3

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6Список общих обозначений и сокращенийhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8Глава 1 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ 1011 Энергетические зоныhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

Электронные состояния атомов и твёрдых телhelliphelliphelliphelliphellip 10Модель ковалентной связиhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13Модель энергетических зонhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16Модель примесного полупроводникаhellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20Выводыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

12 Свободные носители зарядаhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24Функция распределения ФермиndashДиракаhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24 Максимальная плотность разрешённых состоянийhelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 28Концентрация свободных носителей зарядаhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30

Равновесный полупроводникhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30hellipСобственный полупроводникhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33Квазиуровни Ферми произведение концентрацийhelliphelliphelliphelliphellip 34Примесный полупроводник helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 35

Температурная зависимость концентрации носителей 37Положение уровня Ферми и тип проводимостиhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40Изгиб энергетических зон и электрическое полеhelliphelliphelliphelliphelliphellip 41Заряд поверхности 42Распределение концентрации носителей заряда по энергиямhelliphelliphelliphellip 44

13 Рекомбинация носителей зарядаhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4614 Электрические токи в полупроводникахhelliphelliphelliphelliphelliphellip 51

Диффузионный токhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 52Дрейфовый токhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53Уравнения токовhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56Температурная зависимость тока температурный коэффhelliphellip 57Сопротивление полупроводникаhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59Соотношение Эйнштейнаhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 61

15 Уравнения непрерывностиhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 63Вывод уравненийhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 64

16 Задачи об инжекции и экстракции неосновных носителейhellip 66Задача 11 Полубесконечный образецhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67 Образец конечных размеровhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 70Задача 12 Экстракция неосновных носителейhelliphelliphelliphelliphelliphellip 72Задача 13 Двусторонняя инжекцияэкстракция носителейhellip 73Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 76

Глава 2 ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО - ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ

77

21 Физические основы работы идеального рndashn-переходаhelliphelliphellipФормирование Диффузионно-дрейфовое равновесиеhelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

10

Глава 1 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ

11 Энергетические зоны Электронные состояния атомов и твёрдых тел Зарождение электроники естественно связывать с открытием элек-

трона английским физиком Дж Дж Томсоном в 1897 г Более века тому назад изучая катодные лучи в трубках Крукса он показал что эти лучи представляют собой поток отрицательных зарядов Позднее эти заряды были названы электронами1 Электрон стал первой в истории физики экс-периментально обнаруженной элементарной частицей Само слово ldquoэлек-тронrdquo ввел в обиход ирландский физик и математик Дж Стоней который впервые высказал идею о дискретности электричества2 дал количествен-ную оценку минимального электрического заряда и в 1891 г элементар-ный электрический заряд назвал электроном Правда первоначально это название относилось к заряду отрицательного одновалентного иона

Современные представления об электронных состояниях атомов ос-нованы на квантовой модели атома предложенной датским физиком Нильсом Бором и понимании места которое занимает соответствующий химический элемент в Периодической таблице химических элементов Д И Менделеева В основе квантовой модели атома лежат постулаты Н Бора о дискретности энергетических состояний электронов в атоме и предложенные им представления об оболочечной структуре атомов соот-ветствующие периодической системе химических элементов Квантовая модель атома явилась естественным развитием основанным на идеях Макса Планка о дискретности энергии планетарной модели атома Резер-форда

Периодический закон химических элементов был открыт Д И Мен-делеевым в 1869 г почти за 30 лет до открытия электрона Периодическая таблица химических элементов включала в то время чуть более 60 эле-ментов и немало свободных мест3 Однако как считал Д И Менделеев ldquoпериодическому закону ndash будущее не грозит разрушением а только над-стройки и развитие обещает helliprdquo

Действительно исследования рентгеновских спектров выполненные английским физиком Г Мозли помогли установить физический смысл атомного номера и понять что свойства элементов состоят в периодиче-ской зависимости от заряда ядра Представления Н Бора об оболочечной структуре электронной системы атома прояснили смысл номера периода Таблицы Номер периода оказался равным числу электронных оболочек в атоме Принцип исключения Паули который допускал пребывание на электронной орбите не более 2-х электронов с противоположными спина-

11

ми позволил установить алгоритм заполнения электронных оболочек многоэлектронных атомов

Таким образом если рас-сматривать Периодическую таблицу химических элемен-тов с точки зрения электрон-ной структуры атомов то суммарное число электронов в атоме равно порядковому номеру элемента Число элек-тронных оболочек в атоме равно номеру периода (стро-ки) элемента Число элек-тронных уровней в каждой оболочке равно номеру обо-лочки Номер группы (столб-ца) равен числу валентных электронов во внешней наи-более удаленной от ядра электронной оболочке

Для обозначения элек-тронных уровней в каждой оболочке принято пользо-ваться буквенными символа-ми заимствованными из спектроскопии Это s p d f - уровни

С учётом принципа Паули на дискретных электронных уровнях атома может находиться строго определенное число электронов (Таблица 11) Всего в оболочке 2 2n разрешённых состояний где n ndash но-мер электронной оболочки 12n N= N ndash номер периода Т а б л и ц а 11

Электронный уровень s p d f hellipМаксимальное число разрешённых со-стояний 2 6 10 14 hellip

Энергетическая диаграмма изолированного многоэлектронного ато-ма показана на рис 11 Электронная конфигурация изолированного атома формируется в соответствии с принципом Паули за счёт последовательно-го заполнения электронами разрешённых дискретных энергетических

+

Номер оболочки

п = 3

п = 2

п = 1

Электронные уровни

2п2 = 18

2п2 = 8

2п2 = 2

3d10

3p6

3s2

2p6

2s2

1s2

Ядро

Электронные оболочки

Рис11 Структура энергетических уров‐ней многоэлектронного гипотетическо‐

го атома из третьего периода N = 3 На электронных уровнях показано мак-симально возможное число электронов Конкретное число электронов и элек-тронных уровней на внешней третьей оболочке зависит от номера группы в которой находится элемент

12

уровней Причём как указывалось номер периода равен числу электрон-ных оболочек Номер группы равен числу валентных электронов Номер элемента равен общему числу электронов в атоме

Цифра перед буквенным символом электронного уровня обозначает номер оболочки показатель степени ndash максимально возможное число электронов (разрешенных состояний уровня) Гипотетический атом из третьего периода содержит три электронные оболочки расположенные на возрастающем удалении от ядра атома Орбиты электронов разных элек-тронных уровней одной оболочки различаются формой (круговая эллип-тическая) Орбиты электронов одного энергетического уровня различают-ся ориентацией Электроны на одной орбите имеют противоположные направления спинов Электроны наиболее удаленных от ядра уровней внешней оболочки называются валентными Именно валентные электро-ны взаимодействуют с другими атомами при формировании более слож-ных атомных структур

Интересующий нас фрагмент периодической таблицы химических элементов содержащий элементы III-V групп показан в таблице 12 В твёрдотельной электронике чаще всего используются монокристаллы кремния (Si) и германия (Ge)

Кремний находится в четвёртой группе третьего периода Значит он имеет три электронных оболочки и 4 валентных электрона в третьей обо-лочке Всего 14 электронов что соответствует атомному номеру кремния Электронная конфигурация атома кремния выглядит следующим образом

2 2 6 2 21 2 2 3 3s s p s p Обратим внимание что все элементы IV группы таблицы Менделее-

ва имеют одинаковую конфигурацию внешней электронной оболочки

Т а б л и ц а 12Период Группа III IV V

2 2 1

5 B2 2s p

2 2

6 C2 2s p

3 2 1

13 Al2 2s p

2 2

14 Si3 3s p

2 3

15 P3 3s p

4 2 1

31 Gal4 4s p

2 2

32 Ge4 4s p

2 3

33 As4 4s p

5 2 1

49 In5 5s p

2 2

50 Sn5 4s p

2 3

51 Sв5 5s p

6

2 2

52 Pв6 6s p

13

2 2Ns Np содержащую 4 электрона из 8 возможных Аналогично элемен-

ты V группы имеют конфигурацию 2 3Ns Np и содержат 5 внешних элек-тронов на один больше Элементы III группы имеют 3 валентных элек-трона на один меньше чем элементы IV группы

Модель ковалентной связи В твёрдотельной электронике электроны выполняют функцию не

только свободных носителей заряда формирующих токи проводимости но и являются теми элементами которые играют основную роль в про-цессе объединения индивидуальных атомов в твёрдое тело Электроны выполняют роль привязных ремней реализующих межатомные связи благодаря которым из совокупности индивидуальных атомов создаются пространственно упорядоченные периодические структуры Причём обра-зование свободных носителей заряда (СНЗ) происходит в органическом единстве с формированием этих связей

Различают ионную металлическую и ковалентную связи При ион-ной связи часть электронов одного атома перемещается к другому атому В результате образуется противоположно заряженные ионы взаимодейст-вие которых консолидирует атомы в твёрдое тело При металлической связи кристаллическая решётка положительно заряженных ядер окружена отрицательным электронным газом В случае ковалентной связи каждый атом связан со своим ближайшим (в данном направлении) соседом парой электронов (приставка laquoкоraquo ndash два) Один валентный электрон одного ато-ма и один электрон соседнего атома (один laquoсвойraquo и один laquoчужойraquo) вра-щаются (согласно представлениям классической физики) вокруг этих двух атомов по одной общей орбите Общая орбита двух электронов соседних атомов реализует ковалентную связь этих атомов в данном направлении

Молекула водорода H2 самого распространённого элемента Вселен-ной является наглядным примером того как за счёт ковалентной связи формируется новая структура более сложная нежели сам атом При

R R

а)

б) в)

+ +++

+ +

+ +

+ +

+ +

bull bull

bull

bull

bull bull

Рис 12 Модель формирования молекулы водорода H2

а) б) образование молекулы при сближении двух атомов за счёт ковалентной связи реализован-ной двумя валентными электро-нами в) символическое изображение ковалентной связи двух атомов

14

сближении атомов до расстояний R на которых орбиты валентных элек-тронов начинают перекрываться (рис 12а) два атома водорода объеди-няются в молекулу (рис 12б) за счёт ковалентной связи символически изображенной на рис 12в

С помощью одного электрона от каждого из двух атомов объеди-няемых ковалентной связью формируется структура не сложнее двух-атомной молекулы (например водорода) Посредством двух электронов от каждого из двух атомов объединяемых ковалентной связью возможно формирование более сложной структуры состоящей например из трёх атомов (рис 13)

Когда в реализации ковалентных связей участвует каждый из трёх валентных электронов возможно формирование ещё более сложной структуры Например двумерной поверхности состоящей из правильных шестиугольных атомных структур где каждый атом связан ковалентными связями с тремя ближайшими соседями (рис 14) Такую структуру имеют нанотрубки4 образованные атомами углерода Правда из 4-х валентных электронов атома углерода в формировании ковалентных связей участву-ют только 3 Четвертый ndash может быть свободным

Объёмные твёрдотельные кристаллические решётки монокристаллов четырехвалентного кремния и германия образуются за счёт ковалентных связей каждого атома с четырьмя ближайшими соседними атомами Дву-мерная (плоская) модель связей в решётке четырёхвалентных атомов по-казана на рис 15 В такой решётке вокруг каждого атома находится 8 электронов Консолидируясь в твёрдое тело атомы дополняют свою внешнюю оболочку до 8 электронов что соответствует полностью запол-

Рис 13 Схема ковален‐тных связей в структуре из двухвалентных ато‐

мов Гипотетическая струк-тура состоящая из трёх двухвалентных атомов объединённых ковален-тными связями создан-ными двумя валентны-ми электронами от каж-дого атома

Рис 15 Плоская дву‐мерная модель кова‐лентных связей в иде‐альной кристалличе‐ской решётке типа алмаза состоящей из четырёхвалентных атомов кремния

Рис 14 Схема ко‐валентных связей в структуре из трёхва‐лентных атомов

15

ненным (значит устойчивым) s- и p-электронным уровням одиночного атома (рис 16)

Связи реальных кристаллов имеют объёмную пространственную структуру Плоская модель не имеет визуального сход-ства с реальной Вместе с тем она правиль-но отражает главную особенность реальной решётки ndash структура связей в ней такова что у каждого атома в кристалле имеется четыре симметрично расположенных бли-жайших соседа Они размещены в верши-нах правильного тетраэдра в центре кото-рого находится сам атом Пространственная структура ковалентных связей атома герма-ния соответствующая плоской модели рис 11 рис 16 показана на рис 17 Каждая из четырех связей осуществляется двумя элек-тронами Чёрными кружками изображены свои валентные электроны центрального атома Светлыми кружками изо-бражены четыре валентных электрона которые принадлежат и соседним атомам

Характерная особенность ковалентной связи состоит в том что электронные оболочки двух атомов частично перекрываются (напри-мер на рис 12а) Следствием такого взаимо-действия является расщепление энергети-ческого уровня электронов формирующих ко-валентную связь на два подуровня ndash верхний и нижний При этом выполняется общий прин-цип согласно которому при сближении атомов полное число разрешённых состояний расщеп-ляющегося уровня для каждого атома сохраня-ется В качестве конкретного примера на рис 18 показано расщепление 1s-уровня атомов водорода по мере их сближения при образовании молекулы Два атома объединённые ковалентной связью создали два подуровня разрешённых состояний всего 2 2 4times = состояния для двух атомов Состояния электро-нов на каждом подуровне различаются спинами

Другая характерная особенность ковалентной связи заключается в том что по мере увеличения числа атомов новые состояния появляются внутри крайних значений энергии расщеплённых уровней двух атомов в виде тонкой дополнительной структуры В качестве примера на рис 19

GeGe

Ge

GeGe

bull

bull

bullbull

bull

bull

bull bull

Рис 16 Полное заполне‐ние s‐ и p‐электронных уровней при формировании идеальной кристалличес‐кой решётки типа алмаза

Рис 17 Простран‐ственная структура ковалентных связей атомов кремния и

германия

16

показана энергетическая диаграмма гипотетической (линейной) одномер-ной цепочки четырёх атомов объединяемых ковалентными связями по-средством электронов s-уровня при их сближении [1]

Распространяя этот принцип на трёхмерные структуры заключаем что в твёрдом теле у электронов имеются не дискретные уровни энергии как у двух отдельных атомов объединенных ковалентной связью а поло-сы разрешённых состояний Отсюда следует что при формировании твёр-дого тела дискретные уровни электронов реализующих ковалентные свя-зи расщепляются на две полосы разрешённых состояний разделённых зоной запрещённых состояний (рис 19)

Модель энергетических зон Элементы IV группы кремний и германий формируют кристалличе-

скую решётку за счёт ковалентных связей каждого атома с 4-мя ближай-шими соседями Подобно уровням в молекуле водорода электронные уровни пары атомов каждой ковалентной связи расщепляются на два уровня которые объединяются с электронными уровнями других атомов в две полосы разрешённых состояний ndash верхнюю и нижнюю с характер-ным минимумом

На рис 110 качественно показано как энергетические уровни изо-лированных атомов кремния расщепляются в энергетические зоны разре-шённых состояний при формировании твёрдого тела по мере сближения атомов до действительных расстояний между ближайшими соседями в кристалле кремния [2] Изолированный атом кремния содержит во внеш-ней оболочке два 3s-электрона и два 2р-электрона (таблица 12) При сближении атомов каждый из этих уровней расширяется в верхнюю и

R

bullbull

bullbull

1s

Ε

Рис 18 Расщепление 1s ‐уровня двух атомом водорода по мере их сближения и объ‐

единения в молекулу Жирными стрелками показа-ны разрешённые состояния на каждом уровне

Рис 19 Уровни энергии в зависи‐мости от расстояния R между яд‐рами линейной цепочки несколь‐

ких атомов Образование полос разрешённых состояний при ковалентной связи нескольких атомов

1s2

R

E

17

нижнюю зону разрешенных состояний которые при дальнейшем сближе-нии атомов перекрываются

При расстоянии равном фактическому значению постоянной решёт-ки кристалла кремния R0 перекрывшиеся нижние зоны s- и p-уровней образуют зону разрешённых состояний которая называется валентной зоной Перекрывшиеся верхние зоны s- и p-уровней образуют зону разрё-шенных состояний которая называется зоной проводимости Между ни-ми находится запрещённая зона шириной Eg = EC ndash EV

Поскольку сближение атомов оставляет неизменным полное число разрешённых состояний данного уровня то в верхней и нижней зоне s-уровня на каждый атом приходится по одному разрешённому состоянию Аналогично в верхней и нижней зоне p-уровня на каждый атом прихо-дится по три разрешённых состояния Однако если зоны перекрываются то уже невозможно отличить 3s- от 3p-состояний Естественно поэтому считать что в зоне проводимости и валентной зоне имеется по четыре разрешённых состояния на каждый атом

На вертикали энергий для 0R различают уровень VE ndash вершину ва-лентной зоны5 уровень CE ndash дно зоны проводимости6 уровень 0E ndash уро-

Рис 110 Схема образования энергетических зон в кремнии при умень‐шении расстояния между ближайшими соседними атомами

По достижении значения R0 зоны перекрываются образуя зону прово-димости запрещённую зону шириной Eg = 112 эВ и валентную зону Германий имеет аналогичную схему энергетических зон но Eg =072 эВ

Свободные состояния

Заполненныесостояния

3 состояния на атом

1 состояние на атом

Энергия

элект

рона

Валентная зона

Запрещённаязона

Eg = 112 эВ

R0

2 4 6 8

3s2

3p6

Расстояние между ближайшими соседними атомамиbull

bull

bull

Зона проводимости

R

1 состояние на атом

E0

EC

EV

3 состояния на атом

18

вень свободного электрона в вакууме (рис 110) Глубина зоны проводи-мости 0 aCE E Eminus = называется энергией электронного сродства

Если ось пространственных координат х направить перпендикулярно рисунку 110 то получим энергетическую зонную диаграмму крем-ниягермания показанную на рис 111

Аналогично строятся энергетические зоны германия и других эле-ментов IV группы Однако ширина запрещённой зоны при температуре Т0

= 300 К составляет величину порядка 7эВ = 270κТ0 у алмаза 112эВ = =42κТ0 ndash у кремния 073эВ = 27κТ0 ndash у германия и около 02эВ = 7κТ0 у серого олова где κ ndash постоянная Больцмана κТ0 = 26мВ = 26middot10ndash3 эВ Ис-ходя из ширины запрещённой зоны алмаз относят к изоляторам кремний Si и германий Ge ndash к полупроводникам олово ndash к металлам Модель энер-гетических зон позволяет судить о состоянии носителей заряда в про-странстве энергий

В валентной зоне и в зоне проводимости на каждый атом приходится по четыре разрешённых состояния а всего в атоме 4 валентных электро-на Значит при низких температурах все 4 валентных электрона атома занимают энергетически более выгодные состояния с меньшей энергией в валентной зоне Поэтому валентная зона полностью заполнена а зона проводимости ndash пуста Состояние заполненной валентной зоны и пустой зоны проводимости соответствует сохранённым (не разорванным) кова-лентным связям показанным на рис 15 При таких условиях прохожде-ние электрического тока проводимости в кристалле исключено Свобод-ные носители заряда (СНЗ) отсутствуют Возможен только обмен элек-тронами между атомами при суммарном импульсе равном нулю

Однако у всех элементов рассматриваемой группы кроме алмаза ширина запрещённой зоны невелика поэтому при комнатной температуре ковалентные связи могут разрываться за счёт энергии тепловых колеба-

+

ndash

bull

bull

Зона проводимости

Валентная зона

Пространственная координата

E0

EC

EV

Ea

Eg Запрещённая зона

Энергия

дырки

ndash ndashndash ndash ndash ndashndash ndash ndashndash

++ + + + + + +

Энергия

электрона

Рис 111 Энергетическая зонная диаграмма

Зона проводимости содержащая свободные электроны и валентная зона содержащая свободные дыр-ки разделены запрещённой зоной Разрыв ковалентной связи соб-ственных атомов означает образо-вание пары свободных носителей заряда и изображается как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости

19

ний решетки Разрыв ковалентных связей в пространстве координат озна-чает уход электрона с общей для двух атомов орбиты формирующей ко-валентную связь (рис 112) В пространстве энергий ndash это уход электрона в зону проводимости с образованием пары свободных носителей заряда ndash положительной дырки в валентной зоне и отрицательного электрона в зоне проводимости Действительно ушедшие электроны оставляют пус-тыми уровни у потолка валентной зоны и заполняют свободные состояния у дна зоны проводимости Пустой (не занятый электроном) уровень в ва-лентной зоне называется дыркой Дырка ndash это отсутствие электрона в ковалентной связи двух соседних собственных атомов кристалли-ческой решётки Вакантное место которое образовалось в результате разрыва ковалентной связи и ухода электрона из валентной зоны имеет положительный заряд Оно ведёт себя в кристалле как виртуальная (мыс-лимая) элементарная частица7 имеющая реальный положительный заряд равный по модулю заряду электрона Состояние частично заполненной зоны проводимости и частично свободной валентной зоны (рис 111) оз-начает наличие разрывов ковалентных связей в модели кристалла приведённой на рис 15 Оно показано на рис 112

Число атомов в кристалле велико порядка 1022 смndash3 а глубина энер-гетических зон конечная единицы эВ Поэтому как в зоне проводимости так и в валентной зоне образуется практически непрерывный спектр раз-решённых состояний состоящих из огромного числа дискретных уровней разделённых незначительным зазором Действительно если принять что Еа = 1эВ объёмная плотность атомов равна 1022 смndash3 и на каждый атом приходится по 4 разрешённых состояния то энергетический интервал между разрешенными состояниями составит 1(4middot1022) = 25middot10ndash23эВ Это на 20 порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колеба-ний решётки κТ0 = 26эВ для Т0 = 300 К

Наличие огромного количества разрешённых состояний сопостави-мого с числом атомов в кристалле позволяет считать электроны зоны проводимости и дырки в валентной зоне свободными носителями заряда (СНЗ) в кристалле т к они имеют возможность практически непрерывно изменять своё состояние в пространстве энергий и в пространстве коор-

Рис 112 Образование носителей заряда в собственном полупроводнике

+

+

+

ndashndash

ndash

Разрыв ковалентной связи собственных атомов за счёт энергии тепловых колеба-ний решётки т е уход электрона с об-щей орбиты формирующей ковалент-ную связь создаёт пару свободных носи-телей заряда ndash отрицательный электрон в зоне проводимости и положительную дырку в валентной зоне

20

динат полупроводника Ведь все разрешённые состояния принадлежат конкретным атомам

Посредством электрического поля например можно сформировать направленный перенос СНЗ и получить ток проводимости в полупровод-нике Электрическая проводимость будет иметь биполярный характер поскольку осуществляется СНЗ двух знаков ndash положительными дырками и отрицательными электронами Биполярная проводимость ndash необходи-мый признак собственного полупроводника в котором нет примесей и решётка содержит атомы только одной природы

Разрыв ковалентной связи соседних собственных атомов решётки приводит к образованию (генерации) пары СНЗ разного знака (рис 111 рис 112 рис 113б) Условие электрической нейтральности собствен-ного полупроводника

( ) ( ) 0q n q pminus times + + times = выраженное через концентрацию носителей заряда имеют вид

in p n= equiv (11) где п [см3] и р [см3] ndash концентрация электронов и дырок в зоне прово-димости и валентной зоне соответственно in ndash концентрация носителей собственного полупроводника8

Модель примесного полупроводника Если собственный атом кристаллической решётки четырёхвалентно-

го кремния или германия будет замещён пятивалентным атомом элемента V группы таблицы Менделеева например фосфором Р то четыре валент-ных электрона примесного атома будут задействованы в формировании ковалентных связей Энергетический уровень пятого валентного электро-на ED будет находится в запрещённой зоне полупроводника поскольку ни в валентной зоне ни в зоне проводимости нельзя разместить ещё хотя бы один дополнительный уровень разрешённых состояний сверх положен-ных четырёх уровней на каждый атом (рис 113) Не участвующий в фор-мировании ковалентных связей пятый электрон слабо связан с ядром Энергия его ионизации D DCE E EΔ = minus как правило на один ndash два по-рядка меньше ширины запрещённой зоны Например энергия ионизации фосфора в кремнии составляет всего 00044эВ=17 Tκ при ширине запре-щённой зоны 0112эВ 42 gE Tκ= asymp laquoЛишнийraquo электрон легко отрывается от атома примеси те переходит с примесного уровня ED в зону проводи-мости где становится свободным носителем заряда Такая примесь на-зывается донорной поскольку увеличивает концентрацию СНЗ-электронов в полупроводнике Энергетический уровень электронов до-

21

норной примеси ED находится в запрещённой зоне ниже дна зоны прово-димости на величину энергии ионизации примеси (рис 113в)

Ионизация атомов донорной примеси означает переход электрона с примесного уровня в зону проводимости При этом образуется свободный электрон в зоне проводимости и неподвижный положительный ион донорной примеси встроенный в кристаллическую решётку Поскольку энергия ионизации донорной примеси невелика то уже при комнатной температуре практически все атомы донорной примеси ионизированы Ионизация атомов донорной примеси не исключает образование пар СНЗ за счёт перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости Ио-низация собственных атомов создаёт концентрацию р [см3] свободных дырок

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного донорной примесью имеет вид Dn p N += + (12)

где DN + ndash концентрация встроенных в решётку положительных ионов до-норной примеси

Энергия ионизации примеси во много раз меньше энергии ионизации собственных атомов решётки Поэтому в области рабочих температур в донорном полупроводнике n p Электроны являются основными но-сителями заряда (ОНЗ)9 Они образуются в основном за счёт ионизации атомов донорной примеси Их концентрация может широко варьироваться путём изменения количества введённой примеси Дырки являются неос-новными носителями заряда (ННЗ) Они образуются за счёт разрыва ковалентных связей (ионизации) собственных атомов решётки

Аналогично если собственный атом кристаллической решетки четы-рёхвалентного кремния или германия замещён трёхвалентным атомом элемента III группы таблицы Менделеева например бором В то три ва-лентных электрона примесного атома будут задействованы в формирова-нии ковалентных связей Электрон недостающий для формирования чет-вёртой ковалентной связи привлекается за счёт разрыва ковалентной свя-зи собственных атомов решётки в объёме кремния (рис 113а)

При этом образуется свободная дырка в валентной зоне и непод-вижный отрицательный ион атома акцепторной примеси встроенный в кристаллическую решетку Такая примесь называется акцепторной (от англ accept ndash принимать) поскольку она laquoприсоединяетraquo к себе электро-ны за счёт их перехода из валентной зоны на примесный уровень ЕА Энергетический уровень laquoприсоединённыхraquo электронов EА находится в запрещённой зоне выше вершины валентной зоны на величину энергии ионизации акцепторной примеси (рис 113а)

22

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного акцепторной примесью значит обладающего в основном дырочной проводимостью имеет вид

Ap n N minus= + (13)

где AN minus ndash концентрация встроенных в решётку отрицательно ионизиро-ванных атомов акцепторной примеси

В полупроводнике легированном акцепторной примесью дырки яв-ляются основными носителями заряда а электроны minus неосновные но-сители заряда Дырки образуются в основном за счёт ионизации атомов примеси а ННЗ-электроны minus за счёт разрыва ковалентных связей собст-венных атомов решётки

+

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Вndash

ndash

Si

ndash

ndash+ Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

+

ndash

Si

ndash

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Р+

+

Si

Si

ndash ndash

++

ndash

+

ndash

+

ndashЕС ЕС ЕС

ЕVЕVЕV

ЕA

ЕD

ndash

+

Bndash P+

а) б) в)

ndash

+

Б)

А)

Рис 113 Образование свободных носителей заряда в собственном и при‐месных полупроводниках за счёт тепловой генерации электронно‐

дырочных пар и ионизации атомов примеси А) Модели кристаллических решёток Б) Зонные диаграммы

а) Модель акцепторной примеси Трёхвалентный атом бора захватывает у собственного атома электрон недостающий для формирования ковалентной связи Образуется свободная дырка в валентной зоне и встроенный в кри-сталлическую решётку отрицательный ион Вminus ЕА ndash акцепторный уровень б) Модель собственного полупроводника Разрыв ковалентной связи соб-ственных атомов решётки кремния создаёт пару свободных носителей заря-да ndash положительную дырку в валентной зоне и отрицательный электрон в зоне проводимости в) Модель донорной примеси Пятивалентный атом фосфора отдаёт неза-действованный в ковалентных связях пятый электрон Образуется свобод-ный электрон в зоне проводимости и встроенный в кристаллическую ре-шётку неподвижный положительный ион Р+ ЕD ndash донорный уровень На зонных диаграммах примесных полупроводников показано также обра-зование электронно-дырочных пар носителей заряда за счёт разрыва кова-лентных связей (ионизации) собственных атомов решётки которые обозна-чаются как переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости

23

В области рабочих температур примесных полупроводников основ-ными являются laquoпримесныеraquo носители созданные за счёт ионизации примеси Неосновные носители ndash это laquoсобственныеraquo носители созданные за счёт ионизации собственных атомов решётки

Выводы 1 Элементы IV группы таблицы Менделеева Si и Ge формируют

кристаллическую решётку за счёт ковалентных связей каждого атома с четырьмя ближайшими соседями В каждом данном направлении кова-лентная связь двух соседних атомов реализуется двумя валентными элек-тронами s- и p-электронных уровней ndash одним laquoсвоимraquo и одним laquoчужимraquo которые (согласно представлениям классической физики) вращаются во-круг этих атомов по одной общей орбите

2 При формировании твёрдого тела s- и p-электронные уровни ато-мов объединяемых ковалентными связями расщепляются на две ndash верх-нюю и нижнюю ndash полосы разрешённых состояний представляющих со-бой совокупность множества (по числу атомов) дискретных энергетиче-ских уровней

Нижние полосы совокупности s- и p-электронных уровней перекры-ваются и создают валентную зону в основном занятых (электронами) состояний полупроводника Перекрывающиеся верхние полосы s- и p-уровней создают зону проводимости в основном свободных состояний Между ними находится запрещённая зона

На каждый атом в валентной зоне и зоне проводимости приходится по 4 разрешённых состояния (по 1 от s- и по 3 от р-подуровней) Число атомов велико а глубина зон конечная В каждой из зон формируется практически непрерывный спектр большого числа разрешённых состоя-ний разделённых незначительным дискретом величина которого на мно-го порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колебаний

3 Свободные носители заряда в полупроводнике создаются при разрыве ковалентных связей (ионизации) собственных атомов и внедрён-ных в решётку трёх- или пятивалентных атомов примеси10

Разрыв ковалентных связей собственных атомов решётки т е уход электрона с общей орбиты формирующей ковалентную связь означает освобождение занятого энергетического уровня в валентной зоне и пере-ход электрона в зону проводимости где он становится СНЗ Незанятое электроном вакантное место ndash дырка ndash ведёт себя в кристалле как свобод-ная виртуальная частица имеющая элементарный положительный заряд Электрическая проводимость осуществляется свободными зарядами обо-их знаков поэтому имеет биполярный характер

Пятивалентные атомы примеси замещая четырёхвалентные атомы Si или Ge имеют один laquoлишнийraquo электрон который не участвует в форми-ровании ковалентных связей Он легко отрывается от примесного атома и

24

переходит в зону проводимости При этом наряду со свободным отрица-тельным электроном образуется внедрённый в решётку неподвижный по-ложительный ион атома донорной примеси Условие электрической ней-тральности соблюдается

При замещении четырёхвалентного собственного атома Si или Ge трёхвалентным атомом примеси для образования четырёх ковалентных связей недостаёт одного электрона Недостающий электрон восполняется за счёт разрыва ковалентной связи собственных атомов в объёме и при-соединения электрона к атому примеси Это означает переход электрона из валентной зоны на примесный уровень Образуется свободная положи-тельная дырка в валентной зоне и внедрённый в решётку неподвижный отрицательный ион атома акцепторной примеси Условие электрической нейтральности сохраняется

4 Носители в полупроводниках образуются путём ионизации при-месных и собственных атомов Для ионизации примеси требуется значи-тельно меньше энергии чем для ионизации собственных атомов Поэтому большинство носителей заряда имеет laquoпримесноеraquo происхождение и тип электрической проводимости определяется характером примеси При до-норной примеси преобладающими те основными носителями заряда являются электроны Преобладает электронная проводимость При акцеп-торной примеси ОНЗ становятся дырки Преобладающей является дыроч-ная проводимость

5 Ионизация атомов значит и генерация СНЗ реализуется за счёт энергии тепловых колебаний решётки Температурные и радиационные зависимости концентрации СНЗ являются принципиальной особенностью полупроводниковых приборов

12 Свободные носители заряда Функция распределения ФермиndashДирака Свободные носители заряда ndash электроны каждый из которых незави-

симо от остальных принимает в твёрдом теле то или иное состояние в условиях теплового равновесия всё же имеют объективные меры посред-ством которых описываются совокупные свойства всего ансамбля К та-ким мерам относится функция распределения

Функция распределения в статистических системах показывает отно-сительное число членов ансамбля обладающих данным свойством

Конкретно в случае электронов она показывает какую долю от об-щего числа свободных электронов составляют электроны с заданной энергией Е Как отмечалось максимальное число электронов которые могут иметь данную энергию значит число разрешённых состояний в единице объёма приходящихся на единичный интервал энергии

25

1 3max ( ) [Дж см ]n E minus minus есть строго определённая для заданной энергии ве-

личина Значит функция распределения fФ-Д(Е) определяет отношение числа электронов п(Е) реально занимающих энергетический уровень Е к максимальному числу электронов которые в принципе могут находиться на данном уровне

Ф-Д max( ) ( ) ( )f E n E n E= (14) Аналитическое выражение функции распределения электронов ко-

торое независимо друг от друга предложили итальянский физик Энрико Ферми и английский физик Поль Дирак имеет вид

Ф-Д ( )1( )

1 FE E Tf Ee κminus=

+ (15)

где параметр EF minus уровень Ферми Функция ФермиminusДирака как элемент универсального математического аппарата не зависит от свойств той или иной конкретной системы а зависит лишь от температуры Привязка к конкретной системе осуществляется через параметр EF который показы-вает как нужно располагать функцию ФермиminusДирака относительно энер-гетических уровней конкретной системы (см ниже рис 120 рис 121 рис 22)

Функция распределения позволяет решать ряд важных задач необ-ходимых для анализа полупроводниковых приборов

Во-первых представляется возможным определять распределение свободных носителей заряда по энергиям Распределение электронов в пределах зоны проводимости получаем из (14)

3 1max Ф-Д( ) ( ) ( ) см Дж n E n E f E minus minus⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (16а)

Если энергетический уровень заполнен не полностью то ( ) ( )max n E n Elt Отсутствие электрона означает наличие дырки Тогда число дырок на данном энергетическом уровне или распределение дырок в валентной зо-не по энергиям есть разность

max( ) ( ) ( )p E n E n E= minus = max Ф-Д( ) 1 ( )n E f E⎡ ⎤minus equiv⎣ ⎦

max ( ) ( )pn E f Eequiv (16б)

где Ф-Д ( )1( ) 1 ( )

1 Fp E E Tf E f E

e κminus minus⎡ ⎤= minus =⎣ ⎦ +

(17)

minus функция распределения дырок Во-вторых пользуясь функцией распределения можно рассчитывать

концентрации СНЗ те количество электронов или дырок в единице объ-ёма имеющих любое допустимое значение энергии в пределах зоны про-

26

водимости и валентной зоны соответственно Концентрации электронов n и дырок p определяются интегралами

Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VC C

pE E E

n n E dE n E f E dE p n E f E dE= = =int int int (18)

где интегрирование следует ограничить областью энергий зоны проводи-мости (для электронов) и валентной зоны (для дырок)

Наконец представляется возможным решать обратную задачу зная концентрацию СНЗ определять уровень Ферми EF и по положению уровня Ферми судить о свойствах полупроводника

График функции распределения ФермиminusДирака для обозначенных температур приведён на рис 114 bull При температуре T = 0 K он пред-

ставляет собой прямоугольник пло-щадью 1FE times При возрастании тем-пературы освобождаемые площади под кривой распределения в области E lt EF равны возникающим площа-дям в области E gt EF График функ-ции содержит три характерные облас-ти

o область FE Elt где Ф-Д ( ) 1f E = o область в районе FE Easymp протяжённостью в несколько Tκ где функ-

ция испытывает резкий спад11 и при FE E= независимо от температу-ры равняется frac12

o область FE Egt где laquoна хвостеraquo распределения при 2FE E Tκminus gt функцию ФермиminusДирака можно заменить функцией распределения Мак-свеллаminusБольцмана М-Б ( )f E (рис 115) Действительно пренебрегая еди-ницей12 в знаменателе (15) получим13

( )Ф-Д ( ) FE E Tf E e κminus minusasymp = М-Бconst ( )E Te f Eκminustimes = (19)

bull Соотношение (14) есть число электронов приходящихся на одно раз-решённое состояние Очевидно что всегда max( ) ( ) 1n E n E le Поскольку

Ф-Д ( ) 1f E le то функцию ФермиminusДирака можно рассматривать как вероятность того что энергетический уровень занят Тогда число электронов на данном уровне (16а) равно произведению максимальной плотности разрешённых состояний на вероятность того что уровень за-нят Функция распределения ФермиminusДирака определяет плотность веро-ятности занятости состояний с энергией от Е до Е + dE

asympasymp

asymp

EEF

T2gtT1gtT = 0 10

05

0

fФ-Д (E)

~кTРис 114 Функция распределения

ФермиminusДирака

27

bull При низких температурах функция ФермиminusДирака равна единице практически вплоть до энергии FE Easymp после чего она резко падает Из вероятностного смысла функции ФермиminusДирака следует что состояния с энергиями ниже уровня Ферми заняты (вероятность равна 1) а состояния с более высокими энергиями свободны При повышении температуры определённая часть электронов переходит на более высокие энергетиче-ские уровни значительно (по сравнению с Tκ ) отстоящие от уровня Ферми и в области laquoхвостаraquo подчиняются статистике Максвел-лаminusБольцмана (19) (рис 115) Этот факт является важным результатом поскольку именно на этих уровнях находятся носители формирующие токи в полупроводниковых приборах

bull Состояния занятого или свободного уровня являются противо-положными событиями сумма вероятностей которых равна 1 как вероят-ность достоверного события Поэтому разноость Ф-Д1 ( )f Eminus дополня-ющая функцию ФермиminusДирака до единицы есть вероятность того что уровень занят дыркой (соотношение (17)) bull Распределение дырок в валентной зоне (17) выражается такой же

формулой что и распределение электронов (15) в зоне проводимости но с противоположным знаком показателя экспоненты Это даёт основание направлять ось отсчёта энергии дырок противоположно оси отсчёта энер-гии электронов (рис 111 рис 116) Тогда во встречно-вложенной систе-ме координат распределение электронов и дырок изображается одной и той же кривой (рис116) bull С точки зрения теории вероятности уровень Ферми определяется как

энергетический уровень вероятность заполнения которого равна точно половине С точки зрения термодинамики уровень (энергия) Ферми является (в

приближении равенства эффективных масс электронов и дырок) хими-ческим потенциалом14 (в расчёте на один электрон) Химический потен-циал используется в частности при анализе состояния равновесия в таких гетерогенных (разнородных) системах как например жидкостьndashпар

x

еndashx05

10

0 2 4ndash2ndash4ndash6

fФ-Д (x)

Рис 115 Сравнение функции ФермиminusДирака с экспонентой

На хвосте распределения при ( ) (2 3)Fx E E Tκ= ⎡ minus ⎤ ge divide⎣ ⎦ функ-

ция распределения ФермиminusДира-ка совпадает с функцией распре-деления МаксвеллаminusБольцмана

28

Равенство химических потенциалов служит критерием фазового равновесия

Тогда исходя из термодинамического смысла уровня Ферми условием электронно-дырочного равновесия в разнородных системах (металлов полупроводников) является равенство их уровней Ферми во всех частях системы Единство и постоянство уровня Ферми является необходимым и достаточным условием равновесия электронно-дырочных систем Сам уровень Ферми определяется из условия что полное число

электронов в кристалле (системе) должно оставаться неизменным вне зависимости от их распределения по энергетическим уровням (ранее упомянутая обратная задача)

Максимальная плотность разрешённых состояний Для вычисления концентрации СНЗ в полупроводниках (соотноше-

ния (18)) необходимо кроме функции ФермиndashДирака располагать анали-тическим выражением максимального числа электронов способных иметь данную энергию т е знать зависимость плотности разрешённых состоя-ний ( )maxn E от энергии Для вывода этого соотношения определим сна-чала полное число электронов энергия которых не превышает некоторого значения Е

В классической механике электрон считается частицей не имеющей пространственного объёма состояние которой во времени и пространстве точно определено координатами x y z и составляющими импульса рх ру рz Значит состояние электрона будет задаваться (безразмерной) матери-альной точкой в шестимерном пространстве с взаимно перпендикулярны-ми осями x y z рх ру рz Это пространство называется фазовым Полный объём фазового пространства фазV равен произведению объёмов про-

странства координат xyzV и пространства импульсов x y zp p pV

фаз x y zxyz p p pV V V= times

Объём изотропного пространства импульсов соответствующий кинетиче-ской энергии

asympasymp asymp

asymp

10

E

0505

0

fФ-Д (E) Энергия дырки

Энергия электрона10

0

fp (E)

E

EF

asymp

bull

asymp

bull

Рис 116 Функция Фер‐миminusДирака во встречно‐вложенной системе коор‐

динат Оси отсчёта энергии и ор-динат функций распреде-ления электронов и дырок направлены в противопо-ложные стороны

29

2 2 2 E p m p mE= rArr = (110) где m ndash масса электрона есть объём сферы радиуса р равный

3(4 3) x y zp p pV pπ= Тогда

3фаз (4 3) xyzV V pπ= times (111)

Согласно законам классической физики каждая точка этого про-странства вполне характеризует состояние (координаты скорость на-правление движения) электрона энергия которого не превышает величи-ну Е и может изменяться непрерывно

Однако электрон не являются классической частицей При переходе из одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образом даже если этот дискрет очень мал как например в твёрдом теле Если состояние изменяется с дискретом EΔ то очевидно что максимальное число возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отно-шения E EΔ Поскольку энергия выражается через импульс и координа-ту то число состояний в пространстве импульсов и координат не превы-шает отношений x xp pΔ и x xΔ соответственно где xpΔ xΔ ndash дискре-ты изменения импульса и координаты обязанные дискрету изменения энергии

Из дискретности энергии логично следует принципиальная невоз-можность измерения физических величин с точностью превышающей значения обусловленные наличием соответствующих дискретов Анало-гично применение линейки проградуированной в миллиметрах не по-зволяет измерять расстояния с точностью превышающей значение дис-крета равного 1 мм

Таким образом при измерении дискретных физических величин (оп-ределении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципи-альная неопределённость не связанная с погрешностями применяемых методов и используемых приборов

Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гей-зенберг который предложил принять эту принципиально неустранимую неопределённость в качестве специфического физического закона Со-гласно этому закону известному сейчас как соотношение неопределённо-сти Гейзенберга при одновременном определении координаты и импуль-са имеет место неопределенность измерения xΔ и xpΔ такая что

xx p hΔ Δ ge (112) где h ndash постоянная Планка посредством которой определяется минималь-ный дискрет (квант) энергии равный hν ν ndash частота излучения Неоп-ределённость выражается через произведение что соответствует пред-

30

ставлению фазового пространства произведением пространства импуль-сов и координат15

Отсюда следует что для трёхмерного движения неопределённость составит величину порядка 3x y zx y z p p p hΔ Δ Δ Δ Δ Δ ge Это означает что объём который занимает электрон в фазовом пространстве всегда конеч-ный не меньше размера элементарной ячейки 3h Учитывая что в эле-ментарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона с противоположными спинами16 приходим к выводу что объём фазового пространства может содержать максимум 3

фаз2 ( )V htimes электронов Тогда используя (111) определим что полное число электронов в единичном объёме координатного пространства 3( )[см ]N E minus энергия которых не превышает Е будет равно

( ) ( )3 3 3фаз( ) 2 ( ) 2 4 3 xyzN E V V h p hπ= = (113)

Максимальная плотность разрешённых состояний т е число электронов в единице объёма с энергией Е приходящихся на единичный интервал энергии по определению есть

max( ) ( ) ( )( ) N E dE N E dN E dN dpn E

dE dE dp dE+ minus

= = = =

( )3 22 3 14 2 const см Дж m h E Eπ minus minus⎡ ⎤= equiv times ⎣ ⎦ (114)

При вычислении сложной производной использованы соотношения (110) (113) В силу (110) здесь Е ndash кинетическая энергия

Отметим что laquoотступленияraquo от классической физики касались в ос-новном обоснования размера элементарной ячейки фазового пространст-ва через соотношение неопределённости Гейзенберга которое по сущест-ву является формулировкой принципа исключения Паули на языке клас-сической физики Полученное соотношение (114) предполагает исполь-зование кинетической энергии классической частицы

Концентрация свободных носителей заряда Равновесный полупроводник

Концентрация СНЗ не содержащего примесей равновесного полу-проводника определяется соотношениями (18) Вычисление интегралов можно упростить если учитывая особенности проходящих физических процессов распространить интегрирование на бесконечные пределы Та-кой шаг оправдан поскольку почти все свободные электроны компактно располагаются на дне зоны проводимости а дырки ndash у вершины валент-

31

ной зоны Положив верхний предел интегрирования равным бесконечно-сти мы не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смысл результата сможем получить более изящные аналитические выражения

Вычисление интегралов (18) значительно упрощается также благо-даря тому что функцию ФермиndashДирака можно заменить функцией рас-пределения МаксвеллаndashБольцмана Замена возможна потому что для практически важных случаев невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько Tκ а основная масса электронов ndash в зоне проводимости на расстояниях (2 3) FE E Tκminus gt divide В этом случае в знаме-нателе уравнения (15) можно пренебречь единицей Распределением электронов становится выражение (19) где полная энергия есть сумма потенциальной энергии EC и кинетической энергии Ек

к CE E Е= + (115) а максимальная плотность разрешённых состояний (114) выражается че-рез кинетическую энергию к Е Еequiv Тогда введя обозначение к x Е Tκ= используя (19) (114) и nm m= представим соотношение (18) в сле-дующем виде

0

Ф-Д Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( )C C

E

E En n E f E dE n E f E dE

infin= =int int

М-Бmax к к к0

( ) ( )Сn E f E E dEinfin

= + =int ( )3 22 1 2

04 2

C Fx

n

E ETm h e x e dxκπ

infinminus minusminus

int

где E0 ndash уровень свободного электрона в вакууме (рис 110 рис 111) nm ndash эффективная масса электрона посредством которой учитываются осо-бенности движения в твёрдом теле Воспользовавшись табличным инте-

гралом ( )1 2

0expx x dx

infinminus =int 2π окончательно получаем

FC

C

E ETn N e κminus

minus= (116)

где ( )3 222 2C nN m T hπ κ= = ( ) ( )3 2 3 219 325 10 300 смnm m T minus⎡ ⎤sdot times ⎣ ⎦

имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости Определение концентрации дырок в приближении распределения

МаксвеллаndashБольцмана сводится к вычислению интеграла (18) для (17) ( )( ) exp Fpf E E E Tκasymp minus⎡ ⎤⎣ ⎦ где полная энергия дырки равна кVE E Е= minus

и (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV

32

laquoвнизraquo в сторону отрицательных значений (рис 111) max ( )кp E опреде-ляется уравнением (114) при эффективной массе дырки pm m= посред-ством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле Тогда

М-Бmax max0

( ) ( ) ( ) ( )V

V

E

p к к кp p E f E dE p E f E E dEinfin

minusinfin= minus =int int

( )3 22 1 2

04 2

F VE ExT

pm h e x e dxκπminus infinminus minus= int где кx Е Tκ= Окончательно

F V

V

E ETp N e κminusminus

= (117)

где ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 19 32 2 25 10 300 смV p pN m T h m m Tπ κ minus⎡ ⎤= = sdot times ⎣ ⎦ ndash

эффективная плотность состояний в валентной зоне Отметим что полученные соотношения задают количество носите-

лей заряда в единице объёма но не закон их распределения по энергиям Таким образом концентрация СНЗ полупроводника при данной тем-

пературе однозначно определяется положением уровня Ферми Всякое изменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному из-менению концентрации носителей и обратно ndash изменение концентрации будь то за счёт температуры легирования примесями засветки и т д вы-зывает изменение положения уровня Ферми

Количество носителей заряда определяется процессами тепловой генерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов а также обратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны (рис 113 и ниже рис 126 рис 128) Про-цессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят не-прерывно и параллельно Равновесное состояние есть результат динами-ческого равновесия этих процессов При этом однако произведение кон-центраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда зависящим от температуры) равным квадрату собственной концентрации полу-проводника Действительно учитывая что в собственном полупроводни-ке носители образуются парами и 2 in p n= equiv после почленного перемно-жения выражений (116) и (117) получим

2 constinp n= = = (118а)

( )3 231 2 3231 10 g gC V

E T E Tn pN N e m m m T eκ κminus minus= = sdot times

где in ndash собственная концентрация Такова особенность равновесного состояния полупроводников Нижняя строчка этих равенств раскрываю-щая произведение зависит только от температуры и ширины запрещён-

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

11

ми позволил установить алгоритм заполнения электронных оболочек многоэлектронных атомов

Таким образом если рас-сматривать Периодическую таблицу химических элемен-тов с точки зрения электрон-ной структуры атомов то суммарное число электронов в атоме равно порядковому номеру элемента Число элек-тронных оболочек в атоме равно номеру периода (стро-ки) элемента Число элек-тронных уровней в каждой оболочке равно номеру обо-лочки Номер группы (столб-ца) равен числу валентных электронов во внешней наи-более удаленной от ядра электронной оболочке

Для обозначения элек-тронных уровней в каждой оболочке принято пользо-ваться буквенными символа-ми заимствованными из спектроскопии Это s p d f - уровни

С учётом принципа Паули на дискретных электронных уровнях атома может находиться строго определенное число электронов (Таблица 11) Всего в оболочке 2 2n разрешённых состояний где n ndash но-мер электронной оболочки 12n N= N ndash номер периода Т а б л и ц а 11

Электронный уровень s p d f hellipМаксимальное число разрешённых со-стояний 2 6 10 14 hellip

Энергетическая диаграмма изолированного многоэлектронного ато-ма показана на рис 11 Электронная конфигурация изолированного атома формируется в соответствии с принципом Паули за счёт последовательно-го заполнения электронами разрешённых дискретных энергетических

+

Номер оболочки

п = 3

п = 2

п = 1

Электронные уровни

2п2 = 18

2п2 = 8

2п2 = 2

3d10

3p6

3s2

2p6

2s2

1s2

Ядро

Электронные оболочки

Рис11 Структура энергетических уров‐ней многоэлектронного гипотетическо‐

го атома из третьего периода N = 3 На электронных уровнях показано мак-симально возможное число электронов Конкретное число электронов и элек-тронных уровней на внешней третьей оболочке зависит от номера группы в которой находится элемент

12

уровней Причём как указывалось номер периода равен числу электрон-ных оболочек Номер группы равен числу валентных электронов Номер элемента равен общему числу электронов в атоме

Цифра перед буквенным символом электронного уровня обозначает номер оболочки показатель степени ndash максимально возможное число электронов (разрешенных состояний уровня) Гипотетический атом из третьего периода содержит три электронные оболочки расположенные на возрастающем удалении от ядра атома Орбиты электронов разных элек-тронных уровней одной оболочки различаются формой (круговая эллип-тическая) Орбиты электронов одного энергетического уровня различают-ся ориентацией Электроны на одной орбите имеют противоположные направления спинов Электроны наиболее удаленных от ядра уровней внешней оболочки называются валентными Именно валентные электро-ны взаимодействуют с другими атомами при формировании более слож-ных атомных структур

Интересующий нас фрагмент периодической таблицы химических элементов содержащий элементы III-V групп показан в таблице 12 В твёрдотельной электронике чаще всего используются монокристаллы кремния (Si) и германия (Ge)

Кремний находится в четвёртой группе третьего периода Значит он имеет три электронных оболочки и 4 валентных электрона в третьей обо-лочке Всего 14 электронов что соответствует атомному номеру кремния Электронная конфигурация атома кремния выглядит следующим образом

2 2 6 2 21 2 2 3 3s s p s p Обратим внимание что все элементы IV группы таблицы Менделее-

