Upload
others
View
8
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Teorija konstrukcija 1Teorija konstrukcija 110 Matrična analiza10 Matrična analiza
Prof Mira Petronijević
1
10 Matrična analiza konstrukcija
101 Uvod
10 Matrična analiza konstrukcija
101 UvodIstorijski razvoj1930 Prvi put primenjena matrična analiza u rešavanju
bl l tič ti C ll i D iproblema aeroelastičnosti Collar i Duncanavio-industrija GB
1934 Prva knjiga Collar Duncan i Frazerj g 1955 Argyris metoda sila i metoda deformacije1959 Tyrner Direct Stiffness Method 1964 Wil t d k č ih l t (MKE)1964 Wilson metoda konačnih elemenata (MKE)1964 Gallagher Irons Martin Clough Zienkiewicz1977 Sekulović
2
1977 Sekulović
Od 1960 t di k ij čbull Od 1960-te godine sa ekspanzijom računara MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA (metoda deformacije) se sve više primenjuje u analizi j ) p j jlinijskih nosača
bull Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD (Di k dSTIFFNESS METHOD (Direktna metoda krutosti) Ime potiče od matrice krutosti koja daje vezu između sila i pomeranja krajeva štapavezu između sila i pomeranja krajeva štapa
bull Iz ove metode se praktično razvila METODA KONAČNIH ELEMENATA - mnogo opštija metoda koja se primenjuje u linearnoj i nelinearnoj statičkoj i dinamičkoj analizi složenih nosača
3
složenih nosača
MKE Shema rada kompjuterskog programaMKE_Shema rada kompjuterskog programa
4
Koncept matrične analize konstrukcijabull Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od
diskretnih elemenata ndash štapova koji su
Koncept matrične analize konstrukcija
diskretnih elemenata štapova koji supovezani u čvorovima nosača
bull Za nepoznate veličine se usvajajuj il č ipomeranjasile u čvorovima
bull Na nivou elementa (štapa) uspostavljaju se vezeizmeđu sila i pomeranja krajeva štapap j j p
bull Formiraju se jednačine za određivanjenepoznatih veličina (uslovne jednačine)Od đ j t ti i ilbull Određuju se nepoznate a zatim i sile upresecima nosača
5
Idealizacija nosača i stepeni slobode jpomeranja
6
grede
stubovi
zidno platno
I p E
I p E
Slika 103 Idealizacija ravnog okvira
7
Numeracija čvorova i štapova nosačau e ac ja č o o a štapo a osača
Štap - osnovni element nosača
ČVOROVI 4 54
1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7
8 9
9 10Br čvorova 10
B št 9ŠTAPOVI
Br štapova 9
8
Slika 104
bull Nepoznate veličine su parametri u čvorovima p pnosača
bull U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima postoje 2 metode analizepostoje 2 metode analize
Metoda sila Metoda deformacijeMetoda sila Metoda deformacije
9
a) Metoda sila
bull Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa
a) Metoda sila
Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema H V M
YY
1 2 3 4 5 6 7 8H4
V4M4
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
bull Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija
10
u matričnoj analizi konstrukcija
b) Metoda deformacije
bull Parametri komponente pomeranja u v ib t j č č
b) Metoda deformacije
obrtanja čvorova nosača bull Konvencija znaka pomeranja su pozitivna u
smeru pozitivnih osa X i Y globalnogsmeru pozitivnih osa X i Y globalnog koordinatnog sistema
Y
1 2 3 4 5 6 7 8u4
v44
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
11
s ste
U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i
pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za
određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača
12
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
10 Matrična analiza konstrukcija
101 Uvod
10 Matrična analiza konstrukcija
101 UvodIstorijski razvoj1930 Prvi put primenjena matrična analiza u rešavanju
bl l tič ti C ll i D iproblema aeroelastičnosti Collar i Duncanavio-industrija GB
1934 Prva knjiga Collar Duncan i Frazerj g 1955 Argyris metoda sila i metoda deformacije1959 Tyrner Direct Stiffness Method 1964 Wil t d k č ih l t (MKE)1964 Wilson metoda konačnih elemenata (MKE)1964 Gallagher Irons Martin Clough Zienkiewicz1977 Sekulović
2
1977 Sekulović
Od 1960 t di k ij čbull Od 1960-te godine sa ekspanzijom računara MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA (metoda deformacije) se sve više primenjuje u analizi j ) p j jlinijskih nosača
bull Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD (Di k dSTIFFNESS METHOD (Direktna metoda krutosti) Ime potiče od matrice krutosti koja daje vezu između sila i pomeranja krajeva štapavezu između sila i pomeranja krajeva štapa
bull Iz ove metode se praktično razvila METODA KONAČNIH ELEMENATA - mnogo opštija metoda koja se primenjuje u linearnoj i nelinearnoj statičkoj i dinamičkoj analizi složenih nosača
3
složenih nosača
MKE Shema rada kompjuterskog programaMKE_Shema rada kompjuterskog programa
4
Koncept matrične analize konstrukcijabull Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od
diskretnih elemenata ndash štapova koji su
Koncept matrične analize konstrukcija
diskretnih elemenata štapova koji supovezani u čvorovima nosača
bull Za nepoznate veličine se usvajajuj il č ipomeranjasile u čvorovima
bull Na nivou elementa (štapa) uspostavljaju se vezeizmeđu sila i pomeranja krajeva štapap j j p
bull Formiraju se jednačine za određivanjenepoznatih veličina (uslovne jednačine)Od đ j t ti i ilbull Određuju se nepoznate a zatim i sile upresecima nosača
5
Idealizacija nosača i stepeni slobode jpomeranja
6
grede
stubovi
zidno platno
I p E
I p E
Slika 103 Idealizacija ravnog okvira
7
Numeracija čvorova i štapova nosačau e ac ja č o o a štapo a osača
Štap - osnovni element nosača
ČVOROVI 4 54
1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7
8 9
9 10Br čvorova 10
B št 9ŠTAPOVI
Br štapova 9
8
Slika 104
bull Nepoznate veličine su parametri u čvorovima p pnosača
