Embed Size (px)
Citation preview
1
STATISIKLV Nr 1375
SS 20053Maumlrz 2005
2
Streuungsmaszlige
bull Varianzbull Standardabweichungbull Variationskoeffizientbull Mittlere absolute Abweichungbull Spannweitebull Quartilsabstandbull Schiefebull Woumllbung
3
Varianz
bull Beobachtungswerte a1an (metrisch skaliert)
bull Streuungsmaszlig Arithmetische Mittel der Abweichungsquadrate der Einzelwerte ai von ihrem arithmetischen Mittel
bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung)
n
1i
2i
2 )a(an1σ
4
Varianz
bull Nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt
bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M
n
1ii 0)a(a
n
1i
2i M)(a
n1MQ(M)
5
Varianz
bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)
bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels
22 M)a(σMQ(M)
)a(MM)(a)a(an
1i
n
1i
2i
2i
6
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan1)aa(
n1
i
n
1i
2i
2 h)x(xn1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
7
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilungbull Varianz naumlherungsweise berechnen statt
der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
8
Varianzbull Bei unimodalen Verteilungen ist die
Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12x)(Δσσ
222
corr
9
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor
alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
10
Standardabweichung
bull Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an1σσ
11
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaftenbull Lineare Transformation der Einzelwerte ai
ai=α+βai (i=1n)bull Dann Varianz
Standardabweichung bull Sonderfall β=1 (Transformation ai=α+ai)
σsup2 = σsup2 und σ = σ
222 σβσ σ|β|σ
12
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaftenbull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2
Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit 21
222
211
21
222
2112
nn)aa(n)aa(n
nnσnσn
σ
21
2211
nnanan
a
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
2
Streuungsmaszlige
bull Varianzbull Standardabweichungbull Variationskoeffizientbull Mittlere absolute Abweichungbull Spannweitebull Quartilsabstandbull Schiefebull Woumllbung
3
Varianz
bull Beobachtungswerte a1an (metrisch skaliert)
bull Streuungsmaszlig Arithmetische Mittel der Abweichungsquadrate der Einzelwerte ai von ihrem arithmetischen Mittel
bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung)
n
1i
2i
2 )a(an1σ
4
Varianz
bull Nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt
bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M
n
1ii 0)a(a
n
1i
2i M)(a
n1MQ(M)
5
Varianz
bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)
bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels
22 M)a(σMQ(M)
)a(MM)(a)a(an
1i
n
1i
2i
2i
6
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan1)aa(
n1
i
n
1i
2i
2 h)x(xn1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
7
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilungbull Varianz naumlherungsweise berechnen statt
der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
8
Varianzbull Bei unimodalen Verteilungen ist die
Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12x)(Δσσ
222
corr
9
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor
alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
10
Standardabweichung
bull Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an1σσ
11
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaftenbull Lineare Transformation der Einzelwerte ai
ai=α+βai (i=1n)bull Dann Varianz
Standardabweichung bull Sonderfall β=1 (Transformation ai=α+ai)
σsup2 = σsup2 und σ = σ
222 σβσ σ|β|σ
12
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaftenbull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2
Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit 21
222
211
21
222
2112
nn)aa(n)aa(n
nnσnσn
σ
21
2211
nnanan
a
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
3
Varianz
bull Beobachtungswerte a1an (metrisch skaliert)
bull Streuungsmaszlig Arithmetische Mittel der Abweichungsquadrate der Einzelwerte ai von ihrem arithmetischen Mittel
bull Varianz (Mittlere quadratische Abweichung)
n
1i
2i
2 )a(an1σ
4
Varianz
bull Nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt
bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M
n
1ii 0)a(a
n
1i
2i M)(a
n1MQ(M)
5
Varianz
bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)
bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels
22 M)a(σMQ(M)
)a(MM)(a)a(an
1i
n
1i
2i
2i
6
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan1)aa(
n1
i
n
1i
2i
2 h)x(xn1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
7
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilungbull Varianz naumlherungsweise berechnen statt
der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
8
Varianzbull Bei unimodalen Verteilungen ist die
Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12x)(Δσσ
222
corr
9
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor
alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
10
Standardabweichung
bull Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an1σσ
11
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaftenbull Lineare Transformation der Einzelwerte ai
ai=α+βai (i=1n)bull Dann Varianz
Standardabweichung bull Sonderfall β=1 (Transformation ai=α+ai)
σsup2 = σsup2 und σ = σ
222 σβσ σ|β|σ
12
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaftenbull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2
Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit 21
222
211
21
222
2112
nn)aa(n)aa(n
nnσnσn
σ
21
2211
nnanan
a
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
4
Varianz
bull Nicht Summe der Abweichungen von ai von ihrem arithm Mittel da gilt
bull Mittlere quadratische Abweichung bezogen auf einen beliebigen Wert M
n
1ii 0)a(a
n
1i
2i M)(a
n1MQ(M)
5
Varianz
bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)
bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels
22 M)a(σMQ(M)
)a(MM)(a)a(an
1i
n
1i
2i
2i
6
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan1)aa(
n1
i
n
1i
2i
2 h)x(xn1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
7
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilungbull Varianz naumlherungsweise berechnen statt
der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
8
Varianzbull Bei unimodalen Verteilungen ist die
Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12x)(Δσσ
222
corr
9
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor
alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
10
Standardabweichung
bull Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an1σσ
11
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaftenbull Lineare Transformation der Einzelwerte ai
ai=α+βai (i=1n)bull Dann Varianz
Standardabweichung bull Sonderfall β=1 (Transformation ai=α+ai)
σsup2 = σsup2 und σ = σ
222 σβσ σ|β|σ
12
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaftenbull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2
Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit 21
222
211
21
222
2112
nn)aa(n)aa(n
nnσnσn
σ
21
2211
nnanan
a
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
5
Varianz
bull Verschiebungssatz (Beziehung zw MQ(M) und Varianz)
bull Das bedeutet ndash MQ(M) Varianzndash MQ(M) = σsup2 wenn M = arithm Mittel ndash Minimumeigenschaft des arithm Mittels
22 M)a(σMQ(M)
)a(MM)(a)a(an
1i
n
1i
2i
2i
6
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan1)aa(
n1
i
n
1i
2i
2 h)x(xn1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
7
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilungbull Varianz naumlherungsweise berechnen statt
der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
8
Varianzbull Bei unimodalen Verteilungen ist die
Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12x)(Δσσ
222
corr
9
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor
alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
10
Standardabweichung
bull Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an1σσ
11
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaftenbull Lineare Transformation der Einzelwerte ai
ai=α+βai (i=1n)bull Dann Varianz
Standardabweichung bull Sonderfall β=1 (Transformation ai=α+ai)
σsup2 = σsup2 und σ = σ
222 σβσ σ|β|σ
12
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaftenbull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2
Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit 21
222
211
21
222
2112
nn)aa(n)aa(n
nnσnσn
σ
21
2211
nnanan
a
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
6
Varianz
bull Rechenvereinfachung
bull Liegt eine Haumlufigkeitsverteilung vork Merkmalswerte x1xk mit abs Haumlufigkeiten hi bzw rel Haumlufigkeiten fi (i=1k)