ва имеют одинаковую конфигурацию внешней электронной оболочки

Т а б л и ц а 12Период Группа III IV V

2 2 1

5 B2 2s p

2 2

6 C2 2s p

3 2 1

13 Al2 2s p

2 2

14 Si3 3s p

2 3

15 P3 3s p

4 2 1

31 Gal4 4s p

2 2

32 Ge4 4s p

2 3

33 As4 4s p

5 2 1

49 In5 5s p

2 2

50 Sn5 4s p

2 3

51 Sв5 5s p

6

2 2

52 Pв6 6s p

13

2 2Ns Np содержащую 4 электрона из 8 возможных Аналогично элемен-

ты V группы имеют конфигурацию 2 3Ns Np и содержат 5 внешних элек-тронов на один больше Элементы III группы имеют 3 валентных элек-трона на один меньше чем элементы IV группы

Модель ковалентной связи В твёрдотельной электронике электроны выполняют функцию не

только свободных носителей заряда формирующих токи проводимости но и являются теми элементами которые играют основную роль в про-цессе объединения индивидуальных атомов в твёрдое тело Электроны выполняют роль привязных ремней реализующих межатомные связи благодаря которым из совокупности индивидуальных атомов создаются пространственно упорядоченные периодические структуры Причём обра-зование свободных носителей заряда (СНЗ) происходит в органическом единстве с формированием этих связей

Различают ионную металлическую и ковалентную связи При ион-ной связи часть электронов одного атома перемещается к другому атому В результате образуется противоположно заряженные ионы взаимодейст-вие которых консолидирует атомы в твёрдое тело При металлической связи кристаллическая решётка положительно заряженных ядер окружена отрицательным электронным газом В случае ковалентной связи каждый атом связан со своим ближайшим (в данном направлении) соседом парой электронов (приставка laquoкоraquo ndash два) Один валентный электрон одного ато-ма и один электрон соседнего атома (один laquoсвойraquo и один laquoчужойraquo) вра-щаются (согласно представлениям классической физики) вокруг этих двух атомов по одной общей орбите Общая орбита двух электронов соседних атомов реализует ковалентную связь этих атомов в данном направлении

Молекула водорода H2 самого распространённого элемента Вселен-ной является наглядным примером того как за счёт ковалентной связи формируется новая структура более сложная нежели сам атом При

R R

а)

б) в)

+ +++

+ +

+ +

+ +

+ +

bull bull

bull

bull

bull bull

Рис 12 Модель формирования молекулы водорода H2

а) б) образование молекулы при сближении двух атомов за счёт ковалентной связи реализован-ной двумя валентными электро-нами в) символическое изображение ковалентной связи двух атомов

14

сближении атомов до расстояний R на которых орбиты валентных элек-тронов начинают перекрываться (рис 12а) два атома водорода объеди-няются в молекулу (рис 12б) за счёт ковалентной связи символически изображенной на рис 12в

С помощью одного электрона от каждого из двух атомов объеди-няемых ковалентной связью формируется структура не сложнее двух-атомной молекулы (например водорода) Посредством двух электронов от каждого из двух атомов объединяемых ковалентной связью возможно формирование более сложной структуры состоящей например из трёх атомов (рис 13)

Когда в реализации ковалентных связей участвует каждый из трёх валентных электронов возможно формирование ещё более сложной структуры Например двумерной поверхности состоящей из правильных шестиугольных атомных структур где каждый атом связан ковалентными связями с тремя ближайшими соседями (рис 14) Такую структуру имеют нанотрубки4 образованные атомами углерода Правда из 4-х валентных электронов атома углерода в формировании ковалентных связей участву-ют только 3 Четвертый ndash может быть свободным

Объёмные твёрдотельные кристаллические решётки монокристаллов четырехвалентного кремния и германия образуются за счёт ковалентных связей каждого атома с четырьмя ближайшими соседними атомами Дву-мерная (плоская) модель связей в решётке четырёхвалентных атомов по-казана на рис 15 В такой решётке вокруг каждого атома находится 8 электронов Консолидируясь в твёрдое тело атомы дополняют свою внешнюю оболочку до 8 электронов что соответствует полностью запол-

Рис 13 Схема ковален‐тных связей в структуре из двухвалентных ато‐

мов Гипотетическая струк-тура состоящая из трёх двухвалентных атомов объединённых ковален-тными связями создан-ными двумя валентны-ми электронами от каж-дого атома

Рис 15 Плоская дву‐мерная модель кова‐лентных связей в иде‐альной кристалличе‐ской решётке типа алмаза состоящей из четырёхвалентных атомов кремния

Рис 14 Схема ко‐валентных связей в структуре из трёхва‐лентных атомов

15

ненным (значит устойчивым) s- и p-электронным уровням одиночного атома (рис 16)

Связи реальных кристаллов имеют объёмную пространственную структуру Плоская модель не имеет визуального сход-ства с реальной Вместе с тем она правиль-но отражает главную особенность реальной решётки ndash структура связей в ней такова что у каждого атома в кристалле имеется четыре симметрично расположенных бли-жайших соседа Они размещены в верши-нах правильного тетраэдра в центре кото-рого находится сам атом Пространственная структура ковалентных связей атома герма-ния соответствующая плоской модели рис 11 рис 16 показана на рис 17 Каждая из четырех связей осуществляется двумя элек-тронами Чёрными кружками изображены свои валентные электроны центрального атома Светлыми кружками изо-бражены четыре валентных электрона которые принадлежат и соседним атомам

Характерная особенность ковалентной связи состоит в том что электронные оболочки двух атомов частично перекрываются (напри-мер на рис 12а) Следствием такого взаимо-действия является расщепление энергети-ческого уровня электронов формирующих ко-валентную связь на два подуровня ndash верхний и нижний При этом выполняется общий прин-цип согласно которому при сближении атомов полное число разрешённых состояний расщеп-ляющегося уровня для каждого атома сохраня-ется В качестве конкретного примера на рис 18 показано расщепление 1s-уровня атомов водорода по мере их сближения при образовании молекулы Два атома объединённые ковалентной связью создали два подуровня разрешённых состояний всего 2 2 4times = состояния для двух атомов Состояния электро-нов на каждом подуровне различаются спинами

Другая характерная особенность ковалентной связи заключается в том что по мере увеличения числа атомов новые состояния появляются внутри крайних значений энергии расщеплённых уровней двух атомов в виде тонкой дополнительной структуры В качестве примера на рис 19

GeGe

Ge

GeGe

bull

bull

bullbull

bull

bull

bull bull

Рис 16 Полное заполне‐ние s‐ и p‐электронных уровней при формировании идеальной кристалличес‐кой решётки типа алмаза

Рис 17 Простран‐ственная структура ковалентных связей атомов кремния и

германия

16

показана энергетическая диаграмма гипотетической (линейной) одномер-ной цепочки четырёх атомов объединяемых ковалентными связями по-средством электронов s-уровня при их сближении [1]

Распространяя этот принцип на трёхмерные структуры заключаем что в твёрдом теле у электронов имеются не дискретные уровни энергии как у двух отдельных атомов объединенных ковалентной связью а поло-сы разрешённых состояний Отсюда следует что при формировании твёр-дого тела дискретные уровни электронов реализующих ковалентные свя-зи расщепляются на две полосы разрешённых состояний разделённых зоной запрещённых состояний (рис 19)

Модель энергетических зон Элементы IV группы кремний и германий формируют кристалличе-

скую решётку за счёт ковалентных связей каждого атома с 4-мя ближай-шими соседями Подобно уровням в молекуле водорода электронные уровни пары атомов каждой ковалентной связи расщепляются на два уровня которые объединяются с электронными уровнями других атомов в две полосы разрешённых состояний ndash верхнюю и нижнюю с характер-ным минимумом

На рис 110 качественно показано как энергетические уровни изо-лированных атомов кремния расщепляются в энергетические зоны разре-шённых состояний при формировании твёрдого тела по мере сближения атомов до действительных расстояний между ближайшими соседями в кристалле кремния [2] Изолированный атом кремния содержит во внеш-ней оболочке два 3s-электрона и два 2р-электрона (таблица 12) При сближении атомов каждый из этих уровней расширяется в верхнюю и

R

bullbull

bullbull

1s

Ε

Рис 18 Расщепление 1s ‐уровня двух атомом водорода по мере их сближения и объ‐

единения в молекулу Жирными стрелками показа-ны разрешённые состояния на каждом уровне

Рис 19 Уровни энергии в зависи‐мости от расстояния R между яд‐рами линейной цепочки несколь‐

ких атомов Образование полос разрешённых состояний при ковалентной связи нескольких атомов

1s2

R

E

17

нижнюю зону разрешенных состояний которые при дальнейшем сближе-нии атомов перекрываются

При расстоянии равном фактическому значению постоянной решёт-ки кристалла кремния R0 перекрывшиеся нижние зоны s- и p-уровней образуют зону разрешённых состояний которая называется валентной зоной Перекрывшиеся верхние зоны s- и p-уровней образуют зону разрё-шенных состояний которая называется зоной проводимости Между ни-ми находится запрещённая зона шириной Eg = EC ndash EV

Поскольку сближение атомов оставляет неизменным полное число разрешённых состояний данного уровня то в верхней и нижней зоне s-уровня на каждый атом приходится по одному разрешённому состоянию Аналогично в верхней и нижней зоне p-уровня на каждый атом прихо-дится по три разрешённых состояния Однако если зоны перекрываются то уже невозможно отличить 3s- от 3p-состояний Естественно поэтому считать что в зоне проводимости и валентной зоне имеется по четыре разрешённых состояния на каждый атом

На вертикали энергий для 0R различают уровень VE ndash вершину ва-лентной зоны5 уровень CE ndash дно зоны проводимости6 уровень 0E ndash уро-

Рис 110 Схема образования энергетических зон в кремнии при умень‐шении расстояния между ближайшими соседними атомами

По достижении значения R0 зоны перекрываются образуя зону прово-димости запрещённую зону шириной Eg = 112 эВ и валентную зону Германий имеет аналогичную схему энергетических зон но Eg =072 эВ

Свободные состояния

Заполненныесостояния

3 состояния на атом

1 состояние на атом

Энергия

элект

рона

Валентная зона

Запрещённаязона

Eg = 112 эВ

R0

2 4 6 8

3s2

3p6

Расстояние между ближайшими соседними атомамиbull

bull

bull

Зона проводимости

R

1 состояние на атом

E0

EC

EV

3 состояния на атом

18

вень свободного электрона в вакууме (рис 110) Глубина зоны проводи-мости 0 aCE E Eminus = называется энергией электронного сродства

Если ось пространственных координат х направить перпендикулярно рисунку 110 то получим энергетическую зонную диаграмму крем-ниягермания показанную на рис 111

Аналогично строятся энергетические зоны германия и других эле-ментов IV группы Однако ширина запрещённой зоны при температуре Т0

= 300 К составляет величину порядка 7эВ = 270κТ0 у алмаза 112эВ = =42κТ0 ndash у кремния 073эВ = 27κТ0 ndash у германия и около 02эВ = 7κТ0 у серого олова где κ ndash постоянная Больцмана κТ0 = 26мВ = 26middot10ndash3 эВ Ис-ходя из ширины запрещённой зоны алмаз относят к изоляторам кремний Si и германий Ge ndash к полупроводникам олово ndash к металлам Модель энер-гетических зон позволяет судить о состоянии носителей заряда в про-странстве энергий

В валентной зоне и в зоне проводимости на каждый атом приходится по четыре разрешённых состояния а всего в атоме 4 валентных электро-на Значит при низких температурах все 4 валентных электрона атома занимают энергетически более выгодные состояния с меньшей энергией в валентной зоне Поэтому валентная зона полностью заполнена а зона проводимости ndash пуста Состояние заполненной валентной зоны и пустой зоны проводимости соответствует сохранённым (не разорванным) кова-лентным связям показанным на рис 15 При таких условиях прохожде-ние электрического тока проводимости в кристалле исключено Свобод-ные носители заряда (СНЗ) отсутствуют Возможен только обмен элек-тронами между атомами при суммарном импульсе равном нулю

Однако у всех элементов рассматриваемой группы кроме алмаза ширина запрещённой зоны невелика поэтому при комнатной температуре ковалентные связи могут разрываться за счёт энергии тепловых колеба-

+

ndash

bull

bull

Зона проводимости

Валентная зона

Пространственная координата

E0

EC

EV

Ea

Eg Запрещённая зона

Энергия

дырки

ndash ndashndash ndash ndash ndashndash ndash ndashndash

++ + + + + + +

Энергия

электрона

Рис 111 Энергетическая зонная диаграмма

Зона проводимости содержащая свободные электроны и валентная зона содержащая свободные дыр-ки разделены запрещённой зоной Разрыв ковалентной связи соб-ственных атомов означает образо-вание пары свободных носителей заряда и изображается как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости

19

ний решетки Разрыв ковалентных связей в пространстве координат озна-чает уход электрона с общей для двух атомов орбиты формирующей ко-валентную связь (рис 112) В пространстве энергий ndash это уход электрона в зону проводимости с образованием пары свободных носителей заряда ndash положительной дырки в валентной зоне и отрицательного электрона в зоне проводимости Действительно ушедшие электроны оставляют пус-тыми уровни у потолка валентной зоны и заполняют свободные состояния у дна зоны проводимости Пустой (не занятый электроном) уровень в ва-лентной зоне называется дыркой Дырка ndash это отсутствие электрона в ковалентной связи двух соседних собственных атомов кристалли-ческой решётки Вакантное место которое образовалось в результате разрыва ковалентной связи и ухода электрона из валентной зоны имеет положительный заряд Оно ведёт себя в кристалле как виртуальная (мыс-лимая) элементарная частица7 имеющая реальный положительный заряд равный по модулю заряду электрона Состояние частично заполненной зоны проводимости и частично свободной валентной зоны (рис 111) оз-начает наличие разрывов ковалентных связей в модели кристалла приведённой на рис 15 Оно показано на рис 112

Число атомов в кристалле велико порядка 1022 смndash3 а глубина энер-гетических зон конечная единицы эВ Поэтому как в зоне проводимости так и в валентной зоне образуется практически непрерывный спектр раз-решённых состояний состоящих из огромного числа дискретных уровней разделённых незначительным зазором Действительно если принять что Еа = 1эВ объёмная плотность атомов равна 1022 смndash3 и на каждый атом приходится по 4 разрешённых состояния то энергетический интервал между разрешенными состояниями составит 1(4middot1022) = 25middot10ndash23эВ Это на 20 порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колеба-ний решётки κТ0 = 26эВ для Т0 = 300 К

Наличие огромного количества разрешённых состояний сопостави-мого с числом атомов в кристалле позволяет считать электроны зоны проводимости и дырки в валентной зоне свободными носителями заряда (СНЗ) в кристалле т к они имеют возможность практически непрерывно изменять своё состояние в пространстве энергий и в пространстве коор-

Рис 112 Образование носителей заряда в собственном полупроводнике

+

+

+

ndashndash

ndash

Разрыв ковалентной связи собственных атомов за счёт энергии тепловых колеба-ний решётки т е уход электрона с об-щей орбиты формирующей ковалент-ную связь создаёт пару свободных носи-телей заряда ndash отрицательный электрон в зоне проводимости и положительную дырку в валентной зоне

20

динат полупроводника Ведь все разрешённые состояния принадлежат конкретным атомам

Посредством электрического поля например можно сформировать направленный перенос СНЗ и получить ток проводимости в полупровод-нике Электрическая проводимость будет иметь биполярный характер поскольку осуществляется СНЗ двух знаков ndash положительными дырками и отрицательными электронами Биполярная проводимость ndash необходи-мый признак собственного полупроводника в котором нет примесей и решётка содержит атомы только одной природы

Разрыв ковалентной связи соседних собственных атомов решётки приводит к образованию (генерации) пары СНЗ разного знака (рис 111 рис 112 рис 113б) Условие электрической нейтральности собствен-ного полупроводника

( ) ( ) 0q n q pminus times + + times = выраженное через концентрацию носителей заряда имеют вид

in p n= equiv (11) где п [см3] и р [см3] ndash концентрация электронов и дырок в зоне прово-димости и валентной зоне соответственно in ndash концентрация носителей собственного полупроводника8

Модель примесного полупроводника Если собственный атом кристаллической решётки четырёхвалентно-

го кремния или германия будет замещён пятивалентным атомом элемента V группы таблицы Менделеева например фосфором Р то четыре валент-ных электрона примесного атома будут задействованы в формировании ковалентных связей Энергетический уровень пятого валентного электро-на ED будет находится в запрещённой зоне полупроводника поскольку ни в валентной зоне ни в зоне проводимости нельзя разместить ещё хотя бы один дополнительный уровень разрешённых состояний сверх положен-ных четырёх уровней на каждый атом (рис 113) Не участвующий в фор-мировании ковалентных связей пятый электрон слабо связан с ядром Энергия его ионизации D DCE E EΔ = minus как правило на один ndash два по-рядка меньше ширины запрещённой зоны Например энергия ионизации фосфора в кремнии составляет всего 00044эВ=17 Tκ при ширине запре-щённой зоны 0112эВ 42 gE Tκ= asymp laquoЛишнийraquo электрон легко отрывается от атома примеси те переходит с примесного уровня ED в зону проводи-мости где становится свободным носителем заряда Такая примесь на-зывается донорной поскольку увеличивает концентрацию СНЗ-электронов в полупроводнике Энергетический уровень электронов до-

21

норной примеси ED находится в запрещённой зоне ниже дна зоны прово-димости на величину энергии ионизации примеси (рис 113в)

Ионизация атомов донорной примеси означает переход электрона с примесного уровня в зону проводимости При этом образуется свободный электрон в зоне проводимости и неподвижный положительный ион донорной примеси встроенный в кристаллическую решётку Поскольку энергия ионизации донорной примеси невелика то уже при комнатной температуре практически все атомы донорной примеси ионизированы Ионизация атомов донорной примеси не исключает образование пар СНЗ за счёт перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости Ио-низация собственных атомов создаёт концентрацию р [см3] свободных дырок

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного донорной примесью имеет вид Dn p N += + (12)

где DN + ndash концентрация встроенных в решётку положительных ионов до-норной примеси

Энергия ионизации примеси во много раз меньше энергии ионизации собственных атомов решётки Поэтому в области рабочих температур в донорном полупроводнике n p Электроны являются основными но-сителями заряда (ОНЗ)9 Они образуются в основном за счёт ионизации атомов донорной примеси Их концентрация может широко варьироваться путём изменения количества введённой примеси Дырки являются неос-новными носителями заряда (ННЗ) Они образуются за счёт разрыва ковалентных связей (ионизации) собственных атомов решётки

Аналогично если собственный атом кристаллической решетки четы-рёхвалентного кремния или германия замещён трёхвалентным атомом элемента III группы таблицы Менделеева например бором В то три ва-лентных электрона примесного атома будут задействованы в формирова-нии ковалентных связей Электрон недостающий для формирования чет-вёртой ковалентной связи привлекается за счёт разрыва ковалентной свя-зи собственных атомов решётки в объёме кремния (рис 113а)

При этом образуется свободная дырка в валентной зоне и непод-вижный отрицательный ион атома акцепторной примеси встроенный в кристаллическую решетку Такая примесь называется акцепторной (от англ accept ndash принимать) поскольку она laquoприсоединяетraquo к себе электро-ны за счёт их перехода из валентной зоны на примесный уровень ЕА Энергетический уровень laquoприсоединённыхraquo электронов EА находится в запрещённой зоне выше вершины валентной зоны на величину энергии ионизации акцепторной примеси (рис 113а)

22

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного акцепторной примесью значит обладающего в основном дырочной проводимостью имеет вид

Ap n N minus= + (13)

где AN minus ndash концентрация встроенных в решётку отрицательно ионизиро-ванных атомов акцепторной примеси

В полупроводнике легированном акцепторной примесью дырки яв-ляются основными носителями заряда а электроны minus неосновные но-сители заряда Дырки образуются в основном за счёт ионизации атомов примеси а ННЗ-электроны minus за счёт разрыва ковалентных связей собст-венных атомов решётки

+

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Вndash

ndash

Si

ndash

ndash+ Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

+

ndash

Si

ndash

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Р+

+

Si

Si

ndash ndash

++

ndash

+

ndash

+

ndashЕС ЕС ЕС

ЕVЕVЕV

ЕA

ЕD

ndash

+

Bndash P+

а) б) в)

ndash

+

Б)

А)

Рис 113 Образование свободных носителей заряда в собственном и при‐месных полупроводниках за счёт тепловой генерации электронно‐

дырочных пар и ионизации атомов примеси А) Модели кристаллических решёток Б) Зонные диаграммы

а) Модель акцепторной примеси Трёхвалентный атом бора захватывает у собственного атома электрон недостающий для формирования ковалентной связи Образуется свободная дырка в валентной зоне и встроенный в кри-сталлическую решётку отрицательный ион Вminus ЕА ndash акцепторный уровень б) Модель собственного полупроводника Разрыв ковалентной связи соб-ственных атомов решётки кремния создаёт пару свободных носителей заря-да ndash положительную дырку в валентной зоне и отрицательный электрон в зоне проводимости в) Модель донорной примеси Пятивалентный атом фосфора отдаёт неза-действованный в ковалентных связях пятый электрон Образуется свобод-ный электрон в зоне проводимости и встроенный в кристаллическую ре-шётку неподвижный положительный ион Р+ ЕD ndash донорный уровень На зонных диаграммах примесных полупроводников показано также обра-зование электронно-дырочных пар носителей заряда за счёт разрыва кова-лентных связей (ионизации) собственных атомов решётки которые обозна-чаются как переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости

23

В области рабочих температур примесных полупроводников основ-ными являются laquoпримесныеraquo носители созданные за счёт ионизации примеси Неосновные носители ndash это laquoсобственныеraquo носители созданные за счёт ионизации собственных атомов решётки

Выводы 1 Элементы IV группы таблицы Менделеева Si и Ge формируют

кристаллическую решётку за счёт ковалентных связей каждого атома с четырьмя ближайшими соседями В каждом данном направлении кова-лентная связь двух соседних атомов реализуется двумя валентными элек-тронами s- и p-электронных уровней ndash одним laquoсвоимraquo и одним laquoчужимraquo которые (согласно представлениям классической физики) вращаются во-круг этих атомов по одной общей орбите

2 При формировании твёрдого тела s- и p-электронные уровни ато-мов объединяемых ковалентными связями расщепляются на две ndash верх-нюю и нижнюю ndash полосы разрешённых состояний представляющих со-бой совокупность множества (по числу атомов) дискретных энергетиче-ских уровней

Нижние полосы совокупности s- и p-электронных уровней перекры-ваются и создают валентную зону в основном занятых (электронами) состояний полупроводника Перекрывающиеся верхние полосы s- и p-уровней создают зону проводимости в основном свободных состояний Между ними находится запрещённая зона

На каждый атом в валентной зоне и зоне проводимости приходится по 4 разрешённых состояния (по 1 от s- и по 3 от р-подуровней) Число атомов велико а глубина зон конечная В каждой из зон формируется практически непрерывный спектр большого числа разрешённых состоя-ний разделённых незначительным дискретом величина которого на мно-го порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колебаний

3 Свободные носители заряда в полупроводнике создаются при разрыве ковалентных связей (ионизации) собственных атомов и внедрён-ных в решётку трёх- или пятивалентных атомов примеси10

Разрыв ковалентных связей собственных атомов решётки т е уход электрона с общей орбиты формирующей ковалентную связь означает освобождение занятого энергетического уровня в валентной зоне и пере-ход электрона в зону проводимости где он становится СНЗ Незанятое электроном вакантное место ndash дырка ndash ведёт себя в кристалле как свобод-ная виртуальная частица имеющая элементарный положительный заряд Электрическая проводимость осуществляется свободными зарядами обо-их знаков поэтому имеет биполярный характер

Пятивалентные атомы примеси замещая четырёхвалентные атомы Si или Ge имеют один laquoлишнийraquo электрон который не участвует в форми-ровании ковалентных связей Он легко отрывается от примесного атома и

24

переходит в зону проводимости При этом наряду со свободным отрица-тельным электроном образуется внедрённый в решётку неподвижный по-ложительный ион атома донорной примеси Условие электрической ней-тральности соблюдается

При замещении четырёхвалентного собственного атома Si или Ge трёхвалентным атомом примеси для образования четырёх ковалентных связей недостаёт одного электрона Недостающий электрон восполняется за счёт разрыва ковалентной связи собственных атомов в объёме и при-соединения электрона к атому примеси Это означает переход электрона из валентной зоны на примесный уровень Образуется свободная положи-тельная дырка в валентной зоне и внедрённый в решётку неподвижный отрицательный ион атома акцепторной примеси Условие электрической нейтральности сохраняется

4 Носители в полупроводниках образуются путём ионизации при-месных и собственных атомов Для ионизации примеси требуется значи-тельно меньше энергии чем для ионизации собственных атомов Поэтому большинство носителей заряда имеет laquoпримесноеraquo происхождение и тип электрической проводимости определяется характером примеси При до-норной примеси преобладающими те основными носителями заряда являются электроны Преобладает электронная проводимость При акцеп-торной примеси ОНЗ становятся дырки Преобладающей является дыроч-ная проводимость

5 Ионизация атомов значит и генерация СНЗ реализуется за счёт энергии тепловых колебаний решётки Температурные и радиационные зависимости концентрации СНЗ являются принципиальной особенностью полупроводниковых приборов

12 Свободные носители заряда Функция распределения ФермиndashДирака Свободные носители заряда ndash электроны каждый из которых незави-

симо от остальных принимает в твёрдом теле то или иное состояние в условиях теплового равновесия всё же имеют объективные меры посред-ством которых описываются совокупные свойства всего ансамбля К та-ким мерам относится функция распределения

Функция распределения в статистических системах показывает отно-сительное число членов ансамбля обладающих данным свойством

Конкретно в случае электронов она показывает какую долю от об-щего числа свободных электронов составляют электроны с заданной энергией Е Как отмечалось максимальное число электронов которые могут иметь данную энергию значит число разрешённых состояний в единице объёма приходящихся на единичный интервал энергии

25

1 3max ( ) [Дж см ]n E minus minus есть строго определённая для заданной энергии ве-

личина Значит функция распределения fФ-Д(Е) определяет отношение числа электронов п(Е) реально занимающих энергетический уровень Е к максимальному числу электронов которые в принципе могут находиться на данном уровне

Ф-Д max( ) ( ) ( )f E n E n E= (14) Аналитическое выражение функции распределения электронов ко-

торое независимо друг от друга предложили итальянский физик Энрико Ферми и английский физик Поль Дирак имеет вид

Ф-Д ( )1( )

1 FE E Tf Ee κminus=

+ (15)

где параметр EF minus уровень Ферми Функция ФермиminusДирака как элемент универсального математического аппарата не зависит от свойств той или иной конкретной системы а зависит лишь от температуры Привязка к конкретной системе осуществляется через параметр EF который показы-вает как нужно располагать функцию ФермиminusДирака относительно энер-гетических уровней конкретной системы (см ниже рис 120 рис 121 рис 22)

Функция распределения позволяет решать ряд важных задач необ-ходимых для анализа полупроводниковых приборов

Во-первых представляется возможным определять распределение свободных носителей заряда по энергиям Распределение электронов в пределах зоны проводимости получаем из (14)

3 1max Ф-Д( ) ( ) ( ) см Дж n E n E f E minus minus⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (16а)

Если энергетический уровень заполнен не полностью то ( ) ( )max n E n Elt Отсутствие электрона означает наличие дырки Тогда число дырок на данном энергетическом уровне или распределение дырок в валентной зо-не по энергиям есть разность

max( ) ( ) ( )p E n E n E= minus = max Ф-Д( ) 1 ( )n E f E⎡ ⎤minus equiv⎣ ⎦

max ( ) ( )pn E f Eequiv (16б)

где Ф-Д ( )1( ) 1 ( )

1 Fp E E Tf E f E

e κminus minus⎡ ⎤= minus =⎣ ⎦ +

(17)

minus функция распределения дырок Во-вторых пользуясь функцией распределения можно рассчитывать

концентрации СНЗ те количество электронов или дырок в единице объ-ёма имеющих любое допустимое значение энергии в пределах зоны про-

26

водимости и валентной зоны соответственно Концентрации электронов n и дырок p определяются интегралами

Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VC C

pE E E

n n E dE n E f E dE p n E f E dE= = =int int int (18)

где интегрирование следует ограничить областью энергий зоны проводи-мости (для электронов) и валентной зоны (для дырок)

Наконец представляется возможным решать обратную задачу зная концентрацию СНЗ определять уровень Ферми EF и по положению уровня Ферми судить о свойствах полупроводника

График функции распределения ФермиminusДирака для обозначенных температур приведён на рис 114 bull При температуре T = 0 K он пред-

ставляет собой прямоугольник пло-щадью 1FE times При возрастании тем-пературы освобождаемые площади под кривой распределения в области E lt EF равны возникающим площа-дям в области E gt EF График функ-ции содержит три характерные облас-ти

o область FE Elt где Ф-Д ( ) 1f E = o область в районе FE Easymp протяжённостью в несколько Tκ где функ-

ция испытывает резкий спад11 и при FE E= независимо от температу-ры равняется frac12

o область FE Egt где laquoна хвостеraquo распределения при 2FE E Tκminus gt функцию ФермиminusДирака можно заменить функцией распределения Мак-свеллаminusБольцмана М-Б ( )f E (рис 115) Действительно пренебрегая еди-ницей12 в знаменателе (15) получим13

( )Ф-Д ( ) FE E Tf E e κminus minusasymp = М-Бconst ( )E Te f Eκminustimes = (19)

bull Соотношение (14) есть число электронов приходящихся на одно раз-решённое состояние Очевидно что всегда max( ) ( ) 1n E n E le Поскольку

Ф-Д ( ) 1f E le то функцию ФермиminusДирака можно рассматривать как вероятность того что энергетический уровень занят Тогда число электронов на данном уровне (16а) равно произведению максимальной плотности разрешённых состояний на вероятность того что уровень за-нят Функция распределения ФермиminusДирака определяет плотность веро-ятности занятости состояний с энергией от Е до Е + dE

asympasymp

asymp

EEF

T2gtT1gtT = 0 10

05

0

fФ-Д (E)

~кTРис 114 Функция распределения

ФермиminusДирака

27

bull При низких температурах функция ФермиminusДирака равна единице практически вплоть до энергии FE Easymp после чего она резко падает Из вероятностного смысла функции ФермиminusДирака следует что состояния с энергиями ниже уровня Ферми заняты (вероятность равна 1) а состояния с более высокими энергиями свободны При повышении температуры определённая часть электронов переходит на более высокие энергетиче-ские уровни значительно (по сравнению с Tκ ) отстоящие от уровня Ферми и в области laquoхвостаraquo подчиняются статистике Максвел-лаminusБольцмана (19) (рис 115) Этот факт является важным результатом поскольку именно на этих уровнях находятся носители формирующие токи в полупроводниковых приборах

bull Состояния занятого или свободного уровня являются противо-положными событиями сумма вероятностей которых равна 1 как вероят-ность достоверного события Поэтому разноость Ф-Д1 ( )f Eminus дополня-ющая функцию ФермиminusДирака до единицы есть вероятность того что уровень занят дыркой (соотношение (17)) bull Распределение дырок в валентной зоне (17) выражается такой же

формулой что и распределение электронов (15) в зоне проводимости но с противоположным знаком показателя экспоненты Это даёт основание направлять ось отсчёта энергии дырок противоположно оси отсчёта энер-гии электронов (рис 111 рис 116) Тогда во встречно-вложенной систе-ме координат распределение электронов и дырок изображается одной и той же кривой (рис116) bull С точки зрения теории вероятности уровень Ферми определяется как

энергетический уровень вероятность заполнения которого равна точно половине С точки зрения термодинамики уровень (энергия) Ферми является (в

приближении равенства эффективных масс электронов и дырок) хими-ческим потенциалом14 (в расчёте на один электрон) Химический потен-циал используется в частности при анализе состояния равновесия в таких гетерогенных (разнородных) системах как например жидкостьndashпар

x

еndashx05

10

0 2 4ndash2ndash4ndash6

fФ-Д (x)

Рис 115 Сравнение функции ФермиminusДирака с экспонентой

На хвосте распределения при ( ) (2 3)Fx E E Tκ= ⎡ minus ⎤ ge divide⎣ ⎦ функ-

ция распределения ФермиminusДира-ка совпадает с функцией распре-деления МаксвеллаminusБольцмана

28

Равенство химических потенциалов служит критерием фазового равновесия

Тогда исходя из термодинамического смысла уровня Ферми условием электронно-дырочного равновесия в разнородных системах (металлов полупроводников) является равенство их уровней Ферми во всех частях системы Единство и постоянство уровня Ферми является необходимым и достаточным условием равновесия электронно-дырочных систем Сам уровень Ферми определяется из условия что полное число

электронов в кристалле (системе) должно оставаться неизменным вне зависимости от их распределения по энергетическим уровням (ранее упомянутая обратная задача)

Максимальная плотность разрешённых состояний Для вычисления концентрации СНЗ в полупроводниках (соотноше-

ния (18)) необходимо кроме функции ФермиndashДирака располагать анали-тическим выражением максимального числа электронов способных иметь данную энергию т е знать зависимость плотности разрешённых состоя-ний ( )maxn E от энергии Для вывода этого соотношения определим сна-чала полное число электронов энергия которых не превышает некоторого значения Е

В классической механике электрон считается частицей не имеющей пространственного объёма состояние которой во времени и пространстве точно определено координатами x y z и составляющими импульса рх ру рz Значит состояние электрона будет задаваться (безразмерной) матери-альной точкой в шестимерном пространстве с взаимно перпендикулярны-ми осями x y z рх ру рz Это пространство называется фазовым Полный объём фазового пространства фазV равен произведению объёмов про-

странства координат xyzV и пространства импульсов x y zp p pV

фаз x y zxyz p p pV V V= times

Объём изотропного пространства импульсов соответствующий кинетиче-ской энергии

asympasymp asymp

asymp

10

E

0505

0

fФ-Д (E) Энергия дырки

Энергия электрона10

0

fp (E)

E

EF

asymp

bull

asymp

bull

Рис 116 Функция Фер‐миminusДирака во встречно‐вложенной системе коор‐

динат Оси отсчёта энергии и ор-динат функций распреде-ления электронов и дырок направлены в противопо-ложные стороны

29

2 2 2 E p m p mE= rArr = (110) где m ndash масса электрона есть объём сферы радиуса р равный

3(4 3) x y zp p pV pπ= Тогда

3фаз (4 3) xyzV V pπ= times (111)

Согласно законам классической физики каждая точка этого про-странства вполне характеризует состояние (координаты скорость на-правление движения) электрона энергия которого не превышает величи-ну Е и может изменяться непрерывно

Однако электрон не являются классической частицей При переходе из одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образом даже если этот дискрет очень мал как например в твёрдом теле Если состояние изменяется с дискретом EΔ то очевидно что максимальное число возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отно-шения E EΔ Поскольку энергия выражается через импульс и координа-ту то число состояний в пространстве импульсов и координат не превы-шает отношений x xp pΔ и x xΔ соответственно где xpΔ xΔ ndash дискре-ты изменения импульса и координаты обязанные дискрету изменения энергии

Из дискретности энергии логично следует принципиальная невоз-можность измерения физических величин с точностью превышающей значения обусловленные наличием соответствующих дискретов Анало-гично применение линейки проградуированной в миллиметрах не по-зволяет измерять расстояния с точностью превышающей значение дис-крета равного 1 мм

Таким образом при измерении дискретных физических величин (оп-ределении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципи-альная неопределённость не связанная с погрешностями применяемых методов и используемых приборов

Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гей-зенберг который предложил принять эту принципиально неустранимую неопределённость в качестве специфического физического закона Со-гласно этому закону известному сейчас как соотношение неопределённо-сти Гейзенберга при одновременном определении координаты и импуль-са имеет место неопределенность измерения xΔ и xpΔ такая что

xx p hΔ Δ ge (112) где h ndash постоянная Планка посредством которой определяется минималь-ный дискрет (квант) энергии равный hν ν ndash частота излучения Неоп-ределённость выражается через произведение что соответствует пред-

30

ставлению фазового пространства произведением пространства импуль-сов и координат15

Отсюда следует что для трёхмерного движения неопределённость составит величину порядка 3x y zx y z p p p hΔ Δ Δ Δ Δ Δ ge Это означает что объём который занимает электрон в фазовом пространстве всегда конеч-ный не меньше размера элементарной ячейки 3h Учитывая что в эле-ментарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона с противоположными спинами16 приходим к выводу что объём фазового пространства может содержать максимум 3

фаз2 ( )V htimes электронов Тогда используя (111) определим что полное число электронов в единичном объёме координатного пространства 3( )[см ]N E minus энергия которых не превышает Е будет равно

( ) ( )3 3 3фаз( ) 2 ( ) 2 4 3 xyzN E V V h p hπ= = (113)

Максимальная плотность разрешённых состояний т е число электронов в единице объёма с энергией Е приходящихся на единичный интервал энергии по определению есть

max( ) ( ) ( )( ) N E dE N E dN E dN dpn E

dE dE dp dE+ minus

= = = =

( )3 22 3 14 2 const см Дж m h E Eπ minus minus⎡ ⎤= equiv times ⎣ ⎦ (114)

При вычислении сложной производной использованы соотношения (110) (113) В силу (110) здесь Е ndash кинетическая энергия

Отметим что laquoотступленияraquo от классической физики касались в ос-новном обоснования размера элементарной ячейки фазового пространст-ва через соотношение неопределённости Гейзенберга которое по сущест-ву является формулировкой принципа исключения Паули на языке клас-сической физики Полученное соотношение (114) предполагает исполь-зование кинетической энергии классической частицы

Концентрация свободных носителей заряда Равновесный полупроводник

Концентрация СНЗ не содержащего примесей равновесного полу-проводника определяется соотношениями (18) Вычисление интегралов можно упростить если учитывая особенности проходящих физических процессов распространить интегрирование на бесконечные пределы Та-кой шаг оправдан поскольку почти все свободные электроны компактно располагаются на дне зоны проводимости а дырки ndash у вершины валент-

31

ной зоны Положив верхний предел интегрирования равным бесконечно-сти мы не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смысл результата сможем получить более изящные аналитические выражения

Вычисление интегралов (18) значительно упрощается также благо-даря тому что функцию ФермиndashДирака можно заменить функцией рас-пределения МаксвеллаndashБольцмана Замена возможна потому что для практически важных случаев невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько Tκ а основная масса электронов ndash в зоне проводимости на расстояниях (2 3) FE E Tκminus gt divide В этом случае в знаме-нателе уравнения (15) можно пренебречь единицей Распределением электронов становится выражение (19) где полная энергия есть сумма потенциальной энергии EC и кинетической энергии Ек

к CE E Е= + (115) а максимальная плотность разрешённых состояний (114) выражается че-рез кинетическую энергию к Е Еequiv Тогда введя обозначение к x Е Tκ= используя (19) (114) и nm m= представим соотношение (18) в сле-дующем виде

0

Ф-Д Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( )C C

E

E En n E f E dE n E f E dE

infin= =int int

М-Бmax к к к0

( ) ( )Сn E f E E dEinfin

= + =int ( )3 22 1 2

04 2

C Fx

n

E ETm h e x e dxκπ

infinminus minusminus

int

где E0 ndash уровень свободного электрона в вакууме (рис 110 рис 111) nm ndash эффективная масса электрона посредством которой учитываются осо-бенности движения в твёрдом теле Воспользовавшись табличным инте-

гралом ( )1 2

0expx x dx

infinminus =int 2π окончательно получаем

FC

C

E ETn N e κminus

minus= (116)

где ( )3 222 2C nN m T hπ κ= = ( ) ( )3 2 3 219 325 10 300 смnm m T minus⎡ ⎤sdot times ⎣ ⎦

имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости Определение концентрации дырок в приближении распределения

МаксвеллаndashБольцмана сводится к вычислению интеграла (18) для (17) ( )( ) exp Fpf E E E Tκasymp minus⎡ ⎤⎣ ⎦ где полная энергия дырки равна кVE E Е= minus

и (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV

32

laquoвнизraquo в сторону отрицательных значений (рис 111) max ( )кp E опреде-ляется уравнением (114) при эффективной массе дырки pm m= посред-ством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле Тогда

М-Бmax max0

( ) ( ) ( ) ( )V

V

E

p к к кp p E f E dE p E f E E dEinfin

minusinfin= minus =int int

( )3 22 1 2

04 2

F VE ExT

pm h e x e dxκπminus infinminus minus= int где кx Е Tκ= Окончательно

F V

V

E ETp N e κminusminus

= (117)

где ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 19 32 2 25 10 300 смV p pN m T h m m Tπ κ minus⎡ ⎤= = sdot times ⎣ ⎦ ndash

эффективная плотность состояний в валентной зоне Отметим что полученные соотношения задают количество носите-

лей заряда в единице объёма но не закон их распределения по энергиям Таким образом концентрация СНЗ полупроводника при данной тем-

пературе однозначно определяется положением уровня Ферми Всякое изменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному из-менению концентрации носителей и обратно ndash изменение концентрации будь то за счёт температуры легирования примесями засветки и т д вы-зывает изменение положения уровня Ферми

Количество носителей заряда определяется процессами тепловой генерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов а также обратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны (рис 113 и ниже рис 126 рис 128) Про-цессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят не-прерывно и параллельно Равновесное состояние есть результат динами-ческого равновесия этих процессов При этом однако произведение кон-центраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда зависящим от температуры) равным квадрату собственной концентрации полу-проводника Действительно учитывая что в собственном полупроводни-ке носители образуются парами и 2 in p n= equiv после почленного перемно-жения выражений (116) и (117) получим

2 constinp n= = = (118а)

( )3 231 2 3231 10 g gC V

E T E Tn pN N e m m m T eκ κminus minus= = sdot times

где in ndash собственная концентрация Такова особенность равновесного состояния полупроводников Нижняя строчка этих равенств раскрываю-щая произведение зависит только от температуры и ширины запрещён-

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

13

2 2Ns Np содержащую 4 электрона из 8 возможных Аналогично элемен-

ты V группы имеют конфигурацию 2 3Ns Np и содержат 5 внешних элек-тронов на один больше Элементы III группы имеют 3 валентных элек-трона на один меньше чем элементы IV группы

Модель ковалентной связи В твёрдотельной электронике электроны выполняют функцию не

только свободных носителей заряда формирующих токи проводимости но и являются теми элементами которые играют основную роль в про-цессе объединения индивидуальных атомов в твёрдое тело Электроны выполняют роль привязных ремней реализующих межатомные связи благодаря которым из совокупности индивидуальных атомов создаются пространственно упорядоченные периодические структуры Причём обра-зование свободных носителей заряда (СНЗ) происходит в органическом единстве с формированием этих связей

Различают ионную металлическую и ковалентную связи При ион-ной связи часть электронов одного атома перемещается к другому атому В результате образуется противоположно заряженные ионы взаимодейст-вие которых консолидирует атомы в твёрдое тело При металлической связи кристаллическая решётка положительно заряженных ядер окружена отрицательным электронным газом В случае ковалентной связи каждый атом связан со своим ближайшим (в данном направлении) соседом парой электронов (приставка laquoкоraquo ndash два) Один валентный электрон одного ато-ма и один электрон соседнего атома (один laquoсвойraquo и один laquoчужойraquo) вра-щаются (согласно представлениям классической физики) вокруг этих двух атомов по одной общей орбите Общая орбита двух электронов соседних атомов реализует ковалентную связь этих атомов в данном направлении

Молекула водорода H2 самого распространённого элемента Вселен-ной является наглядным примером того как за счёт ковалентной связи формируется новая структура более сложная нежели сам атом При

R R

а)

б) в)

+ +++

+ +

+ +

+ +

+ +

bull bull

bull

bull

bull bull

Рис 12 Модель формирования молекулы водорода H2

а) б) образование молекулы при сближении двух атомов за счёт ковалентной связи реализован-ной двумя валентными электро-нами в) символическое изображение ковалентной связи двух атомов

14

сближении атомов до расстояний R на которых орбиты валентных элек-тронов начинают перекрываться (рис 12а) два атома водорода объеди-няются в молекулу (рис 12б) за счёт ковалентной связи символически изображенной на рис 12в

С помощью одного электрона от каждого из двух атомов объеди-няемых ковалентной связью формируется структура не сложнее двух-атомной молекулы (например водорода) Посредством двух электронов от каждого из двух атомов объединяемых ковалентной связью возможно формирование более сложной структуры состоящей например из трёх атомов (рис 13)

Когда в реализации ковалентных связей участвует каждый из трёх валентных электронов возможно формирование ещё более сложной структуры Например двумерной поверхности состоящей из правильных шестиугольных атомных структур где каждый атом связан ковалентными связями с тремя ближайшими соседями (рис 14) Такую структуру имеют нанотрубки4 образованные атомами углерода Правда из 4-х валентных электронов атома углерода в формировании ковалентных связей участву-ют только 3 Четвертый ndash может быть свободным

Объёмные твёрдотельные кристаллические решётки монокристаллов четырехвалентного кремния и германия образуются за счёт ковалентных связей каждого атома с четырьмя ближайшими соседними атомами Дву-мерная (плоская) модель связей в решётке четырёхвалентных атомов по-казана на рис 15 В такой решётке вокруг каждого атома находится 8 электронов Консолидируясь в твёрдое тело атомы дополняют свою внешнюю оболочку до 8 электронов что соответствует полностью запол-

Рис 13 Схема ковален‐тных связей в структуре из двухвалентных ато‐

мов Гипотетическая струк-тура состоящая из трёх двухвалентных атомов объединённых ковален-тными связями создан-ными двумя валентны-ми электронами от каж-дого атома

Рис 15 Плоская дву‐мерная модель кова‐лентных связей в иде‐альной кристалличе‐ской решётке типа алмаза состоящей из четырёхвалентных атомов кремния

Рис 14 Схема ко‐валентных связей в структуре из трёхва‐лентных атомов

15

ненным (значит устойчивым) s- и p-электронным уровням одиночного атома (рис 16)

Связи реальных кристаллов имеют объёмную пространственную структуру Плоская модель не имеет визуального сход-ства с реальной Вместе с тем она правиль-но отражает главную особенность реальной решётки ndash структура связей в ней такова что у каждого атома в кристалле имеется четыре симметрично расположенных бли-жайших соседа Они размещены в верши-нах правильного тетраэдра в центре кото-рого находится сам атом Пространственная структура ковалентных связей атома герма-ния соответствующая плоской модели рис 11 рис 16 показана на рис 17 Каждая из четырех связей осуществляется двумя элек-тронами Чёрными кружками изображены свои валентные электроны центрального атома Светлыми кружками изо-бражены четыре валентных электрона которые принадлежат и соседним атомам

Характерная особенность ковалентной связи состоит в том что электронные оболочки двух атомов частично перекрываются (напри-мер на рис 12а) Следствием такого взаимо-действия является расщепление энергети-ческого уровня электронов формирующих ко-валентную связь на два подуровня ndash верхний и нижний При этом выполняется общий прин-цип согласно которому при сближении атомов полное число разрешённых состояний расщеп-ляющегося уровня для каждого атома сохраня-ется В качестве конкретного примера на рис 18 показано расщепление 1s-уровня атомов водорода по мере их сближения при образовании молекулы Два атома объединённые ковалентной связью создали два подуровня разрешённых состояний всего 2 2 4times = состояния для двух атомов Состояния электро-нов на каждом подуровне различаются спинами

Другая характерная особенность ковалентной связи заключается в том что по мере увеличения числа атомов новые состояния появляются внутри крайних значений энергии расщеплённых уровней двух атомов в виде тонкой дополнительной структуры В качестве примера на рис 19

GeGe

Ge

GeGe

bull

bull

bullbull

bull

bull

bull bull

Рис 16 Полное заполне‐ние s‐ и p‐электронных уровней при формировании идеальной кристалличес‐кой решётки типа алмаза

Рис 17 Простран‐ственная структура ковалентных связей атомов кремния и

германия

16

показана энергетическая диаграмма гипотетической (линейной) одномер-ной цепочки четырёх атомов объединяемых ковалентными связями по-средством электронов s-уровня при их сближении [1]

Распространяя этот принцип на трёхмерные структуры заключаем что в твёрдом теле у электронов имеются не дискретные уровни энергии как у двух отдельных атомов объединенных ковалентной связью а поло-сы разрешённых состояний Отсюда следует что при формировании твёр-дого тела дискретные уровни электронов реализующих ковалентные свя-зи расщепляются на две полосы разрешённых состояний разделённых зоной запрещённых состояний (рис 19)

Модель энергетических зон Элементы IV группы кремний и германий формируют кристалличе-

скую решётку за счёт ковалентных связей каждого атома с 4-мя ближай-шими соседями Подобно уровням в молекуле водорода электронные уровни пары атомов каждой ковалентной связи расщепляются на два уровня которые объединяются с электронными уровнями других атомов в две полосы разрешённых состояний ndash верхнюю и нижнюю с характер-ным минимумом

На рис 110 качественно показано как энергетические уровни изо-лированных атомов кремния расщепляются в энергетические зоны разре-шённых состояний при формировании твёрдого тела по мере сближения атомов до действительных расстояний между ближайшими соседями в кристалле кремния [2] Изолированный атом кремния содержит во внеш-ней оболочке два 3s-электрона и два 2р-электрона (таблица 12) При сближении атомов каждый из этих уровней расширяется в верхнюю и

R

bullbull

bullbull

1s

Ε

Рис 18 Расщепление 1s ‐уровня двух атомом водорода по мере их сближения и объ‐

единения в молекулу Жирными стрелками показа-ны разрешённые состояния на каждом уровне

Рис 19 Уровни энергии в зависи‐мости от расстояния R между яд‐рами линейной цепочки несколь‐

ких атомов Образование полос разрешённых состояний при ковалентной связи нескольких атомов

1s2

R

E

17

нижнюю зону разрешенных состояний которые при дальнейшем сближе-нии атомов перекрываются

При расстоянии равном фактическому значению постоянной решёт-ки кристалла кремния R0 перекрывшиеся нижние зоны s- и p-уровней образуют зону разрешённых состояний которая называется валентной зоной Перекрывшиеся верхние зоны s- и p-уровней образуют зону разрё-шенных состояний которая называется зоной проводимости Между ни-ми находится запрещённая зона шириной Eg = EC ndash EV

Поскольку сближение атомов оставляет неизменным полное число разрешённых состояний данного уровня то в верхней и нижней зоне s-уровня на каждый атом приходится по одному разрешённому состоянию Аналогично в верхней и нижней зоне p-уровня на каждый атом прихо-дится по три разрешённых состояния Однако если зоны перекрываются то уже невозможно отличить 3s- от 3p-состояний Естественно поэтому считать что в зоне проводимости и валентной зоне имеется по четыре разрешённых состояния на каждый атом

На вертикали энергий для 0R различают уровень VE ndash вершину ва-лентной зоны5 уровень CE ndash дно зоны проводимости6 уровень 0E ndash уро-

Рис 110 Схема образования энергетических зон в кремнии при умень‐шении расстояния между ближайшими соседними атомами

По достижении значения R0 зоны перекрываются образуя зону прово-димости запрещённую зону шириной Eg = 112 эВ и валентную зону Германий имеет аналогичную схему энергетических зон но Eg =072 эВ

Свободные состояния

Заполненныесостояния

3 состояния на атом

1 состояние на атом

Энергия

элект

рона

Валентная зона

Запрещённаязона

Eg = 112 эВ

R0

2 4 6 8

3s2

3p6

Расстояние между ближайшими соседними атомамиbull

bull

bull

Зона проводимости

R

1 состояние на атом

E0

EC

EV

3 состояния на атом

18

вень свободного электрона в вакууме (рис 110) Глубина зоны проводи-мости 0 aCE E Eminus = называется энергией электронного сродства

Если ось пространственных координат х направить перпендикулярно рисунку 110 то получим энергетическую зонную диаграмму крем-ниягермания показанную на рис 111

Аналогично строятся энергетические зоны германия и других эле-ментов IV группы Однако ширина запрещённой зоны при температуре Т0

