1-Tamsayılı Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)

7/22/2019 1-Tamsayl Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)

1/20

1

Seluk niversitesi

Mhendislik Mimarlk Fakltesi - Endstri Mhendislii Blm

HazrlayanYrd. Do. Dr. smail Karaolan

YNEYLEM ARATIRMASI-2-Tamsayl Optimizasyon-

(Modelleme)

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sermaye Bteleme Problemi)

Bu problemin bir dier ad iseSrt antas Problemidir.

Belirli bir miktar para, igc, enerji, mekan vb.kaynaklarn, bir dnem veya belirli sayda dnemler

iin; hisse senedi, tahvil, yatrm, aratrma-gelitirmetekliflerinin ya da belirli projelerin deerlendirilmesi veseimi gibi benzeri faaliyetlere paylatrlmasna ilikinkarar problemleri, genel olarak sermaye btelemeproblemi olarak adlandrlr.

Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 2/40


2/20

2

Matematiksel Model


Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan

Karar Deikenleri

1 1 2 3 4

0jj yatrm yaplrsa j , , ,

xdier durumda

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

16 22 12 8

5 7 4 3 14

0 12

Maks Z x x x x

S .T . x x x x

x ,x ,x ,x ,

rnek: Bir firmann yatrm yapabilecei 4 alternatifi vardr, bu yatrmlardanelde edilecek gelirlerin net imdiki deerleri srasyla 16, 22, 12 ve 8 birimdir.Yatrmlar iin u an yaplmas gereken birim harcamalar ise sras ile 5, 7, 4 ve 3birimdir. Firmann yatrmlar iin ayrd toplam para miktar 14 birim olduunagre yatrmlardan elde edilecek net imdiki deeri maksimize edecek tamsaylprogramlama modelini kurunuz.

3/40

Matematiksel Model



1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

2 4

1 3

1 2 3 4

16 22 12 8

5 7 4 3 14

2

0

1

0 1

2

Maks Z x x x x

S .T . x x x x

x x x x

x x

x x

x ,x ,x ,x ,

Ek Kst 1: Firma en fazla iki yatrmyapmak istemektedir.Ek Kst 2: Firma drdnc yatrmyaptnda ikinci yatrm da yapmaytercih etmektedir.Ek Kst 3: Firma birinci ve nc

yatrmlar ayn zamanda yapamamaktadr.

1 2 3 4 2x x x x

4 2x x

1 3 1x x

Optimal zm

1 2

3 4

1

0

38

x x

x x

Z

4/40


3/20

3

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Sabit Maliyet Problemleri)

Herhangi bir faaliyeti gerekletirebilmek iin, bufaaliyetin seviyesine bal olmakszn bir maliyetekatlanlmasn gerektiren problemlere sabit maliyetproblemi denir.



retim Problemi:Bir tekstil firmas 3 tip giyecek (gmlek, ort ve pantolon) retmektedir.Her tip giyecein retimi uygun tip tezgahlar gerektirmektedir.Gmlek, ort ve pantolon retimi iin gerekli tezgahlar haftal srasyla200, 150 ve 100 birim karlnda kiralanmaktadr.

Her tip rnn 1 adetinin gerektirdii kuma ve iilik miktarlar ile birimdeiken maliyeti ve birim sat fiyat aadaki tabloda verilmitir.Her hafta 150 saat iilik ve 160 metrekare kuma mevcut olduuna grefirmann haftalk karn maksimum yapacak tamsayl programlamamodelini kurunuz.


rn ilik (saat) Kuma Sat Fiyat Deiken Maliyet

Gmlek 3 4 12 6

ort 2 3 8 4

Pantolon 6 4 15 8

6/40


4/20

4


Ayrca tezgahlarn kiralanmas,rnlerin retim miktarndan bamszolmakta ve sadece ilgili rnn retilipretilmemesi kararna bakmaktadr.

yleyse modelde kullanlmak zereaadaki deikenlerin de tanmlanmasgerekir.