bull U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima postoje 2 metode analizepostoje 2 metode analize
Metoda sila Metoda deformacijeMetoda sila Metoda deformacije
9
a) Metoda sila
bull Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa
a) Metoda sila
Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema H V M
YY
1 2 3 4 5 6 7 8H4
V4M4
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
bull Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija
10
u matričnoj analizi konstrukcija
b) Metoda deformacije
bull Parametri komponente pomeranja u v ib t j č č
b) Metoda deformacije
obrtanja čvorova nosača bull Konvencija znaka pomeranja su pozitivna u
smeru pozitivnih osa X i Y globalnogsmeru pozitivnih osa X i Y globalnog koordinatnog sistema
Y
1 2 3 4 5 6 7 8u4
v44
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
11
s ste
U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i
pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za
određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača
12
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Od 1960 t di k ij čbull Od 1960-te godine sa ekspanzijom računara MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA (metoda deformacije) se sve više primenjuje u analizi j ) p j jlinijskih nosača
bull Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD (Di k dSTIFFNESS METHOD (Direktna metoda krutosti) Ime potiče od matrice krutosti koja daje vezu između sila i pomeranja krajeva štapavezu između sila i pomeranja krajeva štapa
bull Iz ove metode se praktično razvila METODA KONAČNIH ELEMENATA - mnogo opštija metoda koja se primenjuje u linearnoj i nelinearnoj statičkoj i dinamičkoj analizi složenih nosača
3
složenih nosača
MKE Shema rada kompjuterskog programaMKE_Shema rada kompjuterskog programa
4
Koncept matrične analize konstrukcijabull Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od
diskretnih elemenata ndash štapova koji su
Koncept matrične analize konstrukcija
diskretnih elemenata štapova koji supovezani u čvorovima nosača
bull Za nepoznate veličine se usvajajuj il č ipomeranjasile u čvorovima
bull Na nivou elementa (štapa) uspostavljaju se vezeizmeđu sila i pomeranja krajeva štapap j j p
bull Formiraju se jednačine za određivanjenepoznatih veličina (uslovne jednačine)Od đ j t ti i ilbull Određuju se nepoznate a zatim i sile upresecima nosača
5
Idealizacija nosača i stepeni slobode jpomeranja
6
grede
stubovi
zidno platno
I p E
I p E
Slika 103 Idealizacija ravnog okvira
7
Numeracija čvorova i štapova nosačau e ac ja č o o a štapo a osača
Štap - osnovni element nosača
ČVOROVI 4 54
1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7
8 9
9 10Br čvorova 10
B št 9ŠTAPOVI
Br štapova 9
8
Slika 104
bull Nepoznate veličine su parametri u čvorovima p pnosača
bull U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima postoje 2 metode analizepostoje 2 metode analize
Metoda sila Metoda deformacijeMetoda sila Metoda deformacije
9
a) Metoda sila
bull Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa
a) Metoda sila
Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema H V M
YY
1 2 3 4 5 6 7 8H4
V4M4
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
bull Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija
10
u matričnoj analizi konstrukcija
b) Metoda deformacije
bull Parametri komponente pomeranja u v ib t j č č
b) Metoda deformacije
obrtanja čvorova nosača bull Konvencija znaka pomeranja su pozitivna u
smeru pozitivnih osa X i Y globalnogsmeru pozitivnih osa X i Y globalnog koordinatnog sistema
Y
1 2 3 4 5 6 7 8u4
v44
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
11
s ste
U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i
pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za
određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača
12
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
MKE Shema rada kompjuterskog programaMKE_Shema rada kompjuterskog programa
4
Koncept matrične analize konstrukcijabull Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od
diskretnih elemenata ndash štapova koji su
Koncept matrične analize konstrukcija
diskretnih elemenata štapova koji supovezani u čvorovima nosača
bull Za nepoznate veličine se usvajajuj il č ipomeranjasile u čvorovima
bull Na nivou elementa (štapa) uspostavljaju se vezeizmeđu sila i pomeranja krajeva štapap j j p
bull Formiraju se jednačine za određivanjenepoznatih veličina (uslovne jednačine)Od đ j t ti i ilbull Određuju se nepoznate a zatim i sile upresecima nosača
5
Idealizacija nosača i stepeni slobode jpomeranja
6
grede
stubovi
zidno platno
I p E
I p E
Slika 103 Idealizacija ravnog okvira
7
Numeracija čvorova i štapova nosačau e ac ja č o o a štapo a osača
Štap - osnovni element nosača
ČVOROVI 4 54
1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7
8 9
9 10Br čvorova 10
B št 9ŠTAPOVI
Br štapova 9
8
Slika 104
bull Nepoznate veličine su parametri u čvorovima p pnosača
bull U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima postoje 2 metode analizepostoje 2 metode analize
Metoda sila Metoda deformacijeMetoda sila Metoda deformacije
9
a) Metoda sila
bull Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa
a) Metoda sila
Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema H V M
YY
1 2 3 4 5 6 7 8H4
V4M4
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
bull Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija
10
u matričnoj analizi konstrukcija
b) Metoda deformacije
bull Parametri komponente pomeranja u v ib t j č č
b) Metoda deformacije
obrtanja čvorova nosača bull Konvencija znaka pomeranja su pozitivna u
smeru pozitivnih osa X i Y globalnogsmeru pozitivnih osa X i Y globalnog koordinatnog sistema
Y
1 2 3 4 5 6 7 8u4
