1. задатак...W A ' (9) 1 nn nnB BB B QQ W A ' (10) 1 n nnCB CC C Q W A ' (11) n1 Q M (12) 2. Једначине одржања енергије за цеви: 11 1) nn n AM

Текст припремљен на Грађевинском факултету Универзитета у Београду – Катедра за

хидротехнику и водно-еколошко инжењерство – кабинет за хидраулику

1

HIDRAULIKA 2 vežbe

1. задатак

Скица система са коришћеним ознакама:

Слика 1. Схематски приказ система са усвојеним позитивним смеровима струјања.

Математички модел:

1. Једначине одржања масе за чворове:

A AM

A

dП Q

dt A= − (1)

BM CBB

B

Q QdП

dt A

−= − (2)

Vežba Zadaci za vežbu iz oblasti tečenje u cevima pod pritiskom



2

C CB

C

dП Q

dt A= − (3)

nas AM BMQ Q Q= + (4)

2. Једначине одржања енергије за цеви:

sgn( )A M

AM A M

AM

П ПQ П П

R

−= − (5)

sgn( )B M

BM B M

BM

П ПQ П П

R

−= − (6)

sgn( )C B

CB C B

CB

П ПQ П П

R

−= − (7)

3. Једначина за прорачун пијезометарске коте манометра:

M

M M

pП Z

g= + (8)

Нумерички модел:

1. Једначине одржања масе за чворове:

1n

n n AMA A

A

QП П t

A

+ = − (9)

1n n

n n BM CBB B

B

Q QП П t

A

+ −= − (10)

1n

n n CBC C

C

QП П t

A

+ = − (11)

1 1 1n n n

nas AM BMQ Q Q+ + += + (12)

2. Једначине одржања енергије за цеви:

1 1

1 1 1sgn( )

n n

A Mn n n

AM A M

AM

П ПQ П П

R

+ +

+ + +−

= − (13)

1 1

1 1 1sgn( )

n n

B Mn n n

BM B M

BM

П ПQ П П

R

+ +

+ + +−

= − (14)



3

1 1

1 1 1sgn( )

n n

C Bn n n

CB C B

CB

П ПQ П П

R

+ +

+ + +−

= − (15)

3. Једначина за прорачун пијезометарске коте манометра:

1

1 1n

n n MM M

pП Z

g

++ += + (16)

Почетни услови:

0 0 0 20 mA B CП П П= = =

0

0 19.6 mMM

pП

g= =

0 30.0111 m /sAMQ =

0 30.0157 m /sBMQ =

0 30 m /sCBQ =

Прорачун неустаљеног течења:

Табела 1. Резултати прорачуна неустаљеног течења у систему под притиском

n t ПА ПB ПC ПM QAM QBM QCB Qnas

[min] [m] [m] [m] [m] [m3/s] [m3/s] [m3/s] [m3/s]

0 0 20 20 20 19.6 0.0111 0.0157 0 0.0269

1 2 19.99 19.99 20 19.5 0.0122 0.0174 0.0022 0.0297

2 4 19.97 19.98 19.98 19.2 0.0154 0.0220 0.00102 0.0375

3 6 19.95 19.97 19.98 19.3 0.0141 0.0203 0.0019 0.0345



4

2. задатак

Скица са ознакама коришћеним у задатку:

Слика 2. Схематски приказ система са означеним позитивним смеровима струјања.

Математички модел:

1. Једначине одржања масе за резервоаре:

g d g dP

P P

Q Q Q QdП

dt A A

− − += − = (1)

const.JП = (2)

2. Динамичке једначине за цеви:

( ) ,

3

2g g g ef

J P g g

g g

dQ gAП П Q Q

dt L D

= − − (3)

( ) ,

3

2 d efd dJ P d d

d d

dQ gAП П Q Q

dt L D

= − − (4)



5


1

n n

g dn n

P P

P

Q QП П t

A

++

= + (5)

1 12.5 m const.n

JП+ = = (6)

Почетни услови:

0 10 mPП =

0 0 30 m /sg dQ Q= =

Прорачун временског корака:

- Период осциловања без трења: 435 sT

- Временски корак: 10.9 s.40

Tt Усвојено је 10 s.t =

Резултати прорачуна:

Табела 1. Прорачун промене нивоа воде у резервоару Р.

n t ПЈ ПР Qg Qd

[-] [s] [m] [m] [m3/s] [m3/s]

0 0 12.5 10.00 0.0000 0.0000

1 10 12.5 10.00 0.0064 0.0144

2 20 12.5 10.05 0.0118 0.0275

3 30 12.5 10.15 0.0146 0.0369

4 40 12.5 10.28 0.0154 0.0421

Слика 3. Промена пијезометарских кота.



6

Слика 4. Промена протока у горњој и доњој цеви.

3. задатак



7

Скица са ознакама коришћеним у задатку

Слика 5. Схематски приказ система са означеним позитивним смеровима струјања.


- Неустаљено течење:

- Пресек 1 (не користи се у прорачуну):

1

1

n

AП П+ =

- Пресек 2:

2 3 3 3 3

n n n nCM П BQ MQ Q= − +

1

2 0nQ + = (гранични услов = потпуно затворен затварач)

1

2 2

nП CM+ =

- Пресек 3:

3 2 2 2 2

n n n nCP П BQ MQ Q= + −

3 2 2 2 2

n n n nCM П BQ MQ Q= − +

1 3 33

2

n CP CMП + +

=

11 3 3

3

nn CP П

QB

++ −=

- Пресек 4:

1

4 105 mn

BП П+ = =

1 1 1 1

4 3 3 3 3

n n n nCP П BQ MQ Q+ + + += + −



8

11 4 4

4

nn CP П

QB

++ −=

- Устаљено течење (почетни услов):

2 2 2

12 2 2

A B

v L v vП П

g D g g = + + +

2

ust0.0237 m 3.65 m/s 21.4 L/s2

vv Q

g= = =

1,ust 2,ust 3,ust109.08 m, 107.04 m, 105 m.П П П= = =

Резултати прорачуна неустаљеног течења:

Табела 1. Резултати прорачуна неустаљеног течења

Presek 2 Presek 3 Presek 4

n t П2 Q2 CM2 П3 Q3 CP3 CM3 П4 Q4 CP4

[-]

[s] [m] [m3/s] [m] [m] [m3/s] [m] [m] [m] [m3/s] [m]

0 0.00 109.08 0.0214

107.04 0.0214 105.00

0.0214

1 0.75 37.58 0.0 37.58 107.04 0.0220 178.55 35.53 105.0

0 0.0220

176.51

2 1.50 35.53 0.0 35.53 35.53 0.0006 37.58 33.49 105.0

0 0.0227

178.55

3 2.25 33.49 0.0 33.49 33.49 0.0006 35.53 31.45 105.0

0 -0.0208

37.58

4 3.00 31.45 0.0 31.45 102.96 -

0.0214 33.49

172.42

105.00

-0.0214

35.53

Слика 6. Промена пијезометарских кота.



9

Слика 7. Промена протока у цевоводу.

4. задатак

Математички модел

За дуге симулације течења у системима под притиском, често је најповољнији модел квази-

устаљеног течења. Пошто су прелазни режими који настају као резултат наглих промена у

систему релативно краткотрајни, модел квази-устаљеног течења може добро да апроксимира

понашање система у дугим симулацијама (вишечасовним, вишедневним, …).

Модел квази-устаљеног течења за системе под притиском састоји се из:

1. Једначина континуитета написаних за сваки чвор (нпр. резервоар),

2. Бернулијеве једначине написане за сваку везу у систему (нпр. цев).

За општи случај резервоара са произвољним бројем дотока и потрошача, једначина

континуитета гласи:

𝑑П𝑖

𝑑𝑡= −

1

𝐴𝑖∑ 𝑄𝑖𝑗

𝑗, (1)



10

при чему је П𝑖 пијезометарска кота у датом резервоару у чвору 𝑖, 𝐴𝑖 површина његове основе

(претпоставиће се цилиндричан резервоар), 𝑄𝑖𝑗 дотицај/потрошач. Напомиње се да код облика

једначине континуитета као у изразу (1) важи конвенција да су позитивни протоци они који

излазе из резервоара – смањују П коту – дотоци, а негативни су они који је повећавају

(конвенција о позитивном смеру вектора, стога се јавља и знак минус на десној страни израза).

За сваку цев у систему, примењује се закон одржања количине кретања који се за претпоставку

устаљеног течења своди на Бернулијеву једначину, која гласи:

П𝑖 − П𝑗 = 𝑅𝑖𝑗𝑄𝑖𝑗|𝑄𝑖𝑗| = 𝑠𝑔𝑛(П𝑖 − П𝑗)𝑅𝑖𝑗𝑄𝑖𝑗2 . (2)

У претходном изразу 𝑠𝑔𝑛(𝑥) представља сигнум функцију1 неопходну услед a priori непознатог

смера течења (од 𝑖 ка 𝑗 или од 𝑗 ка 𝑖), док је 𝑅𝑖𝑗 коефицијент укупних отпора у цеви (трење +

локални отпори) који се рачуна као:

𝑅𝑖𝑗 =8𝜆𝑖𝑗,𝑒𝑓𝐿𝑖𝑗

𝑔𝐷𝑖𝑗5 𝜋2

, (3)

где је 𝐿𝑖𝑗 дужина дате цеви, 𝐷𝑖𝑗 њен пречник, а 𝜆𝑖𝑗,𝑒𝑓 ефективни коефицијент отпора који у себи

садржи и ефекте локалних губитака:

𝜆𝑖𝑗,𝑒𝑓 = 𝜆𝑖𝑗 +𝐷𝑖𝑗

𝐿𝑖𝑗∑ 𝜉𝑖𝑗 , (4)

где је 𝜆𝑖𝑗 коефицијент линијских отпора (трења), а 𝜉𝑖𝑗 представља коефицијент локалног губитка

енергије дуж цеви 𝑖 − 𝑗.

Пожељно је да се израз (2) напише тако да изрази проток:

𝑄𝑖𝑗 = 𝑠𝑔𝑛(П𝑖 − П𝑗)√|П𝑖 − П𝑗|

𝑅𝑖𝑗. (5)

Овај облик Бернулијеве једначине написаће се за сваку цев у систему.

Нумерички модел

Дискретизација једначине континуитета неопходна је како би се оне решила нумеричким путем.

При томе примениће се метод дискретизације коначним разликама, на пример Ојлеров метод 1.

реда:

𝑑П𝑖

𝑑𝑡≈

П𝑖𝑛+1 − П𝑖

𝑛

∆𝑡= −

1


𝑛

𝑗,

П𝑖𝑛+1 = П𝑖

𝑛 −∆𝑡


𝑛

𝑗

(6)

где је са 𝑛 обележен временски тренутак, а ∆𝑡 је дужина временског корака.

За конкретне резервоаре 𝐴, 𝐵 и 𝐶, може се написати, уз претпоставку да су позитивни смерови

протока 𝐴 − 𝐵 и 𝐵 − 𝐶:

П𝐴𝑛+1 = П𝐴

𝑛 +∆𝑡

𝐴𝐴

(−𝑄𝐴𝐵),

П𝐵𝑛+1 = П𝐵

𝑛 +∆𝑡

𝐴𝐵

(𝑄𝐴𝐵 − 𝑄𝐵𝐶), (7)

1 По дефиницији важи: |x| = sgn(x)×x



11

П𝐶𝑛+1 = П𝐶

𝑛 +∆𝑡

𝐴𝐶𝑄𝐵𝐶 .

Бернулијева једначина (5) је алгебарског типа, па се сви чланови у њој односе на исти временски

тренутак:

𝑄𝐴𝐵𝑛 = 𝑠𝑔𝑛(П𝐴

𝑛 − П𝐵𝑛)√

|П𝐴𝑛 − П𝐵

𝑛|

𝑅𝐴𝐵,

𝑄𝐵𝐶𝑛 = 𝑠𝑔𝑛(П𝐵

𝑛 − П𝐶𝑛)√

|П𝐵𝑛 − П𝐶

𝑛|

𝑅𝐵𝐶.

(8)

Гранични услови

Гранични услови обезбеђују конзистентну везу дела система који се посматра (у овом примеру

систем од три резервоара и две цеви) са остатком „реалности“ из које је дати систем издвојен

како би се анализирао. Међутим, како је посматрани систем затворен и нема никакву везу са

„спољним светом“, гранични услови у овом случају не постоје.

Почетни услови

Почетно стање система дефинисано је задатком и може са математички написати као:

П𝐴(0)

= П𝐴(𝑡 = 0) = 20,

П𝐵(0)

= П𝐵(𝑡 = 0) = 10,

П𝐶(0)

= П𝐶(𝑡 = 0) = 10,

𝑄𝐴𝐵(0)

= 𝑄𝐴𝐵(𝑡 = 0) = 0,

𝑄𝐵𝐶(0)

= 𝑄𝐵𝐶(𝑡 = 0) = 0.

(9)

Решење

Претпоставиће се да се отварање затварача догађа у тренутку 𝑡 = 0, а да је до тад читав систем

био у стању мировања. У табели 1 и на сликама 1 и 2 приказани су резултати прорачуна за

вредност временског корака од ∆𝑡 = 200 s. Примећује се да је решење релативно нестабилно због

релативно великог временског корака, па су у табели 2 и на сликама 3 и 4 приказују резултати

прорачуна за ∆𝑡 = 30 s. Поређењем резултата уочавају се знатне разлике, при чему се резултати

добијени на основу мањег ∆𝑡 сматрају тачнијим.

Примећује са такође да систем непрекидно осцилује око свог новог равнотежног стања (слике 2

и 4), што је последица коришћења нумеричког модела 1. реда тачности.



