10-Elemente de Mecanica Cuantica Si Probleme(1)

10. Elemente de mecanică cuantică 438

10. ELEMENTE DE MECANICĂ CUANTICĂ 10.1. Introducere După cum am văzut în capitolul 9, starea unui sistem fizic care se supune relaţiilor de nedeterminare ale lui Heisenberg nu poate fi descrisă cu ajutorul coordonatelor de poziţie şi impuls deoarece acestea nu mai pot fi măsurate simultan cu o precizie oricât de mare. Ca atare, mişcarea unui astfel de sistem, pe care îl vom numi sistem cuantic, nu mai poate fi studiată cu ajutorul legilor mecanicii clasice, împunându-se formularea unei mecanici noi care să răspundă acestor cerinţe. Aceasta este mecanica cuantică, fondată între anii 1925 şi 1930 de W. Heisenberg şi M. Born, pe de-o parte, şi E. Schrödinger, pe de altă parte şi, nu în ultimul rând, de P. A. M. Dirac care a dat o formulare generală care conţine cele două formulări alternative anterioare drept forme particulare. În cele ce urmează vom prezenta elementele esenţiale ale mecanicii cuantice în formularea aparţinând lui E. Schrödinger şi vom ilustra cele prezentate prin tratarea câtorva cazuri simple dar sugestive din punct de vedere cognitiv şi care sunt, în acelaşi timp, de un interes practic real. 10.2. Starea unui sistem cuantic. Principiul suprapunerii stărilor Mecanica cuantică în formularea dată de E. Schrödinger este o mecanică ondulatorie în sensul că, pornind de la ipoteza de Broglie cu privire la caracterul ondulatoriu al comportării unui sistem cuantic în mişcare, ea propune, pe baza unei


construcţii speciale, studiul evoluţiei sistemului cuantic prin intermediul funcţiei de undă ataşate acestuia. Desigur că un prim pas necesar realizării acestui demers a fost să se stabilească care este natura undei de Broglie pentru a se vedea cum poate unda ataşată să descrie starea sistemului cuantic. Pentru aceasta să examinăm mai întâi chiar noţiunea de stare a unui sistem cuantic apelând la o experienţă mentală pe care să o efectuăm, de exemplu, cu electroni (Fig. 10.1).

P12

a) b)

Fig. 10.1

Electronii monenergetici lansaţi din tunul electronic se îndreaptă spre un paravan în care sunt practicate două orificii, 1 şi 2. După acesta este plasat un ecran pe care se află distribuiţi uniform pe direcţia detectori care înregistrează, semnalând şi sonor, sosirea electronilor pe ecran. Dacă, pe un interval de timp oarecare, urmărim cum se derulează înregistrarea electronilor, constatăm că detectorii distribuiţi pe ecranul de observare emit semnale distincte, de aceeaşi durată, care sunt distribuite aleator în timp. Putem afirma, deci, că electronii sosesc bucată cu bucată pe ecran, adică aceştia îşi păstrează identitatea de corpuscul.

Ox

Pe de altă parte, dacă socotim numărul de electroni înregistraţi de fiecare detector în parte şi-l împărţim la numărul total de electroni sosiţi pe ecran, vom obţine probabilitatea notată cu P , ca un electron să sosească la o anumită distanţă

pe ecran, care este reprezentată în figura 10.1a. 12

x Putem deci afirma că un electron, trecând fie prin orificiul , fie prin orificiul

, poate să ajungă în orice punct de pe ecran cu o probabilitate care este dată de . Astfel, singurele afirmaţii pe care le putem face asupra comportamentului

unui electron în cazul acestei experienţe, dar şi al multor alte experienţe cu particule

12P12

x( )x


cuantice, sunt afirmaţii cu caracter statistic, în sensul că nu putem prezice exact ce face fiecare electron ci putem doar prezice care este probabilitatea ca un electron să sosească într-un anumit punct de pe ecran. În plus, dacă vom considera o experienţă similară, dar efectuată cu lumină (fotoni) în loc de electroni, vom constata că aliura curbei care reprezintă intensitatea luminoasă obţinută pe ecran, ( )x12I , este identică cu ( )xP12 . Putem deci afirma că electronii, deşi corpusculi, au o comportare ondulatorie descrisă de o funcţie de undă care determină probabilitatea de localizare a acestora. Revenind la experienţa cu lumina şi reamintindu-ne că intensitatea luminoasă

se obţine în urma interferenţei fasciculelor difractate pe cele două orificii putem să încercăm să obţinem, prin analogie, informaţii suplimentare asupra stării electronilor sosiţi pe ecran prin separarea acestora în două categorii: cei care sosesc pe ecran trecând prin orificiul 1 şi cei care sosesc pe ecran trecând prin orificiul 2 . Această separare se poate obţine fie astupând pe rând câte un orificiu şi contorizând de fiecare dată electronii sosiţi pe ecran, fie plasând o sursă luminoasă între cele două orificii imediat după după paravan, trecerea unui electron printr-unul din orificii fiind evidenţiată prin lumina împrăştiată de către electroni. şi într-un caz şi în celălalt, probabilitatea ca un electron să sosească pe ecran trecând prin orificiul 1 şi probabilitatea ca un electron să sosească pe ecran trecând prin orificiul 2 au acelaşi tip de dependenţă de poziţia corespunzător difracţiei pe fiecare fantă în parte (Fig. 10.1b). Aceasta este identică cu suprapunerea intensităţii luminoase obţinute la difracţia pe fanta 1 iar apoi pe fanta 2. De aici putem concluziona că, în ambele cazuri, efectul interferenţei undelor ataşate electronilor a fost complet anulat.

12I

1P

2Px

În cazul distribuţiei , la fel ca în cazul difracţiei luminii pe un ansamblu de două fante, avem deci interferenţa undelor secundare rezultate prin difracţie pe fanta 1 respectiv pe fanta 2, caz fundamental diferit atât matematic cât şi experimental de difracţia succesivă pe cele două fante. Trebuie să admitem atunci că datorită nelocalizării spaţiale a electronului, rezultată din relaţiile de nedeterminare Heisengerg, electronul trece, cu diferite probabilităţi, simultan prin cele două fante, unda asociată jucând rolul de funcţie de probabilitate.

( )xP12

Astfel, cu privire la starea unui electron sosit pe ecran atunci când ambele orificii sunt deschise şi când trecerea electronilor prin orificii nu este urmărită în


vreun fel, se poate spune că aceasta este o stare complexă care este descrisă de o funcţie de undă ce se obţine prin suprapunerea, într-un anumit mod, a funcţiilor de undă ce descriu cele două comportări distincte ale electronului, de trecere prin orificiul 1 respectiv 2. Generalizând, putem afirma că o stare oarecare a unui sistem cuantic se obţine prin suprapunerea unor stări particulare, numite stări proprii, ce caracterizează montajul experimental particular în care sistemul cuantic evoluează. Afirmaţia de mai sus, care surprinde o caracteristică esenţială a stării sistemelor cuantice, constituie principiul suprapunerii stărilor, un principiu fundamental al mecanicii cuantice. 10.3. Interpretarea funcţiei de undă. Spaţiul funcţiilor de undă Rezultatele experienţei cu electroni discutată în paragraful precedent ne îndreptăţesc să afirmăm că funcţia de undă ( )t,rrψ=ψ care descrie starea unui sistem cuantic determină probabilitatea de localizare a acestuia, modul exact în care cele două mărimi pot fi legate una de alta rămânând de precizat. Astfel, conform interpretării statistice a funcţiei de undă dată de Max Born, densitatea de probabilitate de localizare a unui sistem cuantic este dată de modulul pătrat al funcţiei de undă care descrie starea sistemului cuantic: ( ) 2t,r

rψ=P . (10.1)

Atunci, probabilitatea de a găsi sistemul într-un volum elementar este: dxdydzdV =

( ) dxdydzt,rdVdP 2rψ== P , (10.2)

iar probabilitatea ca sistemul să fie localizat într-un volum oarecare , va fi: V

( )∫ ψ=

V

2V dxdydzt,rP

r. (10.3)

Dacă volumul acoperă tot domeniul pus la dispoziţia sistemului cuantic atunci: V

( ) 1dxdydzt,rdomeniul Tot

2 =ψ∫r

. (10.4)


Ecuaţia (10.4), care reprezintă condiţia de normare pentru funcţia de undă arată că sistemul descris de aceasta se află cu certitudine localizat în domeniul

care îi este pus la dispoziţie. Această condiţie impune, din punct de vedere matematic, necesitatea integrabilităţii în modul pătrat a funcţiei de undă. În plus, o funcţie de undă în mecanica cuantică trebuie să fie continuă, mărginită şi cu derivate parţiale continue.

