数学特論10(確率論)& 確率論大意—数理ファイナンス入門

谷 口　説 男 (九州大学基幹教育院・大学院数理学府)

2013年度後期 (9/20/2013版)

目 次

1 市場モデル 1

2 投資戦略 3

2.1 投資戦略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 セルフファイナンシング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 裁定機会 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 複製 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 期待値と条件付き期待値 10

4 マルチンゲール 16

5 同値マルチンゲール測度 18

5.1 無裁定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2 価格公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 数理ファイナンスの第 1基本定理 21

7 数理ファイナンスの第 2基本定理 24

8 CRR(Cox-Ross-Rubinstein)モデル 26

8.1 無裁定と完備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.2 ヨーロピアン・コールオプション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9 3項モデル 32

9.1 確率測度の特徴づけ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9.2 同値マルチンゲール測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1. 市場モデル

まず，いくつかの記号を導入する．

• T ∈ N: 満期時刻 (T 年後，T カ月後などなど)

• T = 0, 1, . . . , T

• N ∈ N，Ω = ω1, . . . , ωN (有限集合)

• F = 2Ω = A |A ⊂ Ω

Def 1.1. (i) 関数P : F → [0, 1]が確率 (probability measure)であるとは，次が成り立つ

ことをいう．

(a) pαdef= P(ωα) > 0, α = 1, . . . , N，

N∑α=1

pα = 1，(b) P(A) =∑

α:ωα∈Apα

(ii) G ⊂ F が加法族 (field)であるとは，

(a) ∅,Ω ∈ G，(b) A ∈ G ⇒ Ac def= ω ∈ Ω |ω /∈ A ∈ G，(c) A,B ∈ G ⇒ A ∪B ∈ G

が成り立つことをいう．

(iii) ∅,Ω = F0 ⊂ F1 ⊂ F2 · · · ⊂ FT = F を満たす加法族の増大列 F = Ftt∈Tをフィルトレーション (filtlation)という．

Rem 1.2. Ftは，投資者が時刻 tにおいて保有できる情報量をモデル化している．

Assumption 以下，確率Pとフィルトレーション F = Ftt∈Tを固定する．

Def 1.3. (i) 関数X = (X1, . . . , Xn) : Ω → RnをRn-値確率変数 (random variable)と呼

ぶ．n = 1のときは，簡単に確率変数ともいう．

(ii) Rn-値確率変数Xt = (X1t , . . . , X

nt ) : Ω → Rn, t ∈ Tの列X = Xtt∈TをRn-値確率過

程 (stochastic process)という．

(iii) Rn-値確率過程X = Xt = (X1t , . . . , X

nt )t∈Tが適合 (adapted)であるとは，各X i

t が

Ft-可測であること，すなわち，次が成り立つことをいう．

ω |X it(ω) ≤ a ∈ Ft, t ∈ T, 1 ≤ i ≤ n, a ∈ R.

(iv) S = (S0t , S

1t , . . . , S

dt )t∈Tを適合なRd+1-値確率過程とする．さらに，

S00(ω) = 1, Si

t(ω) > 0, t ∈ T, 0 ≤ i ≤ d, ω ∈ Ω

が成り立つと仮定する．(Ω,F ,P,T,F, S)を市場モデル (market model)と呼ぶ．

1

(v) βt =1

S0t

とおいて，割引率 (discount factor)という．

Rem 1.4. (i) S0t は安全な証券 (国債，預金など)の時刻 tにおける価格を表す．Si

t , 1 ≤i ≤ dは危険な証券 (株式など)の時刻 tにおける価格を表す．

(ii) 国債価格などで割り引くことで実質的な株式市場の成長率が表記できることに鑑み，

S0 = S0t t∈Tを基本財 (numeraire)と呼ぶ．

2

2. 投資戦略

2.1. 投資戦略

Def 2.1. (i) Rn-値確率過程X = Xt = (X1t , . . . , X

nt )t∈Tが可予測 (predictable)である

とは，X0 = X1であり，さらに各X it がFt−1-可測であること，すなわち，次が成り立

つことをいう．

ω |X it(ω) ≤ a ∈ Ft−1, 1 ≤ t ≤ T, 1 ≤ i ≤ n, a ∈ R.

可予測なRn-値確率過程の全体をPnと表す．

(ii) θ = (θ0, θ1, . . . , θd) = θt = (θ0t , θ1t , . . . , θ

dt )t∈T ∈ Pd+1を投資戦略 (strategy)という．

投資戦略の全体をS と表す．

(iii) θ = θt = (θ0t , . . . , θdt )t∈T ∈ S に対し，

Vt(θ) = θt · St =d∑

i=0

θitSit

とおく．確率過程 Vt(θ)t∈Tを，投資戦略 θの価値過程 (value process)という．

Rem 2.2. (i) θitは時刻 tにおける第 i証券 Siの所有高を表す．投資戦略は，市場モデル

の次元 (d+1)には依存するが，どのような証券価格過程 Sを考えるかには依存してい

ない．

市場モデル (Ω,F ,P,T,F, S)においては，投資家は Si, 0 ≤ i ≤ dの所有によってのみ

資産運用を行っていると仮定する．したがって，Vt(θ)は時刻 tにおける投資家の資産

高を表す．とくに，V0(θ)は投資家の初期資産高を表している．

(ii) 時刻 tにおける所有高は，そのひとつ前の時刻 t− 1の市場の情報に基づいて決定され

る．すなわち，加法族Ft−1にしたがって決定される．これが，θ ∈ S に可予測性を仮

定する理由である．

2.2. セルフファイナンシング

Def 2.3. θ = θt = (θ0t , . . . , θdt ) ∈ S がセルフファイナンシング (self-financing)であるとは，

θt+1 · St = θt · St, 0 ≤ t < T.

が成り立つことをいう．

セルフファイナンシングな θ ∈ S の全体をSsfと表す．

Rem 2.4. 時刻 tに，投資戦略 θtにより，資産 θt · St を得た投資者は，証券の所有高 θtを

θt+1に持ち替える．セルフファイナンシングは，資産の『流出入』を行わず，すべての資産

を再び投資することを意味している．

3

Def 2.5. ∆St = St − St−1, 1 ≤ t ≤ T，

G0(θ) = 0, Gt(θ) =t∑

s=1

θs ·∆Ss, 1 ≤ t ≤ T

とおく．Gt(θ)t∈Tを利得過程 (gain process)という．

Prop 2.6. θ ∈ S とする．以下は同値である．

(i) θはセルフファイナンシングである．

(ii) Vt(θ) = V0(θ) +Gt(θ), t ∈ T．

(iii) ∆θt · St−1 = 0, 1 ≤ t ≤ T .

Proof. ∆θtの定義より，

θt · St−1 − θt−1 · St−1 = ∆θt · St−1

であるから，(i)と (iii)は同値である．

つぎに，

Vt(θ)− Vt−1(θ) = θt · St − θt−1 · St−1,

であるから，

Vt(θ)− Vt−1(θ) = θt ·∆St + θt · St−1 − θt−1 · St−1

= Gt(θ)−Gt−1(θ) + θt · St−1 − θt−1 · St−1

となる．これより，(i)と (ii)の同値性を得る．

R-値確率過程 η = ηtt∈TとRn-値確率過程X = Xt = (X1t , . . . , X

nt )t∈Tに対し，ηX =

ηtXtt∈Tで，

ηtXt = (ηtX1t , . . . , ηtX

nt ), t ∈ T

なるRn-値確率過程を表す．

Prop 2.7. 適合な実数値確率過程 ξ = ξtt∈Tは，すべての t ∈ T, ω ∈ Ωに対し，ξt(ω) > 0

を満たすとする．市場モデル ξS = ξtStt∈Tに対するセルフファイナンシングな投資戦略の全体をSsf(ξ) と書く．このとき，θ ∈ S が θ ∈ Ssfとなるための必要十分条件は θ ∈ Ssf(ξ)

となることである．

Proof. Prop 2.6により，

θ ∈ Ssfiff⇐⇒ ∆θt·St−1 = 0, 1 ≤ t ≤ T

iff⇐⇒ ∆θt·ξt−1St−1 = 0, 1 ≤ t ≤ Tiff⇐⇒ θ ∈ Ssf(ξ).

4

Rem 2.8. ξSは，証券1

ξ=

1

ξt

t∈Tを基本財として，割引率 ξにより割り引かれた市場モ

デルである．補題は，セルフファイナンシングという概念が割引率 ξ，すなわち基本財に依

存しないことを述べている．

Def 2.9. S = βS = βtStt∈Tとおき，割り引かれた市場モデル (discounted market model)

という．

Prop 2.10. θ ∈ S に対し，次は同値である．

(i) θ ∈ Ssf.

(ii) θt+1 · St = θt · St, 0 ≤ t < T .

(iii) V t(θ) = V0(θ) +Gt(θ), t ∈ T．ただし，

V t(θ) = βtVt(θ), Gt(θ) =t∑

s=1

θs ·∆Ss

と定義する．

(iv) ∆θt · St−1 = 0, 1 ≤ t ≤ T .

