Exerccios de Probabilidade

lcio Lebensztayn

Sumrio

Prefcio iii

Captulo 1: Anlise Combinatria 1

Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Captulo 2: Probabilidade 19

1. Definies e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Probabilidade condicional e independncia . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Conjuntos limites e continuidade da probabilidade. . . . . . . . . . . . 24

Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Captulo 3: Variveis aleatrias 45

1. Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2. Variveis aleatrias conjuntamente distribudas . . . . . . . . . . . . . 47

3. Independncia de variveis aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Modelos de distribuies discretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Modelos de distribuies contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6. Aproximao de Poisson Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7. Aproximao Normal Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8. Funes de variveis aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9. Estatsticas de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10. Modelos multidimensionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

11. Distribuies relacionadas com a normal . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

ii Sumrio

Captulo 4: Esperana 97

1. Definies e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2. Distribuio e esperana condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3. Funes geradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Captulo 5: Modos de Convergncia e Teoremas Limites 139

1. Lema de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2. Modos de Convergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3. Teoremas Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4. Outros Teoremas Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5. Convergncia de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Apndice 165

Distribuio Normal Padro 169

Referncias Bibliogrficas 171

Prefcio

Este livro destina-se a estudantes de cursos de probabilidade em nvel de Gradua-

o e Mestrado. Os temas abordados so: Anlise Combinatria, Probabilidade, Variveis

Aleatrias, Esperana e Teoremas Limites. No comeo de cada captulo, visando recor-

dao da matria, renem-se em forma de tpicos as principais definies e resultados.

Para mais detalhes e demonstraes, sugiro ao leitor que consulte as referncias biblio-

grficas. Ao final de cada captulo, enunciam-se os exerccios correspondentes teoria

exposta, alguns dos quais tm a soluo apresentada.

Cumpre salientar que, por fins didticos, decidi definir os principais modos de con-

vergncia para tratar dos teoremas limites. As sees e os tpicos marcados com asterisco

correspondem a assuntos mais avanados, que podem ser omitidos em uma primeira lei-

tura. Os exerccios que envolvem esses assuntos tambm esto assinalados. Aceitarei,

com prazer, as crticas e sugestes que me permitam aperfeioar o livro.

Agradecimentos:

Aos meus familiares e amigos.

A Cristian Favio Coletti, pela colaborao no estgio inicial do livro.

A Fbio Prates Machado, pelo apoio e incentivo ao desenvolvimento do livro.

Aos autores e docentes cujos livros, listas de exerccios e provas me serviram de

fonte.

Aos professores com os quais convivi nos anos de formao acadmica.

Comisso de Ps-Graduao em Estatstica do IMEUSP e CAPESPROEX,

que editaram a primeira verso desse livro.

FAPESP, CAPES e ao CNPq, pelos apoios recebidos nesses anos.

A Deus e a todos que me ajudaram a chegar at aqui.

lcio Lebensztayn.

Fevereiro de 2012.

Captulo 1

Anlise Combinatria

1.1. Princpio multiplicativo: Uma tarefa deve ser executada em uma sequncia de

r etapas. Existem n1 maneiras de realizar a primeira etapa; para cada uma dessas n1maneiras, existem n2 maneiras de realizar a segunda etapa; para cada uma dessas n2maneiras, existem n3 maneiras de realizar a terceira etapa, e assim por diante. Ento, o

nmero total de maneiras de efetuar a tarefa completa dado por n1 n2 . . . nr.

Observao. Ao usar o princpio multiplicativo, fundamental que o nmero de manei-

ras de realizar uma determinada etapa no seja influenciado por nenhuma das etapas

predecessoras.

1.2. Princpio aditivo para partes disjuntas: Se A1, . . . An so conjuntos dois a dois

disjuntos, ento ni=1

Ai

= ni=1|Ai|.

Princpio da Incluso-Excluso: Em geral, devemos usar ni=1

Ai

= i

|Ai| i

2 Anlise Combinatria

Observao. Uma frmula muito importante quando se trata de fatoriais foi obtida por

Stirling (1730):

n! nnen2pin,

onde o smbolo indica que a razo entre os dois lados tende a 1 quando n.

1.6. Permutaes circulares: O nmero de maneiras de dispor n objetos distintos em

torno de um crculo (n 1)!.Nessa contagem, interessa apenas a posio relativa dos objetos entre si, ou seja, duas

disposies so consideradas indistinguveis se uma pode ser obtida a partir da outra por

uma rotao conveniente dos objetos.

1.7. O nmero de palavras de comprimento k que podem ser compostas com n elementos

dados nk.

1.8. Arranjos: O nmero de k-subconjuntos ordenados de um n-conjunto

(n)k = n(n 1) . . . (n k + 1).

1.9. Combinaes: O nmero de k-subconjuntos de um n-conjunto (n

k

)= n!k! (n k)! ,

que chamado um coeficiente binomial. Estes nmeros podem ser arrumados em uma

disposio triangular, o famoso Tringulo de Pascal.

1.10. Teorema Binomial: Para quaisquer n 0 inteiro e x, y R,

(x+ y)n =nk=0

(n

k

)xk ynk.

1.11. O nmero de divises possveis de n objetos distintos em r grupos distintos de

tamanhos respectivos n1, n2, . . . , nr (n1 + n2 + + nr = n) (n

n1, n2, . . . , nr

)= n!n1!n2! . . . nr!

.

Esta frmula tambm fornece o nmero de anagramas de uma palavra com n letras que

contm n1 vezes a letra `1, n2 vezes a letra `2, . . . , nr vezes a letra `r (n1+n2+ +nr = n).

Exerccios 3

1.12. Para qualquer inteiro p > 0 fixado, o nmero de vetores distintos (x1, . . . , xn) no-

negativos e a valores inteiros que satisfazem a equao x1 + + xn = p (p+n1n1

).

Esse o chamado nmero de combinaes completas (ou com repetio), pois o nmero

de modos de escolher p objetos entre n objetos distintos dados, podendo repetir a escolha

(xi o nmero de vezes que tomamos o objeto i).

Em outras palavras, o nmero de maneiras de distribuir p moedas idnticas a n crianas

(p+n1n1

).

1.13. Para qualquer inteiro p > 0 fixado, o nmero de vetores distintos (x1, . . . , xn) a

valores inteiros que satisfazem x1 + + xn = p e xi 1 para todo i = 1, . . . , n (p1n1

).

Isto significa que o nmero de maneiras de distribuir p moedas idnticas a n crianas de

forma que cada criana receba pelo menos uma moeda (p1n1

).

1.14. A tabela a seguir resume o nmero de maneiras de tomarmos uma amostra de

tamanho k de uma populao com n elementos distintos, dependendo se o mesmo objeto

pode ser escolhido mais de uma vez (amostragem com ou sem reposio) e se vamos distin-

guir entre duas escolhas com os mesmos objetos escolhidos em ordem diferente (amostra

ordenada ou no).

Ordenada No-ordenadaCom reposio nk

(k+n1n1

)Sem reposio (n)k

(nk

)

Exerccios1. Quantas permutaes diferentes existem das letras A, B, C, D, E, F

(a) que tm as letras A, B juntas em qualquer ordem?(b) que tm a letra A em primeiro lugar ou a letra F em ltimo?(c) em que a letra A vem antes da letra B?(d) em que a letra E no a ltima?

Soluo. (a) Imaginamos as letras A e B coladas como uma letra s, na ordem AB, oque fornece 5! permutaes. Como tambm existem 5! permutaes nas quais a letraB est imediatamente antes da letra A, obtemos um total de 2 . 5! = 240 permutaesdiferentes.

4 Anlise Combinatria

(b) Sejam A o conjunto das permutaes que comeam por A e F o conjunto das permuta-es que terminam em F . Pelo Princpio da Incluso-Excluso, o nmero de permutaesque comeam por A ou terminam em F

|A F| = |A|+ |F| |A F| = 5! + 5! 4! = 216.

(c) Existe um total de 6! = 720 permutaes possveis, e existem tantas com A antes deB quantas com B antes de A, logo a resposta 360.(d) Existem 5! permutaes em que a letra E a ltima, portanto 6! 5! = 600 permu-taes em que E no a ltima letra.

2. Numa prova, um estudante deve responder exatamente 7 questes de um total de10 questes. Quantas escolhas ele tem? Quantas escolhas ele tem se entre as 7 questesdeve responder pelo menos 3 das primeiras 5 questes?

Soluo. O estudante deve escolher um subconjunto de tamanho 7 de um conjunto com10 elementos, logo tem

(107

)= 120 escolhas.

No caso em que entre as 7 questes deve responder pelo menos 3 das primeiras 5 questes,o estudante possui trs opes (disjuntas):

Escolher exatamente 3 das primeiras 5 questes e 4 das 5 ltimas;

Escolher exatamente 4 das primeiras 5 questes e 3 das 5 ltimas;

Escolher as 5 primeiras questes e 2 das 5 ltimas.

Assim, o total de escolhas que tem (53

)(54

)+(

54

)(53

)+(

55

)(52

)= 110.

Outra resposta para a segunda pergunta: 120(

52

)(55

)= 110.

3. Um pai compra 7 presentes diferentes (entre os quais, um videogame e um relgio)para dar a seus trs filhos.

(a) De quantas maneiras ele pode dividir os 7 presentes entre os filhos, se decide dar2 presentes ao filho mais velho, 2 presentes ao filho do meio e 3 presentes ao maisnovo?

(b) De quantas maneiras ele pode dividir os 7 presentes, se, alm da diviso 2 aomais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, ele resolve dar pelo menos um entre ovideogame e o relgio ao filho mais velho?

(c) De quantas maneiras ele pode dividir os 7 presentes, se, alm da diviso 2 aomais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, ele decide dar exatamente um entre ovideogame e o relgio ao filho mais velho?

Exerccios 5

Soluo. (a) O nmero de divises possveis de n objetos distintos em r grupos distintosde tamanhos respectivos n1, n2, . . . , nr (n1 + n2 + + nr = n) (

n

n1, n2, . . . , nr

)= n!n1!n2! . . . nr!

.

Assim, a resposta (7

2, 2, 3

)= 7!2! 2! 3! = 210.

Outras respostas: O pai dispe os presentes numa fila, os dois primeiros destinados aofilho mais velho, os dois seguintes ao filho do meio e os trs ltimos ao mais novo. Existem7! maneiras de ordenar os presentes, porm fixada uma ordenao entre os presentes, aordem dos presentes de cada um dos filhos pode ser alterada, sem mudar a distribuio.

Dessa forma, o pai tem 7!2! 2! 3! = 210 maneiras de distribuir os presentes.

O pai escolhe 2 dos 7 presentes para o filho mais velho, o que pode fazer de(

72

)= 21

modos; em seguida, deve escolher 2 dos 5 presentes restantes para o filho do meio ((

52

)= 10

modos); os 3 presentes que sobram so do mais novo. A resposta 21 . 10 = 210.

(b) Sejamnv = Nmero de maneiras de dividir os presentes, sendo 2 ao filho mais velho, 2 ao domeio e 3 ao mais novo, com o mais velho ganhando o videogame;nr = Nmero de maneiras de dividir os presentes, sendo 2 ao filho mais velho, 2 ao domeio e 3 ao mais novo, com o mais velho ganhando o relgio;nvr = Nmero de maneiras de dividir os presentes, sendo o videogame e o relgio ao filhomais velho, 2 outros presentes ao do meio e 3 ao mais novo.Pelo Princpio da Incluso-Excluso, a resposta dada por:

nv + nr nvr = 2 . 6!1! 2! 3! 5!

2! 3! = 110.

Outra resposta: 210(

52

)(52

)= 110.

