1 OR Introduction & Problem Modeling (Problem Formulation) مقدمة في بحوث العمليات بناء النماذج الرياضية Dr. Mahmoud Mostafa El_Sherbiny

1

OR IntroductionOR Introduction &&

Problem ModelingProblem Modeling (Problem(Problem Formulation)Formulation)

العمليات بحوث في العمليات مقدمة بحوث في مقدمةالرياضية النماذج الرياضية بناء النماذج بناء

Dr. Mahmoud Mostafa El_SherbinyDr. Mahmoud Mostafa El_Sherbiny

2

MS / ORMS / ORDefinition: Management Science (MS) or Operations Research

(OR) is the scientific discipline devoted to the analysis and

solution of complex decision making.

MS/OR uses a wide variety of skills: math, statistics,

probability theory, economics, business, computers,

engineering, and physical and behavioral sciences.

من العديد العمليات بحوث او االدارة علم يستخدم , , , االحتماالت: نظرية االحصاء الرياضيات المهارات , السلوكية, العلوم و الهندسة اآللى الحاسب االقتصاد

والتطبيقية.

عن: عبارة العمليات بحوث �و أ االدارة ع�ل�م تعريفالقرارات� اتخاذ وح�ل! بتحليل� يهتم علمي اسلوب

المعق*د�.

3

Difficulty in Decision MakingDifficulty in Decision Makingالقرار اتخاذ القرار صعوبات اتخاذ صعوبات

A decision can be difficult to make because

بسبب الصعبة االشياء من القرار :اتخاذ

1) it is complex معقد

2) it deals with uncertainty التأكد عدم ظل في التعامل

3) it concerns multiple objectives االهداف من العديد لتحقيق يهتم

4) there are multiple decision makers متخذي من العديد مع التعامل القرار

4

Application AreasApplication Areasالتطبيق التطبيق مجاالت مجاالت

• Production االنتاج • Health care الخدماتالصحية

• Finance المالية

• Marketing التسويق

• Sports الرياضة • Education التعليم • Natural resources البشرية الموارد

• Transportation النقل • Human resources management البشرية الموارد ادارة

5

Application ExamplesApplication Examplesالتطبيقات لبعض التطبيقات امثلة لبعض امثلة

• Scheduling airline crews الطيران اطقم جدولة

• Catalog sales and telemarketing operations

التليفون • عبر والتسوق المبيعات كتلوج ادارة

• Transportation planning النقل عمليات تخطيط

• Portfolio management المالية المحافظ ادارة

• Fast-food restaurant operations الطعام مطاعم عمليات

ImplementationImplementation

selecting a course of action from those

available

ChoiceChoice

Decision Making PhasesDecision Making PhasesDecision Making: a process of choosing

among alternative courses of action for the purpose of attaining a goal or goals (Simon

[1977])

inventing, developing, and analyzing possible courses of

actionDesignDesign

searching for conditions that call for decisionsIntelligenceIntelligence

Feedback

7

• Intelligence phase– Reality is examined – The problem is identified and defined

• Design phase– Representative model is constructed– Alternatives are generated– The model is validated and evaluation criteria are set

• Choice phase– Includes a proposed solution to the model/problem– If reasonable, move on to the Implementation phase

• Implementation phase– Solution to the original problem

Failure: Return to the modeling process

Often Backtrack / Cycle Throughout the Process

Decision Making Phases Decision Making Phases (cont.)(cont.)

8

The Management Science Process

9

Classification of Management Science

Techniques

MAX (MIN): f0(X1, X2, …, Xn)

S.T. f1(X1, X2, …, Xn)<=b1

:

fk(X1, X2, …, Xn)>=bk

:

fm(X1, X2, …, Xn)=bm

Modeling &

Formulationالرياضية النماذج بناء

11

Optimization ModelsOptimization Modelsالامثلية الامثلية نماذج نماذج

We have to satisfy our Objective?

االهداف تحقيق يجب

Constraints and Constrained Optimization

مقيدة وغير مقيدة امثلية• Realize objective: (maximize profit…minimize cost)

• االهداف استيعاب او ادرك

• Subject to limitations (constraints) حدود في

Time-Budget-Space-Capacity-Energy-Demand- Material

– – – – - الخام – المواد الطلب الطاقة االستيعابية القدرة الفراغ الميزانية الوقت

Results: Optimal Decisions

امثل: قرار الناتج

General Form of an Optimization Problem

MAX (of MIN): f0(X1, X2, …, Xn)

Subject to: f1(X1, X2, …, Xn)<=b1

:

fk(X1, X2, …, Xn)>=bk

:

fm(X1, X2, …, Xn)=bm

Note: If all the functions in the model are linear, the problem is a Linear Programming (LP) problem

General Form of a Linear Programming (LP) Problem

MAX (or MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn

Subject to

a11X1 + a12X2 + … + a1nXn b1

:

ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn bk :

am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm

Steps In Formulating LP Models:

0. Understand the problem.

1. Identify the decision variables

2. State the objective function as a

linear combination of the

decision variables.

3. State the constraints as linear

combinations of the decision

variables.

