1. 서론 - Softcomputing Lab, Department of Computer …sclab.yonsei.ac.kr/courses/05AI/data/05)Fu… · PPT file · Web view · 2007-03-16퍼지 교통제어 Fuzzy Logic Control

인공지능 : 개념 및 응용 Artificial Intelligence: Concepts and ApplicationsArtificial Intelligence: Concepts and Applications

5. 5. 퍼지이론퍼지이론

도용태 김일곤 김종완 박창현 공저

퍼지 이론 퍼지 이론 (Fuzzy Theory)(Fuzzy Theory)컴퓨터를 인간에 가깝게 하는 일의 어려움

컴퓨터의 수치 및 기호처리를 이용 → 모호하지 않은 작업처리인간의 행동 → 애매한 정보를 많이 이용 ↓퍼지 이론 : 애매함을 처리하는 수리 이론

Zadeh 의 퍼지 집합“ 아름다운 여자의 집합” , “ 키 큰 사람의 집합”패턴 인식 , 의미 정보 전달 , 추상화 등에 중요한 역할소속 여부가 확실하지 않은 경우의 집합 - 수학적 집합과 배치정밀 복잡한 제어 이론을 개괄적으로 해결하려는 의도

Crisp 논리 vs Fuzzy 논리0,1 의 명제값과 0 과 1 사이의 실수값을 명제값으로 가짐“ 오늘 비가 올 확률이 70% 이다” → 명제의 확신도 → 확률과 다른가 ?“ 내일 미인을 만날 확률이 50% 이다” → 내일의 만남은 확률 ,

미인인지는 애매함




퍼지 집합퍼지 집합 (Fuzzy Set)(Fuzzy Set)기호

집합 X 의 최대값 연산 : ∨ 최소값 연산 : ∧ 전체 집합 X 의 각 원소 x 가 X 의 퍼지 집합 A

에 속하는 정도 , 즉 퍼지 집합 A 의 소속 함수 (membership function)

x X∈ 가 퍼지 집합 A 에 소속되는 정도 (degree or grade of

membership)

퍼지 집합 표현집합 X 가 이산 : 집합 X 가 연속 :

]1,0[: XA

)(xA

}/)(,,/)(,/)({ 2211 nnAAA xxxxxxA

xA xxA /)(

)1)(0( xA




지지 집합 (Support Set)

예 ) 퍼지집합 A={1.0/1, 0/2, 0.5/3, 0/4, 0.2/5} 일 때 , supp(A)? 해 : supp(A) = { 1, 3, 5 }

정규 퍼지 집합 (Normal Fuzzy Set)x X∈ 중에서 적어도 하나의 원소가 퍼지 집합 A 의 소속 함수 값이 1

이 될때 , A 는 정규 퍼지 집합이라 한다 .

or

볼록 퍼지 집합 (Convex Fuzzy Set)

}0)(|{)( xXxA Asupp

)()()(대해서에인구간임의의

1

21

2

xxx

xxxxAAA

XxforxA ,1)(

1)(

xAXx




상등 ( 집합 X 의 두개의 퍼지 집합 A, B)

예 ) 퍼지 집합 A={ 1/1, 0.5/2, 0/3}, B={y| y=-1/2x+3/2, for x=1,2,3} 해 : 퍼지 집합 A=B

포함 ( 집합 X 의 두개의 퍼지 집합 A, B)

예 ) 퍼지 집합 A={ 키 큰 사람 }, B={ 키가 작지 않은 사람 } 일 때 포함관계 ?

