1.

- Como sucesos y probabilidad, tomando un alumno al azar: I=Estudia inglés F=Estudian francés

Primer caso: P (I∩F⏟I y F

)=P (I )+P (F )−P (I∪F⏟I o F

)=150200

+70200

−200200

=20200

→ 20 alumnos estudian ambos idiomas.

Segundo caso: {P (I )=

150200

P (F )=70

200

P (I∩F )=40200

→ P (I∪F )=1−P (I∪F )=1−[P (I)+P(F )−P (I∩F ) ]=1−150200

−70200

+40

200=

20200

→ 20 alumnos

2.

a)P (Impar)=P (1)+P (3)+P (5)=36=

12

b)P (No 3)=P (3)=1−P (3)=1−16=

56

c)P(> 3)=P (4)+P (5)+P (6)=36

=12

d)P (Impar y > 3)=P (Impar∩ >3)=P (5)=16

e)P (Impar o >3)=P (Impar∪>3)=P (Impar )+P (>3)−P (Impar∩>3)=12

+12−

16

=56

3. El ejercicio es elemental contando el número de personas. Se da una solución formal con propiedades de probabilidad.Sucesos : M=que sea alumna (mujer) V =que sea alumno (varón) A=que tenga ojos azules

a) P (A∩V )=P (V )P (A/V )=2438

·13

=419

b) P (A∪V )={P (V )+P(A)−P (A∩V )=P (V )+P (V )·P(A/V )+P (M )·P (A/M )⏟

P (A) con probabilidad total

−P (V∩A)=2438

+2438

·13

+1438

·12−

417

=3138

P ((A∩V )∪(A∩V )⏟A

∪V )=P ((A∩V )∪V⏟V

∪(A∩V ))=P (V )+P (A∩M )−P (V∩(A∩M ))⏟∅

=2438

+1438

·12=

3138

4.P (Antonio)=P (Juan)=2P (Jorge)=p → P (Antonio)+P (Juan)+P (Jorge)=1 → p+p+

p2

=1 → p=25

P (Antonio o Jorge)=P (No Juan)=1−P (Juan)=1−p=35

5.Casos posibles y equiproblables: E= {C50C 1,C 50+1 ,+50C1 ,+50+1 }

P (A)=24

=12

P(B)=24=

12

P (C)=34

P (D)=1−P (C)=14

P (E )=24=

12

6.

Experiencia compuesta, experimentos independientes:

P (+++)=P (+1)·P (+2)·P (+3)=12· 12· 12=1

8

P (alguna cara)=1−P (ninguna cara)=1−P (+++)=1−18=

78

P (2 cruz, 1 cara)=P (++C)+P (+C+)+P (C++)=12·12·12

+12·12·12

+12·12·12

=38

7.

36 casos posibles y equiprobables: P (Sum1)=0 P (Sum2)=P (1-1)=136

P (Sum3)=P (1-2)+P (2-1)=236

P (Sum4)=P (1-3)+P (2-2)+P (3-1)=3

36 P (Sum5)=P (1-4)+P (2-3)+P (3-2)+P (4-1)=

436

P (Sum6)=P (1-5)+P(2-4)+P (3-3)+P (4-2)+P (5-1)=5

36 P (Sum7)=P (1-6)+P (2-5)+P (3-4)+P (4-3)+P (5-2)+P (6-1)=

636

P (Sum8)=P (Sum6) P (Sum9)=P (Sum5) P (Sum10)=P (Sum4) P (Sum11)=P (Sum3) P (Sum12)=P (Sum2)

8.

216 casos posibles y equiprobables: → Suma 9:{ 1-2-6 / 1-6-2 / 1-3-5 / 1-5-3 / 1 -4-4 2-1-6 / 2-6-1 / 2-2-5 / 2-5-2 / 2-3-4 / 2-4-3 3-1-5 / 3-5-1 / 3-2-4 / 3- 4-2 / 3-3-3 4-1-4 / 4-4-1 / 4-2-3 / 4-3-2 5-1-3 / 5-3-1 / 5-2-2 6-1-2 / 6-2-1

→P (Suma 9)=25

216

Para suma 10 usaremos combinatoria, buscamos ternas distintas que sumen 10 y de cuántas formas pueden darse en 3 dados (permutaciones o variaciones):

1-3-6⏟3!

, 1-4-5⏟3 !

, 2-2-6⏟3!2!

, 2-3-5⏟3 !

, 2-4-4⏟3!2!

, 3-3-4⏟3!2 !

→ Casos posibles :6+6+3+6+3+3 → P (Suma 10)=27

216

El error del duque de Toscana, no de Galileo que lo resolvió correctamente, es que tanto para 9 como para 10 hay 6 combinaciones posibles de 3 números que dan la suma.Suma 9 : 1-2-6 , 1-3-5 , 1-4-4 , 2-2-5 , 2-3-4 , 3-3-3 Suma 10: 1-3-6 , 1-4-5 , 2-2-6 , 2-3-5 , 2-4-4 , 3-3-4Sin embargo, no todas son igualmente probables.

9.

2x6=12 casos posibles y equiprobables : {A={C2 ,C4 ,C6 } P (A)=

312

=14

B={+ 2,+3,+ 5}→P (B)=312

=14

C={C2 ,C3 ,C5 ,+ 2,+ 3,+5 }→P(C)=612

=12

→ A y B incompatibles.

