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SCUOLA ESTIVA DI FISICA TECNICATermofisica dell’involucro edilizio

Benevento 7/11 luglio 2008

Prof. Ing. Aldo OrioliDREAM - Università degli Studi di Palermo

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Comportamento termico dell’elemento di involucro edilizio opaco in regime termico non stazionario:

parametri caratterizzanti, metodi di modellazione numerica, riferimenti normativi nazionali ed internazionali

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Comportamento termico dell’elemento di involucro edilizio opaco in regime termico non stazionario: parametri caratterizzanti, metodi di modellazione numerica, riferimenti normativi nazionali ed internazionali

SCUOLA ESTIVA DI FISICA TECNICA TERMOFISICA DELL’INVOLUCRO EDILIZIO

DREAM - UNIVERSITA’ DI PALERMO Prof. Ing. Aldo Orioli

L’involucro edilizio è l’elemento di separazione tra l’ambiente internoe quello esterno

LA FUNZIONE DELL’INVOLUCRO EDILIZIO OPACO

Il suo compito è far sì che, nonostante la variabilità che caratterizza l’ambiente esterno, le condizioni all’interno siano stabilmente piùconfortevoli

Ciò implica il controllo di tutti gli aspetti del benessere ambientale (illuminotecnico, acustico e termo-igrometrico) ed il corretto uso dell’energia

Se il compito è quello di rendere minimi gli effetti disturbanti provocati dalle condizioni esterne, ben si comprende perché sia soprattutto richiesta all’involucro la capacità di “isolare”

Basterebbe realizzare le pareti delle abitazioni come si fa per i frigoriferi, ossia impiegando, al posto delle pietre o dei laterizi, solo pannelli isolanti di grande spessore

Ciò non solo dovrebbe eliminare la fastidiosa presenza dell’ambiente esterno, ma ridurrebbe al minimo anche i consumi energetici degli impianti di condizionamento

Perchè allora non annullare del tutto gli effetti causati dalla contiguità con l’ambiente esterno ?

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Un camper o un prefabbricato leggero hanno delle pareti con un ottimo isolamento termico, eppure la qualità del comfort al loro interno non ècertamente esaltanteSpecialmente d’estate, magari in una giornata di scirocco, la capacità di “isolare” delle pareti serve talmente poco che è indispensabile tenere costantemente in funzione il condizionatore

Al contrario, nella stessa calda giornata, all’interno di una antica casa in muratura, priva di ogni sorta di materiale isolante, si può godere di una piacevole frescura

D’altro canto, è pur necessario che le pareti del camper pesino poco, visto che si tratta di una abitazione mobile, mentre la vecchia casa non ha ovviamente bisogno di essere leggera

D’inverno, però, quanto tempo ci vuole per riscaldare una casa conspesse pareti in muratura e quanto invece essa risulta più confortevole se le superfici interne sono rivestite in legno !

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Ma allora, questo isolamento termico è in grado o no di garantire un livello accettabile di benessere?


E la massa delle murature è un vantaggio, oppure no?

Tra i numerosi parametri fisici che influenzano la sensazione di benessere termo-igrometrico c’è anche la temperatura media radiante che, in modo forse troppo sintetico, èindicativa della distribuzione della temperatura delle facce interne delle pareti

Nell’equazione del bilancio termico del corpo umano, la temperatura media radiante governa gli scambi termici radiativi tra la persona e le superfici che la circondano

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La moderna tecnica del condizionamento dell’aria è in grado di tenere sotto controllo importanti parametri ambientali quali la temperatura ambiente, l’umidità relativa, la distribuzione, velocità e purezza dell’aria


Eppure, dagli esempi precedenti, è facile riconoscere che l’origine delle sensazioni termiche avvertite dagli occupanti è proprio la temperatura superficiale dell’involucro edilizio

Ben poco però gli impianti riescono a fare per controllare la temperatura media radiante e soprattutto la dissimmetria della distribuzione delle temperature sulle superfici interne delle pareti

Forse è questo il motivo per cui, escludendo le tipologie impiantistiche che impiegano pavimenti e soffitti riscaldanti o raffreddanti, l’importanza della temperatura media radiante è spesso sottovalutata

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La temperatura sulla faccia interna di una parete è il risultato dell’equilibrio tra le forme di calore presenti su di essa, ossia :

L’INERZIA TERMICA DELL’INVOLUCRO EDILIZIO

per convezione con l’aria esternaper irraggiamento con il sole e con le superfici

esterne ( suolo, cielo, edifici, oggetti, etc.)per conduzione verso l’interno della parete stessa

la convezione con l’aria internal’irraggiamento con le altre superfici interne (pareti,

persone, oggetti, sorgenti, etc.)la conduzione all’interno della parete stessa

Il flusso per conduzione è legato alla temperatura sulla faccia esterna della parete

Per la natura dei materiali impiegati nell’edilizia, la velocità di evoluzione dei fenomeni termici ènettamente governata dalla conduzione, tanto da potere considerare, rispetto ad essa, quasi istantanei gli altri scambi per convezione ed irraggiamento

Quest’ultima è il risultato dell’equilibrio tra gli scambi di calore :

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L’INERZIA TERMICA

Se utilmente impiegato, il ritardo con cui l’onda termica proveniente dall’esterno riemerge dalla faccia interna della parete può consentire di avere ambienti con involucri ancora freschi quando all’esterno si ha il massimo dell’irraggiamento solare o della temperatura dell’aria

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L’INERZIA TERMICA

L’inerzia termica legata al fenomeno conduttivo è capace di :mitigare le oscillazioni di temperatura nell’ambienterealizzare migliori condizioni di benessere limitare i costi di installazione e di gestione degli impianti

Infatti, il valore massimo della potenza termica richiesta per la climatizzazione estiva può essere ridotto sfasando in modo adeguato gli istanti in cui il carico termico per ventilazione equello per trasmissione raggiungono i rispettivi picchi giornalieri

E’ possibile così evitare che all’interno accada quanto avviene all’esterno, ossia la presenza, quasi contemporanea della massima insolazione e del valore più alto della temperatura dell’aria