(c) SejamN1 = Nmero de maneiras de dividir os presentes, sendo 2 ao filho mais velho, 2 ao domeio e 3 ao mais novo, com o mais velho ganhando o videogame porm no o relgio;N2 = Nmero de maneiras de dividir os presentes, sendo 2 ao filho mais velho, 2 ao domeio e 3 ao mais novo, com o mais velho ganhando o relgio porm no o videogame.Uma forma de obter N1 observar que o pai tem

(51

)= 5 escolhas para o outro presente

para o filho mais velho e(

52

)= 10 maneiras de dividir os 5 presentes restantes entre os

filhos menores, logo N1 = 5 . 10 = 50. (Outro modo seria notar que N1 = nv nvr).Analogamente, temos que N2 = 50. Visto que N1 e N2 se referem a opes disjuntas, onmero de maneiras

N1 +N2 = 100.

6 Anlise Combinatria

Outra resposta: 110 nvr = 100.4. Quantos so os anagramas da palavra COMBINATORIA? (Considere O sem acento).Quantos deles comeam por vogal ou terminam em consoante?

Soluo. O nmero de permutaes de n objetos, dos quais n1 so do tipo 1, n2 so dotipo 2, . . . , nk so do tipo k (n1 + n2 + + nk = n)

n!n1!n2! . . . nk!

.

A palavra COMBINATORIA tem 2A, 2I, 2O, 1B, 1C, 1M, 1N, 1R, 1T, logo o nmerototal de anagramas (ordenaes diferentes das letras)

12!2! 2! 2! = 59875200.

Outra resposta: Escolhemos 2 de 12 lugares para colocar as 2 letras A, o que pode serfeito de

(122

)= 66 modos; em seguida, devemos escolher 2 dos 10 lugares restantes para

colocar as 2 letras I ((

102

)= 45 modos); a seguir, escolhemos 2 dos 8 lugares que restam

para as 2 letras O ((

82

)= 28 modos) e finalmente temos 6 lugares para 6 letras distintas

(6! = 720 modos). A resposta 66 . 45 . 28 . 720 = 59875200.

Sejam V o conjunto dos anagramas que comeam por vogal e C o conjunto dos anagramasque terminam em consoante. A fim de obter |V|, notamos que temos 3 escolhas paraa vogal inicial e, feita essa escolha, 11!2! 2! formas de permutar as letras restantes. Para

calcular |C|, existem 6 escolhas para a consoante final e, tomada essa deciso, 11!2! 2! 2!modos de permutar as letras restantes. Analogamente, |V C| = 3 . 6 . 10!2! 2! .Pelo Princpio da Incluso-Excluso, conclumos que o nmero de anagramas que comeampor vogal ou terminam em consoante :

|V C| = |V|+ |C| |V C| = 3 . 11!2! 2! + 6 .11!

2! 2! 2! 3 . 6 .10!2! 2! = 43545600.

5. Permutam-se de todas as formas possveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se osnmeros formados em ordem crescente. Determine:

(a) que lugar ocupa o nmero 62417.(b) que nmero ocupa o 66 lugar.(c) qual o 166 algarismo escrito.(d) a soma dos nmeros assim formados.

Soluo. (a) Precisamos determinar quantos nmeros antecedem o 62417. Antecedem-notodos os nmeros comeados em 1 (4! = 24), em 2 (4! = 24), em 4 (4! = 24), em 61 (3!= 6) e em 621 (2! = 2), logo 80 nmeros. O nmero 62417 ocupa o 81 lugar.

Exerccios 7

(b) Contemos os nmeros:

Comeados por Quantidade Acumulado1 4! = 24 242 4! = 24 4841 3! = 6 5442 3! = 6 6046 3! = 6 66

Assim, o 66 nmero o ltimo (maior) que comea com 46, portanto o 46721.

(c) Visto que 166 = 5 . 33 + 1, o 166 algarismo escrito o primeiro do 34 nmero. Os24 primeiros nmeros comeam por 1 e os 24 seguintes por 2, logo o 34 nmero comeapor 2. Assim, o 166 algarismo escrito 2.

(d) Iniciamos como se deve: somando as unidades dos nmeros formados. Cada um dosalgarismos 1, 2, 4, 6, 7 aparece como algarismo das unidades em 24 nmeros, portanto asoma das unidades dos nmeros 24 . (1 + 2 + 4 + 6 + 7) = 480. Analogamente, a somadas dezenas 480 dezenas, isto , 4800. A soma das centenas 48000, a das unidades demilhar 480000 e a das dezenas de milhar 4800000. A soma total fica ento

480 + 4800 + 48000 + 480000 + 4800000 = 480 . 11111 = 5333280.

6. Quantos so os anagramas da palavra PARAGUAIO que no possuem consoantesadjacentes?

Soluo. Arrumemos inicialmente as vogais, o que pode ser feito de 6!/3! = 120 modos,e depois colocamos as consoantes de forma que no fiquem adjacentes. Arrumadas asvogais (digamos na ordem AAUAIO), temos 7 escolhas para a colocao do P, 6 para oR e 5 para o G. Assim, existem 120 . 7 . 6 . 5 = 25200 anagramas de PARAGUAIO queno possuem consoantes adjacentes.

Outra resposta: Escolhida a ordem das consoantes, decidimos quantas vogais desejamoscolocar nos quatro espaos disponveis (de forma que no fiquem consoantes adjacentes)e finalmente permutamos as vogais. O total fica 3!

(73

)6!/3! = 25200.

7. Quantos so os nmeros inteiros positivos menores que 360 e primos com 360?

Soluo. Notamos que 360 = 23 . 32 . 5 e definimos os conjuntos

A = {1, 2, . . . , 360},A1 = {x A : x mltiplo de 2},A2 = {x A : x mltiplo de 3},A3 = {x A : x mltiplo de 5}.

8 Anlise Combinatria

Desejamos calcular a cardinalidade do conjunto A \ (A1 A2 A3). Porm,

|A1| = 3602 = 180, |A1 A2| =3602 . 3 = 60, |A1 A2 A3| =

3602 . 3 . 5 = 12.

|A2| = 3603 = 120, |A1 A3| =3602 . 5 = 36,

|A3| = 3605 = 72, |A2 A3| =3603 . 5 = 24,

Portanto, pelo Princpio da Incluso-Excluso,

|A1 A2 A3| = 180 + 120 + 72 60 36 24 + 12 = 264.Assim, existem ao todo 96 nmeros inteiros positivos menores que 360 e primos com 360.8. Uma bolsa contm 8 moedas de 1 real, 7 moedas de 50 centavos, 4 moedas de 25centavos e 3 moedas de 10 centavos. De quantos modos diferentes podemos retirar 6moedas dessa bolsa?

Soluo. Definimos

x1 : nmero de moedas de 1 real,

x2 : nmero de moedas de 50 centavos,

x3 : nmero de moedas de 25 centavos,

x4 : nmero de moedas de 10 centavos.

Queremos obter o nmero de solues inteiras no-negativas da equao x1+x2+x3+x4 =6, satisfazendo as condies x1 8, x2 7, x3 4 e x4 3. Sejam os conjuntos

A = {(x1, x2, x3, x4) N4 : x1 + x2 + x3 + x4 = 6},A1 = {(x1, x2, x3, x4) A : x1 9},A2 = {(x1, x2, x3, x4) A : x2 8},A3 = {(x1, x2, x3, x4) A : x3 5},A4 = {(x1, x2, x3, x4) A : x4 4}.

Ento, o nmero pedido y = |A| |A1 A2 A3 A4|. No entanto,

|A| =(

93

)= 84, |A1| = |A2| = 0, |A3| =

(43

)= 4, |A4| =

(53

)= 10,

|Ai Aj| = 0, 1 i < j 4,|Ai Aj Ak| = 0, 1 i < j < k 4 e|A1 A2 A3 A4| = 0.

Usando o Princpio da Incluso-Excluso, obtemos que y = 84 4 10 = 70.

Exerccios 9

9. Quantos so os gabaritos possveis de uma prova com 10 questes de verdadeiro oufalso?10. De quantas maneiras 4 pessoas podem sentar-se em 10 cadeiras em fila?11. O conjunto A possui 3 elementos, e o conjunto B, 10 elementos. Quantas funesf : A B existem? Quantas delas so injetoras?12. De quantos modos podemos colocar dois reis diferentes em casas no-adjacentes deum tabuleiro 6 6? E se os reis fossem iguais?13. (a) Quantos divisores inteiros e positivos possui o nmero 1800?

(b) Quantos desses divisores so pares?(c) Quantos so quadrados perfeitos?

14. De quantas maneiras diferentes podemos escolher subconjuntos S e T do conjunto{1, . . . , n}

(a) sem restries?(b) de forma que S contenha T?(c) com S e T disjuntos?

15. Quantos nmeros pares de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal(a) podendo repetir algarismos?(b) sem repetir algarismos?

16. Quantos nmeros inteiros entre 100 e 999 so mpares e possuem trs algarismosdistintos?17. Quantos nmeros inteiros maiores que 53000 e de cinco algarismos distintos podemser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?18. Quantas so as permutaes dos nmeros 1, 2, . . . , n nas quais o elemento que ocupaa k-sima posio inferior a k + 4, para todo k?

19. Um estudante possui 5 livros de Clculo, 4 livros de lgebra Linear e 3 livros deEquaes Diferenciais, todos diferentes. De quantas maneiras ele pode arrum-los emuma prateleira, se deseja que os livros de cada assunto fiquem juntos?20. Em uma corrida com dez cavalos, quantos so os resultados possveis para os quatroprimeiros lugares?21. Quantos so os jogos de um campeonato de futebol disputado por 20 clubes, no qualtodos se enfrentam uma nica vez?22. De quantas maneiras possvel colocar em fila m mulheres e h homens, todos comalturas diferentes, de forma que as mulheres entre si e os homens entre si fiquem em ordemcrescente de altura?23. Quantos so os subconjuntos de {a1, a2, . . . , an} nos quais:

(a) a1 figura.(b) a1 no figura.

10 Anlise Combinatria

(c) a1 e a2 figuram.(d) pelo menos um de a1 e a2 figura.(e) exatamente um de a1 e a2 figura.

24. Quantos so os subconjuntos de {a1, a2, . . . , an}, com k elementos, nos quais:(a) a1 figura.(b) a1 no figura.(c) a1 e a2 figuram.(d) pelo menos um de a1 e a2 figura.(e) exatamente um de a1 e a2 figura.

25. Calcule o nmero de palavras de seis letras, sem consoantes nem vogais adjacentes,que se podem formar empregando dez consoantes e cinco vogais,

(a) sendo permitido repetir letras.(b) no sendo permitidas repeties.

26. Um turista deseja conhecer cinco das nove capitais do Nordeste do Brasil. De quantosmodos ele pode fazer isso, se a ordem das visitas

(a) importa?(b) no importa?

27. Em um concurso, h trs candidatos e cinco examinadores, devendo cada examinadorvotar em um candidato. Determine de quantos modos os votos podem ser distribudos,

(a) levando-se em conta a sequncia de votao dos examinadores.(b) se importa apenas o nmero de votos que cada candidato recebe.

28. Um restaurante oferece 8 variedades de frutas no cardpio de sobremesa. De quantasmaneiras possvel escolher 4 frutas

(a) podendo repetir uma fruta?(b) sem repetir?

Responda os itens (a) e (b), supondo que cada uma das 4 frutas ser destinada a umacriana.29. Sejam A e B conjuntos de nmeros naturais com |A| = p e |B| = n.

(a) Quantas so as funes f : A B ?(b) Quantas so as funes f : A B injetoras?(c) Quantas so as funes f : A B crescentes?(d) Quantas so as funes f : A B no-decrescentes?

30. Seja A um conjunto com |A| = n. Quantas so as funes f : A A bijetoras?31. De quantos modos os nmeros de 1 a 9 podem ser arrumados de forma que

Exerccios 11

(a) todos os nmeros pares precedam todos os mpares?(b) todos os nmeros pares fiquem adjacentes?(c) a sequncia comece com dois pares e termine com dois pares tambm?(d) os nmeros pares apaream em ordem crescente ou decrescente?

32. Quantos so os anagramas da palavra URUGUAIO que comeam por vogal?

33. Quantos nmeros de 5 algarismos podem ser formados usando apenas os algarismos1, 1, 1, 1, 2 e 3?

34. Cinco moas e cinco rapazes vo posar para uma fotografia, ocupando cinco degrausde uma escadaria, de forma que em cada degrau fique uma moa e um rapaz. De quantasmaneiras podemos arrumar este grupo?