Karar Deikenleri

1

2

3

1

1

1

x haftada retilecek gmlek miktar

x haftada retilecek ort miktar

x haftada retilecek pantolon miktar

Karar Deikenleri

1

1

0

gmlek retilirsey

dd

21

0

ort retilirse

y dd

3

1

0

pantolon retilirsey

dd

7/40


Ama Fonksiyonu:Firmann amac haftalk sat karn maksimum yapmaktr. Firmann haftalkkar; rnlerin satndan elde edilecek haftalk gelirden toplam haftalkmaliyetlerin (haftalk deiken maliyet ile haftalk tezgah kiralama maliyetitoplamnn) karlmas ile bulunur.

= + + + +

= + + + +



Gmlek 3 4 12 6ort 2 3 8 4

Pantolon 6 4 15 8Kapasite 150 160

8/40


5/20

5


Kapasite Kstlar:3 + 2 + 6 150 (iilik kst)

4 + 3 + 4 160 (kuma kst)

retim gerekletiinde kiralama durumunu ifade eden kstlar

burada Mbyk bir say


rn ilik (saat) Kuma Sat Fiyat Deiken MaliyetGmlek 3 4 12 6

ort 2 3 8 4Pantolon 6 4 15 8Kapasite 150 160

9/40

Matematiksel Model




Gmlek 3 4 12 6ort 2 3 8 4

Pantolon 6 4 15 8Kapasite 150 160

= 6

+ 4

+ 7

200

150

100

ST.

3 + 2 + 6 150

4 + 3 + 4 160

, , 0

, , 0,1

Optimal zm

= 25, = 1, = 75

= = = = 0

10/40


6/20

6


Depo Yer Seimi Problemi:Bir firma, sat politikas olarak, rnlerini belirli yerlerdeki depolar kanalylamterilerine teslim ederek pazarlamak istemektedir.Alabilir depo yerleri, bunlarn kapasiteleri, bu yerlerden mterilere birimtama maliyetleri, mterilerin talepleri ve belirlenen yerlerde depo amamasraflar aadaki tabloda verilmitir.Firma yneticisi, talebi karlamak zere, hangi yerlerde depo amas, hangidepodan hangi mteriye ne kadar tama yaplmas gerektiini bilmekistemektedir.


Depolar(I)

Birim Tama Maliyetleri DepoKapasitesi

Depo AmaMaliyeti

Mteriler (J)M1 M2 M3 M4

D1 4 5 4 3 140 7500D2 1 2 3 1 150 6200D3 2 2 2 3 170 7100

Talep 50 70 40 50

11/40

Matematiksel Model (Kapal Form)



Depolar(I)

Birim Tama Maliyetleri DepoKapasitesi

Depo AmaMaliyeti

Mteriler (J)

M1 M2 M3 M4

D1 4 5 4 3 140 7500D2 1 2 3 1 150 6200D3 2 2 2 3 170 7100

Talep 50 70 40 50

Karar Deikenleri

1

0

ij

i

i deposundan j mterisinde gnderilecekx

rn miktar i I j J

i deposu alrsa i I y

dd

0

0 1

ij ij i ii I j J i I

ij ji I

ij i ij J

ij

i

Min Z c x f y

S.T.

x d j J Talep Kstlar

x s y i I Arz Kstlar

x i I , j J aret Kstlar

y , i I aret Kstlar

12/40


7/20

7

Matematiksel Model (Ak Form)



11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34

1 2 3

11 21 31

12 22 32

13 23 33

14 24 34

11 12 13 14 1

21 22 23 24 2

31 32 33 3

4 5 4 3 2 3 2 2 2 3

7500 6200 7100

50

70

40

50

140

150

Min Z x x x x x x x x x x x x

y y y

S.T.

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x y

x x x x y

x x x x

4 3170

0

0 1

ij

i

y

x ve tms i I , j J

y , i I

2 3

21

22

24

32

33

13620

1

50

50

50

20

40

Optimal Sonu

Z

y y

x

x

x

x

x

13/40


Sabit Maliyetli Ulatrma Problemi:Bir firma, mteri taleplerini deiik noktalarda bulunan depolar araclyla karlamakistemektedir.Her depodan her mteriye tamaclk gerekletirilebilmektedir. Ancak, eer bir depodanbir mteriye tamaclk gerekletiriliyorsa ilgili hattn kullanmndan doan bir sabitmaliyete katlanlmak zorundadr.Problem ile ilgili bilgiler aadaki tabloda verilmitir.