Con un valore del carico massimo di raffreddamento più basso, sarà necessario dimensionare un impianto con taglia e costo sicuramente inferiori e che avrà inoltre un migliore rendimento energetico

L’esperienza infatti insegna che costringere le apparecchiature ad erogare una potenza molto piùbassa del loro valore nominale, anche mediante il migliore degli impianti di regolazione, induce delle perdite tanto più grandi quanto maggiore è la differenza tra la potenza massima erogabile e quella effettivamente da erogare

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RIFERIMENTI NORMATIVI

L’importanza dell’inerzia termica è evidenziata anche dalla recente normativa nazionale sul rendimento energetico nell’edilizia (D.Lgs. 192/05 - 311/06), emanata in attuazione della direttiva 2002/91/CE In particolare il punto 9 dell’Allegato L, riguardante il regime transitorio per la prestazione energetica degli edifici, impone la “Verifica, in tutte le zone climatiche, ad esclusione della F, per le località nelle quali il valore medio mensile dell’irradianza sul piano orizzontale, nel mese di massima insolazione estiva sia maggiore o uguale a 290 W/m2, che il valore della massa superficiale delle pareti opache sia superiore a 230 kg/m2”

“Gli effetti positivi che si ottengono con il rispetto dei valori di massa superficiale delle pareti opache - precedentemente indicati - possano essere raggiunti, in alternativa, con l’utilizzo di tecniche e materiali, anche innovativi, che permettano di contenere le oscillazioni della temperatura degli ambienti in funzione dell’andamento dell’irraggiamento solare”

“In tal caso deve essere prodotta una adeguata documentazione e certificazione delle tecnologie e dei materiali che ne attesti l’equivalenza con le predette disposizioni”

La questione riguarda un gran numero di località, come illustrato nella tabella seguente

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Diverse Amministrazioni Comunali hanno già inserito tra le misure di incentivazione al risparmio energetico, contenute nei loro regolamenti edilizi, i valori minimi obbligatori dello sfasamento del-l’onda termica, in genere compresi tra 8 e 10 ore

Nonostante ciò, va almeno riconosciuto al legislatore il merito di avere citato gli effetti positivi del-l’inerzia termica delle pareti, anche se sarebbe stato più corretto parlare di ritardo e di attenuazione dell’onda di temperatura

Una massa di 230 kg/m2 corrisponde a quella di una moderna parete perimetrale di tipo leggero, ad esempio in blocchi intonacati di laterizio forato o di calcestruzzo con inerti porosi

L’esperienza diretta ci fa però riconoscere che nelle moderne abitazioni non si avvertono quasi per nulla quei benefici legati al ritardo dell’onda termica, e che ognuno di noi ha sperimen-tato all’interno di ambienti delimitati da murature piene, ovvia-mente molto più pesanti di 230 kg/m2

Inoltre non basta indicare la massa e la trasmittanza di una parete per definire univocamente il ritardo con cui l’onda termica si presenta sulla faccia interna

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Il ritardo del fattore di decremento è calcolato come il rapporto tra l’argomento della trasmittanza termica periodica e la pulsazione della funzione sinusoidale

La norma UNI EN ISO 13786 (maggio 2008)“Prestazione termica dei componenti per ediliziaCaratteristiche termiche dinamiche Metodi di calcolo”

contiene una procedura per il calcolo del fattore di decremento, del suo ritardo e delle capacità termiche riferite alle due facce della parete

Per calcolare le caratteristiche termiche dinamiche è necessario procedere al prodotto di matrici di numeri complessi

La procedura ipotizza che le temperature e i flussi termici abbiano la forma di sinusoidi che, attraversando la parete, subiscono una attenuazione ed uno sfasamento

Il fattore di decremento è definito come il rapporto tra il modulo della trasmittanza termica periodica e la trasmittanza in condizioni stazionarie della pareteLa trasmittanza termica periodica è una quantità complessa definita come il rapporto tra l’ampiezza complessa della densità di flusso termico entrante nella faccia esterna e l’ampiezza complessa della temperatura dell’aria interna

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La norma evidenzia che il periodo delle funzioni sinusoidali influenza i risultati, però non indica per esso alcun valore da adottarsi per i calcolo

Vengono solo indicati come periodi di tempo, definiti pratici, quelli di un’ora, un giorno, una settima e un anno

La determinazione dei parametri di trasmissione termica dei componenti opachi è affrontato con identico approccio nell’Appendice A della norma

UNI 10375 “Metodo di calcolo della temperatura interna estiva degli ambienti”

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IL REGIME SINUSOIDALE

Per sapere quale sia il numero adatto di componenti armoniche da usare è necessario conoscere quale ruolo svolge la frequenza nel fenomeno della con-duzione termica

L’approccio adottato nelle norme UNI si basa su una schematizzazione troppo semplice

Infatti, se da un lato si può accettare che i parametri ambientali esterni abbiano un andamento giornaliero quasi periodico, con durata di 24 ore, ben più difficileè sostenere che una semplice sinusoide raffiguri il loro andamento temporale

Come insegna lo sviluppo in serie di Fourier, e possibile rappresentare in modo adeguato con delle sinusoidi un fenomeno periodico, a patto però di fare uso di un suffi-ciente numero di componenti armoniche

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Nell’ipotesi semplificativa di flusso termico monodimensionale, ossia per una parete piana indefinita di spessore costante, l’equazione di Fourier diviene

Per affrontare lo studio della conduzione in regime dinamico è necessario risolvere la celebre equazione di Fourier

valida per un mezzo omogeneo ed isotropo, con diffusività termica α , in assenza di generazione interna di calore

per la quale proviamo a ricavare, in modo semplice, una soluzione particolare facendoci guidare dall’intuito fisico

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Supponiamo che sulla faccia di entrata della parete, ossia per x=0, la temperatura vari con la legge

In corrispondenza della profondità x , la temperatura assumerà la seguente espressione

