確率変数の特性関数 - Keio Universityweb.econ.keio.ac.jp/staff/tose/cours/2005/prob/prob1111...復習–特性関数とは復習確率変数の特性関数とはの確率密度が確率密度関数

確率変数の特性関数戸瀬　信之

確率変数の特性関数 – p.1/11

復習–特性関数とは

� 復習　確率変数�の特性関数とは

��


復習–特性関数とは

� 復習　確率変数�の特性関数とは

��

� �の確率密度が確率密度関数 ��を持つ場合

��

��

��


独立な確率変数の和の特性関数

� 独立な確率変数�と�、その和 � � � �

� � ��

のとき � � � � の確率密度関数

��

��

��


独立な確率変数の和の特性関数

� 独立な確率変数�と�、その和 � � � �

� � ��

のとき � � � � の確率密度関数

��

��

��

� の特性関数��

�の特性関数��、� の特性関数��

� ��


証明

� その証明


証明

� その証明

� ��

��

��


証明

� その証明

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��


証明

� その証明

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��


証明

� その証明

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��


証明

� その証明

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��


証明

� その証明

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��


証明

� その証明

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��


一般に

� �� ：独立な確率変数


一般に


� ��の特性関数　��


一般に


� ��の特性関数　��

� �� の特性関数

��


応用



応用


� �� とに値をとる確率変数

� ��

� ��


応用



� ��

� ��

� ��の特性関数

��


応用



� ��

� ��


��

� 確率変数　 � �� 　は何か


応用



� ��

� ��


��

� 確率変数　 � �� 　は何か2項分布（��)に他ならない


応用



� ��

� ��


��

� 確率変数　 � �� 　は何か2項分布（��)に他ならない特性関数は

��

��


応用



� ��

� ��


��

� 確率変数　 � �� 　は何か2項分布（��)に他ならない特性関数は

��

��

� ��の分布をベルヌーイ分布と呼ぶ確率変数の特性関数 – p.6/11

特性関数と期待値

� 離散的な確率変数�




� 取る値�� 　（ただし　

�� ）

� ��





�� ）

� ��

� �の特性関数　��

��





�� ）

� ��


��

� もし微分と無限和が交換可能ならば

��

��





�� ）

� ��


��

� もし微分と無限和が交換可能ならば

��

��

��

��


特性関数と期待値No2

� 微分と無限和が次々と交換できるとすると




��

��




��

��

��

��

��




��

��

��

��

��

� 無限和と微分の交換のための十分条件��

��


解析の準備 No1

� 開区間 �� 上の微分可能な関数列 ��


解析の準備 No1


��

��

かつ

��

� ��


解析の準備 No1


��

��

かつ

��

� ��

�

��

��

��

��


具体例

� 幾何分布 ��


具体例


� ��


具体例


� ��

� 特性関数　��

��

��

��

��


具体例


� ��


��

��

��

��

�

�

� ��


具体例


� ��


��

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��

�

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� ��

��

��


具体例


� ��


��

��

��

��

�

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� ��

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��


具体例

� ��

��

��

��

��

��


具体例

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

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��


具体例

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

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��

��

��


具体例

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

� 次のモーメント��

��


具体例

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

� 次のモーメント��

��


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