11 chuyen de on vao chuyen toan co dap an

Mét sè ®Ò «n thi vµo chuyªn to¸n ( cã ®¸p ¸n)

§Ò 1Bµi 1: (8 ®iÓm)

Cho parabol 21

( ) :3

P y x=.

1. ViÕt ph¬ng tr×nh çc tiÕp tuyÕn cña (P), biÕt çc tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm (2;1)A .

2. Gäi d lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm (2;1)A vµ cã hÖ sè gãc m. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®êng th¼ng d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N, khi ®ã t×m quÜ tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN khi m thay ®æi.

3. T×m quÜ tÝch çc ®iÓm M0 tõ ®ã cã thÓ kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn cña parabol (P) vµ hai tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi nhau.

Bµi 2: (4®iÓm)

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:2 2 19

7

x y xy

x y xy

+ − = + + = −

Bµi 3: (8 ®iÓm)

Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc nöa ®êng trßn. ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC, vÏ çc h×nh vu«ng BCDE vµ ACFG. Gäi Ax, By lµ çc tiÕp tuyÕn cña nöa ®êng trßn.

1. Chøng minh r»ng khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn ®· cho th× ®êng th¼ng ED lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh vµ ®êng th¼ng FG lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh kh¸c.

2. T×m quÜ tÝch cña çc ®iÓm E vµ G khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn ®· cho.

3. T×m quÜ tÝch cña çc ®iÓm D vµ F khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn ®· cho.

HÕt

1

§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:

Bµi 1 ý Néi dung §iÓm1. 8,0

1.1 (2,0 ®iÓm)Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d1 ®i qua A(2; 1) cã d¹ng: y = ax + b vµ 1 = 2a + b, suy ra b = 1 - 2a, do ®ã d1: y = ax - 2a+1.

0,50

Ph¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d1 vµ (P) lµ:2 21

2 1 3 6 3 03x ax a x ax a= − + ⇔ − + − =

0.50§Ó d1 lµ tiÕp tuyÕn cña (P) th× cÇn vµ ®ñ lµ:

'∆ = 2

29 24 12 0 2

3

aa a

a

=∆ = − + = ⇔ = 2,0

VËy tõ A(2; 1) cã hai tiÕp tuyÕn ®Õn (P) lµ:

1 2

2 1: 2 3; :

3 3d y x d y x= − = −

0,501.2 (4,0 ®iÓm)

Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d ®i qua A(2; 1) cã hÖ sè gãc m lµ:1 2y mx m= + − 0,50

Ph¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d vµ (P) lµ:2 21

2 1 3 6 3 0 (2)3x mx m x mx m= − + ⇔ − + − =

0,50§Ó d c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt th× cÇn vµ ®ñ lµ:

2 2 8 49 24 12 0 9 0

3 3m m m m ∆ = − + > ⇔ − + > ÷

24 4 4 2

03 9 3 3

m m ⇔ − − > ⇔ − > ÷

4

34 2

23 3

(*)34 23

4 2

3 3

m

mm

mm

m

≥ − > < ⇔ ⇔ >< − > 1,5

2

Víi ®iÒu kiÖn (*), d c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm M vµ N cã hoµnh ®é lµ x1 vµ x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2), nªn to¹ ®é trung ®iÓm I cña MN lµ:

1 2

2

2 2 2 2; 2 1; 33

3 3 3 32 2

2 41 2 13 3

x x xm x xx x m

xIy mx m y x x

= < > ⇔ < >+ ÷= = ⇔ = + − = − + 1,0

VËy khi m thay ®æi, quÜ tÝch cña I lµ phÇn cña parabol 22 4

13 3

y x x= − + , giíi h¹n bëi 1; 3x x< > .0,50

1.3 (2,0 ®iÓm)

Gäi 0 0 0( ; )M x y lµ ®iÓm tõ ®ã cã thÓ vÏ 2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc ®Õn (P). Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d' qua M0 vµ cã hÖ sè gãc k lµ: y kx b= + , ®êng th¼ng nµy ®i qua M0 nªn 0 0 0 0y kx b b y kx= + ⇔ = − ,

suy ra pt cña d': 0 0y kx kx y= − + . 0,50Ph¬ng tr×nh cho hoµnh ®é giao ®iÓm cña d vµ (P) lµ:

2 20 0 0 0

13 3 3 0

3x kx kx y x kx kx y= − + ⇔ − + − = (**)

0,50§Ó tõ M0 cã thÓ kÎ 2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc tíi (P) th× ph¬ng tr×nh:

20 09 12 12 0k kx y∆ = − + = cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 1 2,k k vµ 1 2 1k k = −

00

12 31

9 4

yy⇔ = − ⇔ = −

0,50VËy quÜ tÝch çc ®iÓm M0 tõ ®ã cã thÓ vÏ ®îc 2 tiÕp tuyÕn vu«ng

gãc cña (P) lµ ®êng th¼ng 3

4y = −

0,502. (4,0 ®iÓm)

( ) 22 2 219 3 193 19

7 77

S x yx y xy S Px y xyP xyx y xy S Px y xy

= + + − = − = + − =⇔ ⇔ ÷=+ + = − + = −+ + = − (1)

1,0Gi¶i hÖ (1) ta ®îc: ( 1; 6), ( 2; 5)S P S P= − = − = − = − 1,0

Gi¶i çc hÖ ph¬ng tr×nh tÝch, tæng: 1

6

x y

xy

+ = − = −

vµ 2

5

x y

xy

+ = − = −

ta cã

çc nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho lµ:

3 2 1 6 1 6; ; ;