4. Identify any upper or lower

bounds on the decision variables.

المشكلة . 0 استيعاب و تفهم

القرار 1. متغيرات تحديد

وبنائها 2. الهدف دالة تعريف

. القرار متغيرات باستخدام

وبنائها 3. القيود تعريف

القرار متغيرات باستخدام

والدنيا 4. العليا الحدود تحديد

القرار لمتغيرات

15

Stratton Stratton CompanyCompany

Pipes ‘R UsPipes ‘R Us

Type1

Type2

16

Type1

Type2

How muchHow muchof each typeof each typedo I make?do I make?

كل من انتج كل كم من انتج كمنوع؟نوع؟

17

x1 = amount of type 1 pipe produced and sold next week, 100-foot increments

بال االسبوع في االول النوع من المنتج قدم 100كمية

x2 = amount of type 2 pipe produced and sold next week, 100-foot increments

بال االسبوع في الثاني النوع من المنتج قدم 100كمية

Linear ProgrammingLinear Programming

Step 1–Define the decision variablesStep 1–Define the decision variablesالقرار متغيرات القرار تحديد متغيرات تحديد

18


Step 2—Define the objective functionStep 2—Define the objective functionالهدف دالة الهدف تحديد دالة تحديد

Max Max ZZ = = $34$34 xx11 + + $40$40 xx22

CoefficientsCoefficientsالمعامالتالمعامالت

ObjectiveObjectiveFunctionFunction

الهدف الهدف دالة دالة

Decision variablesDecision variablesالقرار القرار متغيرات متغيرات

19

Cutting & Screwing

و التقطيعالقلوظة

Extrusionاالنبوبة البثق ) عمود (تكوين

48 h/w 18 h/w 16 h/w

Production ProcessesProduction Processes االنتاج االنتاج عمليات عمليات

Inspectionالفحص

What limits What limits us?us?

ماهي ماهي المحددات؟المحددات؟

20


Step 3—Formulate the constraintsStep 3—Formulate the constraintsالقيود القيود بناء بناء

Max Max ZZ = $34 = $34 xx11 + $40 + $40 xx22

48 48 )Extrusion()Extrusion(

Type of limitType of limit) ( الحدود القيود (انواع ( الحدود القيود انواع

Upper limitUpper limit Lower limitLower limit EqualityEquality ==

RHS valueRHS value

21

Linear ProgrammingLinear ProgrammingStep 3—Formulate the constraintsStep 3—Formulate the constraints

القيود القيود بناء بناء

Max Max ZZ = $34 = $34 xx11 + $40 + $40 xx22

xx11 xx22 48 48 )extrusion()extrusion(

Decision variables

Decision variables

القرار متغيرات

القرار متغيرات

22


Step 3—Formulate the constraintsStep 3—Formulate the constraintsالقيود القيود بناء بناء

Max Max ZZ = $34 = $34 xx11 + $40 + $40 xx22

xx11 xx22 48 48 )extrusion()extrusion(

23


Step 3—Formulate the constraintsStep 3—Formulate the constraints

Max Max ZZ = $34 = $34 xx11 + $40 + $40 xx22

44 xx11 + + 66 xx22 48 48 )extrusion()extrusion(

CoefficientsCoefficients

المعامالتالمعامالت

24



Max Max ZZ = $34 = $34 xx11 + $40 + $40 xx22

4 4 xx11 + 6 + 6 xx22 48 48 )extrusion()extrusion(

25



Max Max ZZ = $34 = $34 xx11 + $40 + $40 xx22

4 4 xx11 + 6 + 6 xx22 48 48 )Extrusion()Extrusion(

2 2 xx11 + 2 + 2 xx22 18 18 ))Cutting & screwing (Cutting & screwing (

2 2 xx11 + + xx22 16 16 )Inspection()Inspection(

26

Linear ProgrammingLinear ProgrammingStep 4—Identify any upper or lower bounds on the Step 4—Identify any upper or lower bounds on the

decision variables.decision variables. لمتغيرات والدنيا العليا الحدود لمتغيرات تحديد والدنيا العليا الحدود تحديدالقرارالقرار

Max Max ZZ = $34 = $34 xx11 + $40 + $40 xx22

4 4 xx11 + 6 + 6 xx22 48 48 )Extrusion()Extrusion(

2 2 xx11 + 2 + 2 xx22 18 18 ))Cutting & screwing (Cutting & screwing (

2 2 xx11 + + xx22 16 16 )Inspection()Inspection(

xx11 0 0 xx22 0 0

An Example LP ProblemBlue Ridge Hot Tubs produces two types of hot tubs: Aqua-Spas & Hydro-Luxes.

األحواض من نوعان الشركة تنتج

There are 200 pumps, 1566 hours of labor, and 2880 feet of tubing available.

