1) prog mme du cycle 3 (Bo 2018)

Cadre institutionnel

Résolution de problèmes Nombres et calculs

1) programme du cycle 3 (Bo 2018)Partie Mathématiques

La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les

domaines des mathématiques, mais elle est également le moyen d’en assurer une appropriation qui en

garantit le sens. Si la modélisation algébrique relève avant tout du cycle 4 et du lycée, la résolution de

problèmes permet déjà de montrer comment des notions mathématiques peuvent être des outils

pertinents pour résoudre certaines situations.

Les situations sur lesquelles portent les problèmes sont, le plus souvent, issues de la vie de classe, de

la vie courante ou d’autres enseignements, ce qui contribue à renforcer le lien entre les mathématiques

et les autres disciplines. Les élèves rencontrent également des problèmes issus d’un contexte interne

aux mathématiques.

On veille aussi à proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas

directement reliés à la notion en cours d’étude, qui ne comportent pas forcément une seule solution, qui

ne se résolvent pas uniquement avec une ou plusieurs opérations mais par un raisonnement et des

recherches par tâtonnements.

Sous-partie Nombres et calculs Résoudre des problèmes en utilisant des fractions, des nombres décimaux et le calcul

Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations : - sens des opérations ;- problèmes à une ou plusieurs étapes relevant des structures additive et/ou multiplicative.

Organisation et gestion de données

Prélever des données numériques à partir de supports variés.

Produire des tableaux, diagrammes et graphiques organisant des données numériques.Exploiter et communiquer des résultats de mesures.Lire ou construire des représentations de données :

• tableaux (en deux ou plusieurs colonnes, à double entrée) ;

• diagrammes en bâtons, circulaires ou semi-circulaires ;

• graphiques cartésiens.

Organiser des données issues d’autres enseignements (sciences et technologie, histoire et géographie, éducation physique et sportive, etc.) en vue de les traiter.

Proportionnalité

Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée : propriétés de linéarité (additive et multiplicative), passage à l’unité, coefficient de proportionnalité. Appliquer un pourcentage.

Attendus de fin de cycle - utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux ;

- calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux ;

- résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul.

Compétences travailléesChercher - prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports

variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc ; - s’engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des

hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle ;

- tester, essayer plusieurs pistes de résolution.

Modéliser - utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie

quotidienne ; - reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de

proportionnalité

Représenter - utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques, écritures avec parenthésages, etc.

Raisonner - résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche qui combine des étapes de raisonnement

Calculer - calculer avec des nombres décimaux et des fractions simples de manière exacte ou approchée, en

utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne, ou en posant les opérations) ;

- contrôler la vraisemblance de ses résultats ;

Communiquer - utiliser progressivement un vocabulaire adéquat et/ou des notations adaptées pour décrire une

situation, exposer une argumentation ; - expliquer sa démarche ou son raisonnement, comprendre les explications d’un autre et argumenter

dans l’échange.

2) Attendus de fin de CM2 (eduscol) Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux

et le calcul- l’élève résout des problèmes nécessitant l’emploi de l’addition ou de la soustraction (avec les entiers

jusqu’au milliard et/ou les décimaux ayant jusqu’à trois décimales)- Il résout des problèmes faisant intervenir la multiplication ou la division- Il résout des problèmes nécessitant une ou plusieurs étapes

3) Repères annuels de progression pour le cycle 3 (eduscol)Dès le début du cycle, les problèmes proposés relèvent des quatre opérations.

La progressivité sur la résolution de problèmes combine notamment :- les nombres mis en jeu : entiers (tout au long du cycle) puis décimaux dès le CM1 sur des nombres très simples

- le nombre d’étapes que l’élève doit mettre en œuvre pour leur résolution ;- les supports proposés pour la prise d’informations : texte, tableau, représentations graphiques.

La communication de la démarche prend différentes formes : langage naturel, schémas, opérations.

Dès la période 1, le passage par l’unité vient enrichir la palette des procédures utilisées lorsque cela s’avère pertinent.

À partir de la période 3, le symbole % est introduit dans des cas simples, en lien avec les fractions d’une quantité (50 % pour la moitié ; 25 % pour le quart ;75 % pour les trois quarts ; 10 % pour le dixième).

4) NOTE DE SERVICE DU 26 AVRIL 20181 - Un enseignement structuré et explicite de la résolution de problèmes

Enseigner la résolution de problèmes nécessite de concevoir une progressivité pour les problèmes proposés, en commençant par des problèmes additifs élémentaires en une étape, avant de proposer des problèmes plus complexes (multiplicatifs élémentaires) et d'augmenter progressivement le nombre d'étapes des problèmes proposés. Au sein d'une même catégorie de problèmes, une progressivité doit être établie : par exemple, au sein des problèmes additifs élémentaires en une étape, les nombres en jeu ou l'aspect dynamique ou non de la situation peuvent ajouter de la complexité pour les élèves. Les quatre problèmes suivants, bien que faisant tous appel à une soustraction et à des nombres inférieurs à 50, sont d'une difficulté inégale pour les élèves. - Léo et Lucie ont 43 billes à eux deux. Léo a 6 billes. Combien Lucie a-t-elle de billes ? - Lucie avait 43 billes ce matin. Elle a perdu 6 billes pendant la récréation. Combien a-t-elle de billes maintenant ? - Lucie avait 43 billes ce matin. Elle a perdu 37 billes pendant la récréation. Combien a-t-elle de billes maintenant ? - Lucie a gagné 6 billes à la récréation. Maintenant elle a 43 billes. Combien de billes avait-elle avant la récréation ? Les différents types de problèmes se résolvant par une même opération doivent être rencontrés et explicités aux élèves, selon une programmation réfléchie tenant compte des différents niveaux de difficulté et de l'impératif de ne pas laisser s'installer une vision réductrice du sens des opérations. La soustraction, par exemple, ne doit pas être assimilée à la seule situation de retrait.

Un enseignement explicite de la résolution de problèmes doit s'appuyer sur des temps spécifiques qui structurent les savoirs et compétences travaillés : des références construites avec les élèves et notées dans les cahiers prévus à cet effet (cahiers de référence en mathématiques) permettent de garder traces de l'aboutissement du travail effectué. Ces références peuvent être des résolutions de problèmes types sur lesquelles les élèves pourront s'appuyer lors de séances ultérieures pour résoudre correctement d'autres problèmes proposés. Références « construites avec les élèves » ne signifie en rien qu'il s'agit de productions imparfaites ; bien au contraire, il s'agit de modèles dont les élèves pourront s'inspirer pour leurs propres travaux. Ces exemples-types doivent servir de références systématiques lors des résolutions de problèmes ultérieures (« c'est comme... »). Idéalement, ces références seront communes à l'école, voire au réseau d'écoles, pour permettre de les utiliser pendant plusieurs années. La formalisation de ces exemples-types doit être l'occasion d'introduire des représentations, sous forme de schémas bien adaptés, permettant la modélisation des problèmes proposés. Ces représentations sont systématiquement utilisées lors des résolutions de problèmes menées face à la classe, afin de servir de référence aux élèves. Elles ne sont bien sûr jamais rendues obligatoires (en particulier pour les élèves en réussite qui n'en ont pas besoin), mais doivent servir de point d'appui, lors des séances d'enseignement, avec les élèves rencontrant des difficultés lors de la résolution d'un problème. L'objectif n'est pas d'établir un catalogue détaillé de typologies de problèmes pouvant exister, dont l'usage serait inopérant pour les élèves, mais au contraire de réunir les problèmes dans des catégories aussi larges que possible en faisant des analogies, par exemple, entre les problèmes pouvant s'appuyer sur les mêmes représentations. Ainsi, les quatre exemples de problèmes proposés ci-dessus peuvent correspondre à un même « modèle » : indépendamment de l'aspect dynamique ou non de la situation, il s'agit en effet, à chaque fois, d'un ensemble partagé en deux parties. Le cardinal de l'ensemble et celui d'une partie sont connus et le problème a pour objet de déterminer le cardinal de la seconde partie.

2 - Les problèmes à soumettre aux élèves L'exemple du problème issu de l'évaluation Timss donné en introduction met en lumière les difficultés des élèves français à résoudre des problèmes numériques en plusieurs étapes. L'objectif prioritaire doit donc être de former les élèves, très tôt, à la résolution de problèmes élémentaires de cette nature. Tout en ne négligeant pas le travail préalable sur les problèmes en une étape, briques élémentaires sur lesquelles pourront s'appuyer les élèves pour résoudre les problèmes en plusieurs étapes, il est important de proposer des problèmes en deux étapes dès le début du cycle 2 (3) : l'objectif visé est de ne pas laisser les élèves penser que résoudre des problèmes se limite à « trouver la bonne opération » ou « avoir de la chance » en prenant les deux nombres de l'énoncé et en choisissant une opération au hasard. Des problèmes qui ne sont ni additifs ni multiplicatifs peuvent également être proposés aux élèves, en particulier au cycle 3, comme, par exemple, des problèmes qu'il faut résoudre par la méthode essai-erreur (4)

Ces problèmes ne doivent pas apparaître de façon isolée, mais être inscrits dans des séquences d'apprentissage au sein desquelles plusieurs problèmes pouvant être résolus par la méthode visée sont proposés. Il convient d'assigner à chaque séquence un objectif d'apprentissage précis ; dans l'exemple de la méthode essai-erreur, il s'agit d'apprendre à chercher, en tâtonnant, en faisant des essais successifs. L'acquisition de la méthode enseignée ou de la démarche visée, dont les cahiers de référence gardent la mémoire, devra ensuite être renforcée par une rencontre régulière de problèmes permettant de la mettre en œuvre au cours des périodes et des années suivantes.

