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Tema da aula 07
Pesquisa Operacional:
Sistemas de equações lineares
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Resolução de sistemas de equações
Método Gauss-Jordan
Consiste da derivação de um sistema específico de equações lineares que tenha a mesma solução que o sistema original. Este novo sistema deverá ter o formato de uma matriz identidade, o que pode ser obtido através de combinações lineares das equações originais. Assim, pretende-se que:
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Resolução de sistemas de equações
Método Gauss-Jordan
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Resolução de sistemas de equações
Método Gauss-JordanSão permitidas as seguintes transformações:Troca de linhas;
Ln ← Lm – troca das linhas n por mMultiplicação da linha por um escalar;
Ln ← KLn – multiplicação da linha n pelo escalar KSoma de uma linha multiplicada por um escalar a uma outra linha.
Ln ← Ln + KLn – soma da linha n multiplicada pelo escalar K à linha n
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Resolução de sistemas de equações
Método Gauss-Jordan
1) Transformação do coeficiente de X1 na equação 1 para 1
Solução: dividir a 1ª equação por 4 para achar o coeficiente de X1 igual a 1. L1 ← L1 / 4
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Resolução de sistemas de equações
Método Gauss-Jordan
2) Transformação do coeficiente de X1 na equação 2 para 0
Solução: subtrair a 2ª equação pela 1ª equação multiplicada por 6. L2 ← L2 – 6L1
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Resolução de sistemas de equações
Método Gauss-Jordan
3) Transformação do coeficiente de X2 na equação 2 para 1
Solução: divisão da 2ª equação por -8. L2 ← L2 / - 8
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Resolução de sistemas de equações
Método Gauss-Jordan
4) Transformação do coeficiente de X2 na equação 1 para 0
Solução: subtração da 1ª equação pela 2ª equação multiplicada por 2. L1 ← L1 – 2L2
-
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Resolução de sistemas de equações
Regra de CRAMER
Utiliza o estudo de determinantes para obtenção de sistemas lineares, onde o número de equações coincide com o número de incógnitas.
a11 a12 a13 a1n b1
a21 a22 a23 a2n b2
a31 a32 a33 a3n b3
B =
Matriz incompleta Matriz completaMatriz incompletaMatriz incompleta Matriz completaMatriz incompleta
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Resolução de sistemas de equações
Regra de CRAMER
Matriz completaMatriz incompleta
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Resolução de sistemas de equações
Regra de CRAMER
Seja S um sistema linear com n equações e n incógnitas. A solução (α1, α2, α3 .... αn) do sistema é obtida por:α
ii
= 1,2,3 .... n
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Resolução de sistemas de equações
Regra de CRAMER
Seja S um sistema linear com n equações e n incógnitas. A solução (α1, α2, α3 .... αn) do sistema é obtida por:α
ii
= 1,2,3 .... n
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Resolução de sistemas de equações
Regra de CRAMER
D = determinante da matriz incompleta.
Di = determinante obtido pela substituição da coluna i da matriz incompleta pela coluna de termos independentes das equações do sistema.
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Resolução de sistemas de equações
Regra de CRAMER
Calcular determinante de D usando Sarrus.
D = D = 27
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Resolução de sistemas de equações
Regra de CRAMER
Escolher a coluna para cálculo de Di.
D = Cálculo de D1, D2 e D3
Coluna escolhida
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Resolução de sistemas de equações
Regra de CRAMER
Para cálculo de D1 substituir a 1ª coluna pela coluna de termos independentes.
D =Cálculo do determinante D1, usando Sarrus.
D1 = -54
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Resolução de sistemas de equações
Regra de CRAMER
Para cálculo de D2 substituir a 2ª coluna pela coluna de termos independentes.
D =Cálculo do determinante D2, usando Sarrus.
D2 = 81
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Resolução de sistemas de equações
Regra de CRAMER
Para cálculo de D3 substituir a 3ª coluna pela coluna de termos independentes.
D =Cálculo do determinante D3, usando Sarrus.
D3 = 0
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Resolução de sistemas de equações
Regra de CRAMER
X = D1 / DY = D2 / DZ = D3 / D
O vetor solução será (-2, 3, 0).
X = -54 / 27Y = 81 / 27Z = 0 / 27
X = -2Y = 3Z = 0
Substituir os valores nas equações para conferir
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Memória de aula
1. Como se deve resolver um sistema de equações utilizando o método de Gauss-Jordan?
2. Como se deve resolver um sistema de equações utilizando a regra de Cramer?
3. Determine o vetor solução para a seguinte equação:
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Bibliografia indicada
LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, 2002. versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).