A y C compatiblesB y C compatibles

10.En ambos casos es la misma . Cada lanzamiento es un experimento aleatorio independiente a los anteriores. Por tanto:

P (50C)=P (C ) ·P(C )·...·P (C )⏟50 veces

=(12)

50

P (25C−25+)=P(C )·P (C )· ...·P (C )⏟25 veces

·P(+)·P (+) ·...·P (+)⏟25 veces

=(12 )

25

(12)

25

=(12 )

50

11. P (Cara)=2p P (Cruz )=p P (Cara)+P (Cruz)=1 → 3 p=1 → P (Cara)=23

P(Cruz )=13

12.Hay 5 sucesos elementales (5 posibles ganadores): V1,V2 ,V3⏟

3 chicos

,M1 ,M2⏟ 2 chicas

→ P (V1)=P(V2)=P(V3)=p P(M1)=P (M2)=2p

P (V1)+P (V2)+P(V3)+P (M1)+P (M2 )=1 → p+p+p+2p+2p=1 → p=17

→ P (Ganechico )=P (V1)+P (V2)+P (V3)=37

13.Suponiendo parejas de distinto sexo:

a) P(Chico ,Chica)={ P(1ºChico,2 ºChica)+P(1ºChica,2ºChico )=714

·713

+714

·713

1– P (1ºChico,2 ºChico)−P(1ºChica,2 ºChica)=1 –7

14·

613

–714

·613

}= 713

b) La elección de la primera persona no importa. La probabilidad de que salga una pareja de novios es la probabilidad

de que la segunda persona escogida sea la pareja de laprimera: P (pareja)=1

13c) d) Claramente los sucesos planteados son complementarios : P (Almenosunapareja)=1−P (Ninguna pareja)Calculamos la probabilidad del segundo suceso. Para ello hay que tener en cuenta que, una vez escogida la 1ª persona, ninguna de las siguientes puede ser la pareja de las que ya se han escogido:

P (Ningunapareja )=1213⏟

13 personas12 no pareja

·1012⏟

12 personas10 no pareja

·811⏟

11 personas8 no pareja

=80143

P(Almenosunapareja )=1−80

143=

63143

14.

P (2 )=P (4)=P (6)=p P (1)=P (3)=P(5)=2 p ∑i=1

6

P ( i )=1 2p+p+2p+p+2p+p=1 → p=19

P (Impar )=P (1)+P (3)+P (5)=69=

23

P (Primo )=P (2)+P (3)+P (5)=59

P(Primo∩Impar )=P (3)+P (5)=49

P (Primo∪Impar )=P (Primo )+P (Impar )−P (Primo∩Impar )=23

+59−

49

=79=P (1)+P (2)+P (3)+P (5)

15.

a) P (2 rubias)=P (1ª rubia )·P (2ª rubia)=312

·211

=122

b) y c) Son sucesos complementarios: P (Algunarubia)=1−P(Ninguna rubia)=1−912⏟

1ªno rubia

·8

11⏟2ªno rubia

=1−611

=511

d) En este caso es complementario a la unión de sucesos incompatibles ''Ninguna rubia'' y ''2 rubias'':

P (Una rubia ,otra no)=1−P (2rubias)−P (Ninguna rubia)=1− 122

− 611

= 922

También se podría haber razonado que el suceso ''Alguna rubia'' está compuesto por los dos incompatibles ''2 rubias'' y

''Una rubia, otra no'', luego: P(Algunarubia)=P (2 rubias)+P (Una rubia ,otra no)→P (Unarubia ,otrano)=5

11⏟Algunarubia

−1

22⏟2rubias

=922

16.

6x6=36 posibilidades: P ( iguales)=636⏟

6 favorables1−1,2− 2,3−3,...

=16

P ( dif. 3 )=636⏟

6 favorables1−4,2−5,3−64−1,5−2,6−3

=16

P (pares)=936⏟

9 favorables2−2 ,2−4,2−64−2,4−4 ,4−66−2,6−4,6−6

=14

17.P (caraantes del4 )=1 –P (cruzen los4 primeros)=1−P(1º +)·P(2º +)·P (3º +)·P (4º+)=1−(1

2)4

=1516

P (Cara despuésdel 8)=P (Cruz en los8 primeros)·P (Caraenel 9º)=(12 )

8

(12 )= 1

512

18. P (4nodefectuosos)=P (1º no def )·P (2º no def) ·P (3º no def )·P (4º no def)=1820

·1719

·1618

·1517

=1219

19.

Casos posibles: 1-6, 6-1, 2-5, 5-2, 3-4, 4-3 Casos favorables: 3-4, 4-3 → P(algún3)=26

=13

20. Permutaciones→P5=5!=120 P8=8!=40320

21. a) Permutaciones :P 4=4!=24 b) 4⏟1ª posición4 opciones

· 2⏟2ª posición2 opciones

(2 de sexo contrario)

· 1⏟3ª posición

1 opción(1 de sexo contrario)

·1=8

22. Permutaciones→P9=9!=362880

23. Permutaciones→P7=7!=5040 P (Acertar orden)=1 caso favorable7! casos posibles

=1

5040

24. a) P5=5!=120 b)P 4=4!=24 c)P3=3!=6

25.

Suponiendo que importa el orden (de arriba a abajo): a) Permutaciones de 3 elementos: P3=3!=6

b) Variaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3: V 6,3=6!

3!=120

c) Para cada franja hay 6 posibilidades (Variaciones con repetición VR6,3) :6 ·6 ·6=216

26.

a) Variaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3: V 6,3=6!3!

=120

b) La última cifra ha de ser 1, 3 ó 5. Una vez fijada la última son variaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2

V5,2⏟Terminan en 1

+ V 5,2⏟Terminan en 3

+ V 5,2⏟Terminan en 5

=35!3!

=60

c) Las dos últimas cifras han de formar múltiplo de 4. Podrían ser: _12, _16, _24, _32, _36, _52, _56, _64. En cada caso para la primera cifra hay 4 opciones: 4 ·8=32

27.Para cada posición hay 6 posibilidades (variaciones con repetición VR 6,34) : 634.(Este apartado queda fuera del nivel exigido en Matemáticas II de 2º de Bachillerato). Considerando todos los númerosformados, en cada posición aparece cada cifra el mismo número de veces, esto es, 633veces. Por tanto, la suma de lascifras de cada posición extendida a todos los números formados será : (1+2+3+4+5+6)633

=21·633. En todas las posiciones sucede lo mismo, pero al sumar cada una lleva su potencia de 10 correspondiente:

Suma=21 ·633·1034+21·633·1033

+ ...+21 ·633 ·101+21 ·633·100

=21·633·(1034+1033

+...+100)⏟

Suma de sucesión geométrica

=21 ·633·1035

−19

=14 ·632 ·(1035−1)

28.Hay 6 estrenos y un día libre sin cine para ordenar a lo largo de la semana→Permutaciones :P7=7!=5040posibilidades

Variaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3: 6⏟martes

· 5⏟jueves

· 4⏟sábado

=6!3!

