Upload
metar-yoseplin-hutauruk
View
61
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
BBBAAABBB 111
DDDIIISSSTTTRRRIIIBBBUUUSSSIII PPPEEELLLUUUAAANNNGGGD
DDAAALLLAAAMMM EEEVVVAAALLLUUUAAASSSIII
KKKEEEAAANNNDDDAAALLLAAANNN SSSIIISSSTTTEEEMMM 1.1 Konsep Distribusi
ada bab sebelumnya telah beberapa konsep tentang
distribusi peluang (probability distribution) seperti probability
mass function, probability density function, cummulative
distribution function, expected value, variance, standard
distribution dan konsep-konsep lainnya. Pada bab ini akan diuraikan teknik
memanfaatkan distribusi peluang dalam melakukan evaluasi keandalan.
P Seperti telah dijelaskan pada bab – bab sebelumnya, parameter-parameter yang
dipergunakan dalam evaluasi keandalan adalah parameter-parameter distribusi
peluang. Nilai dari parameter-parameter ini sangat tergantung pada waktu
kegagalan, waktu perawatan dsb. Dengan kata lain, komponen-komponen di
dalam sistem akan gagal tidak pada waktu yang sama, dan juga akan diperbaiki
tidak pada waktu yang sama pula. Dengan demikian maka time to failure (TTF)
komponen pun akan berbeda satu sama lain. Perbedaan TTF ini akan
mempengaruhi karakter sebaran data kegagalannya yang direpresentasikan
dengan perbedaan nilai parameter distribusinya.
TTF komponen tertentu mungkin diwakili oleh distribusi peluang yang sama,
namun memiliki nilai paramterer yang berbeda. TTF komponen juga sangat
mungkin diwakili oleh jenis distribusi yang berbeda, sehingga parameter yang
mewakili masing-masing distribusi tersebut juga berbeda.
1
Komponen yang TTF nya diwakili oleh distribusi Weibull akan memiliki jenis
parameter distribusi β (shape parameter), γ (location parameter) dan η(scale
parameter). Sementara itu TTF yang terdistribusi eksponensial akan diwakili oleh
parameter distribusi λ (failure rate) dan TTF yang terdistribusi normal akan
diwakili oleh jenis parameter σ (standard deviation) dan μ (mean).
Pada bab sebelumnya jenis distribusi juga dikelompokkan menjadi dua kelompok
utama yakni distribusi diskrit dan distribusi kontinyu. Yang termasuk kedalam
kelompok distribusi diskrit adalah distribusi Poisson, distribusi hypergeometric,
dan distribusi binomial. Sementara yang termasuk kelompok distribusi kontinyu
adalah distribusi eksponensial, distribusi normal, distribusi Weibull dsb.
1.2 Terminologi Distribusi
Terminologi dan signifikansi dari distribusi peluang telah sebagian dijelaskan
pada bab-bab sebelumnya. Properti seperti probability density (mass) function,
expected value, mean, variance dan standard deviation telah pula dijelaskan
pada bab sebelumnya. Pada evaluasi keandalan, properti tersebut sering
diistilahkan berbeda menyesuaikan dengan properti keandalan. Pada bab ini
akan dijelaskan terlebih dahulu terminologi distribusi yang akan dipergunakan di
dalam evaluasi keandalan.
Cummulative distribution function memiliki nilai mulai dari 0 (nol) hingga 1 (unity).
Pada data diskrit, pertambahannya terjadi secara diskrit dan pada data kontinyu
pertambahan diwakili oleh sebuah fungsi kontinyu. Pada evaluasi keandalan,
random variabel yang umum dipergunakan adalah waktu (t). Saat t=0 maka
diasumsikan komponen mulai beroperasi dan peluang kegagalannya adalah 0.
Dengan bertambahnya waktu operasi maka pada waktu t=∞ peluang kegagalan
komponen adalah 1. Karakteristik ini sesuai dengan konsep cummulative
distribution function dan merupakan peluang kegagalan komponen sebagai
fungsi waktu. Pada terminologi keandalan, cummulative distribution function lebih
dikenal dengan sebutan cummulative failure distribution function atau lebih
sederhana sering disebut dengan cummulative failure distribution (Q(t)).