35. De quantas maneiras 10 crianas podem formar uma roda de ciranda, se para cadauma delas importa apenas as duas crianas s quais d as mos, sem levar em conta se a mo direita ou esquerda?

36. De quantos modos quatro casais podem sentar-se em torno de uma mesa redonda(a) no sentando juntos dois homens?(b) no sentando juntos dois homens e nenhum homem ficando perto de sua esposa?

37. Participam de um congresso 15 professores de Matemtica e 15 professores de Fsica.Quantas comisses de 8 professores podem ser formadas:

(a) sem restries?(b) com pelo menos um professor de Matemtica?(c) com pelo menos 4 professores de Matemtica e pelo menos 2 professores de Fsica?

38. De quantas maneiras se pode preencher um carto da loteria esportiva (com 13 jogos)com trs prognsticos duplos e dois triplos?

39. Sinais luminosos so transmitidos de uma ilha para a costa por meio de seis lmpadasbrancas e seis lmpadas vermelhas, colocadas nos vrtices de um hexgono regular, de talmodo que

(i) em cada vrtice h duas lmpadas de cores diferentes;

(ii) em cada vrtice no h mais do que uma lmpada acesa;

(iii) o nmero mnimo de vrtices iluminados trs.

Determine o nmero total de sinais que podem ser transmitidos.

40. Suponha que Joo vai participar de uma reunio na qual estaro mais 4 homens e 6mulheres. Ele sabe que h 4 casais, porm no conhece ningum.

(a) De quantas formas poderia Joo imaginar que esto formados os casais?(b) E se sabe que h exatamente 3 casais?

12 Anlise Combinatria

41. Uma loja exige que um funcionrio recm-contratado trabalhe 4 ou 5 dias por semana,sendo pelo menos um dia de fim de semana. Calcule o nmero de cronogramas de trabalhopossveis desse trabalhador.42. Um homem tem 5 amigas e 7 amigos, e sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. Dequantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos para uma festa, se cada um deveconvidar 6 pessoas?43. Suponha que n carros esto em fila para entrar em um estacionamento que possuin vagas, lado a lado. Se o primeiro carro pode escolher qualquer vaga e cada um dosoutros carros ao estacionar deve justapor-se a um carro j estacionado, quantas so asmaneiras possveis de os carros ocuparem as n vagas?44. (a) De quantos modos possvel dividir 15 atletas em trs times de 5 atletas, deno-minados Esporte, Tupi e Minas?

(b) De quantos modos possvel dividir 15 atletas em trs times de 5 atletas?45. Doze professores sero separados em 3 grupos de 4 pessoas. Calcule de quantasmaneiras isso pode ser feito se

(a) os grupos vo discutir o mesmo assunto.(b) caber um tema de discusso diferente a cada grupo.(c) cada grupo designar um presidente e tratar de um assunto diferente.

46. Quantos so os anagramas da palavra ARARAQUARA que no possuem duasletras A juntas?47. Quantos so os anagramas da palavra CONTADORIA

(a) em que aparecem juntas, nesta ordem, as letras da palavra CONTO?(b) em que aparecem juntas, numa ordem qualquer, as letras da palavra CONTO?(c) em que as letras da palavra CONTO aparecem nesta ordem?

48. De quantos modos podemos colocar em fila 7 letras A, 6 letras B e 5 letras C, deforma que no haja duas letras B juntas?49. Uma fila de lugares em um cinema tem 18 poltronas. De quantas maneiras 4 casaispodem sentar-se nessas poltronas, de forma que nenhum marido se sente separado de suamulher?50. Uma partcula parte do ponto (0, 0, 0) e, estando em um ponto (x, y, z) N3, podemover-se para um dos pontos (x + 1, y, z), (x, y + 1, z) ou (x, y, z + 1). Quantos so oscaminhos possveis para a partcula chegar ao ponto (a, b, c) N3 ?51. Considerando o alfabeto com 26 letras, existem quantas sequncias de 4 letras distin-tas com pelo menos uma vogal?52. Dentre todos os nmeros de 7 algarismos, quantos possuem exatamente trs algaris-mos 9 e os quatro algarismos restantes todos diferentes?53. Quantas so as permutaes dos 10 nmeros 0, 1, . . . , 9 em que o primeiro dgito maior do que 1 e o ltimo dgito menor do que 7?

Exerccios 13

54. Representantes de dez pases, incluindo a Rssia, Frana, Inglaterra e Estados Unidos,sero dispostos em uma fila. De quantas maneiras isso pode ser feito, se os representantesda Frana e da Inglaterra devem ficar um ao lado do outro, e o americano e o russo nodevem?55. Teresa pretende convidar 5 de 11 amigos para um jantar em sua casa.

(a) Quantas escolhas Teresa possui, se 2 dos 11 amigos so desafetos e no aceitamestar juntos?

(b) Quantas escolhas Teresa tem, se 3 dos 11 amigos no aceitam participar do jantara menos que juntos?

56. De quantos modos se podem repartir 27 livros diferentes entre Ana, Beto e Carla, deforma que Ana e Beto, juntos, recebam o dobro de livros de Carla e que ningum fiquesem livro?57. Nos prximos meses, um agente turstico deve viajar s quatro cidades A, B, C e D,a cada uma delas trs vezes. Calcule de quantas maneiras ele pode escolher a ordem dasviagens

(a) se no deseja fazer duas visitas seguidas cidade B.(b) se no quer que a primeira e a ltima cidades sejam a mesma.

58. Quantos nmeros de 6 algarismos podemos formar com 3 pares distintos de algarismosiguais?59. Uma fbrica produz 8 tipos de bombons, que so vendidos em caixas de 30 bombons,de um mesmo tipo ou sortidos. Quantas caixas diferentes podem ser formadas?60. De quantas maneiras se podem pintar seis esferas iguais, usando-se apenas trs coresdiferentes?61. De quantas maneiras podemos distribuir 30 laranjas para 4 crianas de forma quecada uma receba pelo menos duas laranjas?62. Obtenha uma frmula para o nmero de solues inteiras no-negativas da inequao

x1 + + xn p (p > 0 inteiro dado).

63. Obtenha uma frmula para o nmero de solues inteiras no-negativas da equao

x1 + + xn = p (p > 0 inteiro dado)

satisfazendo xi ai para todo i = 1, . . . , n, onde a1, . . . , an so inteiros no-negativos taisque a1 + + an p.64. Quantos inteiros entre 1 e 100000 tm a propriedade de que cada dgito menor ouigual ao seu sucessor?65. Quantas permutaes de 7 letras A e 7 letras B existem, nas quais no h 3 letras Aadjacentes?

14 Anlise Combinatria

66. Determine o nmero de permutaes de (1, 2, . . . , 8) em que os nmeros 4 e 6 noocupam seus lugares primitivos.67. Uma sequncia de DNA uma sucesso de bases nitrogenadas, as quais podem serde quatro tipos: adenina, citosina, guanina ou timina. Obtenha o nmero de sequnciasde DNA possveis, com comprimento 8,

(a) que tm pelo menos uma base citosina.(b) que tm exatamente trs adeninas ou exatamente trs guaninas.

68. Em um amigo secreto, dizemos que o sorteio vivel se nenhuma pessoa fica com seuprprio nome. Quantos sorteios viveis existem em um amigo secreto com 4 pessoas?69. Obtenha o nmero total de permutaes de (1, 2, . . . , 2n) em que nenhum nmerompar ocupa o seu lugar primitivo.70. Se quatro americanos, trs franceses e trs ingleses so colocados em uma fila, deter-mine o nmero de maneiras de disp-los de forma que nenhum grupo de mesma naciona-lidade fique todo junto.71. Uma pessoa compra 5 bolas e 5 cubos de isopor, sendo indistinguveis os objetos demesma forma. Ela pretende pintar cada um dos objetos de uma cor, e vai usar as coresazul, vermelho e preto.

(a) De quantas maneiras ela pode fazer isso?(b) De quantas maneiras ela pode fazer isso, usando cada cor pelo menos uma vez?

72. Quantos inteiros entre 1 e 33000 no so divisveis por 3, por 5 e nem por 11?73. Quantos inteiros entre 1 e 1000000 no so quadrados perfeitos, cubos perfeitos e nemquartas potncias perfeitas?74. Quantos nmeros de n algarismos (n 3) podemos formar com os algarismos 1, 2e 3, de forma que em cada nmero figure cada um desses trs algarismos pelo menos umavez?75. Quantos inteiros entre 1 e 10000 tm soma de seus algarismos igual a 23?76. No elevador de um edifcio entram seis pessoas. De quantas maneiras essas seis pessoaspodem saltar no primeiro, segundo e terceiro andares, de forma que salte pelo menos umapessoa em cada um desses andares?77. De quantos modos podemos distribuir 3 moedas de 25 centavos, 5 moedas de 50centavos e 4 moedas de 1 real entre dois meninos, de maneira que cada menino recebapelo menos uma moeda?78. De quantas maneiras podemos distribuir 8 mas, 10 peras e 7 laranjas em quatrocaixas, se cada caixa deve receber ao menos uma fruta?79. Mostre que o produto de p nmeros naturais consecutivos divisvel por p!.80. Prove, usando um argumento combinatrio, que

(a)(n

m

)(m

k

)=(n

k

)(n km k

)para 0 < k m n.

Respostas 15

(b)(n+mr

)=(n

0

)(m

r

)+(n

1

)(m

r 1)

+ +(n

r

)(m

0

)para r n, r m.

(c)nk=1

(n

k

)k3 = 2n3 n2 (n+ 3) para n 3.

(d) (3n)!2n3n um nmero inteiro (n 1).

(e) (3n)!n! 2n3n um nmero inteiro (n 1).

Sugesto: (c) Considere n pessoas e conte de duas formas diferentes o nmero de modosde escolher um grupo com pelo menos uma pessoa e selecionar desse grupo um presidente,um vice e um secretrio, os cargos podendo ser cumulativos.(d) e (e) Pense qual o nmero de maneiras de separar 3n objetos distintos em n gruposde tamanho 3.

Respostas

9. 1024

10. 5040

11. 1000 funes, 720 injetoras

12. 1040, 520

13. (a) 36 (b) 27 (c) 8

14. (a) 4n (b) 3n (c) 3n

15. (a) 45 (b) 41

16. 320

17. 2160

18. 6 . 4n3

19. 103680

20. 5040

21. 190

22. (m+ h)!/(m!h!)

23. (a) 2n1 (b) 2n1 (c) 2n2 (d) 3 . 2n2 (e) 2n1

16 Anlise Combinatria

24. (a)(n1k1)

(b)(n1k

)(c)

(n2k2)

(d) 2(n1k1)(n2k2)

=(nk

)(n2k

)(e) 2

(n2k1)

25. (a) 250000 (b) 86400

26. (a) 15120 (b) 126

27. (a) 243 (b) 21

28. (a) 330 (b) 70 (c) 4096 (d) 1680

29. (a) np (b) (n)p (c)(np

)(d)

(p+n1n1

)30. n!

31. (a) 2880 (b) 17280 (c) 2880 (d) 30240

32. 5040

33. 30

34. 460800

35. 181440

36. (a) 144 (b) 12

37. (a) 5852925 (b) 5846490 (c) 3755115

38. 2279881890

39. 656

40. (a) 360 (b) 480

41. 50

42. 267148

43. 2n1

44. (a) 756756 (b) 126126

45. (a) 5775 (b) 34650 (c) 2217600

46. 120

47. (a) 360 (b) 21600 (c) 15120

48. 1359072

Respostas 17

49. 384384

50. (a+ b+ c)!/(a! b! c!)

51. 215160

52. 99120

53. 2056320

54. 564480

55. (a) 378 (b) 84

56. 1,23 . 1012

57. (a) 201600 (b) 302400

58. 9720

59. 10295472

60. 28

61. 2300

62.(p+nn

)63.

(pa1an+n1

n1)

64. 2001

65. 1016

66. 30960

67. (a) 58975 (b) 24976

68. 9

69.nk=0

(1)k(n

k

)(2n k)!

