04/21/23 1

BAB. 4

Kinematika Gerak Lurus

8/7/2012 1

8/7/2012

Kinematika (cabang mekanika).

Kinematika, ilmu pengetahuan yang menganalisis

peristiwa diam (bergerak), suatu benda tanpa

memperhatikan penyebab benda tersebut men-

jadi bergerak (diam), [benda tersebut dipandang

telah bergerak (diam)].

Dalam kinematika, pernyataan benda dan partikel

tidak dibedakan (benda partikel, kedua istilah

tersebut tidak menjadi obyek pembicaraan).

2

8/7/2012 3

Jika acuan kita adalah bumi (bumi bergerak), ma-

ka gerak benda langit akan menjadi rumit ana-

lisisnya.

Jika analisis gerak benda langit diacukan pada ma-

tahari (matahari relatif diam karena jauhnya) ma-

ka analisis gerak menjadi lebih sederhana.

Dalam kinematika, diperhatikan teknik (cara) peng-

ambilan sistem kerangka acuan agar gerakan men-

jadi lebih sederhana (mudah dianalisis).

Sambungan.

8/7/2012

Pengertian Gerak

Benda dikatakan bergerak apabila posisi (tempat) benda tersebut berubah setiap saat terhadap sis-tem acuan yang digunakan.

Perubahan posisi benda tersebut sejalan dengan perubahan (bertambahnya) waktu [r r (t)].

Apabila posisi benda relatif tidak berubah de-ngan ber(+)-nya waktu, maka benda tersebut dikatakan relatif diam (terhadap sistem yang digunakan).

Benda disebut bergerak (diam) hanya tergan-tung pada sistem acuan yang digunakan (arti fisis gerak pengertiannya bersifat relatif).

4

8/7/2012 5

kita dapat mengatakan pohon diam, sepeda

bergerak [sepeda (pengendara) diam pohon

bergerak].

Lanjutan.

sepeda terhadap

bergerakpohon

pohon terhadap

bergerak pengendara

pohon melewati

bergerak Sepeda

Contoh

8/7/2012 6

untuk menganalisis suatu gerakan mutlak perlu adanya sistem kerangka acuan.

Suatu benda bergerak secara matematik di-nyatakan posisi (perpindahan) merupakan f (t), (artinya setiap memasukkan nilai t yang ber-beda akan menghasikan nilai (r) yang ber-beda) dinyatakan sebagai,

r = f (t)

Persm, r = f (t) menyatakan posisi benda berda-sarkan acuan yang digunakan dan t waktu.

Laniutan.

8/7/2012 7

Percepatan (a) adalah besaran yang dapat meru-bah kecepatan (v).

Laniutan.

Benda bergerak memiliki v dan mungkin juga a (artinya dapat memiliki v saja atau a dan perce-patan).

). liki

-(memiberubah kecepatan 3.

tetap),( tetapkecepatan 2.

berubahsaat setiap posisi 1.

bergerrak Benda

a

v

8/7/2012 8

1.Perpindahan dan Jarak

Perpindahan (Δr), terjadi karena adanya gerakan benda.

Perpindahan (Δr) merupakan selisih dua buah vektor letak.

Perubahan posisi benda bergerak dalam arah ge-rakan disebut Δr (perpindahan besaran vektor).

Perpindahan, selisih vektor posisi akhir dan awal dari sua-tu gerakan (0B – 0A) = Δr.

0

A BΔr

AB = Δr.

8/7/2012 9

Panjang lintasan perjalanan benda, dari keadaan

awal menuju akhir disebut 'jarak‘ (besaran skalar).

Jarak (skalar vektor perpindahan), tetapi jarak

“tidak selalu” merupakan nilai vektor perpindahan.

stop

start

Lanjutan.

8/7/2012 10

Start

Lanjutan.

8/7/2012 11

2. Kecepatan dan Kelajuan

Kecepatan (besaran vektor), adalah perpindah-

an tiap satuan waktu.

Waktu yang dimaksud adalah waktu yang di-

gunakan partikel untuk berpindah dari posisi

awal sampai posisi akhir.

Kelajuan (besaran skalar), adalah panjang lin-

tasan perjalanan benda untuk pindah tiap sa-

tuan waktu.