3 - La mise en œuvre dans la classe L'enseignement de la résolution de problèmes peut s'appuyer sur des temps d'échanges collectifs, permettant d'émettre des hypothèses, d'élaborer collectivement des stratégies, de confronter des idées et d'en débattre, de proposer des méthodes de résolution ou encore de soumettre à la classe des problèmes créés par les élèves eux-mêmes. Ces temps collectifs permettent également de contribuer à développer une meilleure expression orale des élèves. Néanmoins, lors des séances de résolution de problèmes, la priorité doit être donnée aux temps pendant lesquels les élèves résolvent effectivement eux-mêmes des problèmes. La recherche de solutions de problèmes peut être menée à plusieurs, en invitant les élèves à collaborer, par binôme ou par groupes de trois ou quatre élèves. Il est néanmoins nécessaire d'accorder d'abord aux élèves un temps de travail individuel en amont de la mise au travail par groupe, afin de leur permettre de s'approprier le problème chacun à leur rythme et ainsi faciliter l'engagement de tous les élèves dans la tâche de résolution. Lors des temps de recherche individuelle ou par groupe, l'enseignant doit veiller à circuler dans les rangs pour consulter les productions de chacun des élèves afin de pouvoir :

- encourager leur mise en recherche ; - relancer le travail des élèves bloqués, pour des raisons mathématiques ou non, en posant des questions pour les aider à s'approprier l'énoncé, en invitant à faire un dessin ou un schéma, en proposant du matériel ; - inviter des élèves à utiliser les ressources à leur disposition (cahier de référence ou affichages) ; - demander à des élèves ne trouvant pas la même chose de comparer leurs résultats et leurs procédures pour se mettre d'accord ; - accompagner plus longuement des élèves ayant des besoins spécifiques ou des difficultés particulières ; - etc.

« Modéliser » et « calculer » sont deux compétences fondamentales pour la résolution de problèmes à l'école élémentaire qui doivent guider l'action de l'enseignant pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés. En effet, lors de la résolution de problèmes, les principales difficultés rencontrées peuvent relever de : - difficultés à « modéliser » : l'élève n'arrive pas à faire le lien entre le problème posé et le modèle mathématique dont il relève, il ne comprend pas le sens de l'énoncé ou il ne propose pas de solution ou encore la solution proposée ne s'appuie pas sur les opérations attendues ; - difficultés à « calculer » : les calculs effectués, mentalement ou en les posant, sont erronés, la ou les

erreurs pouvant être dues à une méconnaissance de faits numériques ou à une maîtrise imparfaite des algorithmes de calcul utilisés.

Les actions de remédiation sont fondamentalement différentes dans les deux cas. Dans le premier cas, un travail important devra être mené pour s'assurer que les élèves concernés comprennent effectivement l'énoncé et soient en mesure de le reformuler. Ils peuvent être invités à effectuer une représentation de la situation ou même à reproduire la situation en utilisant un matériel approprié, comme des images représentant les articles achetés et de la monnaie factice. Dans le second cas, la modélisation est correcte, les élèves concernés peuvent simplement être invités à travailler avec d'autres élèves ayant également modélisé correctement la situation, pour vérifier si leurs résultats sont plausibles, comparer les calculs effectués et échanger afin de se mettre d'accord sur le résultat à trouver.

Lors des temps de recherche individuelle, il est important de veiller à ce qu'une sur-sollicitation de l'enseignant par les élèves ayant le plus d'appétence et de facilités pour les mathématiques ne le conduise pas à répartir ses interventions d'une façon qui ne correspondrait pas aux besoins des élèves.

Lors d'une séance de mathématiques, tous les problèmes traités n'ont pas nécessairement besoin de faire l'objet d'une mise en commun en fin de séance.

de faire l'objet d'une mise en commun en fin de séance.

En effet, si tous les élèves ont réussi à traiter de façon satisfaisante un problème donné, la validation de ces réponses dans les cahiers en circulant dans les rangs doit être suffisante. De même, si seuls un ou deux élèves n'ont pas réussi à traiter un problème donné, une action spécifique auprès de ces élèves peut être plus efficace qu'un échange en classe entière. Si l'objectif fixé en donnant un problème à résoudre est de faire émerger une procédure de résolution particulière ou une représentation-type et qu'aucun élève ne fait ce qui est attendu, l'enseignant ne doit pas renoncer à ce modèle ou attendre qu'il émerge nécessairement d'un élève de la classe. Il peut le proposer lui-même, par exemple en le présentant comme une méthode utilisée par un élève l'année précédente, en invitant les élèves de la classe à discuter de la justesse et de la pertinence de la résolution proposée. La présentation à la classe d'une proposition de résolution d'un problème peut se faire de façon très efficace grâce aux outils numériques, en projetant sur écran ou tableau numérique la proposition d'un élève et en invitant celui-ci à expliciter oralement sa solution. Ces outils peuvent aussi permettre de projeter plusieurs solutions pour les comparer et permettre à la classe d'évaluer à la fois la justesse des résolutions et leur efficacité. Si la salle de classe n'est pas équipée de façon idéale, d'autres procédures de mises en commun peuvent être envisagées, comme la vidéo-projection d'une photo de la solution d'un élève ou, à défaut, la copie de tout ou partie de la résolution proposée.

4 - L'évaluation des acquis des élèves Tout au long de la scolarité, des évaluations régulières doivent permettre de s'assurer de l'acquisition, par tous les élèves, des connaissances et compétences relatives à la résolution de problèmes visées par les séquences qui viennent de s'achever, mais aussi de s'assurer que les compétences et connaissances travaillées lors des périodes et années précédentes sont bien toujours présentes.

Conclusion La résolution de problèmes, au centre de l'activité mathématique, engage les élèves à chercher, émettre des hypothèses, élaborer des stratégies, confronter des idées pour trouver un résultat. Qu'elle soit proposée individuellement ou collectivement en invitant les élèves à collaborer avec leurs pairs, la tâche de résolution de problèmes permet aux élèves d'accéder au plaisir de faire des mathématiques.

Banque de problèmes

1) Problèmes simples / a une étape

a) Problèmes additifsTransformation Recherche de l’état final

- Ce matin, Julie avait 47 billes. Elle en a gagné 49 pendant la récréation. Combien en a-t-elle maintenant ?

- Le train Nevers-Paris est parti de Nevers avec 1474 personnes. 119 personnes sont montées à l’arrêt de Cosne. Combien de personnes compte le train en arrivant à Paris ?

Recherche de l’état initial

- Léo avait rendez-vous chez son dentiste. Il est arrivé à 15h09 avec 24 minutes de retard. A quelle heure devait-il être chez son dentiste ?

- Paul a ajouté 20 euros dans sa tirelire, grâce au cadeau de sa grand-mère. Il vide alors la tirelire et compte qu’il possède au total 174,50 euros. Combien d’argent y avait-il dans sa tirelire avant le cadeau de sa grand-mère ?

Recherche de la transformation

- Avant de faire sa séance de sport, Léo s’est pesé : 54 kg. Juste après cette séance, il se pèse à nouveau : 52 kg. Combien de poids Léo a-t-il perdu pendant sa séance de sport ?

- Dans son jardin, grand-père avait compté 36 petites tomates avant de partir en vacances. Lorsqu’il est revenu de vacances, il a compté 93 tomates. Combien de tomates ont poussé durant son absence ?

Composition Recherche du composé

- En une semaine, Monsieur et Madame Lafontaine ont consommé 1 470 litres d’eau pour se laver, 28 litres pour arroser les géraniums, 360 litres d’eau pour laver le linge et 460 litres d’eau pour laver la vaisselle. Combien ont-ils utilisé de litres d’eau en tout ?

- Dans son verger, Mr Dupont a ramassé 73 prunes, 214 pommes et 165 poires. Combien de fruits a-t-il au total ?

- Dans mon club de football, il y a 79 débutants, 56 poussins, 61 benjamins, 54 joueurs en 13 ans, 32 joueurs en 15 ans, 47 joueurs en 18 ans et 63 seniors. Combien y a-t-il de licenciés dans mon club?

Recherche de l’un des éléments - Dans le pré, il y a des vaches et des poules. Il y a en tout 12 animaux. Il y a 8 vaches.

Combien y a-t-il de poules ?

- Lucas pèse 26,5 kg. Lorsqu’il se pèse avec son chien, la balance affiche 33kg. Combien pèse le chien de Lucas ?

- Lors de la finale de la coupe de France de football, on a enregistré 89485 entrées dont 67945 payantes. Combien a-t-on distribué d’entrées gratuites ?

Comparaison Recherche de l’un des états

- Lucie et Yasmina vont se retrouver à la mer. Lucie habite à 57Km de la plage. Elle a 41Km de moins que Yasmina à faire. Quelle est la distance qui sépare Yasmina de la plage ?