=120posiblidades

29.

Posibles combinaciones {- Se admite repetición: 5⏟

1ª cifra

· 6 ·6 ·6⏟siguientescifras

=1080

- No se admite repetición: 5⏟1ª cifra

· 5 ·4 ·3⏟siguientescifras

=300

Menores que 3000 {- Se admite repetición: 2⏟

1ªcifra :1ó2

· 6 ·6 ·6⏟siguientes cifras

=432

- No se admite repetición: 2⏟1ª cifra :1ó2

· 5 ·4 ·3⏟siguientescifras

=120

30.Con 8 bits (bytes) : 28=256 Con 16 bits : 216=65536 Con 4 bits (bytes) : 24=16 (menos que letras del abecedario)

31.El problema es análogo a escoger 4 de 8 posiciones en la fila para situar las bolas blancas, sin que importe el orden enque escogemos las posiciones (ej. blancas en 1-3-4-8⏟

4-3-1-8, 1-4-8-3 ...

o blancas en 2-5-6-7⏟2-6-7-5, 6-5-2-7 ...

...)

Combinaciones de 8 elementos tomados de 4 en 4 : C8,4=8!

4!4!=70

32. Escoger 2 colores de entre 8 sin importar el orden → Combinaciones: C 4,2=4!

2!2!=6 mezclas distintas.

33.

Escoger 3 alumnos de entre 30 sin importar el orden → Combinaciones: C 30,3=30!

27!3!=4060 delegaciones distintas.

En tu propio grupo, escoger 3 alumnos de entre n⏟Nº de alumnos

→ Combinaciones: C n ,3=n!

(n−3)!3!=n (n−1)(n−2)

6 delegaciones.

34.

Escoger 3 números de entre 5 sin importar el orden → Combinaciones: C 5,3=5!

2!3!=10 productos distintos.

Enteros: escoger 3 números de entre 3 (2,5,7) sin importar el orden → Combinaciones: C 3,3=3!

0!3!=1 producto (2·5·7)

Racionales no enteros: escoger 2 números de entre 3 (2,5,7) y multiplicar por 13

→ Combinaciones: C 3,2=3!

1!2!=3 productos

Irracionales: escoger 2 números de entre 4 (2,5,7,13

) y multiplicar por π → Combinaciones: C 4,2=4!

2!2!=6 productos

Valga como comprobación que : 1 entero+3 racionales no enteros+6 irracionales=10 productos distintos

35.

Escoger 4 metales de entre 7 sin importar el orden → Combinaciones: C 7,4=7!

3!4!=35 aleaciones distintas.

36.

Basta escoger 3 alumnos de entre 9 para el primer grupo (el resto al segundo grupo) →C9,3=9!

3!6!=84formas distintas

37.

Escoger 2 temas de entre 15 sin importar el orden → Combinaciones: C15,2=15!

13!2!=105 exámenes distintos.

Examen con dos temas no estudiados: escoger 2 temas de entre 5 → Combinaciones: C5,2=5!

3!2!=10 exámenes distintos.

Probabilidad de dos temas no estudiados (Laplace) =10105

=221

Probabilidad de sólo un tema no estudiado (experimento compuesto)= 1015⏟

1º estudiado

·514⏟

2º no estudiado

+5

15⏟1º no estudiado

·1014⏟

2º estudiado

=1021

38.

Escoger 4 asignaturas de entre 7 sin importar el orden → Combinaciones: C7,4=7!

3!4!=35 combinaciones distintas.

39.El problema es análogo a escoger 4 de 12 posiciones en la tanda de tiros para situar los aciertos, sin que importe el orden enque escogemos las posiciones (ej. aciertos en 1-3-9-11⏟

9-3-1-11, 1-9-11-3 ...

o aciertos en 12-5-6-7⏟12-6-7-5, 6-5-12-7 ...

...)

Combinaciones de 12 elementos tomados de 4 en 4 : C12,4=12!8!4!

=495

Ahora habrá que escoger 3 de 11 posiciones en la tanda de tiros para situar los aciertos (el último, el 12º, será acierto):

C11,3=11!8!3!

=165 → Prob. de acertar último con 4 aciertos en total = 165465

=1131

40.- Una moneda y dado: 2 ·6=12 resultados distintos. - Dos monedas y dado: 2 ·2 ·6=24 resultados distintos. - Tres monedas y dos dados: 2 ·2 ·2 ·6 ·6=288 resultados distintos.

41.

Para los saludos distintos habrá que formar parejas distintas sin importar el orden. Con n personas:C n ,2=n!

(n−2)!2!=n(n−1)

2

91 saludos: n(n−1)

2=91→n(n−1)=182→n=14 personas 45 saludos:

n (n−1)

2=45→n(n−1)=90→n=10 personas

42.- Contraseñas de 4 cifras: 10⏟

1ªcifra0permitido

· 10⏟2ªcifra

· 10⏟3ª cifra

· 10⏟4ªcifra

=10000 en total

- Contraseñas sin repetir cifra: Escoger 4 cifras de entre 10 (importa el orden) → Variaciones: V 10,4=10!6!

=5040

- Contraseñas repitiendo cifra = Totales - Sin repetir =10000−5040=4960 que repiten alguna cifra

- Se repite una cifra dos veces, el resto da igual :{ 1º Se escogen las dos posiciones para las cifras repetidas→C 4,2=

4!

2!2!=6

2º Se escoge la cifra que se va a repetir →103º Con las 9 cifras restantes se completan las otras 2 posiciones →9 ·9=81Total de contraseñas: 6 ·10·81=4860

43.- Indicativo de provincia y 6 cifras: 106matrículas por provincia →50 millones en total, un millón por provincia.- Provincia, 4 cifras y 2 de entre 25 letras: 104·252 por provincia →312,5 millones en total, 6,25 millones por provincia.- 4 cifras y 3 de entre 20 letras: 10

4·20

3→80 millones en total.