12

Табела 1. Резултати прорачуна промене нивоа у резервоарима и протока у цевима за ∆𝒕 = 𝟐𝟎𝟎 s (приказано

само првих 20 временских корака)

n t t ПA ПB ПC QAB QBC

[-] [s] [min] [m] [m] [m] [m3/s] [m3/s]

-1 -200 -3,33 20 10 10 0 0

0 0 0,00 20 10 10 0,172 0,000

1 200 3,33 18,28 13,44 10,00 0,120 0,082

2 400 6,67 17,08 14,18 11,65 0,093 0,071

3 600 10,00 16,162 14,62 13,06 0,067 0,055

4 800 13,33 15,49 14,86 14,17 0,043 0,037

5 1000 16,67 15,06 14,98 14,91 0,015 0,012

6 1200 20,00 14,91 15,03 15,15 -0,019 -0,015

7 1400 23,33 15,10 14,95 14,85 0,021 0,014

8 1600 26,67 14,89 15,09 15,13 -0,025 -0,008

9 1800 30,00 15,13 14,77 14,96 0,033 -0,020

10 2000 33,33 14,81 15,82 14,57 -0,055 0,050

11 2200 36,67 15,35 13,73 15,56 0,069 -0,060

12 2400 40,00 14,66 16,32 14,36 -0,070 0,062

13 2600 43,33 15,36 13,68 15,60 0,071 -0,062

14 2800 46,67 14,65 16,32 14,37 -0,070 0,062

15 3000 50,00 15,36 13,68 15,61 0,070 -0,062

16 3200 53,33 14,65 16,32 14,38 -0,070 0,062

17 3400 56,67 15,35 13,68 15,61 0,070 -0,062

18 3600 60,00 14,65 16,32 14,38 -0,070 0,062

19 3800 63,33 15,35 13,68 15,62 0,070 -0,062

20 4000 66,67 14,65 16,32 14,38 -0,070 0,062

Слика 8. Промена нивоа у резервоарима у току 30 минута од отварања резервоара, ∆𝒕 = 𝟐𝟎𝟎 s

2 Достигнут услов из текста задатка

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

0 5 10 15 20 25 30

П [

m]

t [min]

Рез. A

Рез. B

Рез. C



13

Слика 9. Промена протока у цевима у току 30 минута од отварања резервоара, ∆𝒕 = 𝟐𝟎𝟎 s

Табела 2. Резултати прорачуна промене нивоа у резервоарима и протока у цевима за ∆𝒕 = 𝟑𝟎 s (приказано

само првих 20 временских корака)

n t t ПA ПB ПC QAB QBC

[-] [s] [min] [m] [m] [m] [m3/s] [m3/s]

-1 -30 -0,50 20 10 10 0 0

0 0 0,00 20 10 10 0,172 0,000

1 30 0,50 19,74 10,52 10,00 0,165 0,032

2 60 1,00 19,49 10,92 10,10 0,159 0,040

3 90 1,50 19,26 11,27 10,22 0,154 0,046

4 120 2,00 19,03 11,60 10,35 0,148 0,049

5 150 2,50 18,80 11,89 10,50 0,143 0,052

6 180 3,00 18,59 12,16 10,66 0,138 0,054

7 210 3,50 18,38 12,41 10,82 0,133 0,056

8 240 4,00 18,18 12,64 10,99 0,128 0,057

9 270 4,50 17,99 12,86 11,16 0,123 0,058

10 300 5,00 17,81 13,05 11,33 0,119 0,058

11 330 5,50 17,63 13,23 11,51 0,114 0,058

12 360 6,00 17,46 13,40 11,68 0,109 0,058

13 390 6,50 17,29 13,55 11,86 0,105 0,058

14 420 7,00 17,14 13,70 12,03 0,101 0,057

15 450 7,50 16,98 13,83 12,20 0,097 0,057

16 480 8,00 16,84 13,95 12,37 0,092 0,056

17 510 8,50 16,70 14,06 12,54 0,088 0,055

18 540 9,00 16,57 14,16 12,70 0,084 0,054

19 570 9,50 16,443 14,25 12,86 0,080 0,052

20 600 10,00 16,32 14,34 13,02 0,077 0,051

3 Достигнут услов из текста задатка

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0 5 10 15 20 25 30

Q[m

3/s

]

t [min]

Цев AB

Цев BC



14

Слика 10. Промена нивоа у резервоарима у току 30 минута од отварања резервоара, ∆𝒕 = 𝟑𝟎 s

Слика 11. Промена протока у цевима у току 30 минута од отварања резервоара, ∆𝒕 = 𝟑𝟎 s

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

0 5 10 15 20 25 30

П [

m]

t [min]

Рез. А

Рез. B

Рез .С

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0 5 10 15 20 25 30

Q[m

3/s

]

t [min]

Цев AB

Цев BC



15

5. задатак


Нагло затварање предтурбинског затварача изазива појаву прелазног режима течења са знатним

осцилацијама протока и нивоа у водостану. Такав прелазни режим траје релативно кратко, и

описаће се математичким моделом крутог удара. Овај модел састоји се од два типа једначина:

1. Једначине континуитета написане за све чворове у систему (нпр. водостан), и

2. Динамичке једначине написане за везе (нпр. деривациони тунел).

Једначина континуитета написана за водостан, под претпоставком да је проток ка водостану 𝑄𝑉

позитиван кад изазива повећање нивоа (слика 1), гласи:

𝑑𝑍𝑉

𝑑𝑡=

𝑄𝑉

𝐴𝑉, (10)

при чему је 𝑍𝑉 кота нивоа у водостану у односу на коту нивоа језера, а 𝐴𝑉 површина основе

цилиндричног водостана. Треба имати на уму да у општем случају ово није једина једначина

континуитета која може да се напише за систем тунел-водостан-цевовод. Друга једначина

континуитета односи се на чвор испод самог водостана (слика 1).

На основу претпостављених смерова протока са слике 1, једначина континуитета за чвор испод

водостана гласи:

𝑄𝑇 = 𝑄𝑉 + 𝑄𝑡𝑢𝑟 , (11)

где је 𝑄𝑇 проток кроз деривациони тунел, а 𝑄𝑡𝑢𝑟 проток кроз цевовод ка турбини (односно кроз

затварач).

За течење у деривационом тунелу написаће се једначина одржања количине кретања –

динамичка једначина:

𝑑𝑄𝑇

𝑑𝑡=

𝑔𝐴𝑇

𝐿𝑇

(−𝑍𝑉) −2𝜆𝑒𝑓

𝐷𝑇3𝜋

𝑄𝑇|𝑄𝑇|, (12)

где је 𝐴𝑇 површине протицајног пресека тунела, 𝐿𝑇 његова дужина, 𝐷𝑇 пречник, а 𝜆𝑒𝑓

коефицијент ефективних отпора дуж тунела (трење + сви локални отпори):



16

𝜆𝑒𝑓 = 𝜆 +𝐷𝑇

𝐿𝑇∑ 𝜉𝑙𝑜𝑘 , (13)

при чему је 𝜆 коефицијент трења у тунелу, а 𝜉𝑙𝑜𝑘 означава локални губитак на деоници између

језера и водостана.

Слика 12. Скица чвора испод водостана


Једначина континуитета за водостан (1) дискретизоваће се методом коначних разлика, на пример

Ојлеровом методом 1. реда:

𝑑𝑍𝑉

𝑑𝑡≈

𝑍𝑉𝑛+1 − 𝑍𝑉

𝑛

∆𝑡=

𝑄𝑉𝑛

𝐴𝑉,

𝑍𝑉𝑛+1 = 𝑍𝑉

𝑛 +∆𝑡

𝐴𝑉𝑄𝑉

𝑛,

(14)

где је ∆𝑡 дужина временског корака, а 𝑛 означава временски тренутак на који се променљива

односи.

Ако се једначина континуитета дискретизује Ојлеровом методом 1. реда, динамичку једначину

(3) није препоручљиво „третирати“ истом методом. Први члан са десне стране израза (3)

дискретизоваће се применом трапезног правила:

𝑑𝑄𝑇

𝑑𝑡≈

𝑄𝑇𝑛+1 − 𝑄𝑇

𝑛

∆𝑡=

𝑔𝐴𝑇

𝐿𝑇(−

𝑍𝑉𝑛+1 + 𝑍𝑉

𝑛

2) −

2𝜆𝑒𝑓

𝐷𝑇3𝜋

𝑄𝑇𝑛|𝑄𝑇

𝑛|,

𝑄𝑇𝑛+1 = 𝑄𝑇

𝑛 + ∆𝑡 [𝑔𝐴𝑇

𝐿𝑇(−


𝑛

2) −

2𝜆𝑒𝑓

𝐷𝑇3𝜋

𝑄𝑇𝑛|𝑄𝑇

𝑛|].

(15)

Алтернативно, други члан са десне стране израза (3) може се дискретизовати полуимплицитном

методом, која је углавном нешто боље тачности:

𝑑𝑄𝑇

𝑑𝑡≈

𝑄𝑇𝑛+1 − 𝑄𝑇

𝑛

∆𝑡=

𝑔𝐴𝑇

𝐿𝑇(−


𝑛

2) −

2𝜆𝑒𝑓

𝐷𝑇3𝜋

𝑄𝑇𝑛+1|𝑄𝑇

𝑛|,

𝑄𝑇𝑛+1 =

𝑄𝑇𝑛 + ∆𝑡

𝑔𝐴𝑇𝐿𝑇

(−𝑍𝑉

𝑛+1 + 𝑍𝑉𝑛

2)

1 + ∆𝑡2𝜆𝑒𝑓

𝐷𝑇3𝜋

|𝑄𝑇𝑛|

.

(16)

За обезбеђивање адекватне тачности нумеричког прорачуна осцилација нивоа у водостану,

потребно је да временски (рачунски) корак не буде превелик. Математичком анализом може се

показати да периода осциловања нивоа у два резервоара (уз занемарење ефеката трења), од којих

један има бесконачну површину воденог огледала (језеро), износи:

𝑄𝑇

𝑄𝑉

𝑄𝑡𝑢𝑟



17

𝑇 = 2𝜋√𝐿𝑇𝐴𝑉

𝑔𝐴𝑇. (17)

Да би се осцилације нивоа (које су по својој природи синусоидне) адекватно описале,

препоручује се да рачунски корак не буде дужи од 𝑇/204, а пожељно је да буде око 𝑇/40.


Граничне услове дефинишу:

1. језеро са бесконачном површином воденог огледала, због чега је његова кота нивоа

практично непроменљива у току прорачуна, односно П𝑗𝑒𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = 100 mnm.

2. предтурбински затварач који се нагло и потпуно затвара, услед чега пре затварања важи

𝑄𝑡𝑢𝑟(𝑡 < 0) = 𝑄𝑇 ≠ 0, а након затварања 𝑄𝑡𝑢𝑟(𝑡 ≥ 0) = 0. Последица овога је и да након

потпуног затварања затварача важи 𝑄𝑇 = 𝑄𝑉.


Стање система пре маневра предтурбинским затварачем дефинисано је у услову задатка. Пошто

се систем налази у стању устаљеног течења пре маневра, важи да је 𝑑𝑄𝑇 𝑑𝑡⁄ = 0 ⇒ 𝑄𝑉 = 0 ∧

𝑄𝑇 = 𝑄𝑡𝑢𝑟. На основу ових услова и израза (3), може се одредити непознати почетни проток кроз

систем:

𝑑𝑄𝑇

𝑑𝑡=

𝑔𝐴𝑇

𝐿𝑇(−𝑍𝑉

(0)) −

2𝜆𝑒𝑓

𝐷𝑇3𝜋

𝑄𝑇(0)

|𝑄𝑇(0)

| = 0,

𝑔𝐴𝑇

𝐿𝑇(−𝑍𝑉

(0)) =

2𝜆𝑒𝑓

𝐷𝑇3𝜋

(𝑄𝑇(0)

)2

,

𝑄𝑇(0)

= √|𝑍𝑉

(0)|

𝑅𝑇,

(18)

где је:

𝑅𝑇 =8𝜆𝑒𝑓𝐿𝑇

𝑔𝐷𝑇5𝜋2

. (19)

Решење

На основу података из текста задатка, може се одредити проток кроз тунел пре маневра

предтурбинским затварачем од 𝑄𝑇(0)

= 𝑄𝑇(𝑡 < 0) = 53,40 m3/s. На основу израза (8) може се

израчунати периода осциловања нивоа у водостану од 𝑇 = 310,78 s. За потребе нумеричког

решавања задатка, усвојиће се рачунски (временски) корак од ∆𝑡 = 7.5 s, што je приближно

𝑇/41,4.

Резултати прорачуна осцилација у водостану изазваних маневром приказани су у табели 1, при

чему је динамична једначина дискретизована према изразу (6). Ради поређења, на слици 2

приказане су израчунате осцилације нивоа за неколико различитих вредности рачунског корака

Δ𝑡. На основу резултата се може уочити да се пригушење осцилација мења у зависности од

4 Овај услов је довољан на испиту.



18

вредности Δ𝑡, с тим да је вредност прве максималне амплитуде готово иста за све 4 испитане

варијанте. У општем случају, пригушење осцилација нивоа се повећава са смањењем рачунског

корака Δ𝑡.

Вредност прве максималне амплитуде (максимални ниво у водостану у току осциловања) износи

приближно 22,7 m и достиже се након приближно 82,5 секунде од маневра затварачем.