- Lucie fait les boutiques pour acheter un manteau. Elle hésite entre un rouge et un noir. Le manteau rouge coûte 87 euros. Il coûte 24 euros de plus que le manteau noir. Quel est le prix du manteau noir ?

- Luc a 43 ans. Il a 14 ans de moins que son frère Paul. Quel est l’age de Paul ?

- Les deux frères Mariani ont 6 ans d’écart, le plus vieux a 82 ans. Quel âge a le plus jeune ?

- Monsieur Durant gagne 1 740 € par mois. Il gagne 200 € de moins que Monsieur Dupont. Quel est le salaire mensuel de Monsieur Dupont ?

Recherche de la comparaison

- Monsieur et madame Durand ont visité deux maisons. La première vaut 298 000 euros. La seconde vaut 315 000 euros. Combien la 2ème maison vaut-elle de plus ?

Composition de transformations

- Un bus part de Varenne-Vauzelles à destination de la piscine Aquabalt. Il fait un arrêt à Pierre Brossolette, un à Carnot et un à la gare. Au premier arrêt, les 21 élèves de la classe de CM2 et 4 accompagnateurs montent dans le bus. Il y a déjà 39 passagers dans le bus. A l’arrêt suivant, une autre classe de 28 élèves monte dans le bus et 15 personnes descendent. A l’arrêt suivant, 13 personnes descendent et 2 couples montent. 3 retardataires arrivent en courant et montent dans le bus. Combien de passagers arrivent à la piscine ?

- Un autobus part de Paris à destination de Toulouse.Il fait un arrêt à Limoges, un arrêt à Brive et un arrêt à Cahors. 40 passagers montent dans le bus à Paris. A Limoges, 15 passagers descendent et 18 passagers montent. A Brive, 32 passagers descendent et 13 passagers montent. A Cahors, 11 passagers montent. Combien de passagers arrivent à Toulouse ?

- Un avion part de New York à destination de Varsovie. Il fait une escale à Paris et une escale à Berlin. 77 passagers embarquent à New York.A Paris, 30 passagers descendent et 14 montent. A Berlin, 27 passagers descendent et 25 montent. Combien de passagers débarquent à Varsovie ?

- Un avion part de Paris à destination de Moscou (en Russie) avec une escale prévue à Berlin (en Allemagne) et une autre à Varsovie (en Pologne). 325 passagers embarquent à Paris. A Berlin, 28 passagers descendent de l’avion et 57 montent. A Varsovie, 41 passagers descendent et 35 montent. Combien de passagers débarqueront à Moscou ?

- A 8 heures, 263 voitures sont garées sur le parking du supermarché. A 8 H 15, 73 voitures sont sorties et 48 sont entrées.A 8 H 22, 73 sont entrées et 109 voitures sont sorties.Combien de voitures sont garées dans le parking à 8 H 22 ?

- Il y a un manège à la fête de Nevers. Le manège va tourner 4 fois. A 15 heures, 27 personnes montent. A 15H10, 10 personnes descendent et 5 personnes montent. A 15H20, 3 personnes descendent et 12 personnes montent. A 15H30, 7 personnes montent sur le manège. Combien y a-t-il de personnes sur le manège à 15H27 ?

b) Problèmes multiplicatifs N fois plus N fois moins

- Lucie a 73 images dans sa collection d’animaux. Antoine en a trois fois plus.Combien d’images possède Antoine ?

- Les voisins ont planté 133 fleurs. Après une terrible tempête, ils annoncent qu’ils ont sept fois moins de fleurs. Combien de fleurs reste-t-il ?

- Mardi, 8775 spectateurs ont assisté au match. Mais pour la finale de samedi, il y avait 43 875 spectateurs. Combien de fois plus de spectateurs sont venus samedi ?

- Théo possède 125 € dans son énorme tirelire. Papa lui explique que la voiture a couté 75 fois plus. Combien a couté la voiture ?

- Au péage de l’autoroute, il y a en moyenne 24 fois moins de voitures la nuit que dans la journée. Combien de voitures roulent la nuit s’il y en a 18 912 en moyenne le jour ?

- Pendant un concours de calcul mental, Alex a marqué 43 points et Jeanne en a marqué 301. Combien de fois moins de points Axel a-t-il marqués ?

Produit cartésien

- Louise dispose d’habits pour sa poupée. Elle a une paire de chaussures rouges et une paire de chaussures noires, une paire de chaussettes blanches, une paire de chaussettes roses et une paire de chaussettes bleues et 4 robes différentes. Combien de possibilités a-t-elle pour ne pas habiller sa poupée deux fois exactement de la même manière ?

- Pour rencontrer ses ministres, Louis a plusieurs possibilités pour s’habiller. Il peut prendre : sa couronne en or ou sa couronne en argent, son manteau bleu, son manteau rouge ou son manteau blanc, ses souliers blancs ou ses souliers rouges. Combien de possibilités a-t-il pour ne pas avoir un costume deux fois exactement identique ?

- Théophile adore aller chez le glacier mais il ne veut pas manger deux fois la même coupe. Ce glacier propose des coupes avec une boule de glace, une crème et un fruit. Il a 3 parfums de glace, 2 crèmes et 3 fruits. Combien de fois Théophile peut-il venir chez le glacier sans manger exactement deux fois la même coupe ?

- Au menu du restaurant, on peut choisir une entrée parmi 5, un plat parmi 2 et un dessert parmi 4. Combien peut on faire de repas différents ?

- Chaque année, la reine Elizabeth II organise des Garden Party à Buckingham Palace. Pour cette occasion, elle doit choisir sa tenue. Elle a le choix entre : Son chapeau bleu ou son chapeau rose / Sa veste jaune, sa veste verte ou sa veste orange / Ses chaussures noires ou ses chaussures blanches. La reine n’aime pas être habillée deux fois de la même manière. Combien peut-elle former de tenues différentes ?

- Pour se rendre sur le Mont Olympe, Hermès doit choisir sa tenue. Il a le choix entre : Un casque d’or, un casque d’argent ou un casque en bronze - Une tunique blanche ou une tunique beige / Des sandales noires ou des sandales marron. Hermès n’aime pas être habillé deux fois de la même manière. Combien peut-il former de tenues différentes ?

Configuration rectangulaire

Produit de mesures- Je donne 1 carré de chocolat à chaque enfant. Ma tablette a 8 rangées de 4 carrés

chacune. A combien d’enfants puis-je donner 1 carré de chocolat ?

- Un fermier a planté 21 rangées de 12 salades. A-t-il planté plus de 250 salades ?

- Un ferry peut transporter 34 rangées de 4 voitures lors d'une traversée. Combien de voitures peut-il transporter ?

- Je donne un carré de chocolat à chaque enfant. Ma tablette a 8 rangées de 4 carrés chacune. A combien d'enfants puis je donner un carré de chocolat ?

- M. Pollet pose du carrelage dans sa douche. Il pose 12 rangées de 27 carreaux. Combien va-t-il poser de carreaux ?

- Pour paver sa terrasse rectangulaire, mon voisin a besoin de 25 pavés en longueur et de 17 pavés en largeur. Combien de pavés utilisera-t-il en tout ?

- Dans une salle de spectacle, il y a 20 rangées de 33 fauteuils. Est-ce qu’il y aura assez de places pour les 600 élèves du collège ?

- Monsieur le maire achète des géraniums pour fleurir le village. Les géraniums sont vendus en barquettes de 12. Il achète 9 barquettes de 12 géraniums. Combien aura-t-il de géraniums à planter ?

Multiplication Recherche du nombre total d’éléments - Une grenouille doit effectuer 54 sauts de 15,50 cm pour atteindre sa mare. Quelle

distance la sépare de cette mare ?

- M. Durand s’achète 5 paires de chaussures à 85,25 euros la paire. Quel sera le montant de son achat ?

- Pour la kermesse de l’école, les parents d’élèves ont vendu 178 crêpes à 2€. Combien d’argent ont-ils gagné au total ?

- Le garagiste a fini de réparer la voiture. Il a changé les 4 pneus. Un pneu coute 99€. Combien cela va-t-il couter au total ?

- Suzy achète 6 pots de crème. Un pot coûte 1,20€. Combien dépense-t-elle?

- Lors du championnat de cyclisme, un cycliste fait 36 tours de circuit. Le tour du circuit mesure 2,5 km. Quelle distance a-t-il parcourue ?

Quatrième de proportionnelle

- S’il y a 81 appartements répartis dans « immeubles, combien y a-t-il d’appartements dans è immeubles ?

- 18 bus peuvent contenir 936 personnes. Combien de personnes peuvent monter dans 27 bus ?

- 17 rayons de la BCD supportent 544 livres. Combien peut-on mettre de livres sur 63 rayons ?

- Avec 249,60 kg de fraises, on peut faire 208 bocaux de confiture. Quelle quantité de fraises faut-il pour faire 100 bocaux de confiture ?

- 1 poulet fermier qui pèse 1,200 kg coûte 8,00 €. Combien pèse un poulet qui coûte 17,00 € ?

- Sur une carte à l’échelle, une longueur réelle de 4 km est représentée par une longueur de 2 cm. Par quelle longueur sur la carte est représentée une longueur réelle de 5,6 km ?