2 3 1 6 1 6

x x x x

y y y y

= − = = − − = − + = = − = − + = − − 2,0

3

3. 8,0 3.1

Gäi K lµ giao ®iÓm cña Ax vµ GF, I lµ giao ®iÓm cña By vµ ED. Ta cã: · · 090BEI BCA= =· ·EBI CBA= (gãc cã çc c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc)

BE BC= ,Do ®ã:BEI BCA BI BA∆ = ∆ ⇒ = mµ By cè ®Þnh, suy ra

®iÓm I cè ®Þnh.+ T¬ng tù, K ccè ®Þnh.+ VËy khi C di chuyÓn trªn nöa ®êng trßn (O) th× dêng th¼ng ED ®i qua ®iÓm I cè ®Þnh vµ ®êng th¼ng GF ®i qua ®iÓm K cè ®Þnh. 3,0

3.2 Suy ra quÜ tÝch cña I lµ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BI (bªn ph¶i By, ,C A E I C B E B≡ ⇒ ≡ ≡ ⇒ ≡ ); quÜ tÝch cña K lµ nöa ®êng trßn ®-

êng kÝnh AK(bªn tr¸i Ax, ,C A G A C B G K≡ ⇒ ≡ ≡ ⇒ ≡ ).

2,03.3

XÐt 2 tam gi¸c BEI vµ BDK, ta cã:

1

2

BE BI

BD BK= =

· · · ·

· ·

045EBI IBD KBD IBD

EBI KBD

+ = + =

⇒ =Do ®ã:

· · 090

BEI BDK

BDK BEI

∆ ∆

⇒ = =

:

+ VËy: QuÜ tÝch cña D lµ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BK.+ T¬ng tù, quÜ tÝch cña F lµ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AI.

3,0

§Ò 2

4

Bµi 1: (7 ®iÓm)

1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4 41 2 9 6 2x x x x+ − + + − =2. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ çc sè kh«ng ©m vµ b lµ sè trung b×nh

céng cña a vµ c th× ta cã:1 1 2

a b b c c a+ =

+ + +

Bµi 2: (6 ®iÓm)

1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 2

2

3 5

1

x xy

x

+ +=+

.

2. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:2 22 3 2 4 3 0x y xy x y+ + − − + =

Bµi 3: (7 ®iÓm)

Cho ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R, hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. E lµ ®iÓm bÊt k× trªn cung AD. Nèi EC c¾t OA t¹i M, nèi EB c¾t OD t¹i N.

1. Chøng minh r»ng tÝch OM ON

AM DN× lµ mét h»ng sè. Suy ra gi¸ trÞ nhá nhÊt

cña tæng OM ON

AM DN+ , khi ®ã cho biÕt vÞ trÝ cña ®iÓm E ?

2. Gäi GH lµ d©y cung cè ®Þnh cña ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R ®· cho vµ GH kh«ng ph¶i lµ ®êng kÝnh. K lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn cung lín GH. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña K ®Ó chu vi cña tam gi¸c GHK lín nhÊt.

HÕt

5


Bµi ý Néi dung §iÓm1. 7,0

1.1 (2,0 ®iÓm)

4 41 2 9 6 2x x x x+ − + + − = ( ) ( )2 24 41 3 2x x⇔ − + − =

( )4 4 41 3 2 (1) 1 3 2 0; 0 (2)x x y y y x x⇔ − + − = ⇔ − + − = = ≥ ≥ (1)

1,0

• 0 1: 1 0, 3 0y y y≤ ≤ − ≤ − < , nªn (2) 1 3 2 1y y y⇔ − + − = ⇔ = (tho¶ §K)1x⇔ = lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)

• 1 3: 1 0, 3 0y y y< ≤ − > − ≤ , nªn pt (2) 1 3 2 0 0y y y− + − = ⇔ =do ®ã pt (2) cã v« sè nghiÖm y (1 3y< ≤ ), suy ra pt (1) cã v« sè nghiÖm x (1 81x< ≤ ). 1,0• 3: 1 0, 3 0y y y> − > − > , nªn pt (2) 1 3 2 3y y y⇔ − + − = ⇔ = , pt v«

nghiÖm.

• VËy tËp nghiÖm cña pt (1) lµ: [ ]1; 81S = 1,01.2 (3,0 ®iÓm)

1 1 2

1 1 1 1(*)

a b b c c a

a b c a c a b c

+ =+ + +

⇔ − = −+ + + + 0,50

Ta cã: ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 c bA

a b c a a b c a

c b

a b c a b c

−= − =+ + + +

−=+ + + 0,50

Theo gi¶ thiÕt: 22

a cb a c b b a c b

+= ⇔ + = ⇔ − = − , nªn:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )b a b ab a

Aa b b c c a a b b c c a

− +−= =+ + + + + + 1,0

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 1b a b c c aA

c a b cb c c a b c c a

− + − += = = −

+ ++ + + +

§¼ng thøc (*) ®îc nghiÖm ®óng. 1,0

6

2. 6,02.1 (3,0 ®iÓm)

2

2

3 5

1

x xy

x

+ +=+

(x¸c ®Þnh víi mäi x∈R ) ( ) 21 3 5 0 (**)y x x y⇔ − − + − =0,5

• 1:y = pt (**) cã nghiÖm 4

3x = −

• 1:y ≠ ®Ó pt (**) cã nghiÖm th×: 29 4( 1)( 5) 4 24 11 0y y y y∆ = − − − = − + − ≥ 1,0

( ) ( )225 5 5 5 1 113 0 3 3 1

4 2 2 2 2 2y y y y y⇔ − − ≥ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ≠

1,0

VËy tËp gi¸ trÞ cña y lµ 1 11;2 2

, do ®ã 11 1;

2 2Max y Min y= =

0,52.2 (3,0 ®iÓm)

( )2 2 2 22 3 2 4 3 0 3 2 2 4 3 0x y xy x y x y x y y+ + − − + = ⇔ + − + − + = (***) 0,5§Ó pt (***) cã nghiÖm nguyªn theo x, th×:

( ) ( )2 2 23 2 4 2 4 3 4 8y y y y y∆ = − − − + = + − lµ sè chÝnh ph¬ng.

