1

𝑐rot (𝑟 𝜕𝑡𝜒) + rot rot (𝑟𝜂) +

𝑞𝑟

𝑟3, (5.30)

H = −1

𝑐rot (𝑟 𝜕𝑡𝜂) + rot rot (𝑟𝜒) .

Мы сделали так, чтобы функции 𝜂, 𝜒 входили симмет-рично в выражения для полей E,H. Для того, чтобывыполнялись все уравнения Максвелла, требуется, что-бы функции 𝜂, 𝜒 удовлетворяли волновому уравнениюГельмгольца (4.50)

𝜕𝜇𝜕𝜇𝜂 = 0, 𝜕𝜇𝜕

𝜇𝜒 = 0.

Потенциальный вклад в электрическое поле E постоя-нен во времени в силу закона сохранения полного заря-да. В дальнейшем его мы будем опускать, поэтому

Δa𝜂 = −𝑟E𝑟, Δa𝜒 = −𝑟H𝑟. (5.31)

Поток энергии через сферу радиуса 𝑟 равен

𝐼 = − 𝑟

4𝜋

ˆd𝑜(𝜕𝑡𝜒𝜕𝑟(𝑟Δa𝜒) + 𝜕𝑡𝜂 𝜕𝑟(𝑟Δa𝜂)

)(5.32)

Перекрёстные вклады 𝜂-𝜒 не вошли в ответ в силу раз-ной угловой симметрии вкладов от этих функций в элек-тромагнитные поля.

5.3.3.1 Разложение плоской волны по сфериче-ским волнам

Пусть в декартовых координатах мы имеем плоскуюволну с круговой поляризацией, у которой поля Eext иHext имеют вид

Eext =

⎛⎝ 1𝑖0

⎞⎠ 𝑒𝑖𝜙+𝑖𝑘𝑧, Hext =

⎛⎝ 𝑖−10

⎞⎠ 𝑒𝑖𝜙+𝑖𝑘𝑧.

где фаза 𝜙 = −𝑖𝜔𝑡 + 𝜙0, и волновой вектор 𝑘 = 𝜔/𝑐.Наша цель – найти функции 𝜒 и 𝜂, которые бы соот-ветствовали этой волне. Для этого найдём сначала 𝑟-компоненты полей с тем, чтобы затем воспользоватьсясоотношениями (5.31) для нахождения исходных 𝜂 и 𝜒:

𝑟E𝑟ext = (𝑟 ·Eext) = 𝑟 sin 𝜃 𝑒𝑖𝜑+𝑖𝜙+𝑖𝑘𝑧 = −𝑖𝑟H𝑟ext. (5.33)

Заметим здесь, что функции 𝑟E𝑟 и 𝑟H𝑟 также удовле-творяют волновому уравнению Гельмгольца. Из (5.31)следует, что функции 𝜂, 𝜒 равны

𝜂 = −𝑖𝜒 =1

2𝑟 sin 𝜃 𝑒𝑖𝜑+𝑖𝜙+𝑖𝑘𝑧.

Теперь наша задача состоит в том, чтобы разло-жить функции 𝜂, 𝜒 по сферическим гармоникам. Дляэтого выпишем некоторые формулы, воспользовавшисьФлюгге (1974, сс. 298, 300)

𝑒𝑖𝑘𝑧 =

∞∑𝑙=0

√4𝜋(2𝑙 + 1) 𝑖𝑙 j𝑙(𝑘𝑟)𝒴𝑙,0(𝜃), (5.34)

53 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

sin 𝜃𝑒𝑖𝜑𝒴𝑙,0(𝜃) = 𝐶𝑙,+ 𝒴𝑙+1,1(𝜃, 𝜑) + 𝐶𝑙,− 𝒴𝑙−1,1(𝜃, 𝜑),(5.35)

где 𝒴 – сферические гармоники, а коэффициенты раз-ложения

𝐶𝑙,+ = −

√(𝑙 + 1)(𝑙 + 2)

(2𝑙 + 1)(2𝑙 + 3), (5.36)

𝐶𝑙,− =

√𝑙(𝑙 − 1)

(2𝑙 − 1)(2𝑙 + 1),

В результате получаем, что

𝑟E𝑟ext =

√4𝜋 𝑒𝑖𝜙

𝑘× (5.37)

×∞∑𝑙=1

√𝑙(𝑙 + 1)(2𝑙 + 1) 𝑖𝑙−1 j𝑙(𝑘𝑟)𝒴𝑙,1(𝜃, 𝜑),

Таким образом, используя соотношение (5.31), прихо-дим к ответу

𝜂 =

√4𝜋 𝑒𝑖𝜙

𝑘

∞∑𝑙=1

√2𝑙 + 1√𝑙(𝑙 + 1)

𝑖𝑙−1 j𝑙(𝑘𝑟)𝒴𝑙,1(𝜃, 𝜑). (5.38)

Наконец, для выбранной круговой поляризации 𝑟-компонент полей имеем соотношение (5.33), поэтому всилу (5.31) 𝜒 = 𝑖𝜂.

§5.4. Распространение электромагнитных волн

Если в плоской электромагнитной волне электриче-ское поле имеет всюду одно и то же направление, тотакая волна называется линейно поляризованной. Во-обще же поляризацию электромагнитное волны можнозадать единичным комплексным вектором e, модифи-цировав выражение (4.56):

E(𝑡, 𝑟) = eE0 exp(−𝑖𝑘𝜇𝑥𝜇), (5.39)

(e·e*) = 1, (E0)2 = (E0 ·E*

0).

Помимо того, что вектор поляризации e лежит в плоско-сти нормальной к волновому вектору k и имеет единич-ную длину, он также содержит произвольный фазовыймножитель 𝑒𝑖𝜙0 . Поэтому из 4-х независимых действи-тельных параметров, в общем случае параметризующихкомплексный двумерный вектор, независимых парамет-ров, определяющих вид поляризации, оказывается толь-ко два.

5.4.1 Расходящаяся сферическая волнаЕсли (4.52) c E− мы назвали плоской электромагнитнойволной, распространяющейся в направлении оси 𝑂𝑧, тоэлементарное решение (4.18) следует назвать расходя-щейся сферической волной. Характерными признакамирасходящейся сферической волны являются ...

∙ Убывание на больших расстояниях как 1/r,

∙ Зависимость от времени через комбинацию 𝑡−𝑟/𝑐.

Решение (4.18) написано для скалярной величины,назовём её 𝜂. Здесь мы обсуждаем принципиальные мо-менты, связанные со сферическими волнами. Как в пол-ной мере распространить теорию на векторное электро-магнитное поле, детально осуждается в §§ 6.3.

Из сферически-симметричного решения (4.18) могутбыть получены решения, зависящие от углов:

𝜂 = ∇𝑖∇𝑘 . . .𝑓(𝑡− 𝑟/𝑐)

𝑟.

Так построенная функция 𝜂 также удовлетворяет вол-новому однородному уравнению (4.17). На больших рас-стояниях до начала координат следует удержать толькопроизводные от 𝑓 , так что

𝜂 → (−1)𝑙𝑛𝑖𝑛𝑘 . . . 𝑓(𝑙)(𝑡− 𝑟/𝑐)

𝑟

Таким образом, мы получили расходящуюся сфериче-скую волну, амплитуда которой зависит от направленияраспространения. Угловая зависимость не меняется помере распространения от источника.

По аналогии со скалярным полем, мы можем напи-сать решение для расходящейся электромагнитной вол-ны

E ≈ 𝑎

𝑟E0(𝑛, 𝑡− 𝑟/𝑐), H ≈ 𝑎

𝑟[𝑛×E]. (5.40)

Поле (5.40) удовлетворяет уравнениям Максвелла толь-ко приближённо, в главном порядке по малому парамет-ру 𝑎/𝑟. Реальное электромагнитное поле по сравнению с(5.40) имеет поправки, малые по параметру 𝑎/𝑟. Длину𝑎 следует воспринимать как размер системы зарядов,производящих эту сферическую волну. Плотность по-тока энергии (4.30) убывает обратно пропорциональноквадрату расстояния. Поэтому полный поток энергии,протекающий через сферу, окружающую источник, независит от её радиуса.

Глава 5. Распространение электромагнитных волн 54

5.4.1.1 Монохроматическая сферическая расхо-дящаяся волна

Перейдём в Фурье-представление по времени. предпола-гать, что движение зарядов является периодическим повремени с частотой 𝜔 (4.56). Тогда, по аналогии с (4.56),запишем

E = 2Re(𝑒−𝑖𝜔𝑡E), E = E(𝑟). (5.41)

Ниже мы будем работать в терминах комплексной ам-плитуды E и для удобства чтения опускать знак .

На исследуемую систему не падают волны из беско-нечности, поэтому вдалеке у нас есть только уходящееот системы излучение. Таким образом, например, функ-ция 𝜒 представима в виде

𝜒 =

∞∑𝑙=1

h(1)

𝑙 (𝑘𝑟)

(𝑚=𝑙∑𝑚=−𝑙

𝜒𝑙,𝑚 𝒴 𝑙,𝑚(𝜃, 𝜑) = 𝜒𝑙(𝜃, 𝜑)

),

(5.42)где h(1)

𝑙 (𝑧) — сферическая функция Ганкеля 1-го родапорядка 𝑙, сравни с разложением (6.5). Аналогичныйряд может быть записан для функции 𝜂.

§5.5. Рассеяние электромагнитных волн на частицах

Рассмотрим монохроматическую плоскую волну,рассеивающуюся на некотором центре рассеяния. Дляопределённости будем полагать, что падающая волнараспространяется в вакууме. Перейдём к комплекснымамплитудам, введя огибающую E поля E, см. (??). Вдальнейшем знак ‘˜’ для краткости мы будем опускать.В этом случае усреднённые по периоду колебаний зна-чения потока и плотности энергии даны в Пункте ??.Падающее поле представим в виде Ein = Ein,0 exp[𝑖kin𝑟].Тогда абсолютное значение плотности потока в падаю-щей волне равно

𝐽 =𝑐|Ein,0|2

2𝜋. (5.43)

Полное сечение рассеяния 𝜎 (сечение взаимодей-ствия) определяется как отношение суммы мощности𝐼𝑠, рассеивающейся на центре рассеяния, и мощности𝐼𝑎, поглощающейся им, к плотности потока энергии впадающей волне:

𝜎 = 𝜎𝑟 + 𝜎𝑠, 𝜎𝑠 =𝐼𝑠𝐽, 𝜎𝑎 =

𝐼𝑎𝐽. (5.44)

Таким образом, мощность 𝐼 есть мощность, отбираемаяиз падающей волны; 𝜎𝑠 называется сечением рассеяния,𝜎𝑎 – сечением поглощения.

Рассмотрим сначала трёхмерный случай. Вдалекеот рассеивающего центра электромагнитное поле пред-ставляет из себя совокупность плоской и сферическойрасходящейся волн,

𝐸𝑖 = 𝐸𝑖in + 𝐸𝑖s → (5.45)

→ 𝐸𝑖in,0 exp[𝑖kin𝑟] +𝑓 𝑖𝑗𝐸𝑗in,0

𝑟exp[𝑖𝑘𝑟],

где |kin| = 𝑘, а 𝑓 𝑖𝑗 – амплитуда рассеяния; среди 9-ти пространственных матричных элементов амплитудырассеяния есть только 4 независимых, поскольку у элек-тромагнитных волн есть только две поляризации. Рас-

сеянная центром рассеяния мощность 𝐼𝑠 равна

𝐼𝑠 =

ˆd𝑜

d𝜎𝑠d𝑜

, d𝜎𝑠 = 𝑟2(S𝑠 ·𝑛)d𝑜, (5.46)

S𝑠 =𝑐

2𝜋Re[E𝑠,H

*𝑠],

где интегрирование производится по сфере радиуса 𝑟,единичный вектор 𝑛 = 𝑟/𝑟. Мы ввели дифференциаль-ное сечение рассеяния d𝜎𝑠, которое есть отношение мощ-ности рассеянной волны, уходящей от рассеивателя в те-лесный угол d𝑜, к плотности потока энергии падающейволны. Поглощаемая рассеивателем мощность равна

𝐼𝑎 = −ˆ𝑟2d𝑜 (S·𝑛), S =

𝑐

2𝜋Re[E,H*]. (5.47)

5.5.1 Оптическая теоремаОптическая теорема связывает амплитуду рассеяниявперёд с полным сечением рассеяния, что может бытьиспользовано для упрощения вычисления сечения рас-сеяния.

𝜇−1 1

Рис. 5.3 Контур интегрирования по переменной𝜇 = cos 𝜃. Сплошной линией обозначен исходный

контур, пунктирной – изменённый.

Полный поток через поверхность большого радиуса𝑟, нормированный на плотность падающего потока, поопределению равен сечению поглощения, см. (5.47,5.44).

55 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Преобразуем это выражение, используя разложение по-ля (5.45):

𝜎𝑎 = −𝜎𝑠 −𝑐

2𝜋𝐽Re

ˆ𝑟2d𝑜 ([Ein,H

*s ] + [Es,H

*in])𝑛,

где квадратичный вклад по полю падающей волны опу-щен, поскольку даёт нуль. Первое слагаемое в правойчасти соответствует излучению, производимому рассе-

ивателем; второе слагаемое есть результат интерферен-ции рассеянной волны с падающей. Теперь, используяравенства

H𝑠 = [𝑛,E𝑠], Hin = [𝑛in,Ein], (5.48)

верные для плоских волн, см. (??), где 𝑛in = kin/𝑘, по-лучаем

𝜎 = 𝜎𝑠 + 𝜎𝑎 = − 𝑐

2𝜋𝐽Re

ˆ𝑟 d𝑜 𝑓*𝑖𝑗

𝐸𝑖in,0𝐸

*𝑗in,0

(1 + (𝑛·𝑛in)

)− (Ein,0 ·𝑛)(E*

in,0 ·𝑛)exp (𝑖(kin𝑛− 𝑘)𝑟) . (5.49)

В процессе выкладок мы раскрыли двойное векторноепроизведение и использовали то, что Ein,0 ⊥ 𝑛in.

Для того, чтобы взять интеграл по телесному углув (5.49), перейдём к сферическим координатам 𝑟, 𝜃, 𝜙,направив ось 𝑂𝑧 по волновому вектору kin падающейволны, и введём переменную 𝜇 = cos 𝜃; тогда kin𝑛 =𝑘𝑟𝜇. Интеграл в правой части (5.49) имеет вид и при𝑟 →∞ оценивается как

𝑟

1ˆ

−1

d𝜇 𝑒𝑖𝑘𝑟(𝜇−1)𝑔(𝜇) =1

𝑖𝑘

(𝑔(1)− 𝑔(−1) exp−2𝑖𝑘𝑟

),

(5.50)где 𝑔(𝜇) – функция, независящая от 𝑟. Действительно,поскольку 𝑔(𝜇) предполагается аналитической функци-ей, не имеющей особенностей на отрезке [−1, 1], то мыможем деформировать контур интегрирования так, какпоказано на Рис. 5.3. При этом, в силу великости 𝑟,вклад в интеграл будут давать только боковые участ-ки контура; в пределе большого 𝑟 длина вертикальных

учасков контура может быть сколь угодно малой. Такимобразом, приходим к правой части (5.50).

Вклад в (5.50), соответствующий отражению назад,т.е. когда 𝜇 = −1, равен нулю, поскольку 𝑔(−1) =0. Действительно, первое слагаемое в фигурной скоб-ке (5.49) равно нулю, поскольку (𝑛 · 𝑛in) = 𝜇, а второеслагаемое равно нулю, поскольку 𝑛 ⊥ Ein,0 при 𝜇 =±1. Для оставшегося вклада интегрирование по углу 𝜙даёт множитель 2𝜋, поскольку интеграл определяетсяокрестностью направления 𝜃 = 0. Поэтому (5.49) с учё-том выражения для плотности падающего потока (5.43)сводится к

𝜎 =4𝜋

𝑘Im[𝑓 𝑖𝑗(0) 𝑒*𝑖𝑒𝑗

], 𝑒𝑖 =

𝐸𝑖in,0|Ein,0|

. (5.51)

Равенство (5.51) составляет содержание оптическойтеоремы: полное сечение рассеяния определяется мни-мой частью амплитуды рассеяния вперёд.

Глава 6. Слабо релятивистские эффекты 56

Глава 6

СЛАБО РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭФФЕКТЫ

§6.1. Поле неподвижных зарядов и их взаимодействие с внешнимпостоянным электрическим полем

6.1.1 Закон Кулона

Продемонстрируем сперва, как вытекает закон Кулонаиз выражения (4.20) для запаздывающих потенциалов.Для этого предположим статическое распределение за-рядов, так что в 4-токе (2.41) ненулевой является только𝜌-компонента (и она не зависит от времени), тогда какток 𝑗 = 0. Тогда единственным нетривиальным уравне-нием в (4.17) является уравнение Пуассона на скаляр-ный потенциал

Δ𝜙 = −4𝜋𝜌, (6.1)

а уравнение (4.20) отдельно для временной и простран-ственных и компонент гласит:

𝜙(𝑟) =

ˆ𝜌(𝑟′) d3𝑟′

|𝑟 − 𝑟′|, A = 0. (6.2)

Согласно (3.46), электромагнитное поле

E = − grad𝜙, B = 0. (6.3)

Уравнение (6.2) называют законом Кулона, а 𝜙 в дан-ном случае — электростатическим потенциалом.

Пусть есть только два точечных заряда 𝑒1 и 𝑒2, рас-положенных в точках 𝑟1 и 𝑟2 соответственно. Тогда по-тенциал 𝜙1 и электрическое поле E1, создаваемые пер-вым зарядом, равны

𝜙(𝑟) =𝑒1

|𝑟1 − 𝑟|, E1 = − grad𝜙1 =

𝑒1(𝑟 − 𝑟1)

|𝑟 − 𝑟1|3.

Сила 𝐹 21 (3.47), действующая со стороны первого заря-да на второй, равна

𝐹 21 =𝑒1𝑒2(𝑟2 − 𝑟1)

|𝑟2 − 𝑟1|3(6.4)

Собственно, это равенство принято называть закономКулона (Coulomb’s law).

6.1.2 Поле системы статических зарядов

Рассмотрим систему статических зарядов, ограничен-ную в пространстве. Пусть характерный диаметр систе-мы равен 𝑎, начало координат поместим внутрь этой си-стемы. Мы будем интересоваться полем, создающимся

этими зарядами на расстояниях 𝑟, больших по сравне-нию с размером системы 𝑎, 𝑟 ≫ 𝑎. Заряды будем ну-меровать индексом 𝛼, положение заряда 𝑟𝛼, величинузаряда — 𝑒𝛼.

Потенциал поля рассматриваемой системы зарядовопределяется формулой (6.2). В нашем случае интегри-рование по 𝑟′ в (6.2) ограничивается областью 𝑟′ < 𝑎,где только и находятся заряды. Если мы рассматрива-ем область 𝑟 > 𝑎, то в этой области зарядовая плотность𝜌 равна нулю и согласно (6.1) потенциал удовлетворяетуравнению Лапласа

Δ𝜙 = 0.

Кроме того, потенциал убывает при удалении от систе-мы. Поэтому 𝜙 может быть разложен по сферическимфункциям:

𝜙 =𝑄

𝑟+𝑑𝑖𝑛𝑖

𝑟2+𝐷𝑖𝑘𝑛𝑖𝑛𝑘

2𝑟3+𝐷𝑖𝑘𝑙𝑛𝑖𝑛𝑘𝑛𝑙

6𝑟4+ . . . =

=

∞∑𝑙=0

1

𝑟𝑙+1

(𝑚=𝑙∑𝑚=−𝑙

𝐶𝑙𝑚 𝒴𝑙𝑚 = 𝜙𝑙

), (6.5)

где 𝒴𝑙𝑚(𝜗, 𝜑) — сферические гармоники (см., например,Olver и др., 2010, §14.30), а единичный вектор 𝑛 = 𝑟/𝑟.Первое и второе равенство в (6.5) представляют из се-бя разные, наиболее часто используемые формы записичленов разложения потенциала 𝜙 по обратным степе-ням 𝑟.

Между коэффициентами 𝐶𝑙𝑚 с фиксированным 𝑙 икоэффициентами 𝐷𝑖... с количеством индексов равным𝑙 существует невырожденная линейная связь. Подсчита-ем количество линейно независимых коэффициентов 𝐷.Тензор 𝐷 симметричен по любой паре индексов. Крометого, след по паре индексов может быть положен рав-ным нулю,

𝐷𝑘𝑘... = 0. (6.6)

Действительно, все члены ряда (6.5) могут быть по-лучены 𝑙-кратным дифференцированием сферически-симметричного потенциала 1/𝑟 (поскольку результатдифференцирования также удовлетворяет уравнениюЛапласа, но убывает как 1/𝑟𝑙+1):

(−1)𝑙

𝑙!(2𝑙 − 1)!!𝐷𝑖𝑘...∇𝑖∇𝑘 . . .

1

𝑟=

𝐷𝑖𝑘... 𝑛𝑖𝑛𝑘 . . .

𝑙! 𝑟𝑙+1. (6.7)

57 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Любое ненулевое значение следа тензора 𝐷 не изменяетлевой части этого выражения, поскольку в области, несодержащей начало координат, Δ(1/𝑟) = 0. Для того,чтобы равенство (6.7) было верно, должно выполняться(6.6; в этом случае угловая зависимость правой части(6.7), как и должно быть, не имеет вклада от сфери-ческой гармоники порядка меньшего чем 𝑙. Теперь, врезультате комбинаторного подсчёта приходим к тому,что количество линейно независимых элементов в тензо-ре 𝐷 порядка 𝑙 равно 2𝑙+1, что есть количество линейнонезависимых сферических гармоник этого порядка.

Тензора 𝐷𝑖𝑘... называются (электрическими) 2𝑙-польными моментами системы зарядов. В частности, 𝑑— дипольным, 𝐷𝑖𝑘 — квадрупольным, а 𝐷𝑖𝑘𝑙 — окту-польным моментами.

Ряды (6.5) соответствуют разложению в (6.2) по ма-лому параметру 𝑎/𝑟. Действительно, произведём раз-ложение в подынтегральном выражении (6.2), полагая,что |𝑟′| ≤ 𝑎:

1

|𝑟 − 𝑟′|=

(1− 2

(𝑟′

𝑟· 𝑛)+𝑟′2

𝑟2

)−1/2

= (6.8)

=1

𝑟+

(𝑛 · 𝑟′)𝑟2

+3(𝑛 · 𝑟′)2 − 𝑟′2

2𝑟3+ . . . ,

Чем больше 𝑙, тем быстрее убывает соответствующийвклад в потенциал. Поэтому на далёких расстоянияхот системы достаточно знать только первые коэффици-енты в разложении (6.5) для приближённого описанияраспределения электрического поля в пространстве. Та-ким образом, тогда как система может содержать боль-шое количество хаотически распределённых в простран-стве зарядов, достаточно знать не более десятка инте-гральных параметров этого распределения, чтобы опи-сать электрическое поле вдали от системы.

Обратимся к интерпретации членов разложения ря-да (6.5), начав с нулевого члена разложения. Он соот-ветствует сферически симметричному потенциалу, убы-вающему как 1/𝑟. Величина 𝑄 в (6.5) является полнымзарядом системы,

𝑄 =

ˆd3𝑟′ 𝜌(𝑟′).

6.1.2.1 Дипольный момент

Величины 𝑑𝑖 составляют вектор, который называет-ся дипольным моментом системы. Сравнивая первыйчлен разложения (6.2) по параметру 𝑟′/𝑟 ≪ 1, см. (6.8),и определение (6.5) 𝜙𝑙 получаем, что дипольный моментсистемы зарядов равен

𝜙1

𝑟2=

ˆ𝜌(𝑟′) (𝑟′ ·𝑛)

𝑟2⇒ (6.9)

⇒ 𝑑 =

ˆd3𝑟 𝜌(𝑟) 𝑟 =

∑𝛼

𝑒𝛼𝑟𝛼,

согласно виду разложения (6.5).

Дипольный момент определён однозначно только втом случае, если полный заряд системы равен нулю,𝑄 = 0. В противном случае значение дипольного мо-мента зависит от выбора начала системы координат; вчастности, существует система координат, в которой ди-польный момент заряженной системы равен нулю.

Точечным электрическим диполем 𝑑, расположен-ным в начале координат, по определению называют рас-пределение зарядов

𝜌(𝑟) = −(𝑑·∇)𝛿(𝑟) = −div(𝑑 𝛿(𝑟)

). (6.10)

Такое распределение зарядов обладает только диполь-ным моментом, так что в разложении (6.5) являетсяненулевым только вклад с 𝑙 = 1. Электрическое полеточечного диполя

E = − grad(𝑑·𝑛)𝑟2

=3(𝑑·𝑛)𝑛− 𝑑

𝑟3. (6.11)

Рисунок поля диполя ...Предположим, что полный заряд системы равен ну-

лю, то есть система электронейтральна. Однако по темили иным причинам в ней произошло пространственноесмещение положительных и отрицательных зарядов от-носительно друг друга. В таком случае возможно пред-ставить распределение заряда через плотность элек-трической поляризации P(𝑟). Локальная плотность за-ряда в системе

𝜌 = −divP. (6.12)

В частности, для точечного диполя (6.11) естественнопоставить в соответствие

P(𝑟) = 𝑑 𝛿(𝑟).

При известной объёмной плотности зарядов 𝜌 выборвектора P неоднозначен; его выбор должен соответство-вать физическому смыслу, согласно которому P(𝑟) естьплотность дипольного момента. В частности, вне систе-мы он должен обращаться в ноль. Из (6.9) вытекает, чтодипольный момент системы

𝑑 =

ˆd3𝑟P(𝑟). (6.13)

6.1.2.2 Квадрупольный момент

Если и полный заряд системы и её дипольный моментотносительно малы, то имеет смысл интересоваться так-же и квадрупольным моментом системы, задаваемымматрицей 𝐷𝑖𝑘. Второй порядок разложения по маломупараметру 𝑎/𝑟 в (6.2) равен (см. (6.8))

𝜙2

𝑟3=

1

2

ˆd3𝑟′

𝜌(𝑟′)(3(𝑟′ ·𝑛)2 − |𝑟′|2

)𝑟3

⇒ (6.14)

𝐷𝑖𝑘 =

ˆd3𝑟 𝜌(𝑟)

(3𝑟𝑖𝑟𝑘 − |𝑟|2 𝛿𝑖𝑘

)в силу определения (6.5). Легко проверить, что необ-ходимые свойства матрицы квадрупольного момента

Глава 6. Слабо релятивистские эффекты 58

𝐷𝑘𝑖 = 𝐷𝑖𝑘 и 𝐷𝑖𝑖 = 0 выполняются. Всего существует5 независимых параметров, определяющих квадруполь-ный момент системы.

Значение квадрупольного момента не зависит от вы-бора начала системы координат только в том случае,если полный заряд и дипольный момент системы равнынулю.

6.1.3 Электростатическая энергия

Рассмотрим систему неподвижных зарядов, которуюможно считать бесконечно удалённой от других заря-дов. Тогда полная энергия системы равна

𝐸tot =

ˆd3𝑟 𝑇 00 =𝑀𝑐2 + 𝐸,

см. (4.24), где 𝑀 — суммарная масса покоя всей систе-мы, а 𝐸 — энергия электрического поля E всей систе-мы, также называемая электростатической энергией.Пусть распределение зарядов в пространстве описыва-ется зарядовой плотностью 𝜌(𝑟). Тогда электростатиче-ская энергия 𝐸 может быть записана в следующих ви-дах:

𝐸 =1

8𝜋

ˆd3𝑟E2 =

1

2

ˆd3𝑟 𝜌𝜙 = (6.15)

=1

2

ˆd3𝑟1 d

3𝑟2𝜌(𝑟1)𝜌(𝑟2)

|𝑟1 − 𝑟2|,

Первое выражение соответствует выражению для 𝑇 00-компоненты тензора энергии-импульса электромагнит-ного поля (4.32) и тому, что полный тензор энергии-импульса является прямой суммой вкладов от частиц иэлектромагнитного поля, см. (4.24).

Второе выражение получено из первого путём ис-пользования (6.1) и интегрирования по частям. Этотвид записи электростатической энергии соответствует(3.38). Действительно, после подстановки 𝜙 в виде (6.2)получаем третью форму записи в (6.15) и замечаем, чтомножитель 1/2 в (6.15) компенсируется тем, что энер-гия взаимодействия каждой пары зарядов учитывается2 раза.

6.1.3.1 Классический радиус электрона

Если формально посчитать электростатическую энер-гию точечного заряда, то мы получим расходящийся намалых масштабах интеграл в первом варианте записи(6.15). Реально в физике такой проблемы не существу-ет, поскольку в силу квантовых эффектов все частицына малых расстояниях описываются локализованной вконечном объёме волновой функцией. А если зарядоваяплотность остаётся конечной во всём пространстве, тоиз третьей формы записи в (6.15) следует, что электро-статическая энергия также является конечной. Тем не

менее, формально в классической релятивистской элек-тродинамике рассматриваются только точечные части-цы, что делает эту теорию неприменимой на малых мас-штабах и, вообще говоря, содержащей внутренние про-тиворечия.

Отойдём от строгости классической электродинами-ки и представим электрон как полую сферу радиуса 𝑟0,по которой равномерно распределён его заряд. Скажем,что масса электрона 𝑚𝑒 имеет чисто электромагнитнуюприроду,

𝑒2

𝑟0= 𝑚𝑒𝑐

2, 𝑟0 =𝑒2

𝑚𝑒𝑐2= 2.8 · 10−13 см. (6.16)

Построенная таким образом величина 𝑟0 называет-ся “классическим радиусом электрона”, или радиу-сом Лоренца, а также длиной томсоновского рассения(the classical electron radius, the Lorentz radius, or theThomson scattering length). Подчеркнём, однако, что са-мостоятельного физического смысла длина 𝑟0 не имеет.

6.1.4 Энергия системы зарядов во внеш-нем электрическом поле

Теперь зададимся вопросом — какова энергия 𝐸E лока-лизованной в пространстве системы неподвижных заря-дов во внешнем стационарном электрическом поле? Какмы увидим, в выражение для приближённого значенияэтой энергии входят уже введённые мультипольные мо-менты.

Пусть все заряды разделены на две части,

𝜌tot = 𝜌+ 𝜌ext, (6.17)

где 𝜌tot — полная плотность зарядов, 𝜌 — плотность за-рядов в интересующей нас системе, а 𝜌ext — плотностьтех ‘внешних’ зарядов, которые создают электрическоеполе E, действующее на интересующую нас систему. Мыбудем предполагать, что положение ‘внешних’ зарядовфиксировано и разделено в пространстве с зарядами си-стемы.

Нас интересует энергия взаимодействия 𝐸E ‘внеш-них’ зарядов и зарядов системы. Из (6.15) следует, чтоэта энергия равна

𝐸E =

ˆ𝜌ext(𝑟

′)d3𝑟′ d3𝑟

|𝑟 − 𝑟′|𝜌(𝑟) =

ˆd3𝑟 𝜙ext 𝜌 =

=1

4𝜋

ˆd3𝑟 (Es ·Eext), (6.18)

где мы обозначили через 𝜙ext электростатический по-тенциал, создаваемый ‘внешними’ зарядами, Eext —электрическое поле внешних зарядов, а Es — поле, со-здаваемое исследуемой системой зарядов, так что

Eext = − grad𝜙ext, divEs = 4𝜋𝜌.

Выражение (6.18) может быть также получено из вы-ражения для потенциальной энергии точечного заря-да (3.38).

59 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

6.1.4.1 Энергия поляризованного тела во внеш-нем поле

Пусть полный заряд системы равен нулю, так что объ-ёмная плотности заряда представима через поляриза-цию P, см. (6.12). В таком случае энергия тела во внеш-нем поле может быть записана в виде

𝐸E = −ˆ

d3𝑟 (P·Eext), (6.19)

который продолжает цепочку равенств (6.18).

6.1.4.2 Мультипольное разложение энергии си-стемы зарядов во внешнем поле

Сейчас мы предполагаем, что ‘внешние’ заряды нахо-дятся на расстоянии от системы, большом по сравнениюс её характерным диаметром 𝑎. Поэтому потенциал 𝜙ext

медленно меняется внутри системы. Выберем какую-либо точку 𝑅, находящуюся внутри системы зарядов,и пусть вектор 𝑟 — отклонение от этой точки. Тогдапотенциал 𝜙ext можно разложить в ряд

𝜙ext = 𝜙 + 𝜙𝑖𝑟𝑖 +

1

2𝜙𝑖𝑘𝑟

𝑖𝑟𝑘 +1

6𝜙𝑖𝑘𝑙𝑟

𝑖𝑟𝑘𝑟𝑙 + . . . (6.20)

где, например, 𝜙𝑖𝑘 означает 2-х кратную производнуюот потенциала 𝜙ext по направлениям ‘i ’ и ‘k ’, взятую вточке 𝑅. Симметрийные свойства тензоров 𝜙 совпадаютс симметричными свойствами тензоров мультипольныхмоментов 𝐷 (6.5). Действительно, во-первых 𝜙 симмет-ричны по перестановкам индексов, поскольку результатне зависит от порядка дифференцирования. Во-вторых,свёртка по любой паре индексов в любом коэффициентеразложения даёт нуль, поскольку в области расположе-ния системы зарядов потенциал ‘внешних’ зарядов удо-влетворяет уравнению Лапласа Δ𝜙ext = 0. Вообще, раз-ложение (6.20) аналогично разложению (6.5), но тольков текущем случае разложение потенциала регулярно внуле.

Теперь в последнем равенстве (6.18) остаётся проин-тегрировать по 𝑟 каждый член разложения (6.20). Приэтом получаются как раз мультипольные моменты, такчто в итоге энергия взаимодействия записывается в ви-де ряда

𝐸E = 𝜙𝑄 − (𝑑·Eext) +1

6𝐷𝑖𝑘𝜙𝑖𝑘 +

1

90𝐷𝑖𝑘𝑙𝜙𝑖𝑘𝑙 + . . .

(6.21)

6.1.5 Сила и момент сил, действующихна диполь

Найдём силу и момент сил, действующие на системузарядов как целое со стороны внешнего электрическо-го поля. Будем считать систему электро нейтральной,и рассмотрим самую простую ситуацию, когда распре-деление зарядов в системе достаточно характеризоватьеё дипольным моментом 𝑑. Для лаконичности записи

внешнее по отношению к системе электрическое полелишим индекса, так что

Eext → E.

Положение системы как целого определяется вектором𝑅. Система может не только двигаться поступатель-но, но и вращаться в пространстве. Последнее приво-дит к вращению её дипольного момента 𝑑. Внутреннююструктуру системы мы считаем неизменной.

Лагранжиан системы как целого во внешнем полеможет быть выделен из полного лагранжиана:

𝐿(𝑅, ,𝑑) =𝑀

2

2− 𝐸E + “𝜌2” + “𝜌2ext” (6.22)

где 𝑀 — полная масса системы, а потенциальная энер-гия диполя во внешнем поле

𝐸E = −(𝑑·E), E = E(𝑅).

Мы использовали нерелятивистское выражение для ки-нетической энергии, поскольку речь идёт о статическомраспределении зарядов. Два последних вклада, записан-ные символически и соответствующие электростатиче-ской энергии отдельных подсистем, остаются постоян-ными, поскольку внутренняя конфигурация зарядов си-стемы, как и ‘внешних’ зарядов, остаётся неизменной.

Сила 𝐹 , действующая на диполь как целое со сто-роны внешнего поля E, равна (магнитное поле отсут-ствует, поэтому обобщённый импульс 𝑃 𝑔𝑒𝑛 совпадает спросто импульсом 𝑃 )

𝐹 ≡ d𝑃

d𝑡=

d

d𝑡

𝜕𝐿

𝜕= (6.23)

=𝜕𝐿

𝜕𝑅= − grad𝐸E = grad(𝑑·E) = (𝑑·∇)E.

Последнее равенство было написано, поскольку

0 = [𝑑× rotE] = grad(𝑑·E) − (𝑑·∇)E,

и подразумевается, что дипольный момент 𝑑 не зависитот координаты.

Для того, чтобы получить момент сил, действующийна диполь, представим вариацию координаты 𝑟 каждогозаряда, составляющего диполь, в виде 𝛿𝑟 = [𝛿𝜔×𝑟], гдевектор углового поворота 𝛿𝜔 зависит только от време-ни. В таком случае вариация дипольного момента всейсистемы равна 𝛿𝑑 = [𝛿𝜔 × 𝑑]. Момент сил 𝑀 , действу-ющий на диполь, равен

𝑀 =dL

d𝑡=

d

d𝑡

𝛿𝐿

𝛿= (6.24)

=𝛿𝐿

𝛿𝜔=

(E·𝛿𝜔 ·𝑑)𝛿𝜔

= [𝑑×E].

где, напомним, L — момент импульса системы.

Глава 6. Слабо релятивистские эффекты 60

§6.2. Поле постоянных токов и их взаимодействие с внешним постоянныммагнитным полем

Рассмотрим систему постоянных во времени токов,описывающуюся распределением тока 𝑗(𝑟). В такомслучае токи являются бездивергентными, div 𝑗 = 0, по-скольку объёмная плотность зарядов в системе по на-шему предположению не изменяется со временем. Мыбудем считать, что статические объёмные заряды в си-стеме отсутствуют.

Будем исследовать электромагнитное поле, индуци-рованное этой системы. Электрическое поле равно ну-лю, что можно увидеть, записав 4-потенциал в калиб-ровке Лоренца: в ней скалярный потенциал равен ну-лю, 𝜙 = 0, а вектор-потенциал не зависит от времени,см. (3.46). Таким образом, система стационарных токовсоздаёт вне себя только статическое магнитное поле B,удовлетворяющее уравнениям

rotB =4𝜋

𝑐𝑗, divB = 0. (6.25)

Соотношение, позволяющее определить магнитное полепо распределению токов в пространстве, называется за-коном Био-Савара-Лапласа и получено в Пункте 6.2.1.

Также как это было сделано в Пункте 6.1.2 для си-стемы неподвижных зарядов, магнитное поле вокруг си-стемы токов возможно аппроксимировать на далёкихот неё расстояниях, используя только несколько ин-тегральных параметров пространственного распределе-ния токов внутри системы. Действительно, вне системытоков пустота, поэтому там магнитное поле потенциаль-но, поскольку удовлетворяет уравнению rotB = 0. По-скольку оно и бездвиергентно, divB = 0, то потенциалмагнитного поля 𝜙𝐵 удовлетворяет уравнению Лапласа

B = − grad𝜙𝐵, Δ𝜙𝐵 = 0. (6.26)

Потенциал 𝜙𝐵 убывает на далёких расстояниях от си-стемы токов. Поэтому он представим в виде ряда, ана-логичного ряду для потенциала статического электри-ческого поля (6.5):

𝜙𝐵 =𝜇𝑖𝑛𝑖

𝑟2+

m𝑖𝑘𝑛𝑖𝑛𝑘

2𝑟3+

m𝑖𝑘𝑙𝑛𝑖𝑛𝑘𝑛𝑙

6𝑟4+ . . . =

∞∑𝑙=1

𝜙𝐵𝑙

𝑟𝑙+1.

(6.27)Нулевой член разложения (с 𝑙 = 0) в этом ряде отсут-ствует, поскольку divB = 0 во всём пространстве (ины-ми словами, у системы отсутствует магнитный заряд).Вектор 𝜇 называется вектором магнито-дипольного мо-мента системы.

Аналогия между электростатикой и магнитостати-кой распространяется и на поведение системы токов вовнешнем магнитном поле, см. Пункт 6.1.4.

В рассуждениях мы предполагаем, что система то-ков обладает пространственной конфигурацией, не за-висящей от времени. Тем не менее, все результаты мож-

но обобщить на случай, когда система токов (движу-щихся зарядов) хотя формально не стационарна, но воз-можно произвести усреднение по времени, получив всреднем стационарную систему токов. В таком случаепод плотностью тока 𝑗 следует понимать усреднённуюпо времени плотность тока:

𝑗(𝑟) =∑𝑎

𝑒𝑎⟨𝑣𝑎 𝛿(𝑟 − 𝑟𝑎)⟩, div 𝑗 = 0, (6.28)

где угловые скобки означают усреднение по времени, аиндекс 𝑎 нумерует заряды в системе. Поскольку ток 𝑗стационарен и ограничен в пространстве, его диверген-ция равна нулю.

6.2.1 Закон Био-Савара-Лапласа

Получим закон Био-Савара-Лапласа (Biot–Savart law).Для этого предположим, что в пространстве нет неском-пенсированных зарядов, 𝜌 = 0, а токи постоянны 𝑗 =𝑗(𝑟). Уравнение (6.25) удобней решать через вектор-потенциал в калибровке Лоренца:

ΔA = −4𝜋

𝑐𝑗, A(𝑟) =

1

𝑐

ˆ𝑗(𝑟′) d3𝑟′

|𝑟 − 𝑟′|. (6.29)

см. общее выражение (4.20) для запаздывающих потен-циалов и сравни с (6.1,6.2). Для того, чтобы найти маг-нитное поле, надо воспользоваться B = rotA, см. (3.46).В индексном виде получаем

B𝑖(𝑟) = ε𝑖𝑘𝑙𝜕A𝑙

𝜕𝑟𝑘=

ε𝑖𝑘𝑙

𝑐

ˆ𝑗𝑙(𝑟′) d3𝑟′

𝜕

𝜕𝑟𝑘1

|𝑟 − 𝑟′|=

=1

𝑐

ˆε𝑖𝑘𝑙 𝑗

𝑙(𝑟′) (𝑟′𝑘 − 𝑟𝑘) d3𝑟′

|𝑟 − 𝑟′|3.

Это же самое, записанное в векторных обозначениях,принимает вид закона Био-Савара-Лапласа:

B(𝑟) =1

𝑐

ˆ[𝑗(𝑟′)× (𝑟 − 𝑟′)] d3𝑟′

|𝑟 − 𝑟′|3. (6.30)

6.2.2 Магнито-дипольный момент

В этом Пункте мы покажем, что магнитное поле B,создающееся системой стационарных токов на далёкомот себя расстоянии, может быть представлено как полемагнитного диполя 𝜇. Свойства этого диполя аналогич-ны свойствам электрического диполя, но создаёт и вза-имодействует магнитный диполь с магнитным полем.

Исследуем формулу (6.29) на далёких расстояниях,при 𝑟 →∞. Сперва заметим, что постоянным и замкну-тым токам соответствует неподвижный полный заряд

61 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

системы: действительно, поскольку div 𝑗 = 0, то изме-нение во времени дипольного момента системы⟨∑

𝛼

𝑒𝛼𝑣𝑘𝛼

⟩=

ˆd3𝑟′ 𝑗𝑘(𝑟′) =

ˆd3𝑟′ 𝜕𝑖(𝑟

′𝑘𝑗′𝑖) = 0,

где 𝑗′𝑖 = 𝑗𝑖(𝑟′). Поэтому при разложении (6.29) в ряд помалому параметру 𝑟′/𝑟 нулевой член разложения даётнуль, а главный неисчезающий вклад производит пер-вый член разложения:

𝐴𝑖(𝑟) =𝑛𝑘

𝑟2

ˆd3𝑟′

𝑗′𝑖 𝑟′𝑘

𝑐, 𝑛 =

𝑟

𝑟. (6.31)

Стоящий здесь интеграл есть магнито-дипольный мо-мент 𝜇

ε𝑖𝑘𝑙𝜇𝑙 = 𝜇𝑖𝑘 =

1

𝑐

ˆd3𝑟 𝑟𝑖𝑗𝑘, 𝜇𝑖𝑘 = −𝜇𝑘𝑖,

𝜇 =1

2𝑐

ˆd3𝑟 [𝑟 × 𝑗] =

1

2𝑐

∑𝑎

𝑒𝑎⟨[𝑟𝑎 × 𝑣𝑎]⟩, (6.32)

см. определения (9.26). В антисимметричности исходно-го интеграла в (6.31) можно убедиться, снова восполь-зовавшись условием бездивергентности тока div 𝑗 = 0:

ˆd3𝑟 (𝑟𝑖𝑗𝑘 + 𝑟𝑘𝑗𝑖) =

ˆd3𝑟 𝜕𝑚(𝑟𝑖𝑟𝑘𝑗𝑚) = 0.

В итоге получаем, что вектор-потенциал в калиб-ровке Лоренца, магнитное поле и скалярный потенци-ал (6.27) системы токов на далёком от неё расстояниизадаются выражениями

A =[𝜇× 𝑛]

𝑟2, B =

3(𝜇·𝑛)𝑛− 𝜇

𝑟3, 𝜙𝐵1 = (𝑛·𝜇).

(6.33)Выражение для магнитного поля совпадает с полемэлектрического диполя (6.11) с точностью до замен𝜇↔ 𝑑, B↔ E, 𝜙𝐵 ↔ 𝜙.

Если систему имеет смысл представить в виде то-чечного объекта, то распределение токов в ней следуетмоделировать точечным магнитным диполем. Будучирасположен в начале координат, он имеет распределе-ние токов

𝑗(𝑟) = −[𝜇×∇]𝛿(𝑟) = rot(𝑐𝜇 𝛿(𝑟)

). (6.34)

Легко убедиться, что магнитный момент (6.32) такой си-стемы токов равен 𝜇. Для точечного диполя выражения(6.33) формально применимы во всём пространстве.

6.2.3 Потенциальная энергия системытоков в магнитном поле

Рассмотрим систему постоянных токов, образующую изсебя магнитный диполь. Эта система помещена во внеш-нее слабо неоднородное магнитное поле B, создающееся

токами расположенными вдали от исследуемой системы(на расстоянии 𝑅) и потому слабо меняющееся на мас-штабе порядка размера системы 𝜉 ≪ 𝑅. Наша цель – по-считать силу и момент сил, действующую на эту систе-му токов со стороны поля B. Мы будем также предпола-гать, что характерное период движения зарядов внутрисистемы 𝜏 мало по сравнению с характерным временем𝑇 , 𝜏 ≪ 𝑇 , описывающем движение системы как целого.

Из (3.36) следует, что полный лагранжиан рассмат-риваемой системы представим в виде

𝐿 = 𝐿0 + 𝐿𝐵, 𝐿𝐵 =1

𝑐

∑𝑎

𝑒𝑎(A·𝑣𝑎),

где 𝐿0 — лагранжиан системы в отсутствии магнитно-го поля. Вклад 𝐿𝐵 после усреднения по времени можетбыть переписан в виде потенциальной энергии системытоков во внешнем магнитном поле,

𝐿𝐵 =1

𝑐

∑𝑎

𝑒𝑎 ⟨(A·𝑣𝑎)⟩ =1

𝑐

ˆd3𝑟 (A·𝑗) (6.35)

где 𝑗 – ток в исследуемой системе. Вектор-потенциалA можно в главном приближении считать линейнойфункцией координат в облсати расположения рассмат-риваемой системы токов, представив его в виде A𝑖 =A𝑖(0)+ 𝑟𝑘𝜕𝑘A

𝑖 (мы поместили начало координат внутрьсистемы). В результате придём к тому, что

𝐿𝐵 =𝜕𝑘A

𝑖

𝑐

ˆd3𝑟 𝑟𝑘𝑗𝑖 = (B·𝜇), (6.36)

см. (6.32).Следует, однако, ещё убедиться, что эффективный

вклад −𝐿𝐵 (6.35) в лагранжиан действительно можнопонимать как потенциальную энергию системы токов вмагнитном поле. Дело в том, что в левой части уравне-ния Лагранжа также возникает необходимость произ-вести усреднение по быстрому движению частиц внут-ри системы. Выпишем усреднённое уравнение движениесистемы по времени

d

d𝑡

∑𝑎

⟨𝜕𝐿

𝜕𝑣𝑎

⟩=∑𝑎

⟨𝜕𝐿

𝜕𝑟𝑎

⟩⇒ (6.37)

∑𝑎

⟨d𝑝𝑎⟩d𝑡

+∑𝑎

⟨𝑒𝑎 dA(𝑟𝑎)⟩𝑐d𝑡

=∑𝑎

⟨𝑒𝑎𝑐∇(A·𝑣𝑎) + 𝑒𝑎E

⟩.

Вопрос вызывает второе слагаемое в левой части урав-нения движения, именно усреднённый по времени вкладв него от быстрого движения заряда внутри системы.Этот вклад, однако, параметрически мал. Он оценива-ется как (𝜏/𝑇 )𝜇𝐵/𝑅, т.е. содержит дополнительную ма-лость 𝜏/𝑇 по сравнению с первым вкладом в правой ча-сти, оцениваемым как 𝜇𝐵/𝑅, см. (6.36). Поэтому урав-нение после проведения суммирования по частицам иусреднения по времени приобретает вид

d𝑃

d𝑡= grad𝐿𝐵 + . . . (6.38)

где мы воспользовались (6.36); 𝑃 есть полный им-пульс системы, а многоточием обозначена сила Лоренца

Глава 6. Слабо релятивистские эффекты 62

(3.47), действующая на систему со стороны электромаг-нитного поля как на единый заряд. Итак, вклад 𝐿𝐻 влагранжиан действительно можно трактовать как по-тенциальную энергию системы токов в магнитном поле.

Теперь мы можем провести те же рассуждения, ко-торые были проделаны для электрического диполя, см.Пункт 6.1.5. Сила 𝐹 и момент сил M, действующие насистему токов малого размера со стороны внешнего маг-нитного поля, равны

𝐹 = (𝜇·∇)B, M = [𝜇×B], (6.39)

по аналогии с (6.23) и (6.24).Операцию усреднения по времени можно произво-

дить на любом этапе решения задачи. В Пункте 10.11.2.1усреднение произведено над силой Лоренца (3.47), в ре-зультате чего, как и должно быть, получаются те жевыражения (6.39).

6.2.4 Теорема ЛармораРассмотрим систему зарядов, в которой все заряды име-ют одинаковое отношение заряда к массе 𝑒𝛼/𝑚𝛼. Ско-рость зарядов в системе предполагаются нерелятивист-скими. Для такой системы вектор магнитодипольно-го момента (6.32) пропорционален вектору механиче-ского момента L (4.35): поскольку электрический ток𝑗 = (𝑒/𝑚)p, то

𝜇 =𝑒

2𝑚𝑐L. (6.40)

Коэффициент пропорциональности 𝑒/(2𝑚𝑐) называетсягиромагнитным отношением.

Пусть теперь эта система зарядов помещена в одно-родное магнитное поле B. Тогда на неё действует мо-мент сил M согласно (6.39), так что движение системыкак целого описывается уравнением

dL

d𝑡=

𝑒B

2𝑚𝑐[L× b], (6.41)

где единичный вектор b = B/B направлен вдоль маг-нитного поля. Уравнение (6.41) описывает прецессиюмомента с угловой частой

𝜔𝐵 = − 𝑒B

2𝑚𝑐b. (6.42)

В заключении (6.42) состоит теорема Лармора: ес-ли все заряды в системе имеют одинаковое отношение

заряда к массе 𝑒𝛼/𝑚𝛼, то при наложении на системуоднородного магнитного поля B, она прецессирует сугловой скоростью 𝜔𝐵. Иными словами, система заря-дов будучи помещённой в магнитное поле B, двигаетсятак, как если бы она находилась во системе координат,вращающейся с угловой скоростью −𝜔𝐵. Теорема Лар-мора является приближённым равенством, условием еёприменимости является медленность прецессии: часто-та прецессии должна быть малой по сравнению с часто-той нерелятивистского квази-периодического движениязарядов в системе.

Полезно доказать теорему Лармора без переходак уравнениям движения, используя непосредственнотолько выражения для функций Лагранжа. Пусть винерциальной системе координат 𝐾 скорость частицы𝛼 равна 𝑣𝛼. Тогда в (неинерциальной) системе коор-динат 𝐾Ω, вращающейся с угловой скоростью Ω отно-сительно начала координат, скорость частицы оказыва-ется равной

𝑣𝛼 → 𝑣𝛼 − [Ω× 𝑟𝛼].

Лагранжиан системы зарядов во вращающейся системекоординат

𝐿Ω =∑𝛼

𝑚𝛼

(𝑣𝛼 − [Ω× 𝑟𝛼]

)22

− 𝑈,

где 𝑈 — потенциальная энергия частиц. Если действиесил инерции относительно слабо, |[Ω× 𝑟]| ≪ 𝑣𝛼, то этотлагранжиан можно разложить до первого порядка поскорости вращения,

𝐿Ω ≈∑𝛼

𝑚𝛼𝑣2𝛼

2−∑𝛼

𝑚𝛼

(𝑣𝛼 · [Ω× 𝑟𝛼]

)− 𝑈. (6.43)

С другой стороны, вернёмся в инерциальную систе-му координат и включим однородное магнитное полеB. При записи лагранжиана (3.36) в нерелятивистскомпределе выберем калибровку A = [B× 𝑟]/2:

𝐿𝐵 =∑𝛼

𝑚𝛼𝑣2𝛼

2− 1

2

∑𝛼

𝑒𝛼(𝑣𝛼 · [B× 𝑟])− 𝑈 (6.44)

Сравнивая (6.43,6.44) приходим к выводу, что если от-ношение заряда к массе 𝑒𝛼/𝑚𝛼 у всех частиц одинаково,то движение в магнитном поле становится идентичнымс движением без него, но во вращающейся системе ко-ординат, если выполняется пропорция (6.42).

63 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

§6.3. Дипольное и квадрупольное излучение

В § 6.1 была построена аппроксимация электриче-ского поля, создаваемого локализованной системой ста-тических зарядов на далёком от неё расстоянии. Затемв § 6.2 была рассмотрена система стационарных токов;исследовалось магнитное поле, которое она создаёт надалёких расстояниях.

Рассмотрим теперь систему движущихся нереляти-вистских зарядов и выясним, какое электромагнитноеполе эта система создаёт вокруг себя. Пусть характер-ный размер системы равен 𝑎, а характерная скоростьзарядов в ней равна 𝑣. Мы интересуемся полем, кото-рое создают эти заряды на расстояниях 𝑟, больших посравнению с размером системы 𝑎.

На близких расстояниях до системы распределе-ние электрического поля может быть приближено че-рез мультипольное разложение, описанное в § 6.1. Этоописание годится, пока время распространения сигна-ла от системы до точки наблюдения 𝑟/𝑐 (где 𝑟 — рас-стояние от системы до наблюдателя) мало по сравне-нию с временем существенного изменения распределе-ния зарядов внутри системы, которое может быть оце-нено как 𝑎/𝑣. Эта область расстояний называется ближ-ней зоной (near-field region). На этих же расстоянияхмагнитное поле возможно вычислить через уравнениямагнито-статики, как это было проделано в § 6.2. Од-нако на больших расстояниях, когда 𝑟 ≫ 𝑐𝑎/𝑣, статиче-ские выражения для электромагнитного поля становят-ся неприменимыми. Действительно, распределение за-рядов и токов успеет заметно измениться, пока сигналдойдёт от системы до точки наблюдения. Эта областьназывается волновой или дальней зоной (far field region).Итак,

ближняя зона : 𝑟 ≪ 𝑐

𝑣𝑎, (𝑟 ≫ 𝑎),

волновая (дальняя) зона : 𝑟 ≫ 𝑐

𝑣𝑎 (6.45)

В волновой зоне электромагнитное поле сильно отли-чается от того, которое предсказывает статическая тео-рия. Оно определяется уходящими электромагнитнымиволнами, которые излучает система неравномерно дви-жущихся зарядов.

Как и в §§ 6.1,6.2, построение теории производитсяпутём разложения электромагнитного поля по маломуотношению 𝑎/𝑟. Ниже мы увидим, что этот параметрработает в ближней зоне, тогда как в волновой зоне эторазложение переходит в разложение по малому пара-метру 𝑣/𝑐 ≪ 1. Таким образом, для возможности по-строения теории заряды должны двигаться с нереляти-вистскими скоростями, 𝑣/𝑐 ≪ 1. Целью этого парагра-фа является исследование радиационных эффектов внаинизших порядках по отношению 𝑣/𝑐. Будут проана-лизированы электро-дипольный, магнито-дипольный иквадрупольный вклады в излучение.

Процедуру разложения по малому размеру системы(или по малой скорости внутри системы, которая такжепропорциональна размеру системы) надо применять кобщему выражению (4.20) для запаздывающих потен-циалов

A𝜇(𝑡, 𝑟) =1

𝑐

ˆd3𝑟′

𝑗𝜇(𝑡𝑟, 𝑟′)

|𝑟 − 𝑟′|𝑡𝑟 = 𝑡− |𝑟 − 𝑟′|

𝑐.

Уже выписано разложение (6.8) для обратного расстоя-ния 1/|𝑟−𝑟′|, для дальнейших вычислений будет полез-ным выписать также разложение и для значения 4-тока𝑗𝜇 в прошлом:

𝑗𝜇(𝑡𝑟, 𝑟′) =

(1 +

((𝑛·𝑟′)𝑐

+(𝑛·𝑟′)2 − 𝑟′2

2𝑐𝑟

)𝜕𝑡 +

+(𝑛·𝑟′)2

2𝑐2𝜕2𝑡 + . . .

)𝑗𝜇(𝑡𝑅, 𝑟

′),

где 𝑡𝑅 = 𝑡−𝑟/𝑐— время распространения сигнала от цен-тра системы до наблюдателя, а 𝑛 = 𝑟/𝑟 — единичныйвектор направленный от системы (источника) к точкенаблюдения.

6.3.1 Поле электрического диполяВыделим теперь в (4.20) слагаемые, пропорциональныедипольному моменту (6.9), используя выписанные раз-ложения по координате смещения внутри системы за-рядов,. Вектор-потенциал в калибровке Лоренца имеетвид

𝜙(𝑟, 𝑡) =

(1

𝑟+𝜕𝑡𝑐

)(𝑛·𝑑)𝑟

, 𝑑 = 𝑑(𝑡𝑅), (6.46)

A(𝑟, 𝑡) =1

𝑐

𝑟, = 𝜕𝑡𝑑 =

ˆd3𝑟′ 𝑗(𝑡𝑅, 𝑟

′)

Определение дипольного момента 𝑑 совпадает с даннымстатическим выражением (6.9). Здесь первый вкладв скалярный потенциал 𝜙 соответствует потенциалустатического диполя (6.5,6.9); остальные вклады в 4-потенциал возникают, если диполь изменяется во вре-мени. В действительности в разложении (4.20) мы удер-жали члены первого порядка малости по малым безраз-мерным параметрам

𝑎

𝑟≪ 1, и

𝑎𝜕𝑡𝑐∼ 𝑣

𝑐≪ 1. (6.47)

Отсюда видно, что для возможности проведения разло-жения требуется в том числе условие медленности дви-жения зарядов, 𝑣 ≪ 𝑐.

Используем теперь (6.46) для получения выражениядля электромагнитного поля. Электрическое поле (на-помним, что при дифференцировании по координате на-до дифференцировать в том числе и 𝑑(𝑡𝑅) как сложную

Глава 6. Слабо релятивистские эффекты 64

функцию)

E =3(𝑑·𝑛)𝑛− 𝑑

𝑟3+

3(·𝑛)𝑛−

𝑐𝑟2+

[𝑛× [𝑛× ]]

𝑐2𝑟.

(6.48)Первое слагаемое в этой сумме есть поле статическо-го диполя, см. (6.11). Именно этот вклад оказываетсяведущим в ближней зоне. В выражении для магнитно-го поля (поскольку диполь в нашем рассмотрении ужеточечный объект, то можно пользоваться выражениемB = [𝑛× E] (4.70), связывающим магнитное с электри-ческим полем)

B = − [𝑛× ]

𝑐𝑟2− [𝑛× ]

𝑐2𝑟(6.49)

первое слагаемое — поле (элемента) постоянного тока,и, соответственно, совпадает выражением Био-Савара-Лапласа (6.30). В ближней зоне этот вклад является до-минирующим.

6.3.1.1 Излучение

В волновой зоне ведущими в выражениях для элек-тромагнитного поля (6.48,6.49) оказываются последниеслагаемые в правых частях. Соотношение между элек-трическим и магнитными полями соответствует плос-кой волне (4.53), распространяющейся в направленииот источника. Амплитуда этих вкладов убывает обрат-но пропорционально расстоянию до источника, а вре-менная зависимость входит через 𝑡𝑅 = 𝑡 − 𝑟/𝑐. Такимобразом, в волновой зоне электромагнитное поле пред-ставляет из себя расходящуюся волну (5.40). Угловаясимметрия волны определяется типом излучения, в дан-ном случае электро-дипольным.

