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1. OSCILACIONES
1.1 Movimiento armónico simple (M.A.S.): el muelle elástico
1.2 Otros sistemas con M.A.S.1.3 Oscilaciones amortiguadas.1.4 Oscilaciones forzadas. Resonancia.
Tacoma: http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnwhttp://archive.org/details/SF121 (original)
NH
H
H
Molécula amoniaco
Metrónomos: http://www.youtube.com/watch?v=JWToUATLGzs
Copa:
1.1 Movimiento armónico simple: el muelle elástico
LA IDEA: FUERZA proporcional y opuesta a la POSICIÓN
Posición
Velocidad
Fuerza, aceleración
TIEMPOPOSICIÓN
Posición de equilibrio
Sin rozamiento
Muelle elásticoPosición
Velocidad
Fuerza, aceleración
kxF −=
2
2
dtxdmmaF == 2
2
dtxdx
mk
=− )cos( δω +=⇒ tAx
A
T
En el ejemplo de la figura: δ=0 para que para t=0, x sea A
¡ T y ω no dependen de la amplitud !
AAmplitud:
δDesfase:
km
fT π21
==Periodo:
fmk πω 2=≡
Frecuencia:
tiempo
tiempo
tiempo
Ace
lera
ción
v
eloc
idad
posi
ción
)cos( δω += tAx
)sin( δωω +−== tAdtdxv
xtAdt
xda 222
2
)cos( ωδωω −=+−==
xxmmaF −−==→ ~2ω
En el ejemplo de la figura: δ=π/2 para que para t=0, x sea 0
Interés para …
PuentesInstrumentos musicalesEdificiosRelojes de pénduloRelojes atómicosTela de arañaAmortiguadoresDeformacionesCables colgantesAlas aviones
xF −~ )cos( δω +=⇒ tAx
??
xF
1.2 Otros sistemas con M.A.S.
2
2
dtsdmmaFII ==
s
2
2
dtdLmmgsen θθ =−
θLs =
2
2
dtdLg θθ =−
0θ Amplitud (ángulo) máximo
δ Desfase
Lgf == πω 2 Frecuencias
gL
fT π21
=≡ Periodo
0==−⊥ maTensiónF
)cos(0 δωθθ += t
Solución
El péndulo
!!pequeño! si θθθ ≈sin
2
2
dtxdmkx =−
)cos(
δω +=
tAx
θθ
−−=
~II
II
FmgF
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
2
2
21 dtadCaC =−
)cos( δω += tAa
2
12CCf == πω
1
22CCT π=
a~ −F
algo: x, θ, …
péndulo θθ −−= ~mgF 2
2
dtdLmmgsen θθ =−
ejemplos: muelle elástico donde xkxF −−= ~ 2
2
dtxdmmaF ==
M.A.S. y movimiento circular
)cos( δω += tAx
A
T
tω
0 ,0 == δt
xt
http://ww2.unime.it/dipart/i_fismed/wbt/ita/fkw/shm/shm_ita.htm
Péndulo: Visualización de T, peso y velocidad ¿Qué hay mal en esta animación? http://www.fisica-quimica-secundaria-bachillerato.es/animaciones-flash-interactivas/mecanica_fuerzas_gravitacion_energia/oscilaciones_pendulo_simple_fuerzas_velocidad.htm
Varios: Visualización simultánea de posición, velocidad y aceleraciónhttp://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/halliday/0471320005/simulations6e/index.htm?newwindow=true
Muelles y péndulos: dobles, caóticos, … http://www.myphysicslab.com/index.html
Péndulo simple, visión separada de elongación, velocidad y fuerza:http://www.physicslessons.com/phe/phe.htm
Muelle: Visualización de la x, v ahttp://physics.bu.edu/~duffy/semester1/c18_SHM_graphs.html
Muelle, visualización x y fuerzahttp://www.fisica-quimica-secundaria-bachillerato.es/animaciones-flash-interactivas/mecanica_fuerzas_gravitacion_energia/oscilaciones_pendulo_horizontal_masa_muelle_teoria.htm
Lissajoushttp://ngsir.netfirms.com/englishhtm/Lissajous.htm
Energía cinética y potencial, conservación de la energía. El muelle como ejemplo:
)cos( δω += tAx
mkf == πω 2
kmT π2=
2
2
dtxdmmakxF ==−=
)sin()cos( δωωδω +−=+== tAtAdtd
dtdxv
)(sin21
21 2222 δωω +== tAmmvEc
)(cos21
21 222 δω +== tkAkxEp
))(cos)(sin(21 2222 δωδωω +++=+= tktmAEEE pcT
kAmA 222
21
21
== ω conservación de la energía
Conservación de la energía del péndulo: (demasiado simples)http://www.educaplus.org/play-128-conservaci%C3%B3n-de-la-energ%C3%ADa-en-el-p%C3%A9ndulo.htmlhttp://physics.bu.edu/~duffy/semester1/c18_pendulum.html
Conservación de la energía de un muelle verticalhttp://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/halliday/0471320005/simulations6e/index.htm?newwindow=true
Conservación energía de un muelle (demasiado simple)http://physics.bu.edu/~duffy/semester1/c18_pendulum.html
¿Y si el ángulo es grande? (ver práctica del péndulo)
2
2
dtdLmmgsen θθ =−
2
2
dtdLmmg θθ =−
...)2
sin649
2sin
411( 42 +++
×=θθ
armanarm TT
gLTarm π2=
¿Y si la “k” del muelle no es constante? (ver práctica del muelle)
2
2
dtxdmkxF =−=
kmT π2=
kxdx
dEF
kxE
p
p
−==
⇒= 2
21
Ep
x
2
2
dtxdm
dtdxbkx =−−
)cos(]exp[0 δωγ +−= ttxx
Solución
Caso del “muelle”: bvkxF −−=
Constante de amortiguamiento
220
2 γωω −=
mk
=0ω frecuencia natural
Amplitud disminuye !!!