Proof. Prop 2.7より，(i)と (ii)の同値性を得る．V t(θ) = θt · St となることに注意して，

Prop 2.6を市場モデル Sに適用すれば，(ii)∼(iv)の同値性を得る．

この同値性を用いると，セルフファイナンシングとなる投資戦略を次のように構成できる．

Prop 2.11. (θ1, . . . , θd) ∈ Pd，a ∈ Rとする．このとき，θ0 = θ0t t∈T ∈ P1が存在し，

θ = (θ0, θ1, . . . , θd) = θt = (θ0t , θ1t , . . . , θ

dt )t∈T ∈ Ssfであり，さらに V0(θ) = aとなる．

Proof. Prop 2.10より，θ0を

θt+1 · St = θt · St, 0 ≤ t < T

を満たすように構成できればよい．S0

t = 1に注意して，内積を成分表示すれば，これより，

θ0t+1 = θ0t +d∑

i=1

θitSi

t −d∑

i=1

θit+1Si

t, 0 ≤ t < T (∗)

が得られる．すなわち，θ0t が定まれば，この関係式により帰納的に θ0t+1が定まる．

V0(θ) = aという条件を解けば，

θ00 = a−d∑

i=1

θi0Si0

となる．この θ00をもとに，(∗)により，求める θ0が構成できる．

5

2.3. 裁定機会

Def 2.12. (i) θ ∈ Ssfが許容投資戦略 (admissible)であるとは，

Vt(θ) ≥ 0, t ∈ T

が成り立つことをいう．

許容投資戦略の全体をSadと表す．

(ii) θ ∈ Sadが，さらに

V0(θ) = 0, P(VT (θ) > 0) > 0

を満たすとき，裁定機会 (arbitrage opportunity)であるという．

裁定機会の全体をSarbと表す．

(iii) 裁定機会が存在しない，すなわち，Sarb = ∅となるとき，市場モデルは無裁定 (no

arbitrage)であるという．

Prop 2.13. (i) Sarb = ∅とする．このとき，θ ∈ Sadが V0(θ) = 0を満たせば，VT (θ) = 0

である．

(ii) V0(θ) = 0, VT (θ) ≥ 0,P(VT (θ) > 0) > 0を満たす θ ∈ Ssfが存在すれば，Sarb = ∅，すなわち裁定機会が存在する．

(iii) VT (θ) = VT (ϕ)かつ P(Vt(θ) = Vt(ϕ)) > 0 (∃t ∈ T)となる θ, ϕ ∈ Ssfが存在すれば，

Sarb = ∅，すなわち裁定機会が存在する．Proof. (i) 定義より明らかである．

(ii) θ ∈ Ssfは，V0(θ) = 0, VT (θ) ≥ 0,P(VT (θ) > 0) > 0を満たすと仮定する．

P(Vt(θ) < 0) > 0となる t ∈ Tが存在しなければ，Vt(θ) ≥ 0, t ∈ Tとなり，θが裁定機会となる．

P(Vt(θ) < 0) > 0となる t ∈ Tが存在すると仮定する．

t0 = maxt |P(Vt(θ) < 0) > 0

とおく．仮定と t0の定義より

1 ≤ t0 < T, θt · St = Vt(θ) ≥ 0, t > t0 (2.1)

である．

A = ω |Vt0(θ)(ω) < 0

とおく．Rd+1-値確率過程 ϕ = ϕt = (ϕ0t , . . . , ϕ

dt )t∈Tを，ω ∈ Ωに対し，

ϕ0t (ω) =

0, t ≤ t0,

1A(ω)θ0t (ω)− θt0(ω) · St0(ω), t0 < t ≤ T,

ϕit(ω) =

0, t ≤ t0,

1A(ω)θit(ω), t0 < t ≤ T,

1 ≤ i ≤ d

6

と定義する．ただし，1A(ω) = 1 (ω ∈ A), = 0 (ω /∈ A)である．定義より明らかに ϕは可予

測であり，ϕ ∈ S である．

定義より，

∆ϕt =

0, t ≤ t0,

1A∆θt, t > t0 + 1

となる．θ ∈ Ssfであるから，

t = t0 + 1 =⇒ ∆ϕt · St−1 = 0 (2.2)

となる．

∆ϕ0t0+1 = ϕ0

t0+1 = 1Aθ0t0+1 − θt0 · St0, ∆ϕit0+1 = ϕi

t0+1 = 1Aθit0+1

であるから，再び θ ∈ Ssfであることにより，

∆ϕt0+1 · St0 = 1A

(θ0t0+1 − θt0 · St0+

d∑i=1

θit0+1Si

t0

)= 1A

(θt0+1 · St0 − θt0 · St0

)= 0

となる．以上より，ϕ ∈ Ssfとなる．

t ≤ t0ならば，Vt(ϕ) = 0である．t > t0ならば，

Vt(ϕ) = ϕt · St = 1A

(θ0t − θt0 · St0S0

t +d∑

i=1

θitSit

)= 1A

(θt · St − (θt0 · St0)βt0S

0t

)となる．(2.1)より，θt ·St ≥ 0である．さらに，定義より，ω ∈ Aならば，θt0(ω) ·St0(ω) < 0

である．したがって，t0 < t ≤ T なる tに対し，

Vt(ϕ) ≥ 0, P(Vt(ϕ) > 0) ≥ P(A) > 0

となる．よって，ϕ ∈ Sadであり，この ϕが裁定機会となる．

(iii) t1 = mint ∈ T |P(Vt(θ) = Vt(ϕ)) > 0とおく．まず，t1 = 0と仮定する．F0 = ∅,Ωにより，F0-可測な V0(θ − ϕ)は定数である．これ

を，v0とおけば，仮定より v0 > 0となる．定数投資戦略 η ∈ Ssfを

η0t = v0, ηit = 0, t ∈ T, i = 1, . . . , d

と定める．ψ ∈ Ssfを ψ = ϕ− θ + η，すなわち

ψit = ϕi

t − θit + ηit, t ∈ T, i = 0, . . . , d

と定義する．このとき，

V0(ψ) = V0(ϕ− θ) + v0 = 0, VT (ψ) = VT (ϕ− θ) + VT (η) = v0S0T > 0

となる．ψは (ii)の条件を満たすから，Sarb = ∅となる．

7

つぎに，t1 > 0とする．VT (θ) = VT (ϕ)なので，0 < t1 < T である．

B = ω ∈ Ω |Vt1(θ) > Vt1(ϕ)

とおく．一般性を失うことなく，P(B) > 0としてよい．ψ = ψt = (ψ0t , . . . , ψ

dt )t∈T ∈ S

を，ω ∈ Ωに対し，ψ0t (ω) =

θ0t (ω)− ϕ0

t (ω), t ≤ t1,

1B(ω)V t1(θ)(ω)− V t1(ϕ)(ω)+ 1Bc(ω)θ0t (ω)− ϕ0t (ω), t1 < t ≤ T,

ψit(ω) =

θit(ω)− ϕi

t(ω), t ≤ t1,

1Bc(ω)θit(ω)− ϕit(ω), t1 < t ≤ T,

1 ≤ i ≤ d

と定義する．

∆ψt =

∆θt −∆ϕt, t ≤ t1,

1Bc∆θt −∆ϕt, t > t1 + 1,

であるから，t = t1 + 1ならば∆ψt · St−1 = 0 となる．さらに，

∆ψt1+1 · St1 = (ψ0t1+1 − ψ0

t1)S0

t1+

d∑i=1

(ψit1+1 − ψi

t1)Si

t1

= 1BVt1(θ)− Vt1(ϕ) − 1Bθt1 − ϕt1 · St1

+ 1Bc∆θt1+1 −∆ϕt1+1 · St1

= 0

となる．以上より，ψ ∈ Ssfを得る．

ψの満期時の価値は

VT (ψ) = 1BV t1(θ)− V t1(ϕ)S0T + 1BcVT (θ)− VT (ϕ)

= 1BV t1(θ)− V t1(ϕ)S0T

となるから，VT (ψ) ≥ 0であり，さらにP(VT (ψ) > 0) > 0となる．

以上より，ψは (ii)の条件を満たす．よって，裁定機会が存在し，Sarb = ∅である．

2.4. 複製

Def 2.14. (i) F : Ω → Rを金融派生商品 (derivative)という．

(ii) 金融派生商品 F に対し，VT (θ) = F を満たす θ ∈ Ssf を，F を複製 (ヘッジ)する

(duplcating)投資戦略という．

Rem 2.15. 金融派生商品F の売り手は，満期時 T にF を支払う義務を負う．このため，投

資戦略 θにより資金運用をし，Fという資産を調達する．すなわち，Fを複製する (VT (θ) = F

となる)投資戦略 θによる資金運用を行う．

8

Prop 2.13(iii)より，次の主張が従う．

Prop 2.16. Sarb = ∅とする．もし，θ, ϕ ∈ Ssfが，ともに金融派生商品 F を複製すれば，

Vt(θ) = Vt(ϕ), ∀t ∈ T

となる．

Rem 2.17. Prop 2.16は「一物一価の原理」を意味している．とくに，θを金融派生商品 F

を複製する投資戦略とすれば，

無裁定な市場では，時刻 tでの F の価値はVt(θ)である

という無裁定価格理論が成り立つ．

9

3. 期待値と条件付き期待値

Def 3.1 (期待値). (i) 確率変数X : Ω → Rの期待値E[X]を

E[X] =N∑

α=1

X(ωα)pα

と定義する．ただし，Ω = ω1, . . . , ωN, pα = P(ωα)である．

(ii) A ∈ F に対し，

E[X;A] = E[X1A]

とおく．

Rem 3.2. X(ω) |ω ∈ Ω = x1 < · · · < xmとおけば，

E[X] =m∑j=1

xjP(X = xj) (3.1)

とも表現できる．

Def 3.3. 確率変数X1, X2, . . . , Xnが独立であるとは，任意の x1, . . . , xn ∈ Rに対し，

P

( n∩i=1

Xi = xi)

=n∏

i=1

P(Xi = xi

)が成り立つことをいう．

Prop 3.4. X,Y は確率変数，a, b ∈ Rとする．

(i) E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ].

