1 Zad an - NMSkmlinux.fjfi.cvut.cz/~tichaond/download/protokoly/ZS/_protokol_11.pdf · Fyzik aln praktikum FJFI CVUT v Praze Uloha c. 11 : Dynamika rota cn ho pohybu Jm eno: Ond rej

Fyzikalnı praktikum FJFI CVUT v Praze

Uloha c. 11 : Dynamika rotacnıho pohybu

Jmeno: Ondrej TichacekDatum merenı: 16.11.2012

Pracovnı skupina: 6 Klasifikace:Kruh: ZS 6

1 Zadanı

1. V domacı prıprave odvod’te vzorec pro vypocet momentu setrvacnosti valce a duteho valce. Vyjdete zdefinice a odvod’te vztahy (4) a (5).

2. Zmerte momenty setrvacnosti prilozenych rotacnıch objektu experimentalne a porovnejte je s hodnotamiz teoretickych vzorcu. Merenı proved’te alespon petkrat. Pouzijte disk, disk + prstenec a pomocı nichstanovte moment setrvacnosti samotneho prstence.

3. Zmerte moment setrvacnosti disku umısteneho na draze mimo osu rotace a pomocı vysledku z predchozıhoukolu overte platnost Steinerovy vety.

4. Overte zakon zachovanı momentu hybnosti. Do protokolu prilozte graf zavislosti uhlove rychlosti rotacena case.

5. Zmerte rychlost precese gyroskopu jak prımo senzorem, tak i neprımo z merenı rychlosti rotace disku.Merenı proved’te alespon petkrat.

2 Vypracovanı

2.1 Pouzite prıstroje

”A”base rotational adapter PASCO CI-6690, prıdavny disk a prstenec, rotacnı draha s dvema zavazımi, Gy-roskop PASCO ME-8960, Prıdavny disk gyroskopu ME-8961, dva rotacnı senzory PASXO PS-2120, USB linkPASXO 2100, PC, program Datastudio, nit, posuvne merıtko, zavazı (kulicky na sponce), stojan s kladkou,milimetrove merıtko, vahy.

2.2 Teoreticky uvod

Pro popis rotacnıch vlastnostı telesa je zakladnı velicinou jeho moment setrvacnosti I. Je to symetricky tenzor,ktery muzeme vyjadrit pomocı jeho trı diagonalnıch slozek - hlavnıch momentu setrvacnosti. Pokud je objektsymetricky, muze se vztah jeste zjednodusit. Moment setrvacnosti je definovan nasledujıcım vztahem

I =

∫M

mr2dm, (1)

ktery prehazı do podoby

I =

∫V

%r2dV, (2)

je-li teleso homogennı, je mozne vztah jeste zjednodusit.

I = %

∫V

r2dV, (3)

Takto muzeme jednoduchou integracı odvodit (viz dale) moment setrvacnosti nekterych symetrickych teles.Naprıklad:

pro rotujıcı disk

I =1

2MR2 (4)

1

pro rotujıcı prstenec

I =1

2M(R2

1 +R22), (5)

kde R1 je vnitrnı polomer, R2 vnejsı polomer.

Dalsı vyznamnou vlastnostı momentu setrvacnosti je jeho aditivita, zachovavame-li osu rotace.Pri nasem merenı budeme moment setrvacnosti urcovat pomocı sestavy na obrazku 1 v [1]. Bude-li na kotouc

pusobit konstantnı sıla (pres pripojenou kladku pomocı zavazı na provazku, padajıcıho k zemi vlivem tıhovesıly), zıska kotouc uhlove zrychlenı ε. Toto je popsano vztahem

N = Iε. (6)

V nasem usporadanı je moment sıly N popsan vztahem

N = rF = rm(g − a) = rm(g − εr), (7)

kde r je polomer roztacene kladky spojene s kotoucem, F sıla napınajıcı vlakno, m je hmotnost zavazı, kterepada k zemi s zrychlenım a a g je tıhove zrychlenı.

Vysledny vzorec tedy je

I = mr(g

ε− r). (8)

Pokud teleso nerotuje kolem osy prochazejıcı tezistem, pouzijeme pro vypocet momentu setrvacnosti Stei-nerovu vetu

I = I0 +Md2, (9)

kde I0 je moment setrvacnosti vzhledem k ose prochazejıcı tezistem a d je kolma vzdalenost teziste od osyrotace.

Dale definujeme moment hybnostiL = Iω. (10)

Pokud na soustavu nepusobı vnejsı momenty sıly, moment hybnosti se zachovava. Zmenıme-li tedy momentsetrvacnosti (zmenıme rozlozenı hmotnosti v telese), musı se zmenit rychlost rotace.