8/7/2012 12

Pada gerak lurus kelajuan adalah skalar dari kecepatan.

Suatu benda dapat memiliki kelajuan tinggi tetapi perpindahan rendah, namun sebaliknya kelajuan rendah dengan perpindahan tinggi tidak mungkin terjadi (perhatikan dalam gerak lengkung).

Satuan kecepatan maupun kelajuan sama yaitu meter tiap detik (dalam SI, m s-1).

Dimensi kecepatan maupun kelajuan sama [L T-1].

Lanjutan.

8/7/2012 13

3. Percepatan dan Perlajuan.

Benda dalam melakukan gerakan (pindah) ada

kemungkinan v (kelajuannya tidak tetap).

Δv, dapat dalam arti nilai (perubahan v) dapat

karena perubahan arah (perubahan arah vektor

v), atau mungkin keduanya (besar dan arah).

Penyebab Δv tiap satuan t disebut percepatan dan

Δv tiap t waktu disebut perlajuan.

Satuan percepatan dan perlajuan (dalam SI, m s-2

Dimensi percepatan dan perlajuan [LT-2].

8/7/2012 14

B. Gerak Lurus dan Persm-nya

Gerak lurus, gerak yang menghasilkan lintasan

(jejak) berupa garis lurus.

Gerak lurus dapat berupa gerak dua atau tiga

dimensi tergantung pada sistem koordinat yang

kita gunakan.

Gerak lurus biasanya dipandang sebagai gerak

dalam sumbu x (gerak satu dimensi).

8/7/2012 15

1. Gerak Lurus Horisontal (satu dimensi)

Perpindahan, (benda bergerak) adalah perubah-

an (selisih) koordinat (0B – 0A) atau XB - XA.

A0 BtA

tB

0B = vektor posisi (akhir), titik B atau XB i.

0A = vektor posisi (awal), titik A atau XA i.

Misal waktu yang digunakan untuk berpindah dari 0 – A adalah tA, dan dari 0 – B = tB.

Titik 0 adalah titik acuan (awal, asal), posisi perhitungan dimulai (dengan sistem tertentu).

8/7/2012 16

waktu yang digunakan benda untuk berpindah

dari A → B adalah (tb - ta). tba adalah waktu yang

digunakan benda untuk berpindah dari 0 sampai

xb dan ta waktu yang digunakan oleh benda

untuk berpindah dari 0 sampai xa.

Lanjutan.

8/7/2012 17

Umumnya gerakan suatu benda (berpindah)

melakukan perjalanan tidak tetap (tidak konti-

nyu).

a. Kecepatan Rata-rata.

Ketidak kontinyuan tersebut muncul besaran

yang disebut kecepatan rata-rata.

Nilai v dapat positif [(+) ] atau negatif [(-) ]

tergantung pada arah perpindahan ΔX.

t

Xv

t

Xv

tt

XXv

AB

ABrt

atau

rt

rt

ii

8/7/2012 18

Jika pengambilan nilai dari sistem koordinat xA di-

ambil nol (koordinat xA ditempatkan pada posisi

titik acuan sehingga posisi xB sebagai x).

t

Xv

t

Xv

t

Xvrt

atau

rt

rt

i

i

kecepatan rata-rata menjadi,

Lanjutan.

8/7/2012 19

svrt 10

m 55

s 3 s 2 s 5

m 15 m 30 m 10

= 5,5 m s-1

Contoh.

Mobil bergerak dalam waktu 5 detik menempuh

jarak 10 m, 2 detik kemudian menempuh jarak 30

m dan 3 detik terakhir menempuh jarak 15 m.

Berapakah kecepatan rata-ratanya ?

Penyelesaian.

Mobil bergerak dari A B melewati titik C dan D [C di tengah-tengah A – B, AC = CB)]. Dari A ke C mobil bergerak dengan kecepatan vo dan dari C D mobil bergerak dengan kecepatan v1 da-lam waktu (½) waktu perjalanan C – B, (tCD = tDB). Sisa perjalanan (D – B) ditempuh dengan kecepatan v2. Hitung kecepatan rata-rata mobil tersebut !

Contoh.

Penyelesaian.