Проведём вычисления. Плотность потока энергии,связанного с уходящими от источника волнами (векторПойтинга (4.30)) в волновой зоне

𝑆 =𝑐

4𝜋[E×B] =

[𝑛× ]2

4𝜋𝑐3𝑟2𝑛, (6.50)

d𝐼𝑑d𝑜

= 𝑟2(𝑆 ·𝑛) =|(𝑡𝑅)|2

4𝜋𝑐3sin2 𝜃,

где d𝐼𝑑 — интенсивность излучения, уходящая в элементтелесного угла d𝑜, а 𝜃 — угол между вектором 𝑑 и на-правлением наблюдения 𝑛. Таким образом, диполь неизучает в направлении своего ускорения. Вычисляя ин-теграл по всем сферическим углам находим, что полнаяинтенсивность излучения, проходящая через сферу ра-диуса 𝑟 окружающую источник, равна

𝐼𝑑(𝑡) = 𝑟2ˆ

d𝑜 (S·𝑛) =2((𝑡𝑅)

)23𝑐3

. (6.51)

Отметим два общих момента на примере электро-дипольного излучения. Для выделения частей поля, со-ответствующих уходящему излучению, в разложении

(4.20) надо удержать только нулевой порядок по маломупараметру 𝑎/𝑟 (6.47). Соответственно, поле уходящихволн зависит от второй временной производной диполь-ного момента. Поэтому, во-первых, здесь нет неопреде-лённости, зависящей от выбора начала системы коор-динат, которая имела место быть при вычислении ста-тического дипольного момента при ненулевом полномзаряде, поскольку эта неопределённость добавляет в ди-польный момент константу, не зависящую от времени.Во-вторых, излучение возникает только в том случае,если заряды движутся с ускорением. Эти рассужденияобобщаются на любой тип излучения.

Рассмотрим частный случай, когда заряды в систе-ме совершают периодическое движение с частотой 𝜔,так что

𝑑 = 2Re(𝑑0 exp(−𝑖𝜔𝑡)

), (6.52)

где 𝑑0 — комплексная амплитуда колебаний диполя. Втаком случае комплексные амплитуды полей

B = 𝑘2(1 +

𝑖

𝑘𝑟

)[𝑛× 𝑑0]

𝑟, (6.53)

E = (1− 𝑖𝑘𝑟)3(𝑑0 ·𝑛)𝑛− 𝑑0

𝑟3− 𝑘2[𝑛× [𝑛× 𝑑0]]

𝑟,

где волновой вектор 𝑘 = 𝜔/𝑐. Средняя по периоду ко-лебаний интенсивность излучения в единицу телесногоугла и полная интенсивность излучения равны

d𝐼𝑑d𝑜

=𝑐

2𝜋Re(𝑛·[E×B*]

), 𝐼𝑑 =

4𝜔4𝑑0

23𝑐3

. (6.54)

6.3.2 Магнито-дипольный и квадру-польный вклады

Как и электро-дипольный момент, изменяющиеся вовремени магнито-дипольный и/или квадрупольный мо-менты системы также проводят к излучению системойэлектромагнитных волн. Оба этих вклада в электромаг-нитное поле имеют один и тот же порядок — второй— по малым параметрам (6.47). Поэтому отдельной за-дачей является разделение этих вкладов для установ-ления их соответствия с магнито-дипольным и квадру-польным моментами системы.

6.3.2.1 Магнито-дипольное излучение

Для того, чтобы выделить вклад от магнито-дипольногомомента, рассмотрим вклад второго порядка по малымпараметрам (6.47) в вектор-потенциал A:

A𝑘 = 𝑛𝑖(1

𝑟+𝜕𝑡𝑐

)1

𝑟

ˆd3𝑟′

𝑟′𝑖𝑗′𝑘

𝑐, 𝑗′ = 𝑗(𝑡𝑅, 𝑟

′).

В отличие от § 6.2, сейчас мы рассматриваем нестацио-нарную ситуацию. Поэтому в общем случае div 𝑗 = 0, и

65 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

мы не можем непосредственно воспользоваться опреде-лением магнитного момента (6.32). Для того, чтобы вы-делить мгновенное значение магнитного момента, раз-делим тензор второго порядка, стоящий под знаком ин-теграла, на симметричную и антисимметричную части:

𝑟′𝑖𝑗′𝑘

𝑐=

𝑟′𝑖𝑗𝑘 + 𝑟′𝑘𝑗′𝑖

2𝑐+𝑟′𝑖𝑗𝑘 − 𝑟′𝑘𝑗′𝑖

2𝑐.

При интегрировании по d3𝑟′ второго слагаемого в пра-вой части мы получим мгновенное значение магнито-дипольного момента 𝜇𝑖𝑘. Интеграл по d3𝑟′ от первогослагаемого можно представить как полную производ-ную по времени. В результате вектор-потенциал оказы-вается представим в виде

A𝑘 =𝑛𝑖

2𝑐𝑟

(1

𝑟+𝜕𝑡𝑐

)𝜕𝑡

ˆd3𝑟′ 𝑟′𝑖𝑟′𝑘𝜌′ + (6.55)

+

(1

𝑟+𝜕𝑡𝑐

)[𝜇× 𝑛]𝑘

𝑟, 𝜇 = 𝜇(𝑡𝑅).

Выражение (6.55) переходит в выражение для вектор-потенциала статического магнитного диполя (6.33) вближней зоне.

Удержим пока что в (6.55) только второй, магнито-дипольный, вклад. Используя (3.46) получаем, что элек-тромагнитное поле

B =3(𝜇·𝑛)𝑛− 𝜇

𝑟3+

3(·𝑛)𝑛−

𝑐𝑟2+

[𝑛× [𝑛× ]]

𝑐2𝑟,

E =[𝑛× ]

𝑐𝑟2+

[𝑛× ]

𝑐2𝑟. (6.56)

Видна зеркальная симметрия между полями электри-ческого диполя (6.48,6.49) и полями магнитного дипо-ля (6.56).

6.3.2.2 Квадрупольное излучение

Нам осталось учесть вклад всего второго порядка раз-ложения в скалярный потенциал

𝜙 =𝑛𝑖𝑛𝑘

2𝑟2

(1

𝑟+𝜕𝑡𝑐

)𝐷𝑖𝑘 +

𝑛𝑖𝑛𝑘

2𝑐2𝑟𝜕2𝑡

ˆd3𝑟′ 𝑟′𝑖𝑟′𝑘𝜌′, (6.57)

где 𝐷𝑖𝑘 есть квадрупольный момент системы (6.14) вданный момент времени, и часть вклада этого поряд-ка в вектор-потенциал, выписанную в первой строчке(6.55). Результат в действительности зависит только отквадрупольного момента системы 𝐷𝑖𝑘. Чтобы показатьэто формально, совершим калибровочное преобразова-ние (4.1) с

𝑓 = − 𝜕𝑡6𝑐𝑟

ˆd3𝑟′ 𝑟′2𝜌(𝑡𝑅, 𝑟

′), 𝜕𝜇𝜕𝜇𝑓 = 0 at 𝑟 > 𝑎,

которое, отметим, не нарушает условие калибровки Ло-ренца вне излучающей системы (внутри системы это

калибровочное преобразование вносит в 4-потенциалнефизическую особенность в нуле). Теперь, используяопределение квадрупольного момента (6.14) получаем,что исследуемая часть 4-потенциала принимает вид

𝜙 =

(1

𝑟2+𝜕𝑡𝑐𝑟

+𝜕2𝑡3𝑐2

)𝐷𝑖𝑘𝑛𝑖𝑛𝑘

2𝑟,

A𝑖 =

(1

𝑟+𝜕𝑡𝑐

)𝑛𝑘 𝜕𝑡𝐷

𝑖𝑘

6𝑐𝑟. (6.58)

Первое слагаемое в выражении для скалярного потенци-ала 𝜙 соответствует полю статического квадрупольногомомента, см. (6.5). На далёких расстояниях электриче-ское поле представляет из себя расходящуюся сфериче-скую волну

E𝑙 =

(−𝜕𝑡𝑐

)𝛿𝑙𝑖⊥𝑛

𝑘 𝜕2𝑡𝐷𝑖𝑘

6𝑐2𝑟, B = [𝑛×E], (6.59)

где 𝛿𝑙𝑖⊥ = 𝛿𝑙𝑖− 𝑛𝑙𝑛𝑖. Интенсивность излучения в единицутелесного угла

d𝐼

d𝑜=

1

144𝜋𝑐5

(𝑛𝑖𝑛𝑘

...𝐷𝑖𝑙...𝐷𝑘𝑙 −

(𝑛𝑖𝑛𝑘

...𝐷𝑖𝑘)2)

. (6.60)

Дипольный, квадрупольный и магнито-дипольныйвклады в излучение интерферируют между собой. Длятого, чтобы найти интенсивность излучения в элементтелесного угла, надо произвести сложение полей, а по-сле вычислить вектор Пойнтинга. Однако полная интен-сивность излучения 𝐼 является арифметической суммойинтенсивностей каждого вида излучения по отдельно-сти,

𝐼 = 𝐼𝑑 + 𝐼𝜇 + 𝐼𝐷,

поскольку электромагнитное поле для каждого видаизлучения имеет свою отличную от других вкладовугловую симметрию, в результате чего перекрёстныевклады в интенсивность излучения при интегрированиипо углам обращаются в нуль. Полные интенсивностимагнито-дипольного и квадрупольного излучений рав-ны

𝐼𝜇 =3()2

2𝑐3, 𝐼𝐷 =

...𝐷𝑖𝑘 ...𝐷𝑖𝑘

180 𝑐5. (6.61)

Если мы интересуемся только излучением, произво-димым системой зарядов, то нам нужно удержать в 4-потенциале только вклады, пропорциональные 1/𝑟. Да-леко от источника электромагнитное поле представля-ется из себя плоскую волну, распространяющуюся в на-правлении единичного вектора 𝑛. Поэтому нам важнытолько поперечные вклады в 4-потенциале, см. (4.59).Уже имея выражение для вектор-потенциала (перваястрочка в (6.55)), мы можем получить A в поперечнойкалибровке, что должно быть (6.59) без одной произ-водной по времени, поскольку в поперечной калибровкеE = −𝜕𝑡A/𝑐.

Продемонстрируем это. Сначала домножим левуюи правую части (6.55) на 𝛿𝑙𝑖⊥ , что не изменит попереч-ных компонент A𝑖. После этого подынтегральному вы-ражению в первой строчке (6.55) мы можем прибавить

Глава 6. Слабо релятивистские эффекты 66

𝛿𝑖𝑘𝑟′2𝜌′/3, поскольку это не изменит всего выражения.В результате придём к (6.59). Отметим, что каждому издвух сделанных шагов соответствует некоторое калиб-ровочное преобразование. При этих преобразованиях,

возможно, появляются вклады в вектор-потенциал про-порциональные 1/𝑟2, которые не должны приниматьсяво внимание, поскольку мы интересуемся только излу-чением.

§6.4. Мультипольное излучение

Обзор по мультипольным электрическим, магнит-ными и тороидальным моментам Dubovik и Tugushev(1990), также для технических вещей имеет смысл по-смотреть Radescu Jr и Vaman (2012).

В § 6.3 были рассмотрены поля системы заря-дов и токов, характеризующейся переменными во вре-мени электро-дипольным, электро-квадрупольным имагнито-дипольным моментами. Обычно эти вклады вполе являются доминирующими, поэтому ими ограни-чиваются при исследовании формально бесконечногоряда в разложении поля по малым параметрам (6.47)— малости размера системы и медленности движениявнутри ней зарядов. В этом параграфе мы развиваемобщую схему разложения в ряд по этим малым пара-метрам.

6.4.1 Магнито-мультипольное разложе-ние в статике

Рассмотрим ограниченную в пространстве систему ста-ционарных токов, div 𝑗 = 0. Представим плотность токав виде

𝑗 = 𝑐 rotM (6.62)

что возможно согласно (5.27,5.29). Мы требуем, чтобывектор M был ограничен по амплитуде и обращался внуль вне системы. Однако это требование не фиксируетего однозначно; к M всегда можно прибавить grad 𝑓 , где𝑓 — функция, обращающаяся в нуль вне системы. Прирассмотрении электродинамики сплошных сред векторM называется вектором плотности намагниченностисистемы токов. Из уравнений (5.29) следует, что дей-ствительно можно выбрать M таким образом, что об-ласть ненулевых значений плотности намагниченностиM действительно ограничена в пространстве. Размерэтой области по порядку величины совпадает с разме-ром системы токов.

Поле H, определяемое равенством

H = B− 4𝜋M, rotH = 0, divH = −4𝜋 divM(6.63)

в электродинамике сплошных сред называется магнит-ным полем, тогда как ‘бывшее’ магнитное поле B стано-вится магнитной индукцией. Этот выбор наименованийимеет под собой исторические причины, эта традициясохраняется до настоящего времени. В результате этоговыбора достигается формальная аналогия между пара-ми полей E,P (6.12) и H,M.

В пустоте поле H совпадает с полем B. Поэтому еслиисследуется поле ограниченной в пространстве системытоков, то поле H также является потенциальным внесистемы токов и разложение в ряд (6.27) для него то жесамое. Таким образом, потенциал магнитного поля 𝜙𝐵

удовлетворяет уравнению

Δ𝜙𝐵 = 4𝜋 divM, H = − grad𝜙𝐵 for all 𝑟, (6.64)

сравни формально аналогичные уравнения (6.1,6.12)для электрического поля.

Для дальнейшего исследования нестационарных по-лей удобно представить статическое магнитное полетакже в виде

B = rot rot (𝑟𝜒)− 4𝜋

𝑐rot(𝑟 𝜕𝑡𝜂M),

Уравнения на скалярные функции 𝜒, 𝜂M суть

ΔΔa𝜒 =4𝜋

𝑐div[𝑟 × 𝑗], Δa𝜕𝑡𝜂M = (𝑟 ·𝑗) (6.65)

т.е. функция 𝜂M обращается в нуль вне системы, где маг-нитное поле полностью описывается скалярной функ-цией 𝜒, а оператор Δa определён в (5.24). Таким обра-зом, потенциалы 𝜒 и 𝜙𝐵 заменяют друг друга, и должныбыть однозначно связаны между собой:

𝜙𝐵 = −ˆ

d3𝑟′ divM′

|𝑟 − 𝑟′|, (6.66)

Δa𝜒 = −1

𝑐

ˆd3𝑟′ div[𝑟′ × 𝑗′]

|𝑟 − 𝑟′|= 𝑟𝜕𝑟𝜙𝐵 + 4𝜋(𝑟 ·M),

где выражение для потенциала 𝜒 следует из (5.29).Можно проверить, что дипольный вклад в потенци-

алы действительно совпадает с уже найденным (6.33)и определяется магнито-дипольным моментом 𝜇 (6.32).Проводя процедуру разложения (6.66) до следующе-го порядка, можно получить выражение для магнито-квадрупольного момента

m𝑖𝑘 =1

2

ˆd3𝑟 𝑟𝑖𝑟𝑘 div

[𝑟 × 𝑗]

2𝑐. (6.67)

6.4.2 Поле системы нестационарных то-ков

Выражение (4.20) для запаздывающих потенциа-лов связывает 4-потенциал в калибровке Лоренца спространственно-временным распределением зарядов и

67 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

токов в системе. По найденному 4-потенциалу возмож-но найти электромагнитное поле. Однако даже при на-ложении условия калибровки Лоренца, в 4-потенциалеостаётся три независимых функции времени и коорди-нат. Электромагнитное поле в пустоте определяется все-го двумя функциями времени и координат, посколькудля плоской волны существуют всего две поляризации.Поэтому одна из трёх функций, параметризующих 4-потенциал в калибровке Лоренца, является избыточнойи лишней с точки зрения нашей цели — нахожденияэлектромагнитного поля вне системы.

Удобнее выбрать две независимые функции, соот-ветствующие сферической геометрии задачи. Восполь-зуемся математическим аппаратом, развитым в § 5.3,где описан метод разложения бездивергентного поля посферическим гармоникам. Вне системы мы параметри-зуем электромагнитное поле функциями 𝜂, 𝜒, удовлетво-ряющими волновому уравнению (4.50)

E = −1

𝑐rot (𝑟 𝜕𝑡𝜒) + rot rot (𝑟𝜂)− (6.68)

−4𝜋(P+ rot

(𝑟𝜕𝑡𝜒P

𝑐− rot(𝑟𝜂𝑃 )

))− grad

𝑄

𝑟=

= Erad +E𝑃 ,

B =1

𝑐rot (𝑟 𝜕𝑡𝜂) + rot rot (𝑟𝜒) −

− 4𝜋

𝑐rot(𝑟 𝜕𝑡(𝜂M + 𝜂𝑃 )) = Brad +B𝑃 ,

см. (5.30). Функция 𝜂 является скаляром в трёх-мерномпространстве, тогда как 𝜒 является псевдо-скаляром.Эти функции параметризуют поле Erad,Brad вне си-стемы. Внутри тела добавляется электромагнитное по-ле E𝑃 ,B𝑃 , исчезающее вне тела. Оно параметризуетсядополнительными скалярными полями 𝜒P, 𝜂M, 𝜂𝑃 . Плот-ность поляризации P удовлетворяет уравнению

𝜌 = 𝑄𝛿(𝑟)− divP, 𝑗 − 𝜕𝑡P = 𝑐 rotM. (6.69)

где 𝑄 — полный заряд системы. В дальнейшем мы пола-гаем, что полный заряд системы 𝑄 = 0. Мы также опре-делили плотность намагниченности M. Как и раньше,определения плотностей поляризации P и M не явля-ются однозначными процедурами.

6.4.2.1 Поле вне тела

Уравнения Максвелла, записанные в терминах введён-ных параметризующих электромагнитное поле функ-ций, выглядят следующим образом:

rot(𝑟2𝜒

)= 4𝜋 rot

((M+

rot(𝑟𝜕𝑡𝜂M)

𝑐

)− 𝑟

𝜕2𝑡 𝜒P

𝑐2

),

rot(𝑟2(𝜂 + 𝜂𝑃 )

)= 4𝜋 rot

((P+

rot(𝑟𝜒P)

𝑐

)+ 𝑟

𝜕2𝑡 𝜂M

𝑐2

).

Проектируем сначала эти уравнения на 𝑟, в результа-те чего найдём решения для вспомогательных функций𝜒P, 𝜂M

Δa𝜕𝑡𝜂M = 𝑐div[M× 𝑟] = 𝑐(𝑟 ·rotM

),

Δa𝜕𝑡𝜒P = 𝑐div[P× 𝑟].

сравни с (6.65), где оператор Δa, напомним, определёнв (5.24). После этого выписываем решения для поля внесистемы. Уравнение на функцию 𝜒

2Δa𝜒 = −4𝜋

𝑐

(𝑟 ·rot(𝑐 rotM+ 𝜕𝑡P)

)=

=4𝜋

𝑐div[𝑟 × 𝑗], (6.70)

отличается от уравнения (6.65) на эту функцию в стати-ке только тем, что оператор Лапласа оказывается заме-нённым на оператор д’Аламбера. Уравнение на функ-цию 𝜂 имеет более сложную структуру:

2Δa(𝜂 + 𝜂𝑃 ) = −4𝜋

𝑐

(𝑟 ·rot(𝑐 rotP− 𝜕𝑡M)

)= (6.71)

= 4𝜋(2 + (𝑟 ·∇)

)𝜌+

4𝜋(𝑟 ·𝜕𝑡𝑗)𝑐2

− 4𝜋2(𝑟 ·P)

Справа последнее слагаемое не даёт вклада в поле надалёких расстояниях от системы, соответственно пола-гаем

𝜂𝑃 = − 4𝜋

Δa(𝑟 ·P)

а поле на далёких расстояниях определяется волновымуравнением

2Δa𝜂 = 4𝜋(2 + (𝑟 ·∇)

)𝜌 +

4𝜋 𝜕𝑡(𝑟 ·𝑗)𝑐2

. (6.72)

Таким образом, часть поля, задаваемая 𝜂, определяетсяраспределением зарядов в системе. Однако вклад тогоже рода дают особые конфигурации переменных во вре-мени токов.

Предположим, что поле создаёт некоторый точеч-ный источник; тогда мы всегда остаёмся вне создающейэлектромагнитное поле системы. При 𝑟 → 0 электриче-ское поле E должно стремиться к статическому выра-жению (6.3). Пренебрегая временными производными,получаем

E ≈ grad 𝜕𝑟(𝑟𝜂), B ≈ grad 𝜕𝑟(𝑟𝜒), (6.73)

т.е. вблизи точечного источника

𝜕𝑟(𝑟𝜂) ≈ −𝜙, 𝜕𝑟(𝑟𝜒) ≈ −𝜙𝐵,

где 𝜙 и 𝜙𝐵 — электростатический и магнито-статический потенциалы системы; для магнитного по-тенциала равенство эквивалентно соотношению (6.66),взятому вне системы.

Глава 6. Слабо релятивистские эффекты 68

6.4.2.2 Поле внутри тела

Тогда как функции 𝜂, 𝜒 нам удалось выразить черезкомпоненты 4-тока, часть поля, появляющаяся внутрисистемы и формально не имеющая запаздывания, оказа-лась выражена через плотности магнитного и магнитно-го момента, которые являются неоднозначно определён-ными величинами. Однако само поле внутри системыявляется, разумеется, определённым однозначно. Длятого, чтобы выразить его непосредственно через ком-поненты 4-тока, произведём переопределение полей P иM согласно равенствам

𝑗 = 𝜕𝑡P+ 𝑐 rotM =

= 𝜕𝑡(P+ rot(𝑟𝜒𝑃 )− 𝑐 rot rot(𝑟𝜂M)

)+ 𝑐 rot

(M+ rot(𝑟𝜕𝑡𝜂M)− 𝑟𝜒𝑃

)≡

≡ 𝜕𝑡Pnew + 𝑐 rotMnew.

При таком переопределении плотностей электрическо-го и магнитного моментов вновь посчитанные функции𝜒𝑃 ,new = 𝜂M,new = 0. Кроме того,(

𝑟 ·rotMnew

)= 0, (𝑟 ·𝜕𝑡Pnew) = (𝑟 ·𝑗).

Считаем дополнительный вклад в электрическое поле,возникающий внутри тела:

E𝑃 = rot rot (𝑟𝜂𝑃 ,new)− 4𝜋Pnew, 𝜕𝑡𝜂𝑃 ,new = − 4𝜋

Δa(𝑟 ·𝑗)

покомпонентно

E𝑟𝑃 = 0,(𝑟 ·rotE𝑃

)= 𝑟∇*

𝛼E𝛼𝑃 = 0,

divE𝑃 = ∇𝛼E𝛼𝑃 = 4𝜋𝜌

Теперь магнитное

B𝑃 =1

𝑐rot (𝑟 𝜕𝑡𝜂𝑃 ,new)

Ниже ради более компактной записи мы будем ра-ботать в частотном представлении. Таким образом, 𝑗𝜇есть комплексная амплитуда 4-тока на частоте 𝜔.

6.4.3 Излучение магнитного типаПосмотрим теперь, какие вклады лают потенциалы 𝜂, 𝜒дают в изученные в § 6.3 типы излучений. Начнём с из-лучения магнитного типа, которое определяется потен-циалом 𝜒. Действительно, 𝜒 является псевдо-скаляромв 3-х мерном пространстве. Поэтому этот потенциалможет содержать в себе в качестве параметров компо-ненты псевдо-тензора магнито-мультипольного момента(см., например, ниже частный случай (6.76)).

Решением уравнения (6.70) является

Δa𝜒(𝑡, 𝑟) = −1

𝑐

ˆ𝑒𝑖𝑘|𝑟−𝑟′|

|𝑟 − 𝑟′|div[𝑟′ × 𝑗′], (6.74)

где 𝑗′ берётся в точке 𝑟′. Теорема суммирования (5.26)позволяет разложить расходящуюся сферическую вол-ну 𝜒 (6.74) по сферическим гармоникам

𝜒 =

∞∑𝑙=1

h(1)

1 (𝑘𝑟)𝜒𝑙, (6.75)

𝜒𝑙 =(−1)𝑙+1(2𝑙 + 1)𝑖𝑘

𝑙(𝑙 + 1)𝑐

ˆd3𝑟′ j𝑙(𝑘𝑟

′) P𝑙(𝑛·𝑛′) div[𝑟′ × 𝑗′]

причём положение наблюдателя должно быть вне си-стемы, 𝑟 > 𝑎, а единичные вектора 𝑛′ = 𝑟′/𝑟′ и 𝑛 = 𝑟/𝑟.

6.4.3.1 Магнито-дипольное излучение

Выделим в (6.75) первое слагаемое с 𝑙 = 1, соответству-ющее магнито-дипольному излучению. Подставляя яв-ное выражение для полинома Лежандра P𝑙(𝜇) и выпол-няя интегрирование по частям, получаем

𝜒1 = −𝑖𝑘2(𝜇k ·𝑛), 𝜒 = −(𝜇k ·∇)𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟, (6.76)

𝜇𝑖k =

ˆd3𝑟′

[𝑟′ × 𝑗′]𝑖

2𝑐

3·j1(𝑘𝑟′)𝑘𝑟′

Прямой проверкой можно убедиться, что восстановлен-ное по (6.76) согласно (6.68) электромагнитное полеErad,Brad совпадает с полем гармонически колеблюще-гося магнитного диполя (6.56)

𝜇 = 2Re(𝜇0 exp(−𝑖𝜔𝑡)

),

если совершить замену 𝜇0 → 𝜇k. Таким образом, пол-ное магнито-дипольное излучение определяется обоб-щённым магнито-дипольным моментом 𝜇k (6.76), ко-торый определяется не только распределением токов всистеме, но и частотой колебаний тока. Когда длинаволны становится велика (а частота соответственно ма-ла), так что 𝑘𝑎≪ 1, где 𝑎 — размер системы, послед-ний множитель под интегралом в (6.76) стремится кединице. В результате обобщённый магнито-дипольныймомент 𝜇k стремится к квази-статическому магнито-дипольному моменту 𝜇0 (6.32).

6.4.4 Излучение электрического типаПоле излучения электро-мультипольного типа описы-вается потенциалом 𝜂, поскольку он является скаля-ром, как и электро-мультипольные моменты, являющи-еся тензорами.

Аналогично разложению (6.75), решение волновогоуравнения (6.72) на часть поля, соответствующую излу-чению электрического типа, можно представить в видесуммы расходящихся волн различной угловой симмет-рии:

𝜂 =

∞∑𝑙=1

h(1)

1 (𝑘𝑟) 𝜂𝑙, (6.77)

69 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

где

𝜂𝑙 =(−1)𝑙+1(2𝑙 + 1)𝑖𝑘

𝑙(𝑙 + 1)

ˆd3𝑟′ j𝑙(𝑘𝑟

′) P𝑙(𝑛·𝑛′)×

×((

2 + (𝑟′ ·∇′))𝜌′ +

𝜕𝑡(𝑟′ ·𝑗′)𝑐2

). (6.78)

Выражение (6.78) сложнее выражения (6.75) тем, чтотогда как в (6.75) вносит вклад только одна комбина-ция компонент вектора тока 𝑗, в выражение (6.78) вно-сят вклад две линейно независимые комбинации компо-нент тока — 𝜌 и (𝑛 ·𝑗). Поэтому если 2𝑙-польное излу-чение магнитного типа определяется полностью значе-нием обобщённого 2𝑙-польного магнитного момента (см.Пункт 6.4.3.1 для 𝑙 = 1), то 2𝑙-польное излучение элек-трического типа в общем случае определяется двумя 2𝑙-польными линейно независимыми моментами.

Мы начнём с электро-дипольного излучения. Намне известен способ физически осмысленного разделениявыражения (6.78) на две линейно-независимые состав-ляющие в общем виде. Поэтому мы ограничимся разло-жением выражения (6.78) в ряд по параметру 𝑘𝑎, считаяего малым, 𝑘𝑎 ≪ 1, для того чтобы произвести указан-ное разделение для первых членов разложения.

6.4.4.1 Электро-дипольный момент

В слагаемом 𝑙 = 1 правой части (6.78), соответствующемэлектро-дипольному излучению, учтём первый неисче-зающий порядок по малому параметру 𝑘𝑎 ≪ 1. В ре-зультате получаем, что в круглой скобке подинтеграль-ного выражения правой части (6.78) надо удержатьтолько первое слагаемое, и положить j𝑙(𝑘𝑟

′)→ 𝑘𝑟′/3:

𝜂 =1

2∇𝑚

𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟

ˆ𝑟′𝑚(2 + (𝑟′ ·∇′))𝜌′ d3𝑟′ =

= −(𝑑0 ·∇)𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟, 𝜂1 = −𝑖𝑘2(𝑑0 ·𝑛), (6.79)

где комплексная амплитуда колебаний дипольного мо-мента 𝑑0 определяется квази-статическим выражением(3.46,6.52). Восстановленное согласно (6.68) электромаг-нитное поле Erad,Brad совпадает с полем гармоническиколеблющегося электрического диполя (6.53).

6.4.4.2 Тороидальный дипольный момент

Поправка по малому параметру 𝑘𝑎 ≪ 1 к выражению(6.79) возникает только во втором порядке. Полное вы-ражения, включающее основной вклад и поправку, рав-но

𝜂1 = −𝑖𝑘2((𝑑0 ·𝑛) + 𝑖𝑘(𝑡0 ·𝑛)

), (6.80)

где тороидальный дипольный момент

𝑡0 =

ˆd3𝑟′

(𝑖𝑘

5𝑟′2𝜌′ +

1

2𝑐(𝑟′ ·𝑗′)

)𝑟′ =

=1

10𝑐

ˆd3𝑟

((𝑟 ·𝑗)𝑟 − 2𝑟2𝑗

). (6.81)

Тороидальный момент обращается в нуль, если ток яв-ляется потенциальным, 𝑗 = − grad𝜙𝐽 . Это можно ин-терпретировать так, что тороидальный момент опреде-ляется только вихревыми токами. Заметим, что в этомпорядке поправка к дипольному моменту оказалась рав-ной нулю — такая поправка должна была бы зависетьтолько от объёмной плотности зарядов 𝜌. В более высо-ких порядках по малому параметру 𝑘𝑎 эту поправку сле-дует ожидать (как она существует в выражении (6.76)для обобщённого магнито-дипольного момента 𝜇k посравнению с выражением для дипольного момента 𝜇0).

Рисунок — пространственное распределение безди-вергентных токов, создающих тороидальный диполь-ный момент и не создающих магнитных дипольного иквадрупольного моментов.

Итак, мы определили те два независимых вектора— электро-дипольный момент 𝑑0 и тороидальный ди-польный момент 𝑡0, — которые определяют электро-дипольное излучение. Эти интегральные характеристи-ки распределения токов в системе определяются разны-ми (линейно независимыми) комбинациями компоненттока в системе.

Полная мгновенная интенсивность излучения систе-мы как электро-диполь, так и тороидальный диполь,равна

𝐼 =2

3𝑐3

−

...𝑡 /𝑐2, (6.82)

см. (6.51).

6.4.4.3 Анаполь

Точечным тороидальным дипольным моментом илианаполем, расположенным в начале координат, называ-ют распределение токов в пространстве

𝑗(𝑟) = 𝑐 rot rot(𝑡 𝛿(𝑟)

). (6.83)

Тороидальный дипольный момент (6.81) такой системыравен 𝑡, тогда как все магнитные моменты равны нулю.

Сила и момент сил, действующих на анаполь со сто-роны эм-поля...

6.4.4.4 Квадрупольный момент

Сравним ближне-польную асимптотику (6.73) с асимп-тотическим поведением функции Ганкеля (5.25). В ре-зультате заключаем, что

𝜂2 = −𝑘3

12𝐷𝑖𝑘

0 𝑛𝑖𝑛𝑘, 𝜂 =

𝐷𝑖𝑘0 ∇𝑖∇𝑘12

𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟. (6.84)

Глава 6. Слабо релятивистские эффекты 70

Второй порядок по малым параметрам (6.47) в решенииуравнения (6.72) равен

Δa𝜂 =∇𝑖∇𝑘2

𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟

ˆ𝑟′𝑖𝑟′𝑘(2 + (𝑟′ ·∇′))𝜌′d3𝑟′ +

− 𝑖𝑘𝑒𝑖𝑘𝑟

2𝑐𝑟

ˆd3𝑟′ (𝑗′ ·grad′ 𝑟′2) =

= −∇𝑖∇𝑘2

𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟

ˆ (3𝑟′𝑖𝑟′𝑘 − 𝛿𝑖𝑘𝑟′2

)𝜌′d3𝑟′

что совпадает с (6.84).

§6.5. Торможение излучением

Изложение ведётся в обозначениях § 4.6.

6.5.1 Скорость производства электро-магнитной энергии уходящих волн

Поле, произведённое движущейся с ускорением части-цей, уносит энергию и импульс. Пусть за время дви-жения частицы d𝑡𝑟 (иногда время 𝑡𝑟 называют так-же “ретардированное”) была рождена группа волн с 4-импульсом

||d𝑃𝜇𝑟 || = d𝐸𝑟/𝑐, d𝑃 𝑟.

Вообще говоря, из соображений закона сохраненияэнергии-импульса эти энергия и импульс должны бытьравны изменению d𝑝𝜇 = d𝐸/𝑐,d𝑝 энергии и импуль-са частицы, взятым с обратным знаком. Тем не менее, вклассической (неквантовой) электродинамике как в тео-рии есть встроенное противоречие, которое как раз вданном вопросе даёт о себе знать. А именно, электро-магнитная энергия точечного заряда равна бесконечно-сти. В результате в обоих частях равенства, выражаю-щего сохранение энергии-импульса, присутствует беско-нечный вклад, и его сокращение в общем случае некор-ректно.

Пусть частица влетает, а затем вылетает из области,где электромагнитное поле отлично от нуля. Тогда для4-импульса имеет место только интегральное условиесохранения

ˆd𝑃𝜇𝑟 +

ˆ (d𝑝𝜇 − 𝑒

𝑐F𝜇𝜈d𝑥𝜈

)= 0, (6.85)

где интеграл берётся вдоль мировой линии; на концахучастка интегрирования сокращение бесконечной элек-тромагнитной энергии точечной частицы корректно, по-скольку она двигается равномерно и прямолинейно. В(6.85) F𝜇𝜈 — внешнее электромагнитное поле, из которо-го исключено поле излучения рассматриваемой части-цы. Равенство (6.85) выражает полный баланс энергии-импульса, см. в том числе уравнение Лоренца (3.42). Беззнаков интеграла это равенство в рамках классическойэлектродинамики в общем случае неверно.

Пусть траектория частицы известна. Покажем здесь,что скорость производства энергии 𝑊 уходящих элек-тромагнитной волн движущегося с ускорением заряда,рассчитанная по шкале времени испускания волн, явля-ется релятивистским инвариантом, так что изменениеэнергии-импульса волн

d𝑃𝜇𝑟 =𝑊

𝑐2d𝑧𝜇, 𝑊 =

d𝐸𝑟d𝑡𝑟

= −2𝑐 𝑒2

3𝑤𝜈𝑤𝜈 , (6.86)

где 𝑤𝜇 – 4-ускорение частицы, а 𝑧 – траектория части-цы, а 𝑡𝑟 – время движения частицы, в соответствии собозначениями этого параграфа.

Для доказательства перейдём в систему координат𝐾 ′, в которой в момент 𝑡′𝑟 заряд покоится. Рассмотримту часть уходящего излучения, которая была произве-дена окрестностью этого момента. Зафиксируем моментнаблюдения 𝑡′ > 𝑡′𝑟. Согласно (4.70), электрическое полеэтой части излучения на сфере |𝑟′ − z′(𝑡′𝑡)| = 𝑐(𝑡′ − 𝑡′𝑟)описывается выражениями

E′rad(𝑟

′) =𝑒[𝑛′ ×

[𝑛′ × 𝑎′]]

𝑐2𝑅′ , B′rad =

𝑒[𝑎′ × 𝑛′]

𝑐2𝑅′ ,

(6.87)соответствующими радиационным вкладам в(6.48,6.49), поскольку в нашем случае 𝑅′

𝑣 = 𝑅′. Ин-тенсивность уходящего излучения определяется соот-ветственно (6.51),

𝑊 =d𝐸′

𝑟

d𝑡′𝑟=

2𝑒2𝑎′2

3𝑐3, d𝑃 ′0

𝑟 =d𝐸′

𝑟

𝑐d𝑡′𝑟d𝑡′𝑟 =

𝑊

𝑐d𝑡′𝑟.

Пространственные компоненты d𝑃 ′𝑖𝑟 полного импульса

рассматриваемой порции электромагнитных волн рав-ны нулю, в силу симметрии интенсивности излучения:сколько импульса уходит в направлении 𝑛′, столько ив обратном направлении −𝑛′. Таким образом, порцияволн, испущенная за промежуток времени d𝑡′𝑟, облада-ет 4-импульсом

d𝑃 ′𝜇𝑟 = d𝐸′

𝑟/𝑐, 0 =𝑊

𝑐2d𝑧′𝜇.

Вторым равенством мы переписали правую часть врелятивистско-инвариантном виде через единственныйимеющийся в нашем распоряжении 4-вектор с нулевой

71 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

пространственной частью — приращение 4-координатыd𝑧′𝜇. Коэффициент пропорциональности между дву-мя 4-векторами является релятивистским инвариан-том, т.е. релятивистским инвариантом является ско-рость производства энергии уходящего излучения:

𝑊 =2𝑒2𝑎′2

3𝑐3= −2𝑐 𝑒2

3𝑤𝜈𝑤𝜈 . (6.88)

Таким образом, мы пришли к формуле (6.86).

6.5.2 Торможение излучением

В работе Клепиков, 1985 подробно разобрана историявопроса.

Найдем теперь силу, действующую на ускореннодвижущуюся частицу со стороны излучённого ею поля.Эту силу называют силой торможения излучением илилоренцевской силой трения (Abraham–Lorentz force (alsoLorentz–Abraham force), or the radiation reaction force, orthe self force). Как мы упоминали в Пункте 6.5.1, мгно-венная мощность генерации уходящих волн не совпада-ет с мгновенной мощностью, отбираемой от частицы.

Мы рассматриваем часть мировой линии движениячастицы, на котором в начале и в конце частица дви-галась без ускорения, т.е. была вне действия внешнегоэлектромагнитного поля. Либо, мы рассматриваем одинпериод периодического движения частицы, так что вна-чале и в конце движения скорость частицы и все её про-изводные равны друг другу.

Сначала рассмотрим нерелятивистскую частицу, иобозначим искомую силу 𝐹Lf . Полный баланс энергиидолжен сохраняться, так чтоˆ

(𝐹Lf ·𝑣)d𝑡 = −ˆ𝑊d𝑡 = −2𝑒2

3𝑐3

ˆ2d𝑡 =

2𝑒2

3𝑐3

ˆ( ·𝑣)d𝑡,

(6.89)где скорость производства электромагнитной энергииуходящих волн 𝑊 определяется (6.86). В последнем ра-венстве мы провели интегрирование по частям, поль-зуясь тем, что граничный вклад равен нулю, посколькуна концах мы предполагаем равномерное и прямолиней-ное движение (либо граничные члены сократились, еслидвижение периодично). Из последнего равенства можносделать вывод, что в уравнение движения следует доба-вить силу торможения излучением 𝐹Lf ,

𝑚 = 𝑒E+𝑒

𝑐[𝑣 ×B] + 𝐹Lf , 𝐹Lf =

2𝑒2

3𝑐3. (6.90)

Вообще говоря, в данном выводе мы могли упуститьвклад в силу, нормальный к направлению скорости ча-стицы. Однако такого вклада существовать не может.Покажем это. Перейдём в систему отсчёта, двигающу-юся со скоростью 𝑉 (предполагаем, что скорость мала,так что преобразование Лоренца есть преобразованиеГалилея) такою, чтобы интеграл от неучтённой частисилы имел ненулевую проекцию на 𝑉 . В этом случае

баланс энергии (6.89), записанный в новой системе от-счёта, уже не будет выполняться. Вклад же, которыйпредставлял бы из себя полную производную, и от кото-рого кроме того интеграл был бы равен нулю, составитьиз скорости и её производных невозможно.

6.5.2.1 Применимость концепции силы тормо-жения излучением

В уравнении движения (6.90) сила торможения 𝐹Lf

должна быть мала по сравнению с первыми двумя вкла-дами, возникающими из-за действия внешнего электро-магнитного поля. Действительно, в противном случаемы получили бы уравнение типа

= 𝛼, 𝛼 > 0,

которое даёт “самоускорение” частицы.Получим условия применимости уравнения движе-

ния нерелятивистского заряда со включённой силой ло-ренцевского трения. Будем исходить из требования, что-бы изменение энергии Δ𝐸rad частицы в силу действиялоренцевской силы трения за время Δ𝑡 было мало посравнению с изменением Δ𝐸kin кинетической энергиичастицы под действием внешнего электромагнитногополя. Время Δ𝑡 может быть характерным временемизменения либо направления движения частицы, либоеё ускорения — т.е. в этом случае временем измене-ния электромагнитного поля, действующего на частицу.Имеем:

Δ𝐸rad ∼2𝑒22 Δ𝑡

3𝑐3=

2𝑒2Δ𝑣

3𝑐3, Δ𝐸kin ∼ 𝑚𝑣Δ𝑣.

Наше требование приводит нас к неравенству

Δ𝐸rad

Δ𝐸kin≪ 1 ⇒ Δ𝑡 ∼ 𝑣

||≫ 𝑟0

𝑐,

где 𝑟0 — классический радиус электрона (6.16). Выра-зим это условие в терминах электромагнитного поля.Условие на магнитное поле B можно получить, если в(6.90) положить электрическое поле равным нулю и по-требовать условия ||/𝑣 ≪ 𝑐/𝑟0. Второе условие заклю-чается в том, чтобы само поле менялось не слишкомбыстро, на временах Δ𝑡≫ 𝑟0/𝑐. Эти условия можно за-писать в виде

𝑟0𝑒B≪ 𝑚𝑐2, 𝜆≫ 𝑟0, (6.91)

где 𝜆 ∼ 𝑐/Δ𝑡 — характерная длина волны падающего начастицу электромагнитного поля. Таким образом, полене должно быстро меняться и не должно быть слишкомбольшим по амплитуде.

6.5.3 Вывод силы торможения через за-паздывающие потенциалы

Нам надо найти вклад в электрическое поле, пропорци-ональное 𝑐−3, и в магнитное поле, пропорциональный

Глава 6. Слабо релятивистские эффекты 72

𝑐−2. Для этого нам надо выделить третий член разложе-ния запаздывающего потенциала 𝜙 и первые член раз-ложения вектор-потенциала A по запаздыванию:

𝜙(3) = − 1

6𝑐3𝜕3𝑡

ˆd3𝑟′𝑅2𝜌, 𝑅 = |𝑟 − 𝑟′|,

A(1) = − 1

𝑐2𝜕𝑡

ˆd3𝑟′ 𝑗. (6.92)

Отсюда получаем, что вклад поля от этих поправок ра-вен

ELf =2𝑒

3𝑐3, BLf = 0, (6.93)

то есть сила торможения излучением действительноравна (6.90).

6.5.4 Обобщение для релятивистскихчастиц

Обобщим уравнение движения (6.90) на релятивист-ское движение. Для этого второй производной скорости надо поставить в соответствии вторую производнуюпо собственному времени от 4-скорости. Если сделатьэто непосредственно, то в таком случае не будет сохра-няться нормировка 4-скорости (2.24). Поэтому надо ещёподействовать проектором на гипер-плоскость, ортого-нальную 4-скорости. В итоге получим:

d𝑝𝜇

d𝑠=

𝑒

𝑐F𝜇𝜈𝑢𝜈 +

1

𝑐𝐹 𝜇Lf , (6.94)

𝐹 𝜇Lf =

2𝑒2

3𝑐(𝑔𝜇𝜈 − 𝑢𝜇𝑢𝜈)d

2𝑢𝜈d𝑠2

.

73 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

Часть IV

ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИГлава 7

ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

§7.1. Свободные тела в гравитационном поле.

Литература: Wald, 2010; Берков и Кобзарев, 1989,1990; Вайнберг, 1975; Ландау и Лифшиц, 1988; Хрипло-вич, 2009

Дополнительная литература: Blau, 2016.Космология: Долгов, Зельдович и Сажин, 1988История Lehmkuhl, 2011, построение тензора

энергии-импульса Leclerc, 2006

Электродинамика дала постулат, согласно которомумаксимальная скорость любого взаимодействия не мо-жет превосходить скорости света 𝑐. Теория гравитаци-онного взаимодействия И.Ньютона предполагает мгно-венное взаимодействие находящихся на удалении двухтел. Поэтому теория Ньютона теперь должна понимать-ся как статический предел более общей теории, в кото-рой скорость распространения взаимодействия являетсяконечной.

Идея А.Эйнштейна состояла в том, что гравитаци-онное поле связано с изменением метрических свойствпространства. Наличие гравитационного поля означает,что пространство не является плоским, и потому не мо-жет быть описано в рамках декартовой системы коор-динат.

Какими свойствами должно обладать это криволи-нейное пространство? Во-первых, в каждой точке про-странства должна быть возможность определения век-торов и тензоров более высокого ранга, поскольку вели-чины описывающие состояния частиц и поле относятсяк этому классу объектов. Во-вторых, должна быть воз-можность определять квадрат векторов в каждой точке:например, квадрат 4-импульса частицы должен опреде-ляться её массой. Таким образом, пространство должнообладать метрикой. В-третьих, должна быть возмож-ность переносить вектора из одной точки в другую: на-пример, при движении точечной частицы переносятсявектора её момента и момента импульса. Поэтому напространстве должна быть введена связность. Эта связ-ность должна быть согласована с метрикой для, на-пример, выполнения условия сохранения квадрата им-пульса частицы. Наконец, более детальные рассужде-ния, приведённые ниже, показывают, что пространство

должно быть Римановым, т.е. тензор кручения у негоотсутствует.

В итоге получаем, что конфигурация гравитацион-ного поля (или же, структура пространства) полностьюопределяется конфигурацией метрического тензора.

7.1.1 Постулаты общей теории относи-тельности

Сформулируем теперь постулаты общей теории относи-тельности.

∙ Принцип эквивалентности: инертная масса сов-падает с гравитационной массой. Инертная массаприсутствует как параметр, в частности, в урав-нении движения заряда в электромагнитном поле.Гравитационная масса описывает взаимодействиетела с гравитационным полем.

∙ Пространство-время является римановым про-странством. Метрика этого пространства име-ет сигнатуру метрики Минковского, что являетсянаследием специальной теории относительности.Ненулевая кривизна пространства-времени обу-словлена присутствием гравитационного поля.

∙ Также как и в специальной теории относительно-сти, математическая формулировка законов дви-жения должна быть ковариантной.

Раскроем физический смысл этих постулатов.

Из принципа эквивалентности следует, что можновыбрать систему координат — свободно падающий ящикнебольшого размера в гравитационном поле — внутрикоторого все свободные тела будут двигаться равномер-но и прямолинейно. Действительно, в исходной систе-ме координат на все тела будет действовать сила, про-порциональная их гравитационной массе, и потому каж-дое тело будет испытывать ускорение, пропорциональ-ное отношению его гравитационной и инертной масс.По принципу эквивалентности, это отношение одно ито же для всех тел. Потому в системе отсчёта ящикадействие гравитации на поступательное движение тел

Глава 7. Теория гравитации 74

будет исключено, и движение каждой частицы описы-вается уравнением

d2𝑥𝜇

d𝑠2= 0.

где 𝑠 — параметр вдоль мировой линии частицы. В дру-гой произвольной системе координат уравнение движе-ния уже не имеет такой простой формы. Чтобы напи-сать его в произвольной системе координат, восполь-зуемся тем, что все динамические уравнения должныиметь ковариантную форму. Единственным возможнымобобщением этого уравнения является уравнение на гео-дезическую

d2𝑥𝜇

d𝑠2+ Γ𝜇𝜎𝜍

d𝑥𝜎

d𝑠

d𝑥𝜍

d𝑠= 0, free box: Γ𝜇𝜎𝜍 + Γ𝜇𝜍𝜎 = 0,

если принять, что свойством свободно падающей систе-мы координат является обнуление симметричной частисвязности.

Однако мы бы хотели расширить принцип эквива-лентности на полную возможность локального исклю-чения гравитационного поля. А именно, мы бы хоте-ли, чтобы момент количества движения протяжённыхтел (или спин частиц) оставался неизменным в свобод-но падающей системе координат в отсутствии электро-магнитного поля. Таким образом, для произвольного 4-вектора спина 𝑎𝜇 (4.42) должно выполняться динамиче-ское уравнение

d𝑎𝜇

d𝑠= 0.

при любом направлении движения частицы. Единствен-ной возможностью обобщить это уравнение на произ-вольную систему координат — сказать, что это естьуравнение параллельного переноса вектора 𝑎𝜇 вдоль ми-ровой линии частицы. Поскольку в общем случае взаим-ное направление касательного вектора к мировой линиичастицы d𝑥𝜇/d𝑠 и 4-вектора спина 𝑎𝜇 является произ-вольным (за исключением требования 𝑔𝜇𝜈𝑎

𝜇 d𝑥𝜈/d𝑠 =0), то для возможности обобщения надо потребовать,чтобы в свободно падающей системе антисимметричнаячасть связности также оказалась равной нулю:

d𝑎𝜇

d𝑠+ Γ𝜇𝜎𝜍

d𝑥𝜎

d𝑠𝑎𝜍 = 0, free box: Γ𝜇𝜎𝜍 = 0. (7.1)

В итоге мы получили возможность построения системыкоординат, в которой связность равна нулю в наперёдзаданной точке. Это означает, что тензор кручения ра-вен нулю и пространство является Римановым. Второйпостулат как раз закрепляет этот вывод.

7.1.2 Движение свободной частицы вгравитационном поле

Для массивных частиц существуют системы коорди-нат, в которых частица покоится. В таких системах

приращение нулевой координаты d𝑥0 пропорциональ-но приращению параметра 𝑠. Поэтому, как и в специ-альной теории относительности, возможно фиксироватьаффинный параметр 𝑠 вдоль геодезической, придав емусмысл интервала:

d𝑢𝜇

d𝑠+ Γ𝜇𝜎𝜌𝑢

𝜎𝑢𝜌 = 0, d𝑠2 = 𝑔𝜇𝜈d𝑥𝜇d𝑥𝜈 , 𝑢𝜈 =

d𝑥𝜈

d𝑠,

(7.2)где 𝑢𝜇 — 4-скорость частицы.

7.1.2.1 Вариационный принцип для движениячастицы

Уравнение движения частицы можно получить из прин-ципа наименьшего действия. По-прежнему, действиедля массивной частицы есть (3.1):

𝑆m = −𝑚𝑐ˆ

d𝑠 = −𝑚𝑐ˆ √

𝑔𝜇𝜈 d𝑥𝜇d𝑥𝜈 , (3.1𝑎)

где 𝑔𝜇𝜈 зависит от координат в присутствии гравита-ционного поля. Варьируя траекторию частицы, теперьполучаем

𝛿𝑆m = −𝑚𝑐𝑏ˆ

𝑎

(𝑔𝜇𝜈,𝜎𝑢

𝜇𝑢𝜈𝛿𝑥𝜎

2+ 𝑔𝜈𝜎𝑢

𝜈 d𝛿𝑥𝜎

d𝑠

)d𝑠 =

= 𝑚𝑐

𝑏ˆ

𝑎

(d𝑢𝜎d𝑠− 𝑔𝜇𝜈,𝜎

2𝑢𝜈𝑢𝜇

)𝛿𝑥𝜎d𝑠 − 𝑚𝑐𝑢𝜎𝛿𝑥

𝜎𝑏𝑎. (7.3)

Откуда вытекает уравнение движения частицы

d𝑢𝜎d𝑠

=d(𝑔𝜎𝜍𝑢

𝜍)

d𝑠=

𝑔𝜇𝜈,𝜎2

𝑢𝜈𝑢𝜇, (7.4)

которое переписывается и в виде (7.2) с учётом (10.63).Если метрика не зависит от координаты 𝑥𝜎, то соот-ветствующая компонента 4-скорости 𝑢𝜎 сохраняется помере движения частицы.

Согласно граничному члену в вариации действия(7.3) 4-импульс частицы, канонически сопряжённый ко-ординате частицы, по-прежнему определяется (3.5),

𝑝𝜇 = 𝑚𝑐𝑢𝜇, 𝑝𝜇𝑝𝜇 = 𝑚2𝑐2. (3.5𝑎)

В силу (3.8) уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид

𝑔𝜇𝜈𝜕𝑆

𝜕𝑥𝜇𝜕𝑆

𝜕𝑥𝜈= 𝑚2𝑐2, (7.5)

см. Пункт 1.2.5.

7.1.2.2 Безмассовые частицы

Если мы имеем дело с безмассовой частицей, то в каче-стве параметра вдоль геодезической невозможно взятьприращение интервала. Такую геодезическую называ-ют изотропной, light-like geodesic. Выберем аффинныйпараметр L вдоль такой геодезической, который равеннабегу фазы у эйконала (т.е. L безразмерен), описываю-щий распространение волны соответствующей частице.

75 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

Тогда уравнением движения безмассовой частицы будет

d2𝑥𝜇

dL2+ Γ𝜇𝜎𝜍

d𝑥𝜎

dL

d𝑥𝜍

dL= 0, ⇔ d𝑘𝜎

dL=

𝑔𝜇𝜈,𝜎2

𝑘𝜈𝑘𝜇,

(7.6)где касательный вектор к геодезической 𝑘𝜇 = d𝑥𝜇/dLпри указанном выборе параметра L является также вол-новым вектором частицы, 𝑘𝜇 = 𝑝𝜇/~.

Выражения (3.5a,7.5) верны и для безмассовых ча-стиц. Сказать про эйконал: изменяем единицы измере-ния функции Гамильтона-Якоби, перемасштабируя её вэйконал ...

7.1.3 Промежутки времени и расстоя-ния

Для того, чтобы определить собственное время части-цы, перейдём в сопровождающую систему координат, укоторой метрика локально равна метрике Минковского.Для такого локально плоского мира мы знаем, что со-гласно специальной теории относительности прираще-ние d𝜏 собственного времени связано соотношением

d𝜏 = d𝑠/𝑐; ⇒ d𝜏 =1

𝑐

√𝑔00 d𝑥

0 at d𝑥𝑖 = 0.

(7.7)с приращением интервала d𝑠; это соотношение, конечно,остаётся верным и в любой системе координат. Поэтомувторым равенством в (7.7) мы выписали выражение дляприращения собственного времени частицы в системе, вкоторой изменяется только нулевая координата части-цы, т.е. где частица покоится.

𝑥𝑘 𝑥𝑘 + d𝑥𝑘

d𝑥0(2)

d𝑥0(1)

Рис. 7.1 Измерение расстояния между двумя близкимив пространстве точками; выбран случай 𝑔0𝑖d𝑥𝑖 > 0.

Под расстоянием d𝑙 между двумя близкими в про-странстве точками будем понимать следующее. Про-странственные координаты точек фиксированы, т.е. независят от координаты 𝑥0, пусть они будут равны 𝑥𝑘 и𝑥𝑘 + d𝑥𝑘. Расстояние между этими двумя точками есть

d𝑙 =𝑐d𝜏

2,

где d𝜏 есть (собственное) время, прошедшее в одной източек, пока свет из этой точки распространялся до дру-

гой и обратно; поскольку мы не можем сравнивать вре-мена в разных точках, то определить расстояние черезпроход света в одну сторону невозможно.

Свяжем искомое расстояние d𝑙 с разницей коорди-нат d𝑥𝑘 посредством метрического тензора. Пока светдоходит от одной точки до другой, преодолевая d𝑥𝑘, 0-координата испытывает приращение d𝑥0, так что интер-вал оказывается равным нулю,

0 = d𝑠2 = 𝑔00(𝑑𝑥0)2 + 2𝑔0𝑘d𝑥

0d𝑥𝑘 + 𝑔𝑖𝑘d𝑥𝑖d𝑥𝑘.

Решая это квадратное уравнение относительно d𝑥0, по-лучаем

d𝑥0(1,2) = 𝑔𝑘d𝑥𝑘 ±

√𝛾𝑖𝑘d𝑥𝑖d𝑥𝑘

𝑔00.

где введены чисто трёх-мерные вектор 𝑔𝑘 и метрическийтензор 𝛾𝑖𝑘

𝑔𝑖 = −𝑔0𝑖𝑔00

, 𝛾𝑖𝑘 = −𝑔𝑖𝑘 +𝑔0𝑖𝑔0𝑘𝑔00

. (7.8)

Таким образом, при прохождении света в одну и об-ратную стороны приращение координаты 𝑥0 оказыва-ется разным если 𝑔𝑘d𝑥𝑘 не равно нулю; геометрическийсмысл времён d𝑥0(1,2) показан на Рис. 7.1. В результа-те получаем, что приращение собственного времени со-гласно (7.7) и искомое расстояние равны:

𝑐d𝜏 =√𝑔00(d𝑥0(1) − d𝑥0(2)

), d𝑙2 = 𝛾𝑖𝑘d𝑥

𝑖d𝑥𝑘. (7.9)

Отметим свойства трёх-мерного метрического тензора

−𝑔𝑖𝑙𝛾𝑙𝑘 = 𝛿𝑖𝑘, −𝑔 = 𝑔00𝛾, (7.10)

которые могут быть непосредственно проверены ис-пользуя введённые определения.

7.1.4 Ньютоновский пределРассмотрим предел слабых гравитационных полей и ма-лых скоростей, который реализуется, например, в зем-ных условиях. Если гравитационное поле слабо, то су-ществует система координат, в которой метрика слабоотличается от метрики Минковского,

𝑔𝜇𝜈 = 𝜂𝜇𝜈 + ℎ𝜇𝜈 , ℎ𝜇𝜈 ≪ 1. (7.11)

Достаточно исследовать задачу в первом порядке по от-клонению от метрики Минковского; мы ожидаем, чтовсе матричные элементы ℎ одного порядка (на самомделе одного порядка диагональные элементы, а недиаго-нальные имеют дополнительную малость), хотя сейчасфигурировать будет только один элемент.

В классической механике закон Ньютона гласит, чтона любое массивное тело массы 𝑚 действует гравита-ционная потенциальная сила 𝐹 = −𝑚 grad𝜑, где потен-циал гравитационного поля 𝜑 подчиняется уравнениюПуассона

Δ𝜑 = 4𝜋𝐺𝜌m, (7.12)

Глава 7. Теория гравитации 76

где 𝜌m — массовая плотность материи. Совокупность со-временных экспериментальных данных позволяет уста-новить следующее значение гравитационной постоян-ной:

𝐺 = 6, 67408(31) · 10−8 см3

с2 ·г. (7.13)

Уравнение (7.12) хорошо описывает движение массив-ных тел во всём пространстве за исключением областей,близких к чёрным дырам. Это уравнение написано в си-стеме координат, которая в каждой точке пространства-времени слабо отличается от нормальных координат Ри-мана.

Выразим потенциал гравитационного поля черезметрику. В уравнении движения (7.2) следует оставитьтолько слагаемые с 𝜎 = 𝜌 = 0, поскольку скорость ча-стицы нерелятивистская и потому её пространственныекомпоненты малы. Таким образом, уравнение движенияесть

d2𝑥𝑖

d𝑡2= 𝑐2Γ𝑖 00 = −𝑐

2

2ℎ00,𝑖 = −𝜕𝑖𝜑. (7.14)

Мы расписали матричный элемент символа Кристоф-феля через производную метрики (10.63), и пренебрег-ли производными по времени, поскольку они содержатмалый множитель 1/𝑐. Наконец, мы сказали, что урав-нение движения частицы происходит в гравитационномпотенциале 𝜑 согласно механике Ньютона. Таким обра-зом, временная компонента метрики равна

𝑔00 = 1 +2𝜑

𝑐2. (7.15)

Пусть пробная частица движется в гравитационномполе тела массы𝑚𝑔, неподвижного в выбранной системекоординат и находящегося в её начале. Тогда потенциали, соответственно, 00-компонента метрики равны

𝜑 = −𝐺𝑚𝑔

𝑟, 𝑔00 = 1− 𝑟𝑔

𝑟, 𝑟𝑔 =

2𝐺𝑚𝑔

𝑐2, (7.16)

где 𝑟𝑔 называется гравитационным радиусом тела; ко-нечно, полученная формула применима только на рас-стояниях 𝑟 ≫ 𝑟𝑔, если тяготеющая масса 𝑚𝑔 являетсяточечным объектом.

§7.2. Электромагнитное поле. Тензор энергии-импульса материи.

7.2.1 Действие для электромагнитногополя

В § 2.4 отмечалось, что релятивистским инвариантомявляется 4-х мерный объём dΩ и 𝛿-функция. Теперь этиинварианты имеют вид

dΩ =√−𝑔 d4𝑥, 1√

−𝑔𝛿(4)(𝑥− 𝑦). (7.17)

Учтя это, мы можем обобщить выражение (2.42) для4-тока:

𝑗 𝜇(𝑥) = 𝑐∑𝑎

𝑒𝑎

ˆd𝑠

𝛿(4)(𝑥− 𝑥𝑎(𝑠)

)√−𝑔

𝑢𝜇𝑎 (𝑠). (7.18)

Уравнение непрерывности по-прежнему имеет вид(2.37), который в силу связи дивергенции вектора с пол-ной производной (10.17) приводит к сохранению полногозаряда

𝑄 =

ˆd3𝑟√−𝑔 𝑗0. (7.19)

Взаимодействие зарядов и электромагнитного поляописывается тем же действием (3.35):

𝑆int = −∑𝑎

𝑒𝑎𝑐

ˆA𝜇(𝑥𝑎) d𝑥

𝜇𝑎 = − 1

𝑐2

ˆdΩA𝜇𝑗

𝜇.