bull Varianz
n
1i
22i
n
1i
2i
2 aan1)aa(
n1
i
n
1i
2i
2 h)x(xn1σ
i
n
1i
2i
2 f)x(xn1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
7
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilungbull Varianz naumlherungsweise berechnen statt
der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
8
Varianzbull Bei unimodalen Verteilungen ist die
Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12x)(Δσσ
222
corr
9
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor
alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
10
Standardabweichung
bull Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an1σσ
11
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaftenbull Lineare Transformation der Einzelwerte ai
ai=α+βai (i=1n)bull Dann Varianz
Standardabweichung bull Sonderfall β=1 (Transformation ai=α+ai)
σsup2 = σsup2 und σ = σ
222 σβσ σ|β|σ
12
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaftenbull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2
Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit 21
222
211
21
222
2112
nn)aa(n)aa(n
nnσnσn
σ
21
2211
nnanan
a
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
7
Varianz
bull Klassifizierte Daten Haumlufigkeitsverteilungbull Varianz naumlherungsweise berechnen statt
der Merkmalswerte xi werden die Klassenmitten xiacute verwendet
i
n
1i
2i
2 h)xx(n1σ
i
n
1i
2i
2 f)xx(n1σ
n
1iii
n
1iii fxhx
n1xmit
8
Varianzbull Bei unimodalen Verteilungen ist die
Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12x)(Δσσ
222
corr
9
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor
alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
10
Standardabweichung
bull Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an1σσ
11
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaftenbull Lineare Transformation der Einzelwerte ai
ai=α+βai (i=1n)bull Dann Varianz
Standardabweichung bull Sonderfall β=1 (Transformation ai=α+ai)
σsup2 = σsup2 und σ = σ
222 σβσ σ|β|σ
12
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaftenbull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2
Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit 21
222
211
21
222
2112
nn)aa(n)aa(n
nnσnσn
σ
21
2211
nnanan
a
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
8
Varianzbull Bei unimodalen Verteilungen ist die
Varianz die aus den klassifizierten Daten berechnet wird groumlszliger als die Varianz die aus den Einzelwerten berechnet wird
bull Bei konstanten Klasseneinteilungen (Δx) Sheppardsche Korrektur
σsup2 die aus den klassifizierten Daten naumlherungsweise bestimmte Varianz
12x)(Δσσ
222
corr
9
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor
alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
10
Standardabweichung
bull Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an1σσ
11
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaftenbull Lineare Transformation der Einzelwerte ai
ai=α+βai (i=1n)bull Dann Varianz
Standardabweichung bull Sonderfall β=1 (Transformation ai=α+ai)
σsup2 = σsup2 und σ = σ
222 σβσ σ|β|σ
12
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaftenbull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2
Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit 21
222
211
21
222
2112
nn)aa(n)aa(n
nnσnσn
σ
21
2211
nnanan
a
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
9
Varianz
bull Dimension Quadrat der Dimension der einzelnen Beobachtungen
bull Eigenschaft Varianz immer 0bull Ist Varianz = 0 liegt keine Streuung vor
alle Beobachtungswerte sind gleich und somit auch gleich dem arithmetischen Mittel
10
Standardabweichung
bull Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an1σσ
11
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaftenbull Lineare Transformation der Einzelwerte ai
ai=α+βai (i=1n)bull Dann Varianz
Standardabweichung bull Sonderfall β=1 (Transformation ai=α+ai)
σsup2 = σsup2 und σ = σ
222 σβσ σ|β|σ
12
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaftenbull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2
Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit 21
222
211
21
222
2112
nn)aa(n)aa(n
nnσnσn
σ
21
2211
nnanan
a
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
10
Standardabweichung
bull Quadratwurzel der Varianz
n
1i
2i
2 )a(an1σσ
11
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaftenbull Lineare Transformation der Einzelwerte ai