Division quotition

Recherche du nombre de parts - Mme Dupont possède des poules qui pondent 1057 oeufs par jour. Elle répartit les

oeufs dans des boîtes de 6. Combien de boîtes Mme Dupont pourra-t-elle remplir chaque jour ?

- M. Durand possède 250 euros. Il veut s’acheter des paires de chaussettes à 6 euros la paire. Combien de paires de chaussettes pourrait-il s’acheter ?

- M. Valentin a fait 157 litres de jus avec des pommes de son verger. Il souhaite mettre ce jus dans des bouteilles de 2 litres. Combien de bouteilles sont nécessaires ?

- Avec 140 euros, Eric a acheté des paires de chaussures à 20 euros pièce. Combien en a-t-il acheté?

- Un sportif parcourt chaque jour 6 km en courant. Combien de jours mettra-t-il pour parcourir 300 km ?

- Une fleuriste a reçu 165 roses. Elle les met par bouquets de 7. Combien va-t-elle réaliser de bouquets ?

- Une caissière a 115 pièces de monnaie.Combien de rouleaux peut-elle faire, sachant qu’elle met 10 pièces par rouleau ?

Division partition

Recherche de la valeur d’une part- 5 pirates veulent se partager équitablement 1458 pièces d’or identiques. Combien

de pièces chaque pirate va-t-il recevoir ?

- Le grand frère de Claudia s’entraîne sur une piste d’athlétisme pour préparer sa prochaine course à pied. Il vient de parcourir 6000 m en 15 tours. Quelle est la longueur de la piste sur laquelle il s’entraîne ?

- Le terrain d’un futur lotissement a une aire de 12 231m2. Il y aura sur ce terrain 27 parcelles identiques. Quelle sera la superficie de chaque parcelle ?

- Julien a 96 billes. Il les partage avec ses 3 copains. Combien auront-ils de billes chacun ?

- Jean a ramassé 5 pommes de même poids. Ensemble elles pèsent 450 grammes. Combien pèse une pomme ?

- Madame Moussaron revient de la pâtisserie. Elle a dépensé 126 euros. Elle a acheté 7 gâteaux. Combien coûte un gâteau ?

- Le grand frère de Claudia s’entraîne sur une piste d’athlétisme pour préparer sa prochaine course à pied. Il vient de parcourir 6000 m en 15 tours.Quelle est la longueur de la piste sur laquelle il s’entraîne ?

- Nouriat a 4 rubans de même longueur. Bout à bout ils mesurent 120 cm. Quelle est la longueur d’un ruban ?

2) Problèmes complexes / à plusieurs étapes Additifs - Younes a reçu 150 euros pour son anniversaire. Il achète :

- une montre à 32,50 euros- un jeu vidéo à 43,80 euros - le 4ème tome de Harry Potter à 15,60 euros- une raquette de tennis à 55 euros. Combien dépense-t-il en tout ?

- L’équipement du sportif Gaston a acheté un maillot à 17€ et un ballon. Il a payé avec un billet de 50€, le vendeur lui a remis 8,60€. Quel est le prix du ballon ?

- Marc, Louise et Frédéric font une course d’endurance. Louise a mis 1h40 pour faire le parcours. Elle a mis 12 minutes de plus que Marc et 6 minutes de moins que Frédéric.Combien de temps ont mis Marc et Frédéric ?

- Un car part de Nevers à destination de Paris. 64 passagers embarquent à Nevers. Au premier arrêt, 33 personnes descendent et 19 personnes montent. A l’arrêt suivant, le chauffeur du bus dépose 7 colis à la gare. A l’arrêt suivant, 3 couples accompagnés de 3 enfants embarquent, ainsi qu’un groupe de 28 personnes. 5 kilomètres avant Paris, le bus s’arrête. Quelques personnes descendent. A l’arrivée à Paris, les 80 passagers débarquent ravis de leur voyage. Combien de passagers sont descendus 5 kilomètres avant l’arrivée à Paris?

- J’ai fait des courses : j’ai payé un total de 119,95 € pour un jeu vidéo à 49,95 €, un livre à 25€ et des manettes de jeux vidéo. Combien ai-je payé les manettes ?

- J’ai acheté un pantalon à 45 € et une veste qui coute 25€ de plus. A la caisse, j’utilise un bon de réduction pour payer 10€ de moins. Combien ai-je payé au total ?

- Mon père mesure 1,94 cm. Ma soeur mesure 22 cm de moins que lui et 45 cm de plus que moi. Quelle est la taille de ma soeur ? Quelle est ma taille ?

- Tom a 4 comptes à la banque. Il a 1432,75 euros, 4569,83 euros, 687,24 euros et 6907, 35 euros. Julia a 1953,25 euros de plus que Tom sur son compte. Combien d’argent a Tom ? Combien d’argent a Julia ?

- J’ai joué au poker avec des amis. J’ai perdu 457 euros durant la première partie puis gagné 1278 durant la seconde. Avant de commencer la partie j’avais 687 euros. Combien ai-je gagné ou perdu durant cette partie ? Combien d’argent ai-je à la fin de la partie ?

Multiplicatifs - Un laveur de vitres lave toutes les semaines les fenêtres d'un bâtiment de 8 étages. Il y a 25 vitres par étage. Combien de vitres lave t-il chaque semaine ?

- Un voyage de 100km en voiture revient à 12,50€. A combien revient un voyage 3 fois plus long ? 2 fois plus court ?

plus long ? 2 fois plus court ?

- Pour la fête de l’école on a vendu 185 carnets de tickets. Chaque carnet contient 5 tickets vendus 4€ l’un. Quelle somme d’argent a-t-on gagné ?

- Stéphanie a cueilli 6 kg de cerises à l’heure, 4h30 par jour pendant 10 jours. Quelle quantité de cerises a-t-elle cueilli ?

- Le maître veut couvrir les dictionnaires avec du plastique.Pour recouvrir un dictionnaire, il faut 50 cm de plastique.Le plastique est vendu par rouleaux de 4 mètres.Combien de rouleaux doit-il acheter pour recouvrir les 25 dictionnaires de la classe ?

- Mme Dupont élève des poules pour produire des oeufs. Elle récolte ainsi 130 oeufs chaque matin. Le dimanche, elle vend ses oeufs dans des boîtes de 6 qu’elle vend 4,50 euros chacune. Combien d’euros gagne Mme Dupont chaque dimanche si elle vend toutes les boîtes (complètes) ?

- Pour un anniversaire, on découpe le gâteau de 600 g en 12 parts. Les enfants prennent une 1⁄2 part et les adultes une part entière. Combien pèse la part d’un enfant ?

- Au marché, Louis achète 5 caisses de 12 melons à 1,50 euro le melon. Combien achète-t-il de melons ? Combien paie-t-il ?

- Un club de football a vendu 58 billets pour un total de 696 euros. Quel est le prix d’un billet ? Quel est le prix de 80 billets ?

- Au marché, Marc achète 560 melons pour 504 euros. Il emballe ses melons par caisses de 4 et vend la caisse à 8 euros. Quel est son bénéfice ?

Additifs et multiplicatifs

- Un bijoutier propose différents modèles de bagues composées d’un anneau et d’une pierre précieuse. Les clients peuvent choisir entre deux types d’anneaux : ︎ Anneaux en or jaune à 198€ /︎ Anneaux en or blanc à 172€. Et trois sortes de pierres précieuses : ︎Diamant à 711€ / Saphir à 395€ /︎ Emeraude à 158€. Combien peut-on faire de bagues différentes ? Jean Claude dispose d’un budget de 1600€ pour acheter 3 bagues. Que peut-il acheter ?

- Une classe composée de 27 enfants et de 3 adultes a assisté à un spectacle à la maison de la culture. Le groupe a payé 192€ pour le spectacle.Sachant que le tarif d’une entrée pour un adulte est de 10€, quel est le tarif pour un enfant ?

- J’ai acheté 3 kg de bananes à 1€30 le kg, 5 kg d’orange à 1,5 € le kg et 4 mangues à 1,3€ l’unité. J’ai payé avec un billet de 50€. Combien de monnaie dois-je récupérer ?

- Pour payer leur voiture, les parents de Léo ont donné 2 900€ puis ils doivent payer 290€ par mois pendant 3 ans et demi. Combien coute la voiture au total ?

- Trois enfants ramassent des mûres : le premier en récolte 380 g, le deuxième 200g de moins et le troisième 240g. Puis ils se partagent équitablement l’ensemble la récolte. Combien reçoivent-ils chacun ?

- Le garagiste a fini de réparer la voiture. Il a fait une vidange à 189€, changé les 4 plaquettes de frein (55€ l’une) et changé tous les pneus à 85 € le pneu. Combien cela va-t-il couter au total ?

- Un restaurateur refait sa carte et crée des menus. Il y a 12 entrées, 4 viandes, 3 poissons, 7 accompagnements et 6 desserts. Il liste tous les menus possibles puis en retire ensuite 4814. Combien de menus le restaurateur a-t-il crées ? Combien en a-t-il réellement sur la carte finale ?

3) problèmes atypiques / de logique / de recherche- Ma maîtresse refuse de dire son âge. Mais elle dit que si on multiplie son âge par 4 et qu’on retire 9 au

résultat, on obtient 87. Quel est l’âge de la maîtresse ?

