1 to hop

Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp

237

CHƯƠNG III. TỔ HỢP, XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC

BÀI 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ CÔNG THỨC TỔ HỢP, CHỈNH HỢP

I. DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC knC BẰNG ĐẠO HÀM

1. Các bài tập mẫu minh họa:

Bài 1. Chứng minh rằng: −1 2 n n 1n n nC + 2C + ...+ n.C = n2

Giải

Xét: (1 + x)n = o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n

n n n n n nC C x C x C x ... C x C x− −+ + ⋅ + ⋅ + + +

Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: ( )n 1 1 2 3 2 n n 1

n n n nn 1 x C 2C x 3C x nC x− −

+ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅…

Thế x = 1 vào đẳng thức trên ta có: 1 2 n n 1n n nC 2C ... n.C n2 −

+ + + =

Bài 2. Chứng minh rằng: −− −

2 3 n n 2n n n2.1.C + 3.2.C + ...+ n(n 1)C = n(n 1)2

Giải

Xét: ( )1n

x+ = o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n nn n n n n nC C x C x C x ... C x C x

− −+ + ⋅ + ⋅ + + +

Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: ( )n 1 1 2 3 2 n n 1

n n n nn 1 x C 2C x 3C x nC x− −

+ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅…

Lại lấy đạo hàm ta có: ( ) ( )n 2 2 3 n n 2

n n nn n 1 1 x 2C 3.2.C .x n(n 1)C .x− −

− + = + + + −…

Thế x = 1 vào đẳng thức trên ta có: 2 3 n n 2n n n2.1.C 3.2.C ... n(n 1)C n(n 1)2 −

+ + + − = −

Bài 3. (Đề thi TSĐH khối A −−−− 2005): Giải phương trình:

( )− −1 2 2 3 3 4 2n 2n+12n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1C 2.2C + 3.2 C 4.2 C + ...+ 2n + 1 2 C = 2005

Giải

Xét ( )2 1 0 1 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 ... ...n k k n n

n n n n nx C C x C x C x C x+ + +

+ + + + ++ = + + + + + +

Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có:

( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 12 1 1 2 ... ... 2 1n k k n n

n n n nn x C C x kC x n C x− +

+ + + ++ + = + + + + + +

Thay x = −2 vào đẳng thức ta có:

( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 12 1 2.2 ... 2 ... 2 2 1k nk n

n n n nn C C kC n C− +

+ + + ++ = − + + − + + − +

Phương trình đã cho ⇔ 2n + 1 = 2005 ⇔ n = 1002

Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức −−−− Trần Phương

238

Bài 4. Giải phương trình:

( ) ( ) ( )−− − − − −

k2 3 k 2 k 2n-1 2n+12n+1 2n+1 2n+1 2n+12C 3.2C + ...+ 1 k k 1 2 C + ... 2n 2n + 1 2 C = 110

Giải

Xét ( ) ( )2 1 0 1 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 ... 1 ...n k k k n n

n n n n nx C C x C x C x C x+ + +

+ + + + +− = − + − + − + −

Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có:

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 12 1 1 2 ... 1 ... 2 1n k k k n n

n n n nn x C C x kC x n C x− +

+ + + +− + − = − + − + − + − +

Lại lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: ( ) ( )2 1

2 2 1 1n

n n x−

+ − =

( ) ( ) ( )2 3 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 12 3 ... 1 1 ... 2 2 1

k k k n nn n n nC C x k k C x n n C x

− + −

+ + + += − + + − − + − +

Thay x = 2 vào đẳng thức ta có: ( )2 2 1n n− + =

( ) ( ) ( )2 3 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 12 3.2 ... 1 1 2 ... 2 2 1 2

k k k n nn n n nC C k k C n n C

− − +

+ + + += − + + − − + − +

Phương trình đã cho ⇔ ( ) 22 2 1 110 2 55 0 5n n n n n+ = ⇔ + − = ⇔ =

2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

Bài 1. Chứng minh rằng: 0 1 23 5 ... (2 1) ( 1)2n nn n n nC C C n C n+ + + + + = +

Bài 2. Chứng minh rằng: 1 1 2 2 3 3 12 2.2 3.2 ... . .3n n n n nn n n nC C C n C n

