10 장 . 대기모형

10 장 . 대기모형

제 3 편 경영과학적 방법론

산업경영공학

공재현

[email protected]

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목차

서론

시스템의 특성

시스템 성능의 척도

대기모형

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서론 대기행렬이론

대기행렬이론 (Queueing theory) 은 대기행렬 (queue, waiting line) 을 수학적으로 다루는 이론이다 . 이 이론은 대기행렬에 도착하는 것과 대기하는 것 그리고 서비스되는 일련의 프로세스들에 대한 수학적 , 확률적 분석을 가능하게 한다 . 시스템의 평균 대기시간 , 대기행렬의 추정 , 서비스의 예측 등을 현재 상태를 기반으로 한 시스템의 확률을 기반으로 하여 성능을 측정하는 유용한 도구이다 . 대기행렬이론은 경영관리 , 산업공학 , 통신 네트워크의 성능분석 및 설계 ( 패킷스케줄링 정책 , 자원관리 ) 등 여러 분야에서 강력한 도구이다 . ( 위키백과 )

대기행렬 ? 고객의 불규칙한 도착과 서비스 시간의 불균형으로 인하여

기다리는 상태를 초래• 은행창구 , 매표소 , 터미널 , 계산대 , 간이음식점 , 비행기 예약소 ,

극장…

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서론 대기행렬이론

대기행렬이론 (Queueing theory) 은 대기행렬 (queue, waiting line) 을 수학적으로 다루는 이론이다 . 이 이론은 대기행렬에 도착하는 것과 대기하는 것 그리고 서비스되는 일련의 프로세스들에 대한 수학적 , 확률적 분석을 가능하게 한다 . 시스템의 평균 대기시간 , 대기행렬의 추정 , 서비스의 예측 등을 현재 상태를 기반으로 한 시스템의 확률을 기반으로 하여 성능을 측정하는 유용한 도구이다 . 대기행렬이론은 경영관리 , 산업공학 , 통신 네트워크의 성능분석 및 설계 ( 패킷스케줄링 정책 , 자원관리 ) 등 여러 분야에서 강력한 도구이다 . ( 위키백과 )

서비스 용량의 계획 및 분석을 위해 주로 이용됨

대기행렬 ? 고객의 불규칙한 도착과 서비스 시간의 불균형으로 인하여

기다리는 상태를 초래• 은행창구 , 매표소 , 터미널 , 계산대 , 간이음식점 , 비행기 예약소 ,

극장…

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서론

고객 ? 대기 중인 주문들 , 빈 트럭 , 처리되어져야 할 업무 ,

수리를 기다리는 장치 , 정박중인 배들 , 착륙을 기다리는 비행기 , 간호사를 기다리는 환자 , 정지신호를 기다리는 자동차 ..

현대의 대기이론 A.K Erlang 의 전화시설 연구로부터 시작 확률이론과 수리적 모델을 이용한 분석법

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서론

왜 대기가 발생하는가 ? 시스템이 저부하 ( 시설이 많은 경우 ) 인 경우에도

대기 발생 도착시간과 서비스 시간이 모두 가변적 시스템은

비정기적으로 과부하 ( 휴무 ) 상태 대기행렬 발생 거시적 관점에서의 시스템 저부하상태 vs. 미시적

관점에서의 과부하상태 두 시간이 일정한 경우는 ?

• 저부하 상태의 시스템에서 발생하지 않을 수 있다 .

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서론 대기행렬 분석의 목적

두가지 비용에 대한 분석• 고객이 서비스를 받기 위해 기다리는 것과 관련한 비용

• 대기를 위한 공간 비용 , 고객의 대기 거부로 인한 비용 , 미래 발생 가능한 비용 등…

• 고객 대기시간에 관한 비용 산출의 어려움 대기시간 또는 대기행렬의 길이를 정책변수로 사용

• 서비스 용량과 관계된 비용• 세차장의 격실 수 , 고장기계 수리공의 수 , 슈퍼마켓의 계산대 수 ,

고속도로 진입창구 수 등… 분석목적 : 서비스 용량을 제공하기 위한 비용과 서비스를 기다리는

고객의 대기비용을 조절하는 것 총비용을 최소화시키는 서비스 용량의 수준을 결정

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시스템의 특성 인구자원 (The population source)

무한자원 (Infinite source)• 고객의 잠재적인 숫자는 시스템의 용량을 크게 초과• 서비스가 특정 고객에 제한되지 않는 상황에서 존재

• 슈퍼마켓 , 약국 , 은행 , 식당 , 극장 , 오락실… 유한자원 (Finite source)

• 정해진 대수의 기계를 책임진 수리공 , 담당 환자가 정해진 간호사…

종사자 (channel) 의 수 대기시스템의 용량은 각 종사자의 능력과 사용되는

종사자의 수들의 함수 (server = channel) 단일 채널 vs. 다수 채널 단일 국면 (single phase) vs. 다수 국면 ( 단계 )

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시스템의 특성

고객

대기행렬 서비스장치

시스템

단일채널 대기시스템

네 개의 기본적 대기 시스템

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시스템의 특성 도착과 서비스의 형태

가변성 수학적 분포로 표현 일반적 가정

• 고객의 도착률 (arrival rate) 포아송 분포• 서비스 시간 지수분포 도착률 또는 서비스율 : 포아송 분포도착간 시간 또는 서비스시간 : 지수분포시간당 12 고객 서비스 가능 ( 서비스 율 ) 평균 서비스 시간 5 분 ( 서비스 시간 )시간당 10 명의 고객 도착 ( 도착률 ) 평균 도착 시간 6 분 ( 도착 간의 평균 시간 )

