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ProbabilidadeProbabilidade
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Probabilidade é um afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1
Definição de ProbabilidadeDefinição de Probabilidade
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ProbabilidadeProbabilidade
A probabilidade é usada sempre que o indivíduo toma decisões em situações de incerteza.
A utilização da probabilidade indica a incerteza, quanto a ocorrência ou não de um dado resultado.
Exemplo:•Tempo de vida de uma lâmpada,•A altura da próxima pessoa que entrou na sala de aula;•Preço das ações da petrobrás;•Número da face exposta para cima no lançamento de um dado;•etc
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ProbabilidadeProbabilidade Surgiu com o objetivo de determinar melhores estratégias em em jogos de azar;
Exemplo1: Considere o lançamento de um dado honesto. Ganha quem acertar o valor da face exposta.
Qual seria a sua Aposta?
Exemplo2: Considere agora o lançamento de dois dados honestos. Ganha quem acertar o valor da soma das duas faces expostas.
Qual seria a sua Aposta?
Nos dois casos, no que se baseou a sua escolha?
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ProbabilidadeProbabilidadePara apostar “ fazer uma escolha” é preciso identificar todos os resultados possíveis.
Exemplo 1:
Face de um dado:
S1={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplo 2:
Soma das faces de dois dados :
S2={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}
O conjunto de todos os resultados possíveis é denominado
Espaço Amostral (S)
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Um subconjunto do espaço amostral S é denominado evento.
Exemplo 1:
A = a face do dado voltada pra cima é igual a 5;
A={5} evento simples;
B = a face do dado voltada pra cima é menor que 5;
B = {1, 2, 3, 4};
ProbabilidadeProbabilidade
Evento Simples: Evento que consiste de um único resultado.
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EXERCÍCIO:
Considere o seguinte experimento aleatório:
Dois dados são lançados e verifica-se a soma das faces voltadas para cima.
Descreva os conjuntos associados aos seguintes eventos e determine quais deles são eventos simples.
A = a soma das faces é maior que 9;
B= a soma das faces é igual a 7;
C = a soma das faces é maior que 12;
ProbabilidadeProbabilidade
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Se todos os elementos de S tem a mesma chance de ocorrer S é um conjunto equiprovável!!!Nesse caso:
Modelo de ProbabilidadeModelo de Probabilidade
número de resultados em E
número total de resultados no espaço amostralP(E)=
Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos.
1. Evento A: obter um 3. 2. Evento B: obter um 7. 3. Evento C: obter um número menor do que 5.
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OPERAÇÃO COM EVENTOS
Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral
•AB: União dos eventos A e B.
Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B
•AB: Intersecção dos eventos A e B.
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
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EXERCÍCIO:
Considere o seguinte experimento aleatório:
Dois dados são lançados e verifica-se a soma das faces voltadas para cima.
Calcule a probabilidade dos eventos abaixo:
A = a soma das faces é maior que 9;
B= a soma das faces é igual a 5;
C = a soma das faces é maior que 12;
ProbabilidadeProbabilidade
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1) Determine o espaço 1) Determine o espaço amostralamostral
Dois dados são jogados.Descreva o espaço amostral.
Todos os resultados sao Equiprovaveis?
Início
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
S2={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}
12
1,11,21,31,41,51,6
2,12,22,32,42,52,6
3,13,23,33,43,53,6
4,14,24,34,44,54,6
5,15,25,35,45,55,6
6,16,26,36,46,56,6
Detemine a probabilidade de que a soma seja 4.
Determine a probabilidade de que a soma seja 11.
Dois dados são jogados e sua soma é anotada.
Espaço amostral e probabilidadesEspaço amostral e probabilidades
3/36 = 1/12 = 0,083
2/36 = 1/18 = 0,056
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Eventos complementaresEventos complementares
O complemento do evento E é o evento E´. E´ consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento E.
P(E´ ) = 1 – P(E)
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Operações com Operações com eventoseventos
A
A
)(1)( APAP
não A
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Teorema da adição
Se A e B são eventos num espaço amostral finito S, a probabilidade de reunião dos subconjuntos A e B é igual a adição das probabilidades de A e B, menos a probabilidade da intersecção do subconjunto A e B.
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
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Operações com Operações com eventoseventos
A
BA B
)()()()( BAPBPAPBAP
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Se A e B forem dois eventos tais que a realização de A exclui a realização de B. Estes eventos são denominados Mutuamente exclusivos (ou disjuntos).Nesse caso, a probabilidade da reunião dos subconjuntos A e B é simplesmente igual a adição de suas probabilidades individuais.
P(A B) = P(A) + P(B)
OBSERVAÇÃO
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P(A C)
P(A C) P(A)
P(B)
P(C)
P(A B)
P(A B)
P(AC)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}. Calcule as Probabilidades abaixo:
Exemplo: Lançamento de um dado
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Eventos independentes são aqueles que não exercem ação entre os mesmos, isto é, cada evento comportando-se da maneira que lhe é própria.