( ) ( ) 22 2 24 8 2 12y y k k y k⇔ + − = ∈ ⇔ + − =Z( 2 )( 2 ) 12 ( )y k y k a⇔ + − + + = 1,0

Ta cã: Tæng ( )2 ( 2 ) 2( 2)y k y k k+ − + + + = + lµ sè ch½n, nªn

( )2 ; ( 2 )y k y k+ − + + cïng ch½n hoÆc cïng lÎ. Mµ 12 chØ cã thÓ b»ng tÝch 1.12 hoÆc 2.6 hoÆc 3.4, nªn chØ cã çc hÖ ph¬ng tr×nh sau:

2 2 2 6 2 6 2 2; ; ; ;

2 6 2 2 2 2 2 6

y k y k y k y k

y k y k y k y k

+ − = + − = + − = − + − = − + + = + + = + + = − + + = − 0,5Gi¶i çc hÖ pt trªn ta cã çc nghiÖm nguyªn cña pt (a): ( ) ( ) ( ) ( )2; 2 , 2; 2 , 6; 2 , 6; 2y k y k y k y k= = = = − = − = = − = − 0,5Thay çc gi¸ trÞ 2; 6y y= = − vµo pt (***) vµ gi¶i pt theo x cã çc nghiÖm nguyªn (x; y) lµ:( 1; 2), ( 3; 2);( 11; 6), ( 9; 6)x y x y x y x y= − = = − = = = − = = − 0,5

3. 7,0(4 ®) 3.1 Ta cã: COM CED∆ ∆: v×:

µ µ 090O E= = ; µC chung. Suy ra:

.(1)

OM CO EDCOOM

ED CE CE= ⇔ =

Ta cã: AMC EAC∆ ∆: v×:

µC chung , µ µ 045A E= = . Suy ra:

.(2)

AM AC EA ACAM

EA EC CE= ⇔ =

Tõ (1) vµ (2): .

(3). 2

OM OC ED ED

AM AC EA EA= =

1,07

ONB EAB∆ : µ µ µ( )090 ;O E B chung= = .(4)

ON OB OB EAON

EA EB EB⇒ = ⇒ =

µ µ µ 0 .( , 45 ) (5)

DN DB DB EDDNB EDB B chung D E DN

ED EB EB∆ ∆ = = ⇒ = ⇒ =:

Tõ (4) vµ (5): .

(6). 2

ON OB EA EA

DN DB ED ED= = . Tõ (3) vµ (6):

1

2

OM ON

AM DN× =

1,0

§Æt ,OM ON

x yAM DN

= = . Ta cã: x, y kh«ng ©m vµ:

( ) 2 12 0 2 2 2

2x y x y xy x y xy− = + − ≥ ⇔ + ≥ = =

DÊu "=" xÈy ra khi: 1

12

2

x yx y

xy

= ⇔ = = = 1,0

VËy: Tæng min

12

2 2

OM ON OM EDkhi EA ED

AM DN AM EA

+ = = = ⇔ = ÷

⇔ E lµ trung ®iÓm cña d©y cung »AD . 1,03.2 (3,0 ®iÓm)

GKH∆ cã c¹nh GH cè ®Þnh, nªn chu vi cña nã lín nhÊt khi tæng KG KH+ lín nhÊt.Trªn tia ®èi cña tia KG lÊy ®iÓm N sao cho KN = KH. Khi ®ã, HKN∆ c©n t¹i K.

Suy ra · ·12

GNH GKH= vµ

KG KH KG KN GN+ = + =

mµ · ¼12

GKH GH= (gãc néi

tiÕp ch¾n cung nhá ¼GH

cè ®Þnh), do ®ã ·GNH kh«ng ®æi. VËy N ch¹y trªn cung trßn (O') tËp hîp çc ®iÓm nh×n ®o¹n GH díi

gãc ·14GOHα = kh«ng ®æi.

1,5GN lµ d©y cung cña cung trßn (O') nªn GN lín nhÊt khi GN lµ ®êng kÝnh cña cung trßn, suy ra GHK∆ vu«ng t¹i H, do ®ã · ·KGH KHG= (v× lÇn lît phô víi hai gãc b»ng nhau). Khi ®ã, K lµ trung ®iÓm cña cung lín ¼GH .VËy: Chu vi cña GKH∆ lín nhÊt khi K lµ trung ®iÓm cña cung lín ¼GH . 1,5

8

§Ò 3

Bµi 1: (8 ®iÓm)Cho ph¬ng tr×nh 2 22 2 2 0 (1).x mx m− + − = .4. T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm d¬ng ph©n

biÖt.5. T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt 1x

vµ 2x tho¶ m·n hÖ thøc 3 31 2

5

2x x+ = .

6. Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm kh«ng ©m. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.

Bµi 2: (4®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 24 3 4x x x x− + = − (2)

Bµi 3: (8 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC cã · 060 ; ;ABC BC a AB c= = = ( ,a c lµ hai ®é dµi cho tríc),

H×nh ch÷ nhËt MNPQ cã ®Ønh M trªn c¹nh AB, N trªn c¹nh AC, P vµ Q ë trªn c¹nh BC ®îc gäi lµ h×nh ch÷ nhËt néi tiÕp trong tam gi¸c ABC.

1. T×m vÞ trÝ cña M trªn c¹nh AB ®Ó h×nh ch÷ nhËt MNPQ cã diÖn tÝch lín nhÊt. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã.

2. Dùng h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp trong tam gi¸c ABC b»ng thíc kÎ vµ com-pa. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh vu«ng ®ã.