(ii) X ≥ Y ならば，E[X] ≥ E[Y ].

(iii) p ≥ 1に対し，∣∣E[X]

∣∣p ≤ E[|X|p].

(iv) X,Y が独立ならば，E[XY ] = E[X]E[Y ].

Proof. (i) 定義より，

E[aX + bY ] =N∑

α=1

(aX + bY )(ωα)pα =N∑

α=1

aX(ωα) + bY (ωα)pα

= a

N∑α=1

X(ωα)pα + b

N∑α=1

Y (ωα)pα = aE[X] + bE[Y ]

となる．

(ii) X(ωα) ≥ Y (ωα) (∀α)であるから，定義より，

E[X] =N∑

α=1

X(ωα)pα ≥N∑

α=1

Y (ωα)pα = E[Y ]

10

となる．

(iii) x 7→ |x|p凸であるから，∑m

k=1 λk = 1なる λk ≥ 0と x1, . . . , xm ∈ Rに対し，∣∣∣∣ m∑k=1

λkxk

∣∣∣∣p ≤ m∑k=1

λk|xk|p

という関係式を満たす．∑N

α=1 pα = 1であるから，m = N，λk = pk，xk = X(ωk)としてこ

の関係式を適用すれば，

|E[X]|p =∣∣∣∣ N∑α=1

X(ωα)pα

∣∣∣∣p ≤ N∑α=1

|X(ωα)|ppα = E[|X|p]

となる．

(iv) X(ω) |ω ∈ Ω = x1 < · · · < xm, Y (ω) |ω ∈ Ω = y1 < · · · < ynとおく．(3.1)に

より，独立性と合わせて

E[XY ] =m∑i=1

n∑j=1

E[XY ; X = xi ∩ Y = yj]

=m∑i=1

n∑j=1

xiyjP(X = xi ∩ Y = yj)

=m∑i=1

n∑j=1

xiyjP(X = xi)P(Y = yj)

=

( m∑i=1

xiP(X = xi))( n∑

j=1

yjP(Y = yj))

= E[X]E[Y ]

となる．

条件付き期待値を次の命題を用いて定義する．

Prop 3.5. G ⊂ F を加法族とし，X を確率変数とする．次を満たす G -可測な (すなわち

Y ≤ a ∈ G ,∀a ∈ Rを満たす)Y : Ω → Rが唯一存在する．

E[X;A] = E[Y ;A], ∀A ∈ G . (3.2)

Def 3.6 (条件付き期待値). 上の Y を E[X |G ]と書き，X の G に関する条件付き期待値

(conditional expectation)という．

証明のために補題を準備する．

Lemma 3.7. G ⊂ F を加法族とする．

(i) 次の性質を持つA1, . . . , An = ∅,∈ G が存在する:

(a) A1, . . . , Anは互いに交わらない，すなわち，i = jならば，Ai ∩ Aj = ∅，

(b) A ∈ G ならば，1 ≤ i1 < · · · < im ≤ nが存在し，A =∪m

k=1Aik と表現できる．

11

(ii) A1, . . . , An ∈ G を (i)の通りとする．確率変数 Y が G -可測であるための必要十分条件

は，y1, . . . , yn ∈ Rが存在し，次が成り立つことである．

Y =n∑

i=1

yi1Ai. (3.3)

Proof. (i) G \ ∅にA ⊂ Bという包含関係により順序を導入する．この順序に関する極

小元 A1, . . . , Anが求める性質を持つ．(ii) Y はG -可測であるとする．ωki ∈ Aiを採り，yi = Y (ωki)とおく．ωki ∈ Y = yi ∈ G で

あるから，(i)(b)より，Ai ⊂ Y = yiとなる．∪n

i=1Ai = Ωであり，A1, . . . , Anが互いに排

反であるから，(3.3)が成り立つ．逆は，明らかである．

Def 3.8. 上のA1, . . . , Anを G の生成元と呼ぶ．

Proof of Prop 3.5 A1, . . . , Anを G の生成元とし，

Y =n∑

i=1

E[X;Ai]

P(Ai)1Ai

(3.4)

とおく．Y は G -可測である．

A ∈ G とする．Lem3.7(i)(b)により，A =∪m

k=1Aik と表すと，

E[Y ;A] =n∑

i=1

m∑k=1

E[X;Ai]

P(Ai)E[1Ai

;Aik ] =m∑k=1

E[X;Aik ]

P(Aik)P(Aik)

= E

[X

( m∑k=1

1Aik

)]= E[X1A] = E[X;A]

を得る．すなわち，(3.2)が成り立つ．

G -可測な Y が (3.2)を満たしたとする．Lem3.7より，

Y =n∑

i=1

yi1Ai

と表現できる．(3.2)で，A = Aiとすれば，

E[X;Ai] = yiP(Ai)

となる．これより，(3.4)の表示を得る．すなわち，一意性が示された．

この証明より，

E[X |G ] =n∑

i=1

E[X;Ai]

P(Ai)1Ai

(3.5)

となる．

Prop 3.9. X,Y は確率変数，a, b ∈ Rとする．

12

(i) E[aX + bY |G ] = aE[X |G ] + bE[Y |G ].

(ii) X ≥ Y ならば，E[X |G ] ≥ E[Y |G ].

(iii) p ≥ 1に対し，|E[X |G ]|p ≤ E[|X|p |G ].

(iv) X と G が独立ならば，すなわち，任意の A ∈ G に対し，X と 1A が独立ならば，

E[X |G ] = E[X].

(v) H ⊂ G も加法族ならば，E[E[X |G ] |H ] = E[X |H ].

(vi) Y が G -可測であれば，E[Y X |G ] = YE[X |G ].

(vii) E[X |G ]は次の意味で最良の推定である

E[(X − E[X |G ])2] = minE[(X − Y )2] |Y は G -可測である .

Proof. (i) 期待値の線形性 (Prop 3.4(i))により，

E[aX + bY ;Ai] = aE[X;Ai] + bE[Y ;Ai], 1 ≤ i ≤ n

である．(3.5)とあわせると

E[aX + bY |G ] =n∑

i=1

E[aX + bY ;Ai]

P(Ai)1Ai

= a

n∑i=1

E[X;Ai]

P(Ai)1Ai

+ b

n∑i=1

E[Y ;Ai]

P(Ai)1Ai

= aE[X |G ] + bE[Y |G ]

となる．

(ii) 期待値の正値性 (Prop 3.4(ii))により，

E[X;Ai] ≥ E[Y ;Ai], 1 ≤ i ≤ n

である．(3.5)とあわせると

E[X |G ] =n∑

i=1

E[X;Ai]

P(Ai)1Ai

≥n∑

i=1

E[Y ;Ai]

P(Ai)1Ai

= E[Y |G ]

となる．

(iii) 互いに異なる x1, . . . , xm ∈ Rを X(ω1), . . . , X(ωN) = x1, . . . , xmと定義する．Bk =

X = xkとおけば

X =m∑k=1

xk1Bk, |X|p =

m∑k=1

|xk|p1Bk

である．∑m

k=1 1Bk= 1であるから，

m∑k=1

E[1Bk|G ] = 1

13

となる．| · |pの凸性により，

|E[X |G ]|p =∣∣∣∣E[ m∑

k=1

xk1Bk

∣∣∣∣G ]∣∣∣∣p = ∣∣∣∣ m∑k=1

xkE[1Bk|G ]

∣∣∣∣p≤

m∑k=1

|xk|pE[1Bk|G ] = E

[ m∑k=1

|xk|p1Bk

∣∣∣∣G ] = E[|X|p |G ]

となる．

(iv) Prop 3.4(iv)と期待値の線形性より

E[X;A] = E[X1A] = E[X]E[1A] = E[E[X]1A] = E[E[X];A]

となる．Prop 3.5の一意性より，E[X |G ] = E[X]となる．

(v) A ∈ H とする．A ∈ G でもあるから，(3.2)より，

E[E[E[X |G ] |H ];A] = E[E[X |G ];A] = E[X;A]

となる．Prop 3.5の一意性より，E[E[X |G ] |H ] = E[X |H ]となる．

(vi) A1, . . . , AnをG の生成元とし，Y =∑n

i=1 yi1Aiと表現する．A ∈ G とする．(3.2)により

E[Y X;A] = E

[( n∑i=1

yi1Ai

)X1A

]=

n∑i=1

yiE[X;Ai ∩ A]

=n∑

i=1

yiE[E[X |G ];Ai ∩ A] = E[YE[X |G ];A]

となる．Prop 3.5の一意性より，E[Y X |G ] = YE[X |G ]となる．

(vii) G -可測なZに対し，(vi)より

E[(X − E[X |G ])Z] = E[XZ]− E[ZE[X |G ]] = E[XZ]− E[E[ZX |G ]]

= E[XZ]− E[ZX] = 0

となる．よって，Y が G -可測ならば

E[(X − Y )2] = E[(X − E[X |G ]) + (E[X |G ]− Y )2]= E[(X − E[X |G ])2] + 2E[(X − E[X |G ])(E[X |G ]− Y )]

+ E[(E[X |G ]− Y )2]

= E[(X − E[X |G ])2] + E[(E[X |G ]− Y )2]

が成り立つ．したがって，Y = E[X |G ]のときに最小値をとる．

Prop 3.10. G ⊂ F を加法族とし，Y : Ω → Rは G -可測であるとする．g : R2 → RとX : Ω → Rに対し，次が成り立つ．

E[g(X, Y )|G ] = E[g(X, y)|G ]∣∣y=Y

.