v44
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
11
s ste
U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i
pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za
određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača
12
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Koncept matrične analize konstrukcijabull Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od
diskretnih elemenata ndash štapova koji su
Koncept matrične analize konstrukcija
diskretnih elemenata štapova koji supovezani u čvorovima nosača
bull Za nepoznate veličine se usvajajuj il č ipomeranjasile u čvorovima
bull Na nivou elementa (štapa) uspostavljaju se vezeizmeđu sila i pomeranja krajeva štapap j j p
bull Formiraju se jednačine za određivanjenepoznatih veličina (uslovne jednačine)Od đ j t ti i ilbull Određuju se nepoznate a zatim i sile upresecima nosača
5
Idealizacija nosača i stepeni slobode jpomeranja
6
grede
stubovi
zidno platno
I p E
I p E
Slika 103 Idealizacija ravnog okvira
7
Numeracija čvorova i štapova nosačau e ac ja č o o a štapo a osača
Štap - osnovni element nosača
ČVOROVI 4 54
1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7
8 9
9 10Br čvorova 10
B št 9ŠTAPOVI
Br štapova 9
8
Slika 104
bull Nepoznate veličine su parametri u čvorovima p pnosača
bull U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima postoje 2 metode analizepostoje 2 metode analize
Metoda sila Metoda deformacijeMetoda sila Metoda deformacije
9
a) Metoda sila
bull Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa
a) Metoda sila
Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema H V M
YY
1 2 3 4 5 6 7 8H4
V4M4
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
bull Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija
10
u matričnoj analizi konstrukcija
b) Metoda deformacije
bull Parametri komponente pomeranja u v ib t j č č
b) Metoda deformacije
obrtanja čvorova nosača bull Konvencija znaka pomeranja su pozitivna u
smeru pozitivnih osa X i Y globalnogsmeru pozitivnih osa X i Y globalnog koordinatnog sistema
Y
1 2 3 4 5 6 7 8u4
v44
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
11
s ste
U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i
pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za
određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača
12
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Idealizacija nosača i stepeni slobode jpomeranja
6
grede
stubovi
zidno platno
I p E
I p E
Slika 103 Idealizacija ravnog okvira
7
Numeracija čvorova i štapova nosačau e ac ja č o o a štapo a osača
Štap - osnovni element nosača
ČVOROVI 4 54
1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7
8 9
9 10Br čvorova 10
B št 9ŠTAPOVI
Br štapova 9
8
Slika 104
bull Nepoznate veličine su parametri u čvorovima p pnosača
bull U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima postoje 2 metode analizepostoje 2 metode analize
Metoda sila Metoda deformacijeMetoda sila Metoda deformacije
9
a) Metoda sila
bull Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa
a) Metoda sila
Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema H V M
YY
1 2 3 4 5 6 7 8H4
V4M4
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
bull Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija
10
u matričnoj analizi konstrukcija
b) Metoda deformacije
bull Parametri komponente pomeranja u v ib t j č č
b) Metoda deformacije
obrtanja čvorova nosača bull Konvencija znaka pomeranja su pozitivna u
smeru pozitivnih osa X i Y globalnogsmeru pozitivnih osa X i Y globalnog koordinatnog sistema
Y
1 2 3 4 5 6 7 8u4
v44
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
11
s ste
U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i
pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za
određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača
12
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
grede
stubovi
zidno platno
I p E
I p E
Slika 103 Idealizacija ravnog okvira
7
Numeracija čvorova i štapova nosačau e ac ja č o o a štapo a osača
Štap - osnovni element nosača
ČVOROVI 4 54
1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7
8 9
9 10Br čvorova 10
B št 9ŠTAPOVI
Br štapova 9
8
Slika 104
bull Nepoznate veličine su parametri u čvorovima p pnosača
bull U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima postoje 2 metode analizepostoje 2 metode analize
Metoda sila Metoda deformacijeMetoda sila Metoda deformacije
9
a) Metoda sila
bull Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa
a) Metoda sila
Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema H V M
YY
1 2 3 4 5 6 7 8H4
V4M4
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
bull Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija
10
u matričnoj analizi konstrukcija
b) Metoda deformacije
bull Parametri komponente pomeranja u v ib t j č č
b) Metoda deformacije
obrtanja čvorova nosača bull Konvencija znaka pomeranja su pozitivna u
smeru pozitivnih osa X i Y globalnogsmeru pozitivnih osa X i Y globalnog koordinatnog sistema
Y
1 2 3 4 5 6 7 8u4
v44
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
11
s ste
U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i
pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za
određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača
12
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Numeracija čvorova i štapova nosačau e ac ja č o o a štapo a osača
Štap - osnovni element nosača
ČVOROVI 4 54
1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7
8 9
9 10Br čvorova 10
B št 9ŠTAPOVI
Br štapova 9
8
Slika 104
bull Nepoznate veličine su parametri u čvorovima p pnosača
bull U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima postoje 2 metode analizepostoje 2 metode analize
