1

2. Атомын электрон давхраат бүтэц, түүнийг тайлбарлах

квант механикийн онол • Атомын электрон давхраат бүтэц ба квант механик

• Устөрөгчийн атомд бичсэн Шредингерийн тэгшитгэл,

түүний шийдийн хариу

• Квантын тоо (n, l, ml) –нууд, тэдгээрийн авах утга

• Атомын орбиталь төлөв байдлууд

Ëåêö ¹4

1. Атомын нарийн нийлмэл бүтэц • 19 -р зууны эцэс. Физикийн шинжлэх

ухааны нээлтүүд

• Атомын бүтцийн загварууд

• Атомын бүтцийн онолууд

CHEM101: Органик биш хими I

2

Atomos: өчүүхэн бага хуваагдашгүй гэсэн грек үг

19-р зууны эцэс хүртэл атом нь цааш үл хуваагдах, бодисыг

бүрдүүлэгч жижиг хэсэг гэж үзэж байсан

1. Атомын нарийн нийлмэл бүтэц

XIX зууны нээлтүүд:

Катодын туяа буюу электрон (e-): 1897 онд Английн физикч Joseph

Tomson /1856-1940/ нээж, хасах цэнэгт жижиг хэсгийн урсгал

болохыг тогтоосон

Анодын туяа = сувгийн туяа буюу протон (protos, р): 1886 онд Германы

физикч Goldstein нээсэн. В.Вin, J.J.Thomson нар судалж нэмэх

цэнэгт жижиг хэсгийн урсгал болохыг тогтоосон

Саармаг жижиг хэсэг нейтрон (neutrons, n ) : 1932 онд Английн физикч

James Chadwich нээж, түүний масс нь протоны масстай ойролцоо

болохыг ажигласан.

3

Тэмдэглээ Цэнэг Харьцангуй атом

масс /relative масс/

Үнэмлэхүй масс, г

/actual масс/

e- электрон 1- 1/1840 (протоны масс)

9.11 · 10-28

р+ протон 1+ 1 1.67 · 10-24

n 0 нейтрон 0 1 1.67 · 10-24

• Германы эрдэмтэн А.Беккерели цөмийн цацраг идэвхт шинж

чанарыг1896 онд илрүүлсэн

• Францын эрдэмтэн Мари ба Пepu Кюри нар цацраг идвэхт чанар

атомын цөмийн задралын бүтээгдхүүн болохыг тогтоосон (альфа,

бетта, гамма туяа)

• Элементийн атомын тэмдэглээ зохиогдсон

,r z

n

A

ZЭ1

1

35

17CI

4

5

1. Бөмбөрцөг загвар :1904 он.

Английн физикч Томсон

• 1Ао диаметртэй эзэлхooнээр

протон жигд тархан

бfмбfрцfг гадарга үүсгэнэ.

Тooний мандал дээгooр

электрон хөвнө.

• Электроны хэлбэлзлээр орон

зайд цахилгаан соронзон

долгион цацарна.

Томсоны загвар

Х.Нагаокагийн загвар

Атомын бүтцийн загварууд:

Томсоны туршлага

2. Санчир гариган

загвар:

1904 он. Японы

физикч Х.Нагаока

• электрон цөмийг

тойрон бүслүүр

үүсгэнэ.

6

Резерфордын туршлага:

• 3 мянган атом агуулах 0.0001 см зузаантай

цагаан алтан (Pt) ялтсыг –бөөмөөр

бөмбөгдсөн

• 20000 хазайлтаас зөвхөн нэг назайлт 90о –ын

хазайлт (эргэн ойсон) үзүүлж байсан.

3. Гариган загвар: • 1907 онд Английн физикч Резорфорд

альфа туяаны сариналын судлах туршилт

хийсэн,

• 1911 онд атомын бүтцийн гариган загвар

боловсрогдсон

Резорфордын загвар

7

Атомын бүтцийн квант механикийн загвар:

4. Атомын электрон давхраат

загвар: 1920 он. Данийн

эрдэмтэн Н.Бор атомын

бүтцийн хагас квантын

онолыг боловсруулж,

Резорфордын гариган

загварын дутагдлыг зассан.

5. Квант механикийн загвар:

1920 иод онд боловсрогдсон.