HÕt

9


Bµi 1 ý Néi dung §iÓm1. 8,0

1.1 (2,0 ®iÓm)§Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt, cÇn vµ ®ñ lµ:

2

2

' 4 0

20

20

m

mP

S m

∆ = − >

− = >

= >

0.5

2

2 2 2

0

m

m m

m

<

⇔ > ⇔ < < > 1.5

1.2 (3,0 ®iÓm)Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 2' 4 0 2 2m m⇔ ∆ = − > ⇔ − < < (*) 0,50

( ) ( ) 23 31 2 1 2 1 2 1 2

5 53

2 2x x x x x x x x + = ⇔ + + − = 0,50

22 33( 2) 5

6 5 02 2

mm m m m

−⇔ − = ⇔ − + = 0,5

( ) ( )21 2,3

1 211 5 0 1;

2m m m m m

−⇔ − + − = ⇔ = = m

0,5

Ta cã: 2

1 21 3 21 1 212 0 2

2 2 2x

− − − + − −− − = > ⇔ = < −

3

1 210 2

2x

− += > > − vµ 3 3

5 212 0 2

2x x

−− = > ⇔ <0,5

VËy: Cã 2 gi¸ trÞ cña m tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n: 1 211;

2m m

− += =0,5

1.3 (3,0 ®iÓm)Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m khi vµ chØ khi:

2

2

' 4 0

20 2 2 (**)

20

m

mP m

S m

∆ = − ≥

− = ≥ ⇔ ≤ ≤

= > 0,50

10

Khi ®ã 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ:

( )2 2

1 2 1 2

4 4; 0 2;2

2 2

m m m mx x x x m

− − + − = = ⇒ ≤ ≤ ∀ ∈ 0,50Hai nghiÖm nµy kh«ng thÓ ®ång thêi b»ng 0, nªn nghiÖm d¬ng cña

ph¬ng tr×nh lµ 2

2

40

2

m mx

+ −= > . Suy ra:

( )2 22 2 222

4 2 42 4 4

4 4

m mm m m mx

+ −+ − + −= =0,50

Theo bÊt ®¼ng thøc C«-si:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 2 4 2 4 4m m m m m m+ − ≥ − ⇔ − ≤ 0,50Suy ra: 2

2 22 2x x≤ ⇔ ≤ .

DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi: 2 24 2 2;2m m m = − ⇔ = ∈ . 0,5VËy nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 2 2khim = 0,5

2. (4,0 ®iÓm)

( )2

2 222 2

4 04 3 4

4 3 4

x xx x x x

x x x x

− ≥− + = − ⇔ − + = −

(2)

( )

2

2

2

2

4 00 4

4 2 43 0

3

t x xt

t xt t

t t

= − ≥ ≤ ≤⇔ = − − ≤ ⇔

+ − = − =

(3)

0,5

1,0Giải phương trình theo t, ta có:

1

1 130

2t

− −= < (lo¹i); 2

1 130

2t

− += >

2 2

13 94 0 4

2t t

−− = < ⇔ < . Suy ra nghiÖm cña (3) lµ 2t .1,0

Gi¶i ph¬ng tr×nh 1

2 22 2

2

9 132

24 4 0

9 132

2

xx x t x x t

x

− = −− = ⇔ − + = ⇔

− = +VËy: ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

1,2

9 132

2x

−= ±

1,0

0,5

11

3. 8,0 3.1 + §Æt (0 )AM x x c= ≤ ≤ .

Ta cã:

MN AM ax

MNBC AB c

= ⇔ =

( )0 3sin 60

2

c xMQ BM

−= = .

Suy ra diÖn tÝch cña MNPQ lµ:

( ) ( )3 3

2 2

ax c x aS x c x

c c

−= = −

2,0

+ Ta cã bÊt ®¼ng thøc: 2

( 0, 0)2 2

a b a bab ab a b

+ + ≥ ⇔ ≤ > > ÷

¸p dông, ta cã: 2 2

( )2 4

x c x cx c x

+ − − ≤ = ÷ .

DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi: 2

cx c x x= − ⇔ = .

Suy ra: 23 3

2 4 8

a c acS

c≤ × = .

VËy: max

3

8

acS = khi

2

cx = hay M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC.

2,0

12

3.2 + Gi¶ sö ®· dùng ®îc h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp trong tam gi¸c ABC. Nèi BF, trªn ®o¹n BF lÊy ®iÓm F'. Dùng h×nh ch÷ nhËt: E'F'G'H' ( ' ; ', ' )E AB G H BC∈ ∈ .Ta cã: E'F'//EF vµ F'G'//FG, nªn:

' ' ' ' ' 'E F BE BF F G

EF BE BF FG= = =

' ' ' 'E F F G⇒ = . Do ®ã E'F'G'H' lµ h×nh vu«ng. 1,0+ Çch dùng vµ chøng minh: Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E' tuú ý, dùng h×nh vu«ng E'F'G'H' (G', H' thuéc c¹nh BC). Dùng tia BF' c¾t AC t¹i F. Dùng h×nh ch÷ nhËt EFGH néi tiÕp tam gi¸c ABC. Chøng minh t-¬ng tù trªn, ta cã EF = FG, suy ra EFGH lµ h×nh vu«ng. 1,0

+ Ta cã: 0' 1cot 60

' ' 3

BHg

E H= = ;

· ' ' ' ' ' 1cot ' 1 1

' ' ' ' ' ' 3

BG BH H G BHgF BC

F G F G E H

+= = = + = + .