- Sophie est fleuriste. Elle déjeune au restaurant, sur une table de quatre, avec ses amis qui possèdent : une épicerie, une pâtisserie, une bijouterie. A table, Sophie est à gauche de Romain. Claude est la droite du propriétaire de l’épicerie. Armand, sais en face de Romain n’est pas pâtissier. Retrouve le métier de chacun.

- Des groupes arrivent pour une promenade en bateau. Voici le nombre de personnes par groupes : 25 - 50 - 65 - 70 - 85 - 100 - 45. Les personnes d’un même groupe ne veulent pas se séparer. Elles veulent monter dans le même bateau. Un bateau peut transporter 150 personnes, pas une de plus. Il y a 3 bateaux. On voudrait savoir comment ces groupes vont s’organiser pour monter dans les bateau ?

- Marion prépare du sirop dans les deux bouteilles A et B. Dans la bouteille A, elle met 4 verres d’eau et 2 morceaux de sucre. Dans la bouteille B, elle met 12 verres d’eau et 10 morceaux de sucre. Caroline, Pierre et Sophie goûtent les préparations. Caroline dit : « C’est le sirop A qui est le plus sucré ! » Sophie dit : « C’est le sirop de la bouteille B qui est le plus sucré ! » Pierre dit : « Les deux sirops sont pareils ! » Qui a raison ? Explique pourquoi.

- Alex, Arthur et Olive ont mangé en tout 10 caramels. Alex en a mangé deux de plus que Arthur et Arthur en a mangé un de plus que Olive. Combien chacun a-t-il mangé de caramels ?

- Les enfants mangent par table de 6 à la cantine. Le maître les fait entrer table par table en complétant les tables. 75 enfants sont déjà entrés. Armais et ses trois copains voudraient manger à la même table. Doivent-ils se mettre tout de suite dans la file ou laisser passer quelques enfants ? Si oui, combien ?

- Dans ma tirelire, j’ai 32 pièces et billets. Je n’ai que des pièces de 2 euros et des billets de 5 euros.Avec 32 pièces et billets j’ai 97 euros. Combien y a-t-il de pièces de 2 euros et de billets de 5 euros dans ma tirelire ?

- Sur une table, il y a un livre ouvert. 1°) Si j’ajoute le nombre indiquant le numéro de la page gauche avec celui qui indique le numéro de la page de droite, je trouve 129. A quelles pages le livre est-il ouvert ? 2°) Si je trouve 273, à quelles pages le livre est-il ouvert ? 3°) Peut-on trouver 300 ? Justifie ta réponse.

- Dans deux ans, Mathilde aura deux fois l’âge qu’elle avait il y a deux ans. Dans trois ans, Bruno aura le triple de l’âge qu’il avait il y a trois ans. Quel est le plus vieux des enfants ?

- Je pense à un nombre : le triple de sa moitié est 12. Quel est ce nombre ?

- Un berger a plus de 50 moutons mais moins de 70. Un jour, il remarque, que s’il les compte par 2, il en reste 1 ; que s’il les compte par 3, il en reste 1 ; par 4, il en reste 1 ; par 5, il en reste 1 et par 6, il en reste toujours 1. Combien a-t-il de moutons ?

- Nous sommes 5 nombres impairs et nous nous suivons (comme 2, 4, 6, etc…). Notre somme est 105. Qui sommes-nous ?

Séquence d’’’’’’’’’ ’apprenti!age

Déroulement type d’une séquence de résolution de problèmes (de la séquence 1 à la séquence 10)

Cycle : 3 Classe : CM2 Effectif : 21

Domaine : mathématiques

Nombre de séances : 4

Séances Déroulement

Séance 1 Situation de

référence

Objectif : Découvrir et résoudre un

nouveau type de problème

Rituel problème oral (3’) • Résolution d’un problème oral simple sur l’ardoise

Problème de référence (40’) Étape 1 : lecture du problème • Lecture individuelle silencieuse du nouveau problème par les élèves. • Lecture à voix haute par l’enseignant ou un élève avec explicitation du vocabulaire si

besoin.

Étape 3 : Temps de recherche individuelle • Les élèves cherchent des solutions et s’approprient le problème, ils écrivent leur

réponse sur le cahier de résolution de problème. • Différenciation (compétence « modéliser ») : Les élèves qui en ont besoin peuvent

aller prendre du matériel.

Étape 4 : Temps de recherche par groupe • Les élèves confrontent leurs procédures et résultats par deux ou trois. • Ils essaient de se mettre d’accord et de faire un choix puis ils le recopient sur une

affiche commune (calcul et/ou schéma et phrase réponse). • Ce temps permet à l’enseignant de choisir ou non les productions pour la mise en

commun : en fonction des productions des élèves, une simple correction peut être suffisante.

Étape 5 : Mise en commun • Présentation des différentes procédures : débat et argumentation pour invalider et

éliminer les propositions fausses dans un premier temps, déterminer le résultat correct, comparer les méthodes et trouver ensuite une ou plusieurs procédures valides que les élèves pourront utiliser pour tous les problèmes de ce type.

• L’enjeu pour les élèves est de trouver et d’utiliser la méthode la plus efficace pour résoudre ce type de problème : proposer aux élèves de réinvestir directement cette méthode en passant par la manipulation ou la schématisation.

• Correction dans le cahier pour les élèves n’ayant pas réussi à résoudre le problème• Remédiation : si la procédure attendue n’a été apportée par aucun groupe, celle-ci

peut être apportée par l’enseignant.

Étape 6 : institutionnalisation • Le problème de référence sera gardé au tableau avec image et schéma : tous les

problèmes de ce type/qui ont la même histoire pourront se résoudre de la même façon, en utilisant cette procédure et/ou ce schéma

• Les élèves mettent en valeur le problème de référence à l’aide du code couleur dans leur cahier (chaque problème de référence est entouré de la même couleur que l’affiche).

Problème proche (15’) • Réinvestissement de la nouvelle procédure : résolution individuelle sur le cahier de

problèmes proches du problème de référence permettant de mettre en application la procédure choisie lors de la mise en commun (un ou plusieurs problèmes selon le niveau des élèves) puis distribution de la fiche d’entraînement.

• Différenciation (compétence « calculer ») : le domaine numérique des problèmes d’entraînement est différencié.

Séance 2 Variations à partir de la situation de référence

Objectifs : Adopter ou

réutiliser une procédure

efficace pour résoudre un type

de problème

Rituel problème oral (3’) • Résolution d’un problème oral simple sur l'ardoise

Variations à partir du problème de référence (20’) • Étape 1 : Rappel de la séance précédente (problème de référence affiché au

tableau) : qu’est-ce que l’on cherchait ? Qu’a-t-on trouvé ? Comment avons-nous fait ? Quelle procédure efficace avons-nous gardée ?

• Étape 2 : entraînement • Travail autonome sur les variations à partir du problème de référence (fiche

d’entraînement composée de 4 problèmes)• Différenciation : domaine numérique différencié / travail avec étayage de l’enseignant

pour les élèves en difficultés

Séance 3 Création d’un

problème proche de la situation de référence

Objectifs : Réinvestir les

connaissances


Écriture d’énoncé (30’) • Étape 1 : écriture • Par petits groupes, les élèves créent un énoncé de problème correspondant à la

catégorie de problème travaillée dans la séquence.

• Étape 2 : résolution • Les groupes transmettent leur problème inventé à un autre groupe et reçoivent eux

aussi un problème inventé par un autre groupe à résoudre. • Discussion autour des problèmes inventés : correspondent-ils à la même catégorie

de problème ? Est-il possible de les résoudre de la même manière que le problème de référence ?

Séance 4 Problème complexe

Ojbjectifs : Résoudre un

problème complexe

permettant de réinvestir les procédures

connues pour les problèmes

simples


Résolution d’un problème complexe (30’) Étape 1 : lecture du problème • Lecture individuelle silencieuse du nouveau problème par les élèves. • Lecture à voix haute par l’enseignant ou un élève avec explicitation du vocabulaire si

besoin. • Identification du problème comme un problème complexe : que cherche-t-on ?

Quelles sont les différentes étapes ?

Étape 3 : Temps de recherche individuelle • Les élèves cherchent des solutions et s’approprient le problème, ils écrivent leur

réponse sur le cahier de résolution de problème.

Étape 4 : Temps de recherche par groupe • Les élèves confrontent leurs procédures et résultats par deux ou trois. • Ils essaient de se mettre d’accord et de faire un choix puis ils le recopient sur une

affiche commune (calcul et/ou schéma et phrase réponse).

Étape 5 : Mise en commun • Présentation des différentes procédures : débat et argumentation pour invalider et

éliminer les propositions fausses dans un premier temps, déterminer le résultat correct

• Verbalisation : quelles étaient les 2 étapes / les 2 questions / que fallait-il faire d’abord / quelle procédure efficace pour les problèmes simples pouvait-on réutiliser / comment décomposer le problème ?

• Correction dans le cahier pour les élèves n’ayant pas réussi à résoudre le problème

• Étape 6 : institutionnalisation • Verbalisation : Pour résoudre un problème complexe de ce type,…

Activités ritualisées quotidiennes :

• Petits problèmes oraux : petits problèmes courts et simples dont le domaine numérique est familier des élèves (de 0 à 20) vont permettre d’automatiser des procédures et de retrouver les catégories de problèmes connues.