Энэ загвар ёсоор цөмийн

үйлчлэлийн орон зайд

электрон орших магадлал

90% -ыг агуулсан эзэлхүүнд

электрон тодорхойлогдоно

гэж үзсэн.

Н.Боорын загвар

Квант механикийн

загвар

Орбиталын энегийн ихсэлт

8

Рентген туяа: Гаднаас өдөөх

энергийн нөлөөгөөр атомын дотоод

давхраанаас сугаран гарах

электроны байрыг хамгийн ойр

давхрааны электрууд эзэмших үед

үүсэх ц.с.д.

•Рентген спектр бүрийн бүлэг

шугамыг (K.L.M....) гэж тэмдэглэнэ.

Нэг бүлэг дотроо α, β, γ, δ гэх мэт

салаална.

•Химийн элемент бүр нь өөрийн

тодорхойлогч гол спектр шугамыг

гаргадаг. Рентген спетрийн шугамаар

нь тэр элементийг танина.

Рентген спектр. Мозлийн хууль

Мозлийн хууль: (1912 он): Рентген спектрийн долгионы урт, долгионы

тоо (ν) нь элементийн дэс дугаартай шугаман хамааралтай.

N- дэс дугаар

а- бүлэг шугамын шугам бүрт тохирох тогтмол тоо.

b- бүлэг шугам бүрт тохирох тогтмол тоо.

R- Ридбергийн тогтмол /3.2869·10-14гц/

N ≈ Zцөм гэж баталсан.

Хуулийн ач холбогдол:

• Үелэх системд шинэ тодорхойлолт өгсөн

• Үелэх систем дэх элементийн байрыг тогтоох боломж олгосон

Ммассын тоо= MP + Mn

9

)(1

bNa

RN

40 42 43

20 20 20Ca, Ca, CaИзотоп /ижил байрт/ - цөмийн цэнэг ижил,

атом масс өөр.

Изобар /ижил масст/ - цөмийн цэнэг өөр,

атом масс ижил

Изотон /ижил дараалал/ - цөмийн цэнэг өөр,

нейтроны тоо ижил

Ca,K,Ar 4020

4019

4018

Ce,La,Ba 14058

13957

13856

10

Онол дэвшигдэх үндэслэл:

Атомын электронт бүтцийн гариган загвар сонгодог цахилгаан

динамикийн сургаалтай хоёр газар зөрчилддөг.

• Тасралтгүй хөдлөгч e- тасралтгүй энерги алдаж аажим устана

! атом тогтвортой оршдог

• Тасралтгүй их хурдтай хөдлөгч биетийн спектр нил буюу

үргэлжилсэн байх ёстой

! атомын спектр тасралттай

1913 онд Данийн эрдэмтэн Н.Борын “Хагас квантын онол”:

• атомын үзүүлж буй дээрх шинж чанарыг тайлбарласан

• устөрөгчийн атомын бүтцийн гариган загварт үндэслэсэн

• постулат байдлаар дэвшигдсэн

Н. Борын хагас квантын онол

• Электрон тодорхой энергит төлөв

бүхий зөвшөөрөгдсөн тойрог

орбитоор эргэнэ. Энэ үед атом

энерги цацруулахгүй, шингээхгүй.

• Цөмд хамгийн ойр орбит энергийн

хамгийн тогтвортой төлөвт оршино.

Үүнийг энергийн үндсэн төлөв гэнэ

• Нэг орбитоос нөгөөд электрон

шилжих үед л энергийн цацаргалт

эсвэл шингээлт болно

Борын постулат:

Үндсэн төлөв 11

Электроны төвөөс зугатах хүч ,

төвд тэмүүлэх хүч -тэй тэнцэх үед

тойрог орбитын хөдөлгөөн тогтвортой

Электроны хөдөлгөөнт тооны момент нь

meve r ямагт тасралттай , бүхэл = “квант”

утгаар ялгагдана.

12

2 22 22

2 2 2. . ... .. ,

2 4

ee

e e

m n hh e ev n ийн утгыг m v д орлуулбал

m r r m r r

2

or a n

2 22

2 24o

e

n hr n a

m e

Борын радиус:

n = 1 үед ro= 0.53 Ao

r2 = ron

2 = 2.12Ao

n = 1 - энергийн үндсэн төлөв

n = 2, 3, 4 ... – энергийн өдөөгдсөн төлөв = сэрсэн төлөв

n - гол квантын тоо. Электроны энергит төлөв байдлыг тодорхойлно.