= 300 К составляет величину порядка 7эВ = 270κТ0 у алмаза 112эВ = =42κТ0 ndash у кремния 073эВ = 27κТ0 ndash у германия и около 02эВ = 7κТ0 у серого олова где κ ndash постоянная Больцмана κТ0 = 26мВ = 26middot10ndash3 эВ Ис-ходя из ширины запрещённой зоны алмаз относят к изоляторам кремний Si и германий Ge ndash к полупроводникам олово ndash к металлам Модель энер-гетических зон позволяет судить о состоянии носителей заряда в про-странстве энергий

В валентной зоне и в зоне проводимости на каждый атом приходится по четыре разрешённых состояния а всего в атоме 4 валентных электро-на Значит при низких температурах все 4 валентных электрона атома занимают энергетически более выгодные состояния с меньшей энергией в валентной зоне Поэтому валентная зона полностью заполнена а зона проводимости ndash пуста Состояние заполненной валентной зоны и пустой зоны проводимости соответствует сохранённым (не разорванным) кова-лентным связям показанным на рис 15 При таких условиях прохожде-ние электрического тока проводимости в кристалле исключено Свобод-ные носители заряда (СНЗ) отсутствуют Возможен только обмен элек-тронами между атомами при суммарном импульсе равном нулю

Однако у всех элементов рассматриваемой группы кроме алмаза ширина запрещённой зоны невелика поэтому при комнатной температуре ковалентные связи могут разрываться за счёт энергии тепловых колеба-

+

ndash

bull

bull

Зона проводимости

Валентная зона

Пространственная координата

E0

EC

EV

Ea

Eg Запрещённая зона

Энергия

дырки

ndash ndashndash ndash ndash ndashndash ndash ndashndash

++ + + + + + +

Энергия

электрона

Рис 111 Энергетическая зонная диаграмма

Зона проводимости содержащая свободные электроны и валентная зона содержащая свободные дыр-ки разделены запрещённой зоной Разрыв ковалентной связи соб-ственных атомов означает образо-вание пары свободных носителей заряда и изображается как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости

19

ний решетки Разрыв ковалентных связей в пространстве координат озна-чает уход электрона с общей для двух атомов орбиты формирующей ко-валентную связь (рис 112) В пространстве энергий ndash это уход электрона в зону проводимости с образованием пары свободных носителей заряда ndash положительной дырки в валентной зоне и отрицательного электрона в зоне проводимости Действительно ушедшие электроны оставляют пус-тыми уровни у потолка валентной зоны и заполняют свободные состояния у дна зоны проводимости Пустой (не занятый электроном) уровень в ва-лентной зоне называется дыркой Дырка ndash это отсутствие электрона в ковалентной связи двух соседних собственных атомов кристалли-ческой решётки Вакантное место которое образовалось в результате разрыва ковалентной связи и ухода электрона из валентной зоны имеет положительный заряд Оно ведёт себя в кристалле как виртуальная (мыс-лимая) элементарная частица7 имеющая реальный положительный заряд равный по модулю заряду электрона Состояние частично заполненной зоны проводимости и частично свободной валентной зоны (рис 111) оз-начает наличие разрывов ковалентных связей в модели кристалла приведённой на рис 15 Оно показано на рис 112

Число атомов в кристалле велико порядка 1022 смndash3 а глубина энер-гетических зон конечная единицы эВ Поэтому как в зоне проводимости так и в валентной зоне образуется практически непрерывный спектр раз-решённых состояний состоящих из огромного числа дискретных уровней разделённых незначительным зазором Действительно если принять что Еа = 1эВ объёмная плотность атомов равна 1022 смndash3 и на каждый атом приходится по 4 разрешённых состояния то энергетический интервал между разрешенными состояниями составит 1(4middot1022) = 25middot10ndash23эВ Это на 20 порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колеба-ний решётки κТ0 = 26эВ для Т0 = 300 К

Наличие огромного количества разрешённых состояний сопостави-мого с числом атомов в кристалле позволяет считать электроны зоны проводимости и дырки в валентной зоне свободными носителями заряда (СНЗ) в кристалле т к они имеют возможность практически непрерывно изменять своё состояние в пространстве энергий и в пространстве коор-

Рис 112 Образование носителей заряда в собственном полупроводнике

+

+

+

ndashndash

ndash

Разрыв ковалентной связи собственных атомов за счёт энергии тепловых колеба-ний решётки т е уход электрона с об-щей орбиты формирующей ковалент-ную связь создаёт пару свободных носи-телей заряда ndash отрицательный электрон в зоне проводимости и положительную дырку в валентной зоне

20

динат полупроводника Ведь все разрешённые состояния принадлежат конкретным атомам

Посредством электрического поля например можно сформировать направленный перенос СНЗ и получить ток проводимости в полупровод-нике Электрическая проводимость будет иметь биполярный характер поскольку осуществляется СНЗ двух знаков ndash положительными дырками и отрицательными электронами Биполярная проводимость ndash необходи-мый признак собственного полупроводника в котором нет примесей и решётка содержит атомы только одной природы

Разрыв ковалентной связи соседних собственных атомов решётки приводит к образованию (генерации) пары СНЗ разного знака (рис 111 рис 112 рис 113б) Условие электрической нейтральности собствен-ного полупроводника

( ) ( ) 0q n q pminus times + + times = выраженное через концентрацию носителей заряда имеют вид

in p n= equiv (11) где п [см3] и р [см3] ndash концентрация электронов и дырок в зоне прово-димости и валентной зоне соответственно in ndash концентрация носителей собственного полупроводника8

Модель примесного полупроводника Если собственный атом кристаллической решётки четырёхвалентно-

го кремния или германия будет замещён пятивалентным атомом элемента V группы таблицы Менделеева например фосфором Р то четыре валент-ных электрона примесного атома будут задействованы в формировании ковалентных связей Энергетический уровень пятого валентного электро-на ED будет находится в запрещённой зоне полупроводника поскольку ни в валентной зоне ни в зоне проводимости нельзя разместить ещё хотя бы один дополнительный уровень разрешённых состояний сверх положен-ных четырёх уровней на каждый атом (рис 113) Не участвующий в фор-мировании ковалентных связей пятый электрон слабо связан с ядром Энергия его ионизации D DCE E EΔ = minus как правило на один ndash два по-рядка меньше ширины запрещённой зоны Например энергия ионизации фосфора в кремнии составляет всего 00044эВ=17 Tκ при ширине запре-щённой зоны 0112эВ 42 gE Tκ= asymp laquoЛишнийraquo электрон легко отрывается от атома примеси те переходит с примесного уровня ED в зону проводи-мости где становится свободным носителем заряда Такая примесь на-зывается донорной поскольку увеличивает концентрацию СНЗ-электронов в полупроводнике Энергетический уровень электронов до-

21

норной примеси ED находится в запрещённой зоне ниже дна зоны прово-димости на величину энергии ионизации примеси (рис 113в)

Ионизация атомов донорной примеси означает переход электрона с примесного уровня в зону проводимости При этом образуется свободный электрон в зоне проводимости и неподвижный положительный ион донорной примеси встроенный в кристаллическую решётку Поскольку энергия ионизации донорной примеси невелика то уже при комнатной температуре практически все атомы донорной примеси ионизированы Ионизация атомов донорной примеси не исключает образование пар СНЗ за счёт перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости Ио-низация собственных атомов создаёт концентрацию р [см3] свободных дырок

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного донорной примесью имеет вид Dn p N += + (12)

где DN + ndash концентрация встроенных в решётку положительных ионов до-норной примеси

Энергия ионизации примеси во много раз меньше энергии ионизации собственных атомов решётки Поэтому в области рабочих температур в донорном полупроводнике n p Электроны являются основными но-сителями заряда (ОНЗ)9 Они образуются в основном за счёт ионизации атомов донорной примеси Их концентрация может широко варьироваться путём изменения количества введённой примеси Дырки являются неос-новными носителями заряда (ННЗ) Они образуются за счёт разрыва ковалентных связей (ионизации) собственных атомов решётки

Аналогично если собственный атом кристаллической решетки четы-рёхвалентного кремния или германия замещён трёхвалентным атомом элемента III группы таблицы Менделеева например бором В то три ва-лентных электрона примесного атома будут задействованы в формирова-нии ковалентных связей Электрон недостающий для формирования чет-вёртой ковалентной связи привлекается за счёт разрыва ковалентной свя-зи собственных атомов решётки в объёме кремния (рис 113а)

При этом образуется свободная дырка в валентной зоне и непод-вижный отрицательный ион атома акцепторной примеси встроенный в кристаллическую решетку Такая примесь называется акцепторной (от англ accept ndash принимать) поскольку она laquoприсоединяетraquo к себе электро-ны за счёт их перехода из валентной зоны на примесный уровень ЕА Энергетический уровень laquoприсоединённыхraquo электронов EА находится в запрещённой зоне выше вершины валентной зоны на величину энергии ионизации акцепторной примеси (рис 113а)

22

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного акцепторной примесью значит обладающего в основном дырочной проводимостью имеет вид

Ap n N minus= + (13)

где AN minus ndash концентрация встроенных в решётку отрицательно ионизиро-ванных атомов акцепторной примеси

В полупроводнике легированном акцепторной примесью дырки яв-ляются основными носителями заряда а электроны minus неосновные но-сители заряда Дырки образуются в основном за счёт ионизации атомов примеси а ННЗ-электроны minus за счёт разрыва ковалентных связей собст-венных атомов решётки

+

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Вndash

ndash

Si

ndash

ndash+ Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

+

ndash

Si

ndash

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Р+

+

Si

Si

ndash ndash

++

ndash

+

ndash

+

ndashЕС ЕС ЕС

ЕVЕVЕV

ЕA

ЕD

ndash

+

Bndash P+

а) б) в)

ndash

+

Б)

А)

Рис 113 Образование свободных носителей заряда в собственном и при‐месных полупроводниках за счёт тепловой генерации электронно‐

дырочных пар и ионизации атомов примеси А) Модели кристаллических решёток Б) Зонные диаграммы

а) Модель акцепторной примеси Трёхвалентный атом бора захватывает у собственного атома электрон недостающий для формирования ковалентной связи Образуется свободная дырка в валентной зоне и встроенный в кри-сталлическую решётку отрицательный ион Вminus ЕА ndash акцепторный уровень б) Модель собственного полупроводника Разрыв ковалентной связи соб-ственных атомов решётки кремния создаёт пару свободных носителей заря-да ndash положительную дырку в валентной зоне и отрицательный электрон в зоне проводимости в) Модель донорной примеси Пятивалентный атом фосфора отдаёт неза-действованный в ковалентных связях пятый электрон Образуется свобод-ный электрон в зоне проводимости и встроенный в кристаллическую ре-шётку неподвижный положительный ион Р+ ЕD ndash донорный уровень На зонных диаграммах примесных полупроводников показано также обра-зование электронно-дырочных пар носителей заряда за счёт разрыва кова-лентных связей (ионизации) собственных атомов решётки которые обозна-чаются как переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости

23

В области рабочих температур примесных полупроводников основ-ными являются laquoпримесныеraquo носители созданные за счёт ионизации примеси Неосновные носители ndash это laquoсобственныеraquo носители созданные за счёт ионизации собственных атомов решётки

Выводы 1 Элементы IV группы таблицы Менделеева Si и Ge формируют

кристаллическую решётку за счёт ковалентных связей каждого атома с четырьмя ближайшими соседями В каждом данном направлении кова-лентная связь двух соседних атомов реализуется двумя валентными элек-тронами s- и p-электронных уровней ndash одним laquoсвоимraquo и одним laquoчужимraquo которые (согласно представлениям классической физики) вращаются во-круг этих атомов по одной общей орбите

2 При формировании твёрдого тела s- и p-электронные уровни ато-мов объединяемых ковалентными связями расщепляются на две ndash верх-нюю и нижнюю ndash полосы разрешённых состояний представляющих со-бой совокупность множества (по числу атомов) дискретных энергетиче-ских уровней

Нижние полосы совокупности s- и p-электронных уровней перекры-ваются и создают валентную зону в основном занятых (электронами) состояний полупроводника Перекрывающиеся верхние полосы s- и p-уровней создают зону проводимости в основном свободных состояний Между ними находится запрещённая зона

На каждый атом в валентной зоне и зоне проводимости приходится по 4 разрешённых состояния (по 1 от s- и по 3 от р-подуровней) Число атомов велико а глубина зон конечная В каждой из зон формируется практически непрерывный спектр большого числа разрешённых состоя-ний разделённых незначительным дискретом величина которого на мно-го порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колебаний

3 Свободные носители заряда в полупроводнике создаются при разрыве ковалентных связей (ионизации) собственных атомов и внедрён-ных в решётку трёх- или пятивалентных атомов примеси10

Разрыв ковалентных связей собственных атомов решётки т е уход электрона с общей орбиты формирующей ковалентную связь означает освобождение занятого энергетического уровня в валентной зоне и пере-ход электрона в зону проводимости где он становится СНЗ Незанятое электроном вакантное место ndash дырка ndash ведёт себя в кристалле как свобод-ная виртуальная частица имеющая элементарный положительный заряд Электрическая проводимость осуществляется свободными зарядами обо-их знаков поэтому имеет биполярный характер

Пятивалентные атомы примеси замещая четырёхвалентные атомы Si или Ge имеют один laquoлишнийraquo электрон который не участвует в форми-ровании ковалентных связей Он легко отрывается от примесного атома и

24

переходит в зону проводимости При этом наряду со свободным отрица-тельным электроном образуется внедрённый в решётку неподвижный по-ложительный ион атома донорной примеси Условие электрической ней-тральности соблюдается

При замещении четырёхвалентного собственного атома Si или Ge трёхвалентным атомом примеси для образования четырёх ковалентных связей недостаёт одного электрона Недостающий электрон восполняется за счёт разрыва ковалентной связи собственных атомов в объёме и при-соединения электрона к атому примеси Это означает переход электрона из валентной зоны на примесный уровень Образуется свободная положи-тельная дырка в валентной зоне и внедрённый в решётку неподвижный отрицательный ион атома акцепторной примеси Условие электрической нейтральности сохраняется

4 Носители в полупроводниках образуются путём ионизации при-месных и собственных атомов Для ионизации примеси требуется значи-тельно меньше энергии чем для ионизации собственных атомов Поэтому большинство носителей заряда имеет laquoпримесноеraquo происхождение и тип электрической проводимости определяется характером примеси При до-норной примеси преобладающими те основными носителями заряда являются электроны Преобладает электронная проводимость При акцеп-торной примеси ОНЗ становятся дырки Преобладающей является дыроч-ная проводимость

5 Ионизация атомов значит и генерация СНЗ реализуется за счёт энергии тепловых колебаний решётки Температурные и радиационные зависимости концентрации СНЗ являются принципиальной особенностью полупроводниковых приборов

12 Свободные носители заряда Функция распределения ФермиndashДирака Свободные носители заряда ndash электроны каждый из которых незави-

симо от остальных принимает в твёрдом теле то или иное состояние в условиях теплового равновесия всё же имеют объективные меры посред-ством которых описываются совокупные свойства всего ансамбля К та-ким мерам относится функция распределения

Функция распределения в статистических системах показывает отно-сительное число членов ансамбля обладающих данным свойством

Конкретно в случае электронов она показывает какую долю от об-щего числа свободных электронов составляют электроны с заданной энергией Е Как отмечалось максимальное число электронов которые могут иметь данную энергию значит число разрешённых состояний в единице объёма приходящихся на единичный интервал энергии

25

1 3max ( ) [Дж см ]n E minus minus есть строго определённая для заданной энергии ве-

личина Значит функция распределения fФ-Д(Е) определяет отношение числа электронов п(Е) реально занимающих энергетический уровень Е к максимальному числу электронов которые в принципе могут находиться на данном уровне

Ф-Д max( ) ( ) ( )f E n E n E= (14) Аналитическое выражение функции распределения электронов ко-

торое независимо друг от друга предложили итальянский физик Энрико Ферми и английский физик Поль Дирак имеет вид

Ф-Д ( )1( )

1 FE E Tf Ee κminus=

+ (15)

где параметр EF minus уровень Ферми Функция ФермиminusДирака как элемент универсального математического аппарата не зависит от свойств той или иной конкретной системы а зависит лишь от температуры Привязка к конкретной системе осуществляется через параметр EF который показы-вает как нужно располагать функцию ФермиminusДирака относительно энер-гетических уровней конкретной системы (см ниже рис 120 рис 121 рис 22)

Функция распределения позволяет решать ряд важных задач необ-ходимых для анализа полупроводниковых приборов

Во-первых представляется возможным определять распределение свободных носителей заряда по энергиям Распределение электронов в пределах зоны проводимости получаем из (14)

3 1max Ф-Д( ) ( ) ( ) см Дж n E n E f E minus minus⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (16а)

Если энергетический уровень заполнен не полностью то ( ) ( )max n E n Elt Отсутствие электрона означает наличие дырки Тогда число дырок на данном энергетическом уровне или распределение дырок в валентной зо-не по энергиям есть разность

max( ) ( ) ( )p E n E n E= minus = max Ф-Д( ) 1 ( )n E f E⎡ ⎤minus equiv⎣ ⎦

max ( ) ( )pn E f Eequiv (16б)

где Ф-Д ( )1( ) 1 ( )

1 Fp E E Tf E f E

e κminus minus⎡ ⎤= minus =⎣ ⎦ +

(17)

minus функция распределения дырок Во-вторых пользуясь функцией распределения можно рассчитывать

концентрации СНЗ те количество электронов или дырок в единице объ-ёма имеющих любое допустимое значение энергии в пределах зоны про-

26

водимости и валентной зоны соответственно Концентрации электронов n и дырок p определяются интегралами

Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VC C

pE E E

n n E dE n E f E dE p n E f E dE= = =int int int (18)

где интегрирование следует ограничить областью энергий зоны проводи-мости (для электронов) и валентной зоны (для дырок)

Наконец представляется возможным решать обратную задачу зная концентрацию СНЗ определять уровень Ферми EF и по положению уровня Ферми судить о свойствах полупроводника

График функции распределения ФермиminusДирака для обозначенных температур приведён на рис 114 bull При температуре T = 0 K он пред-

ставляет собой прямоугольник пло-щадью 1FE times При возрастании тем-пературы освобождаемые площади под кривой распределения в области E lt EF равны возникающим площа-дям в области E gt EF График функ-ции содержит три характерные облас-ти

o область FE Elt где Ф-Д ( ) 1f E = o область в районе FE Easymp протяжённостью в несколько Tκ где функ-

ция испытывает резкий спад11 и при FE E= независимо от температу-ры равняется frac12

o область FE Egt где laquoна хвостеraquo распределения при 2FE E Tκminus gt функцию ФермиminusДирака можно заменить функцией распределения Мак-свеллаminusБольцмана М-Б ( )f E (рис 115) Действительно пренебрегая еди-ницей12 в знаменателе (15) получим13

( )Ф-Д ( ) FE E Tf E e κminus minusasymp = М-Бconst ( )E Te f Eκminustimes = (19)

bull Соотношение (14) есть число электронов приходящихся на одно раз-решённое состояние Очевидно что всегда max( ) ( ) 1n E n E le Поскольку

Ф-Д ( ) 1f E le то функцию ФермиminusДирака можно рассматривать как вероятность того что энергетический уровень занят Тогда число электронов на данном уровне (16а) равно произведению максимальной плотности разрешённых состояний на вероятность того что уровень за-нят Функция распределения ФермиminusДирака определяет плотность веро-ятности занятости состояний с энергией от Е до Е + dE

asympasymp

asymp

EEF

T2gtT1gtT = 0 10

05

0

fФ-Д (E)

~кTРис 114 Функция распределения

ФермиminusДирака

27

bull При низких температурах функция ФермиminusДирака равна единице практически вплоть до энергии FE Easymp после чего она резко падает Из вероятностного смысла функции ФермиminusДирака следует что состояния с энергиями ниже уровня Ферми заняты (вероятность равна 1) а состояния с более высокими энергиями свободны При повышении температуры определённая часть электронов переходит на более высокие энергетиче-ские уровни значительно (по сравнению с Tκ ) отстоящие от уровня Ферми и в области laquoхвостаraquo подчиняются статистике Максвел-лаminusБольцмана (19) (рис 115) Этот факт является важным результатом поскольку именно на этих уровнях находятся носители формирующие токи в полупроводниковых приборах

bull Состояния занятого или свободного уровня являются противо-положными событиями сумма вероятностей которых равна 1 как вероят-ность достоверного события Поэтому разноость Ф-Д1 ( )f Eminus дополня-ющая функцию ФермиminusДирака до единицы есть вероятность того что уровень занят дыркой (соотношение (17)) bull Распределение дырок в валентной зоне (17) выражается такой же

формулой что и распределение электронов (15) в зоне проводимости но с противоположным знаком показателя экспоненты Это даёт основание направлять ось отсчёта энергии дырок противоположно оси отсчёта энер-гии электронов (рис 111 рис 116) Тогда во встречно-вложенной систе-ме координат распределение электронов и дырок изображается одной и той же кривой (рис116) bull С точки зрения теории вероятности уровень Ферми определяется как

энергетический уровень вероятность заполнения которого равна точно половине С точки зрения термодинамики уровень (энергия) Ферми является (в

приближении равенства эффективных масс электронов и дырок) хими-ческим потенциалом14 (в расчёте на один электрон) Химический потен-циал используется в частности при анализе состояния равновесия в таких гетерогенных (разнородных) системах как например жидкостьndashпар

x

еndashx05

10

0 2 4ndash2ndash4ndash6

fФ-Д (x)

Рис 115 Сравнение функции ФермиminusДирака с экспонентой

На хвосте распределения при ( ) (2 3)Fx E E Tκ= ⎡ minus ⎤ ge divide⎣ ⎦ функ-

ция распределения ФермиminusДира-ка совпадает с функцией распре-деления МаксвеллаminusБольцмана

28

Равенство химических потенциалов служит критерием фазового равновесия

Тогда исходя из термодинамического смысла уровня Ферми условием электронно-дырочного равновесия в разнородных системах (металлов полупроводников) является равенство их уровней Ферми во всех частях системы Единство и постоянство уровня Ферми является необходимым и достаточным условием равновесия электронно-дырочных систем Сам уровень Ферми определяется из условия что полное число

электронов в кристалле (системе) должно оставаться неизменным вне зависимости от их распределения по энергетическим уровням (ранее упомянутая обратная задача)

Максимальная плотность разрешённых состояний Для вычисления концентрации СНЗ в полупроводниках (соотноше-

ния (18)) необходимо кроме функции ФермиndashДирака располагать анали-тическим выражением максимального числа электронов способных иметь данную энергию т е знать зависимость плотности разрешённых состоя-ний ( )maxn E от энергии Для вывода этого соотношения определим сна-чала полное число электронов энергия которых не превышает некоторого значения Е

В классической механике электрон считается частицей не имеющей пространственного объёма состояние которой во времени и пространстве точно определено координатами x y z и составляющими импульса рх ру рz Значит состояние электрона будет задаваться (безразмерной) матери-альной точкой в шестимерном пространстве с взаимно перпендикулярны-ми осями x y z рх ру рz Это пространство называется фазовым Полный объём фазового пространства фазV равен произведению объёмов про-

странства координат xyzV и пространства импульсов x y zp p pV

фаз x y zxyz p p pV V V= times

Объём изотропного пространства импульсов соответствующий кинетиче-ской энергии

asympasymp asymp

asymp

10

E

0505

0

fФ-Д (E) Энергия дырки

Энергия электрона10

0

fp (E)

E

EF

asymp

bull

asymp

bull

Рис 116 Функция Фер‐миminusДирака во встречно‐вложенной системе коор‐

динат Оси отсчёта энергии и ор-динат функций распреде-ления электронов и дырок направлены в противопо-ложные стороны

29

2 2 2 E p m p mE= rArr = (110) где m ndash масса электрона есть объём сферы радиуса р равный

3(4 3) x y zp p pV pπ= Тогда

3фаз (4 3) xyzV V pπ= times (111)

Согласно законам классической физики каждая точка этого про-странства вполне характеризует состояние (координаты скорость на-правление движения) электрона энергия которого не превышает величи-ну Е и может изменяться непрерывно

Однако электрон не являются классической частицей При переходе из одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образом даже если этот дискрет очень мал как например в твёрдом теле Если состояние изменяется с дискретом EΔ то очевидно что максимальное число возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отно-шения E EΔ Поскольку энергия выражается через импульс и координа-ту то число состояний в пространстве импульсов и координат не превы-шает отношений x xp pΔ и x xΔ соответственно где xpΔ xΔ ndash дискре-ты изменения импульса и координаты обязанные дискрету изменения энергии

Из дискретности энергии логично следует принципиальная невоз-можность измерения физических величин с точностью превышающей значения обусловленные наличием соответствующих дискретов Анало-гично применение линейки проградуированной в миллиметрах не по-зволяет измерять расстояния с точностью превышающей значение дис-крета равного 1 мм

Таким образом при измерении дискретных физических величин (оп-ределении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципи-альная неопределённость не связанная с погрешностями применяемых методов и используемых приборов

Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гей-зенберг который предложил принять эту принципиально неустранимую неопределённость в качестве специфического физического закона Со-гласно этому закону известному сейчас как соотношение неопределённо-сти Гейзенберга при одновременном определении координаты и импуль-са имеет место неопределенность измерения xΔ и xpΔ такая что

xx p hΔ Δ ge (112) где h ndash постоянная Планка посредством которой определяется минималь-ный дискрет (квант) энергии равный hν ν ndash частота излучения Неоп-ределённость выражается через произведение что соответствует пред-

30

ставлению фазового пространства произведением пространства импуль-сов и координат15

Отсюда следует что для трёхмерного движения неопределённость составит величину порядка 3x y zx y z p p p hΔ Δ Δ Δ Δ Δ ge Это означает что объём который занимает электрон в фазовом пространстве всегда конеч-ный не меньше размера элементарной ячейки 3h Учитывая что в эле-ментарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона с противоположными спинами16 приходим к выводу что объём фазового пространства может содержать максимум 3

фаз2 ( )V htimes электронов Тогда используя (111) определим что полное число электронов в единичном объёме координатного пространства 3( )[см ]N E minus энергия которых не превышает Е будет равно

( ) ( )3 3 3фаз( ) 2 ( ) 2 4 3 xyzN E V V h p hπ= = (113)

Максимальная плотность разрешённых состояний т е число электронов в единице объёма с энергией Е приходящихся на единичный интервал энергии по определению есть

max( ) ( ) ( )( ) N E dE N E dN E dN dpn E

dE dE dp dE+ minus

= = = =

( )3 22 3 14 2 const см Дж m h E Eπ minus minus⎡ ⎤= equiv times ⎣ ⎦ (114)

При вычислении сложной производной использованы соотношения (110) (113) В силу (110) здесь Е ndash кинетическая энергия

Отметим что laquoотступленияraquo от классической физики касались в ос-новном обоснования размера элементарной ячейки фазового пространст-ва через соотношение неопределённости Гейзенберга которое по сущест-ву является формулировкой принципа исключения Паули на языке клас-сической физики Полученное соотношение (114) предполагает исполь-зование кинетической энергии классической частицы

Концентрация свободных носителей заряда Равновесный полупроводник

Концентрация СНЗ не содержащего примесей равновесного полу-проводника определяется соотношениями (18) Вычисление интегралов можно упростить если учитывая особенности проходящих физических процессов распространить интегрирование на бесконечные пределы Та-кой шаг оправдан поскольку почти все свободные электроны компактно располагаются на дне зоны проводимости а дырки ndash у вершины валент-

31

ной зоны Положив верхний предел интегрирования равным бесконечно-сти мы не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смысл результата сможем получить более изящные аналитические выражения

Вычисление интегралов (18) значительно упрощается также благо-даря тому что функцию ФермиndashДирака можно заменить функцией рас-пределения МаксвеллаndashБольцмана Замена возможна потому что для практически важных случаев невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько Tκ а основная масса электронов ndash в зоне проводимости на расстояниях (2 3) FE E Tκminus gt divide В этом случае в знаме-нателе уравнения (15) можно пренебречь единицей Распределением электронов становится выражение (19) где полная энергия есть сумма потенциальной энергии EC и кинетической энергии Ек

к CE E Е= + (115) а максимальная плотность разрешённых состояний (114) выражается че-рез кинетическую энергию к Е Еequiv Тогда введя обозначение к x Е Tκ= используя (19) (114) и nm m= представим соотношение (18) в сле-дующем виде

0

Ф-Д Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( )C C

E

E En n E f E dE n E f E dE

infin= =int int

М-Бmax к к к0

( ) ( )Сn E f E E dEinfin

= + =int ( )3 22 1 2

04 2

C Fx

n

E ETm h e x e dxκπ

infinminus minusminus

int

где E0 ndash уровень свободного электрона в вакууме (рис 110 рис 111) nm ndash эффективная масса электрона посредством которой учитываются осо-бенности движения в твёрдом теле Воспользовавшись табличным инте-

гралом ( )1 2

0expx x dx

infinminus =int 2π окончательно получаем

FC

C

E ETn N e κminus

minus= (116)

где ( )3 222 2C nN m T hπ κ= = ( ) ( )3 2 3 219 325 10 300 смnm m T minus⎡ ⎤sdot times ⎣ ⎦

имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости Определение концентрации дырок в приближении распределения

МаксвеллаndashБольцмана сводится к вычислению интеграла (18) для (17) ( )( ) exp Fpf E E E Tκasymp minus⎡ ⎤⎣ ⎦ где полная энергия дырки равна кVE E Е= minus

и (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV

32

laquoвнизraquo в сторону отрицательных значений (рис 111) max ( )кp E опреде-ляется уравнением (114) при эффективной массе дырки pm m= посред-ством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле Тогда

М-Бmax max0

( ) ( ) ( ) ( )V

V

E

p к к кp p E f E dE p E f E E dEinfin

minusinfin= minus =int int

( )3 22 1 2

04 2

F VE ExT

pm h e x e dxκπminus infinminus minus= int где кx Е Tκ= Окончательно

F V

V

E ETp N e κminusminus

= (117)

где ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 19 32 2 25 10 300 смV p pN m T h m m Tπ κ minus⎡ ⎤= = sdot times ⎣ ⎦ ndash

эффективная плотность состояний в валентной зоне Отметим что полученные соотношения задают количество носите-

лей заряда в единице объёма но не закон их распределения по энергиям Таким образом концентрация СНЗ полупроводника при данной тем-

пературе однозначно определяется положением уровня Ферми Всякое изменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному из-менению концентрации носителей и обратно ndash изменение концентрации будь то за счёт температуры легирования примесями засветки и т д вы-зывает изменение положения уровня Ферми

Количество носителей заряда определяется процессами тепловой генерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов а также обратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны (рис 113 и ниже рис 126 рис 128) Про-цессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят не-прерывно и параллельно Равновесное состояние есть результат динами-ческого равновесия этих процессов При этом однако произведение кон-центраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда зависящим от температуры) равным квадрату собственной концентрации полу-проводника Действительно учитывая что в собственном полупроводни-ке носители образуются парами и 2 in p n= equiv после почленного перемно-жения выражений (116) и (117) получим

2 constinp n= = = (118а)

( )3 231 2 3231 10 g gC V

E T E Tn pN N e m m m T eκ κminus minus= = sdot times

где in ndash собственная концентрация Такова особенность равновесного состояния полупроводников Нижняя строчка этих равенств раскрываю-щая произведение зависит только от температуры и ширины запрещён-

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

15

ненным (значит устойчивым) s- и p-электронным уровням одиночного атома (рис 16)

Связи реальных кристаллов имеют объёмную пространственную структуру Плоская модель не имеет визуального сход-ства с реальной Вместе с тем она правиль-но отражает главную особенность реальной решётки ndash структура связей в ней такова что у каждого атома в кристалле имеется четыре симметрично расположенных бли-жайших соседа Они размещены в верши-нах правильного тетраэдра в центре кото-рого находится сам атом Пространственная структура ковалентных связей атома герма-ния соответствующая плоской модели рис 11 рис 16 показана на рис 17 Каждая из четырех связей осуществляется двумя элек-тронами Чёрными кружками изображены свои валентные электроны центрального атома Светлыми кружками изо-бражены четыре валентных электрона которые принадлежат и соседним атомам

Характерная особенность ковалентной связи состоит в том что электронные оболочки двух атомов частично перекрываются (напри-мер на рис 12а) Следствием такого взаимо-действия является расщепление энергети-ческого уровня электронов формирующих ко-валентную связь на два подуровня ndash верхний и нижний При этом выполняется общий прин-цип согласно которому при сближении атомов полное число разрешённых состояний расщеп-ляющегося уровня для каждого атома сохраня-ется В качестве конкретного примера на рис 18 показано расщепление 1s-уровня атомов водорода по мере их сближения при образовании молекулы Два атома объединённые ковалентной связью создали два подуровня разрешённых состояний всего 2 2 4times = состояния для двух атомов Состояния электро-нов на каждом подуровне различаются спинами

Другая характерная особенность ковалентной связи заключается в том что по мере увеличения числа атомов новые состояния появляются внутри крайних значений энергии расщеплённых уровней двух атомов в виде тонкой дополнительной структуры В качестве примера на рис 19

GeGe

Ge

GeGe

bull

bull

bullbull

bull

bull

bull bull

Рис 16 Полное заполне‐ние s‐ и p‐электронных уровней при формировании идеальной кристалличес‐кой решётки типа алмаза

Рис 17 Простран‐ственная структура ковалентных связей атомов кремния и

германия

16

показана энергетическая диаграмма гипотетической (линейной) одномер-ной цепочки четырёх атомов объединяемых ковалентными связями по-средством электронов s-уровня при их сближении [1]

Распространяя этот принцип на трёхмерные структуры заключаем что в твёрдом теле у электронов имеются не дискретные уровни энергии как у двух отдельных атомов объединенных ковалентной связью а поло-сы разрешённых состояний Отсюда следует что при формировании твёр-дого тела дискретные уровни электронов реализующих ковалентные свя-зи расщепляются на две полосы разрешённых состояний разделённых зоной запрещённых состояний (рис 19)

Модель энергетических зон Элементы IV группы кремний и германий формируют кристалличе-

скую решётку за счёт ковалентных связей каждого атома с 4-мя ближай-шими соседями Подобно уровням в молекуле водорода электронные уровни пары атомов каждой ковалентной связи расщепляются на два уровня которые объединяются с электронными уровнями других атомов в две полосы разрешённых состояний ndash верхнюю и нижнюю с характер-ным минимумом

На рис 110 качественно показано как энергетические уровни изо-лированных атомов кремния расщепляются в энергетические зоны разре-шённых состояний при формировании твёрдого тела по мере сближения атомов до действительных расстояний между ближайшими соседями в кристалле кремния [2] Изолированный атом кремния содержит во внеш-ней оболочке два 3s-электрона и два 2р-электрона (таблица 12) При сближении атомов каждый из этих уровней расширяется в верхнюю и

R

bullbull

bullbull

1s

Ε

Рис 18 Расщепление 1s ‐уровня двух атомом водорода по мере их сближения и объ‐

единения в молекулу Жирными стрелками показа-ны разрешённые состояния на каждом уровне

Рис 19 Уровни энергии в зависи‐мости от расстояния R между яд‐рами линейной цепочки несколь‐

ких атомов Образование полос разрешённых состояний при ковалентной связи нескольких атомов

1s2

R

E

17

нижнюю зону разрешенных состояний которые при дальнейшем сближе-нии атомов перекрываются

При расстоянии равном фактическому значению постоянной решёт-ки кристалла кремния R0 перекрывшиеся нижние зоны s- и p-уровней образуют зону разрешённых состояний которая называется валентной зоной Перекрывшиеся верхние зоны s- и p-уровней образуют зону разрё-шенных состояний которая называется зоной проводимости Между ни-ми находится запрещённая зона шириной Eg = EC ndash EV

Поскольку сближение атомов оставляет неизменным полное число разрешённых состояний данного уровня то в верхней и нижней зоне s-уровня на каждый атом приходится по одному разрешённому состоянию Аналогично в верхней и нижней зоне p-уровня на каждый атом прихо-дится по три разрешённых состояния Однако если зоны перекрываются то уже невозможно отличить 3s- от 3p-состояний Естественно поэтому считать что в зоне проводимости и валентной зоне имеется по четыре разрешённых состояния на каждый атом

На вертикали энергий для 0R различают уровень VE ndash вершину ва-лентной зоны5 уровень CE ndash дно зоны проводимости6 уровень 0E ndash уро-

Рис 110 Схема образования энергетических зон в кремнии при умень‐шении расстояния между ближайшими соседними атомами

По достижении значения R0 зоны перекрываются образуя зону прово-димости запрещённую зону шириной Eg = 112 эВ и валентную зону Германий имеет аналогичную схему энергетических зон но Eg =072 эВ

Свободные состояния

Заполненныесостояния

3 состояния на атом

1 состояние на атом

Энергия

элект

рона

Валентная зона

Запрещённаязона

Eg = 112 эВ

R0

2 4 6 8

3s2

3p6

Расстояние между ближайшими соседними атомамиbull

bull

bull

Зона проводимости

R

1 состояние на атом

E0

EC

EV

3 состояния на атом

18

вень свободного электрона в вакууме (рис 110) Глубина зоны проводи-мости 0 aCE E Eminus = называется энергией электронного сродства

Если ось пространственных координат х направить перпендикулярно рисунку 110 то получим энергетическую зонную диаграмму крем-ниягермания показанную на рис 111

Аналогично строятся энергетические зоны германия и других эле-ментов IV группы Однако ширина запрещённой зоны при температуре Т0

= 300 К составляет величину порядка 7эВ = 270κТ0 у алмаза 112эВ = =42κТ0 ndash у кремния 073эВ = 27κТ0 ndash у германия и около 02эВ = 7κТ0 у серого олова где κ ndash постоянная Больцмана κТ0 = 26мВ = 26middot10ndash3 эВ Ис-ходя из ширины запрещённой зоны алмаз относят к изоляторам кремний Si и германий Ge ndash к полупроводникам олово ndash к металлам Модель энер-гетических зон позволяет судить о состоянии носителей заряда в про-странстве энергий

В валентной зоне и в зоне проводимости на каждый атом приходится по четыре разрешённых состояния а всего в атоме 4 валентных электро-на Значит при низких температурах все 4 валентных электрона атома занимают энергетически более выгодные состояния с меньшей энергией в валентной зоне Поэтому валентная зона полностью заполнена а зона проводимости ndash пуста Состояние заполненной валентной зоны и пустой зоны проводимости соответствует сохранённым (не разорванным) кова-лентным связям показанным на рис 15 При таких условиях прохожде-ние электрического тока проводимости в кристалле исключено Свобод-ные носители заряда (СНЗ) отсутствуют Возможен только обмен элек-тронами между атомами при суммарном импульсе равном нулю

Однако у всех элементов рассматриваемой группы кроме алмаза ширина запрещённой зоны невелика поэтому при комнатной температуре ковалентные связи могут разрываться за счёт энергии тепловых колеба-

+

ndash

bull

bull

Зона проводимости

Валентная зона

Пространственная координата

E0

EC

EV

Ea

Eg Запрещённая зона

Энергия

дырки

ndash ndashndash ndash ndash ndashndash ndash ndashndash

++ + + + + + +

Энергия

электрона

Рис 111 Энергетическая зонная диаграмма

Зона проводимости содержащая свободные электроны и валентная зона содержащая свободные дыр-ки разделены запрещённой зоной Разрыв ковалентной связи соб-ственных атомов означает образо-вание пары свободных носителей заряда и изображается как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости

19

ний решетки Разрыв ковалентных связей в пространстве координат озна-чает уход электрона с общей для двух атомов орбиты формирующей ко-валентную связь (рис 112) В пространстве энергий ndash это уход электрона в зону проводимости с образованием пары свободных носителей заряда ndash положительной дырки в валентной зоне и отрицательного электрона в зоне проводимости Действительно ушедшие электроны оставляют пус-тыми уровни у потолка валентной зоны и заполняют свободные состояния у дна зоны проводимости Пустой (не занятый электроном) уровень в ва-лентной зоне называется дыркой Дырка ndash это отсутствие электрона в ковалентной связи двух соседних собственных атомов кристалли-ческой решётки Вакантное место которое образовалось в результате разрыва ковалентной связи и ухода электрона из валентной зоны имеет положительный заряд Оно ведёт себя в кристалле как виртуальная (мыс-лимая) элементарная частица7 имеющая реальный положительный заряд равный по модулю заряду электрона Состояние частично заполненной зоны проводимости и частично свободной валентной зоны (рис 111) оз-начает наличие разрывов ковалентных связей в модели кристалла приведённой на рис 15 Оно показано на рис 112

Число атомов в кристалле велико порядка 1022 смndash3 а глубина энер-гетических зон конечная единицы эВ Поэтому как в зоне проводимости так и в валентной зоне образуется практически непрерывный спектр раз-решённых состояний состоящих из огромного числа дискретных уровней разделённых незначительным зазором Действительно если принять что Еа = 1эВ объёмная плотность атомов равна 1022 смndash3 и на каждый атом приходится по 4 разрешённых состояния то энергетический интервал между разрешенными состояниями составит 1(4middot1022) = 25middot10ndash23эВ Это на 20 порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колеба-ний решётки κТ0 = 26эВ для Т0 = 300 К

Наличие огромного количества разрешённых состояний сопостави-мого с числом атомов в кристалле позволяет считать электроны зоны проводимости и дырки в валентной зоне свободными носителями заряда (СНЗ) в кристалле т к они имеют возможность практически непрерывно изменять своё состояние в пространстве энергий и в пространстве коор-

Рис 112 Образование носителей заряда в собственном полупроводнике

+

+

+

ndashndash

ndash

Разрыв ковалентной связи собственных атомов за счёт энергии тепловых колеба-ний решётки т е уход электрона с об-щей орбиты формирующей ковалент-ную связь создаёт пару свободных носи-телей заряда ndash отрицательный электрон в зоне проводимости и положительную дырку в валентной зоне

20

динат полупроводника Ведь все разрешённые состояния принадлежат конкретным атомам

Посредством электрического поля например можно сформировать направленный перенос СНЗ и получить ток проводимости в полупровод-нике Электрическая проводимость будет иметь биполярный характер поскольку осуществляется СНЗ двух знаков ndash положительными дырками и отрицательными электронами Биполярная проводимость ndash необходи-мый признак собственного полупроводника в котором нет примесей и решётка содержит атомы только одной природы

Разрыв ковалентной связи соседних собственных атомов решётки приводит к образованию (генерации) пары СНЗ разного знака (рис 111 рис 112 рис 113б) Условие электрической нейтральности собствен-ного полупроводника

( ) ( ) 0q n q pminus times + + times = выраженное через концентрацию носителей заряда имеют вид

in p n= equiv (11) где п [см3] и р [см3] ndash концентрация электронов и дырок в зоне прово-димости и валентной зоне соответственно in ndash концентрация носителей собственного полупроводника8

Модель примесного полупроводника Если собственный атом кристаллической решётки четырёхвалентно-

го кремния или германия будет замещён пятивалентным атомом элемента V группы таблицы Менделеева например фосфором Р то четыре валент-ных электрона примесного атома будут задействованы в формировании ковалентных связей Энергетический уровень пятого валентного электро-на ED будет находится в запрещённой зоне полупроводника поскольку ни в валентной зоне ни в зоне проводимости нельзя разместить ещё хотя бы один дополнительный уровень разрешённых состояний сверх положен-ных четырёх уровней на каждый атом (рис 113) Не участвующий в фор-мировании ковалентных связей пятый электрон слабо связан с ядром Энергия его ионизации D DCE E EΔ = minus как правило на один ndash два по-рядка меньше ширины запрещённой зоны Например энергия ионизации фосфора в кремнии составляет всего 00044эВ=17 Tκ при ширине запре-щённой зоны 0112эВ 42 gE Tκ= asymp laquoЛишнийraquo электрон легко отрывается от атома примеси те переходит с примесного уровня ED в зону проводи-мости где становится свободным носителем заряда Такая примесь на-зывается донорной поскольку увеличивает концентрацию СНЗ-электронов в полупроводнике Энергетический уровень электронов до-

21

норной примеси ED находится в запрещённой зоне ниже дна зоны прово-димости на величину энергии ионизации примеси (рис 113в)

Ионизация атомов донорной примеси означает переход электрона с примесного уровня в зону проводимости При этом образуется свободный электрон в зоне проводимости и неподвижный положительный ион донорной примеси встроенный в кристаллическую решётку Поскольку энергия ионизации донорной примеси невелика то уже при комнатной температуре практически все атомы донорной примеси ионизированы Ионизация атомов донорной примеси не исключает образование пар СНЗ за счёт перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости Ио-низация собственных атомов создаёт концентрацию р [см3] свободных дырок

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного донорной примесью имеет вид Dn p N += + (12)

где DN + ndash концентрация встроенных в решётку положительных ионов до-норной примеси

Энергия ионизации примеси во много раз меньше энергии ионизации собственных атомов решётки Поэтому в области рабочих температур в донорном полупроводнике n p Электроны являются основными но-сителями заряда (ОНЗ)9 Они образуются в основном за счёт ионизации атомов донорной примеси Их концентрация может широко варьироваться путём изменения количества введённой примеси Дырки являются неос-новными носителями заряда (ННЗ) Они образуются за счёт разрыва ковалентных связей (ионизации) собственных атомов решётки

Аналогично если собственный атом кристаллической решетки четы-рёхвалентного кремния или германия замещён трёхвалентным атомом элемента III группы таблицы Менделеева например бором В то три ва-лентных электрона примесного атома будут задействованы в формирова-нии ковалентных связей Электрон недостающий для формирования чет-вёртой ковалентной связи привлекается за счёт разрыва ковалентной свя-зи собственных атомов решётки в объёме кремния (рис 113а)

При этом образуется свободная дырка в валентной зоне и непод-вижный отрицательный ион атома акцепторной примеси встроенный в кристаллическую решетку Такая примесь называется акцепторной (от англ accept ndash принимать) поскольку она laquoприсоединяетraquo к себе электро-ны за счёт их перехода из валентной зоны на примесный уровень ЕА Энергетический уровень laquoприсоединённыхraquo электронов EА находится в запрещённой зоне выше вершины валентной зоны на величину энергии ионизации акцепторной примеси (рис 113а)

22

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного акцепторной примесью значит обладающего в основном дырочной проводимостью имеет вид

Ap n N minus= + (13)

где AN minus ndash концентрация встроенных в решётку отрицательно ионизиро-ванных атомов акцепторной примеси

В полупроводнике легированном акцепторной примесью дырки яв-ляются основными носителями заряда а электроны minus неосновные но-сители заряда Дырки образуются в основном за счёт ионизации атомов примеси а ННЗ-электроны minus за счёт разрыва ковалентных связей собст-венных атомов решётки

+

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Вndash

ndash

Si

ndash

ndash+ Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

+

ndash

Si

ndash

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Р+

+

Si

Si

ndash ndash

++

ndash

+

ndash

+

ndashЕС ЕС ЕС

ЕVЕVЕV

ЕA

ЕD

ndash

+

Bndash P+

а) б) в)

ndash

+

Б)

А)

Рис 113 Образование свободных носителей заряда в собственном и при‐месных полупроводниках за счёт тепловой генерации электронно‐

дырочных пар и ионизации атомов примеси А) Модели кристаллических решёток Б) Зонные диаграммы

а) Модель акцепторной примеси Трёхвалентный атом бора захватывает у собственного атома электрон недостающий для формирования ковалентной связи Образуется свободная дырка в валентной зоне и встроенный в кри-сталлическую решётку отрицательный ион Вminus ЕА ndash акцепторный уровень б) Модель собственного полупроводника Разрыв ковалентной связи соб-ственных атомов решётки кремния создаёт пару свободных носителей заря-да ndash положительную дырку в валентной зоне и отрицательный электрон в зоне проводимости в) Модель донорной примеси Пятивалентный атом фосфора отдаёт неза-действованный в ковалентных связях пятый электрон Образуется свобод-ный электрон в зоне проводимости и встроенный в кристаллическую ре-шётку неподвижный положительный ион Р+ ЕD ndash донорный уровень На зонных диаграммах примесных полупроводников показано также обра-зование электронно-дырочных пар носителей заряда за счёт разрыва кова-лентных связей (ионизации) собственных атомов решётки которые обозна-чаются как переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости

23

В области рабочих температур примесных полупроводников основ-ными являются laquoпримесныеraquo носители созданные за счёт ионизации примеси Неосновные носители ndash это laquoсобственныеraquo носители созданные за счёт ионизации собственных атомов решётки

Выводы 1 Элементы IV группы таблицы Менделеева Si и Ge формируют

кристаллическую решётку за счёт ковалентных связей каждого атома с четырьмя ближайшими соседями В каждом данном направлении кова-лентная связь двух соседних атомов реализуется двумя валентными элек-тронами s- и p-электронных уровней ndash одним laquoсвоимraquo и одним laquoчужимraquo которые (согласно представлениям классической физики) вращаются во-круг этих атомов по одной общей орбите

2 При формировании твёрдого тела s- и p-электронные уровни ато-мов объединяемых ковалентными связями расщепляются на две ndash верх-нюю и нижнюю ndash полосы разрешённых состояний представляющих со-бой совокупность множества (по числу атомов) дискретных энергетиче-ских уровней

Нижние полосы совокупности s- и p-электронных уровней перекры-ваются и создают валентную зону в основном занятых (электронами) состояний полупроводника Перекрывающиеся верхние полосы s- и p-уровней создают зону проводимости в основном свободных состояний Между ними находится запрещённая зона

На каждый атом в валентной зоне и зоне проводимости приходится по 4 разрешённых состояния (по 1 от s- и по 3 от р-подуровней) Число атомов велико а глубина зон конечная В каждой из зон формируется практически непрерывный спектр большого числа разрешённых состоя-ний разделённых незначительным дискретом величина которого на мно-го порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колебаний

3 Свободные носители заряда в полупроводнике создаются при разрыве ковалентных связей (ионизации) собственных атомов и внедрён-ных в решётку трёх- или пятивалентных атомов примеси10

Разрыв ковалентных связей собственных атомов решётки т е уход электрона с общей орбиты формирующей ковалентную связь означает освобождение занятого энергетического уровня в валентной зоне и пере-ход электрона в зону проводимости где он становится СНЗ Незанятое электроном вакантное место ndash дырка ndash ведёт себя в кристалле как свобод-ная виртуальная частица имеющая элементарный положительный заряд Электрическая проводимость осуществляется свободными зарядами обо-их знаков поэтому имеет биполярный характер

Пятивалентные атомы примеси замещая четырёхвалентные атомы Si или Ge имеют один laquoлишнийraquo электрон который не участвует в форми-ровании ковалентных связей Он легко отрывается от примесного атома и

24

переходит в зону проводимости При этом наряду со свободным отрица-тельным электроном образуется внедрённый в решётку неподвижный по-ложительный ион атома донорной примеси Условие электрической ней-тральности соблюдается

При замещении четырёхвалентного собственного атома Si или Ge трёхвалентным атомом примеси для образования четырёх ковалентных связей недостаёт одного электрона Недостающий электрон восполняется за счёт разрыва ковалентной связи собственных атомов в объёме и при-соединения электрона к атому примеси Это означает переход электрона из валентной зоны на примесный уровень Образуется свободная положи-тельная дырка в валентной зоне и внедрённый в решётку неподвижный отрицательный ион атома акцепторной примеси Условие электрической нейтральности сохраняется

4 Носители в полупроводниках образуются путём ионизации при-месных и собственных атомов Для ионизации примеси требуется значи-тельно меньше энергии чем для ионизации собственных атомов Поэтому большинство носителей заряда имеет laquoпримесноеraquo происхождение и тип электрической проводимости определяется характером примеси При до-норной примеси преобладающими те основными носителями заряда являются электроны Преобладает электронная проводимость При акцеп-торной примеси ОНЗ становятся дырки Преобладающей является дыроч-ная проводимость

5 Ионизация атомов значит и генерация СНЗ реализуется за счёт энергии тепловых колебаний решётки Температурные и радиационные зависимости концентрации СНЗ являются принципиальной особенностью полупроводниковых приборов

12 Свободные носители заряда Функция распределения ФермиndashДирака Свободные носители заряда ndash электроны каждый из которых незави-