14

Proof. A1, . . . , AnをG の生成元とし，Y =∑n

i=1 yi1Aiと表す．

∑ni=1 1Ai

= 1であるから，

E[g(X, Y )|G ] =n∑

i=1

E[g(X, Y )1Ai|G ] =

n∑i=1

E[g(X, yi)1Ai|G ]

=n∑

i=1

E[g(X, yi)|G ]1Ai(∵ Prop 3.9(vi))

=n∑

i=1

E[g(X, yi)|G ]1Ai= E[g(X, y)|G ]

∣∣y=Y

となる．

15

4. マルチンゲール

Def 4.1. 適合な確率過程M = Mtt∈TがPのもとマルチンゲール (martingale)であると

は，0 ≤ t < T に対し，

E[Mt+1 |Ft] =Mt

が成り立つことをいう．=を≤ (≥)に置き換えた条件を満たすとき，優マルチンゲール (su-

permartingale) (劣マルチンゲール (submartingale))という．

Rem 4.2. Prop 3.9(vii)より，マルチンゲールであることは，現在の情報FtでMt+1の推定

を行ったとき，実は現在の値Mtになることをいっている．この意味で「フェア」といえる．

Example 4.3. X1, X2, . . . は独立な確率変数とする．

Ft =

t∩s=1

ω |Xs(ω) ≤ as∣∣∣∣ as ∈ R, s = 1, . . . , t

とおく．

(i) E[Xt] = 0(t ∈ T)とする．M0 = 0,Mt =∑t

s=1Xs, (t ≥ 1)とおけば，M = Mtt∈Tはマルチンゲールである．

(ii) E[Xt] = 1(t ∈ T)とする．M0 = 1,Mt =∏t

s=1Xs, (t ≥ 1)とおけば，M = Mtt∈Tはマルチンゲールである．

Prop 4.4. マルチンゲール Mtt∈Tが可予測であれば，Mt =M0 (t ∈ T)となる．Proof. 可予測性とマルチンゲール性より得られる

Mt+1 = E[Mt+1 |Ft] =Mt

という等式より従う．

Def 4.5. M = Mtt∈Tを確率過程とし，ϕ = ϕtt∈T ∈ P1とする．ϕ •M = (ϕ •M)tt∈Tを

(ϕ •M)0 = 0, (ϕ •M)t =t∑

s=1

ϕs(Ms −Ms−1), t ≥ 1

と定義する．

M がマルチンゲールのとき，ϕ •M を ϕのM によるマルチンゲール変換と呼ぶ．

Thm 4.6. M = Mtt∈Tを適合な確率過程とする．次は同値である．

(i) M はマルチンゲールである．

(ii) 任意の ϕ ∈ P1に対し，E[(ϕ •M)T ] = 0が成り立つ．

16

Proof. (i) ⇒ (ii) ϕt+1,MtはともにFt-可測であるから，

E[(ϕ •M)t+1 |Ft]− (ϕ •M)t

= E[(ϕ •M)t+1 − (ϕ •M)t |Ft] = E[ϕt+1(Mt+1 −Mt) |Ft]

= ϕt+1E[(Mt+1 −Mt) |Ft] = ϕt+1

(E[Mt+1 |Ft]−Mt

)= 0

となるから，ϕ •M はマルチンゲールである．とくに，

E[(ϕ •M)T ] = E[(ϕ •M)0] = 0.

(ii) ⇒ (i) t < T とし，A ∈ Ftを任意に固定する．

ϕs =

1A, s = t+ 1,

0, s = t+ 1

とおく．ϕ = ϕtt∈Tは可予測である．(ϕ •M)t+1 = (ϕ •M)T であるから，仮定より

E[(ϕ •M)t+1] = E[(ϕ •M)T ] = 0

となる．

(ϕ •M)t+1 = 1A(Mt+1 −Mt)

なので

E[Mt+1 −Mt;A] = 0

を得る．A ∈ Ftの任意性より，

E[Mt+1 |Ft] =Mt

となり，M はマルチンゲールである．

17

5. 同値マルチンゲール測度

Def 5.1. 確率測度Q : F → [0, 1]が同値マルチンゲール測度 (equivalent martingale mea-

sure)であるとは，次の 2条件が満たされることをいう．

(i) Q(ωα) > 0 (∀α = 1, . . . , N)

(ii) Si

tt∈T = βtSitt∈T (1 ≤ i ≤ d)はすべてQのもとマルチンゲールとなる．

同値マルチンゲール測度の全体を EMM とおく．

5.1. 無裁定

Thm 5.2. (i) θ ∈ Ssfとする．V t(θ)t∈Tは，同値マルチンゲール測度Qの下マルチン

ゲールとなる．

(ii) EMM = ∅ならば，Sarb = ∅，すなわち無裁定である．Proof. (i) Prop 2.10より，

V t(θ) = V0(θ) +d∑

i=1

(θi • Si)t, t ∈ T

となる．同値マルチンゲール測度Qのもと，Siはマルチンゲールであるから，Thm4.6の証

明より，θi • Siはマルチンゲールである．よって，V (θ)はマルチンゲールとなる．

(ii) θ ∈ Sad, V0(θ) = 0とする．Vt(θ) ≥ 0 (t ∈ T)である．(i)でみたマルチンゲール性より，

EQ[V T (θ)] = EQ[V 0(θ)] = 0 (∗)

となる．ただし，EQはQに関する期待値を表す．

EQ[V T (θ)] =d∑

α=1

(V T (θ))(ωα)Q(ωα)

であるから，V T (θ)(ωα) ≥ 0,Q(ωα) > 0 (1 ≤ α ≤ N)および (∗)と合わせて (V T (θ))(ωα) =

0 (∀α)，すなわち，V T (θ) = 0を得る．よって，VT (θ) = 0となる．したがって，裁定機会は

存在しない．

5.2. 価格公式

Thm 5.3. Qは同値マルチンゲール測度とし，金融派生商品F : Ω → Rは θ ∈ Ssfにより複

製されているとする．このとき，

Vt(θ) = S0tEQ[βTF |Ft], t ∈ T

が成り立つ．

18

Proof. V (θ)はQの下マルチンゲールであり，VT (θ) = F であるから，

Vt(θ) = S0t V t(θ) = S0

tEQ[V T (θ)|Ft] = S0tEQ[βTVT (θ)|Ft] = S0

tEQ[βTF |Ft], t ∈ T

となる．

Rem 5.4. 同値マルチンゲール測度が存在するから，市場は無裁定である．Rem2.17で見

たように，無裁定価格理論により，F の時刻 tにおける価値は Vt(θ)となる．この表示には

θという戦略が必要となるが，上の定理は条件付き期待値を用いれば，戦略を用いることな

く，F のみから価値 Vt(θ)を表記できることを示している．

Def 5.5. 金融派生商品 F に対し，

πb(F ) = supy ∈ R |V0(θ) = −y, VT (θ) + F ≥ 0(∃θ ∈ Ssf)πs(F ) = infz ∈ R |V0(ψ) = z, VT (ψ)− F ≥ 0(∃ψ ∈ Ssf)

とおく．前者を買い手のつける価格，後者を売り手のつける価格と呼ぶ．

Rem 5.6. 買い手は F を yで購入する．これが初期資産となり，θ ∈ Ssfで資産運用し，満

期時にF という支払いを受けることと合わせて，資産額は VT (θ) +F となる．買い手は，こ

の値が非負であることを望む．その制約の下で買い手の容認できる最大購入金額が πb(F )で

ある．

逆に，売り手は F を zで売却する．これが初期資産となり，ψ ∈ Ssfで資産運用し，満期

時にF という支払いをすることと合わせて，資産額は VT (ψ)−F となる．売り手は，この値

が非負であることを望む．その制約の下で売り手が容認できる最小売却金額が πs(F )である．

Thm 5.7. Qを同値マルチンゲールとする．このとき，次が成り立つ．

πb(F ) ≤ EQ[βTF ] ≤ πs(F ).