Түүний тоон утга үелэх системийн үеийн дугаартай тэнцүү байна.

13

-1

2 2

1 1109677.576 cm

i fn n

f i

E E hv R Rn n

• – гэсэн шугаман хурдтай лектроны төвөөс зугатах

хүч төвд тэмүүлэх хүчтэй тэнцэх үед тойрог орбитын

хөдөлгөөн тогтвортой тул,

• Электроны нийт энерги нь түүний потенциал ба

кинетик энергийн нийлбэртэй тэнцүү

Атомын нэг бүлэг шугамын доторх

спектр шугамын зайн ихсэлт.

∆Е2 » ∆Е3 > ∆Е4 ~ ∆Е5 ∆Е6 ∆Е7

А. Атомын спектр шугам үүсэх шалтгаан, мөн чанарыг тайлсан.

5-20 эВ энерги өгөхөд:

• Лайман - ультра ягаан,

• Байлмар - үзэгдэх гэрэл,

• Пайшин - инфра улаан туяа

14

Үзэгдэх гэрэл

Ультра ягаан туяа Инфра улаан туяа

Борын онолын тайлбар:

Б. Рентген спектрийн мөн чанарыг

тайлбарласан.

• Атомын дотоод давхраанаас

электрон сугалан түүний байрыг

хамгийн ойр давхрны электрон

эзэмших үед рентген туяа цацарна

• Нэг үеийн элементийн рентген

спектрийн бүлэг шугам өөр

үеийнхээс эрс ялгаатай байна.

• Электрон давхрааны тоо

өөрчлөгдөхөд спектрийн бүлэг

шугам өөрчлөгдөнө

15

n = 1 2 3 4 5 6 7

K L M N O P Q

Спектр шугам:

• Спектр анализын багаж улам боловсронгуй болохын хирээр 1 спектр

шугам салаалсан хэсэг шугамаас тогтдог болохыг тогтоосон.

• 1916 онд Германы физикч Зоммерфельд атом цөмөө тойрон эргэхэдээ

бөмбөрцөг замаар тойрохоос гадна эллипс замаар эргэж болно гэж үзэн

тайлбар хийсэн.

16

1

25.0

1

5.0

1

7.0

1

1

R

r

Борын онолыг хөгжүүлсэн нь:

2

0R a n0

2

Ra

n2

0r bn2

rb

n R

Орбитал квантын тоо :

• Спектр шугамын төрх заасан англи нэрний эхний үсгээр s, p, d, f -

тэмдэглэнэ. Уг тэмдэглээ орбиталын хэлбэр дүрстэй холбоогүй

• l = 0. 1. 2....(n-1) гэсэн n –ээс хамааралтай бүхэл тоон утга авна

• орбиталын энергийн дэд түвшинг заана

• орбиталын орон зайн бүтэц, хэлбэрийг тодорхойлно

Ro

ro

a

b

Энергийн квант тоо (n)-ны утга ижил 2 электрон 2

өөр хөдөлгөөнт тооны моментийн утга авна

n = 1 2 3

l = 0 0 1 0 1 2

s s p s p d

1920 –иод онд үүссэн. Францын Луй Де – Бройл, Германы Гейзенберг,

Австрийн Э. Шредингер, Данийн Н.Бор, Английн Дирак П.А., Фок .В.А.

нарын эрдэмтэд үндэслэсэн

17

Электроны долгиолог төрх, квант механик Атомын электронт бүтцийн квант механикийн загвар

Сонгодог

механик:

Биетийн төрхийг,

хөдөлгөөний

траектор = ул мөрөөр

илэрхийлдэг

Квант механик:

долгиолог болон бөөмлөг хоёрмол шинж

чанартай бичил биетийн төрхийг,

оршихуйн магадлалаар тодорхойлно

тодорхойгүйн харьцаа, харилцан нөхөхүйн

зарчим, магадлал, электрон үүл, долгионы

функц ... г.м квант механикийн үндсэн зарчим,

ухагдахуунууд дээр үндэслэн тайлбарлана

Квант механик (долгионы механик):

атом, электрон, молекул зэрэг жижиг биетийн хөдөлгөөн, түүний

мөн чанарыг тайлбарлах шинжлэх ухааны арга.