2
Pada kasus praktis akan lebih menguntungkan jika kita menghitung peluang
sukses pada waktu tertentu (R(t)), bukan peluang gagalnya (Q(t)). Peluang
sukses merupakan komplemen dari peluang gagal sehingga:
R(t) = 1 – Q(t)......................................................................
Turunan pertama dari cummulative distribution function sebuah random varaibel
kontinyu akan menhasilkan probability density function. Pada evaluasi keandalan
turunan pertama dari cummulative distribution function sebuah random varaibel
kontinyu akan menghasilkan fungsi yang kurang lebih sama dengan probability
density function, dan sering disebut dengan failure density function, dimana:
f(t) = dQ(t)/dt = -dR(t)/dt ......................................................
sehingga
∫=t
dttftQ0
)()( .......................................................................
Dengan demikian
∫−=t
dttftR0
)(1)( ...................................................................
f(t)
time
Q(t) R(t)
Gambar 1.2-1 Failure density function
Karena luasan total dibawah kurva failure density function adalah satu, maka
persamaan diatas dapat ditulis sebagai:
∫∞
−=t
dttftR )(1)( ...................................................................
3
Selain konsep cummulative distribution function dan failure density function,
terdapat konsep-konsep lainnya yang sangat sering dipergunakan dalam
evaluasi keandalan yakni hazard rate, failure rate, repair rate, force of mortality,
age specific failure rate, dsb. Pada bab ini hanya akan dijelaskan tentang hazard
rate. Konsep lainnya akan dibahas pada bab VI tentang metode Markov.
Hazard rate adalah ukuran laju kegagalan pada waktu tertentu. Ini berbeda
dengan failure rate, yang memiliki makna jumlah kegagalan dalam rentang waktu
tertentu. Hazard rate sangat tergantung dengan jumlah sampel yang dianalisa.
Sebagai contoh, jumlah kegagalan pada komponen tertentu dan pada rentang
waktu tertentu antara sampel yang berjumlah 100 akan lebih kecil dari jumlah
kegagalan dari sampel sejumlah 1000, sekalipun hazard rate nya adalah sama.
Sama halnya juga, jumlah kegagalan antara sampel sejumlah 100 dan 1000
akan sama jika komponennya berbeda dan rentang waktu operasinya juga
berbeda. Dalam hal ini komponen pada sampel yang pertama akan memiliki
hazard rate yang lebih besar dibandingkan dengan sampel yang kedua.
Dengan demikian hazad rate λ(t) sangat tergantung pada jumlah kegagalan
dalam satuan waktu tertentu dan jumlah komponen yang dijadikan obyek analisa.
Dengan demikian
λ(t) = jml gagal per unit waktu/jml obyek yang dianalisa ....
1.3 Fungsi Umum Keandalan
Jika sejumlah No buah komponen diuji, dan Ns(t) adalah jumlah komponen
sukses (survive) dan Nf(t) jumlah komponen gagal dan No = Nf(t) + Ns(t)
Keandalan atau peluang sukses dari komponen tertentu sebagai fungsi waktu
akan menjadi:
NotNf
NotNfNo
tNotNstR )(1)()()()( −=
−== ........................................
Peluang gagalnya komponen atau cummulative failure distribution Q(t) akan
menjadi:
4
NotNf
tQ)(
)( = ..........................................................................
Dari kedua persamaan diatas diperoleh
)()(.1)()(
tdtdNf
NodttdQ
dttdR −
=−
= ..................................................
Jika dt 0, maka
)()(.1)(
tdtdNf
Notf = ..................................................................
Dengan demikian ekspresi hazard rate akan menjadi:
)()(.1
)()()(.
)(1
)()(.
)(1)(
tdtdNf
NotNsNo
tdtdNf
tNsNoNo
tdtdNf
tNst ===λ ........
dttdR
tRtf
tRt )(.
)(1)(.
)(1)( −==λ ................................................
Dari ekspresi diatas diketahui bahwa saat t=0, maka f(0) = 0 karena R(0) = 1.
