Embed Size (px)
Citation preview
1
T
wo do vr za zo ma
Waarom is het weer zo moeilijk te voorspellen?
Antwoord: omdat de wereld niet lineair is …….
Reis naar de wereld van chaos, turbulentie en vreemde ordening
2
20e eeuw: 3 grote revoluties
1. relativiteitstheorie van Einstein2. quantum mechanica
Niels Bohr
Albert Einstein
Henri Poincare(1854-1912)wiskundige
Edward Lorenz(1917 - )meteoroloog (MIT)
3. chaos theorie
3
Newton’s theorie van zwaartekracht
2 deeltjes:geen probleem, deeltjes bewegen in ellipsvormige baanin een plat vlak
Henri Poincare
3 deeltjes:moeilijk, banen blijken ‘wild’geen simpele oplossing
4
Edward Lorenz
~1960: versimpelde modelen voor het weer
computer berekeningen
als na een berekening, een nieuwe – halverwege de oude –wordt gestart, wijken de antwoorden na verloop van tijd af!!!
t
T
5
t
Toorzaak: •Lorenz liet de computer rekenen
met 6 cijfers achter de komma•de computer bewaarde gegevens
met 3 cijfers achter de komma
kleine verschillen, grote gevolgen: chaos
Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?
1972, lezing door Lorenz:
6
chaos niet-lineair beperkte voorspelbaarheid
niet: onvoorspelbaar!!!
‘overal’, zelfs in heel simpele systemen
voorbeeld:
biologie: aantal beesten in een populatie
stel in jaar k: Nk beesten
in een jaar netto effect geboorte en sterfte
gemiddeld per individue beesten er bijk k kN N N
7
k k kN N N
jaar k jaar k+1 k kN rN 1
simpel: =1<1
>1r
uitsterven
explosieve groeiconstante populatie
groeifactor
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
300
Nk
k
1.1
0.9
1
8
explosieve groei: r>1
kan niet zo blijven: bv. voedsel te kort!
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
2
4
6
8
10
12
14x 10
5
k
Nk
1M
rem op ontwikkeling: als Nk Nmax, dan afname
als Nk<<Nmax dan merk je niks
kk k
max
NN rN
N
1 1
9
kk k
max
NN rN
N
1 1
k k k
max max max
N N Nr
N N N
1 1
k k kx rx x 1 1
kk
max
Nx
N
fractie van maximale bevolking
0 xk 1
niet lineair!!!
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.8x(1-x)
r=0.8
xstart x1
x2
k k kx rx x 1 1 x2
11
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
xk
xk+1
start
x1
x2
x2
y=x
k k kx . x x 1 08 1
12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
xk+1
xk
k k kx . x x 1 08 1
uitsterven
13
r = 0.8 < 1
0 0.5 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
xk
x k+1
5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
k
x k
k k kx rx x 1 1
14
0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
xk
x k+1
5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
k
x k
r = 1.6 > 1 k k kx rx x 1 1
15
r = 2.8 > 1 k k kx rx x 1 1
0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
xk
x k+1
5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
k
x k
16
r = 3.08 > 1 k k kx rx x 1 1
0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
xk
x k+1
10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
k
x k
periode 2
17
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
00 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8
xe
1 2
‘eindwaarde van populatie’ (na lange tijd)
r=1 r=3
k k kx rx x 1 1
r20
wat gebeurt er bij hogere r-waarden?
18
0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
xk
x k+1
10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
k
x k
r = 3.52 > 1 k k kx rx x 1 1 periode 4
19
r = 3.68 > 1 k k kx rx x 1 1 periode ?
0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
xk
x k+1
20 40 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
k
x k
20
period doubling
r1 = 3.0…. 2
r2 = 3.449… 4
r3 = 3.5440... 8
r4 = 3.5644… 16
r5 = 3.5687.. 32
…. …
r = 3.569946..
r
xe
r
xe
21
verbazingwekkend: simpel systeem vertoont zeer ingewikkeld gedrag
k k kx rx x 1 1
formule laat niks niks te raden over,maar toch kunnen we voor sommige r-waardenslecht voorspellen wat er op de lange termijn gebeurt
22
voorbeeld 2: prooi en jager
n n n nK aK K V 1 1
konijnen vossen
n n nV bK V 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
a=2, b=3.5
voss
en
konijnen0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
a=2.5, b=3.5
voss
en
konijnen
24
terug naar Lorenz en het weer
3 variabelen:
•snelheid van de lucht, x•temperatuurverschil tussen op en neergaande stromen, y•stroming van warmte, z
x, y, z hangen enkel van de tijd af en niet van de positie op aarde
versimpel:
25
bekijk: tijdstip t en een klein tijdje t later
x( t t ) x( t )( y x )
t
y( t t ) y( t )xz rx y
t
z( t t ) z( t )xy bz
t
met =10, r=25, b=3/8
Oplossen?tegenwoordig fluitje van een cent!c:\college\chaos\Maple-Opdr5
26
tvoorsp
0
5
10
15
20
25
30
35
10-1 10-3 10-5 10-7 10-9
afwijking
voorspelbaarheid
27
vlinder van Lorenz
voorbeeld van een ‘strange attractor’
systeem keert altijd terug naar deze figuur
ding heeft rare wisundige eigenschappen:bv. herhaalt zichzelf nooit (geen gesloten kromme)
‘vlinder’ in 3 dimensies
28
belangrijk kenmerk van chaotisch systeem:
extreme gevoeligheid voor begingvoorwaarden
kleine onnauwkeurigheid in bv. de temperatuurgroeit snel aan tot grote fout in voorspelling
ons weer is chaotisch en voorspellen voor langere tijdis dus principieel onmogelijk!
T
wo do vr za zo ma
29
tot slot: is chaos nu erg??
in het geheel niet!
ons hart is chaotisch
zorgt ervoor dat je met hele kleine veranderingengemakkelijk bijstuurtkeert altijd terug naar zijn ‘strange attractor’
chaotische systemen zijn ondanks de chaos stabiel!
en laten binnen grenzen allerlei variatie toe
30
simpel praktijk voorbeeld: druppelende kraan
meet tussentijden tussen opeenvolgende druppels
c:\chaos\faucet.mws