− − − −+ + + + =

Bài 3. Chứng minh rằng: 1 2 3 4 12 3 4 ... ( 1) . 0n nn n n n nC C C C n C

−− + − + + − =

Bài 4. Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 1 1 1 2 14 1 4 2 4 ... 1 2.2 .. .2nn n n n n n

n n n n n n nn C n C n C C C C n C− − − − −

− − + − − + − = + + +

Bài 5. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )( )

( )[ ]

2 2 21 2

2

2 1 !2

1 !

nn n n

nC C n C

n

−+ + … + =

−

∀n ≥ 2

Bài 6. Chứng minh rằng: ( ) ( )

( )

( )

2 3

2 3

2 11

1 1 1

nn n n

n

C C n C

n n n

−+ + + =

− − −… ∀n ≥ 2

Bài 7. Chứng minh rằng: ( )11

1

tg 1 tgn

nk kn

k

kC x n x−−

=

= +∑ ∀n ≥ 2

Bài 8. Chứng minh rằng: ( )1 2 2 2 3 2 22 3 ... 1 2n n

n n n nC C C n C n n

−+ + + + = +

Bài 9. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )11 2 11 2 ... 1 0

nn n n

n n n nnC n C n C C

−− −− − + − − + − =

Bài 10. CMR: ( ) ( ) ( )1 20 1 1 2 1 11 2 1 2 .2 ... 1 2 ... 2

n n n k k k n n

n n n nC C kC nC n

− − − − −− + − − + − + + =


239

II. DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC knC BẰNG TÍCH PHÂN

1. Các bài tập mẫu minh họa:

Bài 1. Chứng minh rằng: −

n+11 2 nn n n

2 11 1 11 + C + C + ...+ C =

2 3 n + 1 n + 1

Giải

Xét (1 + x)n = o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n

n n n n n nC C x C x C x ... C x C x− −

+ + ⋅ + ⋅ + + +

Ta có: ( )( )

n 11 n 11n

00

1 x 2 11 x dx

n 1 n 1

+++ −

+ = =+ +∫

Mặt khác: ( )1

o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n nn n n n n n

0

C C x C x C x ... C x C x dx− −+ + ⋅ + ⋅ + + + =∫

Bài 2. Chứng minh rằng: −

−

n+11 2 nn n n

( 1)1 1 nC C + ...+ C =

2 3 n + 1 n + 1

Giải

Ta có : (1 − x)n = 0 1 2 2 n n n

n n n nC C x C x ... ( 1) C x− + + + −

⇒

2 2 n 1n 0 1 n n n 1 2 n

n n n n n n

0 0

( 1)1 1(1 x) dx C C x ... ( 1) C x dx C C ... C

2 3 n 1

+−

− = − + + − = − + + +∫ ∫

Mặt khác

12 n 1n

0 0

(1 x) 1(1 x) dx

n 1 n 1

=−

− = =+ +∫ ⇒ (đpcm)

Bài 3. Chứng minh rằng:( )

−n+1

0 1 2 nn n n n

1 1 1 1 2 1C + C + C + …+ C =

3 6 3 3n + 3 3 n + 1

Giải

Xét P(x) = ( ) ( )n

2 3 2 0 1 3 2 6 n 3nn n n nx 1 x x C C x C x C x+ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅…

Ta có:

( ) ( ) ( )1 1 1

n n2 3 3 3

0 0 0

1P(x)dx x 1 x dx 1 x d 1 x

3= + = + +∫ ∫ ∫

( )

( )

n 13 n 11 1 x 2 1

3 n 1 3 n 1

++

+ −= =

+ +


240

Mặt khác: ( )1 1

0 2 1 5 n 3n 2n n n

0 0

P(x) dx C x C x C x dx+= ⋅ + ⋅ + + ⋅∫ ∫ …

=

=

10 3 1 6 n 3n 3n n n

0

C x C x C x

3 6 3n 3

+ ⋅ ⋅ ⋅+ + +

+ … 0 1 2 n

n n n n

1 1 1 1C C C C

3 6 3 3n 3= + + + +

+…

Vậy ( )

n 10 1 2 nn n n n

1 1 1 1 2 1C C C C

3 6 3 3n 3 3 n 1

+−

+ + + + =+ +

…

2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

Bài 1. Chứng minh rằng: n

1 2 n nn n

C1 1 11 C C ... ( 1)

2 3 n 1 n 1− + − + − =

+ +

Bài 2. Chứng minh rằng: n

0 1 2 nn n n n

( 1)1 1 1 1C C C ... C

2 4 6 n 2 2(n 1)