ai=α+βai (i=1n)bull Dann Varianz
Standardabweichung bull Sonderfall β=1 (Transformation ai=α+ai)
σsup2 = σsup2 und σ = σ
222 σβσ σ|β|σ
12
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaftenbull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2
Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit 21
222
211
21
222
2112
nn)aa(n)aa(n
nnσnσn
σ
21
2211
nnanan
a
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
11
Varianz amp Standardabweichung
Eigenschaftenbull Lineare Transformation der Einzelwerte ai
ai=α+βai (i=1n)bull Dann Varianz
Standardabweichung bull Sonderfall β=1 (Transformation ai=α+ai)
σsup2 = σsup2 und σ = σ
222 σβσ σ|β|σ
12
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaftenbull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2
Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit 21
222
211
21
222
2112
nn)aa(n)aa(n
nnσnσn
σ
21
2211
nnanan
a
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
12
Varianz amp Standardabweichung
bull Eigenschaftenbull Varianz einer Grundgesamtheit die aus 2
Teilgesamtheiten (n1 n2) besteht
mit 21
222
211
21
222
2112
nn)aa(n)aa(n
nnσnσn
σ
21
2211
nnanan
a
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
13
Varianz amp Standardabweichungbull Standardisierung
ndash Spezielle lineare Transformationndash Bildet aus Einzelwerten ai standardisierte
Werte zi indem von jedem ai das arithm Mittel μ abgezogen wird und durch die Standardabweichung dividiert wird
bull Arithm Mittel der zi immer 0 bull Varianz der zi immer 1
σμaz i
i
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
14
Variationskoeffizient
bull Streuung zweier oder mehrerer Verteilungen mit sich stark voneinander unterscheidenden Mittelwerten vergleichen
bull Relatives Streuungsmaszlig (fuumlr verhaumlltnis-skalierte Merkmale mit ausschlieszliglich positiven Merkmalswerten) bezieht die Standardabweichung σ (absolutes Streuungsmaszlig) auf das arithm Mittel μ
μσVC
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
15
MAD Mittlere absolute Abw
bull Arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen der einzelnen Merkmalswerte vom Mittelwert (zB arithm Mittel oder Median)
bull Minimumeigenschaft des Medians
M beliebiger Wert
n
1ii |Mea|
n1MAD
n
ii
n
ii Ma
nMea
n 11
||1||1
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
16
MAD
bull Haumlufigkeitsverteilung der Datenbull MAD bezogen auf Mittelwert μ
bull MAD aus Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierte Daten Merkmalswerte xi durch Klassenmitten xiacute ersetzen
i
n
1ii h|μx|
n1MAD
i
n
1ii f|μx|MAD
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
17
Spannweite (Range)bull Abstand zw dem groumlszligten und dem kleinsten Wert bull Einzelwerte der Groumlszlige nach ordnen a[1]hellipa[n]
R = a[n] - a[1]
bull Haumlufigkeitsverteilung von k Merkmalsauspraumlgungen R = xk - x1
bull Haumlufigkeitsverteilung von klassifizierten DatenR = xk
o - x1u
bull Spannweite ist instabil gegenuumlber Ausreiszligern
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
18
Quartilsabstandbull Quartile Q1 Q2 (=Median) Q3 teilen die Gesamtheit
in 4 gleich groszlige Teile bull α-Quantil
a(k) falls nα keine ganze Zahl (k die auf nα folgende ganze Zahl)aα= 12 (a(k)+a(k+1)) falls nα ganze Zahl k=nα
bull Quartilsabstand (Interquartile Range) definiert als Spannweite der 50 mittleren Werte QA = Q3 ndash Q1
bull Eigenschaft stabil gegenuumlber Ausreiszligern
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
19
Schiefebull Gibt Richtung (rechts- oder linksschief) und
Groumlszligenordnung der Schiefe einer eingipfligen Haumlufigkeitsverteilung an
lt 0 linksschiefeg1 = 0 symmetrisch
gt 0 rechtsschiefebull Kein direkter Streuungsparameter
3
1
2
1
3
1
)(1
)(1
n
ii
n
ii
aan
aan
g
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
20
Schiefe
bull Schiefe einer Haumlufigkeitsverteilung aus gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
bull Berechnung mit Klassenmittel und Klassenmitte kann zu unterschiedlichen Ergebnissen fuumlhren
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)aa(n1
h)aa(n1
g
3k
1ii
2i
i
k
1i
3i
1
h)a(mn1
h)a(mn1
g
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
21
Woumllbung
bull Woumllbung od Kurtosis od Exzeszlig Maszligzahl fuumlr eingipflige Haumlufigkeitsvt
