10 2 s. Lê Vă à 5 GÓ VÀ &ÔNG THỨ& LƯỢNG GIÁ · PDF file · 2015-03-14sin xtanx cos xcotx 2sinxcosx tanx cotx22+ + = +. 5/ sin xtan x 4sin x tan x 3cos x 32 2 2 2 2+ -

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 1 -

Chương

NG

s

1/ 2 2 2cos x sin x 1 2sin x- = - . 2/ 2 22cos x 1 1 2sin x- = - .

3/ 2 23 4sin x 4cos x 1- = - . 4/ sin xcot x cosx tan x sin x cosx+ = + .

5/ 4 4 2 2sin x cos x 1 2sin xcos x+ = - . 6/ 4 4 2 2cos x sin x cos x sin x- = - .

7/ ( )( )24cos x 3 1 2sin x 1 2sin x- = - + . 8/ ( )( )2 2 21 cosx sin x cosx cos x sin x+ - + = .

9/ 4 4 2 2sin x cos x 1 2cos x 2sin x 1- = - = - . 10/ 3 3sin xcosx sin xcos x sin xcosx+ = .

11/ 2 2 2 2tan x sin x tan x sin x- = . 12/ 2 2 2 2cot x cos x cot x cos x- = .

s

1/ 1

tan x cot xsin x cosx

+ = . 2/ 1 cosx sin x

sin x 1 cosx

-=

+.

3/ 1 1

11 tan x 1 cot x

+ =+ +

. 4/ 21 11 1 tan x 0

cosx cosx

æ öæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- + + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø.

5/ 2

2

2

1 sin x1 2tan x

1 sin x

+= +

-. 6/

tan x tan ytan x tan y

cot x cot y

+=

+.

7/ 4

2 4

2 11 cot x

sin x sin x- = - . 8/

cosx 1tan x

1 sin x cosx+ =

+.

9/ ( )( )2 11 cosx 1 cot x

1 cosx- + =

+. 10/

1 cosx 1 cosx 4cot x

1 cosx 1 cosx sin x

+ -- =

- +.

11/ sin x 1 cosx 2

1 cosx sin x sin x

++ =

+. 12/

sin x cosx 1 cosx

sin x cosx 1 1 sin x

+ -=

- + +.

13/ 2

2

sin x 2cosx 1 cosx

1 cosx2 cosx cos x

+ -=

++ -. 14/

sin x cosx 1 2cosx

1 cosx sin x cosx 1

+ -=

- - +.

GOC VA CÔNG THƯC LƯƠNG GIAC 5

A – HÊ THƯC LƯƠNG GIAC CƠ BAN

Hê thưc lương giac cơ ban

. .

. ..

. .

s. Lê Vă à 5. –

Page - 2 - " A e f wer f rr w re e see s f d y "

s

1/ 6 6 2 2sin x cos x 1 3sin xcos x+ = - .

2/ ( )( )6 6 2 2 2 2sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x- = - - .

3/ ( )2

8 8 2 2 4 4sin x cos x 1 2sin x cos x 2sin x cos x+ = - - .

4/ ( )( )8 8 2 2 2 2sin x cos x sin x cos x 1 2sin x cos x- = - - .

s

1/ ( )( )1 sin x cosx tan x 1 cosx 1 tan x+ + + = + + .

2/ ( )( )1 tan x 1 cot x sin x cosx 1 2sin x cosx+ + = + .

3/ ( ) ( ) ( )2

2 21 tan x cos x 1 cot x sin x sin x cosx+ + + = + .

4/ 2 2sin x tan x cos xcot x 2sin xcosx tan x cot x+ + = + .

5/ 2 2 2 2 2sin x tan x 4sin x tan x 3cos x 3+ - + = .

s

1/ 2 2sin cos tan 1

1 2sin cos tan 1

a - a a -=

+ a a a +. 2/

2 26

2 2

tan sintan

cot cos

a - a= a

a - a.

3/ 2 2cos sin

1 sin cos1 tan 1 cot

a a+ = - a a

- a - a. 4/

( )3

tan sin 1

sin cos 1 cos

a - a=

a a + a.

5/ 2 2

2 2

1tan cot 2

sin cos= a + a +

a a. 6/

22

2 2

1 3tantan 1

cos cos

a- a = +

a a.

7/ 2 2 2 2

2 2 2 2

tan tan sin sin

tan tan sin sin

a - b a - b=

a b a b. 8/

( )2

2

1 cos1 cos1 2cot

sin sin

é ù+ aê ú- a

ê ú- = aê úa aê úë û

.

9/ ( )( )2 11 cos 1 cot

1 cos- a + a =

+ a. 10/

2 3

3

sin cos1 tan tan tan

cos

a + a+ a + a + a =

a.

11/ 2

2

sin cos 1 cot

sin cos cos sin 1 cot

a a + a- =

a + a a - a - a. 12/

2 2 4

2 2 2 2

tan 1 cot 1 tan.

1 tan cot tan cot

a + a + a=

+ a a a + a.

13/

2

21 sin 1 sin4 tan

1 sin 1 sin

æ ö÷+ a - aç ÷ç - = a÷ç ÷ç - a + a ÷çè ø. 14/

2

21 cos 1 cos4cot

1 cos 1 cos

æ ö÷+ a - aç ÷ç - = a÷ç ÷ç - a + a ÷çè ø.

s

1/ 4 2 2

1P sin sin cos= a + a a . 2/ 4 4 2

2P sin cos cos= a - a + a .

3/ 2 2 2

3P sin sin cot= a + a a . 4/ 2 2 2

4P cos cos cot= a + a a .

5/ ( )2 2 2

5P 1 sin cot 1 cot= - a a + - a . 6/ 2 2

6P sin tan cos cot 2sin cos= a a + a a + a a .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 3 -

7/ 2

7

2cos 1P

sin cos

a -=

a + a. 8/

8 2

1 cos 1P

1 cossin

- a= -

+ aa.

9/ 9

cot cotP

tan tan

a + b=

a + b. 10/

10

cosP tan

1 sin

a= a +

+ a.

11/ 11

sin x tan xP sin x cot x

tan x

+= - . 12/

12 2

cosx tan xP cot x cosx

sin x= - .

13/ 2 2

13 2 2

cos x cot xP

sin x tan x

-=

-. 14/

2 22

14 2

1 sin x cos xP cos x

cos x

-= - .

15/ 3 2

15

sin x sin x cos x cosxP

1 2sin x cosx

+ -=

-. 16/

( )2

16

sin x cosx 1P

tan x sin x cosx

+ -=

-.

17/ 2 2 2

17 2 2 2

sin x sin x tan xP

cos x cos x tan x

+=

+. 18/

2 22

18 2

cot x cos xP 1 cos x

cot x

-= + - .

19/ 2 2

2 219 2 2

cos x sin yP cot x cot y

sin x sin y

-= - . 20/

20

1 sin x cosx cot xP

sin x 1 cot x 1 tan x= - -

+ +.

21/ 21

1 cosx 1 sin xP tan x cot x

sin x cosx

- -= + + + . 22/

22

1 1P 1 cot x 1 cot x

sin x sin x

æ öæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= + + + -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø.

23/ ( ) ( )2 223

P 1 tan x cos x 1 cot x sin x= + + + . 24/ 24

2 2

1P , 0 x

2sin x cot x cos x

æ öp÷ç ÷= < <ç ÷ç ÷çè ø- -.

s à s

1/ 2A 2cos x 1= - .

2/ 2B 3 4sin x= - .

3/ 2C sin x cosx cos x 1= + - .

4/ 2D sin x sin x cosx 1= + - .

5/ E 1 sin x cosx tan x= + + + .

6/ F tan x cot x sin x cosx= - + + .

7/ ( )2G cosx tan x 1 cosx= - + .

8/ ( ) ( )2H 3 4cos x sin x 2sin x 1= - - + .

9/ 2 2I sin x 3cos x 6 cosx 2 sin x= - + - .

10/ 3 3J cos x sin x sin x cosx= - + + .

11/ 3 2K cos x cos x 2sin x 2= + + - .

12/ 2 3L cos x sin x cosx= + + .

13/ ( )2M 1 cosx cos x sin x 1 cosx= + + - + .



14/ 3 2N 2cos x 2cos x sin x 1= + + - .

15/ 3 3 2O cos x sin x 2sin x 1= + + - .

16/ ( )( ) 2P 2sin x 1 2cosx 2sin x 1 3 4cos x= - + + - + .

17/ ( )( )Q 2cosx 1 sin x cosx 1= - + - .

18/ 3 3 2R 4sin x 3cos x 3sin x sin x cosx= + - - .

19/ ( ) ( )2S 1 sin x tan x 1 cosx= + - + .

20/ ( ) 2T 2 5sin x 3 1 sin x tan x= - + - .

21/ 2U 2sin x cosx 2sin x 3sin x cosx 1= - + - - .

22/ ( )V tan x 3cot x 4 sin x 3 cosx= - - + .

23/ X 3sin x 2cosx 3tan x 2= + - - .

24/ ( ) ( )Y 2 tan x sin x 3 cot x cosx 5= - + - + .

25/ ( ) ( )Z 3 cot x cosx 5 tan x sin x 2= - - - - .

s à

1/ 4 4 2A cos x sin x 2sin x= - + .

2/ 4 2 2 2B sin x sin x cos x cos x= + + .

3/ 4 2 2 2C cos x sin x cos x sin x= + + .

4/ ( ) ( )4 2 4 2D cos x 2cos x 3 sin x 2sin x 3= - + - .

5/ 6 6 4 4 2E sin x cos x 2sin x cos x sin x= + - - + .

6/ 1 1

F sin x. , 0 x1 cosx 1 cosx 4

æ öp÷ç ÷= + < <ç ÷ç ÷ç+ - è ø.

7/ 4 2 4 2G sin x 4cos x cos x 4sin x= + + + .

8/ 2 2 2 2 2H cos x cot x 5cos x cot x 4sin x= + - + .

9/ ( ) ( )3 3I 1 cot x sin x 1 tan x cos x sin x cosx= + + + - - .

10/ ( )( )4 4 2 2J sin x cos x 1 tan x cot x 2= + - + + .

11/ ( ) ( )8 8 6 6 4K 3 sin x cos x 4 cos x 2sin x 6sin x= - + - + .