الشركة لدى و 200يتوفر عمل 1566مضخة ساعةاالنابيب 2880و من قدم

Aqua-Spa Hydro-Luxاالول النوع الثاني النوع

Pumps 1 1Labor 9 hours 6 hoursTubing 12 feet 16 feetUnit Profit $350 $300

Formulating LP Model: By Example0. Understand the problem. المشكلة تفهم1. Identify the decision variables. القرار متغيرات تحديد

X1=number of Aqua-Spas to produce االول النوع من المنتج االحواض عدد

X2=number of Hydro-Luxes to produce الثاني النوع من المنتج االحواض عدد

2. State the objective function as a linear combination of the decision variables. تعريفالقرار متغيرات باستخدام وبنائها الهدف دالة

MAX: 350X1 + 300X2

3. State the constraints as linear combinations of the decision variables . القرار متغيرات باستخدام وبنائها القيود تعريف

1X1 + 1X2 <= 200 } pumps

9X1 + 6X2 <= 1566 } labor

12X1 + 16X2 <= 2880 } tubing

4. Identify any upper or lower bounds on the decision variables. القرار لمتغيرات والدنيا العليا الحدود تحديد

X1 >= 0 , X2 >= 0

Summary of the LP Model for Blue Ridge Hot Tubs

MAX 350X1 + 300X2

S.T.

1X1 + 1X2 <= 200

9X1 + 6X2 <= 1566

12X1 + 16X2 <= 2880

X1 >= 0

X2 >= 0

30

مثال: شطائر اللحميق��وم ج��زار بعم��ل ش��طائر اللحم بتك��وين من لح�م بق�ري �ول�حم م�اعز�.� يحت�وي �لحم �البق�ر على

جني�ه لك�ل� 24 ده�ون �و�يكل�ف 20 �لحم و %80% لحم 68كي�ل��و� في� حين �ان ل�ح�م ال�م��اعز �على %�

ج�ني��ه �لك��ل ك�ي�ل��و.� 18 �د�ه��ون و�ي�كل��ف� 32و %م��ا�ه�ي كم�ي��ة� ا�للحم� م�ن� ك��ل� ن��وع �يجب �ان �يس��ت�خ�دمها �ا�لمح��ل �في �ك��ل� �كيل��و �من ش��ط�ائر ا�ل�لحم ا�ذا علم�ت ان��ه �يجب �ت�خفيض التك��الي�ف

يزي�د و�الم�حافظ�ة علي نس�ب�ة ال�ده�ون�. بحي�ث ال ؟25عن %

31

حل مثال شطائر اللحم

تحديد المتغيرات: 1.نف��رض ان وزن لحم البق��ر المس��تخدم –

Xفي الكيلو = نف�رض ان وزن لحم الم�اعز المس�تخدم –

Yفي الكيلو =

دالة 2. :الهدف تحديدMin Z = 24X + 18Yتصغير

32


3:( ) المحددات. القيود تحديد من X 0.20: يحت��وي ك��ل كيل��و علي القي��د االول–

من ال�دهو�ن من �لحم 0.32Yال�دهو�ن من ل�حم البق�ر و� الم��اعز �ويج�ب اال تزي��د ال��دهو�ن� في� الش��طيرة� عن

0.25.

0.20 X + 0.32 Y ≤ 0.25: ويجب ان يك�ون وزن لحم البق�ر و لحم القي�د الث�اني–

الم�اعز �مج�تمعين في ك�ل كي�ل�و� من� ا�لش�طائر� ه�و كيل�و واحد.

X + Y = 1: قيد عدم السلبية القيد الثالث–

X ≥ 0 , Y ≥ 0

33


. النموذج الرياضي: 4Min Z = 24 X + 18Y تصغير

� S.T

0.20 X + 0.32 Y ≤ 0.25

X + Y = 1

X, Y ≥ 0

34

شركة تنتج نوع�ان مختلف�ان من قف�ازات� البيس�بول الن�وع األول قف�ا�ز ع�ادي والن�و�ع ال�ث�اني قف�ا�ز ممت�ا�ز. يتم� إنت�اج� القف�ازات علي ثالث��ة م�راح��ل مت�تالي��ة. المرحل��ة األو�لى التقط�ي��ع والخياط��ة والمرح�ل�ة الث�اني�ة التش��طي�ب والمر�ح�ل�ة الثال�ث�ة الت�عب�ئ�ة و�الش��حن.�

س��اعة� إن�ت��اج في �م�رحل��ة �التق�طي��ع 900يت��و�ا�فر ل��دي ا�لش��ر�كة س�اعة 100 س�اع�ة إنت�ا�ج في مرحل�ة� التش�طيب�، و300و�الخياط�ة� ،

نت��اج� � في �مر�ح�ل��ة ال�ت�غلي��ف وال�ش��ح�ن.علما �ب��أن�� م�تطل�ب��ات� �وقت� اإل�ن�ت��ج مت�وفرة� �بالج�د�و�ل الت�الى،� قم بب�ن�اء وم�س�اه�مة� ال�ربح�� ل�ك��ل�� و�ح�د�ة م�نم�وذج� الب�رمج�ة �الخطي�ة ا�ل�ذي �يع�بر عن� �تل�ك الم�ش�كلة ب�افتراض� أن

ال�شركة� ت�ه�ت�م ب�تحقيق حد� أ�قصى م�ن الربح ال�كلي.