( t,rr

ψ )

Din cele de mai sus, dar şi din multe alte experienţe cu sisteme cuantice, se poate afirma că functia de undă care descrie starea unui sistem cuantic reprezintă maximul de informaţie care poate fi obţinută asupra acestuia. Din cele discutate în paragraful 10.2. reiese că un sistem cuantic se poate afla în oricare din stările proprii caracteristice condiţiilor experimentale de preparare ale sistemului precum şi în orice stare rezultată prin suprapunerea liniară a acestora. Aceasta nu înseamnă altceva decât că funcţiile de undă care descriu starea unui sistem cuantic alcătuiesc un spaţiu de funcţii ale cărui proprietăţi vor fi prezentate în cele ce urmează. În conformitate cu principiul suprapunerii stărilor, spaţiul funcţiilor de undă trebuie să fie un spaţiu liniar şi ţinând cont de condiţia (10.4), spaţiul funcţiilor de undă este un spaţiu normat. După cum ne este cunoscut, un spaţiu de funcţii liniar şi normat, constituie un spaţiu Hilbert. Dacă printre funcţiile de undă se găseşte un set de funcţii , pentru care relaţia:

n21 ,...,, ψψψ

(10.5) 0an

1iii =ψ∑

=este satisfăcută numai dacă toţi coeficienţii sunt nuli, atunci funcţiile

sunt funcţii linear independente, numărul maxim al acestora dând dimensiunea spaţiului.

ian21 ,...,, ψψψ

Pornind de la definiţia produsului scalar a două funcţii de undă, şi : iψ jψ

(10.6) ( ) dxdydz, j*iji ∫ ψψ=ψψ

dacă produsul scalar al acestora este nul ( ) 0, ji =ψψ (10.7)


atunci funcţiile iψ şi sunt ortogonale. jψ

Un set complet de funcţii de undă linear independente, ortogonale şi normate alcatuiesc o bază a spaţiului functiilor de undă. Pentru oricare două funcţii din bază iψ şi jψ putem scrie:

( ) ijji , δ=ψψ (10.8)

unde este simbolul lui Kronecker: ijδ

(10.9) ⎩⎨⎧

=≠

=δ.ji 1

ji 0ij pentru

pentru

Atunci o funcţie de undă care descrie o stare oarecare a unui sistem cuantic se scrie cu ajutorul funcţiilor care constituie baza spaţiului astfel:

. (10.10) ∑=

ψ=ψn

1iiic

10.4. Funcţia de undă a particulei libere. Pachetul de unde Cel mai simplu sistem cuantic asupra căruia ne putem îndrepta atenţia pentru a vedea cum poate fi scrisă funcţia de undă care descrie evoluţia acestuia este particula liberă. Să considerăm o particulă liberă nerelativistă, de masă , care se deplasează

de-a lungul axei Ox , având impulsul

m

xx 1pprr

= şi energia m2

pE

2x= , unde impulsul

are o valoare bine precizată. xp Unda asociată particulei, care trebuie să se deplaseze pe aceeaşi direcţie cu particula, poate fi o undă plană având vectorul de undă x1kk

rr⋅= , dată de:

( ) ( kxtiAet,x −ω=ψ ) (10.11) unde amplitudinea A este constantă. Ţinând cont de relaţiile de Broglie, modulul vectorului de undă k

r şi pulsaţia ω

se scriu cu ajutorul mărimilor dinamice care caracterizează particula:

.EhE22;

pp/h

22k x

x hh=π=πν=ω=

π=

λπ

= (10.12)


Atunci, funcţia de undă (10.11) se va scrie:

( )( )xpEti

xAet,x

−=ψ h . (10.13)

Viteza de fază a undei asociate particulei, obţinută din condiţia : .constxptE x =−⋅

m2

ppE

dtdxv x

xf === (10.14)

este în acest caz jumătate din viteza particulei mp

v x= .

Funcţia de undă (10.11) sau (10.13) trebuie însă să satisfacă condiţia de normare (10.4):

( ) 1dxt,x 2 =ψ∫+∞

∞−

. (10.15)

Calculând integrala din (10.15):

( ) ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

=ψ dxAdxt,x 22 (10.16)

constatăm că, de fapt, aceasta reprezintă un caz limită pentru care amplitudinea tinde la zero pe măsură ce lărgim domeniul de localizare spaţială a undei. De altfel, se observă că ( ) 22 At,x =ψ oricare ar fi şi în consecinţă particula liberă cu

impulsul fixat este complet nelocalizată ceea ce rezultă drept caz limită şi din relaţiile de nedeterminare Heinsenberg. Ca atare, pentru corpuri reale impulsul particulei nu trebuie să fie fixat, ceea ce revine la a scrie funcţia de undă ataşată particulei ca o suprapunere de unde plane, cea mai generală formă fiind:

x

( )( )

( )( )[ ]

∫∞+

∞−

−φ

π=ψ x

xptpEi

x2/1dpep

2

1t,xxx

h

h (10.17)

unde este amplitudinea undei plane corespunză-toare valorii a impulsului particulei.

( xpφ ) xp

În acest caz avem de-a face cu un pachet de unde a cărui viteză de deplasare, numită viteză de grup, se obţine din condiţia de fază constantă:


( )[ ]

0dp

xptpEd

0x ppx

xx =⋅−⋅

=. (10.18)

Astfel, viteza centrului pachetului de unde, adică viteza de grup, rezultă a fi:

( )

0x ppx

xg dp

pdEtxv

=== . (10.19)

La limita clasică, pachetul de unde asociat particulei are o întindere neglijabilă în jurul valorii ceea ce face ca viteza de grup să fie asimilată cu viteza

particulei: 0x pp =

mp

vv 0g == . (10.20)

În acest caz, ţinând cont de (10.19), putem scrie:

( )

mp

dppdE x

x

x =

astfel încât:

( )m2

ppE

2x

x = (10.21)

unde constanta de integrare s-a considerat a fi nulă. Dezvoltând în serie în jurul valorii :

( xpE )0p

( ) ( ) ( ) ( )m2p

pvpEm2pp

ppmp

m2p

pE2x

xg0

20x

0x0

20

xΔ

+Δ+=−

+−+= (10.22)

şi considerând nedeterminarea xpΔ a impulsului suficient de mică, putem neglija ultimul termen în ec. (10.22). În acest caz, funcţia de undă (10.17) se va scrie:

( )( )[ ]

( t,xFet,xxptpEi

00⋅=ψ

−h ) (10.23)

unde funcţia : ( )t,xF

( )( )

( )[ ]( )

∫Δ+

Δ−

−−−φ

π=

x0

x0

g0xpp

ppx

tvxppi

x2/1dpep

2

1t,xF h

h (10.24)

modulează pachetul de unde. Funcţia ( )t,xF este cunoscută în măsura în care este precizat:

( )xpφ

( ) ( ) 22 t,xFt,x =ψ . (10.25)


Forma pachetului de undă evoluează rapid în timp deoarece viteza de fază şi cea de grup diferă după cum am văzut de la simplu la dublu conducând la o destrămare rapidă a pachetului, adică la creşterea nelocalizării particulei pe parcursul propagării. Ca exemplu, dacă ( xp )φ este o gaussiană de lărgime .constpx =Δ , centrată pe valoarea : 0p

( )( )( )2x

20x

p2

pp

x Cep Δ

−−

=φ (10.26) atunci pe măsură ce particula se deplasează de-a lungul axei Ox , densitatea de

probabilitate de localizare a particulei, ( ) 2t,xψ=P , arată ca în figura 10.2.

Fig. 10.2

Observăm că pe măsură ce particula se deplasează de-a lungul axei Ox , largimea pachetului de unde creşte ceea ce înseamnă că particula este din ce în ce mai delocalizată. 10.5. Ecuaţia Schrödinger pentru particula liberă

Să considerăm o particulă liberă nerelativistă de masă având impulsul mxx 1pprr

= şi energia E . După cum am văzut în paragraful 10.4, particula poate fi descrisă de o undă

plană monocromatică de pulsaţie h

E=ω şi vector de undă x1kk

rr⋅= , cu

hxp

k = ,

dată de (10.13):


( )( )xpEti

xAet,x

−=ψ h .

Aşa după cum se procedează în cazul general al unei unde, vom calcula derivata temporală şi derivata spaţială pentru funcţia de undă ataşată pariculei şi obţinem:

.E

ti

px

i x

ψ⋅=ψ∂∂

⋅−

ψ⋅=ψ∂∂

⋅

h

h

(10.27)

Ecuaţiile de acest tip în care un operator matematic (în cazul de faţă x

i∂∂

h şi

respectiv, t

i∂∂

− h ), acţionând asupra unei funcţii, reproduce funcţia până la o

constantă multiplicativă (în acest caz , respectiv E ) au o semnificaţie majoră în ceea ce priveşte înţelegerea comportării sistemelor cuantice şi de aceea vor fi discutate aparte în paragraful următor.

xp

Acum, pentru funcţia de undă (10.13) să calculăm derivata a doua după şi obţinem:

x

ψ−=∂

ψ∂2

2x

2

2 p

x h. (10.28)

Ţinând cont de (10.27) şi de faptul că , ecuaţia (10.28) devine: mE2p2x =

( ) ( )t

t,xix

t,xm2 2

22

∂ψ∂

=∂

ψ∂− hh . (10.29)

Aceasta este ecuaţia Schrödinger temporală pentru o particulă liberă care se mişcă de-a lungul axei O Această ecuaţia este o ecuaţie lineară şi omogenă care, în măsura în care funcţia

x .x( t, )ψ este cunoscută la un moment de timp oarecare ,

permite obţinerea funcţiei ψ la orice moment de timp. 0t

În cazul în care particula se deplasează liber după o direcţie oarecare în spaţiu,

având impulsul p , de modul r 2

z2y

2x pppp ++= , bine determinat şi energia

m2pE

2= , aceasta este descrisă de unda plană:

( ) ( rpEtiAet,r )rrr ⋅−=ψ (10.30)


având vectorul de undă h

rr pk = şi pulsaţia h

E=ω .