E’ ragionevole pensare che in ogni punto interno alla parete la temperatura oscilli seguendo il ritmo della faccia esterna e che l’ampiezza delle oscillazioni vada decrescendo man mano che si penetri nella parete

in cui è la pulsazione e P è il periodo

in cui l’ampiezza e lo sfasamento dipendono dalla profondità

Sostituendo Tx nell’equazione di Fourier ed imponendo, nella relazione così ricavata, l’annullarsi dei coefficienti dei termini in seno e coseno, che sono comparsi in seguito alle derivazioni, si perviene alle seguenti equazioni

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da cui si ricava :

L’integrale generale della prima equazione ha la forma

Sostituendo poi l’espressione di B(x) nella seconda delle due equazioni, si ottiene

in cui le quantitàM e N si ricavano ponendo le seguenti condizioni al contorno:

( strato semi-infinito )

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In conclusione si ha

L’osservazione è giusta ma la profondità a cui accade quanto affermato dipende non solo dalla frequenza ma anche dalla diffusività del mezzo

che bene illustra come le oscillazioni rapide vengano attenuate e ritardate di più di quelle lente

Per la linearità dell’equazione di Fourier, se immaginiamo che l’onda di temperatura in entrata alla parete sia periodica e scomposta in un numero rappresentativo di componenti armoniche, l’andamento dell’onda di temperatura in corrispondenza di una data profondità si potrà ricavare sommando, per le varie armoniche, i termini calcolati con l’equazione precedente

Poichè, man mano che si penetra nella parete, le oscillazioni piùrapide vanno estinguendosi, una volta raggiunta una certa profondità, l’onda di temperatura sarà praticamente sinusoidale, cioè ridotta alla fondamentale di periodo 24 ore

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In particolare è indicato il ritardo e il rapporto percentuale tra l’ampiezza dell’onda di temperatura sulla faccia interna e l’ampiezza dell’onda di temperatura dell’aria esterna in regime estivo

Nella tabella sono riportati, per alcune pareti aventi uno spessore di 30 cm, costruite con comuni materiali da costruzione e coibentate come previsto dal D.Lgs. 311/06, i calcoli relativi ad onde sinusoidali di periodo pari a 6, 12 e 24 ore

Inoltre gli sfasamenti variano sensibilmente con il periodo e in modo piuttosto imprevedibile

Nonostante l’attenuazione subita, le sinusoidi a 6 e a 12 ore hanno ampiezze ancora confrontabili con quella della fondamentale e quindi trascurare il loro contributo corrisponde a deformare in mo-do sostanziale la forma dell’onda di temperatura sulla faccia interna della parete

U Massa Rapporto d'ampiezza (%) Sfasamento (ore)Muratura intonacata in

W/mq °C kg/mq 6 ore 12 ore 24 ore 120 arm. 6 ore 12 ore 24 ore 120 arm.Blocchi Laterizi forati 0,40 252 0,17 0,79 2,20 1,86 19,2 12,6 8,6 6,8

Blocchi forati CLS con arg. esp. 0,40 252 0,09 0,54 1,75 1,48 20,5 13,6 10,0 8,3

Tavelle tufo 0,41 272 0,34 1,21 2,79 2,43 15,7 11,2 6,6 5,1Tavelle arenaria calcarea 0,41 472 0,09 0,39 1,29 1,07 19,2 12,4 9,4 7,7

Sono anche riportati i calcoli ottenuti usando i dati di temperatura aria-sole tipici di una giornata estiva rappresentata attraverso un’analisi di Fourier a 120 armoniche

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L’INTEGRAZIONE DELL’EQUAZIONE DI FOURIER

Per avere dei risultati attendibili sul comportamento dinamico di una parete e sugli effetti della sua inerzia termica è necessario affrontare in termini più generali l’integrazione dell’equazione di Fourier

spessore semi-infinito della paretetemperatura sinusoidale sulla faccia di entrata

parete piana indefinita spessore costante mezzo isotropo e omogeneodiffusività del materiale costante

E’ facile trovare sui testi di Trasmissione del calore le soluzioni a casi relativi a condizioni al contorno molto particolari e a segnali di ingresso descritti da semplici funzioni analitiche

Molto più complesso è invece affrontare il problema nelle ipotesi più realistiche di una parete, di spessore finito, composta da diversi strati e che abbia scambi radiativi e convettivi per effetto di variazioni di temperatura descritte da una qualsiasi successione di dati numericiCome vedremo, è possibile arrivare a definire l’espressione della soluzione matematica esatta ma il calcolo di essa sarà sempre approssimato, qualunque sia il metodo di integrazione adottato

La soluzione dell’equazione di Fourier che, con facilità, abbiamo trovato è esatta dal punto di vista matematico ma si basa su ipotesi poco realistiche, ossia :

Ne abbiamo fatte, in realtà, anche altre, molto più accettabili :

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METODI PER L’INTEGRAZIONE DELL’EQUAZIONE DI FOURIER

metodo della trasformata di Laplacemetodo della Z-trasformata metodo armonico o in regime periodicometodo agli elementi finitimetodo alle differenze finite

metodi analitici metodi numerici

La distinzione è solo nell’approccio iniziale perchè tutti i metodi in realtà fanno uso sia di procedure analitiche, sia di tecniche numeriche

Le approssimazioni che inevitabilmente affetteranno i risultati sono dovute :alla necessità di interpolare i dati di ingresso, temporalmente discretialla impossibilità pratica di calcolare la soluzione esatta dell’equazione di Fourier

Tralasciando alcuni metodi, abbastanza conosciuti, ma che hanno un campo di applicazione meno generale, concentreremo la nostra attenzione sulle tecniche note come :

Volendo fare una prima classificazione dei metodi per l’integrazione dell’equazione di Fourier, possiamo distinguerli in :