Disamping itu juga terlihat baha hazard rate fungsi yang tergantung pada failure
density function. Dalam konteks phisik dapat diterjemahkan bahwa failure density
function memungkinkan peluang gagal dihitung disetiap waktu pada masa yang
akan datang, sementara hazard rate memungkinkan peluang kegagalan dihitung
pada masa yang akan datang dimana diketahui bahwa sistem/komponen dalam
kondisi sukses sampai waktu t.
Dari persamaan diatas diperoleh:
∫∫ −=t
o
tR
dtttdRtR
)()(.)(
1)(
1
λ .....................................................
................................................................ ∫ −=t
o
dtttR )()(ln λ
........................................................................... tetR λ−=)(
5
1.4 Evaluasi Fungsi Keandalan
Guna memberikan ilustrasi prosedur dalam melakukan evaluasi berbagai fungsi
keandalan, contoh berikut akan dievaluasi. 1000 buah komponen yang identik
dievaluasi . Diperoleh hasil evaluasi seperti pada tabel berikut: 1 2 3 4 5 6 7 8
time interval jumlah l
cummulative Jumlah failure density cummulative survivor Hazard dalam 100 jam gagal failures Sukses function failure dist. function Rate
(1000-‘2’) ‘2’/1000 1-‘6’ ‘2’/ave’4’ Nf Ns f Q R λ 0 140 0 1000 0,14 0 1 0,151 1 85 140 860 0,085 0,14 0,86 0,104 2 75 225 775 0,075 0,225 0,775 0,102 3 68 300 700 0,068 0,3 0,7 0,102 4 60 368 632 0,06 0,368 0,632 0,100 5 53 428 572 0,053 0,428 0,572 0,097 6 48 481 519 0,048 0,481 0,519 0,097 7 43 529 471 0,043 0,529 0,471 0,096 8 38 572 428 0,038 0,572 0,428 0,093 9 34 610 390 0,034 0,61 0,39 0,091 10 31 644 356 0,031 0,644 0,356 0,091 11 28 675 325 0,028 0,675 0,325 0,090 12 40 703 297 0,04 0,703 0,297 0,144 13 60 743 257 0,06 0,743 0,257 0,264 14 75 803 197 0,075 0,803 0,197 0,470 15 60 878 122 0,06 0,878 0,122 0,652 16 42 938 62 0,042 0,938 0,062 1,024 17 15 980 20 0,015 0,98 0,02 1,200 18 5 995 5 0,005 0,995 0,005 2,000 19 1000 0 0 1 0
Hazard rate sebagai fungsi waktu
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
interval waktu
haz
ard
rat
e
III III
Gambar 1.4-2 Hazard Rate sebagai fungsi interval waktu
6
Keandalan
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
waktu interval
indeks
kea
ndal
an
Gambar 1.4-3 Keandalan sebagai fungsi interval waktu
fa i l ure dens i ty functi on
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
interval
f(t)
III
III
Gambar 1.4-4 Failure Density Function
Cummulati ve Fa i l ure Di s tri bution
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
interval
Q(t
)
Gambar 1.4-4 Cummulative Failure Distribution
7
Hazard rate seperti terlihat pada gambar 2 menunjukkan bentuk umum dari
komponen non-elektronik yang sering dikenal dengan istilah ”bath-tub curve”.
Kurva ini dibedakan menjadi 3 periode; periode I, periode II dan periode III.
Periode I sering dikenal dengan istilah burn in period atau infant mortality period
ataupun debugging period, yang ditunjukkan dengan penurunan hazard rate
sebagai fungsi usia komponen atau waktu operasi. Tingginya hazard rate pada
awal periode ini sering disebabkan karena kesalahan produksi, kesalahan disain
ataupun kesalaham assembly. Periode II dikenal dengan istilah useful life period
yang ditandai dengan nilai hazard rate yang konstan. Hanya distribusi
eksponensial yang berlaku pada periode II ini. Periode ke III merepresentasikan
daerah dimana keausan komponen sudah mulai terjadi. Periode ini dikenal
dengan istilah wear-out period yang ditandai dengan peningkatan hazard rate
sebagai fungsi waktu. Ketiga periode ini juga dapat terlhat pada gambar 4 yang
menunjukkan failure density function. Pada gambar ini terlihat bahwa periode II
tepat mewakili kurva negatif eksponensial. Periode III dapat diwakili oleh
distribusi normal, Weibull ataupun Gamma.