시간 (t)

f(t)

: 도착률지수분포 : f(t) = e-t

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시스템의 특성

대기의 분류 ( 서비스의 순서 ) 선착순 서비스 (FCFS:First Come First Served)

• 은행 , 상점 , 극장 , 식당 … 우선순위에 의한 서비스 순서…

• Dispatching Rules in scheduling

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시스템 성능의 척도 대기행렬 또는 시스템에서 대기중인 고객의 평균숫자 대기행렬 또는 시스템에서 보내는 고객의 평균대기시간 장치의 사용비율을 뜻하는 시스템의 활용도 용량의 수준과 대기행렬에 관계된 내재비용

시스템 활용도와 대기행렬의 길이 및 평균대기시간과의 관계 시스템 활용도가 증가할수록 대기행렬의 길이와 평균대기 시간이 기하급수적으로 증가 시스템 활용도를 목적으로 하지 않고 , 비용의 합을 최소화하는 것을 목적으로 한다 .

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대기모형 가장 일반적인 대기 모형 ( 도착은 포아송 분포 )

무한자원• 단일채널 , 지수서비스시간• 단일채널 , 일정서비스시간• 다수채널 , 지수서비스시간

유한자원• 단일 / 다수채널 , 지수서비스시간

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대기모형

모형 1: 단일채널 ( 지수서비스시간 ) 하나의 종사자 ( 단일팀 ), 선착순서비스 , 도착

포아송분포 , 서비스 지수시간

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대기모형 문제 10-1

한 항공회사가 한 명의 종사원을 가지는 영업점을 새로 생긴 백화점 내에 개설하려고 한다 . 시간당 평균 15 건의 정보와 예매요구가 있을 것으로 추정되며 , 이 요구는 포아송 분포를 따르는 것으로 가정된다 . 비슷한 영업점으로부터의 이전 경험에 의하면 한 요구당 평균 3 분 정도의 서비스 시간이 필요한 것으로 알려졌다 . 다음을 구하여라 .

1. 시스템 활용도2. 종사자의 휴무시간 비율3. 서비스를 받고자 대기중인 고객의 기대숫자4. 시스템 내에서 고객이 평균적으로 소비해야 할 시간

=15, =20

분시간

고객

휴무시간

12 2.01520

11

25.2)1520(20

15

)(

%2525.01

7.020

15

22

s

l

t

n

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대기모형

모형 2 : 단일채널 ( 일정시간서비스 ) 대기행렬의 대기인 수 , 평균대기시간 등이 모형 1 에

비해 절반

st

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왕씨 세차장은 5 분 작동 자동세차기계 한 대를 가지고 있다 . 어떤 토요일 아침에 차들은 시간당 평균 8 대의 비율로써 도착하였고 도착들은 포아송분포를 따르는 경향을 보였다 . 다음을 구하라 .

1. 행렬에서 대기중인 차들의 평균숫자2. 행렬과 서비스에서 차들이 소모하는 평균시간

=8, =12

분시간

대

10 167.012

1

8

667.01

667.0)812)(12(2

8

)(2

22

ls

l

nt

n

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대기모형 모형 3 : 다수 채널

가정• 도착률의 포아송 분포와 지수서비스 시간• 동일한 평균 능률로 서비스하는 종사자들• 하나의 고객 대기 행렬 (FIFS)

시스템 성능 평가를 위한 값을 구할 수 있는 표 10-2 (p.234-235)• 종사자 수 (M)• 서비스율과 도착률의 비율 r = λ/μ

1. r 값을 구한다2. 표의 왼쪽에서 해당되는 r 값을 찾는다 . 대기중인고객의 평균숫자가

결정되면 다음 식을 이용하여 계산한다 .

ll

s

ls

nt

n

nn

:

:

:

:

행렬대기시간

수고객서비스중인

시간내의시스템

수고객시스템내의

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갑을 택시회사는 10 대의 택시를 공항에 상주시키고 있다 . 평일날 밤의 늦은 저녁 동안에 고객들의 택시 요구는 시간당 평균 9.6 의 포아송분포를 따르는 것으로 알려졌다 . 서비스 시간은 평균 50 분의 지수분포를 따른다 . 합승이 불가능할 때 다음의 각 값들을 구하여라 .

1. 시스템 활용도2. 택시를 기다리는 평균숫자3. 택시를 기다리는 고객의 평균 대기시간

=9.6, =1.2, M=10

분시간 2.1017.06.9/6364.1

6364.1,10,82.1

6.9

8.0)2.1(10

6.9

ll

l

nt

nMr

M

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갑을 택시회사는 또한 새로운 기차역에 택시들을 배치시키려고 계획하고 있다 . 고객들의 도착률은 시간당 4.8 고객으로 추정되며 서비스율은 기차역으로 되돌아오는 시간을 표함하여 시간당 1.5 로 추정되었다 . 시스템 내에서의 소요시간이 한 시간 미만이 되려면 몇 대의 택시를 배치시켜야만 할까 ?=4.8, =1.5, M=?

2.35.1

8.4

r

M 은 무조건 4 이상이 되어야 함 . ( 과부하문제 )

163.18.4/5856.5,5856.55.1/8.43856.2,3856.2,4

sslsl

ntnnnM

774.08.4/7128.3,7128.35.1/8.45128.0,5128.0,5

sslsl

ntnnnM

5대 이상의 택시가 필요

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