해 : 퍼지 집합 A B

XxBA forxxiffBA )()(

XxBA forxxiffBA )()(




퍼지 집합의 연산 한계합 한계곱- 컷

예 ) 키가 크거나 몸무게가 무거운 사람의 집합 , 키도 크고 몸무게도 무거운 사람의 집합 , 키가 크지 않은 사람의 집합

XxBABA forxxx )}(),(max{)(

XxBABA forxxx )}(),(min{)(

XxAA forxxC )(1)(

XxBABA forxxx 1))()(()( XxBABA forxxx 0)1)()(()(

]1,0[,})((|{)( XxAA forxxx




퍼지 관계퍼지 관계 (Fuzzy Relation)(Fuzzy Relation)정의정의

집합 X, Y 사이의 퍼지 관계 R 의 소속 함수

예 ) X={1, 2}, Y={1, 3, 5}, R=“y 는 x 보다 훨씬 크다” 해 : 두 수 x, y 의 비를 보고 주관적으로 정하면 ,

),(),(),(

),(),(),(),(),(),(

},,,{},,,,{]1,0[:

21

22212

12111

2121

mnRnRnR

mRRR

mRRR

mn

R

yxyxyx

yxyxyxyxyxyx

R

yyyYxxxXYX

때일

4.01.007.03.00

2

1

531

R




퍼지 집합의 관계집합 A, B 는 전체 집합 X, Y 상의 퍼지 집합AB 는 X Y 상의 퍼지 관계

역 퍼지 관계

예 ) X={1, 2}, Y={1, 3, 5}, R=“y 는 x 보다 훨씬 크다” 의 역 퍼지 관계 ? 해 : R-1=“x 는 y 보다 훨씬 작다”

YXyxBABA foryxyx ),()()(),(

XYxyRR foryxxy ),(),(),(1

4.01.0

0

7.03.0

0

5

3

1

21

1R




퍼지 관계의 연산 (X Y 상의 퍼지 관계 P, R 에 대해 )

예 ) X={x1, x2}, Y={y1, y2}, X 와 Y 사이의 퍼지 관계 P 와 R 이 다음과

같이 주어질 때 , PR, PR, Rc ?

해 :

YXyxRPRP foryxyxyx ),()},(),,(max{),(

YXyxRPRP foryxyxyx ),()},(),,(min{),(

YXyxRR foryxyxc ),(),(1),(

8.01.04.05.0

P

7.03.05.02.0

R

8.03.05.05.0

RP

7.01.04.02.0

RP

3.07.05.08.0cR




퍼지 관계의 합성 (Composition)P: X Y 상의 퍼지 관계R: Y Z 상의 퍼지 관계PR: X Z 상의 퍼지 관계

→ 최대 - 최소 합성 (max-min composition)– 경우에 따라서는 최대 - 곱 , 최소 - 최대 , 최대 - 최대 , 최소 - 최소 , 최대 -평균 등을 적용할 수 있다 .

퍼지 집합과 퍼지 관계 합성X 상의 퍼지 집합 A 와 X Y 상의 퍼지 관계 R 의 합성

R 을 f: X → Y 로 해석하면 , f(A)=A R : A 의 f 에 의한 상 (image)

)}],(),,([min{max),( zyyxzx RPYy

RP

Yyyxxy RAXx

RA

)}],,(),([min{max)(




예 ) P(X Y) 와 R(Y Z) 이 주어질 때 , PR(X Z) 의 최대 - 최소 합성 ?

해 : )}],(),,([min{max),( zyyxzx RPYy

RP

3.05.011.0

P

8.05.0013.02.0

R

1.001.0]01[]2.01.0[)]1,2()2,1([)]1,1()1,1([

)]1,(),1([

)}]1,(),,1([min{max)1,1(

2,1

RPRP

RPy

RPYy

RP

yy

yy

5.0]5.01[]3.01.0[)2,1( RP 8.0)3,1( RP 5.0)3,2(,3.0)2,2(,2.0)1,2( RPRPRP




퍼지 수퍼지 수 (Fuzzy Number)(Fuzzy Number)임의의 실수 r 에 대해서 , “ 약 r”, “ 거의 r”퍼지 수를 나타내는 퍼지 집합의 소속 함수