Firma yneticisi, talebi karlamak zere, hangi depodan hangi mteriye ne miktarda rngnderileceini bilmek istemektedir.


Depolar(I)

Sabit (Birim Tama) Maliyetleri DepoKapasitesi

Mteriler (J)

M1 M2 M3 M4

D1 250(4) 150(5) 125(4) 220(3) 140

D2 500(1) 250(2) 100(3) 450(1) 150

D3 400(2) 300(2) 250(2) 300(3) 170

Talep 50 70 40 50

14/40


8/20

8




Karar Deikenleri

1 0

0

ij

ijij

i deposundan j mterisinde gnderilecekx

rn miktar i I j J

eer x ise i I j J y

dd

0

0 1

ij ij ij ij i I j J

ij ji I

ij ij J

ij ij

ij

i

Min Z c x f y

S.T.


x s i I Arz Kstlar

x My i I , j J Hat Kullanm Kstlar

x i I , j J aret Kstlar

y , i I aret Kstlar

Depolar(I)

Sabit (Birim Tama) Maliyetleri DepoKapasitesi

Mteriler (J)M1 M2 M3 M4

D1 250(4) 150(5) 125(4) 220(3) 100D2 500(1) 250(2) 100(3) 450(1) 50D3 400(2) 300(2) 250(2) 300(3) 60

Talep 50 70 40 50

15/40

Matematiksel Model (Ak Form)



11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

11 21 31

12 22 32

13 23 33

14 24

4 5 4 3 2 3 2 2 2 3

250 150 125 220

500 250 100 450

400 300 250 300

50

70

40

Min Z x x x x x x x x x x x x

y y y y

y y y y

y y y y

S.T.x x x

x x x

x x x

x x

31 3111 11 21 2111 12 13 14

32 3212 12 22 2221 22 23 24

33 3313 13 23 2331 32 33 34

34 34 3414 14 24 24

100

50

6050

0

0 1

ij

ij

x Myx My x Myx x x x



x x Myx My x My

x ve tms i I , j J

y , i I , j J

11 14 22 23 32

11 14 22 23 32

1

50 50 10 40 60

Optimal Sonu

Z=1730

y y y y y

x ,x ,x ,x ,x

16/40


9/20

9

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Ya-Ya da (Either-or) Kstlar)

ki kst aadaki ekilde verilmi olsun.

, , , ,

, , , ,

(1) ve (2) numaral kstlardan en fazla bir tanesininsalanmas ya-ya da eklinde kstlar olarakadlandrlr. Formlasyona (3) ve (4) eklinde iki kstnilave edilmesi (1) ve (2) numaral kstlarn en fazla

birinin salanmasn temin eder. , , , ,

, , , , ( )



rnek: Araba retimi ProblemiBir otomobil firmas spor, sedan ve lks olmak zere 3 tipotomobil retmeyi dnmektedir. Herhangi bir tip otomobilinretiminin ekonomik olarak uygun olmas iin en az 1000 adetretilmesi gerekmektedir. Fabrikann elinde kaynak olarak 6.000

ton elik ve 60.000 saat iilik mevcuttur. Her tip otomobil iingerekli kaynak miktarlar ve elde edilecek karlar aadaki tablodaverilmitir. Fabrikann toplam karn maksimum yapacak tamsaylprogramlama modelini kurunuz.


Araba TipleriKapasite

Spor Sedan Lks

Gerekli elik (ton) 1.5 3 5 6000

Gerekli ilik (saat) 30 25 40 60000

Birim Kr (TL) 2000 3000 4000

18/40


10/20

10



Matematiksel Model

Karar Deikenleri

1 2 3jx j. tip arabadan retilecek miktar j , ,

1 2 3

1 3

1 2 3

1 1

1 1

2 2

2 2

3 3

3 3

1 2 3

1 2 3

2000 3000 4000

1 5 3 5 6000

30 25 40 60000

1000 1

1000 1

1000 1

0

0 1

2

Maks Z x x x

S .T . . x x x elik Kst

x x x ilik Kst

x My

x M y

x My

x M y

x Myx M y

x ,x ,x

y ,y ,y ,

2 2

1 3 1 3

2 000 1

0 0

Optimal Sonu

Z=6.000.000

x . , y

x x , y y

Araba TipleriKapasite

Spor Sedan LksGerekli elik (ton) 1.5 3 5 6000

Gerekli ilik (saat) 30 25 40 60000Birim Kr (TL) 2000 3000 4000

19/40

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Eer-yleyse (If-Then) Kstlar)

Baz modellerde aadaki durumlar ilekarlalabilmektedir.