18

1925 онд аар электроны долгиолог болон

бөөмлөг шинж чанарын харьцааг

тайлбарласан.

Бодохуйн сорил хийсэн.

хөдөлгөөнгүй биетийн хурдыг тодорхойлох

боломжгүй,

хурд ихтэй биетийн байрлалыг тодорхойлох

боломжгүй

Гейзенбергийн тодорхойгүйн зарчим:

• Фотоны энерги их (v » 0)

үед түүний байрлалыг

тодорхойлох боломжгүй.

• Электрон хурд (υ) ихтэй

фотонтой мөргөлдөх

эгшинд (v = 0) фотоны

явж өнгөрсөн зам илэрнэ

Н.Борын харилцан нөхөхүйн зарчим:

Бодисын хоёрдмол шинж чанар бие биеэ

үгүйсгэдэг ч шинж чанарыг илрүүлэхэд

бие биеэ нөхөж өгдөг.

4

hPXТодорхойгүй нэгэн

завсарт электрон хөдөлнө.

E

Электроны шинж төрх:

• Долгиолог болон бөмлөг хоёрдмол шинжтэй

• Цөмийн үйлчлэл илрэх “магадлалын” мужид оршино

• Магадлалын мужид электроны долгиолог төрх илэрнэ

• Электроны долгиолог төрхийг долгионы функцээр илэрхийлнэ

H – хамельтоны оператор, Ψ - функцийн үйлдлийн

дарааллыг тодорхойлно

Ψ – пси буюу долгионы функц. Электроны төрхийг тодорхойлогч

хэмжигдэхүүн, цөмийн үйлчлэлийн орон зайн янз бүрийн цэгт

тодорхой утга авна.

),,( zyx долгионы функцийн математик бичиглэл

19

20

2

2

2

2

2

22

2

2 0)(8

zyxEE

h

ònнийлбэр

e

• Цөм электронтой харилцан үйлчлэхэд долгиолог төрх

илрэхгүй гэж үзэн зөвхөн электрон долгиолог төрхийг

тайлбарласан

• 1927 онд Шредингер устөрөгчийн атомын электронд

долгионы тэгшитгэл бичсэн

- набла , Ψ - функцийн х, у, z –тэнхлэгээс

авсан 2-р эрэмбийн уламжжлал

Ψ функцийн физик утга:

21

Ψ2 - атомын орон зайн тухайн цэгт илрэх электроны

магадлал

Ψ2dV – элементар эзэлхүүнд тодорхойлогдох электроны

магадлал

Электрон үүл: электрон орших магадлалын дүрслэл

Орбитал: электрон орших 90% -ийн магадлал бүхий орон

зайг дайруулан татахад үүсэх эзэлхүүн.

Тодорхой эзэлхүүн дэх

электроны магадлал

Тодорхой цэг дэх

электроны магадлал Электрон үүл Атомын орбитал

Шредингерийн тэгшитгэлийг бодоход олон тооны хариу

гардаг. Түүний шийд атомд орших электроны магадлал,

түүний төрхийг илэрхийлж байх үүднээс хэд хэдэн болзлыг

тогтооно /Борын постулатын адил/

тасралтгүй байх = квант тогтолцоо тасралтгүй өөрчлөгдөнө

төгсгөлөг байх = электрон (e-) үл илрэх нөхцөлд Ψ = 0

нэг утгатай байх = 1 цэгт нэг л утга авах ёстой

нормчлогдсон байх = орон зайн аль нэг цэгт илрэх электроны

магадлал нэг л байна

12dVΨ

rзай

магадлал

22

Хэрэв электроны магадлалыг 3 хэмжээст бөмбөрцөг

гадаргууд тодорхойлж байвал, гэсэн 3 координатын

функц байдлаар бичнэ

),,(rΨΨ

)()()(,, rRrR(r) - долгионы функцийн радиаль хэсэг. Электроны

цөмөөс алслагдах зайгаас хамаарна

)(),( - долгионы функцийн өнцгөн хэсэг

[R(r)]2 - цөмөөс r - зайд алслагдсан электроны магадлал

2)()( r –радиустай гадаргуу дээрх электроны

магадлал

2222 ΨRΨХөдөлж буй электроны

магадлал:

23

r,,

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

e

e

mf

mlf

lnfrR

3

2

1

,

,

Долгионы

тэгшитгэлийн

бүтэн шийд

Радиал болон өнцгөн функцүүдийн дифференциал

тэгшитгэлийг бодоход бүхэл тоон утгаар илэрхийлэгдэх

шийдийн хариу гарна.

rR n = 1, 2, 3, 4 ….

l = 0, 1, 2, 3 ….n-1

ml = -l, -l+1 ….+l

Мандал координатадбодсон

долгионы функцийн

хувийн шийд.