정규이고 볼록 형태를 갖는 퍼지 집합종형 : 매끄러운 모양이지만 계산이 복잡

2

2)(

2

2

]1[)( )( r

rx

exrrx

b




삼각형 : 종형의 간략화로서 일반적으로 많이 사용됨

사다리꼴 : 종형과 삼각형의 혼합 , 간단

qxrrxrxprx

xrq

prtr 1)(

1)()(

)(1

)(1

qxttxtxssxpsx

x

tq

ps

tz

1)(1

1)()(

)(1

)(1




퍼지 추론 퍼지 추론 (Fuzzy Inference)(Fuzzy Inference)퍼지 명제 : 애매함이 포함된 언어적 명제 (linguistic proposition)

x X, A∈ 가 X 의 퍼지 집합일 때 퍼지 명제 P 퍼지 명제 : P = “x is A”예 ) P: “ 지하철이 있는 도시는 매우 큰 도시이다” X: “ 모든 도시” , A: “ 매우 큰 도시”

퍼지 조건 명제

P → Q = if P then Q = if “x is A” then “y is B”= (x, y) is RP→Q

RP→Q: 조건 명제 P → Q 에 대한 X Y 상의 퍼지 관계

P: 전건부 (antecedent portion) Q: 후건부 (consequent portion)




퍼지 추론퍼지 추론 (Fuzzy Reasoning)(Fuzzy Reasoning)퍼지 추론 : 몇 개의 퍼지 명제로부터 하나의 다른 근사적인 퍼지

명제를 유도하는 근사 추론 (approximate reasoning)긍정식 (modus ponens) 가 추론의 기반 [ P 와 PQ 가 참이면 , Q 가 참 ] 임을 주장하는 규칙“ 영희는 미인이다” 와 “미인은 박명한다”의 경우

– 일반 추론 : “ 영희는 박명한다”– 퍼지 추론 : “ 영희는 미인인 정도 만큼 박명한다”

일반화된 긍정식 (generalized modus ponens): 전제와 전건부가 완전 일치가 안됨 → 후건부도 결론과 완전 일치가 안됨

[ 전제 ] P+ : “ 저 아기는 매우 기분이 좋다”[ 조건 ] P → Q : “ 만일 아기가 기분이 좋으면 , 그 아기는 웃는다”[ 결론 ] Q+ : “ 저 아기는 매우 웃는다”




퍼지 추론의 합성 규칙일반화된 긍정식에 대한 구체적인 추론 방법

관계 개념을 퍼지 명제에 대한 관계 개념으로 확장 , 최대 - 최소 합성 연산에 의한 근사적 결론을 추론

일반 형식[ 전제 ] P1 : “x is A”[ 조건 ] P2 : “(x, y) is R” [ 결론 ] Q : “y is AR”

실제 추론에서 퍼지 조건 명제가 사용될 경우 [ 전제 ] P1 : “x is A+” [ 조건 ] P2 : if “x is A” then “y is B” [ 결론 ] Q : “y is B+”

→ B+ = A+RA→B

퍼지 조건 명제와 퍼지 관계의 변환이 중요 : 표준 해결 방법은 없음

)),()(()( yxxy BARAXx

B




직접법에 의한 퍼지 추론

[ 전제 ] P+ : “x is A+”[ 조건 ] PQ : if “x is A” then “y is B” [ 결론 ] Q + : “y is A+RA→B”

RA→B ≡ RP→Q , 퍼지 조건 명제 P → Q ≡ 퍼지 집합을 이용한 관계 A → B

A → B 에 대한 RA→B 의 결정 방법 ( 실용상 간편한 방법 )조건 명제와 동치인 논리식 사용 (P → Q ≡ ~P Q ≡ (P Q) ~P ∨ ∧ ∨ 이용 )

RA→B = R(A B) ~A∧ ∨ 로 하여 소속함수는

Rescher 의 다진 논리

))(1())()((),(),( A~B)A(z xyxyxyx ABARR

)()()()(

01

),(e

yxyx

ifif

yxBA

BAR




A → B 에 대한 RA→B 의 결정 방법 ( 계속 )Lukasiewicz 의 다진 논리 변형

Mamdani 의 제안

– 일반적으로 가장 많이 사용

→ 각 방법에 따른 결론은 퍼지 관계가 다르므로 반드시 같지는 않다 .