bull Gibt an ob (bei gleicher Varianz) das absolute Maximum der Haumlufigkeitsvt groumlszliger als bei der Dichte der Normalvt ist
3
)a(an1
)a(an1
g 2n
1i
2i
n
1i
4i
2
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
22
Woumllbung
lt 0 abs Max kleiner als bei N-Vtg2 = 0 Normalverteilung
gt 0 abs Max groumlszliger als bei N-Vtbull Woumllbung einer Haumlufigkeitsverteilung aus
gruppierten Daten (k Klassen) Verwendung der Klassenmittel od der Klassenmitten
3
h)aa(n1
h)aa(n1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
3
h)a(mn1
h)a(mn1
g 2n
1ii
2i
k
1ii
4i
2
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
23
Konzentrationsmaszligebull Metrisch skaliertes Merkmal X mit nur
positiven Auspraumlgungenbull Frage Wie teilt sich die Summe der
Merkmalswerte x1hellipxn in der Beobachtungsreihe auf die Untersuchungs-einheiten auf
bull Bsp n landwirtschaftliche Betriebe Groumlszlige der Nutzflaumlchen x1xn Wie teilt sich die gesamte Nutzflaumlche auf die einzelnen Betriebe auf
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
24
Konzentrationsmaszlige
bull n Merkmalswerte werden durch q Merkmalsauspraumlgungen a1ltltaq mit absoluten- und relativen Haumlufigkeiten hi bzw fi bestimmt
bull Gesamtbetrag der Merkmalswerte in der Beobachtungsreihe
n
1iii
n
1jj hax
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
25
Konzentrationsmaszlige
bull Lorenzkurve Grafische Darstellung der Konzentration der Merkmalswerte
bull Koordinatenkreuz ndash Abszisse es werden die nach der Groumlszlige der Merkmals-
auspraumlgung geordneten relativen Haumlufigkeiten aufsummiert
ndash Ordinate Auspraumlgungen werden der Groumlszlige nach
aufsummiert und auf Summe aller Auspraumlgungen bezogen
q1ifuumlrfnh
ki
1jj
i
1j
ji
q1ifuumlr hahalq
1jjj
i
1jjji
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
26
Konzentrationsmaszlige
bull Bsp landwirtschaftliche Betriebendash Abszisse Es wird der Prozentsatz der Betriebe
mit der kleinsten Flaumlche bestimmt dann wird der Prozentsatz der Betriebe mit der zweit-kleinsten Flaumlche bestimmt und zum Prozentsatz der Betriebe mit der kleinsten Flaumlche addiert usw
ndash Ordinate Flaumlchenanteile der Betriebe bzgl der Gesamtflaumlche werden der Flaumlchengroumlszlige nach aufsummiert
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
27
Konzentrationsmaszlige
bull Verbinden der Punkte (kili) ergibt die Lorenzkurve wobei immer k0=l0=0 und kq=lq=1 gilt
ki
li
0 1
1
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
28
Konzentrationsmaszlige
bull Interpretation ein Punkt (kili) der Lorenz-kurve gibt an dass auf ki middot 100 der Untersuchungseinheiten li middot 100 des Gesamtbetrages aller Merkmalsaus-praumlgungen entfallen
bull Bsp auf ki middot 100 der landwirtschaftlichen Betriebe entfallen li middot 100 der gesamten Nutzflaumlche
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
29
Konzentrationsmaszlige
Extremfaumlllebull Keine Konzentration alle Untersuchungs-
einheiten haben den gleichen Anteil am Gesamtbetrag Lorenzkurve ist Diagonale
bull Gesamtbetrag konzentriert sich (fast) vollstaumlndig auf eine Untersuchungseinheit Lorenzkurve liegt (fast) auf Abszisse ist also (fast) senkrecht
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
30
Konzentrationsmaszligebull Gini-Koeffizient od Lorenzsche
Konzentrationsmaszlig (LKM) Maszligzahl fuumlr die Konzentration
bull Definiert als das 2-fache der Flaumlche F zw Diagonale und Lorenzkurve LKM = 2F
bull Es gilt immer 0 LKM (n-1)nbull Standardisierter Gini-Koeffizient
LKMnor = n(n-1) LKM
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
31
Verhaumlltniszahlen
bull Quotient zweier Maszligzahlen Verhaumlltniszahlbull Gliederungszahlen
ndash Man bezieht eine Teilgroumlszlige auf eine ihr uumlbergeordnete Gesamtgroumlszlige
bull Beziehungszahlenndash Quotient zweier sachlich sinnvoll in
Verbindung stehender Maszligzahlen bull Index-Zahlen
ndash Quotient zweier Maszligzahlen gleicher Art
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
32
Gliederungszahlen
bull Gliederungszahlenbull Bsp Tagesproduktion 1500 Teile davon
300 fehlerhaft Dann sind 20 der Tagesproduktion Ausschuss (3001500middot100) Ausschussanteil ist eine Gliederungszahl
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
33
Beziehungszahlen
bull Beziehungszahlenbull Verursachungszahlen
Bezieht Bewegungsmassen auf die zugehoumlrigen Bestandsmassen