Secara umum bath-tub curve dapat digambarkan untuk komponen elektronik dan
mekanik. Komponen elektronik umumnya diwakili oleh useful life period yang
agak panjang, sementara komponen mekanik memiliki useful life period yang
relatif pendek.
1.5 Distribusi Poisson
Sebuah random variabel x dikatakan memiliki distribusi poisson jika probability
mass function dari x adalah:
!);(
xexp
xλλλ−
= dimana x = 0,1,2....... untuk λ>0
Poison distribution (sama seperti eksponential distribution) hanya berlaku jika λ
(dalam konteks reliability sering disebut dengan hazard rate atau failure rate)
adalah konstan di sepanjang waktu. λ disini bisa laju per unit waktu atau per unit
luas, miss: laju kegagalan komponen pada sistem mekanik, dsb. ”e” adalah nilai
dasar logaritmik natural yang besarnya adalah 2.71828.
8
Jika dt adalah interval yang cukup kecil, dimana probabilitas terjadinya lebih dari
satu kejadian (kegagalan) adalah nol (0) maka
λdt = probability of failure dalam interval dt, i.e. dalam periode (t, t+dt)
Kasus zero failure
Jika Px(t) adalah probabilitas terjadinya kegagalan sejumlah x kali dalam interval
(0,t) , maka probability of zero failure dalam rentang (0, t+dt) adalah probability
of zero failure dalam interval (0,t) x probability of zero failure dalam interval (t,
t+dt)
Po(t + dt) =Po(t) . (1 - λdt)
Jika kedua kejadian tersebut adalah bebas satu sama lain (independent) maka
[ Po(t + dt) - Po(t) ] / dt = -λPo(t)
Jika dt 0, atau interval menjadi sangat kecil dan mendekati nol (0), maka
dPo(t)/dt = -λPo(t) jika di integralkan akan menjadi ln Po(t) = -λt + C
Pada t=0, di asumsikan bahwa komponen dalam keadaan beroperasi, sehingga
pada t=0 Po(0) = 1, Ln Po(t) = 0 dan ini memberikan nilai C = 0, sehingga :
Po(t) = e-λ t ...................................................................................
Rumus diatas adalan ekspresi pertama dari poisson distribution yang
menunjukkan probability of zero failures dalam rentang waktu t. Dalam konteks
reliability, maka:
Keandalan sebagai fungsi waktu adalah R(t) = e-λ t
Ketidakhandalannya adalah Q(t) = 1- R(t) = 1- e-λ t
Probability of failure density function-nya adalah f(t) = -dR(t)/dt = λe-λ t
Kasus multiple failure
Jika Px(t) adalah peluang/probabilitas kegagalan terjadi x kali dalam interval (0, t),
maka:
9
Px (t+dt) = Px(t) . [ P(zero failure pada interval t, t+dt ) ] +
Px-1(t) . [ P(one failure pada interval t, t+dt ) ] +
Px-2(t) . [ P(two failure pada interval t, t+dt ) ] + .....
P0(t) . [ P(x failure pada interval t, t+dt ) ]
Akan tetapi karena dt adalah interval yang sangat kecil sehingga peluang
terjadinya kegagalan lebih dari satu adalah nol (0), maka:
Px (t+dt) = Px(t) . [ P(zero failure pada interval t, t+dt ) ] +
Px-1(t) . [ P(one failure pada interval t, t+dt ) ]
= Px (t)(1-λ dt) + Px-1(t)( λ dt)
= Px (t) - λ dt [ Px (t) - Px-1(t) ]
Dengan demikian, maka:
Px (t)=[ (λt)x . e-λ t ]/ x! ................................................................
Ekspresi λt diatas sering disimbolkan dengan μ yang tidak lain adalah expected
value (E(x) (nilai harapan).
Contoh 6.1:
Jika x adalah jumlah retak pada permukaan boiler yang dipilih secara acak dan
terdistribusi poisson dengan λ = 5, maka berapakah probabilitas boiler yang
secara acak dipilih akan memiliki retak sejumlah 2.