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I primi tre metodi sono di tipo analitico e prevedono i seguenti passi principali :1) rappresentazione dei dati di ingresso come somma di funzioni elementari2) risoluzione dell’equazione di Fourier mediante operatori matematici3) individuazione, in forma matriciale, delle funzioni di trasferimento dello strato termico

elementare4)determinazione delle proprietà della parete attraverso il prodotto delle matrici contenenti le

proprietà dei singoli strati5)determinazione delle grandezze d’uscita in corrispondenza dei segnali di ingresso elementari6)calcolo degli andamenti delle grandezze d’uscita in corrispondenza dei dati di ingresso discreti

sfruttando la linearità del sistema e quindi la sovrapposizione degli effetti

Gli altri due metodi sono considerati numerici e prevedono:1) la discretizzazione dello spazio interessato al fenomeno propagatorio2) la definizione di legami spazio-temporali che rendano stabile la soluzione numerica3) la risoluzione locale dell’equazione di Fourier senza l’uso di operatori matematici4) la costruzione di un sistema di equazioni il cui numero è correlato al numero di discretizzazioni

spaziali operate5) la risoluzione del sistema di equazioni attraverso i metodi dell’algebra numerica

Tutti i metodi utilizzano procedure che vanno ripetute più volte e che quindi possono essere vantaggiosamente implementate su computer

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I metodi analitici consentono di:eseguire, una volta per tutte, la parte più laboriosa del metodo, ossia il calcolo dei parametri legati alla natura fisica della struttura termicacalcolare poi, in modo rapido, solo l’andamento delle grandezze di uscita i corrispondenza dei dati di ingresso sceltivalutare le temperature e i flussi in ogni punto all’interno del sistema modellato

Non è invece possibile :assumere la variabilità dei coefficienti di scambio termico e delle proprietà termo-fisiche dei materialidescrivere i comportamenti fisici che seguono leggi non lineariaffrontare i problemi riguardanti la trasmissione del calore in due o tre dimensioni

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Al contrario, con i metodi numerici è possibile :descrivere i comportamenti fisici che seguono leggi non lineariconsiderare la variabilità dei coefficienti di scambio termico e delle proprietà termo-fisiche dei

mezziaffrontare i problemi riguardanti la trasmissione del calore in due o tre dimensioni

Però è necessario:operare discretizzazioni spaziali costituite da numeri estremamente elevati di intervallirispettare le limitazioni imposte dai criteri di stabilità della soluzione e ciò non sempre consente

di valutare le temperature e i flussi in qualunque punto della struttura termicaeseguire l’intera procedura di calcolo, o gran parte di essa, ogni volta che vengono cambiate le

grandezze di ingresso

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METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE

La trasformata di Laplace è un algoritmo di uso comune nella soluzione delle equazioni differenziali

Data una funzione del tempo f(t), definita per 0≤ t <∞ , la sua trasformata di Laplace F(s) vale

Sono molto utili le trasformate di funzioni discontinue che iniziano in un dato istante, essendo state prima nulle

Le più semplici sono :

Gradino unitario

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Accade nella pratica che le funzioni di ingresso siano formate da una successione di valori numerici noti in corrispondenza solo in alcuni istanti, magari perche ottenuti da misurazioni

Rampa lineare

Queste funzioni sono dette campionate e l’intervallo di tempo tra un valore e l’altro, si chiama intervallo di cam-pionamento

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Utilizzando un treno di gradini, di ampiezza adeguata, ritardati dell’intervallo di tempo che passa tra un dato e il successivo, è possibile ottenere una interpolazione costituita da una gradinata che va salendo o scendendo secondo l’andamento dei dati

Per potere usare dei segnali di ingresso campionati, la prima cosa da fare consiste nell’interpolare i dati in modo da “riempire” l’aerea sottesa dal loro diagramma

L’ampiezza di ciascuno dei gradini che formano la gradinata deve essere pari alla differenza tra il dato attuale e quello precedente

Se non si facesse tale operazione il sistema termico di cui vogliamo calcolare la risposta, presume-rebbe che, tra un campionamento ed il successivo, non esiste alcun il segnale e, poichè l’area sottesa dai soli dati campionati è nulla, anche i flussi di energia ad essi associati sarebbero nulli

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La stessa cosa può essere fatta impiegando un treno di rampe lineari, ciascuna opportunamente ritardata nel tempo, ed il risultato sarà l’interpolazione lineare dei dati

Combinando opportunamente i vari tipi di segnali elementari, è possibile creare modi di interpolazione che impiegano impulsirettangolari, triangolari, parabolici e cosìvia

In questo caso l’ampiezza di ciascuna rampa deve essere pari alla differenza tra il coefficiente angolare del tratto corrente e quello del tratto che lo precede

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Usando la trasformata di Laplace, l’equazione di Fourier diviene

Per una funzione come la temperatura T(x,t), avente trasformata θ(x,s), valgono le seguenti proprietà

avendo supposto la temperatura ovunque nulla all’istante iniziale

L’integrale generale dell’equazione ha la forma

in cui

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Il flusso termico è

si ricavano le relazioni

i cui coefficienti hanno le seguenti espressioni

Ovvero, usando l’espressione dell’integrale generale, si ha

Ponendo le condizioni

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Pertanto, chiamando θe e φe le trasformate delle temperature e dei flussi, sulla faccia con x=0, e θi e φi le trasformate delle temperature e dei flussi sulla faccia con x=L , si può scrivere

|M | è la matrice di trasmissione dello strato ed i flussi φi e φe sono positivi se orientati in accordo con l’asse x

Per la simmetria dello strato, i parametri della matrice di trasmissione godono della proprietà

grazie alla quale si può anche scrivere

che vale mantenendo quanto detto sui segni di φi e φe

θe θi

ϕe

0 L x

ϕi

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Se la parete è costituita da più strati, e sono trascurabili le resistenze termiche di contatto tra unostrato e l’altro, è possibile scrivere

in cui il prodotto delle matrici va eseguito partendo sempre dallo strato a cui si riferiscono le quantitàθ e φ indicate nel primo membro dell’equazione (in questo caso: i → e)

avendo indicato con Ri e Re le resistenze termiche di convezione sulle facce della parete

Inoltre, se le temperature Ti e Te sono quelle dei fluidi che circondano la parete si ha

xL0

3 n21

θe θi

ϕe ϕi

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Se invece lo strato generico è stato descritto dalle relazioni

in cui la matrice di trasmissione |Np| si ottiene invertendo nel prodotto l’ordine degli strati rispetto a quello seguito per calcolare la |Mp| (in questo caso: e → i)

si avrà

E’ facile verificare che i parametri della matrice di trasmissione della parete godono della proprietà