симо от остальных принимает в твёрдом теле то или иное состояние в условиях теплового равновесия всё же имеют объективные меры посред-ством которых описываются совокупные свойства всего ансамбля К та-ким мерам относится функция распределения

Функция распределения в статистических системах показывает отно-сительное число членов ансамбля обладающих данным свойством

Конкретно в случае электронов она показывает какую долю от об-щего числа свободных электронов составляют электроны с заданной энергией Е Как отмечалось максимальное число электронов которые могут иметь данную энергию значит число разрешённых состояний в единице объёма приходящихся на единичный интервал энергии

25

1 3max ( ) [Дж см ]n E minus minus есть строго определённая для заданной энергии ве-

личина Значит функция распределения fФ-Д(Е) определяет отношение числа электронов п(Е) реально занимающих энергетический уровень Е к максимальному числу электронов которые в принципе могут находиться на данном уровне

Ф-Д max( ) ( ) ( )f E n E n E= (14) Аналитическое выражение функции распределения электронов ко-

торое независимо друг от друга предложили итальянский физик Энрико Ферми и английский физик Поль Дирак имеет вид

Ф-Д ( )1( )

1 FE E Tf Ee κminus=

+ (15)

где параметр EF minus уровень Ферми Функция ФермиminusДирака как элемент универсального математического аппарата не зависит от свойств той или иной конкретной системы а зависит лишь от температуры Привязка к конкретной системе осуществляется через параметр EF который показы-вает как нужно располагать функцию ФермиminusДирака относительно энер-гетических уровней конкретной системы (см ниже рис 120 рис 121 рис 22)

Функция распределения позволяет решать ряд важных задач необ-ходимых для анализа полупроводниковых приборов

Во-первых представляется возможным определять распределение свободных носителей заряда по энергиям Распределение электронов в пределах зоны проводимости получаем из (14)

3 1max Ф-Д( ) ( ) ( ) см Дж n E n E f E minus minus⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (16а)

Если энергетический уровень заполнен не полностью то ( ) ( )max n E n Elt Отсутствие электрона означает наличие дырки Тогда число дырок на данном энергетическом уровне или распределение дырок в валентной зо-не по энергиям есть разность

max( ) ( ) ( )p E n E n E= minus = max Ф-Д( ) 1 ( )n E f E⎡ ⎤minus equiv⎣ ⎦

max ( ) ( )pn E f Eequiv (16б)

где Ф-Д ( )1( ) 1 ( )

1 Fp E E Tf E f E

e κminus minus⎡ ⎤= minus =⎣ ⎦ +

(17)

minus функция распределения дырок Во-вторых пользуясь функцией распределения можно рассчитывать

концентрации СНЗ те количество электронов или дырок в единице объ-ёма имеющих любое допустимое значение энергии в пределах зоны про-

26

водимости и валентной зоны соответственно Концентрации электронов n и дырок p определяются интегралами

Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VC C

pE E E

n n E dE n E f E dE p n E f E dE= = =int int int (18)

где интегрирование следует ограничить областью энергий зоны проводи-мости (для электронов) и валентной зоны (для дырок)

Наконец представляется возможным решать обратную задачу зная концентрацию СНЗ определять уровень Ферми EF и по положению уровня Ферми судить о свойствах полупроводника

График функции распределения ФермиminusДирака для обозначенных температур приведён на рис 114 bull При температуре T = 0 K он пред-

ставляет собой прямоугольник пло-щадью 1FE times При возрастании тем-пературы освобождаемые площади под кривой распределения в области E lt EF равны возникающим площа-дям в области E gt EF График функ-ции содержит три характерные облас-ти

o область FE Elt где Ф-Д ( ) 1f E = o область в районе FE Easymp протяжённостью в несколько Tκ где функ-

ция испытывает резкий спад11 и при FE E= независимо от температу-ры равняется frac12

o область FE Egt где laquoна хвостеraquo распределения при 2FE E Tκminus gt функцию ФермиminusДирака можно заменить функцией распределения Мак-свеллаminusБольцмана М-Б ( )f E (рис 115) Действительно пренебрегая еди-ницей12 в знаменателе (15) получим13

( )Ф-Д ( ) FE E Tf E e κminus minusasymp = М-Бconst ( )E Te f Eκminustimes = (19)

bull Соотношение (14) есть число электронов приходящихся на одно раз-решённое состояние Очевидно что всегда max( ) ( ) 1n E n E le Поскольку

Ф-Д ( ) 1f E le то функцию ФермиminusДирака можно рассматривать как вероятность того что энергетический уровень занят Тогда число электронов на данном уровне (16а) равно произведению максимальной плотности разрешённых состояний на вероятность того что уровень за-нят Функция распределения ФермиminusДирака определяет плотность веро-ятности занятости состояний с энергией от Е до Е + dE

asympasymp

asymp

EEF

T2gtT1gtT = 0 10

05

0

fФ-Д (E)

~кTРис 114 Функция распределения

ФермиminusДирака

27

bull При низких температурах функция ФермиminusДирака равна единице практически вплоть до энергии FE Easymp после чего она резко падает Из вероятностного смысла функции ФермиminusДирака следует что состояния с энергиями ниже уровня Ферми заняты (вероятность равна 1) а состояния с более высокими энергиями свободны При повышении температуры определённая часть электронов переходит на более высокие энергетиче-ские уровни значительно (по сравнению с Tκ ) отстоящие от уровня Ферми и в области laquoхвостаraquo подчиняются статистике Максвел-лаminusБольцмана (19) (рис 115) Этот факт является важным результатом поскольку именно на этих уровнях находятся носители формирующие токи в полупроводниковых приборах

bull Состояния занятого или свободного уровня являются противо-положными событиями сумма вероятностей которых равна 1 как вероят-ность достоверного события Поэтому разноость Ф-Д1 ( )f Eminus дополня-ющая функцию ФермиminusДирака до единицы есть вероятность того что уровень занят дыркой (соотношение (17)) bull Распределение дырок в валентной зоне (17) выражается такой же

формулой что и распределение электронов (15) в зоне проводимости но с противоположным знаком показателя экспоненты Это даёт основание направлять ось отсчёта энергии дырок противоположно оси отсчёта энер-гии электронов (рис 111 рис 116) Тогда во встречно-вложенной систе-ме координат распределение электронов и дырок изображается одной и той же кривой (рис116) bull С точки зрения теории вероятности уровень Ферми определяется как

энергетический уровень вероятность заполнения которого равна точно половине С точки зрения термодинамики уровень (энергия) Ферми является (в

приближении равенства эффективных масс электронов и дырок) хими-ческим потенциалом14 (в расчёте на один электрон) Химический потен-циал используется в частности при анализе состояния равновесия в таких гетерогенных (разнородных) системах как например жидкостьndashпар

x

еndashx05

10

0 2 4ndash2ndash4ndash6

fФ-Д (x)

Рис 115 Сравнение функции ФермиminusДирака с экспонентой

На хвосте распределения при ( ) (2 3)Fx E E Tκ= ⎡ minus ⎤ ge divide⎣ ⎦ функ-

ция распределения ФермиminusДира-ка совпадает с функцией распре-деления МаксвеллаminusБольцмана

28

Равенство химических потенциалов служит критерием фазового равновесия

Тогда исходя из термодинамического смысла уровня Ферми условием электронно-дырочного равновесия в разнородных системах (металлов полупроводников) является равенство их уровней Ферми во всех частях системы Единство и постоянство уровня Ферми является необходимым и достаточным условием равновесия электронно-дырочных систем Сам уровень Ферми определяется из условия что полное число

электронов в кристалле (системе) должно оставаться неизменным вне зависимости от их распределения по энергетическим уровням (ранее упомянутая обратная задача)

Максимальная плотность разрешённых состояний Для вычисления концентрации СНЗ в полупроводниках (соотноше-

ния (18)) необходимо кроме функции ФермиndashДирака располагать анали-тическим выражением максимального числа электронов способных иметь данную энергию т е знать зависимость плотности разрешённых состоя-ний ( )maxn E от энергии Для вывода этого соотношения определим сна-чала полное число электронов энергия которых не превышает некоторого значения Е

В классической механике электрон считается частицей не имеющей пространственного объёма состояние которой во времени и пространстве точно определено координатами x y z и составляющими импульса рх ру рz Значит состояние электрона будет задаваться (безразмерной) матери-альной точкой в шестимерном пространстве с взаимно перпендикулярны-ми осями x y z рх ру рz Это пространство называется фазовым Полный объём фазового пространства фазV равен произведению объёмов про-

странства координат xyzV и пространства импульсов x y zp p pV

фаз x y zxyz p p pV V V= times

Объём изотропного пространства импульсов соответствующий кинетиче-ской энергии

asympasymp asymp

asymp

10

E

0505

0

fФ-Д (E) Энергия дырки

Энергия электрона10

0

fp (E)

E

EF

asymp

bull

asymp

bull

Рис 116 Функция Фер‐миminusДирака во встречно‐вложенной системе коор‐

динат Оси отсчёта энергии и ор-динат функций распреде-ления электронов и дырок направлены в противопо-ложные стороны

29

2 2 2 E p m p mE= rArr = (110) где m ndash масса электрона есть объём сферы радиуса р равный

3(4 3) x y zp p pV pπ= Тогда

3фаз (4 3) xyzV V pπ= times (111)

Согласно законам классической физики каждая точка этого про-странства вполне характеризует состояние (координаты скорость на-правление движения) электрона энергия которого не превышает величи-ну Е и может изменяться непрерывно

Однако электрон не являются классической частицей При переходе из одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образом даже если этот дискрет очень мал как например в твёрдом теле Если состояние изменяется с дискретом EΔ то очевидно что максимальное число возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отно-шения E EΔ Поскольку энергия выражается через импульс и координа-ту то число состояний в пространстве импульсов и координат не превы-шает отношений x xp pΔ и x xΔ соответственно где xpΔ xΔ ndash дискре-ты изменения импульса и координаты обязанные дискрету изменения энергии

Из дискретности энергии логично следует принципиальная невоз-можность измерения физических величин с точностью превышающей значения обусловленные наличием соответствующих дискретов Анало-гично применение линейки проградуированной в миллиметрах не по-зволяет измерять расстояния с точностью превышающей значение дис-крета равного 1 мм

Таким образом при измерении дискретных физических величин (оп-ределении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципи-альная неопределённость не связанная с погрешностями применяемых методов и используемых приборов

Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гей-зенберг который предложил принять эту принципиально неустранимую неопределённость в качестве специфического физического закона Со-гласно этому закону известному сейчас как соотношение неопределённо-сти Гейзенберга при одновременном определении координаты и импуль-са имеет место неопределенность измерения xΔ и xpΔ такая что

xx p hΔ Δ ge (112) где h ndash постоянная Планка посредством которой определяется минималь-ный дискрет (квант) энергии равный hν ν ndash частота излучения Неоп-ределённость выражается через произведение что соответствует пред-

30

ставлению фазового пространства произведением пространства импуль-сов и координат15

Отсюда следует что для трёхмерного движения неопределённость составит величину порядка 3x y zx y z p p p hΔ Δ Δ Δ Δ Δ ge Это означает что объём который занимает электрон в фазовом пространстве всегда конеч-ный не меньше размера элементарной ячейки 3h Учитывая что в эле-ментарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона с противоположными спинами16 приходим к выводу что объём фазового пространства может содержать максимум 3

фаз2 ( )V htimes электронов Тогда используя (111) определим что полное число электронов в единичном объёме координатного пространства 3( )[см ]N E minus энергия которых не превышает Е будет равно

( ) ( )3 3 3фаз( ) 2 ( ) 2 4 3 xyzN E V V h p hπ= = (113)

Максимальная плотность разрешённых состояний т е число электронов в единице объёма с энергией Е приходящихся на единичный интервал энергии по определению есть

max( ) ( ) ( )( ) N E dE N E dN E dN dpn E

dE dE dp dE+ minus

= = = =

( )3 22 3 14 2 const см Дж m h E Eπ minus minus⎡ ⎤= equiv times ⎣ ⎦ (114)

При вычислении сложной производной использованы соотношения (110) (113) В силу (110) здесь Е ndash кинетическая энергия

Отметим что laquoотступленияraquo от классической физики касались в ос-новном обоснования размера элементарной ячейки фазового пространст-ва через соотношение неопределённости Гейзенберга которое по сущест-ву является формулировкой принципа исключения Паули на языке клас-сической физики Полученное соотношение (114) предполагает исполь-зование кинетической энергии классической частицы

Концентрация свободных носителей заряда Равновесный полупроводник

Концентрация СНЗ не содержащего примесей равновесного полу-проводника определяется соотношениями (18) Вычисление интегралов можно упростить если учитывая особенности проходящих физических процессов распространить интегрирование на бесконечные пределы Та-кой шаг оправдан поскольку почти все свободные электроны компактно располагаются на дне зоны проводимости а дырки ndash у вершины валент-

31

ной зоны Положив верхний предел интегрирования равным бесконечно-сти мы не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смысл результата сможем получить более изящные аналитические выражения

Вычисление интегралов (18) значительно упрощается также благо-даря тому что функцию ФермиndashДирака можно заменить функцией рас-пределения МаксвеллаndashБольцмана Замена возможна потому что для практически важных случаев невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько Tκ а основная масса электронов ndash в зоне проводимости на расстояниях (2 3) FE E Tκminus gt divide В этом случае в знаме-нателе уравнения (15) можно пренебречь единицей Распределением электронов становится выражение (19) где полная энергия есть сумма потенциальной энергии EC и кинетической энергии Ек

к CE E Е= + (115) а максимальная плотность разрешённых состояний (114) выражается че-рез кинетическую энергию к Е Еequiv Тогда введя обозначение к x Е Tκ= используя (19) (114) и nm m= представим соотношение (18) в сле-дующем виде

0

Ф-Д Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( )C C

E

E En n E f E dE n E f E dE

infin= =int int

М-Бmax к к к0

( ) ( )Сn E f E E dEinfin

= + =int ( )3 22 1 2

04 2

C Fx

n

E ETm h e x e dxκπ

infinminus minusminus

int

где E0 ndash уровень свободного электрона в вакууме (рис 110 рис 111) nm ndash эффективная масса электрона посредством которой учитываются осо-бенности движения в твёрдом теле Воспользовавшись табличным инте-

гралом ( )1 2

0expx x dx

infinminus =int 2π окончательно получаем

FC

C

E ETn N e κminus

minus= (116)

где ( )3 222 2C nN m T hπ κ= = ( ) ( )3 2 3 219 325 10 300 смnm m T minus⎡ ⎤sdot times ⎣ ⎦

имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости Определение концентрации дырок в приближении распределения

МаксвеллаndashБольцмана сводится к вычислению интеграла (18) для (17) ( )( ) exp Fpf E E E Tκasymp minus⎡ ⎤⎣ ⎦ где полная энергия дырки равна кVE E Е= minus

и (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV

32

laquoвнизraquo в сторону отрицательных значений (рис 111) max ( )кp E опреде-ляется уравнением (114) при эффективной массе дырки pm m= посред-ством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле Тогда

М-Бmax max0

( ) ( ) ( ) ( )V

V

E

p к к кp p E f E dE p E f E E dEinfin

minusinfin= minus =int int

( )3 22 1 2

04 2

F VE ExT

pm h e x e dxκπminus infinminus minus= int где кx Е Tκ= Окончательно

F V

V

E ETp N e κminusminus

= (117)

где ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 19 32 2 25 10 300 смV p pN m T h m m Tπ κ minus⎡ ⎤= = sdot times ⎣ ⎦ ndash

эффективная плотность состояний в валентной зоне Отметим что полученные соотношения задают количество носите-

лей заряда в единице объёма но не закон их распределения по энергиям Таким образом концентрация СНЗ полупроводника при данной тем-

пературе однозначно определяется положением уровня Ферми Всякое изменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному из-менению концентрации носителей и обратно ndash изменение концентрации будь то за счёт температуры легирования примесями засветки и т д вы-зывает изменение положения уровня Ферми

Количество носителей заряда определяется процессами тепловой генерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов а также обратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны (рис 113 и ниже рис 126 рис 128) Про-цессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят не-прерывно и параллельно Равновесное состояние есть результат динами-ческого равновесия этих процессов При этом однако произведение кон-центраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда зависящим от температуры) равным квадрату собственной концентрации полу-проводника Действительно учитывая что в собственном полупроводни-ке носители образуются парами и 2 in p n= equiv после почленного перемно-жения выражений (116) и (117) получим

2 constinp n= = = (118а)

( )3 231 2 3231 10 g gC V

E T E Tn pN N e m m m T eκ κminus minus= = sdot times

где in ndash собственная концентрация Такова особенность равновесного состояния полупроводников Нижняя строчка этих равенств раскрываю-щая произведение зависит только от температуры и ширины запрещён-

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

17

нижнюю зону разрешенных состояний которые при дальнейшем сближе-нии атомов перекрываются

При расстоянии равном фактическому значению постоянной решёт-ки кристалла кремния R0 перекрывшиеся нижние зоны s- и p-уровней образуют зону разрешённых состояний которая называется валентной зоной Перекрывшиеся верхние зоны s- и p-уровней образуют зону разрё-шенных состояний которая называется зоной проводимости Между ни-ми находится запрещённая зона шириной Eg = EC ndash EV

Поскольку сближение атомов оставляет неизменным полное число разрешённых состояний данного уровня то в верхней и нижней зоне s-уровня на каждый атом приходится по одному разрешённому состоянию Аналогично в верхней и нижней зоне p-уровня на каждый атом прихо-дится по три разрешённых состояния Однако если зоны перекрываются то уже невозможно отличить 3s- от 3p-состояний Естественно поэтому считать что в зоне проводимости и валентной зоне имеется по четыре разрешённых состояния на каждый атом

На вертикали энергий для 0R различают уровень VE ndash вершину ва-лентной зоны5 уровень CE ndash дно зоны проводимости6 уровень 0E ndash уро-

Рис 110 Схема образования энергетических зон в кремнии при умень‐шении расстояния между ближайшими соседними атомами

По достижении значения R0 зоны перекрываются образуя зону прово-димости запрещённую зону шириной Eg = 112 эВ и валентную зону Германий имеет аналогичную схему энергетических зон но Eg =072 эВ

Свободные состояния

Заполненныесостояния

3 состояния на атом

1 состояние на атом

Энергия

элект

рона

Валентная зона

Запрещённаязона

Eg = 112 эВ

R0

2 4 6 8

3s2

3p6

Расстояние между ближайшими соседними атомамиbull

bull

bull

Зона проводимости

R

1 состояние на атом

E0

EC

EV

3 состояния на атом

18

вень свободного электрона в вакууме (рис 110) Глубина зоны проводи-мости 0 aCE E Eminus = называется энергией электронного сродства

Если ось пространственных координат х направить перпендикулярно рисунку 110 то получим энергетическую зонную диаграмму крем-ниягермания показанную на рис 111

Аналогично строятся энергетические зоны германия и других эле-ментов IV группы Однако ширина запрещённой зоны при температуре Т0

= 300 К составляет величину порядка 7эВ = 270κТ0 у алмаза 112эВ = =42κТ0 ndash у кремния 073эВ = 27κТ0 ndash у германия и около 02эВ = 7κТ0 у серого олова где κ ndash постоянная Больцмана κТ0 = 26мВ = 26middot10ndash3 эВ Ис-ходя из ширины запрещённой зоны алмаз относят к изоляторам кремний Si и германий Ge ndash к полупроводникам олово ndash к металлам Модель энер-гетических зон позволяет судить о состоянии носителей заряда в про-странстве энергий

В валентной зоне и в зоне проводимости на каждый атом приходится по четыре разрешённых состояния а всего в атоме 4 валентных электро-на Значит при низких температурах все 4 валентных электрона атома занимают энергетически более выгодные состояния с меньшей энергией в валентной зоне Поэтому валентная зона полностью заполнена а зона проводимости ndash пуста Состояние заполненной валентной зоны и пустой зоны проводимости соответствует сохранённым (не разорванным) кова-лентным связям показанным на рис 15 При таких условиях прохожде-ние электрического тока проводимости в кристалле исключено Свобод-ные носители заряда (СНЗ) отсутствуют Возможен только обмен элек-тронами между атомами при суммарном импульсе равном нулю

Однако у всех элементов рассматриваемой группы кроме алмаза ширина запрещённой зоны невелика поэтому при комнатной температуре ковалентные связи могут разрываться за счёт энергии тепловых колеба-

+

ndash

bull

bull

Зона проводимости

Валентная зона

Пространственная координата

E0

EC

EV

Ea

Eg Запрещённая зона

Энергия

дырки

ndash ndashndash ndash ndash ndashndash ndash ndashndash

++ + + + + + +

Энергия

электрона

Рис 111 Энергетическая зонная диаграмма

Зона проводимости содержащая свободные электроны и валентная зона содержащая свободные дыр-ки разделены запрещённой зоной Разрыв ковалентной связи соб-ственных атомов означает образо-вание пары свободных носителей заряда и изображается как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости

19

ний решетки Разрыв ковалентных связей в пространстве координат озна-чает уход электрона с общей для двух атомов орбиты формирующей ко-валентную связь (рис 112) В пространстве энергий ndash это уход электрона в зону проводимости с образованием пары свободных носителей заряда ndash положительной дырки в валентной зоне и отрицательного электрона в зоне проводимости Действительно ушедшие электроны оставляют пус-тыми уровни у потолка валентной зоны и заполняют свободные состояния у дна зоны проводимости Пустой (не занятый электроном) уровень в ва-лентной зоне называется дыркой Дырка ndash это отсутствие электрона в ковалентной связи двух соседних собственных атомов кристалли-ческой решётки Вакантное место которое образовалось в результате разрыва ковалентной связи и ухода электрона из валентной зоны имеет положительный заряд Оно ведёт себя в кристалле как виртуальная (мыс-лимая) элементарная частица7 имеющая реальный положительный заряд равный по модулю заряду электрона Состояние частично заполненной зоны проводимости и частично свободной валентной зоны (рис 111) оз-начает наличие разрывов ковалентных связей в модели кристалла приведённой на рис 15 Оно показано на рис 112

Число атомов в кристалле велико порядка 1022 смndash3 а глубина энер-гетических зон конечная единицы эВ Поэтому как в зоне проводимости так и в валентной зоне образуется практически непрерывный спектр раз-решённых состояний состоящих из огромного числа дискретных уровней разделённых незначительным зазором Действительно если принять что Еа = 1эВ объёмная плотность атомов равна 1022 смndash3 и на каждый атом приходится по 4 разрешённых состояния то энергетический интервал между разрешенными состояниями составит 1(4middot1022) = 25middot10ndash23эВ Это на 20 порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колеба-ний решётки κТ0 = 26эВ для Т0 = 300 К

Наличие огромного количества разрешённых состояний сопостави-мого с числом атомов в кристалле позволяет считать электроны зоны проводимости и дырки в валентной зоне свободными носителями заряда (СНЗ) в кристалле т к они имеют возможность практически непрерывно изменять своё состояние в пространстве энергий и в пространстве коор-

Рис 112 Образование носителей заряда в собственном полупроводнике

+

+

+

ndashndash

ndash

Разрыв ковалентной связи собственных атомов за счёт энергии тепловых колеба-ний решётки т е уход электрона с об-щей орбиты формирующей ковалент-ную связь создаёт пару свободных носи-телей заряда ndash отрицательный электрон в зоне проводимости и положительную дырку в валентной зоне

20

динат полупроводника Ведь все разрешённые состояния принадлежат конкретным атомам

Посредством электрического поля например можно сформировать направленный перенос СНЗ и получить ток проводимости в полупровод-нике Электрическая проводимость будет иметь биполярный характер поскольку осуществляется СНЗ двух знаков ndash положительными дырками и отрицательными электронами Биполярная проводимость ndash необходи-мый признак собственного полупроводника в котором нет примесей и решётка содержит атомы только одной природы

Разрыв ковалентной связи соседних собственных атомов решётки приводит к образованию (генерации) пары СНЗ разного знака (рис 111 рис 112 рис 113б) Условие электрической нейтральности собствен-ного полупроводника

( ) ( ) 0q n q pminus times + + times = выраженное через концентрацию носителей заряда имеют вид

in p n= equiv (11) где п [см3] и р [см3] ndash концентрация электронов и дырок в зоне прово-димости и валентной зоне соответственно in ndash концентрация носителей собственного полупроводника8

Модель примесного полупроводника Если собственный атом кристаллической решётки четырёхвалентно-

го кремния или германия будет замещён пятивалентным атомом элемента V группы таблицы Менделеева например фосфором Р то четыре валент-ных электрона примесного атома будут задействованы в формировании ковалентных связей Энергетический уровень пятого валентного электро-на ED будет находится в запрещённой зоне полупроводника поскольку ни в валентной зоне ни в зоне проводимости нельзя разместить ещё хотя бы один дополнительный уровень разрешённых состояний сверх положен-ных четырёх уровней на каждый атом (рис 113) Не участвующий в фор-мировании ковалентных связей пятый электрон слабо связан с ядром Энергия его ионизации D DCE E EΔ = minus как правило на один ndash два по-рядка меньше ширины запрещённой зоны Например энергия ионизации фосфора в кремнии составляет всего 00044эВ=17 Tκ при ширине запре-щённой зоны 0112эВ 42 gE Tκ= asymp laquoЛишнийraquo электрон легко отрывается от атома примеси те переходит с примесного уровня ED в зону проводи-мости где становится свободным носителем заряда Такая примесь на-зывается донорной поскольку увеличивает концентрацию СНЗ-электронов в полупроводнике Энергетический уровень электронов до-

21

норной примеси ED находится в запрещённой зоне ниже дна зоны прово-димости на величину энергии ионизации примеси (рис 113в)

Ионизация атомов донорной примеси означает переход электрона с примесного уровня в зону проводимости При этом образуется свободный электрон в зоне проводимости и неподвижный положительный ион донорной примеси встроенный в кристаллическую решётку Поскольку энергия ионизации донорной примеси невелика то уже при комнатной температуре практически все атомы донорной примеси ионизированы Ионизация атомов донорной примеси не исключает образование пар СНЗ за счёт перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости Ио-низация собственных атомов создаёт концентрацию р [см3] свободных дырок

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного донорной примесью имеет вид Dn p N += + (12)

где DN + ndash концентрация встроенных в решётку положительных ионов до-норной примеси

Энергия ионизации примеси во много раз меньше энергии ионизации собственных атомов решётки Поэтому в области рабочих температур в донорном полупроводнике n p Электроны являются основными но-сителями заряда (ОНЗ)9 Они образуются в основном за счёт ионизации атомов донорной примеси Их концентрация может широко варьироваться путём изменения количества введённой примеси Дырки являются неос-новными носителями заряда (ННЗ) Они образуются за счёт разрыва ковалентных связей (ионизации) собственных атомов решётки

Аналогично если собственный атом кристаллической решетки четы-рёхвалентного кремния или германия замещён трёхвалентным атомом элемента III группы таблицы Менделеева например бором В то три ва-лентных электрона примесного атома будут задействованы в формирова-нии ковалентных связей Электрон недостающий для формирования чет-вёртой ковалентной связи привлекается за счёт разрыва ковалентной свя-зи собственных атомов решётки в объёме кремния (рис 113а)

При этом образуется свободная дырка в валентной зоне и непод-вижный отрицательный ион атома акцепторной примеси встроенный в кристаллическую решетку Такая примесь называется акцепторной (от англ accept ndash принимать) поскольку она laquoприсоединяетraquo к себе электро-ны за счёт их перехода из валентной зоны на примесный уровень ЕА Энергетический уровень laquoприсоединённыхraquo электронов EА находится в запрещённой зоне выше вершины валентной зоны на величину энергии ионизации акцепторной примеси (рис 113а)

22

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного акцепторной примесью значит обладающего в основном дырочной проводимостью имеет вид

Ap n N minus= + (13)

где AN minus ndash концентрация встроенных в решётку отрицательно ионизиро-ванных атомов акцепторной примеси

В полупроводнике легированном акцепторной примесью дырки яв-ляются основными носителями заряда а электроны minus неосновные но-сители заряда Дырки образуются в основном за счёт ионизации атомов примеси а ННЗ-электроны minus за счёт разрыва ковалентных связей собст-венных атомов решётки

+

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Вndash

ndash

Si

ndash

ndash+ Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

+

ndash

Si

ndash

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Р+

+

Si

Si

ndash ndash

++

ndash

+

ndash

+

ndashЕС ЕС ЕС

ЕVЕVЕV

ЕA

ЕD

ndash

+

Bndash P+

а) б) в)

ndash

+

Б)

А)

Рис 113 Образование свободных носителей заряда в собственном и при‐месных полупроводниках за счёт тепловой генерации электронно‐

дырочных пар и ионизации атомов примеси А) Модели кристаллических решёток Б) Зонные диаграммы

а) Модель акцепторной примеси Трёхвалентный атом бора захватывает у собственного атома электрон недостающий для формирования ковалентной связи Образуется свободная дырка в валентной зоне и встроенный в кри-сталлическую решётку отрицательный ион Вminus ЕА ndash акцепторный уровень б) Модель собственного полупроводника Разрыв ковалентной связи соб-ственных атомов решётки кремния создаёт пару свободных носителей заря-да ndash положительную дырку в валентной зоне и отрицательный электрон в зоне проводимости в) Модель донорной примеси Пятивалентный атом фосфора отдаёт неза-действованный в ковалентных связях пятый электрон Образуется свобод-ный электрон в зоне проводимости и встроенный в кристаллическую ре-шётку неподвижный положительный ион Р+ ЕD ndash донорный уровень На зонных диаграммах примесных полупроводников показано также обра-зование электронно-дырочных пар носителей заряда за счёт разрыва кова-лентных связей (ионизации) собственных атомов решётки которые обозна-чаются как переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости

23

В области рабочих температур примесных полупроводников основ-ными являются laquoпримесныеraquo носители созданные за счёт ионизации примеси Неосновные носители ndash это laquoсобственныеraquo носители созданные за счёт ионизации собственных атомов решётки

Выводы 1 Элементы IV группы таблицы Менделеева Si и Ge формируют

кристаллическую решётку за счёт ковалентных связей каждого атома с четырьмя ближайшими соседями В каждом данном направлении кова-лентная связь двух соседних атомов реализуется двумя валентными элек-тронами s- и p-электронных уровней ndash одним laquoсвоимraquo и одним laquoчужимraquo которые (согласно представлениям классической физики) вращаются во-круг этих атомов по одной общей орбите

2 При формировании твёрдого тела s- и p-электронные уровни ато-мов объединяемых ковалентными связями расщепляются на две ndash верх-нюю и нижнюю ndash полосы разрешённых состояний представляющих со-бой совокупность множества (по числу атомов) дискретных энергетиче-ских уровней

Нижние полосы совокупности s- и p-электронных уровней перекры-ваются и создают валентную зону в основном занятых (электронами) состояний полупроводника Перекрывающиеся верхние полосы s- и p-уровней создают зону проводимости в основном свободных состояний Между ними находится запрещённая зона

На каждый атом в валентной зоне и зоне проводимости приходится по 4 разрешённых состояния (по 1 от s- и по 3 от р-подуровней) Число атомов велико а глубина зон конечная В каждой из зон формируется практически непрерывный спектр большого числа разрешённых состоя-ний разделённых незначительным дискретом величина которого на мно-го порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колебаний

3 Свободные носители заряда в полупроводнике создаются при разрыве ковалентных связей (ионизации) собственных атомов и внедрён-ных в решётку трёх- или пятивалентных атомов примеси10

Разрыв ковалентных связей собственных атомов решётки т е уход электрона с общей орбиты формирующей ковалентную связь означает освобождение занятого энергетического уровня в валентной зоне и пере-ход электрона в зону проводимости где он становится СНЗ Незанятое электроном вакантное место ndash дырка ndash ведёт себя в кристалле как свобод-ная виртуальная частица имеющая элементарный положительный заряд Электрическая проводимость осуществляется свободными зарядами обо-их знаков поэтому имеет биполярный характер

Пятивалентные атомы примеси замещая четырёхвалентные атомы Si или Ge имеют один laquoлишнийraquo электрон который не участвует в форми-ровании ковалентных связей Он легко отрывается от примесного атома и

24

переходит в зону проводимости При этом наряду со свободным отрица-тельным электроном образуется внедрённый в решётку неподвижный по-ложительный ион атома донорной примеси Условие электрической ней-тральности соблюдается

При замещении четырёхвалентного собственного атома Si или Ge трёхвалентным атомом примеси для образования четырёх ковалентных связей недостаёт одного электрона Недостающий электрон восполняется за счёт разрыва ковалентной связи собственных атомов в объёме и при-соединения электрона к атому примеси Это означает переход электрона из валентной зоны на примесный уровень Образуется свободная положи-тельная дырка в валентной зоне и внедрённый в решётку неподвижный отрицательный ион атома акцепторной примеси Условие электрической нейтральности сохраняется

4 Носители в полупроводниках образуются путём ионизации при-месных и собственных атомов Для ионизации примеси требуется значи-тельно меньше энергии чем для ионизации собственных атомов Поэтому большинство носителей заряда имеет laquoпримесноеraquo происхождение и тип электрической проводимости определяется характером примеси При до-норной примеси преобладающими те основными носителями заряда являются электроны Преобладает электронная проводимость При акцеп-торной примеси ОНЗ становятся дырки Преобладающей является дыроч-ная проводимость

5 Ионизация атомов значит и генерация СНЗ реализуется за счёт энергии тепловых колебаний решётки Температурные и радиационные зависимости концентрации СНЗ являются принципиальной особенностью полупроводниковых приборов

12 Свободные носители заряда Функция распределения ФермиndashДирака Свободные носители заряда ndash электроны каждый из которых незави-

симо от остальных принимает в твёрдом теле то или иное состояние в условиях теплового равновесия всё же имеют объективные меры посред-ством которых описываются совокупные свойства всего ансамбля К та-ким мерам относится функция распределения

Функция распределения в статистических системах показывает отно-сительное число членов ансамбля обладающих данным свойством

Конкретно в случае электронов она показывает какую долю от об-щего числа свободных электронов составляют электроны с заданной энергией Е Как отмечалось максимальное число электронов которые могут иметь данную энергию значит число разрешённых состояний в единице объёма приходящихся на единичный интервал энергии

25

1 3max ( ) [Дж см ]n E minus minus есть строго определённая для заданной энергии ве-

личина Значит функция распределения fФ-Д(Е) определяет отношение числа электронов п(Е) реально занимающих энергетический уровень Е к максимальному числу электронов которые в принципе могут находиться на данном уровне

Ф-Д max( ) ( ) ( )f E n E n E= (14) Аналитическое выражение функции распределения электронов ко-

торое независимо друг от друга предложили итальянский физик Энрико Ферми и английский физик Поль Дирак имеет вид

Ф-Д ( )1( )

1 FE E Tf Ee κminus=

+ (15)

где параметр EF minus уровень Ферми Функция ФермиminusДирака как элемент универсального математического аппарата не зависит от свойств той или иной конкретной системы а зависит лишь от температуры Привязка к конкретной системе осуществляется через параметр EF который показы-вает как нужно располагать функцию ФермиminusДирака относительно энер-гетических уровней конкретной системы (см ниже рис 120 рис 121 рис 22)

Функция распределения позволяет решать ряд важных задач необ-ходимых для анализа полупроводниковых приборов

Во-первых представляется возможным определять распределение свободных носителей заряда по энергиям Распределение электронов в пределах зоны проводимости получаем из (14)

3 1max Ф-Д( ) ( ) ( ) см Дж n E n E f E minus minus⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (16а)

Если энергетический уровень заполнен не полностью то ( ) ( )max n E n Elt Отсутствие электрона означает наличие дырки Тогда число дырок на данном энергетическом уровне или распределение дырок в валентной зо-не по энергиям есть разность

max( ) ( ) ( )p E n E n E= minus = max Ф-Д( ) 1 ( )n E f E⎡ ⎤minus equiv⎣ ⎦

max ( ) ( )pn E f Eequiv (16б)

где Ф-Д ( )1( ) 1 ( )

1 Fp E E Tf E f E

e κminus minus⎡ ⎤= minus =⎣ ⎦ +

(17)

minus функция распределения дырок Во-вторых пользуясь функцией распределения можно рассчитывать

концентрации СНЗ те количество электронов или дырок в единице объ-ёма имеющих любое допустимое значение энергии в пределах зоны про-

26

водимости и валентной зоны соответственно Концентрации электронов n и дырок p определяются интегралами

Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VC C

pE E E

n n E dE n E f E dE p n E f E dE= = =int int int (18)

где интегрирование следует ограничить областью энергий зоны проводи-мости (для электронов) и валентной зоны (для дырок)

Наконец представляется возможным решать обратную задачу зная концентрацию СНЗ определять уровень Ферми EF и по положению уровня Ферми судить о свойствах полупроводника

График функции распределения ФермиminusДирака для обозначенных температур приведён на рис 114 bull При температуре T = 0 K он пред-

ставляет собой прямоугольник пло-щадью 1FE times При возрастании тем-пературы освобождаемые площади под кривой распределения в области E lt EF равны возникающим площа-дям в области E gt EF График функ-ции содержит три характерные облас-ти

o область FE Elt где Ф-Д ( ) 1f E = o область в районе FE Easymp протяжённостью в несколько Tκ где функ-

ция испытывает резкий спад11 и при FE E= независимо от температу-ры равняется frac12

o область FE Egt где laquoна хвостеraquo распределения при 2FE E Tκminus gt функцию ФермиminusДирака можно заменить функцией распределения Мак-свеллаminusБольцмана М-Б ( )f E (рис 115) Действительно пренебрегая еди-ницей12 в знаменателе (15) получим13

( )Ф-Д ( ) FE E Tf E e κminus minusasymp = М-Бconst ( )E Te f Eκminustimes = (19)

bull Соотношение (14) есть число электронов приходящихся на одно раз-решённое состояние Очевидно что всегда max( ) ( ) 1n E n E le Поскольку

Ф-Д ( ) 1f E le то функцию ФермиminusДирака можно рассматривать как вероятность того что энергетический уровень занят Тогда число электронов на данном уровне (16а) равно произведению максимальной плотности разрешённых состояний на вероятность того что уровень за-нят Функция распределения ФермиminusДирака определяет плотность веро-ятности занятости состояний с энергией от Е до Е + dE

asympasymp

asymp

EEF

T2gtT1gtT = 0 10

05

0

fФ-Д (E)

~кTРис 114 Функция распределения

ФермиminusДирака

27

bull При низких температурах функция ФермиminusДирака равна единице практически вплоть до энергии FE Easymp после чего она резко падает Из вероятностного смысла функции ФермиminusДирака следует что состояния с энергиями ниже уровня Ферми заняты (вероятность равна 1) а состояния с более высокими энергиями свободны При повышении температуры определённая часть электронов переходит на более высокие энергетиче-ские уровни значительно (по сравнению с Tκ ) отстоящие от уровня Ферми и в области laquoхвостаraquo подчиняются статистике Максвел-лаminusБольцмана (19) (рис 115) Этот факт является важным результатом поскольку именно на этих уровнях находятся носители формирующие токи в полупроводниковых приборах

bull Состояния занятого или свободного уровня являются противо-положными событиями сумма вероятностей которых равна 1 как вероят-ность достоверного события Поэтому разноость Ф-Д1 ( )f Eminus дополня-ющая функцию ФермиminusДирака до единицы есть вероятность того что уровень занят дыркой (соотношение (17)) bull Распределение дырок в валентной зоне (17) выражается такой же

формулой что и распределение электронов (15) в зоне проводимости но с противоположным знаком показателя экспоненты Это даёт основание направлять ось отсчёта энергии дырок противоположно оси отсчёта энер-гии электронов (рис 111 рис 116) Тогда во встречно-вложенной систе-ме координат распределение электронов и дырок изображается одной и той же кривой (рис116) bull С точки зрения теории вероятности уровень Ферми определяется как

энергетический уровень вероятность заполнения которого равна точно половине С точки зрения термодинамики уровень (энергия) Ферми является (в

приближении равенства эффективных масс электронов и дырок) хими-ческим потенциалом14 (в расчёте на один электрон) Химический потен-циал используется в частности при анализе состояния равновесия в таких гетерогенных (разнородных) системах как например жидкостьndashпар

x

еndashx05

10

0 2 4ndash2ndash4ndash6

fФ-Д (x)

Рис 115 Сравнение функции ФермиminusДирака с экспонентой

На хвосте распределения при ( ) (2 3)Fx E E Tκ= ⎡ minus ⎤ ge divide⎣ ⎦ функ-

ция распределения ФермиminusДира-ка совпадает с функцией распре-деления МаксвеллаminusБольцмана

28

Равенство химических потенциалов служит критерием фазового равновесия

Тогда исходя из термодинамического смысла уровня Ферми условием электронно-дырочного равновесия в разнородных системах (металлов полупроводников) является равенство их уровней Ферми во всех частях системы Единство и постоянство уровня Ферми является необходимым и достаточным условием равновесия электронно-дырочных систем Сам уровень Ферми определяется из условия что полное число

электронов в кристалле (системе) должно оставаться неизменным вне зависимости от их распределения по энергетическим уровням (ранее упомянутая обратная задача)

Максимальная плотность разрешённых состояний Для вычисления концентрации СНЗ в полупроводниках (соотноше-

ния (18)) необходимо кроме функции ФермиndashДирака располагать анали-тическим выражением максимального числа электронов способных иметь данную энергию т е знать зависимость плотности разрешённых состоя-ний ( )maxn E от энергии Для вывода этого соотношения определим сна-чала полное число электронов энергия которых не превышает некоторого значения Е

В классической механике электрон считается частицей не имеющей пространственного объёма состояние которой во времени и пространстве точно определено координатами x y z и составляющими импульса рх ру рz Значит состояние электрона будет задаваться (безразмерной) матери-альной точкой в шестимерном пространстве с взаимно перпендикулярны-ми осями x y z рх ру рz Это пространство называется фазовым Полный объём фазового пространства фазV равен произведению объёмов про-

странства координат xyzV и пространства импульсов x y zp p pV

фаз x y zxyz p p pV V V= times

Объём изотропного пространства импульсов соответствующий кинетиче-ской энергии

asympasymp asymp

asymp

10

E

0505

0

fФ-Д (E) Энергия дырки

Энергия электрона10

0

fp (E)

E

EF

asymp

bull

asymp

bull

Рис 116 Функция Фер‐миminusДирака во встречно‐вложенной системе коор‐

динат Оси отсчёта энергии и ор-динат функций распреде-ления электронов и дырок направлены в противопо-ложные стороны

29

2 2 2 E p m p mE= rArr = (110) где m ndash масса электрона есть объём сферы радиуса р равный

3(4 3) x y zp p pV pπ= Тогда

3фаз (4 3) xyzV V pπ= times (111)

Согласно законам классической физики каждая точка этого про-странства вполне характеризует состояние (координаты скорость на-правление движения) электрона энергия которого не превышает величи-ну Е и может изменяться непрерывно

Однако электрон не являются классической частицей При переходе из одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образом даже если этот дискрет очень мал как например в твёрдом теле Если состояние изменяется с дискретом EΔ то очевидно что максимальное число возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отно-шения E EΔ Поскольку энергия выражается через импульс и координа-ту то число состояний в пространстве импульсов и координат не превы-шает отношений x xp pΔ и x xΔ соответственно где xpΔ xΔ ndash дискре-ты изменения импульса и координаты обязанные дискрету изменения энергии

Из дискретности энергии логично следует принципиальная невоз-можность измерения физических величин с точностью превышающей значения обусловленные наличием соответствующих дискретов Анало-гично применение линейки проградуированной в миллиметрах не по-зволяет измерять расстояния с точностью превышающей значение дис-крета равного 1 мм

Таким образом при измерении дискретных физических величин (оп-ределении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципи-альная неопределённость не связанная с погрешностями применяемых методов и используемых приборов

Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гей-зенберг который предложил принять эту принципиально неустранимую неопределённость в качестве специфического физического закона Со-гласно этому закону известному сейчас как соотношение неопределённо-сти Гейзенберга при одновременном определении координаты и импуль-са имеет место неопределенность измерения xΔ и xpΔ такая что

xx p hΔ Δ ge (112) где h ndash постоянная Планка посредством которой определяется минималь-ный дискрет (квант) энергии равный hν ν ndash частота излучения Неоп-ределённость выражается через произведение что соответствует пред-

30

ставлению фазового пространства произведением пространства импуль-сов и координат15

Отсюда следует что для трёхмерного движения неопределённость составит величину порядка 3x y zx y z p p p hΔ Δ Δ Δ Δ Δ ge Это означает что объём который занимает электрон в фазовом пространстве всегда конеч-ный не меньше размера элементарной ячейки 3h Учитывая что в эле-ментарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона с противоположными спинами16 приходим к выводу что объём фазового пространства может содержать максимум 3

фаз2 ( )V htimes электронов Тогда используя (111) определим что полное число электронов в единичном объёме координатного пространства 3( )[см ]N E minus энергия которых не превышает Е будет равно

( ) ( )3 3 3фаз( ) 2 ( ) 2 4 3 xyzN E V V h p hπ= = (113)

Максимальная плотность разрешённых состояний т е число электронов в единице объёма с энергией Е приходящихся на единичный интервал энергии по определению есть

max( ) ( ) ( )( ) N E dE N E dN E dN dpn E

dE dE dp dE+ minus

= = = =

( )3 22 3 14 2 const см Дж m h E Eπ minus minus⎡ ⎤= equiv times ⎣ ⎦ (114)

При вычислении сложной производной использованы соотношения (110) (113) В силу (110) здесь Е ndash кинетическая энергия

Отметим что laquoотступленияraquo от классической физики касались в ос-новном обоснования размера элементарной ячейки фазового пространст-ва через соотношение неопределённости Гейзенберга которое по сущест-ву является формулировкой принципа исключения Паули на языке клас-сической физики Полученное соотношение (114) предполагает исполь-зование кинетической энергии классической частицы

Концентрация свободных носителей заряда Равновесный полупроводник

Концентрация СНЗ не содержащего примесей равновесного полу-проводника определяется соотношениями (18) Вычисление интегралов можно упростить если учитывая особенности проходящих физических процессов распространить интегрирование на бесконечные пределы Та-кой шаг оправдан поскольку почти все свободные электроны компактно располагаются на дне зоны проводимости а дырки ndash у вершины валент-

31

ной зоны Положив верхний предел интегрирования равным бесконечно-сти мы не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смысл результата сможем получить более изящные аналитические выражения

Вычисление интегралов (18) значительно упрощается также благо-даря тому что функцию ФермиndashДирака можно заменить функцией рас-пределения МаксвеллаndashБольцмана Замена возможна потому что для практически важных случаев невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько Tκ а основная масса электронов ndash в зоне проводимости на расстояниях (2 3) FE E Tκminus gt divide В этом случае в знаме-нателе уравнения (15) можно пренебречь единицей Распределением электронов становится выражение (19) где полная энергия есть сумма потенциальной энергии EC и кинетической энергии Ек

к CE E Е= + (115) а максимальная плотность разрешённых состояний (114) выражается че-рез кинетическую энергию к Е Еequiv Тогда введя обозначение к x Е Tκ= используя (19) (114) и nm m= представим соотношение (18) в сле-дующем виде

0

Ф-Д Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( )C C

E

E En n E f E dE n E f E dE

infin= =int int

М-Бmax к к к0

( ) ( )Сn E f E E dEinfin

= + =int ( )3 22 1 2

04 2

C Fx

n

E ETm h e x e dxκπ

infinminus minusminus

int

где E0 ndash уровень свободного электрона в вакууме (рис 110 рис 111) nm ndash эффективная масса электрона посредством которой учитываются осо-бенности движения в твёрдом теле Воспользовавшись табличным инте-

гралом ( )1 2

0expx x dx

infinminus =int 2π окончательно получаем

FC

C

E ETn N e κminus

minus= (116)

где ( )3 222 2C nN m T hπ κ= = ( ) ( )3 2 3 219 325 10 300 смnm m T minus⎡ ⎤sdot times ⎣ ⎦

имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости Определение концентрации дырок в приближении распределения

МаксвеллаndashБольцмана сводится к вычислению интеграла (18) для (17) ( )( ) exp Fpf E E E Tκasymp minus⎡ ⎤⎣ ⎦ где полная энергия дырки равна кVE E Е= minus

и (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV

32

laquoвнизraquo в сторону отрицательных значений (рис 111) max ( )кp E опреде-ляется уравнением (114) при эффективной массе дырки pm m= посред-ством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле Тогда

М-Бmax max0

( ) ( ) ( ) ( )V

V

E

p к к кp p E f E dE p E f E E dEinfin

minusinfin= minus =int int

( )3 22 1 2

04 2

F VE ExT

pm h e x e dxκπminus infinminus minus= int где кx Е Tκ= Окончательно

F V

V

E ETp N e κminusminus

= (117)

где ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 19 32 2 25 10 300 смV p pN m T h m m Tπ κ minus⎡ ⎤= = sdot times ⎣ ⎦ ndash

эффективная плотность состояний в валентной зоне Отметим что полученные соотношения задают количество носите-

лей заряда в единице объёма но не закон их распределения по энергиям Таким образом концентрация СНЗ полупроводника при данной тем-

пературе однозначно определяется положением уровня Ферми Всякое изменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному из-менению концентрации носителей и обратно ndash изменение концентрации будь то за счёт температуры легирования примесями засветки и т д вы-зывает изменение положения уровня Ферми

Количество носителей заряда определяется процессами тепловой генерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов а также обратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны (рис 113 и ниже рис 126 рис 128) Про-цессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят не-прерывно и параллельно Равновесное состояние есть результат динами-ческого равновесия этих процессов При этом однако произведение кон-центраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда зависящим от температуры) равным квадрату собственной концентрации полу-проводника Действительно учитывая что в собственном полупроводни-ке носители образуются парами и 2 in p n= equiv после почленного перемно-жения выражений (116) и (117) получим

2 constinp n= = = (118а)

( )3 231 2 3231 10 g gC V

E T E Tn pN N e m m m T eκ κminus minus= = sdot times

где in ndash собственная концентрация Такова особенность равновесного состояния полупроводников Нижняя строчка этих равенств раскрываю-щая произведение зависит только от температуры и ширины запрещён-

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

19

ний решетки Разрыв ковалентных связей в пространстве координат озна-чает уход электрона с общей для двух атомов орбиты формирующей ко-валентную связь (рис 112) В пространстве энергий ndash это уход электрона в зону проводимости с образованием пары свободных носителей заряда ndash положительной дырки в валентной зоне и отрицательного электрона в зоне проводимости Действительно ушедшие электроны оставляют пус-тыми уровни у потолка валентной зоны и заполняют свободные состояния у дна зоны проводимости Пустой (не занятый электроном) уровень в ва-лентной зоне называется дыркой Дырка ndash это отсутствие электрона в ковалентной связи двух соседних собственных атомов кристалли-ческой решётки Вакантное место которое образовалось в результате разрыва ковалентной связи и ухода электрона из валентной зоны имеет положительный заряд Оно ведёт себя в кристалле как виртуальная (мыс-лимая) элементарная частица7 имеющая реальный положительный заряд равный по модулю заряду электрона Состояние частично заполненной зоны проводимости и частично свободной валентной зоны (рис 111) оз-начает наличие разрывов ковалентных связей в модели кристалла приведённой на рис 15 Оно показано на рис 112

Число атомов в кристалле велико порядка 1022 смndash3 а глубина энер-гетических зон конечная единицы эВ Поэтому как в зоне проводимости так и в валентной зоне образуется практически непрерывный спектр раз-решённых состояний состоящих из огромного числа дискретных уровней разделённых незначительным зазором Действительно если принять что Еа = 1эВ объёмная плотность атомов равна 1022 смndash3 и на каждый атом приходится по 4 разрешённых состояния то энергетический интервал между разрешенными состояниями составит 1(4middot1022) = 25middot10ndash23эВ Это на 20 порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колеба-ний решётки κТ0 = 26эВ для Т0 = 300 К

Наличие огромного количества разрешённых состояний сопостави-мого с числом атомов в кристалле позволяет считать электроны зоны проводимости и дырки в валентной зоне свободными носителями заряда (СНЗ) в кристалле т к они имеют возможность практически непрерывно изменять своё состояние в пространстве энергий и в пространстве коор-