(3.35𝑎)Варьирование по мировой линии полного действиядля точечной частицы естественным образом обобщает

уравнение движения (3.42) до

d𝑢𝜇

d𝑠+ Γ𝜇𝜎𝜌𝑢

𝜎𝑢𝜌 =𝑒

𝑐F𝜇𝜈𝑢𝜈 . (7.20)

В этом уравнении определение тензора электромагнит-ного поля с нижними индексами остаётся тем же самым:

F𝜇𝜈 = A𝜈;𝜇 −A𝜇;𝜈 = 𝜕𝜇A𝜈 − 𝜕𝜈A𝜇, (7.21)

см. (10.22). Первая пара уравнений Максвелла, записан-ная в виде (4.8)

ε𝜇𝜈𝜆𝜎𝜕𝜈𝜕𝜆A𝜎 = 0

по-прежнему имеет место.Из выражения для тензора электромагнитного поля

(7.21) можно вывести следующую идею: каноническимилагранжевыми координатами, описывающими электро-магнитное поле, являет ковариантный 4-вектор A𝜇. Втаком случае вычисленное по нему электромагнитноеполе F𝜇𝜈 не зависит от метрики, которая является ка-ноническими координатами для гравитационного поля.Поэтому действие электромагнитного поля определяет-ся тем же выражением (4.11), но мы его запишем в виде

𝑆𝑓 = − 1

16𝜋𝑐

ˆdΩ 𝑔𝜇𝜈𝑔𝜎𝜍𝐹𝜇𝜎𝐹𝜈𝜍 (7.22)

Вариация по каноническим переменным электромаг-нитного поля A𝜇 даёт вторую пару уравнений Максвел-ла (4.15), в которой теперь простая производная должна

77 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

быть заменена на ковариантную:

∇𝜈F𝜈𝜇 =4𝜋

𝑐𝑗𝜇. (7.23)

Теперь, однако, невозможно в общем случае найти ка-либровку, в котором 4 уравнения в (7.23) оказывалисьнезависимыми, как это было для калибровки Лоренцав плоском пространстве, см. уравнение (4.17). Напри-мер, выберем снова калибровку Лоренца согласно усло-вию ∇𝜇A𝜇 = 0. Тогда вторая пара уравнений Максвелла(7.23) запишется в виде

2A𝜈 −𝑅𝜈𝜇A𝜇 = −4𝜋

𝑐𝑗𝜈 .

Мы воспользовались равенством (10.79) для коммутато-ра ковариантных производных вектора.

7.2.2 Тензор энергии-импульса материиЕсли в выражении для действия материи 𝑆mat (всегокроме гравитационного поля) мы поменяем координа-ты, то оно не должно измениться, поскольку по су-ти не изменятся пространственно-временные конфигу-рации полей и мировых линий частиц. Рассмотрим ин-финитезимально малое преобразование координат

𝑦𝜇 = 𝑥𝜇 + 𝛿𝑥𝜇. (7.24)

При преобразовании координат формально изменитсякак метрический тензор, так и поля с траекториями ча-стиц. Соответственно, нулевое изменение действия мож-но разделить на два вклада:

0 = 𝛿𝑆mat = 𝛿𝑔𝑆mat + 𝛿𝑞𝑆mat. (7.25)

Если теперь положить, что эволюция частиц и полейподчиняется уравнениям движения, так что 𝛿𝑞𝑆mat = 0,то и 𝛿𝑔𝑆mat = 0.

Для определения вариации метрики предположим,что в текущей точке, в которой проводятся вычисле-ния, координаты 𝑥 являются нормальными. Если это нетак, то сделаем преобразование, так, чтобы координа-ты 𝑥 стали нормальными; 𝑦-координаты, вообще говоря,уже не являются нормальными. Поскольку первая про-изводная от метрики теперь равна нулю, то аналогично(12.5) получаем

𝛿𝑔𝜇𝜈 = −𝜕𝜇𝛿𝑥𝜈 − 𝜕𝜈𝛿𝑥𝜇 → −∇𝜇𝛿𝑥𝜈 −∇𝜈𝛿𝑥𝜇 (7.26)

сравни с результатом преобразования в обратную сто-рону (10.14), для которого декартовы координаты в на-шем случае надо воспринимать локально как нормаль-ные координаты Римана. Последним действием в (7.26)мы обобщили ответ на произвольные координаты.

Дадим новое общее определение тензора энергии им-пульса 𝑇𝜇𝜈 , согласно которому

𝛿𝑔𝑆mat = − 1

2𝑐

ˆdΩ𝑇𝜇𝜈𝛿𝑔𝜇𝜈 , 𝑇𝜇𝜈 = 𝑇 𝜈𝜇, (7.27)

где вариация метрики 𝛿𝑔𝜇𝜈 может быть уже произволь-ной. Так определённый тензор энергии-импульса оказы-вается автоматически симметричным. Кроме того, ва-риацию по метрике часто выполнять технически проще.Теперь примем частный вид вариации метрики (7.26)и положим, что для всех полей выполнены уравнениядвижения (т.е. 𝛿𝑞𝑆mat = 0 в (7.25)). Тогда вариация дей-ствия материи по метрике (7.27) окажется равной:

0 = 𝛿𝑔𝑆mat =1

𝑐

ˆdΩ𝑇𝜇𝜈∇𝜇𝛿𝑥𝜈 = −1

𝑐

ˆdΩ 𝛿𝑥𝜈 ∇𝜇𝑇𝜇𝜈 .

(7.28)В (7.28) интегрирование по частям возможно, посколь-ку интеграл берётся от скалярной величины, см. (10.21).Из (7.28) следует, что

𝑇𝜇𝜈;𝜇 = 0. (7.29)

В пространстве с ненулевой кривизной это уравнениене приводит к закону сохранения какой-либо величины,поскольку дивергенцию от симметричного тензора вто-рого ранга невозможно представить в виде полной про-изводной (делённой на корень из метрики), как это про-исходит для дивергенции 4-вектора (10.17), см. (10.19).

Проверим, что определение (7.27) соответствует вве-дённому ранее определению тензора энергии-импульсав переделе плоского пространства. Вариация действиядля частицы (3.1a) есть

𝛿𝑔𝑆m = −𝑚𝑐2

ˆ𝛿𝑔𝜇𝜈 𝑢

𝜇𝑢𝜈 d𝑠,

в результате чего заключаем, что связанный с частица-ми тензор энергии-импульса равен

𝑇 (𝑚)𝜇𝜈 = 𝑐2∑𝛼

𝑚𝑎

ˆd𝑠

𝛿(4)(𝑥− 𝑥𝑎(𝑠)

)√−𝑔

𝑢𝜇𝑎 𝑢𝜈𝑎 , (7.30)

что соответствует выражению (3.16). Вариация дей-ствия (3.35a), отвечающего за взаимодействие электро-магнитного поля и зарядов, равна нулю, поскольку этодействие не зависит от метрики. Наконец, при вариа-ции действия электромагнитного поля надо в том числевспомнить, что dΩ =

√−𝑔d4𝑥,

𝛿√−𝑔 =

1

2√−𝑔

𝑔𝜇𝜈𝛿𝑔𝜇𝜈 , 𝛿𝑔𝜇𝜈 = −𝑔𝜇𝜎𝑔𝜈𝜍𝛿𝑔𝜎𝜍 ,

см. (10.15), в результате чего получаем формальнопрежнее выражение (4.26).

∙ Задача 1: Непосредственной проверкой убедить-ся, что тензор энергии-импульса, найденный через вари-ацию 𝛿𝑞𝑆 действия по каноническим координатам мате-рии при вариации координат 𝛿𝑞 (7.27) вытекающей иззамены координат (7.24), даёт тот же тензор энергии-импульса. Решение см. в Пункте 12.1.3.

Глава 7. Теория гравитации 78

§7.3. Уравнение Эйнштейна

Уравнение Эйнштейна на гравитационное поле мож-но получить путём обобщения закона Ньютона (7.12)на релятивистский случай. В (7.12) слева стоит лапла-сиан от 00-компоненты метрики. Согласно же выраже-нию (3.16) справа стоит 00-компонента тензора энергии-импульса массивных частиц, поскольку движение ча-стиц нерелятивистское. Таким образом,

Δ𝑔00 =8𝜋𝐺

𝑐4𝑇00. (7.12𝑎)

Теперь вспомним, что уравнения движения должныиметь ковариантную запись. Поэтому уравнение, связы-вающее гравитационное поле с распределением и движе-нием материи, должно иметь вид

𝐺𝜇𝜈 =8𝜋𝐺

𝑐4𝑇𝜇𝜈

Это уравнение называется уравнением Эйнштейна.Свойства тензора Эйншнейна 𝐺𝜇𝜈 должны быть сле-дующими:

а) Вслед за тензором энергии-импульса, тензор Эйн-штейна должен быть симметричным, 𝐺𝜇𝜈 = 𝐺𝜈𝜇.

б) Согласно экспериментальным данным, выражен-ным в уравнении (7.12a), уравнения гравитационногополя масштабируемы. Это означает, что если существу-ет система с распределением гравитационного потенциа-ла 𝜑(𝑟), то может существовать и система с распределе-нием потенциала 𝜑(𝛼𝑟), где 𝛼 — произвольный числовоймножитель. Отметим также, что уравнение Эйнштейнадолжно быть применимо и для физически того же пре-дела слабых гравитационных полей, но описываемого вкриволинейной системе координат. В таком случае пер-вые производные метрики также войдут в это уравне-ние. Отсюда видно, что для соблюдения свойства мас-штабируемости тензор Эйнштейна 𝐺𝜇𝜈 должен быть ли-неен по вторым производным метрики (такой вклад мыуже явно получили в нерелятивистском пределе) и квад-ратичен по первым производным метрики. Такому тре-бованию соответствует тензор кривизны Римана (10.65).Поскольку тензор Эйнштейна является тензором вто-рого ранга, то он должен быть линейной комбинациейтензора Риччи и скалярной кривизны:

𝐺𝜇𝜈 = 𝐶1𝑅𝜇𝜈 + 𝐶2𝑅𝑔𝜇𝜈

Заметим, что мы пришли к тому, что уравнения Эйн-штейна нелинейны относительно метрики 𝑔𝜇𝜈 , и потомудля них принцип суперпозиции имеет место только впределе слабых гравитационных полей.

в) Вслед за тензором энергии-импульса, тензор Эйн-штейна должен быть бесследовым, 𝐺𝜇𝜈;𝜇 = 0. Отсюдаможно найти соотношение между константами 𝐶1,2:

0 = 𝐺 𝜇𝜈 ;𝜇 = 𝐶1𝑅

𝜇𝜈 ;𝜇 + 𝐶2𝑅,𝜈 =

(𝐶1

2+ 𝐶2

)𝑅,𝜈 ,

где мы воспользовались равенством (10.78), основанномна дифференциальном тождестве Бианки (10.75). Та-ким образом, тензор и уравнение Эйнштейна суть

𝐺𝜇𝜈 = 𝑅𝜇𝜈 − 1

2𝑔𝜇𝜈𝑅 =

8𝜋𝐺

𝑐4𝑇𝜇𝜈 . (7.31)

Следующем пункте г) наших рассуждений мы пока-жем, что общий коэффициент выбран действительноправильно. Скалярную кривизну можно выразить черезслед тензора энергии-импульса, взяв след от уравненияЭйнштейна. Используя это, уравнение Эйнштейна (7.31)можно переписать во второй форме:

𝑅𝜇𝜈 =8𝜋𝐺

𝑐4

(𝑇𝜇𝜈 − 1

2𝑔𝜇𝜈𝑇𝜎𝜎

), 𝑅 = −8𝜋𝐺

𝑐4𝑇𝜇𝜇.

(7.32)г) Убедимся в правильности выбранного общего ко-

эффициента в уравнении Эйнштейна. В нерелятивист-ском пределе уравнение Эйнштейна в качестве своей00-компоненты должно являться уравнением Ньютона(7.12a). Ньютоновская динамика предполагает гравита-ционное поле слабым и медленно меняющимся во вре-мени. В этом пределе возможно выбрать координаты,в которых отличие метрики от метрики Минковскогомало, ℎ𝜇𝜈 ≪ 1 в (7.11). Такой же малостью обладаетсвязность. Это означает, что в тензоре Римана (10.65)нужно удержать только линейные вклады по связности,так что 00-компонента тензора Риччи

𝑅00 = 𝜕𝜇Γ𝜇00 − 𝜕0Γ

𝜇𝜇0 = 𝜕𝑘Γ

𝑘00 = −𝜕𝑘Γ𝑘 00

= −1

2𝜕𝑘(2𝑔0𝑘,0 − 𝑔00,𝑘

)=

1

2Δ𝑔00.

Мы произвели опускание индекса с помощью невозму-щённой метрики 𝜂𝜇𝜈 и последовательно отбросили всепроизводные по времени, поскольку для нерелятивист-ских скоростей они обладают дополнительной малостьюпо 1/𝑐. Далее, в тензоре энергии импульса преоблада-ющей компонентой является 00-компонента, см. (7.30).Поэтому правая часть уравнения Эйнштейна (7.32) рав-на

4𝜋𝐺

𝑐2𝜌m.

В результате убеждаемся, что 00-компонента (7.32) эк-вивалентна уравнению Ньютона (7.12,7.15).

7.3.1 Нарушение масштабной инвари-антности гравитации

7.3.1.1 Λ-член

Если отказаться от масштабной инвариантности (тоесть пункта б) в списке требований к виду уравне-ния Эйнштейна), то оказывается возможным добавить

79 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

в уравнение ещё один, так называемый Λ-член:

𝑅𝜇𝜈 − 1

2𝑔𝜇𝜈𝑅 =

8𝜋𝐺

𝑐4𝑇𝜇𝜈 + Λ𝑔𝜇𝜈 . (7.33)

Классическая теория гравитации полагает, что Λ-членравен нулю.

7.3.1.2 Тёмная энергия

McGaugh, Lelli и Schombert, 2016

7.3.2 Действие Гильберта

Уравнение Эйнштейна на гравитационное поле можетбыть получено также и из принципа наименьшего дей-ствия. Определим максимально простой вид действия,который бы удовлетворял условиям теории.

Во-первых, действие является глобальной скаляр-ной величиной. Во-вторых, согласно общему методу по-строения действия, оно должно быть квадратично попервым производным от канонических переменных, ко-торыми в нашем случае являются компоненты метри-ки 𝑔𝜇𝜈 . Локальной скалярной величиной, удовлетворя-ющей второму условию, является скалярная кривизна𝑅; то, что она линейно зависит также и от вторых про-изводных метрики, как будет показано ниже, по сути ненарушает требования. Глобальной скалярной величинойтогда является

𝑆𝑔 = − 𝑐3

16𝜋𝐺

ˆdΩ𝑅 = − 𝑐3

16𝜋𝐺

ˆd4𝑥√−𝑔 𝑔𝜇𝜈𝑅𝜇𝜈 ,

(7.34)где 4-объём dΩ определён в (7.17). Действие (7.34) на-зывается действием Гильберта. Общий коэффициентподобран так, чтобы при вариации действия (7.34) пометрическому тензору получалось уравнение Эйнштей-на (7.31) с правильным коэффициентом. Отметим, чтовариация остальной части действия, описывающей ма-терию, нам уже известна — это тензор энергии-импульса(7.27), который является правой частью уравнения Эйн-штейна (7.31).

Проверим, что действие Гильберта можно перепи-сать в виде, когда оно действительно зависит от пер-вых производных канонических координат не более чемво второй степени и не зависит от вторых производныхканонических координат. Тензор Риччи (10.76) линеенпо вторым производным метрики с коэффициентами,зависящими только от метрического тензора (а не отего производных). Это означает, что возможно произве-сти интегрирование по частям во вкладе, происходящемиз слагаемых с производными символов Кристоффеляв выражении для тензора Риччи (10.76). В результате

действие Гильберта обретает требуемое свойство явно:

𝑆𝑔 =

ˆd4𝑥ℒ𝑔, (7.35)

ℒ𝑔(𝑔𝜇𝜈 , 𝑔𝜇𝜈,𝜆) = ℒ𝑔Γ(𝑔𝜇𝜈 , 𝑔𝜇𝜈,𝜆,Γ𝜆𝜇𝜈) =

=𝑐3

16𝜋𝐺

(Γ𝜆𝜇𝜈 − 𝛿𝜆𝜈Γ𝜎𝜇𝜎

) (√−𝑔𝑔𝜇𝜈

),𝜆+Δℒ𝑔.

Здесь Δℒ𝑔 – плотность лагранжиана, зависящая толькоот канонических переменных и связности, но не непо-средственно от производных метрики:

Δℒ𝑔 =𝑐3

16𝜋𝐺𝑔𝜇𝜈(Γ𝜎𝜎𝜏Γ

𝜏𝜇𝜈 − Γ𝜎𝜈𝜏Γ

𝜏𝜇𝜎

), (7.36)

происходящая из первой пары слагаемых в (10.76). Мытакже представили лагранжиан в виде ℒ𝑔Γ, в которомразделена зависимость от первых производных на непо-средственную зависимость, и зависимость через связно-сти Γ𝜎𝜇𝜈 . Отметим также, что при интегрировании почастям возникает граничный вклад, который как все-гда не влияет на уравнения движения.

7.3.2.1 Вариация действия Гильберта

Вычисление вариации действия Гильберта по метриче-скому тензору может быть значительно упрощено, ес-ли разделить результат варьирования на варьированиепо непосредственно метрическому тензору и варьирова-ние по связности Γ𝜇𝜈𝜎, которая варьируется вследствиевариации метрики. Из второго представления действияГильберта (7.34) следует, что вариация по связности ка-сается только тензора Риччи 𝑅𝜇𝜈 , см. (10.76). Вариацияпо непосредственно метрике касается только множите-ля√−𝑔𝑔𝜇𝜈 .

Покажем, что свёртку вариации тензора Риччи сметрикой можно представить в виде 4-дивергенции отнекоторого вектора. Во-первых, непосредственной про-веркой можно убедиться, что вариация связности 𝛿Γ𝜆𝜇𝜈является тензором, см. Пункт 10.3.3.1. В этом же пунктевычислена вариация тензора Риччи (10.81)

𝛿𝑅𝜇𝜈 =(𝛿Γ𝜆𝜇𝜈

);𝜆−(𝛿Γ𝜆𝜇𝜆

);𝜈,

а, значит, вариация действия по связности

ΔΓ𝑆𝑔 = − 𝑐3

16𝜋𝐺

ˆd4𝑥√−𝑔(𝑔𝜇𝜈𝛿Γ𝜆𝜇𝜈 − 𝑔𝜇𝜆𝛿Γ𝜈𝜇𝜈

);𝜆.

Круглая скобка представляет из себя 4-дивергенциюот некоторого вектора. Поскольку дивергенция векторапредставима в виде (10.17), то выражение под знакоминтеграла приводится в виду полной производной. Та-ким образом, вариация действия по связности не вноситвклад в уравнение движения гравитационного поля. От-метим, что эта самая производная уже как раз переки-нута в выражении (7.35), поэтому полученный резуль-тат можно переписать в виде

𝜕ℒ𝑔Γ𝜕Γ𝜇𝜈𝜆

= 0. (7.37)

Глава 7. Теория гравитации 80

Это равенство можно было бы получить и непосред-ственным варьированием ℒ𝑔Γ (7.35) по связности (послепроведения варьирования надо ещё выразить производ-ные метрики через связность), но вычисления были быгораздо более громоздкими.

Перейдём к варьированию по метрике. В силу того,что

𝛿(√−𝑔𝑔𝜇𝜈) =

√−𝑔(1

2𝑔𝜇𝜈𝑔𝜎𝜍 − 𝑔𝜇𝜎𝑔𝜈𝜍

)𝛿𝑔𝜎𝜍 ,

полная вариация гравитационного действия

𝛿𝑆𝑔 =

ˆd4𝑥

((𝜕ℒ𝑔Γ𝜕𝑔𝜇𝜈, 𝜎

), 𝜎

−(𝜕ℒ𝑔Γ𝜕𝑔𝜇𝜈

))𝛿𝑔𝜇𝜈 =

=𝑐3

16𝜋𝐺

ˆdΩ

(𝑅𝜇𝜈 − 1

2𝑔𝜇𝜈𝑅

)𝛿𝑔𝜇𝜈 . (7.38)

Во втором равенстве в круглой скобке стоит левая частьуравнения Эйнштейна, см. (7.31). Вариация полногодействия – сумм действий для гравитационного поляи материи – должна быть равна нулю. Вариация пометрике от действия для материи даёт тензор энергии-импульса, см. (7.27). Таким образом, окончательно при-ходим к уравнению Эйнштейна (7.31).

7.3.3 Закон сохранения энергии-импульса

Предположим, что рассматриваемая система, включаявсе виды полей и частиц, замкнутая. Найдём тензорэнергии-импульса и сохраняющиеся интегральные вели-чины согласно схеме, изложенной в Пункте 1.3.2.

Сначала выделим в полном лагранжиане систе-мы часть, описывающую гравитационное поле. Тен-зор энергии-импульса в общей схеме строится соглас-но (1.32). В случае гравитационного поля он называ-ется псевдо-тензором энергии-импульса, поскольку он,также как и связность, не обладает свойством тензо-ра при нелинейных преобразованиях координат (т.е.здесь термин ‘псевдо-тензор’ не имеет общего с псевдо-тензорами, см. Пункт 9.1.3, построенными через анти-симметричный псевдо-тензор (9.20)).

Для упрощения вычисления псевдо-тензора энергии-импульса гравитационного поля в качестве 10 новых пе-ременных Φ𝑎 в (1.35) выберем величины

√−𝑔𝑔𝜇𝜈 . Ре-

зультат обозначим как√−𝑔𝑡𝜈𝜇:

√−𝑔𝑡𝜈𝜇 =

𝜕ℒ𝑔Γ𝜕Φ𝑎, 𝜈

Φ𝑎, 𝜇 − 𝛿𝜈𝜇ℒ𝑔 = (7.39)

=𝑐4

16𝜋𝐺

(Γ𝜈𝜆𝜎 − 𝛿𝜈𝜎Γ

𝜌𝜆𝜌

)(√−𝑔𝑔𝜆𝜎), 𝜇 − 𝛿𝜈𝜇ℒ𝑔.

Из этого выражения следует, что 𝑡𝜈𝜇 действительно неявляется тензором, поскольку для любой точки связ-ность может быть обращена в ноль, а вместе с ней ипсевдо-тензор 𝑡𝜈𝜇. Определённый так тензор энергии-импульса не является симметричным и был впервыевведён А. Эйнштейном Einstein, 1916.

7.3.3.1 Законы сохранения

Теперь вычислим тензор энергии-импульса — обозначимего 𝜃𝜈𝜇 — для совокупности всех полей и частиц.

Можно было бы непосредственно вычислить потоксохраняющихся величин. Однако поскольку уравнениядвижения в виде уравнения Эйнштейна и движения ма-терии в заданном гравитационном поле уже получены,легче воспользоваться уже имеющимися результатами.Для этого вычислим производную

(√−𝑔𝑡𝜈𝜇), 𝜈 =

[(𝜕ℒ𝑔Γ𝜕𝑔𝜆𝜎, 𝜈

), 𝜈

−(𝜕ℒ𝑔Γ𝜕𝑔𝜆𝜎

)]𝑔𝜆𝜎, 𝜇. (7.40)

(если бы (√−𝑔𝑡𝜈𝜇), 𝜈 совпадал с 𝜃𝜈𝜇, то согласно (1.32) мы

должны были бы получить ноль). Здесь выражение вквадратной скобке есть вариация действия 𝑆𝑔 относи-тельно вариации тензора 𝑔𝜆𝜎, умноженная на (−𝑐), см.(7.38). Поэтому используя уравнение Эйнштейна (7.31)приходим к равенству

(√−𝑔𝑡𝜈𝜇), 𝜈 +

1

2

√−𝑔𝑇𝜆𝜎𝑔𝜆𝜎, 𝜇 = 0. (7.41)

Теперь воспользуемся выражением для дивергенциисимметричного тензора второго ранга (10.19) и ра-венством нулю дивергенции тензора энергии-импульса(7.29). В результате получим

𝜕𝜈𝜃𝜈𝜇 =

(√−𝑔(𝑡𝜈𝜇 + 𝑇 𝜈𝜇 )

), 𝜈

= 0. (7.42)

Таким образом, сохраняются величины

𝑃𝜇 =

ˆd𝑆𝜈√−𝑔(𝑡𝜈𝜇 + 𝑇 𝜈𝜇

). (7.43)

Используя уравнение Эйнштейна, можно показать,что

𝜃𝜈𝜇 = ℎ𝜈𝜆𝜇,𝜆, (7.44)

ℎ𝜈𝜆𝜇 = −ℎ𝜆𝜈𝜇 = − 1√−𝑔

𝑔𝜇𝜎

(− 𝑔(𝑔𝜈𝜎𝑔𝜆𝜍 − 𝑔𝜆𝜎𝑔𝜈𝜍

)),𝜍

Поэтому сохраняющийся 4-импульс равен

𝑃𝜇 =

ˆd𝑆𝜈 ℎ

𝜈𝜆𝜇,𝜆 (7.45)

Radinschi и др., 2015

81 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

§7.4. Слабое гравитационное поле

Гравитационное поле может считаться слабым всмысле (7.11) для большинства небесных тел за исклю-чением чёрных дыр.

7.4.1 Линейное приближение для грави-тационного поля

Хриплович, 2009, § 4.2Предположим, что гравитационное поле слабо, так

что отличие метрики от метрики Минковского мало,ℎ𝜇𝜈 ≪ 1 в (7.11). Из (10.67))следует, что линеаризован-ный по ℎ𝜇𝜈 тензор Риччи имеет вид

𝑅𝜇𝜈 =1

2

(𝜕𝜈𝜕𝜌ℎ

𝜌𝜇 + 𝜕𝜇𝜕𝜌ℎ

𝜌𝜈 − 𝜕𝜇𝜕𝜈ℎ 𝜌

𝜌

)− 1

22ℎ𝜇𝜈 ,

(7.46)где поднятие и опускание индекса производится по-средством невозмущённой метрики 𝜂𝜇𝜈 . Однако оста-ётся ещё слишком большой произвол в выборе систе-мы координат. Галилеевской механике наиболее близоквыбор гармонических координат, которые определеныв Пункте 10.2.6.3. Для таких координат вклад в круг-лых скобках (7.46) обращается в нуль. Действительно,условие гармоничности координат (10.56) в линеаризо-ванном виде есть

𝜕𝜇ℎ𝜇𝜈 −

1

2𝜕𝜈ℎ

𝜇𝜇 = 0. (7.47)

В итоге получаем, что в гармонических координатахуравнение Эйнштейна во второй форме для слабого гра-витационного поля записывается в виде волнового урав-нения с правой частью,

2ℎ𝜇𝜈 = −16𝜋𝐺

𝑐4

(𝑇𝜇𝜈 −

1

2𝑇 𝜌𝜌 𝜂𝜇𝜈

). (7.48)

В первой форме записи (7.31) уравнение Эйнштейна дляэтого же предела принимает вид:

2ℎ𝜇𝜈 = −16𝜋𝐺

𝑐4𝑇𝜇𝜈 , ℎ𝜇𝜈 = ℎ𝜇𝜈 −

1

2𝜂𝜇𝜈ℎ

𝜎

𝜎. (7.49)

ℎ𝜇𝜈 = ℎ𝜇𝜈 −1

2𝜂𝜇𝜈ℎ

𝜎𝜎, 𝜕𝜇ℎ

𝜇

𝜈 = 0.

Мы выписали в взаимную связь между ℎ𝜇𝜈 и ℎ𝜇𝜈 , а так-же условие гармоничности в терминах ℎ𝜇𝜈 . Решениемуравнения (7.49) является

ℎ𝜇𝜈(𝑡, 𝑟) = −4𝐺

𝑐4

ˆ𝑇𝜇𝜈(𝑡𝑟, 𝑟

′) d3𝑟′

|𝑟 − 𝑟′|, 𝑡𝑟 = 𝑡− |𝑟 − 𝑟′|

𝑐,

(7.50)сравни с (4.20).

Условие гармоничности (7.47) координат не означа-ет однозначный их выбор. Калибровочным преобразо-ванием, не нарушающим условие гармоничности (7.47),

является

ℎ𝜇𝜈 → ℎ𝜇𝜈 + 𝜕𝜇𝜉𝜈 + 𝜕𝜈𝜉𝜇, 2𝜉𝜇 = 0, (7.51)

ℎ𝜇𝜈 → ℎ𝜇𝜈 + 𝜕𝜇𝜉𝜈 + 𝜕𝜈𝜉𝜇 −1

2𝜂𝜇𝜈𝜕𝜎𝜉

𝜎.

Это калибровочное преобразование параметризуется 4независимыми скалярными гармоническими функция-ми 𝜉𝜇. Вид калибровочного преобразования (7.51), ненарушающий условие гармоничности координат, ана-логичен виду калибровочного преобразования для 4-потенциала (4.3) электромагнитного поля, не наруша-ющему условие калибровки Лоренца.

Плотность лагранжиана гравитационного поля(7.35) в квадратичном приближении по ℎ𝜇𝜈 в гармо-нических координатах

ℒ𝑔 =𝑐4

64𝜋𝐺

(ℎ𝜇𝜈,𝜆ℎ𝜇𝜈,𝜆+ℎ

𝜎,𝜈𝜎 ℎ𝜎𝜎,𝜈−2ℎ𝜇𝜍,𝜎ℎ𝜍𝜎,𝜇

). (7.52)

Пседно-тензор энергии-импульса в Эйнштейновской за-писи (7.39) в гармонических координатах в квадратич-ном по возмущению метрики приближении имеет вид

𝑡𝜈𝜇 =𝑐4

64𝜋𝐺

(ℎ ,𝜈𝜍𝜎 ℎ𝜍𝜎,𝜇 −

1

2ℎ 𝜎,𝜈𝜎 ℎ𝜍𝜍,𝜇 + (7.53)

+ ℎ𝜎𝜎,𝜍ℎ𝜍𝜈,𝜇 − 2ℎ𝜈𝜍,𝜎ℎ

𝜍𝜎,𝜇

)− 𝛿𝜈𝜇ℒ𝑔.

7.4.2 Стационарное гравитационное по-ле

Для объектов, создающих слабое гравитационное по-ле, характерно движение с нерелятивистскими ско-ростями. В этом случае 𝑇 00-компонента тензораэнергии-импульса имеет нулевой порядок по 1/𝑐, 𝑇 0𝑖-компоненты имеют малость 1/𝑐, а 𝑇 𝑖𝑘-компоненты малыкак 1/𝑐2. Мы выпишем поэтому только первые 4 компо-ненты:

𝑇 00 = 𝑐2𝜌m, 𝑇 0𝑖 = 𝑐𝜌m𝑣𝑖 = 𝑐𝑗𝑖m, (7.54)

где 𝑣𝑖 — локальная скорость материи как целого, см.(3.16). Пространственные компоненты тензора энергии-импульса 𝑇 𝑘𝑖 самые маленькие и играют роль при излу-чении гравитационных волн, здесь пока мы ими не инте-ресуемся. Мы также предполагаем, что электромагнит-ное поле мало, так что оно не вносит сравнимый вкладв тензор энергии-импульса (7.54).

Выберем соответствующую этой ситуации системукоординат, в которой метрика 𝑔𝜇𝜈 не зависит от времен-ной координаты 𝑥0, а вдалеке от гравитирующих телметрика стремится к метрике Минковского 𝜂𝜇𝜈 .

Глава 7. Теория гравитации 82

7.4.2.1 Статическое гравитационное поле

Рассмотрим предел, когда расположение гравитирую-щих тел можно считать постоянным, и более того, ко-гда у этих тел отсутствует вращение. Такое гравитаци-онное поле будем называть статическим гравитаци-онным полем. Оно производится независящим от вре-мени распределением плотности массы в пространстве,𝜌m = const, при отсутствии потока массы, 𝑗m = 0.

Отличными от нуля матричными элементами мет-рики являются только диагональные. В пределе слабыхгравитационных полей

Δℎ𝜇𝜇 =8𝜋𝐺𝜌m𝑐2

, ℎ𝜇𝜇(𝑟) = −2𝐺

𝑐2

ˆ𝜌m(𝑟

′) d𝑟′

|𝑟 − 𝑟′|,

(7.55)где по повторяющемуся индексу 𝜇 суммирование непредполагается. Недиагональные матричные элементыℎ𝜇𝜈 , 𝜇 = 𝜈, равны нулю.

Если вернуться к потенциалу Ньютона 𝜑 (7.12), тометрику можно записать в виде

d𝑠2 =

(1 +

2𝜑

𝑐2

)(𝑐d𝑡)2 −

(1− 2𝜑

𝑐2

)d𝑟2. (7.56)

7.4.2.2 Стационарное гравитационное поле

Стационарным гравитационным полем назовём поле,создаваемое не зависящим от времени распределением

в пространстве плотности массы и её потока. В этомслучае у тензора энергии-импульса появляются недиа-гональные временно-пространственные компоненты, см.(7.54). Поскольку движением материи предполагаетсястационарным, то поток массы бездивергентен,

div 𝑗m = 0.

В соответствии с (7.48), помимо диагональных элемен-тов у метрики появляются недиагональные элементы,

Δ𝑔0𝑖 =16𝜋𝐺

𝑐4𝑇0𝑖, 𝑔0𝑖(𝑟) =

4𝐺

𝑐3

ˆ𝑗𝑖m(𝑟

′)

|𝑟 − 𝑟′|d3𝑟′. (7.57)

Это выражение математически совпадает с выражени-ем для вектор-потенциала в калибровке Лоренца пристатическом распределении электрических токов (6.29).Вдалеке от системы, создающей гравитационное поле,это выражение можно представить в виде

𝑔0𝑖 =2𝐺

𝑐3𝑛𝑘L𝑘𝑖𝑟2

⇔ 𝑔 =2𝐺

𝑐3[𝑛× L]

𝑟2, (7.58)

где угловой момент движения L определён в (4.35), каквсегда единичный вектор в направлении наблюдения отисточника 𝑛 = 𝑟/𝑟, а компоненты вектора 𝑔 определеныв общем виде в (7.8), в текущем пределе слабого поля𝑔𝑖 = 𝑔0𝑖 = −𝑔0𝑖.

§7.5. Центрально-симметричное гравитационное поле

Пусть тело, создающее гравитационное поле, имеетсферически симметричное распределение массы, и мас-са внутри него может двигаться только от или к егоцентру. В частности, его угловой момент равен нулю.

Произведём выбор подходящего вида метрики дляописания гравитационного поля. Эта метрика должнапереходить в пределе слабого гравитационного поля вметрику сферической системы координат, 𝑥0, 𝑟, 𝜗, 𝜙.В пределе сильного гравитационного поля метрика по-прежнему не должна приобрести дополнительной зави-симости от углов, так что общий её вид может бытьзаписан так:

d𝑠2 = 𝑒2𝜈(d𝑥0)2 − 𝑟2(d𝜗2 + sin2𝜗d𝜙2

)− 𝑒2𝜆d𝑟2 +

+ XXXXXX𝑎(𝑟, 𝑡)d𝑟d𝑥0 . (7.59)

Сферическая симметрия не фиксирует полностью ра-диальную координату 𝑟 и время 𝑥0, поскольку выпи-санная метрика сохраняет свой вид при преобразовании𝑟 = 𝑟(𝑥0, 𝑡), 𝑥′0 = 𝑥′0(𝑥0, 𝑟). Благодаря этому мы мо-жем добиться заменой координаты 𝑟 сначала того, что-бы длина окружности с постоянным 𝑟 была равна 2𝜋𝑟,чему соответствует метрика (7.59). Следующим шагоммы можем провести такую замену времени, которая об-

ратит в нуль недиагональный элемент (пропорциональ-ный 𝑎) в квадратичной форме (7.59). Параметры 𝜈 и𝜆 в общем случае являются функциями времени и ра-диальной координаты; вдалеке от тела метрика должнастремиться к плоской, так что 𝜈, 𝜆→ 0 при 𝑟 →∞.

Выпишем ненулевые компоненты уравнения Эйн-штейна. Для этого сначала нам требуется найти коэф-фициенты связности, среди которых ненулевыми явля-ются

Γ0 00 = 𝑒2𝜈 , Γ𝜗 𝑟𝜗 = −Γ𝑟 𝜗𝜗 = 𝑟,

Γ0 𝑟0 = −Γ𝑟 00 = 𝜈′𝑒2𝜈 , Γ𝑟 0𝑟 = −Γ0 𝑟𝑟 = 𝑒2𝜆,

Γ𝜙 𝑟𝜙 = −Γ𝑟 𝜙𝜙 = 𝑟 sin2 𝜗, Γ𝑟 𝑟𝑟 = 𝜆′𝑒2𝜆,

Γ𝜙𝜗𝜙 = −Γ𝜗𝜙𝜙 = 𝑟2 sin𝜗 cos𝜗, (7.60)

где вычисления проводились на основе (10.13). Точкаозначает производную по 0-координате, штрих — произ-водную по 𝑟. Затем прямолинейные вычисления с под-становкой в (10.65) позволяют получить ненулевые ком-поненты тензора Римана. В результате ненулевые ком-

83 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

поненты уравнения Эйнштейна (7.31) суть

8𝜋𝐺

𝑐4𝑇 00 =

1

𝑟2𝜕𝑟(𝑟 − 𝑟𝑒−2𝜆

), (7.61)

8𝜋𝐺

𝑐4𝑇 0𝑟 = −𝑒−2𝜆 2

𝑟. (7.62)

8𝜋𝐺

𝑐4𝑇 𝑟𝑟 = −𝑒−2𝜆

(2𝜈′

𝑟+

1

𝑟2

)+

1

𝑟2, (7.63)

8𝜋𝐺

𝑐4𝑇𝜗𝜗 =

8𝜋𝐺

𝑐4𝑇𝜙𝜙 = 𝑒−2𝜈

(𝜆+ 2 −

)−

−𝑒−2𝜆

(𝜈′′ + 𝜈′2 +

𝜈′ − 𝜆′

𝑟− 𝜈′𝜆′

), (7.64)

Отсутствие всех недиагональных 𝜗- и 𝜙-компонент со-ответствует исключительно радиальному движению ма-терии.

7.5.1 Решение уравнений Эйнштейнавне тела. Метрика Шварцшильда.

Пусть рассматриваемое тело имеет ограниченные раз-меры. Будем исследовать гравитационное поле вне него.Гравитационное поле в этом случае является статиче-ским, вне зависимости от того, испытывает ли телосферически-симметричное движение материи или нет.Физически это связано с тем, что низший порядок излу-чения гравитационных волн — квадрупольный. В слу-чае же сферически-симметричной задачи квадруполь-ный момент тождественно равен нулю.

Для того, чтобы показать статичность поля и най-ти явно метрику, приступим к вычислениям, положивлевые части (7.61-7.64) равными нулю. Из уравненияна 0𝑟-компоненту (7.62) получаем, что 𝜆 = 𝜆(𝑟). Вы-читая друг из друга уравнения на 00- и 𝑟𝑟-компоненты(7.61,7.63), получаем, что 𝜆′ + 𝜈′ = 0, т.е.

𝜆+ 𝜈 = 2 ln 𝑓(𝑡)→ 0 ⇒ 𝜈 = 𝜈(𝑟) = −𝜆(𝑟).

Мы можем положить правую часть равной нулю, по-скольку если это не так, то преобразованием временнойкоординаты 𝑡′ = 𝑓(𝑡) мы снова добиваемся этого ра-венства (при таком преобразовании установленный вид(7.59) метрики не меняется). Таким образом, мы дей-ствительно получили, что наша метрика не зависит отвремени, т.е. гравитационное поле статическое.

Интегрирование (7.61) даёт

𝑒−2𝜆 ≡ 1

𝑔𝑟𝑟= 𝑒2𝜈 ≡ 𝑔00 = 1− 𝑟𝑔

𝑟. (7.65)

Константу интегрирования мы отождествили с грави-тационным радиусом тела 𝑟𝑔 (7.16), сравнив поведениеметричесrого коэффициента 𝑔00 на далёких расстояниях

с полученным в пределе слабого гравитационного поля(7.16). В итоге получаем, что

d𝑠2 =(1− 𝑟𝑔

𝑟

)(d𝑥0)2 − (7.66)

−(1− 𝑟𝑔

𝑟

)−1

d𝑟2 − 𝑟2(d𝜗2 + sin2 𝜗 d𝜙2

).

Полученную метрику называют метрикой Шварцшиль-да.

Вдалеке от тела, при 𝑟 ≫ 𝑟𝑔, метрика Шварцшиль-да близка к плоской. Однако пространственная её частьне соответствует гармонической калибровке для слабогополя (7.55), поскольку 𝑟2𝑔𝑟𝑟 = 𝑔𝜗𝜗. Равенства элементов𝑔𝑖𝑖 можно добиться с помощью нелинейного растяжениярадиальной координаты 𝑟 → 𝑟′,

𝑟 = 𝑟′(1 +

𝑟𝑔4𝑟′

)2, 𝑟′

𝑟=𝑟𝑔

=𝑟𝑔4, (7.67)

в результате которого метрика (7.66) приводится к виду

d𝑠2 =

(1− 𝑟𝑔/4𝑟′

1 + 𝑟𝑔/4𝑟′

)2

(𝑐d𝑡)2 − (7.68)

−(1 +

𝑟𝑔4𝑟′

)4 (d𝑟′2 + 𝑟′2(d𝜗2 + sin2𝜗d𝜙2)

)Такая метрика может быть названа конформно-евклидовой, поскольку пространственная часть метри-ки 𝑔𝑖𝑘 пропорциональна метрике евклидового простран-ства. В пределе 𝑟 ≫ 𝑟𝑔 метрика (7.68) переходит в (7.56)с гравитационным потенциалом 𝜑 = −2𝑐2𝑟𝑔/𝑟. В Вайн-берг, 1975, Гл.8§2 можно найти, как построить гармони-ческие координаты.

В Хриплович, 2009, § 6.2 приведён другой метод по-лучения метрики Шваршильда, основанный на непо-средственной вариации гравитационного действия в пу-стоте для сферически симметричной задачи.

7.5.1.1 Движение частицы в центрально-симметричном поле

Метрика для центрально-симметричного поля не зави-сит от времени и угловых координат. Поэтому при дви-жении частицы сохраняются компоненты её импульса:энергия 𝑐𝑝0 ≡ 𝐸, а также момент импульса 𝑝𝜙 ≡ L, есливыбрать систему координат так, чтобы движение части-цы происходило в плоскости 𝜃 = 𝜋/2, см. (7.4).

Рассмотрим для простоты падение частицы массой𝑚 вдоль радиуса, когда её момент импульса относитель-но центра притяжения равен нулю, L = 0: это позволитнам выявить основные аспекты движения тела вблизирадиуса Шварцшильда, при 𝑟 → 𝑟𝑔 + 0. Свяжем меж-ду собой приращение мирового времени d𝑡, собственноговремени d𝜏 и радиальной координаты d𝑟, воспользовав-шись сохранением энергии 𝐸 (см. уравнение движения

Глава 7. Теория гравитации 84

в форме (7.4)) и выражением для метрики (7.66):

𝑐2 d𝜏2 =(1− 𝑟𝑔

𝑟

)𝑐2 d𝑡2 −

(1− 𝑟𝑔

𝑟

)−1

d𝑟2,

𝐸

𝑐= 𝑚𝑐𝑔00

d𝑥0

d𝑠= 𝑚𝑐

d𝑡

d𝜏

(1− 𝑟𝑔

𝑟

). (7.69)

Из второго равенства следует, что в первом равенствепри 𝑟 → 𝑟𝑔 левая часть оказывается малой по срав-нению с первым членом в правой части, поэтому егоможно опустить. Это означает, что частицы при при-ближении к радиусу Шварцшильда становится ультрарелятивистской. Итак, в главном приближении

𝑐d𝑡 =d𝑟

𝑟/𝑟𝑔 − 1⇒ 𝑟 − 𝑟𝑔 ∼ 𝑟𝑔 exp

(− 𝑐𝑡𝑟𝑔

).

(7.70)Выходит, падение на сферу Шварцшильда происходитбесконечно долго по часам внешнего наблюдателя. Почасам же самого падающего тела падение происходит законечное время, поскольку вблизи сферы Шварцшиль-да приращение собственного времени

d𝜏 ≈ 𝑚𝑐2

𝐸

d𝑟

𝑐(7.71)

не содержит сингулярностей.

Исследование влияния релятивистских поправокна параметры финитного движения в центрально-симметричном гравитационном поле см. в § 12.2.1.

7.5.1.2 Излучение, принятое наблюдателем отпадающей частицы

(7.118)

7.5.1.3 Гравитационный дефект массы

Пусть гравитирующее тело имеет конечный радиус 𝑎.Вне тела при 𝑟 ≥ 𝑎 метрика задаётся выражением (7.66).Интегрирование же 00-компоненты уравнения Эйнш-нейна (7.61) по внутренности тела даёт

8𝜋𝐺

𝑐4

𝑎ˆ

0

d𝑟 𝑟2 𝑇 00 = 𝑟

(1−𝑒−2𝜆

)𝑎0= 𝑟𝑔 =

2𝐺𝑀eff

𝑐2. (7.72)

Мы определили эффективную массу 𝑀eff гравитирую-щего тела так, чтобы она давала ту же асимптотикугравитационного потенциала на далёких расстояниях(7.16), которую мы получали в теории Ньютона. Имен-но эффективная масса 𝑀eff является параметром, опре-деляющим силу гравитационного взаимодействия рас-сматриваемого тела с другими телами.

Так определённая эффективная масса 𝑀eff , одна-ко, оказывается не равной сумме масс составляющих еёчастиц. Предположим для примера самый простой ва-риант: тензор энергии-импульса материи определяется

покоящимися барионами, число которых сохраняется.Массу каждого бариаона, когда он находится отдель-но на далёком расстоянии от тел, примем равной 𝑚. Всоответствии с (7.19), барионный заряд (их число) равен

𝑁bar =

ˆd3𝑥√−𝑔 𝜌bar,

где пространственная концентрация барионов в согла-сии с (7.18)

𝜌bar =∑𝑎

ˆd𝑠

𝛿(4)(𝑥− 𝑥𝑎(𝑠)

)√−𝑔

𝑢0𝑎(𝑠).

Поскольку барионы покоятся, то у всех них 𝑢0𝑎 =1/√𝑔00, а d𝑠 =

√𝑔00 𝑐d𝑡. После интегрирования по d𝑠

приходим к

𝑁bar =

ˆd3𝑥

∑𝑎

𝛿(3)(− 𝑎

)= 4𝜋

ˆő𝑚(𝑟) 𝑟2d𝑟, (7.73)

где должно пониматься как просто столбец из трёхпространственных координат, который однако не явля-ется вектором (в нашем случае = (𝑟, 𝜗, 𝜙)). Величинаő должна пониматься как концентрация частиц, сравнис (2.40).

Теперь распишем выражение для эффективной мас-сы (7.72) через вклады отдельных барионов, восполь-зовавшись (7.30) и затем упростив выражение соглас-но (7.10):

𝑇 00 = 𝑚𝑐2

∑𝑎

𝛿(3)(− 𝑎

)√−𝑔/𝑔00 =

√𝛾,

𝛾 = 𝑔𝑟𝑟 𝑔𝜗𝜗 𝑔𝜙𝜙 = 𝑒2𝜆𝑟4 sin2 𝜗.

В результате эффективная масса (7.72)

𝑀eff

𝑚𝑐2=

ˆd3𝑥

(1√𝑔𝑟𝑟

= 𝑒−𝜆)∑

𝑎

𝛿(3)(− 𝑎(𝑡)

). (7.74)

Как и должно быть, матричные элементы метрики 𝑔𝜗𝜗 и𝑔𝜙𝜙 сократились, поскольку они соответствуют плоскойметрике; остался только нетривиальный элемент 𝑔𝑟𝑟.Иными словами, сравнивая (7.73) с (7.74) получаем, чтоплотность энергии покоя меньше концентрации бари-онов,

𝑇 00 ≡ =

𝑚𝑐2𝜌bar√𝑔𝑟𝑟

= 𝑒−𝜆𝑚𝑐2𝜌bar < 𝑚𝑐2𝜌bar,

или, в интегральном виде

𝑚𝑐2𝑁bar > 𝑀eff ,

т.е. эффективная масса тела меньше арифметическойсуммы масс составляющей её частей. Об этом фактепринято говорит как о гравитационном дефекте мас-сы.

85 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

7.5.2 Координаты КрускалаКомпоненты тензора кривизны остаются конечными насфере Шварцшильда

𝑅0101 = 𝑅23

23 = −𝑟𝑔𝑟3, 𝑅02

02 = 𝑅1212 =

𝑟𝑔2𝑟3

, (7.75)

Это не удобно делать в исходных координатах (7.66),поскольку метрика сингулярна на радиусе Шварцшиль-да. От этого недостатка избалены координаты Крускала(7.77).

𝑇

𝑋

Рис. 7.2 Координаты Крускала. .

Координаты Крускала (Kruskal–Szekeres coordinates)определяются согласно уравнениям(

𝑟

𝑟𝑔− 1

)exp(𝑟/𝑟𝑔) = 𝑋2 − 𝑇 2, (7.76)

𝑥0

𝑟𝑔=

1

2ln

((𝑇 +𝑋)2

(𝑋 − 𝑇 )2

).

На плоскости 𝑋-𝑇 поверхности постоянного мировоговремени 𝑥0 представляют из себя прямые линии, про-ходящие через начало координат, см. Рис 7.2. Поверх-ности постоянного радиуса 𝑟 представляют из себя ги-перболы. Поскольку радиальная координата 𝑟 > 0, тоиз (7.76) следует, что 𝑇 2 − 𝑋2 ≤ 1, причём равенствосоответствует началу координат 𝑟 = 0. В координатахКрускала приращение интервала равно

d𝑠2 = 𝑔𝑇𝑇 (d𝑇2 − d𝑋2)− 𝑟2(d𝜗2 + sin2𝜗 d𝜙2), (7.77)

𝑔𝑇𝑇 =4𝑟3𝑔𝑟

exp

(− 𝑟

𝑟𝑔

)Течению времени (увеличению координаты 𝑥0) со-

ответствует увеличение координаты 𝑇 — это так в об-

ласти 𝑋 > 0, |𝑇 | < 𝑋. Эту область следует отожде-ствить с пространством 𝑟 > 𝑟𝑔 вне чёрной дыры. Рас-смотрим строго радиальное движение фотона. Из выра-жения для метрики следует, что мировые линии фото-нов, двигающихся по радиусу, суть в координатах Кру-скала прямые

d𝑋 = ±d𝑇, 𝜗, 𝜙 = const. (7.78)

Фотон движется от чёрной дыры, если выбран знакплюс, и, наоборот, в чёрную дыру, если выбран знак ми-нус. Продолжая линию движения фотона, мы сначалапересекаем радиус Шварцшильда находящийся на ли-нии 𝑇 = 𝑋, а после попадаем в чёрную дыру, которойсоответствует область 𝑇 > 0, |𝑋| < 𝑇 .

7.5.2.1 Движение массивного тела

Вергелес, 2017, § 4.2.2Наша цель сейчас — найти и проанализировать дви-

жение свободно падающего тела. Поэтому мы будем ис-кать уравнение на мировую линию частицы в терминах“радиальной скорости” d𝑋/d𝑇 .

Будем пользоваться вариационным принципом вформе (12.4). Лагранжиан запишем как в исходных ко-ординатах (7.66), так и в координатах Крускала (7.77):

𝐿 = − 1

28

(𝑔00(

0)2 − 2

𝑔00− 𝑟22

)− 8𝑚𝑐2

2=

= − 1

28

(𝑔𝑇𝑇 (

2 − 2)− 𝑟22)− 8𝑚𝑐2

2,

где точка, напомним, означает производную по неко-торому параметру L вдоль мировой линии частицы.Лагранжиан не зависит явно от мирового времени 𝑥0

и от угла 𝜙. Поэтому сохраняются энергия 𝐸 и моментL:

𝐸

𝑐= −𝜕𝐿

0=

1

8

(1− 𝑟𝑔

𝑟

)0 =

𝑔𝑇𝑇

28𝑟𝑔(𝑋 − 𝑇),

L =𝜕𝐿

𝜕=

𝑟2

8.

В процессе преобразования выражения для энергии мывоспользовались связью координат (7.76). Теперь, ва-риация по вспомогательной переменной 8 приводит куравнению

2 − 2 =82(𝑚𝑐)2

𝑔𝑇𝑇

(1 +

L2

(𝑚𝑐𝑟)2

).

Комбинируя это уравнение с выражением для сохраня-ющейся энергии 𝐸, получаем соотношение

1−(d𝑋

d𝑇

)2= 𝑎2

(𝑋 − 𝑇 d𝑋

d𝑇

)2, (7.79)

𝑎2 =

(𝑚𝑐2

𝐸

)2𝑔𝑇𝑇

4𝑟2𝑔

(1 +

L2

(𝑚𝑐𝑟)2

)

Глава 7. Теория гравитации 86

Это уравнение можно разрешить относительно “ради-альной скорости” d𝑋/d𝑇 :

d𝑋

d𝑇=

𝑎2𝑇𝑋 ±√1− 𝑎2(𝑋2 − 𝑇 2)

1 + 𝑎2𝑇 2. (7.80)

Проанализируем полученные уравнения. Для части-цы с нулевой массой и нулевым угловым моментом урав-нение (7.80) воспроизводит мировые линии света (7.78).Для массивной частицы из (7.79) следует, что мироваялиния в координатах Крускала на Рис. 7.2 всегда имеетнаклон больше 𝜋/4,

d𝑋

d𝑇

< 1. (7.81)

Теперь рассмотрим движение массивной частицы порадиусу в близи радиуса сферы Шварцшильда: пусть𝑋 = 𝑇 + 𝛿𝑋. Удержим в правой части уравнения (7.80)главный вклад по малому 𝛿𝑋:

d𝑋

d𝑇=𝑎20𝑇

2 − 1

𝑎20𝑇2 + 1

, 𝑎20 =1

𝑒𝑇 2

(𝑚𝑐2

𝐸

)2, (7.82)

где 𝑒 – основание натуральной экспоненты. Мы выбрализнак минус в (7.80), соответствующий движению части-цы к чёрной дыре. Уравнение показывает, что мироваялиния пересекает прямую 𝑇 = 𝑋 под конечным углом,входя в область чёрной дыры. При этом приращениесобственного времени всегда остаётся конечным.

Частица, преодолев поверхность сферы Шварц-шильда за конечное собственное время, в области чёр-ной дыры продолжает двигаться к центру, к значениюрадиальной координаты 𝑟 = 0. Сделаем грубую оценкутого, что происходит с собственным временем при 𝑟 → 0.Наивные оценки дают d𝑇 2 − d𝑋2 ∼ d𝑟2/𝑟2𝑔 (важно, чтов правой части этого соотношения нет множителя ти-па 1/𝑟), после чего из (7.77) получаем, что d𝑠 ∼ d𝑟/

√𝑟.

Таким образом, приращение собственного времени

𝑟=0ˆ

𝑟0

d𝑠 (7.83)

для частицы, упавшей в центр чёрной дыры из областипространства, является конечной величиной.

§7.6. Коллапс пылевидной сферы

7.6.1 Синхронная система отсчётаСинхронной системой отсчёта называется система коор-динат, у которой метрический тензор

d𝑠2 = 𝑐2d𝜏2 + 𝑔𝑖𝑘d𝑥𝑖d𝑥𝑘, ⇒ 𝛾𝑖𝑘 = −𝑔𝑖𝑘, 𝑔0𝑘 = 0,

(7.84)где пространственный метрический тензор 𝛾𝑖𝑘 опреде-лён в (7.8). В синхронной системе отсчёта мировые ли-нии 𝑥𝑘 = const являются геодезическими. Действи-тельно, 4-вектор скорости для такой траектории есть𝑢0 = 1, 𝑢𝑘 = 0, поэтому в уравнении движения (7.2)участвует только Γ𝜇00, что есть нуль:

Γ000 = 0, Γ𝑚𝑖𝑘 = −𝑔𝑚𝑛Γ𝑛 00 = −𝑔𝑚𝑛𝜕0𝑔0𝑛 = 0.

Пусть среда состоит из одного типа частиц, и сре-ду можно считать идеальной жидкостью. Сопровожда-ющей системой координат называют систему координат,в которой пространственные компоненты 4-потока плот-ности частиц (2.40) во всём пространстве равны нулю,𝑗𝑘n = 0. В этом случае и плотность импульса частиц, т.е.0𝑘-компоненты тензора энергии-импульса (3.32), равнынулю, 𝑇 0𝑘 = 0.

Для пылевидной материи возможно выбрать систе-му координат, которая была бы одновременно и син-хронной и сопровождающей, поскольку частицы пыле-видной материи движутся только под действием грави-тационного поля. Мы будем рассматривать сферически-симметричное распределение материи, поэтому метрику

возможно выбрать в виде

d𝑠2 = 𝑐2d𝜏2 − 𝑒𝜆d𝑅2 + 𝑟2(d𝜗2 + sin2 𝜗d𝜙2), (7.85)

То, что выбрана сопровождающая система координат,означает, что при движении каждой частицы её ради-альная координата 𝑅 является фиксированной (равнокак и углы 𝜗, 𝜙). Величину 𝑟 = 𝑟(𝜏,𝑅) возможно интер-претировать как текущее расстояние частицы до цен-тра, поскольку радиус окружности при фиксированныхкоординатах 𝜏,𝑅 равен 2𝜋𝑟. Параметр 𝜆 также являетсяфункцией двух координат, 𝜆 = 𝜆(𝜏,𝑅).

Поскольку система координат сопровождающая,тензор энергии-импульса пылевидной материи имеетединственную ненулевую компоненту

𝑇 00 = (7.86)

Интерпретация 𝑟 как расстояния до центра являетсяограниченной в том смысле, что плотность энергии из-меняется не как 𝑟−3. Поскольку ковариантная диверген-ция тензора импульса равна нулю (7.29), то

𝑐𝑒𝜆/2𝑟2∇𝜇𝑇𝜇𝜈 = 𝜕𝜏

(𝑒𝜆/2𝑟2

)= 0 (7.87)

в силу равенств (10.19) для дивергенции симметричноготензора и 𝑔00,𝜇 = 0. Это уравнение надо восприниматькак закон сохранения энергии: элемент объёма пропор-ционален 𝑒𝜆/2𝑟2 d𝑅d𝜗 sin𝜗d𝜙, в этом элементе сохраня-ется количество частиц, поэтому изменяется плотностьих энергии покоя.

87 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

Запишем 00-компоненту уравнения Эйнштейна(7.31),

𝑟+ 2 + 1

𝑟2− 𝑒−𝜆

𝑟2(2𝑟𝑟′′ + 𝑟′2 − 𝑟𝑟′𝜆′

)= 8𝜋𝐺, (7.88)

где точка означает дифференцирование по 𝜏 , а штрих— по 𝑅. Теперь запишем 0𝑟-, 𝑟𝑟-компоненты уравненияЭйнштейна, которые имеют нулевые правые части:

2′ − 𝑟′ = 0 (7.89)

2𝑟𝑟 + 2 + 1− 𝑒−𝜆𝑟′2 = 0. (7.90)

Уравнение на 0𝑟-компоненту может быть проинтегри-ровано по времени с константой интегрирования 𝑓(𝑅),

𝑒𝜆 =𝑟′2

1 + 𝑓, (7.91)

выбор которой ограничен условием положительностиправой части, 𝑓 > −1. Как мы увидим ниже, логич-но интерпретировать 𝑓 как функцию полной энергиичастицы на единицу массы. Это уравнение (7.91), бу-дучи подставлено в 𝑟𝑟-компоненту уравнения Эйнштей-на (7.90), приводит к уравнению,

(2𝑟𝑟 + 2 − 𝑓

)= 0, (7.92)

которое в свою очередь может быть проинтегрирова-но по времени с константой интегрирования 𝐹 (𝑅) =2𝐺𝑀eff(𝑅),

2 = 𝑓 +2𝐺𝑀eff

𝑟. (7.93)

Если теперь в (7.88) выразить исходя из (7.89), за-тем продифференцировав (7.91) по 𝑅 и подставить 𝜆′ в(7.88), то мы придём к уравнению

4𝜋 =𝑀 ′

eff

𝑟′𝑟2⇔ 4𝜋 𝑒𝜆/2𝑟2 =

𝑀 ′eff(𝑅)√

1 + 𝑓(𝑅), (7.94)

где второе равенство находится в согласии с (7.87), по-скольку его правая часть не зависит от времени 𝜏 . Пер-вое же равенство позволяет интерпретировать функцию𝑀eff как радиальное распределение эффективной мас-сы:

𝑀eff(𝑅*) =

𝑅*ˆ

0

· 4𝜋𝑟2𝑟′d𝑅 =

𝑟(𝜏,𝑅*)ˆ

0

· 4𝜋𝑟2d𝑟, (7.95)

что совпадает с эффективной массой для метрикиШварцшильда (7.72). Эффективная масса вещества вобласти 𝑟 < 𝑟(𝜏,𝑅*) не изменяется в процессе движе-ния, и только она определяет динамику сферическогослоя 𝑟(𝜏,𝑅*). Всё вещество, находящееся вне этой сфе-ры, наоборот, никак не влияет на динамику вещества,находящегося внутри сферы.