Metoda sila Metoda deformacijeMetoda sila Metoda deformacije
9
a) Metoda sila
bull Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa
a) Metoda sila
Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema H V M
YY
1 2 3 4 5 6 7 8H4
V4M4
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
bull Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija
10
u matričnoj analizi konstrukcija
b) Metoda deformacije
bull Parametri komponente pomeranja u v ib t j č č
b) Metoda deformacije
obrtanja čvorova nosača bull Konvencija znaka pomeranja su pozitivna u
smeru pozitivnih osa X i Y globalnogsmeru pozitivnih osa X i Y globalnog koordinatnog sistema
Y
1 2 3 4 5 6 7 8u4
v44
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
11
s ste
U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i
pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za
određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača
12
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
bull Nepoznate veličine su parametri u čvorovima p pnosača
bull U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima postoje 2 metode analizepostoje 2 metode analize
Metoda sila Metoda deformacijeMetoda sila Metoda deformacije
9
a) Metoda sila
bull Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa
a) Metoda sila
Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema H V M
YY
1 2 3 4 5 6 7 8H4
V4M4
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
bull Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija
10
u matričnoj analizi konstrukcija
b) Metoda deformacije
bull Parametri komponente pomeranja u v ib t j č č
b) Metoda deformacije
obrtanja čvorova nosača bull Konvencija znaka pomeranja su pozitivna u
smeru pozitivnih osa X i Y globalnogsmeru pozitivnih osa X i Y globalnog koordinatnog sistema
Y
1 2 3 4 5 6 7 8u4
v44
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
11
s ste
U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i
pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za
određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača
12
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
a) Metoda sila
bull Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa
a) Metoda sila
Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema H V M
YY
1 2 3 4 5 6 7 8H4
V4M4
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
bull Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija
10
u matričnoj analizi konstrukcija
b) Metoda deformacije
bull Parametri komponente pomeranja u v ib t j č č
b) Metoda deformacije
obrtanja čvorova nosača bull Konvencija znaka pomeranja su pozitivna u
smeru pozitivnih osa X i Y globalnogsmeru pozitivnih osa X i Y globalnog koordinatnog sistema
Y
1 2 3 4 5 6 7 8u4
v44
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
11
s ste
U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i
pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za
određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača
12
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
b) Metoda deformacije
bull Parametri komponente pomeranja u v ib t j č č
b) Metoda deformacije
obrtanja čvorova nosača bull Konvencija znaka pomeranja su pozitivna u
smeru pozitivnih osa X i Y globalnogsmeru pozitivnih osa X i Y globalnog koordinatnog sistema
Y
1 2 3 4 5 6 7 8u4
v44
XXY - globalni koordinatni sistem
9 10
11
s ste
U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i
pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za
određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača
12
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i
pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za
određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača
12
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Analiza štapa
2p(x)
35
y
x y ndashlokalni koordinatni sistem
4
6 x1
3 E F I l
i k
R N iuq1
Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j
P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem
1
2
3
i
i
i
R NR TR M
R
i
i
i
vu
qqq
3
2
1
q
j j j j R K q Q4
5
6
k
k
k
R NR TR M
R
k
k
k
vu
qqq
6
5
4
Matrica krutosti štapa
V k k i l ć j
13
6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K
R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K
je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice
R Kq
krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku
14
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku
bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli
bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i
15
Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Analiza nosačaAnaliza nosačaY
1 2 3 4 5 6 7 8
XXY - globalni koordinatni sistem9 10
Moguća pomeranja čvorova nosača
Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova
Moguća pomeranja čvorova nosača
Određivanje broja nepoznatih pomeranja
uv 2K
m+zu
K=10 m=6 zu=2 zo=9
uv - u čvorovima gde postoji krut ugao
uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza
16N = 2x10+6+2=28
veza
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10X
Nepoznata pomeranja čvorova nosača
Broj nepoznatih pomeranja
uv 2K-zo
m
n=2x10-9+6=17
17
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Uslovne jednačineUslovne jednačine
18
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u
Uslovne jednačine
p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova
Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku
j
K q S Vektor sila u čvorovima nosača u
globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u
globalnom koordinatnom sistemu
g
Matrica krutosti sistema štapova u
19
Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
USLOVNE JEDNAČINE
K S
USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA
K q SREŠAVANJEREŠAVANJE
q jRVEKTOR POMERANJA
VEKTOR SILA NA
Š
20
VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente
ku
iŠtap tipa k
pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu
ivk
ukk
ui
vi
Štap tipa k(6 pomeranja )
vgug
ui
i
vi
i g Štap tipa g(5 pomeranja )
gvi
k uui i
Prost štap(2 j )
21
k uki (2 pomeranja)
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem
qi - pomeranja Ri - sile na
R3 q3 R6 q6E F I x
y
=
i krajevima štapa
R2 q2l R5 q5
R1 q1 R4 q4
bull Aksijalno naprezanjey
R RF E l
=
R1 q1 R4 q4F E l x
bull Savijanje +bull Savijanje +
E F I l
y
xR3 q3
R6 q6
22R2 q2 R5 q5
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno
Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila
1 iR N
iuq1
1
2
3
i
i
i
R TR M
R
i
ivqq
3
2
q4
5
k
k
RR NR T
k
k
vu
5
4q
6 kR M
aksijalno naprezanje
kq 6
23
aksijalno naprezanje
savijanje
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
1021 Matrice krutosti štapova u ravni
S š
a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa
bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2
F E1 q1 R2 q2
l
bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa
1RR
R 2 1q uq u
q (1)
24
2R 2 2q u
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa
(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj
(3)2 1q ql (3)
Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije
2 1q ql l
2 1( )EFN F FE q ql
(4)
25
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Sile na krajevima štapa
N N
R1 R2
1 1 2( )EFR N q ql
2 1 2( )EFR N q ql
(5)
1 11 1R qEF R K (6)
Osnovna jednačina neopterećenog štapa
1 1
2 21 1q
R ql
R Kq (6)
R K26
R K q matrica krutosti štapa
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)
1 11 12 1
2 21 22 2
R k k qR k k q
Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga
q1=1 q2=1
ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1
k11= k21=-EFl
EFl
q1=1k12= k22
l l
=EFl
EFl
27q2=1
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen
uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
2 1( ) ( ) ot t
EFN EF q q EF tl
(7)
Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku
1 1
2 2
1 1 11 1 1
ot
R qEF EF tR ql
(8)
Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog
opterećenja
2 2ql
opterećenja
11
ot tEF t
Q (9)
28
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t
toEF to EF to
Qt
tEFtto EFtto
Q1=EFtt Q2=EFtto 11
ot tEF t
Q
Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
o 1
jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku
tR Kq Q (10)
29
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j
R2 q2 R4 q4
y
R1 q1
R2 q2
R3 q3
4 q4
x
Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa
1R 1q
1 q1 R3 q3
1
2
3
RRR
R
1
2
3
qqq
q
30
4R 4q
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja
11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR
21 22 23 242 2
31 32 33 343 3
k k k kR qk k k kR qk k k kR
41 42 43 444 4k k k kR q
q1=1 q3=1
1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q
1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je
1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k
31
R1 q1=1
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234
K21=6EIl2 K41=6EIl2
q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl
K31=-12EIl3K11=12EIl3
q1=1
1
K12=6EIl2 K32=6EIl2
K23=-6EIl2 K43=-6EIl2
q3=1
q4=1K24=2EIl
K24=4EIl
32
K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1
Uslovne jednačine
11 X1+12 X2+10=0
21 X1+22 X2+20=0
Koeficijenti i slobodni članovi
ki
X1 X2
f j
11=
12 = 21 =
21
3k
i
M ldsEI EI
1 2
6k
i
M M ldsEI EI
22
22 3k
i
M ldsEI EI
Stanje X1=1
C1=1l C2=1l
Uslovne jednačine
6EI EI
1 11
c C cl
2 21
c C cl
1l l X2=1
C2 1l
M1
Stanje X2=1Uslovne jednačine
Rešenje
1
2
3 6 01
6 3
XEI EI lXl l
EI EI l
6EIX X
C2=1lC1=1l
1M2
33
Rešenje
Reakcije oslonaca
1 2 2X Xl
1 2 3
12EIT Tl
ki
31 3
12EIkl
11 3
12EIkl
41 2
6EIkl
21 2
6EIkl
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika
2 2
12 6 12 66 4 6 2s
l ll l l lEI
K
2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
K
6 2 6 4l l l l
q2=1q1=1
q3=1
q4=1
34
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
a) jednakopodeljeno opterećenje
M Mpy(x)=py
a) jednakopodeljeno opterećenje
2pl
Mi
Mk
Ti Tk
xl
y21
2
3
12i
i
k
TQ plMQTQ pl
QQ2
Q1
Q4
Q3
3
42
2
12
k
k
Q pMQ
pl
35
12
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
b) temperaturna razlika t = tu-to
ty
M Mk
h
to
tu
l
Mi Mkt = tu- to gt 0x
Q2 Q4
01t
1
01
tt
tEIh
Q
36
1
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6
R1 q1 R4 q4
Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova
R2 q2 R5 q5
R4 q4
štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0
12 6 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI
1 2 3 4 5 6
2
1
3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 20 0k
l l l lEI EI EI EIl l l l
K
3
2
3 2 3 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
k EF EFl l
EI EI EI EIl l l l
K
5
4
savijanje
37
3 2 3 2
2 2
6 2 6 40 0
l l l lEI EI EI EIl l l l
6
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6
Q1
1Q
k ij l j
1
Q2 Q5
Q1 Q4
3
2
Q
aksijalno naprezanje 2 3
5
4
3
QQQ
Q savijanje 4 5
6
5
QQ 5 6
38
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g
Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog
R2xR1 R4R5
štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju
1R
vektor vektor sila pomeranja
1q
R2 q2
y
2
3
RR
R 2
3
qR1 q1 R3 q3
x
Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda
39
trećeg reda
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1
Sračunavanje elemenata ki121 2
3EIkl
q =1
X1
q1=1
gi
11 3
3EIkl
31 3
3EIkl
q1=1
Stanje X1=1
l
223EIkl
q2=1C1=1l C2=1l
M112 2
3EIkl
32 2
3EIkl
21
11 3
g
i
M ldxEI EI
1 11
c j jj
C cl