P(X=2) = [e-5 . (5)2] / 2! = 0.084
Peluang boiler memiliki paling banyak 2 retak adalah:
P(XO2) = ∑=
−−
=++=2
0
55
125.0)!2
2551(!5
x
xe
xe
Pada beberapa buku statistik, distribusi Poisson dipergunakan sebagai
pendekatan terhadap distribusi binomial. Hubungan antara distribusi Poisson dan
binomial dapat diuraikan sebagai berikut:
10
Peluang sebuah kejadian sukses sejumlah r kali dalam n kali eksperimen
dirumuskan dengan:
rnr qprnr
n −
−=
)!(!!Pr ............................................................
Jika n >> r, maka:
rnrnnnnrn
n≅+−−−=
−)1)......(2)(1(
)!(!
Sehingga, rnrr
qprn −=
!Pr
Demikian juga halnya jika nilai p adalah sangat kecil dan r relatif kecil jika
dibandingkan dengan n, maka
qn-r ≈ (1-p)n, sehingga akan memberikan
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−
+−=−= .....)(!2
)1(1!)()1(
!)(Pr 2pnnnp
rnpp
rnp r
nr
Jika nilai n adalah besar, maka n(n-1) ≈ n2, sehingga akan menghasilkan
nprr
er
npnpnpr
np −=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++−=
!)(.....
!2)(1
!)(Pr
2
Persamaan diatas terlihat identik dengan persamaan 412, dimana np = λt dan r =
x.
Harus diingat bahwa kesetaraan ini hanya berlaku jika nilai n relatif besar, n>>r
dan p sangat kecil. Acuan yang biasa dipergunakan adalah jika nilai n >20 dan
p<0.05. Harus juga diingat bahwa expected value untuk distribusi binomial
adalah (np) atau (λt) dalam distribusi Poisson. Standar deviasi untuk distribusi
binomial adalah σ = (npq)1/2 atau nilainya setara dengan (λt)1/2 pada distribusi
Poisson.
Contoh 6.2:
11
Peluang sukses dari satu eksperimen adalah 0.1, berapakah peluang dalam 10
kali eksperimen akan diperoleh 2 sukses dengan distribusi binomial dan
Poisson?
Dengan distribusi binomial diperoleh:
P(2) = 10C2 0.12 x 0.98 = 10!/(2!. 8!) x 0.12 x 0.98 = 0.1937
Dengan distribusi Poisson diperoleh:
np = 10 x 0.1 = 1.0
P(2) = 1.02/2! e-1.0 = 0.1839
Contoh 6.3:
Ulangi soal 6.2 diatas dengan jumlah eksperimen adalah 20 serta peluang
sukses satu eksperimen adalah 0.005.
Dengan distribusi binomial diperoleh:
P(2) = 10C2 0.12 x 0.98 = 20!/(2!. 18!) x 0.0052 x 0.99518 = 0.0043
Dengan distribusi Poisson diperoleh:
np = 20 x 0.005 = 0.1
P(2) = 0.12/2! e-0.1 = 0.0045
1.6 Distribusi Normal
Distribusi normal sering disebut dengan distribusi Gaussian adalah salah satu
jenis distribusi yang paling sering digunakan dalam menjelaskan sebaran data.
Probability density function dari distribusi normal adalah simetris terhadap nilai
rata-rata (mean) dan dispersi terhadap nilai rata-ratanya diukur dengan nilai
standard deviasi. Dengan kata lain parameter distribusi normal adalah mean dan
standard deviation.
12
Probability density function dari distribusi normal dapat ditulis dengan:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
2
2
2)(exp
21)(
βα
πβxxf
.......................................................
Jika mean (μ) dan standard deviasi (σ), maka ekspresi diatas dapat ditulis:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
2
2
2)(
exp2
1)(σ
μπσ
xxf
.......................................................
σ=3
0.399/σ
μ
σ=1
σ=2
f(x)
x
Gambar 1.4-5 Probability density function distribution normal
Q(x)
x0
10.841
0.5
0.159
μ μ + σμ - σ
λ(x)
x0
0.798/σ
μ
Gambar 1.4-6 Cummulative distribution function dan Hazard rate
Terlihat bahwa kurva melewati titik dengan probabilitas 0.5 jika random variabel x
memiliki nilai μ. (expected value). Ini adalah karakteristik khusus dari distribusi
normal yang menunjukkan bahwa distribusi normal sangat simetris terhadap nilai
rata-rata.