LP Example: baseball gloves قفازات� البيسبول

35

LP Example: baseball gloves قفازات� البيسبول

الربح/الوحدة

التعبئة

والشحن

التشطيب

التقطيع

والخياطة

النوع

5 SR 0.125 0.5 عادي 1

8 SR 0.25 0.333 1.5 محسن

(التشطيب والخياطة التقطيع

900 h/w 300 h/w 100 h/w

Production ProcessesProduction Processes االنتاج االنتاج عمليات عمليات

والشحن التغليف

900300100

X

Y

36

1) Decision variables القرار متغيرات

• number of regular gloves to be produced االول النوع من المنتج عدد

• number of catcher’s mitts to be produced الثاني النوع من المنتج عدد

2) Objective function الهدف دالة

• maximize the total profit contribution الربح هامش تعظيم3) Constraints القيود • cutting&sewing: 900 hours available للتقطيع المتاحة الساعات عدد

والخياطة

• finishing: 300 hours available للتشطيب المتاحة الساعات عدد

• packaging&shipping: 100 hours available المتاحة الساعات عددوالشحن للتعبئة

LP Example: baseball gloves : مثال قفازات� البيسبول حل

37

LP Example: baseball gloves : مثال قفازات� البيسبولحل

1) Let x1 = number of regular gloves

x2 = number of catcher’s mitts

2) Max z = 5x1 + 8x2

3) s.t. 1x1 + 1.5x2 900 (Cut&Sew)

0.5 x1 + 0.333x2 300 (Finishing)

0.125x1 + 0.25x2 100 (Pack&Ship)

x1, x2 0 (Nonnegativity)

38

Wershon Suit Company

JacketsJackets Slacks Available

• Profit,Profit, $/unit$/unit 1010 1515

• Material, Material,

Square yardsSquare yards 22 5 5 5050

• Person Hours Person Hours 4 2 36 4 2 36

How many jackets and slacks should be produced ?How many jackets and slacks should be produced ?

انتاجه يجب نوع كل من الوحدات عدد انتاجه كم يجب نوع كل من الوحدات عدد كم

39


• Type of Objective FunctionType of Objective FunctionMaximize Profit Maximize Profit

• Variable DefinitionVariable Definition

J = number of jackets produced / week

S = number of slacks produced / week

40


Max Z = $34 J + $40 S

STST2 J + 5 S 2 J + 5 S 50 50 )Material()Material(

4 J + 2 S 4 J + 2 S 36 36 )sewing(

J , S 0 0 )Nonnegativity(

41

ت�نتج� اح�دى ش�ركة� النف�ط الكب�يرة� ن�وعين من الج�ازولين� ، ج�ازولين نت�ج�ات� ن�ع� الم�ص�فاة� م� ع�ادي وج�از�ولين م�حس�ن لمحط�ات�� الخد�م�ة. ت�ص��ج مك�و�ني ال�زيت ا�لثقي�ل و�الخفي�ف �مع�ا. يب�اع� الج�ازولين� ز�� الج�ا�زولين� بم��

$ ل�ك�ل� 1.40$� لك�ل� �ج�الون� و�يب�ا�ع� الج�ازولي�ن الم�ح�س�ن ب�1.25الع�ادي� ب� �. لف�ترة� ا�إلنت�اج� الحا�لي�ة�،� ح�ص�ل�ت� ال�ش�ركة عل�ى �ج�الون� م�ن� 4000ج�الون�

ج�ا�لون �م�ن� ا�ل�زيت ا�لثقي�ل 6000$ ل�ك�ل� ج�ا�ل�ون� و0.9ال�زيت �الخفي�ف� ب� ن�ت��اج �للج��از�ولين� �الع��ا�دي و 1ب� . �ت�ح��د�د� م�وا�ص��ف�ات� اإل� $� ل�ك��ل�� ج��الون��

ك�ن� أ��ن�� ي�س�ت�عم�ل� في ال�م�حس�ن ك�مي�ا�ت� �ك��ل� مك�و�ن �من ال�زي�وت �ال�ذي ي��م�. يتك�ون �ال�ج�ازول�ين� �ا�ل�ع�ادي من� ال�ز�يت ا�لخ�في�ف الي نت�ج ج�ا�زول�ين�� ك��ل�� م�

ع�لي� ال�ت��والي. في� �حين ن�س��بة 50 �الي 75ال��زيت� الثق�ي��ل ب�نس��بة ال�ز�يت� الخفي�ف �ا�لي ا�ل�زيت� �الثقي�ل �ف�ي الج�ازو�لين� المح�س�ن بنس�بة

�علي ا�ل�ت��وا�ل�ي. ت�تس��ا�ءل الش��ر�كة �ع�ن� ك�يف�ي��ة خ�ل��ط 75 �الي �50الم�كو��نين إلن�ت�اج ن�وعي �ال�جازولين�� ا�لذي �يحقق �اك�بر ربح ممك�ن .

Blending Problem( الخلط ( المزج

42

Gasoline Blendingالجازولين خلط

Prem. Reg. Cost Stock gal. gal. gal.gal. $/gal. $/gal. gal.gal.