PARA QUE SEA CORRECTA LA SOLUCIÓN DADA SE DEBE CUMPLIR QUE ω0 > γ
1.3 Oscilaciones amortiguadas
coeficiente de amortiguamiento
mb
2=γ
Decremento logarítmico: Tγλ = Da idea del decaimiento de la oscilación en una oscilación .
)2:autores otros( Tγ
SUBamortiguamiento γ < ω0
Amortiguam. Crítico γ = ω0
SOBREamortiguam. γ > ω0
mk
=0ωmb
2=γ22
02 γωω −= )cos(]exp[0 δωγ +−= ttxx
)](exp[0 bTAtxx +−= γ])'(exp[])'(exp[ tBtAx ωγωγ +−+−−=20
22' ωγω −=
Muelle: Oscilaciones, amortiguadas y forzadashttp://www.surendranath.org/Applets/Oscillations/FDHM/FDHM.html
1.4 y 1.5 Oscilaciones forzadas. Resonancia Caso del muelle:
)cos(0 tFbvkxF ω+−−=2
2
0 )cos(dt
xdmtFdtdxbkx =+−− ω
)cos( δω +≈ tAx
Solución estacionaria (pasado un cierto tiempo)
222220
20 )( ωωω bmFA +−=
mk
=0ω )(tan 22
0 ωωωδ−
=m
b
ESTACIONARIO
transitorio
12.4 y 5 Oscilaciones forzadas. Resonancia Caso del muelle:
)cos( δω +≈ tAx
Solución estacionaria (pasado un cierto tiempo)
222220
20 )( ωωω bmFA +−=
mk
=0ω )(tan 22
0 ωωωδ−
=m
b
A
Frecuencia de la fuerza ω
Ampl
itud
02
=mb
Oscilaciones forzadashttp://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm
(*) Muelle: Oscilaciones, amortiguadas y forzadashttp://www.surendranath.org/Applets/Oscillations/FDHM/FDHM.html
Copa de vinohttp://www.physics.org/explorelink.asp?id=5212&q=swing¤tpage=1&age=0&knowledge=0&item=7
(*) resGlassDriverShatter2512K_.avi
shock waves in lithotripsy http://www.youtube.com/watch?v=ODL3eEZCY8Mhttp://www.youtube.com/watch?v=jfyvCvulrfg
Muelle, visualización x y fuerzahttp://www.fisica-quimica-secundaria-bachillerato.es/animaciones-flash-interactivas/mecanica_fuerzas_gravitacion_energia/oscilaciones_pendulo_horizontal_masa_muelle_teoria.htm
Muelle: Visualización de la x, v ahttp://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/halliday/0471320005/simulations6e/index.htm?newwindow=true
Relación muelle movimiento circularhttp://physics.bu.edu/~duffy/semester1/c18_SHM_circular.html
Muelle: Oscilaciones, amortiguadas y forzadashttp://www.surendranath.org/Applets/Oscillations/FDHM/FDHM.html
2
2
21 dtxdCxC =−
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
xF −~)cos( δω += tAx
2
1
CC
=ω1
22CCT π=
)(sin21
21 2222 δωω +== tAmmvEc
)(cos21
21 222 δω +== tmAkxEp
Oscilaciones amortiguadas
)cos(]exp[0 δωγ +−= ttxx 220
2 γωω −=2
10 C
C=ω
Oscilaciones forzadas
)__()cos(tiempociertount
tAx>
+≈ δω 222220
20 )( ωωω bmFA +−=
)(tan 22
0 ωωωδ−
=m
b
Tf 122 ππω ==
RESUMEN
mb
2=γ
)cos(0 tFbvkxF ω+−−=
bvkxF −−=