13
Nilai μ menunjukan posisi dari kurva dan sering disebut dengan istilah location
parameter. Nilai σ menunjukkan derajat kemencengan (dispersi) dan sering
dikenal dengan istilah scale parameter.
Luar daerah dibawah p.d.f adalah sama dengan satu (unity), dengan demikian
maka:
12
)(exp2
12
2=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−∫
∞
∞−
dxxσ
μπσ
Persamaan diatas berarti bahwa luasan daerah dibawah kurva density function
antara dua titik tidak terbatas harus mencakup semua random variable x yang
mungkin dan harus sama dengan satu.
Akan tetapi hitungan integral ini sangat kompleks. Karena itu, dalam kasus
distribusi normal umum digunakan teknik pendekatan dengan hitungan manual,
dengan konversi sebagai berikut:
z = (x-μ)/σ, yang akan menyederhanakan persamaan failure density function
menjadi:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
2exp
21)(
2zzfπ , ................................................................
dimana random variabel sekarang adalah z, nilai rata-rata (mean) nya adalah 0
(nol) dan standar deviasinya adalah 1 (unity). Substitusi ini menghasilkan kurva
standard dimana deviasi dari random variabel terhadap mean diekspresikan
dalam parameter z. (lihat tabel z pada buku-buku statistik). Pada tabel ini luasan
daerah dibawah kurva density function dapat dicari berdasarkan nilai μ dan nilai
σ.
Dari gambar 1.4-7 terlihat bahwa total luas dalam interval ± 3σ adalah 0.9972
atau mendekati 1 (unity). Dengan demikian nilai ± 3σ sering dipergunakan
sebagai confidence limit dari distribusi normal.
14
0.02140.0214
0.13590.1359
0.34130.3413
0-1 1 2-2 3-3
Gambar 1.4-7 Standard normal density function
Kasus: PLN memasang 2000 lampu yang memiliki usia rata-rata 1000 jam
pemakaian dengan standard deviasi 200 jam. Berapa lampu yang diharapkan
gagal setelah 700 jam operasi?
0 1.5 -1.5 1000 1300700
x
zxx
μ = 1000 dan σ = 200 z = (700-1000)/200
= -1.5, Dari tabel didapat luasannya
adalah:
0.5 – 0.4332 = 0.0668, sehingga:
Q(1.5) = 0.0668 , Q(-1.5) = 0.0668
E(x) = 2000x0.0668 = 134 lampu
Berapa lampukah diharapkan akan gagal dalam interval waktu 900 dan 1300 jam.
A1: z = (900-1000)/200 = -0.5
0 1.5 -0.51000 1300900
x
z
A1
A2 A2: z = (1300-1000)/200 = 1.5
Dari tabel A1 = 0.1915 A2 = 0.4332
Total area adalah = 0.1915+0.4332 =
0.6247
E(x) = 2000 x 0.6247 = 1250 lampu
Dalam berapa waktukah diperkirakan
15
bahwa 10% dari lampu akan mengalami
kegagalan:
0
10%
-1.2817 1000 744
x
z
harus dicari nilai z yang memberikan
luasan 10% seperti pada gambar
disamping.
0.5 - 0.1= 0.400, dimana z = -1,2817
Jadi (x-1000)/200 = -1.2817
X = 744 jam.
1.7 Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial, atau distribusi negatif eksponensial merupakan salah
satu distribusi yang paling sering muncul dalam konteks evaluasi keandalan.
Pada distribusi ini, laju kegagalan adalah konstan (λ = C). Distribusi
eksponensial adalah kasus khusus dari distribusi Poisson jika hanya kegagalan
yang pertama saja yang diperhitungkan. Distribusi eksponensial hanya berlaku
pada useful life period saja pada bath-tub curve.
Pada penjelesan sebelumnya telah diuraikan bahwa peluang sebuah komponen
sukses daram rentang waktu t jika hazard rate nya konstan adalah:
R(t) = e-λt ......................................................................................
Dengan demikian, failure density function nya adalah: f(t) = -dR(t)/dt =λe-λt ....................................................................