F が複製可能であれば，すべて等号となる; πb(F ) = πs(F ) = EQ[βTF ]．

Proof. y ∈ R, θ ∈ Ssfは

V0(θ) = −y, VT (θ) + F ≥ 0

を満たすとする．V (θ)はQの下マルチンゲールであるから，

−y = EQ[V T (θ)]

となる．VT (θ) ≥ −F であることに注意すれば，

−y ≥ EQ[−βTF ]

を得る．したがって，y ≤ EQ[βTF ]である．

z ∈ R, ψ ∈ Ssfが

V0(ψ) = z, VT (ψ)− F ≥ 0

を満たせば，

EQ[βTF ] ≤ z

19

となることも同様にして証明できる．

F が ϕ ∈ Ssfにより，複製できる，すなわち

F = VT (ϕ)

が成り立つと仮定する．これより，VT (ϕ)− F = 0 ≥ 0であり，さらに

V0(ϕ) = V 0(ϕ) = EQ[V T (ϕ)] = EQ[βTF ]

であるから，πs(F ) ≤ EQ[βTF ]となる．先の結果と合わせると πs(F ) = EQ[βTF ]である．

VT (−ϕ)+F = 0 ≥ 0が成り立ち，V0(−ϕ) = −EQ[βTF ]であるから，πb(F ) ≥ EQ[βTF ]と

なる．先の結果と合わせると，πb(F ) = EQ[βTF ]である．

Rem 5.8. 定理より，F が複製可能であれば，πs(F ) = πb(F ) = EQ[βTF ]が成り立つ．これ

は，買い手と売り手の歩み寄りにより，EQ[βTF ]という価格が得られることを示している．

さらに，これは，無裁定価格理論による価値

V0(ϕ) = V 0(ϕ) = EQ[βTF ]

と一致している．

Def 5.9. 任意の金融派生商品 F が複製可能であるとき，市場は完備である (complete)と

いう．

上の定理より，同値マルチンゲール測度が存在する完備な市場においては，金融派生商品

F の価格はEQ[βTF ]となる．

Thm 5.10. 市場が完備ならば，#EMM ≤ 1，すなわち同値マルチンゲール測度は高々一つ

しか存在しない．

Proof. Q,Rを同値マルチンゲール測度とする．1 ≤ α ≤ Nを任意に固定し，F = S0T1ωα

とおく．F は θ ∈ Ssfにより複製されるとする．βTF = 1ωαであるから，V (θ)のQ,Rの

下でのマルチンゲール性より

Q(ωα) = EQ[βTF ] = EQ[V T (θ)] = V 0(θ) = ER[V T (θ)] = ER[βTF ] = R(ωα)

となる．よって，Q = Rである．

20

6. 数理ファイナンスの第1基本定理

Thm 6.1 (数理ファイナンスの第 1基本定理). 次は同値である．

(i) Sarb = ∅ (市場は無裁定である)．

(ii) EMM = ∅ (同値マルチンゲール測度が存在する)．

定理の証明のための準備を行なう．

Def 6.2. ϕ ∈ Pdに対し，

Γt(ϕ) =d∑

i=1

(ϕi • Si)t =

d∑i=1

t∑s=1

ϕis ∆S

i

s

と定義する．

Lemma 6.3. 任意の ϕ ∈ Pd, a ∈ Rに対し，θ ∈ Ssfが存在し，

V t(θ) = a+ Γt(ϕ), t ∈ T

が成り立つ．

Proof. ∆S0

t = 0に注意し，Prop 2.10と Prop 2.11を適用すればよい．

Proof of Thm6.1. (ii)⇒(i)は既知である (Thm5.2)．(i)⇒(ii)を示す．

確率変数XとN 次元ベクトル (X(ω1), . . . , X(ωN)) ∈ RN と同一視し，確率変数の全体の

空間をRN と同一視する．C ,K ,L ⊂ RN を

C = X |X(ωα) ≥ 0 (∀α = 1, . . . , N), X(ωβ) > 0 (∃β)K = X ∈ C |E[X] = 1L = ΓT (ϕ) |ϕ ∈ Pd

と定義する．

ϕ ∈ Pdに対し，Lem6.3を a = 0として適用すれば，θ ∈ Ssfが存在し，VT (θ) = S0TΓT (ϕ)

が成り立つ．もし，ΓT (ϕ) ∈ C ならば，VT (θ) ∈ C となり，Prop 2.13により，Sarb = ∅である．したがって，仮定より，ΓT (ϕ) /∈ C である．すなわち，C ∩ L = ∅となる．とくに，

K ∩ L = ∅

が成り立つ．

K はコンパクトな凸集合であり，L は線形空間であるから，超平面分離定理 (後述Thm6.4)

により，a = (a1, . . . , aN) ∈ RN が存在し，線形写像 f : RN → Rを

f(ξ) = a · ξ =N∑

α=1

aαξα, ξ = (ξ1, . . . , ξN) ∈ RN

21

と定義すれば

f(ξ)

> 0, ξ ∈ K ,

= 0, ξ ∈ L

が成り立つ．

pα = P(ωα)とおく．Xα = 1pα1ωαとすると，Xα ∈ K である．よって，

aαpα

= f(Xα) > 0

となる．とくに，

aα > 0, 1 ≤ α ≤ N

である．

qα =aαA, ただし， A =

N∑α=1

aα

とおく．

qα > 0, 1 ≤ α ≤ N, かつ

N∑α=1

qα = 1

である．確率測度Qを

Q(ωα) = qα, α = 1, . . . , N

と定義する．

EQ[X] =N∑

α=1

qαX(ωα) =1

Af(X)

が成り立つので，ϕ ∈ Pdに対し，

EQ[ΓT (ϕ)] =1

Af(ΓT (ϕ)) = 0

となる．

ψ = ψtt∈T ∈ Pとする．ϕ ∈ Pdとして，とくに ϕt = (0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸i−1

, ψt, 0, . . . , 0) と第 i成分

のみをもつものをとれば，上式より

EQ[(ψ • Si)T ] = 0

となる．Thm4.6により，Si(1 ≤ i ≤ d)はすべてQの下マルチンゲールとなる．よって，

Q ∈ EMM である．

22

Thm 6.4. L をRN の線形部分空間，K ⊂ RN をコンパクトな凸集合とする．L ∩K = ∅と仮定する．このとき，a = (a1, . . . , aN) ∈ RN が存在し，

f(ξ) = a · ξ =N∑

α=1

aαξα, ξ = (ξ1, . . . , ξN) ∈ RN

とおけば，

f(ξ)

> 0, ξ ∈ K ,

= 0, ξ ∈ L

が成り立つ．

23

7. 数理ファイナンスの第2基本定理

Thm 7.1 (数理ファイナンスの第 2基本定理). Sarb = ∅，市場は無裁定であると仮定する．このとき，次は同値である．

(i) 市場は完備である．

(ii) #EMM = 1．

Proof. (i)⇒(ii) Thm6.1と無裁定という仮定より，EMM = ∅である．さらに，Thm5.10

より，#EMM ≤ 1である．したがって，#EMM = 1となる．

(ii)⇒(i) 市場は完備でない，すなわち複製できない金融派生商品 F が存在すると仮定し，

#EMM ≥ 2となることを証明する．

確率変数XとN 次元ベクトル (X(ω1), . . . , X(ωN))と同一視し，確率変数の全体の空間を

RNと同一視する．市場は無裁定であるから，Thm6.1により，EMM = ∅である．Q ∈ EMM

とし，qα = Q(ωα) (1 ≤ α ≤ N)とおく．

qα > 0, 1 ≤ α ≤ N,

N∑α=1

qα = 1

である．RN に内積 ⟨·, ·⟩Qを

⟨X,Y ⟩Q =N∑

α=1

qαX(ωα)Y (ωα) = EQ[XY ]

と定義する．

L ⊂ RN を

L = c+ ΓT (ϕ) | c ∈ R, ϕ ∈ Pd=(c+ ΓT (ϕ)(ω1), . . . , c+ ΓT (ϕ)(ωN)

)∈ RN | c ∈ R, ϕ ∈ Pd

とおく．F は複製できないから，Lem6.3により，βTF /∈ L となる．したがって，⟨·, ·⟩Qに関するL の直交補空間をL ⊥とおけば，L ⊥ = 0である．Z ∈ L ⊥ \ 0とする．

rα = 1 +Z(ωα)

2M, q′α = rαqα, ただし，M = max|Z(ωβ)| | 1 ≤ β ≤ N

とおく．rα ≥ 12であるから，

q′α > 0

である．1 = (1, . . . , 1) ∈ RN とすれば，1 ∈ L である (c = 1，ϕ = (0, . . . , 0)に対応する)．

よって，Z ∈ L ⊥により，⟨1, Z⟩Q = 0であるから，

N∑α=1

q′α =N∑

α=1

qα +N∑

α=1

qαZ(ωα)