Suy ra: Tia BF' cè ®Þnh khi E' di ®éng trªn AB, c¾t AC t¹i mét ®iÓm F duy nhÊt.Trêng hîp h×nh vu«ng E'F'G'H' cã ®Ønh F' ë trªn c¹nh AC; G' vµ H' ë trªn c¹nh BC, lý luËn t¬ng tù ta còng cã tia CE' cè ®Þnh, c¾t AB t¹i E.VËy bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh duy nhÊt.

1,0

+ §Æt AE x= . Ta cã EF AE ax

EFBC AB c

= ⇒ = ;

( ) ( ) 3sin

2

c xHE c x B

−= − =

EFGH lµ h×nh vu«ng, nªn 2( ) 3 3

2 2 3

ax c x cEF EH x

c a c

−= ⇔ = ⇔ =+

Suy ra diÖn tÝch h×nh vu«ng EFGH lµ: ( )2 2

22

3

2 3

a cS EF

a c= =

+ 1,0

13

§Ò 4Bµi 1: (7 ®iÓm)

3. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 4

4

3 4

3 4

x y

y x

+ =

+ =4. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ çc sè tho¶ m·n çc bÊt ®¼ng thøc:

2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c c a b b c a

a b b c c a a b b c c a a b b c c a+ + ≥ + + ≥ + +

+ + + + + + + + +

Th× | | | | | |a b c= =

Bµi 2: (6 ®iÓm)3. X¸c ®Þnh h×nh vu«ng cã ®é dµi c¹nh lµ sè nguyªn vµ diÖn tÝch còng lµ

sè nguyªn gåm 4 ch÷ sè, trong ®ã çc ch÷ sè hµng ®¬n vÞ, hµng chôc vµ hµng tr¨m gièng nhau.

4. A, B, C lµ mét nhãm ba ngêi th©n thuéc. Cha cña A thuéc nhãm ®ã, còng vËy con g¸i cña B vµ ngêi song sinh cña C còng ë trong nhãm ®ã. BiÕt r»ng C vµ ngêi song sinh cña C lµ hai ngêi kh¸c giíi tÝnh vµ C kh«ng ph¶i lµ con cña B. Hái trong ba ngêi A, B, C ai lµ ngêi kh¸c giíi tÝnh víi hai ngêi kia ?

Bµi 3: (7 ®iÓm)

Cho ®êng trßn (O) t©m O, b¸n kÝnh R, hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. §êng trßn (O1) néi tiÕp trong tam gi¸c ACD. §êng trßn (O2) tiÕp xóc víi 2 c¹nh OB vµ OD cña tam gi¸c OBD vµ tiÕp xóc trong víi ®êng trßn (O). §êng trßn (O3) tiÕp xóc víi 2 c¹nh OB vµ OC cña tam gi¸c OBC vµ tiÕp xóc trong víi ®êng trßn (O). §êng trßn (O4) tiÕp xóc víi 2 tia CA vµ CD vµ tiÕp xóc ngoµi víi ®êng trßn (O1). TÝnh b¸n kÝnh cña çc ®êng trßn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R.

HÕt

14

§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:Bµi ý Néi dung §iÓm1. 7,0

1.1 (4,0 ®iÓm)

4

4

3 4

3 4

x y

y x

+ =

+ =. §iÒu kiÖn ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ:

34

34

x

y

≥

≥ (*)

0,5

Víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: 4 4

4 4 4

3 4 3 4 ( )

3 4 4( ) 0( )

x y x y a

y x x y x y b

+ = + =⇔

+ = − + − = 1,0

( ) ( ) ( )2 2( ) 4 0b x y x y x y ⇔ − + + + = 0x y x y⇔ − = ⇔ =

(v× 3, 04x y ≥ > nªn ( ) ( )2 2 4 0x y x y+ + + > ). 1,0Thay vµo (a): ( )4 4 43 4 4 3 0 1 4 1 0x y x x x x+ = ⇔ − + = ⇔ − − − =

( ) ( ) ( ) ( )23 2 21 3 0 1 2 3 0 1x x x x x x x x⇔ − + + − = ⇔ − + + = ⇔ =

v× ( ) 22 2 3 1 2 0x x x+ + = + + > .

So víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: 31 4x y= = > .

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : 1

1

x

y

= = 1,5

1.2 (3,0 ®iÓm)§iÒu kiÖn: ; ;a b b c c a≠ − ≠ − ≠ − 0,50Ta cã

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c b c a a b b c c a

a b b c c a a b b c c a a b b c c a

− − −+ + − + + = + + ÷+ + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 0a b b c c a= − + − + − = 0,50

Suy ra: 2 2 2 2 2 2a b c b c a

a b b c c a a b b c c a+ + = + +

+ + + + + +

Do ®ã: 2 2 2 2 2 2a b c c a b

a b b c c a a b b c c a+ + = + +

+ + + + + +( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 4 4 42 2 2 2 2 2

0 0a c a b c b a b ca c b a c b

a b b c c a a b b c c a

+ + − + +− − −⇒ + + = ⇒ =+ + + + + + 1,0

15

( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 4 4 42 2 2 20

2

a c a b c b a b c

a b b c c a

+ + − + +⇒ =

+ + +

( ) ( ) ( )4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 22 2 2

02

a a c c a a b b b b c c

a b b c c a

− + + − + + − +⇒ − =+ + +

( ) ( ) ( )2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2

0

0 0

0

a b

a b b c c a b c

c a

− =⇒ − + − + − = ⇔ − = − =

2 2 2 | | | | | |a b c a b c⇔ = = ⇔ = = 1,02. 6,0

2.1 (4,0 ®iÓm)Theo gi¶ thiÕt diÖn tÝch cña h×nh vu«ng cã d¹ng

( )2 0,S abbb k k k= = > ∈Z 0,521000 9999 33 99k k≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ , nªn k chØ gåm 2 ch÷ sè: 10k xy x y= = +