• Calcul mental : va permettre d’entraîner les élèves à avoir plus d’aisance avec les nombres et les calculs.

Séquence 1 : des problèmes additifs 1 (transformation)

Objectifs de la séquence : - Résoudre des problèmes de transformation simples à une étape- Résoudre un problème complexe à plusieurs étapes faisant intervenir la transformation

Séance 1 : situation de référence

Les billes

Ce matin, Julie avait 47 billes. Elle en a gagné 49 pendant la récréation. Combien en a-t-elle maintenant ?

Séances 2 : Variations à partir de la situation de référence

La séance de sport

Avant de faire sa séance de sport, Léo s’est pesé : 54 kg. Juste après cette séance, il se pèse à nouveau : 52 kg. Combien de poids Léo a-t-il perdu pendant sa séance de sport ?

Nevers-Paris

Le train Nevers-Paris est parti de Nevers avec 1474 personnes. 119 personnes sont montées à l’arrêt de Cosne. Combien de personnes compte le train en arrivant à Paris ?

Le dentiste

Léo avait rendez-vous chez son dentiste. Il est arrivé à 15h09 avec 24 minutes de retard. A quelle heure devait-il être chez son dentiste ?

La tirelire

Paul a ajouté 20 euros dans sa tirelire, grâce au cadeau de sa grand-mère. Il vide alors la tirelire et compte qu’il possède au total 174,50 euros. Combien d’argent y avait-il dans sa tirelire avant le cadeau de sa grand-mère ?

Le jardin

Dans son jardin, grand-père avait compté 36 petites tomates avant de partir en vacances. Lorsqu’il est revenu de vacances, il a compté 93 tomates. Combien de tomates ont poussé durant son absence ?

Séance 3: création de problème

- Écriture de problème à partir du problème de référence- Résolution de problèmes inventés par les élèves

Séance 4 : résolution d’un problème complexe L’anniversaire de Younes

Younes a reçu 150 euros pour son anniversaire. Il achète : une montre à 32,50 euros, un jeu vidéo à 43,80 euros, le 4ème tome de Harry Potter à 15,60 euros, une raquette de tennis à 55 euros.

A-t-il assez d’argent pour acheter en plus une de balles de tennis à 6 euros ?

Séquence 2 : des problèmes additifs 2 (composition)

Objectifs de la séquence : - résoudre des problèmes de composition simples à une étape- Résoudre des problèmes complexes à plusieurs étapes faisant intervenir la composition


Mr et Mme Lafontaine

En une semaine, Monsieur et Madame Lafontaine ont consommé 1 470 litres d’eau pour se laver, 28 litres pour arroser les géraniums, 360 litres d’eau pour laver le linge et 460 litres d’eau pour laver

la vaisselle. Combien ont-ils utilisé de litres d’eau en tout ?

Séance 2 : Variations à partir du problème de référence

Les vaches et les poules

Dans le pré, il y a des vaches et des poules. Il y a en tout 12 animaux. Il y a 8 vaches. Combien y a-t-il de poules ?

Le verger

Dans son verger, Mr Dupont a ramassé 73 prunes, 214 pommes et 165 poires. Combien de fruits a-t-il au total ?

Lucas et son chien

Lucas pèse 26,5 kg. Lorsqu’il se pèse avec son chien, la balance affiche 33kg. Combien pèse le chien de Lucas ?

Mon club

Dans mon club de football, il y a 79 débutants, 56 poussins, 61 benjamins, 54 joueurs en 13 ans, 32 joueurs en 15 ans, 47 joueurs en 18 ans et 63 seniors. Combien y a-t-il de licenciés dans mon club?

La coupe de France

Lors de la finale de la coupe de France de football, on a enregistré 89485 entrées dont 67945 payantes. Combien a-t-on distribué d’entrées gratuites ?

Séances 3 : création de problème

- Invention de problème à partir du problème de référence- Résolution de problèmes inventés par les élèves

Séance 4 : résolution d’un problème complexe

Gaston

L’équipement du sportif Gaston a acheté un maillot à 17€ et un ballon. Il a payé avec un billet de 50€, le vendeur lui a remis 8,60€. Quel est le prix du ballon ?

Séquence 3 : des problèmes additifs 3 (comparaison)

Objectifs de la séquence : - Résoudre des problèmes de comparaison simples à une étape- Résoudre un problème complexe faisant intervenir la comparaison


La plage

Lucie et Yasmina vont se retrouver à la mer. Lucie habite à 57Km de la plage. Elle a 41Km de moins que Yasmina à faire. Quelle est la distance qui sépare Yasmina de la plage ?


Mr et Mme Durand

Monsieur et madame Durand ont visité deux maisons. La première vaut 298 000 euros. La seconde vaut 315 000 euros. Combien la 2ème maison vaut-elle de plus ?

Les manteaux

Lucie fait les boutiques pour acheter un manteau. Elle hésite entre un rouge et un noir. Le manteau rouge coûte 87 euros. Il coûte 24 euros de plus que le manteau noir. Quel est le prix du manteau noir ?

Luc et son frère Luc a 43 ans. Il a 14 ans de moins que son frère Paul. Quel est l’age de Paul ?

Les frères Mariani

Les deux frères Mariani ont 6 ans d’écart, le plus vieux a 82 ans. Quel âge a le plus jeune ?

Mr Durant et Mr DupontMonsieur Durant gagne 1 740 € par mois. Il gagne 200 € de moins que Monsieur Dupont. Quel est le salaire mensuel de Monsieur Dupont ?

Séance 3 : création de problème


Séance 4 : résoudre un problème complexe La course à pieds.

Marc, Louise et Frédéric font une course d’endurance. Louise a mis 1h40 pour faire le parcours.Elle a mis 12 minutes de plus que Marc et 6 minutes de moins que Frédéric.

Combien de temps ont mis Marc et Frédéric ?

Séquence 4 : des problèmes additifs 4 (composition de transformation)

Objectifs de la séquence : - Résoudre des problèmes de composition de transformations simples- Résoudre un problème complexe faisant intervenir la composition de transformation

Séance 1 : situation de référence Le bus

Un bus part de Varenne-Vauzelles à destination de la piscine Aquabalt. Il fait un arrêt à Pierre Brossolette, un à Carnot et un à la gare.

Au premier arrêt, les 21 élèves de la classe de CM2 et 4 accompagnateurs montent dans le bus. Il y a déjà 39 passagers dans le bus.

A l’arrêt suivant, une autre classe de 28 élèves monte dans le bus et 15 personnes descendent. A l’arrêt suivant, 13 personnes descendent et 2 couples montent. 3 retardataires arrivent en courant et

montent dans le bus. Combien de passagers arrivent à la piscine ?


L’autobus Paris Toulouse

Un autobus part de Paris à destination de Toulouse.Il fait un arrêt à Limoges, un arrêt à Brive et un arrêt à Cahors. 40 passagers montent dans le bus à Paris.A Limoges, 15 passagers descendent et 18 passagers montent. A Brive, 32 passagers descendent et 13 passagers montent. A Cahors, 11 passagers montent. Combien de passagers arrivent à Toulouse ?

Varsovie en avion

Un avion part de New York à destination de Varsovie. Il fait une escale à Paris et une escale à Berlin.77 passagers embarquent à New York.A Paris, 30 passagers descendent et 14 montent. A Berlin, 27 passagers descendent et 25 montent. Combien de passagers débarquent à Varsovie ?

Ca monte et ça descend

Un avion part de Paris à destination de Moscou (en Russie) avec une escale prévue à Berlin (en Allemagne) et une autre à Varsovie (en Pologne). 325 passagers embarquent à Paris. A Berlin, 28 passagers descendent de l’avion et 57 montent. A Varsovie, 41 passagers descendent et 35 montent. Combien de passagers débarqueront à Moscou ?

Le parking

A 8 heures, 263 voitures sont garées sur le parking du supermarché. A 8 H 15, 73 voitures sont sorties et 48 sont entrées.A 8 H 22, 73 sont entrées et 109 voitures sont sorties.Combien de voitures sont garées dans le parking à 8 H 22 ?

Le manège

Il y a un manège à la fête de Nevers. Le manège va tourner 4 fois. A 15 heures, 27 personnes montent.A 15H10, 10 personnes descendent et 5 personnes montent.A 15H20, 3 personnes descendent et 12 personnes montent.

A 15H30, 7 personnes montent sur le manège. Combien y a-t-il de personnes sur le manège à 15H27 ?



Séance 4 : résoudre un problème complexe Le car touristique

Un car part de Nevers à destination de Paris.64 passagers embarquent à Nevers.

Au premier arrêt, 33 personnes descendent et 19 personnes montent.A l’arrêt suivant, le chauffeur du bus dépose 7 colis à la gare.

A l’arrêt suivant, 3 couples accompagnés de 3 enfants embarquent, ainsi qu’un groupe de 28 personnes. 5 kilomètres avant Paris, le bus s’arrête. Quelques personnes descendent.

A l’arrivée à Paris, les 80 passagers débarquent ravis de leur voyage.Combien de passagers sont descendus 5 kilomètres avant l’arrivée à Paris?