12/ ( ) ( )4 2 4 2 2 2L sin x 1 sin x cos x 1 cos x 5sin x cos x 1= + + + + + .

13/ ( ) ( )2

4 4 2 2 8 8M 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x= + + - + .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 5 -

s à

1/ 2 cot x 1

Atan x 1 cot x 1

+= +

- -.

2/ ( )

22

2 2 2

1 tan x 1B

4tan x 4sin x cos x

-= - .

3/ ( )( )2

2 21 tan xC 1 tan x 1 cot x

tan x

-= - + + .

4/ ( )

22

2 2 2

1 cot x 1D

cot x sin x cos x

-= - .

5/ 6 2

6 2

1 sin x 3tan xE

cos x cos x

-= - .

6/ 2 2 2 2

2 2

tan x cos x cot x sin xF

sin x cos x

- -= + .

7/ 2 2

2

cot x cos x sin x cosxG

cot xcot x

-= + .

8/ 4 4

6 6

sin x cos x 1H

sin x cos

+ -=

+.

Cho ( ) ( )f x 2 1 cosx ,= - ( )g x 2 cosx 3.sin x,= + - ( )h x 2 cosx 3.sin x= + + .

s à ( ) ( ) ( )2 2 2A f x g x h x ,= + +

( ) ( ) ( )4 4 4B f x g x h x ,= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2C f x .g x g x .h x h x .f x= + + .

Cho a sin x sin y bcosx cosy 0- = . r

2 2 2 2

1 1Q

a sin x b cos x a sin y b cos y= +

+ + à .

Cho ( )6 6 4 4Q sin x cos x m sin x cos x= + - + . s Q

à à r Q .

– yê r – ă 1998

Cho 4 4sin x cos x 1

a b a b+ =

+. r

1/

( )

8 8

3 3 3

sin x cos x 1

a b a b

+ =

+

– yê Lê – ă 2001)

2/

( )

10 10

4 4 4

sin x cos x 1

a b a b

+ =

+

– à A s erd – ă 2007



B – ĐƯƠNG TRON LƯƠNG GIAC – CUNG GOC LƯƠNG GIAC

CUNG LIÊN KÊT

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 7 -

NG

I LIÊN HÊ GI A ĐƠN V Đ VA RA IAN

s s r y 2 3 5 7 13 3 15

, , , , , , , 2, ,3 4 9 5 3 3 4 7 15

p p p 9p p p p p p- .

s s r r d ( )rad : 0 0 0 0 0 0 0 0 090 , 36 , 15 , 72 , 270 , 240 , 540 , 750 , 21- - .

s r s à s r d

0 0 021 30', 75 54', 12 36' 0 0 0, 15 30', 105 45'30'', 27 38'49''- .

s r d r s r s ( )2

radp

à 2,5p .

r à r

00 015 030 045 060 075 090 0120 0150 0180

16

p

8

p

6

p

5

12

p

2

p

2

3

p

3

4

p

5

6

p p

4

3

p

Radian 7

4

p

12

p

5

6

p-

2

p

2

3

p

3

4

p

0135 050- 0810

T NH Đ AI CUNG TRON

r ( )10 cm . dà s à

( ) 0 02 3 7 13 3 3, , , , , 2 , , 45 , rad , 75

3 18 5 3 6 4 2

p p p p p p- p .

dà ( )7 cm dà ( )10 cm .

r 30 t.

e à ( )55 cm . e y ( )/40 km h r

y e y

à à à e dà ( )1,75 m à

( )1,26 m . r 15 à rê r dà

ê

BI U I N NG N CUNG LƯƠNG GIAC



d s ê r A 0 0 0 0 030 , 45 , 120 , 120 , 330 ,- -

0 0 0 0 07 4 15 2010630 , 750 , 1250 , , , 750 , 1125 , ,

4 3 2 4

p p p p- - - .

s ( ) k2 , k , k , k , k , k2 3 4

p p pp p Î ¢ .

s y rê r k Î ¢ .

1/ x k= p . 2/ x k22

p= + p .

3/ x 4k= p . 4/ x k3

p= + p .

5/ x k26

p= - + p . 6/ x k

4

p= - + p .

7/ k

x3

p= . 8/

k2x

3 3

p p= + .

9/ k3

x4 4

p p= + . 10/

kx

6 3

p p= + .

à s ¼đs AM

6

p= à

¼đk

s AN798

p= k Î ¢ . k Î ¥

1 r . 2 .

s r d 35

3

p à

m

5

p à s yê à

y

G A TR LƯƠNG GIAC C A T CUNG GOC

d r

1/ sin x, cosx, tan x, cot x 3

x2

pp < < .

2/ 3

sin x , cos x , tan x , cot x4 2 2 2

æ ö æ ö æ ö æ öp p p p÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷+ - - +ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø 0 x

2

p< < .

3/ ( )0 0A sin 40 .cos 290= - . 4/ ( )0 0B sin 25 .cos170= - .

5/ ( )0 0 0C sin225 . tan130 .cot 175= - . 6/ ( )0 0 0D cos195 . tan269 .cot 98= - .

7/ ( )0 0E sin 50 .cos 300= - . 8/ 0 21F sin215 . tan

7

p= .

9/ 3 2

G cot .sin5 3

æ öp p÷ç ÷= -ç ÷çè ø. 10/ os

4 4 9H c .sin . tan .cot

5 3 3 5

p p p p= .

r

1/ 1

sin x2

= 0 090 x 180< < . 2/ 4

sin x5

= - 0 0270 x 360< < .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 9 -

3/ 3

sin x5

= - 3

x2

pp < < . 4/

1cosx

4= 0 x

2

p< < .

5/ 3

cosx5

= 00 x 90< < . 6/ 5

cosx13

= - 0 0180 x 270< < .

7/ 2

cosx5

= x 02

p- < < . 8/

4cosx

5= 0 0270 x 360< < .

9/ 5

sin x13

= x2

p< < p . 10/

1sin x

3= - 0 0180 x 270< < .

11/ tanx 3= 3

x2

pp < < . 12/ tanx 2= - x

2

p< < p .

13/ 1

tan x2

= - x2

p< < p . 14/ cot x 3=

3x

2

pp < < .

15/ 3

tan x4

= 3

x2

pp < < . 16/ tan x 2= - x

2

p< < p .

17/ 2

cot x3

= 0 x2

p< < . 18/ cot x 3= - x

2

p< < p .

19/ cot x 3= - 3

x 22

p< < p . 20/ 0cot15 2 3= +

r s

1/ Cho tanx 2= - . 1 2

5cot x 4 tan x 2sin x cosxA , A

5cot x 4 tan x cosx 3sin x

+ += =

- -.

2/ Cho cot x 2= . 1 2

3sin x cosx sin x 3cosxB , B

sin x cosx sin x 3cosx

- -= =

+ +.

3/ Cho cot x 2= . 1 2 2

2sin x 3cosx 2C , C

3sin x 2cosx cos x sin x cosx

+= =

- -.

4/ Cho tanx 2= . 1

2sin x 3cosxD ,

4sin x 5cosx

+=

-

2 3 3

3sin x 2cosxD ,

5sin x 4cos x

-=

+

3 3

3 2

sin x cos xD ,

sin x sin x cosx

-=

+

4 3 3

sin x 5cosxD ,

sin x 2cos x

+=

-

3 3

5 3

8cos x 2sin x cosxD ,

2cosx sin x

- +=

-

3 3

6 3 2

sin x 2cos x 2sin x 3cosxD

sin x cos x 5sin x

- + +=

- +.

5/ Cho 3

sin x , 0 x5 2

p= < < .

cot x tan xE

cot x tan x

+=

-.

6/ Cho 0 01sin x , 90 x 180

3= < < .

28tan x 3cot x 1F

tan x cot x

+ -=

+.

7/ Cho 2

cosx3

= - . cot x 3 tan x

G2cot x tan x

+=

+.



8/ Cho 02sin x , 0 x 90

3= < < .

1 2 2

tan x cosx tan x cosxH , H cosx cot x

cot x sin x

-= = - .

9/ Cho 4

cosx , x5 2

p= - < < p .

1 2

cot x tan x sin xI , I cot x

cot x tan x 1 cosx

+= = +

- +.

Cho 5

sin x cosx4

+ = . y r s

1/ A sinx.cosx= . S: 9

A32

= .

2/ B sinx cosx= - . S: 7

B4

= ± .

3/ 3 3C sin x cos x= - . S: 41 7

C128

= ± .

Cho tanx cot x 3- = . y r s

1/ 2 2A tan x cot x= + . S: A 11= .

2/ B tan x cot x= + . S: B 13= ± .

3/ 4 4C tan x cot x= - . S: C 33 13= ± .

Cho sin x cosx m+ = . y e r

1/ A sinxcosx= . 2/ 3 3B sin x cos x= + .

3/ 4 4C sin x cos x= + . 4/ D sin x cosx= - .

5/ 2 2E tan x cot x= + . 6/ 6 6F sin x cos x= + .

sin x, cosx, tan x, cot x . r

1/ sin x cosx 2+ = . 2/ sin x cosx 2- = .

3/ 1

sin x cosx2

+ = . y – ă 2005

4/ 1

sin x cosx5

+ = . S: 4 3 4 3

; ; ;5 5 3 4

- - - .

5/ tan x cot x 4+ = . S: 1 2 3

; ; 2 3; 2 322 2 3

-+ -

-

.

Cho tanx 2cot x 1- = - . y

1/ 2 2A tan x cot x= - . 2/ 3 3B tan x cot x= + .

3/ 4 4C tan x 2cot x= + . 4/ 5 5D tan x 3cot x= - .

r s y

1/ Cho 4 4 33sin x cos x

4+ = . 4 4A sin x 3cos x= + . S: A

7

4= .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 11 -

2/ Cho 4 4 13sin x cos x

2- = . 4 4B sin x 3cos x= + . S: B 1= .

3/ Cho 4 4 74sin x 3cos x

4+ = . 4 4C 3sin x 4cos x= + . S:

7 57C C

4 28= Ú = .

CUNG GOC LIÊN KÊT

d s d d k2a + p k Î ¢ .

3 5 11 14 21

, , , ,2 4 3 5 6

p p p p p- .

d s d d 0k360a + k Î ¢ .

0 0 0 0 0370 , 512 , 765 , 1000 , 1234- .

d s d d k2a + p k Î ¢ .