Analog cu cazul unidimensional, se poate verifica că funcţia de undă (10.30) satisface ecuaţia cu derivate parţiale:

( ) ( )t

t,rit,rzyxm2 2

2

2

2

2

22

∂ψ∂

=ψ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

r

hrh

. (10.31)

Cu ajutorul operatorul lui Laplace:

2

2

2

2

2

22

zyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇=Δ

ecuaţia (10.31) se scrie:

( ) ( )t

t,rit,rm2

2

∂ψ∂

=ψΔ−r

hrh . (10.32)

Aceasta este ecuaţia Schrödinger tridimen-sională pentru o particulă liberă. Ecuaţia (10.32) este satisfăcută şi de o suprapunere lineară de unde plane de tipul (10.30), în particular de un pachet de unde de forma:

( )( )

( )( )[ ]

zyxrptpEi

2/3dpdpdpep

2

1t,rrr

hr

h

r ⋅−⋅⋅φ

π=ψ ∫ (10.33)

care descrie o particulă liberă a cărei nelocalizare depinde de funcţia ( )pr

φ . 10.6. Operaţia de măsurare în mecanica cuantică. Operatori şi observabile cuantice

Valorile obţinute pentru mărimile fizice de interes în fizica clasică sunt afectate de erori de măsură aleatorii, care ţin atât de inabilităţile experimentatorului cât şi de precizia instrumentelor de măsură utilizate. Însă, prin îmbunăţăţirea calităţii observaţiilor precum şi prin mărirea preciziei aparatelor folosite, marja de eroare cu care este obţinut un rezultat poate fi, în principiu, micşorată oricât de mult. Nu astfel stau lucrurile în fizica cuantică unde operaţia de măsurare ridică probleme speciale ce ţin de caracteristicile intrinseci ale sistemelor cuantice. Orice operaţie de măsurare a unei mărimi fizice în mecanica cuantică determină o perturbare a stării sistemului cuantic ce nu poate fi în nici un fel evitată, iar


imprecizia cu care este determinată mărimea fizică nu poate fi micşorată sub limita impusă de relaţiile de nedeterminare ale lui Heisenberg. Ca atare, se impune o reconsiderare a operaţiei de măsurare care să ţină seama de aceste particularităţi. Mai întâi, trebuie observat că, în urma unei măsurători, un sistem cuantic care se afla anterior măsurătorii într-o stare descrisă de o funcţie de undă , trece într-o altă stare care este descrisă de o funcţie de undă

ψ'ψ :

'masurare de

operatia ψ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ψ . (10.34)

Astfel, unei operaţii de măsurare a unei mărimi oarecare A îi putem asocia un operator A , care acţionând matematic asupra funcţiei de undă , va conduce la obţinerea noii funcţii de undă

ψ'ψ :

. (10.35) 'A ψ=ψ

Pentru a fi respectat principiul suprapunerii stărilor, un operator utilizat în mecanica cuantică trebuie să fie liniar, adică:

. (10.36) ( ) 22112211 AcAcccA ψ+ψ=ψ+ψ

Fiind daţi doi operatori A şi , se defineşte comutatorul acestora, notat B[ ]B,A , astfel: [ ] ABBAB,A −= . (10.37) Ţinând seama de efectele produse de acţiunea operatorilor cuantici asupra stării unui sistem, ordinea aplicării operatorilor nu poate fi modificată, adică ABBA ≠ , ceea ce face ca, în general, comutatorul (10.37) să fie nenul. Dacă însă: [ ] 0B,A = (10.38) atunci operatorii A şi B sunt comutativi. ˆ

Fiind dat un operator A , se defineşte adjunctul său, notat +A , prin: ( ) ( )2121 ,AA, ψψ=ψψ + (10.39) unde s-a utilizat produsul scalar definit prin 10.6. Un operator A se numeşte autoadjunct, sau hermitic, dacă: AA ≡+ . (10.40) În acest caz, relaţia (10.39) se scrie: ( ) ( )2121 ,AA, ψψ=ψψ . (10.41)


Un rol foarte important în studiul sistemelor cuantice îl joacă ecuaţia cu funcţii şi valori proprii pentru operatorii cuantici pe care o vom defini în continuare. Astfel, pentru un operator cuantic A , această ecuaţie este: (10.42) ψ=ψ aAunde mărimea reprezintă o valoare proprie a operatorului a A iar funcţia este funcţia proprie corespunzătoare acesteia. În general, o ecuaţie de tipul (10.42) admite un set de valori proprii şi un set de funcţii proprii asociate operatorului

ψ

A . Setul de valori proprii asociate unui operator n21 a,...,a,a A , constituie spectrul valorilor proprii ale operatorului A . Dacă unei valori proprii

, îi corespunde câte o singură funcţie proprie, atunci spectrul este nedegenerat. În caz contrar, numărul de functii proprii distincte care corespunde unei singure valori proprii constituie gradul de degenerare al spectrului.

n,...,1i,ai =∀

Dacă examinăm ecuaţia (10.42), observăm că functiile proprii asociate unui operator sunt acele funcţii care rămân nemodificate (până la o constantă multiplicativă) atunci când operatorul acţionează asupra lor. Să remarcăm că ecuaţiile (10.27), obţinute atunci când am studiat o particulă liberă, sunt ecuaţii care satisfac această condiţie. Putem formula acum o caracteristică foarte importantă a comportării sistemelor cuantice: un sistem cuantic aflat într-o stare descrisă de una din funcţiile proprii ale unui operator A , nu-şi va modifica starea în urma măsurătorii descrise de operatorul A . Stările unui sistem cuantic date de funcţiile proprii ale unui operator se numesc stări proprii în raport cu acel operator. Un postulat fundamental în fizica cuantică referă la valorile care pot fi obţinute în urma unei operaţii de măsurare. Conform acestui postulat, singurele valori care pot fi obţinute în urma unei operaţii de masurare descrisă de un operator cuantic sunt valorile proprii ale operatorului respectiv. Cum rezultatele obţinute în urma unei masurători sunt marimi reale rezultă că operatorii cuantici trebuie să aibă valori proprii reale, condiţie pe care o îndeplinesc doar operatorii hermitici.


Se poate de asemenea demonstra că funcţiile proprii corespunzătoare la două valori proprii distincte sunt ortogonale. Dacă, în plus, funcţiile proprii ale unui operator hermitic A sunt şi normate, atunci, pentru oricare două dintre acestea, este satisfăcută relaţia: ( ) ijji , δ=ψψ . (10.43)

Aceasta face ca setul complet de funcţii proprii ale unui operator hermitic A să constituie o bază ortonormată a spaţiului funcţiilor de undă. Atunci, conform principiului suprapunerii stărilor, o stare oarecare a sistemului cuantic poate fi scrisă ca:

. (10.44) ∑=

ψ=ψn

1iiic

Coeficienţii din dezvoltarea funcţiei (10.44) se pot obţine calculând produsul scalar

ic( )ψψ ,i :

( )ψψ ,i =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ψψ= ∑

=

n

1iiii c, ( ) i

n

1jijjji

n

1jj cc,c =δ=ψψ ∑∑

==

. (10.45)

Funcţiile proprii ale unui operator A constituie un sistem complet dacă orice stare a sistemului cuantic poate fi obţinută exclusiv prin suprapunerea acestora. Cu alte cuvinte, numărul funcţiilor proprii distincte ale operatorului A acoperă dimensiunea spaţiului funcţiilor de undă. Fiind dat setul complet de funcţii proprii ortonormate n1,...,ψψ ale unui operator A , şi o stare oarecare ψ a sistemului, produsul scalar ( )ψψ, este:

( )ψψ, ( ) =ψψ=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ψψ= ∑∑∑

===ij

n

1j,ii

*j

n

1iii

n

1jjj ,ccc,c

∑∑==

=δ=n

1i

2i

n

1j,iiji

*j ccc . (10.46)

Dacă funcţia îndeplineşte condiţia de normare (10.4), atunci relaţia (10.46) devine:

ψ

1cn

1i

2i =∑

=

. (10.47)

Aceasta este relaţia de închidere a lui Parseval.


Putem defini acum noţiunea de observabilă cuantică, şi anume: o observabilă cuantică este un operator hermitic care admite un sistem complet ortonormat de functii proprii. 10.7. Valori medii. Probabilităţi

În fizica cuantică oricărei variabile dinamice A îi corespunde o observabilă cuantică A . Atunci când se pune problema măsurării mărimii dinamice A pentru un sistem cuantic oarecare, dacă sistemul se află într-o stare iψ ce aparţine setului de funcţii proprii ale operatorului A

i

, rezultatul măsurătorii este valoarea proprie corespunzatoare funcţiei proprii

iaψ .

Dacă sistemul cuantic se află într-o stare oarecare ψ , rezultatul obţinut în urma măsurătorii mărimii A poate fi oricare din valorile proprii , fără să se poată prezice care anume dintre acestea se va obţine.

ia

Dacă se repetă masurarea variabilei dinamice A pentru un număr mare de sisteme cuantice identice descrise de o aceeaşi funcţie de undă ψ , atunci valoarea medie a variabilei dinamice A este dată de:

( )( )ψψ

ψψ=

,A,A . (10.48)

Dacă funcţia de undă ψ este normată la unitate, atunci:

( )ψψ= A,A . (10.49)

Se poate imediat verifica faptul că dacă funcţia de undă ψ coincide cu una din funcţile proprii ,iψ , atunci: n,...,2,1i =∀

( ) ( ) ( ) iiiiiiiii a,aa,A,A =ψψ=ψψ=ψψ= . (10.50)

Aceasta înseamnă că rezultatul măsurătorii este exact valoarea proprie . ia Dacă funcţia de undă este scrisă sub forma (10.44), atunci valoarea medie a unei observabile

ψ

A rezultă a fi:


( )=ψψ= A,A ( ) ( )=ψψ=ψψ= ∑∑∑∑ ji

n

jjj

*i

n

iijij

j

*i ,accA,cc

ii

2i ac∑= . (10.51)

