1 STATISIK LV Nr.: 0021 WS 2005/06 18. Oktober 2005

1

STATISIK

LV Nr.: 0021

WS 2005/06

18. Oktober 2005

2

Zweidimensionale Merkmale

• Frage: Wie lässt sich der Zusammenhang bzw. die Abhängigkeit zw. zwei Merkmalen messen?– Wie stark ist der Zusammenhang bzw. die

Abhängigkeit?

Antwort durch Korrelationsrechnung.– Lässt sich der Zusammenhang in einer

bestimmten Form darstellen?

Antwort durch Regressionsrechnung.

3

Zweidimensionale Merkmale

• n Untersuchungseinheiten, 2 Merkmale X und Y, Ausprägungen des Merkmals X a1,…,al und Ausprägungen des Merkmals Y b1,…,bm.

• 2-dimensionales Merkmal (X,Y) mit Ausprägungen (aj,bk), mit absoluten Häufigkeiten hjk und relativen Häufigkeiten fjk=1/n·hjk

4

Kontingenztafel

• Häufigkeitsverteilung von (X,Y) wird durch Kontingenztafel dargestellt.

X Y b1 … bm

a1 h11 … h1m

: : :

al hl1 … hlm

5

Kontingenztafel

• Bsp. Geschlecht (X) Rauchverhalten (Y): absolute und relative Häufigkeiten von (X,Y).

X Y R N-R

w 9 32

m 5 27

X Y R N-R

w 0,12 0,44

m 0,07 0,37

6

Kontingenztafel

• Absolute Randhäufigkeiten – von aj für j=1,…,l und bk für k=1,...,m:

• Relative Randhäufigkeiten

– von aj für j=1,…,l und bk für k=1,…,m:

• Randhäufigkeiten ergeben die Häufigkeits-verteilung des Merkmals X bzw.Y (Randverteilung).

m

1kjkj hh

m

1kjkj ff

l

1jjkk hh

l

1jjkk ff

7

Kontingenztafel

• Kontingenztafel absoluten Häufigkeiten und Randhäufigkeiten

X Y b1 … bm Σ

a1 h11 … h1m h1.

: : : :

al hl1 … hlm hl.

Σ h.1 … h.m h..=n

8

Kontingenztafel

• Kontingenztafel relative Häufigkeiten und Randhäufigkeiten

X Y b1 … bm Σ

a1 f11 … f1m f1.

: : : :

al fl1 … flm fl.

Σ f.1 … f.m f..=1

9

Kontingenztafel

Es gilt:

• Relative Randhäufigkeit = 1 / n · absolute Randhäufigkeit

• Summe der absoluten Randhäufigkeiten = n

• Summe der relativen Randhäufigkeiten = 1

kkjj hn

1f undh

n

1f

nhhhm

1kk

l

1j

m

1k

l

1jjjk

1fffm

1kk

l

1j

m

1k

l

1jjjk

10

Kontingenztafel

• Bsp. Geschlecht (X) Rauchverhalten (Y): absolute und relative Häufigkeiten und Randhäufigkeiten von (X,Y).

X Y R N-R

w 9 32 41

m 5 27 32

14 59 73

X Y R N-R

w 0,12 0,44 0,56

m 0,07 0,37 0,44

0,19 0,81 1

11

Kontingenztafel

• Bsp. Geschlecht (X) Rauchverhalten (Y):

• Zeilenprozent:

X Y R N-R

w 0,22 0,78 1

m 0,16 0,84 1

0,19 0,81 1

X Y R N-R

w 9 32 41

m 5 27 32

14 59 73

12

Kontingenztafel

• Bsp. Geschlecht (X) Rauchverhalten (Y):

• Spaltenprozent:

X Y R N-R

w 0,64 0,54 0,56

m 0,36 0,46 0,44

1 1 1

X Y R N-R

w 9 32 41

m 5 27 32

14 59 73

13

DarstellungGeschlecht - Rauchverhalten

0,220,16

0,780,84

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

weiblich männlich

Raucher Nichtraucher

14


0,640,54

0,360,46

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1


weiblich männlich

15


0,22

0,16

0,78

0,84

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

weiblich männlich


16


0,64

0,54

0,36

0,46

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1


weiblich männlich

17


9

5

32

27

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

weiblich männlich


18


9

32

5

27

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


weiblich männlich

19

Korrelationskoeffizient

• Bravais-Pearson Korrelationskoeffizient rXY

• 2-dimensionales metrisch skaliertes Merkmal (X,Y) mit Ausprägungen (aj,bk) und Häufigkeiten hjk für j=1,…,l und k=1,…,m.