44.7 sets máximo (empate a 3 hasta el 6º y alguien gana el 7º)

Gana Juana{- 4 sets: Gana Juana los 4 →1

- 5 sets: Gana Juana el último y 3 a elegir de entre los 4 primeros →C 4,3=4!

3!1!=4

- 6 sets: Gana Juana el último y 3 a elegir de entre los 5 primeros →C5,3=5!

3!2!=10

- 7 sets: Gana Juana el último y 3 a elegir de entre los 6 primeros →C6,3=6!

3!3!=20

}Gana Juana: 35 formasGana Juan: 35 formasTotal: 70 desarrollos

45.Son 6 posiciones a completar cuatro de ellas con 5 elementos distintos (0,1,2,3,4), importando el orden. Para las otras dos el enunciado es ambiguo: podrían ser cifras cualesquiera del 0 al 9 o podríamos suponer que son iguales y del 5 al 9 (encontraposición a las otras que son distintas y menores que 5). Analizamos ambos casos:

- Escogemos las 4 posiciones con cifras distintas y menores que 5 (esocger 4 de 6): C6,4=6!

4!2!=15

- Escogemos la combinación de 4 cifras para esas posiciones (importa el orden, 4 cifras de entre 5): V 5,4=5!1!

=120

- Escogemos las otras dos posiciones del teléfono: {Cifras cualquiera de 0 a 9: 102=100

Cifras iguales de 5 a 9: 5Según la interpretación serán 15 ·120 ·100=180.000 posibilidades o bien 15 ·120 ·5=9.000 posibilidades.Si conoce las dos últimas sólo ha de escoger la combinación de 4 cifras menore que 5 : 120 posibilidades

46.

C 7,3⏟3 expertos de entre 7

· C 4,2⏟2 en formación de entre 4

=7!

4!3!·

4!2!2!

=210 formas C6,2⏟2 expertos más de entre 6

· C4,2⏟2 en formación de entre 4

=6!

4!2!·

4!2!2!

=90 formas

47.

Escoger 2 elementos de entre 8 e importa el orden (una es salida y otra llegada) → Variaciones: V 8,2=8!6!

=56 modelos

En el segundo caso no importa el orden →Combinaciones: C 8,2=8!

6!2!=28 modelos

48.

La probabilidad de que un mes no puedan llevarle es: P (no llevan)=P(no puede padre)·P (no puedemadre)=13·12

=16

En promedio no podrán llevarle durante2 meses al año.

49.

Escoger 3 caballos de entre 10, sin que puedan repetirse y sin importar el orden → Combinaciones: C 10,3=10!7!3!

=120 modos

Si se falla el primero, 2 caballitos de entre 10: C10,2=10!8!2!

=45 modos

50.Si se admiten parejas del mismo sexo, cada vez puede elegir entre 11 personas (14 menos Juan, Ana y él mismo), si no le importa repetir:114=14641formas. Si no quiere repetir pareja: 11 ·10·9 ·8=7920 formas.Si sólo se admiten parejas mixtas, cada vez puede elegir entre 6 personas (7 chicas menos Ana), si no le importa repetir: 64

=1296formas . Si no quiere repetir pareja: 6 ·5 ·4 ·3=360 formas.Si además de no repetir pareja no considera el orden en que que ha bailado con cada una sino sólo con quién lo ha hecho

serían combinaciones→ Parejas mixtas = C6,4=6!2!4!

=15 formas Cualquier pareja = C11,4=11!7!4!

=330 formas.

1. P (3̇ )=P (3)+P (6)+P(9)+P (12)=P (1,2)+P (1,5)+P(2,4)+P (3,3)+P (3,6)+P (4,5)+P (6,6)P (2,1)+P (5,1)+P (4,2)+ P (6,3)+P (5,4)

=12 ·16·16=

13

2.

a) P (I) =Prob. Total

P (A)P (I /A)+P (B)P ( I /B)+P (C)P (I /C)=30100

·40

100⏟60% teatro

+35

100·

80100⏟

20% teatro

+35

100·

40100

=540010000

=2750

b) P (B/T ) =Bayes

P (B)P (T /B)

P (T )=P (B)P (T /B)

1−P (I )=

35100

·20

100

1−2750

=746

3.a) P (As∪Copa )⏟

As o Copa

=1−P(As∪Copa)⏟Ni As ni Copa

=1−0,84=0,16

b) P (As∩Copa)⏟As y Copa = As de copas

=P (As)+P (Copa)−P (As∪Copa )=0,12+0,08−0,16=0,04

El as de copas debe estar puesto que su probabilidad no es nula (todo cuadra si hay 25 cartas, entre ellas el as de copas y otros 2 ases y también, entre ellas, otra copa distinta al as.)

4.

a) P(M )=pP (H)=2p

→p+2p=1→p=13→P (H)=

23

b) P (E ) =Prob. Total

P(H)P (E /H )+P (M )P (E /M)=23·

6100

+13·

11100

=23300

c) P(H /E ) =Bayes

P(H)P (E /H )

P (E )=

23· 6100

23300

=1223

5.

a) P (2negros)=P (1ºnegro) ·P (2ºnegro)=8

18·

717

=28153

b) P (2 iguales)=P (2negros)+P(2azules)+P (2rojos)=818

·717

+618

·5

17+

418

·317

=49

153

c) P(al menos1rojo)=1−P(ninguno rojo)=1−1418

·1317

=62

153

d) P (unonegro,otrono )=P(1ºnegro)·P (2ºno negro)+P (1ºno negro)P (2ºnegro)=8

18·1017

+1018

·817

=80153

6.

a) P (unocumple)=P (1º sí )·P (2ºno)·P (3º no)+P (1º no)·P (2º sí )·P(3ºno)+P (1º no )·P (2ºno )·P (3ºsí )=31

365·364365

·364365

b) P (almenosdos )=1−P(ninguno cumple)−P (unocumple)=1−(364365 )

3

−31

365·364365

·364365

=1.093

48.627.125

7.