Dacă analizăm acest rezultat şi ţinem cont că valoarea medie (10.51) este obţinută în urma unui număr suficient de mare de măsurători, toate efectuate asupra unor sisteme cuantice identice aflate în aceeaşi stare, atunci mărimea: 2

ii cP = (10.52)

este probabilitatea ca în urma unei singure măsurători să se obţină valoarea proprie . Ca atare, valoarea medie a observabilei ia A se poate scrie:

∑=i

iiaPA . (10.53)

În aceste condiţii, se observă că relaţia de închidere (10.47) exprimă faptul că probabilitatea de a se obţine, în urma unei măsurători, oricare din valorile este egală cu unu.

ia

10.8. Principiile mecanicii cuantice. Ecuaţia Schrödinger dependentă de timp

Mecanica cuantică, ca orice altă teorie este întemeiată pe un număr de principii. Acestea vor fi enunţate în cele ce urmează. Primul principiu este principiul suprapunerii stărilor care a fost deja enunţat. Conform acestui principiu, o stare oarecare a unui sistem cuantic se poate scrie ca o suprapunere a unor stări particulare descrise de funcţiile n21 ,...,, ψψψ , soluţii ale ecuaţiei cu funcţii şi valori proprii a unei observabile cuantice:

(10.54) ∑=

ψ=ψn

1iiic

unde coeficianţii sunt, în general, mărimi complexe. ic Mecanica clasică trebuie să se regăsească ca un caz limită al mecanicii cuantice. Această cerinţă este asigurată de principiul de corespondenţă, conform


căruia fiecărei mărimi dinamice clasice îi corespunde o observabilă cuantică, iar relaţiile dintre observabilele cuantice sunt aceleaşi cu relaţiile dintre mărimile dinamice clasice cărora le corespund. Cum toate mărimile dinamice clasice ale sistemului cuantic pot fi scrise cu ajutorul coordonatelor carteziene de poziţie şi

şi impuls şi , atunci primul pas în acest demers este să se stabilească

expresiile operatorilor cuantici corespunzători acestora, numiţi operatori fundamentali. În descrierea Schrödinger, operatorii cuantici de poziţie sunt:

y,xz yx p,p zp

zz,yy,xx ≡≡≡ (10.55)

ceea ce este echivalent cu a scrie operatorul de poziţie rr

ca: rr

rr= . (10.56)

Conform relaţiei (10.55), operatorii de poziţie sunt operatori multiplicativi, modul de operare fiind similar cu cel din fizica clasică. În ceea ce priveşte impulsul unui sistem clasic, p

r:

zzyyxx 1p1p1pprrrr

++= (10.57)

acestuia îi corespunde operatorul cuantic pr

a cărui expresie este:

∇−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

−= hrrr

hr

i1z

1y

1x

ip zyx . (10.58)

Astfel, operatorii corespunzători componentelor impulsului sunt:

z

ip,y

ip,x

ip zyx ∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−= hhh . (10.59)

Se poate, acum, scrie operatorul energie cinetică , care corespunde energiei

cinetice a unui sistem clasic de masă m şi impuls p

Tr

, m2

p=T . Astfel T este:

2ˆ

22

2

2

2

2

2

22

m2zyxm2T ∇−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

hh . (10.60)

Trebuie să menţionăm că notarea energiei cinetice cu simbolul T este conformă cu mecanica analitică. Momentul cinetic al unui punct material, prL

rrr×= , are drept corespondent

operatorul moment cinetic Lr

, dat de:


zyx

zyx111

iLzyx

∂∂

∂∂

∂∂

−=

rrr

hr

. (10.61)

Energia totală a unei particule clasice de masă şi impuls pmr

aflată într-un câmp de forţe conservative este după cum se ştie, suma dintre energia cinetică şi energia potenţială care depinde doar de coordonate, fiind notată, conform mecanicii analitice, cu simbolul H (funcţia lui Hamilton). Astfel, energiei totale a sistemului

( )z,y,x,p,pHH yx= ,pz

( z,y,xUm2

pH )+=2

. (10.62)

i se asociază operatorul H ; ˆ

( ) ( z,y,xUiz,y,xUm2

pH 22

+∇−=+= h ))

)

(10.63)

unde energia potenţială este o mărime reală. ( z,y,xU Conform principiului evoluţiei functiei de undă, starea unui sistem cuantic caracterizat de hamiltonianul H , este descrisă de o funcţie de undă care este soluţie a ecuaţiei:

ˆ ( t,rr

ψ=ψ

t

iH∂ψ∂

=ψ h . (10.64)

Aceasta este ecuaţia Schrödinger dependentă de timp, numită şi ecuaţia Schrödinger generalizată, care este o ecuaţie liniară cu derivate parţiale de ordinul doi. Rezolvarea ecuaţiei Schrödinger dependente de timp conduce la obţinerea funcţiei de undă care, aşa cum s-a discutat, oferă maximul de informaţie asupra sistemului cuantic studiat.

( t,rr

ψ )

Un alt principiu al mecanicii cuantice este principiul cauzalităţii. Conform acestui principiu, dacă starea unui sistem cuantic este cunoscută la un moment de timp oarecare , atunci starea sistemului este univoc determinată la orice moment

de timp ulterior. 0t

Se poate arăta că principiul cauzalităţii decurge automat din ecuaţia Schrödinger generalizată, tot aşa cum în mecanica clasică el este o consecinţă a ecuaţiei de mişcare a sistemului.


10.9. Ecuaţia de mişcare pentru observabilele cuantice. Constantele mişcării Valoarea medie a unei mărimi dinamice A căreia i se ataşează observabila cuantică A este, conform relaţiei (10.49), dată de:

∫ ψψ= dxAA * . (10.65)

unde s-a presupus, pentru simplitate, că mişcarea este unidimensională iar funcţia de undă s-a considerat normată la unitate. ψ

Derivând în raport cu timpul ecuaţia (10.65), obţinem:

.dxt

AdxtAdxA

tA

dtd **

*

∫∫∫ ∂ψ∂

ψ+ψ∂∂

ψ+ψ∂ψ∂

= (10.66)

Înlocuind t∂ψ∂ şi

t

*

∂ψ∂ cu expresiile lor din ecuaţia Schrödinger (10.64):

***

Hit

Hit

ψ=∂ψ∂

ψ−=∂ψ∂

h

h

ecuaţia (10.66) devine:

.dxAidxtAdxAHiA

dtd **** ∫∫∫ ψψ−ψ

∂∂

ψ+ψψ=hh

Ţinând cont că este un operator hermitic: H

∫∫ ψψ=ψψ dxAHdxAH ***

ecuaţia (10.66) se scrie:

( ) [ ] .dxtAA,Hidx

tAHAAHiA

dtd ** ∫∫ ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+ψ=ψ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+−ψ=hh

(10.67)

Deoarece:

dtAdA

dtd

=

din ecuaţia (10.67), obţinem:

[ ]tAA,Hi

dtAd

∂∂

+=h

. (10.68)


Aceasta este ecuaţia cuantică de mişcare pentru observabila A . Dacă

observabila A nu depinde explicit de timp, atunci 0tA=

∂∂ , şi dacă aceasta comută

cu H , atunci din ecuaţia (10.68) obţinem: ˆ

0dtAd

= . (10.69)

O observabilă A care satisface ecuaţia (10.69) este numită, prin analogie cu mecanica clasică, constantă a mişcării.

10.10. Relaţiile Ehrenfest

Să considerăm o particulă cuantică de masă care se mişcă într-un câmp de forţe conservative, având energia potenţială

m( )z,y,xU .

Ecuaţia de mişcare pentru observabila este, conform ecuaţiei (10.68), dată de:

x

[ ]. (10.70) x,Hidtxd

h=

Deoarece hamiltonianul particulei este:

Um2

pH2+=

comutatorul [ ]x,H se va calcula cu ajutorul comutatorilor:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] xxxxx2z

2y

2x

2 pi

2px,px,ppx,px,px,px,p h=+=++=

[ ] 0x,U = unde s-a ţinut cont că:

[ ]i

x,p xh

= şi [ ] [ ] 0x,px,p zy ==

Astfel, rezultă:

[ ]mp

ix,H xh= (10.71)

iar ecuaţia (10.69) scrisă pentru observabila capătă forma: x

mp

dtxd x= . (10.72)


Observăm că ecuaţia obţinută, care leagă observabilele cuantice şi este identică cu ecuaţia clasică care leagă mărimile dinamice şi . De asemenea, se poate constata că ecuaţia de mişcare pentru observabila este:

x xpx

x

xpp

xU

dtpd x

∂∂

−= (10.73)

ecuaţie identică cu ecuaţia clasică care leagă mărimile dinamice impuls şi forţă. Relaţiile (10.72) şi (10.73) sunt relaţiile lui Ehrenfest scrise pentru o mişcare pe direcţia . Desigur că relaţii similare pot fi scrise şi pentru celelalte două direcţii de mişcare descrise de observabilele şi . Cuplând aceste ecuaţii,

putem scrie:

Oxyp,y zp,z

.U

dtpd

mp

dtrd

−∇=

=r

rr

(10.74)

Acestea sunt relaţiile lui Ehrenfest pentru observabilele cuantice rr

şi în cazul în care mişcarea sistemului cuantic este descrisă de trei grade de libertate.

pr

10.11. Ecuaţia Schrödinger independentă de timp În cazul sistemelor conservative, a căror energie potenţială nu depinde explicit de timp, soluţia ecuaţiei Schrödinger dependente de timp (10.64) se poate scrie, utilizând metoda separării variabilelor, sub forma:

( ) ( ) ( )tfrut,rrr

=ψ . (10.75)

Dacă înlocuim dat de relaţia (10.75) în ecuaţia (10.64) obţinem: ( t,rr

ψ )