70. 3079296

71. (a) 441 (b) 336

72. 16000

73. 998910

18 Anlise Combinatria

74. 3n 3 . 2n + 375. 480

76. 540

77. 118

78. 5239868

Captulo 2

Probabilidade

1. Definies e propriedades

1.1. Um experimento aleatrio se, ao ser repetido nas mesmas condies, impossvel

prever antecipadamente o resultado. Em contrapartida, um experimento determinstico

se, quando repetido nas mesmas condies, conduz ao mesmo resultado.

Denominamos espao amostral o conjunto de todos os resultados possveis de um experi-

mento aleatrio, e o denotamos por . Um subconjunto A chamado evento.Dados dois eventos A e B, dizemos que A B se A implica que B. Em palavras,a ocorrncia de A implica a ocorrncia de B.

A unio de dois eventos A e B AB = { : A ou B} e representa o evento deque pelo menos um dos dois eventos A e B ocorre.

A interseco de dois eventos A e B AB = { : A e B} e representa o eventode que ambos A e B ocorrem.

Dois eventos A e B so disjuntos ou mutuamente exclusivos se A B = . Isso significaque A e B no ocorrem simultaneamente.

Para qualquer evento A, o complementar de A Ac = { : 6 A} e representa oevento de que A no ocorre.

1.2. Leis de De Morgan:( i=1

Ai)c

=i=1

Aci , (DM1)

( i=1

Ai)c

=i=1

Aci . (DM2)

Notamos que (DM1) estabelece que o evento de que nenhum dos Ais ocorre igual ao

complementar do evento de que pelo menos um dos Ais ocorre. J (DM2) expressa que

o complementar do evento de que todos os Ais ocorrem exatamente o evento de que ao

menos um deles no ocorre.

20 Probabilidade

A B

A B

A B

A B

A B

A e B disjuntos

A

Ac

Figura 2.1: Unio e interseco dos eventos A e B; A e B disjuntos; Complementar de A.

1.3. Definio clssica (Cardano (1663), De Moivre (1718), Laplace (1812)):

Seja finito, no-vazio, e suponhamos que cada subconjunto elementar de igualmente

provvel. Ento, para qualquer A , definimos a probabilidade de A como

P (A) = |A || | .

Observao. A definio anterior formaliza a primeira definio conhecida de probabili-

dade: relao entre o nmero de casos favorveis ao acontecimento (evento) e o nmero

total de casos possveis, supondo todos os casos igualmente possveis.

1.4. Definio axiomtica (Kolmogorov (1933)): Uma probabilidade uma funo

P () a valores reais definida em uma classe F de eventos de um espao amostral , quesatisfaz as seguintes condies:

(A1) 0 P (A) 1 para todo A F ,

(A2) P () = 1,

(A3) Aditividade enumervel: para qualquer sequncia A1, A2, . . . F de eventos dois adois disjuntos,

P( i=1

Ai

)=i=1

P (Ai).

A tripla (,F , P ) chamada um espao de probabilidade.

Definies e propriedades 21

Observao. No caso de finito ou infinito enumervel, podemos definir a probabilidade

na classe F de todos os subconjuntos de , a qual usualmente denotada por 2 ou P()(conjunto das partes de ). Neste caso, escrevendo como = {1, 2, . . .}, associamosa cada i, i = 1, 2, . . . , um nmero p(i) tal que p(i) 0 e i=1 p(i) = 1. Parai = 1, 2, . . . , p(i) a probabilidade do evento simples {i}. A probabilidade de umevento A definida por

P (A) =

i:iAp(i).

Quando infinito no-enumervel, em geral impossvel associar uma probabilidade

bem definida a todos os subconjuntos de . Define-se ento uma probabilidade em uma

classe mais restrita de subconjuntos de ; apenas esses subconjuntos so denominados

eventos. O ponto essencial que essa classe contm todos os subconjuntos (eventos) de

interesse prtico. Um exemplo importante igual a um intervalo da reta, para o qual

se considera a classe de subconjuntos conhecida como -lgebra de Borel. Para mais

detalhes sobre esse tema, sem ainda abordar profundamente a Teoria da Medida, veja-se

o livro de James [15].

1.5. Propriedades de uma probabilidade:

1. P () = 0.

2. Aditividade finita: Se A1, . . . , An so eventos dois a dois disjuntos, ento

P( ni=1

Ai

)=

ni=1

P (Ai).

3. P (Ac) = 1 P (A) para todo evento A.

4. Para quaisquer eventos A e B,

P (B) = P (A B) + P (Ac B).

5. Se A B, ento P (A) P (B).

6. Para quaisquer eventos A e B,

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B).

22 Probabilidade

7. Princpio da Incluso-Excluso: Para qualquer sequncia finita A1, A2, . . . , An deeventos,

P( ni=1

Ai

)=i

P (Ai)i 0 para todo i. Ento, para qualquer evento A,P (A) =

ni=1

P (A |Bi)P (Bi).

Probabilidade condicional e independncia 23

2.5. Frmula de Bayes (1763): Seja {B1, B2, . . . , Bn} uma partio do espao amos-tral em eventos de probabilidade positiva. Se A um evento com P (A) > 0, ento,

para todo j = 1, . . . , n,

P (Bj |A) = P (A |Bj)P (Bj)ni=1

P (A |Bi)P (Bi).

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

A

Figura 2.2: Partio de em {B1, B2, . . . , B9} e um evento A.

2.6. Para um evento B fixado tal que P (B) > 0, temos que P ( |B) uma probabilidade.

2.7. Dois eventos A e B so independentes se P (A B) = P (A)P (B).

Observao. Em palavras, A e B so independentes se o conhecimento da ocorrncia de

um deles no influencia a probabilidade do outro.

2.8. Os eventos A1, . . . , An so independentes se para qualquer escolha de k (2 k n)e ndices 1 i1 < i2 < < ik n,

P (Ai1 Ai2 . . . Aik) = P (Ai1)P (Ai2) . . . P (Aik).

2.9. Uma coleo infinita de eventos independente se toda subcoleo finita desses

eventos independente.

2.10. Se A1, . . . , An so independentes, ento, para qualquer escolha de Bj com Bj = Ajou Acj,

P (B1 B2 . . . Bn) = P (B1)P (B2) . . . P (Bn).

24 Probabilidade

2.11. Frequentemente, um experimento aleatrio consiste em realizar uma sequncia de

ensaios (subexperimentos). Por exemplo, se o experimento aleatrio lanar uma moeda

repetidamente, cada lanamento pode ser considerado como um ensaio. Neste caso, dizer

que os ensaios so independentes significa dizer que a seguinte condio vlida: se Ai

um evento cuja ocorrncia completamente determinada pelo resultado do i-simo ensaio,

ento A1, A2, . . . so independentes.

3. Conjuntos limites e continuidade da probabilidade*

3.1. Sejam A1, A2, . . . eventos em um espao de probabilidade (,F , P ).Por An A, denotamos que

A1 A2 A3 e A =n=1

An.

Assim, An A significa que a ocorrncia de An implica a ocorrncia de An+1 para todo ne A o evento de que pelo menos um dos Ans ocorre.

Por An A, denotamos que

A1 A2 A3 e A =n=1

An.

Dessa forma, An A significa que a ocorrncia de An+1 implica a ocorrncia de An paratodo n e A o evento de que todos os Ans ocorrem.

3.2. Continuidade por baixo da probabilidade: Se An A, ento P (An) P (A)quando n.Continuidade por cima da probabilidade: Se An A, ento P (An) P (A) quandon.

3.3. Conjuntos limites: Para uma sequncia A1, A2, . . . de eventos em um espao de

probabilidade (,F , P ), definimos os eventos

lim infn An =

n=1

k=n

Ak e

lim supn

An =n=1

k=n

Ak,

denominados respectivamente limite inferior e limite superior da sequncia {An}.

Conjuntos limites e continuidade da probabilidade 25

Observamos que

lim infn An Existe n tal que Ak para todo k n

|{n : 6 An}|

26 Probabilidade

Exerccios

Probabilidade: Definies e propriedades1. Descreva um espao amostral adequado aos seguintes experimentos aleatrios. Res-ponda se finito, infinito enumervel ou infinito no-enumervel, e determine a suacardinalidade no caso finito.

(a) Escolhe-se ao acaso uma famlia com duas crianas de um municpio e so regis-trados os sexos do primeiro e do segundo filhos.

(b) No item (a), observa-se apenas o nmero de meninas na famlia selecionada.(c) No item (a), registra-se o peso (em quilogramas) com que cada uma das crianas

nasceu.(d) Vinte produtos eletrnicos so sorteados de um lote e a quantidade de produtos

com defeito contada.(e) Um dado lanado quatro vezes e a sequncia de nmeros obtida anotada.(f) Registra-se o total de pontos quando um dado lanado quatro vezes.(g) Anota-se o nmero de vezes que a face 6 ocorre quando um dado lanado quatro

vezes.(h) Um dado lanado quatro vezes e registra-se o nmero de vezes que ocorre cada

face.(i) Considere uma urna com 8 bolas, numeradas de 1 a 8. Retiram-se 3 bolas da urna,

com reposio, e anota-se o nmero a cada bola retirada.(j) Mesmo que o item (i), porm registra-se o nmero de vezes que cada nmero de 1

a 8 obtido, em vez de anotar o nmero a cada bola retirada.(k) Retiram-se 3 bolas da urna descrita no item (i), sem reposio, e anota-se o nmero

a cada bola retirada.(l) Da urna descrita no item (i), retiram-se 3 bolas simultaneamente, anotando-se o

conjunto de nmeros obtido.(m) Conta-se o nmero de partculas emitidas por um istopo radioativo durante um

intervalo de tempo.(n) A partir de certo momento, registra-se a quantidade de veculos que passam por

um pedgio at que passe a primeira motocicleta.(o) Registram-se os nmeros de carros e de caminhes que passam em uma ponte

durante uma semana.(p) Uma rvore selecionada em um parque e sua altura em centmetros medida.(q) Mede-se o tempo decorrido at a primeira emisso de uma partcula por um istopo

radioativo.(r) Um dardo lanado em um alvo circular de raio unitrio e observa-se o ponto

acertado.

Exerccios 27

(s) No item (r), em vez de observar onde o dardo cai, a sua distncia ao centro do alvo medida.

(t) Registram-se o nmero de dias chuvosos e a precipitao total (em centmetros)durante uma semana em uma localidade.

2. Sejam A, B e C trs eventos em um espao de probabilidade. Expresse os seguinteseventos em termos de A, B e C:

(a) Apenas A ocorre.(b) A e B ocorrem, mas C no ocorre.(c) Os trs eventos ocorrem.(d) Pelo menos um dos trs eventos ocorre.(e) Nenhum dos trs eventos ocorre.(f) Exatamente um dos trs eventos ocorre.(g) No mximo um dos trs eventos ocorre.(h) Pelo menos dois dos trs eventos ocorrem.

3. Um baralho comum consiste de 52 cartas separadas em 4 naipes com 13 cartas de cadaum. Para cada naipe, os valores das cartas so 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K e A. Umbaralho comum embaralhado. Qual a probabilidade de que as quatro cartas do topotenham

(a) valores diferentes?(b) naipes diferentes?

Soluo. Se consideramos como relevante a ordem entre as quatro cartas do topo, entoo espao amostral consiste de 52 . 51 . 50 . 49 resultados. Alm disso, existem 52 . 48 . 44 . 40resultados em que as cartas tm valores diferentes e 52 . 39 . 26 . 13 resultados em que ascartas tm naipes diferentes. Portanto, assumindo que o embaralhamento significa quecada resultado no espao amostral igualmente provvel, temos que as probabilidadesdesejadas so

(a) 52 . 48 . 44 . 4052 . 51 . 50 . 49 0,676; (b)52 . 39 . 26 . 1352 . 51 . 50 . 49 0,105.