Слика 13. Осцилације нивоа у водостану изазване маневром предтурбинског затварача за различите

вредности рачунског корака 𝜟𝒕

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 200 400 600 800 1000 1200ZV

[m]

t [s]

7,5 s

5,0 s

2,5 s

1,0 s



19

Табела 3. Резултати прорачуна осцилација у водостану услед наглог и потпуног затварања предтурбинског

затварача (приказано првих 30 рачунских корака)

n t ZV QT QV Qtur

[-] [-] [m] [m3/s] [m3/s] [m3/s]

-1 -7,5 -3,00 53,40 0 53,40

0 0,0 -3,00 53,40 53,40 0

1 7,5 0,54 52,79 52,79 0

2 15,0 4,04 50,98 50,98 0

3 22,5 7,42 48,04 48,04 0

4 30,0 10,61 44,07 44,07 0

5 37,5 13,53 39,18 39,18 0

6 45,0 16,13 33,48 33,48 0

7 52,5 18,35 27,09 27,09 0

8 60,0 20,15 20,15 20,15 0

9 67,5 21,48 12,79 12,79 0

10 75,0 22,33 5,13 5,13 0

11 82,5 22,67 -2,68 -2,68 0

12 90,0 22,49 -10,51 -10,51 0

13 97,5 21,80 -18,14 -18,14 0

14 105,0 20,59 -25,37 -25,37 0

15 112,5 18,91 -31,99 -31,99 0

16 120,0 16,79 -37,80 -37,80 0

17 127,5 14,28 -42,67 -42,67 0

18 135,0 11,45 -46,46 -46,46 0

19 142,5 8,37 -49,11 -49,11 0

20 150,0 5,12 -50,57 -50,57 0

21 157,5 1,76 -50,83 -50,83 0

22 165,0 -1,61 -49,92 -49,92 0

23 172,5 -4,92 -47,88 -47,88 0

24 180,0 -8,09 -44,78 -44,78 0

25 187,5 -11,06 -40,73 -40,73 0

26 195,0 -13,77 -35,82 -35,82 0

27 202,5 -16,14 -30,17 -30,17 0

28 210,0 -18,14 -23,89 -23,89 0

29 217,5 -19,73 -17,12 -17,12 0

30 225,0 -20,86 -9,98 -9,98 0



20

6. задатак


Математички модел еластичног (хидрауличког) удара код течења у цевима састоји се из четири

једначине – по две једначине за сваки смер простирања поремећаја у цеви:

±𝑑П

𝑑𝑡+

𝑎

𝑔

𝑑𝑉

𝑑𝑡+

𝜆𝑎𝑉|𝑉|

2𝑔𝐷= 0,

𝑑𝑥

𝑑𝑡= ±𝑎,

(20)

где је 𝑎 брзина простирања поремећаја кроз цев, 𝜆 коефицијент отпора, 𝑉 брзина течења у

цеви, а 𝐷 њен пречник. При извођењу система једначина (1) претпостављено је да је нагиб цеви

у односу на хоризонталну раван занемарљив, као и да је брзина простирања поремећаја 𝑎

неколико редова величине већа од брзина течења у цеви 𝑉.

У систему (1) крију се два пара једначина. Један пар (предзнак плус у обе једначине) односи се

на поремећај који се простире у истом смеру у ком се одвија течење – позитивна

карактеристика 𝐶+ – а други пар (предзнак минус) на поремећај који се простире у супротном

смеру од смера течења – негативна карактеристика 𝐶−.

Слика 14. Нумеричка мрежа методе карактеристика


Дискретизацијом једначина (1) дуж праваца простирања карактеристика, може се формирати

нумерички модел за њихово решавање (Рачунска хидраулика - течење у цевима, стране 151-154).



21

За одређивање П коте и брзине у неком произвољном пресеку цеви 𝑖, доступне су две једначине

нумеричког модела:

П𝑖𝑛+1 = 𝐶𝑃𝑖−1 − 𝐵𝑄𝑖

𝑛+1,

П𝑖𝑛+1 = 𝐶𝑀𝑖+1 + 𝐵𝑄𝑖

𝑛+1,

П𝑖𝑛+1 =

(𝐶𝑃𝑖−1 + 𝐶𝑀𝑖+1)

2,

(21)

где су са 𝐶𝑃𝑖−1 и 𝐶𝑀𝑖+1 обележене „информације“ које из суседних пресека стижу у пресек 𝑖 дуж

(редом) позитивне и негативне карактеристике (слика 1):

𝐶𝑃𝑖−1 = П𝑖−1𝑛 + 𝐵𝑄𝑖−1

𝑛 − 𝑀𝑄𝑖−1𝑛 |𝑄𝑖−1

𝑛 |, 𝐶𝑀𝑖+1 = П𝑖+1

𝑛 − 𝐵𝑄𝑖+1𝑛 + 𝑀𝑄𝑖+1

𝑛 |𝑄𝑖+1𝑛 |.

(22)

Сликовитости ради, одабрано је да индекси код 𝐶𝑃𝑖−1 и 𝐶𝑀𝑖+1 означавају пресек из ког

карактеристика стиже у пресек 𝑖. У изразима (2) и (3), величине 𝐵 и 𝑀 су константе дате цеви:

𝐵 =𝑎

𝑔𝐴,

𝑀 =𝜆∆𝑥

2𝑔𝐷𝐴2,

(23)

при чему је 𝐴 површина протицајног пресека цеви, а ∆𝑥 растојање између суседних пресека у

којима се одређују П и 𝑄.

За потребе решавања конкретног задатка, размотриће се две варијанте: (а) са 3 рачунска пресека

дуж цеви – црвене ознаке на слици 2, и (б) са 5 рачунских пресека – плаве ознаке на слици 2. На

слици 2 поменути пресеци су обележени бројевима од 1 до 5, при чему ће се у обе варијанте

користити исте ознаке пресека, ради доследности. У обе варијанте, пресеци 1 и 5 налазе се у

крајњим пресецима цеви, непосредно уз саме резервоаре, док се пресек 3 налази на средини цеви.

Резултати обе варијанте ће се упоредити.

Слика 15. Распоред и број рачунских пресека дуж цеви:

варијанта (а) – црвено/доле, варијанта (б) – плаво/горе

У варијанти (а) са 3 рачунска пресека, растојање између њих износи ∆𝑥 = 𝐿2⁄ = 1500 m, док је

у варијанти (б) растојање ∆𝑥 = 𝐿4⁄ = 750 m. Дужина временског корака ∆𝑡 код модела

еластичног (хидрауличког) удара није произвољна, већ треба да одговара оном времену које је

неопходно да поремећај из једног пресека стигне у суседни. За задату брзину простирања

поремећаја 𝑎 = 1000 m/s, дужине временских корака за две варијанте износе (редом) ∆𝑡 = 1,50

и ∆𝑡 = 0,75 s.


Пре маневра отварања затварача у тренутку 𝑡 = 0, проток кроз цев био је једнак нули, односно

𝑄1−5(𝑡 < 0) = 0. Према томе, П коте у читавој цеви биле су једнаке П1−5(𝑡 < 0) = П𝐴 =

190 mnm.

1 2 3 4 5



22


Имајући у виду да су запремине (односно површине воденог огледала) резервоара велике, за

потребе симулације кратког прелазног режима изазваног маневром затварача може се сматрати

да су П коте у њима непроменљиве, односно да важи П𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = 190 mnm, и П𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. =

170 mnm. Ако се занемаре локални губици на крајевима цеви, поменута претпоставка доводи до

закључка:

П1 = П𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = 190, П5(𝑡 > 0) = П𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = 170.

(24)

У претходном изразу напомиње се да гранични услов у пресеку 5 почиње да важи тек након

маневра отварања затварача. На основу (2), конкретне једначине нумеричког модела за пресеке

1-5 наводе се у наставку.

Варијанта (а) – 3 пресека дуж цеви:

Пресек 1:

П1 = 190,

𝑄1𝑛+1 =

(190 − 𝐶𝑀3)

𝐵,

Пресек 3:

П3𝑛+1 =

(𝐶𝑃1 + 𝐶𝑀5)

2,

𝑄3𝑛+1 =

(П3𝑛+1 − 𝐶𝑀5)

𝐵,

Пресек 5:

П5(𝑡 > 0) = 170,

𝑄5𝑛+1 =

(𝐶𝑃3 − 170)

𝐵.

(25)

Варијанта (б) – 5 пресека дуж цеви:

Пресек 1:

П1 = 190,

𝑄1𝑛+1 =

(190 − 𝐶𝑀2)

𝐵,

Пресек 2:

П2𝑛+1 =

(𝐶𝑃1 + 𝐶𝑀3)

2,

𝑄2𝑛+1 =

(П2𝑛+1 − 𝐶𝑀3)

𝐵,

Пресек 3:

П3𝑛+1 =

(𝐶𝑃2 + 𝐶𝑀4)

2,

𝑄3𝑛+1 =

(П3𝑛+1 − 𝐶𝑀4)

𝐵,

Пресек 4:

П4𝑛+1 =

(𝐶𝑃3 + 𝐶𝑀5)

2,

𝑄4𝑛+1 =

(П4𝑛+1 − 𝐶𝑀5)

𝐵,

Пресек 5:

П5(𝑡 > 0) = 170,

(26)



23

𝑄5𝑛+1 =

(𝐶𝑃4 − 170)

𝐵.

Решење

Поремећај у пресеку 5 уз затварач математички се приказује наглом променом П коте.

Непосредно пре отварања важи П5(𝑡 = 0−) = 190, а након отварања П5(𝑡 = 0+) = П𝐵 = 170.

Резултати прорачуна приказани су на сликама 3 и 4 за обе варијанте. У табели 1 приказани су

резултати прорачуна у току првих 45 секунди од отварања затварача за варијанту (а). Уочава се

значајна сличност у резултатима из пресека 3. Заправо, једина разлика између варијанти је

практично брзина промене (градијент) П коте и протока, док су интензитети идентични у обе

варијанте. Приликом дискретизације математичког модела (1) са тоталним (обичним) изводима

нису усвојене никакве додатне апроксимације. За потребе процене интензитета промена

релевантних величина, код модела еластичног (хидрауличког) удара, смањење просторног

корака дискретизације ∆𝑥 не доводи до повећања тачности као што је то нпр. случај код модела

крутог удара – рачунска брзина у нумеричком моделу једнака је математичкој брзини

пропагације таласа.

Евентуална провера тачности прорачуна може се спровести помоћу Бернулијеве једначине.

Проток при устаљеном течењу добијем путем Бернулијеве једначине (уз занемаривање локалних

отпора), мора бити једнак протоку добијеном помоћу модела еластичног удара када 𝑡 → ∞

(𝑄𝑢𝑠𝑡 ≈ 0,355).

Слика 16. Промена пијезометарске коте у пресеку 3

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100 120

П3

[mnm

]

t [s]

Варијанта (а) - 3 пр.

Варијанта (б) - 5 пр.



24

Слика 17. Промена протока у пресеку 3

Табела 4. Разултати прачуна промена П кота и протока – варијанта (а) (приказано само првих 15 рачунских

корака)

Пресек 1 Пресек 3 Пресек 5

n t П1 Q1 CM3 CP1 П3 Q3 CM5 CP3 П5 Q5

[-] [s] [mnm] [m3/s] [m] [m] [mnm] [m3/s] [m] [m] [mnm] [m3/s]

0- 0- 190 0 190,0 190,0 190,00 0 190,0 190,0 190 0

0+ 0+ 190 0 190,0 190,0 190,00 0 150,1 190,0 1705 0,039

1 1,5 190 0 150,2 190,0 170,06 0,038 150,1 189,9 170 0,039

2 3,0 190 0,077 150,2 229,3 170,06 0,038 150,2 189,9 170 0,038

3 4,5 190 0,077 150,7 229,3 189,77 0,076 150,2 228,8 170 0,038

4 6,0 190 0,076 150,7 228,9 189,77 0,076 112,2 228,8 170 0,113

5 7,5 190 0,076 113,2 228,9 170,52 0,112 112,2 227,9 170 0,113

6 9,0 190 0,148 113,2 265,1 170,52 0,112 113,1 227,9 170 0,111

7 10,5 190 0,148 114,8 265,1 189,11 0,146 113,1 263,4 170 0,111

8 12,0 190 0,145 114,8 263,5 189,11 0,146 79,2 263,4 170 0,180

9 13,5 190 0,145 81,7 263,5 171,34 0,178 79,2 261,0 170 0,180

10 15,0 190 0,209 81,7 294,9 171,34 0,178 81,4 261,0 170 0,175

11 16,5 190 0,209 84,8 294,9 188,15 0,206 81,4 291,5 170 0,175

12 18,0 190 0,203 84,8 292,0 188,15 0,206 52,8 291,5 170 0,234

13 19,5 190 0,203 57,0 292,0 172,39 0,230 52,8 287,8 170 0,234

14 21,0 190 0,256 57,0 317,8 172,39 0,230 56,3 287,8 170 0,227

15 22,5 190 0,256 61,4 317,8 187,04 0,252 56,3 312,7 170 0,227

5 По отварању затварача, вредност П коте у пресеку 5 постаје иста као у резервоару𝐵. На овај начин

нумерички се представља маневар отварања затварача.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0 20 40 60 80 100 120

Q3

[m3/s

]

t [s]

Варијанта (а) - 3 пр.

Варијанта (б) - 5 пр.



25

7. задатак

За почетак, у задатку се тражи да се срачуна промена нивоа воде у резервоарима у току 5 сати

од укључења пумпе. Није наглашено којим моделом решити задатак, тако да је прво то потребно

одредити. Пошто се тражи промена нивоа у резервоарима у току 5 сати, може се сматрати да се

све брзе промене одвијају у много краћем року него што је ових 5 сати, па са могу занемарити.

У том случају сасвим је задовољавајућа употреба модела квази-устаљеног течења, и према томе

је потребно исписати математички и нумерички модел.


Да би се написао математички модел, потребно је прво дефинисати који су елементи система о

која одговарајућа једначина описује промену стања у тим елементима. У задатку је потребно

срачунати промене нивоа у резервоарима и промену протока у цеви. На основу тога постављају

се једначине математичког модела. За промену протока у цеви потребна је динамичка једначина.

У случају када се користи модел квази-устаљеног течења, динамичка једначина се своди на

енергетску једначину јер се занемарује утицај инерције. Цев за коју постављамо динамичку

једначину ограничавамо пресецима 1 и 2.

Енергетска једначина за цев између пресека 1 и 2 гласи:

Е1 = Е2 + 𝛥Е1−2 − 𝐻𝑝

При чему је Hp висина дизања пумпе. Сређивањем ове једначине и увођењем једначине пумпе

добија се следећи облик енергетске једначине:

П1 +𝑣1

2

2𝑔= П2 +

𝑣22

2𝑔+ 𝜆 ·

𝐿

𝐷·

𝑄2

2𝑔𝐴𝑐2 − 𝐻𝑝

1 2



26

П1 = П2 + 𝜆 ·𝐿

𝐷·

𝑄2

2𝑔𝐴𝑐2 − 10 + 1000 · 𝑄2

Пошто се у задатку не занемарују локални губици на улазу у цев и на излазу потребно је

енергетским једначинама повезати и П коте у пресецима 1 и 2 са П котама у резервоарима,

П1 ≠ ПА.