Используем построенную картину для выясненияфизического смысла величины 𝑓 . Величина 𝑓 есть то,

что сохраняется при движении частицы вдоль её миро-вой линии; эта линия задаётся координатой 𝑅. Частицадвижется в гравитационном поле, которое является ре-зультатом действия неизменной массы 𝑀eff(𝑅). Такимобразом, вдоль траектории должна сохраняться энергия(7.69). Сравнивая между собой (7.69) и (7.93), приходимк

𝑓 =𝐸2

𝑚2𝑐4− 1 > −1.

7.6.1.1 Сшивка с метрикой Шварцшильда внесферы

Естественно предположить, что вне некоторой сферы,при 𝑅 > 𝑅0, вещество отсутствует. Иными словами,𝑀eff(𝑅) =𝑀eff(𝑅0) при 𝑅 > 𝑅0. Это означает, что в этойобласти метрика (7.84), будучи формально нестационар-ной, может быть путём некоторого преобразования си-стемы координат преобразована в метрику Шварцшиль-да (7.65), которая от времени не зависит.

Перейдём от синхронной системы координат 𝜏,𝑅(7.85) к координатам Шварцшильда 𝑡, 𝑟 (7.66). По-скольку координата 𝑟(𝜏,𝑅) уже введена, нам остаётсяперейти к глобальному времени 𝑡(𝜏,𝑅). Сначала сдела-ем промежуточный переход к координатам 𝜏, 𝑟. Дляприращения d𝑅 имеем

d𝑅 = − 𝑟′d𝜏 +

d𝑟

𝑟′,

так что матричные элементы метрики

𝑔′𝜏𝜏 = 1− 2

1 + 𝑓, 𝑔′𝜏𝑟 =

1 + 𝑓, 𝑔′𝑟𝑟 = −

1

1 + 𝑓.

Метрика в координатах 𝑡, 𝑟 потому принимает вид

d𝑠2 = 𝑔′𝜏𝜏(𝜕𝑡𝜏)2d𝑡2 + 2 (𝑔′𝜏𝜏𝜕𝑟𝜏 + 𝑔′𝜏𝑟) 𝜕𝑡𝜏 d𝑡d𝑟 +

+(𝑔′𝑟𝑟 + 𝑔′𝜏𝜏

(𝜕𝑟𝜏)2

+ 2𝑔′𝜏𝑟𝜕𝑟𝜏)d𝑟2.

Функция 𝜏(𝑡, 𝑟) должна быть найдена из того требо-вания, что в метрике Шварцшильда коэффициент приd𝑡d𝑟 равен нулю. В частности легко найти 𝜕𝑟𝜏

𝑟, после

чего получаем, что в координатах 𝑡, 𝑟 матричный эле-мент метрики

𝑔𝑟𝑟 = 𝑔′𝑟𝑟 −(𝑔′𝜏𝑟)2

𝑔′𝜏𝜏= − 1

1− 2𝐺𝑀eff(𝑅)/𝑐2𝑟, (7.96)

где масса внутри сферы 𝑀eff определена в (7.95). Припреобразованиях мы воспользовались уравнением дина-мики (7.91,7.93). Таким образом, для внешнего наблю-дателя полная масса равна 𝑀eff(𝑅0).

Глава 7. Теория гравитации 88

7.6.2 Однородное распределение плот-ности

Предположим, что в начальный момент времени рас-пределение массы (𝑅) было однородным внутри сферы𝑅 < 𝑅0, вне же этой сферы была пустота. Кроме того,в начальный момент материя покоилась. Начальнымиусловиями таким образом является

𝑟(𝜏 = 0, 𝑅) = 𝑅, (𝜏 = 0, 𝑅) = 0. (7.97)

В таком случае исследование процесса коллапса пыле-видной сферы несколько упрощается.

Решаем задачу при 𝑅 < 𝑅0. Используя начальныеусловия заключаем, что из (7.95) а затем (7.93) следует,что

𝑀eff(𝑅) =4𝜋

3𝑅3, 𝑓 = −𝑅

2

𝑎2,

1

𝑎2=

8𝜋𝐺

3.

(7.98)Кроме того, замечаем, что правая часть (7.93) квадра-тична по 𝑅, поэтому для функции 𝑟(𝜏,𝑅) переменныеразделяются,

𝑟 = 𝑥(𝜏)𝑅. (7.99)

В результате метрику (7.85) можно переписать в виде

d𝑠2 = 𝑐2d𝜏2 − 𝑥2(

d𝑅2

1−𝑅2/𝑎2+𝑅2

(d𝜗2 + sin2 𝜗d𝜙2

)),

𝑔𝑅𝑅 = − 𝑥2

1−𝑅2/𝑎2. (7.100)

Снова обращаясь к уравнению (7.93), получаем уравне-ние на 𝑥(𝜏):

2 =1

𝑎2

(1

𝑥− 1

), ⇒

√𝑥d𝑥√1− 𝑥

= −𝑐d𝜏𝑎. (7.101)

Решением этого уравнения в параметрическом виде яв-ляется

𝜏 =𝑎

𝑐

𝜂 + sin 𝜂

2, 𝑥 =

1 + cos 𝜂

2, (7.102)

с начальным значением 𝜂0 = 𝜋/2. Все частицы незави-симо от своего начального расстояния до центра ока-жутся в начале координат, когда их собственное времяизменится на

𝜏fin =𝜋𝑎

2𝑐=

√3𝜋

32𝐺. (7.103)

7.6.2.1 Прохождение частицей горизонта собы-тий

Для частицы по её собственным часам существует мо-мент, когда метрика в координатах (𝑡, 𝑟) становится син-гулярной. Согласно (7.96), этот момент определяетсяуравнением

𝑥 =𝑅2

𝑎2=

8𝜋𝐺𝑅2

3.

При этом с точки зрения динамики частицы в синхрон-ной системе координат с ней в этот момент ничего осо-бенного не происходит, т.е. падающая частица не можетопределить этот момент по своей собственной динамике.

§7.7. Гравитационные волны

7.7.1 Плоская гравитационная волнаВ области, где пространство пустое, 𝑇𝜇𝜈 = 0, слабое гра-витационное поле в гармонической калибровке удовле-творяет уравнению

2ℎ𝜇𝜈 = 0. (7.104)

В Пункте 7.4 мы рассмотрели стационарное гравита-ционное поле, которое на зависит от времени. В этомпараграфе мы рассматриваем принципиально нестаци-онарные решения волнового уравнения (7.104), которыепредставляют из себя гравитационные волны.

Рассмотрим плоскую монохроматическую гравита-ционную волну,

ℎ𝜇𝜈 = 2Re(𝑢𝜇𝜈 exp(−𝑖𝑘𝜇𝑥𝜇)

), 𝑘𝜇𝑘

𝜇 = 0, (7.105)

𝑢𝜇𝜈 = 𝑢𝜈𝜇, 𝑘𝜇𝑢𝜇𝜈 −

1

2𝑘𝜈𝑢

𝜇𝜇 = 0.

ср. с плоской монохроматической электромагнитнойволной (4.56). Мы выписали условие гармоничности ко-

ординат в терминах тензора поляризации ||𝑢𝜇𝜈 ||, см.(7.47).

Найдём количество физически различных поляри-заций и симметрийные свойства гравитационных волн.Условие симметричности оставляет независимыми 10компонент тензора 𝑢𝜇𝜈 . Дополнительное условие гар-моничности представляет из себя 4 уравнения, поэтомуоставляет независимыми 6 компонент. Далее, условиясимметричности и гармоничности 𝑢𝜇𝜈 не нарушаютсяпри калибровочном преобразовании вида (7.51), кото-рое в нашем случае выглядит как

𝑢𝜇𝜈 → 𝑢𝜇𝜈 + 𝑞𝜇𝑘𝜈 + 𝑘𝜇𝑞𝜈 (7.106)

где 𝑞𝜈 – произвольный 4-вектор размерности см−1. Та-ким образом, остаётся только две независимые поляри-зации для гравитационных волн.

Пусть для определённости гравитационная волнараспространяется вдоль оси 𝑂𝑧, т.е. в 𝑥3-направлении.

89 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

Тогда волновой вектор равен

||𝑘𝜇|| = (𝑘, 0, 0,−𝑘),

а калибровочное преобразование (7.106) сводится к

𝑢𝛼𝑧 → 𝑢𝛼𝑧 − 𝑞𝛼𝑘, 𝑢𝑧𝑧 → 𝑢𝑧𝑧 − 2𝑞𝑧𝑘, 𝑢00 → 𝑢00 +2𝑞0𝑘.

Соответствующим выбором вектора 𝑞𝜇 мы можем об-ратить в ноль указанные компоненты тензора 𝑢𝜇𝜈 . Изусловия гармоничности теперь следует, что в ноль обра-щаются все компоненты, кроме 𝑢𝛼𝛽 , которые остаютсянеизменными при калибровочном преобразовании. Изусловия гармоничности следует, что 𝑢𝑥𝑥 = −𝑢𝑦𝑦. Такимобразом, ненулевые компоненты тензора поляризацииимеют вид

||𝑢𝛼𝛽 || = 𝑢+

(1 −𝑖−𝑖 −1

)+ 𝑢−

(1 𝑖𝑖 −1

)(7.107)

Построенная калибровка называется поперечной калиб-ровкой, поскольку выполняются равенства

𝑘𝜇𝑢𝜇𝜈 = 𝑘𝑖𝑢

𝑖𝜈 = 0,

сравни с поперечной калибровкой для электромагнит-ных волн (4.59).

При повороте вокруг оси 𝑂𝑧 на угол 𝜙 комплексныеамплитуды двух возможных поляризаций 𝑢± преобра-зуются по закону

𝑢± → 𝑢± exp(±2𝑖𝜙). (7.108)

Таким образом, гравитационные волны имеют спираль-ность (проекция спина на направление распростране-ния) ±2 и, соответственно, спин равный 2.

7.7.1.1 Энергия гравитационной волны

Вергелес, 2017, § 4.1.2.Используем общее выражение (7.53) для псевдо-

тензора энергии-импульса гравитационного поля вквадратичном пределе по отклонению метрики от плос-кой в гармонических координатах. Для плоской грави-тационной волны, распространяющейся вдоль направ-ления, градиент сонаправлен направлению распростра-нения:

𝜕𝜇ℎ𝜎𝜍 =

1

𝑐𝑛𝜇ℎ

𝜎𝜍 , ||𝑛𝜇|| = 1,−𝑛,

где точка означает производную по времени (набор ком-понент 𝑛𝜇 не обладает свойством 4-вектора при переходеиз одной системы координат в другую). Поэтому

𝑡𝜈𝜇 =𝑐2

32𝜋𝐺

(ℎ𝜆𝜎ℎ

𝜆𝜎 − 1

2

(ℎ𝜎𝜎

)2)𝑛𝜈𝑛𝜇 = (7.109)

=𝑐2

32𝜋𝐺

(ℎ𝜆𝜎ℎ

𝜆𝜎 − 1

2

(ℎ𝜎𝜎

)2)𝑛𝜈𝑛𝜇

где√−𝑔 → 1 согласно квадратичному приближению.

Можно проверить, что это выражение, как и должнобыть, не изменяется при калибровочном преобразова-нии (7.51). Если теперь снова выбрать поперечную ка-либровку, то

𝑡𝜈𝜇 =𝑐2

32𝜋𝐺ℎ𝜆𝜎ℎ

𝜆𝜎 𝑛𝜇𝑛𝜈 → (7.110)

→ 𝑐4

4𝜋𝐺

(|𝑢+|2 + |𝑢−|2

)𝑘𝜇𝑘𝜈 .

Во втором выражении мы приняли, что волна являетсямонохроматической с волновым 4-вектором 𝑘𝜇 и прове-ли усреднение по периоду колебания волны.

7.7.2 Излучение гравитационных волн

Хриплович, 2009, § 8.2

Для выделения поля гравитационного излученияудержим в (7.50) главный порядок по 1/𝑟

ℎ′𝜇𝜈(𝑡, 𝑟) = − 4𝐺

𝑐4𝑟

ˆ𝑇𝜇𝜈(𝑡𝑟, 𝑟

′) d3𝑟′, 𝑡𝑟 = 𝑡− |𝑟 − 𝑟′|𝑐

.

(7.111)Штрих в левой части равенства добавлен для того, что-бы ниже нештрихованными величинами обозначить ре-зультат после калибровочного преобразования, которымпо нашему плану будет поле ℎ𝜇𝜈 в поперечной калибров-ке. Запись в поперечной калибровке позволит использо-вать уже имеющиеся выражения для (псевдо)-тензораэнергии-импульса типа (7.110).

На далёких расстояниях от системы поле являетсярасходящейся волной, с волновым вектором k направ-ленным вдоль направления наблюдения 𝑛 = 𝑟/𝑟. Глав-ные члены по 1/𝑟 удерживаются, если посчитать, чтополе зависит от координат только через комбинацию𝑡 − 𝑟/𝑐; в этом пределе условие на гармоничность ко-ординат (7.47) приобретает вид

𝑛𝜇𝜕𝑡ℎ𝜇

𝜈 = 𝑛𝜇𝜕𝑡ℎ𝜇𝜈 −

1

2𝑛𝜈𝜕𝑡ℎ

𝜇𝜇 = 0, ||𝑛𝜇|| = 1,−𝑛,

сравни с (7.105). Для поперечной калибровки это урав-нение с 𝜈 = 0, а потом с 𝜈 = 𝑘 даёт

ℎ𝜇𝜇 = ℎ𝜇

𝜇 = ℎ𝑘

𝑘 = 0, ℎ𝜇𝜈 = ℎ𝜇𝜈 , 𝑛𝑘ℎ𝑘𝑖 = 0. (7.112)

Перейдём к вычислению пространственных компо-

Глава 7. Теория гравитации 90

нент метрики. До калибровочного преобразования

ℎ′𝑚𝑛(𝑡, 𝑟) = − 4𝐺

𝑐4𝑟

ˆ𝑇𝑚𝑛 d3𝑟′ = (7.113)

= − 2𝐺

𝑐5𝑟𝜕𝑡

ˆ (𝑇 0𝑛𝑟′𝑚 + 𝑇 0𝑚𝑟′𝑛

)d3𝑟′ =

= − 2𝐺

𝑐5𝑟𝜕𝑡

ˆ𝑇 0𝑘𝜕𝑘(𝑟

′𝑚𝑟′𝑛) d3𝑟′ =

= − 2𝐺

𝑐6𝑟𝜕2𝑡

ˆ𝑇 00 𝑟′𝑚𝑟′𝑛 d3𝑟′ =

= − 2𝐺

𝑐4𝑟𝜕2𝑡

ˆ𝜌m(𝑡𝑟, 𝑟

′) 𝑟′𝑚𝑟′𝑛 d3𝑟′,

где 𝜌m – массовая плотность, а 𝑡𝑟 = 𝑡 − 𝑟/𝑐. Проделан-ные выкладки легче всего проверить в обратном поряд-ке, воспользовавшись равенством нулю 4-дивергенциитензора энергии-импульса материи (7.29).

Технически проще не вычислять непосредственнопространственные компоненты ℎ𝑖𝑘 в поперечной ка-либровке, а установить их вид из свойств попереч-ной калибровки и любого калибровочного преобразо-вания, как это было продемонстрировано для электро-квадрупольного излучения, см. последние два абзацаПункта 6.3.2.2. Согласно (7.107), нам достаточно сле-дить только за двумя поперечными матричными эле-ментами, которые не изменяются при калибровочномпреобразовании. Ответ следующий:

ℎ𝑚𝑛 = −(𝛿⊥𝑛𝑖𝛿

⊥𝑚𝑘 +

1

2𝛿⊥𝑛𝑚𝑛

𝑖𝑛𝑘)(

ℎ′𝑖𝑘 −

1

3𝛿𝑖𝑘ℎ

′𝑙𝑙

)=

= − 2𝐺

3𝑐4𝑟

(𝛿⊥𝑛𝑖𝑖𝑘𝛿

⊥𝑘𝑚 +

1

2𝛿⊥𝑛𝑚𝑖𝑘𝑛

𝑖𝑛𝑘), (7.114)

𝛿⊥𝑛𝑖 = 𝛿𝑛𝑖 − 𝑛𝑛𝑛𝑖, 𝐷𝑖𝑘 =

ˆd3𝑟

(3𝑟𝑖𝑟𝑘 − |𝑟2|𝛿𝑖𝑘

)𝜌m,

где 𝐷𝑖𝑘 — квадрупольный момент распределения мас-

сы, сравни с электро-квадрупольным моментом (6.14).Обоснуем написанное выражение. Далеко от источни-ка гравитационное излучение можно представить какплоскую волну, распространяющуюся вдоль направле-ния наблюдения 𝑛; будем производить калибровочныепреобразования типа (7.106). Согласно рассмотрениюПункта 7.7.1, при калибровочном преобразовании не из-меняются ℎ𝑥𝑦 и комбинация ℎ𝑦𝑦 − ℎ𝑥𝑥, которые у ℎ𝑛𝑚 иℎ𝑛𝑚 совпадают согласно (7.49). Поэтому в первой строч-ке (7.114) во второй круглой скобке должно стоять пер-вым слагаемым ℎ

′𝑖𝑘 без какого-либо коэффициента. Те-

перь, мы не изменим указанные матричные элементы,при этом обнулив все остальные, если домножим ℎ

′𝑖𝑘 на

первую круглую скобку в первой строчке (7.114), в ко-торой должно быть ещё дописано слагаемое −𝛿⊥𝑛𝑚𝛿𝑖𝑘/2.Таким образом, мы уже установили поперечную калиб-ровку. Наконец, во второй круглой скобке мы можемдобавить второе слагаемое, а после этого убрать нена-писанное слагаемое в первой круглой скобке, не изменивответа. В результате придём к выражения написанномуво второй строчке (7.114).

Подстановка (7.114) в (7.110) даёт для интенсивно-сти излучения в телесный угол

d𝐼

d𝑜= 𝑟2𝑐 𝑡0𝑘𝑛𝑘 =

𝑐5 𝑟2

32𝜋𝐺 𝜔2ℎ𝑖𝑘ℎ

𝑖𝑘 = (7.115)

=𝐺

36𝜋𝑐5

((...𝐷𝑖𝑘𝑛𝑖𝑛𝑘

)24

−...𝐷𝑖𝑚...𝐷𝑘𝑚𝑛𝑖𝑛𝑘 +

...𝐷𝑖𝑘 ...𝐷𝑖𝑘

2

)

Угловое распределение (7.114) интенсивности гравита-ционного излучения можно сравнить с таковым для из-лучения электромагнитных волн квадрупольного типа(6.60); по крайней мере, они не совпадают. Полная ин-тенсивность излучения равна

𝐼 =𝐺

45 𝑐5...𝐷𝑖𝑘 ...𝐷𝑖𝑘. (7.116)

§7.8. Движение частиц в гравитационном поле

7.8.1 Неоднородное течение времени встатическом гравитационном поле

Координату 𝑥0 можно считать мировым временем: этоесть время вдалеке от тел. Из (7.7) следует, что вре-мя течёт с разной скоростью в разных точках про-странства. Если по мировым часам время изменилосьна Δ𝑥0/𝑐, то на конечном расстоянии до тел изменениеравно

Δ𝜏 = (√𝑔00 − 1)

Δ𝑥0

𝑐≈ 𝜑

𝑐2Δ𝑥0

𝑐, (7.117)

то есть собственное время течёт тем медленнее, чембольше абсолютная величина потенциала гравитацион-ного поля.

Другим проявлением неодинакового течения време-ни является изменение частоты света, когда потенци-ал гравитационного поля непостоянен вдоль траекториисветового луча. При распространении света в статиче-ском гравитационном поле сохраняется нулевая компо-нента 𝑘0 его волнового вектора, что можно увидеть изуравнения (7.6).

Чтобы понять физический смысл этой компоненты,обратимся к уравнению Гамильтона-Якоби для фотона

91 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

— уравнению на эйконал 𝜓. В нашем случае коэффи-циенты в уравнении Гамильтона-Якоби не зависят яв-но от времени. Поэтому, чтобы сохранить это свойствово всём уравнении с учётом присутствия эйконала 𝜓 вуравнении, мы снова приходим к постоянству 𝑘0 вдольтраектории фотона. Наблюдаемая частота света 𝜔 рав-на

𝜔 =𝜕𝜓

𝜕𝜏=

𝜕𝑥0

𝜕𝜏

𝜕𝜓

𝜕𝑥0=

𝑐𝑘0√𝑔00

≈(1− 𝜑

𝑐2

)𝑐𝑘0,

(7.118)где 𝑐𝑘0 – частота света вдалеке от гравитирующих тел,а 𝜏 — локальное время наблюдателя, который неподви-жен в рассматриваемой точке. Согласно уравнению дви-жения (7.6), именно 𝑘0 является сохраняющейся вели-чиной в статическом гравитационном поле. Таким обра-зом, частота света увеличивается при переходе в областьгравитационного потенциала большей амплитуды.

Красное смещение — эффект, который заключаетсяв следующем. Рассмотрим излучение фотона в результа-те квантового перехода в атоме с последующим его рас-пространением. Законы квантовой механики одинаковыво всех локальных системах отсчёта, поэтому частота𝜔 излучённого фотона фиксирована (является ‘мировойконстантой’). Однако согласно (7.118) частота не явля-ется инвариантом при распространении фотона. Еслифотон был испущен в точке 𝑥, а принят в точке 𝑦, точастота 𝜔reg зарегистрированного фотона равна

𝜔reg =

√𝑔00(𝑥)

𝑔00(𝑦)𝜔 ≈

(1 +

𝜑(𝑥)− 𝜑(𝑦)𝑐2

)𝜔 (7.119)

Обычно речь идёт о регистрации фотона вдалеке от гра-витирующих тел, в то время как сам фотон был испу-щен вблизи массивного тела. Тогда разница потенциа-лов отрицательна, 𝜑(𝑥) − 𝜑(𝑦) < 0. Таким образом, за-регистрированный фотон имеет более низкую частотупо сравнению с испущенным, т.е. частоту, сдвинутуюв красную сторону.

7.8.2 Отклонение и задержка луча в сла-бом гравитационном поле

Для исследования отклонения светового луча в грави-тационном поле используем уравнение (7.6), записанноево втором варианте. Мы будем предполагать, что итого-вое отклонение луча малое. В нулевом приближении погравитационному полю, таким образом, луч распростра-няется по прямой. Выберем это направление в качестве3-й пространственной оси 𝑂𝑧, тогда в нулевом прибли-жении траектория фотона описывается уравнением

𝑥 = 𝑐𝑡 = L/𝑘,

где 𝑘 — абсолютное значение волнового вектора фотона.Для учёта первой поправки воспользуемся выражением

(7.55) для возмущения метрики:

−d𝑘𝛼dL

= 𝑘d𝑘𝛼

d𝑧= − 1

𝑐2𝜕𝜑

𝜕𝑥𝛼((𝑘0)2 + (𝑘𝑧)2

)= − 2

𝑐2𝜕𝜑

𝜕𝑥𝛼𝑘2,

(7.120)где 𝛼 = 𝑥, 𝑦 — два остальных пространственных на-правления.

Для центрально симметричного гравитационного по-ля и прицельного параметра 𝜌≫ 𝑟𝑔 получаем, что уголотклонения равен

𝜃 =2𝑟𝑔𝜌

(7.121)

Непосредственно в сферических координатах задача оботклонении светового луча гравитационным полем ре-шена в Хриплович, 2009, § 5.2.

7.8.2.1 Задержка луча

Посчитаем задержку 𝛿𝑡 луча по мировым часам. По-скольку приращение интервала вдоль мировой линиифотона равно нулю, то приращение мирового времениd𝑡 и пространственных координат d𝑥𝑖 связаны междусобой соотношением

𝑐d𝑡 = −𝑔𝑖d𝑥𝑖 +√𝛾𝑖𝑘d𝑥𝑖d𝑥𝑘√

𝑔00.

Для слабого гравитационного поля поправкой в d𝑥 отискривления пути светового пучка можно пренебречь,поскольку она пропорциональна (ℎ00)

2, таким образомявляясь малой более высокого порядка. Если принять,что свет распространялся вдоль оси 𝑂𝑥, то

𝛿𝑡 =

ˆ (d𝑡− d𝑥

𝑐

)≈ −ˆ

2𝜑

𝑐2d𝑥

𝑐. (7.122)

7.8.3 Динамика углового момента вра-щающихся тел (спинов)

Напомним, что динамика точечного спина (момента ко-личества движения) точечной частицы, находящейся всостоянии свободного падения (двигающейся по геоде-зической) описывается уравнением параллельного пере-носа (7.1) вектора Паули-Любанского.

Посмотрим, как это уравнение выглядит в слабо-релятивистском пределе. При малой скорости движенияспина заключаем, что его 4-вектор

||𝑎𝜇|| =((𝛽 ·𝜇), 𝜇+ 𝛽(𝛽 ·𝜇)/2

)согласно (4.42). Отметим, что трёхмерный вектор 𝜇 из-меняет свою ‘длину’

√𝜇𝑖𝜇𝑖, поскольку метрика слабо

отличается от единичной: в главном приближении(𝜇0

)2= −𝑔𝜇𝜈𝑎𝜇𝑎𝜈 ≈

(1− 2𝜑/𝑐2

)𝜇𝑘𝜇𝑘,

где 𝜇0 есть уже релятивистский инвариант. Поэтому на-пишем

𝜇 = (1+ 𝜑/𝑐2)𝜇0𝑛, 𝑎𝑖 = (1+ 𝜑/𝑐2)𝜇0𝑛𝑖 +

𝜇0(𝛽 ·𝑛)𝛽𝑖

2,

Глава 7. Теория гравитации 92

где 𝑛 — единичный вектор. С учётом сделанных замеча-ний находим, что в слабо релятивистском пределе урав-нение параллельного переноса спина вдоль геодезиче-ской (7.1) переходит в

d𝑎𝑘

𝑐d𝑡=

𝜇d𝑛𝑘

𝑐d𝑡+

(𝛽 ·∇𝜑)𝜇𝑘

𝑐2+𝑘(𝛽 ·𝜇) + 𝛽𝑘( ·𝜇)

2=

= −Γ𝑘0𝑖𝜇𝑖 − Γ𝑘00𝑎0 − Γ𝑘𝑙𝑖𝛽

𝑙𝜇𝑖 =

=𝑔𝑖,𝑘 − 𝑔𝑘,𝑖

2𝜇𝑖 +

+(𝜇·∇𝜑)𝛽𝑘 − 2(𝛽 ·𝜇)𝜑,𝑘 + (𝛽 ·∇𝜑)𝜇𝑘

𝑐2.

В процессе выкладок мы воспользовались выражениемдля символов Кристоффеля (10.13). Ускорение частицыопределяется действием гравитационного потенциала,

= −∇𝜑,

в результате чего находим прецессию спина

d𝑛

d𝑡= [𝜔×𝑛], 𝜔 = −𝑐 rot 𝑔

2− 3[𝑣 × grad𝜑]

2𝑐2. (7.123)

Первое слагаемое в выражении для угловой ча-стоты прецессии 𝜔 (7.123) связывается с эффектом

Лензе — Тирринга (Lense–Thirring precession or theLense–Thirring effect). Качественное понимание эффек-та состоит в том, что вращающееся тело создаёт вокругсебя метрику, как если бы была выбрана вращающаясясистема координат. Эта метрика увлекает за собой те-ла, находящиеся вокруг вращающегося тела, создаваясилы Кориолиса. Согласно (7.58), обсуждаемый вкладв частоту прецессии (7.123) равен

𝜔 =𝐺

𝑐23(𝑛·L)𝑛− 𝑛

𝑟3.

В частности, на оси вращения 𝜔 = 2𝐺L/(𝑐2𝑟3).Второй вклад в угловую частоту прецессии (7.123),

возникающий при движении спина как целого, называ-ется геодезической прецессией.

К полученным результатам можно прийти и другимспособом — предположив, что рассматриваемый спинявляется не точечным объектом, а ‘гироскопом’, т.е.вращающимся твёрдым телом, обладающим моментомколичества движения L. Эта программа проделана вПункте 12.1.1.

93 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

Глава 8

ЭЛЕМЕНТЫ КОСМОЛОГИИ

§8.1. Модели Фридмана расширяющейся Вселенной.

8.1.1 Метрика ФридманаМетрика Фридмана — вид зависимости метрики впространстве-времени, который полагает распределениематерии во Вселенной однородным. Это означает, чтотакая метрика годится для описания Вселенной на са-мых больших масштабах, где эта однородность действи-тельно имеет место.

В соответствии с предположением о пространствен-ной однородности, тензор Римана в ортонормированномбазисе может зависеть только от времени. Его тензор-ная структура определяется из условия изотропности— инвариантности по отношению ко вращениям в про-странстве. Это соображение симметрии говорит, что егоненулевыми матричными элементами являются

𝑅𝛼𝛽𝛾𝛿 ∝(𝛿𝛼𝛾 𝛿

𝛽𝛿 − 𝛿

𝛼𝛿 𝛿

𝛽𝛾

), 𝑅𝛼0 𝛽0 ∝ 𝛿𝛼𝛽 .

Коэффициенты пропорциональности в этих равенствахопределяются динамикой метрики Фридмана во време-ни и глобальной топологией Вселенной, которая в рам-ках модели Фридмана может быть замкнутой, открытойили плоской.

8.1.1.1 Замкнутая изотропная модель

Замкнутой изотропной модели соответствует метрика

d𝑠2 = 𝑐2d𝑡2 − 𝑎2(d𝜒2 + sin2 𝜒(d𝜃2 + sin2 𝜃 d𝜑2)

)(8.1)

Пространственная часть метрики соответствует сфере𝑆3. Радиус Вселенной 𝑎 = 𝑎(𝑡) зависит от времени. Мытакже будем обозначать временную координату 𝑥0 = 𝑐𝑡.Переменные 𝜒, 𝜃, 𝜑 соответствуют углам на сфере 𝑆3,для единственности их определения можно, например,положить ограничения 0 ≤ 𝜒, 𝜃 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝜑 < 2𝜋. Эле-мент пространственного объёма и полный текущий объ-ём Вселенной

d𝑉 = 𝑎3 sin2 𝜒 sin 𝜃 d𝜒d𝜃d𝜑, 𝑉𝑈 = 2𝜋2𝑎3. (8.2)

Отметим, что несмотря на конкретный вид записи мет-рики (8.1), геометрия пространства-времени как тако-вая является однородной в пространстве. Это означает,что если мы бы поменяли начало сферической системыкоординат, вид метрики (8.1) остался бы неизменным.

Определим локальные геометрические характери-стики пространства. Введённая система координат яв-ляется ортогональной; таким образом, с этой систе-мой координат возможно связать ОНБ-базис. Простран-ственные компоненты мы будем обозначать индексами

𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿... — первыми буквами греческого алфавита.Дальнейшие вычисления производятся по схеме Пунк-та 10.6.1, где исследована система координат на сфере𝑆3. В нашем случае надо также включить в рассмотре-ние и временную координату. Поэтому к пространствен-ным формам смещения (10.123) надо добавить нулевуюформу:

𝜔0 = 𝑐d𝑡,

𝜔𝜒 = 𝑎 d𝜒, 𝜔𝜃 = 𝑎 sin𝜒d𝜃, 𝜔𝜑 = 𝑎 sin𝜒 sin 𝜃d𝜑.

Формы связности находим из структурного уравненияКартана на (нулевой) тензор кручения (10.115): уравне-ние на 𝛼-компоненту может быть переписано в виде

0 = d𝜔𝛼 + 𝜔𝛼𝑏 ∧ 𝜔𝑏 =

=

(

𝑎𝜔0 ∧ 𝜔𝛼 + 𝜔𝛼0 ∧ 𝜔0

)+(d𝜔𝛼

𝑎=const

+ 𝜔𝛼𝛽 ∧ 𝜔𝛽).

Две скобки в правой части линейно независимы и пото-му должны быть равны нулю по отдельности. Втораяскобка соответствует рассмотрению сферы 𝑆3 с радиу-сом 𝑎, формы связности 𝜔𝛼𝛽 найдены в Пункте 10.6.1и задаются выражениями (10.124). Первая скобка опре-деляет формы связности, в которых принимает участиевременная координата

𝜔𝛼0 =

𝑎𝜔𝛼 ⇔ 𝜔0𝛼𝛽 =

𝑎𝛿𝛼𝛽 , (8.3)

Точка обозначает производную по 𝑥0 = 𝑐𝑡. Воспользо-вавшись вторым структурным уравнением Картана натензор кривизны (10.115), находим ненулевые компонен-ты тензора Римана

𝑅𝛼𝛽𝛾𝛿 = −2 + k𝑎2

(𝛿𝛼𝛾 𝛿

𝛽𝛿 − 𝛿

𝛼𝛿 𝛿

𝛽𝛾

), 𝑅𝛼0 𝛽0 = −

𝑎𝛿𝛼𝛽 ,

(8.4)где в случае метрики замкнутой Вселенной (8.1) k = 1.Как и должно быть, полученный тензор кривизны од-нороден в пространстве. Таким образом, ненулевые ком-поненты тензора Риччи и скалярная кривизна равны

𝑅00 = −3

𝑎𝑅𝛼𝛽 = −2k + 22 + 𝑎

𝑎2𝛿𝛼𝛽 ,

𝑅 = −6(k + 2 + 𝑎)

𝑎2.

Глава 8. Элементы космологии 94

Отметим, что в статическом случае, когда = 0, второеструктурное уравнение Картана естественным образомсовпадает со случаем сферы 𝑆3 (10.126). Но посколь-ку пространственная часть метрики Минковского име-ет отрицательную сигнатуру, статический вклад в ска-лярную кривизну отрицателен и равен −6k/𝑎2, сравнис (10.125).

8.1.1.2 Открытая изотропная модель

Открытая изотропная модель отличается от замкнутойзаменами 𝑎 → 𝑖𝑎, 𝜒 → −𝑖𝜒 в выражении для метри-ки (8.1). В результате таких замен метрика приобретаетвид

d𝑠2 = 𝑐2d𝑡2 − 𝑎2(d𝜒2 + sh2 𝜒(d𝜃2 + sin2 𝜃 d𝜑2)

). (8.5)

Переменная 𝜒 теперь может принимать значения навсей числовой оси, и объём Вселенной потому оказы-вается неограниченным.

Формы смещения отличаются от (10.123) заменойтригонометрических функций 𝜒 на гиперболические.Этим же ограничивается изменение форм связности(10.124) в секторе 𝛼𝛽. Формы связности в секторе 0𝛼(8.3) остаются теми же самыми.

В результате получаем, что тензор кривизны задаёт-ся выражениями (8.4) с k = −1. Этот результат можнобыло бы получить и непосредственно, произведя в (8.4)замену 𝑎→ 𝑖𝑎.

8.1.1.3 Плоская модель

Плоская модель предполагает, что если “радиус Вселен-ной” 𝑎 не изменяется во времени, то пространство-времяне имеет кривизны. Метрика такого пространства со-держит 𝑎 только в качестве масштабного фактора приевклидовой метрике в пространстве,

d𝑠2 = 𝑐2d𝑡2 − 𝑎2∑𝛼

(d𝑥𝛼

)2. (8.6)

Однако если “радиус Вселенной” 𝑎 становится завися-щим от времени, то у пространства-времени появляетсяненулевой тензор кривизны.

Формы смещения

𝜔0 = 𝑐d𝑡, 𝜔𝛼 = 𝑎d𝑥𝛼,

ненулевыми формами связности являются только (8.3).Тензор кривизны задаётся выражениями (8.4) с k = 0.

Возможно одной формулой объединить выражениядля метрик в замкнутой (8.1), открытой (8.5) и плоской(8.1) моделях. Перейдём в пространстве в сферическуюсистему координат, а в качестве радиальной координатывыберем величину 𝑟 так, чтобы длина окружности с ра-диусом 𝑟 была равна 2𝜋𝑟. Для плоской модели простран-ственная часть метрики является евклидовой, поэтомутакое определение совпадает с определением обычных

сферических координат. Для замкнутой и открытой мо-делей получаем

closed: 𝑟2 = 𝑎2 sin2 𝜒, 𝑎2d𝜒2 = d𝑟2/(1− 𝑟2/𝑎2)open: 𝑟2 = 𝑎2 sh2 𝜒, 𝑎2d𝜒2 = d𝑟2/(1 + 𝑟2/𝑎2)

Общей формулой для метрики при всех типах Вселен-ной поэтому является

d𝑠2 = 𝑐2d𝑡2 −(

d𝑟2

1− k 𝑟2/𝑎2+ 𝑟2

(d𝜃2 + sin2 𝜃 d𝜑2

)).

(8.7)В частности, для замкнутой модели радиус окружности𝑟 не может быть больше чем 𝑎, что не удивительно.

8.1.1.4 Красное смещение и постоянная Хаббла

В научной литературе приняты следующие обозначе-ния. Величины, относящиеся к текущему моменту вре-мени, снабжаются нижним индексом ‘0’. Например, те-кущее значение “радиуса” Вселенной равно 𝑎0, текущеезначение времени равно 𝑡0 (отсчитанное от Большоговзрыва, см. ниже). Согласно наблюдениям и существу-ющей теории, “радиус” Вселенной 𝑎(𝑡) является моно-тонно возрастающей функцией времени, а начальныймомент времени соответствует нулевому радиусу Все-ленной. Для описания степени расширения использует-ся безразмерная величина 𝑧

1 + 𝑧(𝑡) =𝑎0𝑎(𝑡)

, (8.8)

называемая красным смещением (redshift). Динамикурасширения в данный момент описывает постояннаяХаббла (Hubble constant)

𝐻 = 𝑐

𝑎, (8.9)

которая является постоянной только в пространстве,имея нетривиальную зависимость от времени. В насто-ящий момент постоянная Хаббла имеет значение около

𝐻0 ≈ (67÷ 74)км

с ·Мпк≈ (2.2÷ 2.4) · 10−18 с−1.

Разные методы измерения дают значения, отличающи-еся на величину около 4𝜎. Таким образом, более точ-ное измерение постоянной Хаббла есть задача будущихисследований. Если бы постоянную Хаббла можно бы-ло считать независимой от времени, то расстояние, накотором точки удаляются друг от друга со скоростьюсвета, было бы равно

𝑟𝐻𝑅 =𝑐

𝐻0≈ 1.3 · 1026см ≈ 1.4 · 1010св.лет

Это расстояние называется радиусом Хаббла.

95 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

8.1.2 Движение частиц в метрике Фрид-мана

Рассмотрим свободное движения частицы массы 𝑚 воВселенной с изменяющимся радиусом кривизны: в ор-тогональном базисе(

𝑝0)2 − 𝑝2 = (𝑚𝑐)2, 𝑝2 =

∑𝛼

(𝑝𝛼)2.

Выберем аффинный параметр L траектории частицытак, что касательная к траектории есть импульс,

d𝑥𝜇

dL= 𝑝𝜇, ⇒ d

dL= 𝑝0

d

d𝑥0,

где компонента импульса 𝑝0 имеет одно и то же зна-чение в координатном и ортонормированном базисах.Тогда первый вариант уравнения (7.6) на 0-компонентузаписывается в виде

|𝑝|d|𝑝|d𝑥0

= 𝑝0d𝑝0

d𝑥0=

d𝑝0

dL= −

∑𝛼

𝜔0𝛼𝛼

(𝑝𝛼)2

= − 𝑎𝑝2.

Сравнивая первое и последнее выражения в цепочке ра-венств приходим к выводу, что при движении сохраня-ется инвариант

|𝑝|𝑎 = const, (8.10)

где |𝑝| — абсолютное значение трёх-мерного импульса.Легко также показать, что направление движения ча-стицы не изменяется, если выбрать систему простран-ственных координат так, что исходно 𝜃 = 𝜑 = 0 и нену-левой является только 𝑝𝜒-компонента импульса 𝑝. Этиусловия не будут нарушаться и в будущем, что как раз иговорит о сохранении частицей направления своего дви-жения.

8.1.2.1 Красное смещение

Рассмотрим фотон, который был испущен в момент вре-мени 𝑡 и имел частоту 𝜔in, и принят в настоящий момент𝑡0. Согласно (8.10) величина

𝜔𝑎 = const (8.11)

остаётся неизменной, т.е. его частота в момент приёма𝜔0 определяется равенством

𝜔0 =𝑎(𝑡)

𝑎0𝜔in,

𝜔0 − 𝜔in

𝜔in≈ −𝐻0𝑙

𝑐2. (8.12)

Второе, приближённое равенство (8.12) верно, пока 𝑡 неслишком сильно отличается от 𝑡0. В нём 𝑙 — расстоя-ние, пройденное фотоном. Это расстояние определяетсяиз требования, чтобы приращение интервала при дви-жении безмассовой частицы было нулевым,

d𝑙 = 𝑐d𝑡, 𝑙 = 𝑐(𝑡0 − 𝑡).

8.1.2.2 Реликтовое излучение

8.1.3 Динамические уравнения на рас-ширение Вселенной

Запишем уравнение Эйнштейна с Λ-членом (7.33) вметрике Фридмана. Мы полагаем, что наша системакоординат естественно оказывается (приближённо) со-провождающей системой координат. Тензор энергии-импульса мы полагаем изотропным и потому имеющимвид (3.30). В уравнении Эйнштейна есть два независи-мых скалярных уравнения. В качестве первого уравне-ния выберем 00-компоненту уравнения Эйнштейна

2 + k𝑎2

=8𝜋𝐺

3𝑐4+

Λ

3. (8.13)

Вторым уравнением можно выбрать любую из 𝛼𝛼-компонент уравнения Эйнштейна (7.33); мы возьмём егослед. С учётом уже выписанного уравнения (8.13) полу-чаем

𝑎= −4𝜋𝐺

𝑐4(+ 3𝑃 ) +

Λ

3. (8.14)

Однако может быть более удобным в качестве второ-го уравнения выбрать условие того, что 4-дивергенцияобеих частей уравнения Эйнштейна равна нулю,

0 = ∇𝑎𝑇 𝑎0 = +

3∑𝛼=1

𝜔0𝛼𝛼(+ 𝑃 ) = +

3

𝑎

(+ 𝑃

),

(8.15)где мы воспользовались выражением для форм связно-сти (8.3). Это уравнение есть второй закон термодина-мики

d(𝑉 ) + 𝑃d𝑉 = 0, ⇔ d+d𝑉

𝑉(+ 𝑃 ) = 0,

где 𝑉 — объём некоторого элемента Вселенной, задан-ный фиксированной во времени областью в простран-стве координат 𝜒, 𝜃, 𝜑 (можно сравнить с уравнениемдля пыли (7.87), у которой давление равно нулю). Этотэлемент объёма расширяется вместе с Вселенной, 𝑉 ∝𝑎3, поэтому его логарифмическая производная d𝑉/𝑉 =3d𝑎/𝑎.

8.1.3.1 Открытая или замкнутая Вселенная?

Уравнение (8.13) может быть переписано в виде,

k𝑎2

=8𝜋𝐺

3𝑐4+

Λ

3− 𝐻2

𝑐2≡ 𝐻2

𝑐2(Ω− 1) (8.16)

который указывает, что по экспериментальным измере-ниям плотности материи, характеризуемой безразмер-ным параметром Ω, можно определить знак k, то естьсделать заключение о том, какова Вселенная — откры-тая, плоская или замкнутая. Обычно эти оценки произ-водят в настоящий момент, так что в (8.16) стоит посто-янная Хаббла 𝐻0.

Плотность материи Ω является арифметическойсуммой вкладов от разных её сортов. Первый вклад Ωm

Глава 8. Элементы космологии 96

рассмотрим от барионной материи — атомов. На дан-ный момент движение барионной материи можно счи-тать нерелятивистским, поэтому для неё выполняетсясоотношение m = 𝜌m𝑐

2, где 𝜌m — массовая плотность.Иными словами, мы пренебрегаем вкладом кинетиче-ской энергии движения материи и считаем, что её свой-ства потому описываются моделью пыли характеризу-ющейся нулевым давлением 𝑃 = 0, см. Пункт 3.3.2 (этоследует рассматривать как уравнение состояния бари-онной материи). Тогда из уравнения (8.15) вытекает, что

𝜌m = 𝜌m0

(𝑎0𝑎

)3, ⇔ m = m0

(𝑎0𝑎

)3,

что означает просто сохранение полной массы при нере-лятивистском движении. Разность Ω − 1 в (8.16) меня-ет знак, когда плотность барионной материи становитсяравной

𝜌crit =3𝐻2

0

8𝜋𝐺≈ 9 · 10−30 г

см3, Ωm =

m

𝜌crit𝑐2. (8.17)

Следующим учтём электромагнитное излучение всовокупности с другими безмассовыми частицами, та-кими как нейтрино:

Ωf =8𝜋𝐺 f

3𝑐2𝐻20

. (8.18)

Уравнением состояния газа безмассовых частиц являет-ся 𝑃f = f/3, поэтому плотность энергии из (8.15)

f = f0(𝑎0/𝑎)4.

Этот закон можно также объяснить и следующим об-разом. Частота каждого кванта падает с расширениемВселенной обратно пропорционально её “радиусу”, см.(8.11), а плотность квантов обратно пропорциональна𝑎3, поскольку полное количество квантов расширениеВселенной само собой не изменяет.

Наконец, вклад от тёмной энергии равен

ΩΛ =Λ𝑐2

8𝜋𝐺𝜌crit=

Λ𝑐2

3𝐻20

. (8.19)

Уравнением состояния Λ-субстанции (называемой тём-ной энергией), порождающей Λ-вклад в уравнении Эйн-штейна через общий тензор энергии-импульса, является𝑃Λ = −Λ. Свойством тёмной энергии является, такимобразом, отрицательное давление и, более того, отрица-тельное значение комбинации + 3𝑃 , которая фигури-рует в (8.14) и определяет знак второй производной повремени от масштабного фактора. Условие равенстванулю дивергенции тензора энергии-импульса (8.15) (вы-текающее теперь из равенства нулю дивергенции левойчасти уравнения Эйнштейна (7.33)) означает

∇𝜇(𝑔𝜇𝜈Λ

)= Λ/𝑐 = 0, (8.20)

поскольку ∇𝜇𝑔𝜇𝜈 = 0. Таким образом, Λ является неиз-менным во времени.

Природа тёмной энергии на настоящее время не из-вестна. Поэтому допустимо рассматривать и более об-щую модель её уравнения состояния, полагая

𝑃 = w, d+d𝑉

𝑉(1+w) = 0, = 0

(𝑎0𝑎

)3(1+w)

.

(8.21)Для Λ-субстанции безразмерный параметр w = −1 (дляпыли w = 0, для ультра-релятивистского газа w =1/3). Этот параметр устанавливает модельную линей-ную связь между давлением и энергией, 𝑝 = w. Впоследнем, проинтегрированном уравнении (8.21) пара-метр w полагается константой, хотя в более сложныхмоделях w может зависеть от времени.

Из экспериментальных данных может быть установ-лена ...

8.1.3.2 Скорость расширения Вселенной

Уравнение на скорость расширения Вселенной (8.13)может быть переписано в виде

𝑎=𝐻0

𝑐

√Ωf

(𝑎0𝑎

)4+Ωm

(𝑎0𝑎

)3+Ωk

(𝑎0𝑎

)2+ΩΛ, (8.22)

где введено обозначение

Ωk =𝑐2k𝐻2

0𝑎20

в предположении, что топология Вселенной (замкнутая,открытая или плоская) не изменяется с течением време-ни. Достоинство (8.22) состоит в том, что в правой частиуравнения вся зависимость от 𝑎 выписана явно. Поэтомуэто уравнение удобно решать численно для нахождениязависимости 𝑎(𝑡).

Вклад от кривизны Ωk при малых радиусах Вселен-ной оказывается малым по сравнению с вкладом от ма-терии, тогда как при больших радиусах он оказываетсямал по сравнению с вкладом от тёмной энергии. По-этому вклад Ωk может быть существенным только напромежуточной асимптотике. Однако и этого согласноэкспериментальным данным не имеет места быть.

Если в (8.22) доминирует вклад от одного слагаемо-го, то оно может быть проинтегрировано явно. Пустьуравнение состояния для этого слагаемого описываетсяконстантой w определённо к (8.21). Тогда

𝑎

𝑎0=

(2

3(1 + w)

𝐻0

√Ω (𝑡− 𝑡*)𝑐

) 2

3(1 + w)

Можно заметить, что чем больше показатель w (т.е. дав-ление), тем быстрее Вселенная расширяется на малыхвременах и тем медленнее на больших. В частности, дляультрарелятивистской материи (или поля) и для пыле-видной материи получаем

𝑎

𝑎0=

((1

2,2

3

)𝐻0

√Ωf,m (𝑡− 𝑡*)

𝑐

)1/2, 2/3

, (8.23)

97 IV. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

где 𝑡* — константа интегрирования. Отметим, что еслисущественными оказываются только вклады от пыле-видной материи и излучения, то уравнение динамикиВселенной (8.22) может быть решено аналитически це-ликом. Для Λ-субстанции, имеющей предельное урав-нение состояния, вместо степенного закона расширения

приходим к экспоненциальному закону

𝑎

𝑎0= exp

(𝐻0

√ΩΛ (𝑡− 𝑡*)𝑐

). (8.24)

Frieman, Turner и Huterer, 2008

99 V. APPENDIX

Часть V

APPENDIXГлава 9

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

§9.1. Тензорное исчисление

Рекомендуемая дополнительная литература: Коре-нев, 2000.

Рассмотрим линейное 𝑑-мерное пространство ℒ надполем действительных чисел. Каждый вектор x этоголинейного пространства может быть представлен в ви-де

x = e1𝑥1 + . . .+ e𝑑𝑥

𝑑 ≡ e𝜇𝑥𝜇, (9.1)

где индекс 𝜇 пробегает значения 1, . . . , 𝑑, e𝜇 — ба-зисные вектора некоторого базиса в этом линейномпространстве, 𝑥𝜇 — набор вещественных чисел, кото-рые мы будет называть координатами вектора x. Ра-венство (9.1) переписано второй раз с использованиемсоглашения Эйнштейна (Einstein notation or Einsteinsummation convention). Это соглашение заключается втом, что если в выражении дважды повторяется индекс,записанный вверху и внизу, то подразумевается сумми-рование по всем допустимым значениям этого индекса,если не оговорено противного. Эта операция суммиро-вания называется также свёрткой.

Предположим, что мы производим линейное преоб-разование базиса. Это означает, что мы переходим отстарого базиса e𝜇 к новому e′𝜈 согласно правилу, зада-ющемуся некоторой матрицей T′ размерности 𝑑x𝑑:

e′𝜈 = T𝜇′𝜈 e𝜇. (9.2)

где по повторяющемуся индексу 𝜇 согласно соглашениюЭйнштейна производится суммирование от 1 до 𝑑. На-бор векторов e′𝜇 является базисом в том случае, еслидетерминант T′ не ноль, то есть матрица не вырожде-на. Мы всегда будем это предполагать.

В новом базисе вектор x имеет координаты 𝑥′𝜇, ко-торые связаны с координатами в старом базисе черезобратную матрицу T′:

𝑥′𝜇 = T′𝜇𝜈 𝑥

𝜈 , T′𝜇𝜈 T

𝜆′𝜇 = 𝛿𝜆𝜈 . (9.3)

Здесь 𝛿𝜆𝜈 — символ Кронекера (Kronecker symbol), рав-ный единице, если значения его индексов совпадают (вданном случае если 𝜆 = 𝜈), и нулю в противном случае.

Вектор x становится осязаемым только в случае, ес-ли заданы его координаты 𝑥𝜇. Поэтому более практич-

ным определением вектора является следующее: сово-купность 𝑑 чисел 𝑥𝜇 называют вектором, если при пе-реходе от одного базиса к другому (мы будет говоритьо том же самом как о переходите от одной системы ко-ординат к другой) этот набор преобразуется по зако-ну (9.3).

9.1.1 Контравариантные и ковариант-ные вектора

Вектора, преобразующиеся по закону (9.3), называютконтравариантными векторами. Более общо, вектор𝑥𝜇 называют тензором первого ранга типа (0,1).

По определению, тензора второго ранга типа (0,2)являются элементами линейного пространства размер-ности 𝑑2, мы будем их обозначать как 𝐹𝜇𝜈 , 𝑀𝜇𝜈 , 𝑇𝜇𝜈 :каждый индекс пробегает по-прежнему 𝑑 значений, по-этому всего матричных элементов у тензора второгоранга оказывается как раз 𝑑2 штук. Пример тензора 𝐹𝜇𝜈можно построить из двух векторов (т.е. тензоров перво-го ранга типа (0,1)) путём их прямого произведения,

𝐹𝜇𝜈 = 𝑥𝜇 𝑦𝜈 ; пусть например 𝑇𝜇𝜈 = 𝐹𝜇𝜈 +𝑀𝜇𝜈 .(9.4)

В общем случае произвольный тензор второго ранга 𝑇𝜇𝜈невозможно представить в виде произведения двух век-торов (9.4), как это сделано для 𝐹𝜇𝜈 , поскольку в 𝑇𝜇𝜈 со-держится 𝑑2 независимых параметров, тогда как в двухвекторах независимых параметров всего 2𝑑. Тем не ме-нее, построение (9.4) показывает, что для тензора второ-го ранга при смене базиса должно иметь место правилопреобразования

𝐹 ′𝜇𝜈 = T′𝜇𝜌 T

′𝜈𝜆 𝐹

𝜌𝜆. (9.5)

9.1.1.1 Ковариантные тензора

Рассмотрим линейные функции на векторах: каждо-му вектору такая функция ставит в соответствие чис-ло. Такие функции образуют линейное пространство ℒ*

размерности 𝑑, его элементы называют ковариантнымивекторами. Если в пространстве ℒ выбран базис, так что

Глава 9. Элементы тензорного анализа 100

любой контравариантный вектор x определяется набо-ром 𝑑 чисел 𝑥𝜇, то ковариантный вектор 𝛼 ∈ ℒ* опре-деляется набором 𝑑 чисел 𝛼𝜇, так что его действие навекторе x равно

𝛼(x) = 𝛼𝜇𝑥𝜇. (9.6)

Это число не должно зависеть от выбранного базиса.Из (9.3) вытекает, что при преобразовании базиса этотнабор преобразуется по правилу

𝛼′𝜇 = T

𝜈′𝜇 𝛼𝜈 . (9.7)

совпадающему с правилом (9.2) для величины также снижним индексом.

Набор 𝑑 величин, преобразующихся по закону (9.6),называют ковариантными векторами (или, тензорамипервого ранга типа (1,0)), в отличии от контравариант-ных векторов.

По аналогии с тем, как был построен тензор второгоранга типа (0,2), можно построить тензор второго рангатипа (2,0) по правилу

𝐻𝜎𝜍 = 𝛼𝜎𝛽𝜍 , 𝐻 ′𝜎𝜍 = T

𝜈′𝜎T

𝜇′𝜍𝐻𝜇𝜈 . (9.8)

Далее, можно построить и тензор второго ранга сме-шанного типа (1,1), согласно правилу

𝐽𝜎𝜍 = 𝑥𝜎𝛽𝜍 , 𝐽 ′𝜎𝜍 = T

′𝜎𝜈 T

𝜇′𝜍𝐽

𝜈𝜇. (9.9)

Как 𝐻𝜎𝜍 , так и 𝐽𝜎𝜍 являются элементами (разных) ли-нейных пространств размерности 𝑑2.

Вообще, величины, имеющие более одного индекса, ипреобразующиеся по законам типа (9.5,9.8,9.9), называ-ются тензорами ранга, равного сумме количеств верх-них (котравариантных) и нижних (ковариантных) ин-дексов. Расширение описанных правил на тензора болеевысокого ранга прямолинейно.

9.1.1.2 Скаляры

Скаляром называют величину, значение которой не за-висит от выбранного базиса. Таким образом, действиековариантного вектора на контравариантном вектореесть скаляр. Другим примером построения скаляра яв-ляется след тензора второго ранга типа (1,1):

𝜙 = 𝐹𝜇𝜇.

Формально, скаляр является тензором нулевого ранга.

9.1.2 Метрика

Определим невырожденную квадратичную форму 𝑔, на-зываемую метрикой, которая каждой паре векторовx,y ставит в соответствие число, называемое скалярнымпроизведением,

(x·y) ≡ 𝑔𝜇𝜈𝑥𝜇𝑦𝜈 , 𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜈𝜇, (9.10)

где 𝑔𝜇𝜈 — совокупность 𝑑(𝑑− 1)/2 чисел, определяю-щих квадратичную форму 𝑔 в данном базисе. Скалярноепроизведение 𝑔𝜇𝜈𝑥𝜇𝑦𝜈 по нашей задумке должно зави-сеть только от выбранных метрики и векторов x,y, ноне должно зависеть от выбранной системы координат(выбранного базиса). Таким образом, метрика являетсятензором типа (2,0), и потому преобразуется согласноправилу

𝑔′𝜇𝜈 = T𝜌′𝜇T

𝜆′𝜈 𝑔𝜌𝜆, (9.11)

сравни с (9.8).Метрика является выделенным невырожденным

симметричным ковариантным тензором второго ранга(типа (2,0)). Если введена метрика, то устанавливаетсявзаимно-однозначное соответствие между контравари-антными и ковариантными. Пусть x, y — вектора ли-нейного пространства ℒ. Каждому контравариантномувектору 𝑥𝜇 можно поставить во взаимно однозначноесоответствие ковариантный вектор 𝑥𝜇, являющийся ли-нейной функцией на ℒ, см. определение (9.6), по прави-лам

𝑥𝜇 = 𝑔𝜇𝜈 𝑥𝜈 , 𝑥𝜇 = 𝑔𝜇𝜈𝑥𝜈 , (9.12)

𝑔𝜇𝜈𝑥𝜇𝑦𝜈 = 𝑥𝜇𝑦

𝜇 = 𝑥𝜇𝑦𝜇, ||𝑔𝜇𝜈 || = ||𝑔𝜇𝜈 ||−1.

Мы ввели матрицу, обратную матрице метрическоготензора. Обратный метрический тензор 𝑔𝜇𝜈 преобразу-ется по закону (9.5). Операции первой строчки (9.12)называют операциями опускания и поднятия индекса.

Процедуры поднятия и опускания индекса распро-страняются на тензора всех рангов. Например, тензору𝐹𝜇𝜈 можно поставить в соответствие тензора 𝐹𝜇𝜈 и 𝐹𝜇𝜈 ,проведя операции поднятия и опускания индекса соглас-но (9.12):

𝐹𝜇𝜈 = 𝑔𝜈𝜆𝐹𝜇𝜆, 𝐹𝜇𝜈 = 𝑔𝜇𝜆𝐹𝜆𝜈 .

Построенные величины будут преобразовываться поправилам (9.5) и (9.8) соответственно. Поскольку взаим-ное соответствие всех трёх тензоров однозначно, о нихвсех вместе взятых говорят просто как о тензоре 𝐹 .

9.1.2.1 Пример метрики: евклидово простран-ство

В качестве первого примера метрики рассмотрим евкли-дово пространство. Евклидово пространство (Euclideanspace) — это линейное пространство с введённой на нёмметрикой такой, что существует базис e, в котором мет-рика в матричном представлении является единичнойматрицей,

||𝑔𝑖𝑘|| = diag(1, . . . , 1), ⇔ 𝑔𝑖𝑘 = 𝛿𝑖𝑘. (9.13)

Вместо индексов из букв греческого алфавита𝜇, 𝜈, 𝜆, . . . мы используем индексы из букв латинско-го алфавита 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙, . . ., если речь идёт о евклидовомпространстве с введённым базисом, где метрика имеетканонический вид (9.13).