Observao. Claramente as mesmas respostas seriam obtidas se considerssemos as quatrocartas do topo como um conjunto no ordenado de cartas.4. Em uma classe, estudam dez crianas, entre as quais os irmos Ana e Beto. A professoradecide separar ao acaso a turma em dois grupos de cinco crianas cada um; o primeirogrupo far um trabalho sobre os planetas e o segundo sobre as civilizaes antigas. Qual a probabilidade de que os irmos Ana e Beto faam parte do mesmo grupo? H algumadiferena (no raciocnio e no resultado) se ambos os grupos faro trabalhos sobre o mesmoassunto?5. Extraem-se 4 cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade de que 2sejam pretas e 2 vermelhas?

28 Probabilidade

6. Quatro nmeros so sorteados ao acaso, sem reposio, do conjunto {0, 1, . . . , 9}. Cal-cule as probabilidades de que

(a) os quatro nmeros formem uma seguida (por exemplo, 2, 3, 4, 5).(b) todos sejam maiores que 5.(c) o nmero 0 seja escolhido.(d) pelo menos um seja maior que 7.(e) todos sejam mpares.

7. Qual a probabilidade de que os aniversrios de doze pessoas sejam em meses diferen-tes? E a probabilidade de que os aniversrios de quatro pessoas sejam em dois meses?8. Uma pessoa possui 5 livros diferentes de Matemtica, 2 livros diferentes de Qumicae 3 livros diferentes de Fsica, que sero dispostos aleatoriamente em uma prateleira.Calcule as probabilidades de que

(a) os livros de cada assunto fiquem juntos.(b) os livros de Matemtica no fiquem todos juntos.(c) os livros de Fsica fiquem todos separados.(d) os livros de um mesmo assunto apaream em ordem alfabtica, mas no necessa-

riamente adjacentes.

9. Uma caixa contm 40 parafusos bons e 10 defeituosos. Seleciona-se uma amostra de 5parafusos. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:

(a) Nenhum parafuso na amostra defeituoso.(b) Nenhum, um ou dois parafusos na amostra so defeituosos.(c) A amostra contm pelo menos um parafuso bom.

10. Uma urna contm 3 bolas vermelhas e 3 azuis. So retiradas 3 bolas ao acaso eento uma bola selecionada das restantes. Qual a probabilidade de que essa bola sejavermelha?11. Distribumos 12 bolas em 5 caixas numeradas 1, 2, 3, 4, 5. Calcule a probabilidadeda caixa 1 conter exatamente 3 bolas se

(a) as bolas so distinguveis.(b) as bolas so indistinguveis.

12. Os clubes de xadrez de duas escolas consistem, respectivamente, de 8 e 9 jogadores.Quatro membros de cada clube so escolhidos ao acaso para participar de uma competioentre as duas escolas. Os jogadores selecionados de uma equipe so pareados aleatoria-mente com aqueles da outra equipe, e cada par joga uma partida de xadrez. Suponha queRosa e sua irm Margarida esto nos clubes de xadrez em escolas diferentes. Obtenha asprobabilidades de que

(a) Rosa e Margarida sejam pareadas.

Exerccios 29

(b) Rosa e Margarida sejam escolhidas para representar suas escolas mas no joguementre si.

(c) exatamente uma das irms seja selecionada para representar sua escola.

13. Dez pessoas chegam a um consultrio mdico em horrios ligeiramente diferentes, eso chamadas em ordem aleatria. Dizemos que a i-sima pessoa a chegar tem sorte seest entre as i primeiras pessoas chamadas. Encontre a probabilidade de que, entre a 3,a 5 e a 8 pessoas, pelo menos uma no tenha sorte.

14. O jardineiro de um parque prepara um local para plantar trs quaresmeiras, quatroips amarelos e cinco aroeiras. Ele vai plantar as rvores alinhadas, escolhendo a ordem demaneira aleatria. Obtenha a probabilidade de que no fiquem duas aroeiras adjacentes.

15. Se Andr e Pedro esto entre n homens dispostos aleatoriamente em uma fila, qual a probabilidade de que haja exatamente r homens entre eles?

16. Suponha que cada uma de um total de n varetas seja quebrada em uma parte longae uma curta. As 2n partes so arrumadas ao acaso em n pares a partir dos quais novasvaretas so formadas. Calcule a probabilidade de que

(a) as partes sejam unidas na ordem original.(b) todas as partes longas sejam emparelhadas com partes curtas.

17. Um armrio contm n pares diferentes de sapatos. Se 2r sapatos so escolhidos aoacaso (com 2r < n), determine a probabilidade de que dentre os sapatos selecionados

(a) no exista par algum completo.(b) exista exatamente um par completo.(c) existam exatamente dois pares completos.

Considere n = 10 e r = 2 e calcule de duas maneiras diferentes a probabilidade de queexista pelo menos um par completo dentre os sapatos selecionados.

18. Uma urna contm a bolas azuis e b bolas brancas. As bolas so retiradas uma a umada urna, ao acaso e sem reposio, at que a urna fique vazia. Calcule a probabilidade deque a ltima bola retirada seja azul nos seguintes casos:

(a) as bolas so todas distintas.(b) as bolas so distinguveis apenas pela cor.

19. Em uma loteria, selecionam-se ao acaso r nmeros dentre os nmeros de 1 a n.Obtenha a probabilidade de que no haja dois nmeros consecutivos entre os selecionados,ou seja, de que a sequncia escolhida no contenha uma seguida.

Qual a probabilidade de aparecer ao menos uma seguida entre os nmeros sorteadosna Mega Sena (n = 60 e r = 6)?

20. Aos nmeros inteiros de 1 a n so designadas probabilidades proporcionais aos seusvalores. Determine p(i) para i = 1, . . . , n.

30 Probabilidade

21. Sejam A e B dois eventos em um espao de probabilidade, tais que P (A) = 1/2,P (B) = 1/4 e P (A B) = 1/5. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:

(a) A no ocorre.(b) B no ocorre.(c) Pelo menos um de A e B ocorre.(d) A no ocorre e B sim.(e) B no ocorre e A sim.(f) Ocorre exatamente um de A e B.(g) No ocorre nenhum de A e B.(h) Pelo menos um de A e B no ocorre.

22. Em uma escola, 60% dos estudantes no usam anel nem colar; 20% usam anel e 30%colar. Se um aluno escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de que esteja usando

(a) pelo menos uma das joias?(b) ambas as joias?(c) um anel mas no um colar?

23. Da populao de uma cidade, 28% fumam cigarro, 7% fumam charuto e 5% ambos.Calcule a porcentagem da populao

(a) que no fuma nem cigarro nem charuto.(b) que fuma charuto mas no cigarro.

24. Uma escola oferece trs cursos optativos de idiomas: espanhol, francs e alemo. Asturmas so abertas a qualquer um dos 100 alunos matriculados. H 28 estudantes naturma de espanhol, 26 na turma de francs e 16 na turma de alemo. H 12 alunoscursando espanhol e francs, 4 fazendo espanhol e alemo, e 6 cursando francs e alemo.Alm disso, 2 estudantes acompanham os trs cursos.

(a) Se um aluno escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que no acompanhenenhum dos cursos?

(b) Se um estudante escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de que estejafazendo exatamente um dos cursos?

(c) Se dois alunos so escolhidos ao acaso, qual a probabilidade de que pelo menos umdeles esteja cursando uma lngua?

25. Em uma cidade, existem trs jornais: I, II e III. As propores de muncipes que leemesses jornais so as seguintes:

I: 10% I e II: 8% I, II e III: 1%

II: 30% I e III: 2%

III: 5% II e III: 4%

Exerccios 31

Os jornais I e III so matutinos, e o II vespertino. Obtenha a probabilidade de que ummorador da cidade selecionado ao acaso

(a) leia s o jornal III.(b) leia apenas um jornal.(c) leia pelo menos dois jornais.(d) no leia nenhum jornal.(e) leia pelo menos um jornal matutino e o jornal vespertino.(f) leia somente um jornal matutino e o jornal vespertino.

26. Prove que se A1, A2, . . . e B1, B2, . . . so eventos do mesmo espao de probabilidadetais que P (An) 1 e P (Bn) p quando n, ento P (AnBn) p quando n.27. Sejam A1, A2, . . . eventos em um espao de probabilidade. Prove que

(a) Se P (An) = 0 para todo n 1, ento P (n=1An) = 0.(b) Se P (An) = 1 para todo n 1, ento P (n=1An) = 1.

28. Uma secretria atrapalhada prepara quatro cartas com contedos distintos para en-viar a quatro firmas distintas. Na hora de envelop-las, bate um vento que derruba ascartas e os envelopes, e, com pressa, a secretria coloca aleatoriamente as cartas nosenvelopes. Determine a probabilidade de que nenhuma carta tenha sido corretamenteenvelopada.

Soluo. Sejam os eventos

A : Pelo menos uma carta foi colocada no envelope certo.

Ai : A i-sima carta foi colocada no envelope certo, i = 1, 2, 3, 4.

Como A = 4i=1Ai, temos que, pelo Princpio da Incluso-Excluso,P (A) =

i

P (Ai)i

32 Probabilidade

Assim, a probabilidade de que nenhuma carta tenha sido corretamente envelopada :

P (Ac) = 1 P (A) = 38 .

29. Se quatro casais de namorados so dispostos aleatoriamente em uma fila, determinea probabilidade de que nenhum dos casais fique junto.

30. Cinco bolas so selecionadas aleatoriamente, sem reposio, de uma urna que con-tm 5 bolas vermelhas, 6 bolas brancas e 7 bolas azuis, todas distintas. Determine aprobabilidade de que pelo menos uma bola de cada cor seja selecionada.

31. Um colgio tem em seu corpo docente sete professores de Biolgicas, oito professoresde Exatas e nove professores de Humanas. Uma comisso de sete professores ser selecio-nada aleatoriamente. Determine a probabilidade de que nesta comisso haja pelo menosum professor de cada rea.

32. Um baralho comum consiste de 52 cartas diferentes sendo 13 cartas de cada naipe.Uma pessoa retira ao acaso 13 cartas de um baralho. Calcule a probabilidade de que pelomenos um naipe esteja ausente entre as cartas selecionadas.

33. As cartas de um baralho so misturadas e distribudas entre 4 jogadores de modo quecada um recebe 13 cartas. Calcule a probabilidade de que pelo menos um jogador recebatodas as cartas do mesmo naipe.

34. Em cada extrao de uma loteria, selecionam-se ao acaso m nmeros dentre os n-meros de 1 a n. Obtenha a probabilidade de que todo nmero seja sorteado ao menosuma vez em d extraes.

35. Sabe-se que com probabilidade 1 pelo menos um dos eventos Ai, 1 i n, ocorre, eque no mais que dois ocorrem simultaneamente. Se P (Ai) = p e P (Ai Aj) = q, i 6= j,mostre que p 1/n e q 2/n.

Probabilidade condicional e independncia

36. Escolhe-se ao acaso um nmero entre 1 e 50. Se o nmero primo, qual a probabili-dade de que seja mpar?

37. Em um programa de auditrio, o participante lana um dado honesto seis vezes.Ele ganha um prmio de participao se obtiver o mesmo nmero pelo menos duas ve-zes, e ganha um prmio milionrio se a face 6 aparecer ao menos quatro vezes. Qual aprobabilidade de que o participante

(a) ganhe o prmio de participao?(b) ganhe o prmio milionrio?(c) tenha ganho o prmio milionrio, dado que ganhou o prmio de participao?

Exerccios 33

38. Trs aventureiros devem escolher um deles para uma misso arriscada. Para isso,pegam uma urna com duas bolas brancas e uma bola vermelha, e cada um retira suces-sivamente uma bola, sem reposio. Aquele que pegue a bola vermelha ser o escolhidopara realizar a misso. Mostre que todos tm a mesma probabilidade de ser o escolhido,qualquer que seja a ordem em que realizem as extraes.

39. Um contador tem sobre a sua mesa dois grupos de 20 planilhas cada um. No primeirogrupo existem duas planilhas com erros de clculo e no segundo h trs. Um vento fazcom que as planilhas caiam da mesa, e, ao arrum-las, uma do primeiro grupo se misturas do segundo grupo. Qual a probabilidade de que, ao revisar uma planilha do segundogrupo, o contador encontre um erro?