Рис 112 Образование носителей заряда в собственном полупроводнике

+

+

+

ndashndash

ndash

Разрыв ковалентной связи собственных атомов за счёт энергии тепловых колеба-ний решётки т е уход электрона с об-щей орбиты формирующей ковалент-ную связь создаёт пару свободных носи-телей заряда ndash отрицательный электрон в зоне проводимости и положительную дырку в валентной зоне

20

динат полупроводника Ведь все разрешённые состояния принадлежат конкретным атомам

Посредством электрического поля например можно сформировать направленный перенос СНЗ и получить ток проводимости в полупровод-нике Электрическая проводимость будет иметь биполярный характер поскольку осуществляется СНЗ двух знаков ndash положительными дырками и отрицательными электронами Биполярная проводимость ndash необходи-мый признак собственного полупроводника в котором нет примесей и решётка содержит атомы только одной природы

Разрыв ковалентной связи соседних собственных атомов решётки приводит к образованию (генерации) пары СНЗ разного знака (рис 111 рис 112 рис 113б) Условие электрической нейтральности собствен-ного полупроводника

( ) ( ) 0q n q pminus times + + times = выраженное через концентрацию носителей заряда имеют вид

in p n= equiv (11) где п [см3] и р [см3] ndash концентрация электронов и дырок в зоне прово-димости и валентной зоне соответственно in ndash концентрация носителей собственного полупроводника8

Модель примесного полупроводника Если собственный атом кристаллической решётки четырёхвалентно-

го кремния или германия будет замещён пятивалентным атомом элемента V группы таблицы Менделеева например фосфором Р то четыре валент-ных электрона примесного атома будут задействованы в формировании ковалентных связей Энергетический уровень пятого валентного электро-на ED будет находится в запрещённой зоне полупроводника поскольку ни в валентной зоне ни в зоне проводимости нельзя разместить ещё хотя бы один дополнительный уровень разрешённых состояний сверх положен-ных четырёх уровней на каждый атом (рис 113) Не участвующий в фор-мировании ковалентных связей пятый электрон слабо связан с ядром Энергия его ионизации D DCE E EΔ = minus как правило на один ndash два по-рядка меньше ширины запрещённой зоны Например энергия ионизации фосфора в кремнии составляет всего 00044эВ=17 Tκ при ширине запре-щённой зоны 0112эВ 42 gE Tκ= asymp laquoЛишнийraquo электрон легко отрывается от атома примеси те переходит с примесного уровня ED в зону проводи-мости где становится свободным носителем заряда Такая примесь на-зывается донорной поскольку увеличивает концентрацию СНЗ-электронов в полупроводнике Энергетический уровень электронов до-

21

норной примеси ED находится в запрещённой зоне ниже дна зоны прово-димости на величину энергии ионизации примеси (рис 113в)

Ионизация атомов донорной примеси означает переход электрона с примесного уровня в зону проводимости При этом образуется свободный электрон в зоне проводимости и неподвижный положительный ион донорной примеси встроенный в кристаллическую решётку Поскольку энергия ионизации донорной примеси невелика то уже при комнатной температуре практически все атомы донорной примеси ионизированы Ионизация атомов донорной примеси не исключает образование пар СНЗ за счёт перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости Ио-низация собственных атомов создаёт концентрацию р [см3] свободных дырок

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного донорной примесью имеет вид Dn p N += + (12)

где DN + ndash концентрация встроенных в решётку положительных ионов до-норной примеси

Энергия ионизации примеси во много раз меньше энергии ионизации собственных атомов решётки Поэтому в области рабочих температур в донорном полупроводнике n p Электроны являются основными но-сителями заряда (ОНЗ)9 Они образуются в основном за счёт ионизации атомов донорной примеси Их концентрация может широко варьироваться путём изменения количества введённой примеси Дырки являются неос-новными носителями заряда (ННЗ) Они образуются за счёт разрыва ковалентных связей (ионизации) собственных атомов решётки

Аналогично если собственный атом кристаллической решетки четы-рёхвалентного кремния или германия замещён трёхвалентным атомом элемента III группы таблицы Менделеева например бором В то три ва-лентных электрона примесного атома будут задействованы в формирова-нии ковалентных связей Электрон недостающий для формирования чет-вёртой ковалентной связи привлекается за счёт разрыва ковалентной свя-зи собственных атомов решётки в объёме кремния (рис 113а)

При этом образуется свободная дырка в валентной зоне и непод-вижный отрицательный ион атома акцепторной примеси встроенный в кристаллическую решетку Такая примесь называется акцепторной (от англ accept ndash принимать) поскольку она laquoприсоединяетraquo к себе электро-ны за счёт их перехода из валентной зоны на примесный уровень ЕА Энергетический уровень laquoприсоединённыхraquo электронов EА находится в запрещённой зоне выше вершины валентной зоны на величину энергии ионизации акцепторной примеси (рис 113а)

22

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного акцепторной примесью значит обладающего в основном дырочной проводимостью имеет вид

Ap n N minus= + (13)

где AN minus ndash концентрация встроенных в решётку отрицательно ионизиро-ванных атомов акцепторной примеси

В полупроводнике легированном акцепторной примесью дырки яв-ляются основными носителями заряда а электроны minus неосновные но-сители заряда Дырки образуются в основном за счёт ионизации атомов примеси а ННЗ-электроны minus за счёт разрыва ковалентных связей собст-венных атомов решётки

+

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Вndash

ndash

Si

ndash

ndash+ Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

+

ndash

Si

ndash

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Р+

+

Si

Si

ndash ndash

++

ndash

+

ndash

+

ndashЕС ЕС ЕС

ЕVЕVЕV

ЕA

ЕD

ndash

+

Bndash P+

а) б) в)

ndash

+

Б)

А)

Рис 113 Образование свободных носителей заряда в собственном и при‐месных полупроводниках за счёт тепловой генерации электронно‐

дырочных пар и ионизации атомов примеси А) Модели кристаллических решёток Б) Зонные диаграммы

а) Модель акцепторной примеси Трёхвалентный атом бора захватывает у собственного атома электрон недостающий для формирования ковалентной связи Образуется свободная дырка в валентной зоне и встроенный в кри-сталлическую решётку отрицательный ион Вminus ЕА ndash акцепторный уровень б) Модель собственного полупроводника Разрыв ковалентной связи соб-ственных атомов решётки кремния создаёт пару свободных носителей заря-да ndash положительную дырку в валентной зоне и отрицательный электрон в зоне проводимости в) Модель донорной примеси Пятивалентный атом фосфора отдаёт неза-действованный в ковалентных связях пятый электрон Образуется свобод-ный электрон в зоне проводимости и встроенный в кристаллическую ре-шётку неподвижный положительный ион Р+ ЕD ndash донорный уровень На зонных диаграммах примесных полупроводников показано также обра-зование электронно-дырочных пар носителей заряда за счёт разрыва кова-лентных связей (ионизации) собственных атомов решётки которые обозна-чаются как переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости

23

В области рабочих температур примесных полупроводников основ-ными являются laquoпримесныеraquo носители созданные за счёт ионизации примеси Неосновные носители ndash это laquoсобственныеraquo носители созданные за счёт ионизации собственных атомов решётки

Выводы 1 Элементы IV группы таблицы Менделеева Si и Ge формируют

кристаллическую решётку за счёт ковалентных связей каждого атома с четырьмя ближайшими соседями В каждом данном направлении кова-лентная связь двух соседних атомов реализуется двумя валентными элек-тронами s- и p-электронных уровней ndash одним laquoсвоимraquo и одним laquoчужимraquo которые (согласно представлениям классической физики) вращаются во-круг этих атомов по одной общей орбите

2 При формировании твёрдого тела s- и p-электронные уровни ато-мов объединяемых ковалентными связями расщепляются на две ndash верх-нюю и нижнюю ndash полосы разрешённых состояний представляющих со-бой совокупность множества (по числу атомов) дискретных энергетиче-ских уровней

Нижние полосы совокупности s- и p-электронных уровней перекры-ваются и создают валентную зону в основном занятых (электронами) состояний полупроводника Перекрывающиеся верхние полосы s- и p-уровней создают зону проводимости в основном свободных состояний Между ними находится запрещённая зона

На каждый атом в валентной зоне и зоне проводимости приходится по 4 разрешённых состояния (по 1 от s- и по 3 от р-подуровней) Число атомов велико а глубина зон конечная В каждой из зон формируется практически непрерывный спектр большого числа разрешённых состоя-ний разделённых незначительным дискретом величина которого на мно-го порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колебаний

3 Свободные носители заряда в полупроводнике создаются при разрыве ковалентных связей (ионизации) собственных атомов и внедрён-ных в решётку трёх- или пятивалентных атомов примеси10

Разрыв ковалентных связей собственных атомов решётки т е уход электрона с общей орбиты формирующей ковалентную связь означает освобождение занятого энергетического уровня в валентной зоне и пере-ход электрона в зону проводимости где он становится СНЗ Незанятое электроном вакантное место ndash дырка ndash ведёт себя в кристалле как свобод-ная виртуальная частица имеющая элементарный положительный заряд Электрическая проводимость осуществляется свободными зарядами обо-их знаков поэтому имеет биполярный характер

Пятивалентные атомы примеси замещая четырёхвалентные атомы Si или Ge имеют один laquoлишнийraquo электрон который не участвует в форми-ровании ковалентных связей Он легко отрывается от примесного атома и

24

переходит в зону проводимости При этом наряду со свободным отрица-тельным электроном образуется внедрённый в решётку неподвижный по-ложительный ион атома донорной примеси Условие электрической ней-тральности соблюдается

При замещении четырёхвалентного собственного атома Si или Ge трёхвалентным атомом примеси для образования четырёх ковалентных связей недостаёт одного электрона Недостающий электрон восполняется за счёт разрыва ковалентной связи собственных атомов в объёме и при-соединения электрона к атому примеси Это означает переход электрона из валентной зоны на примесный уровень Образуется свободная положи-тельная дырка в валентной зоне и внедрённый в решётку неподвижный отрицательный ион атома акцепторной примеси Условие электрической нейтральности сохраняется

4 Носители в полупроводниках образуются путём ионизации при-месных и собственных атомов Для ионизации примеси требуется значи-тельно меньше энергии чем для ионизации собственных атомов Поэтому большинство носителей заряда имеет laquoпримесноеraquo происхождение и тип электрической проводимости определяется характером примеси При до-норной примеси преобладающими те основными носителями заряда являются электроны Преобладает электронная проводимость При акцеп-торной примеси ОНЗ становятся дырки Преобладающей является дыроч-ная проводимость

5 Ионизация атомов значит и генерация СНЗ реализуется за счёт энергии тепловых колебаний решётки Температурные и радиационные зависимости концентрации СНЗ являются принципиальной особенностью полупроводниковых приборов

12 Свободные носители заряда Функция распределения ФермиndashДирака Свободные носители заряда ndash электроны каждый из которых незави-

симо от остальных принимает в твёрдом теле то или иное состояние в условиях теплового равновесия всё же имеют объективные меры посред-ством которых описываются совокупные свойства всего ансамбля К та-ким мерам относится функция распределения

Функция распределения в статистических системах показывает отно-сительное число членов ансамбля обладающих данным свойством

Конкретно в случае электронов она показывает какую долю от об-щего числа свободных электронов составляют электроны с заданной энергией Е Как отмечалось максимальное число электронов которые могут иметь данную энергию значит число разрешённых состояний в единице объёма приходящихся на единичный интервал энергии

25

1 3max ( ) [Дж см ]n E minus minus есть строго определённая для заданной энергии ве-

личина Значит функция распределения fФ-Д(Е) определяет отношение числа электронов п(Е) реально занимающих энергетический уровень Е к максимальному числу электронов которые в принципе могут находиться на данном уровне

Ф-Д max( ) ( ) ( )f E n E n E= (14) Аналитическое выражение функции распределения электронов ко-

торое независимо друг от друга предложили итальянский физик Энрико Ферми и английский физик Поль Дирак имеет вид

Ф-Д ( )1( )

1 FE E Tf Ee κminus=

+ (15)

где параметр EF minus уровень Ферми Функция ФермиminusДирака как элемент универсального математического аппарата не зависит от свойств той или иной конкретной системы а зависит лишь от температуры Привязка к конкретной системе осуществляется через параметр EF который показы-вает как нужно располагать функцию ФермиminusДирака относительно энер-гетических уровней конкретной системы (см ниже рис 120 рис 121 рис 22)

Функция распределения позволяет решать ряд важных задач необ-ходимых для анализа полупроводниковых приборов

Во-первых представляется возможным определять распределение свободных носителей заряда по энергиям Распределение электронов в пределах зоны проводимости получаем из (14)

3 1max Ф-Д( ) ( ) ( ) см Дж n E n E f E minus minus⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (16а)

Если энергетический уровень заполнен не полностью то ( ) ( )max n E n Elt Отсутствие электрона означает наличие дырки Тогда число дырок на данном энергетическом уровне или распределение дырок в валентной зо-не по энергиям есть разность

max( ) ( ) ( )p E n E n E= minus = max Ф-Д( ) 1 ( )n E f E⎡ ⎤minus equiv⎣ ⎦

max ( ) ( )pn E f Eequiv (16б)

где Ф-Д ( )1( ) 1 ( )

1 Fp E E Tf E f E

e κminus minus⎡ ⎤= minus =⎣ ⎦ +

(17)

minus функция распределения дырок Во-вторых пользуясь функцией распределения можно рассчитывать

концентрации СНЗ те количество электронов или дырок в единице объ-ёма имеющих любое допустимое значение энергии в пределах зоны про-

26

водимости и валентной зоны соответственно Концентрации электронов n и дырок p определяются интегралами

Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VC C

pE E E

n n E dE n E f E dE p n E f E dE= = =int int int (18)

где интегрирование следует ограничить областью энергий зоны проводи-мости (для электронов) и валентной зоны (для дырок)

Наконец представляется возможным решать обратную задачу зная концентрацию СНЗ определять уровень Ферми EF и по положению уровня Ферми судить о свойствах полупроводника

График функции распределения ФермиminusДирака для обозначенных температур приведён на рис 114 bull При температуре T = 0 K он пред-

ставляет собой прямоугольник пло-щадью 1FE times При возрастании тем-пературы освобождаемые площади под кривой распределения в области E lt EF равны возникающим площа-дям в области E gt EF График функ-ции содержит три характерные облас-ти

o область FE Elt где Ф-Д ( ) 1f E = o область в районе FE Easymp протяжённостью в несколько Tκ где функ-

ция испытывает резкий спад11 и при FE E= независимо от температу-ры равняется frac12

o область FE Egt где laquoна хвостеraquo распределения при 2FE E Tκminus gt функцию ФермиminusДирака можно заменить функцией распределения Мак-свеллаminusБольцмана М-Б ( )f E (рис 115) Действительно пренебрегая еди-ницей12 в знаменателе (15) получим13

( )Ф-Д ( ) FE E Tf E e κminus minusasymp = М-Бconst ( )E Te f Eκminustimes = (19)

bull Соотношение (14) есть число электронов приходящихся на одно раз-решённое состояние Очевидно что всегда max( ) ( ) 1n E n E le Поскольку

Ф-Д ( ) 1f E le то функцию ФермиminusДирака можно рассматривать как вероятность того что энергетический уровень занят Тогда число электронов на данном уровне (16а) равно произведению максимальной плотности разрешённых состояний на вероятность того что уровень за-нят Функция распределения ФермиminusДирака определяет плотность веро-ятности занятости состояний с энергией от Е до Е + dE

asympasymp

asymp

EEF

T2gtT1gtT = 0 10

05

0

fФ-Д (E)

~кTРис 114 Функция распределения

ФермиminusДирака

27

bull При низких температурах функция ФермиminusДирака равна единице практически вплоть до энергии FE Easymp после чего она резко падает Из вероятностного смысла функции ФермиminusДирака следует что состояния с энергиями ниже уровня Ферми заняты (вероятность равна 1) а состояния с более высокими энергиями свободны При повышении температуры определённая часть электронов переходит на более высокие энергетиче-ские уровни значительно (по сравнению с Tκ ) отстоящие от уровня Ферми и в области laquoхвостаraquo подчиняются статистике Максвел-лаminusБольцмана (19) (рис 115) Этот факт является важным результатом поскольку именно на этих уровнях находятся носители формирующие токи в полупроводниковых приборах

bull Состояния занятого или свободного уровня являются противо-положными событиями сумма вероятностей которых равна 1 как вероят-ность достоверного события Поэтому разноость Ф-Д1 ( )f Eminus дополня-ющая функцию ФермиminusДирака до единицы есть вероятность того что уровень занят дыркой (соотношение (17)) bull Распределение дырок в валентной зоне (17) выражается такой же

формулой что и распределение электронов (15) в зоне проводимости но с противоположным знаком показателя экспоненты Это даёт основание направлять ось отсчёта энергии дырок противоположно оси отсчёта энер-гии электронов (рис 111 рис 116) Тогда во встречно-вложенной систе-ме координат распределение электронов и дырок изображается одной и той же кривой (рис116) bull С точки зрения теории вероятности уровень Ферми определяется как

энергетический уровень вероятность заполнения которого равна точно половине С точки зрения термодинамики уровень (энергия) Ферми является (в

приближении равенства эффективных масс электронов и дырок) хими-ческим потенциалом14 (в расчёте на один электрон) Химический потен-циал используется в частности при анализе состояния равновесия в таких гетерогенных (разнородных) системах как например жидкостьndashпар

x

еndashx05

10

0 2 4ndash2ndash4ndash6

fФ-Д (x)

Рис 115 Сравнение функции ФермиminusДирака с экспонентой

На хвосте распределения при ( ) (2 3)Fx E E Tκ= ⎡ minus ⎤ ge divide⎣ ⎦ функ-

ция распределения ФермиminusДира-ка совпадает с функцией распре-деления МаксвеллаminusБольцмана

28

Равенство химических потенциалов служит критерием фазового равновесия

Тогда исходя из термодинамического смысла уровня Ферми условием электронно-дырочного равновесия в разнородных системах (металлов полупроводников) является равенство их уровней Ферми во всех частях системы Единство и постоянство уровня Ферми является необходимым и достаточным условием равновесия электронно-дырочных систем Сам уровень Ферми определяется из условия что полное число

электронов в кристалле (системе) должно оставаться неизменным вне зависимости от их распределения по энергетическим уровням (ранее упомянутая обратная задача)

Максимальная плотность разрешённых состояний Для вычисления концентрации СНЗ в полупроводниках (соотноше-

ния (18)) необходимо кроме функции ФермиndashДирака располагать анали-тическим выражением максимального числа электронов способных иметь данную энергию т е знать зависимость плотности разрешённых состоя-ний ( )maxn E от энергии Для вывода этого соотношения определим сна-чала полное число электронов энергия которых не превышает некоторого значения Е

В классической механике электрон считается частицей не имеющей пространственного объёма состояние которой во времени и пространстве точно определено координатами x y z и составляющими импульса рх ру рz Значит состояние электрона будет задаваться (безразмерной) матери-альной точкой в шестимерном пространстве с взаимно перпендикулярны-ми осями x y z рх ру рz Это пространство называется фазовым Полный объём фазового пространства фазV равен произведению объёмов про-

странства координат xyzV и пространства импульсов x y zp p pV

фаз x y zxyz p p pV V V= times

Объём изотропного пространства импульсов соответствующий кинетиче-ской энергии

asympasymp asymp

asymp

10

E

0505

0

fФ-Д (E) Энергия дырки

Энергия электрона10

0

fp (E)

E

EF

asymp

bull

asymp

bull

Рис 116 Функция Фер‐миminusДирака во встречно‐вложенной системе коор‐

динат Оси отсчёта энергии и ор-динат функций распреде-ления электронов и дырок направлены в противопо-ложные стороны

29

2 2 2 E p m p mE= rArr = (110) где m ndash масса электрона есть объём сферы радиуса р равный

3(4 3) x y zp p pV pπ= Тогда

3фаз (4 3) xyzV V pπ= times (111)

Согласно законам классической физики каждая точка этого про-странства вполне характеризует состояние (координаты скорость на-правление движения) электрона энергия которого не превышает величи-ну Е и может изменяться непрерывно

Однако электрон не являются классической частицей При переходе из одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образом даже если этот дискрет очень мал как например в твёрдом теле Если состояние изменяется с дискретом EΔ то очевидно что максимальное число возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отно-шения E EΔ Поскольку энергия выражается через импульс и координа-ту то число состояний в пространстве импульсов и координат не превы-шает отношений x xp pΔ и x xΔ соответственно где xpΔ xΔ ndash дискре-ты изменения импульса и координаты обязанные дискрету изменения энергии

Из дискретности энергии логично следует принципиальная невоз-можность измерения физических величин с точностью превышающей значения обусловленные наличием соответствующих дискретов Анало-гично применение линейки проградуированной в миллиметрах не по-зволяет измерять расстояния с точностью превышающей значение дис-крета равного 1 мм

Таким образом при измерении дискретных физических величин (оп-ределении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципи-альная неопределённость не связанная с погрешностями применяемых методов и используемых приборов

Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гей-зенберг который предложил принять эту принципиально неустранимую неопределённость в качестве специфического физического закона Со-гласно этому закону известному сейчас как соотношение неопределённо-сти Гейзенберга при одновременном определении координаты и импуль-са имеет место неопределенность измерения xΔ и xpΔ такая что

xx p hΔ Δ ge (112) где h ndash постоянная Планка посредством которой определяется минималь-ный дискрет (квант) энергии равный hν ν ndash частота излучения Неоп-ределённость выражается через произведение что соответствует пред-

30

ставлению фазового пространства произведением пространства импуль-сов и координат15

Отсюда следует что для трёхмерного движения неопределённость составит величину порядка 3x y zx y z p p p hΔ Δ Δ Δ Δ Δ ge Это означает что объём который занимает электрон в фазовом пространстве всегда конеч-ный не меньше размера элементарной ячейки 3h Учитывая что в эле-ментарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона с противоположными спинами16 приходим к выводу что объём фазового пространства может содержать максимум 3

фаз2 ( )V htimes электронов Тогда используя (111) определим что полное число электронов в единичном объёме координатного пространства 3( )[см ]N E minus энергия которых не превышает Е будет равно

( ) ( )3 3 3фаз( ) 2 ( ) 2 4 3 xyzN E V V h p hπ= = (113)

Максимальная плотность разрешённых состояний т е число электронов в единице объёма с энергией Е приходящихся на единичный интервал энергии по определению есть

max( ) ( ) ( )( ) N E dE N E dN E dN dpn E

dE dE dp dE+ minus

= = = =

( )3 22 3 14 2 const см Дж m h E Eπ minus minus⎡ ⎤= equiv times ⎣ ⎦ (114)

При вычислении сложной производной использованы соотношения (110) (113) В силу (110) здесь Е ndash кинетическая энергия

Отметим что laquoотступленияraquo от классической физики касались в ос-новном обоснования размера элементарной ячейки фазового пространст-ва через соотношение неопределённости Гейзенберга которое по сущест-ву является формулировкой принципа исключения Паули на языке клас-сической физики Полученное соотношение (114) предполагает исполь-зование кинетической энергии классической частицы

Концентрация свободных носителей заряда Равновесный полупроводник

Концентрация СНЗ не содержащего примесей равновесного полу-проводника определяется соотношениями (18) Вычисление интегралов можно упростить если учитывая особенности проходящих физических процессов распространить интегрирование на бесконечные пределы Та-кой шаг оправдан поскольку почти все свободные электроны компактно располагаются на дне зоны проводимости а дырки ndash у вершины валент-

31

ной зоны Положив верхний предел интегрирования равным бесконечно-сти мы не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смысл результата сможем получить более изящные аналитические выражения

Вычисление интегралов (18) значительно упрощается также благо-даря тому что функцию ФермиndashДирака можно заменить функцией рас-пределения МаксвеллаndashБольцмана Замена возможна потому что для практически важных случаев невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько Tκ а основная масса электронов ndash в зоне проводимости на расстояниях (2 3) FE E Tκminus gt divide В этом случае в знаме-нателе уравнения (15) можно пренебречь единицей Распределением электронов становится выражение (19) где полная энергия есть сумма потенциальной энергии EC и кинетической энергии Ек

к CE E Е= + (115) а максимальная плотность разрешённых состояний (114) выражается че-рез кинетическую энергию к Е Еequiv Тогда введя обозначение к x Е Tκ= используя (19) (114) и nm m= представим соотношение (18) в сле-дующем виде

0

Ф-Д Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( )C C

E

E En n E f E dE n E f E dE

infin= =int int

М-Бmax к к к0

( ) ( )Сn E f E E dEinfin

= + =int ( )3 22 1 2

04 2

C Fx

n

E ETm h e x e dxκπ

infinminus minusminus

int

где E0 ndash уровень свободного электрона в вакууме (рис 110 рис 111) nm ndash эффективная масса электрона посредством которой учитываются осо-бенности движения в твёрдом теле Воспользовавшись табличным инте-

гралом ( )1 2

0expx x dx

infinminus =int 2π окончательно получаем

FC

C

E ETn N e κminus

minus= (116)

где ( )3 222 2C nN m T hπ κ= = ( ) ( )3 2 3 219 325 10 300 смnm m T minus⎡ ⎤sdot times ⎣ ⎦

имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости Определение концентрации дырок в приближении распределения

МаксвеллаndashБольцмана сводится к вычислению интеграла (18) для (17) ( )( ) exp Fpf E E E Tκasymp minus⎡ ⎤⎣ ⎦ где полная энергия дырки равна кVE E Е= minus

и (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV

32

laquoвнизraquo в сторону отрицательных значений (рис 111) max ( )кp E опреде-ляется уравнением (114) при эффективной массе дырки pm m= посред-ством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле Тогда

М-Бmax max0

( ) ( ) ( ) ( )V

V

E

p к к кp p E f E dE p E f E E dEinfin

minusinfin= minus =int int

( )3 22 1 2

04 2

F VE ExT

pm h e x e dxκπminus infinminus minus= int где кx Е Tκ= Окончательно

F V

V

E ETp N e κminusminus

= (117)

где ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 19 32 2 25 10 300 смV p pN m T h m m Tπ κ minus⎡ ⎤= = sdot times ⎣ ⎦ ndash

эффективная плотность состояний в валентной зоне Отметим что полученные соотношения задают количество носите-

лей заряда в единице объёма но не закон их распределения по энергиям Таким образом концентрация СНЗ полупроводника при данной тем-

пературе однозначно определяется положением уровня Ферми Всякое изменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному из-менению концентрации носителей и обратно ndash изменение концентрации будь то за счёт температуры легирования примесями засветки и т д вы-зывает изменение положения уровня Ферми

Количество носителей заряда определяется процессами тепловой генерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов а также обратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны (рис 113 и ниже рис 126 рис 128) Про-цессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят не-прерывно и параллельно Равновесное состояние есть результат динами-ческого равновесия этих процессов При этом однако произведение кон-центраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда зависящим от температуры) равным квадрату собственной концентрации полу-проводника Действительно учитывая что в собственном полупроводни-ке носители образуются парами и 2 in p n= equiv после почленного перемно-жения выражений (116) и (117) получим

2 constinp n= = = (118а)

( )3 231 2 3231 10 g gC V

E T E Tn pN N e m m m T eκ κminus minus= = sdot times

где in ndash собственная концентрация Такова особенность равновесного состояния полупроводников Нижняя строчка этих равенств раскрываю-щая произведение зависит только от температуры и ширины запрещён-

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

21

норной примеси ED находится в запрещённой зоне ниже дна зоны прово-димости на величину энергии ионизации примеси (рис 113в)

Ионизация атомов донорной примеси означает переход электрона с примесного уровня в зону проводимости При этом образуется свободный электрон в зоне проводимости и неподвижный положительный ион донорной примеси встроенный в кристаллическую решётку Поскольку энергия ионизации донорной примеси невелика то уже при комнатной температуре практически все атомы донорной примеси ионизированы Ионизация атомов донорной примеси не исключает образование пар СНЗ за счёт перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости Ио-низация собственных атомов создаёт концентрацию р [см3] свободных дырок

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного донорной примесью имеет вид Dn p N += + (12)

где DN + ndash концентрация встроенных в решётку положительных ионов до-норной примеси

Энергия ионизации примеси во много раз меньше энергии ионизации собственных атомов решётки Поэтому в области рабочих температур в донорном полупроводнике n p Электроны являются основными но-сителями заряда (ОНЗ)9 Они образуются в основном за счёт ионизации атомов донорной примеси Их концентрация может широко варьироваться путём изменения количества введённой примеси Дырки являются неос-новными носителями заряда (ННЗ) Они образуются за счёт разрыва ковалентных связей (ионизации) собственных атомов решётки

Аналогично если собственный атом кристаллической решетки четы-рёхвалентного кремния или германия замещён трёхвалентным атомом элемента III группы таблицы Менделеева например бором В то три ва-лентных электрона примесного атома будут задействованы в формирова-нии ковалентных связей Электрон недостающий для формирования чет-вёртой ковалентной связи привлекается за счёт разрыва ковалентной свя-зи собственных атомов решётки в объёме кремния (рис 113а)

При этом образуется свободная дырка в валентной зоне и непод-вижный отрицательный ион атома акцепторной примеси встроенный в кристаллическую решетку Такая примесь называется акцепторной (от англ accept ndash принимать) поскольку она laquoприсоединяетraquo к себе электро-ны за счёт их перехода из валентной зоны на примесный уровень ЕА Энергетический уровень laquoприсоединённыхraquo электронов EА находится в запрещённой зоне выше вершины валентной зоны на величину энергии ионизации акцепторной примеси (рис 113а)

22

Условие электрической нейтральности примесного полупроводника легированного акцепторной примесью значит обладающего в основном дырочной проводимостью имеет вид

Ap n N minus= + (13)

где AN minus ndash концентрация встроенных в решётку отрицательно ионизиро-ванных атомов акцепторной примеси

В полупроводнике легированном акцепторной примесью дырки яв-ляются основными носителями заряда а электроны minus неосновные но-сители заряда Дырки образуются в основном за счёт ионизации атомов примеси а ННЗ-электроны minus за счёт разрыва ковалентных связей собст-венных атомов решётки

+

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Вndash

ndash

Si

ndash

ndash+ Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

+

ndash

Si

ndash

Si

Si

Si

SiSi

Si

Si

Р+

+

Si

Si

ndash ndash

++

ndash

+

ndash

+

ndashЕС ЕС ЕС

ЕVЕVЕV

ЕA

ЕD

ndash

+

Bndash P+

а) б) в)

ndash

+

Б)

А)

Рис 113 Образование свободных носителей заряда в собственном и при‐месных полупроводниках за счёт тепловой генерации электронно‐

дырочных пар и ионизации атомов примеси А) Модели кристаллических решёток Б) Зонные диаграммы

а) Модель акцепторной примеси Трёхвалентный атом бора захватывает у собственного атома электрон недостающий для формирования ковалентной связи Образуется свободная дырка в валентной зоне и встроенный в кри-сталлическую решётку отрицательный ион Вminus ЕА ndash акцепторный уровень б) Модель собственного полупроводника Разрыв ковалентной связи соб-ственных атомов решётки кремния создаёт пару свободных носителей заря-да ndash положительную дырку в валентной зоне и отрицательный электрон в зоне проводимости в) Модель донорной примеси Пятивалентный атом фосфора отдаёт неза-действованный в ковалентных связях пятый электрон Образуется свобод-ный электрон в зоне проводимости и встроенный в кристаллическую ре-шётку неподвижный положительный ион Р+ ЕD ndash донорный уровень На зонных диаграммах примесных полупроводников показано также обра-зование электронно-дырочных пар носителей заряда за счёт разрыва кова-лентных связей (ионизации) собственных атомов решётки которые обозна-чаются как переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости

23

В области рабочих температур примесных полупроводников основ-ными являются laquoпримесныеraquo носители созданные за счёт ионизации примеси Неосновные носители ndash это laquoсобственныеraquo носители созданные за счёт ионизации собственных атомов решётки

Выводы 1 Элементы IV группы таблицы Менделеева Si и Ge формируют

кристаллическую решётку за счёт ковалентных связей каждого атома с четырьмя ближайшими соседями В каждом данном направлении кова-лентная связь двух соседних атомов реализуется двумя валентными элек-тронами s- и p-электронных уровней ndash одним laquoсвоимraquo и одним laquoчужимraquo которые (согласно представлениям классической физики) вращаются во-круг этих атомов по одной общей орбите

2 При формировании твёрдого тела s- и p-электронные уровни ато-мов объединяемых ковалентными связями расщепляются на две ndash верх-нюю и нижнюю ndash полосы разрешённых состояний представляющих со-бой совокупность множества (по числу атомов) дискретных энергетиче-ских уровней

Нижние полосы совокупности s- и p-электронных уровней перекры-ваются и создают валентную зону в основном занятых (электронами) состояний полупроводника Перекрывающиеся верхние полосы s- и p-уровней создают зону проводимости в основном свободных состояний Между ними находится запрещённая зона

На каждый атом в валентной зоне и зоне проводимости приходится по 4 разрешённых состояния (по 1 от s- и по 3 от р-подуровней) Число атомов велико а глубина зон конечная В каждой из зон формируется практически непрерывный спектр большого числа разрешённых состоя-ний разделённых незначительным дискретом величина которого на мно-го порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колебаний

3 Свободные носители заряда в полупроводнике создаются при разрыве ковалентных связей (ионизации) собственных атомов и внедрён-ных в решётку трёх- или пятивалентных атомов примеси10

Разрыв ковалентных связей собственных атомов решётки т е уход электрона с общей орбиты формирующей ковалентную связь означает освобождение занятого энергетического уровня в валентной зоне и пере-ход электрона в зону проводимости где он становится СНЗ Незанятое электроном вакантное место ndash дырка ndash ведёт себя в кристалле как свобод-ная виртуальная частица имеющая элементарный положительный заряд Электрическая проводимость осуществляется свободными зарядами обо-их знаков поэтому имеет биполярный характер

Пятивалентные атомы примеси замещая четырёхвалентные атомы Si или Ge имеют один laquoлишнийraquo электрон который не участвует в форми-ровании ковалентных связей Он легко отрывается от примесного атома и

24

переходит в зону проводимости При этом наряду со свободным отрица-тельным электроном образуется внедрённый в решётку неподвижный по-ложительный ион атома донорной примеси Условие электрической ней-тральности соблюдается

При замещении четырёхвалентного собственного атома Si или Ge трёхвалентным атомом примеси для образования четырёх ковалентных связей недостаёт одного электрона Недостающий электрон восполняется за счёт разрыва ковалентной связи собственных атомов в объёме и при-соединения электрона к атому примеси Это означает переход электрона из валентной зоны на примесный уровень Образуется свободная положи-тельная дырка в валентной зоне и внедрённый в решётку неподвижный отрицательный ион атома акцепторной примеси Условие электрической нейтральности сохраняется

4 Носители в полупроводниках образуются путём ионизации при-месных и собственных атомов Для ионизации примеси требуется значи-тельно меньше энергии чем для ионизации собственных атомов Поэтому большинство носителей заряда имеет laquoпримесноеraquo происхождение и тип электрической проводимости определяется характером примеси При до-норной примеси преобладающими те основными носителями заряда являются электроны Преобладает электронная проводимость При акцеп-торной примеси ОНЗ становятся дырки Преобладающей является дыроч-ная проводимость

5 Ионизация атомов значит и генерация СНЗ реализуется за счёт энергии тепловых колебаний решётки Температурные и радиационные зависимости концентрации СНЗ являются принципиальной особенностью полупроводниковых приборов

12 Свободные носители заряда Функция распределения ФермиndashДирака Свободные носители заряда ndash электроны каждый из которых незави-

симо от остальных принимает в твёрдом теле то или иное состояние в условиях теплового равновесия всё же имеют объективные меры посред-ством которых описываются совокупные свойства всего ансамбля К та-ким мерам относится функция распределения

Функция распределения в статистических системах показывает отно-сительное число членов ансамбля обладающих данным свойством

Конкретно в случае электронов она показывает какую долю от об-щего числа свободных электронов составляют электроны с заданной энергией Е Как отмечалось максимальное число электронов которые могут иметь данную энергию значит число разрешённых состояний в единице объёма приходящихся на единичный интервал энергии

25

1 3max ( ) [Дж см ]n E minus minus есть строго определённая для заданной энергии ве-

личина Значит функция распределения fФ-Д(Е) определяет отношение числа электронов п(Е) реально занимающих энергетический уровень Е к максимальному числу электронов которые в принципе могут находиться на данном уровне

Ф-Д max( ) ( ) ( )f E n E n E= (14) Аналитическое выражение функции распределения электронов ко-

торое независимо друг от друга предложили итальянский физик Энрико Ферми и английский физик Поль Дирак имеет вид

Ф-Д ( )1( )

1 FE E Tf Ee κminus=

+ (15)

где параметр EF minus уровень Ферми Функция ФермиminusДирака как элемент универсального математического аппарата не зависит от свойств той или иной конкретной системы а зависит лишь от температуры Привязка к конкретной системе осуществляется через параметр EF который показы-вает как нужно располагать функцию ФермиminusДирака относительно энер-гетических уровней конкретной системы (см ниже рис 120 рис 121 рис 22)

Функция распределения позволяет решать ряд важных задач необ-ходимых для анализа полупроводниковых приборов

Во-первых представляется возможным определять распределение свободных носителей заряда по энергиям Распределение электронов в пределах зоны проводимости получаем из (14)

3 1max Ф-Д( ) ( ) ( ) см Дж n E n E f E minus minus⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (16а)

Если энергетический уровень заполнен не полностью то ( ) ( )max n E n Elt Отсутствие электрона означает наличие дырки Тогда число дырок на данном энергетическом уровне или распределение дырок в валентной зо-не по энергиям есть разность

max( ) ( ) ( )p E n E n E= minus = max Ф-Д( ) 1 ( )n E f E⎡ ⎤minus equiv⎣ ⎦

max ( ) ( )pn E f Eequiv (16б)

где Ф-Д ( )1( ) 1 ( )

1 Fp E E Tf E f E

e κminus minus⎡ ⎤= minus =⎣ ⎦ +

(17)

minus функция распределения дырок Во-вторых пользуясь функцией распределения можно рассчитывать

концентрации СНЗ те количество электронов или дырок в единице объ-ёма имеющих любое допустимое значение энергии в пределах зоны про-

26

водимости и валентной зоны соответственно Концентрации электронов n и дырок p определяются интегралами

Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VC C

pE E E

n n E dE n E f E dE p n E f E dE= = =int int int (18)

где интегрирование следует ограничить областью энергий зоны проводи-мости (для электронов) и валентной зоны (для дырок)

Наконец представляется возможным решать обратную задачу зная концентрацию СНЗ определять уровень Ферми EF и по положению уровня Ферми судить о свойствах полупроводника

График функции распределения ФермиminusДирака для обозначенных температур приведён на рис 114 bull При температуре T = 0 K он пред-

ставляет собой прямоугольник пло-щадью 1FE times При возрастании тем-пературы освобождаемые площади под кривой распределения в области E lt EF равны возникающим площа-дям в области E gt EF График функ-ции содержит три характерные облас-ти

o область FE Elt где Ф-Д ( ) 1f E = o область в районе FE Easymp протяжённостью в несколько Tκ где функ-

ция испытывает резкий спад11 и при FE E= независимо от температу-ры равняется frac12

o область FE Egt где laquoна хвостеraquo распределения при 2FE E Tκminus gt функцию ФермиminusДирака можно заменить функцией распределения Мак-свеллаminusБольцмана М-Б ( )f E (рис 115) Действительно пренебрегая еди-ницей12 в знаменателе (15) получим13

( )Ф-Д ( ) FE E Tf E e κminus minusasymp = М-Бconst ( )E Te f Eκminustimes = (19)

bull Соотношение (14) есть число электронов приходящихся на одно раз-решённое состояние Очевидно что всегда max( ) ( ) 1n E n E le Поскольку

Ф-Д ( ) 1f E le то функцию ФермиminusДирака можно рассматривать как вероятность того что энергетический уровень занят Тогда число электронов на данном уровне (16а) равно произведению максимальной плотности разрешённых состояний на вероятность того что уровень за-нят Функция распределения ФермиminusДирака определяет плотность веро-ятности занятости состояний с энергией от Е до Е + dE

asympasymp

asymp

EEF

T2gtT1gtT = 0 10

05

0

fФ-Д (E)

~кTРис 114 Функция распределения

ФермиminusДирака

27

bull При низких температурах функция ФермиminusДирака равна единице практически вплоть до энергии FE Easymp после чего она резко падает Из вероятностного смысла функции ФермиminusДирака следует что состояния с энергиями ниже уровня Ферми заняты (вероятность равна 1) а состояния с более высокими энергиями свободны При повышении температуры определённая часть электронов переходит на более высокие энергетиче-ские уровни значительно (по сравнению с Tκ ) отстоящие от уровня Ферми и в области laquoхвостаraquo подчиняются статистике Максвел-лаminusБольцмана (19) (рис 115) Этот факт является важным результатом поскольку именно на этих уровнях находятся носители формирующие токи в полупроводниковых приборах

bull Состояния занятого или свободного уровня являются противо-положными событиями сумма вероятностей которых равна 1 как вероят-ность достоверного события Поэтому разноость Ф-Д1 ( )f Eminus дополня-ющая функцию ФермиminusДирака до единицы есть вероятность того что уровень занят дыркой (соотношение (17)) bull Распределение дырок в валентной зоне (17) выражается такой же

формулой что и распределение электронов (15) в зоне проводимости но с противоположным знаком показателя экспоненты Это даёт основание направлять ось отсчёта энергии дырок противоположно оси отсчёта энер-гии электронов (рис 111 рис 116) Тогда во встречно-вложенной систе-ме координат распределение электронов и дырок изображается одной и той же кривой (рис116) bull С точки зрения теории вероятности уровень Ферми определяется как

энергетический уровень вероятность заполнения которого равна точно половине С точки зрения термодинамики уровень (энергия) Ферми является (в

приближении равенства эффективных масс электронов и дырок) хими-ческим потенциалом14 (в расчёте на один электрон) Химический потен-циал используется в частности при анализе состояния равновесия в таких гетерогенных (разнородных) системах как например жидкостьndashпар

x

еndashx05

10

0 2 4ndash2ndash4ndash6

fФ-Д (x)

Рис 115 Сравнение функции ФермиminusДирака с экспонентой

На хвосте распределения при ( ) (2 3)Fx E E Tκ= ⎡ minus ⎤ ge divide⎣ ⎦ функ-

ция распределения ФермиminusДира-ка совпадает с функцией распре-деления МаксвеллаminusБольцмана

28

Равенство химических потенциалов служит критерием фазового равновесия

Тогда исходя из термодинамического смысла уровня Ферми условием электронно-дырочного равновесия в разнородных системах (металлов полупроводников) является равенство их уровней Ферми во всех частях системы Единство и постоянство уровня Ферми является необходимым и достаточным условием равновесия электронно-дырочных систем Сам уровень Ферми определяется из условия что полное число

электронов в кристалле (системе) должно оставаться неизменным вне зависимости от их распределения по энергетическим уровням (ранее упомянутая обратная задача)

Максимальная плотность разрешённых состояний Для вычисления концентрации СНЗ в полупроводниках (соотноше-

ния (18)) необходимо кроме функции ФермиndashДирака располагать анали-тическим выражением максимального числа электронов способных иметь данную энергию т е знать зависимость плотности разрешённых состоя-ний ( )maxn E от энергии Для вывода этого соотношения определим сна-чала полное число электронов энергия которых не превышает некоторого значения Е

В классической механике электрон считается частицей не имеющей пространственного объёма состояние которой во времени и пространстве точно определено координатами x y z и составляющими импульса рх ру рz Значит состояние электрона будет задаваться (безразмерной) матери-альной точкой в шестимерном пространстве с взаимно перпендикулярны-ми осями x y z рх ру рz Это пространство называется фазовым Полный объём фазового пространства фазV равен произведению объёмов про-

странства координат xyzV и пространства импульсов x y zp p pV

фаз x y zxyz p p pV V V= times

Объём изотропного пространства импульсов соответствующий кинетиче-ской энергии

asympasymp asymp

asymp

10

E

0505

0

fФ-Д (E) Энергия дырки

Энергия электрона10

0

fp (E)

E

EF

asymp

bull

asymp

bull

Рис 116 Функция Фер‐миminusДирака во встречно‐вложенной системе коор‐

динат Оси отсчёта энергии и ор-динат функций распреде-ления электронов и дырок направлены в противопо-ложные стороны

29

2 2 2 E p m p mE= rArr = (110) где m ndash масса электрона есть объём сферы радиуса р равный

3(4 3) x y zp p pV pπ= Тогда

3фаз (4 3) xyzV V pπ= times (111)

Согласно законам классической физики каждая точка этого про-странства вполне характеризует состояние (координаты скорость на-правление движения) электрона энергия которого не превышает величи-ну Е и может изменяться непрерывно

Однако электрон не являются классической частицей При переходе из одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образом даже если этот дискрет очень мал как например в твёрдом теле Если состояние изменяется с дискретом EΔ то очевидно что максимальное число возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отно-шения E EΔ Поскольку энергия выражается через импульс и координа-ту то число состояний в пространстве импульсов и координат не превы-шает отношений x xp pΔ и x xΔ соответственно где xpΔ xΔ ndash дискре-ты изменения импульса и координаты обязанные дискрету изменения энергии

Из дискретности энергии логично следует принципиальная невоз-можность измерения физических величин с точностью превышающей значения обусловленные наличием соответствующих дискретов Анало-гично применение линейки проградуированной в миллиметрах не по-зволяет измерять расстояния с точностью превышающей значение дис-крета равного 1 мм

Таким образом при измерении дискретных физических величин (оп-ределении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципи-альная неопределённость не связанная с погрешностями применяемых методов и используемых приборов

Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гей-зенберг который предложил принять эту принципиально неустранимую неопределённость в качестве специфического физического закона Со-гласно этому закону известному сейчас как соотношение неопределённо-сти Гейзенберга при одновременном определении координаты и импуль-са имеет место неопределенность измерения xΔ и xpΔ такая что

xx p hΔ Δ ge (112) где h ndash постоянная Планка посредством которой определяется минималь-ный дискрет (квант) энергии равный hν ν ndash частота излучения Неоп-ределённость выражается через произведение что соответствует пред-

30

ставлению фазового пространства произведением пространства импуль-сов и координат15

Отсюда следует что для трёхмерного движения неопределённость составит величину порядка 3x y zx y z p p p hΔ Δ Δ Δ Δ Δ ge Это означает что объём который занимает электрон в фазовом пространстве всегда конеч-ный не меньше размера элементарной ячейки 3h Учитывая что в эле-ментарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона с противоположными спинами16 приходим к выводу что объём фазового пространства может содержать максимум 3

фаз2 ( )V htimes электронов Тогда используя (111) определим что полное число электронов в единичном объёме координатного пространства 3( )[см ]N E minus энергия которых не превышает Е будет равно

( ) ( )3 3 3фаз( ) 2 ( ) 2 4 3 xyzN E V V h p hπ= = (113)

Максимальная плотность разрешённых состояний т е число электронов в единице объёма с энергией Е приходящихся на единичный интервал энергии по определению есть

max( ) ( ) ( )( ) N E dE N E dN E dN dpn E

dE dE dp dE+ minus

= = = =

( )3 22 3 14 2 const см Дж m h E Eπ minus minus⎡ ⎤= equiv times ⎣ ⎦ (114)

При вычислении сложной производной использованы соотношения (110) (113) В силу (110) здесь Е ndash кинетическая энергия

Отметим что laquoотступленияraquo от классической физики касались в ос-новном обоснования размера элементарной ячейки фазового пространст-ва через соотношение неопределённости Гейзенберга которое по сущест-ву является формулировкой принципа исключения Паули на языке клас-сической физики Полученное соотношение (114) предполагает исполь-зование кинетической энергии классической частицы

Концентрация свободных носителей заряда Равновесный полупроводник

Концентрация СНЗ не содержащего примесей равновесного полу-проводника определяется соотношениями (18) Вычисление интегралов можно упростить если учитывая особенности проходящих физических процессов распространить интегрирование на бесконечные пределы Та-кой шаг оправдан поскольку почти все свободные электроны компактно располагаются на дне зоны проводимости а дырки ndash у вершины валент-

31

ной зоны Положив верхний предел интегрирования равным бесконечно-сти мы не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смысл результата сможем получить более изящные аналитические выражения

Вычисление интегралов (18) значительно упрощается также благо-даря тому что функцию ФермиndashДирака можно заменить функцией рас-пределения МаксвеллаndashБольцмана Замена возможна потому что для практически важных случаев невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько Tκ а основная масса электронов ndash в зоне проводимости на расстояниях (2 3) FE E Tκminus gt divide В этом случае в знаме-нателе уравнения (15) можно пренебречь единицей Распределением электронов становится выражение (19) где полная энергия есть сумма потенциальной энергии EC и кинетической энергии Ек

к CE E Е= + (115) а максимальная плотность разрешённых состояний (114) выражается че-рез кинетическую энергию к Е Еequiv Тогда введя обозначение к x Е Tκ= используя (19) (114) и nm m= представим соотношение (18) в сле-дующем виде

0

Ф-Д Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( )C C

E

E En n E f E dE n E f E dE

infin= =int int

М-Бmax к к к0

( ) ( )Сn E f E E dEinfin

= + =int ( )3 22 1 2

04 2

C Fx

n

E ETm h e x e dxκπ

infinminus minusminus

int

где E0 ndash уровень свободного электрона в вакууме (рис 110 рис 111) nm ndash эффективная масса электрона посредством которой учитываются осо-бенности движения в твёрдом теле Воспользовавшись табличным инте-

гралом ( )1 2

0expx x dx

infinminus =int 2π окончательно получаем

FC

C

E ETn N e κminus

minus= (116)

где ( )3 222 2C nN m T hπ κ= = ( ) ( )3 2 3 219 325 10 300 смnm m T minus⎡ ⎤sdot times ⎣ ⎦

имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости Определение концентрации дырок в приближении распределения

МаксвеллаndashБольцмана сводится к вычислению интеграла (18) для (17) ( )( ) exp Fpf E E E Tκasymp minus⎡ ⎤⎣ ⎦ где полная энергия дырки равна кVE E Е= minus

и (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV

32

laquoвнизraquo в сторону отрицательных значений (рис 111) max ( )кp E опреде-ляется уравнением (114) при эффективной массе дырки pm m= посред-ством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле Тогда

М-Бmax max0

( ) ( ) ( ) ( )V

V

E

p к к кp p E f E dE p E f E E dEinfin

minusinfin= minus =int int

( )3 22 1 2

04 2

F VE ExT

pm h e x e dxκπminus infinminus minus= int где кx Е Tκ= Окончательно

F V

V

E ETp N e κminusminus

= (117)

где ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 19 32 2 25 10 300 смV p pN m T h m m Tπ κ minus⎡ ⎤= = sdot times ⎣ ⎦ ndash

эффективная плотность состояний в валентной зоне Отметим что полученные соотношения задают количество носите-

лей заряда в единице объёма но не закон их распределения по энергиям Таким образом концентрация СНЗ полупроводника при данной тем-

пературе однозначно определяется положением уровня Ферми Всякое изменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному из-менению концентрации носителей и обратно ndash изменение концентрации будь то за счёт температуры легирования примесями засветки и т д вы-зывает изменение положения уровня Ферми

Количество носителей заряда определяется процессами тепловой генерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов а также обратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны (рис 113 и ниже рис 126 рис 128) Про-цессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят не-прерывно и параллельно Равновесное состояние есть результат динами-ческого равновесия этих процессов При этом однако произведение кон-центраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда зависящим от температуры) равным квадрату собственной концентрации полу-проводника Действительно учитывая что в собственном полупроводни-ке носители образуются парами и 2 in p n= equiv после почленного перемно-жения выражений (116) и (117) получим

2 constinp n= = = (118а)

( )3 231 2 3231 10 g gC V

E T E Tn pN N e m m m T eκ κminus minus= = sdot times

где in ndash собственная концентрация Такова особенность равновесного состояния полупроводников Нижняя строчка этих равенств раскрываю-щая произведение зависит только от температуры и ширины запрещён-