A C D Bvov1 v2

½ s

Misal A – B = s;

tAC = t1 dan tCB = t2. oo v

s

v

st

221

1

8/7/2012 20

8/7/201221

Lanjutan.

)(

)(

2

2121

DBCD2 vv

s

vv

sst

Karena tAB = t1 + t2 kecepatan rata-rata mobil

menjadi,

21 2 vvs

vs

s

o 21

21

2

)( 2

vvv

vvv

o

o

vrt = =

2212221 2

1

2

1

2

1tvvtvtvss DBCD

04/21/23 22

Diketahui posisi partikel, x (t) = 7,8 + 9,2 t – 2,1 t3. Perpindahan merupakan selisih posisi dari t → t + Δt, (Δt perubahan waktu).

Contoh.

Partikel bergerak lurus sepanjang sumbu x dengan

posisi diberikan dalam bentuk x (t) = 7,8 + 9,2 t –

2,1 t3. Bagaimana bentuk v rata-rata-nya ?

Penyelesaian.

Posisi benda pada saat t + Δt menjadi,

x (t + Δt) = 7,8 + 9,2 (t + Δt) – 2,1 (t + Δt)3.

Sehingga perpindahan,

8/7/2012 22

04/21/23 23

tvrt

x

vrt = 9,2 – 6,3 t2 + 6,3 t (Δt) – 2,1 (Δt)2.

Lanjutan.

Δx = x (t + Δt) – x (t)

= 9,2 Δt - 6,3 t2 Δt + 6,3 t (Δt)2 - 2,1 (Δt)3

8/7/2012 23

24

b. Kecepatan Sesaat.

Kecepatan sesaat (konsep matematik) dapat di-anggap sebagai v benda pada posisi titik terten-tu.

Kecepatan akan menyangkut dua tempat (titik) sehingga memiliki Δx, v sesaat dapat diperoleh dengan cara menghitung t mendekati nol.

Artinya jika t → 0 jarak tempuh menjadi sangat

pendek (dua titik berimpit hampir menjadi satu

secara fisis v sesaat menjadi ada yaitu v pada

titik yang bersangkutan).

8/7/2012

8/7/2012 25

Kecepatan sesaat menjadi,

dt

xdv

t

xv

t

atau lim0

v

= f (x, t).

Nilai v sesaat merupakan nilai vrt dengan me-

nempatkan Δt sangat kecil (perubahan posisi re-

latif terhadap waktu dengan nilai Δt sangat kecil)

sehingga v sebágai,

Lanjutan

04/21/23 26

Contoh.

Partikel bergerak lurus sepanjang sumbu x dengan

posisi diberikan dalam bentuk x (t) = 7,8 + 9,2 t –

2,1 t3. Bagaimana bentuk v rata-rata-nya ?

Penyelesaian.

8/7/2012 26

Δx = x (t + Δt) – x (t)

= 9,2 Δt - 6,3 t2 Δt + 6,3 t (Δt)2 - 2,1 (Δt)3

t

vrtx

04/21/23 27

vrt = 9,2 – 6,3 t2 + 6,3 t (Δt) – 2,1 (Δt)2.

Lanjutan.

Kecepatan sesaat (peninjauan Δt → 0, Δt semakin

singkat) nilai akan mendekati nilai 9,2 - 6,3 t2.

[Karena Δt → 0 atau nilai Δt = 0

6,3 t (Δt) - 2,1(Δt)2

= 08/7/2012 27

8/7/2012 28

v = 0 + 9,2 - (3)(2,1) t2

Contoh.

Partikel bergerak lurus sepanjang sumbu x dengan posisi diberikan dalam bentuk x (t) = 7,8 + 9,2 t – 2,1 t3. Berapakah v sesaatnya juga v saat t = 3,5 detik ?.

Penyelesaian.

v

dt

dx

(dt

d = = 7,8 + 9,2 t - 2,1 t3)

, v sesaat, v = 9,2 - 6,3 t2.

v sesaat untuk t = 3,5 detik

v = 9,2 - (6,3)(3,5)2 = - 6,8 m s-1.

8/7/2012 29

C. Persm Gerak (Lurus Beraturan)

Dalam gerak lurus, kelajuan merupakan skalar dari kecepatan.