40. Em uma rifa com 100 bilhetes, numerados de 1 a 100, sorteiam-se dois bilhetes aoacaso, sem reposio. O primeiro bilhete sorteado premia o seu comprador com umabatedeira, e o segundo prmio um liquidificador. Uma pessoa compra quatro bilhetes.Calcule a probabilidade de que essa pessoa tenha ganho ambos os prmios

(a) dado que ganhou o liquidificador.(b) dado que ganhou algum prmio na rifa.

41. De um armrio com 12 pares diferentes de sapatos, selecionam-se 6 sapatos ao acaso.Dado que h pelo menos um par completo entre os sapatos escolhidos, qual a probabilidadede que existam exatamente dois pares completos?

42. Suponha que n crianas, todas com alturas diferentes, so dispostas aleatoriamenteem uma fila indiana.

(a) Encontre a probabilidade de que a k-sima criana da fila seja mais alta do quetodas as crianas sua frente.

(b) Obtenha a probabilidade de que cada uma das k primeiras crianas da fila sejamais alta do que aquelas sua frente.

(c) Dado que a k-sima criana da fila mais alta do que todas as crianas suafrente, qual a probabilidade de que essa criana seja a mais alta do grupo?

43. Suponha que 60% das pessoas assinem o jornal A, 40% o jornal B, e 30% ambos.(a) Se selecionarmos ao acaso uma pessoa que assina ao menos um dos jornais, qual a

probabilidade de que assine o jornal A?(b) Dado que uma pessoa no assina o jornal A, qual a probabilidade de que tambm

no assine B?

44. Em uma cidade, 40% das famlias possuem cachorro e 30% gato. Das famlias comcachorro, 25% tambm tm gato.

(a) Que frao de famlias no possui nenhum dos dois animais?(b) Dentre as famlias que no tm gato, qual a proporo com cachorro?

34 Probabilidade

45. Um cliente que visita o departamento de roupas masculinas de uma loja compraum terno com probabilidade 2/5, uma gravata com probabilidade 5/12 e uma camisacom probabilidade 1/2. O cliente compra um terno e uma gravata com probabilidade2/15, um terno e uma camisa com probabilidade 17/60 e uma gravata e uma camisa comprobabilidade 1/4; compra os trs itens com probabilidade 1/12. Considere os eventos

A : O cliente compra um terno.

B : O cliente compra uma gravata.

C : O cliente compra uma camisa.

(a) Os eventos A, B e C so independentes?(b) Qual a probabilidade de que o cliente no compre nenhum dos itens?(c) Dado que o cliente no vai comprar uma gravata, qual a probabilidade de que

compre um terno?(d) Dado que o cliente vai comprar uma camisa, qual a probabilidade de que tambm

compre uma gravata e um terno?

46. Dos scios de um clube esportivo, 3/4 so adultos e 1/4 crianas. So do sexomasculino 3/4 dos adultos e 3/5 das crianas. Metade dos homens adultos e um tero dasmulheres adultas usam a piscina do clube; a proporo correspondente s crianas 4/5,independentemente do sexo.

(a) Calcule a probabilidade de que um scio do clube escolhido ao acaso use a piscina.(b) Qual a proporo de scios do sexo feminino entre os que usam a piscina?(c) Obtenha a probabilidade de que um scio selecionado aleatoriamente seja do sexo

feminino.(d) Dado que um scio no usa a piscina, qual a probabilidade de que seja do sexo

feminino ou adulto?47. Em um curso secundrio, 1/3 dos estudantes so do sexo masculino e 2/3 dos es-tudantes so do sexo feminino. A proporo de rapazes que estudam cincias 20% eapenas 10% das moas dedicam-se s cincias. Obtenha as probabilidades de que

(a) um estudante escolhido ao acaso estude cincias.(b) um estudante de cincias selecionado ao acaso seja do sexo feminino.

Soluo. Sejam os eventos

A : O estudante do sexo feminino.

B : O estudante estuda cincias.

(a) Pela Frmula da probabilidade total,

P (B) = P (B|A)P (A) + P (B|Ac)P (Ac) = 110 .23 +

15 .

13 =

215 .

Exerccios 35

(b) Pela Frmula de Bayes,

P (A|B) = P (B|A)P (A)P (B) =

(1/10)(2/3)2/15 =

12 .

48. Uma fbrica de sorvete recebe o leite que utiliza de trs fazendas: 20% da fazenda 1,30% da fazenda 2 e 50% da fazenda 3. Um rgo de fiscalizao inspecionou as fazendas econstatou que 20% do leite produzido na fazenda 1 estava adulterado por adio de gua,enquanto que para as fazendas 2 e 3 essa proporo era de 5% e 2%, respectivamente. Afbrica de sorvete recebe o leite em gales, que so armazenados em um refrigerador, semidentificao da fazenda de provenincia. Um galo escolhido ao acaso e seu contedo testado para verificar adulterao.

(a) Qual a probabilidade de que o galo contenha leite adulterado?(b) Sabendo que o teste constatou que o leite do galo est adulterado, obtenha a

probabilidade de que o galo seja proveniente da fazenda 1.

49. Considere duas moedas, uma honesta e a outra que resulta cara em cada lanamentocom probabilidade 0,6. Uma moeda escolhida ao acaso e, aps lanada quatro vezes,observa-se cara trs vezes. Qual a probabilidade de que a moeda escolhida tenha sido amoeda honesta?50. Todo domingo, um pescador vai a um de trs lugares perto de sua casa: ao mar comprobabilidade 1/2, a um rio com probabilidade 1/4, ou a um lago com probabilidade 1/4.No mar, ele consegue fisgar um peixe com probabilidade 80%; no rio e no lago essaprobabilidade vale 40% e 60%, respectivamente. Se em um domingo o pescador voltapara casa sem peixe algum, para onde mais provvel que tenha ido?51. Jogamos um dado honesto e em seguida lanamos tantas moedas honestas como ospontos indicados no dado.

(a) Qual a probabilidade de obter quatro caras?(b) Dado que foram obtidas quatro caras, qual a probabilidade de que o dado tenha

mostrado seis pontos?

52. O estoque de um armazm consiste de caixas de lmpadas de qualidade alta, mdia oubaixa, nas propores respectivas 1 : 2 : 2. Para cada um dos trs tipos, a probabilidadede uma lmpada ser defeituosa 0, 0,1 e 0,2. Se uma caixa selecionada ao acaso e duaslmpadas retiradas dela so perfeitas, qual a probabilidade de que contenha lmpadas dealta qualidade?53. A caixa I contm 4 bolas brancas e 2 pretas, a caixa II contm 3 bolas brancas e1 preta e a caixa III contm 1 bola branca e 2 pretas.

(a) Extrai-se uma bola de cada caixa. Determine a probabilidade de que todas as bolassejam brancas.

(b) Seleciona-se uma caixa e dela extrai-se uma bola. Determine a probabilidade deque a bola extrada seja branca.

36 Probabilidade

(c) Calcule em (b) a probabilidade de que a primeira caixa tenha sido escolhida, dadoque a bola extrada branca.

54. Uma urna contm a bolas azuis e b bolas brancas. Uma bola retirada aleatoriamentee depois reposta urna com mais c bolas da mesma cor. A seguir, retira-se ao acaso umasegunda bola da urna. Qual a probabilidade de que essa bola seja azul?

55. Em um restaurante, trs cozinheiros A, B e C preparam um tipo especial de bolo, ecom probabilidades respectivas 0,02, 0,03 e 0,05 a massa do bolo no cresce. Sabe-se queA prepara 50 por cento desses bolos, B 30 por cento e C 20 por cento. Se uma massa debolo no cresceu, qual a probabilidade de que tenha sido preparada pelo cozinheiro A?

56. Uma senhora da alta sociedade d uma festa em sua manso. Ao trmino da festa, eladescobre que sua coleo de joias foi roubada. Aps as investigaes, a polcia tem certezade que o ladro foi precisamente uma das 76 pessoas presentes festa (entre convidadose garons). Ademais, os investigadores encontram na cena do crime o perfil de DNA doladro, e sabe-se que este perfil de DNA ocorre em 2% de toda populao. Dado que oDNA do Sr. Joo, o primeiro suspeito cujo DNA analisado, combina com o perfil achadona cena do crime, qual a probabilidade de que ele tenha roubado as joias?

57. Em uma cidade, os motoristas so parados pela polcia para fazer um teste sobreo teor de lcool no sangue. Suponha que a probabilidade de que um motorista detidoesteja embriagado 5% e que o teste realizado acerta o estado de embriaguez em 80% dasocasies.

(a) Qual a probabilidade de que o teste de um motorista detido resulte positivo?

Os motoristas cujos testes do positivo so submetidos a um segundo exame, que nuncafalha em um motorista sbrio, porm tem probabilidade 10% de erro nos embriagados.

(b) Dado que o segundo teste de um motorista resultou negativo, qual a probabilidadede que estava dirigindo com um ndice alcolico acima do permitido?

58. Lana-se um dado duas vezes. Considere os eventos

A: Obtm-se 2 ou 5 no primeiro lanamento.

B: A soma das faces obtidas nos dois lanamentos pelo menos 7.

So A e B independentes?

59. Um dado lanado duas vezes. Defina os eventos

A: A soma das faces obtidas par.

B: A soma das faces obtidas divisvel por 3.

So A e B independentes?

Exerccios 37

60. Nove crianas escolhem lugares ao acaso em trs fileiras de trs carteiras. Sejam oseventos

A: Joo e Pedro sentam-se na mesma fileira.

B: Ambos Joo e Pedro sentam-se em uma das quatro carteiras de canto.

So A e B independentes?61. Um experimento consiste em lanar duas vezes uma moeda honesta. Considere oseventos

A: O primeiro lanamento resulta em cara.

B: O segundo lanamento resulta em cara.

C: O resultado do primeiro lanamento coincide com o resultado do segundo lanamento.

Prove que A,B e C so independentes dois a dois, porm no so independentes.62. Duas estudantes, Gabriela e Juliana, esto matriculadas em uma turma de Clculo.Gabriela comparece a 80% das aulas, Juliana a 60%, e suas presenas so independentes.Qual a probabilidade de que, em determinado dia,

(a) pelo menos uma das estudantes comparea aula?(b) apenas uma delas esteja presente?

63. Um livro lido por trs revisores, de modo independente. As probabilidades deque eles detectem um erro especfico so 0,92, 0,85 e 0,95, respectivamente. Calcule aprobabilidade de que o erro seja percebido por

(a) ao menos um revisor.(b) exatamente dois revisores.

64. Suponha que 30% da populao de uma cidade pretende votar no candidato A naprxima eleio municipal. Calcule a probabilidade de, em uma amostra de 10 pessoas,haver ao menos um eleitor de A. Esclarea as suas hipteses.65. Um par de dados honestos lanado repetidamente. Supondo que os ensaios soindependentes, qual a probabilidade de que um total 8 aparea antes de um total 7?

Sugesto: Defina An o evento de que os totais 7 e 8 no ocorrem nos primeiros n 1ensaios e ocorre um total 8 no n-simo ensaio.66. Existem duas estradas de A a B e duas estradas de B a C. Cada uma das quatroestradas bloqueada por queda de barreira com probabilidade p = 1/10, independente-mente das demais. Determine a probabilidade de que exista uma estrada aberta de A a Bdado que no existe um caminho aberto de A a C.Se, alm disso, existe uma estrada direta de A a C, esta estrada sendo bloqueada com pro-babilidade p = 1/10 independentemente das demais, encontre a probabilidade condicionalpedida.

38 Probabilidade

67. Duas pessoas lanam uma moeda honesta n vezes, de forma independente. Mostreque a probabilidade delas obterem igual nmero de caras a mesma que a de obterem aotodo n caras.68. (a) Sejam A e B dois eventos com probabilidade positiva. Se a ocorrncia de B faz deA um evento mais provvel, ento a ocorrncia de A faz de B um evento mais provvel?(b) Mostre que se A um evento tal que P (A) igual a 0 ou 1, ento A independentede todo evento B.69. Suponha que = {1, . . . , p}, onde p um nmero primo. Seja F = P () e, paraA F , defina P (A) = |A|/p. Mostre que se A e B so independentes, ento ao menosum dos dois eventos ou .