11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2
3EIkl
q3=1
40
11 2 2
11
3c EIX Rl
1 3 3
3EIR Rl
13 3
3EIkl
33 3
3EIkl
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
2 2
3 3 3
3 3 3
sg
l l lEI EI EIl l lEI EI EI
KR2 q2
x
y
3 2 3l l l
q1=1 q2=1 q3=1
R1 q1 R3 q3
yR3 EF EF 1 2 3 4 5
Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju
R3
R2
xR1 R4R5 3 2 3
0 0 0
3 3 30 0
EF EFl l
EI EI EIl l l
1
22
2 2
3 3 30 0
0 0 0
gEI EI EIl l l
EF EFl l
K 3
4
413 2 3
3 3 30 0
l lEI EI EIl l l
5
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)
Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3
xQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa
Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2
Q1 Q4Q5
g p j j j j j jnegativnim znakom
2 is
Q TQ M
Q 3
5
sg i
g
Q MQ T
Q
42
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje
Mi
py(x)=py
5Q
Q2
xlTi Tk
2
3
5
83
sg
QplQ l
Q
Q
Q1Q3
5 3Q
b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to
x
Miy
2
1Q lt
t = tu- to gt 0
Q3
xTi Tk3
5
15 11
Tg T
tQ EIh
Ql
Q
43
Q5Q2l
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti
bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji
bull singularna det K=0
44
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni
8
9
1
2
nepoznate ui vi i
ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9
3 4
broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j
45
XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119
10 3 1 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru
1031 Matrice transformacije
Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
46
Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap
a) Matrica transformacije za štap tipa k
Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy
Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY
Y
xy
R5 q5
R4 q4R6 q6
4 4R q
2 2R q
6 6R q
5 5R q
R
X
R1 q1
R2 q2 R3 q3
4 4q
1 1R q
3 3R q
1
2
RR
1
2
12
RR
12
O
2
3
4
5
RRR
R
2
3
4
5
qqqq
q
2
345
RRR
R
2
345
qqqq
q
47
5
6R
5
6
56R
56
Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa
Vektor sila u čvoru iY
y
1R
Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks
1R
Ri
R
2R
2
3
i RR
R 23
i RR
R
R
R2
x
R3
3R
XR1
1R
1 1 2R R cos R sin
sin cosR R R
Veza između sila u čvoru i
1 1
cos sin 0sin cos 0
R RR R
48
2 1 2sin cosR R R
3 3R R2 2
3 3
sin cos 00 0 1
R RR R
Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1
t i iR tR
k kR tR
0 0 1
Za čvor k važi ista relacija
Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu
0
0i i
k k
R t RR t R
R = TRk
gde je matrica transformacije štapa
tT
t49
t
Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je
cos sin 0sin cos 0 0
0 0 1
cos sin 00 sin cos 0
T
T
0 sin cos 00 0 1
Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa
Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je
t t t R T R q T q Q T Q
50
b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g
Yx 1R
1R
Vektor sila lokalni ks globalni ks
5 5R q
R q
R4q4
R5q5
4 4R q
yg g
2
3
4
RRR
R
2
34
RRR
R
3 3R q
2 2R q
R1 q1
R2q2
R3q3
4 4R q
1 1R q
i i
5R
5R
3 3qX
1q1
Matrica transformacijei
R TR q Tq Q Tq
Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
cos sinsin cos
1g
T
51
t t t
q q Q qR T R q T q Q T Q
cos sinsin cos
c) Matrica transformacije za prost štap) j p p
1R R
Vektor sila u lokalnom sistemu
Yx
kR2q2
2R
R
Vektor sila u globalnom sistemuyR
3 3R q
4 4R q
g
1
23
RRR
R
3 3R q 2 2R q
R1 q1 1 1R q
i i
Matrica transformacije
X4R
R1q1 1 1q
Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d
at ica t ansfo macije
cos sincos sin
T
t t t
R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q
lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu
52
q q Q Q
1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost
tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t
R Kq Q TT R T Kq T Q
matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu
K
t R T KT q Q tK T KT
sistemu
R K q Q
ˆ
ˆK KT
ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom
53
gsistemu
104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača
Uslov ravnoteže sila u čvoru iY
iP
0i
ji i
P R
Uslov ravnoteže sila u čvoru i
(1)i yP
iM
ivektor sila u čvoru i
iP
1j
i xP
i
jiR
i
jiR
vektor sila u čvoru ina kraju štapa j
i broj štapova u čvoru i
jiR
jkR
ji broj štapova u čvoru i
54
k X
Vektor sila u čvoru ik j št j
Vektor sila u čvoru i
1
jR
na kraju štapa j
i xP
23
j ji
j
RR
R
i i y
i
PM
P
3
55
Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice
j j ji ii ik i i
R k k q Q
krutosti štapa
i ii ik i i
k ki kk k k
R k k q Q
R k k q Q(2)
subvektor sila u čvoru i
Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i
subvektor ekviv opt
j j j ji ii i ik k i R k q k q Q
Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se
(3)čvoru i
0i
j j ji ii i ik k i
P k q k q Q
j ( ) j ( ) j
(4)
56
1j
1 1 1
i i ij j j
ii i ik k i ij j j
k q k q P Q (5)1 1 1j j j
i i Ako uvedemo obeležavanje
1 1
i ij j j
ii ii ik ik i ij j
K k K k Q Q
i=12K = i
ii i ik k i i
K q K q P Q
dobija se jednačina
(6)1
ii i ik k i ij
57
Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina
= K q S (7)
Kgde je
matrica krutosti sistema štapovaKq
- matrica krutosti sistema štapova
- vektor pomeranja čvorova nosača
S P Q - vektor slobodnih članova
58
Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva
22q
lokalni koordinatni sistem štapa j
3
2
24q
21q
q
6q
5q
2
2
4
1q23q
32
2Y
4q3q
3
2
2
1
2
2
1q
4q13q
1 1q
2q
1
11
1q1
X
1
59
Xglobalni koordinatni
sistem
Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N
5
6 nepoznata pomeranja
poznata pomeranja
4Y2
poznata pomeranja
3
PRAVILO1
1
2PRAVILO
Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa
t j
1
60
X poznata pomeranja
Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4
56
2