−− + − + =

+ +

Bài 3. Chứng minh rằng:

n n0 2 1 3 2 n 1 nn n n n

( 1) 1 ( 1)1 12C 2 C 2 C ... 2 C

2 3 n 1 n 1

+− + −− ⋅ + ⋅ − + ⋅ =

+ +

Bài 4. Chứng minh rằng: n 1

0 2 1 3 2 n 1 nn n n n

3 11 1 12C 2 C 2 C ... 2 C

2 3 n 1 n 1

++ −

+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ =+ +

Bài 5. Chứng minh rằng: ( )( )

( )0 1 2 3 2 !!1 1 1 1... 1

3 5 7 2 1 2 1 !!

n n

n n n n n

nC C C C C

n n− + − + + − =

+ +

Bài 6. Chứng minh rằng: ( )

n 1 n nn 1k k k 1n n

k 0 k 0

1 e 1 2 1C C e

n 1 k 1 n 1 k 1

+ ++

= =

++ = +

+ + + +∑ ∑

Bài 7. Chứng minh rằng: ( )0 1 2 11 1 1...

2 3 1 1

nn

n n n nC C C C

n n

−− + − + =

+ +

Bài 8. Chứng minh rằng: ( )1 2 33 7 ... 2 1 3 2n n n n

n n n nC C C C+ + + + − = −

Bài 9. Chứng minh rằng: ( ) ( )

k kn n 2n 2 n 1n n

k 1 n 1k 0 k 0

C C 2 3

k 1 k 1 2 n 1 2

+ +

+ += =

−− =

+ + +∑ ∑

Bài 10. Đặt Sn = 1 1 1

12 3 n

+ + + +… . Chứng minh rằng:

( )( )

n 1

n 11 2 n 1n n n 1 n n 2 n 1

1S C S C S 1 C S

n

−

− −

− −

−− + − + − =…

Bài 11. Chứng minh: ( )n 11 2 3 n

n n n n

1 1 1 1 1 1C C C 1 C 1

1 2 3 n 2 n

−⋅ − ⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ = + + +… …


241

III. DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC knC BẰNG ĐỊNH NGHĨA

1

1

k k

n n

nC Ck

−

−= ( k n< ) ; ( ) 11m m

n m n mnC m C

+

+ += + ; m k k m k

n m n n kC C C C

−

−⋅ = ⋅ (k ≤ m ≤ n) ;

( )2 3

1

1 2 1 1

12 3 ... ...

2

p n

n n n n

n p n

n n n n

C C C C n nC p n

C C C C− −

++ + + + + + = ;

( ) ( )1

11 2 3

10

2 3 ... 1 1n

n kn k

n n n n n

k

C C C nC n C−

−

−

=

− + − + − = −∑ ; 1 1

2 2 2 2

12

n n n

n n nC C C

− +

++ = ;

0 1 2

1 2 3 1 1

2 3 4 2 2 2

1... ...

2

k n

n n n n n

k n

n n n n k n

C C C C C

C C C C C+ +

+ + + + + +

+ + + + + + = ; 1 1 1

22m m m m

n n n nC C C C

+ − +

++ + = ;

IV. DẠNG 4: CHỨNG MINH BẰNG CÔNG THỨC 1

1 1;− −

− −= + =

k n k k k k

n n n n nC C C C C

1

1 2 1 1...k k k k k k

n n n k k nC C C C C C

+

− − + ++ + + + + = ; 1 2 3

33 3k k k k k

n n n n nC C C C C

− − −

++ + + =

1 2 3 2 3

2 32 5 4k k k k k k

n n n n n nC C C C C C

+ + + + +

+ ++ + + = + ;