[ 를 사용한 결론 ] : “y is A+ “[ 를 사용한 결론 ] : “y is A+ “[ 를 사용한 결론 ] : “y is A+ “[ 를 사용한 결론 ] : “y is A+ “

))()(1(1),(e yxyx BAR

))()((),(m yxyx BAR

zR zR

rR rR

eRmR mR

eR




퍼지 추론의 예퍼지 추론의 예X=Y={1, 2, 3}A: “x X∈ 가 작다”에 대한 퍼지 집합 = {1.0/1, 0.5/2, 0/3}B: “y Y∈ 가 크다”에 대한 퍼지 집합 = {0/1, 0.5/2, 1.0/3}A+: “x X∈ 가 매우 작다”에 대한 퍼지 집합

= {1.0/1, 0.25/2, 0/3}

Rz, Rr, Re, Rm 각각을 구한다 .각 방법에 의한 추론 결과는

[ 전제 ] P1 : “x is A+” ; 1 이 매우 작다 (1.0)[ 조건 ] P2 : if “x is A” then “y is B” ; 1 이 작으면 2 는 크다

[ 결론 ] Q : “y is B+” ; 2 는 매우 크다 (0.5)

)))(()()(( 22 xxx AAA

]15.025.0[1115.05.05.0

15.00]025.01[RA z




퍼지 조건 명제가 2 개 이상인 일반적인 퍼지 추론[ 전제 ] P+ : “x is A+”[ 조건 ] P1 → Q1 : if “x is A1” then “y is B1” P2 → Q2 : if “x is A2” then “y is B2” … Pn → Qn : if “x is An” then “y is Bn”[ 결론 ] Q+ : “y is B+”

Or 관계

And 관계

조건들을 Or 또는 And로 취급하는 방식에 따라 추론 방식이 달라진다 .

nn BABABAQP RRRR 2211

nn BABABAQP RRRR 2211




퍼지 이론의 응용퍼지 이론의 응용인공지능 , 지능 제어 , 전문가 시스템 , 패턴 인식의료 , 정보 검색 , 가전제품의사 결정 지원 , 앙케이트 조사

퍼지 제어세탁기 , 카메라 , 차량 제어 등 어느 정도 실용화가장 많이 적용주로 1 단계 추론으로 단순한 기술 적용

퍼지 전문가 시스템문제 영역 전문가의 지식에 대해서 생성 방식으로 추론이 진행전문가의 지식을 사실과 규칙으로 나누어 복잡한 추론 과정 진행지식에 fuzziness 를 도입 → 퍼지 생성 시스템 (production system)

Fuzzy control application on a Traffic RoadFuzzy control application on a Traffic Road

Inputs={Arrival, Queue}Inputs={Arrival, Queue}Output={Extension}Output={Extension}