Bola A⟨37→A Par: Bola B⟨

46

→B Par

26

→B Impar

47

→A Impar: Bola B⟨36

→B Par

36

→B Impar

a) P (Misma paridad)=P (A Par)·P (B Par /A Par)+P (A Impar )·P (B Impar /A Impar )=37·46

+47·36=

47

b) P (B Impar ) =Prob. Total

P (A Par)· P (B Impar /A Par)+P (A Impar ) ·P (B Impar /A Impar )=37·26

+47·36=

37

8.

Urna A→1 Urna B→2 Bola blanca→B Bola negra→N

a) P (BB)=P(1)P (BB /1)+P (2)P (BB /2)=12·

610

·59⏟

6 B 4 N

+12·57·46⏟

5 B 2 N

=1742

b) P (Mismo color )=P(NN )+P (BB)=P (1)P (NN /1 )+P(2)P (NN /2)+P(BB)=12·

410

·39⏟

6 B 4 N

+12·27·16⏟

5 B 2 N

+1742

=52

105

c) P(Distinto color)=1−P(Mismo color)=1−52105

=53105

9.

a) P (Algún rey)=1– P (Ningún rey )=1 –3640

·3539

·3438

·3337⏟

4 reyes, 36 no reyes

=6497

18278

b) P (3 mismo palo)=

P (Palo 2ª = Palo 1ª)P (Palo 3ª = Palo 1ª)P (Palo 4ª≠Palo 1ª)+P (Palo 2ª = Palo 1ª)P (Palo 3ª ≠ Palo 1ª)P (Palo 4ª = Palo 1ª)+P (Palo 2ª ≠ Palo 1ª)P (Palo 3ª = Palo 1ª)P (Palo 4ª = Palo 1ª)+P (Palo 2ª ≠ Palo 1ª)P (Palo 3ª = Palo 2ª)P (Palo 4ª = Palo 2ª)

=

939

·838

·3037

+

939

·3038

·8

37+

3039

·938

·8

37+

3039

· 938

· 837

=14409139

10.

a) P (Té) =Prob. Total

P(Esp)P (Té /Esp)+P (Ext )P (Té /Ext )=14·18

+34·13=

932

b) P (Ext /Té) =Bayes

P (Ext )P (Té /Ext)P (Té)

=

34·13

932

=89

b) P (Esp/No Té) =Bayes

P (Esp)P (NoTé /Esp)

P (NoTé)=P (Esp)P (NoTé/Esp)

1−P (Té)=

14·78

1−9

32

=

7322332

=723

11.

a)P (0 defectos)=P(1ª sin defecto)·P (2ª sin defecto)·P(3ª sin defecto)=80

100·7999

·7898⏟

20 defectuosas: 10 A - 8 B - 2 AB

=41088085

b)P (A y B o AB)=3! ·P (A)·P (B) ·P (Nodef.)⏟Permutaciones de A, B y No def.

+3 ·P (Nodef.)P(Nodef.)P(AB)⏟Ordenaciones de dos No def. y AB

=6 ·10

100·

899

·8098

+3 ·80100

·7999

·2

98=

2122695

12.

Dado⟨12→Par: Bola⟨

37

→B⟨26→B

46

→N

47

→N⟨36

→B

36→N

12→Impar: Bola⟨

27

→B⟨16→B

56→N

57→N⟨

26

→B

46→N

a) P (BB/Par )=37·26

=17

P (BB) =Prob. Total

P (Par )P(BB/Par )+P( Impar )P (BB /Impar )=12·17+

12·27·16

=221

13.

M →Mayor de 40 J →Menor de 40 P → Propietario N →No propietario

a) P (P) =Prob. Total

P (M)P (P /M)+P (J)P (P /J )=70100

·60100

+30100

·30100

=51

100

b) P (M /P) =Bayes

P (M)P (P /M )

P (P )=

70100

·60

10051100

=1217

14. P (A/Blanca) =Bayes

P(A)P (Blanca/A)

P (A)P (Blanca /A)+P (B)P (Blanca /B)=

12·23

12·23

+12·14

=811

15.

Urna⟨12

→A: Bola⟨46→R ⟨

35→R

25

→Am

26→Am⟨

45

→R

15→Am

12→B: Bola⟨

58→R⟨

47→R

37→Am

38→Am⟨

57

→R

27→Am

a) P (RR) =Prob. Total

P (A)P (RR /A)+P (B)P (RR /B)=12· 46· 35

+ 12· 58+ 4

7= 53

140

b) P (Mismo color )=P(RR)+P (AmAm)=P (RR)+P (A)P (AmAm /A)+P (B)P (AmAm/B)=53140

+12·26·15

+12·38·27

=391840

16.

a) P (Suma 4)=P(1,3)+P (3,1)+P (2,2)=3 ·16·16=

112

b) P (1,3 /Suma 4)=1 caso favorable

3 casos posibles (equiprobables)=

13

16.Máxima dificultad →D Dificultad media →M Escasa dificultad →F Aprobar →A Suspender →S

a) P (A) =Prob. Total

P (D )P (A /D )+P (M )P (A /M )+P (F )P (A /F )=310

·13

+510

·25

+210

·34=

920

b) P (D /A) =Bayes

P (D)P (A /D)

P (A)=

310

·13

920

=29

17.

1ª Bola⟨25→B : 2ª bola⟨

14→B

34

→N

35

→N :2ª bola⟨24→B

24→N

a) P (Mismo color)=P (BB)+P (NN )=25·14+

35·24=

25

b) P (Al menos 1 blanca)=1−P(Ninguna blanca)=1−P (NN )=1−35·24

=1−3

10=

710

18.Formas de ordenar 5 cartas:Permutaciones→5!=120 casos posibles.

Casos favorables: 2(los cincos son intercambiables) → P ( cartas ordenadas )=2

120=

160

19.