• Maß für den Zusammenhang zw. X und Y:

n

1i

2i

n

1i

2i

n

1iii

m

1kk

2k

l

1jj

2j

l

1j

m

1kjkkj

XY

)y(y)x(x

)y)(yx(x

h)b(bh)a(a

)hb)(ba(a

r

20


• rXY liegt immer im Intervall [-1,1]

• Extremfälle:

-1 negativer linearer Zusammenhang

rXY = 0 kein linearer Zusammenhang

1 positiver linearer Zusammenhang• Interpretation:

– rXY < 0 d.h. große Werte von X treten mit kleinen Werten von Y auf

– rXY > 0 d.h. große Werte von X treten mit großen Werten von Y auf

21


• Probleme: • Scheinkorrelation: X und Y hängen von einem

dritten Merkmal Z ab – Bsp. Gefahr eines Waldbrandes (X) und schlechter

Kornertrag (Y) hängen von der Stärke der Sonneneinstrahlung (Z) ab.

• Nonsenskorrelation: sachlogischer Zusammenhang zw. X und Y– Bsp. Korrelation zw. Anzahl der Störche und der

Anzahl der Geburten in einem Land

• Nichtlinearer Zusammenhang: rXY misst nur einen linearer Zusammenhang

22

KorrelationKorrelationskoeffizient = 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y

Korrelationskoeffizient = 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y

Korrelationskoeffizient = - 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y

Korrelationskoeffizient = 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y

23

Korrelation

Korrelationskoeffizient = 0,8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y

Korrelationskoeffizient = - 0,58

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16

X

Y

24


• Bsp. Körpergröße und Gewicht: r = 0,76– Positiver linearer Zusammenhang zw.

Körpergröße und Gewicht.

0

20

40

60

80

100

120

140 150 160 170 180 190 200 210

Größe in cm

Ge

wic

ht

in k

g

25

Korrelation

• Fechnersche Korrelationskoeffizient (für 2 metrisch skalierte Merkmale X und Y): rF

• Basiert auf Vorzeichen der transformierten Paare x* und y*

1 x* und y* gleiches Vorzeichen od. beide 0

vi = ½ genau einer der Werte x* bzw. y* = 0 0 sonst

)yy,x(x ii

n

1iivV

26

Korrelation

• Fechnersche Korrelationskoeffizient:

• Werte im Intervalle [-1,1]

• +1 nicht nur bei positivem linearen Zusammenhang, sonder auch wenn gilt:

oder

n

n2VrF

)yyundx(x ii )yyundx(x ii

27

Korrelation

• Bsp. Hennen, Körpergewicht, Legeleistung

0,415

7

15

1510,52rF

Henne i Gewicht xi Leistung yi xi* yi* v i

1 1763 19 -84 -2 12 1890 24 43 3 13 1872 23 25 2 14 1938 26 91 5 15 1791 22 -56 1 06 1854 18 7 -3 07 1960 21 113 0 0,58 1723 20 -124 -1 19 1898 21 51 0 0,5

10 1834 20 -13 -1 111 1946 24 99 3 112 1755 19 -92 -2 113 1846 21 -1 0 0,514 1752 17 -95 -4 115 1884 20 37 -1 0

1847 21 10,5

28

Korrelation

• Rangkorrelationen für ordinal skalierte Merkmale:• Verwendung von Rangzahlen: Merkmal Z,

Ausprägungen z1,…,zn, der Größe nach ordnen (vom größten zum kleinsten Wert) z(1),…,z(n) und nummerieren.