A condição necessária e suficiente para que dois eventos sejam independentes é que a probabilidade do produto seja igual ao produto das probabilidades.
P(A B) = P(A) P(B)
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P(A C)
P(A C) P(A)
P(B)
P(C)
P(A B)
P(A B)
P(AC)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}. Calcule as Probabilidades abaixo:
Exemplo: Lançamento de um dado
Os eventos A e B são independentes? A e C? e B e C?
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Construção de Construção de distribuições de distribuições de probabilidadesprobabilidades
Sortear 2 bolascom reposição
X = número de bolas pretas na amostra
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3/5
2/5
3/5
2/5
3/52/5
Sortear 2 bolascom reposição
(10) (20)Calcule a Probabilidade de:
a) 2 bolas pretas;
b) 2 bolas brancas;
c) 1 bola de cada cor;
d) 2 bolas pretas ou 2 brancas;
e) Os eventos a, b, c são independentes?
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3/5
2/5
2/4
2/4
3/41/4
Sortear 2 bolassem reposição
X = número de bolas pretas na amostra
(10) (20)Calcule a Probabilidade de:
a) 2 bolas pretas;
b) 2 bolas brancas;
c) 1 bola de cada cor;
d) 2 bolas pretas ou 2 brancas;
e) Os eventos a, b, c são independentes?
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Probabilidade condicional
Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer, depois de A ter acontecido, é definida por P(B/A) e é denominada probabilidade condicional de B, depois de A ter ocorrido.
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Probabilidade Condicional e Independência
Definição:[Probabilidade condicional] Sejam A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B, é representado por P(A|B) é dado por:
.0)(,)(
)()|(
BP
BP
BAPBAP
Exemplo 2.:Considere o exemplo anterior com e sem reposição;
(a) Qual a probabilidade da segunda bola ser branca dado que a primeira foi preta?
(b) O que acontece quando A e B São independentes?
(1)
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Probabilidade condicionalProbabilidade condicional
5
3
8/5
8/3
)(
)()|(
CalabresaP
CalabresaChampignonPCalabresaChampignonP
Qual é a probabilidadede selecionar um pedaçocom champignon supondoque houvesse calabresa nele?Qual é a probabilidadede selecionar um pedaçocom calabresa supondoque houvesse champignon nele?
4
3
8/4
8/3
)(
)()|(
ChampignonP
CalabresaChampignonPChampignonCalabresaP
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Probabilidade CondicionalProbabilidade CondicionalQual é a probabilidadede selecionar um pedaçocom champignon supondoque houvesse calabresa nele?
4
2
8/4
8/2
)(
)()|(
CalabresaP
CalabresaChampignonPCalabresaChampignonP
Qual é a probabilidadede selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele?
4
2
8/4
8/2
)(
)()|(
ChampignonP
CalabresaChampignonPChampignonCalabresaP
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Probabilidades de eventosProbabilidades de eventos
)(1)( APAP 1) Evento complementar:
)()()()( BAPBPAPBAP 2) Propriedade da soma:
)()()( BPAPBAP 3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos:
)/()()( ABPAPBAP ×4) Propriedade do produto:
)()()( BPAPBAP ×5) Propriedade do produto para eventos independentes
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Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico.
Variáveis aleatóriasVariáveis aleatórias
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Variável aleatóriaVariável aleatória
“Uma variável aleatória é uma função que associa números aos eventos do espaço amostral.
X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;
= {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)}
X:
0 1 2x
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Exemplos de variáveis Exemplos de variáveis aleatóriasaleatórias
Vida útil (em horas) de um televisor;
Número de peças com defeito em um lote produzido;
Número de veiculos que passam num pedágio num determinado dia;
Numero de Caras no lançamento de 3 moedas
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Tipos de variáveis Tipos de variáveis aleatóriasaleatórias
1. Uma variável aleatória é DISCRETA se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado.
Ex: número de mulheres em uma sala de aula;
2. Uma variável aleatória é CONTÍNUA se o número de resultados possíveis não pode ser listado.
Ex: Tempo que uma lâmpada demora para queimar;
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Variáveis aleatóriasVariáveis aleatóriasvariável aleatória
discreta
os possíveis resultados estão contidos em um
conjunto finito ou enumerável
contínua
os possíveis resultados abrangem todo um intervalo
de números reais
0 1 2 3 4 ... 0número de defeitos em ... tempo de resposta de ...
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Distribuição Binomial: modelo probabilístico para variáveis aleatórias discretas
Modelos de Distribuição de Modelos de Distribuição de ProbabilidadeProbabilidade
Distribuição Normal: modelo probabilístico para variáveis aleatórias contínuas