( )2 2 2100 20 3 9;0 9k x xy y x y= + + ≤ ≤ ≤ ≤ . 1,0NÕu y lÎ: 21;3;5;7;9 1;9;25;49;81 1;5;9y y b= ⇒ = ⇒ = . Khi ®ã 2xy cã ch÷ sè tËn cïng lµ sè ch½n, nªn ch÷ sè hµng chôc cña 2k ph¶i lµ sè ch½n kh¸c víi 1; 5; 9, do ®ã S kh«ng thÓ lµ abbb . 1,0NÕu y ch½n: 20;2;4;6;8 0;4;16;36;64 0;4;6y y b= ⇒ = ⇒ =Víi y = 0: 2k chØ cã thÓ lµ 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 kh«ng tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n.Víi y = 2: 2 2100 40 4k x x= + + . Khi ®ã x chØ cã thÓ lµ 6 th× ch÷ sè hµng chôc cña k2 míi lµ 4, suy ra 2 3600 244 3844k abbb= + = ≠ .Víi y = 4; 6: 2 16;36y = , khi ®ã 20xy cã ch÷ sè hµng chôc lµ sè ch½n, nªn ch÷ sè hµng chôc cña k2 ph¶i lµ sè lÎ, do ®ã kh«ng thÓ b»ng 4 hoÆc 6, nghÜa lµ 2k abbb≠ .Víi y = 8: y2 = 64; 2 2100 160 64k x x= + + , khi ®ã x chØ cã thÓ lµ 3 hoÆc 8 th× ch÷ sè hµng chôc cña k2 míi b»ng 4, suy ra 2 238 1444k = = hoÆc 2 288 7744k = = (kh«ng tho¶ ®iÒu kiÖn bµi to¸n).VËy: bµi to¸n cã mét lêi gi¶i duy nhÊt: H×nh vu«ng cÇn x¸c ®Þnh cã c¹nh 38k = vµ diÖn tÝch 1444S = .

0,5

0,5

0,5

2.2 (2,0 ®iÓm)Theo gi¶ thiÕt, cha cña A cã thÓ lµ B hoÆc C:

+ NÕu B lµ cha cña A th× C kh«ng thÓ song sinh víi A, v× nÕu nh thÕ th× C lµ con cña B, tr¸i gi¶ thiÕt, do ®ã C vµ B lµ song sinh vµ kh¸c giíi tÝnh (gt), nªn C lµ ph¸i n÷. MÆt kh¸c, con g¸i cña B kh«ng thÓ lµ C nªn ph¶i lµ A, do ®ã A lµ ph¸i n÷. VËy B kh¸c giíi tÝnh víi hai ngêi cßn l¹i lµ A vµ C (cïng lµ ph¸i n÷). 1,0

16

+ NÕu C lµ cha cña A th× C chØ cã thÓ lµ song sinh víi B, theo gi¶ thiÕt B ph¶i lµ ph¸i n÷. MÆt kh¸c, con g¸i cña B kh«ng thÓ lµ C (gt) nªn ph¶i lµ A, suy ra C vµ B lµ vî chång chø kh«ng ph¶i lµ song sinh, dÉn ®Õn m©u thuÉn. 0,5

VËy chØ cã duy nhÊt trêng hîp B lµ cha cña A vµ B kh¸c giíi tÝnh víi hai ngêi cßn l¹i lµ A vµ C (cïng lµ ph¸i n÷). 0,5

3. 7,0+ Gäi r lµ ®é dµi b¸n kÝnh ®êng trßn (O1). Ta cã:

ACDS pr∆ =

( )2 12

2R AC CD r⇔ = +

( )2 2 1R R r⇔ = +

1 2

Rr⇔ =

+ 1,0+ §êng trßn (O2) tiÕp xóc víi OB vµ OD nªn t©m O2 ë trªn tia ph©n gi¸c cña gãc ·BOD , (O2) l¹i tiÕp xóc trong víi (O) nªn tiÕp ®iÓm T cña chóng ë trªn ®êng th¼ng nèi 2 t©m O vµ O2, chÝnh lµ giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c gãc ·BOD víi (O).

+ §êng th¼ng qua T vu«ng gãc víi OT c¾t 2 tia OB vµ OD t¹i B' vµ D' lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (O2). Do ®ã (O2) lµ ®êng trßn néi tiÕp

' 'OB D∆ .

+ ' 'OB D∆ cã ph©n gi¸c gãc O võa lµ ®êng cao, nªn nã lµ tam gi¸c vu«ng c©n vµ ' ' 2 2 , ' ' 2B D OT R OB OD R= = = = , suy ra:

' 'OB D ACD∆ = ∆ .

+ VËy: B¸n kÝnh cña (O2) còng b»ng 1 2

Rr =

+.

2,0+ Hai h×nh qu¹t OBC vµ OBD ®èi xøng víi nhau qua AB nªn (O3) còng

b»ng (O2), nªn b¸n kÝnh cña (O3) còng b»ng 1 2

Rr =

+.

1,0

17

+ §êng trßn (O4) cã hai trêng hîp:a) Tr êng hîp 1 : (O4) ë bªn tr¸i (O1):KÎ tiÕp chung cña (O4) vµ (O1) t¹i tiÕp ®iÓm K c¾t AC vµ AD t¹i E vµ F.CO vµ CA lµ cßn lµ 2 tiÕp tuyÕn cña (O1), nªn chu vi cña CEFV b»ng 2CO, suy ra nöa chu vi cña nã lµ p = R.

Ta cã: 2 21

4 2 2

1 2

RCO R r

+= + =+

( )1 1

4 2 2 14 2 2

1 2 1 2 1 2

RR RCK CO O K

+ −+= − = − =+ + +

( )( )

012

4 2 2 1122 30 '

1 2 1 2

RO OKFtg KF

KC CO

+ −= = = ⇒ =

+ +

( )( )

2

3

4 2 2 1

1 2CEF

RS CK KF

+ −= × =

+V .