Dulezitym objektem souvisejıcım s rotacnım pohybem je setrvacnık. K promerenı zavislostı budeme v ulozepouzıvat gyroskop. V nasem prıpade se jedna o horizontalnı setrvacnık upevneny na kolme pohyblive ose.Takovyto bezsilovy setrvacnık zachovava rovinu rotace. Pokud ho vyvedeme z rovnovahy pridavnym zavazım,zacne vykonavat precesi a nutaci.

V zakladnım stavu je gyroskop vyvazen v horizontalnı poloze. Umıstenım prıdavneho zavazı m do vzdalenostid od osy gyroskopu pusobıme momentem sıly o velikosti

N = mgd. (11)

Pro moment sıly zaroven platı

N =dL

dt, (12)

kde L je moment setrvacnosti disku, ktery se tocı s uhlovou rychlostı ω. Pro male vychylky dφ platı podleobrazku 2 v [1]

dL = Ldφ. (13)

Kombinacı predchozıch vztahu zıskavame

N = Ldφ

dt= LΩ, (14)

kde Ω je hledana precesnı rychlost. Vzorec pro vypocet precesnı uhlove rychlosti je tedy

Ω =mgd

Iω(15)

2

2.3 Postup merenı

2.3.1 Moment setrvacnosti disku a prstence

Moment setrvacnosti budeme urcovat pro dve soustavy – disk, disk + prstenec. U obou postupujeme stejnepodle nasledujıcıho postupu. Pro kazdou soustavu opakujeme 10-krat.

Aparaturu sestavıme pomocı obrazku 1 v [1].

Aparaturu vyrovname tak, aby byla pokud mozno vodorovne a nenastavalo samovolne otacenı. Tato castje nicmene velmi obtızna, srovnat soustavu uplne presne se nepodarı.

Na nit zavesıme zavazı, nastavıme smer tak, aby nit mırila ve smeru tecny ke kladce. Pri merenı pakotacıme soustavou jen tım smerem, aby tecny smer niti zustal zachovany (nesmı se zmenit smer navinutıniti na valci).

Zavazı nechame volne padat k zemi, roztacıme tak teleso, jehoz moment setrvacnosti merıme.

Data zaznamenavame v programu DataStudio. Zajıma nas velikost uhloveho zrychlenı. Pri odecıtanıdavame pozor, abychom vybrali tu cast pohybu, kde je zavislost rychlosti na case linearnı. Vynechavamenapr. ty casti, kdy jiz zavazı dopadlo na zem a rychlost se jiz nezvysovala. Velikost zrychlenı zıskame jakosmernici linearnıho fitu popsane zavislosti.

Moment setrvacnosti pak spocıtame podle vztahu (8).

2.3.2 Steinerova veta

Na podstavu umıstıme rotacnı drahu a pomocı nastavce pridelame v urcite vzdalenosti od osy rotace disk (vizobr. 2 v [1]). Dale postupujeme stejne jako v predchozım bode. Vysledky merenı porovnavame s teoretickymznenım Steinerovy vety.

2.3.3 Zakon zachovanı momentu hybnosti

Opet pouzijeme rotacnı drahu, umıstıme na ni 2 zavazı, kazde na jednu stranu od osy otacenı. Dale pridelamena kazdou stranu dve zarazky v dane vzdalenosti od osy (cca 6 a 20 cm). Zavazı jsou spojena provazkem, kteryje provlecen okem a dırkou ve stredu stojanu. Kdyz zatahneme za provazek smerem nahoru, prenası se sıla naobe zavazı a ta se posoupnou smerem do stredu rotacnı drahy, tj k ose otacenı. Merenı probıha nasledovne.

Zavazı umıstıme do krajnıch poloh (vzdalenejsıch od osy).

Roztocıme drahu, zapneme sbıranı dat.

Po urcite dobe zatahneme za provazek a zavazı tak prisuneme do poloh blıze k ose (az na doraz).

Po urcite dobe provazek pustıme, zavazı opet prejedou do vzdalenejsıch poloh.

Pokud se v tomto bode zavazı jiz do krajnıch poloh samy nevratı, merenı ukoncıme, v opacnem prıpadeopakujeme poslednı dva body, nez tento stav nastane.

2.3.4 Precese Gyroskopu

Promerıme rozmery a hmotnosti jednotlivych castı gyroskopu, ktere budeme pozdeji pouzıvat ve vypoctech(napr. konstanty pro prepocet uhlove rychlosti zaznamenane senzorem).