П1 +𝑄2

2𝑔𝐴𝑐2 = ПА − 𝜉𝑢𝑙 ·

𝑄2

2𝑔𝐴𝑐2

чиме се добија:

П1 = ПА − (𝜉𝑢𝑙 + 1) ·𝑄2

2𝑔𝐴𝑐2

исто треба урадити и за пресек 2:

П2 +𝑄2

2𝑔𝐴𝑐2 = П𝐵 + 𝜉𝑢𝑙 ·

𝑄2

2𝑔𝐴𝑐2 ⇒ П2 = П𝐵

Сада се све убацује у енергетску једначину од пресека 1 до пресека 2:

ПА − (𝜉𝑢𝑙 + 1)𝑄2

2𝑔𝐴𝑐2 = П𝐵 + 𝜆 ·

𝐿

𝐷·

𝑄2

2𝑔𝐴𝑐2 − 10 + 1000 · 𝑄2

ПА − П𝐵 + 10 = (𝜆 ·𝐿

𝐷·

1

2𝑔𝐴𝑐2 + 1000 +

(𝜉𝑢𝑙 + 1)

2𝑔𝐴𝑐2 ) · 𝑄2

Ако се уведе смена

𝑅 = 𝜆 ·𝐿

𝐷·

1

2𝑔𝐴𝑐2 + 1000 +

(𝜉𝑢𝑙 + 1)

2𝑔𝐴𝑐2

Добија се следећи облик енергетске једначине:

ПА − П𝐵 + 10 = 𝑅 · 𝑄2

Пошто је у задатку наглашено да повратно течење кроз пумпу није могуће из претходна

једначина се решава по протоку и добија се следећи облик:

𝑄 = √|ПА − П𝐵 + 10|

𝑅

*обратити пажњу да претходна једначина има сличан облик као динамичка једначина која се

добила у вежби из елабората Квази-устаљено течење. Једина разлика је у томе што овде постоје

још неки елементи који потичу од једначине пумпе. Такође, испред корена нема функције sgn,

јер је наглашено да нема повратног течења, тј. Течење је само у једном смеру када пумпа ради.

Ово је једначина која се поставља за цев која спаја два резервоара и на којој је пумпа. За

резервоаре А и B потребно је поставити једначине континуитета. За резервоар А она гласи:

𝑑ПА

𝑑𝑡=

𝑄𝑑 − 𝑄

𝐴𝐴

1



27

Док је за резервоар B:

𝑑П𝐵

𝑑𝑡=

𝑄 − 𝑄𝑝

𝐴𝐵


За дискретизацију једначина које описују промену неких величина по времену (у овом задатку

само једначина континуитета) користиће се најједноставнија нумеричка схема, односно Ојлеров

метод првог реда. Према томе добија се следећи нумерички модел.

Резервоар А

𝑑ПА

𝑑𝑡≈

ПА𝑛+1 − ПА

𝑛

𝛥𝑡

ПА𝑛+1 − ПА

𝑛

𝛥𝑡=

𝑄𝑑 − 𝑄𝑛

𝐴𝐴 ⇒ ПА

𝑛+1 = ПА𝑛 + 𝛥𝑡 ·

𝑄𝑑 − 𝑄𝑛

𝐴𝐴 (1)

Резервоар B

𝑑П𝐵

𝑑𝑡≈

П𝐵𝑛+1 − П𝐵

𝑛

𝛥𝑡


𝑛

𝛥𝑡=

𝑄𝑛 − 𝑄𝑝

𝐴𝐴 ⇒ П𝐵

𝑛+1 = П𝐵𝑛 + 𝛥𝑡 ·

𝑄𝑛 − 𝑄𝑝

𝐴𝐴 (2)

Цев између пресека 1 и 2

𝑄𝑛+1 = √|ПА

𝑛+1 − П𝐵𝑛+1 + 10|

𝑅 (3)


Почетни услови су они који владају када пумпа још не почне да ради. Пошто нема повратног

течења, почетни проток кроз цевовод је 0.

𝑄(0) = 𝑄(𝑡 = 0) = 0

ПА(0)

= ПА(𝑡 = 0) = 35 𝑚

П𝐵(0)

= П𝐵(𝑡 = 0) = 55 𝑚


Гранични услови за цев између пресека 1 и 2 дати су на основу енергетских једначина између

резервоара А и пресека 1, као и између пресека 2 и резервоара B. На тај начин гранични услови

за цев су већ убачени у математички и нумерички модел (у једначини 3).

Гранични услови за резервоар А је доток у резервоар Qd и проток који иде кроз цев, а за резервоар

B то су проток кроз цев и потрошња Qp.



28

Прорачун

AA= 300 m2

AB= 500 m2

ξul= 0.5 ξizl= 1 L= 100 m

D= 150 mm

λ= 0.02

Qd= 200 l/s

Qp= 100 l/s

Δt= 1 h

R= 3421.001

Табела 1. Прорачун промена стања у систему моделом квази-устаљеног течења

t ПA [m] ПB [m] Q [l/s]

0 35 55 0

1 37.400 54.280 44.845

2 39.262 53.883 36.753

3 41.221 53.428 25.398

4 43.316 52.890 11.155

5 45.582 52.251 31.206

35

40

45

50

55

60

0 1 2 3 4 5

П [

mn

m]

t [h]

П kota u rezervoaru A П kota u rezevoaru B



29

8. задатак

У задатку је потребно срачунати промене протока у цевоводу и стања у ваздушном казану након

наглог прекида рада пумпе. У овом задатку проблем осцилација се решава моделом крутог удара

(тако је захтевано у тексту задатка). Да би се задатак решио потребно је дефинисати све

променљиве које опсују неустаљено течење у овом систему узроковано наглим прекидом рада

пумпе. Те величине су:

Q – проток кроз цевовод (од пумпе до резервоара B). Пошто се задатак решава моделом крутог

удара, овај проток је једнак у свим пресецима цевовода, на основу претпоставки које важе у

моделу крутог удара, само се мења по времену због промене услова на границама цеви.

Qk – проток који иде у казан (када пумпа ради овај проток је 0, а када се пумпа искључи сав

протоко који иде кроз цевовод се надокнађује из казана). У случају када пумпа ради потребно је

написати једначину континуитета за рачву између казана и цеви, којом се добија веза између

протока Q и протока Qk. У зависности која се конвенција усвоји, тј. како се усвоји смер протока

Qk, може се добити нека од следећих веза:

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5

Q [

l/s]

t [h]



30

𝑄 = −𝑄𝑘

𝑄 = 𝑄𝑘

У овом задатку усвојиће се прва варијанта.

Hk - ниво воде у казану

Пk – П кота за казан

pvaz – хидростатички притисак у ваздуху у казану

pvaz,abs – апсолутни притисак у ваздуху у казану

Vvaz – запремина ваздуха у казану


У задатку се тражи да се срачуна промена протока у цеви и промена нивоа воде у казану. Да би

се одредила промена протока у цеви моделом крутог удара потребно је поставити одговарајућу

динамичку једначину између два пресека цеви. Први пресек 1 поставља се непосредно уз казан

а други пресек 2 непосредно уз резервоар B.

Динамичка једначина између ова два пресека, по моделу крутог удара је:

𝑑𝑄

𝑑𝑡=

𝑔𝐴𝑐

𝐿(П1 − П2) −

2𝜆

𝐷𝑐3 · 𝜋

𝑄|𝑄|

Пошто се у задатку занемарују локални губици добијају се П коте у пресецима 1 и 2 као П1 =

П𝐾 и П2 = П𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, што су уједно и гранични услови. Да би се срачунала П кота у казану, а

самим тим и у пресеку 1, потребно је детаљније описати гранични услов казана.

Qk

Q

Qk

Q

1 2



31

Да би се добила промена П коте у казану прво се мора поставити једначина континуитета којом

се описују промене запремине воде и запремине ваздуха у казану, а које директно зависе од

протока Qk.

промена запремине воде – једначина континуитета

𝑑𝑉𝑣𝑜𝑑𝑒

𝑑𝑡= 𝑄𝑘

𝑑𝑉𝑣𝑜𝑑𝑒 = 𝑑𝐻𝑘 · 𝐴𝑘

⇒ 𝑑𝐻𝑘

𝑑𝑡=

𝑄𝑘

𝐴𝑘

Да би се добила промена П коте у казану неопходно је одредити промену притиска у ваздуху, за

шта је потребно одредити и промену запремине ваздуха у казану:

𝑑𝑉𝑣𝑎𝑧

𝑑𝑡= −

𝑑𝑉𝑣𝑜𝑑𝑒

𝑑𝑡= −𝑄𝑘

За промену притиска на основу промене запремине ваздуха користи се једначина политропског

процеса:

𝑝𝑣𝑎𝑧,𝑎𝑏𝑠 · 𝑉𝑣𝑎𝑧1.2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝐶 ⇒ 𝑝𝑣𝑎𝑧,𝑎𝑏𝑠 =

𝐶

𝑉𝑣𝑎𝑧1.2

Када су дефинисане једначине којим се рачунају промене нивоа Hk у казану и апсолутног

притиска у ваздуху у казану, долази се до једначине којом се рачуна П кота у казану:

П𝑘 = 𝐻𝑘 +𝑝𝑣𝑎𝑧,𝑎𝑏𝑠 − 𝑝𝑎𝑡𝑚

𝜌𝑔

Уколико је локални губитак на пригушивачу (део који спаја цев и казан) занемарљив, П кота у

пресеку 1 једнака је П коти у казану. У супротном, ове две коте повезују се енергетском

једначином у којој фигурише локални губитак енергије на пригушивачу, где се узима брзина у

пригушивачу. П кота у пресеку два повезује се са П котом у резервоару B. У овом задатку

занемарују се локални губици енергије, те је П кота у пресеку 2 једнака П коти у резервоару B.

На овај начин дефинисане су све једначине математичког модела.



32


Једначина континуитета за ваздух у казану

𝑑𝑉𝑣𝑎𝑧

𝑑𝑡= −𝑄𝑘 →

𝑁.𝑀.

𝑉𝑣𝑎𝑧𝑛+1 − 𝑉𝑣𝑎𝑧

𝑛

𝛥𝑡= −𝑄𝑘

𝑛

𝑉𝑣𝑎𝑧𝑛+1 = 𝑉𝑣𝑎𝑧

𝑛 − 𝛥𝑡 · 𝑄𝑘𝑛 (1)

На основу једначине (1) циљ је срачунати вредност запремине ваздуха у казану у наредном (n+1)

тренутку.

Једначина политропског процеса за ваздух

𝑝𝑣𝑎𝑧,𝑎𝑏𝑠(0)

· (𝑉𝑣𝑎𝑧(0)

)1.2

= 𝑝𝑣𝑎𝑧,𝑎𝑏𝑠(1)

· (𝑉𝑣𝑎𝑧(1)

)1.2

= ⋯ = 𝑝𝑣𝑎𝑧,𝑎𝑏𝑠𝑛+1 · (𝑉𝑣𝑎𝑧

𝑛+1)1.2 = 𝐶

Вредност константе C потребно је наћи из почетних услова. Из претходне једначине треба

срачунати вредност апсолутног притиска ваздуха у казану у наредном (n+1) тренутку:

𝑝𝑎𝑏𝑠,𝑣𝑎𝑧𝑛+1 =

𝐶

(𝑉𝑣𝑎𝑧𝑛+1)1.2

(2)

Следећи корак је срачунати вредност нивоа воде у казану у наредом тренутку:

𝑑𝐻𝑘

𝑑𝑡=

𝑄𝑘

𝐴𝑘 →

𝑁.𝑀.

𝐻𝑘𝑛+1 − 𝐻𝑘

𝑛

𝛥𝑡=

𝑄𝑘𝑛

𝐴𝑘

𝐻𝑘𝑛+1 = 𝐻𝑘

𝑛 + 𝛥𝑡 ·𝑄𝑘

𝑛

𝐴𝑘 (3)

Следећи корак је да се срачуна вредност П коте за воду у казануу наредном тренутку:

П𝑘𝑛+1 = 𝐻𝑘

𝑛+1 +𝑝𝑣𝑎𝑧,𝑎𝑏𝑠

𝑛+1 − 𝑝𝑎𝑡𝑚

𝜌𝑔 (4)

а након тога и П коту у пресеку 1:

П1𝑛+1 = П𝑘

𝑛+1 (5)

П кота у пресеку 2 је:

П2𝑛+1 = П𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (6)

Сада је могуће срачунати и вредност протока у цеви у наредном тренутку:

𝑄𝑛+1 = 𝑄𝑛 + 𝛥𝑡 ·𝑔𝐴𝑐

𝐿(

П1𝑛+1 + П1

𝑛

2−

П2𝑛+1 + П2

𝑛

2) − 2 ·

𝜆

𝐷𝑐3 · π

𝑄𝑛|𝑄𝑛| (7)



33

а проток ка казану је:

𝑄𝑘𝑛+1 = 𝑄𝑛+1 (8)

На овај начин формиране су све једначине нумеричког модела.


Почетни услови за све променљиве чије почетне вредности нису дефинисане у тексту задатка

одређују се решавањем енергетске једначине између пресека 1 и 2 за почетне вредности П кота

у казану и резервоару.