1 1 1 1k k k k 1 2 3 4
3
1
2 1
1 1 1 111 12 13 141 1 1 1
1 21 22 23 24
k k k kk k k k
K
1
2kodni brojevi
1
1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44
k k k kk k k k
K3
4
j
Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se
52 2 2 211 12 13 14k k k k
5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom
6
3
11 12 13 142 2 2 2
2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34
k k k kk k k k
K kodni brojevi
gsistemu
61
3
4
31 32 33 342 2 2 241 42 43 44
k k k kk k k k
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
10 0 0 0 0 0
23
00
K45
00
K
1K 60
2K nnK
62
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje matrice krutosti sistema K
1 2 3 4 5 6
11 1 1 111 12 13 14k k k k
23
1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 33 34 34 31 32
k k k kk k k k k k k k
K45
1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42
2 2 2 211 12 13 14
k k k k k k k kk k k k
K
61K
2 2 2 221 22 23 24k k k k
2K nnK
63
Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju
Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q
22Q
Q3
2
24Q
21Q
Q
6Q
5Q
2
2
4
1Q23Q
4Q3Q
3
2
23
2
2Y
1
2
2
1Q
4Q13Q
1Q
2Q
1
1
11
1Q11
X
Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu
64
X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu
koordinatnom sistemu
Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata
11tQ
1 62
4
1Q1Q
12
1 13
t
t
Q 2
35
6
4
1
2
1
2
1Q3Q
3
14tQ
4
3
4
2Q
11
1Q 2
2
2122
2 2
t
t
QQQ
Q
5
6
31
2
3 24Q
21Q
22Q 1
12 2324
t
t
3
42
2
23Q
4Q
65
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema
1 1Q Q 123
1 1 12 2 1 2
t t
t t
Q QQ QQ Q Q
3
45
3 3 3 1 24 4 4 2
t t t
t t t
Q Q QQ Q QQ Q
Q
56
nQ
5 1 26 2
t t
t t
Q QQ Q
Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
66
shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju
Vektor koncentrisanih sila u čvorovima
5
61
1P
4PP
32
52
3
2
3
PP
P3P
21
2
4
5
4
5
PP
P
11
Sil l b d i č i t il
66P
nP
Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile
Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na
67
j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju
Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a
1 1 1
S Q PS Q P
1
22 2 2 3 3 3
S Q PS Q PS Q P
2
3
44 4 4 5 5 5
S Q PS Q PS Q P
4
5
66 6 6S Q P 6
Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P
nS
68
j j
105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S
Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)
nepoznata pomeranja
1
q 6
23
n
3
45
6
45
p qqq
q
1
2
69
6q
Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j
nepoznata
8
9
1
2
nepoznata pomeranja
1q
23
np
3 4
p
pq
70
Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)
Parcionisane uslovne jednačine
nn np n n
K K q S (I)
Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q
pn pp p p
K K q S (II)
= K q K q S K q S K q
Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq
- n vektor nepoznatih pomeranjaq
nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q
71
- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq
M i i 2 l č j
I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq
Mogu nastupiti 2 slučaja
nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q
K S K- nn n n np p n K q S K q q
Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q
72
10 6 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima
106 Određivanje reakcija oslonaca
Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II
S K K
p pn n pp pq q
S K K
S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q
Vektor Vektork l
Vektor sila u
reakcija oslonaca
ekvivalentnog opterećenja
73
osloncima
10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa
- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q
j j j j j R K T q Q
j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks
q Q
ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks
-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j
ˆj j j j R K q Q
74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs
Konvencija znaka presečnih silaj p
75
108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja
čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment
inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu
bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja
č
76
čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu
štapovi
Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo
i
p
nepoznata pomeranja
poznata pomeranjakji
č i
77
čvorovi
Slika 1
Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap
Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su
1
2
RR
R
2
2
q
l
R1 q1R2 q2
Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j
11 12 1 11 1
k k EFk k l
K
aksijalno naprezanje
21 22 1 1k k l
78
Transformacija koordinatnog sistemaj g
lokalni sistem globalni sistemY
x
yR4 q4
R2 q2x
XR1 q1
R2 q2 R3 q3
R1 q1
O
1
23
qqq
q
1
23
RRR
RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu
X
34
34
RR
cos sin 0 00 0 cos sin
T
Matrica transformacije
q = T q Q = T Q
79
0 0 cos sin
Matrice krutostiˆ K KT
cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin
EFl
K
t t ˆ K T K T K T
K KEF K -K-K K
e e
e e
EFl
K
2
e 2
cos cos sinK
cos sin sin
80
cos sin sin
1091 Algoritam poračuna rešetke
bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja
bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)
bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu
bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema
bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q
bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn
81
bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova
Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka
EF
N j 1 i 2
Geometrija nosača
Nepoznata pomeranja 1 i 2
Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu
K -KK K
e eEFl
K-K Ke el
2cos cos sin e 2
cos cos sinK
cos sin sin
11 1l
K
Inverzna matrica
1 2 2 1nn EF
K
Uslovna jednačinaUslovna jednačina
1
4 2 2 04
qEFPl
24 2 2 Pl q
1 12
1
1 2 21q Pl2EFq
2q
Pomeranjaj
Y q1
Xq2
90
cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin
EFl
K
Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j
1011 Simetrični nosači Štap tipa s
simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1
3
1
2
sP P P2s
i k i4
56
4 ne računamo u nepoznata pomeranja
ldquokrdquo ldquosrdquo
= Štap tipa ldquosrdquo
k s
s s3
1
2
i
93
Slika 1
Matrica krutosti štapa tipa s s3
1
2
i
q q
Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa
ldquokrdquo1 1
2 2
3 3
q qq qq qq q
qP P
3 2 65
k 4 1
5 2
6 3
q qq qq q
i l1 4
3
2ldquosrdquo
Štap tipa ldquosrdquo
1R
1q
vektor pomeranja vektor sila
s3
1 i
ls=l22
3
RR
R1
2
3
q
94
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
0 0 0 0EF EF
k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom
3 2 3 21 1
12 6 12 60 0
l lEI EI EI EI
R ql l l lR
2 2
2 33 3
4 1
6 4 6 20 0
0 0 0 0
R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF
(a)
5 2
6 33 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
l lR qEI EI EI EIR q
l l l v
2 2
6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l
95
Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3
2ldquosrdquo
dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija
s3
1 i
ls=l2
Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo
U matričnom obliku se dobija
1 1
2 2 s
0 02 0 0 2 0 0
0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s
EFEF EFlR ql l
R q
2 2 s
3 30 0 2 0 0 2 0 0s
qR EI q EI EI
l l l
Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo
l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo
96
ls l2 dužina štapa tipa s
PrimerPrimers3
1
2
1
3 25 6
1
s6 5
1
9 8
4
12
št i ti ldquo rdquo4
s9
8
7 1011
15 1418
=
štapovi tipa ldquosrdquo
s7
1613
18
17
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9
97
broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9
10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno
pod pravim uglom
1
3 2
4
6 5
98
bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti
bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista
bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se
transformacija0
q1
q2q5=0
q1
q3q4=0
q7q5=0 q4=0
qq9
99
q6q8
Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3
1
4 05
1
0
s1
0
0
2
6 0
2
70
s2
0
0
štapovi tipa ldquosrdquo
3
8 0
3
9
0
s3
0
0=
štapovi tipa s
a) b)0 00
0
0
100n=3
)
Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18
broj nepoznatih n=90 0
0
Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju
štap tipa g
R2q2
x
yštap tipa g
R2q2 R4 q4
x
yštap tipa k
R1 q1 R3 q3
xR1 q1 R3 q3
x
2
1 13s
lEI l l l
K
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
sk 3
l ll l l lEI
l ll
K3
1 1g l l l
ll
K2 2
12 6 12 66 2 6 4
k 3 l lll l l l
101
Da bi se izbegla transformacijax2y2
Y
Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak
2
2
koordinatni početak
bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru
x1y1
levom čvoru
bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru
1
go je čvo u
X
102
1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova
- matrica krutosti za štap tipa k
- matrica krutosti za štap tipa g
103
p p g
Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j
Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci
Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja
104
Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k
Matrica krutosti elementa opruge je
Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)
105
10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir
i12
Štap tipa ldquokrdquoi
k
Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se
Štap tipa k
l E G
I
i k i kk
M M TTds k ds
pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja
k 34
iks s
ds k dsEI GF
106h
b
Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata
3 2 3 2
12 6 12 6
6 (4 ) 6 (2 )
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI
2 2
3 2 3 2
112 6 12 61
S l l l lEI EI EI EI
l l l l
K
2 2
6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l
3
212 EI
l kGFhE
G
- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)
107
GFkl
G l krutosti na savijanje i klizanje)
Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g
bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g
K K
3 3 3 3 2 3
3 3 3
1 3 3 3
EI EI EIl l lEI EI EI
2 2
1 3 3 31 025
3 3 3
Szg
EI EI EIl l lEI EI EI
K
3 2 3
3 3 3EI EI EIl l l
108
Štapovi skokovito promenljivog preseka
bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I
ndash tipa kl rsquol
l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2
0 0 0 0
12 6 12 12 60 0
EF EFl l
EI EI EI EI EIl l l l l
2
2 3 2 2 3 2 2
4 12 12 6 12 2 60
0 0
l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l
EF
K
3 3 2 2
0 0
12 6 0
4
lEI EIsiml l
EI
109
l
ndash tipa gl rsquol
I= E F I
l
EF EF
3 3 3 2 3 3
3 3 3
3 3 3
l lEI EI EIl l l
EI EI EI
3 2 3 3 2
3 3 3EI EI EIl l l
EF EFl l
K
3 3 3 2 3 3
3 3 3EI EI EIl l l
110
bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I
l rsquol ll
I=
l
0 0 0 0EF EFl l
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3
12 6 12 12 6 120 0
4 12 12 6 12 2 12 120
EI EI EI EI EI EIl l l l l l
EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l
0 0
12 6 120
l l l l l l l lEFl
EI EI EIsim
K 3 3 2 2 3 2
0
4 12
siml l l
EI EIl
2
2 3
12 EIl l
111
ndash tip s
2EF
I=
E F I
I=2 2acute
q3q1
q2-q3
-q1
q2
2 0 0EFl
q3q1
q2
l rsquol l
l=100 0 0
20 0
s
EI
K
q3
s2 0 0
l
112
PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const
113
114
16+0375
115
116
117
= K q Q= Kj qj - Qj
118
119