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

23

В области рабочих температур примесных полупроводников основ-ными являются laquoпримесныеraquo носители созданные за счёт ионизации примеси Неосновные носители ndash это laquoсобственныеraquo носители созданные за счёт ионизации собственных атомов решётки

Выводы 1 Элементы IV группы таблицы Менделеева Si и Ge формируют

кристаллическую решётку за счёт ковалентных связей каждого атома с четырьмя ближайшими соседями В каждом данном направлении кова-лентная связь двух соседних атомов реализуется двумя валентными элек-тронами s- и p-электронных уровней ndash одним laquoсвоимraquo и одним laquoчужимraquo которые (согласно представлениям классической физики) вращаются во-круг этих атомов по одной общей орбите

2 При формировании твёрдого тела s- и p-электронные уровни ато-мов объединяемых ковалентными связями расщепляются на две ndash верх-нюю и нижнюю ndash полосы разрешённых состояний представляющих со-бой совокупность множества (по числу атомов) дискретных энергетиче-ских уровней

Нижние полосы совокупности s- и p-электронных уровней перекры-ваются и создают валентную зону в основном занятых (электронами) состояний полупроводника Перекрывающиеся верхние полосы s- и p-уровней создают зону проводимости в основном свободных состояний Между ними находится запрещённая зона

На каждый атом в валентной зоне и зоне проводимости приходится по 4 разрешённых состояния (по 1 от s- и по 3 от р-подуровней) Число атомов велико а глубина зон конечная В каждой из зон формируется практически непрерывный спектр большого числа разрешённых состоя-ний разделённых незначительным дискретом величина которого на мно-го порядков меньше характерного масштаба энергии тепловых колебаний

3 Свободные носители заряда в полупроводнике создаются при разрыве ковалентных связей (ионизации) собственных атомов и внедрён-ных в решётку трёх- или пятивалентных атомов примеси10

Разрыв ковалентных связей собственных атомов решётки т е уход электрона с общей орбиты формирующей ковалентную связь означает освобождение занятого энергетического уровня в валентной зоне и пере-ход электрона в зону проводимости где он становится СНЗ Незанятое электроном вакантное место ndash дырка ndash ведёт себя в кристалле как свобод-ная виртуальная частица имеющая элементарный положительный заряд Электрическая проводимость осуществляется свободными зарядами обо-их знаков поэтому имеет биполярный характер

Пятивалентные атомы примеси замещая четырёхвалентные атомы Si или Ge имеют один laquoлишнийraquo электрон который не участвует в форми-ровании ковалентных связей Он легко отрывается от примесного атома и

24

переходит в зону проводимости При этом наряду со свободным отрица-тельным электроном образуется внедрённый в решётку неподвижный по-ложительный ион атома донорной примеси Условие электрической ней-тральности соблюдается

При замещении четырёхвалентного собственного атома Si или Ge трёхвалентным атомом примеси для образования четырёх ковалентных связей недостаёт одного электрона Недостающий электрон восполняется за счёт разрыва ковалентной связи собственных атомов в объёме и при-соединения электрона к атому примеси Это означает переход электрона из валентной зоны на примесный уровень Образуется свободная положи-тельная дырка в валентной зоне и внедрённый в решётку неподвижный отрицательный ион атома акцепторной примеси Условие электрической нейтральности сохраняется

4 Носители в полупроводниках образуются путём ионизации при-месных и собственных атомов Для ионизации примеси требуется значи-тельно меньше энергии чем для ионизации собственных атомов Поэтому большинство носителей заряда имеет laquoпримесноеraquo происхождение и тип электрической проводимости определяется характером примеси При до-норной примеси преобладающими те основными носителями заряда являются электроны Преобладает электронная проводимость При акцеп-торной примеси ОНЗ становятся дырки Преобладающей является дыроч-ная проводимость

5 Ионизация атомов значит и генерация СНЗ реализуется за счёт энергии тепловых колебаний решётки Температурные и радиационные зависимости концентрации СНЗ являются принципиальной особенностью полупроводниковых приборов

12 Свободные носители заряда Функция распределения ФермиndashДирака Свободные носители заряда ndash электроны каждый из которых незави-

симо от остальных принимает в твёрдом теле то или иное состояние в условиях теплового равновесия всё же имеют объективные меры посред-ством которых описываются совокупные свойства всего ансамбля К та-ким мерам относится функция распределения

Функция распределения в статистических системах показывает отно-сительное число членов ансамбля обладающих данным свойством

Конкретно в случае электронов она показывает какую долю от об-щего числа свободных электронов составляют электроны с заданной энергией Е Как отмечалось максимальное число электронов которые могут иметь данную энергию значит число разрешённых состояний в единице объёма приходящихся на единичный интервал энергии

25

1 3max ( ) [Дж см ]n E minus minus есть строго определённая для заданной энергии ве-

личина Значит функция распределения fФ-Д(Е) определяет отношение числа электронов п(Е) реально занимающих энергетический уровень Е к максимальному числу электронов которые в принципе могут находиться на данном уровне

Ф-Д max( ) ( ) ( )f E n E n E= (14) Аналитическое выражение функции распределения электронов ко-

торое независимо друг от друга предложили итальянский физик Энрико Ферми и английский физик Поль Дирак имеет вид

Ф-Д ( )1( )

1 FE E Tf Ee κminus=

+ (15)

где параметр EF minus уровень Ферми Функция ФермиminusДирака как элемент универсального математического аппарата не зависит от свойств той или иной конкретной системы а зависит лишь от температуры Привязка к конкретной системе осуществляется через параметр EF который показы-вает как нужно располагать функцию ФермиminusДирака относительно энер-гетических уровней конкретной системы (см ниже рис 120 рис 121 рис 22)

Функция распределения позволяет решать ряд важных задач необ-ходимых для анализа полупроводниковых приборов

Во-первых представляется возможным определять распределение свободных носителей заряда по энергиям Распределение электронов в пределах зоны проводимости получаем из (14)

3 1max Ф-Д( ) ( ) ( ) см Дж n E n E f E minus minus⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (16а)

Если энергетический уровень заполнен не полностью то ( ) ( )max n E n Elt Отсутствие электрона означает наличие дырки Тогда число дырок на данном энергетическом уровне или распределение дырок в валентной зо-не по энергиям есть разность

max( ) ( ) ( )p E n E n E= minus = max Ф-Д( ) 1 ( )n E f E⎡ ⎤minus equiv⎣ ⎦

max ( ) ( )pn E f Eequiv (16б)

где Ф-Д ( )1( ) 1 ( )

1 Fp E E Tf E f E

e κminus minus⎡ ⎤= minus =⎣ ⎦ +

(17)

minus функция распределения дырок Во-вторых пользуясь функцией распределения можно рассчитывать

концентрации СНЗ те количество электронов или дырок в единице объ-ёма имеющих любое допустимое значение энергии в пределах зоны про-

26

водимости и валентной зоны соответственно Концентрации электронов n и дырок p определяются интегралами

Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VC C

pE E E

n n E dE n E f E dE p n E f E dE= = =int int int (18)

где интегрирование следует ограничить областью энергий зоны проводи-мости (для электронов) и валентной зоны (для дырок)

Наконец представляется возможным решать обратную задачу зная концентрацию СНЗ определять уровень Ферми EF и по положению уровня Ферми судить о свойствах полупроводника

График функции распределения ФермиminusДирака для обозначенных температур приведён на рис 114 bull При температуре T = 0 K он пред-

ставляет собой прямоугольник пло-щадью 1FE times При возрастании тем-пературы освобождаемые площади под кривой распределения в области E lt EF равны возникающим площа-дям в области E gt EF График функ-ции содержит три характерные облас-ти

o область FE Elt где Ф-Д ( ) 1f E = o область в районе FE Easymp протяжённостью в несколько Tκ где функ-

ция испытывает резкий спад11 и при FE E= независимо от температу-ры равняется frac12

o область FE Egt где laquoна хвостеraquo распределения при 2FE E Tκminus gt функцию ФермиminusДирака можно заменить функцией распределения Мак-свеллаminusБольцмана М-Б ( )f E (рис 115) Действительно пренебрегая еди-ницей12 в знаменателе (15) получим13

( )Ф-Д ( ) FE E Tf E e κminus minusasymp = М-Бconst ( )E Te f Eκminustimes = (19)

bull Соотношение (14) есть число электронов приходящихся на одно раз-решённое состояние Очевидно что всегда max( ) ( ) 1n E n E le Поскольку

Ф-Д ( ) 1f E le то функцию ФермиminusДирака можно рассматривать как вероятность того что энергетический уровень занят Тогда число электронов на данном уровне (16а) равно произведению максимальной плотности разрешённых состояний на вероятность того что уровень за-нят Функция распределения ФермиminusДирака определяет плотность веро-ятности занятости состояний с энергией от Е до Е + dE

asympasymp

asymp

EEF

T2gtT1gtT = 0 10

05

0

fФ-Д (E)

~кTРис 114 Функция распределения

ФермиminusДирака

27

bull При низких температурах функция ФермиminusДирака равна единице практически вплоть до энергии FE Easymp после чего она резко падает Из вероятностного смысла функции ФермиminusДирака следует что состояния с энергиями ниже уровня Ферми заняты (вероятность равна 1) а состояния с более высокими энергиями свободны При повышении температуры определённая часть электронов переходит на более высокие энергетиче-ские уровни значительно (по сравнению с Tκ ) отстоящие от уровня Ферми и в области laquoхвостаraquo подчиняются статистике Максвел-лаminusБольцмана (19) (рис 115) Этот факт является важным результатом поскольку именно на этих уровнях находятся носители формирующие токи в полупроводниковых приборах

bull Состояния занятого или свободного уровня являются противо-положными событиями сумма вероятностей которых равна 1 как вероят-ность достоверного события Поэтому разноость Ф-Д1 ( )f Eminus дополня-ющая функцию ФермиminusДирака до единицы есть вероятность того что уровень занят дыркой (соотношение (17)) bull Распределение дырок в валентной зоне (17) выражается такой же

формулой что и распределение электронов (15) в зоне проводимости но с противоположным знаком показателя экспоненты Это даёт основание направлять ось отсчёта энергии дырок противоположно оси отсчёта энер-гии электронов (рис 111 рис 116) Тогда во встречно-вложенной систе-ме координат распределение электронов и дырок изображается одной и той же кривой (рис116) bull С точки зрения теории вероятности уровень Ферми определяется как

энергетический уровень вероятность заполнения которого равна точно половине С точки зрения термодинамики уровень (энергия) Ферми является (в

приближении равенства эффективных масс электронов и дырок) хими-ческим потенциалом14 (в расчёте на один электрон) Химический потен-циал используется в частности при анализе состояния равновесия в таких гетерогенных (разнородных) системах как например жидкостьndashпар

x

еndashx05

10

0 2 4ndash2ndash4ndash6

fФ-Д (x)

Рис 115 Сравнение функции ФермиminusДирака с экспонентой

На хвосте распределения при ( ) (2 3)Fx E E Tκ= ⎡ minus ⎤ ge divide⎣ ⎦ функ-

ция распределения ФермиminusДира-ка совпадает с функцией распре-деления МаксвеллаminusБольцмана

28

Равенство химических потенциалов служит критерием фазового равновесия

Тогда исходя из термодинамического смысла уровня Ферми условием электронно-дырочного равновесия в разнородных системах (металлов полупроводников) является равенство их уровней Ферми во всех частях системы Единство и постоянство уровня Ферми является необходимым и достаточным условием равновесия электронно-дырочных систем Сам уровень Ферми определяется из условия что полное число

электронов в кристалле (системе) должно оставаться неизменным вне зависимости от их распределения по энергетическим уровням (ранее упомянутая обратная задача)

Максимальная плотность разрешённых состояний Для вычисления концентрации СНЗ в полупроводниках (соотноше-

ния (18)) необходимо кроме функции ФермиndashДирака располагать анали-тическим выражением максимального числа электронов способных иметь данную энергию т е знать зависимость плотности разрешённых состоя-ний ( )maxn E от энергии Для вывода этого соотношения определим сна-чала полное число электронов энергия которых не превышает некоторого значения Е

В классической механике электрон считается частицей не имеющей пространственного объёма состояние которой во времени и пространстве точно определено координатами x y z и составляющими импульса рх ру рz Значит состояние электрона будет задаваться (безразмерной) матери-альной точкой в шестимерном пространстве с взаимно перпендикулярны-ми осями x y z рх ру рz Это пространство называется фазовым Полный объём фазового пространства фазV равен произведению объёмов про-

странства координат xyzV и пространства импульсов x y zp p pV

фаз x y zxyz p p pV V V= times

Объём изотропного пространства импульсов соответствующий кинетиче-ской энергии

asympasymp asymp

asymp

10

E

0505

0

fФ-Д (E) Энергия дырки

Энергия электрона10

0

fp (E)

E

EF

asymp

bull

asymp

bull

Рис 116 Функция Фер‐миminusДирака во встречно‐вложенной системе коор‐

динат Оси отсчёта энергии и ор-динат функций распреде-ления электронов и дырок направлены в противопо-ложные стороны

29

2 2 2 E p m p mE= rArr = (110) где m ndash масса электрона есть объём сферы радиуса р равный

3(4 3) x y zp p pV pπ= Тогда

3фаз (4 3) xyzV V pπ= times (111)

Согласно законам классической физики каждая точка этого про-странства вполне характеризует состояние (координаты скорость на-правление движения) электрона энергия которого не превышает величи-ну Е и может изменяться непрерывно

Однако электрон не являются классической частицей При переходе из одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образом даже если этот дискрет очень мал как например в твёрдом теле Если состояние изменяется с дискретом EΔ то очевидно что максимальное число возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отно-шения E EΔ Поскольку энергия выражается через импульс и координа-ту то число состояний в пространстве импульсов и координат не превы-шает отношений x xp pΔ и x xΔ соответственно где xpΔ xΔ ndash дискре-ты изменения импульса и координаты обязанные дискрету изменения энергии

Из дискретности энергии логично следует принципиальная невоз-можность измерения физических величин с точностью превышающей значения обусловленные наличием соответствующих дискретов Анало-гично применение линейки проградуированной в миллиметрах не по-зволяет измерять расстояния с точностью превышающей значение дис-крета равного 1 мм

Таким образом при измерении дискретных физических величин (оп-ределении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципи-альная неопределённость не связанная с погрешностями применяемых методов и используемых приборов

Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гей-зенберг который предложил принять эту принципиально неустранимую неопределённость в качестве специфического физического закона Со-гласно этому закону известному сейчас как соотношение неопределённо-сти Гейзенберга при одновременном определении координаты и импуль-са имеет место неопределенность измерения xΔ и xpΔ такая что

xx p hΔ Δ ge (112) где h ndash постоянная Планка посредством которой определяется минималь-ный дискрет (квант) энергии равный hν ν ndash частота излучения Неоп-ределённость выражается через произведение что соответствует пред-

30

ставлению фазового пространства произведением пространства импуль-сов и координат15

Отсюда следует что для трёхмерного движения неопределённость составит величину порядка 3x y zx y z p p p hΔ Δ Δ Δ Δ Δ ge Это означает что объём который занимает электрон в фазовом пространстве всегда конеч-ный не меньше размера элементарной ячейки 3h Учитывая что в эле-ментарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона с противоположными спинами16 приходим к выводу что объём фазового пространства может содержать максимум 3

фаз2 ( )V htimes электронов Тогда используя (111) определим что полное число электронов в единичном объёме координатного пространства 3( )[см ]N E minus энергия которых не превышает Е будет равно

( ) ( )3 3 3фаз( ) 2 ( ) 2 4 3 xyzN E V V h p hπ= = (113)

Максимальная плотность разрешённых состояний т е число электронов в единице объёма с энергией Е приходящихся на единичный интервал энергии по определению есть

max( ) ( ) ( )( ) N E dE N E dN E dN dpn E

dE dE dp dE+ minus

= = = =

( )3 22 3 14 2 const см Дж m h E Eπ minus minus⎡ ⎤= equiv times ⎣ ⎦ (114)

При вычислении сложной производной использованы соотношения (110) (113) В силу (110) здесь Е ndash кинетическая энергия

Отметим что laquoотступленияraquo от классической физики касались в ос-новном обоснования размера элементарной ячейки фазового пространст-ва через соотношение неопределённости Гейзенберга которое по сущест-ву является формулировкой принципа исключения Паули на языке клас-сической физики Полученное соотношение (114) предполагает исполь-зование кинетической энергии классической частицы

Концентрация свободных носителей заряда Равновесный полупроводник

Концентрация СНЗ не содержащего примесей равновесного полу-проводника определяется соотношениями (18) Вычисление интегралов можно упростить если учитывая особенности проходящих физических процессов распространить интегрирование на бесконечные пределы Та-кой шаг оправдан поскольку почти все свободные электроны компактно располагаются на дне зоны проводимости а дырки ndash у вершины валент-

31

ной зоны Положив верхний предел интегрирования равным бесконечно-сти мы не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смысл результата сможем получить более изящные аналитические выражения

Вычисление интегралов (18) значительно упрощается также благо-даря тому что функцию ФермиndashДирака можно заменить функцией рас-пределения МаксвеллаndashБольцмана Замена возможна потому что для практически важных случаев невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько Tκ а основная масса электронов ndash в зоне проводимости на расстояниях (2 3) FE E Tκminus gt divide В этом случае в знаме-нателе уравнения (15) можно пренебречь единицей Распределением электронов становится выражение (19) где полная энергия есть сумма потенциальной энергии EC и кинетической энергии Ек

к CE E Е= + (115) а максимальная плотность разрешённых состояний (114) выражается че-рез кинетическую энергию к Е Еequiv Тогда введя обозначение к x Е Tκ= используя (19) (114) и nm m= представим соотношение (18) в сле-дующем виде

0

Ф-Д Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( )C C

E

E En n E f E dE n E f E dE

infin= =int int

М-Бmax к к к0

( ) ( )Сn E f E E dEinfin

= + =int ( )3 22 1 2

04 2

C Fx

n

E ETm h e x e dxκπ

infinminus minusminus

int

где E0 ndash уровень свободного электрона в вакууме (рис 110 рис 111) nm ndash эффективная масса электрона посредством которой учитываются осо-бенности движения в твёрдом теле Воспользовавшись табличным инте-

гралом ( )1 2

0expx x dx

infinminus =int 2π окончательно получаем

FC

C

E ETn N e κminus

minus= (116)

где ( )3 222 2C nN m T hπ κ= = ( ) ( )3 2 3 219 325 10 300 смnm m T minus⎡ ⎤sdot times ⎣ ⎦

имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости Определение концентрации дырок в приближении распределения

МаксвеллаndashБольцмана сводится к вычислению интеграла (18) для (17) ( )( ) exp Fpf E E E Tκasymp minus⎡ ⎤⎣ ⎦ где полная энергия дырки равна кVE E Е= minus

и (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV

32

laquoвнизraquo в сторону отрицательных значений (рис 111) max ( )кp E опреде-ляется уравнением (114) при эффективной массе дырки pm m= посред-ством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле Тогда

М-Бmax max0

( ) ( ) ( ) ( )V

V

E

p к к кp p E f E dE p E f E E dEinfin

minusinfin= minus =int int

( )3 22 1 2

04 2

F VE ExT

pm h e x e dxκπminus infinminus minus= int где кx Е Tκ= Окончательно

F V

V

E ETp N e κminusminus

= (117)

где ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 19 32 2 25 10 300 смV p pN m T h m m Tπ κ minus⎡ ⎤= = sdot times ⎣ ⎦ ndash

эффективная плотность состояний в валентной зоне Отметим что полученные соотношения задают количество носите-

лей заряда в единице объёма но не закон их распределения по энергиям Таким образом концентрация СНЗ полупроводника при данной тем-

пературе однозначно определяется положением уровня Ферми Всякое изменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному из-менению концентрации носителей и обратно ndash изменение концентрации будь то за счёт температуры легирования примесями засветки и т д вы-зывает изменение положения уровня Ферми

Количество носителей заряда определяется процессами тепловой генерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов а также обратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны (рис 113 и ниже рис 126 рис 128) Про-цессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят не-прерывно и параллельно Равновесное состояние есть результат динами-ческого равновесия этих процессов При этом однако произведение кон-центраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда зависящим от температуры) равным квадрату собственной концентрации полу-проводника Действительно учитывая что в собственном полупроводни-ке носители образуются парами и 2 in p n= equiv после почленного перемно-жения выражений (116) и (117) получим

2 constinp n= = = (118а)

( )3 231 2 3231 10 g gC V

E T E Tn pN N e m m m T eκ κminus minus= = sdot times

где in ndash собственная концентрация Такова особенность равновесного состояния полупроводников Нижняя строчка этих равенств раскрываю-щая произведение зависит только от температуры и ширины запрещён-

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

25

1 3max ( ) [Дж см ]n E minus minus есть строго определённая для заданной энергии ве-

личина Значит функция распределения fФ-Д(Е) определяет отношение числа электронов п(Е) реально занимающих энергетический уровень Е к максимальному числу электронов которые в принципе могут находиться на данном уровне

Ф-Д max( ) ( ) ( )f E n E n E= (14) Аналитическое выражение функции распределения электронов ко-

торое независимо друг от друга предложили итальянский физик Энрико Ферми и английский физик Поль Дирак имеет вид

Ф-Д ( )1( )

1 FE E Tf Ee κminus=

+ (15)

где параметр EF minus уровень Ферми Функция ФермиminusДирака как элемент универсального математического аппарата не зависит от свойств той или иной конкретной системы а зависит лишь от температуры Привязка к конкретной системе осуществляется через параметр EF который показы-вает как нужно располагать функцию ФермиminusДирака относительно энер-гетических уровней конкретной системы (см ниже рис 120 рис 121 рис 22)

Функция распределения позволяет решать ряд важных задач необ-ходимых для анализа полупроводниковых приборов

Во-первых представляется возможным определять распределение свободных носителей заряда по энергиям Распределение электронов в пределах зоны проводимости получаем из (14)

3 1max Ф-Д( ) ( ) ( ) см Дж n E n E f E minus minus⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (16а)

Если энергетический уровень заполнен не полностью то ( ) ( )max n E n Elt Отсутствие электрона означает наличие дырки Тогда число дырок на данном энергетическом уровне или распределение дырок в валентной зо-не по энергиям есть разность

max( ) ( ) ( )p E n E n E= minus = max Ф-Д( ) 1 ( )n E f E⎡ ⎤minus equiv⎣ ⎦

max ( ) ( )pn E f Eequiv (16б)

где Ф-Д ( )1( ) 1 ( )

1 Fp E E Tf E f E

e κminus minus⎡ ⎤= minus =⎣ ⎦ +

(17)

minus функция распределения дырок Во-вторых пользуясь функцией распределения можно рассчитывать

концентрации СНЗ те количество электронов или дырок в единице объ-ёма имеющих любое допустимое значение энергии в пределах зоны про-

26

водимости и валентной зоны соответственно Концентрации электронов n и дырок p определяются интегралами

Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VC C

pE E E

n n E dE n E f E dE p n E f E dE= = =int int int (18)

где интегрирование следует ограничить областью энергий зоны проводи-мости (для электронов) и валентной зоны (для дырок)

Наконец представляется возможным решать обратную задачу зная концентрацию СНЗ определять уровень Ферми EF и по положению уровня Ферми судить о свойствах полупроводника

График функции распределения ФермиminusДирака для обозначенных температур приведён на рис 114 bull При температуре T = 0 K он пред-

ставляет собой прямоугольник пло-щадью 1FE times При возрастании тем-пературы освобождаемые площади под кривой распределения в области E lt EF равны возникающим площа-дям в области E gt EF График функ-ции содержит три характерные облас-ти

o область FE Elt где Ф-Д ( ) 1f E = o область в районе FE Easymp протяжённостью в несколько Tκ где функ-

ция испытывает резкий спад11 и при FE E= независимо от температу-ры равняется frac12

o область FE Egt где laquoна хвостеraquo распределения при 2FE E Tκminus gt функцию ФермиminusДирака можно заменить функцией распределения Мак-свеллаminusБольцмана М-Б ( )f E (рис 115) Действительно пренебрегая еди-ницей12 в знаменателе (15) получим13

( )Ф-Д ( ) FE E Tf E e κminus minusasymp = М-Бconst ( )E Te f Eκminustimes = (19)

bull Соотношение (14) есть число электронов приходящихся на одно раз-решённое состояние Очевидно что всегда max( ) ( ) 1n E n E le Поскольку

Ф-Д ( ) 1f E le то функцию ФермиminusДирака можно рассматривать как вероятность того что энергетический уровень занят Тогда число электронов на данном уровне (16а) равно произведению максимальной плотности разрешённых состояний на вероятность того что уровень за-нят Функция распределения ФермиminusДирака определяет плотность веро-ятности занятости состояний с энергией от Е до Е + dE

asympasymp

asymp

EEF

T2gtT1gtT = 0 10

05

0

fФ-Д (E)

~кTРис 114 Функция распределения

ФермиminusДирака

27

bull При низких температурах функция ФермиminusДирака равна единице практически вплоть до энергии FE Easymp после чего она резко падает Из вероятностного смысла функции ФермиminusДирака следует что состояния с энергиями ниже уровня Ферми заняты (вероятность равна 1) а состояния с более высокими энергиями свободны При повышении температуры определённая часть электронов переходит на более высокие энергетиче-ские уровни значительно (по сравнению с Tκ ) отстоящие от уровня Ферми и в области laquoхвостаraquo подчиняются статистике Максвел-лаminusБольцмана (19) (рис 115) Этот факт является важным результатом поскольку именно на этих уровнях находятся носители формирующие токи в полупроводниковых приборах

bull Состояния занятого или свободного уровня являются противо-положными событиями сумма вероятностей которых равна 1 как вероят-ность достоверного события Поэтому разноость Ф-Д1 ( )f Eminus дополня-ющая функцию ФермиminusДирака до единицы есть вероятность того что уровень занят дыркой (соотношение (17)) bull Распределение дырок в валентной зоне (17) выражается такой же

формулой что и распределение электронов (15) в зоне проводимости но с противоположным знаком показателя экспоненты Это даёт основание направлять ось отсчёта энергии дырок противоположно оси отсчёта энер-гии электронов (рис 111 рис 116) Тогда во встречно-вложенной систе-ме координат распределение электронов и дырок изображается одной и той же кривой (рис116) bull С точки зрения теории вероятности уровень Ферми определяется как

энергетический уровень вероятность заполнения которого равна точно половине С точки зрения термодинамики уровень (энергия) Ферми является (в

приближении равенства эффективных масс электронов и дырок) хими-ческим потенциалом14 (в расчёте на один электрон) Химический потен-циал используется в частности при анализе состояния равновесия в таких гетерогенных (разнородных) системах как например жидкостьndashпар

x

еndashx05

10

0 2 4ndash2ndash4ndash6

fФ-Д (x)

Рис 115 Сравнение функции ФермиminusДирака с экспонентой

На хвосте распределения при ( ) (2 3)Fx E E Tκ= ⎡ minus ⎤ ge divide⎣ ⎦ функ-

ция распределения ФермиminusДира-ка совпадает с функцией распре-деления МаксвеллаminusБольцмана

28

Равенство химических потенциалов служит критерием фазового равновесия

Тогда исходя из термодинамического смысла уровня Ферми условием электронно-дырочного равновесия в разнородных системах (металлов полупроводников) является равенство их уровней Ферми во всех частях системы Единство и постоянство уровня Ферми является необходимым и достаточным условием равновесия электронно-дырочных систем Сам уровень Ферми определяется из условия что полное число

электронов в кристалле (системе) должно оставаться неизменным вне зависимости от их распределения по энергетическим уровням (ранее упомянутая обратная задача)

Максимальная плотность разрешённых состояний Для вычисления концентрации СНЗ в полупроводниках (соотноше-

ния (18)) необходимо кроме функции ФермиndashДирака располагать анали-тическим выражением максимального числа электронов способных иметь данную энергию т е знать зависимость плотности разрешённых состоя-ний ( )maxn E от энергии Для вывода этого соотношения определим сна-чала полное число электронов энергия которых не превышает некоторого значения Е

В классической механике электрон считается частицей не имеющей пространственного объёма состояние которой во времени и пространстве точно определено координатами x y z и составляющими импульса рх ру рz Значит состояние электрона будет задаваться (безразмерной) матери-альной точкой в шестимерном пространстве с взаимно перпендикулярны-ми осями x y z рх ру рz Это пространство называется фазовым Полный объём фазового пространства фазV равен произведению объёмов про-

странства координат xyzV и пространства импульсов x y zp p pV

фаз x y zxyz p p pV V V= times

Объём изотропного пространства импульсов соответствующий кинетиче-ской энергии

asympasymp asymp

asymp

10

E

0505

0

fФ-Д (E) Энергия дырки

Энергия электрона10

0

fp (E)

E

EF

asymp

bull

asymp

bull

Рис 116 Функция Фер‐миminusДирака во встречно‐вложенной системе коор‐

динат Оси отсчёта энергии и ор-динат функций распреде-ления электронов и дырок направлены в противопо-ложные стороны

29

2 2 2 E p m p mE= rArr = (110) где m ndash масса электрона есть объём сферы радиуса р равный

3(4 3) x y zp p pV pπ= Тогда

3фаз (4 3) xyzV V pπ= times (111)

Согласно законам классической физики каждая точка этого про-странства вполне характеризует состояние (координаты скорость на-правление движения) электрона энергия которого не превышает величи-ну Е и может изменяться непрерывно

Однако электрон не являются классической частицей При переходе из одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образом даже если этот дискрет очень мал как например в твёрдом теле Если состояние изменяется с дискретом EΔ то очевидно что максимальное число возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отно-шения E EΔ Поскольку энергия выражается через импульс и координа-ту то число состояний в пространстве импульсов и координат не превы-шает отношений x xp pΔ и x xΔ соответственно где xpΔ xΔ ndash дискре-ты изменения импульса и координаты обязанные дискрету изменения энергии

Из дискретности энергии логично следует принципиальная невоз-можность измерения физических величин с точностью превышающей значения обусловленные наличием соответствующих дискретов Анало-гично применение линейки проградуированной в миллиметрах не по-зволяет измерять расстояния с точностью превышающей значение дис-крета равного 1 мм

Таким образом при измерении дискретных физических величин (оп-ределении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципи-альная неопределённость не связанная с погрешностями применяемых методов и используемых приборов

Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гей-зенберг который предложил принять эту принципиально неустранимую неопределённость в качестве специфического физического закона Со-гласно этому закону известному сейчас как соотношение неопределённо-сти Гейзенберга при одновременном определении координаты и импуль-са имеет место неопределенность измерения xΔ и xpΔ такая что

xx p hΔ Δ ge (112) где h ndash постоянная Планка посредством которой определяется минималь-ный дискрет (квант) энергии равный hν ν ndash частота излучения Неоп-ределённость выражается через произведение что соответствует пред-

30

ставлению фазового пространства произведением пространства импуль-сов и координат15

Отсюда следует что для трёхмерного движения неопределённость составит величину порядка 3x y zx y z p p p hΔ Δ Δ Δ Δ Δ ge Это означает что объём который занимает электрон в фазовом пространстве всегда конеч-ный не меньше размера элементарной ячейки 3h Учитывая что в эле-ментарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона с противоположными спинами16 приходим к выводу что объём фазового пространства может содержать максимум 3

фаз2 ( )V htimes электронов Тогда используя (111) определим что полное число электронов в единичном объёме координатного пространства 3( )[см ]N E minus энергия которых не превышает Е будет равно

( ) ( )3 3 3фаз( ) 2 ( ) 2 4 3 xyzN E V V h p hπ= = (113)

Максимальная плотность разрешённых состояний т е число электронов в единице объёма с энергией Е приходящихся на единичный интервал энергии по определению есть

max( ) ( ) ( )( ) N E dE N E dN E dN dpn E

dE dE dp dE+ minus

= = = =

( )3 22 3 14 2 const см Дж m h E Eπ minus minus⎡ ⎤= equiv times ⎣ ⎦ (114)

При вычислении сложной производной использованы соотношения (110) (113) В силу (110) здесь Е ndash кинетическая энергия

Отметим что laquoотступленияraquo от классической физики касались в ос-новном обоснования размера элементарной ячейки фазового пространст-ва через соотношение неопределённости Гейзенберга которое по сущест-ву является формулировкой принципа исключения Паули на языке клас-сической физики Полученное соотношение (114) предполагает исполь-зование кинетической энергии классической частицы

Концентрация свободных носителей заряда Равновесный полупроводник

Концентрация СНЗ не содержащего примесей равновесного полу-проводника определяется соотношениями (18) Вычисление интегралов можно упростить если учитывая особенности проходящих физических процессов распространить интегрирование на бесконечные пределы Та-кой шаг оправдан поскольку почти все свободные электроны компактно располагаются на дне зоны проводимости а дырки ndash у вершины валент-

31

ной зоны Положив верхний предел интегрирования равным бесконечно-сти мы не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смысл результата сможем получить более изящные аналитические выражения

Вычисление интегралов (18) значительно упрощается также благо-даря тому что функцию ФермиndashДирака можно заменить функцией рас-пределения МаксвеллаndashБольцмана Замена возможна потому что для практически важных случаев невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько Tκ а основная масса электронов ndash в зоне проводимости на расстояниях (2 3) FE E Tκminus gt divide В этом случае в знаме-нателе уравнения (15) можно пренебречь единицей Распределением электронов становится выражение (19) где полная энергия есть сумма потенциальной энергии EC и кинетической энергии Ек

к CE E Е= + (115) а максимальная плотность разрешённых состояний (114) выражается че-рез кинетическую энергию к Е Еequiv Тогда введя обозначение к x Е Tκ= используя (19) (114) и nm m= представим соотношение (18) в сле-дующем виде

0

Ф-Д Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( )C C

E

E En n E f E dE n E f E dE

infin= =int int

М-Бmax к к к0

( ) ( )Сn E f E E dEinfin

= + =int ( )3 22 1 2

04 2

C Fx

n

E ETm h e x e dxκπ

infinminus minusminus

int

где E0 ndash уровень свободного электрона в вакууме (рис 110 рис 111) nm ndash эффективная масса электрона посредством которой учитываются осо-бенности движения в твёрдом теле Воспользовавшись табличным инте-

гралом ( )1 2

0expx x dx

infinminus =int 2π окончательно получаем

FC

C

E ETn N e κminus

minus= (116)

где ( )3 222 2C nN m T hπ κ= = ( ) ( )3 2 3 219 325 10 300 смnm m T minus⎡ ⎤sdot times ⎣ ⎦

имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости Определение концентрации дырок в приближении распределения

МаксвеллаndashБольцмана сводится к вычислению интеграла (18) для (17) ( )( ) exp Fpf E E E Tκasymp minus⎡ ⎤⎣ ⎦ где полная энергия дырки равна кVE E Е= minus

и (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV

32

laquoвнизraquo в сторону отрицательных значений (рис 111) max ( )кp E опреде-ляется уравнением (114) при эффективной массе дырки pm m= посред-ством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле Тогда

М-Бmax max0

( ) ( ) ( ) ( )V

V

E

p к к кp p E f E dE p E f E E dEinfin

minusinfin= minus =int int

( )3 22 1 2

04 2

F VE ExT

pm h e x e dxκπminus infinminus minus= int где кx Е Tκ= Окончательно

F V

V

E ETp N e κminusminus

= (117)

где ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 19 32 2 25 10 300 смV p pN m T h m m Tπ κ minus⎡ ⎤= = sdot times ⎣ ⎦ ndash

эффективная плотность состояний в валентной зоне Отметим что полученные соотношения задают количество носите-

лей заряда в единице объёма но не закон их распределения по энергиям Таким образом концентрация СНЗ полупроводника при данной тем-

пературе однозначно определяется положением уровня Ферми Всякое изменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному из-менению концентрации носителей и обратно ndash изменение концентрации будь то за счёт температуры легирования примесями засветки и т д вы-зывает изменение положения уровня Ферми

Количество носителей заряда определяется процессами тепловой генерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов а также обратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны (рис 113 и ниже рис 126 рис 128) Про-цессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят не-прерывно и параллельно Равновесное состояние есть результат динами-ческого равновесия этих процессов При этом однако произведение кон-центраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда зависящим от температуры) равным квадрату собственной концентрации полу-проводника Действительно учитывая что в собственном полупроводни-ке носители образуются парами и 2 in p n= equiv после почленного перемно-жения выражений (116) и (117) получим

2 constinp n= = = (118а)

( )3 231 2 3231 10 g gC V

E T E Tn pN N e m m m T eκ κminus minus= = sdot times

где in ndash собственная концентрация Такова особенность равновесного состояния полупроводников Нижняя строчка этих равенств раскрываю-щая произведение зависит только от температуры и ширины запрещён-

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

27

bull При низких температурах функция ФермиminusДирака равна единице практически вплоть до энергии FE Easymp после чего она резко падает Из вероятностного смысла функции ФермиminusДирака следует что состояния с энергиями ниже уровня Ферми заняты (вероятность равна 1) а состояния с более высокими энергиями свободны При повышении температуры определённая часть электронов переходит на более высокие энергетиче-ские уровни значительно (по сравнению с Tκ ) отстоящие от уровня Ферми и в области laquoхвостаraquo подчиняются статистике Максвел-лаminusБольцмана (19) (рис 115) Этот факт является важным результатом поскольку именно на этих уровнях находятся носители формирующие токи в полупроводниковых приборах

bull Состояния занятого или свободного уровня являются противо-положными событиями сумма вероятностей которых равна 1 как вероят-ность достоверного события Поэтому разноость Ф-Д1 ( )f Eminus дополня-ющая функцию ФермиminusДирака до единицы есть вероятность того что уровень занят дыркой (соотношение (17)) bull Распределение дырок в валентной зоне (17) выражается такой же

формулой что и распределение электронов (15) в зоне проводимости но с противоположным знаком показателя экспоненты Это даёт основание направлять ось отсчёта энергии дырок противоположно оси отсчёта энер-гии электронов (рис 111 рис 116) Тогда во встречно-вложенной систе-ме координат распределение электронов и дырок изображается одной и той же кривой (рис116) bull С точки зрения теории вероятности уровень Ферми определяется как

энергетический уровень вероятность заполнения которого равна точно половине С точки зрения термодинамики уровень (энергия) Ферми является (в

приближении равенства эффективных масс электронов и дырок) хими-ческим потенциалом14 (в расчёте на один электрон) Химический потен-циал используется в частности при анализе состояния равновесия в таких гетерогенных (разнородных) системах как например жидкостьndashпар

x

еndashx05

10

0 2 4ndash2ndash4ndash6

fФ-Д (x)

Рис 115 Сравнение функции ФермиminusДирака с экспонентой

На хвосте распределения при ( ) (2 3)Fx E E Tκ= ⎡ minus ⎤ ge divide⎣ ⎦ функ-

ция распределения ФермиminusДира-ка совпадает с функцией распре-деления МаксвеллаminusБольцмана

28

Равенство химических потенциалов служит критерием фазового равновесия

Тогда исходя из термодинамического смысла уровня Ферми условием электронно-дырочного равновесия в разнородных системах (металлов полупроводников) является равенство их уровней Ферми во всех частях системы Единство и постоянство уровня Ферми является необходимым и достаточным условием равновесия электронно-дырочных систем Сам уровень Ферми определяется из условия что полное число

электронов в кристалле (системе) должно оставаться неизменным вне зависимости от их распределения по энергетическим уровням (ранее упомянутая обратная задача)

Максимальная плотность разрешённых состояний Для вычисления концентрации СНЗ в полупроводниках (соотноше-

ния (18)) необходимо кроме функции ФермиndashДирака располагать анали-тическим выражением максимального числа электронов способных иметь данную энергию т е знать зависимость плотности разрешённых состоя-ний ( )maxn E от энергии Для вывода этого соотношения определим сна-чала полное число электронов энергия которых не превышает некоторого значения Е

В классической механике электрон считается частицей не имеющей пространственного объёма состояние которой во времени и пространстве точно определено координатами x y z и составляющими импульса рх ру рz Значит состояние электрона будет задаваться (безразмерной) матери-альной точкой в шестимерном пространстве с взаимно перпендикулярны-ми осями x y z рх ру рz Это пространство называется фазовым Полный объём фазового пространства фазV равен произведению объёмов про-

странства координат xyzV и пространства импульсов x y zp p pV

фаз x y zxyz p p pV V V= times

Объём изотропного пространства импульсов соответствующий кинетиче-ской энергии

asympasymp asymp

asymp

10

E

0505

0

fФ-Д (E) Энергия дырки

Энергия электрона10

0

fp (E)

E

EF

asymp

bull

asymp

bull

Рис 116 Функция Фер‐миminusДирака во встречно‐вложенной системе коор‐

динат Оси отсчёта энергии и ор-динат функций распреде-ления электронов и дырок направлены в противопо-ложные стороны

29

2 2 2 E p m p mE= rArr = (110) где m ndash масса электрона есть объём сферы радиуса р равный

3(4 3) x y zp p pV pπ= Тогда

3фаз (4 3) xyzV V pπ= times (111)

Согласно законам классической физики каждая точка этого про-странства вполне характеризует состояние (координаты скорость на-правление движения) электрона энергия которого не превышает величи-ну Е и может изменяться непрерывно

Однако электрон не являются классической частицей При переходе из одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образом даже если этот дискрет очень мал как например в твёрдом теле Если состояние изменяется с дискретом EΔ то очевидно что максимальное число возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отно-шения E EΔ Поскольку энергия выражается через импульс и координа-ту то число состояний в пространстве импульсов и координат не превы-шает отношений x xp pΔ и x xΔ соответственно где xpΔ xΔ ndash дискре-ты изменения импульса и координаты обязанные дискрету изменения энергии

Из дискретности энергии логично следует принципиальная невоз-можность измерения физических величин с точностью превышающей значения обусловленные наличием соответствующих дискретов Анало-гично применение линейки проградуированной в миллиметрах не по-зволяет измерять расстояния с точностью превышающей значение дис-крета равного 1 мм

Таким образом при измерении дискретных физических величин (оп-ределении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципи-альная неопределённость не связанная с погрешностями применяемых методов и используемых приборов

Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гей-зенберг который предложил принять эту принципиально неустранимую неопределённость в качестве специфического физического закона Со-гласно этому закону известному сейчас как соотношение неопределённо-сти Гейзенберга при одновременном определении координаты и импуль-са имеет место неопределенность измерения xΔ и xpΔ такая что

xx p hΔ Δ ge (112) где h ndash постоянная Планка посредством которой определяется минималь-ный дискрет (квант) энергии равный hν ν ndash частота излучения Неоп-ределённость выражается через произведение что соответствует пред-

30

ставлению фазового пространства произведением пространства импуль-сов и координат15

Отсюда следует что для трёхмерного движения неопределённость составит величину порядка 3x y zx y z p p p hΔ Δ Δ Δ Δ Δ ge Это означает что объём который занимает электрон в фазовом пространстве всегда конеч-ный не меньше размера элементарной ячейки 3h Учитывая что в эле-ментарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона с противоположными спинами16 приходим к выводу что объём фазового пространства может содержать максимум 3

фаз2 ( )V htimes электронов Тогда используя (111) определим что полное число электронов в единичном объёме координатного пространства 3( )[см ]N E minus энергия которых не превышает Е будет равно

( ) ( )3 3 3фаз( ) 2 ( ) 2 4 3 xyzN E V V h p hπ= = (113)

Максимальная плотность разрешённых состояний т е число электронов в единице объёма с энергией Е приходящихся на единичный интервал энергии по определению есть

max( ) ( ) ( )( ) N E dE N E dN E dN dpn E

dE dE dp dE+ minus

= = = =

( )3 22 3 14 2 const см Дж m h E Eπ minus minus⎡ ⎤= equiv times ⎣ ⎦ (114)

При вычислении сложной производной использованы соотношения (110) (113) В силу (110) здесь Е ndash кинетическая энергия

Отметим что laquoотступленияraquo от классической физики касались в ос-новном обоснования размера элементарной ячейки фазового пространст-ва через соотношение неопределённости Гейзенберга которое по сущест-ву является формулировкой принципа исключения Паули на языке клас-сической физики Полученное соотношение (114) предполагает исполь-зование кинетической энергии классической частицы

Концентрация свободных носителей заряда Равновесный полупроводник

Концентрация СНЗ не содержащего примесей равновесного полу-проводника определяется соотношениями (18) Вычисление интегралов можно упростить если учитывая особенности проходящих физических процессов распространить интегрирование на бесконечные пределы Та-кой шаг оправдан поскольку почти все свободные электроны компактно располагаются на дне зоны проводимости а дырки ndash у вершины валент-

31

ной зоны Положив верхний предел интегрирования равным бесконечно-сти мы не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смысл результата сможем получить более изящные аналитические выражения

Вычисление интегралов (18) значительно упрощается также благо-даря тому что функцию ФермиndashДирака можно заменить функцией рас-пределения МаксвеллаndashБольцмана Замена возможна потому что для практически важных случаев невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько Tκ а основная масса электронов ndash в зоне проводимости на расстояниях (2 3) FE E Tκminus gt divide В этом случае в знаме-нателе уравнения (15) можно пренебречь единицей Распределением электронов становится выражение (19) где полная энергия есть сумма потенциальной энергии EC и кинетической энергии Ек

к CE E Е= + (115) а максимальная плотность разрешённых состояний (114) выражается че-рез кинетическую энергию к Е Еequiv Тогда введя обозначение к x Е Tκ= используя (19) (114) и nm m= представим соотношение (18) в сле-дующем виде

0

Ф-Д Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( )C C

E

E En n E f E dE n E f E dE

infin= =int int

М-Бmax к к к0

( ) ( )Сn E f E E dEinfin

= + =int ( )3 22 1 2

04 2

C Fx

n

E ETm h e x e dxκπ

infinminus minusminus

int

где E0 ndash уровень свободного электрона в вакууме (рис 110 рис 111) nm ndash эффективная масса электрона посредством которой учитываются осо-бенности движения в твёрдом теле Воспользовавшись табличным инте-

гралом ( )1 2

0expx x dx

infinminus =int 2π окончательно получаем

FC

C

E ETn N e κminus

minus= (116)

где ( )3 222 2C nN m T hπ κ= = ( ) ( )3 2 3 219 325 10 300 смnm m T minus⎡ ⎤sdot times ⎣ ⎦

имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости Определение концентрации дырок в приближении распределения

МаксвеллаndashБольцмана сводится к вычислению интеграла (18) для (17) ( )( ) exp Fpf E E E Tκasymp minus⎡ ⎤⎣ ⎦ где полная энергия дырки равна кVE E Е= minus

и (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV

32

laquoвнизraquo в сторону отрицательных значений (рис 111) max ( )кp E опреде-ляется уравнением (114) при эффективной массе дырки pm m= посред-ством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле Тогда

М-Бmax max0

( ) ( ) ( ) ( )V

V

E

p к к кp p E f E dE p E f E E dEinfin

minusinfin= minus =int int

( )3 22 1 2

04 2

F VE ExT

pm h e x e dxκπminus infinminus minus= int где кx Е Tκ= Окончательно

F V

V

E ETp N e κminusminus

= (117)

где ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 19 32 2 25 10 300 смV p pN m T h m m Tπ κ minus⎡ ⎤= = sdot times ⎣ ⎦ ndash

эффективная плотность состояний в валентной зоне Отметим что полученные соотношения задают количество носите-

лей заряда в единице объёма но не закон их распределения по энергиям Таким образом концентрация СНЗ полупроводника при данной тем-

пературе однозначно определяется положением уровня Ферми Всякое изменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному из-менению концентрации носителей и обратно ndash изменение концентрации будь то за счёт температуры легирования примесями засветки и т д вы-зывает изменение положения уровня Ферми

Количество носителей заряда определяется процессами тепловой генерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов а также обратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны (рис 113 и ниже рис 126 рис 128) Про-цессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят не-прерывно и параллельно Равновесное состояние есть результат динами-ческого равновесия этих процессов При этом однако произведение кон-центраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда зависящим от температуры) равным квадрату собственной концентрации полу-проводника Действительно учитывая что в собственном полупроводни-ке носители образуются парами и 2 in p n= equiv после почленного перемно-жения выражений (116) и (117) получим

2 constinp n= = = (118а)

( )3 231 2 3231 10 g gC V

E T E Tn pN N e m m m T eκ κminus minus= = sdot times

где in ndash собственная концентрация Такова особенность равновесного состояния полупроводников Нижняя строчка этих равенств раскрываю-щая произведение зависит только от температуры и ширины запрещён-

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

29

2 2 2 E p m p mE= rArr = (110) где m ndash масса электрона есть объём сферы радиуса р равный

3(4 3) x y zp p pV pπ= Тогда

3фаз (4 3) xyzV V pπ= times (111)

Согласно законам классической физики каждая точка этого про-странства вполне характеризует состояние (координаты скорость на-правление движения) электрона энергия которого не превышает величи-ну Е и может изменяться непрерывно

Однако электрон не являются классической частицей При переходе из одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образом даже если этот дискрет очень мал как например в твёрдом теле Если состояние изменяется с дискретом EΔ то очевидно что максимальное число возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отно-шения E EΔ Поскольку энергия выражается через импульс и координа-ту то число состояний в пространстве импульсов и координат не превы-шает отношений x xp pΔ и x xΔ соответственно где xpΔ xΔ ndash дискре-ты изменения импульса и координаты обязанные дискрету изменения энергии

Из дискретности энергии логично следует принципиальная невоз-можность измерения физических величин с точностью превышающей значения обусловленные наличием соответствующих дискретов Анало-гично применение линейки проградуированной в миллиметрах не по-зволяет измерять расстояния с точностью превышающей значение дис-крета равного 1 мм

Таким образом при измерении дискретных физических величин (оп-ределении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципи-альная неопределённость не связанная с погрешностями применяемых методов и используемых приборов

Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гей-зенберг который предложил принять эту принципиально неустранимую неопределённость в качестве специфического физического закона Со-гласно этому закону известному сейчас как соотношение неопределённо-сти Гейзенберга при одновременном определении координаты и импуль-са имеет место неопределенность измерения xΔ и xpΔ такая что

xx p hΔ Δ ge (112) где h ndash постоянная Планка посредством которой определяется минималь-ный дискрет (квант) энергии равный hν ν ndash частота излучения Неоп-ределённость выражается через произведение что соответствует пред-

30

ставлению фазового пространства произведением пространства импуль-сов и координат15

Отсюда следует что для трёхмерного движения неопределённость составит величину порядка 3x y zx y z p p p hΔ Δ Δ Δ Δ Δ ge Это означает что объём который занимает электрон в фазовом пространстве всегда конеч-ный не меньше размера элементарной ячейки 3h Учитывая что в эле-ментарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона с противоположными спинами16 приходим к выводу что объём фазового пространства может содержать максимум 3

фаз2 ( )V htimes электронов Тогда используя (111) определим что полное число электронов в единичном объёме координатного пространства 3( )[см ]N E minus энергия которых не превышает Е будет равно

( ) ( )3 3 3фаз( ) 2 ( ) 2 4 3 xyzN E V V h p hπ= = (113)

Максимальная плотность разрешённых состояний т е число электронов в единице объёма с энергией Е приходящихся на единичный интервал энергии по определению есть

max( ) ( ) ( )( ) N E dE N E dN E dN dpn E

dE dE dp dE+ minus

= = = =

( )3 22 3 14 2 const см Дж m h E Eπ minus minus⎡ ⎤= equiv times ⎣ ⎦ (114)

При вычислении сложной производной использованы соотношения (110) (113) В силу (110) здесь Е ndash кинетическая энергия

Отметим что laquoотступленияraquo от классической физики касались в ос-новном обоснования размера элементарной ячейки фазового пространст-ва через соотношение неопределённости Гейзенберга которое по сущест-ву является формулировкой принципа исключения Паули на языке клас-сической физики Полученное соотношение (114) предполагает исполь-зование кинетической энергии классической частицы

Концентрация свободных носителей заряда Равновесный полупроводник

Концентрация СНЗ не содержащего примесей равновесного полу-проводника определяется соотношениями (18) Вычисление интегралов можно упростить если учитывая особенности проходящих физических процессов распространить интегрирование на бесконечные пределы Та-кой шаг оправдан поскольку почти все свободные электроны компактно располагаются на дне зоны проводимости а дырки ndash у вершины валент-