, , , , kst salanyorsa , , , , kstdasalanmakzorunda

, , , , kst salanmyorsa , , , , kst salansadaolursalanmasada

Bu durumda modelde aadaki deiiklikleri yapmakgerekir.

, , , ,

, , , ,



11/20

11

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Eer-yleyse (If-Then) Kstlar)

rnek: Depo Yer Seimi ProblemiDepo yeri seimi probleminde rnein, eer nc depodanikinci mteriye rn gnderilirse, bir ve nc mterilerebu depodan rn gnderilmesin. Bu durum aada verilenkstlarn modele ilave edilmesi ile salanabilir.


Ek Kstlar

31 33

32 10 1

x x Mw

x M ww ,

2 3

21

22

24

32

33

13620

1

50

5050

20

40

*Z

y y

x

xx

x

x

2 3

21

22

24

31

33

13640

1

30

7050

20

40

*Z

y y w

x

xx

x

x

21/40

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Bir kstn N farkl deerden birisini almas)

Aadaki gsterim, bir kstn sa taraf deerininalabilecei n farkl deeri ifade etmektedir.

, , , , =

Sa taraf deerlerinden sadece bir tanesininkullanlmas durumu, modele eklenecek aadakikstlar ile salanabilir.

, , , , =

=

, = , , ,



12/20

12

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Bir kstn N farkl deerden birisini almas)

rnein, yatrm alternatiflerinin deerlendirilmesi probleminde(sermaye bteleme problemi), firmann yatrmlar iin ayrabileceikaynak miktarnn 14, 18 ya da 23 olacan ve kaynak miktarndaki bufarkllamann firmann yrtt dier yatrmlardan gelebilecekkaynaklar dikkate almas sonucu olduunu varsayalm. Bu durumda sataraf deerlerinin sadece 1 tanesinin kullanlmas iin modele aadakikstlarn ilave edilmesi gerekir.


Matematiksel Model

1 2 3 4

1 3 4 1 2 3

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3

16 22 12 8

5 7 4 3 14 18 23

1

0 1

0 1

2

Maks Z x x x x

S .T . x x x x y y y

y y y

x ,x ,x ,x ,

y , y , y ,

1 2 3 4

3

58

1

1

*Z

x x x x

y

23/40

Dorusallatrma (Linearization)

Modellemede dorusal olmayan fonksiyonlar ile sklklakarlalmaktadr.Bunlardan en yaygn olanlar;

Paral dorusal fonksiyonlar (Piecewise Linear Functions)MaxiMin (En byk olann en kklenmesi) / Minimax(En kk olann

en byklenmesi)Mutlak deerli (Absolute Value) ifadeler

Bu fonksiyonlar dorusal olmad iin dorusal optimizasyonteknikleriile zlemezler.Bu durumda iki yol vardr. Bunlar;

Dorusal olmayan modeller iin gelitirilmi zm yntemlerinikullanmak.Modeli dorusallatrp dorusal optimizasyon tekniklerinden birisi ilezmek.



13/20

13

Dorusallatrma (Ek Karar Deikenleri ve Kstlar)

Dorusallatrma (Linearization)(Paral dorusal fonksiyonlar)

Bilindii gibi paral dorusal fonksiyonlar tam manas iledorusallk artlarn salamad iin bu tr fonksiyonlarnmodellenmesi iin tamsayl deikenlere ihtiyaduyulmaktadr. Genel bir paral dorusal fonksiyon uekildedir.


1

0

1

i

ii

i i i i i

Ek Karar Deikeni

eer paral fonksiyonun i. aral seilirsey

dd

y

AS y x S y

25/40

Orijinal Model

Dorusallatrma (Linearization)(MaxiMin-En byk olann en kklenmesi)

Ama fonksiyonunda baz deerlerin en bynn enkklenmesi gerektii durumlarda karlalmaktadr(rnein Montaj Hatt Dengeleme Problemi).