101 V. APPENDIX

В евклидовом пространстве действие метрики какквадратичной формы для двух векторов x,y представ-ляет из себя известное в физике скалярное произведе-ние:

𝑔𝑖𝑘 𝑥𝑖𝑥𝑘 ≡ (x·y) =

𝑑∑𝑖=1

𝑥𝑖𝑦𝑖. (9.14)

В евклидовом пространстве существует целое мно-жество базисов, в которых метрика является единичнойматрицей. Все такие базисы называются (прямоуголь-ными) Декартовыми системами координат (Cartesiancoordinate system). Переход от одного базиса к другомупроизводится с помощью ортогональной матрицы,

𝑥′𝑖 = 𝒪𝑖𝑘𝑥𝑘, 𝒪𝑖𝑘𝒪𝑙𝑘 = 𝒪𝑘𝑖𝒪𝑘𝑙 = 𝛿𝑖𝑙. (9.15)

Для того, чтобы отличать ортогональную матрицу отпроизвольной матрицы перехода, мы обозначили её 𝒪,так что T′ ≡ 𝒪. Для ортогональной матрицы равенство(9.7) сохраняет метрику (9.13).

Для евклидова пространства допускается нарушениесоглашения Эйнштейна в том смысле, что повторяю-щиеся индексы, по которым происходит суммирование,могут одновременно быть нижними или верхними. При-чина состоит в том, что тензора с верхними и нижнимииндексами не отличаются друг от друга, см. Пункт 9.1.1.

9.1.2.2 Пример метрики: пространство Минков-ского

Пространство Минковского (Minkowski space orMinkowski spacetime) — это 4-х мерное линейное про-странство с введённой на нём метрикой, такой, чтосуществует базис e, в котором метрика в матричномпредставлении имеет вид

||𝑔𝜇𝜈 || = diag(1,−1,−1 . . . ,−1), (9.16)

то есть метрика диагональна, первый элемент равен 1,а все остальные −1. Все такие базисы мы будем такженазывать (прямоугольными) Декартовыми системамикоординат.

Если рассматривается пространство Минковского,то для индексов принято производить счёт начиная снуля, так что 𝜇, 𝜈, . . . = 0, 1, . . . , 𝑑−1. В соответствиис физическим смыслом, нулевая компонента называетсятакже временной компонентой, а остальные компонен-ты — пространственными. Если есть желание выделитьпространственные компоненты, то используют индексыиз букв латинского алфавита 𝑖, 𝑗, 𝑘, . . ..

В пространстве Минковского действие метрики какквадратичной формы имеет вид

𝑔𝜇𝜈 𝑥𝜇𝑦𝜈 = 𝑥0𝑦0 −

𝑑−1∑𝑖=0

𝑥𝑖 𝑦𝑖 ≡ 𝑥0𝑦0 − 𝑥𝑖𝑦𝑖. (9.17)

Матрицу преобразования T′, которая сохраняет

метрику (9.16), мы будем обозначать символом Λ′ и на-

зывать матрицей преобразования Лоренца, а само пре-образование — преобразованием Лоренца. Таким обра-зом, если Λ′ — матрица преобразования Лоренца и мет-рика 𝑔 есть метрика Минковского (9.16), то

𝑔𝜇𝜈 = Λ′𝜆𝜇 Λ′𝜌

𝜈 𝑔𝜆𝜌. (9.18)

9.1.3 Полностью антисимметричныйпсевдотензор

Символ Леви-Чивиты ε (Levi-Civita symbol) для 𝑑-мерного пространства имеет 𝑑 индексов. Не имеет зна-чения, называть их верхними или нижними, посколькусимвол Леви-Чивиты не является тензором. По опреде-лению, его матричный элемент

ε12...𝑑 = 1. (9.19)

в любой системе отсчёта. При перестановке любых двухиндексов значение символа меняет знак. Таким образом,в частности, если значение хоть одной пары его индек-сов совпадает, то соответствующий матричный элементсимвола равен нулю.

Покажем, что величина E, определённая согласноравенству

E𝜇...𝜈 =√|𝑔| ε𝜇...𝜈 , 𝑔 = det ||𝑔𝜆𝜌|| (9.20)

является псевдотензором. Псевдотензором в общем слу-чае мы называем объект, который ведёт себя как тен-зор какого-либо ранга и в дополнение к этому меняетзнак, если детерминант матрицы перехода T′ отрица-телен. Величину (9.20) мы будем называть полностьюантисимметричным псевдотензором.

Действительно, посмотрим как совокупность вели-чин (9.20) преобразуется при переходе из одной систе-мы координат в другую, если считать её тензором ранга(0, 𝑑):

E′𝜇...𝜈 → T

𝜌′𝜇 . . .T

𝜆′𝜈 E𝜌...𝜆 =

√|𝑔|T 𝜌

′𝜇 . . .T𝜆′𝜈 ε𝜌...𝜆.

Свертка символа Леви-Чивиты с 𝑑 матрицами T′ естьдетерминант этой матрицы помноженный на символЛеви-Чивиты (для доказательства следует сопоставитьопределения детерминанта и символа Леви-Чивиты). Сдругой стороны, поскольку преобразованная метрика —см. правую часть (9.11) — представляет из себя произ-ведение трёх матриц T′, ||𝑔𝜇𝜈 || и снова T′, то

det ||𝑔′𝜇𝜈 || = (detT′)2 det ||𝑔𝜇𝜈 ||.

В итоге получаем, что

E′𝜇...𝜈 →

√|𝑔| detT′ ε𝜇...𝜈 = sign(detT′)

√|𝑔′| ε𝜇...𝜈 .

Таким образом, если детерминант матрицы переходаdetT′ положителен, то преобразование E как тензоратипа (𝑑, 0) согласуется с его определением (9.20). Еслиже детерминант матрицы перехода отрицателен, резуль-тат преобразования по правилу тензора отличается от

Глава 9. Элементы тензорного анализа 102

определения (9.20) знаком. В соответствии с определе-нием (9.20), в этом случае при переходе в новую системукоординат E меняет знак в добавок к преобразованиюпо типу тензора (𝑑, 0).

Действуя аналогично можно показать, что полно-стью антисимметричный псевдотензор с верхними ин-дексами равен

E𝜇...𝜈 =1√|𝑔|

ε𝜇...𝜈 . (9.21)

Любое произведение полностью антисимметричногопсевдотензора на просто тензор (по схеме (9.4)) естьпсевдотензор. Произведение двух псевдотензоров естьпросто тензор.

9.1.4 Тензорные поля

§9.2. Евклидово пространство

Рассмотрим евклидово пространство и базис в нёмтакой, что в этом базисе метрика является единичнойматрицей, см. Пункт 9.1.2.1:

𝑔𝑖𝑘 = 𝛿𝑖𝑘. (9.22)

В этом случае базис называется Декартовой системойкоординат (Cartesian coordinate system). Переход во вседругие Декартовы системы координат осуществляетсяс помощью ортогональных преобразований. Если в си-стеме 𝐾 у вектора 𝑥 были координаты 𝑥𝑘, то в системе𝐾 ′ координаты этого вектора

𝑥′𝑖 = 𝒪𝑖𝑘 𝑥𝑘, 𝒪𝑘𝑖𝒪𝑘𝑙 = 𝛿𝑖𝑙. (9.23)

Здесь матрица 𝒪 — матрица ортогонального поворота;второе равенство в (9.23) представляет из себя условиена то, чтобы матрица была ортогональной. В дальней-шем мы в этом параграфе будем рассматривать толькоортогональные переходы от одного базиса к другому.

В евклидовом пространстве компоненты ковариант-ного вектора совпадают с компонентами контравари-антного вектора, см. (9.12), поэтому нет смысле раз-личать нижние и верхние индексы. Соглашение Эйн-штейна, таким образом, не требует, чтобы два повторя-ющихся индекса, по которым производится суммирова-ния, были один вверху, а другой вверху. Они могут бытьна любых позициях. Обозначая вектора в евклидовомпространстве, мы, тем не менее, будем по возможностиписать их индексы вверху.

9.2.1 Скалярное произведение векторов

Здесь мы частично повторяем то, что было сказано вПункте 9.1.2.1.

Скалярное произведение (a ·b) в евклидовом про-странстве двух векторов a,b в декартовой системе ко-ординат определяется как

(a·b) = 𝑎𝑖 𝑏𝑖. (9.24)

Наоборот, если скалярное произведение в евклидовомпространстве (которое не зависит от системы отсчёта)

в некоторой системе координат определяется согласно(9.24), то эта система отсчёта называется декартовой.

Модуль вектора, определённый согласно равенству

|a| =√(a·a) (9.25)

в евклидовом пространстве обладает свойством нормы,то есть выполняются неравенство треугольника и ли-нейное свойство:

|a+ b| ≤ |a|+ |b|, |𝜙a| = |𝜙| |a|, |𝑎| ≥ 0,

где 𝜙 — действительное число.

9.2.2 Аксиальный вектор в 3-х мерномпространстве

В этом Пункте мы рассматриваем трёхмерное простран-ство, то есть 𝑑 = 3.

Сперва отметим, что поскольку метрика у нас явля-ется единичной матрицей, и мы рассматривает толькоортогональные преобразования, то антисимметричныйпсевдотензор совпадает с символом Леви-Чивиты,

E𝑖𝑘𝑙 = ε𝑖𝑘𝑙,

см. Пункт 9.1.3.Рассмотрим антисимметричный тензор второго ран-

га B𝑖𝑘:B𝑖𝑘 = −B𝑘𝑖.

Поскольку мы рассматривает 3-х мерное пространство,то у такого тензора имеется всего три независимыекомпоненты. Поставим этому тензору в соответствиепсевдо-вектор

B𝑛 =1

2ε𝑛𝑖𝑘B

𝑖𝑘, B𝑖𝑘 = ε𝑖𝑘𝑛B𝑛. (9.26)

Псевдо-вектора также называют аксиальными вектора-ми (pseudovector or axial vector), в отличие от обычныхвекторов, которые называют истинными или полярны-ми векторами (true or polar vector). Аксиальные векто-ра преобразуются также, как и радиальные, если орто-гональное преобразование содержит в себе только орто-

103 V. APPENDIX

гональный поворот. Если же ортогональное преобразо-вание содержит в себе также операцию пространствен-ной инверсии, то аксиальный вектор вдобавок меняетзнак.

В матричном виде связь компонент тензора B𝑖𝑘 иаксиального вектора B𝑛 выглядит следующим образом:

||B𝑖𝑘|| =↓𝑖

⎛⎜⎝ 0 B𝑧 −B𝑦

−B𝑧 0 B𝑥

B𝑦 −B𝑥 0

⎞⎟⎠ . (9.27)

Ещё раз подчеркнём, что если в составе ортогональногопреобразования нет операции инверсии, то закон пре-образования (9.11), применённый для тензора B𝑖𝑘 экви-валентен преобразованию (9.3) для аксиального векто-ра B𝑖.

9.2.2.1 Векторное произведение

Пусть нам даны два радиальных вектора 𝑎𝑖 и 𝑏𝑖. Поста-вим им в соответствие аксиальный вектор 𝑑𝑖

𝑑𝑖 = ε𝑖𝑘𝑙 𝑎𝑘 𝑏𝑙, ⇔ d = [a× b]. (9.28)

Вектор d называется векторным произведением векто-ров a и b (cross product of a and b). Если среди векторовa и b один радиальный, а другой аксиальный, то их век-торное произведение будет радиальным вектором. В си-лу свойств символа Леви-Чивиты, получаем следующиесвойства векторного произведения

[a× b] = −[b× a], 𝑑𝑥 = 𝑎𝑦 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 𝑏𝑦. (9.29)

Выражения для остальных компонент вектора d можнополучить путём циклической перестановки индексов.

Вектор d направлен ортогонально плоскости, обра-зуемой векторами a и b. Действительно, скалярные про-изведения

(d·a) = ε𝑖𝑘𝑙 𝑎𝑖 𝑎𝑘 𝑏𝑙 = 0, (d·b) = 0 (9.30)

в силу антисимметричности символа Леви-Чивиты. Мо-дуль вектора d равен произведению модулей векторов a,b помноженного на модуль синуса угла между ними —это есть площадь параллелограмма, натянутого на век-тора a,b.

9.2.2.2 Смешанное произведение

Смешанное произведение 𝜑 трёх векторов a, b и c (scalartriple product) по определению есть

𝜑 = (a·b·c) ≡ ε𝑖𝑘𝑙𝑎𝑖𝑏𝑘𝑐𝑙 = (a·[b× c]) . (9.31)

В силу свойств символа Леви-Чивиты, смешанное про-изведение обладает симметриями перестановок

(a·b·c) = (c·a·b) = −(b·a·c), (9.32)

то есть, вслед за символом Леви-Чивиты, смешанноепроизведение меняет знак при перестановке любых двухвекторов. Модуль смешанного произведения равен объ-ёму параллелепипеда, натянутого на вектора a,b, c.

§9.3. Пространство Минковского

Рассмотрим более подробно свойства 4-х мерногопространства Минковского, см. Пункт 9.1.2.2. В каче-стве преобразований базиса мы здесь рассматриваемтолько преобразования Лоренца.

9.3.0.1 Обозначения этого параграфа

Пусть нам дан 4-вектор 𝐴𝜇, нулевая компонента которо-го равна 𝜙, а пространственные компоненты составляеттрёхмерный вектор 𝐴. Коротко мы это будем записы-вать как

||𝐴𝜇|| = 𝜙,𝐴.

В физике тензор электромагнитного поля и мо-мент импульса представляют из себя антисимметрич-ные тензора второго ранга. Мы будем рассматриватьтензор F𝜇𝜈 ,

F𝜇𝜈 = −F𝜈𝜇.

У такого тензора имеется всего 6 независимых матрич-ных элементов.

Наконец, физический интерес представляют такжесимметричные тензора второго ранга, примером кото-рого является тензор энергии импульса 𝑇𝜇𝜈 :

||𝑇𝜇𝜈 || =(𝑇 00 𝑆𝑇

𝑆 −

)(9.33)

где 𝑆 — 3-х мерный вектор-столбец, а — матрица 3x3.

9.3.0.2 Ортогональный поворот

Пусть системы 𝐾 и 𝐾 ′ неподвижны друг относительнодруга, однако их пространственные оси повернуты от-носительно друг друга. Таким образом, преобразованиекоординат ограничивается преобразованием простран-ственных координат матрицей ортогонального поворо-та размерности 3x3. Матрица Лоренца в этом случаеимеет вид

Λ =

(1 0𝑇

0

)(9.34)

где 0 — столбец из трёх нулей, а 0𝑇 — соответственно,строка из трёх нулей.

Глава 9. Элементы тензорного анализа 104

9.3.1 Антисимметричный тензор второ-го ранга

Исследуем математические свойства антисимметрично-го тензора второго ранга F𝜇𝜈 . Представим его в виде

||F𝜇𝜈 || =↓𝜇

⎛⎜⎜⎝0 −E𝑗

E𝑖 −ε𝑖𝑗𝑘 B𝑘

⎞⎟⎟⎠ =𝜇 = 𝑖𝜈 = 𝑗

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 −E𝑥 −E𝑦 −E𝑧

E𝑥 0 −B𝑧 B𝑦

E𝑦 B𝑧 0 −B𝑥

E𝑧 −B𝑦 B𝑥 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . (9.35)

Покажем, что величины E и B ведут себя как поляр-ный и аксиальный вектора в трёхмерном пространстве.Для этого произведём преобразование Лоренца (9.34),по сути сводящееся к ортогональному преобразованиюв пространстве. Получаем следующий закон преобразо-вания набора величин E𝑘:

E′𝑖 = F′𝑖0 = Λ′𝑖𝜇 Λ

′0𝜈 F

𝜇𝜈 = Λ′𝑖𝑘 F

𝑘0 = 𝒪𝑖𝑘 E𝑘

Мы учли то, что и у самого тензора F, и у матрицы пре-образования Лоренца Λ есть нулевые элементы и отбро-сили соответствующие нулевые слагаемые. Таким обра-зом, действительно, величины E𝑘 при ортогональномповороте ведут себя как компоненты 3-х мерного век-тора. Закон преобразования величин B𝑘 описан в Пунк-те 9.2.2. В терминах этого пункта B𝑖𝑘 = −F𝑖𝑘, для кото-рого закон преобразования определяется ортогональнойматрицей 𝒪:

B′𝑖𝑘 = −Λ′𝑖𝜇 Λ

′𝑘𝜈 F𝜇𝜈 = −Λ′𝑖

𝑙 Λ′𝑘𝑚 F𝑙𝑚 =

= 𝒪𝑖𝑙𝒪𝑘𝑚 B𝑙𝑚.

Из выводов Пункта 9.2.2 следует, что величины B𝑘, дей-ствительно, образуют трёхмерный аксиальный вектор.

Антисимметричный тензор называют би-вектором иравенство (9.35) кратко записывают как

||F𝜇𝜈 || = (−E,−B). (9.36)

9.3.1.1 Дуальный антисимметричный тензор

Если дан антисимметричный тензор второго ранга F𝜇𝜈

(9.36), то можно построить дуальный ему антисиммет-ричный псевдо-тезор второго ранга F𝜇𝜈 по правилу

F𝜇𝜈 =1

2ε𝜇𝜈𝜆𝜎F𝜆𝜎, ||F𝜇𝜈 || = (−B,E). (9.37)

Величина F𝜇𝜈 называется псевдо-тензором, посколькуменяет знак при операции пространственной инверсии,см. Пункт 9.1.3.

9.3.2 Операции поднятия и опусканияиндексов

Используя явный вид метрики пространства Минков-ского (9.16), можно получить связь компонент контра-вариантного и ковариантного тензора одной и той же ве-личины, см. общую формулу (9.12). Поскольку метрикадиагональна и на диагонали стоит только ±1, то изме-нение матричных элементов при опускании или подня-тии индекса должно сводиться только к изменению илисохранению знака этого элемента.

Для 4-вектора получаем:

||𝐴𝜇|| = 𝜙,𝐴. ⇔ ||𝐴𝜇|| = 𝜙,−𝐴.

Для компонент антисимметричного тензора второгоранга при опускании индекса меняет знак только ра-диальный вектор,

||F𝜇𝜈 || = (−E,−B), ⇔ ||F𝜇𝜈 || = (E,−B).

Наконец, для симметричного тензора (9.33) с ниж-ними индексами получаем, что знак меняют толькопространственно-временные компоненты,

||𝑇𝜇𝜈 || =(𝑇 00 −𝑆𝑇

−𝑆 −

).

105 V. APPENDIX

Глава 10

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§10.1. Криволинейные координаты, вложенные в евклидово пространство

Рассмотрим 𝑑-мерное евклидово пространство илипространство Минковского с системой координат 𝑟𝑖,𝑖, 𝑗, 𝑘, . . . = 1, . . . , 𝑑, в которой метрический тензоримеет канонический вид – он имеет диагональный види его диагональные элементы равны ±1. Мы будем счи-тать, что сначала идут 1, а потом −1 в порядке возрас-тания номера индекса; в таком случае мы будем обозна-чать метрический тензор

𝑔𝑖𝑘 = 𝜂𝑖𝑘. (10.1)

Эту систему мы будем называть канонической прямо-линейной системой координат.

Пусть также в этом пространстве определена некото-рая криволинейная система координат 𝜉𝜇, 𝜇, 𝜈, 𝜆, . . . =1, . . . , 𝑑. Техника дифференциальной геометрии позво-ляет обобщать запись векторных и тензорных равенств,сформулированных исходно чаще всего в каноническойпрямолинейной системе координат, на криволинейныекоординаты.

Криволинейная система координат в каждой точкезадаёт базис с базисными векторами, являющимися ка-сательными к координатным линиям этой системы ко-ординат. Матрицы перехода для тензоров от декартовойк криволинейной системе координат и обратно

T𝜇𝑖 =

𝜕𝜉𝜇

𝜕𝑟𝑖≡ 𝜕𝑖𝜉𝜇, T

𝑖𝜇 =

𝜕𝑟𝑖

𝜕𝜉𝜇≡ 𝜕𝜇𝑟𝑖, T

𝜇𝑖T

𝑘𝜇 = 𝛿𝑖𝑘.

(10.2)Произвольные векторные поля 𝑣 = ||𝑣𝑖(𝑟)|| и 𝑤 =||𝑤𝑖(𝑟)||, записанные в декартовых координатах, перепи-сываются в криволинейных координатах согласно пра-вилу

𝑣𝜇(𝜉) = T𝜇𝑖 𝑣𝑖, 𝑣𝜇(𝜉) = T

𝑖𝜇𝑣𝑖. (10.3)

Для этого базиса справедливы все рассуждения § 9.1.Метрический тензор (metric tensor)

𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜈𝜇 = T𝑖𝜇𝜂𝑖𝑘T𝑘𝜈 , 𝑔𝜇𝜈𝑔

𝜈𝜆 = 𝛿𝜆𝜇, (10.4)

так что скалярное произведение двух полей 𝑣𝑖 и 𝑤𝑖 вкриволинейных координатах записывается в виде свёрт-ки по нижнему и верхнему индексам:

(𝑣 ·𝑤) = 𝜂𝑖𝑘𝑣𝑖𝑤𝑘 = 𝑔𝜇𝜈𝑣

𝜇𝑤𝜇.

Метрический тензор 𝑔𝜇𝜈 содержит полную информа-цию о соотношении малых приращений криволинейных

координат с расстоянием, площадью и объёмом в прямо-линейной системе координат. В частности, элемент объ-ёма

dΩ ≡ d𝑑𝑟 =√|𝑔|d𝑑𝜉, 𝑔 = det ||𝑔𝜇𝜈 ||,

а квадрат элемента длины

d𝑙2 = 𝑔𝜇𝜈d𝜉𝜇d𝜉𝜈 .

Пусть есть две криволинейных системы координат —𝜉𝜈 и 𝜉′𝜇. Матрица перехода T′𝜇

𝜈 между этими системамикоординат равна

T′𝜇𝜈 = T

′𝜇𝑘 T

𝑘𝜈 =

𝜕𝜉′𝜇

𝜕𝜉𝜈, T

𝜈′𝜎T

′𝜎𝜇 = 𝛿𝜈𝜇, (10.5)

что обобщает равенства (10.2).

10.1.1 Ковариантная производнаяПусть нам дано некоторое тензорное поле. Оставаясь впрямолинейной системе координат, мы можем диффе-ренцировать такое поле, при этом результат дифферен-цирования будет также являться тензором с рангом на1 выше, см. Пункт 9.1.4. Выработаем правила диффе-ренцирования тензоров в криволинейных координатах.

Градиент скалярного поля 𝜙 в криволинейных коор-динатах вычисляется также, как и в декартовых:

T𝑖𝜈𝜕𝑖𝜙 ≡ ∇𝜈𝜙 = 𝜕𝜈𝜙 (10.6)

согласно (10.3). Поле 𝜕𝜈𝜙 является, таким образом, ко-вариантным векторным полем.

Градиент 𝜕𝑖𝑣𝑘 некоторого векторного поля 𝑣𝑘 в егоковариантной записи в криволинейных координатах на-ходится согласно более сложному правилу

T𝑖𝜇T

𝑘𝜈𝜕𝑖𝑣𝑘 ≡ ∇𝜇𝑣𝜈 = 𝜕𝜇𝑣𝜈 − Γ𝜆𝜇𝜈𝑣𝜆. (10.7)

В отличие от случая скаляра (10.6), 𝜕𝜇𝑣𝜈 не является ко-вариантным тензором второго ранга, тогда как ∇𝜇𝑣𝜈 —является (по определению). Оператор ∇ называется ко-вариантной производной и не совпадает с простой про-изводной 𝜕𝜇. Не является, соответственно, и тензоромсимвол Кристоффеля (Christoffel symbols) Γ𝜈𝜇𝜆 (10.13):при переходе из одной криволинейной системы коор-динат в другую он не преобразуется согласно правилам(10.3); тем не менее, по определению поднятие и опуска-ние первого индекса у символа Кристоффеля произво-дится по тем же правилам (9.12). В случае, если в (10.7)градиент берётся не от вектора, а от тензора ранга 𝑛

Глава 10. Дифференциальная геометрия 106

(например, 𝑣𝜇𝑤𝜈 , ранг 2), то вместо одного слагаемогос символом Кристоффеля в (10.7) должно стоять, соот-ветственно, 𝑛 слагаемых. Градиент контравариантногополя имеет вид

T𝑖𝜇T

𝜈𝑘 𝜕𝑖𝑣

𝑘 ≡ ∇𝜇𝑣𝜈 = 𝜕𝜇𝑣𝜈 + Γ𝜈𝜇𝜆𝑣

𝜆, (10.8)

что можно получить из требования, что ковариантнаяпроизводная скаляра 𝜙 = 𝑣𝜆𝑤𝜆 должна быть просточастной производной:

∇𝜇𝜙 = 𝜕𝜇𝜙 = 𝑣𝜆∇𝜇𝑤𝜆 + 𝑤𝜆∇𝜇𝑣𝜆.

Закон преобразования символов Кристоффеля при пе-реходе из одной системы координат в другую (10.5)можно получить исходя из определения (10.8):

∇′𝜈𝑣

′𝜇 = T𝜍′𝜈 T

′𝜇𝜎

(𝜕𝜍(T𝜎′𝜆 𝑣

′𝜆)+ Γ𝜎𝜍𝜏(T𝜏′𝜆 𝑣

′𝜆)) =

= 𝜕′𝜈 𝑣′𝜇 +

(T

′𝜇𝜎 𝜕

′𝜈T

𝜎′𝜆 +T

′𝜇𝜎 T

𝜍′𝜈 T

𝜏′𝜆 Γ

𝜎𝜍𝜏

).

Откуда заключаем, что

Γ′𝜇𝜈𝜆 = T

′𝜇𝜎 T

𝜏′𝜈 T

𝜍′𝜆 Γ

𝜎𝜍𝜏 + T′𝜇

𝜎

(𝜕T𝜎′𝜆𝜕𝑥′𝜈

=𝜕2𝜉𝜎

𝜕𝜉′𝜈 𝜕𝜉′𝜆

),

(10.9)т.е. символы Кристоффеля Γ′𝜇

𝜈𝜆 действительно не явля-ется тензором.

Для ковариантной и частной производной принятыстандартные обозначения:

∇𝜇𝑣𝜈 = 𝑣𝜈;𝜇, 𝜕𝜇𝑣𝜈 = 𝑣𝜈,𝜇,

∇𝜇 = 𝑔𝜇𝜈∇𝜈 , 𝑣 ;𝜇𝜈 = 𝑔𝜇𝜆𝑣𝜈;𝜆.

Отметим, что до этого момента нам не важны быликонкретные свойства метрики, поэтому наши рассужде-ния носили общий характер.

10.1.1.1 Связь символов Кристоффеля с метри-кой

Явное выражение для символов Кристоффеля мож-но получить, применив формулу (10.9) для переходаиз декартовой системы координат в криволинейную. Вдекартовой системе координат символы Кристоффеляравны нулю, поэтому

Γ𝜇𝜈𝜆 = T𝜇𝑖

𝜕2𝑟𝑖

𝜕𝜉𝜈 𝜕𝜉𝜆= T

𝜇𝑖 𝜕𝜆T

𝑖𝜈 = Γ𝜇𝜆𝜈 . (10.10)

Таким образом, символы Кристоффеля симметричныпо нижней паре индексов для криволинейных коорди-нат вложенных в прямолинейную систему координат.

Однако более универсальным является выражениесимволов Кристоффеля через метрику. Сначала от-метим, что ковариантная производная коммутирует сметрическим тензором и абсолютно антисимметричным(10.23) тензорами,

∇𝜆𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜇𝜈∇𝜆, ∇𝜆𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜇𝜈∇𝜆,

∇𝜆E𝜇𝜈𝜌 = E𝜇𝜈𝜌∇𝜆.(10.11)

Эти равенства легко проверить, записав результат диф-ференцирования в декартовых координатах, где метри-ческий и антисимметричный тензор постоянны в про-странстве и равны соответственно 𝛿𝑖𝑘 и 𝜖𝑖𝑘𝑙.

Распишем явно условие (10.11) равенства нулю ко-вариантной производной метрики:

0 = 𝑔𝜇𝜈,𝜆 − Γ𝜈𝜇𝜆 − Γ𝜇𝜈𝜆, Γ𝜈𝜇𝜆 ≡ 𝑔𝜍𝜈Γ𝜍𝜇𝜆 (10.12)

Теперь если это уравнение взять в комбинации индексов(для производной метрики) 𝜇𝜈𝜆 − 𝜇𝜆𝜈 − 𝜆𝜈𝜇, томы придём к искомому уравнению

Γ𝜆𝜇𝜈 = (𝑔𝜆𝜇,𝜈 + 𝑔𝜆𝜈,𝜇 − 𝑔𝜇𝜈,𝜆) /2. (10.13)

10.1.1.2 Вариации криволинейных координат

Предположим, что криволинейная система координатсвязана с материальной средой, и мы производим (даль-нейшую) деформацию этой среды, то есть подвергаемнекоторой вариации систему криволинейных координат𝜉: 𝜉(𝑟) → 𝜉(𝑟) + 𝛿𝜉(𝑟). Это же самое изменение можнопредставить в виде движения лагранжевых маркеров,

𝑟𝑖(𝜉)→ 𝑟𝑖(𝜉) + 𝛿𝑟𝑖(𝜉) = 𝑟𝑖(𝜉) + 𝑣𝑖(𝜉) 𝛿𝑡

где 𝛿𝑡 – приращение (виртуального) времени, а 𝑣 – (вир-туальная) скорость, 𝛿𝑟 = 𝑣𝛿𝑡.

Параметризации вариации криволинейной системыкоординат через 𝛿𝜉(𝑟) и 𝑣𝑖(𝜉) 𝛿𝑡 связаны между собойсоотношением

𝛿T𝑖𝜇 =𝜕𝛿𝑟𝑖

𝜕𝜉𝜇= T

𝑘𝜇 𝜕𝑘𝑣

𝑖 𝛿𝑡,

𝛿T𝜇𝑘 =𝜕 𝛿𝜉𝜇

𝜕𝑟𝑘= −T𝜇𝑖 𝜕𝑘𝑣

𝑖 𝛿𝑡,

где последнее равенство можно получить из требованиясохранения тождества T𝑖𝜇T

𝜇𝑘 = 𝛿𝑖𝑘. Отсюда можно най-

ти вариацию метрики

𝛿𝑔𝜇𝜈 = T𝑖𝜇T

𝑘𝜈(𝜕𝑖𝑣𝑘 + 𝜕𝑘𝑣𝑖)𝛿𝑡 =

(∇𝜇𝑣𝜈 +∇𝜈𝑣𝜇

)𝛿𝑡.

(10.14)Вариация якобиана перехода

𝛿𝑔 =𝑀𝜇𝜈𝑔 𝛿𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝑔𝜇𝜈𝛿𝑔𝜇𝜈 = −𝑔𝑔𝜇𝜈 𝛿𝑔𝜇𝜈 = 2𝑔 div 𝑣 𝛿𝑡,

(10.15)где 𝑀𝜇𝜈

𝑔 — матрица миноров матрицы ||𝑔𝜇𝜈 ||, так что𝑔 =𝑀𝜇𝜈

𝑔 𝑔𝜇𝜈/𝑑, где 𝑑 — размерность пространства.

107 V. APPENDIX

10.1.2 Операции интегрирования и век-торного дифференцирования

Для дальнейших выкладок нам будет полезны выраже-ние для двух различных свёрток символа Кристоффеля

Γ𝜇𝜇𝜈 =1√|𝑔|𝜕𝜈√|𝑔|, 𝑔𝜇𝜈Γ𝜎𝜇𝜈 = − 1√

|𝑔|𝜕𝜇

(√|𝑔|𝑔𝜇𝜎

).

(10.16)Оба равенства могут быть выведены из (10.13) с исполь-зованием выражения для вариации детерминанта мет-рики в виде (10.15). При получении второго равенствадля преобразования первых двух слагаемых в (10.13)надо использовать тождество 𝜕𝜌(𝑔𝜇𝜎𝑔𝜎𝜈) = 0.

Теперь можно вычислить выражения для диверген-ции вектора и обобщения оператора Лапласа, действу-ющего на скаляр. Первое равенство в (10.16) даёт

𝐴𝜇;𝜇 =1√|𝑔|

𝜕𝜈

(√|𝑔|𝐴𝜇

), (10.17)

𝜑;𝜇;𝜇 =1√|𝑔|

𝜕𝜈

(√|𝑔| 𝑔𝜇𝜈𝜕𝜈𝜑

)Из уравнения (10.17) следует теорема Гаусса

ˆ𝑉

dΩ𝐴𝜇;𝜇 =

ˆ𝜕𝑉

d𝑆𝜇√|𝑔|𝐴𝜇. (10.18)

где слева происходит интегрирование по некоторому 𝑑-мерному объёму 𝑉 , а справа — по (𝑑−1)-мерной поверх-ности 𝜕𝑉 , окружающей этот объём; d𝑆𝜇 есть ковариант-ная компонента вектора элемента площади поверхностина 𝜇-направление.

В общем случае дивергенция тензора не являет-ся полной производной. Например, для симметричноготензора второго ранга 𝑇𝜇𝜈 = 𝑇 𝜈𝜇

∇𝜈𝑇 𝜈𝜇 =1√|𝑔|

(√|𝑔|𝑇 𝜈𝜇

),𝜈− 1

2𝑇𝜆𝜈𝑔𝜆𝜈,𝜇. (10.19)

В прямую сторону это равенство проверяется подста-новкой непосредственного выражения для ковариант-ной производной, затем для одного слагаемого следу-ет воспользоваться правилом для свёртки (10.16), а длядругого выражением через метрику (10.13) для симво-лов Кристоффеля.

Исключение из этого общего правила составляют ан-тисимметричные тензора: если 𝐹 𝜈𝜇 = −𝐹𝜇𝜈 , то

∇𝜈𝐹 𝜈𝜇 =1√|𝑔|

𝜕𝜈

(√|𝑔|𝐹 𝜈𝜇

). (10.20)

Для проверки этого равенства надо воспользоватьсятакже симметричностью символов Кристоффеля по по-следним индексам (10.10).

Наконец, установим возможность интегрирования почастям, если производится интегрирование скалярной

величины. Например, рассмотрим интеграл (7.28) пред-полагая, что подъинтегральное выражение обращаетсяв нуль на границе области интегрирования:ˆ

dΩ𝑇𝜇𝜈∇𝜇𝛿𝑥𝜈 =

ˆdΩ∇𝜇

(𝑇𝜇𝜈𝛿𝑥𝜈

)−ˆdΩ 𝛿𝑥𝜈∇𝜇𝑇𝜇𝜈

= −ˆ

dΩ 𝛿𝑥𝜈∇𝜇𝑇𝜇𝜈 . (10.21)

Сначала мы воспользовались правилом Лейбница дляковариантной производной произведения, затем мы вос-пользовались теоремой Гаусса (10.18) с учётом того, чтоинтегрирование по границе равно нулю.

10.1.2.1 Антисимметричная производная и ро-тор в трёх-мерном пространстве

Пусть дано векторное ковариантное поле 𝐴𝜇, то состав-ляя антисимметричную комбинацию его производных,можно составить антисимметричный тензор

𝐹𝜇𝜈 = −𝐹𝜈𝜇 = ∇𝜇𝐴𝜈 −∇𝜈𝐴𝜇 = 𝜕𝜇𝐴𝜈 − 𝜕𝜈𝐴𝜇. (10.22)

Таким образом, ковариантная производная в этом выра-жении может быть заменена на простую в силу симмет-рии символов Кристоффеля по последней паре индек-сов. Отметим, что для контравариантного поля такогосокращения не происходит.

В трёх-мерном пространстве операция (10.22) назы-вается операцией взятия ротора. В векторных обозначе-ниях вместо антисимметричного тензора 𝐹𝜇𝜈 использу-ют аксиальный вектор, см. (9.26). Поэтому определениеротора использует полностью антисимметричный тен-зор, см. Пункт 9.1.3. Операции взятия ротора, записан-ной в терминах ковариантного вектора, не участвуютсимволы Кристоффеля,[

rot𝑣]𝜇

= E𝜇𝜈𝜆∇𝜈𝑣𝜆 = E𝜇𝜈𝜆𝜕𝜈𝑣𝜆 (10.23)

10.1.3 Двумерная поверхность, вложен-ная в трёх-мерное пространство

Рассмотрим поверхность, которая задаётся уравнениемΦ(𝑟) = 0, а на самой поверхности введены координа-ты 𝜉𝛼, 𝛼, 𝛽 . . . = 1, 2. Совокупность 𝜉1, 𝜉2,Φ мож-но рассматривать как систему криволинейных коорди-нат, вложенную в трёх-мерное пространство. Эта си-стема координат определена по крайней мере в некото-рой окрестности поверхности Φ = 0. Мы предполагаем,что локальные координаты 𝜉1, 𝜉2,Φ образуют правуютройку. Матрицу перехода из декартовой системы коор-динат в криволинейную будем обозначатьT𝜇𝑖 , см. (10.2).Для этих криволинейных координат может быть опре-делена метрика 𝑔𝜇𝜈 , где 𝜇, 𝜈, . . . = 1, 2,Φ. Блок 𝑔𝛼𝛽этой метрики является метрикой для криволинейныхкоординат 𝜉𝛼 на рассматриваемой поверхности. Удобноввести обозначение

𝑔⊥ = det ||𝑔𝛼𝛽 ||. (10.24)

Глава 10. Дифференциальная геометрия 108

Пусть ℓ – вектор нормали к поверхности, смотрящийиз области ‘1’ в область ‘2’; предположим также, что вобласти ‘1’ Φ < 0, а в области ‘2’, соответственно, Φ > 0.Тогда имеем соотношение

ℓ𝑖 =∇𝑖Φ| gradΦ|

≡ TΦ

𝑖√T

Φ

𝑘TΦ

𝑘

=T

Φ

𝑖√𝑔⊥/𝑔

,

где T𝜇𝑘 определено в (10.2).На поверхности можно определить полностью анти-

симметричный тензор второго ранга

E𝛼𝛽 =ε𝛼𝛽√𝑔⊥, E𝛼𝛽 =

√𝑔⊥ ε𝛼𝛽

Введём на поверхности косой градиент

∇*𝛼 = E 𝛽

𝛼 ∇𝛽 . (10.25)

Простой и косой градиенты коммутируют с метриче-ским и антисимметричным тензорами,

∇𝛼 𝑔𝛽𝛾 = ∇𝛼 E𝛽𝛾 = 0.

сравни с (10.11).Тензор внешней кривизны

𝐾𝛼𝛽 = 𝐾𝛽𝛼 = ℓ𝑖𝜕𝛽T𝑖𝛼 = −T𝑖𝛼𝜕𝛽ℓ𝑖. (10.26)

Составленные из него два инварианта

𝐾m = 𝑔𝛼𝛽𝐾𝛼𝛽 , 𝐾𝐺 =1

2E𝛼𝛽E𝛾𝛿𝐾𝛼𝛾𝐾𝛽𝛿 =

det ||𝐾𝛼𝛽 ||det ||𝑔𝛼𝛽 ||

(10.27)называются, соответственно, средней и гауссовой кри-визной. Если 𝑅1,2 – главные кривизны поверхности вточке, то 1/𝐾m = 1/𝑅1 + 1/𝑅2, 𝐾𝐺 = 1/(𝑅1𝑅2). Отме-тим, что выбор знака в (10.26) соответствует тому, чтодля сферы с нормалью ℓ, направленной вовне сферы,средняя кривизна 𝐾m < 0.

10.1.3.1 Запись в терминах единичной нормали

Будем рассматривать такие криволинейные координа-ты, для которых вектора T𝑖𝜇, 𝜇 = 1, 2,Φ образуютправую ортонормированную тройку, по крайней мерелокально в окрестности рассматриваемой точки. В этомслучае тензора, определённые на поверхности, можно

записывать в декартовых координатах; любая свёрткатаких тензоров с вектором нормали ℓ должна даватьноль. Введём проектор на плоскость Φ = const и каса-тельный градиент вдоль неё

𝛿⊥𝑖𝑘 = 𝛿𝑖𝑘 − ℓ𝑖ℓ𝑘 = 𝑔𝛼𝛽T𝛼𝑖 T

𝛽𝑘 , 𝜕⊥𝑖 = 𝛿⊥𝑖𝑘𝜕𝑘.

Тензор кривизны

𝐾𝑖𝑘 = −𝜕⊥𝑖 ℓ𝑘 = −𝜕⊥𝑘 ℓ𝑖, (10.28)

приведённый к диагональному виду, имеет на диагоналиненулевыми элементами 1/𝑅1 и 1/𝑅2, где 𝑅1,2 – главныекривизны поверхности в данной точке; собственно гово-ря, это можно считать определением главных кривизн.Направления на рассматриваемой поверхности, соответ-ствующие главным кривизнам, ортогональны друг дру-гу. Выбор знака в В частности, средняя 𝐾m и гауссова𝐾𝐺 кривизны равны соответственно

𝐾m = 𝐾𝑖𝑖 = −div ℓ = −𝜕⊥𝑘 ℓ

𝑘, (10.29)

𝐾𝐺 = det𝐾𝑖𝑘 + ℓ𝑖ℓ𝑘

=

1

2

((𝜕𝑖ℓ𝑘)(𝜕𝑘ℓ𝑖)− (𝜕𝑖ℓ𝑖)

2).

Если мы имеем дело с движением среды, то скоростьизменения метрики равна

𝛿𝑔⊥ = 2𝑔⊥𝛿⊥𝑖𝑘 𝜕𝑖𝑣𝑘 𝛿𝑡, (10.30)

сравни с (10.15).

10.1.3.2 Параметризация поверхности в декар-товых координатах

Пусть теперь поверхность задана уравнением

𝑧 = ℎ(𝑥, 𝑦), Φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 − ℎ(𝑥, 𝑦),

где ℎ(𝑥, 𝑦) – некоторая однозначная функция. Единич-ный вектор

||ℓ𝑖|| = −𝜕𝑥ℎ,−𝜕𝑦ℎ, 1√𝑔⊥

, 𝑔⊥ = 1 + 𝜕𝛼ℎ𝜕𝛼ℎ,

Средняя кривизна

𝐾m = −𝜕𝛼ℓ𝛼. (10.31)

§10.2. Многообразия

10.2.1 Гладкие многообразия

Пусть 𝒳 — некоторое множество.

10.2.1.1 Карта

Картой в 𝒳 называется пара (𝑈, ℎ), где 𝑈 ⊂ 𝒳 —подмножество, а

ℎ : 𝑈 −→ R𝑛

109 V. APPENDIX

является отображением множества 𝑈 в R𝑛, биективно(взаимно однозначно) отображающее 𝑈 на некоторое от-крытое подмножество пространства R𝑛. Подмножество𝑈 ⊂ 𝒳 называют носителем карты (𝑈, ℎ).

Пусть точка 𝑝 ∈ 𝑈 . Тогда, согласно определению,имеем взаимно однозначное соответствие

ℎ : 𝑝←→ (𝑥1(𝑝), . . . , 𝑥𝑛(𝑝)) = ℎ(𝑝) ∈ R𝑛.

Числовые функции 𝑥𝑖(𝑝), 𝑖 = 1, 𝑛 на 𝑈 называются ло-кальными координатами карты (𝑈, ℎ). При этом вме-сто (𝑈, ℎ ) часто пишут (𝑈, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛 ) = (𝑈, 𝑥𝑖).

10.2.1.2 Атлас

Поставим себе задачу полностью пересчитать точкимножества 𝒳 путём их отображения в пространство R𝑛.С помощью одной карты эту задачу в общем случае ре-шить невозможно. Но оказывается возможным сделатьс помощью набора карт, называемым атласом. Наличиеатласа предполагает, что носители некоторых карт пе-рекрываются, а если объединить носители всех карт ат-ласа, то получится всё множество 𝒳 .

Дадим необходимые определения. Две карты

(𝑈1, ℎ1) ≡ (𝑈1, 𝑥𝑖), (𝑈2, ℎ2) ≡ (𝑈2, 𝑥

′𝑖)

в 𝒳 называются согласованными, если либо пересечениеносителей этих карт 𝑈 = 𝑈1 ∩ 𝑈2 пусто, 𝑈 = ∅, либо

∙ оба множества ℎ(𝑈) и 𝑘(𝑈) открыты в R𝑛,

∙ отображение

(ℎ2|𝑈 ) ∘ (ℎ1|𝑈 )−1 : ℎ1(𝑈) −→ ℎ2(𝑈)

является диффеоморфизмом класса 𝐶∞ (гладкимбиективным отображением).

Множество карт (𝑈𝛼, ℎ𝛼) называется атласомна 𝒳 , если

∙ любые две карты этого множества согласованы;

∙ объединение носителей всех карт в атласе состав-ляет полное множество 𝒳

∪𝛼𝑈𝛼 = 𝒳

Два атласа 𝐴 и 𝐴* на 𝒳 называются эквивалент-ными, если их объединение 𝐴 ∪ 𝐴* является атласом(т.е. каждая карта любого из этих атласов согласованас каждой картой другого атласа).

10.2.1.3 Гладкое многообразие

Гладким многообразием называется пара (𝒳 , 𝐴), где𝒳 множество, 𝐴 — произвольный атлас на 𝒳 . Приэтом гладкие многообразия (𝒳 , 𝐴 ) и (𝒴, 𝐴* ) явля-ются одинаковыми тогда и только тогда, когда 𝒳 = 𝒴и их атласы эквивалентны.

В дальнейшем мы рассматриваем только гладкиемногообразия и будем их называть просто многообра-зиями.

Число 𝑛, равное размерности пространства 𝑅𝑛,называется размерностью многообразия и обозначается

𝑛 = dim𝒳 .

10.2.1.4 Многообразие с краем

Обозначим через R𝑛(−) полупространство простран-ства R𝑛, состоящее из точек (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛), для которых𝑥1 ≤ 0.

Гладкое 𝑛-мерное многообразие с краем — это мно-жество 𝒳 с подмножеством 𝒴 и атласом (𝑈𝛼, ℎ𝛼),который удовлетворяет следующим условиям:

∙ Общее условие согласования: если (𝑈𝛼, ℎ𝛼) и(𝑈𝛽 , ℎ𝛽) — две карты в 𝒳 и пересечение ихносителей не пусто, 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 = ∅, то

ℎ𝛼 ∘ ℎ−1𝛽 : ℎ𝛽(𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽)←→ ℎ𝛼(𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽).

есть гладкое биективное отображение

∙ Если подмножество 𝑈𝛼 данного атласа содержит-ся во внутренности 𝒳 ∖ 𝒴, то соответствующееотображение

ℎ𝛼 : 𝑈𝛼 → R𝑛

биективно отображает подмножество 𝑈𝛼 на неко-торое открытое подмножество пространства 𝑅𝑛;

∙ В противном случае, когда носитель карты захва-тывает край 𝒴, отображение ℎ𝛼 биективно отоб-ражает подмножество 𝑈𝛼 на некоторое откры-тое подмножество 𝑉𝛼 пространства 𝑅𝑛(−), причёммножество 𝑈𝛼∩𝒴 отображается на подмножество𝑉𝛼, состоящее из всех точек, для которых 𝑥1 = 0

ℎ𝛼 :𝑈𝛼 ↔ 𝑉𝛼 ∈ R𝑛(−)

𝑈𝛼 ∩ 𝒴 ↔ 𝑉𝛼 ∩ R𝑛−1

где R𝑛−1 — подпространство R𝑛, задаваемое усло-вием 𝑥1 = 0.

Многообразие 𝒴 называют краем многообразия 𝒳 иобозначают его 𝜕𝒳 . Множество

int𝒳 = 𝒳 ∖ 𝜕𝒳 ,называют внутренностью многообразия с краем 𝒳 .

Согласно данным определениям int𝒳 является мно-гообразием. Легко также понять, что это многообразиебез края, 𝜕𝜕𝒳 = ∅ (???).

Карты, для которых 𝑈𝛼∩𝜕𝒳 = ∅, называются внут-ренними картами, а в противном случае — краевымикартами.

Пусть (𝑈, ℎ) — краевая карта, а 𝑉 = 𝑈 ∩ 𝜕𝒳 — пе-ресечение носителя этой карты с краем многообразия.Карта (𝑉, ℎ|𝑉 ) называется высеченной на краю 𝜕𝒳 кар-той (𝑈, ℎ). Если (𝑈𝛼, ℎ𝛼) — атлас на многообразии 𝒳 ,то совокупность высеченных на краю карт (𝑉𝛼, ℎ𝛼|𝑉𝛼

)образует атлас на многообразии 𝜕𝒳 .

Глава 10. Дифференциальная геометрия 110

10.2.2 Касательное и кокасательное про-странства

Пусть дано 𝑛-мерное многообразие 𝒳 , и 𝑝— некотораяточка этого многообразия. Обозначим 𝐴(𝑝) множествовсех карт, носители которых содержат точку 𝑝.

10.2.2.1 Касательное пространство

Касательным вектором 𝑋 к многообразию 𝒳 (илипросто вектором многообразия 𝒳 ) в точке 𝑝 называет-ся такое отображение

𝑋 : 𝐴(𝑝)→ R𝑛 (10.32)

что для произвольных карт

(𝑈, 𝑥𝑖), (𝑈 ′, 𝑥′𝑘) ∈ 𝐴(𝑝),

накрывающих точку 𝑝, вектора

𝑋(𝑈, 𝑥𝑖) = ||𝑋𝑖||, 𝑋(𝑈 ′, 𝑥′𝑘) = ||𝑋 ′𝑘||

пространства R𝑛 связаны между собою следующим об-разом:

𝑋 ′𝑘 =

(𝜕𝑥′𝑘

𝜕𝑥𝑖

)𝑝

𝑋𝑖. (10.33)

Компоненты 𝑋𝑖 вектора 𝑋 называются координатамивектора в локальных координатах карты (𝑈, ℎ).

Множество всех касательных векторов к многообра-зию 𝒳 в точке 𝑝 называется касательным простран-ством многообразия 𝒳 в точке 𝑝 (tangent space) и обо-значается

𝑇𝑝𝒳 .

Касательное пространство в точке является линейнымпространством над полем R относительно линейныхопераций над векторами.

Обозначим базис в касательном пространстве 𝑇𝑝𝒳 ,порождённый картой (𝑈, 𝑥𝑖)(

𝜕

𝜕𝑥𝑖

)𝑝

. (10.34)

При преобразовании (10.32) базисный вектор (10.34) пе-реходит в базисный вектор e𝑖 пространства R𝑛. Покачто обозначение (10.34) следует считать не более чемобозначением, разумность которого будет раскрыта ни-же. Связь между базисами, порождёнными двумя кар-тами (𝑈, 𝑥𝑖) и (𝑈 ′, 𝑥′𝑘), вытекает из (10.33):(

𝜕

𝜕𝑥𝑖

)𝑝

=

(𝜕𝑥′𝑘

𝜕𝑥𝑖

)𝑝

(𝜕

𝜕𝑥′𝑘

)𝑝

.

10.2.2.2 Векторное поле

Касательным векторным полем называется такое отоб-ражение

𝑋 : (𝐴(𝑝), 𝑝)→ R𝑛, (10.35)

что для каждой точки 𝑝 сужение 𝑋𝑝 отображения 𝑋является касательным вектором к многообразию 𝒳 вточке 𝑝.

Множество всех касательных векторных полей об-разует линейное бесконечномерное пространство, еслиоперации в этом линейном пространстве определить всогласии с уже определёнными линейными опреациямидля касательных векторов в точке.

Векторное поле называется гладким, если для каж-дой выбранной карты координаты вектора являютсягладкими функциями координат на карте. Линейноепространства всех гладких векторных полей мы будемобозначать

𝑇 10𝒳 .

10.2.2.3 Кокасательное пространство

Пространство, сопряжённое касательному пространству𝑇𝑝𝒳 в точке 𝑝, называется кокасательными простран-ством и обозначается

𝑇 *𝑝 𝒳 .

Базисные вектора в 𝑇 *𝑝 𝒳 , определяемые выбранной

картой (𝑈, 𝑥𝑖), обозначаются

d𝑥𝑖𝑝.

По определению имеем

d𝑥𝑖𝑝 ∘(𝜕

𝜕𝑥𝑗

)𝑝

= 𝛿 𝑖𝑗 .

Линейное пространство всех гладких ковекторных по-лей мы будем обозначать

𝑇 01𝒳 .

10.2.2.4 Скалярные поля

Линейное пространство всех функций на многообразии𝒳 естественно обозначить

𝐹𝒳 ≡ 𝑇 00𝒳 ; 𝑓 : 𝒳 → R, 𝑓 ∈ 𝐹𝒳 .

Мы будем рассматривать только гладкие функции, т.е.такие, которые для любой карты (𝑈, 𝑥𝑖) являются глад-кими функциями 𝑓(𝑥).

111 V. APPENDIX

10.2.2.5 Метрика

Метрикой ||𝑔𝑖𝑘|| называется (выделенное) гладкое тен-зорное поле второго ранга из 𝑇 0

2𝒳 , симметричное посвоим индексам, 𝑔𝑖𝑘 = 𝑔𝑘𝑖, с ненулевым детерминантом.Указанные свойства, как легко проверить, сохраняютсяво всех системах координат. Метрика ставит во взаимнооднозначное соответствие вектору ||𝑋𝑖|| из касательногопространства 𝑇 1

0𝒳 вектор ||𝑋𝑖|| из кокасательного про-странства 𝑇 0

1𝒳 по закону:

𝑋𝑖 = 𝑔𝑖𝑘𝑋𝑘. (10.36)

Существует и единственно тензорное поле ||𝑔𝑖𝑘|| из𝑇 20𝒳 , обратное метрике:

𝑔𝑖𝑘𝑔𝑘𝑚 = 𝛿𝑖𝑚. (10.37)

Это свойство имеет место на всём многообразии 𝒳 , кото-рое как легко проверить, не зависит от выбранной кар-ты.

Далее для метрики годятся все рассуждения, прове-дённые в § 10.1. Отдельного комментария требует толь-ко (10.1): в общем случае не существует системы коорди-нат, для которой метрика принимала бы каноническийвид 𝜂𝑖𝑘 в области конечного размера.

10.2.3 Произвольный базис для гладкихвекторных полей

Базис (10.34) называют координатным, поскольку онсвязан с координатами карты. Имеет смысл определитьпроизвольный базис, который в общем случае не можетбыть представлен как результат перехода к новой систе-ме координат на многообразии.

Пусть 𝑈 — тривиализующая координатная окрест-ность в многообразии 𝒳 размерности 𝑛, т.е. такаяокрестность, на которой существует базис векторныхполей 𝑒𝐴,

𝑒𝐴 = 𝑒𝑖𝐴(𝑥)𝜕

𝜕𝑥𝑖, 𝐴 = 1, . . . , 𝑛, det

𝑒𝑖𝐴(𝑥)

= 0. (10.38)

Это значит, что любой вектор 𝑋 ∈ 𝑇 10𝒳 может быть

разложен на 𝑈 по базису 𝑒𝐴:

𝑋𝑈

= 𝑋𝐴𝑒𝐴𝑈

= 𝑋𝐴𝑒𝑖𝐴𝜕

𝜕𝑥𝑖= 𝑋𝑖 𝜕

𝜕𝑥𝑖. (10.39)

Из последнего равенства вытекают следующие форму-лы пересчёта:

𝑋𝑖 = 𝑒𝑖𝐴𝑋𝐴, 𝑋𝐴 = 𝑒𝐴𝑖𝑋

𝑖, 𝑒𝐴𝑖 𝑒𝑖𝐵 = 𝛿𝐴𝐵 . (10.40)

Если𝑋𝑖

— компоненты вектора 𝑋 в координатномбазисе

𝜕/𝜕𝑥𝑖

, то набор чисел 𝑋𝐴 интерпретирует-

ся как совокупность компонент этого вектора в бази-се 𝑒𝐴.

Переход од одного базиса 𝑒𝐴 к другому 𝑒′𝐴 для контра-вариантных векторов осуществляется посредством мат-рицы перехода T′𝐵

𝐴 ,

𝑋 = 𝑋𝐴𝑒𝐴 = 𝑋 ′𝐵𝑒′𝐵, 𝑋 ′𝐵 = T′𝐵𝐴 𝑋

𝐴, T′𝐵𝐴 = 𝑒𝑖𝐴𝑒

′𝐵𝑖 .

(10.41)Для ковариантных вектором переход осуществляется спомощью обратной матрицы T𝐴

′𝐵.

10.2.3.1 Ортонормированный базис. Тетрада.

Ортонормированный базис, базисные вектора 𝑒𝑎 которо-го мы нумеруем строчными первыми буквами латинско-го алфавита, удовлетворяет дополнительному условию

(𝑒𝑎 · 𝑒𝑏) = 𝜂𝑎𝑏, ⇔ 𝑔𝑖𝑘 𝑒𝑖𝑎𝑒𝑘𝑏 = 0, (10.42)

где 𝜂𝑎𝑏 — единичная метрика, см. (10.1).Набор величин 𝑒𝑎𝜇 — матричных элементов матри-

цы перехода от координатного базиса к ортогональномубазису называется тетрадой (tetrad), если размерностьпространства равна четырём.

10.2.4 Ориентации на многообразии

Две согласованные карты

(𝑈1, ℎ1) ≡ (𝑈1, 𝑥𝑖), (𝑈2, ℎ2) ≡ (𝑈2, 𝑥

′𝑖)

в 𝒳 называются положительно согласованными, еслилибо пересечение носителей этих карт 𝑈 = 𝑈1 ∩ 𝑈2 пу-сто, 𝑈 = ∅, либо базисы касательного пространства од-ноимённы, т.е. детерминант матрицы перехода положи-телен,

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑥′𝑘

> 0.

Атлас, состоящий только из положительно согласо-ванных карт, называется ориентирующим. Многообра-зие 𝒳 , на котором существует ориентирующий атлас,называется ориентируемым. Ориентируемое многообра-зие, на котором выбран ориентирующий атлас, называ-ется ориентированным. Карты, принадлежащие ориен-тирующему атласу, называют положительно ориентиро-ванными.

На связном многообразии существует только двеориентации, которые называются противоположными.

Многообразие 𝒳 с краем называется ориентируе-мым, если ориентируема его внутренность int𝒳 .

10.2.4.1 Ориентация края

Если две краевых карты положительно согласованы,то положительно согласованы и карты, высеченные накраю. Действительно, ...

Глава 10. Дифференциальная геометрия 112

10.2.5 Отображение многообразийПри определении понятия согласованности карт мысталкивались с отображением образа одной карты наобраз другой. Расширим рассматриваемый круг подоб-ных отображений.

Пусть размерность многообразия 𝒳 равна 𝑛, а 𝒴 —𝑚. Отображение

𝑓 : 𝒳 → 𝒴 (10.43)

называют гладким, если для любой точки 𝑝 ∈ 𝒳 и еёобраза

𝑞 = 𝑓(𝑝) ∈ 𝒴,

любой пары карт (𝑈, 𝑥𝑖) и (𝑉, 𝑦𝑘) таких что 𝑝 ∈ 𝑈 и𝑓(𝑈) ∈ 𝑉 , соответствующие преобразования координат

𝑦𝑗 = 𝑦𝑗(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛), 𝑗 = 1,𝑚 (10.44)

являются гладкими функциями. По аналогии с (10.33),отображение 𝑓 в каждой точке 𝑝, 𝑞 = 𝑓(𝑝) задаёт законпреобразования векторов из касательных пространств,только теперь эти пространства не совпадают. Пустьвектор 𝑋 ∈ 𝑇𝑝𝒳 , тогда дифференциал d𝑓 гладкого отоб-ражения 𝑓 ставит ему в соответствие вектор 𝑌 ∈ 𝑇𝑞𝒴,компоненты которого равны

d𝑓𝑝 : 𝑇𝑝𝒳 → 𝑇𝑞𝒴, (10.45)

𝑌 = d𝑓𝑝(𝑋), ⇔ 𝑌 𝑖 =

(𝜕𝑦𝑖

𝜕𝑥𝑘

)𝑝

𝑋𝑘.

Важен частный случай, когда многообразие 𝒴 явля-ется числовой осью, 𝒴 = R. Тогда 𝑓 ∈ 𝐹𝒳 есть числоваяфункция на многообразии 𝒳 , а касательное простран-ство 𝑇𝑞𝒴 = R. Поэтому результатом действия диффе-ренциала преобразования-функции на вектор являетсячисло

d𝑓𝑝(𝑋) =

(𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑘

)𝑝

𝑋𝑘. (10.46)

Если обратиться к формальным определениям записибазисных векторов для сопряжённого касательного про-странства 𝑇 *

𝑝 𝒳 Пункта 10.2.2.3, то действие дифферен-циала d𝑓(𝑋) совпадает со свёрткой вектора 𝑋 с ковек-тором d𝑓𝑝 ∈ 𝑇 *

𝑝 𝒳 ,

d𝑓𝑝 =

(𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑘

)𝑝

d𝑥𝑘. (10.47)

10.2.5.1 Подмногообразие

При тех же обозначениях рассмотрим обратное гладкоеотображение

𝑓 : 𝒴 → 𝒳 (10.48)

Это отображение называется погружением в точке 𝑝 ∈𝒴, если ранг дифференциала этого преобразования d𝑓𝑝

равен dim𝒴 (что в принципе возможно, если размер-ность dim𝒳 не меньше размерности dim𝒴):

rank d𝑓𝑝 = dim𝒴 ≤ dim𝒳 .

