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FÍSICA V E C T O R E S

Reynaldo Pizarro T. pág.

Cap.1

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2.2.1 MAGIT!"

2.2 MAGIT!"ES ESCA#ARES

$ VECTORIA#ES

2.2.2. MAGIT!"ES ESCA#ARES

En los últimos años, el conocimiento más

profundo de la ciencia y el progreso de la

tecnología se basa en principios ya

establecidos y de preferencia de métodos

analíticos, tales como el análisis vectorial.

Requisito indispensable para ingenieros,

matemáticos, físicos y otros científicos;

porque no slo proporciona un método

conciso para anali!ar matemáticamente los

fenmenos físicos y geométricos, sino que

también ayuda a desarrollar la

comprensin intuitiva de dic"os

fenmenos.

#e presenta el concepto de una fuer!aconcentrada y se dan procedimientos parasumar fuer!as, resolverlas en suscomponentes y proyectarlas a lo largo deun e$e.

%ado que la fuer!a es una cantidadvectorial, al considerar fuer!as debemosutili!ar las reglas del álgebra vectorial.

#i una persona nos dice queestá $alando un animal con

una fuer!a de &'( )e*ton, la informacinno es completa.

+uesto que se debeindicar "acia dndeestá dirigida dic"afuer!a, si es "acia

arriba, aba$o, "aciael lado i!quierdo o siforma algún ángulo.

a mayor parte de las cantidades físicas

de la mecánica pueden e-presarsematemáticamente por medio demagnitudes escalares y magnitudesvectoriales.

Es todo aquello que es susceptible a sermedido.

#on aquellas magnitudes físicas que paraestar bien definidas solamente necesitande un n%&ero positivo o negativo/ y una'nidad física, es decir basta conocer suvalor o mdulo.

Cara()er*+)i(a+,

#u valor no depende del sistema de

referencia en el cual se "a medido.

#e pueden sumar o restar en forma

aritmética.

A+*, -g /g 0 g 11g

34 C /34 C 1134 C

2. A5#ISIS VECTORIA#2. A5#ISIS VECTORIA#

2.1 ITRO"!CCI62.1 ITRO"!CCI6

E7e&plo0

,as reglas de

operacin con

escalares son

idénticas a la del

álgebra elemental.

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2.2. MAGIT!"ES VECTORIA#ES

2.8 REPRESETACI6 GR5FICA

DE UN VECTOR2.8.1 Median)e 'n +eg&en)o dirigido#on aquellas magnitudes físicas queademás de tener un 1valor2 necesitan de

una dire((i9n y 'n +en)ido para quedarbien definidas.

Cara()er*+)i(a+,%ependen del sistema de referencia

respecto al cual se "a medido.

En general, no se suman ni se restan

aritméticamente. 3sí0

En muc"os casos resulta útil representargráficamente las magnitudes vectorialesmediante vectores, para ello se toma una1e+(ala2 es decir, una equivalencia entreun valor y una unidad de longi)'d; tomandoen cuenta la dire((i9n y +en)ido

4na 1e+(ala2 es la equivalencia entre unvalor y una unidad de longitud.

#ea V el vector velocidad

cuya direccin es 5(6ubicado en el plano/ y la intensidad o

mdulo/ igual a 7&( 8m9".

Sol'(i9n0 Reali!amos una equivalenciaentre unidad de velocidad y una unidad delongitud. Estas equivalencias pueden variarde acuerdo a las convenciones del caso.

En este e$emplo consideramos que0

53 :&;< 1 (&Entonces representamos los 123 :&;<por 8 (&

:elocidad (8m9" "acia elsur/

3celeracin < m9s& "acia el

norte/

=uer!a 7(( )e*ton a >(6/

?ntensidad de campo

eléctrico '( )9@ sobre el

e$e -/

%espla!amiento '( 8m

desde el punto de partida/

@antidad de movimiento &'8g m9s/, etc.

4n =e()or es un segmento orientado a lolargo de una línea recta de accin, que sirvepara representar las magnitudes vectoriales,

mediante una punta de flec"a colocada en uno

de sus e-tremos.