Density function (a) diwakili oleh cummulative failure distribution (Qt) dan survivor
function (Rt). Dua area ini dapt dihitung dengan:
∫ −− −==t
tt edtetQ0
.. 1.)( λλλ dan ∫∞
−− ==−=t
tt edtetQtR ...)(1)( λλλ
16
λ
t
f(t)
λ
0.368λ
1/λ
λ f(t)
0 t time
1.0
0.632
f(t) λ (t)
t t
(a)
(b) (c) (d)
Q(t)R(t)
1/λ
Gambar 1.4-8 (a) Q(t) dan (R(t), (b) failure d.f, (c) cum. Fail. Dist., (d) hazard rate
Nilai harapan (expected value (E(x)) untuk distribusi eksponensial dan standard
deviation-nya adalah 1/λ . Expected value ini berkorespondensi dengan Mean
Time To Failure (MTTF) yang merupakan kebalikan dari nilai failure rate (λ).
MTTF dan MTBF (Mean Time Between Failure) adalah dua hal yang berbeda.
MTTF akan relatif sama dengan MTBF jika repair time (pada kasus repairable
component) adalah sangat kecil jika dibandingkan dengan waktu operasi.
1.8 Distribusi Weibull
Distribuisi weibull juga merupakan salah satu jenis distribusi kontinyu yang sering
digunakan, khususnya dalam bidang keandalan dan statistik karena
kemamapuannya untuk mendekati berbagai jenis sebaran data.
Failure density function: ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
− β
β
β
ααβ tttf exp)(
1 dimana t>=0 dan β>0, α>0
17
αt
f(t)
1/α
0.368/αλ
α
1.0
0.632
Q(t) λ (t)
tt
β=1
(b) (c)
β=0.5
β=4 β=1
β=4
β=0.5 1/α β=1
β=4
β=0.5
(a)
Gambar 1.4-9 Weibull reliability function. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail.
Dist. (c) hazard rate
Survivor function : ∫∞
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−==
t
tdttftRβ
αexp)()(
Cummulative faiure distribution: ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=−=
β
αttRtQ exp1)(1)(
Hazard rate: β
β
αβλ
1.)()()(
−
==t
tRtft
Dimana β = shape parameter, α = η= scale patameter, γ = location parameter
β < 1 decreasing hazard rate (burn-in period)
β = 1 constant hazard rate (normal life period)
β > 1 increasing hazard rate (wear-out period)
Untuk weibull 3 parameter, variabel (t ) dikurangi dengan location parameter (γ)
Ada dua kasus khusus berkaitan dengan distribusi Weibull. Kasus yang pertama
adalah saat β = 1 dan yang kedua adalah saat β = 2.
Saat β = 1, maka failure density function nya adalah:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
ααttf exp1)( .................................................................
18
Dan
αλ 1
)()()( ==
tRtft ...........................................................................
Kedua persamaan diatas adalah identik dengan persamaan yang bersesuaian
pada distribusi eksponensial dengan α = 1/λ sebagai MTTF.
Saat β = 2, maka failure density function nya adalah:
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
2
2exp2)(
ααtttf ...............................................................
Dan
22
)()()(
αλ t
tRtft == ...........................................................................
Kedua persamaan diatas adalah identik dengan persamaan yang bersesuaian
pada distribusi Rayleigh dengan α = 1/λ sebagai MTTF.
Nilai harapan (expected value) dari distribusi Weibull diekspresikan dengan:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Γ=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= ∫
∞ −
11exp.)(0
1
βα
ααβ β
β
βdtttttE ..................................
Dimana Γ adalah fungsi Gamma yang didifinisikan sebagai:
∫∞
−−=Γ0
1)( dtet tγγ ..........................................................................
Standar deviasi distribusi Weibull adalah:
)(exp. 2
0
122 tEdtttt −
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= ∫
∞ − β
β
β
ααβσ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Γ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Γ= 1121 222
ββασ .....................................................
19
1.9 Distribusi Gamma
Distribusi Gamma memiliki karakter yang hampir mirip dengan distribusi Weibull
dengan shape parameter β dan scale parameter α. Dengan memvariasikan nilai
kedua parameter tersebut maka ada banyak jenis sebaran data yang dapat
diwakili oleh distribusi Gamma.