Per trovare le soluzioni nel dominio del tempo e opportuno riscrivere nella forma seguente le espressioni delle trasformate di Qi e Qe

Le quantità che mettono in relazione le trasformate dei segnali di uscita con quelle dei segnali di ingresso sono grandezze proprie ed identificative del sistema, dette funzioni di trasferimento

Poichè in genere la parete non è termicamente simmetrica, la matrice |Mp| non è uguale alla |Np|

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Consideriamo il caso generale di un sistema sollecitato da un segnale di ingresso i(t) che produca un segnale di uscita u(t) e siano I(s) e U(s) le rispettive L-trasformate

in cui la funzione di trasferimento G(s) è posta in forma di rapporto

Per la linearità del sistema, se rappresentiamo le grandezze discrete di ingresso per mezzo di un treno di gradini, o di rampe, è possibile costruire la risposta del sistema sommando le risposte relative a ciascuno dei segnali elementari di cui è composto il treno

Sostituendo le trasformate del gradino e della rampa, si ha

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in cui pi é il generico polo della funzione di trasferimento, ossia la radice del denominatore D(s), e ri il corrispondente residuo, mentre C0 e C1 sono i residui dei poli nell’origine, di molteplicitàsingola o doppia, introdotti dal segnale di ingresso

Per la natura delle funzioni trascendenti che compaiono nei coefficienti della matrice di trasmissione, le radici della funzione di trasferimento sono in numero infinito e giacciono tutte sulla parte negativa dell’asse reale

Le risposte a gradini o a rampe, di ampiezza non unitaria, si ottengo semplicemente moltiplicando le relazioni precedenti per la rispettiva ampiezza dei segnali

Conoscendo le radici di D(s), le risposte U(s) possono essere poste sotto la forma

Di conseguenza, applicando le regole per antitrasformare, si ricava

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Per fare ciò è necessario porre nei coefficienti della matrice di trasmissioneottenendo in tal modo che essi diventino funzioni reali della variabile reale δ

I residui si calcolano con le seguenti formule

Le radici del denominatore della funzione di trasferimento possono essere trovate con un metodo iterativo utilizzando il calcolo automatico

I poli pi sono propri della struttura termica studiata e non dipendono dal segnale di ingresso essendo le radici del denominatore della sola funzione di trasferimento

dove

gradino :

rampa :

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e questo comporta, fin dall’stante iniziale, uno scarto costante nella risposta che si propagherà su tutto il treno di risposte elementari

Osservando le risposte temporali ai segnali elementari si vede che, dovendo esse essere nulle all’istante iniziale t=0 , deve valere

mentre, poichè potremo usare solo Ni degli infiniti poli, sarà in generale

Lo scarto, che all’inizio mostra di ridursi rapidamente al crescere del numero dei poli, tende poi ad attenuarsi con estrema lentezza, anche aumentando notevolmente Ni

Ciò rende problematico decidere quanti poli impiegare e in pratica si è costretti ad optare per alcune centinaia, se non addirittura per le migliaia

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Ai vari istanti di calcolo la risposta della parete avrà la seguente forma

Per annullare lo scarto e dare senso fisico alla risposta che, altrimenti, all’istante iniziale partirebbe da un valore non nullo, è opportuno calcolare i residui come

rispettivamente, per il gradino e per la rampa

essendo per il gradino

dove i [mΔ] è il valore del segnale discreto di ingresso all’istante mΔ

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Per questi motivi, il metodo ha avuto scarse applicazioni pratiche ma è servito di base per lo sviluppo del metodo della Z-trasformata

Per la rampa si ha

Come mostrato dalle relazioni precedenti, al crescere del tempo, il calcolo dell’uscita diviene sempre più complesso a causa dell’annidarsi delle sommatorie ognuna delle quali contiene centinaia di termini

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METODO DELLA Z-TRASFORMATA

in cui z è una variabile complessa

Per i segnali discreti, la Z-trasformata svolge lo stesso ruolo che ha la trasformata di Laplace per i segnali non discreti

Data una funzione f(t), definita per t ≥0, di cui sono noti i valori f(nΔ) in corrispondenza ad un campionamento di intervallo temporale Δ , la sua Z-trasformata è

Utilizzeremo le Z-trasformate delle seguenti funzioni

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La procedura di seguito illustrata è quella indicata da Mitalas, l’ideatore del Transfer Function Method proposto dall’ASHRAE per il calcolo dell’heat gain di una parete

Si tratta di una procedura che sarebbe considerata anomala dai matematici perché non usa il cosiddetto interpolatore, ossia un generatore di impulsi, di varie forme (rettangolari, triangolari, parabolici, etc.), il cui compito è quello di ricostruire la funzione di ingresso campionata

Nel caso di impulsi triangolari, l’interpolatore sarebbe formato da tre rampe sfalsate nel tempo e consentirebbe una interpolazione lineare del segnale di ingressoMitalas impiega una sola rampa, e anche se questo non spiega molto chiaramente il senso fisico dell’operazione, di fatto riduce di due terzi la complessità della procedura

Il confronto tra i risultati ottenuti con la procedura di Mitalas e quella matematicamente rigorosa, non giustifica la maggiore complessità dovuta all’uso dell’interpolatore

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Nel dominio della L-trasformata, se un sistema con funzione di trasferimento G(s), è sollecitato da una segnale di ingresso I(s), esso produce una uscita pari a

Nel dominio della Z-trasformata questa relazione si scrive

e pertanto la funzione di trasferimento è pari a

A differenza della G(s), che dipende esclusivamente dalle proprietà del sistema, la H(z) risente anche del segnale di ingresso

Nel dominio della Z-trasformata lo stesso sistema può avere una diversa funzione di trasferimento per ognuno dei segnali di ingresso impiegati

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Abbiamo visto che un sistema sollecitato da una rampa lineare presenta la risposta

che, per mera sostituzione, nel dominio della Z-trasformata si scrive

per cui

ovvero

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Se scriviamo la funzione di trasferimento in forma di rapporto

si ricava

in cui, ponendo si ha

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Poichè si ha

e O(z) può essere determinato usando la risposta temporale O(t) del sistema, già ottenuta mediante l’antitrasformata di Laplace