Suy ra b¸n kÝnh cña ®êng trßn (O4) lµ: ( )

( )

2

4 3

4 2 2 1

1 2

Rr

+ −=

+ 2,0

18

b) Tr êng hîp 2 : (O'4) ë bªn ph¶i (O1):

Khi ®ã: K' lµ tiÕp ®iÓm cña 2 ®êng trßn, tiÕp tuyÕn chung c¾t CA vµ CD t¹i E' vµ F', CD tiÕp xóc víi (O'4) t¹i H.

( )1 1

4 2 2 14 2 2' '

1 2 1 2 1 2

RR RCK CO O K

+ ++= + = + =+ + +

( )( )

02

4 2 2 1' ' ' ' 22 30 '

1 2

RF H K F CK tg

+ += = =

+

( )( )

12

1

4 2 2 1 4 2 2'''

' 1 2

RCK COCK COCF

CF CO CO

+ + +×= ⇔ = =+

( )( )

( )( )2 2

4 2 2 1 4 2 2 4 2 2 1' '

1 2 1 2

R RCH CF F H

+ + + + += + = +

+ +

( )( )

2

2

4 2 2 1

1 2

RCH

+ +=

+

Suy ra: B¸n kÝnh cña ®êng trßn (O'4) lµ:

( )

( )

2

' ' 04 4 3

4 2 2 122 30 '

1 2

Rr O H CHtg

+ += = =

+

2,0

19

§Ò 5Câu 1: (1,5 điểm). So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng).

3 2 và 2 3

Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình sau: 2 2x 1 x 1 0− − + =

Câu 3: (1,5điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của 2

2

x 1A

x 1

−=+

Câu 4: (2 điểm). Giải hệ phương trình: 2x2 + 3y = 1 3x2 - 2y = 2

Câu 5: (4 điểm). Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam. Cô giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành các tổ học tập:

- Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ.- Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ.- Số người trong mỗi tổ không quá 15 người nhưng cũng không ít hơn chín

người.Em hãy tính xem cô giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?

Câu 6: (5điểm). Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:

a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.c) CM.CN = 2R2 d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?

Câu 7: ( 3điểm). Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. C là điểm trên đường tròn (O, R). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào?

--Hết--

20

Câu Nội dung – yêu cầu Điểm1

(1,5đ) Giả sử 3 2 > 2 3 ( ) ( )2 2

3 2 2 3⇔ >

( ) ( )2 2

3 2 2 3 3 2 2 3 18 12⇔ > ⇔ > ⇔ > (BĐT đúng)

0,5

1,0

2(3đ)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2

x 1 x 1 0 x 1 x 1

x 1 0 x 1

x 1 x 1 x 1 x 1 0

x 1 hay x 1 x 1 hay x 1

x 1 x 1 1 0 x 1 0hay x 2 0

x 1 hay x 1

x 1 hay x 1 hay x 2 hay x 2

− − + = ⇔ − = −

− ≥ ≥ ⇔ ⇔ − = − − − − =

≤ − ≥ ≤ − ≥⇔ ⇔ − − − = − = − = ≤ − ≥⇔ = = − = = −

0,5

1,0

1,0

0,5

3(1,5đ)

Ta có

2 2

2 2 2

22 2

x 1 x 1 2 2A 1

x 1 x 1 x 11 2

Do x 1 1 1 2x 1 x 1

Suy ra A 1

A 1 x 0

− + −= = = −+ + +

−+ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ −+ +

≥ −= ⇔ =

Vậy GTNN của A bằng 1 khi x = 0

0,5

0,5

0,5

4(2đ)

. Đặt u = x2 ≥ 0, ta có:

2u + 3y = 1 8

13u =

3u - 2y = 2 1

13y = −

Do đó: 2 8

13x =

1

13y = −

Hệ PT có 2 nghiệm là:

0,25

0,75

0,25

0,5

0,25

21

⇔

⇔

2 2 2 26

13 13x = ± = ±

1

13y = −

2 26 1 2 26 1( , ) ( , ); ( , )

13 1313 13x y

−= − −

5(4đ)

* Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x,

số bạn nam được chia vào tổ là y,

x, y nguyên dương.

Theo đề ra ta có hệ: 32 24

x y= (1)

9 ≤ x + y ≤ 15 (2)

Từ (1) ta có: 3x – 4y = 0 => 4

3x y=

Đặt y = 3t, t > 0 và t ∈ z, ta có: x = 4t

Từ (2), ta có: 9 ≤ 3t + 4t ≤ 15 hay 9 ≤ 7t ≤ 15

=> 9

7 < t ≤

15

7 =>

2 21 2

7 7t< ≤

Vì t ∈ z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6

Như vậy, mỗi tổ có 8 bạn nam, 6 bạn nữ.

Số tổ được chia là: 56

46 8

=+

tổ

0,5

0,75

0,5

0,25

0,5

0,5

0,5

0,5

6(5đ)

C

a)

A B

N E P D F* Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP. * Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP.* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP.

b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)

0,5

0,25

0,25

0,25

0,5

22

M O

· ·NMP NCD= (hai góc đồng vị) · ·ONC OCN= (hai góc đáy của tam giác cân ONC) · ·NMP NOP= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)Suy ra · ·MNO NOP= ; do đó, OP//MC.Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.

c) ( . )CND COM g g∆ ∆:

Nên OC CM

CN CD= hay CM.CN = OC.CD = 2R2

d) Vì MP = OC = R không đổi.Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên.