bull Entsprechungszahlen Alle Beziehungszahlen bei denen man Ereignisse nicht auf ihren Bestand beziehen kann
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
34
Beziehungszahlen
bull Bsp Verursachungszahlen Geburtenziffer Bestandsmasse Einwohner einer Stadt (E) Bewegungsmasse Zahl der Lebend-geborenen (L)G = (LE)1000Sagt wie viele Geburten auf 1000 Einwohner einer Stadt entfallen
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
35
Beziehungszahlen
bull Bsp Entsprechungszahlen Schuumller-Lehrer-Verhaumlltnis (Zahl der Schuumller) (Zahl der Lehrer)Sagt wie viele Schuumller (ungefaumlhr) auf eine Lehrer entfallen Dies entspricht aber iA nicht der durchschnittlichen Klassengroumlszlige
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
36
Indexzahlen
bull Indexzahlen Es werden zwei Maszligzahlen der gleichen Art in Beziehung gesetzt
bull Messzahlen oder Einfache Indizesndash Die zugehoumlrigen Maszligzahlen beschreiben eine
realen Sachverhaltbull (Zusammengesetzte) Indexzahlen
ndash Eine der Maszligzahlen ist eine Zahl die einen fiktiven Zustand beschreibt
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
37
Indexzahlen
bull Einfache Indizesbull Reihe von Maszligzahlen die man in
Beziehung zueinander setzen will x0xt Maszligzahlen zu Zeitpunkten t x0 Maszligzahl zum Basiszeitpunkt 0Dann ist I0t = xt x0 fuumlr t = 0 1 2 eine Zeitreihe einfacher Indizes
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
38
Indexzahlenbull Messzahlen werden oftmals mit 100 multipliziertbull Bsp Umsatz im Jahr 5 bezogen auf Jahr 0
I05middot100 = x5x0 middot 100 = 87Dh dass 87 des Umsatzes im Basisjahr im Jahr 5 umgesetzt werden Oder Es liegt eine Minderung des Umsatzes um 13 vor
bull Vergleich von I05middot100=87 mit I06middot100=90Der Umsatz ist um 3 Prozentpunkte gestiegen
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
39
Indexzahlenbull Umbasieren
Gegeben Indizes I0t zur Basisperiode 0Gesucht Indizes Ikt zur Basisperiode kBerechung ohne Ursprungsdaten
bull Verkettung Wenn fuumlr xt I0t berechnet werden soll und x0 nicht bekannt ist I0t = I0k middot Ikt
0k
0t
0k
0t
k
tkt I
Ixxxx
xx
I
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
40
Indexzahlen
bull Zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes)bull Betrachte Warenkorb
n Waren zu einem Zeitpunkt tMengen qt1qtn
Preise pt1ptn
Wert des Warenkorbes in Periode t
n
1ititiqp
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
41
Indexzahlen
bull Wertindex Vergleich Wert eines Warenkorbes zur Berichtsperiode t mit dem zur Basisperiode 0
n
1i0i0i
n
1ititi
0t
qp
qpW
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
42
Indexzahlen
bull Preisindizes bull Aussagen uumlber die Preisentwicklungbull Fuumlr verschiedene Perioden das gleiche
Mengenschema verwenden
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
43
Indexzahlen
bull Preisindex nach Paasche
bull Man vergleicht den Wert eines Warenkorbes qt1qtn zur jeweiligen Berichtsperiode t mit dem Wert den dieser unter der Preissituation zur Basisperiode gehabt haumltte
n
1iti0i
n
1ititi
Pt0
qp
qpP
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
44
Indexzahlen
bull Preisindex nach Laspeyres
bull Der Warenkorb q01q0n der Basisperiode 0 wird fuumlr alle Berichtsperioden zugrundegelegt und ihr fiktiver Wert zur Berichtsperiode t wird mit seinem Wert zur Basisperiode verglichen
n
1i0i0i
n
1i0iti
Lt0
qp
qpP
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
45
Indexzahlen
bull Vergleich Preisindizes nach Paasche und Laspeyres
bull L Warenkorb muss nur fuumlr Basisperiode bestimmt werden Kosten (+) Aktualitaumlt (-)
bull P Warenkorb muss fuumlr Berichtsperioden bestimmt werden Kosten (-) Aktualitaumlt (+)
bull Vergleich Sind Abweichungen groszlig muss der Warenkorb neu festgelegt werden
bull Fishersche Idealindex LPF III
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
46
Indexzahlen
bull Mengenindizes bull Aussagen uumlber Mengenentwicklung
(unabhaumlngig von der Preisentwicklung)
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
47
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Paasche
bull Standardisierung nach den Preisen zur Berichtsperiode
n
1i0iti
n
1ititi
Pt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
48
Indexzahlen
bull Mengenindex nach Laspeyres
bull Standardisierung nach den Preisen zur Basisperiode
n
1i0i0i
n
1iti0i
Lt0
qp
qpQ