Усваја се препоручена вредност временског корака (препоручена у тексту задатка): ∆t = 1s

Решење задатка

Dc= 100 mm

L= 150 m

λ= 0.025

Dk= 1.1 m

Dp= 100 mm

Vvaz0= 0.2 m3

pvaz0= 60 kPa

Hk0= 1.5 m

ПB0= 2.5 m

patm= 100 kPa

C= 23192.95

Δt= 1 s

Табела 1. Прорачун промене протока у цеви и нивоа воде у казану након наглог гашења пумпе

методом крутог удара



34

t [s] Vvaz [m3] pvaz,abs [kPa] Hk [m] Пk [m] П1 [m] П2 [m] Q [m3/s] Qk [m3/s]

0 0.2 160 1.5 7.616 7.616 2.5 0.0128 -0.0128

1 0.2128 148.4800 1.4865 6.4284 6.4284 2.5 0.0125 -0.0125

2 0.2254 138.6193 1.4733 5.4100 5.4100 2.5 0.0118 -0.0118

3 0.2372 130.3881 1.4609 4.5585 4.5585 2.5 0.0109 -0.0109

4 0.2480 123.5696 1.4494 3.8520 3.8520 2.5 0.0099 -0.0099

5 0.2579 117.9239 1.4391 3.2662 3.2662 2.5 0.0089 -0.0089

6 0.2668 113.2424 1.4297 2.7796 2.7796 2.5 0.0079 -0.0079

7 0.2746 109.3568 1.4215 2.3753 2.3753 2.5 0.0069 -0.0069

8 0.2816 106.1358 1.4142 2.0396 2.0396 2.5 0.0060 -0.0060

9 0.2876 103.4779 1.4078 1.7624 1.7624 2.5 0.0051 -0.0051

10 0.2927 101.3052 1.4024 1.5355 1.5355 2.5 0.0043 -0.0043

11 0.2970 99.5580 1.3979 1.3529 1.3529 2.5 0.0034 -0.0034

12 0.3004 98.1910 1.3943 1.2099 1.2099 2.5 0.0026 -0.0026

13 0.3031 97.1705 1.3916 1.1031 1.1031 2.5 0.0018 -0.0018

14 0.3049 96.4721 1.3896 1.0300 1.0300 2.5 0.0010 -0.0010

15 0.3059 96.0796 1.3885 0.9889 0.9889 2.5 0.0003 -0.0003

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46

1.48

1.5

1.52

0 50 100 150 200

Hk

[m]

t [s]

Nivo vode u kazanu - Hk

0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

7.000

8.000

0 50 100 150 200

Пk

[m]

t [s]

П kota vode u kazanu - Пk



35

9. задатак

У овом задатку се тражи промена протока у цевоводу и П кота у неколико пресека. Пошто је

дата брзина пропагације поремећаја од а=1000 m/s, може се закључити да је прорачун потребно

обавити моделом хидрауличког удара.

Да би се решио задатак, на почетку је потребно дефинисати пресеке на цевоводу у којима ће се

одређивати промене протока и П кота. Пошто се тражи промена ових величина а при томе нема

никакве промене геометрије цеви, храпавости цеви, брзине пропагације поремећаја или неких

затварача, довољно је поставити 3 пресека, 2 уз резервоаре и један на средини цеви.

-0.0100

-0.0050

0.0000

0.0050

0.0100

0.0150

0 50 100 150 200

Q [

m3

/s]

t [s]

Protok kroz cevovod



36

Пресек 3 је постављен са супротне стране затварача у односу на резервоар B. П кота у том

пресеку се повезује са П котом у резервоару (или су једнаке ако се могу занемарити локални

губици енергије или се у супротном повезују преко енергетске једначине). На почетку затварач

Z је потпуно затворен чиме су почетни протоци у свим пресецима једнаки нули, док је П кота

свуда 5 m. Маневар који изазива неустаљено течење у систему је нагло отварање затварача. Тада

П кота нагло пада са 5 m на вредност која је условљена П котом у резервоару. Поремећај ће се

прво видети у пресеку 3, па након једног временског корака у пресеку 2 па након још једног

корака у пресеку 1 (при чему поремећај путује брзином од 1000 m/s). Ово може да послужи и

као контрола да ли је задатак добро решен.


Математички модел који се користи у овом задатку је модел хидрауличког удара који се решава

методом карактеристика. Потребно је у сваком пресеку који је постављен срачунати по две

величине, проток Q и П коту. На основу тога у сваком пресеку, у сваком тренутку потребне су

две једначине којима се може доћи до две поменуте величине. Те једначине су једначине

карактеристика. Тамо где нема две карактеристике, већ само једна, друга се надокнађује

граничним условом.

Једначина позитивне карактеристике (карактеристика којом се преносе поремећаји у почетном

смеру тока воде)

𝐶+ : 𝑔

𝐴𝑐

𝑑П

𝑑𝑡+

1

𝐴

𝑑𝑄

𝑑𝑡+

𝜆

2𝐷𝑐𝐴𝑐2 𝑄|𝑄| = 0

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑎

𝐶+ : −𝑔

𝐴𝑐

𝑑П

𝑑𝑡+

1

𝐴

𝑑𝑄

𝑑𝑡+

𝜆

2𝐷𝑐𝐴𝑐2 𝑄|𝑄| = 0

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝑎


Када се нумеричка схема са слике примени на једначине математичког модела добија се

одговарајући нумерички модел, односно скуп једначина, за сваки пресек, којим се добијају

проток и П кота.

Пресек 3

Стање (П,Q) у пресеку 3 добија се на основу позитивне карактеристике која носи информацију

o стању у пресеку 2 и граничног услова (Г.У.)



37

Г.У. за пресек 3 П3𝑛+1 = П𝐵 = 1 𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (1)

C+ из пресека 2 П3𝑛+1 = 𝐶𝑃2 − 𝐵 · 𝑄3

𝑛+1 (2)

Пошто је на основу граничног услова позната П кота у пресеку 3 у наредном тренутку, онда ће

се једначина (2) искористити да се добије проток у пресеку 3 у наредном тренутку, па онда

једначина (2) добија следећи облик:

C+ из пресека 2 𝑄3𝑛+1 =

𝐶𝑃2 − П3𝑛+1

𝐵 (2)

Из једначине (2) добија се проток, на основу П коте, а помоћу једначине (3):

C+ из пресека 2 𝐶𝑃2 = П2𝑛 + 𝐵𝑄2

𝑛 − 𝑀𝑄2𝑛|𝑄2

𝑛| (3)

Пресек 2

Стање (П,Q) у пресеку 2 добија се на основу позитивне карактеристике која носи информацију

o стању у пресеку 1 и негативне карактеристике која носи информацију o стању у пресеку 3:

C+ из пресека 1 П2𝑛+1 = 𝐶𝑃1 − 𝐵 · 𝑄2

𝑛+1 (4)

𝐶𝑃1 = П1𝑛 + 𝐵𝑄1


𝑛| (5)

C- из пресека 3 П2𝑛+1 = 𝐶𝑀3 + 𝐵 · 𝑄2

𝑛+1 (6)

𝐶𝑀3 = П3𝑛 − 𝐵𝑄3

𝑛 + 𝑀𝑄3𝑛|𝑄3

𝑛| (7)

Комбинацијом (сабирањем) једначина (4) и (6) добијају се изрази за П коту и проток:

П2𝑛+1 =

𝐶𝑃1 + 𝐶𝑀3

2 (8)

𝑄2𝑛+1 =

П2𝑛+1 − 𝐶𝑀3

𝐵 (9)

Пресек 1

Стање (П,Q) у пресеку 1 добија се на основу негативне карактеристике која носи информацију o

стању у пресеку 2 и граничног услова (Г.У.)

Г.У. за пресек 1 П1𝑛+1 = П𝐴 = 5 𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (10)

C- из пресека 2 П1𝑛+1 = 𝐶𝑀2 + 𝐵 · 𝑄1

𝑛+1 (11)

Пошто је на основу граничног услова позната П кота у пресеку 1 у наредном тренутку, онда ће

се једначина (11) искористити да се добије проток у пресеку 1 у наредном тренутку, па онда

једначина (11) добија следећи облик:



38

C- из пресека 2 𝑄1𝑛+1 =

П1𝑛+1 − 𝐶𝑀2

𝐵 (12)

Из једначине (12) добија се проток, на основу П коте, а помоћу једначине (13):

C- из пресека 2 𝐶𝑀2 = П2𝑛 − 𝐵𝑄2


𝑛| (13)

Услов да би се користила метода карактеристика је:

𝛥𝑥

𝛥𝑡= 𝑎 ⇒ 𝛥𝑡 =

𝛥𝑥

𝑎

Дужина цеви је 2000 m а пресеци су међусобно удаљени 1000 m. На основу тога добија се да је

временски корак:

𝛥𝑡 =1000 𝑚

1000 𝑚/𝑠= 1 𝑠

Величине M и B су константе које се добијају на следећи начин:

𝐵 =𝑎

𝑔𝐴𝑐 𝑀 =

𝜆 · 𝑎 · 𝛥𝑡

2𝑔 · 𝐷𝑐 · 𝐴𝑐2


У почетном тренутку П коте у свим пресецима су 5 m, а протоци су 0. одмах након отварања

затварача П кота у пресеку 3 је 1 m, а све остале промене настале овим маневром добијају се на

основу претходних једначина нумеричког модела.


Dc= 200 mm

L= 2000 m B= 3244.749

a= 1000 m/s

ПA= 5 m M= 5164.179

ПB= 1

λ= 0.02

∆x= 1000 m

∆t= 1 s



39

t [s] П1 [m] Q1 [m3/s] CM2 П2 [m] Q2 [m3/s] CP1 CM3 П3 [m] Q3 [m3/s] CP2

0 5 0 - 5 0 - - 5 0 -

0 5 0.000 5.000 5.000 0.000 5.000 5.000 1.000 0.001 5.000

1 5 0.000 5.000 1.004 0.001 5.000 -2.992 1.000 0.001 5.000

2 5 0.002 -2.984 1.004 0.001 5.000 -2.992 1.000 0.001 4.992

3 5 0.002 -2.984 4.984 0.002 12.953 -2.984 1.000 0.001 4.992

4 5 0.002 -2.953 4.984 0.002 12.953 -2.984 1.000 0.004 12.922

5 5 0.002 -2.953 1.035 0.004 12.922 -10.852 1.000 0.004 12.922

6 5 0.005 -10.783 1.035 0.004 12.922 -10.852 1.000 0.004 12.853

7 5 0.005 -10.783 4.938 0.005 20.661 -10.784 1.000 0.004 12.853

8 5 0.005 -10.663 4.938 0.005 20.661 -10.784 1.000 0.006 20.539

9 5 0.005 -10.663 1.095 0.006 20.542 -18.352 1.000 0.006 20.539

10 5 0.007 -18.167 1.095 0.006 20.542 -18.352 1.000 0.006 20.357

11 5 0.007 -18.167 4.865 0.007 27.903 -18.173 1.000 0.006 20.357

12 5 0.007 -17.913 4.865 0.007 27.903 -18.173 1.000 0.008 27.643

13 5 0.007 -17.913 1.180 0.008 27.655 -25.295 1.000 0.008 27.643

14 5 0.009 -24.951 1.180 0.008 27.655 -25.295 1.000 0.008 27.311

15 5 0.009 -24.951 4.770 0.009 34.511 -24.972 1.000 0.008 27.311

0

1

2

3

4

5

6

0 20 40 60 80 100

П [

m]

t [s]

Promena П kote u preseku na sredini cevi

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 20 40 60 80 100

Q[m

3 /s]

t [s]

Promena protoka u preseku na sredini cevi



40

10. задатак

У задатку се тражи да се срачуна промена нивоа воде у резервоарима и протоци у цевоводима

након наглог отварања затварача, моделом крутог удара. У почетном тренутку затварач је

потпуно затворен што условљава да је проток у целом систему 0. Почетни нивои у резервоарима

A и B су исти и износе 10 m док је у резервоару C ниво воде 20 m.

Отварањем затварача, због разлике у нивоима између резервоара C и B почиње да тече вода у

овом смеру. Услед повећања нивоа воде у резервоару B почиње да тече вода и ка резервоару А.

Нивои у сва три резервоара тежиће новом равнотежном нивоу (закон спојених судова; нема

никаквог дотока са стране нити истицања из система из било ког од резервоара). Када је затварач

отворен, нивои у сва три резервоара тежиће равнотежном нивоу Пx. Овај ниво се може одредити

и аналитички, без коришћења било ког модела неустаљеног течења.

Јасно је да ће се део воде (оданде одакле га има више; резервоар C) прелити у преостала два

резервоара. на основу тога може се написати следећа једначина која ово и описује:

𝑉𝐶𝑜𝑢𝑡 = 𝑉𝐴

𝑖𝑛 + 𝑉𝐵𝑖𝑛

Или написано преко почетних П кота у резервоарима и непознате равнотежне коте Пx:

(П𝑐 − П𝑥) · 𝐴𝐶 = (П𝑥 − П𝐴) · 𝐴𝐴 + (П𝑥 − П𝐵) · 𝐴𝐵

Одакле је непозната равнотежна кота:

П𝑥 =П𝐴 · 𝐴𝐴 + П𝐵 · 𝐴𝐵 + П𝐶 · 𝐴𝐶

𝐴𝐴 + 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶=

10 · 10 + 10 · 10 + 20 · 5

10 + 10 + 5= 12 𝑚

За потребе прорачуна осцилација у овом систему потребно је користити модел крутог удара.



41


У задатку је потребно израчунати промену следећих величина:

ПC П кота у резервоару C

QC-B Проток кроз цевовод који спаја резервоаре C и B

ПB П кота у резервоару B

QB-A Проток кроз цевовод који спаја резервоаре B и A

ПA П кота у резервоару A

За ово је потребно поставити 5 једначина, три једначине континуитета за три резервоара и две

динамичке једначине за две цеви.

Једначина континуитета за резервоар C

𝑑П𝐶

𝑑𝑡=

−𝑄𝐶𝐵

𝐴𝐶

Једначина континуитета за резервоар B

𝑑П𝐵

𝑑𝑡=

𝑄𝐶𝐵 − 𝑄𝐵𝐴

𝐴𝐵

Једначина континуитета за резервоар A

𝑑П𝐴

𝑑𝑡=

𝑄𝐵𝐴

𝐴𝐴

Динамичка једначина за цев C-B (почетни смер воде је од C ка B)

𝑑𝑄𝐶𝐵

𝑑𝑡=

𝑔𝐴𝐶𝐵

𝐿𝐶𝐵

(П𝐶 − П𝐵) − 2 ·𝜆𝐶𝐵

𝐷𝐶𝐵3 · π

𝑄𝐶𝐵|𝑄𝐶𝐵|

Динамичка једначина за цев B-A (почетни смер воде је од B ка A)

𝑑𝑄𝐵𝐴

𝑑𝑡=

𝑔𝐴𝐵𝐴

𝐿𝐵𝐴

(П𝐵 − П𝐴) − 2 ·𝜆𝐵𝐴

𝐷𝐵𝐴3 · π

𝑄𝐵𝐴|𝑄𝐵𝐴|


За једначине континуитета користи се Ојлеров метод првог реда тачности.


