Probability Review Week 3

Principles of Probability االحتماالت مبادئ

بذاته .. حدث عن للتعبير كلمة االحتمالالحدوث مؤكد غير

العشوائية (Random Experiment)التجربةيمكن ال ولكن معلومة نتائجها جميع تكون التي التجربة

مسبقا النتائج هذه بحدوث التنبؤ ألحد(:1مثال )

واحدة مرة نقود قطعة رميالكتابة : ظهور أو الصورة ظهور الممكنة نتائجها

Basic Definitionsتعاريف

العينة (Sample Space)فراغعشوائية لتجربة الممكنة النتائج جميع من المكونة المجموعة

لها ) (Sويرمزعينة : - نقطة تسمى نتيجة كل

( :1مثال )-S={H,T}

حيث: = Hالصورة

Tالكتابة =

Basic Definitions (cont.)

الحدث(Event)الحادثة ◦ من Aتكون اكثر او واحد التجربة في ظهر اذا وقعت

للتجربة المحتملة النتائج(:1مثال )◦صورة : Aالحادثة ◦ ظهور تمثل

A= {H}

: المتنافية الوقت الحاالت نفس في حادثتين وقوع استحالة

Basic Definitions (cont.)

منها كل عناصر وعدد التالية الحوادث احسبيللتجربة:

.. حيث مرتين نقود قطعة رميصورة{ على األولى Hالحصول الرمية =} Aفي

كتابة{ على األولى Tالحصول الرمية =} Bفياألقل{ على واحدة صورة على =} Cالحصول

Example

S={HH,HT,TH,TT} A={HH,HT} n(A)=2 B={TH,TT} n(B)=2 C={HH,HT,TH} n(c)=3

Answer

االتحادA B

التقاطعA B

المكملة الحادثةA

الحوادث على العمليات

C

Random Variables & Probability

Distributions

P(A)=

n(A) =الحادثة عناصر Aعدد =n(S) العينة فراغ عناصر Sعدد

( :1مثال)الرميتين؟ كال في صورة ظهور حدوث احتمال هو ما

A={HH} n(A)=1P(A)= 1/4

Probability االحتمـــال

n(A)

n(S)

عن الناتجة العينة فراغ نقاط على تعرف عددية قيمة هوعشوائية تجربة

: العشوائية التجارب مع التعامل تسهيل منه الغرض

( 1مثـــال:)النقود : قطعة لرمي العينة S={HH,HT,TH,TT}فراغ

العشوائي المتغير الظاهرة = Xنعرف الصور عددفيكون:

X({HH})=2 , X({HT})=1 , X({TH})=1X({TT})=0

: العشوائي للمتغير الممكنة القيمx=0,1,2

العشوائي Random المتغيرVariable

مع عشوائي لمتغير الممكنة القيم جميع وضع هودالة : او جدول في احتماالتها

f(x)=p(X=x), ∀x

االحتمالي تسمى التوزيع Probability Distribution) دالةFunction )

االحتمالية ) الكتلة دالة (Probability Mass Functionأو

Probability distributionاالحتمالي التوزيع

العشوائي للمتغير االحتمالي التوزيع الصور = Xدالة عددالظاهرة:

خواصها:بين )- قيمها (1-0تتراوح-= االحتمالية الدالة 1مجموع

(1مثال )

f(x)=P(X=x)Probability Distribution

Function

XRandom Variable

1/4 0

2/4 1

1/4 2

f(x)=p(X<=x)

F(0)=P(X<=0)=1/4F(1)=P(X<=1)=3/4

F(2)=P(X<=2)=4/4 =1

Cumulative Distribution Functionالتراكمي التوزيع دالة

هي للمتغير المتوقعة القيمة أو E(X)او תالمتوسط

E(X)=Ƹxi.f(xi) (i=1…n)

Expected Value of a Random Variable

العشوائي المتغير توقع

x.f(x)Expected Value

f(x)=P(X=x)Probability

Distribution Function

xRandom Variable

0 1/4 0

2/4 2/4 1

2/4 1/4 2

1 E(X)=Ƹxi.f(xi)

V(X)=E(X²)-[E(X)] ²

Variance of a Random Variableالعشوائي المتغير تبايـــن

x². f(x)Variance

x.f(x)Expected Value

f(x)=P(X=x)Probability Distribution

Function

xRandom Variable

0 0 1/4 0

2/4 2/4 2/4 1

4/4 2/4 1/4 2

6/4 - 1=1/2 V(X) =E(X²)-[E(X)] ²

Discrete Uniform Distribution Poisson Distribution

Special Discrete Probability Distributions:الخاصة المتقطعة االحتمالية التوزيعات بعض

عشوائي لمتغير توزيع متساوية Xهو احتماالت قيمهf(x1)=f(x2)=……=f(xn)

f(x)=1/n

Variance of a Random Variable = V(X)=E(X²)-[E(X)] ² Expected Value of a Random Variable = E(X)=Ƹxi.f(xi)

(i=1…n)

Discrete Uniform Distributionالمتقطع المنتظم التوزيع

( من على مرقم متزن مكعب المتغير( , 6-1رمي عرفالعشوائي

X = األعلى في الظاهر الرقمRandom value: 1,2,…..,6f(x)=1/6E(X)=1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6

+6*1/6 = 21/6V(X)= 91/6 – (21/6)² = 105/36

مثال

تحدث التي األحداث عدد يمثل عشوائي متغير توزيع هومحددة مكانية أو زمنية فترة في

f(x)=

E(X)= ℷ V(X)= ℷ

Poisson Distributionبواسون توزيع

ℷˣx!

e -ℷ

الموانئ احد الى السفن وصول متوسط كان اذاتصل . ان احتمال أوجد اليوم في 3سفينتان

معين يوم في الميناء لهذا سفن

العشوائي المتغير الواصلة= Xتعريف السفن عدد الممكنة ,…x=0,1,2القيم تصل ان هو 3احتمال معين يوم في الميناء لهذا سفن

f(3)=(2)ˣ / 3! * e = 0.18

مثـــال

-2