Séquence 5 : des problèmes multiplicatifs 1 (configuration rectangulaire)

Objectifs de la séquence : - Résoudre des problèmes de produits de mesures simples à une étape- Résoudre un problème complexe faisant intervenir une configuration rectangulaire

Séance 1 : situation de référence Les géraniums

Monsieur le maire achète des géraniums pour fleurir le village. Les géraniums sont vendus en barquettes de 12. Il achète 9 barquettes de 12 géraniums.

Combien aura-t-il de géraniums à planter ?

Séance 2: Variations à partir du problème de référence

Le ferry

Un ferry peut transporter 34 rangées de 4 voitures lors d'une traversée. Combien de voitures peut-il transporter ?

Le chocolat

Je donne un carré de chocolat à chaque enfant. Ma tablette a 8 rangées de 4 carrés chacune. A combien d'enfants puis je donner un carré de chocolat ?

Le carrelage

M. Pollet pose du carrelage dans sa douche. Il pose 12 rangées de 27 carreaux. Combien va-t-il poser de carreaux ?

La terrasse

Pour paver sa terrasse rectangulaire, mon voisin a besoin de 25 pavés en longueur et de 17 pavés en largeur. Combien de pavés utilisera-t-il en tout ?

La salle de spectacle

Dans une salle de spectacle, il y a 20 rangées de 33 fauteuils. Est-ce qu’il y aura assez de places pour les 600 élèves du collège ?



Séance 4 : résoudre un problème complexe Les vitres

Un laveur de vitres lave toutes les semaines les fenêtres d'un bâtiment de 8 étages. Il y a 25 vitres par étage. Combien de vitres lave t-il chaque semaine ?

Séquence 6 : des problèmes multiplicatifs 2 (produit cartésien)

Objectifs de la séquence :- Résoudre des problèmes simples de type produit cartésien- Résoudre un problème complexe mettant en jeu le produit cartésien

Séance 1 : situation de référence La reine Elizabeth

Chaque année, la reine Elizabeth II organise des Garden Party à Buckingham Palace. Pour cette occasion, elle doit choisir sa tenue. Elle a le choix entre : Son chapeau bleu ou son chapeau rose / Sa veste jaune, sa veste verte ou sa veste orange / Ses chaussures noires ou ses chaussures blanches. La reine n’aime pas

être habillée deux fois de la même manière. Combien peut-elle former de tenues différentes ?

Séance 2 : Variations à partir du problème de référence Hermès Pour se rendre sur le Mont Olympe, Hermès doit choisir sa tenue. Il a le choix entre : Un casque d’or, un casque d’argent ou un casque en bronze / Une tunique blanche ou une tunique beige / Des sandales noires ou des sandales marron. Hermès n’aime pas être habillé deux fois de la même manière. Combien peut-il former de tenues différentes ?

Les tenues de la poupée

Louise dispose d’habits pour sa poupée. Elle a une paire de chaussures rouges et une paire de chaussures noires, une paire de chaussettes blanches, une paire de chaussettes roses et une paire de chaussettes bleues et 4 robes différentes. Combien de possibilités a-t-elle pour ne pas habiller sa poupée deux fois exactement de la même manière ?

Le costume royal

Pour rencontrer ses ministres, Louis a plusieurs possibilités pour s’habiller. Il peut prendre : sa couronne en or ou sa couronne en argent, son manteau bleu, son manteau rouge ou son manteau blanc, ses souliers blancs ou ses souliers rouges. Combien de possibilités a-t-il pour ne pas avoir un costume deux fois exactement identique ?

Les glaces

Théophile adore aller chez le glacier mais il ne veut pas manger deux fois la même coupe.Ce glacier propose des coupes avec une boule de glace, une crème et un fruit. Il a 3 parfums de glace, 2 crèmes et 3 fruits. Combien de fois Théophile peut-il venir chez le glacier sans manger exactement deux fois la même coupe ?



Séance 4 : résoudre un problème complexe La commande du bijoutier

Un bijoutier propose différents modèles de bagues composées d’un anneau et d’une pierre précieuse. Les clients peuvent choisir entre deux types d’anneaux : ︎ Anneaux en or jaune à 198€ / ︎ Anneaux en or blanc à 172€. Et trois sortes de pierres précieuses : ︎Diamant à 711€ / Saphir à 395€ / ︎ Emeraude à 158€. Combien peut-on faire de bagues différentes ? Jean Claude dispose d’un budget de 1600€ pour acheter 3 bagues.

Que peut-il acheter ?

Séquence 7 : des problèmes multiplicatifs 3 (multiplication)

Objectifs de la séquence : - Résoudre des problèmes multiplicatifs simples à une étape- Résoudre un problème complexe mettant en jeu la multiplication


La grenouille Une grenouille doit effectuer 54 sauts de 15cm pour atteindre sa mare.

Quelle distance la sépare de cette mare ?


M.Durand M. Durand s’achète 5 paires de chaussures à 85 euros la paire. Quel sera le montant de son achat ?

La kermesse Pour la kermesse de l’école, les parents d’élèves ont vendu 178 crêpes à 2€. Combien d’argent ont-ils gagné au total ?

Le garagiste

Le garagiste a fini de réparer la voiture. Il a changé les 4 pneus. Un pneu coute 99€. Combien cela va-t-il couter au total ?

La crème

Suzy achète 6 pots de crème. Un pot coûte 1,20€. Combien dépense-t-elle?

Le cyclisme

Lors du championnat de cyclisme, un cycliste fait 36 tours de circuit. Le tour du circuit mesure 2,5 km. Quelle distance a-t-il parcourue ?



Séance 4 : résolution d’un problème complexe Mme Dupont

Mme Dupont élève des poules pour produire des oeufs. Elle récolte ainsi 130 oeufs chaque matin. Le dimanche, elle vend ses oeufs dans des boîtes de 6 qu’elle vend 4,50 euros chacune. Combien d’euros

gagne Mme Dupont chaque dimanche si elle vend toutes les boîtes (complètes) ?

Séquence 8 : des problèmes multiplicatifs 4 (de type n fois plus n fois moins)

Objectifs de la séquence : - Résoudre des problèmes de type n fois plus n fois moins simples à une étape- Résoudre un problème complexe mettant en jeu une situation de type n fois plus / n fois moins

Séance 1 : situation de référence Les images

Lucie a 73 images dans sa collection d’animaux. Antoine en a trois fois plus.Combien d’images possède Antoine ?


La tempête

Les voisins ont planté 133 fleurs. Après une terrible tempête, ils annoncent qu’ils ont sept fois moins de fleurs. Combien de fleurs reste-t-il ?

Le match

Mardi, 8775 spectateurs ont assisté au match. Mais pour la finale de samedi, il y avait 43 875 spectateurs. Combien de fois plus de spectateurs sont venus samedi ?

La tirelire

Théo possède 125 € dans son énorme tirelire. Papa lui explique que la voiture a couté 75 fois plus. Combien a couté la voiture ?

Le péage

Au péage de l’autoroute, il y a en moyenne 24 fois moins de voitures la nuit que dans la journée. Combien de voitures roulent la nuit s’il y en a 18 912 en moyenne le jour ?

Le calcul mental

Pendant un concours de calcul mental, Alex a marqué 43 points et Jeanne en a marqué 301. Combien de fois moins de points Axel a-t-il marqués ?

Séances 3 : création de problème

- Écriture de problèmes à partir du problème de référence- Résolution de problèmes inventés par les élèves

Séance 4 : résolution d’un problème complexe Les voyages

Un voyage de 100km en voiture revient à 12,50€. A combien revient un voyage 3 fois plus long ? 2 fois plus court ?

Séquence 9 : des problèmes multiplicatifs 6 (division partition)

Objectifs de la séquence : - Résoudre des problèmes de division partition simples à une étape- Résoudre un problème complexe mettant en jeu la division partition


Le trésor des pirates

5 pirates veulent se partager équitablement 675 pièces d’or identiques. Combien de pièces chaque pirate va-t-il recevoir ?


Les billesJulien a 96 billes. Il les partage avec ses 3 copains. Combien auront-ils de billes chacun ?

Les pommesJean a ramassé 5 pommes de même poids.

Ensemble elles pèsent 450 grammes. Combien pèse une pomme ?

Les gâteauxMadame Moussaron revient de la pâtisserie.Elle a dépensé 126 euros. Elle a acheté 7 gâteaux. Combien coûte un gâteau ?

La piste d’athlétismeLe grand frère de Claudia s’entraîne sur une piste d’athlétisme pour préparer sa prochaine course à pied. Il vient de parcourir 6000 m en 15 tours.Quelle est la longueur de la piste sur laquelle il s’entraîne ?

Les rubansNouriat a 4 rubans de même longueur. Bout à bout ils mesurent 120 cm.

Quelle est la longueur d’un ruban ?


- Écriture de problèmes à partir du problème de référence- Résolution de problèmes inventés par les élèves

Séance 4 : résolution d’un problème complexe La maison de la culture

Une classe composée de 27 enfants et de 3 adultes a assisté à un spectacle à la maison de la culture. Le groupe a payé 192€ pour le spectacle.

Sachant que le tarif d’une entrée pour un adulte est de 10€, quel est le tarif pour un enfant ?

Séquence 10 : des problèmes multiplicatifs 7 (division quotition)

Objectifs de la séquence : - Résoudre des problèmes de division quotition simples à une étape- Résoudre un problème complexe


Les œufs de Mme Dupont

Mme Dupont a ramassé 207 œufs dans son poulailler. Elle les range dans des boîtes de six.Combien va-t-elle remplir de boîtes ?