الجازولين الجازولين التكاليف الجازولين المخزون الجازولين التكاليف المخزونالمحسن المحسن العادي العادي

• Price, $/gal.Price, $/gal. 1.251.25 1.401.40 السعر السعر • Light OilLight Oil خفيف خفيف زيت زيت 0.500.50 0.750.75 0.90.9 40004000• Heavy OilHeavy Oil ثقيل ثقيل زيت 1.01.0 0.500.50 0.750.75 زيت 60006000

At least 60% of all gasoline must be RegularAt least 60% of all gasoline must be Regularينتج ان ينتج يجب ان العادي% 6060يجب الجازولين من االنتاج العادي% من الجازولين من االنتاج من

Find the maximum profit gasoline mix.Find the maximum profit gasoline mix.ربح اكبر تحقق التي الخلط كميات ربح اوجد اكبر تحقق التي الخلط كميات اوجد

43

Gasoline Blending( ) الرياضي النموذج الجازولين خلط

• Type of Objective Function ?Type of Objective Function ?

Maximize Net RevenueMaximize Net Revenue

• Variable DefinitionVariable Definition القرار القرار متغيرات متغيرات

P = Number of premium gallons producedP = Number of premium gallons produced

المحسن الجازولين من المنتج المحسن كمية الجازولين من المنتج كمية

R = Number of regular gallons producedR = Number of regular gallons produced

العادي الجازولين من المنتج العادي كمية الجازولين من المنتج كمية

H = Number of heavy crude gallons usedH = Number of heavy crude gallons used

الثقيل الزيت من المستخدم الثقيل كمية الزيت من المستخدم كمية

L = Number of light crude gallons usedL = Number of light crude gallons used

الخفيف الزيت من المستخدم الخفيف كمية الزيت من المستخدم كمية

44

Gasoline Blending( ) الرياضي النموذج الجازولين خلط

Max Max Z = 1.4 P + 1.25 R - 0.9 L - 1.0 HZ = 1.4 P + 1.25 R - 0.9 L - 1.0 H

STST

HH = 0.75 P + 0.50 R= 0.75 P + 0.50 R

LL = 0.50 P + 0.75 R= 0.50 P + 0.75 R

HH 6000 6000

LL 4000 4000

RR 0.6 )R+P( 0.6 )R+P(

R, P, H, L R, P, H, L 0 0

45

Gasoline Blending: Two Variables

( ) الرياضي النموذج الجازولين خلطMax Max Z = 1.4 P + 1.25 R - Z = 1.4 P + 1.25 R -

0.9 0.9 )0.50 P + 0.75 R()0.50 P + 0.75 R(

1.0 1.0 )0.75 P + 0.50 R()0.75 P + 0.50 R(

STST

)0.75 P + 0.50 R( )0.75 P + 0.50 R( 6000 6000

)0.50 P + 0.75 R( )0.50 P + 0.75 R( 4000 4000

RR 0.6 )R+P( 0.6 )R+P(

R, PR, P 0 0

46


Max Max Z = 1.4 P + 1.25 R - Z = 1.4 P + 1.25 R -

0.9 0.9 )0.50 P + 0.75 R()0.50 P + 0.75 R(

1.0 1.0 )0.75 P + 0.50 R()0.75 P + 0.50 R(

STST

)0.75 P + 0.50 R( )0.75 P + 0.50 R( 6000 6000

)0.50 P + 0.75 R( )0.50 P + 0.75 R( 4000 4000

R - 0.6 )R+P(R - 0.6 )R+P( 0 0

R, PR, P 0 0

47


( ) الرياضي النموذج الجازولين خلطMax Max Z = 1.4 P + 1.25 R - Z = 1.4 P + 1.25 R -

0.9 0.9 )0.50 P + 0.75 R()0.50 P + 0.75 R(

1.0 1.0 )0.75 P + 0.50 R()0.75 P + 0.50 R(

STST

)0.75 P + 0.50 R( )0.75 P + 0.50 R( 6000 6000

)0.50 P + 0.75 R( )0.50 P + 0.75 R( 4000 4000

0.4 R - 0.6P0.4 R - 0.6P 0 0

R, PR, P 0 0

48

ري�ال و ي�ب�حث عن ف�رص� اس�تثمارية 100,000يمتل�ك اح�د المس�تثمرين م�وال. وق�د ا��وص�ي ا�ح�دي الم��حل�لي�ن� ا�لم�اليين للمس�تثمر ب�أن ل�تل�ك اال�يس�تثمر ك��ل� ا�لمبل�غ� في �ص�ناعة� النف�ط، ص�ناعة� ف�والذ، أ��و في الس�ندات

ل�� ز� الم�حل�� ف�رص� اس�ت�ثمار: نف�ط المحي�ط 3ا�لحكومي�ة. ب�ش�كل �م�ح�د�د�، مي��ال�ه�ادي، �ف�والذ و�س�ط الغ�رب، �وس�ندات �حكومي�ة� بمع�دالت �العائ�د �الس�نوي

ع��ة� م�ن� رض� 4.5%، و6.4 %, 10.3الم��توق� %�، على� الت��والي. ف�� 50,000) ال يس�تثمر اك�ثر من 1المس�ت�ثمر ث�الث�ة تعليم�ات �اس�تثمارية. (