Failure density function: ( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
Γ=
−
αβα β
β tttf exp)(1
dimana t>=0 dan β>0, α>0
Survivor function : ( )
dtttdttftRt t∫ ∫∞ ∞ −
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
Γ==
αβα β
βexp)()(
1
Cummulative faiure distribution: ( )
dttttRtQt
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
Γ=−=
−
∫ αβα β
βexp)(1)(
1
0
Jika z=t/α dan αdz = dt, maka:
( ) ( )[ ]dzzztQt
−Γ
= ∫ − exp1)(/
0
1α
β
β.....................................................
Ada dua kasus khusus berkaitan dengan distribusi Gamma. Kasus yang pertama
adalah saat β = 1 dan yang kedua adalah saat β = integer.
Saat β = 1, maka failure density function nya adalah:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
ααttf exp1)( .................................................................
Persamaan diatas adalah identik dengan persamaan yang bersesuaian pada
distribusi eksponensial dengan α = 1/λ sebagai MTTF.
20
Saat β = integer, maka failure density function nya adalah:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=
−
αβα β
β tttf exp)1(
)(1
.......................................................
Berturut-turut expected value dan standar deviasi untuk distribusi Gamma adalah
E(t) = βα dan σ2 = βα2
α
β=1
αt
f(t)
1/α
0.368/α
α
1.0
0.632
Q(t) λ (t)
tt
β=1
(b) (c)
β=0.5
β=3 β=3
β=0.5
1/αβ=1
β=3
β=0.5
(a)
Gambar 1.4-10 Gamma reliability function. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail.
Dist. (c) hazard rate
1.10 Distribusi Rayleigh
Distribusi Rayleigh adalah kasus spesial dari distribusi Weibull. Distribusi ini
ditentukan oleh satu parameter sama seperti pada distribusi eksponensial.
Failure density function: ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2exp)(
2ktkttf dimana k adalah parameter tunggal
yang ekuivalen dengan kasus khusus distribusi Weibull saat β=2 dan k=2/α2
Survivor / reliability function : ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
2exp)(
2kttR
Cummulative faiure distribution: ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=−=
2exp1)(1)(
2kttRtQ
Hazard rate : λ(t) = kt
21
t
f(t) (k/c)1/2
0.368/α
1/(k)1/2
1.0
0.393
Q(t) λ (t)
tt
(b) (c)
K1/2
(a)
1/(k)1/2 1/(k)1/2
Gambar 1.4-11 Rayleigh reliability function. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail. Dist. (c) hazard rate
1.11 Distribusi Lognormal
Distribusi lognormal sama seperti distribusi normal memiliki 2 distribusi
parameter.
Probability density function dari distribusi normal dapat ditulis dengan:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
2
2
2)(lnexp
21)(
σμ
πσt
ttf untuk tP0
Dengan demikian maka random variabel X memiliki distribusi lognormal dengan
parameter σ dan μ jika ln X terdistribusi normal dengan parameter σ dan μ.
Namun perlu dicatat bahwa sekalipun σ dan μ adalah standar deviasi dan nilai
rata-rata dari ln X, kedua parameter tersebut bukanlah standar deviasi dan nilai
rata-rata dari X.
Cummulative failure distribution: ( ) dttt
tQt
∫ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
02
2
2lnexp
21)(
σμ
πσ
Jika z = (ln t - μ)/σ dan dz = dt/σt, maka:
( ) dzztQt
∫−
∞− ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
σμ
π
/)(ln 2
2exp
21)(
...............................................
Persamaan tersebut diatas identik dengan cummulative failure distribution
distribusi nornmal.
22
Expected value dan standar deviasi distribusi lognormal adalah:
E(t) = exp(μ+0.5σ2)......................................................................
σ = [exp(2μ+2σ2)- exp(2μ+σ2)]1/2...............................................
t
f(t)
eμ
1.0
0.5
Q(t) λ (t)
tt
1.5
(b) (c)
1.0
0.3 0.3
1.5
1.0
1.0
0.3
1.5
(a)
eμ eμ
Gambar 1.4-12 Lognormal reliability function. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail.
Dist. (c) hazard rate
23