Bila diketahui,

v

= f (t) atau tetapan perpindahan dapat dilaku-kan dengan cara mengintegralkan (menghi-tung),

)( o

oo

t

t

x

x

ttvxxdtvxdo

)( oo ttvxx iii

bentuk skalarnya x = xo + v (t – to).

dtvxd

8/7/2012 30

Bila xo dan to diambil (harga) nol, sehingga persm menjadi, x = v t.

Dalam grafik v vs t, x menyatakan luasan (arti fisis, ingat luasan dapat dijadikan vektor) yang dibatasi oleh v dan t.

0 t

v

x

t

t

Lanjutan.

8/7/2012 31

Dalam Gerak lurus beraturan (gerak dengan v te-

tap), dapat disajikan v = vrt, kecepatan sesaatnya =

v rata-ratanya.

Dalam gerakan ada kemungkinan, partikel memiliki

v berbeda-beda (nilai v ≠, atau v-nya tidak tetap).

Perubahan v tiap satuan waktu disebut percepatan

(a), besaran vektor.

Contoh.

8/7/2012 32

Percepatan sesaat (= a benda pada posisi terten-

tu) yaitu percepatan sesaat t→0 sehingga,

d. Percepatan.

rta

AB

AB

tt

vv

= Percepatan rata-rata,

0 A, (vA)tA tB

B, (vB)t

ataut

v

rta

dt

dva

dt

dva

tt

atau lim0

ii

va

8/7/2012 33

Percepatan sesaat (a) dapat dinyatakan sebagai,

2

2

dt

xd

dt

xd

dt

da

2

2

2

2

atau ˆˆ dt

xdai

dt

xdia

Lanjutan.

8/7/2012 34

Δv = v (t + Δt) - v (t) = [9,2 - 6,3 (t + Δt)2] - [9,2 - 6,3 t2] = -12,6 t (Δt) - 6,3 Δt2

Contoh.

Partikel bergerak lurus sepanjang sumbu x dengan

kecepatan berbentuk v (t) = 9,2 – 6,3 t2. Bera-

pakah art dan percepatan sesaat ?

Penyelesaian.

art diperoleh dengan membagi Δv/Δt

art = - 12,6 t - 6,3 Δt.

a sesaat diperoleh dengan Δt → 0 sehingga

a = - 12,6 t.

8/7/2012 35

e. Persm Gerak Lurus (Berubah beraturan)

Apabila diketahui a sebagai fungsi waktu a = f (t)

atau tetapan, akhirnya v diperoleh dengan meng-

integralkan (menghitung),

)( akhirnya,

)(

)(

oo

oo

oo

t

t

v

v

ttavv

ttavv

ttavvdtavdoo

iii

Jika diambil to = 0, v = vo + a t

atau v = vo - a t

8/7/2012 36

Perpindahan diperoleh,

2 ,0untuk

2 2

2 ) (

2

1

2

1

2

1

2

1

0

tatvxx

tatvxxtatvxx

tatvxxdttavxd

oo

oooo

oo

t

o

x

xo

iiii

Lanjutan.

8/7/2012 37

Penyelesaian.

Contoh.

Pengamatan dari partikel bergerak yang dinyata-

kan dalam tabel pengamatan kecepatan (v dalam

m s-1) dan waktu (t dalam detik).

t :

v :

00

12

24 6

3 48 8

5 68 4

7 80 - 4

9

- 4

10

Berapakah perpindahan partikel tersebut dalam waktu 10 detik ?

Digunakan grafik v vs t.

Perpindahan dalam grafik v vs t dinyatakan seba-

gai luas bidang yang dibatasi oleh besaran v dan t.

8/7/2012 38

04 6 8 9 10 t

v

- 4

8

04/21/23 39

Lanjutan.

x luas dari 0 – 8 adalah 40 – 6 = 34 m

Jadi perpindahan gerak tersebut adalah 34 m

8/7/2012 39

8/7/2012 40

Sebuah mobil bergerak dipercepat dari keadaan

diam dengan percepatan . Setelah itu mobil di-

perlambat dengan perlambatan β (sampai ber-

henti). Total waktu perjalanan t detik. Berapakah

jarak perjalanan yang ditempuhnya ?