2M= 1 +

1

2M⟨1, Z⟩Q = 1

24

となる．したがって

Q′(ωα) = q′α

とおけば，Q′は確率である．

Z = 0であるから，Z(ωβ) = 0となる 1 ≤ β ≤ N が存在する．このとき，rβ = 1となるか

ら，q′β = qβである．よって

Q′ = Q (∗)

となる．

ϕ ∈ Pdとする．Q ∈ EMM であるから，Thm4.6により，EQ[ΓT (ϕ)] = 0である．さら

に，ΓT (ϕ) ∈ L なので，⟨ΓT (ϕ), Z⟩Q = 0である．よって，

EQ′ [ΓT (ϕ)] =N∑

α=1

q′α[ΓT (ϕ)](ωα) =N∑

α=1

qα[ΓT (ϕ)](ωα) +N∑

α=1

qα[ΓT (ϕ)](ωα)Z(ωα)

2M

= EQ[ΓT (ϕ)] +1

2M⟨ΓT (ϕ), Z⟩Q = 0 + 0 = 0

となる．再び，Thm6.1の証明の最後と同様に，これとThm4.6により，Si(1 ≤ i ≤ d)はすべ

てQ′の下マルチンゲールとなる．よって，Q′ ∈ EMM である．(∗)とあわせて，#EMM ≥ 2

となる．

25

8. CRR(Cox-Ross-Rubinstein)モデル

本節では，以下の様な設定で考察を行う．

• T ∈ N，T = 0, 1, . . . , T，s0 > 0，r > 0，b > a > −1, 0 < p < 1

• Ω = ω = (ε1, . . . , εT ) | εt ∈ 1 + a, 1 + b, 1 ≤ t ≤ T

• S0t (ω) = (1 + r)t (t ∈ T)

• Rt(ω) = εt，1 ≤ t ≤ T， S1t (ω) =

s0, t = 0,

s0t∏

s=1

Rs(ω), 1 ≤ t ≤ T

• P(ω) = p#t |Rt(ω)=1+b(1− p)#t |Rt(ω)=1+a, ω ∈ Ω

• F0 = ∅,Ω，Ft = ω |S11 ∈ A1, . . . , S

1t ∈ At |A1, . . . , At ⊂ 1+ a, 1+ b (1 ≤ t ≤

T )

これをCRR(Cox-Ross-Rubinstein)モデルという．

8.1. 無裁定と完備

Thm 8.1. (i) EMM = ∅ならば，a < r < b．

(ii) a < r < bと仮定する．q =r − a

b− aとおく．

Q(ω) = q#t |Rt(ω)=1+b(1− q)#t |Rt(ω)=1+a

とおけば，Q ∈ EMM である．

逆に，Q ∈ EMM であれば，Qは上の表示を持つ．

(iii) a < r < bならば，CRRモデルは無裁定かつ完備である．

Proof. (i) θ0t = −s0, θ1t = 1 (0 ≤ t ≤ T )とする．このとき，

V0(θ) = 0, Vt(θ) = −s0(1 + r)t + s0

t∏s=1

Rs

である．

r ≤ aとする．1 + r ≤ 1 + aであるから，Rt ≥ 1 + rとなり，θ ∈ Sadとなる．

P(R1 = · · · = RT = 1 + b) = pT > 0

なので，P(VT (θ) > 0) > 0である．したがって，θ = (θ0, θ1) ∈ Sarbとなり，Sarb = ∅である．

26

b ≤ rならば，Rt ≤ 1 + rであり，

P(R1 = · · · = RT = 1 + a) = (1− p)T > 0

であるので，−θ = (−θ0,−θ1) ∈ Sarbとなる．よって，Sarb = ∅である．したがって，Thm6.1より，r /∈ (a, b)ならば EMM = ∅となる．ゆえに，EMM = ∅なら

ば，r ∈ (a, b)である．

(ii) ε1, . . . , εT ∈ 1 + a, 1 + bとする．Qの定義より，

Q(R1 = ε1, . . . , RT = εT ) = Q((ε1, . . . , εT )) = q#t | εt=1+b(1− q)#t | εt=1+a (∗1)

となる．したがって，

Q(Rt = 1 + b) =∑

εs∈1+a,1+b,s =t

qq#s =t | εs=1+b(1− q)#s =t | εs=1+a = q,

Q(Rt = 1 + a) = 1− q

である．(∗1)と合わせると，

Q(R1 = ε1, . . . , RT = εT ) =T∏t=1

Q(Rt = εt)

となる．よって，R1, . . . , RT は独立となる．

定義より，

S1

t = (1 + r)−ts0

t∏s=1

Rs = (1 + r)−1Rt(1 + r)−(t−1)S1t−1 (∗2)

と表示できる．ゆえにRtとFt−1の独立性に注意すれば，

EQ[S1

t |Ft−1] = (1 + r)−1EQ[Rt]S1

t−1

となる．

EQ[Rt] = (1 + b)q + (1 + a)(1− q) = 1 + (b− a)q + a = 1 + r

であるから，

EQ[S1

t |Ft−1] = S1

t−1

となり，S1

tt∈TはQの下マルチンゲールとなる．すなわち，Q ∈ EMM である．

逆に，Q ∈ EMM とする．S1

tt∈TはQの下マルチンゲールとなることと (∗2)により，

S1

t−1 = EQ[S1

t |Ft−1] = (1 + r)−1EQ[Rt|Ft−1]S1

t−1

が成り立つ．よって

EQ[Rt|Ft−1] = 1 + r (∗3)

27

である．

Rt = (1 + b)1At + (1 + a)(1− 1At), ただし，At = Rt = 1 + b

であるから，(∗3)に代入すれば，

(b− a)EQ[1At|Ft−1] + 1 + a = 1 + r

となる．ゆえに

EQ[1At|Ft−1] = q, EQ[1Act|Ft−1] = EQ[(1− 1At)|Ft−1] = 1− q, (∗4)

となる．これの期待値をとれば，

Q(Rt = 1 + b) = q, Q(Rt = 1 + a) = 1− q (∗5)

である．

ω = (ε1, . . . , εT ) ∈ Ωを固定し，

Bt(ω) =

At, εt = 1 + b,

Act , εt = 1 + a

とおく．(∗4)と (∗5)により，

Q(ω) = Q(R1 = ε1, . . . , RT = εT ) = EQ[1B1(ω) · · ·1BT (ω)]

= EQ[1B1(ω) · · ·1BT−1(ω)EQ[1BT (ω)|FT−1]]

= Q(RT = εT )EQ[1B1(ω) · · ·1BT−1(ω)]

...

=T∏t=1

Q(Rt = εt)

となる．(∗5)を代入し，求めるQの表示を得る．

(iii) Thm6.1，Thm7.1と (ii)から従う．

8.2. ヨーロピアン・コールオプション

本小節では，a < r < bと仮定する．

Def 8.2. K > 0とする．

CT = maxS1T −K, 0

を行使価格 (exercise price)Kのヨーロピアン・コールオプション (European call option)と

いう．

28

Thm 8.3. t ∈ T, x > 0に対し，

v(t, x) = (1 + r)t−T

T−t∑s=0

(T − t

s

)qs(1− q)T−t−smaxx(1 + b)s(1 + a)T−t−s −K, 0

とおく．このとき，CT の時刻 tにおける価値 Vt(CT を θ ∈ Ssfで複製したときの Vt(θ))につ

いて，

Vt = v(t, S1t )

が成り立つ．さらに，

πs(CT ) = πb(CT ) = v(0, s0)

= (1 + r)−T

T∑s=A

(T

s

)qs(1− q)T−s(s0(1 + b)s(1 + a)T−t−s −K)

となる．ただし，A = mins | s0(1 + b)s(1 + a)T−s > Kである．Proof. Q ∈ EMM なので，Thm5.2(i)より，V t = (1 + r)−tVtとすれば，

Vt = (1 + r)tV t = (1 + r)tEQ[V T |Ft] = (1 + r)t−TEQ[CT |Ft]

となる．

EQ[CT |Ft] = EQ

[max

S1t

T∏s=t+1

Rs −K, 0

∣∣∣∣Ft

]

= EQ

[max

x

T∏s=t+1

Rs −K, 0

∣∣∣∣Ft

]∣∣∣∣x=S1

t

(∵ Prop 3.10)

= EQ

[max

x

T∏s=t+1

Rs −K, 0

]∣∣∣∣x=S1

t

(∵ Prop 3.9(iv))

=T−t∑u=0

∑t+1≤s1<···<su≤T

EQ

[max

x

T∏s=t+1

Rs −K, 0

;As1,...,su

]∣∣∣∣x=S1

t(As1,...,su =

Rv = 1 + b (v ∈ s1, . . . , su),Rv = 1 + a (v ∈ t+ 1, . . . , T \ s1, . . . , su)

)

=T−t∑u=0

(T − t

u

)maxx(1 + b)u(1 + a)T−t−u −K, 0

∣∣∣∣x=S1

t

qu(1− q)T−t−u

が成り立つから，主張を得る．

CT を含むより一般の f(S1T )という形をした金融派生商品を複製する θ ∈ Ssfを構成しよ

う．このため記号を導入する．ω = (ε1, . . . , εT ) ∈ Ωと t ≤ T に対し，ω(t)を

ω(t) = (ε1, . . . , εt)