Avremo pertanto

essendo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Sostituendo nell’espressione del numeratore si ha

La funzione di trasferimento assume la nota forma di rapporto di polinomi

che, sviluppando ed ordinando, diviene

A differenza dei residui della risposta calcolata con la trasformata di Laplace, i coefficienti del numeratore e del denominatore tendono ad estinguersi molto rapidamente al crescere del loro ordine tanto che, nella pratica, se ne impiegano meno di una decina

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In analogia a quanto visto per la L-trasformata, anche in questo caso si può scrivere

in cui le funzioni di trasferimento

si calcolano applicando il procedimento visto alle varie funzioni di trasferimento espresse nel dominio della variabile di Laplace

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Sostituendo inoltre

e ponendo

il flusso di calore Qi può essere calcolato con la formula ricorsiva riportata nel manuale ASHRAE

noti che siano le temperature, fino all’istante corrente nΔ, e il flusso sulla faccia interna fino all’istante (n-1)Δ

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Col metodo della Z-trasformata è possibile precalcolare i coefficienti delle funzioni di trasferimento e, in un secondo tempo, costruire il segnale di uscita legato al particolare andamento dei dati in ingresso

L’ampiezza dell’intervallo di campionamento influenza i coefficienti delle funzioni di trasferimento

In particolare aumentando l’ampiezza dell’intervallo di campionamento è possibile ridurre il numero di coefficienti che è necessario impiegare

Molta cura va comunque posta nella scelta del numero dei coefficienti che in genere deve essere tanto più alto quanto più grande è l’inerzia termica della la struttura studiata

Evidentemente ciò è valido solo se nessuno dei parametri termo-fisici che sono coinvolti nel problema studiato si modifica nel tempo

A differenza della soluzione trovata con la L-trasformata, con questo metodo l’uscita è una funzione discreta nota solo in corrispondenza degli istanti di campionamento

Un troncamento troppo anticipato dei coefficienti porta a risultati affetti da errori inaccettabili

D’altro canto un numero eccessivamente grande di coefficienti appesantisce la procedura iterativa per il calcolo della riposta del sistema

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METODO ARMONICO O IN REGIME PERIODICO

Non si tratta in realtà di una grossa limitazione perchè nella tecnica progettuale degli impianti di condizionamento è usuale ricorrere all’uso di un giorno tipo, rappresentativo di un dato mese, e supporre che esso si ripeta, sempre uguale, per tutto ilmese considerato

Quando la funzione è discreta, ed è conosciuta in N istanti in cui è stato suddiviso il periodo, essa può essere approssimata mediante la serie finita di Fourier

Questo metodo richiede la condizione che le grandezze di ingresso siano periodiche

Sappiamo che una funzione periodica, di periodo P, può essere sviluppata in serie di Fourier

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essendo

I coefficienti della serie finita di Fourier si calcolano con le formule

La funzione può essere posta anche sotto la forma

e pertanto, per la sovrapposizione degli effetti, lo studio del problema può essere ricondotto a quello del semplice regime sinusoidale

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che, durante la propagazione, verrà attenuato e sfasato divenendo

L’equazione di Fourier viene risolta mediante l’operatore e jωt, ovvero impiegando quello che nel-l’analisi delle reti elettriche è noto come metodo simbolico

Si tratta di supporre che, per ogni generica armonica di pulsazione ω, il segnale di ingresso sia la parte immaginaria del più generale segnale

Osservando che è

l’equazione di Fourier diviene

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Il flusso termico è

L’integrale generale dell’equazione precedente è

con

Ponendo le condizioni

si ricavano le relazioni

in cui il termine ejωt può elidersi, ricordando però che è sempre parte integrante dei segnali

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formalmente simili a quelle trovate con il metodo della trasformata di Laplace

I coefficienti delle relazioni precedenti hanno le espressioni

Pertanto, chiamando Te e Qe le temperature ed i flussi, sulla faccia con x=0, e Ti e Qi le temperature ed i flussi sulla faccia con x=L , si può scrivere

|M | è la matrice di trasmissione dello strato ed i flussi Qi e Qe

sono positivi se orientati in accordo con l’asse x

Sostituendo

i coefficienti assumono la forma con cui compaiono nella norma UNI EN ISO 13786xL0

TiTe

QiQe

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I parametri della matrice di trasmissione godono della proprietà

sempre mantenendo quanto detto sui segni di Qi e Qe

in cui il prodotto delle matrici va eseguito partendo sempre dallo strato a cui si riferiscono le quantità T e Q indicate nel primo membro dell’equazione (in questo caso : i → e)

Se la parete è costituita da più strati, e sono trascurabili le resistenze termiche di contatto tra unostrato e l’altro, è possibile scrivere

si può anche scriveregrazie alla quale

1 2 n3Qe Qi

Te Ti

0 L x

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Inoltre, se le temperature Ti e Te sono quelle dei fluidi che circondano la parete si ha

indicando con Ri e Re le resistenze di convezione della parete

Se invece lo strato generico è stato descritto dalle relazioni

si avrà

in cui la matrice di trasmissione |Np| si ottiene invertendo l’ordine degli strati rispetto a quello seguito per calcolare la |Mp| (in questo caso: e → i)

Poichè in genere la parete non è termicamente simmetrica, la matrice |Mp| non è uguale alla |Np|

I parametri della matrice di trasmissione della parete godono però della proprietà

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Per le ipotesi in cui è valida la soluzione trovata, i segnali di ingresso sinusoidali, corrispondenti alle varie armoniche

devono essere pensati come la parte immaginaria di

in cui

esso va nuovamente moltiplicato per ejωt

e di questo va presa la sola parte immaginaria che costituisce la soluzione per la generica armonica di pulsazione ω

nei calcoli, però, il fattore ejωt può essere omesso, trattando θ come un semplice numero complesso

Una volta ottenuto il segnale di uscita cercato γ, anch’esso nella forma di numero complesso