• Rangzahl: R(z(i)) = i für i=1,…,n• Tritt ein Ausprägung mehrmals auf (Auftreten von

Bindungen), dann Rang = arithm. Mittel der Ränge, die sie einnehmen. – Bsp: z(1)=8, z(2)=5, z(3)=5, z(4)=2,

Ränge: R(z(1))=1, R(z(2))=2,5, R(z(3))=2,5, R(z(4))=4

29

Korrelation

• Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient rS

• Entspricht dem Bravais-Pearson Koeffizienten der Rangzahlen

• Wert +1 schon bei monoton wachsenden Beobachtungen, d.h. es gilt für alle (xi,yi), (xj,yj): mit xi < xj ist auch yi < yj

n

1i

2i

n

1i

2i

n

1iii

S

(y))R)(R(y(x))R)(R(x

(y))R)(x))(R(yR)(R(xr

30

Korrelation

• Bsp. Klausur- und Übungspunkte

• Einfachere Formel für den Spearman‘schen Korrelationskoeffizienten (falls alle xi und yi verschieden sind (und di=R(xi)–R(yi)):

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Klausurpkt. 76 44 32 53 25 58 26 59 29 65Rang K 1 6 7 5 10 4 9 3 8 2UE-Pkt. 122 67 68 101 42 59 118 79 83 89

Rang UE 1 8 7 3 10 9 2 6 5 4

di 0 -2 0 2 0 -5 7 -3 3 -2di² 0 4 0 4 0 25 49 9 9 4

0,371)10(100

10461

1)n(n

d61r

2

n

1i

2i

S

31

Korrelation

• Bsp. Maturanoten Mathe, Deutsch, Englisch

Mathe Deutsch Englisch

Mathe 1 0,23 0,382

Deutsch 0,23 1 0,576

Englisch 0,382 0,576 1

32

Korrelation

• Yulesche Assoziationskoeffizient für eine Vierfeldertafel

• (X,Y) nominal skaliert• Häufigkeitsverteilung von (X,Y)

• Es gilt: -1 ≤ AXY ≤ +1; falls ein hij=0, so gilt: |AXY|=1; Vorzeichen nur

in Verbindung Vierfeldertafel interpretierbar

21122211

21122211

21122211

21122211XY ffff

ffff

hhhh

hhhhA

33

Korrelation

• Bsp. Geschlecht – Raucher/Nichtraucher

• Leicht positiver Zusammenhang zw. Merkmalsausprägungen „w“ und „R“

11 22 12 21XY

11 22 12 21

h h h h 9 27 32 5A 0,21

h h h h 9 27 32 5

R N-R w 9 32 41

m 5 27 32

14 59 73

34

Korrelation

• Bsp. Geschlecht – Raucher/Nichtraucher

• Leicht negativer Zusammenhang zw. Merkmalsausprägungen „m“ und „R“

11 22 12 21XY

11 22 12 21

h h h h 5 32 27 9A 0,21

h h h h 5 32 27 9

R N-R m 5 27 32

w 9 32 41

14 59 73

35

Theorie …

36

Wahrscheinlichkeitsrechung

• Betrachte Ereignisse die nicht deterministisch (vorherbestimmbar) sind, Ereignisse mit Zufallscharakter. – Bsp. Werfen eines idealen Würfels, Werfen

einer fairen Münze, … – Oder Ereignisse, die von so vielen

Einflussfaktoren abhängen, dass das Ergebnis nicht sicher bestimmt werden kann.