P (Alguno bien colocado)=1– P (Todos mal)=1–23⏟

2 fundas

·12⏟

1 funda que haceque los dos últimos

queden descolocados

=1−13

=23

Otro razonamiento: Hay 6 formas de guardar los discos (P3=3!):DiscoFunda:

:AABBCC−A

ACBBC−B

AABCC−B

ACBAC−C

AABBC−C

ABBAC

Vemos que en cuatro de ellas (1ª, 2ª, 3ª y 6ª) hay algún disco bien colocado, luego la probabilidad será 46

=23

20.a) Si todas las células tiene éxito dividiéndose, puede haber hasta 22 = 4 células (t=0: 1 → t=1: 2 → t=2: 2·2=4)

b) P (4 células en t=2)=P (se divide célula original t=1)·P (se divide una hija t=2)·P (se divide otra hija t=2)=(34 )

3

=2764

21.

a) P (A=algún 5)=P (5 x)+P (x 5)+P (55)=16·56

+56·16+

16·16

=1136

b) P (B=doble)=P (11)+P (22)+ ...+P (66)=6 ·16·16=

16

c) P(A∩B)=P(algún cinco y doble)=P (55)=16·16

=136

d) P (A∪B)=P (A)+P (B)−P (A∩B)=1136

+16−

136

=49

=P(algún cinco o doble )

22.

Urna A →1 Urna B →2 Urna C →3 Bola blanca →B Bola roja →R

a) P (B) =Prob. Total

P (1)P (B /1)+P (2)P (B /2)+P (3 )P (B /3)= 13· 26+ 1

3· 36+ 1

3·16

=13

b) P (2 /B) =Bayes

P(2)P (B /2)

P (B)=

13·36

13

=12

23.

Hombre →H Mujer →M Trabaja →T No trabaja →Na) P (T ) =

Prob. TotalP (H )P (T /H)+P (M )P(T /M)=0,7·0,8+0,3·0,7=0,77

b) P (H /T ) =Bayes

P (H)P (T /H)

P (T )=

0,7 ·0,80,77

=811

≃0,73

24.a) P (Aprobar)=1 –P (Suspender)=1–P (1er tema no)·P (2º tema no)=1–

410

·39=

7890

=1315

b) P (Saber 1)=P (Saber alguno)−P(Saber 2)=P( Aprobar)−P(Saber 1º)·P (Saber 2º )=1315

−610

·59

=815

25.

a) P (BB)=P(1ªB)·P (2ªB)=46·35=

25

b) P (1ªN /2ªN ) =Bayes

P(1ªN)P (2ªN/1ªN)

P (1ªN)P (2ªN/1ªN )+P(1ªB)P(2ªN /1ªB)⏟P (2ªN)

=

26·15

26·15

+46·25

=15

26.

a) P (A∩B)=1−P (A∩B) =Morgan

1−P (A∪B)=1−0,7=0,3 P (A/B)=P (A∩B)

P (B)=

0,30,2

=¡¡1,5!! Imposible. Error en el enunciado.

b) P (A∪B)=P (A)+P (B)−P (A∩B)=0,6+0,2−0,3=¡¡ 0,5 !!<P (A) Imposible.

27.a) P (Sólo B)=P (B∩A)=P (A)·P(B /A)=0,4 ·0,4=0,16b) P (Ningún producto)=P (A∩B) =

P (A)=P (A∩B)+P (A∩B )P (A)−P (A∩B)=1−P (A)−P (B∩A)=1−0,6−0,16=0,24

28.

Bufete A →A Bufete B →B Bufete C →C Ganar caso→G Perder caso →Pa) P (G) =

Prob. TotalP (A)P (G /A)+P (B)P(G /B)+P (C)P (G /C )=0,3 ·0,6+0,5·0,8+0,2·0,7=0,72

b) P (A/G) =Bayes

P (A)P (G /A)

P (G)=

0,3·0,60,72

=0,25

29.

Partido A →A Partido B →B Partido C →C Leer periódico→P No leer periódico →Na) P (P ) =

Prob. TotalP (A)P (P /A)+P (B)P (P /B)+P (C )P (P /C )=0,4 ·0,4+0,35 ·0,4+0,25 ·0,6=0,45

b) P (B/P) =Bayes

P (B)P (P /B)

P (P )=

0,35 ·0,40,45

=1445

=0,3 1̂

30.a) B1∩B2∩B3

b) P (3 mismo color)=P (3 blancas)+P (3 rojas)+P (3 negras)= 712

· 611

· 510

+ 312

· 211

· 110

+ 212

· 111

· 010

= 955

31.Modelo A →A Modelo B →B Modelo C →C Gasolina →G Diésel →D

a) P (C)=1−[P (A)+P (B) ]=1−[ 60100

+30100 ]= 10

100

b) P (A/D) =Bayes

P (A)P (D /A)

P (D)=

60100

·30100

30100

= 60100

= 35

c) P (D) =Prob. Total

P (A)·P (D /A)+P(B)·P (D /B)+P (C)·P (D /C) → P (D /C)=P (D)−P (A)·P (D /A)−P (B)·P (D /B)

P (C)

P (D /C)=

30100

−60

100·

30100

−30100

·20

10010100

=60

100=

35

32.

a) P (No Def) =Prob. Total

P (A)P (No Def /A)+P (B)P (No Def /B)+P(C)P (No Def /C)=6001000

·0,99+300

1000·0,98+

1001000

·0,97=0,985

b) P (A/No Def) =Bayes

P (A)P (No Def /A)

P (No Def)=

6001000

·0,99

0,985=

594985

≃0,603

33.a) P (3 misma película)=P (3 A)+P (3 B)+P(3 C)=

822

·721

·620

+922

·821

·720

+522

·4

21·

320

=900

9240=

15154

b) P (Dos A, uno C)=P (AAC)+P (ACA)+P(CAA)=822

·721

·520

+8

22·

521

·7

20+

522

·821

·720

=1

11

34.