1 2 nMinZ Max f x , f x , , f x

Kstlar

Ax b

Dorusallatrma (Ek Karar Deikenleri ve Kstlar)

i

Ek Karar De ikeni

C: Ama fonksiyonunun en byk bileeni

MinZ C

Kstlar

Ax b

C f x i , , ...,n1 2

26/40


14/20

14

Orijinal Model

Dorusallatrma (Linearization)(Mutlak deerli (Absolute Value) ifadeler)

Ama fonksiyonunda karardeikenleri arasndakifarkn mutlak deerininbulunduu durumlardakarlalmaktadr (rneinTesis i Yerleim Problemi)


Dorusallatrma (Ek KD ve Kstlar)

ij i j i jMinZ a x x Kstlar

Ax b

27/40

ij i j i j

ij j i j i

ij ij ij i j

i j ij ij

ij ij

Ek Karar Deikenleri

x x x eer x x ise

x x x eer x x ise

MinZ a x x

Kstlar

Ax b

x x x x i , jx ,x i , j

0

0

0

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Gezgin Satc Problemi-Traveling Salesman Problem)

G(N,A) tam bal bir ebeke olsun. Burada, Ndmler kmesi veA ise dmlerarasnda tanmlanan ayrt kmesidir. = , |, .

ebekedeki tm dm iftleri arasnda : , ile tanml ilgili hattn

kullanmndan kaynaklanan bir maliyeti sz konusudur.

GSPde ama, her mteriye bir kez urayarak ve alt turlarn oluumuna izin

vermeyerek tura balanlan noktada son bulan en kk maliyetli kapal dngybulmaktr.



15/20

15

Matematiksel Model

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Gezgin Satc Problemi-Traveling Salesman Problem)


Karar Deikenleri

1

0

:

ij

i

eer i dmnde j dmne gidilirse i, N : i jx

dd

u Alt-tur oluumunu engelleyen yardmc deiken i N

1

1

1 2 3

0

ij ij i,j N

ijj N

iji N

i j ij

i

i

Min Z c x

S.T.

x i N Her D mden Bir k Olacak

x j N Her Dme Bir Giri Olacak

u u N x N i , j , , ..., N : i j Alt-Tur Eleme Kstlaru N i,j N Alt-Tur Eleme Kstlar

u i,j N

0 1ij

aret Kstlar

x , i,j N aret Kstlar

29/40

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Ara Rotalama Problemi-Vehicle Routing Problem)

G(N,A) tam bal bir ebeke olsun. Burada, Ndmler kmesi veA isedmler arasnda tanmlanan ayrt kmesidir. = , |, . Dmkmesinde 0 dm depoyu, = , , , dmleri ise mterileritemsil etmektedir.

ebekedeki tm dm iftleri arasnda : , ile tanml ilgili hattn

kullanmndan kaynaklanan bir maliyeti sz konusudur.ebekedeki tm mteriler iin : ile tanml bir talep sz konusudur.

Depoda hazr bekleyen, homojen zelliklere sahip, Q ile gsterilen birkapasitesi olan Madet ara bulunmaktadr.ARP tanmlanan bu ebeke zerinde aadaki kstlarn salayan en kkmaliyetli rotalarn tespiti problemidir.

Her mteriye kesinlikle bir kez uranmal,

Bir rota depodan balamal ve tekrar depoda son bulmal,

Rota zerindeki mterilerin talepleri toplam ara kapasitesini gememeli



16/20

16





Matematiksel Model:

ij

i

ij ij i , j J

ij Ci N

ij Cj N

i ji N j N

i j

ara i dmnden j dmne geiyorsa i,j Nx

d.d.

u : Alt tur eleme ve kapasite kstlar iin kullanlan geici deiken

MinZ c x

STx j N

x i N

x x M

u u

0 0

1

0

1 1

1 2

3

ij j C

i i C

ij

Qx Q d i , j N ,i j

d u Q i N

x , i , j N

4

5

0 1 6

32/40


17/20

17

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Kutu Paketleme Problemi-Bin Packing Problem)

Herbiri farkl arla sahip Madet parann, kapasitesi Wolan en az sayda kutuya nasl paketleneceinin belirlenmesiproblemidir.


Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Kutu Paketleme Problemi-Bin Packing Problem)


Matematiksel Model:

ik

k

kk K

ikk K

i ij k i M

ik

k

i rn k kutusuna atanrsa i M , k K x

d.d.

k kutusu kullanlrsa k Ky

d.d.

MinZ y

ST

x i M

w x Wy k K

x , i M k K

y , k K

1

0

1

0

1 1

2

0 1 3

0 1 4

34/40


18/20

18

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Montaj Hatt Dengeleme-Assembly Line Balancing)

Aralarnda ncelik ilikisi bulunan ilerin, belirli bir evrimzaman iin en az istasyon saysnn (ya da belirli bir istasyonsays iin evrim zamannn) en kklenmesini salayacakekilde istasyonlara atanmas problemidir.

Gerekli Veriler:N: ler Kmesi

K: stasyonlar Kmesi

: i iinin ilem sresi

: i iinden hemen nce yaplmas gereken iler kmesi





19/20

19



Dorusallatrlm Model:Dorusal Olmayan Model:

1

0

1 1

0 2

0 1 3

jk

k K j jk j N

jkk K

ik jk j k K k K

jk

j ii k istasyonuna

x atanrsa j N k K

d.d.

MinZ Max t X

ST

x j N

kx kx i , j N : i P

x , j N k K

1 1

0 2

3

0 40 1 5

jkk K

ik jk j k K k K

j jkj N

jk

C : evrim zaman

MinZ C

ST

x j N

kx kx i , j N : i P

t x C k K

Cx , j N k K

37/40

Tms. Prg. Problemlerinin Modellenmesi(Konkav Maliyetli Ulatrma Problemi)


Konkav MaliyetliUlatrma Problemi(Concave CostTransportation Problem):

Bu problemde, klasik ulatrmaprobleminden farkl olarak skalaekonomisi (scale economy)kavram dikkate alnmaktadr.Skala ekonomisinde tananrn miktar arttka birimtama maliyeti dmektedir.Birka rnei aadaki gibidir.Klasik ulatrma problemindenfarkl olarak birim tamamaliyeti tanan miktara balolarak deimektedir.

38/40


20/20


rnek:3 depodan 4 mteriye rn datm planlamaktadr.Depo kapasiteleri, bu yerlerden mterilere tama miktarna balolarak birim tama maliyetleri ve mterilerin talepleri aadakitabloda verilmitir.Firma yneticisi, talebi karlamak zere, hangi depodan hangimteriye ne kadar tama yaplmas gerektiini bilmek istemektedir.


Depolar(M)

Mteriler (N) DepoKapasitesi

1 2 3 4

1 20(4), 50(3), 80(2) 20(5), 50(4), 80(3) 20(4), 50(3), 80(2) 20(3), 50(2.5), 80(2) 80

2 20(2), 40(1.5), 70(1) 20(2), 40(1.5), 70(1) 20(3), 40(2.5), 70(2) 20(1), 40(0.8), 70(0.6) 70

3 20(2), 40(1.5), 60(1) 20(2), 40(1.5), 70(1) 20(2), 40(1.5), 60(1) 20(3), 40(2.5), 60(2) 60

Talep 50 70 40 50

39/40




Karar Deikenleri

1

0

ijk

ijk

x i deposundan j mterisinde k aralktan gnderilecek rn miktar i I j J k K

i deposundan j mterisinde k aralktan rn gnderilecekse i I j J k Ky

dd

1

ijk ijk i I j J k K

ijk j i I k K

ijk ij J k K

ijkk K

ijk ijk ijk

Min Z c x S.T.


x s i I Arz Kstlar

y i I , j J Sadece bir aralk seilebilir

x AS y i I , j J , k K Miktar seilen alt snrdan b

0

0 1

ijk ijk ijk

ijk

ijk

yk olmal

x S y i I , j J , k K Miktar seilen st snrdan byk olmal

x i I , j J , k K aret Kstlar

y , i I , j J , k K aret Kstlar

40/40

Documents

1-Tamsayılı Optimizasyon (Modelleme)(2Sunu)