37


Grundbegriffe:

• Zufallsexperiment: – Vorgang nach einer bestimmten Vorschrift

ausgeführt, beliebig oft wiederholbar, Ergebnis hängt vom Zufall ab, bei mehrmaligen Durchführung des Experiments beeinflussen die Ergebnisse einander nicht – unabhängig voneinander. (z.B. Münzwurf, Werfen eines Würfels, …)

38


• Elementarereignisse (Realisationen)– Zufallsexperiment: Reihe aller möglichen

elementarer Ereignisse {e1},…,{en}

• Ereignisraum S:– Menge der Elementarereignisse S={e1,…,en}

• Ereignis: – Jede beliebige Teilmenge des Ereignisraumes

(setzt sich aus einem od. mehreren Elementarereignissen zusammen)

39


• Vereinigung– Vereinigung von 2 Ereignissen A und B: AUB Menge

aller Elementarereignisse, die zu A oder B gehören

• Durchschnitt– Durchschnitt von 2 Ereignissen A und B: A∩B Menge

aller Elementarereignisse, die zu A und B gehören

• Disjunkte Ereignisse– 2 Ereignisse A und B schließen einander aus, A∩B=Ø

(Ø unmögliches Ereignis)

• Komplementärereignis – Menge aller Elementarereignisse des Ereignisraumes S,

die nicht in Ereignis A enthalten sind

A

40


• Wahrscheinlichkeit ist ein Maß zur Quantifizierung der Sicherheit bzw. Unsicherheit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im Rahmen eines Zufallsexperiments.

41


• Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff:

• Bsp. Urne mit 10 Kugeln (8 rot, 2 schwarz)– Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig

gezogene Kugel rot ist (Ereignis A)– Ereignisraum 10 mögl. Elementarereignisse, 8

günstige Fälle– W(A) = 8 / 10 = 0,8

Fälleichen gleichmöglaller Zahl

Fällegünstigen der ZahlW(A)

42


• Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff:

• Grenzwert der relativen Häufigkeiten des Auftretens von A

n

(A)hlim(A)flimW(A) n

nn

n

43


• Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff:

• Ereignissen werden „Wettchancen“ zugeordnet. Quote für A ist a:b, dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeiten

ba

b)AW(und

ba

aW(A)

44


• Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff:

• Definition von mathematischen Eigenschaften 1. 0 ≤ W(A) ≤ 1

2. W(S) = 1

3. A und B disjunkt: W(A U B) = W(A) + W(B)

45

Zufallsvariable

• Zufallsvariable: Variable deren Wert vom Zufall abhängt (z.B. X, Y, Z)– Bsp. Zufallsexperiment: 2-maliges Werfen

einer Münze. Frage: Wie oft erscheint „Zahl“? Mögliche Werte: 0, 1, 2. Variable „Anzahl Zahl“ hängt vom Zufall ab – Zufallsvariable.

• Realisation (Ausprägung): Wert, den eine Zufallsvariable X annimmt (z.B. x, y, z). – Bsp. 2-maliges Werfen einer Münze, ZV X

„Anzahl Zahl“, Ausprägungen: x1=0, x2=1, x3=2.

46

Zufallsvariable

• Zufallsvariable: Funktion, die jedem Elementarereignis eine bestimmt reelle Zahl zuordnet, z.B. X(ej)=xi

• Definitionsbereich einer ZV: Ereignisraum S des zugrundeliegenden Zufallsexperiments.

• Wertebereich einer ZV: Menge der reellen Zahlen.

47

Zufallsvariable

• Diskrete Zufallsvariable: ZV mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen Ausprägungen

• Stetige Zufallsvariable: können (zumindest in einem bestimmten Bereich der reellen Zahlen) jeden beliebigen Zahlenwert annehmen.

48

Wahrscheinlichkeit

• Diskrete Zufallsvariable:

• Wahrscheinlichkeit, mit der eine diskrete ZV X eine spezielle Ausprägung xi annimmt, W(X=xi): Summe der Wahrscheinlichkeiten derjenigen Elementarereignisse ej, denen Ausprägung xi zugeordnet ist:

ij x)X(e

ji ) W(e)xW(X

49

Wahrscheinlichkeitsfunktion

• Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten ZV: Funktion f(xi), die für jede Ausprägung der ZV (unterschiedliche Ausprägungen xi einer ZV X) die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens angibt: f(xi) = W(X=xi)

• Eigenschaften:– f(xi) ≥ 0 i=1,2,…

– Σi f(xi) = 1

50

Verteilungsfunktion

• Verteilungsfunktion einer diskreten ZV: Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X ≤ x)