a)P (Ganar)=2 favorables500 posibles

=1

250=0,004

b)P (Ganar al menos 1)=1−P (No ganar ninguno)=1−P (No gana 1º )·P(No gana 2º )=1−498500

·497499

=1994

249500≃0,00799

35.Tendremos que suponer que, aunque separemos lotes, siempre se mantiene el 5% de defectuosos.a) P (Mínimo 2 defectuosos)=P (3 Def )+P (2 Def )=P (Def)3+ 3P (Def )2P (No def )⏟

3 secuencias posibles: Def-Def-No / Def-No-Def / No-Def-Def

=0,053+3 ·0,052·0,95=0,00725=0,725%

b) P (Máximo 2 Def )=1−P (3 Def )=1−0,053=0,999875=99,9875 %

36.Prueba positiva →P Prueba negativa →N Contaminada →C No contaminada →L

P (L /P)=P (L)P (P /L)

P (P)=

P (L)P (P /L)P (L)·P (P /L)+P (C)·P (P /C)

=0,99 ·0,05

0,99 ·0,05+0,01 ·0,99=

56

Es interesante notar que esto significa que en la mayoría de casos en que el test detecta contaminación el agua está limpia.Esto se debe a que el porcentaje de error del test (5% para agua limpia) es mayor que la prevalencia de agua contaminada (1%), lo que inutiliza el test como herramienta para distinguir entre agua limpia y agua contaminada.

37.

a) P (N) =Prob. Total

P (1 )P (N /1)+P (2)P (N/2)+P (3)P (N/3)=13·47+

13·55

+13·37

=23

b) P (2 /N) =Bayes

P (2 )P (N /2)

P (N)=

13·55

23

=12

38.

a) P (3 seises dobles)= P (seis doble)3⏟Experimentos independientes

=(16·16)

3

=1

66=1

46656≃0,000021

b) P (doble ≠66)=P(11)+P (22)+...+P(55)=5P ( xx)=5 · 16· 16

= 536

P (3 dobles ≠66)=P (doble ≠66)3=125

46656≃0,0027

39.a) P (Ganar)=1−P (Perder)=1−P (Fallar 3)=1−P (Fallar tiro)3=1−0,73=0,657b) P (Ganar en 3º)=P (Falla tiro)·P(Falla tiro)·P (Acierta tiro)=0,7·0,7·0,3=0,147c) P (Ganar en 2º )=P (Falla tiro)·P (Acierta tiro)=0,7·0,3=0,21

40.

Tarjeta V →V Tarjeta MC →M Compar Superior a 150 € →S Compra inferior a 150 €→ I

a) P (S) =Prob. Total

P (V )P(S /V )+P (M )P (S /M )=400750

· 150400

+350750

· 300350

= 450750

= 35

b) P (M /I ) =Bayes

P (M )P (I /M)

P (I )=P (M )P (I /M )

1−P (S )=

400750

·250400

1−35

=56

41.

Secarse →S Mantenerse →M Regar →R No regar →N

P (N /S ) =Bayes

P (N )P (S /N )

P (S)=

P (N )P (S /N )

P (N )P (S /N )+P (R )P (S/R)=

23·0,75⏞

1−0,25

23·0,75+

13·0,5

=0,75

42. a) P (B /A)=P (B∩A)

P (A)=

0,450,7

=9

14b) P (A∩B) =

MorganP(A∪B)=1−P (A∪B)=1−[P (A)+P (B)−P (A∩B) ]=1−[0,7+0,5−0,45]=0,25

43.

Tendremos que suponer que siempre se mantiene los porcentajes tras ir preguntando.a) P (3 votan A )=P (Vota A)3=0,453=0,091125b) P (2 votan A, 1 vota B)=3 ·P (Vota A )2·P (Vota B)⏟

3 posibilidades: AAB - ABA - BAA

=3 ·0,452·0,35=0,212625

c) P (Al menos uno se abstiene)=1−P (Ninguno se abstiene)=1− P (Vota)3⏟

P (Vota A )+P (Vota B)

=1−0,83=0,488

44.

a) P (3 reyes)=P (1º rey )·P (2º rey)·P (3º rey)=440

·339

·238

=1

2470

b) P (Figura-Cinco-Seis)=P (1º Figura)·P (2º 5)·P (3º 6)=1240

·4

39·

438

=4

1235

d) P (As, tres y seis)=Casos favorablesCasos posibles

=12·8 ·4⏞

1º 12 posib. : 4de cada número2º 8 posib. : 4de los que no han salido3º 4 posib. : 4del que no han salido aún

40 ·39·38=

81235

45. Ver ejercicio 36 .

46.Usan transporte →T No usan transporte escolar (privado) →P Usa el comedor →C No usa el comedor →N

a) P (N) =Prob. Total

P (T )P (N /T )+P (P)P (C /P)=120156

· 12

+ 36156

· 2436

= 713

b) P (C /T )=P (C∩T )

P (T )=

60156120156

=12

(En el enunciado se da el dato: La mitad de los que usan el transporte van al comedor)

47.Aprueba Lengua →L Aprueba Lengua →M Aprueba Lengua Extranjera →EDatos: P (L)=0,2 P (M)=0,3 P (E )=0,4 P (M∩E )=0,12 P (L∩E )=0,07P (E )·P (L)=0,08≠P (E∩L)→E y L no son independientesP (E )·P (M )=0,12=P (E∩M )→E y M sí son sucesos independientes.

48.Perito E1 →1 Perito E2→2 Pago indemnización →I No pago de indemnización →N

P (2/P) =Bayes

P (2 )P(P /2)

P (P)=

P (2 )P (P /2)

P (1)P (P /1)+P (2)P (P /2)=

0,45 ·0,90,55 ·0,98+0,45 ·0,9

=405944

≃0,429

49.