( )dtdfuifurUuf

m22

2h

rh=⋅⋅+∇− (10.76)

unde am ţinut cont de expresia lui H dată de (10.63). ˆ

Rearanjând termenii, ecuaţia (10.76) devine:

( )dtdf

f1irU

uu

m2

22h

rh=+

∇− . (10.77)


Ecuaţia (10.77) este o egalitate a două funcţii, cea din membrul stâng depinzând doar de r

r iar cea din membrul drept numai de t , fapt care nu este posibil

decât dacă ambii membrii ai ecuaţiei sunt egali cu o aceeaşi constantă, C :

( ) CrUu

um2

22=+

∇−

rh (10.78)

Cdtdf

f1i =h . (10.79)

Ultima ecuaţie conduce prin integrare la:

( )tCi

eAtf⋅−

⋅= h (10.80) unde A este o constantă. Pentru a rezolva ecuaţia (10.78) şi a obţine expresia funcţiei , trebuie cunoscută forma explicită a energiei potenţiale a sistemului. Pentru simplitate, să presupunem că aceasta este constantă,

( )rur

0UU = , caz în care ecuaţia (10.78) se scrie:

CuuUum2 0

22

=+∇−h . (10.81)

Să căutăm soluţia ecuaţiei (10.81) sub forma:

( )( )zpypxpirpi

zyxBeBeru

⋅+⋅+⋅−⋅−== h

rr

hr

. (10.82) Aceasta, prin înlocuire în (10.81), conduce la:

CUm2

p0

2=+ . (10.83)

Observăm că în membrul stâng al ecuaţiei (10.83) am obţinut energia totală a

unei particule care are energia cinetică m2

p2 şi energia potenţială , adică: 0U

CE = . (10.84) În aceste condiţii funcţia ( )tf devine:

( )tEi

eAtf⋅−

⋅= h (10.85) iar , dată de: ( t,r

rψ )

( )t,rrψ ( ) ( )( )rptEi

BeAtfrurr

hr −⋅−

⋅=⋅= (10.86) este o funcţie de undă de tip undă plană.


Putem generaliza admiţând că rezultatul obţinut este valabil pentru orice energie potenţială care nu depinde de timp astfel că soluţia ecuaţiei Schrödinger independentă de timp se va scrie sub forma:

( ) ( )tEi

eArut,r⋅−

⋅⋅=ψ hrr

. (10.87) Funcţia ( )ruu

r= este soluţia ecuaţiei (10.81) rescrisă, ţinând cont de (10.84),

sub forma:

uEuUum2

22

⋅=⋅+∇−h . (10.88)

Această ecuaţie nu este altceva decât ecuaţia cu valori proprii a operatorului H : ˆ (10.89) uEuH ⋅=⋅şi se numeşte ecuaţia Schrödinger independentă de timp. Rezolvarea ecuaţiei (10.89) ne conduce la setul de valori proprii ale energiei, adică la obţinerea spectrului energetic al sistemului cuantic studiat. Funcţiile proprii , soluţii ale ecuaţiei (10.89), trebuie să satisfacă condiţiile impuse oricărei funcţii de undă în mecanica cuantică şi anume să fie marginite, continui, cu derivate continue. Aceasta conduce la obţinerea acelor valori ale energiei sistemului care satisfac condiţiilor enumerate mai sus energia sistemului fiind cuantificată. Acest rezultat derivă inerent din proprietăţile sistemelor care se supun principiilor mecanicii cuantice, care a fost în aşa fel edificată încât să descrie corect comportarea intrinsecă a acestora.

( )rur

Rezolvarea ecuaţiei cu valori proprii pentru H este o problemă ce prezintă un interes major pentru fiecare sistem cuantic în parte deoarece găsirea spectrului energetic este esenţială pentru studierea interacţiilor sistemului.

ˆ

Vom rezolva această problemă pentru câteva sisteme simple, a căror comportare prezintă interes practic şi merită să fie analizate. 10.12. Particula cuantică în groapa de potenţial cu pereţi infiniţi Să considerăm o particulă de masă aflată într-o groapă de potenţial unidimensională cu pereţii infiniţi de forma:

m


(10.90) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥≤∞

<<=

axsi0x,

ax0,0xV

care este reprezentată în figura 10.3.

Fig. 10.3

Datorită formei potenţialului, spaţiul este împărţit în trei regiuni pentru care trebuie rezolvată ecuaţia cu funcţii şi valori proprii ale energiei. Particula, neputând însă părăsi groapa de potenţial, în regiunile I şi III funcţiile proprii sunt identic nule, iar în regiunea a II-a avem de rezolvat ecuaţia:

0mE2

dx

d22

2=ψ+

ψ

h. (10.91)

Notând:

22

kmE2=

h (10.92)

obţinem ecuaţia:

0kdx

d 22

2=ψ+

ψ (10.93)

care admite ca soluţie funcţia ( )xψ de forma: ( ) ( )ϕ+=ψ kxsinAx (10.94) unde A şi sunt constante. Soluţia (10.94) trebuie să satisfacă condiţiile de continuitate:

ϕ

( ) ( ) 0a,00 =ψ=ψ . (10.95) Astfel, obţinem: ( ) π±π±=ϕ⇒=ϕ=ψ n,...,,00sinA0 . (10.96) Pentru simplitate, vom lua . Atunci, pentru punctul 0=ϕ ax = , obţinem:


a

nk0kasinA

π=⇒= , (10.97)

Astfel, funcţia de undă (10.94) este:

( ) xa

nsinAx π=ψ (10.98)

iar constanta A se determină din condiţia de normare:

a2A1dx

a

0

2 =⇒=ψ∫ . (10.99)

Funcţiile proprii ale energiei particulei sunt:

( ) xa

nsina2x π

=ψ (10.100)

iar valorile proprii ale energiei rezultă din valorile lui k impuse de condiţia de continuitate (10.97), ţinând cont de (10.92):

22

2222n n

am2m2kE ⋅

⋅

π==

hh . (10.101)

Se observă că energia particulei este cuantificată, iar spectrul valorilor este discret. O altă problemă este aceea a valorilor pe care le poate lua impulsul particulei. În principiu, răspunsul poate fi găsit în urma rezolvării ecuaţiei cu functii şi valori proprii pentru observabila impuls dar, înainte de a rezolva această ecuaţie, să vedem dacă operatorul impuls comută cu H deorece în acest caz cei doi operatori admit în comun acelaşi sistem de funcţii proprii, energia şi impulsul particulei sunt mărimi simultan măsurabile şi ca atare este valabilă relaţia clasică dintre acestea.

xp ˆ

Se observă imediat că m2

pH

2x= comută cu şi ca atare: xp

m2

pE2

= . (10.102)

Astfel, impulsul particulei este şi el cuantificat, luând valorile:

na

mE2p nn,x ⋅π

==h . (10.103)

Se poate verifica imediat că particula aflată în groapa de potenţial cu pereţii infiniţi se supune relaţiilor de nedeterminare ale lui Heisenberg. Astfel, în ceea ce priveşte localizarea particulei, nedeterminarea în poziţie este maximă şi este dată de


lărgimea gropii, . Atunci considerând nedeterminarea minimă a impulsului particulei, dată de intervalul dintre două valori succesive:

ax =Δ

a

pxπ

=Δh (10.104)

obţinem: . (10.105) π=Δ⋅Δ hxpxAşa după cum era de aşteptat, rezultatul arată că particula are o comportare cuantică. Folosind rezultatele obţinute în cazul unidimen-sional, putem studia comportarea unei particule de masă închisă într-o cutie paraleli-pipedică cu pereţii impenetrabili având laturile a şi (Fig. 10.4) în interiorul cutiei energia potenţială fiind nulă. De fapt, particula se mişcă, într-o groapă de potenţial tridimensională rezultată prin suprapunerea a trei gropi de potenţial unidimensionale cu pereţii infiniţi.

mb,

c

Fig. 10.4

Deoarece particula nu poate părăsi cutia, în afara acesteia . Pentru particula aflată în interiorul gropii ecuaţia Schrödinger atemporală este:

0≡ψ

0mE2

zyx 22

2

2

2

2

2=ψ+

∂

ψ∂+

∂

ψ∂+

∂

ψ∂

h. (10.106)

Funcţia de undă poate fi căutată sub forma: ( z,y,xψ=ψ ) ( ) ( ) ( ) ( )zZyYxXz,y,x ⋅⋅=ψ . (10.107)

Separarea variabilelor este justificată de faptul că mişcarea particulei are trei grade de libertate, descrise de coordonatele şi , ceea ce, conform interpretării funcţiei de undă, se traduce prin aceea că probabilitatea evenimentului compus din trei evenimente independente este dată de produsul acestora, adică:

y,x z

( ) ( ) ( ) ( ) 2222 zZyYxXz,y,x ⋅⋅=ψ . Înlocuind funcţia ψ (10.107) în ecuaţia (10.106) obţinem:

0XYZkdz

ZdXYdy

YdXZdx

XdYZ 22

2

2

2

2

2=+++ (10.108)

unde am notat:


22

kmE2=

h. (10.109)

Împărţind ecuaţia (10.108) cu produsul şi rearanjând termenii, obţinem: XYZ

22

2

2

2

2

2k

dz

ZdZ1

dy

YdY1

dx

XdX1

−−−= . (10.110)

Ecuaţia (10.110) reprezintă egalitatea dintre două ecuaţii, una care depinde numai de şi cealaltă care depinde de şi , ceea ce nu este posibil decât dacă se egalează ecuaţiile cu o constantă.

x y z

Notând această constantă cu şi luând pe rând cele două ecuaţii, în care rearanjăm termenii, obţinem:

2xk−

0Xkdx

Xd 2x2

2=+ (10.111)

şi

2y

2x

22

2

2

2kkk

dz

ZdZ1

dy

YdY1

−=+−−= (10.112)

unde la obţinerea ecuaţiei (10.112) am repetat raţionamentul precedent şi am introdus o nouă constantă, şi anume . Aceasta ne permite să izolăm ecuaţia: 2

yk−

0Ykdy

Yd 2y2

2=+ , (10.113)

iar a doua egalitate din (10.112) ne conduce la ecuaţia:

0Zkdz

Zd 2z2

2=+ (10.114)

unde s-a notat , ceea ce conduce la: 2z

2y

2x

2 kkkk =−−

. (10.115) 2z

2y

2x

2 kkkk ++=

Ecuaţiile (10.111), (10.113) şi (10.114) sunt ecuaţii de acelaşi tip cu ecuaţia (10.93) pentru funcţia de undă ( )xψ care descrie localizarea particulei într-o groapă de potenţial unidimensională cu pereţii infiniţi, problemă a cărei soluţie este cunoscută, astfel că putem scrie direct funcţia de undă (10.107) ca:

( ) zc

nsiny

bn

sinxa

nsin

abc8z,y,x zyx πππ

=ψ (10.116)

unde sunt numere întregi pozitive. zyx n,n,n


Ţinând seama de condiţia (10.115), energia particulei rezultă a fi cuantificată şi este dată de:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++

π=

2

2z

2

2y

2

2x

22n,n,n

c

n

b

n

a

nm2

E zyxh . (10.117)

Este de remarcat că pe măsură ce dimensiunile cutiei cresc, distanţa dintre nivelele energetice descreşte astfel încât pentru valori foarte mari ale valorilor , spectrul devine continuu.

c,b,a

Dacă particula este închisă într-un cub ( )cba == valorile energiei particulei sunt, în general, degenerate, gradul de degenerare variind de la un nivel la altul. 10.13. Treapta de potenţial Să considerăm o particulă de masă m care se îndreaptă, dinspre regiunea -lor negativi, spre o treaptă de potenţial de forma:

x

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥=

0x ,0

0x,VxV

0

reprezentată în figura 10.5.

E

Fig. 10.5

Particula are energia E şi în funcţie de raportul în care se găseşte aceasta faţă de înălţimea treptei de potenţial distingem două cazuri: a) 0VE < şi b) . 0VE > Studiul comportării particulei se reduce la rezolvarea ecuaţiei Schrödinger independente de timp în fiecare caz în parte, pentru cele două regiuni distincte I şi II (Fig. 10.5). Astfel, pentru VE < , ecuaţiile Schrödinger independente de timp pentru regiunile I şi II sunt:

0


( ) .0EVm2

dx

d

0mE2

dx

d

20222

2

1221

2

=ψ−−ψ

=ψ+ψ

h

h (10.118)

Notând:

( EVm2k,mE2k 02222

21 −==

hh) (10.119)

ecuaţiile devin:

.0kdx

d

0kdx

d

2222

22

1212

12

=ψ−ψ

=ψ+ψ

(10.120)

Soluţiile acestora sunt:

(10.121) xk

2xk

22

xik1

xik11

22

11

eBeA

eBeA−

−

+=ψ

+=ψ

unde reprezintă unda incidentă iar unda reflectată de treapta de potenţial.

xik1 1eA xik

1 1eB −

Condiţia de mărginire a funcţiei proprii 2ψ impune , aşa încât condiţiile de continuitate pentru functia de undă:

0A 2 =

( ) ( ) ( ) ( )00,00 '2

'121 ψ=ψψ=ψ (10.122)

conduc la ecuaţiile:

(10.123) ( ) .BkBAikBBA

22111

211−=−

=+

Ne interesează să aflăm care este reflectanţa R a treptei de potenţial, definită

ca raportul dintre ( )2

.refl xψ , unde ( ) xik.refl

2x −=ψ 1eB şi ( )2

.incid xψ , unde

, adică: ( ) xik1.incid

1eAx =ψ


*11

*11

AA

BBR = . (10.124)

Vom rezolva deci sistemul de ecuaţii (10.123) pentru şi , obţinând: 1A 1B

( )

( ).ikkk2

BB

kikk2

BA

211

21

121

21

−=

+=

(10.125)

Astfel, reflectanţa R (10.124) rezultă a fi:

1R = . (10.126)

Aceasta înseamnă că pentru 0VE < particula cuantică este total reflectată, rezultat care coincide cu cazul clasic. Totuşi existenţa undei asociate particulei în regiunea II, şi condiţia de continuitate a functiei de undă ne arată că particula cuantică pătrunde în această regiune, dar ca la orice reflexie totală densitatea de probabilitate de localizare a acesteia în regiunea II scade exponenţial cu distanţa.

xk22 2eB −=ψ

În cazul b), , ecuaţiile Schrödinger pentru cele două regiuni: 0VE >

( ) 0VEmE2

dx

d

0mE2

dx

d

20222

2

1221

2

=ψ−+ψ

=ψ+ψ

h

h (10.127)

au soluţiile:

(10.128) xik

2xik

22

xik1

xik11

22

11

eBeA

eBeA−

−

+=ψ

+=ψ

unde:

( 02222

21 VEm2k,mE2k −==

hh). (10.129)

În soluţiile (10.128), reprezintă unda incidentă pe treapta de potenţial

de înălţime , reprezintă unda reflectată de aceasta iar termenii

şi reprezintă unda transmisă, respectiv reflectată în regiunea II. În acestă regiune nu poate să existe o undă reflectată deoarece particula, o dată

xik1 1eA

x10V

2eB −

ik1eB −

xik2xik2 2eA


trecută de treapta de potenţial, nu întâlneşte un alt perete reflectat, aşa încât trebuie să luăm . În aceste circumstanţe, condiţiile de continuitate sunt: 0B2 =

(10.130) ( ) .AkBAkABA

22111

211=−

=+

Rezolvând acest sistem pentru şi , obţinem: 1A 1B

.A

k2kk

B

Ak2

kkA

21

211

21

211

−=

+−=

(10.131)

Astfel, reflectanţa R este:

( )( )221

221

*11

*11

kk

kk

AA

BBR

+

−== . (10.132)

Utilizând notaţiile (10.129), aceasta devine:

2

0

0

VEE

VEER

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−−= , (10.133)

iar transmitanţa va fi dată de: R1T −=

( )

( )20

0

VEE

VEE4T

−+

−= . (10.134)

Observăm că spre deosebire de comportarea clasică a unei particule cu energia , particula cuantică este parţial reflectată 0VE > ( )0R ≠ .

10.14. Bariera dreptunghiulară de potenţial. Efectul tunel În cele ce urmează vom arăta că o particulă cuantică străpunge o barieră de potenţial a carei înălţime depăşeşte energia sa. În cazul unei particule clasice acest fenomen, numit efect tunel, nu este posibil, acesta fiind un efect pur cuantic. Efectul tunel este pus în evidenţă experimental în cazul dezintegrării α şi stă la baza construirii diodei tunel. Deşi, în general, o barieră de potenţial are o formă oarecare, vom considera mai întâi, pentru simplitate, o barieră rectangulară de potenţial urmând apoi să trecem să discutăm cazul unei bariere reale. Pentru aceasta să considerăm că o particulă


cuantică de masă care se deplasează de-a lungul axei dinspre regiunea -lor negativi întâlneşte o barieră de potential de forma (Fig. 10.6):

m Ox x

(10.135) ( )⎩⎨⎧

><

≤≤=

. ax0, x ,0ax0,V

xV 0

Fig. 10.6 Efectul de străpungere a barierei are loc atunci când energia particulei este

şi ca atare doar această situaţie va fi discutată. 0VE < Ecuaţia cu funcţii şi valori proprii pentru hamiltoniana particulei,

( )xVdx

dm2

H2

22+−=

h, se scrie pe regiuni:

0kdx

d

0kdx

d

0kdx

d

3222

32

2222

22

1212

12

=ψ+ψ

=ψ−ψ

=ψ+ψ

(10.136)

unde s-au folosit notaţiile:

( EVm2k,mE2k 02222

21 −==

hh). (10.137)

Soluţiile ecuaţiilor (10.136) sunt:

.eBeA

eBeA

eBeA

xik3

xik33

xk2

xk22

xik1

xik11

11

22

11

−

−

−

+=ψ

+=ψ

+=ψ

(10.138)


Soluţiile (10.138) satisfac desigur cerinţa de a fi mărginite dar deoarece în regiunea a III-a nu există o undă reflectată vom lua amplitudinea acesteia . 0B3 = Condiţiile de continuitate pentru functia de undă şi derivata sa, scrise în punctele şi conduc la sistemul de ecuaţii: 0x = ax =

(10.139) ( ) ( )

( ) aik31

ak2

ak22

aik3

ak2

ak2

222111

2211

122

122

eAikeBeAk

eAeBeA

BAkBAikBABA

=−

=+

−=−

+=+

−

−

care, completat cu condiţia de normare 1dx2 =ψ∫+∞

∞−

permite determinarea funcţiilor

proprii ale energiei pentru cele trei regiuni. Noi urmărim însă să determinăm transparenţa barierei, notată cu D , definită ca raportul dintre densitatea de probabilitate de localizare a particulei în regiunea a III-a, deci după barieră, şi densitatea de probabilitate de localizare a particulei incidente pe barieră. Ţinând cont de expresiile functiilor de undă ψ (10.138) aceasta este:

*11

*33

AA

AAD = . (10.140)

Urmărim deci să obţinem raportul 1

3AA

şi vom utiliza relaţiile (10.139) doar în

acest scop. Astfel, prin eliminarea lui , din primele două relaţii îl vom obţine pe în funcţie de şi :

1B

1A 2A 2B

21

122

1

121 B

ik2ikk

Aik2

ikkA

−−

+= (10.141)

iar pe aceştia îi vom obţine din ultimele doua relaţii în funcţie de : 3A

3akaik

2

122 Aee

k2ikk

A 21 −⋅+

=

(10.142)

3akaik

2

122 Aee

k2ikk

B 21 ⋅−

= .