Sugesto: Prove que p um divisor de |A| |B|.70. Seja P uma probabilidade sobre um espao amostral e suponha que A um eventocom 0 < P (A) < 1. Mostre que A e B so independentes se e somente se P (B |A) =P (B |Ac).Sugesto: Use que P (Ac B) + P (A B) = P (B).71. Seja P uma probabilidade sobre um espao amostral .

(a) Mostre que se A e B so eventos tais que P (A) < 1, P (B) > 0 e P (A |B) = 1,ento P (Bc |Ac) = 1.

(b) Prove que se E, F e G so eventos tais que P (F G) > 0 e P (F Gc) > 0, ento

P (E |F ) = P (E |F G)P (G |F ) + P (E |F Gc)P (Gc |F ).

Conjuntos limites e continuidade da probabilidade*

72. Continuidade por baixo e por cima da probabilidade: Sejam A, A1, A2, . . .eventos em um espao de probabilidade.

(a) Suponha que An A e defina B1 = A1 e Bk = Ak Ack1, k 2.(a1) Mostre que B1, B2, . . . so dois a dois disjuntos, An =

nk=1Bk e A =

k=1Bk.

(a2) Use a aditividade finita e enumervel para provar que P (A) = limnP (An).

(b) Suponha que An A. Mostre que Acn Ac e conclua que P (A) = limnP (An).

73. Uma moeda com probabilidade p de cara em cada lanamento lanada infinitasvezes, de maneira independente. Definimos os eventos

An : Ocorre pelo menos uma cara nos n primeiros lanamentos.

A : Ocorre pelo menos uma cara.

Mostre que(a) An A.

Exerccios 39

(b) P (A) = 1 se 0 < p 1,0 se p = 0.

74. Sejam A, B, A1, A2, . . . eventos em um espao de probabilidade. Suponha que An A e que B independente de An para todo n 1. Prove que A e B so independentes.Soluo. Como An A, temos que:

(i) An B An+1 B para todo n 1 e

(ii)n=1

(An B) =( n=1

An)B = A B,

ou seja, An B A B. Ento, usando a continuidade por baixo da probabilidade e aindependncia entre An e B,

P (A B) = limnP (An B) = limn [P (An)P (B)]

=(

limnP (An)

)P (B) = P (A)P (B).

Assim, A e B so independentes.75. Subaditividade finita e enumervel: Sejam A1, A2, . . . eventos em um espaode probabilidade. Demonstre que

P( nk=1

Ak)

nk=1

P (Ak) para todo n 2 (Subaditividade finita) e

P( k=1

Ak)k=1

P (Ak) (Subaditividade enumervel).

Sugesto: Prove a subaditividade finita por induo em n. Para mostrar a subaditividadeenumervel, comece com

P( nk=1

Ak)k=1

P (Ak)

e use que Bn =nk=1Ak

k=1Ak quando n.

76. Sejam A1, A2, . . . eventos independentes em um espao de probabilidade. Mostre que

P( nk=1

Ak) 1 exp

{

nk=1

P (Ak)}.

k=1

P (Ak) = = P( k=1

Ak)

= 1.

Sugesto: Para mostrar a desigualdade, use que 1 x ex para todo x R.77. Sejam A1, A2, . . . eventos independentes em um espao de probabilidade. Prove que

P( k=1

Ak)

=k=1

P (Ak).

40 Probabilidade

78. Demonstre que(lim infn An

)c= lim sup

nAcn,(

lim supn

An)c

= lim infn A

cn,

lim supn

(An Bn) lim supn

An lim supn

Bn,

lim supn

(A Bn) = A lim supn

Bn,

lim supn

(An Bn) = lim supn

An lim supn

Bn,

lim infn (An Bn) lim infn An lim infn Bn,

lim infn (A Bn) = A lim infn Bn,

lim infn (An Bn) = lim infn An lim infn Bn,

lim supn

An (lim infn An

)c= lim sup

n(An Acn+1) = lim sup

n(Acn An+1),

limnAn = A e limnBn = B = limn(An Bn) = A B e limn(An Bn) = A B.

79. Continuidade da probabilidade: Sejam A1, A2, . . . eventos em um espao deprobabilidade. Para n 1, defina Bn = k=nAk e Cn = k=nAk.

(a) Prove queBn lim inf

n An e Cn lim supn An.

(b) Usando que Bn An Cn para todo n, mostre que

P(lim infn An

) lim inf

n P (An) lim supn P (An) P(lim supn

An).

(c) Conclua que se existe A = limnAn, ento existe limnP (An) e P (A) = limnP (An).

80. Sejam B1, B2, . . . eventos independentes tais que P (Bn) < 1 para todo n 1.Demonstre que

P (Bn infinitas vezes) = 1 P( n=1

Bn)

= 1.

D um exemplo para mostrar que a condio P (Bn) < 1 para todo n 1 no pode serdispensada.

Sugesto: Para provar a implicao , defina Ak = Bck, k = 1, 2, . . . , e, usando o exerc-cio 77, mostre que P (k=nAk) = 0 para todo n 1.

Respostas 41

Respostas

1. (a) = {F,M}2 = {F,M} {F,M} = {(s1, s2) : si {F,M}, i = 1, 2}, || = 4.(b) = {0, 1, 2}, || = 3.(c) = (0,)2 = {(x, y) R2 : x > 0, y > 0}, infinito no-enumervel.(d) = {0, 1, . . . , 20}, || = 21.(e) = {1, . . . , 6}4 = {(r1, . . . , r4) : ri {1, . . . , 6}, i = 1, . . . , 4}, || = 1296.(f) = {4, 5, . . . , 24}, || = 21.(g) = {0, 1, 2, 3, 4}, || = 5.(h) =

{(x1, . . . , x6) N6 : 6i=1 xi = 4}, || = 126.

(i) = {1, . . . , 8}3 = {(b1, b2, b3) : bi {1, . . . , 8}, i = 1, 2, 3}, || = 512.(j) =

{(x1, . . . , x8) N8 : 8i=1 xi = 3}, || = 120.

(k) = {(b1, b2, b3) : bi {1, . . . , 8}, i = 1, 2, 3 e b1, b2, b3 todos distintos}, || = 336.(l) o conjunto de todos os subconjuntos com tamanho 3 de {1, . . . , 8}, || = 56.(m) = N, infinito enumervel.

(n) = {1, 2, . . . }, infinito enumervel.(o) = N2, infinito enumervel.

(p) = (0,), infinito no-enumervel.(q) = [0,), infinito no-enumervel.(r) = {(x, y) R2 : x2 + y2 1}, infinito no-enumervel.(s) = [0, 1], infinito no-enumervel.

(t) = {0, 1, . . . , 7} [0,) = {(i, x) : i {0, 1, . . . , 7} e x [0,)}, infinito no-enumervel.

2. (a) A Bc Cc (b) A B Cc (c) A B C (d) A B C(e) Ac Bc Cc = (A B C)c(f) (A Bc Cc) (Ac B Cc) (Ac Bc C)(g) (Ac Bc Cc) (A Bc Cc) (Ac B Cc) (Ac Bc C)(h) (AB Cc) (ABc C) (Ac B C) (AB C) = Complementar de (g)

4. 4/9, muda o raciocnio mas no o resultado.

5. 325/833

42 Probabilidade

6. (a) 1/30 (b) 1/210 (c) 2/5 (d) 2/3 (e) 1/42

7. 5,4 . 105 e 0,044.

8. (a) 1/420 (b) 41/42 (c) 7/15 (d) 1/1440

9. (a) 0,310 (b) 0,952 (c) 0,999

10. 1/2

11. (a) 0,236 (b) 0,121

12. (a) 1/18 (b) 1/6 (c) 1/2

13. 9/10

14. 7/99

15. 2(n r 1)/ (n(n 1))

16. (a) 2nn!/(2n)! (b) 2n/(

2nn

)

17. (a)(n2r

)22r/

(2n2r

)(b) n

(n12r2

)22r2/

(2n2r

)(c)

(n2

)(n22r4

)22r4/

(2n2r

)99/323 (Complementar do evento em (a) e Princpio da Incluso-Excluso).

18. A probabilidade igual a a/(a+b) em ambos os casos. O espao amostral no item (a)consiste das (a + b)! ordenaes entre as bolas; em (b) formado pelas (a + b)!/(a! b!)permutaes com elementos repetidos.

19. H uma correspondncia biunvoca entre as escolhas de r nmeros dentre os nmerosde 1 a n sem haver dois consecutivos e as escolhas (sem restries) de r nmeros dentreos nmeros de 1 a n (r 1). A probabilidade pedida igual a

(n+1r

r

)/(nr

).

A probabilidade de ao menos uma seguida no sorteio da Mega Sena 42,1%.

20. p(i) = 2 in(n+ 1) , i = 1, . . . , n

21. (a) 1/2 (b) 3/4 (c) 11/20 (d) 1/20 (e) 3/10 (f) 7/20 (g) 9/20 (h) 4/5

22. (a) 0,4 (b) 0,1 (c) 0,1

23. (a) 70% (b) 2%

24. (a) 1/2 (b) 8/25 (c) 149/198

Respostas 43

25. (a) 0 (b) 0,2 (c) 0,12 (d) 0,68 (e) 0,11 (f) 0,1

29. 12/35

30. 6055/8568

31. 903/1012

32. 0,051

33. 2,5 . 1011

34.nmk=0

(n

k

)(1)kadk, onde ak = ak(n,m) =

(n km

)(n

m

)1

36. 14/15

37. (a) 319/324 (b) 203/23328 (c) 7/792

38. Defina Vi o evento de selecionar a bola vermelha na i-sima extrao e mostre queP (Vi) = 1/3 para i = 1, 2, 3.

39. 31/210

40. (a) 1/33 (b) 1/65

41. 54/343

42. (a)(nk

)(k 1)! (n k)!/n! = 1/k (b) 1/k! (c) k/n

43. (a) 6/7 (b) 3/4

44. (a) 2/5 (b) 3/7

45. (a) No (b) 4/15 (c) 16/35 (d) 1/6

46. (a) 87/160 (b) 38/145 (c) 23/80 (d) 341/365

48. (a) 13/200 (b) 8/13

49. 0,42

50. Ao rio (Probabilidades condicionais: mar = 2/7, rio = 3/7 e lago = 2/7).

51. (a) 29/384 (b) 15/29

44 Probabilidade

52. 10/39

53. (a) 1/6 (b) 7/12 (c) 8/21

54. a/(a+ b)

55. 0,345

56. 2/5

57. (a) 23/100 (b) 2/97

58. Sim: P (A B) = 7/36, P (A) = 1/3 e P (B) = 7/12.

59. Sim: P (A B) = 1/6, P (A) = 1/2 e P (B) = 1/3.

60. No: P (A B) = 1/18, P (A) = 1/4 e P (B) = 1/6.

62. (a) 0,92 (b) 0,44

63. (a) 0,9994 (b) 0,2348

64. 0,9718

65. 5/11

66. 99/199 em ambos os casos.

68. (a) Sim. Quando afirmamos que a ocorrncia de B faz de A um evento mais provvel,queremos dizer que P (A |B) > P (A).(b) Considere separadamente os casos P (A) = 0 e P (A) = 1. No segundo, use queP (A B) = P (B) P (Ac B).

Captulo 3

Variveis aleatrias

1. Definies

1.1. Uma varivel aleatria X em um espao de probabilidade (,F , P ) uma funo avalores reais definida em , tal que

{X x} = { : X() x} F

para todo x R.As variveis aleatrias que assumem valores em um conjunto finito ou infinito enumervel

so chamadas discretas e aquelas que assumem valores em um intervalo da reta real so

chamadas contnuas.