31

ной зоны Положив верхний предел интегрирования равным бесконечно-сти мы не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смысл результата сможем получить более изящные аналитические выражения

Вычисление интегралов (18) значительно упрощается также благо-даря тому что функцию ФермиndashДирака можно заменить функцией рас-пределения МаксвеллаndashБольцмана Замена возможна потому что для практически важных случаев невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько Tκ а основная масса электронов ndash в зоне проводимости на расстояниях (2 3) FE E Tκminus gt divide В этом случае в знаме-нателе уравнения (15) можно пренебречь единицей Распределением электронов становится выражение (19) где полная энергия есть сумма потенциальной энергии EC и кинетической энергии Ек

к CE E Е= + (115) а максимальная плотность разрешённых состояний (114) выражается че-рез кинетическую энергию к Е Еequiv Тогда введя обозначение к x Е Tκ= используя (19) (114) и nm m= представим соотношение (18) в сле-дующем виде

0

Ф-Д Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( )C C

E

E En n E f E dE n E f E dE

infin= =int int

М-Бmax к к к0

( ) ( )Сn E f E E dEinfin

= + =int ( )3 22 1 2

04 2

C Fx

n

E ETm h e x e dxκπ

infinminus minusminus

int

где E0 ndash уровень свободного электрона в вакууме (рис 110 рис 111) nm ndash эффективная масса электрона посредством которой учитываются осо-бенности движения в твёрдом теле Воспользовавшись табличным инте-

гралом ( )1 2

0expx x dx

infinminus =int 2π окончательно получаем

FC

C

E ETn N e κminus

minus= (116)

где ( )3 222 2C nN m T hπ κ= = ( ) ( )3 2 3 219 325 10 300 смnm m T minus⎡ ⎤sdot times ⎣ ⎦

имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости Определение концентрации дырок в приближении распределения

МаксвеллаndashБольцмана сводится к вычислению интеграла (18) для (17) ( )( ) exp Fpf E E E Tκasymp minus⎡ ⎤⎣ ⎦ где полная энергия дырки равна кVE E Е= minus

и (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV

32

laquoвнизraquo в сторону отрицательных значений (рис 111) max ( )кp E опреде-ляется уравнением (114) при эффективной массе дырки pm m= посред-ством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле Тогда

М-Бmax max0

( ) ( ) ( ) ( )V

V

E

p к к кp p E f E dE p E f E E dEinfin

minusinfin= minus =int int

( )3 22 1 2

04 2

F VE ExT

pm h e x e dxκπminus infinminus minus= int где кx Е Tκ= Окончательно

F V

V

E ETp N e κminusminus

= (117)

где ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 19 32 2 25 10 300 смV p pN m T h m m Tπ κ minus⎡ ⎤= = sdot times ⎣ ⎦ ndash

эффективная плотность состояний в валентной зоне Отметим что полученные соотношения задают количество носите-

лей заряда в единице объёма но не закон их распределения по энергиям Таким образом концентрация СНЗ полупроводника при данной тем-

пературе однозначно определяется положением уровня Ферми Всякое изменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному из-менению концентрации носителей и обратно ndash изменение концентрации будь то за счёт температуры легирования примесями засветки и т д вы-зывает изменение положения уровня Ферми

Количество носителей заряда определяется процессами тепловой генерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов а также обратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны (рис 113 и ниже рис 126 рис 128) Про-цессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят не-прерывно и параллельно Равновесное состояние есть результат динами-ческого равновесия этих процессов При этом однако произведение кон-центраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда зависящим от температуры) равным квадрату собственной концентрации полу-проводника Действительно учитывая что в собственном полупроводни-ке носители образуются парами и 2 in p n= equiv после почленного перемно-жения выражений (116) и (117) получим

2 constinp n= = = (118а)

( )3 231 2 3231 10 g gC V

E T E Tn pN N e m m m T eκ κminus minus= = sdot times

где in ndash собственная концентрация Такова особенность равновесного состояния полупроводников Нижняя строчка этих равенств раскрываю-щая произведение зависит только от температуры и ширины запрещён-

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

31

ной зоны Положив верхний предел интегрирования равным бесконечно-сти мы не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смысл результата сможем получить более изящные аналитические выражения

Вычисление интегралов (18) значительно упрощается также благо-даря тому что функцию ФермиndashДирака можно заменить функцией рас-пределения МаксвеллаndashБольцмана Замена возможна потому что для практически важных случаев невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько Tκ а основная масса электронов ndash в зоне проводимости на расстояниях (2 3) FE E Tκminus gt divide В этом случае в знаме-нателе уравнения (15) можно пренебречь единицей Распределением электронов становится выражение (19) где полная энергия есть сумма потенциальной энергии EC и кинетической энергии Ек

к CE E Е= + (115) а максимальная плотность разрешённых состояний (114) выражается че-рез кинетическую энергию к Е Еequiv Тогда введя обозначение к x Е Tκ= используя (19) (114) и nm m= представим соотношение (18) в сле-дующем виде

0

Ф-Д Ф-Дmax max( ) ( ) ( ) ( )C C

E

E En n E f E dE n E f E dE

infin= =int int

М-Бmax к к к0

( ) ( )Сn E f E E dEinfin

= + =int ( )3 22 1 2

04 2

C Fx

n

E ETm h e x e dxκπ

infinminus minusminus

int

где E0 ndash уровень свободного электрона в вакууме (рис 110 рис 111) nm ndash эффективная масса электрона посредством которой учитываются осо-бенности движения в твёрдом теле Воспользовавшись табличным инте-

гралом ( )1 2

0expx x dx

infinminus =int 2π окончательно получаем

FC

C

E ETn N e κminus

minus= (116)

где ( )3 222 2C nN m T hπ κ= = ( ) ( )3 2 3 219 325 10 300 смnm m T minus⎡ ⎤sdot times ⎣ ⎦

имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости Определение концентрации дырок в приближении распределения

МаксвеллаndashБольцмана сводится к вычислению интеграла (18) для (17) ( )( ) exp Fpf E E E Tκasymp minus⎡ ⎤⎣ ⎦ где полная энергия дырки равна кVE E Е= minus

и (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV

32

laquoвнизraquo в сторону отрицательных значений (рис 111) max ( )кp E опреде-ляется уравнением (114) при эффективной массе дырки pm m= посред-ством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле Тогда

М-Бmax max0

( ) ( ) ( ) ( )V

V

E

p к к кp p E f E dE p E f E E dEinfin

minusinfin= minus =int int

( )3 22 1 2

04 2

F VE ExT

pm h e x e dxκπminus infinminus minus= int где кx Е Tκ= Окончательно

F V

V

E ETp N e κminusminus

= (117)

где ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 19 32 2 25 10 300 смV p pN m T h m m Tπ κ minus⎡ ⎤= = sdot times ⎣ ⎦ ndash

эффективная плотность состояний в валентной зоне Отметим что полученные соотношения задают количество носите-

лей заряда в единице объёма но не закон их распределения по энергиям Таким образом концентрация СНЗ полупроводника при данной тем-

пературе однозначно определяется положением уровня Ферми Всякое изменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному из-менению концентрации носителей и обратно ndash изменение концентрации будь то за счёт температуры легирования примесями засветки и т д вы-зывает изменение положения уровня Ферми

Количество носителей заряда определяется процессами тепловой генерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов а также обратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимости и дырок из валентной зоны (рис 113 и ниже рис 126 рис 128) Про-цессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят не-прерывно и параллельно Равновесное состояние есть результат динами-ческого равновесия этих процессов При этом однако произведение кон-центраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда зависящим от температуры) равным квадрату собственной концентрации полу-проводника Действительно учитывая что в собственном полупроводни-ке носители образуются парами и 2 in p n= equiv после почленного перемно-жения выражений (116) и (117) получим

2 constinp n= = = (118а)

( )3 231 2 3231 10 g gC V

E T E Tn pN N e m m m T eκ κminus minus= = sdot times

где in ndash собственная концентрация Такова особенность равновесного состояния полупроводников Нижняя строчка этих равенств раскрываю-щая произведение зависит только от температуры и ширины запрещён-

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

33

ной зоны Поэтому соотношение (118а) остаётся справедливым как для собственного так и для примесного полупроводника независимо от кон-центрации носителей заряда и примесей17 Единственное налагаемое ог-раничение состоит в том чтобы не нарушались условия при которых распределение носителей может определяться статистикой МаксвеллаndashБольцмана (19) Единицей в знаменателе формулы (15) можно пренеб-речь если уровень Ферми находится в запрещённой зоне не ближе (2 divide 3)κТ от границ разрешённых зон Для комнатной температуры это поряд-ка (50 divide 80)middot103 эВ при ширине запрещённой зоны (07 divide 143) эВ у про-мышленно используемых полупроводников

Постоянство произведения концентраций носителей означает что увеличение концентрации одних носителей с необходимостью со-провождается уменьшение концентрации носителей заряда другого знака

По аналогии с известным законом химических реакций уравнение (118а) названо законом действующих масс Закон справедлив когда концентрация носителей собственных и примесных полупроводников оп-ределяется только температурой В неравновесном состоянии концентра-ции носителей зависят от внешних воздействий поэтому 2inp nne

Таким образом равновесное состояние в полупроводнике наступает при одновременном соблюдении двух взаимосвязных физических усло-вий

условия динамического равновесия (118) или закона действующих масс и

условия электрической нейтральности (11) либо (12) (13) Равновесное состояние полупроводника можно образно характеризовать как состояние электрического и динамического равновесия

Собственный полупроводник Из (118а) следует что собственная концентрация как параметр по-

лупроводникового материала при данной температуре зависит только от ширины запрещённой зоны полупроводника

2 23 2const g gC V

E T E Tin N N e T eκ κminus minus= = times (118б)

Из (118а) видно также что температурная (в данном случае экспоненци-альная) зависимость параметров является принципиальной особенностью полупроводников Стенная зависимость создаёт эффекты второго порядка по сравнению с экспоненциальной

В собственном полупроводнике п = р Положение уровня Ферми соб-ственного полупроводника можно определить из равенства соотношений (116) и (117)

34

3ln ln2 2 2 4 2

C V C C V C VF

V

p

n

mE E N E E E ETE TN m

κ κ+ + +

= + = + asymp

Поскольку n pm masymp (Таблица 13) приходим к выводу что в собственном полупроводнике уровень Ферми находится примерно в середине запре-щённой зоны Действительно если iE minus энергетический уровень середи-ны запрещённой зоны то frac12 frac12 C Vi g i gE E E E E E= + = minus Тогда

frac12( ) C V FiE E E E+ = (119) Уровень iE принято называть собственным уровнем полупроводника18

Учитывая (119) из (116) (117) для собственной концентрации но-сителей получаем

( ) ( ) i iC VC V

E E T E E Ti in N e N e pκ κminus minus minus minus= = =

Собственный уровень и собственная концентрация являются параметрами материала

Добавляя iEplusmn в показатели экспонент соотношений (116) (117) выразим концентрацию носителей через параметры полупроводника

( ) iFE E Tin n e κminus= (120а)

( ) iFE E Tip n e κminusminus= (120б)

В таком представлении концентрация носителей зависит только от относительного расстояния уровня Ферми до середины запрещённой зоны полупроводника Поэтому полученные соотношения справедливы как для собственных так и для примесных полупроводников Отсюда ( )ln F i iE E T n nκ= + (121а)

( )ln F i iE E T p pκ= minus (121б)

Квазиуровни Ферми произведение неравновесных концентраций В состоянии равновесия как собственный так и примесный полупро-

водник будут иметь единый для электронов и дырок уровень Ферми Од-нако в неравновесном состоянии электронно-дырочная система носителей заряда полупроводника не может быть описана единым уровнем Ферми Действительно например нагревание собственного полупроводника или поглощение излучения с энергией квантов gh Eν ge приводит к увеличе-нию числа разрывов ковалентных связей и повышает концентрацию как электронов так и дырок Но при увеличении концентрации электронов уровень Ферми согласно (121а) должен подниматься вверх а при увели-чении концентрации дырок он же согласно (121б) должен опускаться вниз Выход (как это сделал Шокли) состоит в том чтобы обобщить соот-

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

35

ношения статистики на неравновесные состояния если вместо единого Ферми формально ввести квазиуровень Ферми FnE для электронов и от-дельный квазиуровень Ферми FpE для дырок Тогда уже через квазиу-ровни Ферми соотношения (116) (117) (120) для неравновесных кон-центраций будут иметь такой же вид как и в случае равновесия

0( ( iF FC n n

CE E T E E T

in n n N e n eκ κminus minus minus= plusmn Δ = = (122а) ( )

0( ) iFp V Fp

VE E T E E T

ip p p N e n eκ κminus minus minus minus= plusmn Δ = = (122б) где через 0 0n p обозначены равновесные концентрации которые должны удовлетворять соотношению (118а) Но теперь произведение концентра-ций 2inp nne Для неравновесного состояния используя (122) получаем

20 0

( ) ( ) ( ) g Fn Fp Fn Fp Fn FpC V

E E T E E T E E TE Tinp N N e e n p e n eκ κ κκ minus minus minusminus= = = (123)

В равновесном состоянии уровень Ферми единый F F Fn pE E E= = Соотношения (118а) (123) совпадают Единство и постоянство

0FdE dx = уровня Ферми является необходимым и достаточным услови-ем состояния равновесия Неравновесное состояние и следовательно ко-нечная разность квазиуровней Ферми возникает вследствие внешних фак-торов например напряжения приложенного к полупроводниковому при-бору или инжекции в полупроводник носителей заряда

Представления о параметрах некоторых широко используемых в электронике собственных полупроводников даёт таблица 13

Т а б л и ц а 13

Ge Si GaAs InSb эВgE 072 112 143 018 эВaE 40 405 407 459

3 смin minus 24middot1013 15 1010 2 106 2 1016 3 смCN minus 104middot1019 28middot1019 47middot1017 42 1016 3 смVN minus 61middot1018 102middot1019 70middot1017 73 1018

nm 022m 033m 0072m

pm 031m 056m 05m m minus масса изолированного электрона Еа ndash электронное сродство

36

Примесный полупроводник

При определении концентрации ОНЗ в примесном (для определённо-сти электронном) полупроводнике необходимо исходить из того что в равновесном состоянии одновременно должны выполняться два физиче-ских условия bull условие элекрической нетральности (12) 0 0n n Dn p N= +

bull и закон действующих масс (118) ndash 20 0 n n ip n n=

Индексы n и p в формулах обозначают электронный и дырочный тип проводимости сответственно а индекс 0 показывает что рассматривается равновесная концентрация полупроводника

Подставив 0 02

n i np n n= в (12) получим квадратичное уравнение 2 2

0 0 0Dn n in n N nminus minus = Из решения этого уравнения19

( ) ( )2 20 1 1 2 1 1 2D D D Dn i in N n N N n N⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + asymp + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

frac12 frac12 frac12

заключаем что в области температур20 где Din N концентрация ОНЗ электронного полупроводника равна концентрации доноров21

0 Dnn Nasymp (124) Из решения аналогичного уравнения для дырочного полупроводника

определим что в области температур где Ain N концентрация ОНЗ-дырок равна концентрации акцепторов

0 App Nasymp (125) Из (121) учитывая (124) (125) определим положение уровня

Ферми в электронном и дырочном полупроводнике соответственно ( ) ( )0ln ln F Dn i n i i iE E T n n E T N nκ κ= + = + (126а)

( ) ( )0ln ln Fp Ai p i i iE E T p p E T N pκ κ= minus = minus (126б)

Значит чем выше степень легирования тем ближе уровень Ферми ко дну зоны проводимости электронного полупроводника или к вершине валент-ной зоны дырочного полупроводника

В реальных условиях соотношения (124) (125) практически всегда выполняются С учётом закона действующих масс (118) это означает что чем выше концентрация примеси тем выше концентрация ОНЗ и ниже концетрация ННЗ

2 20 0 0 0 0 D Dn n n i n i nn p N p n p n N n= rArr (127а)

0 0 0 0 02 2 p p A A pp i p ip n N n n n n N p= rArr (127б)

Например для кремния легированного донорной примесью с концентра-цией ND = 1015 см ndash3 при ni = 1010 см ndash3 концентрация ННЗ-дырок равна

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

37

2 5 30 10 см Dn ip n N minus= = что на 5 порядов ниже собственной концентра-

ции кремния и 10 порядков ниже концентрации ОНЗ-электронов равной 0 Dnn N Ясно что электрическая проводимость будет в основном

электронной В кубическом сантиметре твёрдого тела содержится приблизительно

1022 атомов Рассмотренный пример показывает что внедрение только одного атома примеси на 10221015 = 107собственных атомов превращает биполярную проводимость собственного полупроводника практически в монополярную проводимость примесного Тип проводимости опреде-ляется примесью Высокая чувствительность свойств полупроводника ко всякого рода примесям и дефектам выдвигает жёсткие требования к технологии производства

Температурная зависимость концентрации носителей

Полученные в предыдущем разделе соотношения и сделанные выво-ды основаны на предположени что концентрация примеси существенно превышает собственную концентрацию полупроводника ( ) D Ain N N Однако сама собственная концентрация (118б) экспоненциально зависит от температуры Поэтому естественно возникает вопрос о характере температурной зависимости концентрации носителей тока в примесном полупроводнике ибо она определяет температурную зависимость параметров полупроводниковых приборов

В примесном полупроводнике свободные носители заряда образуются за счёт ионизации как примесных так и собственных атомов (рис 113) Однако для ионизации собственных атомов и перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия равная ширине запрещённой зоны В то время как для ионизации примесных атомов и например перевода электрона с примесного уровня в зону проводимости требуется многократно меньшая энергия Поэтому при каждой данной температуре вклад этих процессов в концентрацию носителей различен и зависит от температуры

Экспериментальные зависимости концентрации электронов от темпе-ратуры в кремнии и германии легированных донорной примесью приведены на рис 117 Температурные зависимости имеют три характерные области

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний решётки мала по сравнению с энергией ионизации донорной примеси Доноры ионизированы лишь частично22 Концентрация свободных элек-тронов незначительна но экспоненциально растёт с увеличением темпе-ратуры по мере ионизации доноров Основную роль играют переходы электронов в зону проводимости с примесных уровней

38

С повышением температуры средняя энергия фононов сравнивается с энергией ионизации доноров оставаясь однако значительно меньше ширины запрещённой зоны В этой области температур практически все атомы донорной примеси ионизированы и их электроны находятся в зоне проводимости Вместе с тем средняя энергия тепловых колебаний ещё недостаточна для того чтобы перебрасывать электроны из валентной зо-ны в зону проводимости и повышать концентрацию носителей за счёт

переходов laquoзонаndashзонаraquo С этого момента и до температур при которых энергия тепловых колебаний практически сравнивается с шириной запре-щённой зоны дальнейшее повышение температуры не приводит к замет-ному увеличению концентрации электронов Такое состояние полупро-водника называется состоянием примесного истощения в том смысле что примесные уровни laquoистощилисьraquo отдав свои электроны в зону про-водимости

В области этих температур протяжённостью в несколько сотен гра-дусов абсолютной шкалы концентрация ОНЗ-электронов практически не зависит от температуры (рис 117) и равна концентрации доноров

D Din n N N+= asymp Выполняются условия использованные ранее для расчёта концентрации носителей (124) (125) в примесном полупроводнике Остающаяся неко-торая температурная зависимость концентрации обязана фактам иониза-ции собственных атомов решётки Однако она незначительна т к собст-венная концентрация in n

Состояние примесного истощения важное своей температурной ста-бильностью концентрации основных носителей заряда наступает тем раньше чем меньше концентрация примеси и ниже энергия её ионизации

Рис 117 Температурные зависи‐мости концентрации электронов в кремнии легированном мышьяком (As ND = 115 10

16 смndash3) и в герма‐нии легированном мышьяком (As

ND = 75 1015 смndash3)

Экспоненциальные участки кривых слева соответствуют области иони-зации примеси горизонтальные участки ndash области примесного истощения и примесной проводи-мости экспоненциальные участки кривых справа ndash области собствен-ной электропроводимости Штриховые кривые описывают температурные зависимости собст-венных концентраций Si и Ge [5]

2

1

Концентрация п

1016

см-3

Температура Т ordmК100 200 300 400 500 600

Si n

Ge n

Si niGe ni

27ndash73 127 327 ordmСndash173 227

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

39

В зависимости от характера примеси нижняя граница температур (начальная температура) области примесного истощения может состав-

лять несколько десятков градусов абсолютной шкалы т е сотни градусов отрицательных температур шкалы Цельсия23

В области более высоких температур средняя энергия фононов начи-нает превышать ширину запрещённой зоны Концентрация СНЗ (118б) экспоненциально растёт Ионизация собственных атомов создаёт пару СНЗ i in p= Примесный полупроводник приобретает свойства собствен-ного (рис 118)

Верхняя граница ndash максимальная (конечная) температура состояния примесного истощения Tmax ndash опреде-ляется как температура при которой собственная концентрация сравнива-ется с концентрацией легирующей примеси ni = ND На рис 119 приве-дены зависимости Tmax от степени легирования N для Ge (Eg = 072 эВ) Si (Eg = 112 эВ) и GaAs (Eg = 143 эВ)

Область температур примесного истощения заканчивается и состоя-ние собственной проводимости на-ступает тем позже чем выше концен-трация примеси и шире запрещённая зона (рис 117 рис 119) Примесная

Рис 119 Зависимость верх‐ней границы примесного ис‐тощения Tmax от концентрации примеси для GaAs Si и Ge

1013 1014 1015 1016 1017

Концентрация примеси N смndash3

GaAs

Si

Ge

T max

ordmK

600

500

400

300

200

100

0

32

227

127

27

ndash73

ndash173

ndash273

t max

ordmC

Рис 118 Температурная зави‐симость концентрации элек‐

тронов и дырок для Ge Сплошные кривые ndash ОНЗ-

электроны штриховые кривые ndash ННЗ-дырки

1) ND ndash NA = 0 2) ND ndash NA = 1012 см ndash3 3) ND ndash NA = 1014 см ndash3 4) ND ndash NA = 1016см ndash3 В состоянии примесного истощения концентрация ОНЗ-электронов не зависит от тем-пературы Концентрация ННЗ экспоненциально возрастает

1017

1015

1013

10111 2 3 4 5

1234

2

3

4

250 200300400500

п или р

degK227 127 27 ndash27 ndash73 degС

Обратная температура 103ТdegK

40

проводимость уступает место биполярной собственной проводимости

Положение уровня Ферми и тип проводимости Электрическая проводимость зависит от концентрации носителей

Последняя однозначно определяется положением уровня Ферми Тип проводимости зависит от соотношения концентраций электронов и дырок Для определения зависимости положения уровня Ферми равновесного полупроводника от соотношения концентраций носителей разделим по-членно выражения (116) и (117)

( ) ( )2 V FCV C

E E E Tp n N N e κ+ minus= Отсюда пренебрегая неравенством эффективных масс носителей и учи-тывая (119) определим

( ) ( ) ( )frac12 frac12 ln frac34 lnF C V p nE E E T n p T m mκ κ= + + + asymp

( )frac12 ln iE T n pκasymp + (128)

Значит когда n p= ( )ln 0n p = F iE Easymp полупроводник собственный Если n pgt то F iE Egt преобладает электронная проводимость полу-проводник электронный Если n plt то F iE Elt преобладает дырочная проводимость полупроводник дырочный Таким образом по положению уровня Ферми можно судить о преобладающей концентрации носителей и типе проводимости полупроводника (рис 120)

Из (128) следует что при изменении концентрации уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей концентрацией носителей за-ряда Этим он похож на точку опоры равновесного коромысла которая всегда приближается к более нагруженному плечу (рис 121)

У невырожденного полупроводника уровень Ферми находится в за-прещённой зоне Однако следуя этой логике уровень Ферми сильно леги-

p gt n

а)

EF

EF EF Ei Ei

n = p n gt p

б) в) EV

EC

Рис 120 Положение уровня Ферми и тип проводимостиа) F iE E проводимость дырочная б) F iE E= проводимость собствен-ная в) F iE E проводимость электронная Штриховые линии ndash уровень Ферми FE штрихпунктирные линии ndash собственный уровень iE

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

41

рованных полупроводников может находиться в зоне разрешённых со-стояний

Сильно легированные полупроводники у которых уровень Ферми находится в разрешённой зоне называют-ся вырожденными Далее в главе 2 мы увидим что на та-ких полупроводниках форми-руются туннельные и обра-щённые диоды

Изгиб энергетических зон и электрическое поле Значение энергии отли-

чается от потенциала множи-телем E qϕ= minus где 0q gt ndash элементарный электрический заряд ϕ ndash потенциал Отсюда

xdE dq qdx dx

ϕ= minus = rArrE 1 1 x

dE Eq dx q

= equiv nablaE

где xE ndash проекция вектора напряжённости электрического поля на ось х пространственных координат Для определённости удобно пользоваться собственным уровнем Ферми полупроводника Уровень Ei однозначно характеризует наклон энергетических зон значит величину и направле-ние вектора напряжённости электрического поля

1 1 gradi iE Eq q

= nabla =E (129)

Направление вектора напряжённости электрического поля совпадает с направлением градиента (возрастания) энергии собственного уровня по-лупроводника Тангенс угла наклона пропорционален модулю напряжён-ности поля а знак определяет направление вектора напряжённости элек-трического поля При положительном знаке вектор напряжённости совпа-дает с положительным направлением оси координат при отрицательном ndash противоположен

Из (129) следует что всякий наклон энергетических зон свидетель-ствует о наличии в этой области электрического поля и обратно область электрического поля сопровождается изгибом энергетических зон

Формально полученное соотношение (129) согласуется с направле-нием физических процессов происходящих в полупроводнике помещён-

Валентная зона

Зона проводим

ости

EF

EF

EF

Eg EC EV

n = p

n lt p

б)

в)

+ +

+ +

+ +

+ +

ndashndashndashndash

ndash

n gt p

а)

ndashndashndash

Рис 121 Поло‐жение уровня

Ферми а) в собствен-ном б) в элек-тронном (в) в дырочном невы-рожденном по-лупроводнике Подобно точке опоры равновес-ного коромысла уровень Ферми всегда движется в сторону зоны с большей кон-центрацией но-сителей заряда

42

ном в электрическое поле На рис 122 показаны зонные диаграммы (А) и графики напряжённости электрического поля (Б) в поверхностном слое полупроводника24 когда внешнее поле направлено перпендикулярно его поверхности х = 0 Электрическое поле проникающее на некоторую глу-бину в поверхностный слой изолированного в частности собственного полупроводника вызывает перераспределение СНЗ Электроны притяги-ваются к поверхности дырки оттесняются в объём (рис 122а) Согласно (120аб) повышение концентрации электронов и уменьшение концентрации дырок возможно если Ei уменьшается (снижается) Значит зоны в области существования электрического поля должны изогнуться laquoвнизraquo относительно положения уровня Ei в объёме где поле отсутствует В электрическом поле противоположного направления повышение концентрации дырок и уменьшение концентрации электронов в поверхностном слое вызывает изгиб зон laquoвверхraquo (рис 122б)

Заряд поверхности В теории и технике полупроводников поверхность занимает особое

место ибо она является естественной неоднородностью прерывающей пространственную периодичность кристаллической решётки Разрыв кри-сталлической решетки оставляет на поверхности несформировавшиеся (разорванные) ковалентные связи которые создают в запрещённой зоне полупроводника большое количество разрешённых состояний играющих роль ловушек Плотность этих состояний соизмерима с плотностью ато-мов на свободной поверхности кристалла что составляет величину по-рядка 1015 смndash2 Захватывая или теряя заряд свободных носителей поверх-ностные состояния формируют естественный заряд поверхности полупро-водника QSS [Клсм2] и заряжают поверхность Плотность поверхностных зарядов отнесённая к заряду электрона NSS = QSSq находится в пределах

E

EC EСEF

EV EV

xx

EF

E

а) б)

А)

Б)

ndash ndash

+ +

( )1 0iq E= nabla ltE( )1 0iq E= nabla gtE

Ei

Ei

Рис 122 Изгиб зон в элек‐трическом поле

А) ndash энергетические зонные диаграммы Б) ndash напряжённость электри-ческого поля а) вектор напряжённости электрического поля направ-лен по оси x б) противоположное направ-ление вектора напряжённо-сти электрического поля

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

43

1010 divide 1011 смndash2 для кремния и составляет величину порядка 1013 смndash2 для арсенида галлия Знак заряда поверхности как правило совпадает со зна-ком заряда основных носителей

Возможный механизм формирования заряда поверхности показан на рис 123 В электронном полупроводнике атомы донорной примеси отда-ют пятый электрон не в зону проводимости (как в объёме) а на разрешён-ные поверхностные состояния в запрещённой зоне (рис123а) Уход элек-тронов с донорных уровней на поверхностные состояния n-полупро-водника заряжает поверхность отрицательно QSS lt 0 и создаёт в прилежа-щей области положительный объёмный заряд обнажённых ионов донор-ной примеси ОПЗ 0DQ qN w+ + gt= где ND ndash концентрация донорной примеси w ndash размер области ОПЗ Созданное поверхностным зарядом электриче-ское поле (направленное из объёма к поверхности) вытесняет ОНЗ-элек-троны из приповерхностного слоя в объём и согласно (129) (120а) вызы-вает изначальный изгиб энергетических зон laquoвверхraquo (рис 122б рис 123а)

Аналогично уход электронов с поверхностных состояний на уровни акцепторной примеси р-полупроводника заряжает поверхность положи-тельно и создаёт в прилежащей области отрицательный объёмный заряд ионов акцепторной примеси ОПЗ 0AQ qN wminus minus lt= где NA ndash концентрация ак-цепторной примеси w ndash размер ОПЗ Созданное электрическое поле на-

Рис 123 Модель образования заряда поверхности А) Зонные диаграммы Б) Заряды в поверхностном слое

а) электронный полупроводник приход электронов на поверхностные состояния заряд поверхности QSS lt 0 б) дырочный полупроводник уход электронов с поверхностных состояний заряд поверхности QSS gt 0

ρ(х)ρ(х)

ОПЗQ++

ndash

0SSQ+ gt

0SSQminus lt ОПЗQminus

E E

х

х

w

w

а) б)0

0

EVEV

EC EC

NA

ND ++ +

+++

ndashndashndash

ndash ndash ndash

Поверхность

Поверхность

+

ndash

ndashndash

+

А)

Б)

44

правлено от поверхности в объём (рис 122а рис 23б) Зоны изгибаются вниз что соответствует соотношениям (129) (120)

Распределение концентрации носителей заряда по энергиям

Распределения концентраций носителей заряда по энергиям (16а) (16б) выражаются через произведение максимальной плотности разрешённых состояний (114) на вероятность занятия энергетического уровня (15) или (17) Процедура графического перемножения этих кривых пояснена на рис 124 на примере собственного полупроводника

На рис 124а во встречно-вложенной системе координат которая здесь в отличие от рис 116 имеет вертикальную ориентацию изображе-ны графики используемых функций Функция ФермиndashДирака изображена сплошной жирной кривой и расположена таким образом чтобы кривая пересекала уровень Ферми Ei на ординате равной 05 Графики функций (114) максимальной плотности разрешённых состояний электронов

max ( )n E и дырок max ( )p E расположенные соответственно в зоне про-водимости и валентной зоне изображены жирными штриховыми кривыми Предполагается что положение осей ординат этих кривых совпадает с энегетическими уровнями EC EV соответствено а их направления ndash противоположны и совпадают с напрвлениями осей ординат соответствующих функций распределений n(E) и p(E) Искомые графики распределения концентрации носителей заряда по энергиям (результат перемножения) заштрихованы

EVEV

EС EС

Ei EF

E

fФ-Д р(E)

0

п(E)

р(E)

пmax(E)

рmax(E)

0 05

05 10

10

а) б)

E

Энергия электрона

Энергия дырки

fp(E)

п(E)

Рис 124 К процедуре графиче‐ского определения распределе‐ния концентрации носителей в собственном полупроводнике

а) графики во встречно-вложенной системе ко-ординат функций Фер-миndashДирака (жирная кри-вая) максимальной плот-ности разрешённых сос-тояний (штриховая кри-вая) распределения элек-тронов и дырок (заштри-ховано) б) распределение кон-центрации носителей за-ряда по энергиям

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

45

На рис 124б приведены результаты графических перемножений в общепринятом виде Оси ординат графиков направлены одинаково слева направо вдоль уровней EC EV Кривые распределений электронов и дырок идентичны и ограничивают равновеликие площади что отражает равенство концентраций электронов и дырок in p n= = в собственном полупроводнике Носители зарядов распределены в разрешённых зонах неравномерно Основное количество свободных электронов находится выше дна зоны проводимости в пределах области занимающей несколько

Tκ Энергия электронов отсчитывается laquoвверхraquo Поэтому указанное распределение соответствует минимуму их потенциальной энергии Основное количество дырок сосредоточено в пределах области занимающей несколько Tκ ниже вершины валентной зоны Энергия дырок отсчитывается laquoвнизraquo поэтому минимум их потенциальной энергии соответсвует вершине валентной зоны Максимум распределений находится в пределах единиц Tκ от границ разрешённых зон

По аналогичной процедуре построены кривые распределения кон-центрации носителей заряда в примесных полупроводниках приведённые на рис 125

Рис 125 Распределение концентраций носителей заряда по энергиям вдырочном (а) собственном (б) электронном (в) полупроводниках

А) графики функций используемых для построения распределений Б) распределение концентраций носителей заряда по энергиям

pp(E) nn(E) ndash распределение ОНЗ pn (E) np(E) ndash распределение ННЗ

в)б)а)

E E E

EС EС EСEF

EFp

EFп

EV EV EV

np(E) n(E) nn(E)

pp(E) p(E) pn (E)

EFp EF EFn

E i E i E i

Б)

А)

46

На рисунках 125А показаны графики используемых функций Тон-ким пунктиром обозначен также прямоугольный график функции ФермиndashДирака для температуры Т = 0 К Его горизонтальная грань является уров-нем Ферми соответствующего полупроводника Кривые функций ФермиndashДирака для Т gt 0 пересекают этот график ровно по уровню 05 при любом положении уровня Ферми в запрещённой зоне

Уровень Ферми EFp дырочного полупроводника располагается ниже середины запрещённой зоны Следствием становится смещение графика функции ФермиndashДирака вниз уменьшение площади под кривой рас-пределения np(E) ННЗ-электронов в зоне проводимости и соответству-ющее увеличение площади под кривой распределения pp(E) ОНЗ-дырок в валентной зоне поскольку в дырочном поупроводнике 0 0p pp n

Уровень Ферми ЕFn электронного полупроводника располагается выше середины запрещённой зоны График функции ФермиndashДирака сме-щается вверх Площадь под кривой распределения ( )nn E ОНЗ-электронов в зоне проводимости увеличивается а площадь под кривой распределения

( )np E ННЗ-дырок валентной зоне соответственно уменьшается поскольку в электронном полупроводнике 0 0 n nn p

Для удобства сравнения на рис 125б приведено также распределение СНЗ в собственном полупроводнике в ином масштабе повторяющее рис 124 Здесь площади под кривыми распределения одинаковы поскольку в собственном полупроводнике in p n= = По идее площади под кривыми распределений примесных полупроводников должны быть такими чтобы выполнялось условие (118а) Однако в силу естественных причин и ради наглядности рисунка это условие не соблюдено

13 Рекомбинация носителей заряда От динамического равновесия между процессом генерации носи-

телей и обратными процессом их рекомбинации зависит концентрация свободных носителей заряда в полупроводнике

На энергетической диаграмме акт генерации интерпретируется как переход электрона из валентной зоны в зону проводимости и обозна-чается стрелкой (рис 126) Энергия необходимая для разрыва валентной связи и переброса электрона в зону проводимости должна быть равна по крайней мере ширине запрещённой зоны

Рекомбинация есть обратный процесс перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону Обозначается стрелкой противо-положного направления

В электронно-дырочных генерационно-рекомбинационных процес-сах как и при взаимодействиях других элементарных частц должны

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

47

выполняться законы сохранения энергии и импульса Из закона сохране-ния энергии следует что рекомбинация сопровождается выделением энергии в частности излучением Такая рекомбинация когда свободный электрон из зоны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой из валентной зоны в одном элементарном акте называется прямой рекомбинацией занаndashзона в частности прямой излучательной рекомбинацией (рис 126а) Однако вероятность прямой излучательной рекомбинации у широкозонных полупроводников мала

Необходимость выполнения закона сохранения импульса накла-дывает жёсткие ограничения на характер взаимодействия частиц и воз-можность акта рекомбинации Прямая излучательная рекомбинация осложняется тем что импульс фотона ФТp h cν= очень мал Отсюда сле-дует что рекомбинация возможна если электрон и дырка имеют прибли-зительно одинаковые и встречно направленные импульсы (рис 127)

Гораздо более вероятными являются механизмы рекомбинации с участием третьего тела за счёт которого облегчается выполнение законов сохранения Таковыми могут быть ещё один свободный носитель (рис 126б рекомбинация Ожэ) или центры рекомбинации (ловуш-ки) в запрещённой зоне Роль ловушек могут играть например примесные атомы либо различные структур-ные дефекты решётки (рис 126в рис 128)

Наиболее распространёнными явлются непрямые механизмы рекомбинации через (ловушки) центры рекомбинации (уровни разрешённых состояний) рас-положенные в запрещённой зоне Переход электрона из зоны проводимости в валентную зону и рекомбинация с дыркой происходит двумя этапами (рис 128в) Сначала свободный электрон захватывается ловушкой ndash переходит из зоны проводимости на пустой энергетический уровень ловушки Затем происходит захват дырки из валентной зоны на заполненный злектроном центр рекомбинации и сам

Рис 127Суммирова‐ние импуль‐

сов

+

ФТp

ndash

Рис 126Механизмы рекомбинации носителей заряда

+

ndash

Ei

EC

EV

g

+ + ++

ndash ndashndash

r

а) б) в)

Ei asympEt

timestimes

а) прямая излучательная рекомбинация r генера-ция носителей g б) рекомбинация Ожэ в) рекомбинация через глубокие центры Пунктирная стрелка ndash захват дырки

48

акт рекомбинации Свободная дырка рекомбинирует со связанным (третьим участником) электроном Именно это облегчает выполнение законов сохранения Последний этап эквивалентен эмиссии (переходу) электрона с уровня ловушки в валентную зону

Ловушки мелкого залегания расположенные в запрещённой зоне около дна зоны проводимости или вершины валентной зоны захватывают носитель заряда одного знака (рис 128аб) Однако из-за значительного энергетического интервала вероятность захвата носителя заряда противоположного знака и следовательно вероятность рекомбинации невелика Возвращая через некоторое время захваченный носитель в зону такие ловушки существенно влияют на время жизни

Глубокие ловушки (центры рекомбинации) расположенные пример-но в середине запрещённой зоны в силу своей равноудалённости облада-ют примерно одинаковой вероятностью захвата носителей заряда обеих знаков (рис 128в) Вероятность рекомбинации максимальна

Мерой генерационно-рекомбинационных процессов является число актов рекомбинации в единице объёма за единицу времени R [смndash3сndash1] Эту величину принято называть скоростью рекомбинации Поскольку про-цессы генерации и рекомбинации происходят параллельно и рекомбини-руют носители парами формула для результирующей скорости рекомби-нации представляет собой разность скорости собственно процесса реком-бинации и процесса генерации R r g= minus где r ndash истинная скорость ре-комбинации g ndash скорость генерации обязанные естественным внутрен-ним (не внешним) термодинамическим процессам

Согласно теории ШоклиndashРидаndashХолла результирующая скорость ре-комбинации через ловушки определяется соотношением25

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )i

p n p n

pn n p pn nR r g

n n p p n n p pτ τ τ τminus minus

= minus = =+ + + + + +

(130)

где 20 0in n p= minus равновесное значение произведения концентраций

(118а) 1 1p n ndash концентрации дырок и электронов в случае когда уровень

Рис 128 Рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации

Ei

+

ndash

а) б) в)

Et R

+

ndash

EtR

+

ndash

Et asympEi R

а) б) рекомбинация через мелко залегающие ловушки вероятность захвата носителя противоположного знака не-велика в) рекомбинация через глу-бокие ловушки (центры ре-комбинации) вероятность за-хвата носителя противопо-ложного знака максимальна

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

49

Ферми совпадает с уровнем ловушек (или центров рекомбинации) через которые осуществляются генерационно-рекомбинационные переходы носителей pτ ndash время жизни дырок в материале п-типа nτ ndash время жиз-ни электронов в материале р-типа 26

Если tE ndash энергетический уровень ловушек27 то согласно (120)

[ ]1 exp ( ) i t in n E E Tκ= minus [ ]1 exp ( ) i t ip p E E Tκ= minus minus Тогда

R r g= minus =2

exp expt i t i

i

i p i n

pn nE E E En n p p

T Tτ τ

κ κ

minus⎡ minus ⎤ ⎡ minus ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(131)

Полагая что в силу малой концентрации ловушек времена жизни носите-лей одинаковы p nτ τ τ= equiv отсюда получим

( )

2

2 ch ( )

i

i t i

pn nR

p n n E E Tτ κminus

=⎡ ⎤+ + minus⎣ ⎦

(132)

Другим важным параметром полупроводника органически связан-ным с рекомбинацией является время жизни С точки зрения эксплуата-ционных характеристик время жизни относится к числу основных факто-ров влияющих на инерционность полупроводниковых приборов

Установим зависимость между временем жизни носителей заряда и скоростью их рекомбинации Для определённости рассмотрим электрон-ный полупроводник у которого 0 0n nn p Пусть 0 n n nn n n= + Δ

0n n np p p= + Δ и n nn pΔ = Δ Тогда подставив эти значения в (130) по-лучим

( )( ) ( )

0 0

0 1 0 1n n n n

n n p n n n

n p p pR

n n n p p pτ τ+ + Δ Δ

=+ Δ + + + Δ +

Отсюда для низкого уровня инжекции 0( ) 1n np nΔ определим

0( )n p n n p pR p p p Rτ τ= Δ = minus = rArr (133а)

n p pp R τrArr Δ = (133б)

где pR minus скорость рекомбинации ННЗ-дырок в электронном полупровод-

нике В приближении 0 1p pn pΔ аналогичные соотношения нетрудно получить для дырочного полупроводника

0( )p n p p n nR n n n Rτ τ= Δ = minus = rArr (134а)

p n nn R τrArr Δ = (134б)

50

где nR minus скорость рекомбинации ННЗ-электронов Таким образом в случае непрямых механизмов рекомбинации время

жизни скорость рекомбинации и невысокая избыточная концентрация неосновных носителей связаны линейными зависимостями (133) (134) Нередко поэтому непрямую рекомбинацию называют линейной рекомбинацией в отличие от прямой межзонной рекомбинации где указанные зависимости не являются линейными

Эксперименты свидетельствуют о том что основную роль в процес-сах естественной рекомбинации играют непрямые механизмы В частности если бы в кремнии излучательная рекомбинация была основным процессом то время жизни электронно-дырочных пар сотавило бы величину порядка 3-х часов Тогда как наблюдаемое максимальное время жизни в чистом кремнии при комнатной температуре на шесть порядков меньше (не превышают 3-х милисекунд) Сдругой стороны время жизни очень чувствительно к содержанию примесей некотрых металлов играющих роль глубоких центров рекомбинации Например внедрение 1 атома золота на 107 атомов германия (концентрация примеси

15 310 смminusasymp ) снижает время жизни на 6 порядков с 310 сminus до 8 910 10 сminus minusdivide До сих пор наше рассмотрение касалось объёмной рекомбинации

Скорость поверхностной рекомбинации принято характеризовать не-сколько иным образом

Поверхность нарушая периодическую структуру объёмной кристал-лической решётки представляет собой значительную неоднородность что создаёт большое количество разрешённых состояний в запрещённой зоне поверхностного слоя полупроводника Наличие разрешённых со-стояний повышает скорость рекомбинации на поверхности и вызывает диффузионный поток необходимых для рекомбинации носителей на-правленный из объёма к поверхности Величина потока будет тем больше чем больше актов рекомбинации значит чем выше скорость натекающего потока Темп рекомбинации на поверхности принято характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации которая и есть скорость пото-ка расходуемого на рекомбинацию носителей

Если pΔ minus избыточная концентрация расходуемых на рекомбинацию носителей то (см (136б)) за единицу времени на единичной площади рекомбинируют 2 1см сp pП S p minus minus⎡ ⎤= Δ ⎣ ⎦ носителей заряда где

[ ]см cp pS П p= Δ (135) ndash скорость потока являющаяся в данном случае скоростью поверхност-ной рекомбинации В частности на совершенном омическом контакте металлndashполупроводник носители заряда не скапливаются ( ) 0p nΔ Δ = поэтому S rarrinfin

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

51

14 Электрические токи в полупроводниках В природе существует электрический ток проводимости и электри-

ческий ток смещения Ток проводимости формируется за счёт направ-ленного переноса электрических зарядов (электронов и дырок) Ток смещения создаётся изменением (во времени) напряжённости электрического поля28

Явления направленного переноса (частиц зарядов жидкости энер-гии газа фотонов hellip) описываются через понятие laquoпотокаraquo Поток характеризуется направлением средней скоростью плотностью

Плотность потока частиц П[смndash2сndash1] есть число частиц пересе-кающих единичную площадь ортогональную потоку за единицу времени За единицу времени частица (поток) проходит путь численно равный средней скорости Поэтому независимо от механизмов переноса и природы частиц плотность потока равна произведению концентрации на среднюю скорость частиц

Поток зарядов создаёт электрический ток проводимости Очевидно что плотность тока проводимости J [Асм2] есть произведение элементар-ного заряда на плотность потока зарядов J = qП [A cмndash2] Плотность дырочного тока p pJ qП= плотность электронного тока ( )n nJ q П= minus times =

nqП= minus Знак характеризует направление тока относительно положит-ельгого направления пространственной координаты

В полупроводниках направленный перенос свободных зарядов осуществляется за счёт двух механизмов bull дрейфа в электрическом поле под действием разности потенциалов

пропорционально градиенту потенциала те напряжённости электри-ческого поля и bull диффузии под действием разности концентраций пропорционально

градиенту концентрации носителей зарядов (закон Фике) Соответственно различают дрейфовый и диффузионный токи

проводимости Однако независимо от механизма переноса плотности электронного и дырочного потоков и токов проводимости выражаются через произведение концентрации на среднюю скорость n pυ υ диффузии или дрейфа соответствующих носителей

n n n nП n J qnυ υ= = minus (136а) p p p pП p J qpυ υ= = (136б)

Диффузионный ток Диффузионный перенос зарядов осуществляется из того места где

их концентрация выше в то место где их концентрация ниже те в сто-

52

рону противоположную направлению градиента концентрации Поэтому в математические выражения диффузионного потока градиент концентра-ции всегда входит со знаком минус

Основным законом диффузии в неподвижной среде является закон Фике согласно которому плотность диффузионного потока пропорцио-нальна градиенту концентрации Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент диффузии 2[см с]D

Плотности электронных и дырочных диффузионных потоков и токов будут равны соответственно

( )диф диф дифgrad p p pр p рП D p D p J qП qD p= times minusnabla = minus = = minus nabla (137)

( ) ( ) ( )диф дифgrad n n n nn nП D n D n J q D n qD n= times minusnabla = minus = minus times minus nabla = nabla (138)

Диффузионные токи имеют противоположные направления Хотя под действием градиента электроны и дырки движутся в одном и том же на-правлении из-за разных знаков зарядов их диффузионные токи противо-

положны Таким образом

o как электронный так и дыроч-ный диффузионный поток всегда направлен из того места где кон-центрация выше в то место где концентрация ниже

o дырочный диффузионный ток всегда совпадает с направлением диффузии

o электронный диффузионный ток всегда противоположен на-правлению диффузии (из-за отрица-тельного заряда) (рис 129)

Анализируя диффузионные токи мы полагали что по умолча-нию диффузионные потоки на-правлены одинаково В этом случае

электронные и дырочные диффузионные токи имеют противоположные направления Значит при биполярной проводимости результирующий диффузионный ток является разностью составляющих и может быть ра-вен нулю Однако если диффузионные потоки направлены противопо-ложно то диффузионные токи электронов и дырок складываются

Диффузионные токи характерны для полупроводников и отсутству-ют в металлах Причина в том что в металлах где много высокопо-

x

Iр диф

p (х) n (х)

Πn

Iп диф

+

ndash

Πр

q

q

grad p (х) grad n (х)

Рис 129 Диффузионные потоки и токи для приведённого распреде‐

ления электронов и дырок Диффузионные потоки электро-нов и дырок направлены одинако-во токи minus противоположно

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

53

движных свободных электронов нельзя создать пространственно разне-сённые области с различающейся плотностью свободных зарядов В по-лупроводниках СНЗ на много порядков меньше Концентрации электро-нов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной сум-марной концентрации зарядов

Пример 11 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронногодырочного полупроводника по которому проходит диффу-зионный ток заданного направления Пусть направление электронного тока In gt 0 совпадает с положитель-

ным направлением оси x (слева направо) По условию ток диффузионный Значит электрическое поле отсутствует и согласно (129) 0iEnabla =

constiE = Следовательно энергетические зоны горизонтальны Согласно (138) направление электронного тока совпадает с направ-

лением градиента концентрации Значит градиент направлен по оси х Отсюда следует что концентрация электронов должна увеличиваться сле-ва направо В этом же направлении должен повышаться уровень Ферми поскольку согласно (120) ( )expi iFn n E E Tκ⎡ ⎤= minus⎣ ⎦ и увеличение концен-трации электронов при Ei = const должно сопровождаться повышением уровня Ферми Значит зонная диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (130а)

Аналогично нетрудно показать что энергетическая диаграмма ды-рочного полупроводника должна иметь вид приведённый на рис (130б)

Дрейфовый ток В электрическом поле дырки движутся (дрейфуют) по направлению

вектора напряжённости По физическому смыслу напряжённость есть си-ла действующая на положительный единичный заряд Отрицательные электроны движутся в электрическом поле в противоположном направле-нии

EFn

EV

Ei

EC

EFp

б)In диф gt 0

Ip диф gt 0 0pnabla lt

0nnabla gt

а)

Рис 130 Зонныедиаграммы полу‐проводников при прохождении диф‐фузионного тока

а) электронный по-лупроводник б) дырочный полу-проводник

54

Воздействие электрического поля на электрон в вакууме приводит его в состояние равномерно-ускоренного прямолинейного движения Иной характер движения наблюдается в кристалле Особенности дрейфа в полупроводнике обусловлены тем что носители заряда ускоряясь в элек-трическом поле приобретают дополнительную энергию и в процессе движения отдают её решётке Двигаясь в кристалле электрон испытывает столкновения с колеблющимися узлами кристаллической решётки дефек-тами периодической структуры рассеяние на ионизированных атомах примеси и тд Из-за этого при сохранении среднего направления дрейфа траектория электрона приобретает вид кусочно-ломанной кривой в узлах которой электрон практически теряет свою энергию а затем опять уско-ряется (рис 131) Тем не менее в умеренных полях средняя скорость дрейфа прямо пропорциональна напряжённости электрического поля

др μυ = E (139) Коэффициентом пропорциональ-ности является подвижность электронов 2[см В с]nμ sdot или ды-рок pμ Численно подвижность равна скорости дрейфа которую приобретает электрон в единич-ном поле [ ]= 1 В см E

Для определения плотности дрейфового потока дырок выде-лим в потоке дырок трубку тока

представляющую собой прямой круглый цилиндр с площадью основания 1 см2 образующая которого совпадает с направлением (вектора напря-

жённости электрического поля) скорости потока (рис 132)

За секунду выделенное штриховкой основание цилиндра пересекут все дыр-ки отстоящие от основания не далее расстояния численно равного скорости дрейфа дрpυ (пути пройденному за единицу времени) те находящиеся в объёме равном др 1pυ times Значит плот-ность потока прошедших дырок равна произведению концентрации дырок на объём выделенной трубки тока

дрр pП pυ= = ppμ E Аналогично плотность потока электронов будет

Рис 132 Трубка тока в потоке дырок

bull

E

дрυ

Рис 131 Характер движения электрона в электрическом поле

кристалла

A Б

E

дрυ

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

55

равна дрn nП nυ= minus = nnμminus E Знак минус учитывает противоположное направление дрейфовой скорости электронов