П𝐶𝑛+1 − П𝐶

𝑛

𝛥𝑡=

−𝑄𝐶𝐵𝑛

𝐴𝐶 ⇒ П𝐶

𝑛+1 = П𝐶𝑛 + 𝛥𝑡 ·

−𝑄𝐶𝐵𝑛

𝐴𝐶



𝑛

𝛥𝑡=

𝑄𝐶𝐵𝑛 − 𝑄𝐵𝐴

𝑛

𝐴𝐵 ⇒ П𝐵

𝑛+1 = П𝐵𝑛 + 𝛥𝑡 ·

𝑄𝐶𝐵𝑛 − 𝑄𝐵𝐴

𝑛

𝐴𝐵


П𝐴𝑛+1 − П𝐴

𝑛

𝛥𝑡=

𝑄𝐵𝐴𝑛

𝐴𝐴 ⇒ П𝐴

𝑛+1 = П𝐴𝑛 + 𝛥𝑡 ·

𝑄𝐵𝐴𝑛

𝐴𝐴



42

Динамичка једначина за цев C-B (почетни смер воде је од C ка B)

𝑄𝐶𝐵𝑛+1 − 𝑄𝐶𝐵

𝑛

𝛥𝑡=

𝑔𝐴𝐶𝐵

𝐿𝐶𝐵(

П𝐶𝑛+1 + П𝐶

𝑛

2−

П𝐵𝑛+1 + П𝐵

𝑛

2) − 2 ·

𝜆𝐶𝐵

𝐷𝐶𝐵3 · π

𝑄𝐶𝐵𝑛 |𝑄𝐶𝐵

𝑛 | ⇒

𝑄𝐶𝐵𝑛+1 = 𝑄𝐶𝐵

𝑛 + 𝛥𝑡 · [𝑔𝐴𝐶𝐵

𝐿𝐶𝐵(

П𝐶𝑛+1 + П𝐶

𝑛

2−


𝑛

2) − 2 ·

𝜆𝐶𝐵

𝐷𝐶𝐵3 · π

𝑄𝐶𝐵𝑛 |𝑄𝐶𝐵

𝑛 |]

Динамичка једначина за цев B-A (почетни смер воде је од B ка A)

𝑄𝐵𝐴𝑛+1 − 𝑄𝐵𝐴

𝑛

𝛥𝑡=

𝑔𝐴𝐵𝐴

𝐿𝐵𝐴(


𝑛

2−

П𝐴𝑛+1 + П𝐴

𝑛

2) − 2 ·

𝜆𝐵𝐴

𝐷𝐵𝐴3 · π

𝑄𝐵𝐴𝑛 |𝑄𝐵𝐴

𝑛 | ⇒

𝑄𝐵𝐴𝑛+1 = 𝑄𝐵𝐴

𝑛 + 𝛥𝑡 · [𝑔𝐴𝐵𝐴

𝐿𝐵𝐴(


𝑛

2−

П𝐴𝑛+1 + П𝐴

𝑛

2) − 2 ·

𝜆𝐵𝐴

𝐷𝐵𝐴3 · π

𝑄𝐵𝐴𝑛 |𝑄𝐵𝐴

𝑛 |]

Потребно је одредити и максимални временски корак који се може користити. То се ради на

основу периода непригушених осцилација течности између два резервоара. Пошто овде имам 3

резервоара, потребно је одредити 2 периоде, за осцилације између резервоара C и B и између

резервоара B и A.

𝑇𝐶𝐵 = 2 · 𝜋√𝐿𝐶𝐵

𝑔𝐴𝐶𝐵 (1

𝐴𝐶+

1𝐴𝐵

) ⇒ 𝛥𝑡1 =

𝑇𝐶𝐵

40

𝑇𝐵𝐴 = 2 · 𝜋√𝐿𝐵𝐴

𝑔𝐴𝐵𝐴 (1

𝐴𝐵+

1𝐴𝐴

) ⇒ 𝛥𝑡2 =

𝑇𝐵𝐴

40

𝛥𝑡𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛(𝛥𝑡1, 𝛥𝑡2) ⇒ 𝛥𝑡𝑢𝑠𝑣 ≤ 𝛥𝑡𝑚𝑎𝑥



43


LCB= 200 m

DCB= 500 mm

LBA= 200 m

DBA= 500 mm

λCB= 0.02

λBA= 0.02

AA= 10 m2

AB= 10 m2

AC= 5 m2

T1= 116.892 s perioda oscilovanja između rezervoara C i B sa zanemarenjem trenja

T2= 565.901 s perioda oscilovanja između rezervoara B i A sa zanemarenjem trenja

∆t1= 5.8446 s

∆t2= 28.29505 s

∆tmax= 5.8446 s

∆tusv= 5 s

Пx= 12 m ravnotežni nivo u rezervoarima

t [s] ПC [m] QCB [m3/s] ПB [m] QBA [m3/s] ПA [m]

0 20 0 10 0 10

5 20.000 0.482 10.000 0.000 10.000

10 19.518 0.828 10.241 0.006 10.000

15 18.691 0.896 10.652 0.027 10.003

20 17.795 0.842 11.086 0.068 10.016

25 16.953 0.774 11.473 0.126 10.051

30 16.178 0.706 11.797 0.193 10.114

35 15.472 0.640 12.054 0.259 10.210

40 14.832 0.576 12.245 0.315 10.339

45 14.256 0.515 12.375 0.355 10.497

50 13.741 0.456 12.455 0.379 10.674

55 13.285 0.400 12.493 0.388 10.864

60 12.885 0.347 12.499 0.385 11.058

65 12.538 0.296 12.480 0.374 11.251

70 12.242 0.248 12.441 0.357 11.438

75 11.994 0.203 12.387 0.335 11.616



44

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

П [

m]

t [s]

Promena nivoa u rezervoarima

ПА ПB ПC

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Q [

m3 /

s]

t [s]

Promena protoka u cevima

QCB QBA



45

11. задатак На слици је приказан цевовод дужине 1000 m, састављен од две цеви пречника D1 = 0,3 m,

D2 = 0,25 m. Две цеви су направљене од истог материјала: брзина простирања поремећаја се

може сматрати идентичном и износи a = 800 m/s, док је коефицијент трења λ1 = λ2 = 0,024. На

низводном крају цеви се налази затварач који је делимично затворен, тако да почетни проток

кроз цевовод износи Q0 = 15 L/s. Кота нивоа у узводном резервоару је константна и износи 25 m,

а осовина излазне цеви са затварачем се налази на 17 m.

Затварач се тренутно затвара у тренутку t = 0 s. Уз занемарење осталих локалних губитака дуж

цеви, одредити почетни коефицијент локалног губитка на затварачу, као и протицаје и

пијезометарске коте у пресецима А, В и С у временским пресецима t = 0, Δt, 2Δt, 3Δt (где је Δt

временски корак одређен према усвојеном математичком моделу који узима у обзир инерцију и

стишљивост флуида). Написати прегледно одговарајући математички и нумерички модел,

почетне и граничне услове. Скицирати добијено решење за пресек В (промена протока и

пијезометарске коте у времену).


Математички модел који описује течење у цевима под притиском и који узима у обзир инерцију

и стишљивост флуида је математички модел хидрауличког удара. Једначине закона одржања

(масе и количине кретања) су облику парцијалних диференцијалних једначина, и један од начина

како се могу решити је метода карактеристика. Једначине у облику карактеристика су следећег

облика:

+𝑑П

𝑑𝑡+

𝑎

𝑔

𝑑𝑣

𝑑𝑡+

𝜆𝑎𝑣|𝑣|

2𝑔𝐷= 0, важи дуж линије

𝑑𝑥

𝑑𝑡= +𝑎, (позитивна карактеристика)

−𝑑П

𝑑𝑡+

𝑎

𝑔

𝑑𝑣

𝑑𝑡+

𝜆𝑎𝑣|𝑣|


𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝑎, (негативна карактеристика)

где је 𝑎 брзина простирања поремећаја кроз цев, 𝜆 коефицијент отпора, 𝑣 брзина течења у цеви,

а 𝐷 њен пречник. При извођењу система једначина (1) претпостављено је да је нагиб цеви у

односу на хоризонталну раван занемарљив, као и да је брзина простирања поремећаја 𝑎 неколико

редова величине већа од брзина течења у цеви 𝑣.


Избор пресека. Будући да закони одржања у облику у ком су записани (као карактеристике, са

средњом профилском брзином) важе само на цевима константног попречног пресека, пресецима

у којим се врши њихова дискретизација треба најмање да буду на крајевима цеви:



46

Осим ових пресека на крајевима цеви, могуће је додати неограничен број пресека између – са

којима може а не мора да се води рачуна да буду на истом растојању (у том случају је потребно

користити и неку од метода за интерполацију методе карактеристика).

Нумерички модел у општем запису

C+ П𝑖𝑛+1 = 𝐶𝑃𝑖−1 − 𝐵𝑄𝑖

𝑛+1, 𝐶𝑃𝑖−1 = П𝑖−1𝑛 + 𝐵𝑄𝑖−1


𝑛 |,

C- П𝑖𝑛+1 = 𝐶𝑀𝑖+1 + 𝐵𝑄𝑖

𝑛+1, 𝐶𝑀𝑖+1 = П𝑖+1𝑛 − 𝐵𝑄𝑖+1

𝑛 + 𝑀𝑄𝑖+1𝑛 |𝑄𝑖+1

𝑛 |.

𝐵 =𝑎

𝑔𝐴 𝑀 =

𝜆∆𝑥

2𝑔𝐷𝐴2


Пресек А се налази непосредно уз резервоар, и коришћењем енергетске једначине се може

повезати са нивоом воде у резервоару. Ако се додатно занемари локални губитак на улазу (као

мала величина у односу на величину пијезометарских кота или губитке на трење), тада су ниво

у резервоару и пијезометарска кота у пресеку А практично једнаки.

П𝑟𝑒𝑧 = ПА + 𝜉𝑢𝑙

𝑣12

2𝑔≈ ПА

Пресек C се налази непосредно уз затварач, и постоје два случаја:

- Затварач је отворен – применом енергетске једначине, уз занемарење брзинских

висина пијезометарска кота у пресеку С је:

П𝐶 = 17𝑚 + 𝜉𝑧𝑎𝑡

𝑣22

2𝑔, 𝑡 = 0𝑠

- Затварач је затворен – проток кроз затварач је једнак нули:

𝑄𝐶 = 0, 𝑡 ≥ 0𝑠

На средини цеви, где се мења пречник, постоје два пресека. Применом једначине континуитета

и енергетске једначине (са занемарењем брзинских висина и енергетског губитка на сужењу)

добија се веза протока и пијезометарских кота у пресецима 𝐵𝑙𝑒𝑣𝑜 и 𝐵𝑑𝑒𝑠𝑛𝑜:

𝑄𝐵𝑙𝑒𝑣𝑜 = 𝑄𝐵𝑑𝑒𝑠𝑛𝑜 = 𝑄𝐵 П𝐵𝑙𝑒𝑣𝑜 = П𝐵𝑑𝑒𝑠𝑛𝑜 = П𝐵

На овај начин се решавање овог задатка своди на одређивање непознатих величина у три

пресека: А, В и С.



47

Нумерички модел примењен на сваки од пресека:

- Пресек А – стање у овом пресеку је одређено помоћу граничног услова са леве стране

(резервоар) и негативне карактеристике из пресека В:

П𝑟𝑒𝑧 = ПА

ПА𝑛+1 = 𝐶𝑀𝐵 + 𝐵1𝑄𝐴

𝑛+1, 𝐶𝑀𝐵 = П𝐵𝑛 − 𝐵1𝑄𝐵

𝑛 + 𝑀1𝑄𝐵𝑛|𝑄𝐵

𝑛|

𝐵1 =𝑎

𝑔𝐴1 𝑀1 =

𝜆∆𝑥

2𝑔𝐷1𝐴12

На основу познате пијезометарске коте се одређује проток:

𝑄𝐴𝑛+1 =

П𝑟𝑒𝑧 − 𝐶𝑀𝐵

𝐵1

- Пресек В – стање у овом пресеку је одређено помоћу позитивне карактеристике из

пресека А (дуж цеви пречника D1) и негативне карактеристике из пресека С (дуж цев

пречника D2):

П𝐵𝑛+1 = 𝐶𝑃𝐴 − 𝐵1𝑄𝐵

𝑛+1, 𝐶𝑃𝐴 = П𝐴𝑛 + 𝐵1𝑄𝐴

𝑛 − 𝑀1𝑄𝐴𝑛|𝑄𝐴

𝑛|,

П𝐵𝑛+1 = 𝐶𝑀𝐶 + 𝐵2𝑄𝐵

𝑛+1, 𝐶𝑀𝐶 = П𝐶𝑛 − 𝐵2𝑄𝐶

𝑛 + 𝑀2𝑄𝐶𝑛|𝑄𝐶

𝑛|

𝐵1 =𝑎

𝑔𝐴1 𝑀1 =

𝜆∆𝑥

2𝑔𝐷1𝐴12 𝐵2 =

𝑎

𝑔𝐴2 𝑀2 =

𝜆∆𝑥

2𝑔𝐷2𝐴22

Сређивањем се рачунају проток и пијезометарска кота:

𝑄𝐵𝑛+1 =

𝐶𝑃𝐴 − 𝐶𝑀𝐶

𝐵1 + 𝐵2 П𝐵

𝑛+1 = 𝐶𝑃𝐴 − 𝐵1𝑄𝐵𝑛+1

- Пресек С – стање у овом пресеку је одређено помоћу позитивне карактеристике из

пресека В и граничног услова са десне стране (затварач):

П𝐶𝑛+1 = 𝐶𝑃𝐵 − 𝐵2𝑄𝐶

𝑛+1, 𝐶𝑃𝐵 = П𝐵𝑛 + 𝐵2𝑄𝐵

𝑛 − 𝑀2𝑄𝐵𝑛|𝑄𝐵

𝑛|,

𝑄𝐶 = 0, 𝑡 ≥ 0𝑠

𝐵2 =𝑎

𝑔𝐴2 𝑀2 =

𝜆∆𝑥

2𝑔𝐷2𝐴22

На основу познатог протока одређује се пијезометарска кота:

П𝐶𝑛+1 = 𝐶𝑃𝐵


Почетно стање система се одређује на основу познатог устаљеног протока у цеви и закона

одржања енергије. Прво је потребно одредити коефицијент локалног губитка енергије на

затварачу:

25𝑚 = 17𝑚 + 𝜆𝐿

𝐷1

𝑣12

2𝑔+ 𝜆

𝐿

𝐷2

𝑣22

2𝑔+ 𝜉𝑧𝑎𝑡

𝑣22

2𝑔 → 𝜉𝑧𝑎𝑡 = 1614

𝑄𝐴0 = 𝑄𝐵

0 = 𝑄𝐶0 = 0,015

𝑚3

𝑠 П𝐴

0 = 25𝑚 П𝐵0 = 24,91𝑚 П𝐶

0 = 24,68𝑚

Временски корак је одређен усвојеном просторном дискретизацијом и брзином простирања

поремећаја:

∆𝑡 =∆𝑥

𝑎=

500𝑚

800 𝑚/𝑠= 0,625 𝑠



48

Решење

У наставку је дато решење задатка за првих 15 рачунских корака, као и графици промене

пијезометарских кота и протока у три пресека када се у једном тренутку нагло затвори затварач.