ري�ال في� اين من� النف�ط� أ�و ص�ناعة� �الف�والذ� م�ن� مجم�وع� االس�تثمارات. ون� الس��ندات �حكومي��ة على األق��ل �2( % م�ن� 25) ي�ج�ب�� أ�ن� �ت�ك��

ذ. ( ) �حيث ان االس��تثمار في نف��ط� 3االس��ت�ثمارات في� ص��ناعة� الف��وال�الم�حي�ط اله�ا�دي ذو عائ�د� ع�الي ولكن� المخ�اطرة عالي�ة ج�دا، ل�ذا ال يجب

% من مجم�وع� االس�تث�مارات. بن�اء على م�ا 50أ�ن� يس�تثمر ب�ه أ�ك�ثر م�ن� � ري�ال� علي الثالث�ة ف�رص 100,000ف�م�ا ه�و ال�توزي�ع� األمث�ل لم�بل�غ� س�بق

استث�مار�ية وال�ذي يحقق اكبر عائد� استثم�اري؟�

Portfolio Problemالمالية الاوراق محفظة

49

Let P = dollars invested in Pacific OilM = dollars invested in Midwest SteelG = dollars invested in Government bonds

Max z = 0.103P + 0.064M + 0.045G (Total return for the portfolio)

S.T. P + M + G = 100,000 (Fund availability)

P 50,000 (Guideline #1)

M 50,000 (Guideline #1)

G 0.25 M (Guideline #2)

P 0.50 (P + M + G) (Guideline #3)

P, M, G 0 (Nonnegativity)

Portfolio Problem

50

االنتاج تخطيط تريد للسيارات النصر بشركة االنتاج تخطيط قسم . التالي الجدول سياراتها انواع الحدى العام من القادمة اربع لالربعة . تكلفة السيارات على الطلب حجم و العالقة ذات التكاليف يعرض . . ربع كل في السيارة انتاج تكلفة التالي للربع سيارة بكل االحتفاظالتالي العام من ربع كل في المنتجة السيارات عدد معرفة الشركة تريد

. علي يحتوي المخزن بان علما الكلية التكاليف يقلل سيارة 20والذي . النوع نفس من

Production&Inventory Controlوالمخزون الانتاج في التحكم

Quarterالربع

Demandالطلب

االنتاج تكلفةProductionCost/unit

بالمخزون االحتفاظ تكلفةInventory Holding

Cost/unit

1100120

$1950$100

234

200

180$2100$2000

$2000$100$100$100

51

Let qi = quantity to produce in quarter i, i = 1, 2, 3, 4

الربع في المنتجة i الكمية

Ii = inventory at the end of quarter i, i = 1, 2, 3, 4

الربع نهاية في المخزنة i الكمية

Min 2000q1 + 1950q2 + 2100q3 + 2000q4 + 100I1 + 100I2 + 100I3 + 100I4

s.t. I1 = 20 + q1 – 200

I2 = I1 + q2 100

I3 = I2 + q3 120

I4 = I3 + q4 180

qi, Ii 0, i = 1, 2, 3, 4

Production&Inventory Controlوالمخزون الانتاج في التحكم

Inventory Balance Equation:

Ending Inventory = Beginning Inventory + Production – Demand

الطلب = + - الانتاج المخزون بداية المخزون نهاية

Inventory Balance Equation:

المخزون معادلة

52

�95 ون�وع 91ت�نتج� اح�دى ش�ركة� النف�ط الكب�يرة� ن�وعين من الج�ازولين� ج مك�و�ني ز� نت��ج�ات� الج�از�ولين� بم�� نع�� المص�فاة� م� لم�حط�ات� الخدم�ة. ت�ص��

. إن� ا�لج�ازولي�ن� 95$� لك�ل� ج�الون� �والج�از�ولين� 1.00 يب�اع� ب� 91الن�فط�نت�اج� الحالي�ة�، ح�ص�ل�ت الش�ركة 1.08يب�اع ب� . لف�ترة� اإل� $� لك�ل� ج�الو�ن�

$� لك��ل� ج��الون� 0.50 ج��الون� م�ن� �المك��و�ن� �االول ب�� 5000ع�لى . ت�ح�د��د� 0.60 ج�الون� م��ن� المك�و�ن� الث�اني ب�� 10,000و� $ لك�ل� ج�ال�ون�

نت�اج� للج�ازول�ين� ك�ن� 95 و 91م�واص�ف�ات� اإل� كمي�ات�� ك��ل� مك�و�ن� ال�ذي ي�م�.� �نس�بة� مئوي�ة� المك�و�ن� االول في نت��ج ج�ازو�لين� أ�ن� ي�س�ت�عمل� ف�ي ك��ل� م�

غلب �91ال�ج��ازولين� ون� على األ� %، ون�س��بة� مئوي��ة 30 ي��ج�ب� أ��ن� ي�ك��ق�ل 91الم�ك�و�ن� ا�لث�اني في الج�ازولي�ن� %. 40 ي�ج�ب� أ�ن� ي�ك��ون� �على األ�

ون� على 95نس�بة مئوي�ة المك�و�ن� �االول ف�ي الج�ا�زولين� ي�ج�ب� أ�ن� ي�ك��الج�ازولين�� %�25األق�ل في� الث�اني المك�و��ن� مئوي�ة ونس�بة ي�ج�ب� أ�ن� 95،

ون� ع�ل�ى األغل�ب %. تت�س��اءل � الش��رك�ة عن كيفي��ة� خل��ط� �40ي�ك��المكو�نين إلنتاج نوعي الجازولين� الذي يحقق اكبر ربح ممكن .

