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SSIS-Veneto Indirizzo FIM A.A. 2002-2003Terzo Ciclo

Specializzandi: Laino Michele Maurizio Falcone Antonio

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Concetto di funzione

Funzione y = ax² + bx + c

Equazione ax² + bx + c = 0

Disequazioni

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Dati due insiemi A e B, si dice funzione ( f : A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B

1 2 3 5

4

3 74 5

A B

Ore 7 8 9 10 11 12 13 14 15Temp. -5 -5 -4 -3 -2 0 1 2 4

Esempi:

Continua

IndiceIndice

4

Quando i due insiemi A e B sono insiemi di numeri allora si parla di funzioni numeriche. Spesso in questi casi la relazione è esprimibile con espressioni algebriche.

.dipendente variabiledetta y viene ed teindipenden

variabiledetta x viene variabilela casi questiIn

4) y 2 x; 1 y 1 xSe : Es. (

di un valore di valoreogni ad associa si cioè

come enormalment Indicata

RR :f

reali numeri dei insieme nell' definita f funzione la

:Esempio

y. x

2 -3x y 2-3x x

Si può farne il grafico sul piano cartesiano :

Indice

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Funzione y = ax² + bx + c

Disegniamo una parabola generica :

Possiamo notare un puntosignificativo detto vertice

E una retta rispetto alla quale la figura è simmetrica, detta asse di simmetria.

Vertice

Asse simmetria

Se b = 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax²

Vediamo come si presenta il grafico assegnando ad a valori diversi. (Clicca qui)

Se b è diverso da 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax² + bx

Vediamo come agisce b sul grafico. (Clicca qui)

Poniamo b e c diversi da 0 la funzione diventa : y=ax² + bx + c

Vediamo come agisce c sul grafico. (Clicca qui)Indice

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y = ax²a = 1/4

a = 1/2

a = 1

a = 2

a = 4

a = 8

a = -1/4

a = -1/2

a = -1a= -2a = -4

a = -8

Tanto più piccolo è a tanto più la concavità è ampia

Se a > 0 la concavità è rivolta verso l’ alto; se a < 0 la concavità è rivolta verso il basso.IndiceIndice

y = x² + bxFacciamo variare b osservando grafico e vertice

b =- 4 ;V(2,-4)

b = -3;V(3/2,-9/4)

b = - 2;V(1,-2)b = -1;V(1/2,-1/4)b = 0;V(0,0)

b = 1;V(-1/2,-1/4)

b = 2;V(1,-2)

b = 3;V(-3/2,-9/4)

Vertice

Vertice

Vertice

Vertice

Vertice

Vertice

Vertice

Dato che abbiamo posto a = 1

al variare di b possiamo dire che la coordinata x del Vertice si può calcolare V(- b/2a, …) IndiceIndice

y = x² - 2x + cc = - 3c = - 2c = - 1c = 0c = 1

c = 2

C

Il parametro c mi dà l’ ordinata del punto di incontro della

parabola con l’asse delle y.

Se c non compare la parabola passa per l’origine. IndiceIndice

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Consideriamo il seguente sistema, costituito da una parabola e dall’asse x :

0

322

y

xxy

Risolviamolo graficamente

Punti di incontro :

A( -1, 0)

B( 3, 0)

A B

Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x –3 = 0

Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è soddisfatta con x = - 1, ed x = 3 che sono proprio le ascisse dei punti di incontro della parabola con l’ asse x.

IndiceIndice

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Consideriamo ora il sistema :

x assel' e parabola una Ancora

0y

2x2xy 2

Risolviamolo graficamente

La parabola e l’asse x non hanno punti in comune.

Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x + 2 = 0

Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni.

Nel nostro caso, non è soddisfatta da alcun valore di x. L’ equazione si dice impossibile.

IndiceIndice

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Consideriamo infine il sistema :

x assel' e parabola una Ancora

0y

1x2xy 2

Risolviamolo graficamente

La parabola e l’ asse x hanno un punto in comune.

A( 1, 0)

Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x + 1 =0

Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita) e quindi, ci si possono aspettare al massimo due soluzioni.

Nel nostro caso è soddisfatta da un solo valore di x. L’ equazione ha dunque una sola soluzione pari a x = 1.

IndiceIndice

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Ma per risolvere un’equazione del tipo ax² + bx + c = 0 bisogna fare tutti

questi disegni ? Non necessariamente!!!C’è una formula un po’ complicata:

a

acbbx

2

42

2,1

Dove a, b, c sono i coefficienti che compaiono nell’equazione.

Come facciamo a sapere se l’equazione ammette 2, 1, o nessuna soluzione ?

Nella formula, sotto la radice quadrata, c’è l’espressione b²- 4ac, questa espressione

viene detta discriminante ed indicata con (delta).

Se b²- 4ac>0 posso estrarre la radice ed avrò due soluzioni: la parabola taglia l’asse x

Se b²- 4ac = 0 posso estrarre la radice ed avrò una soluzione: la parabola tocca l’asse x

Se b²- 4ac < 0 non posso estrarre la radice (indice 2, radicando negativo)

e non avrò alcuna soluzione: la parabola non tocca, né taglia l’asse delle x.