Пресек А Пресек В Пресек С

n t ПA QA CMB CPA ПB QB CMC CPB ПC QC

[-] [s] [m] [m3/s] [m] [m] [m] [m3/s] [m] [m] [m] [m3/s]

0 0- 25 0,015 7,69 42,21 24,91 0,015 -0,01 49,60 24,68 0,015

0 0+ 25 0,015 7,69 42,21 24,91 0,015 49,60 49,60 49,60 0

1 0,625 25 0,015 48,26 42,21 45,24 -0,003 49,60 40,89 49,60 0

2 1,250 25 -0,020 48,26 1,90 45,24 -0,003 40,89 40,89 40,89 0

3 1,875 25 -0,020 33,78 1,90 17,88 -0,014 40,89 -4,93 40,89 0

4 2,500 25 -0,008 33,78 16,24 17,88 -0,014 -4,93 -4,93 -4,93 0

5 3,125 25 -0,008 -1,09 16,24 7,56 0,008 -4,93 20,01 -4,93 0

6 3,750 25 0,023 -1,09 50,88 7,56 0,008 20,01 20,01 20,01 0

7 4,375 25 0,023 25,62 50,88 38,23 0,011 20,01 56,33 20,01 0

8 5,000 25 -0,001 25,62 24,38 38,23 0,011 56,33 56,33 56,33 0

9 5,625 25 -0,001 50,52 24,38 37,47 -0,011 56,33 18,75 56,33 0

10 6,250 25 -0,022 50,52 -0,32 37,47 -0,011 18,75 18,75 18,75 0

11 6,875 25 -0,022 15,29 -0,32 7,50 -0,007 18,75 -3,71 18,75 0

12 7,500 25 0,008 15,29 34,68 7,50 -0,007 -3,71 -3,71 -3,71 0

13 8,125 25 0,008 3,29 34,68 18,95 0,014 -3,71 41,41 -3,71 0

14 8,750 25 0,019 3,29 46,56 18,95 0,014 41,41 41,41 41,41 0

15 9,375 25 0,019 42,34 46,56 44,45 0,002 41,41 47,49 41,41 0

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25

П к

ота

[m

]

време [s]

Промена П коте Пресек А

Пресек В

Пресек С



49

12. задатак

Задатак је могуће решити применом математичких модела квази-устаљеног течења, крутог удара

и хидрауличког удара, где сваки од модела додаје већи физички смисао решењу. Међутим,

поставља се питање да ли је неопходно користити најсложенији модел, или се довољно добро

решење добија и неким простијим моделом. У наставку је дато решење задатка применом модела

квази-устаљеног течења и крутог удара. Обзиром да нема превише разлике у резултатима

добијеним применом ова два модела, може се закључити да је сасвим довољно решавање

задатка применом модела квази-устаљеног течења.

Математички модел – квази-устаљено течење

Овај математички модел, који занемарује инерцију и стишљивост воде, се састоји од једначина

одржавања количине кретања написаних за цеви и једначина одржања масе за резервоаре. Ове

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0 5 10 15 20 25

Пр

ото

к [

m3/s

]

време [s]

Промена протока Пресек А

Пресек В

Пресек С



50

једначине се пишу у односу на скицу задатка и уведене претпостављене смерове протока између

резервоара R1 и R2 тј. R2 и R3.

Резервоари (једначине континуитета)

𝑑П1

𝑑𝑡= 0 (условом задатка се ниво у резервоару 1 не мења)

𝑑П2

𝑑𝑡=

𝑄12 − 𝑄23 − 𝑄𝑃

𝐴𝑟𝑒𝑧2

𝑑П3

𝑑𝑡=

𝑄23 − 𝑄𝑃

𝐴𝑟𝑒𝑧3

Цеви између резервоара (закон одржања количине кретања са занемареном инерцијом воде)

𝑄12 = 𝑠𝑔𝑛(П1 − П2)√|П1 − П2|

𝑟12 𝑟12 = 𝜆е𝑓1

𝐿1

𝐷1

1

2𝑔𝐴12 𝜆е𝑓1 = 𝜆1 + 𝜉𝑍1

𝐷1

𝐿1

𝑄23 = 𝑠𝑔𝑛(П2 − П3)√|П2 − П3|

𝑟23 𝑟23 = 𝜆𝑒𝑓2

𝐿2

𝐷2

1

2𝑔𝐴22 𝜆е𝑓2 = 𝜆2 + 𝜉𝑍2

𝐷2

𝐿2


П1𝑛+1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

П2𝑛+1 = П2

𝑛 + ∆𝑡 ∙𝑄12

𝑛 − 𝑄23𝑛 − 𝑄𝑝

𝑛

𝐴𝑟𝑒𝑧2

П3𝑛+1 = П3

𝑛 + ∆𝑡 ∙𝑄23

𝑛 − 𝑄𝑝𝑛

𝐴𝑟𝑒𝑧3

𝑄12𝑛+1 = 𝑠𝑔𝑛(П1

𝑛+1 − П2𝑛+1)√

|П1𝑛+1 − П2

𝑛+1|

𝑟12

𝑄23𝑛+1 = 𝑠𝑔𝑛(П2

𝑛+1 − П3𝑛+1)√

|П2𝑛+1 − П3

𝑛+1|

𝑟23

Q12

Q23



51


П1𝑛+1 = 109 𝑚 н. м. 𝑄𝑝 − промена потрошње је дата дијаграмом


Задатком су дати нивои воде у резервоарима, и потребно је коришћењем закона одржања

енергије срачунати протоке у цевима.

П10 = 109 𝑚 н. м. П2

0 = 105 𝑚 н. м. П30 = 100 𝑚 н. м.

𝑄120 = 103,6 𝐿/𝑠 𝑄23

0 = 79,9 𝐿/𝑠

Временски корак се може одредити у односу на промену потрошње. Са овог дијаграма се може

закључити да корак не може бити мањи од 2 min, па ће тако задатак бити решен са временским

кораком од 30s, 10s и 1s.

Решење

У наставку је приказан табеларни прорачун за временски корак од 30s, а на графику су приказани

и резултати за остале временске кораке.

n t П1 Q12 П2 Q23 П3 Qp

[-] [s] [m n.m.] [m3/s] [m n.m.] [m3/s] [m n.m.] [m3/s]

0 0 109 0,104 105,00 0,080 100,00 0,100

1 30 109 0,106 104,82 0,079 99,95 0,100

2 60 109 0,108 104,64 0,078 99,90 0,100

3 90 109 0,110 104,48 0,077 99,85 0,100

4 120 109 0,112 104,32 0,076 99,79 0,150

5 150 109 0,115 104,05 0,075 99,62 0,150

6 180 109 0,118 103,78 0,075 99,44 0,150

7 210 109 0,121 103,53 0,074 99,26 0,150

8 240 109 0,124 103,29 0,073 99,08 0,150

9 270 109 0,126 103,05 0,073 98,89 0,150

10 300 109 0,129 102,82 0,072 98,71 0,150

11 330 109 0,131 102,59 0,072 98,52 0,150

12 360 109 0,133 102,38 0,072 98,34 0,050

13 390 109 0,133 102,40 0,072 98,39 0,050

14 420 109 0,133 102,43 0,071 98,44 0,050

15 450 109 0,133 102,46 0,071 98,49 0,050

16 480 109 0,132 102,49 0,071 98,54 0,050

17 510 109 0,132 102,51 0,071 98,59 0,050

18 540 109 0,132 102,54 0,071 98,64 0,050

19 570 109 0,131 102,57 0,070 98,69 0,050

20 600 109 0,131 102,59 0,070 98,74 0,050



52



53

Математички модел – крути удар

Овај математички модел, који занемарује стишљивост воде, се састоји од једначина одржавања

количине кретања написаних за цеви и једначина одржања масе за резервоаре. Ове једначине се

пишу у односу на скицу задатка и уведене претпостављене смерове протока између резервоара

R1 и R2 тј. R2 и R3.


𝑑П1

𝑑𝑡= 0 (условом задатка се ниво у резервоару 1 не мења)

𝑑П2

𝑑𝑡=

𝑄12 − 𝑄23 − 𝑄𝑃

𝐴𝑟𝑒𝑧2

𝑑П3

𝑑𝑡=

𝑄23 − 𝑄𝑃

𝐴𝑟𝑒𝑧3

Цеви између резервоара (закон одржања количине кретања без занемарења инерције воде,

једначине су написане претпостављеном једнакости кота у резервоару и непосредно уз резервоар

у цеви)

𝑑𝑄12

𝑑𝑡=

𝑔𝐴1

𝐿1

(П1 − П2) −2𝜆𝑒𝑓1

𝐷13𝜋

𝑄12|𝑄12|

𝑑𝑄23

𝑑𝑡=

𝑔𝐴2

𝐿2

(П2 − П3) −2𝜆𝑒𝑓2

𝐷23𝜋

𝑄23|𝑄23|


П1𝑛+1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

П2𝑛+1 = П2

𝑛 + ∆𝑡 ∙𝑄12

𝑛 − 𝑄23𝑛 − 𝑄𝑝

𝑛

𝐴𝑟𝑒𝑧2

П3𝑛+1 = П3

𝑛 + ∆𝑡 ∙𝑄23

𝑛 − 𝑄𝑝𝑛

𝐴𝑟𝑒𝑧3

𝑄12𝑛+1 = 𝑄12

𝑛 + 𝛥𝑡 ∙ (𝑔𝐴1

𝐿1

(П1𝑛 − П2

𝑛) −2𝜆𝑒𝑓1

𝐷13𝜋

𝑄12𝑛 |𝑄12

𝑛 |)

𝑄23𝑛+1 = 𝑄23

𝑛 + 𝛥𝑡 ∙ (𝑔𝐴2

𝐿2

(П2𝑛 − П3

𝑛) −2𝜆𝑒𝑓2

𝐷23𝜋

𝑄23𝑛 |𝑄23

𝑛 |)


Одређују се идентично као и код примене модела квази-устаљеног течења.

Временски корак може да се процени на основу карактеристичног времена, у овом случају

периода осциловања између два резервоара спојена помоћу цеви.

Т12 = 2𝜋√𝐿1𝐴𝑟𝑒𝑧2

𝑔𝐴1= 707,7 𝑠



54

Т23 = 2𝜋√𝐿2𝐴𝑟𝑒𝑧2𝐴𝑟𝑒𝑧3

𝑔𝐴2(𝐴𝑟𝑒𝑧2 + 𝐴𝑟𝑒𝑧3)= 555,9 𝑠

Ако се временски корак изабере као 1/20 одн. 1/40 карактеристичног времена осциловања, у

случају обе цеви може се усвојити Δt = 15s.

Решење

У наставку је приказан табеларни прорачун и графици за временски корак од 15s.

n t П1 Q12 П2 Q23 П3 Qp

[-] [s] [m n.m.] [m3/s] [m n.m.] [m3/s] [m n.m.] [m3/s]

0 0 109 0,104 105,00 0,080 100,00 0,100

1 15 109 0,104 104,91 0,080 99,98 0,100

2 30 109 0,105 104,82 0,079 99,95 0,100

3 45 109 0,106 104,73 0,079 99,93 0,100

4 60 109 0,107 104,64 0,078 99,90 0,100

5 75 109 0,108 104,56 0,078 99,88 0,100

6 90 109 0,109 104,48 0,077 99,85 0,100

7 105 109 0,110 104,39 0,077 99,82 0,100

8 120 109 0,111 104,32 0,076 99,79 0,150

9 135 109 0,112 104,18 0,076 99,71 0,150

10 150 109 0,114 104,04 0,075 99,62 0,150

11 165 109 0,116 103,91 0,075 99,53 0,150

12 180 109 0,117 103,78 0,075 99,44 0,150

13 195 109 0,119 103,65 0,074 99,35 0,150

14 210 109 0,120 103,52 0,074 99,26 0,150

15 225 109 0,122 103,40 0,074 99,17 0,150

16 240 109 0,123 103,28 0,073 99,08 0,150

17 255 109 0,124 103,16 0,073 98,99 0,150

18 270 109 0,126 103,04 0,073 98,89 0,150

19 285 109 0,127 102,92 0,073 98,80 0,150

20 300 109 0,128 102,81 0,073 98,71 0,150



55

У наставку су на истом графику нацртана решења добијена моделом квази-устаљеног и крутог

удара. Moже се приметити да нема велике разлике у резултатима коришћењем два различита

модела у првих 600 s, па је сасвим оправдано користити једноставнији модел. Ово се могло

закључити и разматрањем граничних услова и инерције система (карактеристичних времена).



56

13. задатак



57

Математички модел – крути удар

Будући да се у овом систему очекује да се максимални ниво у резервоару оствари приликом

осциловања воде између два резервоара, решење треба тражити са моделима који узимају у

обзир инерцију воде.