Blending Problem( الخلط ( المزج

53

: القرار متغيراتLet xij = gallons of component i used in gasoline type j. i = 1, 2, j = R, P

x1R المكون كمية الجازولين االولتمثل في )91 (العاديالمستخدمة

x2R المكون كمية الجازولين الثانيتمثل في )91(العاديالمستخدمة

x1P المكون كمية الجازولين االولتمثل في )95(المحسنالمستخدمة

x2P المكون كمية الجازولين الثانيتمثل في )95 (المحسنالمستخدمة

الهدف : دالةالمبيعات = الربح التكاليف -تعظيم

كميات = * – * المكونات من اللتر شراء سعر المباعة الكميات اللتر بيع سعرالمكونات

العادي = ( النوع من اللتر المحسن ) + x1R+ x1R *( سعر النوع من اللتر ) x1p+ x1p *( سعر

االول (- المكون من اللتر الثاني ) + x1R+ x1R *( تكلفة المكون من اللتر ) x1p+ x1p *( تكلفة

Max z = 1.00(x1R + x2R) + 1.08(x1P + x2P) 0.50(x1R + x1P) 0.60(x2R + x2P)

( الخلط ( المزج لمشكلة الرياضي النموذج بناء

54

القيود :

s.t. x1R + x1P 5000

x2R + x2P 10,000

x1R 0.30 (x1R + x2R)

x2R 0.40 (x1R + x2R)

x1P 0.25 (x1P + x2P)

x2P 0.40 (x1P + x2P)

xij 0 for all i and j (Nonnegativity)


(Availability)المتاح حجم

(Regular specification)91مواصفات

(Premium specification)95مواصفات

55

Let xij = gallons of component i used in gasoline type j. i = 1, 2, j = R, P

Max z = 1.00(x1R + x2R) + 1.08(x1P + x2P) 0.50(x1R + x1P) 0.60(x2R + x2P)

(Total profit contribution)

s.t. x1R + x1P 5000

x2R + x2P 10,000

x1R 0.30 (x1R + x2R)

x2R 0.40 (x1R + x2R)

x1P 0.25 (x1P + x2P)

x2P 0.40 (x1P + x2P)

xij 0 for all i and j (Nonnegativity)


(Availability)المتاح حجم

(Regular specification)91مواصفات

(Premium specification)95مواصفات

56

TJ’s, Inc., makes 2 nut mixes for sale to grocery chains in the

states. The 2 mixes, referred to as the Regular Mix and the Deluxe

Mix, are made by mixing different percentages of 3 types of nuts.

In preparation for the fall season, TJ’s has just purchased 6000

pounds of almonds, 6000 pounds of pecans, and 7500 pounds of

walnuts. The Regular Mix consists of 30% almonds, 20% pecans,

and 50% walnuts. The Deluxe Mix consists of 35% of almonds,

30% pecans, and 35% walnuts. TJ’s accountant has analyzed the

cost of packaging materials, sales price per pound, and other

factors and has determined that the profit contribution per pound

is $1.65 for the Regular Mix and $2.00 for the Deluxe Mix. TJ’s is

committed to using the available nuts to maximize total profit

contribution over the fall season.

Product Mix Problem

57

Let R = amount of regular mix (pounds)D = amount of deluxe mix (pounds)

Max z = 1.65R + 2.00D (Total profit)

s.t. 0.3R + 0.35D 6000 (Availability with

0.2R + 0.3D 6000 ingredient

0.5R + 0.35D 7500 specifications)

R, D 0 (Nonnegativity)

Product Mix Problem

58

The personnel manager must schedule a security force in order to

satisfy staffing requirements shown below. Each worker has an

eight hour shift and there are six such shifts each day. The starting

and ending time for each of the 6 shifts is also given below. The

personnel manager wants to determine how many people need to

work each shift in order to minimize the total number of officers

employed while satisfying the staffing requirements.