2. COCEPTO

E7e&plo0

4na parte de la matemática tiene por

finalidad estudiar a entes imaginarios,llamados vectores y anali!ar las diferentesoperaciones que con ellos se efectúan.

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2.8.2 Median)e +*&>olo+ apropiado+

2.? E#EMETOS "E ! VECTOR

2.?.1 "IRECCI6

?. Represente los siguientes vectores a

escala 5( :&;< 1 (&a/ A( 8m9" a >(B

b/ 7'( 8m9" a 7&(6

c/ 7&( 8m9" a 7(6

Ceneralmente para reali!ar operacionesmatemáticas entre vectores, resultaconveniente utili!ar una notacin simple, elcual consiste en representar al vectormediante un +*&>olo, 'na o do+ le)ra+ conuna pequeña barra o flec"a encima de lamisma.

El vector de la

figurarepresentadapor el símbolo

PQ @ indica quela primera letraindica el origen del vector y la segunda lafinali!acin de éste.

3demás la &agni)'d o &9d'lo del vector PQ , es un escalar, que nunca es negativo

y se denota por PQ .

V AA C T I V I " A " E S

@on fines didácticos los vectores serepresentarán con una letra delabecedario mayúscula o minúscula/ parasu fácil aplicacin en la resolucin deproblemas.

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2.?.2 SETI"O

2.?. M6"!#O O MAGIT!"

Está representado gráficamente por larecta que contiene al vector. +ara finesprácticos se define como el áng'lo que

"ace dic"o vector con una o más rectas dereferencia, según sea el caso, en el plano oen el e+pa(io.

"ire((i9n en el plano, #e define como elángulo que "ace la recta con el e$e 1D2positivo, medido en sentido anti"orario, apartir del e$e 1D2 positivo. 3sí0

"ire((i9n en el e+pa(io, #e define comoel ángulo que "ace la recta con un plano"ori!ontal. ambién se define como losángulos que dic"a recta "ace con los e$es1D, F, G2.

Es el elemento que indica laorien)a(i9n de un vector.Cráficamente está dado por lacabe!a o p'n)a de le(

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2.?.8 P!TO "E AP#ICACIO

Está dado por el origen del vector.

4n automvil sedespla!a a unavelocidad de H( 8m9"en forma "ori!ontal

de derec"a ai!quierda. %eterminael &9d'lo, la dire((i9n y +en)ido delautomvil.

• M9d'lo 0 H( 8m9"•

"ire((i9n 0 "ori!ontal 7(6/• Sen)ido 0 de derec"a a i!quierda

I. Co&ple)e (on la+ pala>ra+ y;on%&ero+ (orre+pondien)e+ para (ada(a+o,

7. #i un ciclista avan!a al norte significa

que se dirige aIIIIIIIIIIIII

grados.&. 4n auto reali!a un giro "acia el #ur

Jeste significa que está aIIIIII..

IIIIgrados.

5. 4n atleta avan!a "acia el Este, luegogira "acia )oroeste, entonces estáaIIIIII..IIIIgrados.

II. Co&ple)e la +ig'ien)e )a>la,

III.Medir el &9d'lo@ dire((i9n y +en)idode lo+ +ig'ien)e+ =e()ore+,

a. A K

• M9d'lo 0• "ire((i9n 0• Sen)ido 0

b. A K


c. A K

• M9d'lo 0• "ire((i9n0• Sen)ido0

d. A K


E7e&plo0

5>(6

O

7(6

A(6 N

&H(6 S

75'6

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2.- TIPOS "E VECTORES

2.-.1 VECTORES PERPE"IC!#ARES

2.-.2 VECTORES PARA#E#OS

2.-. VECTORES COP#AARES

2.-.8 VECTORES CO#IEA#ES

2.-.? VECTORES COC!RRETES

2.-.- VECTORES IG!A#ES

2.-. VECTOR OP!ESTO

E7e&plo0

@on fines didácticos mencionaremos lossiguientes0

#on aquellos vectores que forman entresi un ángulo de A(6.

%os o más vectores se dicen que sonparalelos, cuando poseen la mismadireccin, sin importar el sentido, mduloo locali!acin en el espacio.