8 11 7 18 27 25

, , , , ,3 5 2 7 10 4

p p p p p p- - .

ê d y y r s

1/ 0sin150 . 2/ 0cot 135 . 3/ 0cos225 . 4/ 0tan210 .

5/ 0cot 225 . 6/ 0sin240 . 7/ 0cos315 . 8/ 0tan 300 .

9/ ( )0cot 1380- . 10/ cos11p . 11/ sin13p . 12/ tan10p .

13/ 7

cot6

p. 14/

11cos

3

p. 15/

25cot

4

p. 16/

17sin

3

p.

17/ 29

cos6

p. 18/

45tan

4

p. 19/

16cos

3

æ öp÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø. 20/

31sin

2

æ öp÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø.

21/ 19

cot4

æ öp÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø. 22/

26cos

3

æ öp÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø. 23/

159tan

4

æ öp÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø. 24/

115sin

6

æ öp÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø.

r s r

1/ ( )0sin x 90- . 2/ ( )0cos 180 x+ . 3/ ( )0sin 270 x- . 4/ ( )0sin x 180- .

5/ ( )0cos x 540+ . 6/ ( )0cot 180 x+ . 7/ ( )0sin x 540- . 8/ ( )0tan 360 x- .

9/ ( )0cos 450 x+ . 10/ ( )2 0sin 270 x+ . 11/ ( )3 0cos 90 x+ . 12/ ( )5 0cot 180 x- .

r s r

1/ ( )cot x - p . 2/ ( )sin xp + . 3/ ( )tan 2 xp - . 4/ ( )cot 3 xp - .

5/ ( )sin x 7- p . 6/ ( )tan x 5- p . 7/ 5

sin x2

æ öp ÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø. 8/

3cos x

2

æ öp ÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø.

9/ 3

cot x2

æ öp÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø. 10/

5cos x

2

æ öp÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø. 11/

11tan x

2

æ öp ÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø. 12/

7sin x

2

æ öp÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø.



13/ ( )2sin xp + . 14/ ( )9cos xp - . 15/ ( )11cot x 3- p . 16/ ( )4cos x 3+ p .

17/ ( )2cot x 5- p . 18/ ( )6cos x - p . 19/ 8cos x2

æ ö3p÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø. 20/ 5cos x

2

æ öp ÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø.

21/ 2012sin x2

æ öp÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø. 22/ 2 9

tan x2

æ öp÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø. 23/ 2013 7

cos x2

æ öp÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø. 24/ 1991 5

sin x2

æ öp ÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø.

25/ 2015 11cos x

2

æ öp÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø. 26/ 2 9

cot x2

æ öp÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø. 27/ 11 11

tan x2

æ öp ÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø. 28/ ( )cos x 2012- p .

1/ ( )A cos x sin x2

æ öp÷ç ÷= - + - pç ÷ç ÷çè ø.

2/ B cos x sin x cos x sin x2 2 2 2

æ ö æ ö æ ö æ öp p p p÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= - + - - + - +ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø.

3/ ( )7 3

C 2cosx 3cos x sin x tan x2 2

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= + p - - - + -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

4/ 3

D 2sin x sin(5 x) sin x cos x2 2 2

æ ö æ ö æ öp p p÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= + + p - + + + +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø.

5/ 7 3

E 2cosx 3cos( x) 5sin x cot x2 2

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= - p - + - + -ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

6/ ( ) ( )3

F sin 5 x cos x cot 3 x tan x2 2

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= p + + - + p - + -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

7/ ( )3 11

G cos 15 x sin x tan x cot x2 2 2

æ ö æ ö æ öp p p÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= p - + - - + -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø.

8/ ( ) ( )3

H sin x cos x cot 2 x tan x2 2

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= p + - - + p - + -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

9/ ( ) ( )3 3

I cos 5 x sin x tan x cot 3 x2 2

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= p - - + + - + p -ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

10/ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0J cos 270 x 2sin x 450 cos x 900 2sin 270 x= - - - + + + - .

11/ ( )2 2 2 23K sin x sin x sin x sin x

4 2 4

æ ö æ ö æ öp p p÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= + + + + + + + pç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø.

12/ 2 2 2 2 2 22 5 7L sin sin sin sin sin sin

3 6 9 9 8 8

p p p p p p= + + + + + .

13/ ( ) ( )2013 2013 2012 2011M cos x cos x .sin x sin x2

æ öp ÷ç ÷= + p + p + - -ç ÷ç ÷çè ø.

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 13 -

14/ ( ) ( ) ( )6 6 4 4 23N sin x cos x 2sin x 2 sin x cos x

2 2

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= p + + - p - + p - - + -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

15/

( ) ( )

( )

19tan x .cos 36 x .sin x 5

2O

9sin x .cos x 99

2

æ öp ÷ç ÷- p - - pç ÷ç ÷çè ø=

æ öp ÷ç ÷- - pç ÷ç ÷çè ø

.

16/ ( ) ( )2 285 3P sin x cos 207 x sin 33 x sin x

2 2

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= + + p + + p + + -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

à r d y

1/ 0 0 0 0A cos0 cos20 cos40 ...... cos180= + + + + .

2/ 0 0 0 0B cos20 cos40 cos60 ...... cos180= + + + + .

3/ 0 0 0 0C cos10 cos40 cos70 ...... cos170= + + + + .

4/ 0 0 0 0D tan20 tan40 tan60 ...... tan180= + + + + .

5/ 0 0 0 0E cot15 cot 30 cot 45 ...... cot165= + + + + .

6/ 0 0 0 0F sin5 sin10 sin15 ...... sin360= + + + + .

7/ 0 0 0 0G cot195 cot 210 cot 225 ...... cot 345= + + + + .

8/ 0 0 0 0H cot15 .cot 35 .cot 55 .cot 75= .

9/ 0 0 0 0I tan10 . tan20 . tan 30 ...... tan 80= .

10/ 0 0 0 0J tan1 . tan2 . tan 3 ...... tan 89= .

11/ 2 0 2 0 2 0 2 0K sin 28 sin 36 sin 54 cos 152= + + + .

12/ 2 0 2 0 2 0 2 0L cos 2 cos 4 cos 6 ...... cos 88= + + + + .

13/ 2 0 2 0 2 0 2 0M sin 10 sin 20 sin 30 ...... sin 90= + + + + .

14/ 2 0 2 0 2 0 2 0N cos 10 cos 20 cos 30 ... cos 180= + + + + .

15/ 0 0 0 0 0O sin20 sin40 sin60 ... sin340 sin360= + + + + + .

à r d y

1/ ( )0 0A cos 315 .sin 765= - .

2/ 0 0 0 0B sin 32 .sin148 sin 302 .sin122= - .

3/ 0 0 0 0C sin810 .cos540 tan135 .cot 585= + .

4/ ( ) ( )0 0 0 0D sin 825 .cos 15 cos75 .sin 555= - + - .

5/ 0 0 0E 2tan540 2cos1170 4sin990= + + .

6/ ( )0 0

0

0 0

sin 234 cos216F . tan 36

sin144 cos126

- -=

-.



7/ ( )0 0

0

0 0

sin 324 cos666G .cot 36

sin1206 cos36

- +=

+.

8/ ( ) ( ) ( )

( )

0 0 0 0

0 0

sin 328 .sin 958 cos 508 .cos 1022H

cot 572 tan 212

- - -= -

-.

9/ ( )( )

0 0

0

0 0

cos 288 .cot 72I tan18

tan 142 .sin108

-= -

-.

10/ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0J 2sin 790 x cos 1260 x tan 630 x . tan 1260 x= + + - + + - .

11/ ( )0 0

0 0 0

2sin2550 .cos 1881K

tan 368 2cos638 cos98

-= +

+.

12/ ( )0 0 0

0 0

0

cos44 tan226 .cos406L cos72 .cot 18

cos316

+= - .

13/ ( )0 0 0 0

0 0

0

tan 46 .sin 44 cot 136 .sin 404M tan 36 . tan 54

cos316

+ -= - .

14/ ( ) ( ) ( )

( )

0 0 0 0

0 0

sin 328 .sin 958 cos 508 .cos 1022N

cos572 tan 212

- - -= -

-.

15/

4 17sin cos

3 6O23 10

sin cos6 3

p p+

=æ öp p÷ç ÷+ -ç ÷ç ÷çè ø

.

16/ ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

sin 4,8 .sin 5,7 cos 6,7 .cos 5,8P

cot 5,2 tan 6,2

- p - p - p - p= +

- p - p.

r A à

1/ ( )sin B sin A C= + . 2/ ( )cos A B cosC+ = - .

3/ A B C

sin cos2 2

+= . 4/ ( ) ( )cos B C cos A 2C- = - + .

5/ ( )cos A B C cos2C+ - = - . 6/ ( )sin A 2B C sin B+ + = - .

7/ ( )cot A B C cot 2B- + = - . 8/ 3A B C

cos sin2A2

- + += - .

9/ A B 3C

sin cosC2

+ += . 10/

A B 2C 3Ctan cot

2 2

+ -= .

11/ A 3B C

cos sin B2

+ += - . 12/

A 2B C 3Bcot tan

2 2

- += .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 15 -

NG

d y . y r

1/ 0 0 0 0A sin12 .cos48 cos12 .sin 48= + .

2/ 0 0 0 0B cos38 .cos22 sin38 .sin22= - .

3/ 0 0 0 0C sin10 .cos55 cos10 .sin55= - .

4/ 0 0 0 0D sin36 .cos6 sin126 .cos84= - .

5/ 0 0 0 0E cos112 .cos23 sin112 .sin23= - .

6/ 0 0 0 0F sin200 .sin 310 cos340 .cos50= + .

7/ 0 0 0 0 0G cos11 .cos21 cos69 .cos79 cos10= + - .

8/ 0 0 0 0 0H cos68 .cos78 cos22 .cos12 sin100= + - .

9/ ( ) ( )0 0 0 0I cos 53 .sin 337 sin 307 .sin113= - - + .

r s

1/ 015 . 2/ 075 . 3/ 0105 . 4/ 0285 .

5/ 19

12

p. 6/

5

12

p. 7/

7

12

p. 8/

13

12

p.

r s

1/ 0

0

1 tan15A

1 tan15

+=

-. 2/

0 0

0 0

tan25 tan20B

1 tan25 tan20

+=

-.