10

mk m

n k n m

k

C C+ + +

=

=∑

1 2 3 4

44 6 4k k k k k k


− − − −

++ + + + =

V. DẠNG 5: CHỨNG MINH BẰNG KHAI TRIỂN NEWTON

0 1 ... 2n n

n n nC C C+ + + = ; 1 3 2 1 0 2 2 2 1

2 2 2 2 2 2... ... 2n n n


− −+ + + = + + + =

0 1 1 13 3 ... 3 4n n n n n

n n n nC C C C

− −+ + + + = ; 0 1 2 2 3 36 6 6 ... 6 7n n n

n n n n nC C C C C+ + + + + =

( )0 1 2 3 ... 1 0n n

n n n n nC C C C C− + − + + − = ; 0 1 1 2 2 3 1 1

2 2 .2 2 .3 ... 2 . .3n n n

n n n nC C C nC n

− −+ + + + =

0 2 2 1 3 2 1... ... ... ...k k


++ + + + = + + + +

0 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 2

2 2 2 2 2 210 10 10 ... 10 10 81n n n n n


− −− + − + − + =

( ) ( )0 1 1 2 22 2 2 ... 1 2 ... 1 1k nn n n n k k n

n n n n nC C C C C

− − −− + − + − + + − =

( )0 1 1 2 2 0 1 2 24 4 4 ... 1 2 2 .. 2nn n n n n n

n n n n n n n nC C C C C C C C

− −− + − + − = + + + +

0 2 1 3 2 112 2 2 2 3 1...

1 2 3 1 1

n nn

n n n nC C C C

n n

++

−+ + + + =

+ +

( )0 2 2 4 4 2 2 2 1 2

2 2 2 23 3 ... 3 2 2 1n n n n

n n n nC C C C

−+ + + + = +

( )0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2001

2001 2001 2001 20013 3 ... 3 2 2 1C C C C+ + + + = −


242

VI. DẠNG 6: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH ĐỒNG NHẤT HỆ SỐ THEO 2 CÁCH KHAI TRIỂN

0 1 1 1 1 0. . ... . .k k k k k

n m n m n m n m m nC C C C C C C C C

− −

++ + + + =

0 1 1

2. . ... .k k n k n n k

n n n n n n nC C C C C C C

+ − ++ + + =

( ) ( ) ( )2 2 2

0 1

2...

n n

n n n nC C C C+ + + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 1 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1... 0

n

n n n nC C C C

+

+ + + +− + − − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 1 2 2

2 2 2 2 2... 1

nn n

n n n n nC C C C C− + − + = −

VII. DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BPT CHỨA ; ;k k

n n nA C P

1. Giải các phương trình sau đây:

3 2

220

n nC C= ;

4

3 4

1

2423

n

n

n n

A

A C−

+

=−

; 3

5

5

720n

n n

P

A P

+

−

= ; 1 3

172 72

n nA A

+− = ;

1 2 3 26 6 9 14n n n

C C C n n+ + = − ; ( )2 272 6 2n n n n

P A A P+ = + ;

5 6 7

5 2 14n n n

C C C− = ;

4 3 2

1 1 2

5 04n n n

C C A− − −

− − = ; 1 1

1 1 1: : 5 :5 :3m m m

n n nC C C

+ −

+ + += ; 3 2 14n

n nA C n

−+ = ;

3 3

8 65n

n nC A

+

+ += ; 1

2 2 235 132n n

n nC C

−

−= ;

4 5 6

1 1 1n n n

C C C− = ;

( )2 4 4 2

1 14 1n n

n n nn C xC x C

− −

− −+ = + ; 1 1

2 2 13 2n n

n nC C

− −

+= ; 3 2 114 n

n n nA C C

−+ =

2. Giải các bất phương trình sau đây:

( )

4

4 42

2 !

n

n

A

Pn

+ ≤+

; ( )

4

4 14342 !

n

n

A

Pn

+ ≤+

;

2

1

2

1

2

n

n

n

n

AP

C

−

+

−

≥ ;

3

3

1

195 04

n

n n

A

P P+

+

− > ;

4

4

2

143 04

n

n n

A

P P+

+

− > ;

2 2 3

2

61 102 n n n

A A Cx

− ≤ + ; 11

13 13

n mC C

−≥ ;

4 3 2

1 1 2

5 04n n n

C C A− − −

− − = ; 1 1

112 162

n nC C

−

++ ≥ ;

1 3

172 72

n nA A

+− ≤ ; 2 2

12 3 30

n nC A

++ < ; 3 1

1 1100 n

n nC C

−

+ +≥ +

3. Giải các hệ phương trình sau đây:

2 5 90

5 2 80

y y

x x

y y

x x

A C

A C

+ = − =

;

( ) ( )

( )

221 1 1 1

31 1

2 3

2 1

x y x y

x y x y

x y

x y

C C A C

C A

− − − −

− −

+ =

= +

;

( )( ) ( )

1 1

1 1

32

3 2

1 1

6 1432 1

x y

x y x y

x y

y

yx

x

C AC A

Cx C

y y

− −

− −

−

−

− = −

= + +− −

Documents

1 to hop