Теперь пусть мы имеем дело с подмножеством, 𝒴 ∈𝒳 , и 𝑓 соответственно есть отображение вложения:

𝑖 : 𝒴 → 𝒳 , 𝑖(𝑝) = 𝑝.

Если 𝑓 является погружением во всех точках 𝑝 ∈ 𝒴, то𝒴 называется подмногообразием многообразия 𝒳 .

10.2.6 Ковариантная производнаяЛинейное отображение

∇ : 𝑇 10𝒳 −→ 𝑇 1

1𝒳 (10.49)

называется ковариантным дифференцированием илисвязностью, если оно удовлетворяет тождеству Лейб-ница, т.е. если для любой функции 𝑓 ∈ 𝐹𝒳 и любоговекторного поля 𝑋 ∈ 𝑇 1

0𝒳 имеет место равенство

∇(𝑓𝑋) = d𝑓 ⊗𝑋 + 𝑓∇𝑋. (10.50)

Напомним, что дифференциал функции d𝑓 ∈ 𝑇 01𝒳 , и

потому d𝑓 ⊗ 𝑋 ∈ 𝑇 11𝒳 . Тензорное поле ∇𝑋 типа (1, 1)

называется ковариантным дифференциалом векторногополя 𝑋.

Положим в (10.50) 𝑓 = 1, 𝑋 = (𝜕/𝜕𝑥𝑗), и спроек-тируем это уравнение на (свернём с) d𝑥𝑖 ⊗ (𝜕/𝜕𝑥𝑘). Врезультате получим(

d𝑥𝑖 ⊗ 𝜕

𝜕𝑥𝑘

)∘ ∇ 𝜕

𝜕𝑥𝑗= d𝑥𝑖 ∘ ∇𝑘

𝜕

𝜕𝑥𝑗= Γ𝑖𝑘𝑗 , (10.51)

∇𝑘 =𝜕

𝜕𝑥𝑘∘ ∇.

В (10.51) коэффициенты Γ𝑖𝑘𝑗 как раз осуществляютлинейный закон, декларированный для отображения(10.49). Если теперь в качестве дифференцируемого век-тора мы возьмём 𝑋 = 𝑋𝑗(𝜕/𝜕𝑥𝑗), то по определению(10.49) мы получим

d𝑥𝑖 ∘ ∇𝑘(𝑋) ≡ ∇𝑘𝑋𝑖 = 𝜕𝑘𝑋𝑖 + Γ𝑖𝑘𝑗𝑋

𝑗 . (10.52)

Закон преобразования символов Кристоффеля Γ𝑖𝑘𝑗 припереходе от одной системы координат к другой можетбыть получен точно так же, как он был получен длякриволинейных координат, вложенных в евклидово про-странство, см. (10.8,10.9). Выпишем здесь его ещё раз

Γ′𝜇𝜈𝜆 = T

′𝜇𝜎 T

𝜌′𝜈 T

𝜍′𝜆 Γ

𝜎𝜌𝜍 + T′𝜇

𝜎

(𝜕𝜈T

𝜎′𝜆 =

𝜕2𝑥𝜎

𝜕𝑥′𝜆 𝜕𝑥′𝜈

).

(10.53)В общем случае не существует карты (системы коор-динат), в которой символы Кристоффеля равны нулю внаперёд заданной точке. Поэтому при данном определе-нии ковариантной производной символы Кристоффеляне должны быть симметричны по двум последним ин-дексам 𝜈, 𝜆, хотя второе слагаемое в правой части (10.53)и симметрично этим индексам.

113 V. APPENDIX

10.2.6.1 Ковариантная производная вдоль век-тора

Обозначение (10.34) базисных векторов в касательномпространстве и закон преобразования этих басзисныхвекторов при переходе от одной карты к другой оправ-дывается законом действия касательного вектора нафункцию на многообразии 𝒳 .

По определению, действие касательного вектора 𝑋на функцию 𝑓 в точке 𝑝 определяется формулой

𝑋𝑓 = 𝑋𝑖 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖.

Данное определение не зависит от выбранной карты(𝑈, 𝑥𝑖). Его можно распространить и на ковариантнуюпроизводную: ковариантная производная вдоль вектора

∇𝑋 = 𝑋𝑘∇𝑘 (10.54)

может действовать на любой тензор согласно определе-нию ковариантной производной.

10.2.6.2 Связность, согласованная с метрикой

Связность ∇ на метризованном многообразии 𝒳 назы-вается согласованной с метрикой (или метрической),если для любых векторных полей 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝑇 1

0𝒳 имеетместо равенство

𝑋(𝑌 · 𝑍) ≡ 𝑋𝑖 𝜕

𝜕𝑥𝑖(𝑌 · 𝑍) = (∇𝑋𝑌 ) · 𝑍 + 𝑌 · (∇𝑋𝑍).

Из этого требования непосредственно получаем, чтосвязность ∇ на многообразии 𝒳 тогда и только тогдасогласована с метрикой, когда ковариантная производ-ная метрического тензора равна нулю:

𝑔𝜇𝜈 ;𝜆 = 𝑔𝜇𝜈,𝜆 − Γ𝜌𝜇𝜆𝑔𝜌𝜈 − Γ𝜌𝜈𝜆𝑔𝜇𝜌 = 0. (10.55)

Это уравнение имело место и в случае плоского про-странства, см. (10.12), однако здесь символ Кристоф-феля в общем случае не симметричен по двум нижним

индексам, поэтому равенство (10.13) в общем случае невыполнено.

10.2.6.3 Гармонические координаты

При решении задач в пределе слабого гравитационногополя удобно выбрать подкласс координат — гармониче-ские координаты (harmonic coordinates).

Координаты называются гармоническими, если вовсём пространстве-времени выполнено условие

Γ𝜆 ≡ 𝑔𝜇𝜈Γ𝜆𝜇𝜈 = 0. (10.56)

Это условие всегда достижимо. Пусть текущие коорди-наты 𝑥𝜇 не удовлетворяют этому условию. Тогда перей-дём к новым координатам 𝑥′𝜇, которые будут удовле-творять условию (10.56). Согласно (10.9)

0 = Γ′𝜆 =𝜕𝑥′𝜆

𝜕𝑥𝜍Γ𝜍 +

(𝑔′𝜌𝜏T′𝜆

𝜇 𝜕′𝜌T

𝜇′𝜏 =

= −𝑔′𝜌𝜏T𝜍′𝜏(T𝜎′𝜌𝜕𝜎

)T

′𝜆𝜍 = −𝑔𝜎𝜍 𝜕2𝑥′𝜆

𝜕𝑥𝜎𝜕𝑥𝜍

),

где при преобразовании второго вклада мы воспользо-вались тождеством 𝜕𝜌(T

′𝜆𝜈T

𝜈′𝜎) = 0. Это уравнение на

новые координаты с учётом второго равенства (10.16)для Γ𝜆 в общем случае и выражения для операторад’Аламбера (10.17) можно переписать в виде уравненияд’Аламбера с нулевой правой частью:

2𝑥′𝜆 = 0, (10.57)

где, разумеется, 𝑥′𝜆 подразумевается скалярной вели-чиной. Если положить, что метрика в координатах 𝑥𝜇

стремится к метрике Минковского на далёких (вдалекеот тел) расстояниях, то уравнение д’Аламбера на коор-динаты 𝑥′𝜈 всегда имеет решение, которое на далёкихрасстояниях превращается в тождественное преобразо-вание, 𝑥′𝜇 → 𝑥𝜇.

§10.3. Тензора кривизны и кручения, пространство Римана

Пусть дана кривая, координаты которой суть 𝑥𝜇(𝑠),где 𝑠 пока некоторый параметр. Обозначим

𝑋𝜇 =d𝑥𝜇

d𝑠

касательный вектор к кривой. По определению, век-тор 𝑌 (𝑠) параллельно перенесён вдоль кривой 𝑥𝜇(𝑠), ес-ли ограничение его ковариантной производной на каса-

тельное направление к кривой равно нулю,

∇𝑋𝑌 ≡ 𝑋 · ∇𝑌 = 0 ⇔ (10.58)

d𝑥𝜇

d𝑠∇𝜇𝑌 𝜆 =

d𝑌 𝜆

d𝑠+ Γ𝜆𝜇𝜈

d𝑥𝜇

d𝑠𝑌 𝜈 = 0.

Геодезическая линия (geodesic) — такая линия, что еёкасательный вектор можно восстановить параллельнымпереносом вдоль неё самой,

∇𝑋𝑋 = 0 ⇔ d𝑥𝜇

d𝑠

(𝜕

𝜕𝑥𝜇d𝑥𝜆

d𝑠+ Γ𝜆𝜇𝜈

d𝑥𝜈

d𝑠

)= 0

(10.59)

Глава 10. Дифференциальная геометрия 114

Это уравнение может быть переписано в виде уравнениявторого порядка

d2𝑥𝜆

d𝑠2+ Γ𝜆𝜇𝜈

d𝑥𝜈

d𝑠

d𝑥𝜇

d𝑠= 0 (10.60)

Поэтому для того, чтобы задать геодезическую линию,достаточно указать одну её точку и касательный векторв этой точке. После проведения интегрирования пара-метр 𝑠 оказывается определён с точностью до линейногопреобразования (нелинейное преобразование приводитк тому, что из второй производной в (10.60) происхо-дит некомпенсируемый вклад). Множество таких пара-метризаций называют аффинными параметризациями,а параметр 𝑠 — аффинным параметром.

10.3.1 Геометрический смысл тензоровкривизны и кручения

В кривом пространстве некоторые математические фак-ты, кажущиеся непреложными в евклидовом простран-стве, перестают быть справедливыми. Для того, чтобыпродемонстрировать это, рассмотрим замкнутый кон-тур (петлю) 𝑥𝜇(𝑠), где 0 ≤ 𝑠 ≤ 1 — параметр вдоль кон-тура. Поместим начало координат в начало контура, такчто 𝑥𝜇(0) = 𝑥𝜇(1) = 0. Поскольку мы интересуемся ло-кальными характеристиками пространства, то размерконтура мы будем полагать стремящимся к нулю. Дляопределения размера контура заведём параметр 𝜖, ко-торый, например, определяется как сумма максималь-ных по модулю изменений координат при прохожденииконтура с точностью до множителя не имеющего вели-кости.

В дальнейших рассуждениях нам придётся опреде-лить ‘площадь’, натянутую на рассматриваемую петлю(параллелограмм):

𝛿𝑆𝜎𝜇 = −𝛿𝑆𝜇𝜎 =

˛𝑥𝜎d𝑥𝜇. (10.61)

Отметим, что в этих вычислениях и вектора 𝑥𝜎 и век-тора d𝑥𝜇 должны интерпретироваться как вектора вначале петли — предполагается, что они все перенесе-ны в эту точку путём параллельного переноса (скажем,по лучам, прямым в координатной сетке), при этом в(10.58) символами Кристоффеля можно пренебречь всилу малого размера петли. Поясним геометрическийсмысл так определённой ‘площади’. Выберем, напри-мер, форму петли в виде параллелограмма,

𝑥𝜇(𝑡𝑣, 𝑡𝑤) = 𝜖(𝑡𝑣 𝑣𝜇 + 𝑡𝑤 𝑤

𝜇), 0 ≤ 𝑡𝑣, 𝑡𝑤 ≤ 1,

где 𝑣 и 𝑤 — вектора, образующие параллелограмм; сна-чала контур идёт вдоль вектора 𝑣. Тогда ‘площадь’𝛿𝑆𝜎𝜇 = 𝜖2

(𝑣𝜎𝑤𝜇 − 𝑤𝜎𝑣𝜇

).

Количественными характеристиками отличия кри-вого пространства от плоского евклидового являютсятензор кривизны и тензор кручения. Здесь мы толькоопределим эти тензора и выпишем их связь со связно-стью. Их свойства мы будет подробнее осуждать позже.

10.3.1.1 Тензор кручения

Посмотрим на сам контур. Он состоит из малых переме-щений d𝑥𝜇, которые можно интерпретировать как век-тора в соответствующей точке 𝑥𝜇, поскольку закон пре-образования компонент d𝑥𝜇 соответствует определениюпреобразования компонент вектора (10.33). Перенесёмвсе вектора d𝑥𝜇(𝑠) в начало координат, обозначив ихd𝑥𝜇(𝑠) + 𝛿d𝑥𝜇(𝑠), где

𝛿d𝑥𝜇(𝑠) = Γ𝜇𝜎𝜍𝑥𝜎(𝑠) d𝑥𝜍 +

(𝒪(𝜖2)

)𝜇𝜍d𝑥𝜍

согласно (10.58); черта над символом Кристоффеляозначает, что для обеспечения заданной точности егодостаточно брать в начале петли, в точке 𝑥𝜇 = 0. Дляучёта главного порядка по 𝜖 путь переноса вектора неимеет значения, лишь бы его длина имела порядок 𝜖; по-этому проще всего считать, что вектора d𝑥𝜇 перенесеныпо лучам, прямым в координатной сетке.

Посчитаем сумму этих перенесённых векторов. Еслибы речь шла о плоском пространстве, то мы получилибы ноль, поскольку путь 𝑥𝜇(𝑠) замкнут. Хотя в криво-линейном пространстве, разумеется, по-прежнему инте-грал ˛

d𝑥𝜇 = 0,

поскольку путь замкнут, однако для поправок 𝛿d𝑥𝜇(𝑠)в общем случае это уже не так. В главном порядке по 𝜖сумма перенесённых в начало координат векторов равна˛𝛿d𝑥𝜇 = Γ𝜇𝜎𝜍

˛𝑥𝜎 d𝑥𝜍 + 𝒪(𝜖3) ≈ 1

2𝑇𝜇𝜎𝜍 𝛿𝑆

𝜎𝜍 ,

𝑇𝜇𝜎𝜍 = −𝑇𝜇𝜍𝜎 = Γ𝜇𝜎𝜍 − Γ𝜇𝜍𝜎. (10.62)

Тензор 𝑇𝜆𝜇𝜈 называется тензором кручения (torsiontensor). То, что это действительно тензор, можно убе-диться и из закона преобразования символов Кристоф-феля (10.53): в результате антисимметризации (10.62)по нижним индексам, из закона преобразования (10.53)выпадает второе слагаемое, не вписывающееся в законпреобразования тензоров.

По физическим соображениям в теории гравитацииинтерес представляют пространства, в которых тензоркручения отсутствует, т.е. равен нулю. Такие простран-ства называются римановыми пространствами, в нихсимволы Кристоффеля имеют симметрию и могут бытьвыражены через производные метрики

Γ𝜆𝜎𝜍 = Γ𝜆𝜍𝜎, Γ𝜆𝜎𝜍 = (𝑔𝜆𝜎,𝜍+𝑔𝜆𝜍,𝜎−𝑔𝜎𝜍,𝜆)/2. (10.63)

Последняя формула получается из симметрии симво-лов Кристоффеля и требования согласованности связ-ности с метрикой, см. уже проделанный вывод (10.13)для криволинейных координат, вложенных в евклидовопространство.

В дальнейшем мы рассматриваем только римано-вы пространства, если особо не оговорено противное.

115 V. APPENDIX

Все результаты Пунктов 10.1.1 и 10.1.2 остаются в си-ле для пространства Римана, поскольку при полученииэтих результатов не использовалось условие обращенияв ноль тензора Римана, который определён в следую-щем пункте.

10.3.1.2 Тензор кривизны

Если произвольный вектор 𝑌 подвергнуть параллель-ному переносу вдоль замкнутого контура, то в общемслучае он не перейдёт сам в себя как это было бы в ев-клидовом пространства. Он окажется равным некото-рому другому вектору 𝑌 (𝑠 = 1). Поскольку эти вектораотносятся к одной точке, то их возможно сравнивать;нас интересует разность 𝛿𝑌 = 𝑌 (1) − 𝑌 (0). Согласно(10.58)

𝑌 𝜆(𝑠) = 𝑌 𝜆 −𝑠ˆ

0

Γ𝜆𝜇𝜈(𝑠)𝑌𝜈(𝑠) d𝑥𝜇, d𝑥𝜇 =

d𝑥𝜇

d𝑠d𝑠

поэтому

𝛿𝑌 𝜆 = 𝑌 𝜆(1)− 𝑌 𝜆 = −˛

Γ𝜆𝜇𝜈(𝑥)𝑌𝜈(𝑥) d𝑥𝜇. (10.64)

Будем решать (10.64) методом последовательных при-ближений:

𝛿𝑌 ′𝜆 = −(Γ𝜆𝜍𝜈𝑌

𝜈

ˆd𝑥𝜍 = Γ𝜆𝜍𝜈𝑌

𝜈𝑥𝜍)−

−(Γ𝜆𝜎𝜈 Γ

𝜈𝜍𝜇 + 𝜕𝜎Γ

𝜆𝜍𝜇

)𝑌 𝜇ˆ𝑥𝜎d𝑥𝜍 + 𝒪(𝜖3),

где черта в правой части означает значение в началепетли. В результате интегрирования по контуру вкладот первой строчки даст нуль, и мы приходим к

𝛿𝑌 𝜆 ≈ −1

2𝑅𝜆𝜇 𝜎𝜍 𝑌

𝜇 𝛿𝑆𝜎𝜍 , (10.65)

𝑅𝜆𝜇 𝜎𝜍 = Γ𝜆𝜎𝜈Γ𝜈𝜍𝜇 − Γ𝜆𝜍𝜈Γ

𝜈𝜎𝜇 + 𝜕𝜎Γ

𝜆𝜍𝜇 − 𝜕𝜍Γ𝜆𝜎𝜇

Тензор 𝑅𝜆𝜇 𝜎𝜍 называется тензором кривизны. Для пе-реноса ковариантного вектора аналогичным способомможно получить, что

𝛿𝑌𝜆 =1

2𝑅𝜇𝜆𝜎𝜍𝑌𝜇 𝛿𝑆

𝜎𝜍 . (10.66)

Написанные выше формулы этого Пункта верны в томчисле и в случае ненулевого кручения. Легко проверитьиспользуя (10.65,10.66), что перенос по замкнутому кон-туру скалярного произведения двух векторов не приво-дит к изменению его значения,

𝛿(𝑋𝜇𝑌𝜇) = 𝑌𝜇𝛿𝑋𝜇 +𝑋𝜇𝛿𝑌𝜇 = 0,

как и должно быть.

Ограничимся теперь Римановыми пространствами.В выражении для тензора Римана бывает полезным вы-делить явно вторые производные от метрики, исполь-зуя (10.13):

𝑅𝜇𝜈 𝜎𝜍 = 𝑔𝜆𝜌(Γ𝜌𝜇𝜍Γ

𝜆𝜈𝜎 − Γ𝜌𝜇𝜎Γ

𝜆𝜈𝜍

)+ (10.67)

+1

2

(𝜕2𝑔𝜇𝜍𝜕𝑥𝜈𝜕𝑥𝜎

+𝜕2𝑔𝜈𝜎𝜕𝑥𝜇𝜕𝑥𝜍

− 𝜕2𝑔𝜈𝜍𝜕𝑥𝜇𝜕𝑥𝜎

− 𝜕2𝑔𝜇𝜎𝜕𝑥𝜈𝜕𝑥𝜍

).

10.3.2 Нормальные координаты Римана.Геодезические координаты.

Пусть в окрестности точки 𝑝 заданы некоторые коорди-наты 𝑦𝜇. Построим такие координаты 𝑥𝑘, для которыхзначение связности в точке 𝑝 (для простоты мы примем,что в этой точке 𝑥𝑘 = 0) равно нулю.

Рассмотрим всевозможные геодезические, выходя-щие из точки 𝑝. Касательный вектор к геодезическойобозначим 𝑋. Новые координаты 𝑥 введём согласно со-отношению

𝑥𝜇(𝑦𝜇(𝑠)) = 𝑠𝑋𝜇, 𝑋𝜇 =d𝑦𝜇(𝑠)

d𝑠

𝑠=0

, 𝑠(𝑝) = 0,

(10.68)где 𝑠 — аффинный параметр вдоль геодезической. Неод-нозначность определения аффинного параметра не де-лает неоднозначным определение координат 𝑥𝜇. Дей-ствительно, произведение 𝑠𝑋𝜇 остаётся неизменнымпри линейном преобразовании параметра 𝑠.

Перейдём в новые координаты 𝑥. В этих координа-тах на каждой геодезической касательный вектор 𝑋𝜈 неизменяет свои компоненты по мере движения вдоль неёв силу определения (10.68). Поэтому

Γ𝜇𝜎𝜍(𝑠𝑋)𝑋𝜎𝑋𝜍 = 0 ⇒ Γ𝜇𝜎𝜍(𝑝) = 0 (10.69)

вследствие уравнения на геодезическую (10.60). Тогда,по непрерывности, это уравнение верно в точке 𝑝 длявсех векторов 𝑋. Это означает, что в точке 𝑝 связностьравна нулю, поскольку как квадратичная форма (кру-чение равно нулю) она обращается в нуль на всех век-торах. Таким образом, цель достигнута.

Установим дополнительную симметрию, которойудовлетворяют производные коэффициентов связностив начале нормальных координат. Продифференцируемуравнение на геодезическую (10.60), в нашем случаеимеющее вид (10.69), ещё раз по 𝑠 и положим 𝑠 = 0.В результате получим, что для любого вектора 𝑋

Γ𝜇𝜎𝜍,𝜈𝑋𝜎𝑋𝜍𝑋𝜈 = 0 ⇔ Γ𝜇𝜎𝜍,𝜈 + Γ𝜇𝜎𝜈,𝜍 + Γ𝜇𝜍𝜈,𝜎 = 0.

(10.70)В нормальных координатах удобно проводить вы-

числения, поскольку обращение в нуль связности зна-чительно сокращает их объём. В частности, с ипользо-ванием этого вычислительного приёма в Пункте 10.3.3получены свойства тензора Римана.

Глава 10. Дифференциальная геометрия 116

10.3.2.1 Метрика в окрестности начала нор-мальных координат Римана

Посмотрим ещё, как метрика и связность в координатах𝑥𝜇 зависят от отклонения от точки 𝑝. Равенство нулюсвязности в начале координат означает равенство нулюв этой точке первых производных метрики, см. (10.55).Поэтому первые члены ряда Тейлора для метрическоготензора имеют вид

𝑔𝜇𝜈(𝑥) = 𝑔𝜇𝜈 +1

2𝑔𝜇𝜈,𝜎𝜍𝑥

𝜎𝑥𝜍 + . . .

Выразим вторую производную 𝑔𝜇𝜈,𝜎𝜍 через тензор Рима-на. Используя (10.69,10.70) и выражение (10.65) тензораРимана через коэффициенты связности, сводящееся к

𝑅𝜇𝜎 𝜈𝜍 = Γ𝜇𝜍𝜎,𝜈 − Γ𝜇𝜈𝜎,𝜍 , (10.71)

в точке 𝑥 = 0, можно получить сначала

Γ𝜇𝜎𝜍,𝜈 = −1

3

(𝑅𝜇𝜎 𝜍𝜈 + 𝑅𝜇𝜍 𝜎𝜈

),

а потом, продифференцировав (10.55) по координате,

𝑔𝜇𝜈,𝜎𝜍 = −1

3

(𝑅𝜇𝜎 𝜈𝜍 + 𝑅𝜇𝜍 𝜈𝜎

).

Два остальных вклада сократились, поскольку тензорРимана антисимметричен по первым двум индексам, см.(10.73). В результате получаем

𝑔𝜇𝜈(𝑥) = 𝑔𝜇𝜈 −1

3𝑅𝜇𝜎 𝜈𝜍𝑥

𝜎𝑥𝜍 +𝒪(𝑥3) (10.72)

Если тензор Римана равен нулю во всём простран-стве, то такое пространство плоское. ...

10.3.2.2 Геодезические координаты

Рашевский, §91

10.3.3 Свойства тензора кривизныИз определения следует, что тензор Римана антисим-метричен по последним двум индексам. Остальныесимметрии тенора Римана легче всего установить внормальных координатах Римана, см. Пункт 10.3.2 и(10.67). Будучи записанным в виде 𝑅𝜆𝜌 𝜎𝜍 , он антисим-метричен и по первой паре индексов. Кроме того, по-скольку для риманова пространства связность симмет-рична по последним двум индексам, то тензор Риманасимметричен относительно перестановок первой и по-следней пар индексов. Собирая всё вместе, получаем:

𝑅𝜇𝜈 𝜎𝜍 = −𝑅𝜇𝜈 𝜍𝜎 = −𝑅𝜈𝜇 𝜍𝜎, (10.73)

𝑅𝜇𝜈 𝜎𝜍 = 𝑅𝜎𝜍 𝜇𝜈 (Riemann sp.).

Далее, для риманова пространства сумма циклическихперестановок индексов по трём из четырёх индексовтензора Римана даёт ноль,

𝑅𝜎[𝜇 𝜈𝜆] ≡ 𝑅𝜎𝜇 𝜈𝜆+𝑅𝜎𝜆𝜇𝜈+𝑅𝜎𝜈 𝜆𝜇 = 0 (Riemann sp.).(10.74)

что можно получить подстановкой того же (10.71):это называют первым или алгебраическим тожде-ством Бианки (first Bianchi identity or algebraic Bianchiidentity). Наконец, имеют место тождества Бианки(second Bianchi identity or differential Bianchi identity),которые в пространстве Римана принимают вид

𝑅𝜎𝜍 [𝜇𝜈;𝜆] = 0. (Riemann sp.) (10.75)

Для доказательства выберем нормальные координатыРимана, в начале которых ковариантная производнаязаменяется на простую, поскольку равна нулю связ-ность. Учтя это удаётся экономно доказать (10.75) непо-средственной подстановкой (10.67).

Из тензора Римана можно построить (единственныйс точностью до знака) тензор второго ранга 𝑅𝜇𝜈 , назы-ваемый тензором Риччи (Ricci curvature tensor)

𝑅𝜇𝜈 = 𝑅𝜈𝜇 = 𝑅𝜎𝜇𝜎𝜈 = (10.76)

= Γ𝜎𝜎𝜏Γ𝜏𝜈𝜇 − Γ𝜎𝜈𝜏Γ

𝜏𝜎𝜇 + 𝜕𝜎Γ

𝜎𝜈𝜇 − 𝜕𝜈Γ𝜎𝜎𝜇.

Тензор Риччи симметричен. Далее, можно построитьскаляр 𝑅, называемый скалярной кривизной

𝑅 = 𝑅𝜇𝜇 = 𝑅𝜇𝜈𝜇𝜈 (10.77)

Если в дифференциальном тождестве Бианки (10.75)провести свёртку по парам индексов с номерами 1-3 и2-4, то приходим к соотношению

𝑅𝜇𝜈;𝜇 =1

2𝜕𝜇𝑅. (10.78)

Для Риманова пространства формулу (10.66) можнопереписать в дифференциальном виде(∇𝜇∇𝜈−∇𝜈∇𝜇

)𝐴𝜎 ≡ 𝐴𝜎;𝜇𝜈−𝐴𝜎;𝜈𝜇 = −𝑅𝜍𝜎 𝜇𝜈𝐴𝜍 . (10.79)

Для доказательства удобно выбрать нормальные коор-динаты, так что в выражении (10.79) останутся толькопроизводные от связности, и затем воспользоваться ра-венством (10.65).

10.3.3.1 Вариация связности и тензора Риманапо метрике

При использовании принципа наименьшего действиядля вывода уравнения Эйнштейна приходится находитьвариацию символов Кристоффеля и тензора Римана пометрике. Выполним здесь эту техническую работу.

В выражении для ковариантной производной кон-травариантного (10.8) произведём варьирование по мет-рике левой и правой частей равенства. Вариация мет-рики задаётся ковариантным тензорным полем 𝛿𝑔𝜇𝜈 ;

117 V. APPENDIX

предполагается, что варьирование по метрике остав-ляет неизменными значения компонент контравариант-ных векторов. Поэтому равенство вариаций левой и пра-вой частей выражения для ковариантной производнойвектора (10.8) принимает вид

𝛿(∇𝜇𝑣𝜈) = 𝛿Γ𝜈𝜇𝜆 𝑣𝜆.

Это по-прежнему тензорное равенство, из чего можнозаключить, что вариация символов Кристоффеля 𝛿Γ𝜈𝜇𝜆является тензором, тогда как сам символ Кристоффелятаковым не являются. Полученное утверждение можнопроверить и непосредственно, убедившись в равенстве

𝛿Γ𝜈𝜇𝜈 = 𝛿(𝑔𝜆𝜎Γ𝜎 𝜇𝜈) =

=𝑔𝜆𝜎

2

(𝛿𝑔𝜎𝜇;𝜈 + 𝛿𝑔𝜎𝜈;𝜇 − 𝛿𝑔𝜇𝜈;𝜎

)используя (10.13). В выписанном выражении ковариант-ная производная вычисляется при невозмущённой мет-рике.

Вариация тензора Римана обязаны быть также тен-зором. Выразим её через вариацию символов Кристоф-феля, используя выражение (10.65) для тензора кривиз-ны:

𝛿𝑅𝜆𝜇 𝜎𝜍 = (10.80)

= 𝜕𝜎𝛿Γ𝜆𝜍𝜇 + Γ𝜆𝜎𝜈𝛿Γ

𝜈𝜍𝜇 − Γ𝜈𝜎𝜇𝛿Γ

𝜆𝜍𝜈 − Γ𝜈𝜎𝜍𝛿Γ

𝜆𝜈𝜇 −

−𝜕𝜍𝛿Γ𝜆𝜎𝜇 − Γ𝜆𝜍𝜈𝛿Γ𝜈𝜎𝜇 + Γ𝜈𝜍𝜇𝛿Γ

𝜆𝜎𝜈 + Γ𝜈𝜍𝜎𝛿Γ

𝜆𝜈𝜇 =

=(𝛿Γ𝜆𝜍𝜇

);𝜎−(𝛿Γ𝜆𝜎𝜇

);𝜍.

В процессе выкладок мы дополнили обе строчки взаим-но сокращающимися слагаемыми (помещёнными в пря-моугольники) так, чтобы в каждой строчке стояла ко-вариантная производная вариации символов Кристоф-феля. Теперь можно записать вариацию тензора Риччи(10.76):

𝛿𝑅𝜇𝜍 = 𝛿𝑅𝜆𝜇 𝜆𝜍 =(𝛿Γ𝜆𝜍𝜇

);𝜆−(𝛿Γ𝜆𝜆𝜇

);𝜍. (10.81)

§10.4. Дифференциальные формы

В § были определено гладкое многообразие, на нёмбыли определены гладкие векторные поля, а также вве-дена ковариантная производная через связность; связ-ность мы сделали согласованной с метрикой. Из прове-дённого рассмотрения вытекает, что, с одной стороны,невозможно непосредственно сравнивать вектора в точ-ках, разнесённых на конечное расстояние. С другой сто-роны, бесконечно малое перемещение d𝑥𝜇 по-прежнемуявляется вектором в точке, из которой производится этоперемещение. Аналогично, тензором ранга 2 являетсяэлемент двумерной поверхности d𝑆𝜇𝜈 , натянутой на бес-конечно малый замкнутый контур.

Бесконечно малые элементы длины, площади, объё-ма и т.д. естественно появляются во многих вычислени-ях и фиксация этих объектов позволяет установить гео-метрически смысл аналитических выражений. Индексы(обозначим их 𝜎, 𝜍) связности Γ𝜇𝜎𝜈 , тензора кривизны𝑅𝜇𝜈 𝜎𝜍 и тензора кручения 𝑇𝜇𝜎𝜍 , сворачивающиеся с эле-ментами перемещения и площади, имеют потому особыйгеометрический смысл. Кроме того, интегрирование поконтуру (10.61) согласно известной из математическо-го анализа теореме Стокса должно быть эквивалентноинтегралу по площади, натянутой на этот контур, от со-ответствующей производной подинтегрального выраже-ния. Желательно использовать такую технику записи,которая бы позволяла это делать почти автоматически.

Техника дифференциальных форм как раз разрабо-тана для адекватного обращения с бесконечно малымиэлементами пространства разных резмерностей.

Для трёхмерного пространства в вычислениях эле-мента площади и пространства участвует антисиммет-ричный символ Леви-Чивиты. Вообще, антисимметри-зация всегда возникает при необходимости определенияэлемента пространства, натянутого на заданные векто-ра. Пусть имеется 𝑟 индексов 𝑖𝑖, . . . 𝑖𝑟. Определим знакперестановки этих индексов

ε𝜎 = ±1, (10.82)

где 𝜎 = 𝜎(𝑖1), . . . , 𝜎(𝑖𝑟) – произвольная перестановкаиндексов 𝑖𝑖, . . . 𝑖𝑟; если она чётная, то ε𝜎 положительно,если нечётна, то, соответственно, ε𝜎 отрицательно.

Тензорное поле типа (𝑟, 0) называется кососиммет-ричным, если перестановка любых его двух индексов ве-дёт к изменению знака матричного элемента при сохра-нении его абсолютного значения,

𝜔𝜎(𝑖1)...𝜎(𝑖𝑟) = ε𝜎 𝜔𝑖1...𝑖𝑟

10.4.1 Определение понятия формыКососимметричное тензорное поле типа (𝑟, 0) называет-ся дифференциальной формой степени 𝑟, если опреде-лено его действие на 𝑟 контравариантных векторов 𝑋𝑘,где индекс 𝑘 = 0, 𝑟, следующим образом. Обозначим

𝑋[[1𝑋2 . . . 𝑋𝑟]] =∑𝜎

ε𝜎𝑋𝜎(1) ⊗ . . .⊗𝑋𝜎(𝑟). (10.83)

Эту запись можно пояснить, выписав матричный эле-мент построенного кососимметричного поля типа (0, 𝑟)

Глава 10. Дифференциальная геометрия 118

в виде детерминанта:

(𝑋[[1 . . . 𝑋𝑟]]

)𝑖1...𝑖𝑟 ≡ 𝑋𝑖1[[1 . . . 𝑋

𝑖𝑟𝑟]] =

𝑋

𝑖11 . . . 𝑋𝑖𝑟

1

. . . . . . . . .𝑋𝑖1𝑟 . . . 𝑋𝑖𝑟

𝑟

(справа подразумевается взятие детерминанта). Дей-ствие дифференциальной формы по определению зада-ётся соотношением

𝜔(𝑋1, . . . , 𝑋𝑟) = 𝜔𝑖1...𝑖𝑟 𝑋𝑖1[[1𝑋

𝑖22 . . . 𝑋𝑖𝑟

𝑟]] = (10.84)

= 𝑟! 𝜔𝑖1...𝑖𝑟 𝑋𝑖11 𝑋

𝑖22 . . . 𝑋𝑖𝑟

𝑟 .

Обратим внимание, что в первом выражении, как обыч-но, производится суммирование по всем индексам 𝑖𝑘, по-этому во втором выражении появился фактор 𝑟!. Дляпояснения общего определения скажем, что в случаесмешанного произведения в трёх-мерном пространстве,см. Пункт 9.2.2.2, следует положить

𝜔𝑖𝑗𝑘 =1

𝑑!ε𝑖𝑗𝑘, (a·b·c) = 𝜔(a,b, c), (10.85)

где 𝑑 = 3 – размерность пространства.Все дифференциальные формы степени 𝑟 ≥ 0 об-

разуют линейное пространство, обозначаемое Ω𝑟𝒳 . Поопределению, пространство гладких функций на много-образии назовём пространством форм нулевой размер-ности, Ω0𝒳 = 𝐹𝒳 . Далее, очевидна биекция простран-ства 1-форм и касательного ко-пространства, Ω1𝒳 =𝑇1𝒳 . Подчеркнём, что с точки зрения преобразова-ния тензоров, пространство Ω𝑟𝒳 является подпростран-ством пространства 𝑇𝑟𝒳 . Заметим также, что Ω𝑟𝒳 = 0для любых 𝑟 > 𝑛.

10.4.1.1 Внешнее умножение дифференциаль-ных форм

Например, пусть есть вектор и элемент площади в трёх-мерном пространстве. Как определить элемент объёма,натянутый на этим два элемента? Решение этого техни-ческого вопроса достигается через определение внешне-го умножения форм.

Внешнее произведение базисных 1-форм d𝑥𝑖 опреде-ляется как

d𝑥𝑖1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑖𝑟 =∑𝜎

𝜖𝜎 d𝑥𝜎(𝑖1) ⊗ . . .⊗ d𝑥𝜎(𝑖𝑟) (10.86)

В частности, это означает, что действие 𝑟-формы какконтравариантного тензора ранга 𝑟 на тензорном про-изведении 𝑟 контравариантных векторов 𝑋𝑖 есть(

d𝑥𝑖1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑖𝑟)(𝑋1 ⊗ . . .⊗𝑋𝑟

)= 𝑋𝑖1

[[1 . . . 𝑋𝑖𝑟𝑟]].

Например, если в трёх-мерном пространстве есть двавектора 𝑋,𝑌 , то(

d𝑥1 ∧ d𝑥2)(𝑋 ⊗ 𝑌 ) = 𝑋1𝑌 2 − 𝑌 1𝑋2, (10.87)

т.е. это 3-я компонента векторного произведения [𝑋×𝑌 ],см. Пункт 9.2.2.1.

Пусть есть произвольные 𝑟-форма и 𝑠-форма. Обоб-щим определение внешнего произведения (10.86) для1-форм так, чтобы выполнялся закон ассоциативности.Тогда внешнее произведение для 𝑟- и 𝑠-форм даётся ра-венствами

𝜔 ∧ 𝜃 = 𝜔𝑖1...𝑖𝑟𝜃𝑖𝑟+1...𝑖𝑟+𝑠 d𝑥𝑖1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑖𝑟+𝑠 =

= (𝜔 ∧ 𝜃)𝑖1...𝑖𝑟+𝑠d𝑥𝑖1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑖𝑟+𝑠 (10.88)

где матричный элемент получившейся (𝑟+𝑠)-формы ра-вен

(𝜔 ∧ 𝜃)𝑖1...𝑖𝑟+𝑠= (10.89)

=1

(𝑟 + 𝑠)!

∑𝜎

ε𝜎 𝜔𝜎(𝑖1)...𝜎(𝑖𝑟) 𝜃𝜎(𝑖𝑟+1)...𝜎(𝑖𝑟+𝑠) =

=𝑟!𝑠!

(𝑟 + 𝑠)!

∑𝜎′

ε𝜎′ 𝜔𝜎′(𝑖1)...𝜎′(𝑖𝑟) 𝜃𝜎′(𝑖𝑟+1)...𝜎′(𝑖𝑟+𝑠).

Во втором представлении множество всех перестановокразбито на группы. В каждой группе все перестанов-ки могут быть получены из одной путём перестановоквнутри первых 𝑟 и/или последних 𝑠 индексов. Такимобразом, в каждой группе имеется 𝑟!𝑠! одинаковых сла-гаемых, что мы учли в множителе перед знаком суммы.Через суммирование по 𝜎′ мы обозначили суммирова-ние по подмножеству всех перестановок, содержащемутолько по одному представителю из каждой группы.

В результате получаем, что в рамках данных опре-делений

(𝜔 ∧ 𝜃)(𝑋1, . . . , 𝑋𝑟+𝑠) = (10.90)

=∑𝜎′

ε𝜎′ 𝜔(𝑋𝜎′(1), . . . , 𝑋𝜎′(𝑟)) 𝜃(𝑋𝜎′(𝑟+1), . . . , 𝑋𝜎′(𝑟+𝑠))

Множитель-факториал, стоящий во втором представ-лении (10.84), сокращается с факториалами, стоящимимножителями в (10.89).

Приведем свойства внешнего умножения:1) Для 𝑟-формы 𝜔 и 𝑠-формы 𝜃 имеет место свойствокососимметричности:

𝜔 ∧ 𝜃 = (−1)𝑟𝑠 𝜃 ∧ 𝜔. (10.91)

2) Свойство билинейности (формы 𝜃 и 𝜑 одного поряд-ка):

𝜔 ∧ (𝜃 + 𝜑) = 𝜔 ∧ 𝜃 + 𝜔 ∧ 𝜑. (10.92)

3) Свойство ассоциативности:

(𝜔 ∧ 𝜃) ∧ 𝜑 = 𝜔 ∧ (𝜃 ∧ 𝜑) = 𝜔 ∧ 𝜃 ∧ 𝜑.

Для пояснения определения внешнего умноженияпосмотрим, чему равен результат действия внешнего

119 V. APPENDIX

произведения 2-формы и 1-формы сначала в общей фор-ме: если

𝜔 = 𝜔𝑖𝑘 d𝑥𝑖 ∧ d𝑥𝑘, 𝜃 = 𝜃𝑖d𝑥

𝑖,

и 𝑋,𝑌, 𝑍 – вектора, то

(𝜔 ∧ 𝜃)(𝑋,𝑌, 𝑍) =

= 𝜔(𝑋,𝑌 )𝜃(𝑍) + 𝜔(𝑌,𝑍)𝜃(𝑋) + 𝜔(𝑍,𝑋)𝜃(𝑌 ).

Возьмём тривиальный пример — внешнее произведе-ние 2-формы (10.87) (т.е. ненулевыми являются 𝜔12 =−𝜔21 = 1) и 1-формы 𝜃 = d𝑥3 в трёх-мерном простран-стве. Тогда 𝜔∧𝜃 = d𝑥1∧d𝑥2∧d𝑥3, а результат действияэтой формы на тройку векторов 𝑋,𝑌, 𝑍 есть смешанноепроизведение этих векторов, см. Пункт 9.2.2.2. Матрич-ные элементы формы 𝜔 ∧ 𝜃 равны (10.85): знаменатель𝑑! в (10.85) появляется за счёт знаменателя (𝑟 + 𝑠)! в(10.89).

10.4.1.2 Перенос формы гладким отображени-ем

Предположим, например, что 𝑟-форма 𝜔 исчисляет эле-менты 𝑟-размерности на многообразии 𝒳 размерности𝑛. Многообразие 𝒴 является подмногообразием размер-ности 𝑚 ≥ 𝑟 многообразия 𝒳 , 𝑚 < 𝑛. Каким образомформа 𝜔 исчисляет элементы 𝑟-размерности на много-образии 𝒴?

В общем случае надо говорить о гладком отображе-нии многообразия 𝒴 в 𝒳 , соотношения размерностейэтих многообразий произвольны. Дадим определениепереноса формы гладким отображением многообразий.

Пусть 𝑓 : 𝒴 → 𝒳 – произвольное гладкое отображе-ние, и 𝑟-форма 𝜔 определена на многообразии 𝒳 . Длякаждой точки 𝑝 ∈ 𝒴 определим 𝑟-форму 𝑓*𝜔 на много-образии 𝒴,

∀ 𝑓 : 𝒴 → 𝒳 , ⇒ ∃ 𝑓* : Ω𝑟𝒳 → Ω𝑟𝒴, (10.93)

действие которой на векторах 𝑌1, . . . , 𝑌𝑟 из касательногопространства 𝑇𝑝𝒴 в точке 𝑝 есть

(𝑓*𝜔)(𝑌1, . . . , 𝑌𝑟) = 𝜔(d𝑓𝑝(𝑌1), . . . ,d𝑓𝑝(𝑌𝑟)

). (10.94)

где действие дифференциала гладкого отображения d𝑓𝑝на векторе определено в (10.45) (там поменяны местамибуквы, соответствующие множествам 𝒴 и 𝒳 ). В другомвиде это определение можно переписать так:

𝑓*𝜔 = 𝜔𝑖1...𝑖𝑟d𝑥𝑖1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑖𝑟 , d𝑥𝑖 =

(𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑦𝑘

)𝑝

d𝑦𝑘,

т.е. теперь 𝑛 форм d𝑥𝑖 не являются в общем случае ли-нейно независимыми, а являются линейной комбинаци-ей форм d𝑦𝑘. Построенное отображение форм линейнои перестановочно с внешним умножением:

𝑓*(𝜃 ∧ 𝜔) = 𝑓*𝜃 ∧ 𝑓*𝜔

для любых форм 𝜃 и 𝜔 на 𝒳 .Для произвольного подмногообразия 𝒴 многообра-

зия 𝒳 и отвечающего ему вложения 𝑖 : 𝒴 −→ 𝒳 отобра-жение

𝑖* : Ω𝑟𝒳 −→ Ω𝑟𝒴

является отображением ограничения, переводящимформу 𝜔 на 𝒳 в форму 𝜔|𝒴 на 𝒴, для которой

(𝜔|𝒴)𝑝(𝑋1, . . . , 𝑋𝑟) = 𝜔𝑝(𝑋1, . . . , 𝑋𝑟)

в любой точке 𝑝 ∈ 𝒴 и для любых векторов 𝑋1, . . . , 𝑋𝑟 ∈𝑇𝑝𝒴 (где, естественно, пространство 𝑇𝑝𝒴 рассматрива-ется как подпространство пространства 𝑇𝑝𝒳 ).

10.4.2 Внешнее дифференцированиеформ

Построим отображение d

d : Ω𝑟𝒳 → Ω𝑟+1𝒳 , (10.95)

переводящее 𝑟-форму в (𝑟 + 1)-форму и называемоевнешним дифференцированием формы. Внешнее диф-ференцирование должно обладать следующими свой-ствами:

1) Отображение d линейно.

2) Отображение d является антидифференцировани-ем, т.е. для форм 𝜃 и 𝜔 имеет место равенство

d(𝜃 ∧ 𝜔) = d𝜃 ∧ 𝜔 + (−1)𝑟𝜃 ∧ d𝜔,

где 𝑟 – степень формы 𝜃.

3) Для любого гладкого отображения 𝑓 : 𝒳 −→ 𝒴 илюбой формы 𝜔 на 𝒴 имеет место равенство

d𝑓*𝜔 = 𝑓*d𝜔.

4) Для каждой функции 𝑓 ∈ Ω0𝒳 форма d𝑓 являетсяее дифференциалом:

d𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖d𝑥𝑖.

5) Если 𝜔 = d𝜃, то d𝜔 = 0.

Ниже мы показываем, что по этим аксиомам действи-тельно возможно построить отображение и оно являетсяединственным.

Начнём с того, что если 𝑓 и 𝑔 являются функциямина многообразии 𝒳 , то дифференциал их произведения,как и должно быть, равен

d(𝑓𝑔) = 𝑔 d𝑓 + 𝑓 d𝑔.

Глава 10. Дифференциальная геометрия 120

Теперь, пусть дана 𝑟-форма 𝜔, которую мы для на-глядности запишем в виде

𝜔 = 𝜔𝑖1...𝑖𝑟d𝑥𝑖1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑖𝑟 .

Покажем, что её внешний дифференциал следует вы-числять поправилу

d𝜔 =𝜕𝜔𝑖1...𝑖𝑟𝜕𝑥𝑖0

d𝑥𝑖0 ∧ d𝑥𝑖1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑖𝑟 . (10.96)

Проверим, что это правило для двух разных карт 𝑈и 𝑈 ′ даёт один и тот же результат, т.е. что формаd (𝜔|𝑈 ), построенная в координатах карты 𝑈 и затем пе-ресчитанная в координаты карты 𝑈 ′, совпадает с фор-мой d (𝜔|𝑈 ′), построенной непосредственно в координа-тах карты 𝑈 ′. Действительно, поскольку форма являет-ся тензором ранга 𝑟, то

𝜔𝑖1...𝑖𝑟 =𝜕𝑥′𝑘1

𝜕𝑥𝑖1. . .

𝜕𝑥′𝑘𝑟

𝜕𝑥𝑖𝑟𝜔′𝑘1...𝑘𝑟 , T

′𝑘𝑖 =

𝜕𝑥′𝑘

𝜕𝑥𝑖.

(10.97)Подставим это выражение в правую часть (10.96). Диф-ференцирование множителей T′𝑘

𝑖 по 𝑥𝑖0 не даст вкладав (10.96), поскольку результат будет симметричным поиндексам 𝑖, 𝑖0, сворачиваясь с антисимметричной поэтим индексам формой d𝑥𝑖0 ∧ d𝑥𝑖 = −d𝑥𝑖 ∧ d𝑥𝑖0 . Поэто-му в (10.97) надо дифференцировать только множитель𝜔′. Наконец, надо воспользоваться правилом дифферен-цирования сложной функции и пересчётом 1-форм

𝜕𝜔′𝑘1...𝑘𝑟

𝜕𝑥𝑖0=𝜕𝜔′

𝑘1...𝑘𝑟

𝜕𝑥′𝑘0𝜕𝑥′𝑘0

𝜕𝑥𝑖0, d𝑥′𝑘 =

𝜕𝑥′𝑘

𝜕𝑥𝑖d𝑥𝑖,

в результате чего мы придём к тому, что процедура(10.96) выполненная на картах 𝑈 и 𝑈 ′ даёт одну и туже (𝑟 + 1)-форму. Итак, декларированное отображение(10.95) построено, см. (10.96).

Формально также доказывается перестановочностьопераций переноса формы гладким отображением ивнешнего дифференцирования. Отметим, что в процес-се доказательства можно воспользоваться тем, что со-гласно аксиоматике и выработанному правилу (10.96)двойной внешний дифференциал функции равен нулю:

d𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖d𝑥𝑖, dd𝑓 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑘𝜕𝑥𝑖d𝑥𝑘 ∧ d𝑥𝑖 = 0

Форма d𝑥𝑖 есть дифференциал функции 𝑥𝑖, поэтомувторой дифференциал от неё равен нулю. Аналогичнымспособом доказывается, что двойной внешний диффе-ренциал от любой формы равен нулю.

Кососимметричность внешнего дифференцированиядоказывается непосредственно.

10.4.3 Интегрирование дифференциаль-ных форм

Пусть размерность многообразия 𝒳 равна 𝑛 и на нёмзадана некоторая 𝑛-форма 𝜔. Определим интеграл от

формы по многообразию. Сначала рассмотрим простей-ший случай, когда внутренность многообразия int𝒳 мо-жет быть покрыта одной картой (int𝒳 , 𝑥𝑘), и образвнутренности многообразия в пространстве R𝑛 есть от-крытое множество 𝐺. Интеграл от формы естьˆ

𝒳𝜔 =

ˆ𝐺

𝜔(𝑥) d𝑥1 . . . d𝑥𝑛. (10.98)

Проверим определение на независимость от выбора кар-ты. Пусть (int𝒳 , 𝑥′𝑖) – другая карта. Тогда, с одной сто-роны, единичная форма стоящая в левой части (10.98)при переходе из одной системы координат в другую пе-ресчитывается согласно

𝜔(𝑥) d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑛 =(𝐽 𝜔(𝑥′)

)d𝑥′1 ∧ . . . ∧ d𝑥′𝑛,

𝐽 =

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑥′𝑖

,

где 𝐽 – якобиан перехода. С другой стороны переход винтегрировании в правой части (10.98) от одних коорди-нат в другим приводит к появлению абсолютного значе-ния |𝐽 | якобиана перехода в качестве множителя. Такимобразом, интеграл от формы не изменяется при перехо-де между одноимёнными картами и изменяет знак, есликарты разноимённые.

Теперь распространим определение интеграла отформы на такие многообразия, внутренность которыхне может быть покрыта полностью одной картой. Такоемногообразие разобьём на подмногобразия 𝒳𝛼, объеди-нение которых даёт исходное многообразие и внутрен-ности которых не пересекаются:

𝒳 = ∪𝒳𝛼, int𝒳𝛼 ∩ int𝒳𝛽 = 0 if 𝛼 = 𝛽. (10.99)

Тогда по определениюˆ𝒳𝜔 =

∑𝛼

ˆ𝒳𝛼

𝜔. (10.100)

10.4.3.1 Теорема Стокса

Пусть теперь 𝜔 — (𝑛 − 1)-мерная форма на 𝑛-мерноммногообразии 𝒳 с краем. Тогда имеет место теоремаСтокса ˆ

𝒳d𝜔 =

ˆ𝜕𝒳

𝜔. (10.101)

Проведём доказательство теоремы Стокса для мно-гообразия, для которого можно выбрать атлас, картыкоторого образуют замкнутый шар в R𝑛.

Для того, чтобы провести интегрирование форма d𝜔по многообразию 𝒳 , надо выбрать систему одинако-во ориентированных карт, которая бы с одной стороныполностью покрывала многообразие 𝒳 в смысле (10.99).А с другой стороны эта система карт должна содержатькраевые карты, которые в совокупности полностью по-крывали бы край многообразия 𝒳 опять таки в том жесмысле (10.99). Эту задачу для нашего многообразияможно выполнить минимум с помощью двух карт (плюс

121 V. APPENDIX

одной вспомогательной, которая устанавливает взаим-ную положительную ориентацию этих двух карт).

В качестве носителя вспомогательной карты возьмёмвсё многообразия 𝒳 с такими координатами 𝑥𝑖, в кото-рых край многообразия задаётся равенством

𝜌2 +(𝑥1)2

= 1, 𝜌2 =(𝑥2)2

+ . . .+(𝑥𝑛)2.

В координатном базисе этой карты (𝑛− 1)-форма в об-щем случае задаётся выражением

𝜔 =∑𝑘

𝜔𝑘(𝑥) d𝑥1 ∧ . . . ∧HHd𝑥𝑘 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑛,

где перечёркивание означает, что соответствующиймножитель отсутствует. Поскольку равенство (10.101)аддитивно а выбор координат произволен, то (10.101)достаточно доказать только для одного слагаемого, ска-жем для 𝜔1(𝑥), положив

𝜔 = 𝜔1(𝑥) d𝑥2 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑛,

then d𝜔 =𝜕𝜔1(𝑥)

𝜕𝑥1d𝑥1 ∧ . . . ∧ d𝑥𝑛.

В соответствии с этим выбором в качестве носителейдвух карт 𝑈+ и 𝑈− возьмём полушария 𝑥1 > 0 и 𝑥1 < 0с координатами 𝑦𝑖+ и 𝑦𝑖−

(𝑦1+, 𝑦2+, 𝑦

3+, . . . , 𝑦

𝑛+) = (𝑥1 − 𝑞, 𝑥2, 𝑥3, . . . , 𝑥𝑛),

(𝑦1−, 𝑦2−, 𝑦

3−, . . . , 𝑦

𝑛−) = (−𝑥1 − 𝑞,−𝑥2, 𝑥3, . . . , 𝑥𝑛).

где 𝑞(𝜌) =√1− 𝜌2. В таком случае все три карты имеют

одну и ту же ориентацию. Край в картах 𝑈± задаётсяуравнениями 𝑦1± = 0, а внутренность многообразия int𝒳соответствует областям 𝑦1± < 0. Таким образом, две по-строенные карты соответствуют определению краевойкарты данном в Пункте 10.2.1.4. Множества 𝑈± двух

карт высекают на краю многообразия 𝒳 подмножества𝑉± с координатами

𝑖± : 𝑉± → 𝑈0 : (𝑦2±, 𝑦3±, . . . , 𝑦

𝑛±) = (±𝑥2, 𝑥3, . . . , 𝑥𝑛).

Здесь 𝑖± означают отображения (одно из них тожде-ственное), которые надо отождествить с отображением𝑓 в (10.93). Этим отображениям соответствуют отобра-жения форм с 𝑈0 на 𝑉±:

𝑖*± : Ω𝑛−1𝑈0 → Ω𝑛−1𝑉± : 𝜔±1 = ±𝜔1,

Теперь всё готово для доказательства теоремы Сток-са (10.101). Взяв левую часть, произведём интегрирова-ние формы d𝜔 по многообразию 𝒳 в координатах карты(𝑈0, 𝑥

𝑖):ˆ𝒳d𝜔 =

ˆ

|𝑥2|<𝑞

𝜕𝜔1

𝜕𝑥1d𝑥1 d𝑥2 . . . d𝑥𝑛 = (10.102)

=

ˆ

𝑥1=𝑞

𝜔1 d𝑥2 . . . d𝑥𝑛 −

ˆ

𝑥1=−𝑞

𝜔1 d𝑥2 . . . d𝑥𝑛.

Мы воспользовались тем, что интегрирование по 𝑥1 про-исходит от полной производной. Теперь вычислим пра-вую часть (10.101). Согласно найденной форме 𝜔, пере-несённой на края 𝑉±, интеграл по краю равенˆ𝜕𝒳

𝜔 =

ˆ𝜔+1 d𝑦2+ . . . d𝑦

𝑛+ +

ˆ𝜔−1 d𝑦2− . . . d𝑦

𝑛− =

=

ˆ

𝑥1=𝑞

𝜔1 d𝑥2 . . . d𝑥𝑛 −

ˆ

𝑥1=−𝑞

𝜔1 d𝑥2 . . . d𝑥𝑛,

что равно результату вычисления (10.102) левой частиформулы Стокса (10.101).

§10.5. Запись уравнений дифференциальной геометрии черездифференциальные формы

10.5.1 Формы в произвольном базисеМы будем одновременно работать в двух базисах —координатном базисе и произвольном базисе 𝑒𝜎𝐵 (см.Пункт 10.2.3) для разных индексов, имеющих разныегеометрические смыслы. В координатном базисе мы бу-дем исчислять формы. В произвольном базисе 𝑒𝜎𝐵 мыбудем исчислять тензора.

Форма смещения 𝜔𝐵 — это объект из Ω1𝒳 , являю-щийся кроме этого контравариантным вектором в бази-се 𝑒𝜎𝐵

𝜔𝐵 ≡ 𝑒𝐵𝜈 d𝑥𝜈 , (10.103)

Согласно (10.53), в произвольном базисе ковариантноедифференцирование записывается не с помощью симво-

лов Кристоффеля, а с помощью величин

𝜔𝐵

𝐴𝜈 = 𝑒𝐵𝜎 𝑒𝜍𝐴Γ

𝜎𝜈𝜍 + 𝑒𝐵𝜎𝜕𝜈𝑒

𝜎𝐴. (10.104)

Здесь два индекса, относящиеся к векторам, записаны впроизвольном базисе, а оставшийся индекс соответству-ющий дифференцированию — в координатном базисе.Эти величины, записанные в виде форм

𝜔𝐵

𝐴 ≡ 𝜔𝐵

𝐴𝜈d𝑥𝜈 , (10.105)

называются формой связности. Таким образом, формасвязности — это объект из Ω1𝒳 , имеющий кроме это-го один верхний и один нижний тензорные индексы вбазисе 𝑒𝜎𝐵, но не являющийся тензором. Обратим вни-мание на то, что порядок индексов 𝐴, 𝜈 слева у формы

Глава 10. Дифференциальная геометрия 122

связности 𝜔 поменян по сравнению с порядком индексов𝜈, 𝜍 справа у символа Кристоффеля Γ. Форма связностипереписывает (10.52) в виде

∇𝑌 𝐴 ≡ d𝑥𝜇 𝑒𝐴𝜈∇𝜇 𝑌 𝜈 = d𝑥𝜇(𝜕𝜇𝑌

𝐴 + 𝜔𝐴

𝐵𝜇𝑌𝐵)

= d𝑌 𝐴 + 𝜔𝐴

𝐵𝑌𝐵. (10.106)

Преобразование форм связности при замене базиса𝑒𝐵𝜎 → 𝑒′𝐵𝜎

𝜔′𝐴𝐵 = T

′𝐴𝐶 T

𝐷

′𝐵 𝜔𝐶

𝐷 + T′𝐴𝐷 dT𝐷

′𝐵, T𝐷

′𝐵 = 𝑒𝐷𝜎 𝑒′𝜎𝐵

(10.107)следует из (10.104). Однако если мы изменяем коорди-натную сетку, сменяя координаты 𝑥𝜇 на координаты 𝑥′𝜇,но сохраняем прежним базис 𝑒𝐵, то форма связности из-меняется как ковариантный вектор (как и, разумеется,форма смещения):

𝜔′𝐵𝐴𝜈 =

𝜕𝑥𝜇

𝜕𝑥′𝜈𝜔𝐵

𝐴𝜇, 𝑒′𝐵𝜈 =𝜕𝑥𝜇

𝜕𝑥′𝜈𝑒𝐵𝜇 . (10.108)

В правилах (10.107,10.108) отражается геометрическийсмысл разделения индексов по координатному и произ-вольному базисам.

Отметим, что есть возможность перейти к произ-вольному базису для всех индексов, разложив все фор-мы по формам смещения. В таком случае, например,форма связности

𝜔′𝐵𝐴 = 𝜔′𝐵

𝐴𝐶𝜔𝐶 , 𝜔′𝐵

𝐴𝐶 = 𝑒𝜇𝐶 𝜔𝐵

𝐴𝜇.

Интервал в терминах форм смещения записываетсяв виде

d𝑠2 = 𝑔𝐴𝐵𝜔𝐴𝜔𝐵 = 𝑔𝜇𝜈d𝑥

𝜇d𝑥𝜈 , 𝑔𝐴𝐵 = 𝑔𝜇𝜈𝑒𝜇𝐴𝑒𝜈𝐵.