3/ 0 0 0 0

0 0 0 0

sin10 cos20 sin20 cos10C

cos17 cos13 sin17 sin13

+=

-. 4/

0 0 0

0 0

tan 225 cot 81 cot 69D

cot 261 tan 201

-=

+.

5/ 0 0 0 0

0 0 0 0

sin 73 cos3 sin 87 cos17E

cos132 cos62 cos42 cos28

-=

+. 6/

0 o0 0

0 0

cot 225 cot 79 ot 71F

cot 259 cot 251

-=

+.

C – CÔNG THƯC C NG

.

.

. .

:

. .



7/ 2 0 2 0G cos 75 sin 75= - . 8/ 2 0 2 0 2 0H sin 20 sin 100 sin 140= + + .

9/ 2 0 0 2 0I cos 10 cos110 cos 130= + + .

10/ 0 0 0 0 0 0J tan20 . tan 80 tan 80 . tan140 tan140 . tan20= + + .

11/ 0 0 0 0 0 0K tan10 . tan 70 tan 70 . tan130 tan130 . tan190= + + .

12/ 0 0 0 0 0 0L sin160 cos110 sin250 cos340 tan110 tan 340= + + .

13/ ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0 0M cos70 cos50 cos310 cos290 cos40 cos160 cos320 cos380= + + + + - .

r s

1/ A cosx x3

æ öp÷ç ÷= +ç ÷ç ÷çè ø

1sin x

3= à 0 x

2

p< < .

2/ B sin x3

æ öp ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø

12cosx

13= - à

3x

2

pp < < .

3/ ( )0C cos x 30= - tan x 2= à 00 x 90< < .

4/ D tan x3

æ öp÷ç ÷= +ç ÷çè ø

3sin x

5= à x

2

p< < p .

5/ E cos x3

æ öp ÷ç ÷= -ç ÷çè ø

12sin x

13= - à

3x 2

2

p< < p .

6/ F cot x4

æ öp÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø

4sin x

5= - à

3x

2

pp < < .

7/ G tan x4


5cot x 2

2

æ öp ÷ç ÷- =ç ÷ç ÷çè ø.

8/ 7

H sin 2x4


2cot x

3= .

9/ ( ) ( )I cos a b .cos a b= + - 1

cosa3

= à 1

cosb4

= .

( ) 0 04sin , 0 90

5a = < a < à ( ) 0 08

sin , 90 18017

b = < b < . y r

( )A cos= a + b à ( )B sin= a - b .

8 5

sin , tan b17 12

a = = à ,a b à . y r

( ) ( ) A sin , B cos= a - b = a + b à ( )C tan= a + b .

Cho 0 , ,2 4

p p< a b < a + b = à tan . tan 3 2 2a b = - .

1 y ( ) tan ; tan tana + b a + b . 2 tan ; tana b . Suy ra a à b .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 17 -

Cho 3

pa - b = . r

1/ ( ) ( )2 2

A cos cos sin sin= a + b + a + b . 2/ ( ) ( )2 2

B cos sin cos sin= a + b + b- a .

1/ A sin x 3cosx= - . 2/ B 3 sin7x cos7x= - .

3/ ( ) 2 2C a sin x b cosx, a b 0= + + ¹ . 4/ D 3 sin x sin x3 6

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= - + +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

5/ E cos7x.cos5x 3 sin2x sin7x.sin5x= - + . 6/ F 3 cos2x sin 2x 2sin 2x6

æ öp÷ç ÷= + + -ç ÷ç ÷çè ø.

7/ G 2sin 2x 4sin x 16

æ öp÷ç ÷= - + +ç ÷ç ÷çè ø. 8/ H sin2x 2 2 cosx 2sin x 3

4

æ öp÷ç ÷= + + + +ç ÷ç ÷çè ø.

1/ A sinxcos5x cosxsin5x= - .

2/ B sin4xcot 2x cos4x= - .

3/ C cos6x tan3x sin6x= - .

4/ ( ) ( ) ( ) ( )D sin x y cos x y sin x y cos x y= + - + - + .

5/ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0E cos 40 x cos x 20 sin 40 x sin x 20= - + - - + .

6/ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0F sin 14 2x cos 16 2x cos 14 2x sin 16 2x= + - + + - .

7/ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0G sin x 10 cos 2x 80 sin x 100 cos 2x 10= + - + + + .

8/ H sin x cos x sin x cos x3 4 4 3

æ ö æ ö æ ö æ öp p p p÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= - - + - -ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø.

9/ 3

I cos x cos x cos x cos x3 4 6 4

æ ö æ ö æ ö æ öp p p p÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= - + + + +ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø.

10/ 9 5 5

J sin x cos x sin x cos x3 4 4 3

æ ö æ ö æ ö æ öp p p p÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= - - - - +ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø.

11/ K cos x cos x cos x cos x3 4 6 4

æ ö æ ö æ ö æ öp p p p÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= - - + + +ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø.

12/ 13 13 3

L cos x cos x cos x cos x3 4 6 4

æ ö æ ö æ ö æ öp p p p÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= - + + + +ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø.

s

1/ tan 3x tan x

A1 tan x tan 3x

-=

+. 2/

tan2x 1B

1 tan2x

+=

-.



3/ ( )

( )

0

0

tan 2x cot 90 xC

1 cot 90 2x tan x

+ +=

+ -. 4/

2 2

2 2

tan 2x tan xD

1 tan 2x tan x

-=

-.

s

1/ ( ) ( )A sin a b sin a sin b2

æ öp ÷ç ÷= + + - -ç ÷ç ÷çè ø.

2/ ( )B cos a cos b cos a b2 2

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= - - - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

3/ 21C cos a cos a sin a

4 4 2

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= + - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

4/ 2 2 2 2D sin a sin b cos a cos b= - .

5/ ( )

( ) ( )

2sin a bE tan b

cos a b cos a b

+= -

+ + -.

s

1/ 2 2A cos x 3 sin2x sin x= - - . 2/ 3B 4sin x 3sin x 3 cos3x= - + .

3/ ( ) ( )0 0C sin x 45 cos x 45= + + + . 4/ D tan3x tanx sin2x= - - .

5/ 2E tan2x cot x 8cos x= + - .

s

1/ sin2x 2sinxcosx= .

2/ 2 2cos2x cos x sin x= - .

3/ 2

2tan xtan2x

1 tan x=

-.

4/ 3sin3x 3sin x 4sin x= - .

5/ 3cos3x 4cos x 3cosx= - .

6/ cosx sin x 2 cos x 2 sin x4 4

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷+ = - = +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

7/ cosx sin x 2 cos x 2 sin x4 4

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷- = + = - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

8/ ( ) ( ) 2 2 2 2sin x y sin x y sin x sin y cos y cos x+ - = - = - .

9/ ( ) ( ) 2 2 2 2cos x y cos x y cos x sin y cos y sin x+ - = - = - .

s

1/ sin x sin x 2 sin x4 4

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷+ - - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 19 -

2/ 24sin x sin x 4sin x 33 3

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷+ - = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

3/ ( ) ( ) ( )sin x sin y z sin y sin z x sin zsin x y 0- + - + - = .

4/ ( ) ( ) ( )cosx sin y z cosy sin z x coszsin x y 0- + - + - = .

5/ ( ) ( )tan x y tan x tan y tan x y tan x tan y+ - - = + .

6/ tan 2x tan x tan 2x tan x tan x tan x 16 3 3 6

æ ö æ ö æ ö æ öp p p p÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷- + - + - - =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø.

7/ 2 2

tan x. tan x tan x . tan x tan x . tan x 33 3 3 3

æ ö æ ö æ ö æ öp p p p÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷+ + + + + + = -ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø.

8/ ( )3 2cos x .cos x cos x .cos x 1 3

3 4 6 4 4

æ ö æ ö æ ö æ öp p p p÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷- + + + + = -ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø.

9/ ( )( ) ( )( )o o o o o o o ocos70 cos50 cos230 cos290 cos40 cos160 cos320 cos380 0+ + + + + = .

s

1/ ( )( )

cos a b cot a cot b 1

cot a cot b 1cos a b

- +=

-+.

2/ ( ) ( ) ( )sin a b sin b c sin c a

0cosa cosb cosb cosc cosccosa

- - -+ + = .

3/ ( ) ( ) 2 2

2 2

sin a b sin a btan a tan b

cos a cos b

+ -= - .

4/ ( ) ( ) 2 2

2 2

cos a b cos a b1 tan a tan b

cos a cos b

+ -= - .

Ch ng minh các h th c sau, v u ki r c

1/ ( )cos a b 0+ = ( )sin a 2b sin a+ = .

2/ ( )sin 2a b 3sin b+ = ( )tan a b 2tan a+ = . HD: ( )

( )b a b a

2a b a b a

ìï = + -ïïíï + = + +ïïî

.

3/ tana 2tanb= ( ) ( )sin a b 3sin a b+ = - .

4/ 1

tan a. tan b3

= - ( ) ( )cos a b 2cos a b+ = - . HD r .

5/ ( )5sin b sin 2a b= + ( )3

tan a b tan a2

+ = .

6/ ( )sin b sin a cos a b= + ( )2tan a tan a b= + . HD: ( )b a b a= + - .



7/ ( )cos 2a b 1+ = ( )b

tan a b tan a 2tan2

+ - = .

8/ ( ) ( )cos a b kcos a b+ = - 1 k

tan a tan b1 k

-=

+. HD:

( )( )

a 2b a b b

a a b b

ìï + = + +ïïíï = + -ïïî

.

s

1/ ( )sin a b c

tan a tan b tan c tan a tan b tan ccosa cosb cosc

+ ++ + - = .

2/ ( ) ( )2 2 2cos x cos x y cos y 2cosxcosycos x y 1+ + + - + = .

r yê Lê – . ă 2007

s

1/ 2A sin x cos x cos x3 3

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= + - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

2/ 2 2 2B cos x cos x cos x3 3

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= + + + -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

3/ 2 2 22 2C sin x sin x sin x

3 3


4/ 2 2 22 2D cos x cos x cos x

3 3


5/ 3 3a cos x cos3x a sin x sin 3x

F , a constcosx sin x

- += + = .

r tan x tan x tan x tan 3x3 3

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷- + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø. r

0 0 0P tan10 tan50 tan110= .

A A,B,C à . ng minh

1/ sinC sin A.cosB sin B.cosA= + .

2/ sin A sin BcosC sinCcosB= + .