Le jus de pommes

M. Valentin a fait 157 litres de jus avec des pommes de son verger. Il souhaite mettre ce jus dans des bouteilles de 2 litres.Combien de bouteilles sont nécessaires ?

Les paires de chaussures

Avec 140 euros, Eric a acheté des paires de chaussures à 20 euros pièce. Combien en a-t-il acheté?

Le coureur à pied

Un sportif parcourt chaque jour 6 km en courant. Combien de jours mettra-t-il pour parcourir 300 km ?

Les bouquets de roses

Une fleuriste a reçu 165 roses. Elle les met par bouquets de 7. Combien va-t-elle réaliser de bouquets ?

Les rouleaux de pièces

Une caissière a 115 pièces de monnaie.Combien de rouleaux peut-elle faire, sachant qu’elle met 10 pièces par rouleau ?



Séance 4 : résolution d’un problème complexe Les dictionnaires

Le maître veut couvrir les dictionnaires avec du plastique.Pour recouvrir un dictionnaire, il faut 50 cm de plastique.

Le plastique est vendu par rouleaux de 4 mètres.Combien de rouleaux doit-il acheter pour recouvrir les 25 dictionnaires de la classe ?

Séquence 11 : des problèmes complexesObjectifs de la séquence : - Résoudre des problèmes à plusieurs étapes faisant intervenir les quatre opérations - Apprendre à trouver les questions intermédiaires permettant de résoudre le problème - Apprendre à rédiger les différentes réponses aux questions

Séance 1 : problèmes à plusieurs étapes avec questions intermédiaires

- Au marché, Louis achète 5 caisses de 12 melons à 1,50 euro le melon. Combien achète-t-il de melons ? Combien paie-t-il ?

- Trois enfants ramassent des mûres : le premier en récolte 380 g, le deuxième 200g de moins et le troisième 240g. Puis ils se partagent équitablement l’ensemble la récolte. Combien récoltent-ils en tout ? Combien reçoivent-ils chacun ?

- Un club de football a vendu 58 billets pour un total de 696 euros. Quel est le prix d’un billet ? Quel est le prix de 80 billets ?

- Mon père mesure 1,94 cm. Ma soeur mesure 22 cm de moins que lui et 45 cm de plus que moi. Quelle est la taille de ma soeur ? Quelle est ma taille ?

- Tom a 4 comptes à la banque. Il a 1432,75 euros, 4569,83 euros, 687,24 euros et 6907, 35 euros. Julia a 1953,25 euros de plus que Tom sur son compte. Combien d’argent a Tom ? Combien d’argent a Julia ?

- Un restaurateur refait sa carte et crée des menus. Il y a 12 entrées, 4 viandes, 3 poissons, 7 accompagnements et 6 desserts. Il liste tous les menus possibles puis en retire ensuite 4814. Combien de menus le restaurateur a-t-il crées ? Combien en a-t-il réellement sur la carte finale ?

- J’ai joué au poker avec des amis. J’ai perdu 457 euros durant la première partie puis gagné 1278 durant la seconde. Avant de commencer la partie j’avais 687 euros. Combien ai-je gagné ou perdu durant cette partie ? Combien d’argent ai-je à la fin de la partie ?

Séance 2 : problèmes à plusieurs étapes sans question intermédiaire

- J’ai fait des courses : j’ai payé un total de 119,95 € pour un jeu vidéo à 49,95 €, un livre à 25€ et des manettes de jeux vidéo. Combien ai-je payé les manettes ?

- J’ai acheté un pantalon à 45 € et une veste qui coute 25€ de plus. A la caisse, j’utilise un bon de réduction pour payer 10€ de moins. Combien ai-je payé au total ?

- Pour un anniversaire, on découpe le gâteau de 600 g en 12 parts. Les enfants prennent une 1⁄2 part et les adultes une part entière. Combien pèse la part d’un enfant ?

- J’ai acheté 3 kg de bananes à 1€30 le kg, 5 kg d’orange à 1,5 € le kg et 4 mangues à 1,3€ l’unité. J’ai payé avec un billet de 50€. Combien de monnaie dois-je récupérer ?

- Pour payer leur voiture, les parents de Léo ont donné 2 900€ puis ils doivent payer 290€ par mois pendant 3 ans et demi. Combien coute la voiture au total ?

- Stéphanie a cueilli 6 kg de cerises à l’heure, 4h30 par jour pendant 10 jours. Quelle quantité de cerises a-t-elle cueilli ?

- Au marché, Marc achète 560 melons pour 504 euros. Il emballe ses melons par caisses de 4 et vend la caisse à 8 euros. Quel est son bénéfice ?

- La boulangère a vendu 2463 baguettes de tradition le mois dernier. Ce mois-ci elle vend 4 fois plus de baguettes. Sachant qu’une baguette est vendue 1,10 euros, combien d’agent a-t-elle gagné ce mois-ci ?

Séquence 12 : des problèmes atypiques (à proposer plusieurs fois au cours de l’année)

Objectifs de la séquence : - Apprendre à chercher en tâtonnant, en faisant des essais successifs - Résoudre des problèmes sans notion mathématique sous-jacente

Une promenade en bateau

Des groupes arrivent pour une promenade en bateau.Voici le nombre de personnes par groupes :25 – 50 – 65 – 70 – 85 – 100 – 45 Les personnes d’un même groupe ne veulent pas se séparer. Elles veulent monter dans le même bateau.

Un bateau peut transporter 150 personnes, pas une de plus.Il y a 3 bateaux.On voudrait savoir comment ces groupes vont s’organiser pour monter dans les bateaux ?

Le sirop

Marion prépare du sirop dans les deux bouteilles A et B.Dans la bouteille A, elle met 4 verres d’eau et 2 morceaux de sucre. Dans la bouteille B, elle met 12 verres d’eau et 10 morceaux de sucre. Caroline, Pierre et Sophie goûtent les préparations.Caroline dit : « C’est le sirop de la bouteille A qui est le plus sucré ! » Sophie dit : « C’est le sirop de la bouteille B qui est le plus sucré ! » Pierre dit : « Les deux sirops sont pareils ! » Qui a raison ? Explique pourquoi.

La tirelire

Dans ma tirelire, j’ai 32 pièces et billets.Je n’ai que des pièces de 2 euros et des billets de 5 euros.Avec 32 pièces et billets j’ai 97 euros.Combien y a-t-il de pièces de 2 euros et de billets de 5 euros dans ma tirelire ?

Les caramels

Alex, Arthur et Olive ont mangé en tout 10 caramels.Alex en a mangé deux de plus que Arthur et Arthur en a mangé un de plus que Olive. Combien chacun a-t-il mangé de caramels ?

Le repas à la cantine

Les enfants mangent par table de 6 à la cantine.Le maître les fait rentrer table par table en complétant les tables.75 enfants sont déjà entrés.Aramis et ses trois copains voudraient manger à la même table.Doivent-ils se mettre tout de suite dans la file ou laisser passer quelques enfants ? Si oui combien ?

Problèmes oraux (pour les rituels)

- J’avais 12 images. J’en ai gagné 8. Combien en ai-je maintenant ?

- J’avais 12 images. J’en ai perdu 5. Combien en ai-je maintenant ?

- Au jeu de l’oie, j’étais sur la case 12. J’ai avancé de 8 cases. Sur quelle case suis-je maintenant ?

- Au jeu de l’oie, j’étais sur la case 12. J’ai reculé de 5 cases. Sur quelle case suis- je maintenant ?

- J’avais 5 images. Un copain m’en a donné. J’en ai maintenant 12. Combien m’en a-t-il donné ?

- J’avais 18 images. J’en ai donné 12 à ma sœur. Combien en ai-je maintenant ?

- Au jeu de l’oie, je suis sur la case 5. Je veux aller sur la case 12. Combien dois-je faire avec le dé ?

- Au jeu de l’oie, j’étais sur la case 18. Je dois reculer de 12 cases. Sur quelle case vais-je arriver ?

- J’ai gagné 3 billes pendant la récréation. En rentrant en classe, j’en ai 12. Combien avais-je de billes avant la récréation ?

- J’ai perdu 5 billes pendant la récréation. En rentrant en classe, j’en ai 4. Combien avais-je de billes avant la récréation ?

- Au jeu de l’oie, j’étais sur une case. J’ai fait 3 avec le dé et je suis allé sur la case 12. De quelle case suis-je parti ?

- Au jeu de l’oie, j’étais sur une case. J’ai reculé de 5 cases. Je suis allé sur la case 4. De quelle case suis-je parti ?

- Dans le petit bois, il y a 7 chênes et 8 sapins. Combien y a-t-il d’arbres ?

- Le petit bois est constitué de 17 arbres, des chênes et des sapins. Il y a 9 chênes. Combien y a-t-il de sapins ?

- 20 enfants sont à la piscine. 11 sont dans le grand bain et les autres dans le petit bain. Combien y a-t-il d’enfants dans le petit bain ?

- Je veux acheter un jouet à 8€. Je paye avec un billet de 20€. Combien va-t-on me rendre ?

Documents

1) prog mme du cycle 3 (Bo 2018)