Проведённый вывод является обоснованием ранее сделанного ут-верждения о том что независимо от механизмов переноса плотность по-тока частиц равна произведению концентрации на среднюю скорость по-тока Тогда плотности дырочных и электронных дрейфовых токов будут равны соответственно

др др р р pJ qП qpμ= = E (140)

др др др( ) ( ) n n n nJ q П qП qnμ= minus times minus = = E (141)

Эти соотношения раскрывают выражения (136) для дрейфового тока Таким образом

o дрейфовые электронный и дырочный токи всегда имеют одинаковое направ-ление совпадающее с направлением век-тора напряжённости электрического поля (потока дырок)

o дырочные дрейфовые потоки всегда направлены по напряжённости электри-ческого поля а электронные minus против

o дырочный дрейфовый ток всегда совпадает с направлением дрейфа дырок а электронный ток противоположен направлению дрейфа электронов (из-за отрицательного заряда электрона рис 133)

В случае биполярной проводимости электронная и дырочная состав-ляющие дрейфового тока суммируются

др др др( )р nI S J J= + = ( ) 0 p nS qp qn Sμ μ σ+ equivE E (142)

где 0 ( )p nqp qnσ μ μ= + equiv 1( )[Ом см]p nσ σ minus+ sdot (143)

удельная проводимость полупроводника ndash проводимость 1 см3 (единицы объёма) полупроводникового материала S ndash площадь поперечного сече-ния

Пример 12 Нарисовать энергетическую зонную диаграмму элек-тронного|дырочного полупроводника по которому протекает дрей-фовый ток заданного направления

Пусть направление электронного тока (справа налево) противополо-жено направлению оси х т е 0nI lt По условию ток дрейфовый Значит из (141) следует что направление тока совпадает с направлением элек-

Iр Πр

Iп

+

ndash+ ndash

Πnq

qE

Рис 133 Направления дрейфовых электронных и дырочных потоков и токов для указанного электриче‐

ского поля

56

трического поля и вектор напряжённости 0ltE Согласно (129) область электрического поля сопровождается наклоном энергетических зон а напряжённость поля пропорциональна градиенту (тангенсу угла наклона α) энергетических зон Но отрицательная производная означает что

tg gt 2α π Отсюда следует что как собственный уровень электронного полупроводника так и энергетические зоны будут наклонены к оси х под отрицательным (отсчитываемым по часовой стрелке) углом 180 ϕ α= minus Энергетическая диаграмма электронного полупроводника должна иметь вид показанный на рис (134а)

Дрейфовые токи электронов и дырок совпадают по направлению Значит наклоны энергетических зон дырочного и электронного полупро-водников тоже должны совпадать (рис 134б) Однако уровень Ферми

FpE должен располагаться ниже собственного уровня iE (см рис 120 и соотношение (128))

Уравнения токов При наличии как электрического поля так и градиента концентрации

носителей заряда ток проводимости будет содержать дрейфовую и диф-фузионную составляющие При этом полный ток будет включать также ток смещения если электрическое поле переменное

С учётом соотношений (138) (141) плотность электронной состав-ляющей тока проводимости есть сумма

др диф grad n n n nnJ J J qn qD nμ= + = +E (144) Плотность дырочной составляющей с учётом (137) (140) равна

др диф grad p p p ppJ J J qp qD pμ= + = minusE (145) Полный ток равен сумме токов проводимости и смещения

ПП- 0к n pI S J Jt

ε ε part⎛ ⎞= + +⎜ ⎟part⎝ ⎠

E

EFnEV

Ei

EC

EFp

б)

а) EV

Ei

EC

Ip др E

EIп др

φ αх

Рис 134 Зонные диа‐граммы полупроводников при прохождении дрейфо‐вого отрицательного тока а) электронный полупро-водник б) дырочный полупровод-ник

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

57

где 0ε minus электрическая постоянная зависящая от выбора системы единиц

ПП-кε minus относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника Из (144) (145) следует что управление дрейфовыми токами сводит-

ся к управлению напряжённостью (потенциалом) электрического поля В частности ниже будет показано что управлять дрейфовым током при данном напряжении в конкретном полупроводниковом образце можно также посредством изменения его геометрических размеров

Управление диффузионным током сводится к управлению градиен-тами концентраций носителей заряда Определение градиентов требует знания пространственного распределения концентрации носителей Таким образом хотя оба тока являются токами проводимости способы управ-ления существенно различаются Правда в конечном счёте управление обоими токами производится с помощью напряжения поскольку градиен-ты концентрации также зависят от приложенного напряжения

Температурная зависимость тока температурный коэффициент Как видно из (142) физиче-

скими причинами температурной зависимости дрейфового тока мо-гут быть температурные изменения концентрации носителей заряда n(T) p(T) и подвижности μ(T) Концентрация основных носителей в области температур примесного истощения практически не зависит от температуры (рис 117) В этой области температурная зависи-мость тока определяется темпера-турными изменениями подвижно-сти

( )Tμ = 3 2const T minustimes C повышением температуры под-вижность снижается (рис 135) [4]

Физическая природа темпера-турной зависимости подвижности основных и неосновных носителей одинакова С ростом температуры увеличивается амплитуда и частота тепловых колебаний решётки Растёт число актов рассеяния носителей Подвижность электронов и дырок значит и дрейфовый ток уменьшается

Рис 135 Температурная зависи‐мость подвижности носителей заря‐

да в кремнии Параметр ndash концентрация примесей

1 10 102 103102

103

104

106

105

41013

131017

21017

Si (малые поля)μп μр

Подвижность

см2 frasl(

Вс

)

Температура degК

12 3 10 смA DN N minusle

58

Однако концентрация неосновных носителей (127) экспоненциально резко увеличивается при возрастании температуры поскольку прямо про-порциональна квадрату собственной концентрации (118) Действительно из (127) (118) следует что

20 ( ) ( ) g

D C V DE T

n ip T n N N N N e κminus=

02( ) ( ) g

p A C V AE T

in T n N N N N e κminus= = Экспоненциальная зависимость собственной концентрации от

температуры (рис 136) приводит к сильной температурной зависимости тока ННЗ и влияет на температурную стабильность приборов работа которых основана на ННЗ

Такая многопараметрическая (концентрация подвижность) и к тому же разнонаправленная температурная зависимость тока дополняется оп-ределяющим влиянием температурных зависимостей происходящих фи-зических процессов В следующих главах мы увидим что например дрейфовый ток основных носителей полупроводникового резистора (при постоянном напряжении) с повышением температуры уменьшается В то же время ток основных носителей диода Шоттки на контакте металл-

1015

1013

600

1011

700

-73

400

107

200105

109

127 327 427degС

Ge

Si

GaAs

Собственная

концентрация п i

см-3

Абсолютная температура degК

Рис 136 Температурная зависимость собственной концентрации в Ge Si и GaAs

Собственная концентрация экспоненциально растёт при повышении тем-пературы и уменьшении ширины запрещенной зоны

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1500 500 200 100 27 0 -20

05 15 25 35

GaAs

Si

Ge

1000 ordmС

Обратная температура 10 3Т degК ndash1

Собственная

концентрация

n i см

ndash3

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

59

полупроводник экспоненциально возрастает Ток полевого транзистора с индуцированным каналом при возрастании температуры уменьшается так же как у резистора а ток биполярного транзистора увеличивается

Величину и направление температурных изменений параметров по-лупроводниковых приборов принято оценивать посредством темпера-турных коэффициентов Температурный коэффициент определяется как производная от температурной зависимости соответствующего параметра Численно он равен изменению параметра при изменении температуры на один градус шкалы Цельсия или Кельвина Например температурный коэффициент прямого тока (ТКПТ) есть производная

const 1 C( )ТКПТ= A C U T

dI T I IdT T= Δ =

Δ ⎡ ⎤asymp = Δ ⎣ ⎦Δ| | (146а)

Абсолютный температурный коэффициент ndash размерная величи-на в данном случае равная изменению тока в амперах при изменении температуры на 1 С

Согласно общематематическому смыслу произволной модуль тем-пературного коэффициента характеризует величину и скорость изменения параметра при изменении температуры Чем больше модуль тем выше крутизна (угол наклона касательной к температурной зависимости) сильнее и быстрее изменяется параметр И наоборот небольшой тем-пературный коэфициент свидетельствует о незничительных и медленных температурных изменениях параметра Знак температурного коэффи-циента характеризует направление изменения параметра Положительный знак свидетельствует об увеличении параметра при увеличени темпера-туры Отрицательный ndash наоборот об уменьшении параметра при возрастани температуры

Относительный температурный коэффициент характеризует от-носительное (относительно текущего значения параметра) изменение па-раметра при изменении температуры на один градус Например относи-тельный ТКПТ есть отношение

1const 1 C

ТКПТ = C ( ) ( )U T

dI I I I II T dT T I T

minus= Δ =

Δ Δ ⎡ ⎤asymp = ⎣ ⎦Δ| | (146б)

Относительные изменения нередко выражают в процентах Тогда относи-тельный ТКПТ равный ( ) 1100[ C ]I I minusΔ times sdot указывается в процентах изменения параметра в диапазоне рабочих температур Уточнения laquoабсолютныйraquo laquoотносительныйraquo обычно опускают О температурном коэффициенте можно судить по размерности

Относительный температурный коэффициент равен логарифмиче-ской производной т е производной от логарифма температурной зави-симости Действительно например производная от логарифма тока равна

60

1ln ( ) 1 ( ) (TKПТ) C d I T dI TdT I dT I

minus⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (146в)

Сопротивление полупроводника Для определения сопротивления полупроводника используем соотно-

шение (142) представляющее собой дифференциальный (локальный) закон Ома Если к полупроводниковому образцу с размерами h b ltimes times по-стоянного поперечного сечения S h b= times приложено напряжение U (рис 137) то дрейфовый ток I(x) в произвольном сечении 0 x lle le будет равен

0 0( ) ( ) ( ) ( )I x SJ x S x bh xσ σ= = = =E E 0 dbhdxϕσminus

где напряжённость поля выражена через потенциал ϕ Отсюда для тока через весь образец получим

0( )I x dx bh dσ ϕ= minus( )

00 (0)

( ) ll

I I x dx bh dϕ

ϕσ ϕrArr = = minusint int

По условию непрерывности тока проводимости29 ( )div ( ) 0 ( )d J xJ x J J x

dx= = rArr ne (147)

ток не зависит от координаты Тогда продолжая интегрирование имеем [ ]0 ( ) (0)I l bh lσ ϕ ϕtimes = minus minus rArr ( )0 ( )I bh l Uσ= minus minus = ( )0 bh l U Uσ σequiv equiv

U Requiv где ( )01[Ом ]bh lσ σ minus= ndash прово-

димость образца указанных размеров 1R σ minus= ( )0

1 l bhσ minus= equiv ( )[ ]0 Омl bhρ ndash со-противление полупроводникового образца

[ ]10 0 Ом смρ σ minus= sdot ndash удельное сопротив-

ление полупроводника ϕ(l) = ndashU ϕ(0) = 0 Законом Ома выражается прямая

пропорциональность между напряжением (напряжённостью поля) и током Из проведённого вывода следует что прямая пропорциональность соблюдается до тех пор пока дрейфовая ско-рость пропорциональна напряжённости поля (139)

Характер зависимость дрейфовой скорости от напряжённости поля определяется физическими механизмами посредством которых носители заряда передают решётке избыточную энергию приобретённую ими в электрическом поле Фактическое сопротивление дрейфовому потоку но-сителей в полупроводнике определяется тем насколько часто они теряют свою энергию испытывая столкновения с узлами кристаллической ре-

хh

l

b

0

φ(0) = 0 bull

bull

+ ndash

U

E

Рис 137 Определениесопротивления полупро‐водникового образца

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

61

шётки дефектами периодической структуры рассеяние на ионизирован-ных атомах примеси30 и тд Спецификой дрейфа обусловлен также харак-тер зависимости самой дрейфовой скорости от напряжённости поля

Эксперименты показывают что дрейфовая скорость в кремнии и германии прямо пропорциональна напряжённости внешнего электриче-ского поля вплоть до полей порядка 5 divide 15 кВсм (рис 138) В линейной области коэффициент пропорциональности (подвижность) не зависит от электрического поля Рассеяние носителей происходит в основном на акустических (тепловых) колебаниях решётки Однако в более сильных полях поток отбирает большую энергию от поля Реализуются более энер-гоёмкие механизмы взаимодействия с решёткой включая возбуждение оптических колебаний и процессы ударной ионизации атомов При этом подвижность уменьшается Рост дрейфовой скорости замедляется вплоть до насыщения скорости когда дрейфовая скорость перестаёт зависеть от напряжённости поля Хотя напряжённость поля (напряжение) растёт электрический ток при насыщении дрейфовой скорости не изменяется потому что подвижность снижается и произведение = constSμ υ =E оста-ётся постоянным Дрейфовая скорость насыщения большинства полупро-водников составляет величину порядка 107 смc

Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конст-руировании полупроводниковых приборов В частности в полевых тран-зисторах принципиальным является возможность получить режим насы-щения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости Насыщение дрейфо-вой скорости является одной из причин независимости обратного тока идеализированного рndashп-перехода от напряжения

108

107

106

105

102 103 104 105 106

Ge

Si

GаAs (электроны)

Напряжённость электрического поля E Всм Дрейфовая

скорость носителей

смс

Т=300 К

Рис 138 Зависи‐мость дрейфовой скорости от напря‐жённости электриче‐ского поля в герма‐нии кремнии и арсе‐

ниде галлия Сплошные кривые ndash электроны штрихо-вая кривая ndash дырки [4]

62

Обсуждаемые параметры некоторых собственных полупроводников при комнатной температуре Т = 300 К приведены в таблице 14

Соотношение Эйнштейна Как при диффузии так и при дрейфе процесс направленного пере-

носа носителей заряда в твёрдом теле сопровождается одними и теми же физическими явлениями Среда в которой происходит движение носите-лей одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин вызывающих перенос Поэтому основные параметры характеризующие дрейф и диффузию ndash подвижность и коэффициент диффузии ndash должны быть связаны между собой

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавли-вается соотношением Эйнштейна

В неявном виде это соотношение содержат уравнения (144) (145) ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равны нулю Физически это означает что диффузионные токи возникшие за счёт градиента концентрации носителей заряда должны компенсировать-ся дрейфовыми токами за счёт возникающего поля И наоборот

Определим напряжённость возникающего электрического поля если например grad 0n ne Используя соотношение (116) получаем

)(grad |

FC

F

CF F

F

E E T

E qN edE dEdnn

dE dx T dx

κ

ϕκ

minus

=

minus= =

T

n d nT q dx U

ϕκ⎛ ⎞

= = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

E

где TU T qκ= ndash температурный потенциал равный 26 мВ для T =

300K (27 C)= Отсюда ( )grad TU n n= minusE Проведённые выкладки основаны на том что концентрация СНЗ од-

нозначно определяется положением уровня Ферми Правомерно поэтому выражать градиент концентрации носителей через сложную производную

Подставив найденное значение напряжённости поля в (144) и при-равняв ток нулю определим

( ) TD T q Uκ μ μ= = (148а) ( ) TD Uμ = (148б)

Т а б л и ц а 14

0 Омmiddotсмρ 2см срD 2см сnD 2см Вmiddotсnμ 2см Вmiddotсpμ

Ge 45 47 99 3800 1800

Si 23middot105 13 34 1300 500

GaAs 64middot107 8500 450

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

63

Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональность между коэффициентом диффузии и подвижностью Коэффициентом про-порциональности служит температурный потенциал

Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводни-ков т е при относительно небольших концентрациях примесей когда коэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носи-телей заряда а уровень Ферми находится в запрещённой зоне

15 Уравнения непрерывности Известное из раздела laquoЭлектричествоraquo курса общей физики уравне-

ние непрерывности которое в дифференциальной форме выражается как

div dJdtρ

= minus

где 3[Клсм ]ρ minus объёмная плотность заряда является математическим выражением постулата сохранения электричества (заряда) При анализе полупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется в иной более специфической форме имеющей тот же физический смысл но выраженный через сохранение числа носителей заряда

Поскольку p nqp qnρ ρ= = minus отсюда получаем

1 1div div p np nJ Jt q t q

part part= minus =

part part (149)

где p nJ J minus плотности дырочных и электронных токов проводимости (145) (144) соответственно В такой записи уравнения непрерывности выражают темп изменения концентрации носителей через изменения со-ответствующих потоков

Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей мо-гут быть вызваны также генерацией обусловленной внешним воздействи-ем которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией То-гда учитывая в (149) темп объёмной внешней генерации носителей

3 1см с g minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ например за счёт поглощения оптического излучения и

темп их естественной рекомбинации 3 1см с R minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦ приходим к следую-

щему виду уравнений непрерывности

1 div 1 div p p p n n np ng R q J g R q Jt t

part part= minus minus = minus +

part part (150)

Уравнения непрерывности являются следствием закона сохранения заряда Закон сохранения заряда касается самих зарядов а уравнения не-прерывности minus темпов их изменений во времени и в пространстве Факти-

64

чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности пото-ков зарядов

Вывод уравнений Для независимого вывода уравнения непрерывности например ды-

рок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём протяжённостью xΔ с площадью поперечного сечения SΔ и размером

V x SΔ = Δ Δ (рис 139) Возможные изменения концентрации дырок в вы-деленном объёме могут быть обусловлены следующими причинами bull внешней генерацией 3 1см с pg minus minus⎡ ⎤⎣ ⎦

bull естественной рекомбинацией скорость которой есть разность 3 1( ) см сTp pR r g minus minus⎡ ⎤= minus ⎣ ⎦

между скоростью естественной рекомби-нации pr и генерации Tg обусловленны-ми тепловыми переходами bull изменениями потока

( ) ( ) р р рП x П x x Пminus + Δ = minusΔ Изменения концентрации pΔ в еди-

ничном объёме за единицу времени про-порциональны разности

( ) p p pp g R П⎡ ⎤Δ minus + Δ⎣ ⎦~

Тогда за время tΔ во всём выделенном объёме V x SΔ = Δ Δ изменения концен-трации составят величину

p p pp x S g x S t R x S t П S tΔ Δ Δ = Δ Δ Δ minus Δ Δ Δ minusΔ Δ Δ (151) Разделив обе части этого уравнения на x S tΔ Δ Δ и перейдя к пределу при

0x S tΔ Δ Δ rarr получим соотношение для темпа изменения концентра-ции дырок в локальном физически бесконечно малом объёме

1 1 p pp p p p p p x p

dП dJp g R g R q g R q Jt dx dx

part= minus minus = minus minus equiv minus minus nabla

part

которое и является дифференциальным уравнением непрерывности для дырок Производная от плотности тока рассматривается здесь как состав-ляющая дивергенции Аналогично выводится уравнение непрерывности для электронов Частная производная в левой части уравнений применена для того чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма

Рис 139 Составляющие изменения концентрации

дырок

SΔ

( )рП x x+ Δ

х Rр = rp ndash gT

xΔ

gp Пр (х)

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

65

Для вывода уравнения непрерывности в виде (150) явно содержа-щем дивергенцию тока учтём что изменения потока вектора тока

рП SΔ Δ = (1 ) рq I SΔ Δ в пределах некоторого объёма равны потоку векто-ра через замкнутую поверхность ограничивающую этот объём

1 1 р р pS

П S J S J dSq q

Δ Δ = Δ Δ = int (152)

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S окружающей выделенный объём Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора плотности тока pI и векторного элемента поверхности dS То-гда подставив (152) в (151) разделив обе части уравнения (151) на

V tΔ Δ и перейдя к пределу при 0V tΔ Δ rarr получим

01 1lim div p p p p p pV

S

p g R J dS V g R Jt q qΔ rarr

⎛ ⎞part= minus minus Δ = minus minus⎜ ⎟⎜ ⎟part ⎝ ⎠

int

Учтено что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отноше-ния потока вектора через замкнутую поверхность к объёму ограниченно-му этой поверхностью при объёме стремящемся к нулю (поток вектора из точки) [5]

Уравнения непрерывности (150) показывают в силу каких причин изменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени и в пространстве Концентрация носителей может изменяться из-за нетеп-ловой генерации при внешних воздействиях например при засветке или ударной ионизации (первое слагаемое) В зависимости от знака второго слагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомби-нации либо тепловой генерации носителей Наконец концентрация мо-жет изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока т е изменений по-тока свободных зарядов например из-за наличия поля неподвижных за-рядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассмат-риваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое) Урав-нения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин

Когда концентрация неосновных носителей существенно меньше равновесной концентрации основных носителей заряда

0 0p np nn p p n реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбина-ции Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями (133) (134) В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (150) для ННЗ имеют следующий вид

66

2

20 nn n n n

p n p p pp

p pp p pg p D

t x x xμ μ

τminuspart part partpart

= minus minus minus +part part part part

E E (153)

2

20 pp p p p

n n n n nn

n nn n ng p D

t x x xμ μ

τ

minuspart part partpart= minus + + +

part part part partE E (154)

Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращений концентраций 0 0 n n p pn pp p p n n nΔ = minus Δ = minus поскольку производные от равновесных концентраций равны нулю

16 Задачи на инжекцию и экстракцию неосновных носителей заряда При анализе физических процессов в полупроводниковых приборах

возникают задачи связанные с инжекцией неосновных носителей заряда Инжекция ndash это поступление носителей заряда в области полупроводни-ка где они являются неосновными

Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концен-трации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной кон-центрации основных

0 0 0 0

0 0 0 0

или -полупроводник

или -полупроводник p p p p p p

n n n n n n

n p n p p p n

p n p n n n pδ

Δ gt⎧⎪= ⎨Δ gt⎪⎩

(155)

При низком уровне инжекции 1δ При высоком ndash 1δ Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике наруша-

ет условие термодинамического равновесия (118) и стимулирует реком-бинацию Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электро-физических параметров полупроводника появление электрического поля изменить характер рекомбинации

В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведе-но подробное решение и физический анализ некоторых задач результаты которых используются в дальнейшем при исследовании физических про-цессов в полупроводниковых приборах

Задача 11 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце х = 0 поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок 0(0) (0) n n np p pΔ = minus Концентрацию ННЗ на другом конце образца считать равновесной Рассмотреть случаи по-лубесконечного образца и образца конечных размеров w Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗ-

дырок на торце означает их стационарное поступление в образец Избы-точная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

67

диффузионный поток инжектированных дырок Физическое содержание задачи заключатся в определении пространственного распределения (за-висимости от пространственной координаты) концентрации инжектиро-ванных ННЗ для образца заданной длины если на другом конце образца поддерживается равновесная концентрация Такая задача может возни-кать например когда один торец полупроводникового образца освещает-ся коротковолновым оптическим излучением постоянно создающим на торце тонкий слой фотогенерированных дырок а другой торец заземлён через омический контакт металлminusполупроводник Тогда эта задача стано-вится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом прибо-ре Ниже мы увидим что в полупроводниковых приборах неравновесная концентрация возникает когда к прибору приложено внешнее напряже-ние Тогда результаты решения такой задачи позволят анализировать диффузионные токи проводимости в приборах

Математическая сторона широкого круга физических задач связан-ных с анализом процессов в полупроводниковых приборах сводится к решению стационарных уравнений непрерывности (153) (154) для при-ращений концентраций ( )np xΔ ( )pn xΔ в отсутствии внешней генерации

и электрического поля т е при 0 0n pp t n tpartΔ part = partΔ part = 0 0g = =E Граничные условия определяются заданными физическими условиями задачи

Полубесконечный образец Конкретно для задачи 11 в случае полубесконечного образца гра-

ничные условия уравнения (153) принимают следующий вид | 0( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0xp x =infinΔ =

В отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до одно-родного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами

2

2 0n np

p

d p pD

dx τΔ Δ

minus = или 2

22 0n

p nd p

L pdxΔ

minus Δ = (156)

где 2p p p p p pL D L Dτ τ= rArr = (157)

диффузионная длина неосновных носителей заряда minus дырок в электрон-ном полупроводнике

Для решения в виде ( ) exp( )np X С xλΔ = где С minus константа характе-

ристическое уравнение 2( ) 1 0 pL λ minus = дифференциального уравнения

(156) имеет корни 12 (1 )pLλ = plusmn Общее решение

1 2( ) p px L x Lnp x C e C eminus

Δ = + (158)

68

для постоянных 1 (0)nС p= Δ 2 0C = удовлетворяющих заданным граничным условиям будет равно

( ) (0) px Ln np x p eminusΔ = Δ rArr 0( ) (0) px L

n nnp x p p eminus= + Δ (159) Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспо-ненциальному закону с характерной постоянной Lp равной диффузионной длине неосновных носителей заряда (рис 140 кривая 1)

Физический анализ полученного решения позволяет определить смысл диффузионной длины и ответить на вопрос куда деваются инжек-тированные дырки стационарно поступающие в полупроводник

Диффузионная длина minus это расстояние на котором избыточная кон-центрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 272 раз Действительно положив в (159) px L= получим [ ]|( ) (0)

pn n x Lp x p =Δ Δ = 1 e = 037

Диффузионная длина (157) является характерным масштабом процесса диффузии На графике диффузионная длина определяется точкой пере-сечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ в плоскости инжекции 0x = с уровнем равновесной концентрации pn0

Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потока происходит за счёт рекомбинации потому что в каждой точке кривой 1 рис 140 скорость потока дырок дифυ (производная от потока по координате) равна скорости их рекомбинации (133) Это следует из вида самого уравнения (156) Действительно преобразуя слагаемое содер-жащее вторую производную получаем31

2

диф2( ) ( )

grad ( ) ( ) n np p p n p

d p x dp xd d dD D D p x П xdx dx dx dxdx

υΔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = minus =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Рис 140 Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда

w w1

w

pn0

pn(x)

Δpn(0)

+Δpn

0

124

Lp x

n-Si

φ

3

pn(0)

1 minus в полубесконечном образце 2 minus в образце конеч-ных размеров w1 gt Lp 3 minus в образце конеч-ных размеров pw L 4 minus касательная к кри-вой 1 Диффузионный треу-гольник затенён

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

69

Тогда диф диф( ) 0 p n p p pd П x p R Rdx

τ υ υ⎡ ⎤ minus Δ = minus = rArr =⎣ ⎦

Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинации является физическим условием непрерывности потока дырок

Однако для рекомбинации дырок необходим стационарный приток электронов Поэтому рас-сматривая физическую сторону задачи мы должны (в качестве варианта) домыслить также суще-ствование потока электронов Из непрерывности потока дырок в условиях происходящей рекомби-нации следует что к каждой точке кривой распределения ННЗ-дырок должен подходить поток ОНЗ-электронов равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис 141)

Распределение плотности потока дырок по координате и в частности плотность первоначально инжектированного потока через торец х = 0 можно определить из полученного решения (159)

| 0( ) ( ) (0) (0) pp p n p n p p n px

x LП x D p x D p L e D p L=minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤= nabla = Δ = Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (160)

Отношение (0)n pp LΔ является модулем градиента концентрации кото-рый характеризует величину инжектированного потока Из рис 140 видно что32 (0) tg n pp L ϕΔ = где ϕ угол наклона касательной (штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ в затенённом треугольнике Этот треугольник принято называть laquoдиффузионным треугольникомraquo Таким образом в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ в полупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциально-распределённый диффузионный поток ННЗ Величина потока прямо пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения инжектированных носителей В плоскости инжекции тангенс угла наклона tg (0)n pp Lϕ Δsim определяется из laquoдиффузионного треугольникаraquo катетами которого являются приращения концентраций и диффузионные длины ННЗ а гипотенузами ndash отрезки касательных Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскости инжекции и при распространении экспоненциально затухает с постоянной

pL за счёт неизбежно происходящей рекомбинации

Рис 141 Рекомбинирующие пото‐ки при стационарной инжекции неосновных носителей заряда

pn(x)

Пр(х)

0Rp

x

Пп(х) bull

70

Образец конечных размеров Распределение концентрации дырок инжектированных в образец конечных размеров w есть решение уравнения (156) для граничных условий

0|( ) (0)n nxp x p=Δ = Δ |( ) 0x wp x =Δ = (161)

Из (158) определяем постоянные 1 2C C удовлетворяющие заданным граничным условиям (161)

1(0) p

p p

w Ln

w L w Lp e

Ce eminusΔ

= =minus

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p ew L

Δ2

frac12 (0)

sh( )

pw Ln

p

p eC

w L

minusΔ= minus

Тогда решение уравнения (156) для найденных постоянных имеет вид

(0)

( ) sh sh( )

nn

p p

p w xp xw L L

Δ minusΔ = (162)

В частности если образец короткий с размером pw L то разлагая гиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением для sh z zasymp из (162) получим линейное распределение

( )( ) (0) 1 n np x p x wΔ Δ minus⎡ ⎤⎣ ⎦ (163) обозначенное номером 3 на рис 140 Таким образом распределение инжектированных ННЗ имеет экспо-ненциальный характер и выражается через гиперболические функции (162) (рис 140 кривые 1 2) Однако если размер образца много меньше диффузионной длины ННЗ распределение является линейным (кривая 3) Знание пространственного распределения носителей позволяет опре-делять потоки инжектированных зарядов Необходимый для этого гради-ент концентрации в плоскости инжекции 0x = находим из (162)

( ) 0grad ( ) (0) sh ch |n n p p xp

w xp x p L w LL =minus⎡ ⎤= minus Δ =⎣ ⎦ (164)

(0) когда (165)(0)cth (0) когда (166)

n pnn p pp p

p w w Lp wp L w L wL L

minusΔΔ ⎧= minus asymp ⎨minusΔ rarrinfin⎩

Учтено что 1 если или

cth( ) если p

pp

p

w L ww L L w w L

rarrinfin⎧asymp ⎨⎩

Плотность первоначально инжектированного потока равна

| 0

(0) для ( ) ( )

(0) для и (167)

n p pp p x

n p p p

p D w w LП x D p x

p D L w L w=

⎧ ⎡ ⎤Δ⎪ ⎣ ⎦= minus nabla = ⎨⎡ ⎤Δ rarr infin⎪ ⎣ ⎦⎩

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

71

Отметим если w lt Lp диффузионная длина в формулах заменяется фактическим размером что естественно Для инжектированного потока справедливо общее правило выра-женное в частности соотношениями (136) согласно которым плотность потока равна произведению скорости потока на концентрацию Действи-тельно из определения диффузионной длины (157) следует что

( )p p p pL D L τ= = диф( ) p p p pL τ τ τυequiv Отношения

диф p p p pD L L τ υ= = (168) имеющие размерности скорости уместно считать разными выражениями средней скорости диффузии или скорости диффузионного потока Тогда выражения (166) (167) приобретают вид совпадающий с (136)

( ) (0)p n p pxП x p D L⎜ = 0⎡ ⎤= Δ =⎣ ⎦ диф(0) (0) n p p np L pτ υ⎡ ⎤Δ = Δ⎣ ⎦ или

диф( ) p n p p n p p nxП x p D L p L pτ υ⎜ = 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (169)

Из соотношения (168) видно что диффузионная длина L есть сред-нее расстояние которое проходит носитель за время жизни τ до реком-бинации в объёме Таков ещё один смысл диффузионной длины Результаты решения для образца конечных размеров позволяют оп-ределить коэффициент переноса инжектированных носителей с одного конца полупроводникового образца на другой Статический коэффициент переноса TA есть отношение потоков на торцах образца

|

| = 0

( )( ) 1 1(0) ( ) ch( )

nT

p x w

p n px

p xП wA

П p x w L=nabla

= = = lenabla

(170)

В частности для полубесконечного или длинного образца когда pw L

ch( ) 0Tpw L Ararrinfin = Все инжектированные ННЗ прорекомбинируют прежде чем достигнут другого торца Для короткого образца когда pw L

21|ch ( ) sch( ) 1 frac12 ( ) T pp p pw LA w L w L w Lminus= = asymp minus (171)

Например если 01 pw L= 0995TA Диффузионный поток неоснов-ных носителей заряда инжектированных в полупроводник размеры кото-рого существенно меньше диффузионной длины доходит до противопо-ложного торца практически без потерь на рекомбинацию в объёме |1 ( ) (0) (0)T Tpp p pw LA П w A П Пrarr rArr = asymp (172)

72

Экстракция (вытягивание) неосновных носителей

Задача 12 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается нулевая концентрация ННЗ а на другом ndash равновес-ная Рассмотреть случай полубесконечного образца

В равновесном примесном полупроводнике ННЗ существуют всегда Нулевая концентрация ННЗ на торце означает их экстракцию ndash стацио-нарное вытягивание из образца Физическая задача состоит в том чтобы определить пространственное распределение ННЗ в полупроводниковом образце для условий их стационарного вытягивания с одного торца при равновесной концентрации на другом

Математическая сторона задачи сводится к решению уравнения (156) для граничных условий

00 0| |( ) 0 ( ) n n nx xp x p x p= == rArr Δ = minus |( ) 0n xp x =infinΔ = (173) отражающих заданные физические условия в полубесконечном образце Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1 0 nС p= minus 2 0C = удовлетворяющих граничным условиям (173) будет равно

0( ) px Ln np x p eminusΔ = minus rArr ( )0( ) 1 px L

n np x p eminus= minus (174)

Вытягивание ННЗ создаёт градиент концентрации вызывающий диффузионный поток дырок из объёма в строну торца с пониженной концентрацией

( ) ( )р p nП x D p x= minus nabla =

( )0px L

p pnp D L eminusminus (рис 142)

Минус в выражении потока свиде-тельствует о том что его направление про-тивоположно направлению оси х Наи-большее значение поток имеет в плоскости экстракции при 0x = По мере удаления вглубь полупроводника поток уменьшается и концентрация восстанавливается В част-ности при px L= согласно определению диффузионной длины

( ) ( )pp px L xП x П x⎜ = ⎜ = 0 =

1 037eminus =

Однако стационарное вытягивание ННЗ нарушает электрическую нейтральность полупроводника Поэтому рассматривая физическую сто-

0

pn(x) pn0

ndashΔpn

x

n-Si

Пр(х)Lp

Рис 1 42 Пространст‐венное распределение неосновных носителей

при вытягивании из торца полупроводникового об‐

разца

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

73

рону задачи мы вправе (в качестве варианта) домыслить также существо-вание противоположно направленного потока электронов обеспечиваю-щего электрическую нейтральность за счёт ухода ОНЗ из образца (рис 142 пунктирная стрелка)

Двусторонняя инжекцииэкстракция неосновных носителей

Задача 13 Определить распределение концентрации дырок в элек-тронном полупроводниковом образце если на одном его торце 0x = поддерживается стационарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0(0) (0) n n np p pΔ = minus а на другом ndash ста-ционарное значение избыточной неравновесной концентрации дырок равное 0( ) ( ) n n np w p w pΔ = minus Рассмотреть случай образца конечных размеров pw L

Физическим содержанием задачи является определение распределе-ния концентрации ННЗ при двусторонней инжекции в полупроводнико-вый образец конечных размеров Такая задача возникает например при инжекцииэкстракции неосновных носителей в базу биполярного транзи-стора со стороны эмиттера и коллектора Чтобы определить распределе-ние инжектированных носителей необходимо решить уравнение (156) при следующих граничных условиях | 0 |( ) (0) ( ) ( )n n n nx x wp x p p x p w= =Δ = Δ Δ = Δ (175) соответствующих заданному состоянию полупроводника

Общее решение (158) однородного уравнения (156) при постоянных

1( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w LΔ minusΔ

= minus 2( ) (0)

2sh( )

pw Ln n

p

p w p eС

w L

minusΔ minus Δ=

удовлетворяющих граничным условиям (175) будет равно

( )sh sh( )( ) (0) ( )

sh( ) sh( )p p

n n np p

w x L x Lp x p p w

w L w L

⎡ ⎤minus⎣ ⎦Δ = Δ + Δ (176)

Первое слагаемое в (176) является частью распределения управляемой с торца 0x = путём изменения величины задаваемого значения нерав-новесной концентрации ( )0 npΔ Управление вторым слагаемым произ-водится с противоположного торца x w= задаваемым значением неравновесной концентрации ( )np wΔ Двусторонняя инжекция создаёт в образце встречно-направленные диффузионные потоки величина которых уменьшается из-за рекомби-нации (при 1TA ne ) Действительно поток на торце 0x = равен разности

74

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )p p n p p p n nTxxП x D p x D L w L p A p w⎜ = 0⎜ = 0 = nabla Δ = sdot Δ minus Δ

потока инжектированного с торца 0x = (уменьшаемое) и потока перенесённого с торца x w= (вычитаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации Аналогично поток на торце x w= есть разность

( ) ( ) [ ]( ) ( ) cth( ) (0) ( )Tp p n p p p n nx wx wП x D p x D L w L A p p w⎜ =⎜ = = nabla Δ = sdot Δ minusΔ

потока перенесённого с торца 0x = (уменьшаемое) уменьшенного за счёт рекомбинации и потока инжектированного на торце x w= (вычитаемое) Для короткого образца с размером pw L ограничиваясь первым

членом разложения cth 1 z zasymp отсюда получим

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nxП x D w p A p w⎜ = 0 = Δ minus Δ (177)

( )[ ]( ) (0) ( ) Tp p n nx wП x D w A p p w⎜ = = Δ minus Δ (178)

где коэффициент переноса АТ определяется соотношением (171) На противоположном торце каждый из встречно инжектированных потоков уменьшается в АТ раз из-за рекомбинации в объёме

Задача 13-1 В частности если например на одном торце 0x = полупроводникового образца размер которого pw L реализуется инжекция ННЗ а на другом конце x w= происходит их вытягивание то

0| 0 |( ) (0) ( ) ( ) 0n n n nnx x wp x p p x p p w= =Δ = Δ Δ = minus rArr = В приближении

( )1 0TAminus rarr соотношения (177) (178) принимают следующий вид33

( )0(0)

( ) (0) 1 tg Tp n

p n p pnx x

D pП x p p A D D

w wϕ⎜ = 0 ⎜ = 0= minus minus asymp equiv⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )0(0) 1T Tp

p n nx wD

П x A p p Aw⎜ = = + minus asymp⎡ ⎤⎣ ⎦

0(0)

tg tg T np p pTx w x

A pD D A D

wϕ ϕ⎜ = ⎜ =asymp equiv =

В квадратных скобках этих соотношений стоят значения суммарной концентрации на торцах Это позволяет выразить потоки зарядов через тангенсы углов наклона касательных (градиенты распределений) на тор-цах и получить наглядный результат рекомбинации Из-за рекомбинации

0( ) ( ) p px w xП x П x⎜ = ⎜ =lt поэтому 0x l xϕ ϕ⎜ = ⎜ =lt и распределение

концентрации ННЗ нелинейное (рис 143)

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

75

В линейном приближении полагая что гиперболические синусы равны их аргументам из (176) получим линейное распределение ННЗ

( ) 01 (0) ( ) n n n nx xp x p p w pw w

⎛ ⎞= minus Δ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(179)

По условиям задачи на торце x w= происходит вытягивание носи-телей ( ) 0np w = и (179) принимает вид линейного распределения

( ) ( ) 0 0( ) 1 (0) n n n np x x w p x w p p= minus Δ minus + (180) обеспечивающего односторонний поток зарядов через весь образец без потерь на рекомбинацию (рис 143) Действительно в этом случае grad ( ) (0)n np x p w= minus не зависит от х что и обеспечивает постоянство потока Значит при линейном распределении ННЗ рекомбинация в объёме полупроводника отсутствует В главе 4 мы увидим что такие

процессы происходят в узкой базе биполярного транзистора в активном режиме работы при 1TA

Контрольные вопросы 1 Что такое дырка с точки зрения структуры кристаллической решётки собст-

венного и примесного полупроводников состава свободных носителей заряда 2 Напишите выражение электронной конфигурации атома германия 3 Почему в зонных моделях полупроводников дырка находится в валентной

зоне а электрон в зоне проводимости 4 Каковы механизмы образования СНЗ в кремниевых и германиевых полу-

проводниках 5 Что такое донорнаяакцепторная примесь Почему она так называется 6 В чём различие механизмов формирования СНЗ в полупроводниковых ма-

териалах элементов IV группы Si и Ge и углеродных нанотрубках или графенах 7 Каковы условия электрической нейтральности собственных и примесных

полупроводников

pn(x)

AT le1

0

pn0

x

AT pп(0)bull

w

pn(0) bull

+Δpn ndashΔpnnndashSi

φ0 φw

φ0 w ltltLp

Рис 143 Распределение концентра‐ции неосновных носителей при одно‐стороннем потоке через узкий образец

Линейное распределение при отсутствии рекомбина-ции (сплошная прямая) Нелинейное распределение при учёте рекомбинации в объёме (штриховая кривая) Градиент концентрации на торце x = 0 больше градиен-та концентрации на торце x = w из-за рекомбинации в объёме φ0 gt φw

76

8 Каковы физические причины принципиально существующей температурной зависимости электрических свойств и параметров полупроводниковых приборов

9 Каков общефизический смысл функции распределения в статистических системах

10 Почему считается что функция распределения ФермиndashДирака показывает вероятность занятости энергетического уровня

11 Какие основные задачи теории полупроводниковых приборов решаются с помощью функции распределения ФермиndashДирака

12 Каковы свойства уровня Ферми 13 Как изменяется положение уровня (квазиуровня) Ферми при изменении

концентрации носителей заряда 14 Каков смысл закона действующих масс для равновесных и неравновесных

состояний 15 Что такое состояние примесного истощения Охарактеризуйте температур-

ную зависимость концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике 16 Почему в примесных полупроводниках в принципе всегда существуют не-

основные носители зарядов Как можно изменять их концентрацию 17 Как зависит соотношение основных и неосновных носителей от количества

легирующей примеси 18 Каковы электрические и динамические условия равновесного состояния

полупроводника 19 О чём свидетельствует наклонизгиб энергетических зон полупроводника 20 Почему поверхность полупроводника имеет заряд Оцените его плотность

и знак 21 Какое направление имеют электронные и дырочные диффузионные токи

если соответствующие потоки совпадают или противоположны по направлению 22 Как можно управлять диффузионным и дрейфовым токами полупроводни-

ка Чем различается управление дрейфовым и диффузионным токами 23 Как изменятся диффузионный и дрейфовый токи проводимости и сама про-

водимость при изменении концентрации носителей например в 2 раза 24 Как ведёт себя сопротивление полупроводникового резистора при измене-

нии температуры 25 Что такое абсолютный относительный температурный коэффициент 26 Каков физический смысл соотношения Эйнштейна 27 Что является необходимым условием соблюдением закона Ома в полупро-

воднике Каковы возможные причины его нарушения 28 Каков физический смысл уравнения непрерывности 29 Дайте определения диффузионной длины коэффициента диффузии време-

ни жизни подвижности 30 Каково характерное распределение диффузионного потока инжектирован-

ных неосновных носителей по длине полупроводникового образца разных разме-ров

31 Что такое коэффициент переноса инжектированных ННЗ 32 Охарактеризуйте двустороннююодностороннюю инжекцию ННЗ в корот-

кий полупроводниковый образец

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

77

Глава 2 ПОЛУПРОВОДИКОВЫЕ ДИОДЫ НА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫХ ПЕРЕХОДАХ Полупроводниковые диоды характеристики которых определяются

свойствами электронно-дырочного перехода играют важную роль в со-временной электронике и как класс самостоятельных приборов и как функциональная часть других классов полупроводниковых приборов и интегральных схем Полупроводниковый диод относится к числу базовых элементов твёрдотельной электроники

Под электронно-дырочным или рndashn-переходом мы понимаем гальва-нический контакт полупроводников электронной и дырочной проводимо-сти содержащий область объёмного пространственного заряда (ОПЗ) или собственно рndashn-переход и прилегающие к нему нейтральные п- и р-обла-сти Соответствующий полупроводниковый диод отличается разве что наличием омических контактов которые предполагаются по умолчанию

Электронно-дырочные переходы привлекли серьёзное внимание по-сле того как в 1938 г Д И Давыдов рассмотрел явления выпрямления переменного тока рndashn-переходом и появления фотоэдс34 Математическая теория рndashn-перехода была заложена Шокли (W Shockley35) в 1949 г

Туннельный диод создан в 1958 г японским физиком Л Есаки (L Esaki36) исследовавшим сплавные переходы сильно легированного герма-ния Своим названием диод обязан туннельному эффекту посредством которого носители заряда преодолевают потенциальный барьер

Анализ свойств электронно-дырочного перехода проведён на модели идеального рndashn-перехода Физические процессы рассмотрены на основе идеи диффузионно-дрейфового равновесия Проведён физический вывод вольтамперной характеристики диода Разобраны механизмы формирова-ния прямого и обратного токов Аналитическим и физическим способами введены ёмкости а также схемы замещения диода по переменному току Проанализированы температурные зависимости вольтамперной характе-ристики тока и напряжения диода Учтено влияние ряда физических фак-торов не рассматриваемых моделью идеального рndashn-перехода на вид вольтамперной характеристики диода Туннельный и обращённый диоды рассмотрены на качественном уровне

21 Физические основы работы идеализированного рndashn-перехода

Формирование диффузионно-дрейфовое равновесие При гальваническом контакте электронного и дырочного полупро-

водников электроны из n-полупроводника где они основные носители

227

ник Логика физических процессов направленных на восстановление рав-новесия приводит к образованию пространственного объёмного заряда

Основой модели формирования выпрямляющего контакта металлndashполупроводник в настоящем приложении является идея об образовании отрицательного объёмного заряда в полупроводнике за счёт непосредст-венной ионизации атомов акцепторной примеси электронами пришед-шими не из валентной зоны объёма полупроводника как обычно а из ме-талла Приход электронов обусловлен меньшей работой выхода металла

Выпрямляющий контакт металлndashp-полупроводник может быть реали-зован если работа выхода металла меньше работы выхода полупроводни-ка АМ lt АПП-к (рис 32) При гальваническом контакте электроны металла за счёт термоэлектронной эмиссии переходят в полупроводник Пере-шедшие электроны ионизируют 3-х валентные атомы акцепторной приме-си (заполняют недостающие связи формируют ковалентные связи) в об-ласти контакта В объёме полупроводника ионизация атомов акцепторной примеси происходит за счёт разрыва ковалентных связей собственных атомов решетки и образования дырки те за счёт перехода электронов из зоны проводимости на примесный уровень акцепторной примеси В при-поверхностной области контакта ионизация происходит за счёт электро-нов пришедших из металла При этом образуется ОПЗ отрицательно ио-низированных атомов акцепторной примеси в полупроводнике и положи-тельный заряд поверхности металла Индуцированное объёмным зарядом электрическое поле в полупроводнике направленное из металла в полу-проводник способствует увеличению эмиссии электронов из полупро-водника в металл выравнивает уровни Ферми Равновесие наступит ко-гда в системе установится единый для металла и полупроводника уровень Ферми При этом на контакте зоны изгибаются laquoвнизraquo на величину рав-ную разности уровней Ферми 0 F Fn mqU E E= minus где 0U ndash контактная разность потенциалов Изгиб зон образует потенциальный барьер 0qU для ОНЗ-дырок переходящих из полупроводника в металл и потенциальный барьер Bpqϕ для обратного перехода дырок из металла в полупроводник (рис 32б) 1 По предложению Друде 2 В 1874 г 3 В настоящее время таблица Менделеева содержит почти вдвое больше ndash 116 элементов 4 Нанотрубки ndash продукты нанотехнологии Термин laquoнанотехнологияraquo введён в 1974г японским физиком Норё Танигути для описания процессов построения но-

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной

228

вых объектов и материалов при помощи манипуляций с отдельными атомами Нанометр ndash 10ndash9м 5 Индекс от англ Valance 6 Индекс от англ Conductance 7 В физике в таком случае говорят о laquoквазичастицеraquo 8 Часто обозначения физических величин относящихся к собственному полупро-воднику имеют индекс i ndash от англ intrinsic ndash присущий собственный 9 Носители называются основными носителями заряда (ОНЗ) если их концентра-ция больше концентрации собственных носителей заряда ni при данной темпера-туре В противном случае их называют неосновными носителями заряда (ННЗ) 10 Примером иного механизма формирования СНЗ являются углеродные нано-трубки и графен где СНЗ могут создаваться за счёт структуры материала (см рис 14) 11 При комнатной температуре Т=Т0 = 300 К интервал 21

0 414 10 ДжTκ minus= sdot =

00026 эВ 1 эВ 38 Tκ= 12 Для ориентировки ( ) 222 23 3 46272 74 10 20 10e e e e= 13 В такой записи функция МаксвеллаndashБольцмана (в отличие от функции ФермиndashДирака) показывает что относительное число частиц с энергией выше некоторого значения экспоненциально падает при увеличении их энергии 14 Химический (термодинамический) потенциал определяет приращение энергии системы частиц при увеличении числа частиц на единицу Поэтому энергия Фер-ми определяется общим числом частиц 15 Отметим что если взять другие сопряженные физические величины например энергию и время или амплитуду и фазу сигнала то получим аналогичные нера-венства предел которых вытекает из соотношения (112) 16 Иначе на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с про-тивоположными спинами 17 Подчёркивая значимость этого равенства его называют иногда уравнением по-лупроводника 18 См сноску 8 19 Использовано линейное приближение ряда Тейлора ( ) ( )frac121 1 frac12x x+ asymp + + sdot sdot sdot Решение с отрицательным знаком перед радикалом отброшено т к должно быть пп gt 1 20 Эта область температур соответствует состоянию примесного истощения (см основной текст ниже) 21 По умолчанию предполагается что речь идёт об ионизированных атомах при-меси или что все атомы примеси ионизированы 22 Отсюда очевидно что применительно к характеристикам полупроводниковых приборов понятия низких (малых) и высоких (больших) температур связаны с концентрацией и природой примеси а не только с показаниями градусника 23 Напомним что K C 27315 CT t= +

229

24 В предположении кусочно-ломанного графика энергетических зон использо-ванного для того чтобы чётко обозначить границы существования поля 25 С выводом формулы ШоклиndashРидаndashХолла можно познакомиться например в книгах Смит Р Полупроводники М Мир 1982 Бонч-Бруевич ВЛ Калашников СГ Физика полупроводников М Наука 1977 26 В равновесном состоянии r g= Отсюда получаем условие термодинамического

равновесия 2inp n= (118а)

27 Индекс t от англ trap ndash ловушка 28 Понятие тока смещения ввёл шотландский физик ДК Максвелл Формальной причиной послужила необходимость согласования собственных уравнений элек-тродинамики с уравнениями для постоянного тока 29 Напомним в школьном курсе физики этот закон формулируется так laquoСила тока во всех участках последовательной цепи одинаковаraquo 30 Отметим что в этом одна из причин температурной зависимости подвижности электрического сопротивления полупроводника и в конечном счёте дрейфового тока 31 Отрицательный знак перед производной от потока свидетельствует о снижении скорости потока в направлении х gt 0 32 Это равенство справедливо только в том случае если по осям координат ис-пользуются одинаковые масштабы Здесь и в дальнейшем по умолчанию предпо-лагается что у такого рода равенств названное условие выполнено 33 См сноску 32 34 Давыдов Бndash ЖТФ 5 7987 (1938) 35 Нобелевская премия в 1956 г совместно с J B Bardeen и W Brattain за исследо-вание полупроводников и открытие транзисторного эффекта 36 Нобелевская премия в 1973 г совместно с ---------------------------за эксперимен-тальные открытия эффекта туннелирования в полупроводниках и сверхпроводни-ках 37 Другие физические модели формирования ОПЗ и внутреннего электрического поля см в Приложении 21 38 Для получения энергетической зонной диаграммы рndashn-перехода зонная диа-грамма n-области как единое целое опускается вниз до совмещения уровней Фер-ми Затем энергетические уровни зон соединяются плавными кривыми 39 Объёмный пространственный заряд иногда называют двойным электрическим слоем 40 Доказательство соотношений (22а) (22б) см в Приложении 22 41 Можно показать также что ( )0 lng V DC AqU E T N N N Nκ= minus Значит

0 при ( ) ( )g D VA CqU E N N N Nrarr rarr с увеличением степени легирования Напри-

мер для Si-перехода при изменении ( )14 17 310 10 смDN minus= divide ( )0 08 1 ВU = divide 42 Область ОПЗ содержит участок с собственной значит минимальной концен-трацией СНЗ ip n n= = (рис 26) Поэтому ОПЗ является наиболее высокоомной