• Es gilt:

• Treppenfunktion

xx

i

i

)f(xx)W(XF(x)

51

Verteilungsfunktion

• Verteilungsfunktion einer stetigen ZV (kann in einem bestimmten Intervall jeden beliebigen Wert annehmen): Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X ≤ x)

• Stetige Funktion

52

Verteilungsfunktion

• Eigenschaften einer stetigen Vt-Funktion:1. 0 ≤ F(x) ≤ 1

2. F(x) ist monoton wachsend (d.h. für x1 < x2 gilt F(x1) ≤ F(x2)

3. lim x→-∞ F(x) = 0

4. lim x→∞ F(x) = 1

5. F(x) ist überall stetig

53

Wahrscheinlichkeitsdichte

• Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) f(x) einer stetigen ZV: Ableitung der Verteilungsfunktion.

• Es gilt:

x

f(v)dvF(x)

f(x)F´(x)

54

Wahrscheinlichkeitsdichte

• Eigenschaften: 1. f(x) ≥ 0

2.

3. 4. W(X=x) = 05. W(a ≤ X ≤ b) = W(a < X < b)6. W(X ≤ a) = F(a)

W(X ≤ b) = F(b)

1f(x)dx

b

a

f(x)dxb)XW(a

W(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)

55

Parameter

• Charakterisierung der Wahrscheinlichkeits-verteilung von Zufallsvariablen durch Parameter (Maßzahlen)

• Erwartungswert E(X) = Lageparameter (Entspricht dem arithm. Mittel)

• Varianz Var(X) = Streuungsparameter

56

Erwartungswert

• Diskrete ZV:

• Stetige ZV:

i

iii

ii )f(xx)xW(XxE(X)

f(x)dxxE(X)

57

Varianz

• Diskrete ZV:

• Stetige ZV:

• Standardabweichung:

i

i2

i )f(xE(X)xVar(X)

f(x)dxE(X)xVar(X) 2

Var(X)σX

58

Standardisierung

• Lineare Transformation: Y = a + bX

• Spezialfall Standardisierung: a = – E(X) / σX

b = 1 / σX

• Standardisierte Variable Z:

• Es gilt: E(Z) = 0 und Var(Z) = 1Xσ

E(X)XZ

59

Theoretische Verteilungen

• Bedeutung von theoretische Verteilungen

• Deskriptive Statistik: – Approximative funktionsmäßige Beschreibung

empirisch beobachteter Häufigkeitsverteilungen

• Mathematische Statistik: – Wahrscheinlichkeiten für Ergebnisse

bestimmter Zufallsexperimente

60

Kombinatorik

• Wie kann eine gegebene Anzahl von Elementen unterschiedlich angeordnet und zu Gruppen zusammengefasst werden?

• Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Elemente anzuordnen? Anzahl der möglichen Permutationen?

• Wie viele Möglichkeiten gibt es, von n Elementen k auszuwählen? Anzahl der möglichen Kombinationen?

61

Kombinatorik

• Permutationen:

• n voneinander verschiedene Elemente:

n! = n·(n-1)·(n-2)·…·1 Permutationen

• Bsp.1: n=3, Elemente e1, e2, e3. Anzahl der möglichen Permutationen: 3! = 3·2·1 = 6 (e1, e2, e3) (e1, e3, e2) (e2, e1, e3) (e2, e3, e1) (e3, e1, e2) (e3, e2, e1)

• Bsp.2: n=10, Anzahl der möglichen Permutationen: 10! = 3 628 800

62

Kombinatorik

• n Elemente, wobei ni Elemente vom Typ i sind (r unterschiedliche Typen):

• Bsp.1: n=10, r=3 und n1=3, n2=5, n3=2, Anzahl der möglichen Permutationen:

!n...!n

n!

r1

252021206

3628800

2!!53!

10!