(10.109)Подчеркнём, что в этом выражении не производитсяоперации внешнего умножения, и, таким образом, этовыражение является не более чем формой записи.

10.5.1.1 Ортонормированный базис

Напомним, что ортонормированный базис был опреде-лён в Пункте 10.2.3.1. Используя то, что по определению𝑒𝑎𝜆𝑒

𝜆𝑏 = 𝛿𝑎𝑏 , перепишем связь между формой связности и

символами Кристоффеля (10.104) в терминах 𝑒𝑎𝜆 (кото-рые, напомним, называются тетрадами в случае еслипространство 4-х мерное). В результате получим соот-ношение

𝜕𝜇𝑒𝑎𝜈 + 𝜔𝑎𝑏𝜇 𝑒

𝑏𝜈 − Γ𝜆𝜇𝜈𝑒

𝑎𝜆 = 0. (10.110)

которое называется для 4-х мерного пространства тет-радным постулатом (tetrad postulate).

Условием согласованности связности с метрикой(10.55) в терминах формы смещения является антисим-метричность формы связности,

∇𝜂𝑎𝑏 = −𝜔𝑎𝑏 − 𝜔𝑏𝑎 = 0, 𝜔𝑎𝑏 = 𝜂𝑎𝑐𝜔𝑐𝑏. (10.111)

10.5.2 Структурные уравнения КартанаУравнения, выражающие тензора кривизны и кручениячерез связность и записанные в терминах произвольногобазиса, называются структурными уравнениями Карта-на.

Повторим вычисления Пункта 10.3.1.2, приводящиек определению тензора кривизны, в терминах диффе-ренциальных форм. Приращение вектора при его па-раллельном переносе вдоль замкнутой петли (10.64) сучётом записи ковариантной производной вектора в тер-минах формы связности (10.106) равно

𝛿𝑌 𝐴 =

ˆ𝜕𝜎

d𝑌 𝐴 = −ˆ𝜕𝜎

𝜔𝐴

𝐵 𝑌𝐵. (10.112)

Здесь интегрирование 1-формы проводится вдоль за-мкнутого контура (1-мерного многообразия). Мы обо-значили его как 𝜕𝜎, имея ввиду, что этот замкнутыйконтур является границей некоторой 2-мерной поверх-ности 𝜎 (2-мерного многообразия), натянутой на этотконтур. Поскольку размер петли мал (порядка 𝜖), намдостаточно вычислить 𝑌 𝐵 в первом порядке по 𝜖

𝛿𝑌 𝐴 =

ˆ𝜕𝜎

𝜔𝐴

𝐵 𝑌𝐵 = −

ˆ𝜎

d(𝜔𝐴

𝐵 𝑌𝐵) ≈

≈ −ˆ𝜎

(d𝜔

𝐴

𝐵 𝑌𝐵 − 𝜔𝐴

𝐵 ∧ d𝑌𝐵)

=

= −𝑌 𝐵

ˆ𝜎

(d𝜔𝐴

𝐵 + 𝐴

𝐶 ∧ 𝐶

𝐵

)≡ −1

2

ˆ𝜎

𝐴

𝐵 𝑌 𝐵,

(сравни с (10.65)) где черта над величиной означает, чтоэта величина берётся в начале петли, а тензор кривизныопределён как 2-форма

𝑅𝐴

𝐵 = 2(d𝜔𝐴

𝐵 + 𝜔𝐴

𝐶 ∧ 𝜔𝐶

𝐵). (10.113)

Теперь получим тензор кручения. Выражение(10.62) для приращения координаты вдоль петли, пе-ренесённого в начало координат, с учётом связи междуформами связности и символами Кристоффеля (10.104)выглядит следующим образом:˛

𝛿d𝑥𝜇 ≈˛

Γ𝜇𝜎𝜍 𝑥𝜎 d𝑥𝜍 =

= 𝑒𝜇𝐵

˛ (𝜕𝜎𝑒𝐵𝜍 + 𝑒𝐴𝜍

𝐵

𝐴𝜎

)𝑥𝜎d𝑥𝜍 .

В этом подинтегральном выражении от координаты за-висит только собственно сама координата. Учтя это,воспользуемся теоремой Стокса

𝑒𝐵𝜇

ˆ𝜕𝜎

𝛿d𝑥𝜇 =

ˆ𝜎

(𝜕𝜎𝑒𝐵𝜍 + 𝑒𝐴𝜍

𝐵

𝐴𝜎

)d𝑥𝜎 ∧ d𝑥𝜍 =

=

ˆ𝜎

(d𝜔𝐵 + 𝐵

𝐴 ∧ 𝐴)≡ 1

2

ˆ𝜎

𝑇𝐵,

где тензор кручения

𝑇𝐵 = 2(d𝜔𝐵 + 𝜔𝐵

𝐴 ∧ 𝜔𝐴). (10.114)

123 V. APPENDIX

Совокупность уравнений (10.113,10.114) называетсяструктурными уравнениями Картана. Если перейти откоординатного базиса к произвольному для всех ин-дексов, то структурные уравнения Картана (Cartan’sstructural equations) можно переписать в виде

2(d𝜔𝐵 + 𝜔𝐵

𝐴 ∧ 𝜔𝐴)

= 𝑇𝐵

𝐴𝐶 𝜔𝐴 ∧ 𝜔𝐶 , (10.115)

2(d𝜔𝐴

𝐵 + 𝜔𝐴

𝐶 ∧ 𝜔𝐶

𝐵) = 𝑅𝐴

𝐵 𝐶𝐷 𝜔𝐶 ∧ 𝜔𝐷.

10.5.2.1 Определение кривизны по метрике

Приведём здесь метод определения тензора кривизны вортонормированном базисе (см. Пункт 10.5.1.1) по из-вестному метрическому тензору в координатном базисеи известному тензору кручения, если он ненулевой. Пер-вым шагом найдём формы связности. Пусть

d𝜔𝑎 = 𝐶𝑎𝑏𝑐𝜔𝑏 ∧ 𝜔𝑐, 𝐶𝑎𝑏𝑐 = −𝐶𝑎𝑐𝑏.

Из первого структурного уравнения Картана (10.115)следует, что

1

2

(𝜔𝑎𝑏𝑐 − 𝜔𝑎𝑐𝑏

)= 𝐶𝑎𝑏𝑐 −

𝑇𝑎𝑏𝑐2.

Найдём линейную комбинацию этих уравнений в после-довательности индексов 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑎 − 𝑐𝑎𝑏. При преоб-разовании левой части пользуемся тем, что в ортонор-мированном базисе форма смещения антисимметрична,𝜔𝑎𝑏𝑐 = −𝜔𝑏𝑎𝑐, см. (10.111). Получаем:

𝜔𝑎𝑏𝑐 = 𝐶𝑎𝑏𝑐 − 𝐶𝑏𝑎𝑐 − 𝐶𝑐𝑎𝑏 +𝑇𝑎𝑏𝑐 − 𝑇𝑏𝑎𝑐 − 𝑇𝑐𝑎𝑏

2.

Теперь вторым шагом по найденным формам смеще-ния 𝜔𝑎𝑏𝑐 при помощи второго структурного уравненияКартана (10.115) прямолинейными вычислениями мож-но найти тензор кривизны.

10.5.3 Нормальные координаты РиманаВ Пункте 10.3.2 были введены нормальные координа-ты Римана. Оказывается, что конструкция нормальныхкоординат может быть естественным образом дополне-на конструкцией ортонормированного базиса с новы-ми, согласованными с ним нормальными координата-ми. В этом пункте мы переписываем вычисления длянормальных координат в терминах дифференциальныхформ в этом ОНБ.

10.5.3.1 Построение ОНБ для нормальных ко-ординат

Построим ортонормированный базис в окрестности точ-ки 𝑝 путём параллельного переноса ОНБ-репера 𝑒𝑎𝜇 източки 𝑝 вдоль геодезических, проходящих через точку 𝑝.Построенный базис действительно является ортонорми-рованным, поскольку при параллельном переносе ска-лярное произведение векторов не изменяется.

Установим дополнительное свойство построенногобазиса. На геодезической с касательной 𝑋𝜇 в точке𝑥𝜇 = 𝑠𝑋𝜇 выполняется равенство

𝑋𝜇(𝜕𝜇𝑒

𝑎𝜈 − Γ𝜆𝜈𝜇

)= 0, 𝑋𝜇 𝜔𝑎𝑏𝜇(𝑥) = 0, (10.116)

второй приведённый вариант записи которого следуетиз тетрадного постулата (10.110). С учётом определе-ния нормальных координат (10.69), из первого равен-ства следует цепочка равенств

0 = 𝑋𝜇𝑋𝜈𝜕𝜇𝑒𝑎𝜈 = 𝑋𝜇𝜕𝜇

(𝑋𝜈𝑒𝑎𝜈

)⇒ (10.117)

𝑥𝜈𝑒𝑎𝜈(𝑥) = 𝑥𝜈𝑒𝑎𝜈(0) ≡ 𝑥𝑎.

Последнее равенство в вычислениях показывает, что яв-ляется рациональным переход от координат 𝑥𝜇 к коор-динатам 𝑥𝑎, согласованным с введённым ОНБ. Для раз-личия прямой 𝑒𝜈𝑎 и обратной 𝑒𝑎𝜈 матриц перехода от ко-ординатного базиса к ОНБ мы будем сохранять записьс индексами 𝜇, считая однако, что на самом деле мыимеем дело с координатной системой 𝑥𝑎.

10.5.3.2 Раздувание бесконечно малой окрест-ности начала нормальных координат вконечную область

Определим зависимость форм смещения, связности иметрического тензора в малой окрестности начала нор-мальных координат.

Путь 1-мерное многообразие ℐ есть единичный от-резок 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. Определим многообразие 𝒴 = 𝒳 × ℐ.Смысл этого построения состоит в мульплицированиимногообразия 𝒳 число раз, равное количеству значений(континууму) параметра 𝑡; набором координат на мно-гообразии 𝒴 сделаем совокупность 𝑥𝜇, 𝑡. В соответ-ствии со смыслом построения мы полагаем, что метрикаи связность переносятся тривиально с 𝑛-мерного много-образия 𝒳 на (𝑛+1)-мерное многообразие 𝒴. Во-первых,чистые 𝜇-компоненты этих величин на 𝒴 в точке 𝑥𝜇, 𝑡равны их компонентам на 𝒳 в соответствующей точке𝑥𝜇. Во-вторых, единственной ненулевой 𝑡-компонентойявляется 𝑔𝑡𝑡 = 1 (важно только, что она постоянная), авсе остальные 𝑡-компоненты метрики и связности равнынулю. В таком случае у тензора Римана на 𝒴 ненулевы-ми будут только чистые 𝜇-компоненты, равные соответ-ствующим компонентам тензора Римана в точке 𝑥𝜇.

Определим локально-гладкое отображение многооб-разий

𝑓 : 𝒴 = 𝒳 × ℐ → 𝒳

согласно правилу 𝑡𝑥𝜇 = 𝜇, где 𝑥𝜇, 𝑡 — координаты на𝒴, a 𝜇 — координаты на 𝒳 . Это отображение порож-дает отображение форм

𝑓* : Ω𝑟𝒳 → Ω𝑟𝒴

см. Пункт 10.4.1.2. Таким образом, если на 𝒳 есть 1-формы смещения 𝜔𝑎 и связности 𝜔𝑎𝑏, то результатом

Глава 10. Дифференциальная геометрия 124

отображения 𝑓* будут 1-формы на 𝒴

𝜔𝑎 = 𝑒𝑎𝜇D(𝑡𝑥𝜇) ≡ 𝑥𝑎 D𝑡+ 𝑎, 𝑒𝑎𝜇() 𝑡d𝑥

𝜇 ≡ 𝑎

𝜔𝑎𝑏 = 𝜔𝑎𝑏𝜇D(𝑡𝑥𝜇) = 𝜔𝑎𝑏𝜇()𝑡d𝑥

𝜇 ≡ 𝑎𝑏,

где было учтено определение координатной системы𝑥𝑎, а также то, что 𝜔𝑎𝑏𝜇𝑥

𝜇 = 0 по построению ОНБ,см. (10.116). Запись выбрана так, что дифференциал D

действует как на 𝑡 так и на 𝑥𝜇, тогда как дифференциалd действует только на координаты 𝑥𝜇. При 𝑡 = 1 форма𝑎 равна форме смещения на 𝒳 𝜔𝑎(𝑥), а форма 𝑎𝑏 рав-на форме связности на 𝒳 𝜔𝑎𝑏(𝑥). При 𝑡 = 0 формы 𝑎 и𝑎𝑏 равны нулю.

Следующим шагом мы должны вычислить внешниедифференциалы форм смещения и связности:

D𝜔𝑎 = D𝑡 ∧(𝜕𝑎

𝜕𝑡− d𝑥𝑎

)+ d𝑎,

D𝜔𝑎𝑏 = D𝑡 ∧ 𝜕𝑎𝑏

𝜕𝑡+ d𝑎𝑏.

Напишем уравнения на коэффициенты при вкладах в

уравнениях Картана (10.115), содержащих D𝑡:

𝜕𝑎

𝜕𝑡= d𝑥𝑎 + 𝑎𝑏𝑥

𝑏,𝜕𝑎𝑏𝜕𝑡

= 𝑅𝑎𝑏 𝑐𝑑()𝑥𝑐𝑑, (10.118)

𝑎𝑡=0

= 0, 𝑎𝑏𝑡=0

= 0.

Мы также выписали начальные условия.Эти уравнения можно решать методом последова-

тельных приближений. При первой итерации для фор-мы связности и первых двух итерациях для формы сме-щения следует брать значение тензора Римана в началекоординат. В результате получаем:

𝑎 ≈ 𝑡d𝑥𝑎 + 𝑡3

6𝑅𝑎𝑏 𝑐𝑑𝑥

𝑏𝑥𝑐d𝑥𝑑, 𝑎𝑏 ≈𝑡2

2𝑅𝑎𝑏 𝑐𝑑𝑥

𝑐d𝑥𝑑

(10.119)Если в этих уравнениях положить 𝑡 = 1, то мы получимформы смещения и связности на 𝒳 . Теперь возможнозаписать метрический тензор в координатном базисе:

d𝑠2 = 𝜂𝑎𝑏𝜔𝑎𝜔𝑏 ≈

(𝜂𝑎𝑏 −

1

3𝑅𝑎𝑐 𝑏𝑑𝑥

𝑐𝑥𝑑)d𝑥𝑎d𝑥𝑏, (10.120)

сравни с (10.72).

§10.6. Свойства криволинейных пространств

10.6.1 Геометрия пространств с постоян-ной кривизной

Рассмотрим сферу радиуса 𝑎 в пространстве Евклидаразмерности 𝑛 + 1, такую сферу мы будем обозначатькак 𝑆𝑛. Сфера задаётся уравнением

𝑛+1∑𝜇=1

(𝑥𝜇)2

= 𝑎2. (10.121)

Наша цель — изучить геометрию пространства 𝑆𝑛: опре-делить координатную систему, найти формы смещенияи связности, найти тензор кривизны. Нас отдельно ин-тересуют два случая. Первый — сфера 𝑆2, что соответ-ствует двумерной поверхности в трёх-мерном простран-стве. Второй — 𝑛 = 3, что может служить моделью длятрёх-мерного пространства в космологических моделях.

Параметризуем сферу 𝑆3 углами 𝜒, 𝜃, 𝜑; координата4-х мерного пространства, в которое погружена сфера,определяются через углы как⎛⎜⎜⎝

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑥4

⎞⎟⎟⎠ = 𝑎

⎛⎜⎜⎝sin𝜒 sin 𝜃 cos𝜑sin𝜒 sin 𝜃 sin𝜑sin𝜒 cos 𝜃cos𝜒

⎞⎟⎟⎠ ,

для единственности определения углов положим импределы 0 ≤ 𝜒, 𝜃 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝜑 < 2𝜋. Метрика на сфере

есть

d𝑠2 = 𝑎2(d𝜒2 + sin2 𝜒(d𝜃2 + sin2 𝜃 d𝜑2)

). (10.122)

Если рассматривается сфера 𝑆2, то надо поло-жить 𝜒 = 𝜋/2. Единичная метрика является Евклидо-вой, 𝜂𝑎𝑏 = 𝛿𝑎𝑏.

Метрика 𝑔𝜇𝜈 является диагональной. Введём ОНБ𝑒𝜇𝑎 , базисные вектора которого сонаправлены базиснымвекторам координатной системы. В таком случае фор-мы смещения оказываются равными

𝜔𝜒 = 𝑎 d𝜒, 𝜔𝜃 = 𝑎 sin𝜒d𝜃, 𝜔𝜑 = 𝑎 sin𝜒 sin 𝜃d𝜑.(10.123)

Для нахождения форм связности надо пользоватьсяусловием их анти-симметрии (10.111) и первым струк-турным уравнением Картана (10.115) с нулевым тензо-ром кручения. В результате получаем, что ненулевымиматричными элементами являются

𝜔𝜃𝜒 = cos𝜒d𝜃 = 𝑎−1 cot𝜒𝜔𝜃,

𝜔𝜑𝜒 = cos𝜒 sin 𝜃 d𝜑 = 𝑎−1 cot𝜒𝜔𝜑,

𝜔𝜑𝜃 = cos 𝜃 d𝜑 = 𝑎−1 csc𝜒 cot 𝜃 𝜔𝜑.

(10.124)

Если мы имеем дело со сферой 𝑆2, то надо оставитьтолько последнюю строчку. В силу симметрии сферы,тензор Римана должен быть изотропен и трансляцион-но инвариантен, что фиксирует его вид с точностью до

125 V. APPENDIX

постоянного множителя 𝐾,

𝑅𝑎𝑏 𝑐𝑑 = 𝐾(𝛿𝑎𝑐𝛿𝑏𝑑 − 𝛿𝑎𝑑𝛿𝑏𝑐

), 𝐾 =

𝑅

6=

1

𝑎2, (10.125)

где 𝑅 — скалярная кривизна. Симметрия по индексамвыбрана так, чтобы удовлетворить всем симметриямтензора Римана. Для нахождения константы 𝐾 мы на-шли какую-либо компоненту тензора Римана с помо-щью второго структурного уравнения Картана (10.115):например,

2𝑅𝜃𝜑 𝜃𝜑 𝜔𝜃 ∧ 𝜔𝜑 = 2(d𝜔𝜃𝜑 + 𝜔𝜃𝜒 ∧ 𝜔

𝜒𝜑) =

= 2 sin2 𝜒 sin 𝜃 d𝜃 ∧ d𝜑 =2

𝑎2𝜔𝜃 ∧ 𝜔𝜑. (10.126)

Если речь идёт о сфере 𝑆2, то в первом равенстве рабо-тает только первое слагаемое d𝜔𝜃𝜑, а sin𝜒 = 1; при этомскалярная кривизна 𝑅 = 2/𝑎2.

10.6.1.1 Нормальные координаты

Зададимся обратным вопросом: пусть нам известно, что𝑛-мерное пространство изотропно, однородно, имеет ло-кально евклидову метрику и его кривизна постоянна.Можно ли что-то сказать о его глобальной форме?

Если мы выберем ОНБ базис на этом пространстве,то наложенные требования фиксируют тензор кривиз-на в виде (10.125). Оказывается, что если кривизна по-ложительна, 𝐾 = 1/𝑎2 > 0, то мы с необходимостьюполучаем метрику соответствующую сфере 𝑆𝑛 радиуса𝑎. Если же кривизна отрицательна, 𝐾 = −1/𝑎2 < 0, топространство оказывается в общем случае неограничен-ным.

Приступим к нахождению метрики во всём про-странстве. Это мы будем делать через построение нор-мальных координат Римана по схеме Пункта 10.5.3. За-дадим нормальные координаты Римана 𝑥𝑎 и введём свя-занный с ними ОНБ. Метрика в этом ОНБ имеет ев-клидову сигнатуру; поэтому здесь мы не делаем разли-чия между верхними и нижними индексами. Поскольку

тензор Римана известен во всём пространстве, то урав-нения на формы смещения и связности (10.118) могутбыть решены во всём пространстве. Продифференциру-ем по 𝑡 второе уравнение в (10.118) и исключим формусмещения использовав первое уравнение. В результатеполучим

𝜕2𝑡 𝑎𝑏 = 𝐾(𝑥𝑎?𝑏 − 𝑥𝑏?𝑎) +𝐾(𝑥𝑎d𝑥𝑏 − 𝑥𝑏d𝑥𝑎), (10.127)

где ?𝑎 = 𝑎𝑏𝑥𝑏. Свернув это уравнение с 𝑥𝑏, получимзамкнутое уравнение на ?𝑎:(𝜕2𝑡 𝛿𝑎𝑏 + 𝑥2𝐾𝑃𝑎𝑏

)?𝑏 = −𝑥2𝐾𝑃𝑎𝑏d𝑥𝑏, 𝑥2 = 𝑥𝑏𝑥𝑏

𝑃𝑎𝑏 = 𝛿𝑎𝑏 −𝑥𝑎𝑥𝑏𝑥2

, ?𝑎

𝑡=0

= 𝜕𝑡?𝑎𝑡=0

= 0.

Решением этого уравнения зависит от знака кривизны.

10.6.1.2 Пространство с положительной кри-визной. Сфера.

Предположим сначала, что кривизна положительна,𝐾 = 1/𝑎2. Тогда решением для ?𝑎 является

?𝑎 =(cos(𝑡𝑥/𝑎)− 1

)𝑃𝑎𝑏 d𝑥𝑏

Сначала подставим это решение в первое уравнение(10.118) на форму смещения, а после результат подста-вим во второе уравнение на форму связности. В резуль-тате получим

𝑎 =𝑎 sin(𝑡𝑥/𝑎)

𝑥𝑃𝑎𝑏d𝑥𝑏 +

𝑡𝑥𝑎𝑥𝑏𝑥2

d𝑥𝑏, (10.128)

𝑎𝑏 =1− cos(𝑡𝑥/𝑎)

𝑥2(𝑥𝑎d𝑥𝑏 − 𝑥𝑏d𝑥𝑎

)Полагая 𝑡 = 1, получаем формы смещения 𝜔𝑎 и связно-сти 𝜔𝑎𝑏. Теперь можно найти метрику в координатномбазисе

d𝑠2 = 𝜔𝑎𝜔𝑎 = (10.129)

127 VI. ЗАДАЧИ

Часть VI

ЗАДАЧИ

§10.7. Задачи

Резонанс Фано. Литература: Gallinet и Martin, 2011,Sec. IV. Рассмотрим систему двух связанных гармони-ческих осцилляторов, движение которых описывается

уравнениями:Сверхбыстрые космические протоны HESS

Collaboration, б.г.

§10.8. Преобразование Лоренца, уравнение непрерывности

Инерциальные системы отсчёта∙ Задача 1: Пусть в некоторой инерциальной си-

стеме отсчёта одно событие произошло в момент вре-мени 0, и в точке 0, 0, 0, а другое событие произошлов момент времени 10 cек и в точке 1010м, 0, 0. С ка-кой скоростью должна двигаться вторая система отсчё-та относительно исходной, чтобы в этой новой системеотсчёта эти два события были одновременными? Какоерасстояние будет разделять события в новой системе ко-ординат?

.

∙ Задача 2: Пусть в некоторой инерциальнойсистеме отсчёта одно событие произошло в момент вре-мени 0, и в точке 0, 0, 0, а другое событие произошлов момент времени 100 cек и в точке 1010м, 0, 0. С ка-кой скоростью должна двигаться вторая система отсчё-та относительно исходной, чтобы в этой новой системеотсчёта эти два события произошли в одной точке про-странства? Какое время будет разделять это события вновой системе координат?

∙ Задача 3: Частица двигалась равномерно ипрямолинейно время 𝑇 со скоростью 𝑣. Какое время впроцессе её этого движения набежало на её собственныхчасах?

∙ Задача 4: Найдите матрицу ||𝑔𝜇𝜈 || (матрич-ные элементы), обратную матрице метрического тензо-ра ||𝑔𝜇𝜈 ||.

∙ Задача 5: Может ли квадрат интервала (Δ𝑠)2,разделяющий два события, быть отрицательным? Еслида, приведите пример — то есть пример координат та-ких двух событий.

∙ Задача 6: В системе отсчёта, которая движетсясо скоростью 𝑉 вдоль 𝑂𝑥 лабораторной системы коор-динат, движется частица со скоростью 𝑢 вдоль этой жеоси 𝑂𝑥. С какой скоростью движется частица в лабо-раторной системе координат? Получить ответ сначала

в терминах быстроты, для которой закон сложения ско-ростей есть просто арифметический закон сложения.

∙ Задача 7: Две частицы движутся друг на встре-чу другу со скоростями 𝑐/2, где 𝑐 — скорость света. Скакой скоростью вторая частица приближается к пер-вой в системе координат, где первая частица покоится?

∙ Задача 8: Две частицы движутся в ортогональ-ных направлениях со скоростями 𝑐/2, где 𝑐 — скоростьсвета. С какой скоростью вторая частица приближаетсяк первой в системе координат, где первая частица поко-ится?

Уравнение непрерывности.

∙ Задача 9: Распределение плотности одномернойнепрерывной среды

𝜌(𝑡, 𝑥) = 𝜌0 +𝜌1𝑥

𝑎exp

(−𝑥

2 + (𝑣0𝑡)2

𝑎2

),

где параметры распределения 𝜌0 > 𝜌1. Найдите распре-деление плотности потока 𝑗(𝑡, 𝑥) и скорости движения𝑣(𝑡, 𝑥) полагая, что на далёких расстояниях поток от-сутствует, 𝑗 → 0 при |𝑥| → ∞. Нарисуйте профили по-лученных полей в пределе 𝜌1 ≪ 𝜌0 для срезов 𝑡 = 0 и𝑥 = 0.

∙ Задача 10: По кольцу электро нейтральногопровода радиуса 𝑎, покоящемуся в лабораторной систе-ме координат 𝐾, течёт ток 𝐼. Погонная плотность сво-бодных электронов, участвующих в перемещении заря-да по проводу, равна 𝜌. Рассмотрим систему координат𝐾 ′, движущуюся со скоростью 𝑣, лежащей в плоскостикольца провода. Считая, что все свободные электроныв элементе провода движутся с одной и той же скоро-стью, найти распределение погонной плотности неском-пенсированного заряда 𝛿𝜌′ вдоль провода, которая будетнаблюдаться в движущейся системе координат 𝐾 ′. Рас-смотреть предельный случай 𝑣 ≫ 𝑢, где 𝑢 — скоростьдвижения электронов в лабораторной системе коорди-нат.

Глава 10. Дифференциальная геометрия 128

§10.9. Разные задачи

∙ Задача 1: Нерелятивистская заряженная части-ца совершает колебания в одномерном потенциальномполе 𝑈(𝑥) с периодом 𝑇0. В некоторый момент вклю-чается модулированное по амплитуде быстроперемен-ное электрическое поле 𝐸(𝑥) cos(𝜔𝑡), 𝜔 ≫ 1/𝑇0. Про-извести усреднение по быстрым осцилляциям электри-

ческого поля и получить уравнение, которое описывалобы усреднённое медленное движение частицы (ведуще-го центра) в результирующем поле. Оценить пределыприменимости описания на основе усреднённого урав-нения. Получить закон движения частицы для случая𝑈0 = −𝜅𝑥2/2, 𝐸(𝑥) = 𝛼𝑥.

§10.10. Столкновение и распад частиц

∙ Задача 1: Если коллайдер на встречных пуч-ках работает в штатном режиме, то при столкновениидвух протонов интересующая нас реакция Х происходитс превышением её порога в 𝛼 раз. Однако из-за непола-док один из двух пучков в коллайдере имеет энергию,составляющую часть 𝜖 от номинальной. При каком зна-чении 𝜖 порог реакции 𝑋 достигнут не будет? Пучкисчитать релятивистскими, так что 𝛾 ≫ 𝛼2.

∙ Задача 2: 𝜋0-мезон распадается на лету надва 𝛾-кванта. Найди минимальный угол 𝜃𝑚𝑖𝑛 разлёта 𝛾-квантов в системе отсчета, в которой скорость 𝜋0-мезонаравна 𝑣.

∙ Задача 3: Распад 𝜋-мезонов происходит на ней-трино и на 𝜇-мезон (масса 𝜋-мезона ≈ 140 МэВ, мас-са 𝜇-мезона ≈ 105 МэВ, нейтрино следует считать без-массовой частицей). В системе покоя 𝜋-мезона распад𝜋 → 𝜇+𝜈 происходит статистически изотропно. В лабо-раторной системе координат 𝜋-мезон движется с энер-гией 6 ГэВ в 𝑂𝑥-направлении.

Определить энергетический спектр, максимальную исреднюю энергии и угловое распределение вылетающихнейтрино в лабораторной системе координат.

∙ Задача 4: Зеркало движется нормально к соб-ственной плоскости со скоростью 𝑉 . Найти закон от-

ражения плоской монохроматической волны от такогозеркала (заменяющий закон равенства углов падения иотражения при 𝑉 = 0), а также закон преобразованиячастоты при отражении. Рассмотреть, в частности, слу-чай 𝑉 → 𝑐.

∙ Задача 5: Зеркало движется поступательнопод углом 𝜋/4 к собственной поверхности со скоростью𝑉 . Найти закон отражения плоской монохроматическойволны от такого зеркала (заменяющий закон равенствауглов падения и отражения при 𝑉 = 0), а также законпреобразования частоты при отражении. Рассмотреть,в частности, случай 𝑉 → 𝑐.

∙ Задача 6: Доказать, что законами сохраненияэнергии и импульса запрещена аннигиляция пары элек-трон — позитрон, сопровождаемая испусканием одного𝛾-кванта, но нет запрета на реакцию аннигиляции па-ры с испусканием двух фотонов. Доказать также, чтоизлучение и поглощение света свободным электроном ввакууме невозможно.

∙ Задача 7: Покоящаяся частица массы 𝑀 , нахо-дящаяся в возбуждённом состоянии, испускает 𝛾-квант,после чего её масса покоя становится равной 𝑚. Чемуравна кинетическая энергия частицы после испусканиякванта?

§10.11. Электро и магнито статика

10.11.1 Электростатика

∙ Задача 1: Используя выражение для Максвеллов-ского тензора напряжений, посчитайте силу, действую-щую на обкладку конденсатора (расстояние между пла-стинами 𝑑, площадь пластин 𝑆, заряд пластин 𝑄)

∙ Задача 2: Рассмотрите функции углов, являю-щиеся произведениями компонент единичного вектора:

𝑛𝑖, 𝑛𝑖𝑛𝑘, 𝑛𝑖𝑛𝑘𝑛𝑙, 𝑛𝑖𝑛𝑘𝑛𝑙𝑛𝑛, 𝑛𝑖𝑛𝑘𝑛𝑙𝑛𝑛𝑛𝑗 .

Проведите усреднение этих функций по единичной сфе-ре 𝑛𝑖𝑛𝑖 = 1; это есть способ выделения гармоники 𝑙 = 0.Используя линейные комбинации первых трёх функ-ций, составьте функции, пропорциональные сфериче-ским гармоникам порядков 𝑙 = 1, 2, 3; делать это на-до из соображения, что при каждом фиксированном 𝑙тензор соответствующего ранга должен быть симмет-ричным по всем индексам и давать нуль при свёрткепо паре индексов. Убедитесь, что результат совпадает стабличным Olver и др., 2010.

129 VI. ЗАДАЧИ

Дипольный момент ∙ Задача 3: Однородно поля-ризованный шар массы 𝑀 и радиуса 𝑎 помещён в одно-родное электрическое поле E. Дипольный момент шараравен 𝑑, в начальный момент времени шар был неподви-жен, а вектор 𝑑 составлял малый угол 𝜙0 с вектором E.Определить дальнейшее движение шара.

∙ Задача 4: Тело массы 𝑚, обладающее фикси-рованным во времени дипольным моментом, может безтрения двигаться не вращаясь вдоль прямого стержня.Дипольный момент тела равен 𝑑, он направлен попе-рёк стержня. На расстоянии 𝐿 от стержня, большом посравнению с размерами тела, помещён точечный заряд𝑄. Как должен быть ориентирован дипольный момент,чтобы при небольшом отклонении положения тела отмаксимального сближения с зарядом оно совершало ма-лые колебания. Чему равен период этих колебаний?

Квадрупольный момент ∙ Задача 5: Два от-рицательных заряда −𝑞 расположена на концах отрез-ка длиной 𝑎, а в центре этого отрезка находится заряд2𝑞. Найдите электростатический потенциал этой систе-мы зарядов на расстояниях 𝑟 ≫ 𝑎 от неё.

∙ Задача 6: Положительный заряд +𝑄 распре-делён равномерно по длинному цилиндру длиной 𝐿 идиаметром 2𝑎, 𝐿 ≫ 𝑎, а компенсирующий его отрица-тельный заряд −𝑄 находится в центре цилиндра. Най-ти электростатический потенциал этой системы зарядовна расстояниях 𝑟 ≫ 𝐿 от неё. Нарисуйте силовые линииэлектрического поля в плоскости, содержащей ось ци-линдра.

∙ Задача 7: Четыре точечных заряда 𝑄 распо-ложены в вершинах квадрата со стороной 𝑎. В цен-тре этого квадрата расположен компенсирующий заряд−4𝑄. Найдите поле этой системы зарядов на расстоя-ниях 𝑟 ≫ 𝑎. Нарисуйте распределение электрическогополя в плоскости, содержащей компенсирующий заряди перпендикулярной плоскости, в которой расположенывсе заряды.

∙ Задача 8: Дан равномерно заряженный эллип-соид с полным зарядом 𝑄 и полуосями 𝑎, 𝑏 и 𝑐, в центреэллипсоида помещён компенсирующий точечный заряд−𝑄.

∙ Найдите квадрупольный момент такой системызарядов.

∙ Найти электростатический потенциал на большихрасстояниях, считая, что в центре эллипсоида на-ходится компенсирующий точечный заряд −𝑄.Как с удалением от системы убывает потенциали электрическое поле?

∙ Построить график угловой зависимости радиаль-ной компоненты электрического поля в плоскости𝑂𝑥𝑦 в случае, когда 2𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎 > 𝑏.

∙ Как изменится электростатический потенциал надалёких расстояниях, если компенсирующий то-чечный заряд сместить вдоль первой полуоси 𝑎 наповерхность эллипсоида?

∙ Задача 9: Металлический шар радиуса 𝑎 разре-зали пополам и половинки разнесли на расстояние, ма-лое по сравнению с его радиусом. После этого с однойполовины на другую перенесли заряд такой, что раз-ница потенциалов между половинами стала равна 2𝜙0.Определите дипольный момент системы.

Сферически-симметричный электро-нейтраль-ный атом

∙ Задача 10: Заряды ядра и электронного облакав основном состоянии атома водорода образуют следу-ющую объёмную плотность заряда

𝜌(𝑟) = 𝑒𝛿(𝑟)− 𝑒

𝜋𝑎3exp

(−2𝑟

𝑎

),

где 𝑒 > 0 — элементарный заряд, 𝑎 ∼ 10−8 см — боров-ский радиус, а первое и второе слагаемое соответствуютядру и электрону соответственно. Найдите электроста-тический потенциал такой системы. Проверьте получен-ный результат, отдельно рассмотрев асимптотики 𝑟 ≪ 𝑎,на которой электрическое поле должно определяться восновном ядром, и 𝑟 ≫ 𝑎, на которой система долж-на выглядеть как почти электро нейтральная. Найдитеэнергию взаимодействия электронного облака с ядром.

∙ Задача 11: Найти поправку к этой энергии,положив ядро равномерно заряженным шаром радиу-са 𝑟я ∼ 10−13 см.

Двумерная решётка зарядов ∙ Задача 12: Наповерхности (плоскость 𝑂𝑥𝑦, 𝑧 = 0) распределён зарядс поверхностной плотностью 𝜎(𝑥, 𝑦) = 𝜎0J0(𝑟⊥/𝑎)/(1 +

𝑟2⊥/𝐿2), где 𝑟⊥ =

√𝑥2 + 𝑦2, J0(𝜁) — функция Бесселя

нулевого порядка. Параметры распределения 𝐿 = 1м,𝑎 = 1мм. Найдите распределение электростатическогополя в пространстве на близких 𝑟 ≪ 𝐿 и далёких 𝑟 ≫ 𝐿расстояниях от начала координат.

Указания:

i) Для нахождения поля на близких расстояниях со-вершите Фурье-преобразование в плоскости 𝑂𝑥𝑦,оставив координату 𝑧; в этом представлении запи-шите уравнение Пуассона на потенциал электри-ческого поля

ii) на близких расстояниях можно пренебречь плавноизменяющимся множителем (1 + 𝑟2⊥/𝐿

2))−1 в рас-пределении поверхностного заряда.

iii) функция Бесселя удовлетворяет уравнению (𝜕2𝑥 +𝜕2𝑦)J0(𝑟⊥/𝑎) = −𝑎−2J0(𝑟⊥/𝑎)

Глава 10. Дифференциальная геометрия 130

iv)ˆ

d𝜁𝜁 J0(𝜁)

1 + (𝜁/𝜁0)2= 𝜁20K0(𝜁0) ≈

√𝜋√2𝜁3/20 exp(−𝜁0).

при 𝜁0 ≫ 1.

∙ Задача 13: На поверхности (плоскость 𝑂𝑥𝑦,𝑧 = 0) распределён заряд с поверхностной плотностью𝜎(𝑥, 𝑦) = 𝜎0 cos(𝑥/𝑎) cos(𝑦/𝑎)/(1+𝑥

2/𝐿2)/(1+𝑦2/𝐿2). Па-раметры распределения 𝐿 = 1м, 𝑎 = 1мм. Найдите рас-пределение электростатического поля в пространстве наблизких 𝑟 ≪ 𝐿 и далёких 𝑟 ≫ 𝐿 расстояниях от началакоординат.

Указания:

i) Для нахождения поля на близких расстояниях со-вершите Фурье-преобразование в плоскости 𝑂𝑥𝑦,оставив координату 𝑧; в этом представлении запи-шите уравнение Пуассона на потенциал электри-ческого поля

ii) на близких расстояниях можно пренебречь плав-но изменяющимся множителем ((1 + 𝑥2/𝐿2)(1 +𝑦2/𝐿2))−1 в распределении поверхностного заряда.

∙ Задача 14: На поверхности (плоскость 𝑂𝑥𝑦,𝑧 = 0) распределён заряд с поверхностной плотностью𝜎(𝑥, 𝑦) = 𝜎0 cos(𝑥/𝑎)/(1+𝑥

2/𝐿2)/(1+𝑦2/𝐿2). Параметрыраспределения 𝐿 = 1м, 𝑎 = 1мм. Найдите распределе-ние электростатического поля в пространстве на близ-ких 𝑟 ≪ 𝐿 и далёких 𝑟 ≫ 𝐿 расстояниях от началакоординат.

Указание:

i) Для нахождения поля на близких расстояниях со-вершите Фурье-преобразование в направлении 𝑂𝑥,оставив координаты 𝑦, 𝑧; в этом представлении за-пишите уравнение Пуассона на потенциал элек-трического поля

ii) на близких расстояниях можно пренебречь плавноизменяющимся множителем 1/(1 + 𝑥2/𝐿2) в рас-пределении поверхностного заряда.

10.11.2 Магнитостатика

∙ Задача 15: Используя выражения для Максвеллов-ского тензора напряжений, найдите поверхностную си-лу, действующую на обмотку катушки индуктивности.Длина катушки 𝐿, её радиус 𝑎, количество витков 𝑁 ,сила тока 𝐼.

10.11.2.1 Сила и момент сил, действующие намагнитный диполь со стороны внеш-него магнитного поля

Сила Лоренца 𝐹 , действующая на диполь, возникаеттолько если магнитное поле имеет неоднородность в

пространстве. Действительно, вклад в силу 𝐹 , проис-ходящий от однородной части магнитного поля, равеннулю, поскольку интеграл по пространству от плотно-сти тока 𝑗 для статической системы токов равен нулю.Тогда учтём в магнитном поле изменение в простран-стве в главном приближении, положив

B𝑙(𝑟) = B𝑙 + 𝑟𝑚𝜕𝑚B𝑙 + . . . ,

где в правой части равенства магнитное поле B𝑙 и егоградиент 𝜕𝑚B𝑙 должны браться в точке, находящейсявнутри системы токов, от этой же точки должен отсчи-тываться радиус-вектор 𝑟. Теперь получаем для компо-нент полной силы Лоренца (3.47), действующей на всюсистему

𝐹 𝑖 =1

𝑐

ˆd3𝑟 [𝑗 ×B]𝑖 = ε𝑖𝑘𝑙𝜕𝑚B𝑙

ˆd3𝑟

𝑗𝑘𝑟𝑚

𝑐=

= 𝜕𝑖(𝜇·B) = (𝜇·∇)B𝑖, (10.130)

где мы воспользовались выкладками уравнения (6.32),уравнением Максвелла divB = 0, а затем равенством

0 = [𝜇× rotB] = grad(𝜇·B) − (𝜇·∇)B,

основывающемся на уравнении Максвелла rotB = 0.Видно соответствие между выражениями для сил, дей-ствующих на магнитный и электрический диполи, см.(10.130) и (6.23).

Момент сил K, действующий на магнитный диполь,происходит от однородной части магнитного поля,

K𝑖 =1

𝑐

ˆd3𝑟 [𝑟 × [𝑗 ×B]]𝑖 = B𝑘

ˆd3𝑟

𝑟𝑘𝑗𝑖

𝑐=

= ε𝑘𝑖𝑙𝜇𝑙B𝑘 = [𝜇×B]𝑖. (10.131)

Раскрывая двойное векторное произведение мы вос-пользовались тем, что одно из них равно нулю вслед-ствие антисимметричности тензора 𝜇𝑖𝑘 (6.32).

10.11.3 Постоянные электрическое имагнитное поля

∙ Задача 16: Вдоль прямого длинного равномернозаряженного провода с погонной плотностью заряда 𝜚течёт ток 𝐼. Найти систему координат 𝐾 ′, в которойесть только магнитное или только электрическое поле.При каком соотношении 𝜚 и 𝐼 это сделать невозможно?Найдите поле в системе координат 𝐾 ′ (в случаях, когдаона существует).

131 VI. ЗАДАЧИ

§10.12. Электромагнитные волны

∙ Задача 1: В лабораторной системе отсчёта𝐾 дана бегущая линейно поляризованная волна E =E0 cos(k𝑟 − 𝜔𝑡), k = 0, 0, 𝑘, E0 ‖ 𝑂𝑥. Система отсчёта𝐾 ′ движется со скоростью 𝑉 = 0, 𝑉, 0. Найдите маг-нитное поле волны в системе 𝐾 ′.∙ Решение: Согласно (4.56), электромагнитное по-

ле бегущей линейно поляризованной монохроматиче-ской волны представимо в виде

E = E0 cos(𝜙),

B = B0 cos(𝜙),𝜙 = −𝑘𝜇𝑥𝜇 + 𝜙0.

Фаза 𝜙 является релятивистским инвариантом, а дей-ствительные вектора E0, B0 преобразуются по закону(4.6). Таким образом, в новой системе координат

E′ = E′0 cos(𝜙),

B′ = B′0 cos(𝜙),

𝜙 = −𝑘′𝜇𝑥′𝜇 + 𝜙0.

Из условия задачи следует, что B0 ‖ 𝑉 . Поэтому

B′𝑦0 = B𝑦0 = E𝑥0 , B′𝑧

0 = 𝛾𝑉

𝑐𝐸𝑥0 , (10.132)

где мы воспользовались (4.53). Волновой вектор в си-стеме 𝐾 ′ согласно (4.61) имеет компоненты

k′ = 0,−𝛾𝑉 𝑘/𝑐, 𝑘.

Как и должно быть, k′ ⊥ B′0. Таким образом, опреде-

лив B′0 и k′, мы полностью определили поле B′. В новой

системе координат волна по-прежнему линейно поляри-зована.

∙ Задача 2: В лабораторной системе отсчёта𝐾 дана бегущая линейно поляризованная волна E =E0 cos(k𝑟−𝜔𝑡), k = 0, 0, 𝑘, E0 ‖ 𝑂𝑥. Постройте тензорэнергии-импульса для такой волны. Система отсчёта 𝐾 ′

движется со скоростью 𝑉 = 0, 0, 𝑉 . Запишите преоб-разование, связанное с переходом между системами от-счёта 𝐾 → 𝐾 ′, для поля волны и для тензора энергии-импульса, и покажите, что они дают соответствующиедруг другу результаты.∙ Решение: Согласно (4.55), тензор энергии-

импульса плоской волны равен

𝑇𝜇𝜈 =E2

4𝜋𝑘2𝑘𝜇𝑘𝜈 =

E2

4𝜋

⎛⎜⎜⎝1 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 1

⎞⎟⎟⎠В движущейся системе координат

E′ = 𝛾(E+ [𝑉 ×B]/𝑐

)= 𝛾(1− 𝑉/𝑐)E

согласно (4.6) и (4.53). Волновой вектор не изменяет сво-его направления в системе 𝐾 ′, поскольку k ‖ 𝑉 . С дру-гой стороны, его абсолютное значение в 𝐾 ′

𝑘′ = 𝛾(1− 𝑉/𝑐)𝑘.

Если применить преобразование Лоренца непосред-ственно к тензору энергии-импульса,

𝑇 ′𝜇𝜈 = Λ′𝜇𝜎 Λ′𝜈

𝜍 𝑇𝜎𝜍 =

E2

4𝜋𝑘2Λ′𝜇𝜎 𝑘

𝜎 Λ′𝜈𝜍 𝑘

𝜍 , (10.133)

то пользуемся преобразованием для волнового вектора;тогда получаем, что в новой системе координат тензорэнергии-импульса приобретает множитель 𝛾2(1− 𝑉/𝑐)2.Если применять преобразование к электрическому по-лю и через него выражать 𝑇𝜇𝜈 , то, как и должно быть,получаем тот же самый фактор.

∙ Задача 3: Рассмотрите распространение гауссо-вого аксиально симметричного линейно поляризованно-го монохроматического пучка (частота 𝜔, направлениераспространения вдоль оси 𝑂𝑧). Гауссов пучок имеетплоский фронт на выходе испускающего его устройства,так что при 𝑧 = 0 характеризуется поперечным профи-лем амплитуды волны exp(−𝜌2/2𝜎0) с действительным𝜎0, где 𝜌 — квадрат поперечной координаты. Сечениепучка велико по сравнению с квадратом длины волны,то есть величина 𝜎0 ≫ 𝜆2.∙ Решение: Напишем уравнение на какую-либо

компоненту поля. Например, выберем A𝑥=компоненту,подразумевая поперечную калибровку. Параметризуемкомпоненту в виде A𝑥 = exp(−𝑖𝜔𝑡+ 𝑖𝑘𝑧)𝑓 , где известно,что огибающая

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0) = 𝑓0 exp

(−𝑥

2 + 𝑦2 = 𝜌2

2𝜎0

).

Волновое уравнение

2A𝑥 ≈ 𝑒−𝑖𝜔𝑡+𝑖𝑘𝑧(− 2𝑖𝑘𝜕𝑧 +Δ⊥

)𝑓 = 0.

Вклад, пропорциональный второй производной 𝜕2𝑧 былопущен, поскольку, как это будет видно ниже, являет-ся малым по параметру 1/𝑘

√𝜎. Решение получившего-

ся двумерного уравнения Шредингера (в котором рольвремени играет координата 𝑧) является

𝑓 = 𝑓0𝜎0𝜎

exp

(− 𝜌

2

2𝜎

), 𝜎 = 𝜎0 − 𝑖𝑧/𝑘.

Для того, чтобы найти ширину пучка, надо проследитьпрофиль квадрата модуля амплитуды, определяющемпоток энергии:

|𝑓 |2 =𝑓0

1 + 𝑧2/(𝑘2𝜎20)

exp

(− 𝜌2

𝜎0 + 𝑧2/𝑘2𝜎0

).

Поперечный радиус пучка Δ𝜌 естественно определитькак расстояние до оси, на котором интенсивность пада-ет в 𝑒 раз. Тогда

Δ𝜌 =

√𝜎0 +

𝑧2

𝑘2𝜎0→ 𝑧

𝑘√𝜎0, 𝛿𝜑→ Δ𝜌

𝑧=

1

𝑘√𝜎0∼ 𝜆√𝜎0.

(10.134)

Глава 10. Дифференциальная геометрия 132

Угол 𝛿𝜑 есть угол уширения пучка. Как видно из ответа,он перестаёт изменяться после того, как пучок пройдёт

расстояние 𝑧 = 𝑘𝜎0.

§10.13. Излучение электромагнитных волн

∙ Задача 1: Заряд 𝑞 движется с постоянной ско-ростью 𝑣 вдоль окружности радиуса 𝑎. Чему равна ин-тенсивность излучения 𝐼? Введите подходящую системукоординат и опишите поляризацию сферической волны,уходящей на бесконечность от заряда.

∙ Задача 2: Простейшая модель излучения ней-тронных звёзд (пульсаров) — это модель наклонного ро-татора: шар, имеющий магнитный момент 𝜇, вращаетсяв вакууме с угловой скоростью 𝜔 вокруг оси, составля-ющей угол 𝜙 с направлением 𝜇. Вычислить угловое рас-пределение d𝐼/dΩ и полную интенсивность 𝐼 излучения,усреднённые по времени.

∙ Задача 3: Два электрических диполя колеблют-ся вдоль линий по гармоническому закону с одинаковойчастотой 𝜔, но сдвинуты по фазе на 𝜋/2. Амплитуды ди-польных моментов равны по величине 𝑝 и направленыпод углом 𝜙 друг к другу. Расстояние между осциллято-рами мало по сравнению с длиной волны. Найти поле 𝐻в волновой зоне, угловое распределение ⟨d𝐼/dΩ⟩ и пол-ную интенсивность 𝐼 излучения.

10.13.0.1 Квадрупольное излучение

∙ Задача 4: Два одинаковых заряда 𝑞 совершаютодинаковые гармонические колебания вдоль некоторо-го направления (одинаковые амплитуда 𝑎, частота 𝜔 иположение равновесия), но смещённые по фазе на полпериода. Движение зарядов нерелятивистское. Найдитеинтенсивность излучения такой системы.

∙ Задача 5: Электрический диполь с амплитудоймомента 𝑝0 и частотой 𝜔 находится на расстоянии 𝑎 отидеально проводящей плоскости (𝑎 ≪ 𝜆, вектор 𝑝0 па-раллелен плоскости). Найти электромагнитное поле 𝐸,𝐻 на расстояниях 𝑟 ≫ 𝜆 и угловое распределение излу-чения d𝐼/dΩ.

10.13.0.2 Запаздывающие потенциалы Лиенара-Вихерта

∙ Задача 6: Релятивистская частица с зарядом 𝑒 имассой 𝑚 равномерно и прямолинейно тормозится отскорости 𝑣0 до нуля за время 𝜏 . Какую длительность Δ𝑡импульса излучения будет измерять удалённый наблю-датель, находящийся под углом 𝜃 к направлению дви-жения частицы?

10.13.1 Когерентное излучение

∙ Задача 7: Магнитный 𝜇 и электрический диполь 𝑑прикреплены к точечному объекту и колеблются с ча-стотой 𝜔, 𝜇 = 𝜇0 cos(𝜔𝑡), 𝑑 = 𝑑0 cos(𝜔𝑡+𝜙). Чему равнасила (её среднее по периоду колебаний значение), необ-ходимая для удержания в покое этого объекта? Снача-ла найдите ответ с точностью до численного множите-ля путём установления его симметрии и размерности.Затем путём точного исследования задачи установитенеизвестный численный коэффициент. Проведите чис-ленный расчёт, если полная мощность излучения равна1ГВт (мощность генерации одного атомного реактора),направление диполей ортогональны 𝜇0 ⊥ 𝑑0, 𝜇0 = 𝑑0 инет задержки фазы, 𝜙 = 0.

Если 𝜙 = 0, такой источник излучения называ-ется элементарным излучателем Гюйгенса (Huygens’radiation source).∙ Решение: Из соображений симметрии следует,

что средняя по времени сила

⟨𝐹 ⟩ ∝ 𝜔4

𝑐4[𝑑0 × 𝜇0],

где множитель мы подобрали из соображений размерно-сти. Действительно, поскольку 𝜇 – аксиальный вектор,а 𝑑 – полярный, то 𝐹 является полярным вектором, каки должно быть.

Для того, чтобы найти численный коэффициент имножитель, зависящий от фазы, приступим к вычис-лениям. Посчитаем, какой импульс уносится в едини-цу времени производимым системой диполей излучени-ем. За время d𝑡 образуется сферический слой излучениятолщиной d𝑟 = 𝑐d𝑡 (и радиусом 𝑟). Импульс этой пор-ции излучения d𝑃 есть интеграл по слою от простран-ственной плотности импульса p, см. (3.18). Плотностьимпульса пропорциональна плотности потока энергии𝑆, см. (3.19). Таким образом, сила 𝐹 , которую надо при-кладывать к излучающей системе, равна

𝐹 (𝑡− 𝑟/𝑐) =d𝑃

d𝑡= 𝑟2d𝑟

ˆd𝑜

𝑆

𝑐2.

где d𝑜 – элемент телесного угла. Полное электромагнит-ное поле является суперпозицией вкладов от электри-ческого и магнитного диполя, например E = E𝑑 + E𝜇.Для вычисления силы 𝐹 в векторе Умова-Пойнтинга𝑆 (4.30) надо оставить только интерференционные чле-ны, поскольку чисто электро-дипольное или магнито-дипольное излучение не сообщает излучающей системе

133 VI. ЗАДАЧИ

импульс:

𝑆 →𝑐([E𝑑 ×B𝜇] + [E𝜇 ×B𝑑]

)4𝜋

,

Для полей имеем, выделяя в (6.48,6.49) и (6.56) части,соответствующие уходящим волнам:

E =[𝑛× [𝑛× ]]

𝑐2𝑟+

[𝑛× ]

𝑐2𝑟,

B = − [𝑛× ]

𝑐2𝑟+

[𝑛× [𝑛× ]]

𝑐2𝑟.

В результате получаем, что мгновенное значение силы

𝐹 =2

𝑐4

ˆd𝑜

4𝜋

[[𝑛× ]× [𝑛× ]

]=

=2𝜔4

3𝑐4[𝑑0 × 𝜇0] cos(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡+ 𝜙)

(два ненулевых интерференционных вклада в векторУмова-Пойнтинга после использования преобразованийвекторной алгебры оказываются равными друг другу).Сила, усреднённая по времени, равна

⟨𝐹 ⟩ =𝜔4

3𝑐4[𝑑0 × 𝜇0] cos𝜙. (10.135)

Вставить рисунок с угловой зависимостью интенсив-ности излучения в единицу телесного угла

∙ Задача 8: Электродипольный и магнитоди-польный моменты некоторой ограниченной системызарядов изменяются со временем по закону 𝑝(𝑡) =𝑝0 exp(−𝑡2/𝜏2), 𝜇(𝑡) = 𝜇0 exp(−𝑡2/𝜏2), где 𝑝0, 𝜇0, 𝜏 —постоянные величины. Вычислить спектральную плот-ность излучения d𝐼𝜔/d𝜔.

10.13.2 Торможение излучением

∙ Задача 9: Если считать, что процесс аннигиляцииэлектрона и позитрона запрещён, то можно рассмотретьпозитроний — связанное состояние электрона и пози-трона. Рассмотрим классическое движение этих частици пусть частицы движутся по круговым орбитам. Опи-шите дальнейшее движение частиц с учётом производи-мого системой излучения.

∙ Задача 10: Нерелятивистская частица с зарядом−𝑒 и массой𝑚 движется в поле неподвижного точечногозаряда 𝑍𝑒 по круговой орбите. Найти уравнение траек-тории частицы с учётом производимого ею излучения.

∙ Задача 11: Диполь d ‖ 𝑂𝑧 колеблется с часто-той 𝜔, так что d = d0 cos(𝜔𝑡). На расстоянии 𝐿 ≫ 𝜆в направлении оси 𝑂𝑧 (где 𝜆 – соответствующая дли-на волны излучения) находится другой диполь p, коле-бания которого описываются уравнением 𝜕2𝑡 p + 𝜔2p =

(𝑒2/𝑚)E, где 𝑒 и 𝑚 – эффективные заряд и масса ди-поля, а E – полное поле в точке положения диполя.Найдите амплитуду и фазу колебаний второго диполя.Указание: разделите внешнее поле E в уравнении дви-жения второго диполя на поле первого диполя и полесамого второго диполя; действие последнего даёт силурадиационного трения.∙ Решение: Условие 𝐿 ≫ 𝜆 означает, что второй

диполь находится в волновой зоне первого излучающе-го диполя. С другой стороны, поле уходящих волн внаправлении 𝑂𝑧 равно нулю. Это означает, что в (6.48)следует удержать среднее слагаемое, которое было быподавлено по сравнению с последним, если бы диполь𝑝 находился не на оси 𝑂𝑧. Итак, поле диполя 𝑑 в местеположения диполя 𝑝 есть

E𝑑 =2

𝑐𝐿2

Таким образом, уравнение колебаний второго диполяесть

+ 𝜔20𝑝 =

𝑒2

𝑚E𝑑 +

𝑒

𝑚𝐹 Lf =

2𝑒2

𝑚𝑐𝐿2+

2𝑒2

3𝑚𝑐3...𝑝 .

В правой части мы учли, что на диполь 𝑝 действует нетолько поле диполя 𝑑, но и произведённое им самим по-ле, действие которого приводит к появление лоренцев-ской силы трения, см. (6.90). Представим 𝑑 и 𝑝 в видекомплексных амплитуд,

𝑑 = Re(𝑑0 𝑒

−𝑖𝜔𝑡), 𝑝 = Re(𝑝0 𝑒

−𝑖𝜔𝑡)Тогда уравнение на комплексную амплитуду 𝑝(

𝜔20 − 𝜔2 − 2𝑖𝑒2𝜔3

3𝑚𝑐3

)𝑝0 = −2𝑖𝑒2𝜔

𝑚𝑐𝐿2𝑑0.

В частности, если собственная частота второго диполясовпадает с частотой первого диполя, 𝜔0 = 𝜔, то

𝑝 =3𝑐2

𝜔2𝐿2𝑑0 cos(𝜔𝑡) =

3

4𝜋2

𝜆2

𝐿2𝑑0 cos(𝜔𝑡) (10.136)

10.13.3 Излучение релятивистских ча-стиц

∙ Задача 12: Нерелятивистский электрон пролетаетмежду обкладок конденсатора, параллельно его обклад-кам и через его центр. Заряд на обкладках конденсаторана столько мал, что траектория электрона является по-чти прямой линией. Радиус круглых обкладок конден-сатора 𝑅, скорость электрона 𝑣. Найдите излучённуюэлектроном энергию.∙ Решение:

∙ Задача 13: Две ультра-релятивистские частицыс противоположными электрическими зарядами проле-тают мимо друг друга на прицельном расстоянии 𝜌≫ 𝑟0(𝑟0 – классический радиус электрона), так что их траек-тории движения мало отличаются от прямых. Оценитьвремя (в лабораторной системе координат и в системекоординат одной из частиц), на котором одна частица на

Глава 10. Дифференциальная геометрия 134

другую действует посредством кулоновской силы суще-ственно (то есть порядка пиковой силы). Оцените пол-ную излучённую частицами энергию.∙ Решение: По условию в главном приближении

частицы движутся равномерно и прямолинейно. Поэто-му для определения электрического поля, действующе-го со стороны одной частицы на другую, надо пользо-ваться выражением (4.73). Выберем декартову системукоординат с осью 𝑂𝑥, направленной по движению ча-стиц. Траектории частиц лежат в плоскости 𝑂𝑥𝑦. Тра-ектории частиц 𝑥1(𝑡), 𝑦1(𝑡) и 𝑥2(𝑡), 𝑦2(𝑡) суть

𝑥1 = 𝑣𝑡, 𝑦1 = −𝜌/2, 𝑥2 = −𝑣𝑡, 𝑦2 = 𝜌/2.

В терминах (4.73)

𝑟 − 𝑧(𝑡) = 2𝑣𝑡, 𝜌, 0, sin2 𝜃𝑡 =𝜌2

4𝑣2𝑡2 + 𝜌2,

поэтому

|𝑟 − 𝑧(𝑡)|√1− (𝑣/𝑐)2 sin2 𝜃𝑡 ≈

1

𝛾

√4𝛾2𝑐2𝑡2 + 𝜌2,

где мы воспользовались тем, что 𝑣2/𝑐2 = 1−1/𝛾2 и пре-небрегли малыми по 1/𝛾 поправками. Теперь можно за-писать полное выражение (4.74) для электромагнитногополя, действующего со стороны частицы 1 на частицу2

E(𝑡) =𝛾 𝑒(

4𝛾2𝑐2𝑡2 + 𝜌2)3/2 2𝑣𝑡, 𝜌, 0,

B(𝑡) =𝛾 𝑒(

4𝛾2𝑐2𝑡2 + 𝜌2)3/2 0, 0, 𝜌𝑣/𝑐,

мы добавили выражение (4.74) для определения маг-нитного поля. Из этих выражений следует, что времядействия 𝛿𝑡 электромагнитного поля в лабораторной си-стеме координат оценивается как

𝛿𝑡 ∼ 𝜌

2𝛾𝑐.