#on aquellos vectores que estáncontenidos en un mismo plano.

A C B

#on aquellos vectores que se encuentransobre la misma línea de accin.

B C A

#on aquellos vectores cuyas líneas deaccin, se cortan en un solo punto.

A

B

C

#on aquellos vectores que tienen la misma

intensidad, direccin y sentido.

C

D C K D

#e denomina vector opuesto L B / de un

vector B cuando tiene el mismo mdulo,

la misma direccin pero diferentesentido.

B

L B es decir0 B K L B

E7e&plo0

E7e&plo0

E7e&plo0

E7e&plo0

E7e&plo0

A

B

A

B B A

E7e&plo0

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2.-./ VECTORES #IRES

2.-.H VECTORES POSICIO

F

D

G

K vector posicin

#on aquellos vectores que se pueden

despla!ar libremente a lo largo de susdirecciones o "acia rectas paralelas sinsufrir modificaciones. En general, estetipo de vectores son los que se utili!aranen el presente mdulo.

B

B

B B

%enominados también 1vectores fi$os2.#on aquellos vectores que fi$an laposicin de un cuerpo o representan unafuer!a. Estos vectores se caracteri!anporque tiene su origen fi$o.

J

I. ITEM "E COMP#EMETACIO7. Mediante un dibu$o indique N@uáles son

las partes que podemos distinguir enun vectorO

&. N@uándo se considera que son igualesdos vectoresOIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

I

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

I


I


I

5. N@uántos sentidos pueden e-istir enuna direccin dadaO


I


I


I


I

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2.. M!#TIP#ICACI6 "E ! VECTORPOR ! ESCA#AR JO KMEROL

• M9d'lo 0IIIIIIIIIIIIIIIIII

• "ire((i9n 0IIIIIIIIIIIIIIIIII

• Sen)ido 0

IIIIIIIIIIIIIIIIII

D K

• M9d'lo 0IIIIIIIIIIIIIIIIII

• "ire((i9n 0IIIIIIIIIIIIIIIIII

• Sen)ido 0IIIIIIIIIIIIIIIIII

E K

• M9d'lo 0

IIIIIIIIIIIIIIIIII• "ire((i9n 0

IIIIIIIIIIIIIIIIII

• Sen)ido 0IIIIIIIIIIIIIIIIII

&. En la siguiente gráfica NPué tipo devectores se puede apreciarO

#on vectores0IIIIIIIIIIIIIIIIIII

#on vectores0IIIIIIIIIIIIIIIIIII

El producto del vector A por un número

real &N es otro vector paralelo 1& A

1cuyo mdulo es &N veces el mdulo de A .

endrá el mismo sentido que A si &N espositivo &3/ y sentido opuesto si &Nes negativo &3/.

4

A

2

6

-4

-3

E7e&plo0

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Re+'el=e en )' ('aderno...

En general, si dos vectores A y B son

paralelos, se cumple0

%onde & es un número real.

I. ColoQ'e la+ eQ'i=alen(ia+ re+pe()i=a+@en (ada (a+o,

1. Representa los siguientes vectores enun plano cartesiano a e+(ala, 1(&13&, utili!ando el transportador y reglasrespectivas, a partir del e$e D positivo.

2. 4n "ombre aplica una fuer!a de &(( ) y una direccin de >(Q. %ibu$ar aescala0 7cm K &( )/

=uer!a KIIIIIIIIII

%ireccin / KIIIIIIIIII

40 56º

50 180º

30 220º

45 295º

A km a

B km a

C km a

D km a

=

=

=

=

v

v

A

A C T I V I " A " E S

A

PROPIE"A"ES "E# PRO"!CTO PORESCA#ARES

"i+)ri>')i=i)a, & n/ K & n

&/ K & &A+o(ia)i=a, &Jn/ K & n/M'l)ipli(a(i9n de &1 por 7KProd'()o de & 01 por L7K LM'l)ipli(a(i9n de 'n e+(alar &3 por3 3

E7e&plo0

< unidades & unidades

L&

unidades

A mB=

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5. Escribe cada vector de la figura con surespectiva direccin.

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