63

Kombinatorik

• Kombinationen:

• Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden– Kombination ohne Wiederholung: jedes

Element kann nur einmal gewählt werden• Berücksichtigung der Reihenfolge:

Anzahl der Möglichkeiten:

• Keine Berücksichtigung der Reihenfolge:


k)!(n

n!

k)!(nk!

n!

k

n

64

Kombinatorik

• Kombinationen ohne Wiederholung:

• n=3, k=2, Elemente e1, e2, e3. – Berücksichtigung der Reihenfolge:

Möglichkeiten: (e1, e2) (e2, e1) (e1, e3) (e3, e1) (e2, e3) (e3, e2), also 3!/(3-2)! = 6 Möglichkeiten

– Keine Berücksichtigung der Reihenfolge: Möglichkeiten: (e1, e2), (e1, e3) (e2, e3), also 3!/(2!(3-2)!) = 3 Möglichkeiten

65

Kombinatorik

• Kombinationen ohne Wiederholung:

• Bsp.1: Lotto, Möglichkeiten aus 49 Zahlen 6 zu wählen (Reihenfolge unberücksichtigt)

• Bsp.2: Pferderennen, sind 8 Pferde am Start, gibt es für die Belegung der ersten 3 Plätze 8!/(8-3)! = 336 Möglichkeiten

816983136

49

66

Kombinatorik

• Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden– Kombination mit Wiederholung: ein Element

kann auch mehrfach ausgewählt werden.• Berücksichtigung der Reihenfolge

Anzahl der Möglichkeiten: nk

• Keine Berücksichtigung der Reihenfolge


1)!(nk!

1)!k(n

k

1kn

67

Kombinatorik

• Kombination mit Wiederholung:

• n=3, k=2, Elemente e1, e2, e3. – Berücksichtigung der Reihenfolge,

Möglichkeiten: (e1, e1), (e1, e2), (e1, e3), (e2, e2), (e2, e1), (e2, e3), (e3, e3), (e3, e1), (e3, e2), Anzahl der Möglichkeiten: nk = 3² = 9

– Keine Berücksichtigung der Reihenfolge, Möglichkeiten: (e1, e1), (e1, e2), (e1, e3), (e2, e2), (e2, e3), (e3, e3), Anzahl der Möglichkeiten: (3+2-1)! / (2!·(3-1)!) = 4! / (2!·2!) = 6

68

Kombinatorik

• Kombinationen mit Wiederholung:

• Bsp.1: Würfelt man viermal hintereinander, sind 64 = Abläufe möglich

• Bsp.2: Hat man vier verschiedene Sorten Süßigkeiten, gibt es 286 Möglichkeiten eine Tüte mit 10 Süßigkeiten zu füllen.

28610

1104

69

Theoretische Verteilungen• Diskrete Verteilungen

– Binomialverteilung– Hypergeometrische Verteilung– Poissonverteilung– ...

• Stetige Verteilungen– Gleichverteilung– Exponentialverteilung– Normalverteilung– Chi-Quadrat Verteilung– t-Verteilung (Studentverteilung)– F-Verteilung– ...

70

Binomialverteilung

• Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit des Eintreffens bestimmter Ereignisse bei Bernoulli-Experimenten berechnen.

• Bernoulli-Experiment: Folge von Bernoulli-Versuchen. Urnenmodell mit Zurücklegen– Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: A und Ā– Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A (θ)

und Ā (1- θ) sind konstant– Versuche sind voneinander unabhängig.

71

Binomialverteilung

• Bsp. Bernoulli-Experiment: – fünfmaliges Werfen einer Münze,

Zufallsvariable X „Anzahl der Zahlen“, Realisation x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

– Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A: W(X=x) = f(x) = ?