퍼지 교통제어FuzzyLogic

Controlinputs output

Fuzzy controlFuzzy control

Traffic simulator N

S

W E

Arrival : Green 신호에 진입한 차량 수N(7 대 ), S(8 대 )=15 대

Queue : Red 신호에 대기하는 차량 수W(6 대 ), E(5 대 )=11 대

Front detector

Rear detector


추론

f1 : A=10 & Q=20 then E=0 초

Primitive time( 기본주기 ) :18 초 , A=10, Q=20

Extension time : Primitive time 이외의 연장시간

f2 : A=20 & Q=5 then E=10 초f3 : A=0 & Q=0 then E=? 초


1. Fuzzy input variables & their membership functions

(a) Arrival

0

1

차량 수 (b) Queue

0

1

차량 수

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(c) Extension

0

1

(sec)초

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

longmedium short

heavylight normallight normal heavyzero zero

zero


2. Fuzzy control rules(rule 의 개수 4*4=16)

Queue

Arrivalzero light normal heavy

Zero zero zero zero zero

Light short zero zero zero

Normal medium short zero zero

heavy long medium short zero

Extension


< 규칙설명 > R1 : if Arrival = Z and Queue = Z then Extension = Z(Zero) R2 : if Arrival = Z and Queue = S then Extension = Z R3 : if Arrival = Z and Queue = M then Extension = Z R4 : if Arrival = Z and Queue = L then Extension = Z R5 : if Arrival = S and Queue = Z then Extension = S(Short) R6 : if Arrival = S and Queue = S then Extension = Z R7 : if Arrival = S and Queue = M then Extension = Z R8 : if Arrival = S and Queue = L then Extension = Z R9 : if Arrival = M and Queue = Z then Extension = M(Medium) R10 : if Arrival = M and Queue = S then Extension = S R11 : if Arrival = M and Queue = M then Extension = Z R12 : if Arrival = M and Queue = L then Extension = Z R13 : if Arrival = L and Queue = Z then Extension = L(Long) R14 : if Arrival = L and Queue = S then Extension = M R15 : if Arrival = L and Queue = M then Extension = S R16 : if Arrival = L and Queue = L then Extension = Z


< 계산식 > u[i] * u(i, Extension) Extension = ---------------------- u[i]

16 u[i] = ∑ min( Ri-Arrival, Ri-Queue)

i =1 u(i, Extension) = the extension_unit of i-th Rule

Ling. term Extension

Z(zero) 0S(Short) 3M(Medium) 6L(Long) 9

Linguistic Label of Extension


Ex) Arrival = 7 이고 Queue = 5 일 때 Extension = ?R1 : if Arrival(Zero) = 0 and Queue(Zero) = 0 then Extension(Zero) = 0 초 min(0, 0) = 0R2 : if Arrival(Zero) = 0 and Queue(Short) = 0.2 then Extension(Zero) = 0 초R3 : if Arrival(Zero) = 0 and Queue(Medium) = 0.8 then Extension(Zero) = 0 초R4 : if Arrival(Zero) = 0 and Queue(Long) = 0 then Extension(Zero) = 0 초R5 : if Arrival(Short) = 0 and Queue(Zero) = 0 then Extension(Short) = 3 초R6 : if Arrival(Short) = 0 and Queue(Short) = 0.2 then Extension(Zero) = 0 초R7 : if Arrival(Short) = 0 and Queue(Medium) = 0.8 then Extension(Zero) = 0 초R8 : if Arrival(Short) = 0 and Queue(Long) = 0 then Extension(Zero) = 0 초R9 : if Arrival(Medium) = 0.7 and Queue(Zero) = 0 then Extension(Medium) = 6 초R10 : if Arrival(Medium) = 0.7 and Queue(Short) = 0.2 then Extension(Short) = 3 초 min(0.7, 0.2) = 0.2R11 : if Arrival(Medium) = 0.7 and Queue(Medium) = 0.8 then Extension(Zero) = 0 초R12 : if Arrival(Medium) = 0.7 and Queue(Long) = 0 then Extension(Zero) = 0 초R13 : if Arrival(Long) = 0.4 and Queue(Zero) = 0 then Extension(Long) = 9 초R14 : if Arrival(Long) = 0.4 and Queue(Short) = 0.2 then Extension(Medium) = 6 초R15 : if Arrival(Long) = 0.4 and Queue(Medium) = 0.8 then Extension(Short) = 3 초R16 : if Arrival(Long) = 0.4 and Queue(Long) = 0 then Extension(Zero) = 0 초


numeratorExtension = -------------- denominator

numerator = 0*0+ 0*0+ 0*0+ 0*0+0*3+ 0*0+ 0*0+ 0*0+0*6+ 0.2*3+ …

denominator = 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+0.2+ 0.7+ 0+ 0+ 0.2+ 0.4+ 0

0.2*3 + 0.7*0 + 0.2*6 + 0.4*3Extension = ------------------------- 0.2 + 0.7 + 0.2 + 0.4 = 2(sec)

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1. 서론 - Softcomputing Lab, Department of Computer …sclab.yonsei.ac.kr/courses/05AI/data/05)Fu… · PPT file · Web view · 2007-03-16퍼지 교통제어 Fuzzy Logic Control