Gyroskop vyvazıme a vyrovname stojan do vodorovne polohy.

Na urcene mısto (za rotacnı disk) umıstıme prıdavne zavazı, ktere vytvarı moment sıly, ktery zpusobıprecesi.

Rotacnı disk roztocıme (co nejvetsı silou), pricemz gyroskop drzıme v klidu.

Gyroskop pustıme a zapneme merenı dat. Zaznamenavame precesnı pohyb a uhlovou rychlost otacenırotacnıho disku. Poslednı dva body opakujeme nekolikrat.

3

2.4 Namerene hodnoty

Odvozenı vzorcu (4) a (5)

Moment setrvacnosti valce:

I =

∫V

%r2dV = %

∫ h

0

∫ R

0

∫ 2π

0

r3dzdrdϕ =M

2

hπ

VR4 =

1

2MR2, (16)

protoze objem valce V = πR2h.Moment setrvacnosti prstence

I =

∫V

%r2dV = %

∫ h

0

∫ R2

R1

∫ 2π

0

r3dzdrdϕ =M

2

hπ

V(R4

2 −R41) =

1

2M(R2

2 +R21), (17)

protoze objem valce V = π(R22 −R2

1)h.


Vysledky jsou v tabulkach 1 a 2.

m [kg] r [m] g [ms−2] R [m] R1 [m] R2 [m] Md [kg] Mp [kg]

0.0519 0.016 9.81 0.1138 0.05375 0.0638 1.423 1.423

Tabulka 1: Tabulka namerenych hodnot povazovanych za konstanty; m je hmotnost zavazı, r polomer kladky,g tıhove zrychlenı, R polomer disku, R1 vnitrnı a R2 vnejsı polomer prstence, Md = Mp hmotnost disku resp.prstence

ε1 [s−2] ∆ε [s−2] I1 [kgm2] ε2 [s−2] ∆ε [s−2] I2 [kgm2]

0.775 0.0011 0.0105 0.461 0.0050 0.01770.738 0.0021 0.0110 0.422 0.0025 0.01930.75 0.0023 0.0108 0.482 0.0008 0.0169

0.788 0.0041 0.0103 0.432 0.0100 0.01880.709 0.0030 0.0115 0.466 0.0050 0.01750.702 0.0012 0.0116 0.474 0.0041 0.01720.735 0.0078 0.0111 0.486 0.0004 0.01670.775 0.0007 0.0105 0.482 0.0024 0.01690.755 0.0056 0.0108 0.467 0.0051 0.01740.757 0.0034 0.0107 0.477 0.0033 0.01710.76 0.0041 0.0107 0.452 0.0050 0.0180

0.714 0.0076 0.0114 0.481 0.0013 0.01690.74 0.0021 0.0110 0.435 0.0064 0.0187

0.749 0.0074 0.0109

I 0.0109 ± 0.0004 0.0176 ± 0.0008

Iteor 0.0092 0.0142

Tabulka 2: Tabulka namerenych hodnot pri urcovanı momentu setrvacnosti disku a prstence; ε je uhlove zrych-lenı, ∆ε jeho chyba, I1 je moment setrvacnosti disku vypocıtany dle vzorce (8), I2 moment setrvacnosti disku +prstence vypocıtany dle vzorce (8), Iteor je teoreticka hodnota vypocıtana dle (4) a (5); do vzorcu dosazujemepotrebne hodnoty z tabulky 1


Vysledky jsou v tabulce 3

4

ε1 [s−2] I1 [kgm2] ε2 [s−2] I2 [kgm2]

0.522 0.0156 0.103 0.0790.565 0.0144 0.116 0.0700.560 0.0145 0.116 0.0700.535 0.0152 0.101 0.0810.514 0.0158 0.110 0.0740.536 0.0152 0.106 0.0770.501 0.0162 0.110 0.0740.586 0.0139 0.112 0.0730.503 0.0162 0.107 0.0760.523 0.0156 0.110 0.0740.510 0.0160 0.109 0.075

I 0.0153 ± 0.0008 0.075 ± 0.003

Iteor 0.0456

Tabulka 3: Tabulka namerenych hodnot pri overovanı Steinerova pravidla; ε je uhlove zrychlenı, I1 je momentsetrvacnosti drahy vypocıtany dle vzorce (8), I2 moment setrvacnosti disku (ve vzdalenosti d = 16 cm odosy) + drahy vypocıtany dle vzorce (8), Iteor je teoreticka hodnota momentu setrvacnosti samotneho disku vevzdalenosti d vypocıtana dle (9); do vzorcu dosazujeme potrebne hodnoty z tabulky 1


Vysledky jsou v tabulce 4 a v grafech na obrazcıch 1, 2, 3, 4 a 5 (pet merenı).