Comparând expresiile lui şi , observăm că 2A 2B ak2

2

2 2eBA −= ceea ce face

ca să fie mult mai mic decât B pentru o lăţime a barierei a uficient de mare şi V0 stfel încât în expresia lui A (10.141) să putem neglija primul termen, observând, în plus, că în şi apare cu coeficienţii de acelaşi modul expresia lui . Cu această aproximaţie, devine:

2AE≠

1A

2

2B

1A

s a, 1

2A

( )

3akaik

21

212

1 Aeekik4ikk

A 21 ⋅−

−= (10.143)

iar transparenţa barierei de potenţial va fi:

( )

ak222

221

22

21 2ekk

kk16D −

+= . (10.144)

Ţinând cont de notaţiile (10.137), aceasta devine:

( ) aEVm22

00

eDD⋅−−

= h (10.145)

unde s-a notat ( )22

221

22

21

0kk

kk16D

+= .

Observăm, astfel, că deşi energia particulei E este mai mică decât înălţimea barierei , transparenţa barierei este nenulă, adică particula cuantică tunelează bariera de potenţial.

0V

În cazul unei bariere reale de potenţial de o formă oarecare (Fig. 10.7), vom împărţi bariera într-un număr suficient de mare de bariere dreptunghiulare a caror transparenţă ştim să o calculăm şi prin tunelarea succesivă a acestora vom obţine în final transparenţa barierei considerate.

n

Fig. 10.7


Punctele în care particula intră şi, respectiv, iese prin barieră se obţin ca intersectii ale dreptei cu graficul funcţiei .constE = ( )xVV = , adică sunt soluţii ale ecuaţiei: ( )xVE = . (10.146) Transparenţa barierei reprezentată în figura 10.7 se poate scrie ca produsul transparenţelor celor n bariere dreptunghiulare rezultate în urma fragmentării lui

în regiuni de aceeaşi extindere: ( )xVV =

∏−

=−

−−

−−

−−

=⋅⋅=⋅⋅⋅=1n

1ii11nn*

11

*22

*2n2n

*1n1n

*1n1n

*nn DD...DD

AA

AA...

AA

AA

AA

AAD (10.147)

unde transparenta barierei , de lăţime iD ixΔ este conform relaţiei (10.145), dată de:

( )[ ] ii xExVm22

i0 eDDΔ−−

⋅= h . (10.148)

Notând 0

1n

1ii0 DD =∏

−

=

, transparenţa barierei considerate va fi:

( )[ ] ( )[ ]

.eDeDD

1n

1iiiii

xExVm22

0

1n

1i

xExVm22

0∑

⋅=⋅=

−

=Δ−−−

=

Δ−−

∏ hh (10.149)

La limită, atunci când ixΔ devine foarte mic, adică , suma de la exponent trece într-o integrală astfel că transparenţa unei bariere de potenţial de o formă oarecare este:

∞→n

( )xV

( )[ ]

.eDD

2x

1xdxExVm22

0∫

⋅=⋅−−

h (10.150)


PROBLEME REZOLVATE 10.1. Fie trei operatori şi C . Se cere să se demonstreze relaţiile: B,A ˆ

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]CB,AC,ABCB,A

BC,AC,BAC,BA

+=

+=

Rezolvare: Primul comutator alcătuit cu cei trei operatori se calculează astfel:

[ ] ( ) ( )[ ] [ ] .BC,AC,BA

ABCBCABCACBAB,ACCB,AC,BA

+=

=−+−=−=

Analog se demonstrează şi cea de-a doua relaţie: [ ]

[ ] [ ].C,ABCB,A

ACBCABCABCBAACBCBACB,A

+=

=−+−=−=

10.2. Să se verifice care din operatorii x∂∂ şi

xi∂∂ este operator hermitic.

Rezolvare: Un operator este hermitic dacă satisface condiţia de hermiticitate

dx*LdxL* 1221 ψψ=ψψ ∫∫+∞

∞−

∧+∞

∞−

∧

Pentru operatorul x∂∂ , avem:

[ ]

.xx

dxx

dxx

*1

2

*1

2

*1

22*1

2*1

∫∫

∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

+∞

∞−

∞+∞−

+∞

∞−

∂ψ∂

ψ≠∂ψ∂

ψ−=

=∂ψ∂

ψ−ψψ=∂ψ∂

ψ


Rezultatul a presupus faptul că [ ] 02*1 =ψψ

+∞∞− , funcţiile 1ψ şi 2ψ fiind de

pătrat integrabil. Rezultă că operatorul x∂∂ nu este operator hermitic.

Pentru operatorul x

i∂∂ , avem:

[ ] =∂ψ∂

ψ−ψψ=∂ψ∂

ψ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂ψ∂

ψ ∫∫∫+∞

∞−

∞+∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

dxx

iidxx

idxx

i*1

22*1

2*1

2*1

dxx

idxx

i *1

,

2*12 ψ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

ψ=ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−ψ= ∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

ceea ce arată că operatorul x

i∂∂ este operator hermitic.

10.3. Determinaţi forma explicită a următoarilor operatori:

a)2

xdxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ; b)

3

x1

dxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ; c)

2

dxdx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ; d)

2x

dxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Rezolvare: a) Aplicând operatorii unei funcţii de undă arbitrare ψ , găsim:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ+

ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ψ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ψ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + x

dxdx

dxdx

dxdx

dxdx

dxd 2

adică:

ψ+ψ+ψ

+ψ

=ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

2

22x

dxdx2

dxdx

dxd .

Prin urmare:

1xdxdx2

dxdx

dxd 2

2

22+++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

b) Analog obţinem:

2

2

3

33

dxd

x3

dxd

x1

dxd

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + .


c) dxdx

dx

dxdxdx

2

222+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

d) 1dxdx3

dxdxx

dxd

2

22

2++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

10.4. Să se arate că valorile proprii ale unui operator hermitic sunt mărimi reale.

Rezolvare: Un operator hermitic indeplineşte condiţia:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψψ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψψ

∧∧,AA, .

Utilizând ecuaţia cu valori proprii, obţinem: ( ) ( )ψψ=ψψ ,aa, sau:

( ) ( )ψψ=ψψ ,a,a *

ceea ce implică: . aa* =

10.5. Să se demonstreze că doi operatori care comută admit un sistem comun de funcţii proprii.

Rezolvare:

Fie doi operatori ∧A si care comuta: . Fie

∧B 0B,A =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ∧∧nψ o funcţie proprie a

operatorului ∧A : . Aplicănd operatorul acestei ecuaţii şi ţinând cont

că

nna=nA ψψ∧ ∧

B∧∧∧∧

= ABBA , avem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψ

∧∧∧nnn BaBA .

Observăm că funcţia este şi ea funcţie proprie a operatorului nn B' ψ=ψ∧ ∧

A , ceea ce

face ca să poată fi scrisa ca: n'ψ nnn b' ψ=ψ ceea ce conduce la: ,

adica este funcţie proprie a operatorului .

nnbB ψ=∧

nψ

nψ∧B


10.6. Să se demonstreze ca funcţiile proprii corespunzătoare la două valori proprii distincte ale unui operator hermitic sunt ortogonale. Rezolvare: Scriem ecuaţia cu valorile proprii pentru funcţiile mψ şi nψ corespunzătoare

valorilor proprii distincte ale operatorului hermitic nm aa ≠∧A :

nnnmmm aA , aA ψ=ψψ=ψ∧∧

.

Folosind condiţia de hermiticitate pentru ∧A :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψψ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψψ

∧∧nmnm ,AA,

obţinem: ( ) ( )nmmnnm ,aa, ψψ=ψψ

adică: ( ) ( )nmmnmn ,a,a ψψ=ψψ

sau ( )( ) 0,aa nmmn =ψψ− .

Cum . ( ) 0,aa nmmn =ψψ⇒≠ 10.7. Cunoscând valorile proprii ale operatorului A să se afle valorile proprii ale operatorului 1A − . Rezolvare: Fie funcţiile proprii ale operatorului nu A : . nnn uauA =

Înmultind această relaţie la stânga cu 1A − obţinem:

n1

nn1 uAaAuA −− =

şi întrucât 1AA 1 =− rezultă pentru 1A− valorile proprii . na/1

10.8. Să se verifice dacă funcţia ( ) 2x2

ex−

=ψ este funcţie proprie a operatorului

22

2x

xA −

∂

∂=

∧ şi, dacă este cazul, să se găsească valoarea proprie corespunzătoare.


Rezolvare:

Ecuaţia cu funcţii si valori proprii este: . Astfel: ψ=ψ∧

aA

.eexeex

exxex

exx

A

2x

2x

22x

2x

2

2x

22x

2x

22

2

2222

222

−−−−

−−−∧

−=−−=

=−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂

∂=ψ

Deci, funcţia ( )xψ este funcţie proprie pentru ∧A iar valoarea proprie

corespunzătoare este a = -1. 10.9. Să se arate că produsul BAP = a doi operatori hermitici este hermitic numai dacă [ ] 0B,A = . Rezolvare: Dacă si sunt două funcţii de undă, deoarece ϕ ψ ABBA = , avem:

( ) ( ) ( ) =ψϕ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψϕ=ψϕ +++

,AB,BABA, ( ) ( )ψϕ=ψϕ ,BA,AB ,

deci operatorul BAP = este hermitic. 10.10. Să se calculeze comutatorii: [ ] [ ] [ ]zyx p,z ; p,y ; p,x .