𝑑П𝐴

𝑑𝑡= 0 (условом задатка се ниво у резервоару 𝐴 не мења)

𝑑П𝐵

𝑑𝑡=

𝑄𝐴𝐵 − 𝑄𝑖𝑠𝑝

𝐴𝐵

Цев између резервоара (закон одржања количине кретања без занемарења инерције воде,

једначине су написане претпостављеном једнакости кота у резервоару и непосредно уз резервоар

у цеви)

𝑑𝑄𝐴𝐵

𝑑𝑡=

𝑔𝐴

𝐿(П𝐴 − П𝐵) −

2𝜆

𝐷3𝜋𝑄𝐴𝐵|𝑄𝐴𝐵|


П𝐴𝑛+1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

П𝐵𝑛+1 = П𝐵

𝑛 + ∆𝑡 ∙𝑄𝐴𝐵

𝑛 − 𝑄𝑖𝑠𝑝𝑛

𝐴𝐵

𝑄𝐴𝐵𝑛+1 = 𝑄𝐴𝐵

𝑛 + 𝛥𝑡 ∙ (𝑔𝐴

𝐿(П𝐴

𝑛 − П𝐵𝑛) −

2𝜆

𝐷3𝜋𝑄𝐴𝐵

𝑛 |𝑄𝐴𝐵𝑛 |)


П𝐴𝑛+1 = 75 𝑚 н. м.

𝑄𝑖𝑠𝑝𝑛+1 = 𝐶𝑄

𝐷𝑖𝑠𝑝2 𝜋

4√2𝑔(П𝐵

𝑛+1 − 65)


Условима задатка су задате пијезометарске коте у резервоарима, које се разликују, због чега вода

тече између два резервоара. Проток кроз цев може да се срачуна коришћењем једначине

одржања енергије између два резервоара.

П𝐴0 = 75 𝑚 н. м. П𝐵

0 = 70 𝑚 н. м.

QAB Qisp



58

𝑄𝐴𝐵0 = √

П𝐴0 − П𝐵

0

𝜆𝐿𝐷

12𝑔𝐴2

= 85,75 𝐿/𝑠

Временски корак може да се процени на основу карактеристичног времена, у овом случају

периода осциловања између два резервоара спојена помоћу цеви.

Т𝐴𝐵 = 2𝜋√𝐿𝐴𝐵

𝑔𝐴= 533,5 𝑠 ∆𝑡 =

𝑇𝐴𝐵

20 ÷ 40≈ 15 𝑠

Решење

1) Прорачун промене нивоа воде у резервоару В у првих 15 временских тренутака

n t ПA QAB ПB Qisp

[-] [s] [m

n.m.] [m3/s]

[m

n.m.] [m3/s]

0- 0- 75 0,0857 70 0

0+ 0+ 75 0,0857 70 0,0700

1 15 75 0,0857 70,05 0,0703

2 30 75 0,0853 70,09 0,0707

3 45 75 0,0849 70,14 0,0710

4 60 75 0,0845 70,18 0,0713

5 75 75 0,0841 70,22 0,0715

6 90 75 0,0838 70,26 0,0718

7 105 75 0,0835 70,29 0,0720

8 120 75 0,0832 70,33 0,0723

9 135 75 0,0829 70,36 0,0725

10 150 75 0,0826 70,39 0,0727

11 165 75 0,0823 70,42 0,0729

12 180 75 0,0820 70,45 0,0731

13 195 75 0,0818 70,48 0,0733

14 210 75 0,0815 70,50 0,0734

15 225 75 0,0813 70,53 0,0736

2) Прорачун протока који се успостави у систему при устаљеном течењу

При прорачуну овог протока треба водити рачуна да у резервоару В ниво неће бити

70 m н.м., већ нека непозната вредност, и да ће при устаљеном проток у цеви бити једнак

протоку на испусту. Проток је могуће срачунати постављањем две енергетске једначине:

75 = П𝐵 + 𝜆𝐿

𝐷

𝑄𝑢𝑠𝑡2

2𝑔𝐴2 𝑄𝑢𝑠𝑡 = 𝑄𝑖𝑠𝑝 = 𝐶𝑄

𝐷𝑖𝑠𝑝2 𝜋

4√2𝑔(П𝐵 − 65)

𝑄𝑢𝑠𝑡 = 76,7 𝐿/𝑠 П𝐵 = 71 𝑚 н. м.



59

14. задатак


Математички модел који описује течење у цевима под притиском и који узима у обзир инерцију

и стишљивост флуида је математички модел хидрауличког удара. Једначине закона одржања

(масе и количине кретања) су облику парцијалних диференцијалних једначина, и један од начина

како се могу решити је метода карактеристика. Једначине у облику карактеристика су следећег

облика:

+𝑑П

𝑑𝑡+

𝑎

𝑔

𝑑𝑣

𝑑𝑡+

𝜆𝑎𝑣|𝑣|


𝑑𝑥

𝑑𝑡= +𝑎, (позитивна карактеристика)

−𝑑П

𝑑𝑡+

𝑎

𝑔

𝑑𝑣

𝑑𝑡+

𝜆𝑎𝑣|𝑣|


𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝑎, (негативна карактеристика)

где је 𝑎 брзина простирања поремећаја кроз цев, 𝜆 коефицијент отпора, 𝑣 брзина течења у цеви,

а 𝐷 њен пречник. При извођењу система једначина (1) претпостављено је да је нагиб цеви у

односу на хоризонталну раван занемарљив, као и да је брзина простирања поремећаја 𝑎 неколико

редова величине већа од брзина течења у цеви 𝑣.


Избор пресека. Будући да закони одржања у облику у ком су записани (као карактеристике, са

средњом профилском брзином) важе само на цевима константног попречног пресека, пресецима

у којим се врши њихова дискретизација треба најмање да буду на крајевима цеви:

Осим ових пресека на крајевима цеви, могуће је додати неограничен број пресека између – са

којима може а не мора да се води рачуна да буду на истом растојању (у том случају је потребно

користити и неку од метода за интерполацију методе карактеристика).

Нумерички модел у општем запису

1 2 3 4



60

C+ П𝑖𝑛+1 = 𝐶𝑃𝑖−1 − 𝐵𝑄𝑖

𝑛+1, 𝐶𝑃𝑖−1 = П𝑖−1𝑛 + 𝐵𝑄𝑖−1


𝑛 |,

C- П𝑖𝑛+1 = 𝐶𝑀𝑖+1 + 𝐵𝑄𝑖

𝑛+1, 𝐶𝑀𝑖+1 = П𝑖+1𝑛 − 𝐵𝑄𝑖+1

𝑛 + 𝑀𝑄𝑖+1𝑛 |𝑄𝑖+1

𝑛 |.

𝐵 =𝑎

𝑔𝐴 𝑀 =

𝜆∆𝑥

2𝑔𝐷𝐴2


Пресек 1 се налази непосредно уз резервоар A, и коришћењем енергетске једначине се може

повезати са нивоом воде у резервоару. Ако се додатно занемари локални губитак на улазу (као

мала величина у односу на величину пијезометарских кота или губитке на трење), тада су ниво

у резервоару и пијезометарска кота у пресеку А практично једнаки.

П𝐴 = П1 + 𝜉𝑢𝑙

𝑣12

2𝑔≈ П1 = 72 𝑚 н. м.

За пресек 4, који се налази непосредно уз резервоар В, може се на сличан направити веза између

пијезометарских кота у цеви и резервоару:

П4 = П𝐵 = 93 𝑚 н. м.

Пресеци 2 и 3 се налазе непосредно око затварача, и ова два пресека се могу повезати једначином

континуитета и енергетском једначином (брзинске висине у два пресека су занемарене, јер су

међусобно једнаке):

𝑄2 = 𝑄3

П2 = П3 + 𝜉𝑧𝑎𝑡

𝑄3|𝑄3|

2𝑔𝐴2 𝜉𝑧𝑎𝑡 = {

0,05 𝑡 = 03,5 𝑡 > 0

Нумерички модел примењен на сваки од пресека:

- Пресек 1 – стање у овом пресеку је одређено помоћу граничног услова са леве стране

(резервоар) и негативне карактеристике из пресека 2:

П𝐴 = П1

П1𝑛+1 = 𝐶𝑀2 + 𝐵𝑄1

𝑛+1, 𝐶𝑀2 = П2𝑛 − 𝐵𝑄2


𝑛|

𝐵 =𝑎

𝑔𝐴 𝑀1 =

𝜆∆𝑥

2𝑔𝐷𝐴2

На основу познате пијезометарске коте се одређује проток:

𝑄1𝑛+1 =

П𝐴 − 𝐶𝑀2

𝐵

- Пресек 2 и пресек 3 су спојени унутрашњим граничним условом, па би требало

заједно да се разматрају. У ова два пресека постоје укупно 4 непознате величине (2

протока и 2 пијезометарске коте), за чије одређивање је потребно направити 4

независне једначине. Стање у ова два пресека је одређено помоћу позитивне

карактеристике из пресека 1 и негативне карактеристике из пресека 4, али и две

једначине које описују везу два пресека преко затварача (једначина континуитета и

закон одржања енергије).

П2𝑛+1 = 𝐶𝑃1 − 𝐵𝑄2

𝑛+1, 𝐶𝑃1 = П1𝑛 + 𝐵𝑄1


𝑛|,



61

П3𝑛+1 = 𝐶𝑀4 + 𝐵𝑄3

𝑛+1, 𝐶𝑀4 = П4𝑛 − 𝐵𝑄4


𝑛|

𝐵 =𝑎

𝑔𝐴 𝑀1 =

𝜆∆𝑥

2𝑔𝐷𝐴2

𝑄2𝑛+1 = 𝑄3

𝑛+1 П2𝑛+1 = П3

𝑛+1 + 𝜉𝑧𝑎𝑡

𝑄3𝑛+1|𝑄3

𝑛+1|

2𝑔𝐴2

Сређивањем се рачунају протоци и пијезометарске кота:

𝑄2𝑛+1 = 𝑄3

𝑛+1 =−𝐵 + √𝐵2 +

𝜉𝑧𝑎𝑡

2𝑔𝐴2 (𝐶𝑃1 − 𝐶𝑀4)

𝜉𝑧𝑎𝑡

2𝑔𝐴2

П2𝑛+1 = 𝐶𝑃1 − 𝐵𝑄2

𝑛+1,

П3𝑛+1 = 𝐶𝑀4 + 𝐵𝑄3

𝑛+1,

- Пресек 4 – стање у овом пресеку је одређено помоћу позитивне карактеристике из

пресека 3 и граничног услова са десне стране (резервоар):

П4𝑛+1 = 𝐶𝑃3 − 𝐵𝑄4

𝑛+1, 𝐶𝑃3 = П3𝑛 + 𝐵𝑄3


𝑛|,

П4𝑛+1 = П𝐵 = 93 𝑚 н. м.

На основу познате пијезометарске коте одређује се проток:

𝑄4𝑛+1 =

𝐶𝑃3 − П𝐵

𝐵


Почетно стање система се одређује на основу закона одржања енергије, водећи рачуна о

коефицијенту губитка на затварачу:

102𝑚 = 93𝑚 + 𝜆𝐿

𝐷

𝑄𝑢𝑠𝑡,02

2𝑔𝐴2+ 0,05

𝑄𝑢𝑠𝑡,02

2𝑔𝐴2 → 𝑄𝑢𝑠𝑡,0 = 29,51 𝐿/𝑠

П10 = 102 𝑚 н. м. П2

0 = 97,501 𝑚 н. м. П30 = 97,499 𝑚 н. м. П4

0 = 93 𝑚 н. м.

Крајње стање

Крајње стање система се одређује на основу закона одржања енергије, водећи рачуна о

коефицијенту губитка на затварачу:

102𝑚 = 93𝑚 + 𝜆𝐿

𝐷

𝑄𝑢𝑠𝑡,∞2

2𝑔𝐴2+ 3,5

𝑄𝑢𝑠𝑡,∞2

2𝑔𝐴2 → 𝑄𝑢𝑠𝑡,∞ = 29,26 𝐿/𝑠

Временски корак је одређен усвојеном просторном дискретизацијом и брзином простирања

поремећаја:

∆𝑡 =∆𝑥

𝑎=

1000𝑚

1000 𝑚/𝑠= 1 𝑠

t = 0s

t → ∞



62

Решење

У наставку је табеларни прорачун за првих 10 s, и графици промене пијезометарских кота одн.

протока у 4 пресека.

n t П 1 Q 1 CM 2 CP 1 П 2 Q 2 П 3 Q 3 CM 4 CP 3 П 4 Q 4

[-] [s] [m] [m3/s] [m] [m] [m] [m

3/s] [m] [m

3/s] [m] [m] [m] [m

3/s]

0 0- 102 0,02952 6,23 193,28 97,5008 0,02952 97,4985 0,02952 1,72 188,77 93 0,02952

0 0+ 102 0,02952 6,37 193,28 97,5786 0,02949 97,4214 0,02949 1,73 188,63 93 0,02952

1 1 102 0,02947 6,37 193,14 97,5789 0,02949 97,4217 0,02949 1,86 188,63 93 0,02947

2 2 102 0,02947 6,50 193,14 97,5784 0,02945 97,4216 0,02945 1,86 188,50 93 0,02947

3 3 102 0,02943 6,50 193,03 97,5781 0,02945 97,4213 0,02945 1,97 188,50 93 0,02943

4 4 102 0,02943 6,59 193,03 97,5782 0,02942 97,4218 0,02942 1,97 188,41 93 0,02943

5 5 102 0,02940 6,60 192,94 97,5785 0,02942 97,4221 0,02942 2,06 188,41 93 0,02940

6 6 102 0,02940 6,68 192,94 97,5781 0,02939 97,4219 0,02939 2,06 188,32 93 0,02940

7 7 102 0,02938 6,68 192,87 97,5778 0,02939 97,4217 0,02939 2,13 188,32 93 0,02938

8 8 102 0,02938 6,74 192,87 97,5779 0,02937 97,4221 0,02937 2,13 188,26 93 0,02938

9 9 102 0,02936 6,74 192,81 97,5782 0,02937 97,4223 0,02937 2,19 188,26 93 0,02936

10 10 102 0,02936 6,80 192,81 97,5778 0,02935 97,4222 0,02935 2,19 188,20 93 0,02936

Пресек 1 Пресеци 2 и 3 Пресек 4

Documents

1. задатак...W A ' (9) 1 nn nnB BB B QQ W A ' (10) 1 n nnCB CC C Q W A ' (11) n1 Q M (12) 2. Једначине одржања енергије за цеви: 11 1) nn n AM