ε1 [s−2] I1 [kgm2] ε2 [s−2] I2 [kgm2]

0.396 0.0206 0.184 0.0440.403 0.0202 0.180 0.0450.414 0.0197 0.183 0.0450.368 0.0221 0.182 0.0450.403 0.0202 0.175 0.0470.404 0.0202 0.187 0.044

I 0.0205 ± 0.0009 0.045 ± 0.001

Tabulka 4: Tabulka namerenych hodnot pri overovanı Steinerova pravidla; ε je uhlove zrychlenı, I1 je momentsetrvacnosti drahy se zavazımi v polohach u stredu (vzdalenost stred zavazı – osa = 8.25 cm) vypocıtany dlevzorce (8), I2 moment setrvacnosti drahy se zavazımi v polohach na krajıch (vzdalenost stred zavazı – osa =21.25 cm) vypocıtany dle vzorce (8); do vzorcu dosazujeme potrebne hodnoty z tabulky 1


Vysledky jsou v tabulkach 5 a 6.

2.5 Diskuze a Zaver


Moment setrvacnosti disku jsme urcili na (0.0109 ± 0.0004) kgm2, prstence na (0.0068 ± 0.0008) kgm2. Teore-tickymi vypocty jsme dospeli k hodnotam 0.0092 kgm2 pro disk a 0.0050 kgm2 pro prstenec. Obe namerenehodnoty jsou o neco vetsı, nez teoreticke. To je v prıpade disku zpusobeno jiste castecne tım, ze jsme nemerilimoment setrvacnosti samotne merıcı aparatury (tj. kladky s osou), ktery jiste nejakou, byt’ malou hodnotu ma.V prıpade prstence, kde je rozdıl experimentalnı a teoreticke hodnoty jeste patrnejsı, jiz tento problem nastatnemuze – moment setrvacnosti prstence jsme dostali jako rozdıl dvou hodnot (soustavy s prstencem, a soustavysamotne). Pravdepodobne tedy hral roli jeste jiny, podstatnejsı vliv. Muze jım byt napr. nepresne nastavenı(ne tecne) kladky prenasejıcı sılu na kladku, ktera zpusobuje moment sıly vuci ose. Dalsım faktorem je trenı.

5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

L [k

gm2s-1

]

ω [

s-1]

t [s]

úhlová rychlost (stav 2)


moment hybnosti (stav 2)


Obrazek 1: Graf zavislosti uhlove rychlosti ω resp. momentu hybnosti L na case t; jednotlive datove radyoddelujı prechody mezi zmenou stavu soustavy, stav 1 odpovıda rozlozenı se zavazımi u stredu, stav 2 odpovıdarozlozenı se zavazımi na krajıch; na grafu muzeme videt zachovanı momentu hybnosti L pri prechodu mezistavy; moment hybnosti byl spocıtan podle (10)

d [m] m [kg] M [kg] rs [m] rk [m] R [m] I [kgm2]

0.205 0.02378 1.731 0.01445 0.02915 0.1275 0.01407

Tabulka 5: Tabulka namerenych hodnot povazovanych za konstanty; d je vzdalenost zavazı od osy gyroskopu,m je hmotnost zavazı, rs polomer kotouce senzoru, rk polomer kladky, R polomer disku, I moment setrvacnostidisku spocıtany podle vztahu (4), M hmotnost disku

Trenı branı roztacenı soustavy a muze tedy navenek pusobit jako faktor zvysujıcı moment setrvacnosti soustavy(samozrejme, ze jej nezvetsuje, ale vysledky upravuje v tomto smyslu).


Moment setrvacnosti disku ve vzdalenosti d = 16 cm od osy jsme urcili na (0.0597 ± 0.0008) kgm2. Teoretickahodnota, ktera jako zakladnı moment setrvacnosti I0 ve vzorci (9) uvazuje namereny moment setrvacnosti diskuz predchozıho ukolu nam dava hodnotu 0.0456 kgm2. Opet je nami namerena hodnota vetsı nez teoreticka.Duvody k tomu budou pravdepodobne stejne, jako u predchozıho ukolu.

Platnost Steinerovy vety jsme alespon radove overili, pro jiste potvrzenı bychom museli mıt zjistit jaka jeprıcina nası systematicke chyby (o 10 − 15% vetsı namerene hodnoty nez teoreticke).