24

n ба l – Долгионы функцийн радиаль хэсгээс хамаарах квантын

тоо. Электроны цөмөөс алслагдах хэмжээ = электроны

энергийг тодорхойлно.

l - Орбитал (туслах) квагтын тоо.

Орбиталийн хэлбэр дүрсийг тодорхойлно

ml – Соронзон квантын тоо.

Орбиталийн орон зайн чигийг тодорхойлно

Орбиталь төлөв буюу орбиталь - квантын 3 тооны нэг

багцаар тодорхойлогдож буй электроны төлөв байдал

25

Еэлектрон = (n + l)

АТОМЫН ОРБИТАЛ ТӨЛӨВ БАЙДАЛ

Энергийн түвшин K L M

Үндсэн түвш.

Гол кв. тоо n 1 2 3

Дэд түвшин

Орбитал кв. т l 0 0 1 0 1 2

Соронзон кв.

тоо ml

0 0 -1 0 1 0 -1 0 1 -2 -1 0 1 2

Орбитал төлөвүүд 1s 2s 2px 2py 2pz 3s 3px 3py 3pz 3dz2 3dxy 3dxz 3dyz 3dx

2y2

1s 2s 2p 3s 3p 3d

Орбиталын тоо 1 4 9

N

4

0 1 2 3

0 -1 0 1 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 3

4s 4px 4py 4pz 4dz2 4dxy 4dxz 4dyz 4dx

2y

2 4f1 4f2 4f3 4f4 4f5 4f6 4f7

4s 4p 4d 4f

16

26

АТОМЫН ОРБИТАЛЫН ЭНЕРГИТ ТӨЛӨВ БАЙДАЛ

27

AO n l Энерги

Е = n + l

1s 1 0 1 + 0 = 1

2s 2 0 2 + 0 = 2

2p 2 1 2 + 1 = 3

3s 3 0 3 + 0 = 3

3p 3 1 3 + 1 = 4

3d 3 2 3 + 2 = 5

4s 4 0 4 + 0 = 4

4p 4 1 4 + 1 = 5

… … … …

АТОМЫН ОРБИТАЛЫН ХЭЛБЭРҮҮД, ОРБИТАЛЫГ ОРОН ЗАЙН ДҮРСЛЭЛ

d - орбитал

p - орбитал

s - орбитал

28

2 2( )x y zf 2 2( )z y x

f2 2( )y x zfx y zf

3 23

5x xr

f3 23

5y yr

f3 23

5z zr

f

29

f - орбитал

АТОМЫН ОРБИТАЛЫН ХЭЛБЭРҮҮД, ОРБИТАЛЫГ ОРОН ЗАЙН ДҮРСЛЭЛ

Спин квантын тоо

1925 он: Уйленбек, Гаудсмидт нар шүлтийн металлын атомын

спектрийн шугамын маш нарийн салаалах үзэгдлиг судлан,

электроны хувийн тэнхлэгийн эргэлттэй холбоотой гэж үзсэн.

Электроны хувийн тэнхлэгийн эргэлтээс үүсэх соронзон

моментийг спин гэж нэрлэсэн

smh

s2

*

Спин квантын тоо

ms - электроны хувийн

соронзон момент

30

o Oлон электронт атом: Нэгээс дээш электронтой атом

o Электроны орших магадлал буюу орбитал төлөв

байдлууд: Hэг электроноос тогтсон H –ийн атомын

тогтолцоонд тодорхойлогдох орбитал төлөв байдлууд

хадгалагдана

o Олон электронт атом дахь электрон: цөмтэйгээ кулоны

таталцлын хүчээр, бие биетэйгээ кулоны түлхэлцэx хүчээр

харилцан үйлчлэнэ. Электроны долгионы функцүүд мөн

бие биедээ нөлөөлнө.

o Oйролцоолон тооцоолох арга: Oлон электронт атом дахь

электроны төлөв байдлыг тооцоолох хялбаршуулсан арга.