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Sommando fra loro le risposte ottenute per le varie armoniche, ed aggiungendo il termine relativo alla componente di pulsazione nulla (condizioni stazionarie), si ottiene la risposta al segnale di ingresso di cui inizialmente è stata fatta la scomposizione nella serie finita di Fourier

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METODO AGLI ELEMENTI FINITI

Il metodo agli elementi finiti è basato su una tecnica di risoluzione delle equazioni differenziali nota come metodo dei residui pesati

Una equazione differenziale come quella di Fourier

Al contrario, per una soluzione approssimata T≠T* sarà sempre

all’istante t generico, risulta ovviamente verificata, lungo tutto lo strato di spessore L, ponendo per T(x,t) la sua soluzione esatta T*

Essa presenta in tal caso un residuo R(T*,x) che è nullo

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Cerchiamo allora una funzione W(x), correttiva della soluzione approssimata T, che sia capace di minimizzare il residuo lungo tutto il campo di esistenza della soluzione cercata

la funzione W(x) si chiama peso e l’integrale dovrà annullarsi per qualunque istante t

Scegliamo per la soluzione approssimata la seguente espressione

e suddividiamo lo spessore L in n elementi di estremi xi e xi+1 definiti rispetto ad un sistema di coordinate fisso

Supponendo noti, ad un certo istante t, i valori della temperatura in corrispondenza degli estremi degli elementi, costruiamo per interpolazione la soluzione approssimata T(x,t) all’interno del generico elemento ei

L

x1 x2 x3 xnxn-1 xn+1

e1 e2 e3 en-1 en

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Sono possibili tutti i tipi di interpolazione, anche se le più semplici sono quelle polinomiali ed in particolare l’interpolazione lineare

in cui, se la variabile x è definita localmente, ossia solo all’interno dell’elemento di lunghezza di , si ha

in cui i coefficienti α1 e α2 variano con l’elemento

All’interno del generico elemento, avente ai suoi estremi le tempe-rature T1 e T2 , l’interpolazione lineare può essere eseguita usando l’espressione

Ovviamente ogni Ti(x,t) è definita, ed è diversa da zero solo, all’in-terno del proprio elemento ei

Assumiamo pertanto per la soluzione approssimata la forma

T1

T2

ei

xi xi+1

x=0 x=di

x=dix=02di

ei

N2(x)N1(x)

1

1

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Per ottenere l’annullamento dell’integrale del residuo pesato

Poichè integreremo con riferimento al singolo elemento, è utile rappresentare la funzione Ti(x,t) usando un sistema di riferimen-to, chiamato locale naturale, al quale si può passare tramite la relazione

procederemo suddividendo l’integrale nelle parti relative ai vari elementi ei , e quindi imporremo l’annullarsi di ogni integrale elementare

conx=dix=02di

ei

N2(x)N1(x)

1

1

1

N1( ) N2( )

ei

dixi xi+1

=-1 =1

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Procediamo all’integrazione del residuo pesato

L’ultimo integrale può essere risolto per parti

che è chiamata una espressione “debole” del problema perchè contiene solo le derivate prime

ossia, essendo

si ha

Per comodità riscriviamo l’espressione nel modo seguente

avendo indicato con P1 , P2 , P3 le tre parti che compongono il secondo membro

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Come già detto calcoleremo gli integrali spezzando l’intervallo (0 , L) in corrispondenza agli nelementi ei ed imporremo l’uguaglianza a zero in tutti i sottointervalli in cui abbiamo suddiviso l’intervallo (0 , L)

Ovvero, per ogni 1 ≤ i ≤ n dovrà essere

poichè è l’unica diversa da zero all’interno dell’elemento generico ei

Poiché integriamo solo all’interno di ogni elemento, è possibile sostituire alla

l’espressione

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Per l’arbitrarietà nella scelta della funzione W(x), imponiamo che per ogni elemento sia

e

Pertanto, per ogni elemento ei , devono verificarsi entrambe le seguenti relazioni

e ciò genera un numero di equazioni pari a 2n che dovranno annullarsi tutte contemporaneamente

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E’ facile verificare che il risultato dell’integrazione è

Ovvero la forma matriciale sintetica

Sviluppiamo la prima parte Pi1 dell’integrale del residuo pesato, passando al sistema locale naturale

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E’ facile verificare che il risultato dell’integrazione è


Sviluppiamo la seconda parte Pi2 dell’integrale del residuo pesato, passando al sistema locale naturale

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bisogna distinguere se si tratta di

Per il terzo termine

- elemento intermedio :

- primo elemento :

- ultimo elemento :

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che, una volta risolta, fornisce

Per l’elemento intermedio si ha


Per il primo elemento, supponendo una condizione al contorno con scambio convettivo

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si ha


ovvero la forma matriciale sintetica

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Per l’ultimo elemento, supponendo una condizione al contorno con scambio convettivo

si ha


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Pertanto, ricomponendo le tre parti dell’integrale

si ricavano tre tipi diversi di equazioni

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Per il primo elemento

Per il generico elemento intermedio i

Per l’ultimo elemento n

ossia un sistema di 2n equazioni

Con esclusione della T1(t) e della Tn+1(t), tutte le altre Ti(t) compaiono sempre in due equazioni contigue che possono essere tra loro sommate compattando così il sistema in n+1 equazioni, tante cioè quante sono le Ti(t)

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Riscritto più sinteticamente, il sistema assume una forma matriciale del tipo

e descriviamo la temperatura all’interno dell’intervallo

in cui il parametro θ, variabile tra 0 e 1, è usato per controllare l’accuratezza e la stabilitàdell’algoritmo

Chiamiamo tW e tW+1 due istanti di tempo successivi tali che

, con l’espressione

Poiché si ha , i vettori delle quantità variabili nel tempo possono riscriversi

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ossia, più sinteticamente

in cui le matrici | A | e | B | contengono dati tutti noti all’istante precedente quello di calcolo

Sostituendo le precedenti relazioni, il sistema di equazioni può riscriversi

La soluzione potrebbe ottenersi per inversione della matrice del sistema di equazioni

cosa che però è difficile da eseguire per le matrici di grandi dimensioni

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Attraverso l’impiego di metodi iterativi molto efficienti, l’algebra numerica non lineare è in grado di risolvere il sistema senza la necessità dell’inversione della matrice