Z grafu na obrazcıch 1 a 2 je patrne, ze se moment hybnosti s nejvetsı pravdepodobnostı zachovava. Rychlejsıpokles uhlove rychlosti i momentu hybnosti za stavu 1 (tj. pri rozlozenı s hmotnostı blıze ke stredu) je zpusobenyvetsımi ztratami kineticke rotacnı energie vlivem trenı. Male skoky v krivce momentu hybnosti jsou zaprıcinenynepresnym urcenım momentu setrvacnosti pri stavech 1 a 2. Pro lepsı overenı zakona by bylo vhodne snızittrenı a presne znat moment setrvacnosti systemu pri obou rozlozenı hmotnosti (pozice zavazı).

6

ωs [s−1] ω [s−1] Ω [s−1] Ωteor [s−1]

118.376 58.680 0.062 0.05889.541 44.387 0.064 0.077

114.583 56.800 0.067 0.06092.531 45.869 0.076 0.07480.821 40.064 0.091 0.085

84.618 41.946 0.052 0.08184.735 42.004 0.100 0.08175.225 37.290 0.134 0.091

102.908 51.013 0.130 0.06786.676 42.966 0.141 0.07996.941 48.055 0.143 0.071

Tabulka 6: Tabulka namerenych hodnot precese; ωs je uhlova rychlost zaznamenana na senzoru, ω = rsrkωs je

uhlova rychlost kotouce, Ω je namerena rychlost precese, Ωteor je teoreticka rychlost precese spocıtana z vztahu(15); prvnıch pet namerenych hodnot koresponduje s teoriı, dalsı tri jsou nejednoznacne, poslednı tri jsou hrubouchybu merenı; do vzorcu dosazujeme potrebne hodnoty z tabulky 5


Pri tomto merenı je velikym problemem gyroskop spravne roztocit. Dalsım problemem je nevyrovnanost podlozky,ktera se prakticky neda odstranit. Kazdy beh experimentu je ovlivnen mnoha faktory a je pomerne slozite rıci,zda se povedl nebo ne. Urcıme-li spravne hrube chyby merenı, praxe pomerne presne koresponduje s teoriı.Hrubych chyb je ovsem v souhrnu tolik, ze merenı nenı prılis prukazne. Nicmene vzhledem k moznostem se namteoreticke predpoklady potvrdit podarilo.

Cast I

Zpracovanı vysledkuPro statisticke zpracovanı budeme potrebovat nasledujıcı vztahy [2]:

Aritmeticky prumer

x =1

n

n∑i=1

xi (18)

Smerodatna odchylka

σx =

√√√√ 1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)2, (19)

kde xi jsou jednotlive namerene hodnoty, n je pocet merenı, x aritmeticky prumer a σx smerodatnaodchylka.

Jedna-li se o neprıme merenı, spocıtame vyslednou hodnotu a chybu dle nasledujıcıch vztahu:Necht’

u = f(x, y, z, . . .) (20)

x = (x± σx), y = (y ± σy), z = (z ± σz), . . . ,

kde u je velicina neprımo urcovana pomocı prımo merenych velicin x, y, z, . . .Pak

u = f(x, y, z, . . .)

σu =

√(∂f

∂x

)2

σ2x +

(∂f

∂y

)2

σ2y +

(∂f

∂z

)2

σ2z + . . . (21)

u = (u± σu),

7

3 Pouzita literatura

Reference

[1] Kolektiv KF, Navod k uloze: Dynamika rotacnıho pohybu [Online], [cit. 22. listopadu 2012]http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/133/mod resource/content/2/11 Dynamika rotacniho pohybu.pdf

[2] Kolektiv KF, Chyby merenı [Online], [cit. 22. listopadu 2012]http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf

8

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

L [k

gm2s-1

]

ω [

s-1]

t [s]





Obrazek 2: Graf zavislosti uhlove rychlosti ω resp. momentu hybnosti L na case t; vıce viz obrazek 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

L [k

gm2 s

-1]

ω [

s-1]

t [s]






9

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50 60

L [k

gm2s-1

]

ω [

s-1]

t [s]






0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25 30 35

L [k

gm2 s

-1]

ω [

s-1]

t [s]






10

Documents

1 Zad an - NMSkmlinux.fjfi.cvut.cz/~tichaond/download/protokoly/ZS/_protokol_11.pdf · Fyzik aln praktikum FJFI CVUT v Praze Uloha c. 11 : Dynamika rota cn ho pohybu Jm eno: Ond rej