Rezolvare:

[ ] xx

ix

ixxpxpp,x xxx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=−= hh ,

încât:

[ ] ( )=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ψ∂

−∂ψ∂

−=ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−=ψx

xx

xixxx

xip,x x hh

ψ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ−

∂ψ∂

−∂ψ∂

−= hh ix

xx

xi .

Rezultă, deci: [ ] [ ] [ ] hhh ip,z ; ip,y ; ip,x zyx === .


În general:

[ ]⎩⎨⎧

≠=

=δ=ji, 0ji, i

ip,q ijjih

h .

10.11. Să se arate că operatorii corespunzători proiecţiei momentului cinetic comută cu operatorul pătratului momentului cinetic:

0]L,L[]L,L[]L,L[ 2z

2y

2x === .

Rezolvare: Avem de exemplu:

.0]LLLLLLLL[i]L,L[L

L]L,L[]L,L[LL]L,L[]L,L[

]L,L[]L,L[]LLL,L[]L,L[

yzzyzyyzzxz

zzxyxyyyx2zx

2yx

2xx

2z

2y

2xx

2x

=−−+=+

+++=+

++=++=

h

Analog se demonstrează şi ultimele două relaţii.

10.12. Să se găsească funcţiile proprii şi spectrul energetic al unei particule în groapa de potenţial cu pereţi infiniţi dată de:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>∞

<=

ax daca,

ax daca, 0xV

Rezolvare:

În regiunile I şi III soluţiile sunt identic nule. În regiunea II, ecuaţia Schrödinger este:


0kdxd 2

2

2=ψ+

ψ ,

unde Em2k2h

= .

Soluţia generală este forma:

kxsinBkxcosA +=ψ .

Condiţiile de continuitate:

( ) ( ) 0ax ,0ax =−=ψ==ψ

conduc la: A coska + B sinka = 0

A coska – B sinka = 0.

Aceste doua relaţii nu pot fi însă satisfăcute simultan pentru A ≠ 0 şi B ≠ 0. Trebuie astfel să considerăm două categorii de soluţii distincte:

a) A ≠ 0 ; B = 0. În acest caz funcţia de undă este:

kxcosA=ψ

iar din condţia de continuitate rezultă coska = 0 şi deci a2

nk π= cu n un număr

întreg impar. Funcţiile de acest tip sunt deci pare şi pot fi scrise sub forma:

( ) xa2

ncosApn

π=ψ .

b) A = 0 ; B ≠ 0. Funcţia de undă este:

kxsinB=ψ .

şi întrucât din condiţia a doua de continuitate, sinka=0, obţinem:


a2nk π

= ,cu n număr întreg par.

Funcţiile de acest tip sunt deci impare:

( ) xa2

nsinBin

π=ψ .

Valorile posibile ale energiei sunt:

2

22222n

ma8n

m2kE hh π

== , n=1,2,3,.....

Spre deosebire de mişcarea clasică, în mecanica cuantică energia particulei este cuantificată. Funcţiile proprii corespunzătoare nivelelor sunt alternativ pare şi impare, iar funcţia proprie corespunzatoare energiei are n-1 noduri in intervalul (-a,a)

...EEE 321 <<

nE*.

Constantele A şi B pot fi determinate folosind condiţia de normare:

( )∫−

=ψa

a

2n 1dxx .

În cazul funcţiilor pare, obţinem:

a1 Aunde de, 1xdx

a2ncosA

a

a

22 ==π

∫−

.

Analog 21

aAB−

== . Se poate verifica de asemenea cu uşurinţă că funcţiile de undă astfel determinate sunt ortogonale, adică:

( ) ( )∫−

=ψψa

axn

*m 0dxx , cu n ≠ m.

* Prin noduri se inteleg zerourile functiei proprii, cu exceptia celor care se afla la extremitatile x=a; x=-a.


10.13. O particulă cuantică liberă de masă m se află într-o groapă de potenţial bidimensională cu pereţi impenetrabili, de laturi a şi b. a) Să se determine valorile proprii ale energiei particulei şi funcţiile proprii normate; b) Să se determine, în starea caracterizată de numerele cuantice şi , punctele în care densitatea de probabilitate de locarizare a particulei este nulă şi punctele în care aceasta are valori maxime.

2n1 = 3n2 =

Rezolvare: a) În afara gropii funcţia de undă este nulă, iar în interiorul gropii funcţiile de undă sunt soluţiile ecuaţiei Schrödinger atemporale: ψ

( ) ( )2

2

2

2

y

y,x

x

y,x

∂

ψ∂+

∂

ψ∂ 0Em22 =ψ+h

.

Utilizând metoda separării variabilelor, căutăm o soluţie de forma

( ) ( ) ( )yYxXy,x ⋅=ψ . Înlocuind în ecuaţia de mai sus, obţinem două ecuaţii de forma:

0YEm2dy

Yd;0XEm2dx

Xd222

2122

2=+=+

hh

cu E . Notând: EE21 =+


222212

21 Em2k si Em2k

hh== ,

soluţiile ecuaţiilor se pot pune sub forma: ( )

( )22

11

xksinBY

xksinAX

ϕ+=

ϕ+=

Din condiţiile de continuitate: ( ) ( ) ( ) ( ) 0bY0 Ysi 0aX0X ==== ,

găsim: 0sinB si 0sinA 21 =ϕ=ϕ ,

adică 021 =ϕ=ϕ , respectiv: 0bksinB si 0aksinA 21 == ,

de unde:

bn

k , a

nk 2

21

1π

=π

= , ,...2,1n,n 21 =

Aşadar:

yb

nsinxa

nsinC 21nn 21

π⋅

π⋅=ψ ,

unde constanta C = AB se determină din condiţia de normare:

1dxdyyb

nsinxa

nsinCa

0

b

0

2212 =π

⋅π

∫ ∫ .

Efectuând integrala găsim ab2C = , şi deci

yb

nsinxa

nsinab2 21

nn 21π

⋅π

=ψ .

Ţinând seama de valorile mărimilor şi , găsim: 1k 2k

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

π=+=+=

2

22

2

21

22222

221

21b

n

a

nm2m2

km2

kEEE hhh

.

Când a = b, nivelele de energie sunt degenerate. b) Densitatea de probabilitate de localizare a particulei este:


( ) ( ) yb

nsinx

an

sinab4y,xy,x 22122

nn 2n1n21

ππ=ψ=P

Când n si n , găsim: 21 = 32 =

( ) yb3sinx

a2sin

ab4y,xP 22

23ππ

= .

Se vede că când ( ) 0y,x23 =P π=π px

a2 (p = 0,1,2,...) respectiv π=

π qyb3

(q = 0,1,2,...). Deoarece ax0 ≤≤ , iar by0 ≤≤ , din prima condiţie rezultă

a ,2a ,0x = , iar din a doua b ,b

32 ,

3b ,0y = . Analog, pentru maxime se obţine

a43 ,

4ax = şi b

65 ,

2b ,

6by = .

10.14. Să se calculeze transparenţa barierei de potenţial din figura de mai jos pentru o particulă cuantică de masă m şi energie 0VE < .

Rezolvare: Potenţialui V(x) scade liniar cu distanţa după legea: V(x) = V0 - αx, constanta

α determinându-se din condiţia V(a)=0. Găsim a

V0=α , deci:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ax1V)x(V 0 .

Abscisa în care dreapta V(x)=E taie dreapta V(x)1x xV0 α−= se obţine din:

Eax1V 1

0 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −


şi este:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

01 V

E1ax .

Prin urmare, transparenţa T a barierei din figură este:

( )( )∫ ⋅−−

⋅=

1x

0dxExVm22

0 eTTh

. Rămâne de efectuat integrala:

( ) ∫∫ ⋅−−=⋅−=11 x

000

x

0

dxaxVEVdxExVI .

Ţinând seama că: ( )

∫+

=⋅+b3bxa2

dxbxa3

, rezultă:

( ) 23

00

EVVa

32I −= .

Prin urmare:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⋅= 2

30

00 EV

V3m2a4expTTh

.

10.15. Ştiind că potenţialul electric la suprafaţa unui metal aflat sub acţiunea unui câmp electric extern Eext. este de forma reprezentată în figura alăturată, să se găsească cum depinde curentul electric de Eext. în condiţiile în care temperatura metalului este menţinută constantă(curent autoelectronic).

U(x) U0 x2 x1 E

Rezolvare: Un electron cu energia E<U0 părăseşte metalul prin efect tunel.


Transparenţa barierei de potenţial este:

( )∫ ⋅−−

=

2x

1xdxEUm22

0eDDh

unde ( ) xeEUxU .ext0 ⋅−= .

Considerând x1=0 şi observând că:

ExeEU 2.ext0 =⋅− trasparenţa D va fi:

( ).ext

30

E1

e3EUm22

0 eDD⋅

−−

⋅= h .

Dacă notăm ( )he3

EUm22 30=α , atunci acesta se scrie:

.extE0 eDD

α−

⋅=

În aceste condiţii, se poate afirma că intensitatea curentului autoelectronic, care este proporţional cu D, va avea o aceeaşi dependenţă de câmpul electric extern Eext., fapt care este verificat experimental.

Documents

10-Elemente de Mecanica Cuantica Si Probleme(1)