29

とおく．適合な ϕ = ϕtt∈T，可予測なψ = ψtt∈Tについて，ϕtはω(t)の，ψtはω(t−1)の関

数となっている．このことを明示的に，ϕt(ω)ではなく ϕt(ω(t))と，ψt(ω)ではなくψt(ω

(t−1))

と表記する．さらに，

ω(t)a = (ε1, . . . , εt, 1 + a), ω

(t)b = (ε1, . . . , εt, 1 + b)

と定義する．

Thm 8.4. f(S1T )を複製する θ ∈ Ssfは次のようにして帰納的に定まる．(

θ0T (ω(T−1))

θ1T (ω(T−1))

)=

1

b− a

((1 + b)(1 + r)−T −(1 + a)(1 + r)−T

−(S1T−1(ω

(T−1)))−1 (S1T−1(ω

(T−1)))−1

)

×

(f((1 + a)S1

T−1(ω(T−1)))

f((1 + b)S1T−1(ω

(T−1)))

). (8.1)

t < T に対し，(θ0t (ω

(t−1))

θ1t (ω(t−1))

)=

1

b− a

((1 + b)(1 + r)−t −(1 + a)(1 + r)−t

−(S1t−1(ω

(t−1)))−1 (S1t−1(ω

(t−1)))−1

)

×

((1 + r)tθ0t+1(ω

(t−1)a ) + (1 + a)S1

t−1(ω(t−1))θ1t+1(ω

(t−1)a )

(1 + r)tθ0t+1(ω(t−1)b ) + (1 + b)S1

t−1(ω(t−1))θ1t+1(ω

(t−1)b )

). (8.2)

Proof. θ ∈ Ssfは f(S1T )を複製すると仮定する．すなわち，

θ0T (1 + r)T + θ1TS1T = f(S1

T ) (∗)

が成り立つとする．

S1t (ω

(t−1)a ) = (1 + a)S1

t−1(ω(t−1)), S1

t (ω(t−1)b ) = (1 + b)S1

t−1(ω(t−1)), 1 ≤ t ≤ T

であるから，(∗)に ω = ω(T−1)a , ω

(T−1)b を代入すれば(

(1 + r)T (1 + a)S1T−1(ω

(T−1))

(1 + r)T (1 + b)S1T−1(ω

(T−1))

)(θ0T (ω

(T−1))

θ1T (ω(T−1))

)=

(f((1 + a)S1

T−1(ω(T−1)))

f((1 + b)S1T−1(ω

(T−1)))

)

((1 + r)t (1 + a)S1

t−1(ω(t−1))

(1 + r)t (1 + b)S1t−1(ω

(t−1))

)−1

=1

b− a

((1 + b)(1 + r)−t −(1 + a)(1 + r)−t

−(S1t−1(ω

(t−1)))−1 (S1t−1(ω

(t−1)))−1

), 1 ≤ t ≤ T (∗∗)

であるから，(8.1)を得る．

つぎに，t < T とする．セルフファイナンシングであるから，

θ0t (1 + r)t + θ1tS1t = θ0t+1(1 + r)t + θ1t+1S

1t

30

が成り立つ．ω = ω(t−1)a , ω

(t−1)b を代入すれば(

(1 + r)t (1 + a)S1t−1(ω

(t−1))

(1 + r)t (1 + b)S1t−1(ω

(t−1))

)(θ0t (ω

(t−1))

θ1t (ω(t−1))

)

=

((1 + r)tθ0t+1(ω

(t−1)a ) + (1 + a)S1

t−1(ω(t−1))θ1t+1(ω

(t−1)a )

(1 + r)tθ0t+1(ω(t−1)b ) + (1 + b)S1

t−1(ω(t−1))θ1t+1(ω

(t−1)b )

)

が成り立つ．再び，(∗∗)により，(8.2)を得る．

31

9. 3項モデル

本節では，以下の様な設定で考察を行う (3項モデルと呼ぶ)．

• T ∈ N，T = 0, 1, . . . , T，s0 > 0，r > 0，a1 > a2 > a3 > −1，p1, p2, p3 > 0, p1 +

p2 + p3 = 1

• W = 1 + a1, 1 + a2, 1 + a3，Ω = W T = ω = (ε1, . . . , εT ) | εt ∈ W, 1 ≤ t ≤ T

• S0t (ω) = (1 + r)t (t ∈ T)

• Rt(ω) = εt，1 ≤ t ≤ T， S1t (ω) =

s0, t = 0,

s0t∏

s=1

Rs(ω), 1 ≤ t ≤ T

• P(ω) =∏3

i=1 p#t |Rt(ω)=1+aii

• F0 = ∅,Ω，Ft = B ×W T−t |B ⊂ W t (1 ≤ t ≤ T )

CRRモデルと同様に，安全証券，危険証券がそれぞれ一つずつの市場モデルである．し

かし，株価が，CRRモデルでは (1 + a)倍か (1 + b)倍の二通りの変化だけであるのに比べ，

3項モデルでは (1 + a1)倍，(1 + a2)倍，(1 + a3)倍の三通りの変化をする．

9.1. 確率測度の特徴づけ

本小節では，Ω上の確率測度をRtの条件つき期待値を利用して特徴づけることを行う．

特徴づけを述べるために，いくつか準備をする．

Gt = (ε1, . . . , εt) ×W T−t | ε1, . . . , εt ∈ W

とおけば，Lemma3.7の意味で GtはFtを生成する．したがって，この Lemmaにより，X :

Ω → RがFt-可測であるならば，xε1,...,εt ∈ R (ε1, . . . , εt ∈ W )が存在し，

X(ω) =∑

ε1,...,εt∈W

xε1,...,εt1(ε1,...,εt)×WT−t(ω) (ω ∈ Ω)

と表現できる．したがって，X : Ω → Rは (ε1, . . . , εt) ∈ W tの関数と考えてよい．以下，Ft-

可測な関数X については，X(ε1, . . . , εT )ではなく，tまでの εsを代入するX(ε1, . . . , εt)と

いう表記を用いる．

この表記の下，X(ε1, . . . , εt) = xε1,...,εtである．よって，Ft-可測な関数Xの期待値は，

E[X] =∑

ε1,...,εt∈W

X(ε1, . . . , εt)P((ε1, . . . , εt) ×W T−t) (9.1)

となる．

32

Prop 9.1. 非負定数 f δ1 (δ ∈ W )と関数 f δ

t : W t−1 → [0, 1] (δ ∈ W, 2 ≤ t ≤ T )が存在し，∑δ∈W

f δt = 1 (1 ≤ t ≤ T ) (9.2)

をみたすと仮定する．このとき，Q : F → [0,∞)を

Q((ε1, . . . , εT )) =T∏t=1

f εtt (ε1, . . . , εt−1), Q(A) =

∑ω∈A

Q(ω) (9.3)

と定義すれば，Qは確率測度である．さらに，

EQ[1Rt=δ|Ft−1] = f δt (δ ∈ W, 1 ≤ t ≤ T ) (9.4)

が成り立つ．

Proof. 仮定 (9.2)により，

Q(Ω) =∑

ε1,...,εT∈W

T∏t=1

f εtt (ε1, . . . , εt−1)

=∑

ε1,...,εT−1∈W

T−1∏t=1

f εtt (ε1, . . . , εt−1)

(∑εT∈W

f εTT (ε1, . . . , εT−1)

)

=∑

ε1,...,εT−1∈W

T−1∏t=1

f εtt (ε1, . . . , εt−1) = · · · =

∑ε1∈W

f ε11 = 1

となる．したがって，(9.3)で与えられるQは確率測度である．

B ⊂ W t−1, δ ∈ W とする．1Rt=δ1B×WT−t+1はFt-可測であるから，(9.1)により，

E[1Rt=δ;B ×W T−t+1]

= E[1Rt=δ1B×WT−t+1 ]

=∑

ε1,...,εt∈W

(1Rt=δ1B×WT−t+1)(ε1, . . . , εt)P((ε1, . . . , εt) ×W T−t)

となる．上と同様の計算により，

P((ε1, . . . , εt) ×W T−t) =t∏

s=1

f εss (ε1, . . . , εs−1)

となるから，ふたたび (9.1)を適用すれば，

E[1Rt=δ;B ×W T−t+1]

=∑

ε1,...,εt∈W

(1Rt=δ1B×WT−t+1)(ε1, . . . , εt)t∏

s=1

f εss (ε1, . . . , εs−1)

=∑

ε1,...,εt−1∈W

(f δt 1B×WT−t+1)(ε1, . . . , εt−1)

t−1∏s=1

f εss (ε1, . . . , εs−1)

=∑

ε1,...,εt−1∈W

(f δt 1B×WT−t+1)(ε1, . . . , εt−1)P((ε1, . . . , εt−1) ×W T−t+1)

= E[f δt 1B×WT−t+1 ] = E[f δ

t ;B ×W T−t+1]

33

を得る．f δt はFt−1-可測であるから，f

δt = E[1Rt=δ|Ft−1]となる．

Prop 9.2. Qを確率測度とする．f δt : W t−1 → [0, 1]を

f δ1 = EQ[1R1=δ], f δ

t = EQ[1Rt=δ|Ft−1] (δ ∈ W, 2 ≤ t ≤ T )