3/ cosA sinBsinC cosBcosC= - .

4/ ( ) 0sinCtan A tan B, A,B 90

cosA.cosB= + ¹ .

5/ ( ) 0tan A tan B tanC tan A. tan B. tanC, A,B,C 90+ + = ¹ .

6/ cot A.cot B cot B.cot C cot C.cot A 1+ + = .

7/ A B C B C

sin cos cos sin sin2 2 2 2 2

= - .

8/ A B C B C

cos sin cos cos sin2 2 2 2 2

= - .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 21 -

9/ A B B C C A

tan . tan tan . tan tan . tan 12 2 2 2 2 2

+ + = .

10/ A B C A B C

cot cot cot cot .cot .cot2 2 2 2 2 2

+ + = .

11/ ( ) 0cosC cosBcot B cot C , A 90

sin B.cosA sinC.cosA+ = + ¹ .

12/ A B C A B C A B C A B C

cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

= + + .

13/ 2 2 2A B C A B Csin sin sin 1 2sin sin sin

2 2 2 2 2 2+ + = + .

14/ sin AcosBcosC sin BcosCcosA sinCcosAcosB sin Asin BsinC+ + = .

A A,B,C à . ng minh

1/ tan A tan B tanC 3 3, A,B,C+ + ³ " .

2/ 2 2 2tan A tan B tan C 9, A,B,C+ + ³ " .

3/ 6 6 6tan A tan B tan C 81, A,B,C+ + ³ " .

4/ 2 2 2A B Ctan tan tan 1

2 2 2+ + ³ .

5/ A B C

tan tan tan 32 2 2+ + ³ .

HD:

1/ , 2/ , 3/ , s d tan A tan B tanC tan A.tan B.tanC+ + = à

Cauchy.

4 / s d 2 2 2a b c ab bc ca+ + ³ + + à

A B B C C Atan . tan tan . tan tan . tan 1

2 2 2 2 2 2+ + = .

5 / r

2A B C

tan tan tan2 2 2

æ ö÷ç ÷+ +ç ÷çè ø à s d 3 / .



NG

R T G N VA T NH GIA TR C A BI U THƯC

r s d y

1/ 2 2A cos sin8 8

p p= - . 2/ 0 3 0B 3cos10 4cos 10= - .

3/ ( )0 2 0C sin20 1 4cos 20= - . 4/ 3 0 0D 4sin 40 3sin130= + .

5/ 3 0 0E 4sin 50 3cos140= + . 6/ 0

2 0

tan15F

1 tan 15=

-.

7/ 2

7tan

8G

1 tan8

p

=p

-

. 8/ 0 0

1 3H

sin10 cos10= - .

9/ 0

0

1I 4sin 70

sin10= - . 10/ 2 2 5

J tan tan12 12

p p= + .

11/ 2 0 2 0K tan 36 tan 72= . 12/ 2 0 2 0 0L cos 70 sin 40 sin100= + .

13/ 2 0 2 0 0M cos 20 2sin 55 2 sin65= + - . 14/ 0 0 0 0N sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin 78= .

D – CÔNG THƯC NHÂN

Công thưc nhân đôi

.

.

.

.

Công thưc ha bâc Công thưc nhân ba ơ r

. .

. .

. .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 23 -

r s d y

1/ 0 0A cos36 cos72= . 2/ 2

B cos cos5 5

p p= .

3/ C sin .cos cos8 8 4

p p p= . 4/ D sin .cos .cos

16 16 8

p p p= .

5/ 0 0 0E sin10 sin 50 sin 70= . 6/ 2 4

F cos cos cos7 7 7

p p p= .

7/ 4 5

G cos cos cos7 7 7

p p p= . 8/ 0 0 0 0H sin6 cos12 cos24 cos48= .

9/ 0 0 0 0I sin 6 sin 42 sin 66 sin 78= . 10/ 0 0 0 0 0J sin 5 .sin15 .sin25 .... sin 75 .sin 85= .

11/ 0 0 0 0 0K cos10 .cos20 .cos30 ...cos70 .cos80= .

12/ 0 0 0 0L 8tan18 cos18 cos36 cos72= .

13/ 0 0 0 0M cos20 cos40 cos60 cos80= .

14/ 2 3 4

N cos cos cos cos9 9 9 9

p p p p= .

15/ O 96 3 sin cos cos cos cos48 48 24 12 6

p p p p p= .

16/ 2 4 8 16 32

P cos .cos .cos .cos .cos31 31 31 31 31

p p p p p= .

17/ 2 4 8 16

Q cos cos cos cos cos33 33 33 33 33

p p p p p= .

18/ 2 3 4 5 6 7

R cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos15 15 15 15 15 15 15

p p p p p p p= .

r s d y

1/ 0 0

0 0 0 0

cos80 cos20A

cos35 cos15 sin 35 sin15

+=

-.

2/ 0

0 0

4 0 4 0

sin 60B 3sin15 cos15

sin 15 cos 15= -

-.

3/ 0 0 0 0C tan 9 tan27 tan 63 tan 81= - - + .

4/ D 4tan 2tan tan cot8 16 32 32

p p p p= + + - .

à ă 2000

5/ ( )2 0 0 0 2 0

2 0 2 0

cos 696 tan 260 tan 530 cos 156E

tan 252 cot 342

+ - -=

+.



1/ ( )2

A sin x cosx= + . 2/ 2 2B 1 4sin xcos x= - .

3/ C sinxcosxcos2x= . 4/ 4 4D cos 2x sin 2x= - .

5/ 2 2E cos x sin x2 2

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= + - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø. 6/ F sinxcosxcos2x= .

7/ G 4sin x sin x sin 2x2 2

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= + +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø. 8/ 2 2x x

H sin sin8 2 8 2

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= + - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

9/ ( )2 0I sin 8x 2cos 45 4x= + + . 10/ ( )J sin2x cos2x 2cosx sin x cosx 1= + - + + .

r s d y

1/ 22cos x 1

Asin x cosx

-=

+. 2/

21 2sin 2xB

cos2x sin2x

-=

-.

3/ ( )( )

2C

1 tan x 1 cot x=

- +. 4/ ( )2D 1 tan x cot x= - .

5/ sin2x cos2x

Esin x cosx

= - . 6/ cot x tan x

Fcos2x

-= .

7/

31 sin x

2G

1 sin x2

æ öp ÷ç ÷+ -ç ÷ç ÷çè ø=

æ öp ÷ç ÷+ +ç ÷ç ÷çè ø

. 8/ 2 2

2 2

sin 2x 4sin xH

sin 2x 4sin x 4

-=

+ -.

9/ sin 4x cos2x

I .1 cos4x 1 cos2x

=+ +

. 10/ sin 3x cos3x

Jsin x cosx

-=

+.

11/

1 cos x2x

K tan .4 2

sin x2

æ öp ÷ç ÷+ +ç ÷çæ ö ÷çp è ø÷ç ÷= +ç ÷ç æ ö÷ç pè ø ÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø

. 12/ 1

L cot 2x tan x2sin2x

= + + .

13/ 1 cos2x sin2x

M .cot x1 cos2x sin2x

- +=

+ +. 14/

( )22 sin 2x 2cos x 1N

cosx sin x cos3x sin 3x

+ -=

- - +.

15/ O 1 sin x 1 sin x, 0 x4

æ öp÷ç ÷= + + - < <ç ÷ç ÷çè ø. 16/

1 1 1P cot 8x

sin2x sin 4x sin 8x= + + + .

17/ O 1 sin2x 1 sin2x, x4 4

æ öp p÷ç ÷= - + + - < <ç ÷ç ÷çè ø.

Tính giá tr c a bi u th ng giác, khi bi t

1/ 3

sin2x, cos2x khi sin x , x5 2

p= < < p .

2/ sin2x, cos2x khi sin x cosx 2+ = .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 25 -

3/ 5 3

cos2x, sin2x, tan2x khi cosx , x13 2

p= - p < < .

4/ cos2x, sin2x, tan2x khi tan x 2= .

5/ 4 3

sin x, cosx khi sin2x , x5 2 2

p p= - < < .

6/ 7

cos2x, sin2x, tan2x khi tan x8

= .

7/ sin2x, cos2x, tan2x khi tan x 2 3, 0 x2

p= - < < .

Tính giá tr c a bi u th ng giác, khi bi t

1/ 5 5A sin xcosx cos xsin x= - x16

p= .

2/ 4 3 3 4B sin x sin x cosx cos x sin x cos x= + - + x48

p= .

3/ C cos4x= tan x cot x 3+ = .

4/ ( )0D cos 270 4x= + ( )0cot 45 x 2+ = .

5/ 4 4E sin x cos x= + sin x cosx m+ = m Î ¡ .

6/ tan x cot x

Ftan x cot x

-=

+

3sin x cosx , 0 x

4 4

æ öp÷ç ÷= < <ç ÷ç ÷çè ø.

r 0 5 1

sin184

-= .

r d y

1/ 0cos15 . 2/ 0cos18 . 3/ 0sin36 . 4/ 0cos36 .

x

tan2

1/ 4

cosx , 0 x5 2

p= < < . 2/

24 3tan x , x

7 2

p= p < < .

3/ 7

sin x cosx , 0 x2 6

p+ = < < .

Cho 1

tan x , 0 x2 2

æ öp÷ç ÷= < <ç ÷ç ÷çè ø à

1tan y , 0 y

3 2

æ öp÷ç ÷= < <ç ÷ç ÷çè ø.

x y+ . 2/ ( )sin x 2y- ( )cos 2x y+ .

1/ 0 x

2tan x 2 1

ìï pï < <ïïíïï = -ïïî

. 2/ 0 x

26 2

cosx4

ìï pï < <ïïïíï +ï =ïïïî

.



e cos2x s

1/ 2A 1 cos x= + . 2/ 2 2B sin xcos x= .

3/ 2

2

1 sin xC

cos x

+= . 4/

2

2

1 cot xD

1 cot x

+=

-.

5/ 6 6E sin x cos x= + . 6/ 6 2 6 2F sin x cos x cos x sin x= + .

e x

t tan2

= s

1/ A sinx= . 2/ B cosx= .

3/ sin x

C3 2cosx

=-

. 4/ D tan x cot x= + .

5/ 1 tan x

E1 cot x

-=

+. 6/

tan x sin xF

tan x sin x

+=

-.