72

Binomialverteilung

• Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Realisation x: W(X=x) = f(x)

• Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:

n0,1,...,xfür

sonst0

θ)(1θx

nθ)n,(x;f

xnx

B

73

Binomialverteilung

• Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass genau 2-mal Zahl geworfen wird: W(X=2)

0,31250,5)(10,52

5(2;5,0.5)f 252

B

74

Binomialverteilung

• Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt: Verteilungsfunktion FB(x;n,θ)

x

0i

x-nxB θ)(1θ

x

nθ)n,(x;F

75

Binomialverteilung

• Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass höchstens 2-mal Zahl geworfen wird: W(X 2)

5,0)5,0(10,52

5(2;5,0.5)F

2

0i

2-52B

76

Binomialverteilung

• Erwartungswert der Binomialverteilung:

E(X) = n·θ

• Varianz der Binomialverteilung:

Var(X) = n·θ·(1-θ)

• Bsp. Münzwurf: – E(X) = 5·0,5 = 2,5– Var(X) = 5·0,5·(1-0,5) = 1,25

77

Hypergeometrische Verteilung

• Urnenmodell Ziehen ohne Zurücklegen:– Urne mit N Kugeln (M schwarze, N-M weißen)– Zufallsstichprobe: ziehe n Kugeln ohne

Zurücklegen – Wahrscheinlichkeit, dass unter den n

gezogenen Kugeln genau x schwarze zu finden sind?

• Ziehen ohne Zurücklegen, keine Berücksichtigung der Reihenfolge.

78


• Urnenmodell: – Aus M schwarzen Kugeln genau x auswählen: Anzahl

der Kombinationen

– Aus N-M weißen Kugeln genau n-x auswählen: Anzahl der Kombinationen

– Jede mögl. Stpr. „x schwarze aus M“ kann mit jeder mögl. Stpr. „n-x weiße aus N-M“ kombiniert werden.

– Daher: Gesamtzahl der Möglichkeiten genau x schwarze zu ziehen:

– Gesamtzahl der Möglichkeiten aus N Kugeln n zu ziehen:

M

x

N-M

n-x

N

n

M N-M

x n-x

79


• Wahrscheinlichkeit genau n schwarz Kugeln zu ziehen:

• Wahrscheinlichkeitsfunktion der Hypergeometrischen Verteilung:

M N-M

x n-x

N

n

H

M N-M

x n-x

Nf (x;N,n,M)= für x=0,1,...,n

n

0 sonst

80


• Verteilungsfunktion: Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten

• Liefert Wahrscheinlichkeit für „höchstens x schwarze Kugeln“

81


• Bsp. Sortiment von N=8 Dioden, es werden n=3 zufällig gezogen (ohne Zurücklegen), M=5 der Dioden sind defekt.

• Ges: Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 (=x) der 3 gezogenen Dioden defekt sind.

M N-M 5 8-5

x n-x 2 3-2 10 3P(X=x)= = = =0,5357

N 8 56

n 3

82


• Erwartungswert:

E(X) = n · M/N

• Varianz

Var(X) = n · M/N · (N-M)/N · (N-n)/(n-1)

• Approximation durch Binomialverteilung: – Wenn N, M, N-M groß und n klein, Parameter

der Binomialverteilung: θ = M/N– Faustregel: Approximation, wenn n/N < 0,05

83

Poissonverteilung

• Verteilung seltener Ereignisse

• Große Zahl von Versuchen n, Wahrscheinlichkeit θ für Auftreten eines Ereignisses sehr klein

• Wahrscheinlichkeitsfunktion: x -μ

P

μ ef (x;μ)= für x=0,1,...x!

0sonst

84

Poissonverteilung

• Erwartungswert: E(X) = μ• Varianz: Var(X) = μ• Approximation der Binomialverteilung

durch die Poissonverteilung: – n groß und θ klein, Parameter μ = n·θ– Faustregel: n > 10 und θ < 0,05.

• Approximation der Hypergeometrischen Vt.– M/N = θ klein, N im Vergleich zu n groß,

Parameter μ = n · M/N – Faustregel: M/N < 0,05 und n/N < 0,05

85

Poissonverteilung

• Bsp. Wahrscheinlichkeit bei einer Prüfung von n=2000 Buchungen genau 3 (=x) Fehlbuchungen zu finden, Anteil der Fehlbuchungen: θ=0,001.

• Poissonverteilung: μ = n·θ = 2x -μ 3 -2μ e 2 e

W(X=x)= = =0,1804x! 3!