Contoh.

Penyelesaian.

Mobil dipercepat dalam waktu t1 detik menghasil-kan kecepatan v atau,

v

t 1

Jika panjang lintasan s1 maka v2 = 2 s1 atau

2

2

1

vs

8/7/2012 41

Jika mobil diperlambat dalam waktu t2 detik sehingga,

2

2

2

vs

v

t 2karena bergerak dengan kecepatan v sam-pai berhenti kembali.

Jika panjang listasan s2, maka

vJika t = t1 + t2 =

v

v2

2222

) (

tv

2

2vJika s = s1 + s2 =

2 2

22

vv

2 2

Akibatnya 2

2

2

tts

Sehingga jarak tempuh mobil diam–berjalan-diam

22

ts

8/7/2012 42

Contoh.

Sebuah mobil bergerak lurus dipercepat dari kea-daan diam dengan a = 5 m s-2. Mobil kemudian bergerak dengan v = tetap. Setelah beberapa saat mobil diperlambat (a = - 5 m s-2) hingga berhenti. Jika v rata-rata mobil tersebut 20 m s-1 dan lama gerakan mobil 25 detik, maka berapa lama mobil tersebut bergerak dengan v tetap ?

Penyelesaian.

Gerakan mobil tersebut dapat digambarkan seba- gai berikut:

8/7/2012 43

0

v

t 25 - t 25

5 t

t

Anggap mobil mulai melakukan gerak lurus ber-aturan (v tetap) setelah t detik.

Luas trapesium yang menyatakan perpindahan mobil.

2 5 1252

) 5)]( 225()25[(tt

tts

Kecepatan rata-rata, v = s/ttotal

8/7/2012 44

0100 2525

5 12520 2

2

tttt

(t – 20)(t – 5) = 0, yang berlaku t = 5 detik.

Waktu yang digunakan mobil untuk bergerak de-

ngan v tetap adalah, 25 – 2 (5) = 15 detik.

8/7/2012 45

2. Hubungan x, v dan a.

Dalam gerak lurus vektor x, v dan a membuat

sudut 0o (cos 0o = 1) atau 180o (cos 180o = -1)

v . dv = v dv = d (½ v2)

a . dx = a dx

x

x

v

v oo

dxadvv

dxadvvdv

dx

a

v

dt

dva

dt

dxv

8/7/2012 46

xavv

va

xavvx

xxavv

o

oo

oo

2

:berlakuarah berlawanan dan antara Jika

20 Jika

)( 2

22

22

22

8/7/2012 47

Contoh.

Benda bergerak lurus dengan pernyataan, a = 32 – 4v, (t = 0, x = 0 dan v = 4 satuan). Carilah x dan v sebagai f(t) !

Penyelesaian.

tv

tv

ntnvn

dtv

dv

dt

dva

v t

4exp48

44

8 4488

48

Dari4 0

untuk menjawab x, dimulai dari v = dx/dt

Lanjutan.

8/7/2012 48

) 4( exp8

) 4( exp480 0

ttx

dttdxx t

8/7/2012 49

Gerak lurus vertikal

Dalam gerak vertikal dapat dianalogikan sebagai berikut:

22

122

1 tgtvyytatvxxga

yxoooo

Benda dilempar tegak lurus ke atas (bawah) akan berlaku:

y = yo + vo t ± ½ g t2

Koordinat titik tertinggi dipenuhi, vo = g t.

Benda dilempar ke atas, mencapai titik tertinggi, (puncak) dipenuhi jika v = 0.

Lanjutan.

8/7/2012 50

Kecepatan setiap saat, v = vo ± g t.

g

vyy

g

v

g

vyy o

ooo

o 2atau

2

222

Rangkuman Kinematika

X posisi

dt

dxv kecepatan

2

2

dt

d

dt

d xva percepatan

t waktu

8/7/2012 51

Rangkuman Kinematika

x = vo t ½ a t2 , gerak lurus berubah beraturan

v = vo a t , gerak lurus berubah beraturan

v2 = vo2 ± 2 a x , gerak lurus berubah beraturan

x = v t gerak lurus beraturan

8/7/2012 52