CHƯNG INH Đ NG THƯC

s

1/ 4 4cos x sin x cos2x- = . 2/ ( )2sin 4x 4sin x cosx 1 2sin x= - .

3/ 2 2cos 2x sin x cosxcos3x- = . 4/ 4 2cos4x 8cos x 8cos x 1= - + .

5/ 48sin x 3 4cos2x cos4x= - + . 6/ 4 4 3 1sin cos x cos4x

4 4+ = + .

7/ 4 4 2 2sin cos x 6cos x sin x cos4x+ - = . 8/ 6 6 5 3sin x cos x cos4x

8 8+ = + .

9/ 6 6 15 1sin x cos x cos2x cos6x

16 16- = + . 10/ ( )6 6 2x x 1

sin cos cosx sin x 42 2 4

- = - .

11/ 8 8 7 1cos x sin x cos2x cos6x

8 8- = + . 13/ ( )3 3 4 4cos x cos3x sin x sin 3x 3 sin x cos x 2- = + - .

r a b4

p+ = ( )( )1 tan a 1 tan b 2+ + = .

s

1/ 1 cos2x

tan xsin2x

-= . 2/

2tan x cot x

sin2x+ = .

3/ cot x tanx 2cot 2x- = . 4/ cosx x

cot1 sin x 4 2

æ öp ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç- è ø.

5/ 21 cosx x. tan 1

1 cosx 2

+=

-. 6/

1cot 2x cot x

sin2x+ =

7/ x 2

tan cot4 2 4 2 cosx

æ ö æ öp p p÷ ÷ç ç÷ ÷+ + + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø. 8/ ( )tan2x tan x cos2x tan x- = .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 27 -

9/ tan x tan x 2tan2x4 4

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷+ - - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø. 10/ 3 3 1

cos x sin x sin x cosx sin 4x2

- = .

11/ 3 3 3cos3x sin x sin 3x cos x sin 4x

4+ = . 12/ tan x tan x . tan x tan 3x

3 3

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷- + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

13/ 2

tan x tan x tan x 3tan 3x3 3

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷+ + + + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø. 14/ cot x tanx 2tan2x 4tan4x 8cot 8x- - - = .

s

1/ 1 sin x x

cotcosx 4 2

æ ö+ p ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø. 2/

21 1 2sin xtan2x

cos2x 1 sin2x

-+ =

-.

3/ ( )

2sin 2x sin 4xtan 2x cosx

2 cosx cos3x

+=

+. 4/ 2 26 2cos4x

tan x cot x1 cos4x

+= +

-.

5/ 21 2sin x 1 tan x

1 sin 2x 1 tan x

- -=

+ +. 6/

1 x1 tan tan x

cosx 2

æ ö÷ç ÷+ =ç ÷ç ÷çè ø

7/ 1 sin 2x

tan xcos2x 4

æ ö+ p ÷ç ÷= +ç ÷ç ÷çè ø. 8/ 22sin x sin2x x

tan2sin x sin2x 2

-=

+.

9/ 2

2

1 2sin x1

2tan x cos x4 4

-=

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷+ +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

. 10/

xsin x sin

x2 tanx 2

1 cosx cos2

+=

+ +

.

11/ 1 cosx cos2x

cot xsin2x sin x

- +=

-. 12/

1 cos4x 1sin 4x

cot x tan x 2

+=

-.

13/ ( )( )

sin 2x cosx xtan

21 cos2x 1 cosx=

+ +. 14/

( )

4 4 22sin x cos x cos x x

cos21 1 cosx

- +=

-.

15/ 2 2 6 2cos4xcot x tan x

1 cos4x

++ =

-. 16/

2x x 4

cot tan2 2 1 2tan x cot 2x

æ ö÷ç ÷- =ç ÷ç ÷ç -è ø.

17/ 2cot 2x 1

cos8x cot 4x sin 8x2cot 2x

-- = . 18/

21 1 2sin xtan2x

cos2x 1 sin2x

-+ =

-.

19/ 1 sin2x cos2x

tan 4xcos4x sin2x cos2x

-- =

+.

20/ cosx sin x cosx sin x

2tan2xcosx sin x cosx sin x

+ -- =

- +.

21/

x xcos sin

12 2 tan xx x cosx

cos sin2 2

-= -

+

.



22/ 2

1 cosx cos2x cos3x2cosx

2cos x cosx 1

+ + +=

+ -.

23/ 1 x x

2 cot 2x cot tansin 2x 2 2

æ ö÷ç ÷+ = -ç ÷ç ÷çè ø.

24/ 4 4sin x sin2x cos x

cos2xtan2x 1

+ -=

-.

25/ 2 2

4

2 2

sin 2x 4sin xtan x

sin 2x 4sin x 4

-=

+ -.

26/ 2 2

2 2

sin 3x cos 3x8cos2x

sin x cos x- = .

27/ 2 3cos x cos3x sin x sin 3x

3cosx sin x

- ++ = .

28/ 2

1 1 sin 2x1 tan x 1 tan x

cosx cosx cos x

æ öæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ + + - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø.

s

1/ 2 3 n

n

n

a a a a sin aA cos cos cos ... cos

2 a2 2 2 2 .sin2

= = .

2/ n

2 n 1B cos .cos ... cos

2n 1 2n 1 2n 1 2

p p p= =

+ + +.

3/ 2 4 2n 1

C cos .cos ... cos2n 1 2n 1 2n 1 2

p p p= = -

+ + +.

4/ 1 1 1 1 1 1 x

D cosx cos , 0 x2 2 2 2 2 2 8 2

æ öp÷ç ÷= + + + = < <ç ÷ç ÷çè ø.

s y à s

1/ 2sin2x 2sin x xA tan

sin2x 2sin x 2

-= +

+.

2/ 3 3cos x cos3x sin x sin 3x

Bcosx sin x

- += + .

3/ 4 1C 4sin x 2cos2x cos4x

2= + - .

4/ 4 2 2 4D 3cos2x 5sin x 4sin x cos x cos x= + + - .

5/ 2tan x 1

E cot x cos4x cot 2x sin 4x2

-= + + .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 29 -

6/ 4 4 4 4 3F sin x sin x sin x sin x

4 2 4

æ ö æ ö æ öp p p÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= + + + + + +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø.

BIÊN Đ I THANH T CH

à s

1/ ( )( )A 2sin x 1 2cosx sin x sin2x cosx= - + - + .

2/ ( )( )B 2cosx 1 2sin x cosx sin2x sin x= - + - + .

3/ ( )( ) 2C 2sin x 1 2cos2x 2sin x 3 4sin x 1= - + + - + .

4/ ( )( ) 2D 2cosx 1 2cosx 2sin x 1 4sin x 3= - + + + - .

5/ ( )( ) 2E 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4cos x 3= + + - + - .

6/ F 1 sin x cosx sin2x cos2x= + + + + .

7/ ( )2G 1 cosx cos x sin x 1 cosx= + + - + .

8/ ( ) ( )2 2H 1 sin x cosx sin2x 1 cos x sin x 1= + - + + - .

à s

1/ 3 3A sin xcosx cos xsin x= - .

2/ 3 3B sin x cos x sin x cosx= + - + .

3/ 3 3C sin x cos x cos2x= + - .

4/ 2 3D cos x sin x cosx= + + .

5/ 3 2E cos x cos x 2sin x 2= + + - .

6/ 3 3 2F cos x sin x 2sin x 1= + + - .

à s

1/ A sin2x cos2x cosx sin x= + + - .

2/ B sin2x cos2x 3sin x cosx 2= + + - - .

3/ C cos2x sin2x 3sin x cosx 2= - + + - .

4/ ( )D sin2x cos2x 2 cosx sin x 3= + + - - .

5/ E 9sin x 6cosx 3sin2x cos2x= + - + .

6/ F sin2x 2cos2x 4cosx sin x 1= + + - - .

7/ ( )( )G 2cosx 1 sin x cosx 1= - + - .

8/ H 2sin2x cos2x 7sin x 2cosx 4= - - - + .

E – CÔNG THƯC BIÊN Đ I



NG

CÔNG THƯC BIÊN Đ I T NG THANH T CH

r

1/ 0cos2x cos4xA khi x 20

sin 4x sin2x

-= =

-.

2/ cosx.cos13x

B khi xcos3x cos5x 17

p= =

+.

3/ cosx.cos10x

C khi xcos2x cos4x 13

p= =

+.

4/ tan2x sin2x 2

D khi tan xtan2x sin2x 15

-= =

+.

Công thưc biên đôi tông thanh tich

● . ● .

● . ● .

● . ● .

● . ● .

● .

● .

Công thưc biên đôi tich thanh tông

● .

● .

● .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 31 -

5/ sin x sin2x sin 3x 1

E khi sin x , xcosx cos2x cos3x 3 4 2

+ + p p= = < <

+ +.

1/ 1 2cosx

A1 2cosx

-=

+. 2/

3 2cos3xB

3 2cos3x

-=

+.

3/ 1 2cos2x

C3 2sin2x

-=

+. 4/

2 2sin2xD

2 2sin2x

-=

+.

5/ sin 5x sin 3x

E2cos4x

-= . 6/

cos4x cos2xF

sin 4x sin2x

-=

+.

7/ ( )sin x y

Gsin x sin y

+=

+. 8/

sin x sin yH

cosx cosy

+=

+.

9/ cosx sin x

Icosx sin x

+=

-. 10/

2 2

2 2

sin 4x sin 2xJ

cos x cos 2x

-=

-.

11/ 2sin 4x

K2cosx cos3x cos5x

=+ +

. 12/ sin 2x

Ltan x cot 2x

=+

.

13/ tan 3x tan 5x

Mcot 3x cot 5x

+=

+. 14/

tan2x cot 2xN

1 tan2x. tan 4x

+=

+.

15/ 1 sin 2x cos2x

O1 sin 2x cos2x

+ +=

+ -. 16/

1 sin 4x cos4xP

1 cos4x sin 4x

+ -=

+ +.

17/ sin2x 2sin 3x sin 4x

Qcos3x 2cos4x cos5x

+ +=

+ +. 18/

sin x sin 4x sin 7xR

cosx cos4x cos7x

+ +=

+ +.

19/ cos2x sin 4x cos6x

Scos2x sin 4x cos6x

- -=

+ -. 20/

2

1 cosx cos2x cos3xT

2cos x cosx 1

+ + +=

+ -.