1.2. A funo de distribuio acumulada de uma varivel aleatria X a funo F = FXdefinida por

F (x) = P (X x) = P ({ : X() x}), x R.

Propriedades fundamentais de uma funo de distribuio:

(F1) F uma funo no-decrescente: se x < y, ento F (x) F (y).

(F2) F contnua direita: se xn x, ento F (xn) F (x).

(F3) Se xn , ento F (xn) 0; se xn +, ento F (xn) 1.

Outras propriedades:

(i) Para x, y R com x < y, P (x < X y) = F (y) F (x).

(ii) Para qualquer x R,

P (X = x) = F (x) F (x) = Salto de F no ponto x,

onde F (x) = limxnx,xn 6=x

F (xn) o limite lateral esquerda de F em x.

Assim, F contnua em x se e somente se P (X = x) = 0.

46 Variveis aleatrias

(iii) Para qualquer x R, P (X < x) = F (x).

(iv) O conjunto de pontos de descontinuidade de F finito ou enumervel.

Observao. Uma funo F : R R que satisfaz (F1), (F2) e (F3) a funo de distri-buio de alguma varivel aleatria X.

1.3. (a) A varivel aleatria X discreta se assume um nmero finito ou enumervel de

valores, isto , se existe um conjunto finito ou enumervel {x1, x2, . . .} R tal que X() {x1, x2, . . .}, . A funo p(x) = P (X = x) chamada funo de probabilidadede X.

(b) A varivel aleatria X (absolutamente) contnua se existe uma funo f(x) 0 talque

FX(x) = x

f(t) dt, x R.

Neste caso, dizemos que f uma funo densidade de probabilidade de X.

Observao. Uma varivel aleatria discreta definida quando definimos os seus valores

possveis {xi}i1 e as respectivas probabilidades {pi}i1 satisfazendo

pi > 0, i ei=1

pi = 1.

Uma varivel aleatria contnua definida quando definimos uma funo f : R R tal que

f(x) 0, x e

f(x) dx = 1.

1.4. A funo indicadora de um evento A a varivel aleatria discreta que assume os

valores 1 ou 0 conforme A ocorra ou no, ou seja,

IA() = 1 se A,0 se 6 A.

1.5. Para qualquer B R (boreliano),

P (X B) =

i:xiBp(xi) se X discreta,

Bf(x) dx se X contnua com densidade f.

Variveis aleatrias conjuntamente distribudas 47

x1 x2 x3 x

F (x)

1

P (X = x2)

P (X = x1)

P (X = x3)

Figura 3.1: Funo de distribuio de uma varivel aleatria discreta.

x

fX(x)

a b

P (a X b)

Figura 3.2: Densidade de uma varivel aleatria contnua.

2. Variveis aleatrias conjuntamente distribudas

2.1. Sejam X e Y variveis aleatrias definidas no mesmo espao de probabilidade. A

funo de distribuio acumulada conjunta do par (X, Y ) definida por

F (x, y) = P (X x, Y y), x, y R.

As funes de distribuio marginais de X e Y so respectivamente dadas por

FX(x) = limy F (x, y), x R e FY (y) = limx F (x, y), y R.

2.2. Sejam X e Y variveis aleatrias discretas definidas no mesmo espao de probabili-

dade. A funo de probabilidade conjunta de X e Y

p(x, y) = P (X = x, Y = y), x, y R.

Note que p(x, y) > 0 apenas para (x, y) em um subconjunto finito ou enumervel de R2.

As funes de probabilidade marginais de X e Y so

pX(x) =y

p(x, y), x R e pY (y) =x

p(x, y), y R.

48 Variveis aleatrias

2.3. Sejam X e Y variveis aleatrias definidas no mesmo espao de probabilidade. Dize-

mos que X e Y so conjuntamente contnuas se existe uma funo f(x, y) 0, chamadauma funo densidade de probabilidade conjunta, tal que para quaisquer x, y R,

F (x, y) = x

y

f(u, v) du dv.

Se X e Y so conjuntamente contnuas com funo densidade conjunta f(x, y), ento so

individualmente contnuas com funes densidade marginais respectivas

fX(x) =

f(x, y) dy, x R e fY (y) =

f(x, y) dx, y R.

2.4. natural a extenso das definies e resultados anteriores para o caso de n variveis

aleatrias X1, . . . , Xn definidas no mesmo espao de probabilidade. Nesse caso, chamamos

X = (X1, . . . , Xn) de vetor aleatrio ou varivel aleatria n-dimensional.3. Independncia de variveis aleatrias

3.1. As variveis aleatrias X1, . . . , Xn so independentes se para quaisquer conjuntos

Ai R (borelianos), i = 1, . . . , n,

P (X1 A1, . . . , Xn An) =ni=1

P (Xi Ai).

3.2. SejamX1, . . . , Xn variveis aleatrias com funo de distribuio conjunta F (x1, . . . , xn)

e funes de distribuio marginais FX1 , . . . , FXn , respectivamente. Ento, X1, . . . , Xn so

independentes se e somente se

F (x1, . . . , xn) = FX1(x1) . . . FXn(xn)

para qualquer escolha de x1, . . . , xn. (Em palavras, a funo de distribuio conjunta se

fatora como o produto das funes de distribuio individuais).

3.3. Critrio para independncia no caso discreto:

As variveis aleatrias discretas X1, . . . , Xn so independentes se e somente se

P (X1 = x1, . . . , Xn = xn) = P (X1 = x1) . . . P (Xn = xn)

para qualquer escolha de x1, . . . , xn.

Modelos de distribuies discretas 49

3.4. Critrio para independncia no caso contnuo:

(a) Se X1, . . . , Xn so variveis aleatrias contnuas e independentes, com densidades

respectivas fX1 , . . . , fXn , ento a funo f : Rn R dada por

f(x1, . . . , xn) = fX1(x1) . . . fXn(xn), (x1, . . . , xn) Rn,

uma densidade conjunta de X1, . . . , Xn.

(b) Suponha que X1, . . . , Xn so variveis aleatrias conjuntamente contnuas, cuja

funo densidade conjunta f satisfaz

f(x1, . . . , xn) = f1(x1) . . . fn(xn), (x1, . . . , xn) Rn,

onde f1, . . . , fn so funes tais que fi(x) 0 e fi(x) dx = 1 para todo i = 1, . . . , n.Ento, X1, . . . , Xn so independentes e fi uma densidade de Xi para i = 1, . . . , n.

Corolrio: Sejam X1, . . . , Xn variveis aleatrias conjuntamente contnuas com funo

densidade conjunta f(x1, . . . , xn) e funes densidade marginais fX1 , . . . , fXn , respectiva-

mente. Ento, X1, . . . , Xn so independentes se e somente se

f(x1, . . . , xn) = fX1(x1) . . . fXn(xn)

para qualquer escolha de x1, . . . , xn.

3.5. Uma coleo infinita de variveis aleatrias independente se toda subcoleo finita

dessas variveis aleatrias independente.

3.6. Se X1, . . . , Xn so variveis aleatrias independentes, ento funes contnuas de

famlias disjuntas das Xis so independentes.

3.7. Quando falamos de variveis aleatrias, a abreviatura i.i.d. significa independentes e

identicamente distribudas.

4. Modelos de distribuies discretas

Como usual quando se trata de variveis aleatrias, l-se o smbolo como tem dis-tribuio.

50 Variveis aleatrias

1. X Uniforme discreta sobre o conjunto {x1, . . . , xn} R se tem funo de proba-bilidade dada por

P (X = xi) =1n, i = 1, . . . , n.

X representa a escolha ao acaso de um elemento do conjunto {x1, . . . , xn}. O casoparticular em que x1 = 1, . . . , xn = n denotado por X Uniforme Discreta(n).

2. X Bernoulli(p), 0 p 1, se tem funo de probabilidade dada por

P (X = x) = px (1 p)1x, x = 0, 1.

X a funo indicadora da ocorrncia de sucesso em um ensaio de Bernoulli (expe-

rimento que tem somente dois resultados possveis: sucesso e fracasso, com proba-

bilidades respectivas p e (1 p)).

3. X Binomial(n, p), n 1 inteiro e 0 p 1, se tem funo de probabilidade dadapor

P (X = x) =(n

x

)px (1 p)nx, x = 0, 1, . . . , n.

X o nmero de sucessos obtidos em n ensaios de Bernoulli independentes com

probabilidade de sucesso p em cada ensaio.

importante observar que uma varivel aleatria com distribuio Binomial(n, p)

pode ser escrita como a soma de n variveis aleatrias independentes com distribui-

o Bernoulli(p).

Propriedade: Se X Binomial(n, p), onde 0 < p < 1, ento, medida que k vaide 0 a n, P (X = k) primeiro cresce e depois decresce, atingindo seu valor mximo

quando k o maior inteiro menor ou igual a (n+ 1) p.

4. X Poisson(), > 0, se tem funo de probabilidade dada por

P (X = x) = e x

x! , x = 0, 1, . . .

5. X Geomtrica(p), 0 < p 1, se tem funo de probabilidade dada por

P (X = x) = p (1 p)x1, x = 1, 2, . . .

Modelos de distribuies contnuas 51

X o nmero de ensaios necessrios para obter o primeiro sucesso quando se realiza

uma sequncia de ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso p

em cada ensaio.

Propriedade fundamental: Falta de memria.

P (X m+ n |X m) = P (X n) para m,n = 1, 2, . . .

6. X Binomial Negativa(r, p), r 1 inteiro e 0 < p 1, se tem funo de probabi-lidade dada por

P (X = x) =(x 1r 1

)pr (1 p)xr, x = r, r + 1, . . .

X o nmero de ensaios necessrios para obter o r-simo sucesso quando se realiza

uma sequncia de ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso p

em cada ensaio.

Cumpre enfatizar que uma varivel aleatria com distribuio Binomial Negativa(r, p)

pode ser escrita como a soma de r variveis aleatrias independentes com distribui-

o Geomtrica(p).

7. X Hipergeomtrica(n,R,N), n,R,N inteiros, n N , R N , se tem funo deprobabilidade dada por

P (X = x) =(N Rn x

)(R

x

)(N

n

)1,

para x inteiro tal que mx(0, nN +R) x mn(n,R). X o nmero de bolasvermelhas em uma amostra de tamanho n, extrada sem reposio de uma urna com

N bolas, das quais R so vermelhas e N R azuis.

5. Modelos de distribuies contnuas

1. X Uniforme(a, b), a, b R, a < b, se tem densidade dada por

fX(x) =1

b a, a < x < b.

X representa um ponto escolhido ao acaso no intervalo (a, b).

52 Variveis aleatrias

Binomial(10, 2/5)

p(x)

0 101 2 3 4 5 6 7 8 9x

0.15

0.1

0.25

0.2

0.05

Poisson(4)

p(x)

0 10 11 121 2 3 4 5 6 7 8 9x

0.125

0.15

0.175

0.1

0.025

0.05

0.075

Figura 3.3: Funes de probabilidade das distribuies Binomial(10, 2/5) e Poisson(4).

2. X Normal(, 2), R, > 0, se tem densidade dada por

fX(x) =1

2pie(x)

2/(22), x R.

Essa distribuio tambm chamada distribuio de Laplace-Gauss. O grfico da

densidade fX uma curva com forma de sino, centrada no ponto x = . Essa curva,

ilustrada na Figura 3.4, denominada normal ou gaussiana. O parmetro uma

medida da variabilidade da distribuio de X: quanto maior o valor de , mais

variabilidade h na curva (ou seja, menos concentrada perto de a densidade ).

Pode-se demonstrar que:

(i) A funo fX simtrica em torno de : fX( + x) = fX( x) para todox R.

(ii) Para qualquer x R, FX(+ x) + FX( x) = 1.(iii) x = o nico ponto de mximo de fX , e o valor mximo 1/(

2pi).

(iv) fX tem dois pontos de inflexo (pontos de mudana de concavidade): e+ .

(v) fX(x) 0 quando x .

A distribuio normal de parmetros = 0 e = 1 conhecida como normal

padro. Sua importncia deriva do fato de que se pode obter uma varivel aleatria

normal padro a partir de uma nor