Олон электронт атом, онцлог

31

Ойролцоолон тооцолох аргыг хэрэглэн үелэх системийн

ихэнх элементийн статик загварыг гаран электрон үүлний

өнцгөн тархалтыг ойролцоогоор тооцоолсон.

Ойролцоолон тооцоолох аргааас гарсан дүгнэлт:

Олон электронт атомын электроны харилцан үйлчлэл

долгионы функцийн радиусын хэсэгт нөлөөлнө Өнцгөн

хэсэгт буюу орбиталийн хэлбэрт нөлөөлөхгүй

Электроны энерги гол ба орбитал квантын тооны нийлбэр

(n+l) -ээр тодорхойлогдоно.

Олон электронт атомын электроны төлөв байдал квантын

4 тоогоор (n, l, ml, ms ) тодорхойлогдоно.

Орбиталийн энерги элементийн дэс дугаараас хамааран

өөрчлөгдөнө.

32

1. Энергийн өсөх дараалал

2. Паулийн хоригийн зарчим

3. Хундийн дүрэм

1951 онд В.М.Клечковский олон электронт атомын орбиталууд электроноор

бөглөгдөх дүрэм боловсруулсан.

Атомын орбитал электроноор

бөглөгдөх зүй тогтол:

33

Клечковскийн II дүрэм:

(n1+l1) = (n2+l2) үед

n – ийн утга бага нь

(n1 < n2) эхлэн бөглөгдөнө

3p = 4s 3d = 4p

3p 4s 3d 4p

Клечковскийн I дүрэм:

(n1+l1) < (n2+l2) үед бага энергитэй

орбитал эхлэн электроноор бөглөгдөнө.

1s 2s 2p 3s 3p 3d

1. Энергийн өсөх дараалал

Ато

мы

н э

лек

трон

т б

үтэц

2. Паулийн хоригийн зарчим Нэг атомд квантын дөрвөн тоо нь

дөрвүүлээ ижил хоёр электрон

байдаггүй.

Мөрдлөгөө:

Нэг орбиталд эсрэг спинтэй электрон

хоёроос илүү байрлахгүй

3. Хундийн дүрэм

Мөхөөгдсөн буюу ижил

энергитэй орбитальд

электрон бөглөгдөхдөө

спин квантын тооны

нийлбэр аль их байхаар

бөглөгдөнө.

Мөрдлөгөө: Ижил энергитэй

орбитальд электронууд

ганц ганцаар, спины

чиглэл ижил байхаар

бөглөгдөнө.

34

Атомын орбитал электроноор бөгдөгдөх дүрэм зөрчигдөх

онцгой тохиолдол

Жишээ нь: Cr, Cu

d - орбиталийн хувьд:

Орбиталуд ижил спинтэй дан электрон болон сөрөг спинтэй

хос электроноор бүрэн дүүргэгдсэн тохиолдолд орбиталын

энерги хамгийн тогтвортой төлөвд оршино.

1102962622

29

152462622

24

434333221

434333221

sdsdpspssCu

sdsdpspssCr

35

36

Асуулт даалгавар:

• Цөмийн цэнэг 19 –өөс хойших элементүүдээс нэг элементийг сонгон,

түүний атомын орбитал төлөв байдлыг үелэх системд эзлэх байр,

квантын тоо тус бүрийн авах утгыг үндэслэн бичиж , шийдэл бүрээ

тодорхой тайлбарлана уу?

• Тухайн атомын орбиталуудад электрон ямар дүрмийн дагуу хэрхэн

дүүргэгдсэнийг тайлбарлан уу?

• Сонгосон атомын орбталын үндсэн болон дэд түвшингүүдийн энергийг

олж энергийн өсөх дарааллаар байрлуулна уу?

Холбогдох материал: [1]–ийн 4 –р бүлэг

[5- 6] - ийн “Атомын бүтэц” гэсэн дэд сэдэв

Уншиж бататгасан байх шаардлагатай мэдээлэл:

•Гэрлийн шинж чанар. Квантын болон фотоны онол [1] : 77 - 82

•Бодис болон энергийн долгиолог бөөмлөг хоёрдмол төрх [1] : 87 - 90

Лекцийн бие даалт № 4