В системе отсчёта 𝐾 ′, движущейся со скоростью −𝑣(почти сопровождающей частицу 2), 𝛾-фактор для ча-стицы 1 равен

𝛾′ = 𝛾2(1 + 𝑣2/𝑐2) ≈ 2𝛾2,

что можно получить, например, возведя матрицу лорен-цевского буста (2.13) в квадрат. Выражения для коор-динат частиц и электрического поля, действующего состороны частицы 1 на частицу 2, переписываются ваналогичном виде

𝑥1 = 𝑣′𝑡′, 𝑦′1 = −𝜌/2, 𝑥′2 = 0, 𝑦2 = 𝜌/2,

E′ =𝛾′ 𝑒(

𝛾′2𝑐2𝑡′2 + 𝜌2)3/2 𝑣′𝑡′, 𝜌, 0,

Таким образом, время действия поля частицы 2 на ча-стицу 1 оценивается, соответственно, как

𝛿𝑡′ ∼ 𝜌

𝛾′𝑐∼ 𝛿𝑡

𝛾.

Теперь оценим энергию, излучённую второй части-цей. Интенсивность производства энергии излучения 𝑊одна и та же во всех системах отсчёта, см. (6.88). Её про-ще найти в системе 𝐾 ′, где частица 2 всегда остаётсянерелятивистской:

𝑊 =2𝑒2𝑎′2

3𝑐3=

2𝑒4(𝐸′𝑦)2

3𝑐3𝑚2

где мы учли только 𝑦-компоненту ускорения 𝑎′𝑦 =𝑒𝐸′𝑦/𝑚, поскольку 𝑥-компонента электрического поляотносительно мала как 1/𝛾′: действительно, в выраже-нии для E′ вследствие знаменателя 𝑐|𝑡′| . 𝜌/𝛾′, прибольших по модулю значениях 𝑡′ знаменатель делаетполное электрическое поле малым. Пиковые значениеэлектрического поля и мощности равны

𝐸′𝑦max =

𝛾′𝑒

𝜌2, 𝑊max =

2𝑒6𝛾′2

3𝑐3𝜌4=

8𝑒6𝛾4

3𝑐3𝜌4.

В итоге получаем, что оценкой для полной излучённойэнергии обоими частицами в лабораторной системе ко-ординат является

𝐸rad ∼ 𝑊max 𝛿𝑡 ∼𝛾3(𝑚𝑐2

)2 (𝑒2𝜌)3. (10.137)

Проверим то, что частица 2 в системе 𝐾 ′ в самомделе остаётся нерелятивистской. Действительно, ско-рость частицы 2 после действия со стороны частицы1 — т.е. интеграл от 𝑦-компоненты ускорения — оце-нивается как

1

𝑐

ˆd𝑡′𝑎′𝑦 ∼ 𝛿𝑡′ 𝑒𝐸′𝑦

max

𝑚𝑐∼ 𝑒2

𝜌𝑚𝑐2=

𝑟0𝜌≪ 1.

Кроме того, за время пролёта частицы 1 частицы 2сместится на расстояние, малое по сравнению с исход-ным прицельным расстоянием 𝜌. Действительно, отно-шение смещения к прицельному расстоянию

Δ𝜌

𝜌∼(𝛿𝑡′)2𝑎′𝑦

𝜌∼ 1

𝛾′𝑟0𝜌≪ 1. (10.138)

135 VI. ЗАДАЧИ

Глава 11

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ ВЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

§11.1. Движение частицы в однородном поле

∙ Задача 1: Описать движение частицы, имеющеймассу 𝑚 и заряд 𝑒, в однородном магнитном поле B.

∙ Задача 2: Описать движение частицы, имеющеймассу 𝑚 и заряд 𝑒, в однородном электрическом поле E.

Скрещенные поля Если электрическое и магнитноеполя ортогональны друг другу, так что E ⊥ B, то такиеполя называются скрещенными.

Второй (псевдо)-инвариант электромагнитного поля(4.10) для скрещенных полей равен нулю, (E ·B) = 0.Это означает, что существует система координат (назо-вём её 𝐾 ′), в которой одно из полей обращается в нуль.Из уравнений преобразования электромагнитного поля(4.6) можно усмотреть, что эта система должна двигать-ся в направлении 𝑂𝑦. Какое именно поле равно нулю вэтой системе отсчёта, определяет знак первого интегра-ла электромагнитного поля (4.10) E2−B2. В указаннойспециальной системе координат исчезает то поле, кото-рое меньше по амплитуде в лабораторной системе коор-динат. В этих двух случаях частица испытывает движе-ния разного типа, поэтому два случая следует разбиратьотдельно.

Выберем декартову систему отсчёта, в кото-рой магнитное поле направлено вдоль третьей оси,B ‖ 𝑂𝑧, а электрическое поле направлено вдоль пер-вой оси, E ‖ 𝑂𝑥; будем считать, что B и E — 𝑧 и 𝑥-компоненты магнитного и электрического полей соот-ветственно.

11.1.1 Дрейф частицы в скрещенныхсильном магнитном и слабомэлектрическом полях

∙ Задача 3: Описать движение частицы, имеющеймассу 𝑚 и заряд 𝑒, в однородных скрещенных магнит-ном B и электрическом E полях, когда E ⊥ B. Магнит-ное поле сильнее электрического, так что |B| > |E|.

11.1.1.1 Дополнительные задачи

∙ Задача 4: Частица массы 𝑚 и заряда 𝑒 движетсяв параллельных электрическом E и магнитном B по-лях; электрическое поле слабое, так что 𝐸 ≪ 𝐵. Ось

координат 𝑂𝑧 направим вдоль этих полей. Начальнаяскорость частицы лежит в плоскости 𝑂𝑥𝑦 и по моду-лю равна 𝑣0. Найти дальнейшее движение частицы. Вчастности определить, как часто на малых и большихвременах проекция скорости частицы на плоскость 𝑂𝑥𝑦восстанавливает своё направление, а сама частица со-вершает (незамкнутые) обороты.

Указания:

i) Записать уравнение движения по оси 𝑂𝑧 и урав-нение на изменение полной кинетической энергиичастицы: при этом уравнение движения записатьчерез проекции импульса 𝑝𝑧 и 𝑝⊥ на ось 𝑂𝑧 ина плоскость 𝑂𝑥𝑦 соответственно (через них вы-разить и 𝛾-фактор). Начальную скорость считатьпроизвольной, не обязательно малой по сравнениюсо скоростью света. В результате, в частности, ста-нет известной зависимость 𝛾-фактора от времени.

ii) Записать уравнение движения частицы в плос-кости 𝑂𝑥𝑦, представив проекцию её скорости наплоскости 𝑂𝑥𝑦 в виде 𝑣⊥ = 𝑣⊥𝑒⊥, где 𝑒⊥ — единич-ный вектор. Направление этого вектора описыва-ется углом 𝜙 между 𝑒⊥ и осью𝑂𝑧. Изменение этогоугла на 2𝜋 соответствует одному обороту. Запиши-те уравнение на динамику угла 𝜙 и исследуйте егорешение на малых и больших временах.

∙ Задача 5: Нерелятивистская частица с массой𝑚 и зарядом 𝑒 движется в однородном магнитном поле.Магнитное поле медленно меняется со временем — так,что изменение поля за период движения частицы малопо сравнению с самим значением поля. Доказать, чтовеличина 𝑣2⊥/B остаётся постоянной (т.е. является адиа-батическим инвариантом), где 𝑣⊥ есть проекция ско-рости частицы на плоскость нормальную к полю. По-казать, что адиабатический инвариант пропорционаленвеличине магнитного диполя, создаваемого движениемчастицы по окружности; связать вектор магнитного ди-поля с магнитным полем. Вычислить изменение радиу-са орбиты и энергии частицы, если поле изменилось отзначения B1 до B2. Указание: можно применить либообщую теорию адиабатических инвариантов, либо

∙ Определить изменение энергии частицы за одиноборот — это работа, совершаемая вихревым элек-трическим полем.

Глава 11. Движение частиц в электромагнитном поле 136

∙ Составить конечно-разностное уравнение с шагомв один период, его интеграл является искомымадиабатическим инвариантом.

11.1.2 Движение нерелятивистской ча-стицы в слабо неоднородном маг-нитном поле

∙ Задача 6: Частица, имеющая заряд 𝑒 и массу𝑚, движется в заданном слабо неоднородном магнит-ном поле B. Найти траекторию частицы.

Литература: Кузнецов и Смилга (2001).

Рассмотрим заряженную частицу, двигающуюся внеоднородном магнитном поле B. Заряд частицы 𝑒,её масса – 𝑚. Обозначим проекцию скорости 𝑣 части-цы на магнитную силовую линию через 𝑣‖, а проекциюскорости частицы на плоскость, нормальную к силовойлинии – 𝑣⊥:

𝑣‖ = (b·𝑣), 𝑣⊥ = 𝑣 − 𝑣‖b, b =B

B.

Мы будем называть магнитное поле слабонеоднороднымдля частицы, если ларморовский радиус 𝜉 её вращенияв магнитном поле много меньше чем характерный про-странственный масштаб, на котором изменяется маг-нитное поле:

𝜉 =𝑣⊥

𝜔B

≪ 𝑅 ∼ B

| gradB|, 𝜔B =

𝑒B

𝑚𝑐.

Разделение на медленное и быстрое движенияОбозначим через 𝑟(𝑡) траекторию частицы. В общемслучае траектория частицы в слабо неоднородном маг-нитном поле представляет из себя изогнутую спираль.Выделим медленное движение частицы 𝑅(𝑡), траекто-рия которого соответствует оси этой спирали:

𝑅(𝑡) = ⟨𝑟(𝑡)⟩𝑇 =1

𝑇

0ˆ

−𝑇

d𝑡′ 𝑟(𝑡+ 𝑡′),

Усреднение ⟨. . .⟩𝑇 производится по времени 𝑇 , большо-му по сравнению с периодом обращения частицы 2𝜋/𝜔B

вокруг линий магнитного поля, но малому по сравнениюсо временем, за которое частица переходит в область ссущественно другим магнитным полем, то есть на рас-стояние порядка 𝑅.

Быстрое движение, представляющее из себя враще-ние вокруг силовой линии магнитного поля, описываетнеусреднённая часть 𝜉(𝑡) радиус-вектора 𝑟(𝑡):

𝜉(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑅(𝑡).

Скорость движения ведущего центра мы будем обозна-чать 𝑉 = . Магнитное поле в актуальной точке поло-жения частицы отличается от магнитного поля в точке

положения ведущего центра, поскольку магнитное полеслабо неоднородно. Относительная величина этого от-личия имеет первый порядок по 𝜉/𝑅,

𝛿B = B(𝑟)−B(𝑅) ≈ (𝜉 ·∇)B(𝑅)

Далее мы подразумеваем, что магнитное поле берётся вточке 𝑅, так что B = B(𝑅).

Рис. 11.1 Траектория частицы в слабо неоднородноммагнитном поле.

Уравнение движения частицы

+ 𝜉 =𝑒

𝑚𝑐[(+ )× (B+ 𝛿B)], (11.1)

усреднённое по периоду быстрого вращения, приводитк уравнению

=𝑒

𝑚𝑐[𝑉 ×B] +

𝑒

𝑚𝑐⟨[𝜉 × 𝛿B]⟩.

Второе слагаемое в правой части есть сила действиямагнитного поля на магнитный диполь 𝜇, создающийсябыстрым вращением заряженной частицы, см. (10.130).Поэтому окончательное уравнение на ведущий центрпринимает вид

𝑚 =𝑒

𝑐[𝑉 ×B] + (𝜇·∇)B. (11.2)

Быстрое движение Если это уравнение вычесть изисходного (11.1), и удержать только первый порядок по𝜉, то мы получим уравнение на быстрое вращение ча-стицы вокруг магнитной силовой линии,

𝜉 =𝑒

𝑚𝑐[ ×B]. (11.3)

Уравнение (11.3) описывает быстрое вращение ча-стицы вокруг магнитной линии, поэтому 𝜉 ⊥ B. В глав-ном приближении по малому параметру 𝜉/𝑅 скорость

137 VI. ЗАДАЧИ

вращения определяется поперечной компонентой скоро-сти движения частицы. Таким образом,

𝑣⊥ = −𝜔B𝜉, 𝜇 =𝑒𝑣⊥𝜉

2𝑐b = −𝑚𝑣

2⊥

2Bb. (11.4)

Мы ввели цилиндрическую систему координат, ось 𝑧 ко-торой сонаправлена магнитному полю; в этой системекоординат 𝑣⊥ – аксиальная скорость и может приниматьв т.ч. и отрицательные значения.

Движение ведущего центра. Нулевое приближе-ние. В нулевом приближении в правой части уравне-ния (11.2) на движение ведущего центра надо удержатьтолько первое слагаемое (поскольку второе относитель-но мало как (𝜉/𝑅)2), получив

= 𝑉 ‖, ‖ =𝑒

𝑚𝑐[𝑉 ‖ ×B]. (11.5)

Если мы допустим, что в 𝑉 ‖ есть компонента, направ-ления поперёк магнитного поля, то в ‖ мы получимвклад, по амплитуде сравнимый с 𝜉. Однако суть раз-деления на быстрые и медленные переменные состоитв том, что ускорение ведущего центра | | должнобыть много меньше ускорения самой частицы ||. Длятого, чтобы ускорение ведущего центра было мало, егоскорость движения должна быть направлена в нулевомприближении вдоль силовой линии магнитного поля,

‖ ≈ 0, 𝑉 ‖ = 𝑣‖b. (11.6)

Из (11.5) следует, что при этом ускорение ведущегоцентра формально равно нулю. На самом деле оно неноль, но его невозможно учесть в уравнении движения,записанном в нулевом приближении, поскольку его точ-ность не позволяет этого сделать. Действительно, уско-рение, которое испытывает ведущий центр, равно:

‖ =d

d𝑡

(𝑣‖ b

)= 𝑣2‖(b·∇)b +

d𝑣‖

d𝑡b. (11.7)

Мы учли как то, что по мере смещения ведущего цен-тра изменяется направление магнитного поля b, так ито, проекция скорости 𝑣‖ может меняться со временем.Как и должно быть, ускорение ведущего центра малопо сравнению с ускорением самой частицы

| ‖| ∼𝑣2

𝑅∼ 𝜉

𝑅|𝜉|,

поскольку, в том числе, d/d𝑡 оценивается как 𝑣/𝑅, тоесть как обратное время смещения частицы на расстоя-ние порядка 𝑅.

Движение ведущего центра. Первое приближе-ние Для того, чтобы получить уравнение движенияведущего центра в первом порядке по неоднородностимагнитного поля, представим действительные скоростьи ускорение ведущего центра в виде

= 𝑉 ‖ + 𝑉d ⇒ = ‖ + d.

По смыслу, 𝑉d должна быть направлена поперёк маг-нитного поля, поскольку продольная компонента скоро-сти уже включена в 𝑉 ‖. Вклад в ускорение ‖ (11.7),вычисленный в нулевом приближении, в первом при-ближении ещё пока не является скомпенсированным вуравнении движения ведущего центра. Поэтому в пер-вом приближении уравнение на движение ведущего цен-тра имеет вид

𝑚 ‖ = (𝜇·∇)B +𝑒

𝑐[𝑉d ×B]. (11.8)

По той же логике, по которой на предыдущем шаге мыположили ‖ ≈ 0, на этом шаге мы положили d ≈ 0.

Движение ведущего центра вдоль линии магнит-ного поля. Адиабатический инвариант Спроек-тируем уравнение движения ведущего центра (11.8) нанаправление магнитного поля. В результате получим:

𝑚d𝑣‖

d𝑡= (𝜇·b)(b·∇)B = −𝑚𝑣

2⊥

2B(b·∇)B. (11.9)

где мы воспользовались (11.4).Покажем, что уравнение движения (11.9) предпола-

гает сохранение некоторой величины, называемой адиа-батическим инвариантом. Это уравнение можно пере-писать в видах

d𝑣‖

d𝑡= − 𝑣

2⊥

2B

1

𝑣‖

dB

d𝑡⇔ d(𝑣2⊥)

𝑣2⊥=

dB

B,

второй из которых можно получить, воспользовавшисьзаконом сохранения кинетической энергии

𝑣2 = 𝑣2⊥ + 𝑣2‖ = const,

В интегральном виде это означает, что адиабатическиминвариантом является абсолютная величина магнитно-го момента (11.4), создаваемого быстрым движением ча-стицы:

𝑣2⊥B

= const, или |𝜇| = const. (11.10)

Движение ведущего центра поперёк линии маг-нитного поля. Скорость дрейфа. Спроектируемуравнение движения ведущего центра (11.8) на плос-кость, нормальную к силовой линии, путём векторногоумножения на единичный вектор b. В результате най-дём скорость

𝑉d =1

𝜔B

(𝑣2‖ +

𝑣2⊥2

)[b× (b·∇)b] (11.11)

являющуюся проекцией скорости ведущего центра наплоскость, нормальную к магнитному полю; эту ско-рость называют скоростью дрейфа. Скорость дрейфа𝑉d направлена нормально как направлению кривизнылинии, так и самому магнитному полю. Для частиц про-тивоположного заряда эта скорость направлена в про-тивоположном направлении.

Глава 11. Движение частиц в электромагнитном поле 138

11.1.2.1 Дополнительные задачи

∙ Задача 7: Частица находится в магнитном поле пря-мого провода бесконечной длины. Сила тока по прово-ду равна 𝐼, в начальный момент времени частица имеетскорость 𝑣, перпендикулярную проводу и направленнуюпод углом 𝜋/4 к направлению от провода, и находитсяна расстоянии 𝑅 от провода. Кроме того, вдоль про-вода приложено слабое однородное электрическое поле𝐸. Описать дальнейшее движение частицы, если радиусларморовской орбиты мал по сравнению с 𝑅 (в частно-сти, определить скорость дрейфа). Какие величины со-храняются в процессе движения частицы? Излучениемпренебречь.

∙ Задача 8: Две соосные одинаковые катушки на-ходятся на расстоянии 𝐿 друг от друга, направлениемагнитного потока в них сонаправленное. По катушкамтечёт ток 𝐼, погонная плотность намотки равна 𝜌. Ради-ус катушек 𝑅 мал по сравнению с 𝐿, а их длина велика

по сравнению с 𝐿. Кроме того, вдоль оси катушек прило-жено слабое однородное электрическое поле 𝐸. Части-ца начинает двигаться от положения по середине междукатушками на их оси, причём скорость частицы состав-ляет угол 𝜋/2(1 − 𝜖) с осью, где 𝜖 ≪ 1. Радиус лармо-ровской орбиты мал по сравнению с 𝐿. Описать даль-нейшее движение частицы. Указание: магнитное поле вобласти посередине между катушками приблизьте квад-ратичной зависимостью в направлении оси катушек.

11.1.3 Движение в неоднородных полях

∙ Задача 9: Постоянный ток 𝐼 течёт по прямому бес-конечно длинному цилиндрическому проводу радиуса 𝑎.С поверхности провода срывается электрон, его началь-ная скорость 𝑣0 направлена вдоль провода. Найти наи-большее расстояние 𝑅, на которое электрон удалится отоси провода.

§11.2. Движение магнитных моментов и спинов в электромагнитном поле

∙ Задача 1: Однородно заряженный шар (сделан-ный из однородного же материала) радиуса 𝑎, массы 𝑀и полным зарядом 𝑄 вращается с угловой скоростью 𝜔,где абсолютное значение вектора 𝜔 есть скорость вра-щения, а направление вектора 𝜔 — направление оси, во-круг которой происходит вращение. Шар помещён в од-нородное магнитное поле B. Найдите дальнейшее дви-жение шара. Указание:

i) Найдите коэффициент пропорциональности меж-ду угловой скоростью вращения 𝜔 и магнитныммоментом шара 𝜇

ii) Найдите коэффициент пропорциональности меж-ду угловой скоростью вращения 𝜔 и механическиммоментом шара L

iii) Напишите уравнение на эволюцию механическогомомента шара, найдите его решение.

∙ Задача 2: Однородно заряженный шарик радиу-са 𝑎 пролетает параллельно обкладкам цилиндрическо-го конденсатора через его центр. На влёте в конденсаторшарик вращается вокруг оси, нормальной к обкладкамконденсатора, с угловой скоростью 𝜔 (так что 𝑎𝜔 ≪ 𝑐).Радиус круглых обкладок конденсатора равен 𝑅, элек-трическое поле внутри него равно E, скорость шарика 𝑣сравнима со скоростью света, его масса𝑚, полный заряд𝑞. Найдите изменение ориентации оси вращения шарикапосле пролёта через конденсатор (в системе движущей-ся вместе с шариком).∙ Решение: Перейдём в систему координат, свя-

занную с двигающимся шариком. Найдём сначала связь

между моментом импульса L и магнитным моментом 𝜇шарика. Согласно (4.35) и (6.32)

L =

ˆd3𝑟 [𝑟 × p] = 𝜌m

ˆd3𝑟 [𝑟 × 𝑣],

𝜇 =1

2𝑐

ˆd3𝑟 [𝑟 × 𝑗] =

𝜌

2𝑐

ˆd3𝑟 [𝑟 × 𝑣] =

𝜌

2𝑐𝜌mL

где 𝑣 – локальная скорость элемента шарика. Таким об-разом, уравнение на движение механического моменташарика есть

dL

d𝑡′= [𝜇×B′] =

𝜌

2𝑐𝜌m[L×B′]

где штрихи подчёркивают ещё раз, что соответствую-щие величины берутся в сопровождающей шарик систе-ме координат.

Магнитное поле в движущейся системе координатвычисляется по формулам преобразования электромаг-нитного поля (4.6):

B′ = −𝛾𝑐[𝑉 ×E],

где E – электрическое поле внутри конденсатора. Такимобразом, магнитное поле B′ направлено параллельно об-кладкам конденсатора и нормально к направлению дви-жения шарика. Поэтому угловая скорость поворота осивращения шарика

Ω =𝜌𝐵′

2𝑐𝜌m.

Время действия 𝑡′ этого магнитного поля равно

𝑡′ =2𝑅

𝛾𝑉

139 VI. ЗАДАЧИ

где 𝛾-фактор появился вследствие лоренцевского сокра-щения длины, см. (2.16).

В результате получаем, что в собственной системе

координат ось вращения шарика повернулась на угол

𝜗 =𝜌

2𝑐𝜌mB′𝑡′ =

𝜌𝑅E

𝑐2𝜌m=

𝑞E𝑅

𝑚𝑐2, (11.12)

где 𝑞 – полный заряд шарика, а 𝑚 – его масса.

Глава 12. Движение частиц в гравитационном поле 140

Глава 12

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ГРАВИТАЦИОННОМПОЛЕ

§12.1. Вариационные задачи

12.1.1 Лагранжиан вращающегося телав гравитационном поле

В Пункте 7.8.3 была рассмотрена динамика момента ко-личества движения движущейся точечной слабо реля-тивистской частицы. Обще-ковариантное уравнение па-раллельного переноса спина вдоль геодезической (7.1)было рассмотрено в пределе малых скоростей и слабо-го гравитационного поля. В результате было установле-но, что момент импульса частицы прецессирует соглас-но уравнению (7.123).

Предположим теперь, что мы имеем дело с протя-жённым телом. Наша цель сейчас — получить прецес-сию (7.123) исходя не из уравнения (7.1), а из уравне-ния движения свободной частицы (7.2). Напомним, чтоименно постулирование уравнения параллельного пере-носа спина (7.1) наложило ограничение на отсутствиетензора кручения. Поскольку теперь мы всегда работа-ем в этом предположении, то использование уравнениясвободной частицы (7.2) должно нас привести обратнок (7.1).

Предположим, что рассматриваемое тело составленоиз многих точечных частиц. У тела есть скорость дви-жения центра масс 𝑅(𝑡) и вращение, так что положениекаждой точки тела есть сумма 𝑟 = 𝑅+ 𝜉, а её скорость𝑣 = + = 𝑉 + 𝑢. Все скорости нерелятивистские,поэтому лагранжиан каждой частицы

𝐿 = −𝑚𝑐2√𝑔00

√1 +

2

𝑐

𝑔0𝑘𝑣𝑘

𝑔00− 1

𝑐2𝑔𝑖𝑘𝑣𝑖𝑣𝑘

𝑔00

может быть разложен до нужного порядка:

𝐿 = −𝑚𝑐2 +(1− 3𝜑

𝑐2

)𝑚𝑣2

2− 𝜑+𝑚𝑐(𝑔 ·𝑣) (12.1)

Мы воспользовались выражениями (7.55,7.58) для мет-рики в пределе слабого гравитационного поля. Заметим,что если исключить потенциал 𝜑 стоящий перед 𝑣2, тоэто выражение с точностью до переобозначений совпа-дает с нерелятивистским пределом для лагранжиана за-ряженной частицы в электромагнитном поле (3.36).

Лагранжиан можно разбить на вклад 𝐿𝑅, описываю-щий движение центра масс и на вклад 𝐿L, линейный поскорости точки тела 𝑢 относительно центра масс (квад-

ратичный вклад по 𝑢 мы опускаем как малый):

𝐿L =∑𝑎

((𝑔 ·𝑢𝑎) +

(1− 3𝜑

𝑐2

)𝑚(𝑉 ·𝑢𝑎)

),

где сумма по 𝑎 означает суммирование по всем состав-ляющим тело частицам. Теперь следует учесть зависи-мость от координат потенциалов 𝜑 и 𝑔, в противном слу-чае после суммирования по частицам (и при необходи-мости усреднения по времени) получим нуль. Аналогич-ная процедура проведена в (6.36) для магнитного дипо-ля в слабо неоднородном в пространстве и постоянномво времени магнитном поле. Проделывая ту же проце-дуру, в соответствии с определением получаем (4.35)

𝐿L =1

2𝑐2(L·rot(𝑐𝑔 − 3𝜑𝑉 )

)=

=3

2𝑐2(L·𝑉 ·grad𝜑) +

1

2𝑐(L·rot 𝑔). (12.2)

То, что вклады (12.2) в лагранжиан действительно мож-но трактовать как потенциальную энергию механиче-ского момента, показывается также как и в случае сэнергией магнитного диполем в магнитном поле, см.Пункт 6.2.3.

12.1.2 Вариационный принцип для дви-жения частицы

Сначала заметим, что возможно несколько переформу-лировать вариационный принцип (3.1), положив, что па-раметр 𝑠 исходно не является естественным параметром(собственным временем) для частицы, см. (2.27). Назо-вём тогда этот параметр L. Теперь вариационный прин-цип выглядит как

𝑆 = −𝑚𝑐ˆ

dL√𝑔𝜇𝜈 𝜈 𝜇, 𝜇 =

d𝑥𝜇

dL(12.3)

в котором вариация производится по четырём функ-циям 𝑥𝜈(L). Принцип минимума действия приводит куравнению на геодезическую, в которой аффинный па-раметр может быть произвольным.

Однако принцип наименьшего действия в форме(12.3) ещё не позволяет произвести обобщение на без-массовые частицы. Рассматривать наравне с массивны-ми частицами также и безмассовые частицы с 𝑚 = 0

141 VI. ЗАДАЧИ

позволяет вариационный принцип с действием

𝑆 = −1

2

ˆdL

(1

8𝑔𝜇𝜈

d𝑥𝜇

dL

d𝑥𝜈

dL+ 8 (𝑚𝑐)2

)(12.4)

В этом действии к координатам частицы 𝑥𝜇(L) добавля-ется ещё одна независимая лагранжева переменная —“лагранжев множитель” 8(L). Варьирование по 8 приво-дит к условию

8 =1

𝑚𝑐

√𝑔𝜇𝜈 𝜇𝜈 , 𝜇 =

d𝑥𝜇

dL.

После подстановки 8 (12.4) действие приобретает исход-ный вид (12.3), что показывает эквивалентность вариа-ционных задач (12.3,12.4).

12.1.3 Тензор энергии-импульса мате-рии в гравитационном поле

Поля и траектории частиц изменятся так, как это рас-сматривалось в Пункте 4.3.2. Действительно, выраже-ние для новой координаты 𝑦𝜇 соответствует варьирован-ной мировой линии частицы (4.22). Что касается поля4-потенциала A, то выражение для его вариации также

совпадает с использованной ранее (4.21):

𝛿A𝜇 = A′𝜇(𝑥)−A𝜇(𝑥) = (12.5)

=

(𝜕𝑥𝜈

𝜕𝑦𝜇− 𝛿𝜈𝜇

)A𝜈(𝑥) + A𝜇(𝑥− 𝛿𝑥)−A(𝑥) =

= −𝜕𝜇𝛿𝑥𝜈A𝜈 − 𝛿𝑥𝜈𝜕𝜈A𝜇 = −𝛿𝑥𝜈F𝜇𝜈 − 𝜕𝜇(𝛿𝑥𝜈A𝜈),

где поле A′𝜇(𝑦) – поле в новых координатах. В (12.5)

сравнивается поле A′𝜇, записанное в новых координатах,

но в точке 𝑥 = 𝑦(𝑥)− 𝛿𝑥, и поле A′𝜇 в старых координа-

тах, взятое в точке 𝑥.Вариация, проведённая в (4.23), имеет своим резуль-

татом то же выражение, однако по пути все производ-ную 𝜕𝜏 надо заменить на ковариантную производную.Кроме того, при преобразовании второго слагаемого вовторой строчке (4.23) надо воспользоваться выражени-ем для коммутатора ковариатных производных вектора(10.79) и тождеством Бианки (10.74):

F𝜏𝜇∇𝜏F𝜈𝜇 = F𝜏𝜇(A𝜇;𝜈𝜏 − (A𝜇;𝜈𝜏 +A𝜏 ;𝜇𝜈 +A𝜈;𝜏𝜇)

)=

= F𝜏𝜇(∇𝜈∇𝜏A𝜇 +

1

2𝑅𝜍[𝜏 𝜇𝜈]𝐴𝜍

)=

1

2F𝜏𝜇∇𝜈F𝜏𝜇 =

=1

4𝜕𝜈(F𝜏𝜇F𝜏𝜇

).

Разумеется, также была использована антисимметрич-ность тензора электромагнитного поля.

§12.2. Движение в центрально-симметричном потенциале

Для описания движения частицы в сферически-симметричном потенциале удобно выбрать систему ко-ординат 𝑟, 𝜗, 𝜙, содержащую радиальную координату𝑟 и два сферических угла 𝜗, 𝜙.

Если в начальный момент времени частица и её ско-рость находились в плоскости 𝜗 = 𝜋/2, то так будет все-гда и в последующем для центрально-симметричной за-дачи. Уравнение Гамильтона-Якоби (7.5) допускает раз-деление переменных при описании движения частицы вплоскости 𝜗 = 𝜋/2. Действие имеет вид

𝑆 = −𝐸𝑡+ L𝜙+ 𝑆𝑟(𝑟). (12.6)

𝐸 является полной энергией частицы, L — её моментомимпульса.

12.2.1 Нерелятивистское финитное дви-жение в кулоновом потенциале

Рассмотрим частицу, которая движется в плоскости 𝜗 =𝜋/2. Лагранжиан нерелятивистской частицы в коорди-натах 𝑟, 𝜙 в кулоновом притягивающем потенциале

есть

𝐿 =𝑚(2 + 𝑟22)

2− 𝑈(𝑟), 𝑈(𝑟) = − (−𝛼)𝑚

𝑟, (12.7)

где 𝛼 < 0. В случае гравитационного взаимодействия𝛼 = −𝑚𝑐2𝑟𝑔/2 = −𝐺𝑚𝑔𝑚, где 𝑟𝑔 = 2𝐺𝑚𝑔/𝑐

2 — гра-витационный радиус тяготеющего центра, а 𝑚 — массачастицы. В случае электростатического взаимодействия𝛼 = 𝑄𝑞, где 𝑄 — заряд притягивающего центра, а 𝑞 —заряд движущейся частицы. Канонически сопряжённыеимпульсы равны

𝑝𝑟 = 𝑚, 𝑝𝜙 = 𝑚𝑟2 = L,

где момент импульса L является сохраняющейся вели-чиной, поскольку лагранжиан явно не зависит от уг-ла 𝜙. Сохранению углового момента может быть данапростая геометрическая интерпретация, которая быланепосредственно установлена Иоганном Кеплером (вто-рой закон Кеплера, second law of Kepler): в единицу вре-мени радиус-вектор движущегося тела проведённый изцентра притяжения заметает одну и ту же площадь,см. Рис. 12.1. Действительно, за малое время d𝑡 радиус-

Глава 12. Движение частиц в гравитационном поле 142

вектор заметает площадь d𝑆 = 𝑟𝑣⊥d𝑡/2, где 𝑣⊥ — про-екция скорости на направление, ортогональное радиус-вектору. Но момент импульса L = 𝑚𝑟𝑣⊥, поэтому заме-тённая площадь равна

d𝑆 =L

2𝑚d𝑡. (12.8)

Гамильтониан равен

ℋ =𝑝2𝑟2𝑚

+𝑝2𝜙

2𝑚𝑟2− 𝑚|𝛼|

𝑟. (12.9)

Гамильтониан явно не зависит от времени и угловой ко-ординаты 𝜙, поэтому решение уравнения Гамильтона-Якоби (1.14) возможно найти методом разделения пере-менных. В соответствии с методом, действие представ-ляем в виде прямой суммы (12.6):

𝑆(𝑡, 𝑟, 𝜙) = −𝐸nr𝑡+ L𝜙+ 𝑆𝑟(𝑟).

Тогда само уравнение Гамильтона-Якоби (1.14) вслед-ствие конкретного вида гамильтониана (12.9) приобре-тает вид(

𝜕𝑆𝑟𝜕𝑟

)2= 2𝑚

(𝐸nr − 𝑈eff

), 𝑈eff =

L2

2𝑚𝑟2− (−𝛼)𝑚

𝑟.

(12.10)

𝜙

𝑏

𝑎

𝑐 = 𝑒𝑎

𝑝

Рис. 12.1 Эллиптическая орбита

Для того, чтобы траектория была финитной, надочтобы нерелятивистская энергия частицы 𝐸nr была от-рицательной. Действительно, разность 2𝑚(𝐸nr − 𝑈eff)всегда должна оставаться неотрицательной, посколь-ку она равна квадрату радиально импульса 𝑝2𝑟. С дру-гой стороны, эффективная потенциальная энергия 𝑈eff ,оставаясь всегда отрицательной при 𝑟 > L2/2𝑚|𝛼|, до-стигает минимума −𝑚𝛼2/2L2 на удвоенном расстояниии стремится к нулю на далёких расстояниях. Таким об-разом, если 𝐸nr < 0, то расстояние до притягивающегоцентра может изменяться в переделах 𝑟min < 𝑟 < 𝑟max.

Для того, чтобы установить траекторию частицы,запишем радиальную часть действия

𝑆𝑟 = ±√

2𝑚|𝐸nr|𝑟ˆd𝑟

𝑟

√(𝑟max − 𝑟)(𝑟 − 𝑟min)

где 𝑟max > 𝑟min являются точками обращения вноль разницы 𝐸nr − 𝑈eff , см. уравнение Гамильтона-Якоби (12.10).

Траектория частицы в координатах 𝑟, 𝜙 описыва-ется уравнением 𝜕𝑆/𝜕L = 0, из которого следует

d𝜙 =𝜕

𝜕𝑟

𝜕𝑆𝑟𝜕L

d𝑟 = ±√𝑟max𝑟min√

(𝑟max − 𝑟)(𝑟 − 𝑟min)

d𝑟

𝑟. (12.11)

Это уравнение можно переписать в виде

d𝜙 = ± 𝑝 d𝑟

𝑟√

(𝑒2 − 1)𝑟2 + 2𝑝𝑟 − 𝑝2,

𝑝 =2 𝑟max𝑟min

𝑟max + 𝑟min, 𝑒 =

𝑟max − 𝑟min

𝑟max + 𝑟min,

которое является уравнением эллипса

𝑝

𝑟= 1 + 𝑒 cos𝜙, (12.12)

с одним из его фокусов помещённым в начало коорди-нат. Стандартными обозначениями для параметров эл-липса являются: 𝑎 > 𝑏 — полуоси эллипса, 𝑐 =

√𝑎2 − 𝑏2

— половина межфокусного расстояния, 𝑒 = 𝑐/𝑎 < 1 —эксцентриситет (eccentricity), 𝑝 = 𝑏2/𝑎 — фокальный па-раметр. В этих обозначениях 𝑟max = 𝑎+ 𝑐, 𝑟min = 𝑎− 𝑐.Параметры эллипса связаны с интегралами движениятела

𝑎 =|𝛼|

2|𝐸nr|, 𝑏 =

L/𝑚√2 |𝐸nr|/𝑚

. (12.13)

Из условия 𝑎 ≥ 𝑏 следует, что(L/𝑚

)2 ≤ 𝛼2/(2|𝐸nr|/𝑚),т.е. минимально возможное значение нерелятивистскойэнергии 𝐸nr равно минимуму эффективной потенциаль-ной для 𝑈eff(𝑟) и соответствует вращению по круговойорбите. Утверждение о том, что тело в гравитационномпотенциале движется по эллипсу, составляет первый за-кон Кеплера.

Период обращения 𝑇 можно получить воспользовав-шись вторым законом Кеплера: полная площадь орбитыравна L𝑇/2𝑚. С другой стороны поскольку орбита — эл-липс, то её площадь равна 𝜋𝑎𝑏. В результате приходимк тому, что период обращения

𝑇 =2𝜋√|𝛼|

𝑎3/2 =𝜋|𝛼|√

2 (|𝐸nr|/𝑚)3. (12.14)

Таким образом, отношение квадратов периодов обраще-ния двух планет вокруг одного и того же тяготеющегоцентра относится как куб больших полуосей их орбит.Это утверждение составляет третий закон Кеплера.

143 VI. ЗАДАЧИ

12.2.2 Движение релятивистской части-цы в кулоновом потенциале

Рассмотрим теперь релятивистскую частицу, котораядвижется в потенциале. Эта задача является, например,классическим вариантом задачи о движении электронав поле ядра, когда энергия связи сравнима с массой по-коя электрона. Лагранжиан заряда имеет вид (3.36)

𝐿 = −𝑚𝑐√1− 2 + 𝑟22

𝑐2− 𝑈(𝑟),

который переходит в нерелятивистский предел (12.7)при малых скоростях. Радиальный импульс и сохраня-ющийся момент импульса равны

𝑝𝑟 = 𝛾𝑚, L = 𝛾𝑚𝑟2.

Записав действие в виде (12.6), приходим к тому, чтоуравнение Гамильтона-Якоби для заряженной реляти-вистской частицы в электромагнитном поле (3.40), мо-жет быть переписано в том же виде (12.10), но с изме-нёнными параметрами:(

𝜕𝑆

𝜕𝑟

)2

= 2𝑚

(𝐸′

nr +(−𝛼′)

𝑟− L′2

2𝑚𝑟2

), (12.15)

𝐸′nr =

𝐸2 −𝑚𝑐2

2𝑚𝑐2, L′2 = L2 − 𝛼2

𝑐2, 𝛼′ =

𝐸𝛼

𝑚𝑐2.

Траектория частицы в 𝑟, 𝜙-координатах по-прежнему определяется уравнением 𝜕𝑆/𝜕L = 0, котороепереписывается в виде

𝜕L

𝜕L′ d𝜙+𝜕

𝜕L′𝜕𝑆𝑟𝜕𝑟

d𝑟 = 0. (12.16)

вместо (12.11). Поэтому вместо (12.12) приходим к

𝑝′

𝑟= 𝑒′ + cos

(√1− 𝛼2/(L𝑐)2 𝜙

), (12.17)

где параметры

𝑝′ =L2𝑐2 − 𝛼2

(−𝛼)𝐸, 𝑒′ =

𝑐√(L𝐸)2 −𝑚2𝑐2(L2𝑐2 − 𝛼2)

(−𝛼)𝐸.

Уравнение (12.17) означает, что траектория не яв-ляется замкнутой. Если частица слабо релятивистская,то за один оборот (оборотом теперь мы назовём частьтраектории, пройдя которую, частица возвращается всостояние с теми же значениями радиальной координа-ты 𝑟 и её скорости изменения ) частица смещается наугол

𝛿𝜙 = 2𝜋

(𝜕L′

𝜕L− 1

)≈ 𝜋 𝛼2

L2𝑐2∼ 𝑣2

𝑐2. (12.18)

Последнее равенство приближённо и верно в слабореля-тивистском пределе, а оценка сделана для орбиты близ-кой к круговой.

12.2.3 Движение массивной частицы вгравитационном потенциале

Для исследования движения (слабо) релятивистской ча-стицы в гравитационном потенциале запишем уравне-ние Гамильтона-Якоби (7.5). Используя представлениедействия в виде (12.6), получаем

(𝜕𝑟𝑆𝑟

)2=

𝐸2

𝑐2(1− 𝑟𝑔/𝑟)2− 𝑚2𝑐2

(1− 𝑟𝑔/𝑟)− L2

𝑟2(1− 𝑟𝑔/𝑟).

(12.19)

12.2.3.1 Релятивистские поправки к медленно-му движению

Если релятивистские эффекты выступают в качествепоправок, то это означает, что мы по-прежнему имеемдело с (почти) нерелятивистским движением тела:

𝑟𝑔𝑟∼ 𝐸nr

𝑚𝑐2∼ 𝑣2

𝑐2≪ 𝑚𝑐𝑟𝑔

𝐿∼ 𝑟𝑔

𝑟

𝑐

𝑣∼ 𝑣

𝑐≪ 1,

оценки сделаны для почти круговой орбиты. Влияниеслабых релятивистских эффектов, как и в случае реля-тивистской частицы в потенциале Кулона, эффективноприводит к перенормировке момента импульса в урав-нении радиального движения. В результате радиальныеколебания и обращение по углу оказываются слабо рас-синхронизованными, так что оси эллиптической орбитытела за каждый оборот смещаются на угол 𝛿𝜙.

В правой части уравнения (12.19) следует произве-сти разложение по малому параметру 𝑟𝑔/𝑟. При этомглавные члены, соответствующие чисто нерелятивист-скому движению по замкнутой эллиптической орбите,имеют порядок (𝑚𝑣)2. Среди поправок, относительномалых как (𝑣/𝑐)2, есть в том числе и вклад −𝑟𝑔L2/𝑟3.Он не может быть учтён аналитически непосредственно.Для его исключения надо произвести замену радиаль-ной координаты, близкую к тождественной:

𝑟 = 𝑟′ + 𝑟𝑔/2, ⇒ d𝑟 = d𝑟′,

которая соответствует, в частности, замене (7.67) в пре-деле 𝑟 ≫ 𝑟𝑔; далее штрих над 𝑟 мы опускаем. Послеподсчёта всех поправок относительно малых как (𝑣/𝑐)2,получаем (12.19)

(𝜕𝑟𝑆𝑟

)2 ≈ 2𝑚

(𝐸′

nr +𝐺𝑚′

𝑔𝑚

𝑟− L′2

2𝑚𝑟2

), (12.20)

L′2 = L2 − 3

2(𝑟𝑔𝑚𝑐)

2,

𝑚′𝑔 = 𝑚𝑔

(1 +

2𝐸nr

𝑚𝑐2

), 𝐸′

nr = 𝐸nr

(1 +

𝐸nr

2𝑚𝑐2

),

сравни с (12.15). По определению 𝐸nr = 𝐸−𝑚𝑐2, такжекак была определена кинетическая энергия (3.10).

Глава 12. Движение частиц в гравитационном поле 144

Уравнение (12.20) надо сравнить с (12.10) В итогесогласно (12.11) получаем, что за один оборот

Δ𝜙 = 2𝜋𝜕L′

𝜕L= 2𝜋 + 𝛿𝜙, 𝛿𝜙 =

3𝜋

2

(𝑚𝑐𝑟𝑔)2

L2(12.21)

Этот ответ (12.21) в полтора раза больше значения(12.18), которое получается, если в рамках специальнойтеории относительности потенциал считать чисто куло-новским.

§12.3. Линзирование и микролинзирование

Гравитирующее тело, искажая ход световых лучейпроходящих рядом с ним, искажает тем самым изоб-

ражение, когда находится между наблюдателем ‘O’ иобъектом наблюдения ‘S’. (7.121)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Christoffel symbols, 103

g-фактор, 40

Huygens’ radiation source, 132

rapidity, 17

Баргмана-Мишеля-Телегди уравнение, 40Био-Савара-Лапласа закон, 60Гильберта

действие, 79Гладкое векторное поле, 108Гюйгенса

элементарный излучатель, 132Доплера эффект, 43Кристоффеля символ, 103Кронекера символ, 97Кулона

закон, 56калибровка, 33

Ларморатеорема, 62

Лиенара-Вихерта потенциалы, 43Лоренца

калибровка, 33преобразование, 15сила, 31

Максвеллауравнения

первая пара, 34Минковского

метрика, 16пространство, 16

Паули гамильтониан, 31Паули-Любанского псевдовектор, 39Эйнштейна

соглашение, 97уравнение, 78формула для массы покоя, 25

аберрация света, 43анаполь, 69быстрота, 17вектор

аксиальный, 100волна

длина, 42частота, 42

циклическая, 42волновой вектор, 42гравитационное поле

псевдо-тензор энергии-импульса, 80интервал, 14калибровочное преобразование, 33ковариантная запись уравнений движения, 25координаты

гармонические, 111момент

дипольный, 57квадрупольный, 57магнитодипольный, 61тороидальный, 68

оператор д’Аламбера, 36оптическая теорема, 55

сечениевзаимодействия, 54поглощения, 54рассеяния, 54

дифференциальное, 54тензор

кососимметричный, 115кручения, 112

тетрада, 109тетрадный постулат, 120

уравнениеволновое, 36непрерывности, 21

формасвязности, 119смещения, 119

электромагнитное полеинварианты, 34тензор, 31

энергияэлетростатическая, 58

энергия покоя, 25

145

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 146

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература по электродинамике

Балдин, А.М., В.И. Гольданский и И.Л. Розенталь (1959). Кинематика ядерных реакций. Москва: Государственноеиздательство физико-математической литературы.

Джексон, Дж. (1965). Классическая электродинамика. М.: Мир.Ландау, Л. Д. и Е. М. Лифшиц (1988). Теоретическая физика, том II. Теория поля. М: Наука.Мешков, И.Н. и Б.В. Чириков (1987). Электромагнитное поле. Часть I. Электричество и магнетизм. Новосибирск:

Наука.Топтыгин, И. Н. (2002). Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория. Москва-Ижевск: РХД.— (2005). Современная электродинамика, часть 2. Теория электромагнитных являений в веществе. Москва-Ижевск:

РХД.Угаров, Владимир Александрович (1977). Специальная теория относительности. Наука.

Основная литература по теории гравитации

Wald, Robert M (2010). General relativity. University of Chicago press.Берков, А.В. и И.Ю. Кобзарев (1989). Теория тяготения Эйнштейна. Общие принципы и экспериментальные

следствия. МИФИ.— (1990). Приложения теории тяготения Эйнштейна к астрофизике и космологии (учебное пособие). МИФИ.Вайнберг, С. (1975). Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности. Москва:

Мир.Вергелес, С. Н. (2017). Лекции по общей теории относительности. МФТИ.Долгов, А.Д., Я.Б. Зельдович и М.В. Сажин (1988). Космология ранней Вселенной. Москва: Изд-во Моск. ун-та.Ландау, Л. Д. и Е. М. Лифшиц (1988). Теоретическая физика, том II. Теория поля. М: Наука.Хриплович, И.Б. (2009). Общая теория относительности. Второе издание, дополненное. Ижевск: Регулярная и

хаотическая динамика.

Дополнительная литература по электродинамике

Dubovik, V.M. и V.V. Tugushev (1990). Toroid moments in electrodynamics and solid-state physics. Англ. В:Physics reports 187.4, с. 145—202.

Radescu Jr, E. и Georgeta Vaman (2012). Cartesian multipole expansions and tensorial identities. В:Progress In Electromagnetics Research B 36, с. 89—111.

Клепиков, Н. П. (1985). Силы торможения излучением и излучение заряженных частиц. В: Успехи физических наук146.2, с. 317—339.

Кузнецов, В.П. и В.П. Смилга (2001). Движение заряженной частицы в слабо-неоднородном магнитном поле.Дрейфовая теория: учебно-методическое пособие. М.: МФТИ.

Окунь, Лев Борисович (2008). Формула Эйнштейна: E0 = 𝑚𝑐2. «Не смеётся ли Господь Бог»? В:Успехи физических наук 178.5, с. 541—555.

Тернов, И. М. и В. А. Бордовицын (1980). О современной интерпретации классической теории спина Я. И. Френкеля.В: Успехи физических наук 132.3.

Дополнительная литература по гравитации

Blau, Matthias (2016). Lecture Notes on General Relativity.

147 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

McGaugh, Stacy S, Federico Lelli и James M Schombert (2016). Radial acceleration relation in rotationally supportedgalaxies. В: Physical Review Letters 117.20, с. 201101.

Дополнительная литература, не касающаяся непосредственно классиче-ской электродинамики

Gallinet, Benjamin и Olivier J. F. Martin (июнь 2011).Ab initio theory of Fano resonances in plasmonic nanostructures and metamaterials. В: Physical Review B 83.23,с. 235427. issn: 1098-0121. doi: 10.1103/PhysRevB.83.235427.

Olver, Frank W.J. и др. (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions. В:Вергелес, С. Н. (2008). Лекции по квантовой электродинамике. М.: ФИЗМАТЛИТ.Пескин, М. и Д. Шредер (2001). Введение в квантовую теорию поля. РХД.Фейнман, Р. и А. Хибс (1968). Квантовая механика и интегралы по траекториям. Москва: Мир.Флюгге, З. (1974). Задачи по квантовой механиве, том 2. М.: Мир.

Оригинальные работы

Einstein, Albert (1916). Hamiltonsches Prinzip und allgemeine Relativitatstheorie. В:Sitzungsberichte der Koniglich Preußischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Seite 1111-1116.

Frieman, Joshua A, Michael S Turner и Dragan Huterer (2008). Dark energy and the accelerating universe. В:Annu. Rev. Astron. Astrophys. 46, с. 385—432.

Leclerc, Michel (2006). Canonical and gravitational stress-energy tensors. В: International Journal of Modern Physics D15.07, с. 959—989.

Lehmkuhl, Dennis (2011). Mass–Energy–Momentum: Only there Because of Spacetime? В:The British journal for the philosophy of science 62.3, с. 453—488.

Radinschi, I и др. (2015). Energy distribution of a regular black hole solution in Einstein-nonlinear electrodynamics. В:Advances in Mathematical Physics 2015.

Оглавление

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ КАФЕДРЫ ПТФ ФОПФ МФТИ 2

Задачи на семинар “криволинейные координаты” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Задачи на семинар “Римановы пространства” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Задачи на семинар “Гравитационное излучение” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Задачи на зачёт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Часть IКЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Глава 1Лагранжев и Гамильтонов формализмы 5

1.1. Формализм Лагранжа: одна степень свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Формализм Гамильтона: одна степень свободы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Каноническое преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Переменные уничтожения и рождения 𝑎 и 𝑎* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Действие в формализме Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.5 Уравнение Гамильтона-Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Теорема Нётер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Часть IIЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Глава 2Четырёх-мерное пространство-время 11

2.1. Постулаты релятивистской механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.1 Недостаточность галилеевской механики и необходимость новой теории. . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Постулаты специальной теории относительности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Принцип минимума действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.4 Встроенные противоречия классической теории поля и её связь с квантовой теорией . . . . . . . 13

2.2. Инерциальные системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.1 Инерциальные декартовы системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Переход из одной инерциальной системы координат в другую . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Интервал в пространстве Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.4 Частный пример преобразования Лоренца: лоренцевский буст . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.5 Частный пример преобразования Лоренца: поворот в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Движение материальной точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 Мировая линия частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2 Движение свободного тела в инерциальной системе отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.3 Общий случай движения частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

149 ОГЛАВЛЕНИЕ

2.3.4 Переход из одной системы координат в другую. Сложение скоростей. . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Описание движения частиц в терминах непрерывной среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.1 Четырёх-мерный ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.2 Связь потока с траекториями частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.3 Распределение частиц по скоростям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Глава 3Движение частиц в электромагнитном поле, взаимодействие частиц 24

3.1. Действие и уравнения движения для свободной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.1 Вариация мировой линии и действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.2 Энергия и импульс частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3 Безмассовые частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Распад и столкновения частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1 Распад частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.2 Столкновение частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3. Совокупность частиц как непрерывная среда, тензор энергии-импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.1 Законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.2 Тензор энергии-импульса пылевидной материи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.3 Тензор энергии-импульса идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4.1 Вклад в действие, лагранжиан и гамильтониан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4.2 Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.3 Тензор электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.4 Уравнения движения в трёхмерной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Глава 4Электромагнитное поле и его возбуждение зарядами 33

4.1. Свойства электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.1 Калибровочная инвариантность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.2 Преобразование Лоренца для компонент электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.3 Первая пара уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.4 Релятивистские инварианты электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2. Уравнения движения электромагнитного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.1 Действие свободного электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.2 Вторая пара уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.3 Поле, создающиеся токами: запаздывающие потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3. Тензор энергии-импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.1 Нётеровский метод построения тензора энергии-импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.2 Вариация действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.3 Матричная структура тензора энергии-импульса электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4. Момент импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4.1 Внутренний орбитальный момент и собственный спин частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4.2 Уравнение движения спина в однородном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5. Электромагнитные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5.1 Плоская электромагнитная волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5.2 Плоская монохроматическая электромагнитная волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5.3 Эффект Доплера и аберрация света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.6. Поле движущегося точечного заряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6.1 Потенциалы Лиенара-Вихерта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6.2 Электрическое и магнитное поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6.3 Поле равномерно движущегося заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ОГЛАВЛЕНИЕ 150

Часть IIIПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Глава 5Распространение электромагнитных волн 47

5.1. Функции Грина волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.1 Запаздывающая функция Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.2 Опережающая и другие функции Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.3 Тензорная функция Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.4 Двумерное электрическое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2. Геометрическая оптика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.1 Монохроматическая волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3. Параметризация поля в случае сферической геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3.1 Свойства функций Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3.2 Параметризация векторного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3.3 Электромагнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.4. Распространение электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4.1 Расходящаяся сферическая волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5. Рассеяние электромагнитных волн на частицах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.5.1 Оптическая теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Глава 6Слабо релятивистские эффекты 56

6.1. Поле неподвижных зарядов и их взаимодействие с внешним постоянным электрическим полем . . . . . . 566.1.1 Закон Кулона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.1.2 Поле системы статических зарядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.1.3 Электростатическая энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.1.4 Энергия системы зарядов во внешнем электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.1.5 Сила и момент сил, действующих на диполь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2. Поле постоянных токов и их взаимодействие с внешним постоянным магнитным полем . . . . . . . . . . . . . 606.2.1 Закон Био-Савара-Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.2 Магнито-дипольный момент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.3 Потенциальная энергия системы токов в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2.4 Теорема Лармора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.3. Дипольное и квадрупольное излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.3.1 Поле электрического диполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.3.2 Магнито-дипольный и квадрупольный вклады . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.4. Мультипольное излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4.1 Магнито-мультипольное разложение в статике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4.2 Поле системы нестационарных токов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4.3 Излучение магнитного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.4.4 Излучение электрического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.5. Торможение излучением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5.1 Скорость производства электромагнитной энергии уходящих волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5.2 Торможение излучением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.5.3 Вывод силы торможения через запаздывающие потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.5.4 Обобщение для релятивистских частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

151 ОГЛАВЛЕНИЕ

Часть IVТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

Глава 7Теория гравитации 73

7.1. Свободные тела в гравитационном поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.1 Постулаты общей теории относительности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.2 Движение свободной частицы в гравитационном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.1.3 Промежутки времени и расстояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.1.4 Ньютоновский предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2. Электромагнитное поле. Тензор энергии-импульса материи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.2.1 Действие для электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.2.2 Тензор энергии-импульса материи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.3. Уравнение Эйнштейна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.3.1 Нарушение масштабной инвариантности гравитации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.3.2 Действие Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.3.3 Закон сохранения энергии-импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.4. Слабое гравитационное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.4.1 Линейное приближение для гравитационного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.4.2 Стационарное гравитационное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.5. Центрально-симметричное гравитационное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.5.1 Решение уравнений Эйнштейна вне тела. Метрика Шварцшильда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.5.2 Координаты Крускала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.6. Коллапс пылевидной сферы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.6.1 Синхронная система отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.6.2 Однородное распределение плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.7. Гравитационные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.7.1 Плоская гравитационная волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.7.2 Излучение гравитационных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.8. Движение частиц в гравитационном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.8.1 Неоднородное течение времени в статическом гравитационном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.8.2 Отклонение и задержка луча в слабом гравитационном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.8.3 Динамика углового момента вращающихся тел (спинов) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Глава 8Элементы космологии 93

8.1. Модели Фридмана расширяющейся Вселенной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.1.1 Метрика Фридмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.1.2 Движение частиц в метрике Фридмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.1.3 Динамические уравнения на расширение Вселенной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Часть VAPPENDIX

Глава 9Элементы тензорного анализа 99

ОГЛАВЛЕНИЕ 152

9.1. Тензорное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.1.1 Контравариантные и ковариантные вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.1.2 Метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.1.3 Полностью антисимметричный псевдотензор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.1.4 Тензорные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.2. Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.2.1 Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.2.2 Аксиальный вектор в 3-х мерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.3. Пространство Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.3.1 Антисимметричный тензор второго ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.3.2 Операции поднятия и опускания индексов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Глава 10Дифференциальная геометрия 105

10.1. Криволинейные координаты, вложенные в евклидово пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.1.1 Ковариантная производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.1.2 Операции интегрирования и векторного дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.1.3 Двумерная поверхность, вложенная в трёх-мерное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

10.2. Многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.2.1 Гладкие многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.2.2 Касательное и кокасательное пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.2.3 Произвольный базис для гладких векторных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.2.4 Ориентации на многообразии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.2.5 Отображение многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11210.2.6 Ковариантная производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

10.3. Тензора кривизны и кручения, пространство Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.3.1 Геометрический смысл тензоров кривизны и кручения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11410.3.2 Нормальные координаты Римана. Геодезические координаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.3.3 Свойства тензора кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10.4. Дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11710.4.1 Определение понятия формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11710.4.2 Внешнее дифференцирование форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11910.4.3 Интегрирование дифференциальных форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

10.5. Запись уравнений дифференциальной геометрии через дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . 12110.5.1 Формы в произвольном базисе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.5.2 Структурные уравнения Картана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12210.5.3 Нормальные координаты Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

10.6. Свойства криволинейных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410.6.1 Геометрия пространств с постоянной кривизной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Часть VIЗАДАЧИ

10.7. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12710.8. Преобразование Лоренца, уравнение непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12710.9. Разные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.10. Столкновение и распад частиц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.11. Электро и магнито статика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

10.11.1Электростатика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.11.2Магнитостатика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.11.3Постоянные электрическое и магнитное поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

10.12. Электромагнитные волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.13. Излучение электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

153 ОГЛАВЛЕНИЕ

10.13.1Когерентное излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210.13.2Торможение излучением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13310.13.3Излучение релятивистских частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Глава 11Движение частиц в электромагнитном поле 135

11.1. Движение частицы в однородном поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13511.1.1 Дрейф частицы в скрещенных сильном магнитном и слабом электрическом полях . . . . . . . . . 13511.1.2 Движение нерелятивистской частицы в слабо неоднородном магнитном поле . . . . . . . . . . . . 13611.1.3 Движение в неоднородных полях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11.2. Движение магнитных моментов и спинов в электромагнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Глава 12Движение частиц в гравитационном поле 140

12.1. Вариационные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14012.1.1 Лагранжиан вращающегося тела в гравитационном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14012.1.2 Вариационный принцип для движения частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14012.1.3 Тензор энергии-импульса материи в гравитационном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

12.2. Движение в центрально-симметричном потенциале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14112.2.1 Нерелятивистское финитное движение в кулоновом потенциале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14112.2.2 Движение релятивистской частицы в кулоновом потенциале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14312.2.3 Движение массивной частицы в гравитационном потенциале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

12.3. Линзирование и микролинзирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 145

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 146

Основная литература по электродинамике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Основная литература по теории гравитации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Дополнительная литература по электродинамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Дополнительная литература по гравитации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Дополнительная литература, не касающаяся непосредственно классической электродинамики. . . . . . . . . . . . . . 147

Оригинальные работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147