86

Gleichverteilung

• Diskrete Zufallsvariable:

• Jede der k möglichen Ausprägungen hat gleiche Wahrscheinlichkeit

P(X=xi) = 1/k (i=1,…,k)

• Bsp. Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augenzahl eines idealen Würfels:

P(X=xi) = 1/6 (i=1,…,6)

87

Gleichverteilung

• Stetige Zufallsvariable:

• Realisationen der stetigen Zufallsvariablen X liegen im Intervall [a;b]

• Dichtefunktion:

• P(x X x+Δx) = 1/(b-a) · Δx

G

1für a x b

f (x;a,b)= b-a0 sonst

88

GleichverteilungStetige Gleichverteilung

0

0,2

0 14

x

f(x

;a,b

)

a b

1/(b-a)

x x+Δx

P(xXx+Δx) = 1/(b-a) · Δx

89

Gleichverteilung

• Verteilungsfunktion (Integration der Dichte)

G

0 für x<a

x-aF (x;a,b)= für a x b

b-a1 für x>b

90

GleichverteilungStetige Gleichverteilung

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 14

x

F(x

;a,b

)

a b

91

Gleichverteilung

• Erwartungswert: E(X) = (a+b)/2

• Varianz: Var(X) = (b-a)² / 12

• Bsp. Wegzeit ist gleichverteilt im Intervall [30;40]. Ges. Wahrscheinlichkeit zw. 32 und 35 Min. zu benötigen.

P(32 X 35) = 1/(b-a) · Δx

= 1/(40-30) · (35-32) = 0,3

Durchschnittlich benötigte Zeit: E(X) = 35

92

Normalverteilung

• Wichtigste theoretische Verteilung:

• Normalverteilung: – stetige Verteilung – symmetrische Dichtefunktion– S-förmige Verteilungsfunktion– Erwartungswert: E(X) = µ– Varianz: Var(X) = σ²– Maximum der Dichte bei x=µ– Wendepunkte bei x=µσ

93

Normalverteilungen

• Normalverteilung:

• Dichtefunktion (für -∞<x<+∞ und σ>0) :

• Verteilungsfunktion:

2

σ

μx

2

1

2

2n e

2π

1)σμ,(x;f

dve2

1)σμ,(x;F

xσ

μv

2

1

2

2n

2

94

Normalverteilung

• Normalverteilungen mit unterschiedlichen Parametern

Normalverteilung

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

x

f(x

)

N(4,3) N(0,1) N(2,2)

95

Normalverteilung

• VerteilungsfunktionVerteilungsfunktion Normalverteilung

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

F(x

)

µµ-σ µ+σµ-2σ µ+2σµ-3σ µ+3σ

96

Normalverteilung

• Standardnormalverteilung:– Erwartungswert µ = 0– Varianz σ² = 1

• Dichtefunktion: 2z

2

1

n e2π

1(z;0,1)f

97

Normalverteilung

• StandardnormalverteilungStandardnormalverteilung

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

f(z)

68,27%95,45%

99,73%

WP WP

98

Normalverteilung

• Approximation durch Normalverteilung: Mit wachsendem n nähern sich viele theoretische Vt. der Normalverteilung

• Empirische Verteilungen lassen sich ebenfalls oft durch die N-Vt. annähern.

99

Normalverteilung

• Reproduktionseigenschaft (od. Additivitäts- eigenschaft) der Normal-Vt.

• Additionstheorem der Normalverteilung: – Die Summe (X) von n unabhängig normalverteilten

Zufallvariablen X1,…,Xn ist ebenfalls normalverteilt.

X = X1 + … + Xn – Der Erwartungswert von X ist die Summe der einzelnen

Erwartungswerte μ1,…,μn

E(X) = μ = μ1 + … + μn – Die Varianz von X ist die Summe der einzelnen

Varianzen σ1²,…σn

²

Var(X) = σ² = σ1² + … + σn

²

Documents

1 STATISIK LV Nr.: 0021 WS 2005/06 18. Oktober 2005