Halógenas →H Bajo consumo →B Defectuosa →D No defectuosa →N

P (H /N ) =Bayes

P (H)P (N /H)

P (N)=

P(H)P (D /H )

P (H)P (D /H)+P (B)P (D /B)=

37·0,02

37·0,02+

47·0,09

=17≃0,143

50.a) P (Sólo activa 1)=P (Activa 1)P (No activa 2)+P (No activa 1)P (Activa 2)=0,95 ·0,1+0,05 ·0,9=0,1425b) P (Activa al menos uno)=1−P (No se activa ninguno)=1−P (No activa 1)·P (No activa 2)=1−0,05 ·0,1=0,995

51.

Hombre →H Mujer →M Aficionado →F No aficionado →Na) P (F ) =

Prob. TotalP (H )P (F /H )+P (M )P(F /M )=0,4·0,8+0,6 ·0,2=0,44

b) P (M /F ) =Bayes

P (M )P (F /M)

P (F )=

0,6 ·0,20,44

=311

≃0,273

52.a) Espacio muestral: {

S1:Gana las dos partidas P (S1)=0,6·0,6=0,36S2Gana una partida y empata otra P (S2)= 0,6·0,3⏟

Gana-Empata

+ 0,3·0,6⏟Empata-Gana

=0,36

S3Gana una partida y pierde otra P (S3)=0,6·0,1⏟Gana-Pierde

+0,1·0,6⏟Pierde-Gana

=0,12

S4 Empata las dos partidas P (S4)=0,3·0,3=0,09S5Empata una partida y pierde otra P (S5)= 0,3 ·0,1⏟

Empata-Pierde

+ 0,1·0,3⏟Pierde-Empata

=0,06

S6Pierde las dos partidas P (S6)=0,1·0,1=0,01⏟Comprobación: P (S1)+P (S 2)+P(S 3)+P(S 4)+P (S 5)+P (S6)=0,36+0,36+0,12+0,09+0,06+0,01=1

b) P (Gane al menos una)=P (S1)+P (S2)+P (S3)=0,36+0,36+0,12=0,84

53.a) P (No C-T)=P (Sí H-CCSS)=

124240

=3160

b) P (H-CCSS/Chico)=52102

=2651

54.a) P (4 enteros)=P (1º entero)·P (2º entero)·P (3º entero)·P (4º entero)=

1012

·9

11·

810

·79=

1433

b) P (3 enteros, 1 roto)=4 ·P (3 enteros)·P (1 roto)=4 ·1012

·911

·8

10·29⏟

4 formas equiprobables: EEER-EERE-EREE-REEE

=1633

55.

P (3 unos )=P (1)3=(16 )

3

=1

216

P (Al menos un 2)=1−P (Ningún dos)=1−P (No 2)3=1−(56)

3

=91216

P (Tres números distintos)=P (Cualquier número )·P (Distinto al 1º)P (Distinto a 1º y 2º )=1 ·56·46=

59

P (Suma 4)=P (1,1,2)+P (1,2,1)+P (2,1,1)=3 ·16·16·16=

172

56.Vía Internet → I Sin Internet (físicamente) →F Consulta InfoBolsaWeb →W No Consulta InfoBolsaWeb →Na) P (W ) =

Prob. TotalP(I )P (W /I )+P (F )P(W /F )=0,2·0,8+0,8 ·0,2=0,32

b) P (I /W ) =Bayes

P (I )P (W /I )P (W )

=0,2 ·0,8

0,32=

12

57.

a) P (B /A)=P (A∩B)

P (A)=

1−P (A∩B)

P (A)=

Morgan

1−P (A∪B)

P (A)=

1−34

12

=12

b) P (A/B)=P (B∩A)

P (A)=P (B)−P (B∩A)

P (B)=

1−P (B)−(1−P(A∩B) )1−P (B )

=1−P (B)−(1−P (A∪B) )

1−P (B)=

1−25−(1−

34)

1−25

=712

58.

a) P (A∪B)=P (A)+P (B)−P (A∩B)=0,6+0,2−0,12=0,68 P (A/A∪B)=P (A∩(A∪B))

P(A∪B)=

P (A)

P (A∪B)=

0,60,68

=1517

≃0,882

b) Se entiende que se refiere a los sucesos A y B:

Son compatibles puesto que P (A∩B)≠0. Son independientes puesto que P (A)=0,6=P (A/B)=P (A∩B)

P (B)=

0,120,2

=0,6

59.

Sabemos que en la urna hay alguna bola blanca y queresemos saber cuál es la probabilidad de que ambas lo sean:

P (2 blancas /Alguna blanca )=P (2 blancas∩Alguna blanca)

P (Alguna blanca)=

P (2 blancas)

P (Alguna blanca)=

12·12

12·12+

12·12+

12·12⏟

3 posibilidades: C+ +C CC

=13

60.

Secarse →S Mantenerse →M Regar →R No regar →N

P (N /S ) =Bayes

P (N)P (S /N )

P (S)=

P (N )P (S /N)

P (N )P (S /N)+P (R)P (S/R)=

23·0,75⏞

1−0,25

23·0,75+

13·0,5

=0,75

61.

a) Experimento regular (todos los sucesos equiprobables) P(S i)=112

E={1C ,1+ ,2C ,2+ ,3C ,3+ ,4C ,4+ ,5C ,5+ ,6C ,6+}

b) P (Par, C )=P (2,C)+P(4,C)+P (6,C)=312

=14

62.P (Albino) =

Prob.TotalP (1ª Res.)·P (Albino/1ª Res.)+P (2ª Res.) ·P (Albino /2ª Res.)+P (3ª Res.)·P (Albino /3ª Res.)=

=0,3 ·0,002+0,25 ·0,005+0,45 ·0,001=0,0023=0,23%

63. P (Mismo color )=P (1ªB)·P (2ªB)+P (1ªN)·P (2ªN )=1015

· 914

+5

15· 414

=1121

64.P (I )=0,4 P (C)=0,33 P (I∩C)=0,2a) P (SóloC )=P (C∩I )=P (C)–P (C∩I )=0,33−0,2=0,13b) P (I∩C ) =

MorganP (I∪C)=1−P (I∪C )=1−[P (I )+P (C)−P (I∩C) ]=1−(0,4+0,33−0,2)=0,47