21/ ( )22 sin 2x 2cos x 1

Ucosx sin x cos3x sin 3x

+ -=

- - +. 22/

( )( )

( )( )

sin x y sin x cos x y cosxV

sin x y sin x cos x y cosx

+ - + += -

+ + - -.

23/ cos7x cos8x cos9x cos10x

Xsin 7x sin 8x sin 9x sin10x

- - +=

- - +. 24/

sin 4x sin 5x sin 6xY

cos4x cos5x cos6x

+ +=

+ +.

à s y

1/ A cos3x cosx= + . 2/ B sin 3x sin2x= + .

3/ C cos4x cosx= - . 4/ D sin5x sinx= - .

5/ E 1 sin2x= + . 6/ F 1 sinx= - .

7/ G 1 2cosx= + . 8/ H 2 sin2x 1= - .

9/ I 3 2cos2x= + . 10/ ( ) ( )J sin a b sin a b= + - - .

11/ 2 2K cos x cos y= - . 12/ L 1 sin x cos2x= + - .



13/ M 1 sin x cosx= + + . 14/ N cosx sin2x cos3x= + - .

15/ O sin 3x sin x sin2x= - + . 16/ Q cosx cos2x sin 3x= - - .

17/ R sin x sin2x sin 3x= + + . 18/ S cosx cos2x cos3x= + + .

19/ T 2sin2x cos5x cos9x= + - . 20/ U sin 3x 2sin2x sin x= - + .

21/ V cosx cos3x 2cos5x= + + . 22/ 0 0 0X cos46 cos22 2cos78= - - .

23/ 2 3

Y cos cos cos7 7 7

p p p= - + . 24/

2 4 6Z cos cos cos

7 7 7

p p p= + + .

25/ 0 0 0W sin 70 sin20 sin 50= - + . 26/ ( )cos5x cos7x cos 6xD = + - p + .

27/ cos 5x sin x cos3x2

æ öp ÷ç ÷F = + + -ç ÷ç ÷çè ø. 28/

x ysin x sin y sin

2

+G= + + .

29/ ( )sin x sin y sin x yL = + + + . 30/ ( )cosx cosy sin x yP = + + + .

31/ ( )cosx cosy cos x y 1Q = + + + + . 32/ ( ) ( )0 0cos 60 x cos 60 x cos3xS = + + - + .

33/ 1 cos2x cos4x cos6x¡ = + + + . 34/ sin2x sin 4x sin6xW= + + .

35/ sin5x sin6x sin7x sin 8xX= + + + . 36/ cos5x cos8x cos9x cos12xY = + + + .

à s y

1/ 1 cosx cos2x cos3x+ + + . 2/ sin x sin 3x sin7x sin5x- + - .

3/ sin x sin2x sin5x sin 8x- + + . 4/ cos7x sin 3x sin2x cos3x+ + - .

5/ cos9x cos7x cos3x cosx- + - . 6/ cos10x cos8x cos6x 1- - + .

7/ 0 0 0 0sin 35 cos40 sin 55 cos20+ + + . 8/ 0 0 0 0sin 57 sin 59 sin 93 sin 61- - + .

9/ 0 0 0 0sin 47 sin 61 sin11 sin25+ - - . 10/ cos5x 3cos7x 3cos9x cos11x+ + + .

11/ 2 3x1 sin x cos5x sin 7x 2cos

2+ - - - . 12/ ( )sin 3x sin x sin2x 2 1 cosx cosx+ - + - .

13/ sin x sin2x sin 3x 1 cosx cos2x+ + - - - .

14/ 1 sin x cos3x cosx sin2x cos2x+ + - - - .

15/ sin x sin2x sin 3x cosx cos2x cos3x+ + - - - .

à s y

1/ 2 2 2cos x cos 2x cos 3x 1+ + - . 2/ 2 2 2 3sin x sin 2x sin 3x

2+ + - .

3/ 2 2 2sin 3x sin 2x sin x- - . 4/ 2 2 2sin x cos 2x cos 3x- - .

5/ 2 2 2sin x 2sin 2x sin 3x- + . 6/ ( )2 2sin 4x cos 6x sin 10,5 10x- - p + .

7/ 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x- - + . 8/ 2 2 2 2 3cos x cos 2x cos 3x cos 4x

2+ + + - .

9/ 2 2 2 2cos x cos 2x cos 3x cos 4x 2+ + + - . 10/ 2 25 9xcos3x sin 7x 2sin 2cos

4 2 2

æ öp p÷ç ÷+ - + +ç ÷ç ÷çè ø.

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 33 -

11/ ( )sin 2x cot 3x sin 2x 2 cos5x2

æ öp ÷ç ÷+ + p + -ç ÷ç ÷çè ø. 12/

cos3x cos 5x2

2sin 2x cos 3x2 cos5x

æ öp ÷ç ÷-ç ÷çæ ö ÷çp è ø÷ç ÷- + -ç ÷ç ÷çè ø.

1/ 0 0 6sin 75 cos75

2+ = . 2/ 0 0 0cos12 cos48 sin18- = .

3/ 0 0 0sin65 sin55 3cos5+ = . 4/ 0 0tan267 tan 93 0+ = .

5/ 0 0 0cos85 cos35 cos25 0+ + = . 6/ 0 0 0 0tan 9 tan27 tan 63 tan 81 4- - + = .

7/ 0 0 0 0 1cos24 cos48 cos84 cos12

2+ - - = .

8/ 0 0 0 0 0 0tan 9 tan15 cot 15 cot 9 tan27 cot 27+ + + = + .

9/ 2 31 1cosx cos3x cos5x 8sin x cos x

2 2- - = .

10/ ( )sin x 1 2cos2x 2cos4x 2cos6x sin 7x+ + + = .

11/ 4 x1 4cosx 6sin2x 4sin x 16sin2x sin

2+ + - = .

12/ ( ) ( )2 0 08sin x sin x 60 sin x 60 cos4x cos2x+ - = - .

13/ ( ) ( ) ( )2 0 0sin x cosx cos4x 4sin2x sin x 15 cos x 15- - = + - .

Cho a b c+ = . a b c

sin a sin b sin c 4cos cos sin2 2 2

+ + = .

r

1/ 6 6A sin cos24 24

p p= + .

2/ 2 2B tan cot12 12

p p= + .

3/ 3 5 7 9

C cos cos cos cos cos11 11 11 11 11

p p p p p= + + + + .

4/ 2 4 6 8 10

D cos cos cos cos cos11 11 11 11 11

p p p p p= + + + + .

5/ 0 2 3 4 5 6E cos0 cos cos cos cos cos cos

7 7 7 7 7 7

p p p p p p= + + + + + + .

6/ ( ) ( )2 2

0 0 0 0 0F sin 40 cos10 cos40 sin10 cos140= + - + + .

r A à à A,B,C . r



1/ A B C

sin A sin B sinC 4cos cos cos2 2 2

+ + = .

2/ A B C

sin A sin B sinC 4sin sin cos2 2 2

+ - = .

3/ A B C

cosA cosB cosC 1 4sin sin sin2 2 2

+ + = + .

4/ sin2A sin2B sin2C 4sin Asin BsinC+ + = .

5/ 1 cos2A cos2B cos2C 4cosAcosBcosC+ + + = - .

6/ ( )2 2 2sin A sin B sin C 2 1 cosAcosBcosC+ + = + .

7/ 2 2 2cos A cos B cos C 1 2cosAcosBcosC+ + = - .

CÔNG THƯC BIÊN Đ I T CH THANH T NG

à s

1/ 2

A sin sin5 5

p p= . 2/ B sin5xcos3x= .

3/ 3

C sin cos4 6

p p= . 4/

7D sin cos

12 12

p p= .

5/ ( ) ( )E sin x y cos x y= + - . 6/ ( ) ( )0 0F sin x 30 cos x 30= + - .

7/ G 2sinxsin2xsin3x= . 8/ H 8cosxsin2xsin3x= .

9/ I sin x sin x cos2x6 6

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= + -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø. 10/ ( ) ( ) ( )J 4cos a b cos b c cos c a= - - - .

r

1/ 0 0A cos75 cos15= .

2/ 5

B sin sin12 12

p p= .

3/ 11 5

C sin cos12 12

p p= .

4/ 0 0 0D sin20 .sin40 .sin80= .

5/ 0x 5xE sin .sin , khi x 60

4 4= = .

6/ 0 0 0 0F sin20 sin40 sin60 sin80= .

7/ 4 5 7 11G 2 .sin .sin .sin .sin

24 24 24 24

p p p p= .

8/ 0 0 0 0 0 0H sin 5 .sin15 .sin25 .......sin 65 sin 75 .sin 85= .

9/ 2 0 0 0I sin 10 cos70 cos50= + .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 35 -

10/ 0 0 0 0 01J cos10 cos50 cos5 cos25 cos10

2= - + .

11/ 2 0 2 0 0 0K sin 50 sin 10 sin 50 sin10= + + .

12/ 2 0 2 0 0 0L cos 73 cos 47 cos73 .cos47= + + .

13/ 2 0 2 0 0 0M sin 50 sin 70 cos50 cos70= + - . A A ă 2001

14/ 0 0 0 0 01N cos10 cos50 cos5 cos25 sin10

2= - + .

15/ ( )0

0 0

0

sin 55O 2 cos22 cos44

sin11= + - .

16/ 0

0 0

4 0 4 0

sin 60P 3sin15 sin 75

sin 15 sin 75= +

-.

17/ 0

0 0

0 0

1 cos40Q 2 2 sin10 2sin 35

2cos5 sin 5

æ ö÷ç ÷ç= - - - ÷ç ÷ç ÷è ø.

18/ 0

0

1R 4sin 70

sin10= - .

19/ 0 0

1 3S

sin10 cos10= - .

20/ 2 3

T cos cos cos7 7 7

p p p= - + .

21/ 2 4 5 2 4 6 8

U cos cos cos cos cos cos cos7 7 7 5 5 5 5

p p p p p p p= + + + + + + + .

22/ 2 4 6 8

V cos cos cos cos9 9 9 9

p p p p= + + + .

( )A 2sin x cosx cos3x cos5x= + + . s y r r

3 5B cos cos cos

7 7 7

p p p= + + .

s

1/ A cos11xcos3x cos17xcos9x= - .

2/ B sin18xcos13x sin9xcos4x= - .