Scheduling Problem

Time # Officers Required Shift Shift Time12am-4am 5 1 12am-8am

7157

129

4am-8am8am-noonnoon-4pm4pm-8pm8pm-12am

4am-noon8am-4pmnoon-8pm4pm-12am8pm-4am

23456

59

Let xi = number of officers who work on shift i, i = 1, ..., 6

Min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 (Total number of officers employed)

s.t. x6 + x1 5 (12am-4am)

x1 + x2 7 (4am-8am)

x2 + x3 15 (8am-noon)

x3 + x4 7 (noon-4pm)

x4 + x5 12 (4pm-8pm)

x5 + x6 9 (8pm-12am)

xi 0, i = 1, ..., 6 (Nonnegativity)

Scheduling Problem

60

تسويقي اعالن وسيلة اختيار

Medium AudienceReachedPer Ad

CostPer

Ad($)

MaximumAds Per

WeekTV spot (1 minute) 5,000 800 12

Daily newspaper(full-page ad)

8,500 925 5

Radio spot (30seconds, prime time)

2,400 290 25

Radio spot (1 minute,afternoon)

2,800 380 20

61

Win Big Gambling Club

:toSubject )spots/weekTV (max 12X1

expense) radio(max 1800380X290X 43

)spots/week radio (min XXbudget)ad

weekly (XXX X

)spots/week radio min.-1(max X

)spots/week radio sec.-30max (X

ads/week) newspaper max (X

:Maximize XXXX

62

Win Big Gambling Club

:toSubject X1 12

1800380X290X 43

XX

XXX X

X

X

X

:Maximize XXXX

Line things up!

63

Manufacturing Applications

Production Mix - Fifth AvenueVarietyof Tie

SellingPrice per

Tie ($)

MonthlyContract

Minimum

MonthlyDemand

MaterialRequired

per Tie(Yds)

MaterialRequire

ments

All silk 6.70 6000 7000 0.125 100%silk

Allpolyester

3.55 10000 14000 0.08 100%polyester

Poly-cottonblend 1

4.31 13000 16000 0.10 50%poly/50%cotton

Poly-cotton -blend 2

4.81 6000 8500 0.10 30%poly/70%cotton

64

Fifth Avenue4.00X3.56X3.07X4.08X :Maximize 4321

1) blend max, (contract X3

2) blend max,(contract X2) blend min, (contract X

1) blend min, (contract X

polyester) all max, (contract X

polyester) all min, (contract X

silk) max, (contract Xsilk) min, (contract X

:toSubject

cotton) (yards X.X.

polyester) (yards X.X.X.

silk) of (yards X.

65


Truck Loading - Goodman Shipping

Item Value ($) Weight(lbs)

1 22,500 7,5002 24,000 7,5003 8,000 3,0004 9,500 3,5005 11,500 4,0006 9,750 3,500

3,500

66

Goodman Shipping

X

X

X

X

X

X

X

XXXXX

XX

XXXX

(Capacity)

:toSubject

:value load Maximize

67


Blending Problem - Low Knock Oil Company

CrudeOil

Type

A(%) B(%) Cost/Barrel($)

X100 35 55 30.00

X220 60 25 34.80

68

Low Knock Oil Company

X.X.

X.X.

XX

XX

X.X.XX

:toSubject

:Minimize

69

ThanksThanks

70

The Principle of The Principle of ChoiceChoice

• What criteria to use?• Best solution? • Good enough solution?

• Selection of a Principle of Choice

A decision regarding the acceptability of a solution approach

• Normative• Descriptive• Political

Summary of the LP Model for Blue Ridge Hot Tubs

MAX 350X1 + 300X2

S.T.

1X1 + 1X2 <= 200

9X1 + 6X2 <= 1566

12X1 + 16X2 <= 2880

X1 >= 0

X2 >= 0

Solving LP Problems: An Intuitive Approach

• Idea: Each Aqua-Spa (X1) generates the highest unit profit

($350), so let’s make as many of them as possible!

• How many would that be?

– Let X2 = 0

• 1st constraint: 1X1 <= 200

• 2nd constraint: 9X1 <=1566 or X1 <=174

• 3rd constraint: 12X1 <= 2880 or X1 <= 240

• If X2=0, the maximum value of X1 is 174 and the total profit is

$350*174 + $300*0 = $60,900

• This solution is feasible, but is it optimal? No!

73

Farmer Spanky Pigs

• Type of Objective FunctionType of Objective FunctionMinimize CostMinimize Cost

• Variable DefinitionVariable Definition

AlfaAlfa = Pounds of Alfalfa used in mix

BukwBukw = Pounds of Alfalfa used in mix

74

Farmer Spanky Pigs

Min Z = $ 7 Alfa + $ 9 Bukw

STST3 Alfa + 5 Bukw 3 Alfa + 5 Bukw 50 50 )Vitamin A()Vitamin A(

8 Alfa + 8 Bukw 8 Alfa + 8 Bukw 32 32 )Vitamin B()Vitamin B(

7 Alfa + 2 Bukw 7 Alfa + 2 Bukw 14 14 )Vitamin()Vitamin(

Alfa , Bukw 0 0 ))Nonnegativity(

75

Prelude to Linear Programming

8 smallblocks

6 largeblocks

Chair:Profit =$5 each

Table:Profit = $8 each

76

Linear Programming (LP)

General Description

• Problem: to determine decision variables

• Objective: to maximize or minimize an objective function

• Restrictions: represented by constraints

• Solution methods: graphical, simplex, computer

Documents

1 OR Introduction & Problem Modeling (Problem Formulation) مقدمة في بحوث العمليات بناء النماذج الرياضية Dr. Mahmoud Mostafa El_Sherbiny