La convergenza del metodo è normalmente ottenuta calcolando lo scarto tra le iterazioni successive

E’ molto importante osservare che, rispetto alle altre tecniche, il metodo agli elementi finiti impone il numero minore di ipotesi limitative

Si tratta di metodi approssimati che, partendo da un’ipotesi di soluzione, iterano la procedura di calcolo per ottenere stime successive, sempre più precise, della soluzione inizialmente assunta

In particolare nessun vincolo è posto sulle dimensioni degli elementi e quindi possono usarsi delle griglie molto fitte, là dove serve maggior dettaglio di informazione, e invece più diradate nelle zone ritenute meno interessanti

Inoltre le grandezze termo-fisiche significative per il problema, oltre a potere essere differenti per ogni elemento, non hanno l’obbligo di rimanere costanti passando da un l’intervallo temporale di calcolo al successivo

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METODO ALLE DIFFERENZE FINITE

Il metodo alle differenze finite si basa sull’impiego dell’espansione in serie di Taylor

Sommando si può ricavare

in cui ε[(δγ)2] è l’errore dovuto al troncamento della serie al termine relativo alla derivata seconda

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Troncando lo sviluppo della prima serie al termine relativo alla derivata prima si ha

Applichiamo le relazioni trovate all’equazione di Fourier

relativamente ad una regione spaziale δx di indice i

Analogamente dalla seconda si ottiene

essendo ε[(δγ)] l’errore dovuto al troncamento della serie al termine relativo alla derivata prima

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Se usiamo la prima forma della derivata prima, otteniamo

Osserviamo il coefficiente

Se esso dovesse essere negativo, quanto più calda è la regione spaziale all’stante corrente t, tanto più fredda diverrebbe all’istante successivo

che può riscriversi

nota come formulazione esplicita in quanto la temperatura nella regione spaziale, di indice i,all’istante t+δt è direttamente calcolabile partendo dalla distribuzione della temperatura (campo termico) all’istante precedente

che moltiplica la T(i,t), ossia la temperatura nella

regione spaziale corrente, all’stante t

Ciò darebbe luogo ad una condizione oscillatoria priva di senso fisico e che renderebbe instabile la soluzione

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E’ quindi necessario porre la condizione di stabilità

avendo spostato il tempo più avanti di un δt

ed è nota come formulazione implicita e che è incondizionatamente stabile

scelta delle discretizzazioni spaziali e di quelle temporali

Se invece usiamo la seconda forma della derivata prima, otteniamo

In questo caso, il calcolo della temperatura nella regione spaziale (nodo) corrente all’istante futurot+δt richiede anche la conoscenza del campo termico nello stesso istante e ciò comporta la soluzione contemporanea delle equazioni relative a tutte le altre regioni spaziali

che impone un preciso limite nella

L’espressione precedente può essere riscritta

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Benchè quello della serie di Taylor sia l’approccio più classico al metodo delle differenze finite, nella pratica esso riesce di uso difficile

Per il nodo posto sul confine tra due strati A e B della parete, costituiti da materiali diversi, vale la relazione

Si preferisce pertanto riscrivere, in termini finiti, l’equazione di bilancio termico da cui è stata ricavata l’equazione di Fourier

essendo

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Per i nodi posti sulle facce della parete valgono le relazioni

Ogni equazione scritta in forma esplicita viene quindi sommata alla corrispondente espressa in forma implicita ottenendo così una nuova formulazione che è la media pesata tra lo schema esplicito e quello implicito e coincide con quello di Crank-Nicolson

In forma matriciale il sistema di equazioni assume l’espressione

in cui gli apici si riferiscono a due successivi istanti calcolo tW e tW+1

Per avere le relazioni in forma implicita si deve sostituire t+δt al posto di t nel secondo membro delle equazioni precedenti

Questa formulazione risulta consistente, convergente, stabile e consente anche di usare passi tem-porali variabili

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Per risolvere il sistema di equazioni nodali si possono usare sia i metodi diretti, sia quelli iterativi

In questo caso il numero di passi computazionali è legato alle caratteristiche del criterio di conver-genza e al livello di accuratezza che si intende ottenere

I metodi iterativi vengono spesso usati con sistemi di equazioni sparsi o di cui è nota la capacità di convergere rapidamente

Un metodo diretto trova una soluzione in un numero finito di passi computazionali che possono essere determinati fin dall’inizio

Quando le equazioni non sono lineari, perchè ad esempio alcune proprietà fisiche sono variabili con la temperatura, è preferibile usare un metodo iterativo basato su un opportuno criterio di convergenza della soluzione

Poichè il sistema di equazioni che si costruiscono con l’approccio descritto è invariabilmente sparso, l’impiego di un metodo iterativo è generalmente il più appropriato

In ogni caso queste problematiche esulano dalla nostra materia in quanto appartengono ad una disciplina matematica chiamata algebra numerica non lineare

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BIBLIOGRAFIA

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L.Amerio “Elementi di analisi superiore” Tamburini Editore, Milano

E.Jury “Theory and application of the z-transform method” Wiley & Sons, New York

C.Steinmetz “Theory and calculation of alternating current phenomena” McGraw Hill, New York

J.Clarke “Energy simulation in building design” Butterworth Heinemann, Oxford

D.Pepper, J.Heinrich “The finite element method” Taylor & Francis, New York

K.Atkinson “Elementary numerical analysis” Wiley & Sons, New York

L.Hageman, D.Young “ Applied iterative methods” Academic Press, New York

ASHRAE Handbook – Fundamentals, Atlanta

UNI EN ISO 13786, maggio 2008

D.Lgs. 19.8.05, n.192 e D.Lgs. 29.12.06, n.311

Grazie per l’attenzioneProf.Ing. Aldo [email protected]

DREAMUniversità degli Studi di Palermo

Viale delle Scienze, Edificio 9,90128 Palermo

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1 SCUOLA ESTIVA DI FISICA TECNICA Termofisica … · Il ritardo del fattore di decremento è calcolato come il rapporto tra l’argomento della trasmittanza termica periodica e la