と定義する．このとき，(9.2)と (9.3)が成り立つ;∑δ∈W

f δt = 1 (1 ≤ t ≤ T ), (9.2)

Q((ε1, . . . , εT )) =T∏t=1

f εtt (ε1, . . . , εt−1) (ε1, . . . , εT ∈ W ). (9.3)

Proof.∑

δ∈W 1Rt=δ = 1であるから，定義により，∑δ∈W

f δt =

∑δ∈W

E[1Rt=δ|Ft−1] = E

[∑δ∈W

1Rt=δ

∣∣∣∣Ft−1

]= 1

となる．

ε1, . . . , εT ∈ W とする．

Q((ε1, . . . , εT )) = E

[ T∏t=1

1Rt=εt

]

= E

[E

[ T∏t=1

1Rt=εt

∣∣∣∣FT−1

]]

= E

[(T−1∏t=1

1Rt=εt

)E[1RT=εT |FT−1]

]

= E

[(T−1∏t=1

1Rt=εt

)f εTT

]

= E

[(T−1∏t=1

1Rt=εt

)]f εTT (ε1, . . . , εT−1)

となる．ただし，f εTT はFT−1-可測であるから，(η1, . . . , ηT ) ∈ W T のうち (η1, . . . , ηT−1)の関

数となることを用いた．この変形を帰納的に繰り返せば，(9.3)が成立することがいえる．

以上二つの Propositionを合わせると次がいえる．

Cor 9.3. Ω上の確率測度Qと (9.2)をみたす関数列 f δt |δ ∈ W, 1 ≤ t ≤ Tは，関係式 (9.3)

と (9.4)を通じて，一対一に対応している．

Rｔ (1 ≤ t ≤ T )の独立性，同分布性は f δt |δ ∈ W, 1 ≤ t ≤ Tを用いて次のように特徴づ

けられる．

Prop 9.4. (i) QのもとRt (1 ≤ t ≤ T )が独立となるための必要十分条件はすべての f δt

(δ ∈ W, 1 ≤ t ≤ T )が定数関数となることである．

(ii) Qのもと Rt (1 ≤ t ≤ T )が独立で同じ分布を持つめの必要十分条件はすべての f δt

(δ ∈ W, 1 ≤ t ≤ T )が定数関数であり，かつ f δt = f δ

s (δ ∈ W, 1 ≤ s, t ≤ T )が成り立つ

ことである．

34

Proof. (i) Rｔ (1 ≤ t ≤ T )は独立であるとする．RtとFt−1は独立になるから，Prop3.9(iv)

により，

f δt = E[1Rt=δ|Ft−1] = E[1Rt=δ]

となる．よって，f δt は定数値関数である．

逆に，f δt は定数 cδt をとる定数値関数である (δ ∈ W, 1 ≤ t ≤ T )とする．このとき，(9.4)

により，

Q((ε1, . . . , εT )) =T∏t=1

cεtt (9.5)

が成り立つ．(9.3)により∑

δ∈W cδt = 1となるから，上式より，

Q(Rt = δ) =∑

ε1,...,εt−1∈W

∑εt+1,...,εT∈W

Q((ε1, . . . , εt−1, δ, εt+1, . . . , εT ))

=∑

ε1,...,εt−1∈W

∑εt+1,...,εT∈W

cδt∏s=t

cεss = cδt∏s=t

(∑εs∈W

cεss

)= cδt

を得る．(9.5)に代入すれば，

Q(R1 = ε1, . . . , RT = εT ) = Q((ε1, . . . , εT )) =T∏t=1

cεtt =T∏t=1

Q(Rt = εt)

となる．よって，Rt (1 ≤ t ≤ T )は独立である．

(ii) Rt (1 ≤ t ≤ T )は独立であるとする．上の考察より，Q(Rt = δ) = cδt であるから，同分

布であることと cδt = cδs (1 ≤ s, t ≤ T )は同値である．これより主張を得る．

9.2. 同値マルチンゲール測度

Thm 9.5. (i) EMM = ∅ならば，a3 < r < a1が成り立つ．

(ii) f δt |δ ∈ W, 1 ≤ t ≤ Tを確率測度Qに対応する (9.2)をみたす関数列とする．このと

き，Q ∈ EMM となるための必要十分条件は，∑δ∈W

(δ − 1)f δt = 1 + r (1 ≤ t ≤ T ) (9.6)

が成り立つことである．

(iii) a3 < r < a1ならば，3項モデルは無裁定である．

Proof. (i) Thm8.1(i)と同様に証明できる．証明は省略する．

(ii) 同値マルチンゲール測度となるための必要十分条件は

EQ[S1

t |Ft−1] = S1

t−1 (1 ≤ t ≤ T )

35

が成り立つことである．S1

t = (1 + r)−1RtS1

t−1となることに注意すれば，これは

EQ[Rt|Ft−1] = 1 + r (1 ≤ t ≤ T )

と同値である．

Rt =∑δ∈W

δ1Rt=δ

と表現でき，f δt = E[1Rt=δ|Ft−1]であるから，上式は∑

δ∈W

δf δt = 1 + r (1 ≤ t ≤ T )

と変形できる．∑

δ∈W f δt = 1に注意すれば，主張を得る．

(iii) (ii)と数理ファイナンスの第 1基本定理 (Thm6.1)により，f 1+a1t + f 1+a2

t + f 1+a3t = 1,

a1f1+a1t + a2f

1+a2t + a3f

1+a3t = r

をみたす f δt | δ ∈ W, 1 ≤ t ≤ Tの存在を示せばよい．

そのような f δt |, δ ∈ W, 1 ≤ t ≤ Tは

x+ y + z = 1,

a1x+ a2y + a3z = r,

x, y, z > 1

(9.7)

という条件つき連立一次方程式を解くことにより得られる．

x ∈(0 ∨ r − a2

a1 − a2,r − a3a1 − a3

), y =

(r − a3)− (a1 − a3)x

a2 − a3, z =

(a1 − a2)x− (r − a2)

a2 − a3

とすれば，容易な計算で分かるように，条件つき連立一次方程式 (9.7)の解となる．1

Rem 9.6. 上のThm9.5(iii)の証明から分かるように，a3 < r < a1のとき，EMM は連続濃

度である．

Thm 9.7. (i) 3項モデルは完備でない．

(ii) もし金融派生商品 F を複製できるならば，

F (η3) =(a2 − a3)F (η1)− (a1 − a3)F (η2)

a2 − a1(η ∈ W T−1) (9.8)

が成り立つ．ただし，ηi = (η, 1 + ai) ∈ W T (i = 1, 2, 3)と定義する．

1a3 < a2 < a1, a3 < r < a1 という仮定により，0 ∨ r−a2

a1−a2< r−a3

a1−a3が成り立つ．

36

Proof. (i) Rem9.6でみたように#EMM > 1である．よって，数理ファイナンスの第 2

基本定理 (Thm7.1)により，市場は完備ではない．

(ii) θ ∈ Ssfが F を複製すると仮定する; すなわち，

θ0TS0T + θ1TS

1T = F

が成り立つと仮定する．

η ∈ W T−1とする．S1T = RTS

1T=1であり，θ

0T , θ

1T , S

1T−1はすべてFT−1-可測であるから，上

式に η1, η2, η3を代入すれば，(1 + r)T (1 + a1)S1T−1(η)

(1 + r)T (1 + a2)S1T−1(η)

(1 + r)T (1 + a3)S1T−1(η)

(θ0T (η)θ1T (η)

)=

F (η1)F (η2)

F (η3)

(9.9)

となる．

det

((1 + r)T (1 + a1)S

1T−1(η)

(1 + r)T (1 + a2)S1T−1(η)

)= (1 + r)TS1

T−1(η)(a2 − a1) = 0

であるから，(θ0T (η)

θ1T (η)

)=

((1 + r)T (1 + a1)S

1T−1(η)

(1 + r)T (1 + a2)S1T−1(η)

)−1(F (η1)

F (η2)

)

=1

(1 + r)TS1T−1(η)(a2 − a1)

((1 + a2)F (η1)− (1 + a1)F (η2)S1

T−1(η)

F (η2)− F (η1)(1 + r)T

)

となる．これを (9.9)に代入すれば，(9.8)が得られる．

Rem 9.8. Thm9.7により，(9.8)を満たさない金融派生商品 F は複製できない．

Thm9.7の証明では，RT の値が 1 + a1, 1 + a2, 1 + a3の 3種類あるのに対し，複製に使う

証券がS0T , S

1T の 2種類しかないことから (9.8)が導かれた．RT は，市場を駆動する「系とし

てのランダムさ」であり，S0T , S

1T は市場データから読み取れる「観測されるランダムさ」で

ある．したがって，定理の証明では，「系としてのランダムさ」の次元が 3，「観測されるラン

ダムさ」の次元が 2となっている，という二つのランダムさの次元の差から市場の非完備性

を導いているといえる．

一般に，「系としてのランダムさ」と「観測されるランダムさ」の次元の相違から市場の非

完備性が得られることが知られている．

37