EsempiIndice

13

Es

em

pi

2

1

4

2

4

13 1

4

4

4

134

893

22

124)3()3(

0132

21

2

2

xx

x

xx

2

1

4

2

4

53 2

4

8

4

534

1693

22

)2(24)3()3(

0232

21

2

2

xx

x

xx

14

44

04

4

16164

22

224)4()4(

02422

2

x

x

xx

e.impossibil Equazione radice. la estarre può si Non 4

74

4

1694

22

224)3()3(

0232

2

2

x

xx

2 Soluzioni

2 Soluzioni

1 Soluzione

Nessuna Soluzione reale

Grafico

Grafico

Grafico

Grafico

Indice

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Introduzione

Disequazioni 1° grado

Disequazioni 2° grado

Indice

15

Definizione:

Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche con una

quantità incognita.

Risolvere una disequazione significa trovare i valori o gli intervalli di valori, che

sostituiti all’incognita, verificano la disuguaglianza.

A differenza delle equazioni, quindi, le soluzioni di una disequazione sono intervalli

di numeri o, se si sta lavorando a livello grafico, intervalli di punti.

Tali intervalli possono essere :

Limitati, Illimitati

Aperti, Chiusi

Come per le equazioni si parla di grado;

Il grado di una disequazione è l’esponente maggiore con cui compare l’incognita.

a seconda che un estremo o tutti e due siano + o - infinito

a seconda che comprendano o meno gli estremi

DisequazioniIndiceIndice

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Disequazioni 1º gradoSi presentano sotto questa forma :

altre. le risolvono si teanalogamena

bx

a

b

a

ax -bax

:prima la Risolviamo

0bax

0bax

0bax

0bax

destra a illimitato sinistra, a chiuso e limitato Intervallo

2x 2

4

2

2x 42x 042 c)

destra a limitato e aperto sinistra, a illimitato Intervallo2

3x

2

3

2

2x 32x 032 b)

destra a illimitato sinistra, a aperto e limitato Intervallo2

3x

2

3

2

2x 32x 032 a)

: Esempi

x

x

x

Risoluzione con metodo grafico

Grafico

Grafico

Grafico

DisequazioniIndiceIndice

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Disequazioni 2º grado

Si presentano sotto questa forma :

0 cbxax

0 cbxax

0 cbxax

0 cbxax

2

2

2

2

L’ espressione ax² + bx + c l’abbiamo già incontrata .

y = ax² + bx + c è una parabola

ax² + bx + c = 0 è un’equazione di 2° grado

Per risolvere una disequazione di 2° grado prenderemo in considerazione sia l’ equazione che la parabola associata.

Ricordiamo solo che la parabola può avere la concavità rivolta verso

l’alto o verso il basso a seconda che il coefficiente a sia positivo o negativo.

Ricordiamo inoltre che una equazione di 2° grado può avere nessuna, 1 o 2 soluzioni a seconda del valore del discriminante. IndiceIndice

18

In qualsiasi forma si presenti una disequazione di 2° grado si procede sempre nello stesso modo :

1) Si risolve l’equazione associata

2) Si fa un grafico approssimativo della parabola associata

3) Dal grafico si leggono le soluzioni della disequazione

Considerando l’ espressione ax² + bx + c distinguiamo due situazioni : la prima con a > 0 , la seconda con a < 0 .

Supposto a > 0 vediamo cosa succede quando l’equazione ax² + bx + c = 0 ha:

Due soluzioni

Supposto a < 0 vediamo cosa succede quando l’equazione ax² + bx + c = 0 ha:

Una soluzione Nessuna soluzione

Due soluzioni Una soluzione Nessuna soluzione

DisequazioniIndiceIndice

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Ipotesi : a > 0 ; due soluzioni (discriminante >0)

Ne consegue che :

• la parabola è rivolta verso l’alto

• taglia l’asse delle x in due punti

Soluzioni per:

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c > = 0

ax² + bx + c < = 0

IndiceIndice Scelta…

20

Ipotesi : a > 0 ; una soluzione (discriminante = 0)

Ne consegue che :

• la parabola è rivolta verso l’alto

• tocca l’asse delle x in un punto

Soluzioni per:

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c > = 0

ax² + bx + c <= 0

IndiceIndice Scelta…

21

Ipotesi : a > 0;nessuna soluzione (discriminante < 0)

Ne consegue che :

• la parabola è rivolta verso l’alto

• E’ tutta nel semipiano positivo delle y

Soluzioni per

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c > = 0

ax² + bx + c <= 0

IndiceIndice Scelta…

22

Ipotesi : a<0 ; due soluzioni (discriminante >0)

Ne consegue che :

• la parabola è rivolta verso il basso

• taglia l’asse delle x in due punti

Soluzioni per

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < =0

ax² + bx + c >= 0

IndiceIndice Scelta…

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Ipotesi : a < 0 ; una soluzione (discriminante = 0)

Ne consegue che :

• la parabola è rivolta verso il basso

• tocca l’asse delle x in un punto

Soluzioni per:

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < =0

ax² + bx + c <= 0

IndiceIndice Scelta…

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Ipotesi : a < 0 ; nessuna soluzione (discriminante < 0)

Ne consegue che :

• la parabola è rivolta verso il basso

• è tutta nel semipiano negativo delle y

Soluzioni per

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < = 0

ax² + bx + c < = 0

IndiceIndice Scelta…