3/ C sin x sin 3x sin 4x sin 8x= + .

4/ D sin2xsin6x cosxcos3x= - .

5/ E cos3xcos6x cos4xcos7x= - .

6/ ( ) ( )0 0F sin x sin 60 x sin 60 x= - + .

7/ ( ) ( )0 0G 8cosx cos 60 x cos 60 x 1= - + + .



8/ 1

H cosx cos2x sin 3x sin12x4

= - .

9/ I 4sin2x sin5x sin7x sin 4x= - .

10/ 1

J sin2x sin 6x cos4x cos12x4

= + .

11/ 1

K sin x sin2x sin 3x sin 4x4

= - .

12/ L 4cosx sin x sin x cos2x6 6

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷= + - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

13/ M sin 4x sin10x sin11x sin 3x sin7x sin x= - - .

14/ x 3x

N cos cos sin x sin 3x sin2x sin 3x2 2

= - - .

15/ 7x 3x x 5x

O sin cos sin cos sin2x cos7x2 2 2 2

= + + .

16/ P cos2x cos4x cos6x 4cosxcos2xcos3x 2= + + - - .

17/ ( )Q sin x 1 2cos2x 2cos4x 2cos6x= + + + .

18/ ( )sin 5x

R 2 cos2x cos4xsin x

= - + .

19/ 2 2S sin x sin x sin cos 2x4 4 12 12

æ ö æ ö æ öp p p p÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= + - - - +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø.

s

1/ 0 0 0 0 0 3 1cos12 cos18 4cos15 cos21 cos24

2

++ - = - .

à A ă 2001

2/ 0 0 0 0tan 9 tan 63 tan 81 tan27 4- + - = .

3/ 0 0 0 0 08 3tan 30 tan 40 tan 50 tan 60 cos20

3+ + + = .

4/ ( ) ( )0 0 1 1cos 2x 60 cos 2x 60 cos4x

2 4+ - = - .

5/ ( ) ( ) ( )2 0 0sin x cosx cos4x 4sin2x sin x 15 cos x 15+ - = + - .

6/ 2 2 3sin x sin x sin x sin x

3 3 4

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç÷ ÷+ - + - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

7/ ( ) ( ) ( )sin a sin b c sin b sin c a sin csin a b 0- + - + - = .

8/ ( ) ( )2 2 2cos x 2cosa cosxcos a x cos a x sin a- + + + = .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 37 -

9/ 8 8 7 1sin x cos x cos2x cos6x

8 8- = + .

10/ 8 8 35 7 1sin x cos x cos4x cos8x

64 16 64+ = + + .

11/ 3 2

tan 4tan 1111 11

p p+ = .

12/ 0 0 0tan20 tan40 tan80 3= .

13/ 3 0 2 08sin 18 8sin 18 1+ = . V à ă 2000

14/ 4 4 4 43 5 6 3sin sin sin sin

16 16 16 16 2

p p p p+ + + = .

15/ 0 0 0 0 0 0tan10 tan25 tan25 tan 55 tan 55 tan10 1+ + = .

16/ 0 0 0 0tan15 tan25 tan35 tan85 1= .

17/ 0 0 0tan20 tan 40 tan 80 3 3- + = .

18/ 0 o 0 0tan10 tan50 tan60 tan70 2 3- + + = .

19/ 0 0 0 0 0tan20 tan 40 tan 80 tan 60 8sin 40+ + + = .

20/ 6 0 4 0 2 0tan 20 33tan 20 27 tan 20 3 0- + - = .

A r

1/ B C3

p- = à

1sin B.sinC

2= . S: B , C , A

2 6 3

p p p= = = .

2/ 2

B C3

p+ = à

1 3sin B.cosC

4

+= . S:

5A , B , C

3 12 4

p p p= = = .

Ch u ki n c à A

1/ cos2A cos2B cos2C 1+ + = - . 2/ tan2A tan2B tan2C 0+ + = .

3/ b c a

cosB cosC sin B.sinC+ = . 4/

B a ccot

2 b

+= .

Ch u ki n c à A cân:

1/ ( )A B

a tan A b tan B a b tan2

++ = + . 2/ 22tan B tanC tan B. tanC+ = .

3/ ( )sin A sin B 1

tan A tan BcosA cosB 2

+= +

+. 4/

C 2sin A.sin Bcot

2 sinC= .

Ch ng minh b ng th c, t s y r u ki n c à A u:

1/ 3 3

sin A sin B sinC2

+ + £ . HD: C ng sin3

p vào VT.

2/ 3

cosA cosB cosC2

+ + £ . HD: C ng cos3

p vào VT.



3/ tan A tan B tanC 3 3+ + ³ .

4/ 1

cosA.cosB.cosC8

£ .

HD 1

cosA.cosB.cosC8

- d .

Cho cos cosa cosbj = a,b k2

p¹ + p . 2a a b

tan tan tan2 2 2

j + j -= .

Cho ( )sin 2a b 5sin b+ = . ( )2tan a b

3tan a

+=

a k2

a b l2

ìï pï ¹ + pïïïíï pï + ¹ + pïïïî

.

Cho ( ) tan a b 3tan a+ = . ( )sin 2a 2b sin2a 2sin2b+ + = .

Cho ( )( )

( )( )

sin x cos xa A

;b Bsin x cos x

- a - a= =

- b - b à aB bA 0+ ¹ .

( )aA bB

cosaB bA

+= a - b

+.

r x a

tan2 b

= A a sin x bcosx= + à à .

Cho a,b, c à à A,B,C .

γ, ,a b ơ γa b c

cos , cos , cosb c c a a b

a = b = =+ + +

.

1/ γ2 2 2tan tan tan 1

2 2 2

a b+ + = . 2/

γ A B Ctan tan tan tan tan tan

2 2 2 2 2 2

a b= .

1 1 1 tan 8x tan x

...cosx cos2x cos2x cos3x cos7xcos8x sin x

-+ + + = .

r 8 0 8 0 8 0M sin 20 sin 40 sin 80= + + .

s 11 ă 200

r 0 0 0 0

0

2sin2 4sin 4 ... 178sin178 180sin180N

cot 1

+ + + += .

s

1/ ( )A cos cos3 cos5 ... cos 2n 1= a + a + a + + - a . S: sin2n

A2sin

a=

a.

2/ ( )n 12 3

B sin sin sin ... sinn n n n

- pp p p= + + + + . S: B cot

2n

p= .

3/ ( )2n 13 5

C cos cos cos ... cosn n n n

- pp p p= + + + . S: C cos

n

p= - .

10 – 2 s. Lê Vă à

Page - 39 -

4/ 1 1 1

D ... ,cosa.cos2a cos2a.cos3a cos4a.cos5a

= + + + a5

p= . S: D 1 5= - .

5/ n 1

1 1 1 1E 1 1 1 ... 1

cosx cos2x cos3x cos2 x-

æ öæ öæ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= + + + +ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷è øè øè ø è ø. S:

n 1tan 2 xE

xtan

2

-

= .

6/ n

1 1 1 1F ...

sin2x sin 4x sin 8x sin2 x= + + + + .

7/ in3 3 2 3 n 1 3

n

x x x xG sin 3s 3 sin ...... 3 sin

3 3 3 3

-= + + + + .

yê 4 4 2 23 3 2M tan tan 2 tan tan

4 4 7 7

æ öp p p p÷ç ÷= + + +ç ÷ç ÷çè ø.

( ) ( ) 3 1sin x 3sin x sin 3x

4= - * . Khi thay

n

ax

3= à ( )* . y

3 3 n 1 3n 2 n

a a aS sin 3sin ... 3 sin

3 3 3

-= + + + .

S: nn n

1 aS 3 sin sin a

4 3

æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷è ø.

sin2a

cosa2sin a

= . s y r r n 2 n

x x xP cos cos ... cos

2 2 2= .

S: n

n

n

sin xP

x2 sin

2

= .

1 x

cot cot xsin x 2

= - .

( ) n 1

n 1

1 1 1S ... , 2 k

sin sin2 sin2

-

-= + + + a ¹ p

a a a.

S: n 1S cot cot 22

-a= - a .

2tan x. tan2x tan2x 2tan x= - .

2 2 n 1 2n 2 n n 1

a a a a aS tan . tan a 2tan . tan ... 2 tan . tan

2 22 2 2

-

-= + + + .

S: nn n

aS tan a 2 tan

2= - .

Tính 2sin 2x, bi t:

2 2 2 2

1 1 1 17

tan x cot x sin x cos x+ + + = .

S: 8

9.



sina m= à 0 0270 x 450< < .

1/ ( )a 1cos 1 m 1 m

2 2= - + + - . 2/ ( )a 1

sin 1 m 1 m2 2

= - + - - .

Cho 02

p< a < . tan cot 2a + a ³ .

s

1/ 0 0sin 75 sin15 1+ > . 2/ 0 0cos36 tan 36> .

s

1/ sin 3x cosx cos3x sin x cos2x 2- - £ .

2/ 3 sin 3x cos2x cosx sin2x sin x 2+ - £ .

3/ ( ) ( )0 0 1sin x sin x 60 sin x 60

4+ - £ .

4/ cosxcos3x sin2xsin4x 1- £ .

5/ 2cos2x cosx sin x sin 3x sin x cos3x 1+ - £ .

6/ ( )2sin x cosx cos3x cos5x cos7x cos9x 1+ + + + £ .

r à r s

1/ y 3 sin x cosx 2= + + .

2/ 1

y cosx , xcosx 2 2

æ öp p÷ç ÷= + - < <ç ÷ç ÷çè ø.

3/ y sin x cosx cos2x cos4x= .

4/ 4 4y sin x cos x, 0 x2

æ öp÷ç ÷= + £ £ç ÷ç ÷çè ø.

5/ 2y sin x 2 sin x= + - .

6/ 4 4 2 2y cos x sin x cos x sin x= + + .

7/ 4 2 5y sin 4x cos x cos2x

4= - + .

8/ 6 6 4 4y 2sin x 2cos x sin x cos x cos2x= + - - + .

Documents

10 2 s. Lê Vă à 5 GÓ VÀ &ÔNG THỨ& LƯỢNG GIÁ · PDF file · 2015-03-14sin xtanx cos xcotx 2sinxcosx tanx cotx22+ + = +. 5/ sin xtan x 4sin x tan x 3cos x 32 2 2 2 2+ -