0,250,250,250,250,25

0,5

0,5

0,5

0,5

7(3đ)

* · 90oACB = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=> AC vuông góc với BD CD = CB (gt)

Tam giác ABC cân tại A AD = AB = 2R (không đổi)AD = AB = 2R (không đổi) và A cố định. Do đó D chuyển động trên đường tròn (A; 2R).

0,5

0,5

0,5 0,50,50,5

23

A B

DC

O

§Ò 6Baìi 1 (2 âiãøm):

Cho biãøu thæïc 1 3 2

A = - +x +1 x x +1 x - x +1

a) Ruït goün biãøu thæïc Ab) Tçm giaï trë nhoí nháút vaì giaï trë låïn nháút cuía biãøu thæïc A

Baìi 2 (2 âiãøm):

Cho haìm säú y = - 2x + 2 coï âäö thë (D) vaì haìm säú -4

y =x

coï âäö thë (H)

a) Tçm toaû âäü giao âiãøm cuía (D) vaì (H)b) Tçm trãn (H) âiãøm A(xA , yA) vaì trãn (D) âiãøm B(xB , yB) thoaí maîn caïc

âiãöu kiãûn: xA+ xB = 0 vaì 2yA - yB = 15Baìi 3 (2 âiãøm):

Tçm caïc càûp säú nguyãn (x , y) sao cho:2 1

2 2 12

x x y x− − < < − −

Baìi 4 (4 âiãøm): Cho âæåìng troìn (O , R) vaì âiãøm A våïi OA = 2R. Tæì A veî 2 tiãúp tuyãún

AE vaì AF âãún (O). (E, F laì 2 tiãúp âiãøm). Âæåìng thàóng OA càõt (O) taûi C vaì D (O nàòm giæîa A vaì C)

a) Tênh diãûn têch tæï giaïc AECF theo R.b) Tæì O veî âæåìng thàóng vuäng goïc våïi OE càõt AF taûi M. Tênh tyí säú

diãûn têch hai tam giaïc OAM vaì OFM.c) Âæåìng thàóng keí tæì D vuäng goïc våïi OE càõt EC taûi Q. Chæïng minh caïc

âæåìng thàóng AC, EF vaì QM âäöng qui.

HÆÅÏNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃÖ THI HOÜC SINH GIOÍI NÀM 2007-2008

Män: Toaïn - Låïp 9Baìi 1(2 âiãøm)

a) (0,75 â)Âiãöu kiãûn xaïc âënh: x ≥ 0 (0,25 â)

x - x +1-3+ 2 x + 2 x + xA = =

x x +1 x x +1(0,25 â)

24

= ( )

( ) ( )x x +1 x

=x - x +1x +1 x - x +1

(0,25 â)

b) (1,25 â)

Våïi x ≥ 0 thç ≥

2

xA = 0

1 3x - +

2 4

(0,5 â)

Do âoï Amin = 0 khi x = 0

( )≤

2

2 2

x -1x - x + x -1A -1= = - 0

1 3 1 3x + + x - +

2 4 2 4

(0,75 â)

Suy ra 1A ≤ . Do oï Amax= 1 khi x = 1Baìi 2 (2 âiãøm)a) (0,75 â)

Hoaình âäü giao âiãøm cuía (D) vaì (H) laì nghiãûm cuía

phæång trçnh: -2x + 2 = -4

xhay -2x2 + 2x + 4 = 0 (x ≠ 0) (0,25 â)

x2 - x - 2 = 0(x + 1)(x - 2) = 0 (0,25 â)x = -1 ; x = 2

Våïi x = -1 ⇒ y = 4 ; våïi x = 2 ⇒ y = -2Váûy toaû âäü giao âiãøm cuía (D) vaì (H) laì (-1 ; 4) vaì

(2 ; -2) (0,25 â)b) (1,25 â)

A (xA , yA) ∈ (H) nãn yA = A

-4

x(1) (0,25 â)

B (xB , yB) ∈ (D) nãn yB = -2xB + 2 (2)

Do xA + xB = 0 ⇒ xB = -xA

vaì 2yA - yB = 15 ⇒ yB = 2yA -15 (0,25 â)

Thay vaìo (2) ⇒ 2yA - 15 = 2xA + 2 hay yA = xA + 17

2(3)

Tæì (1) vaì (3) ⇒ xA + 17

2 =

A

-4

x2xA

2 + 17xA + 8 = 0 (0,25 â)(2xA + 1) (xA + 8) = 0

xA = 1

2− ; xA = -8

Våïi xA = 1

2− ⇒ yA = 8 ; xB =

1

2 ⇒ yB = 1 (0,25 â)

Våïi xA = -8 ⇒ yA = 1

2 ; xB = 8 ⇒ yB = -14

25

Veî hçnh chênh xaïc (0,25 â)

I

M

Q

OC D G

E

F

Váûy A (1

2− ; 8) vaì B (

1

2 ; 1) (0,25 â)

hoàûc A (-8 ; 1

2) vaì B (8 ; -14)


Tæì 2 1x - 2x - < y < 2- x -1

2

Suy ra ⇔1 1y + > 0 y > -

2 2 vaì ⇔y - 2 < 0 y < 2 (0,75 â)

Do y nguyãn nãn y = 0 ; 1 Våïi y = 0 ta coï 0 < 2 - ⇔ ⇔x -1 x -1 < 2 -2 < x -1< 2

⇔ -1 < x < 3 Do âoï x = 0 ; 1 ; 2 (vç x nguyãn)

x = 0 ⇒ 1 10 2.0

2 2− − = − < 0(nháûn) (0,5 â)

x = 1 ⇒ 2 1 11 2.1 0

2 2− − = > (loaûi)

x = 2 ⇒ 2 1 12 2.2 0

2 2− − = − < (nháûn)

Våïi y = 1 ta coï ⇔ ⇔1< 2- x -1 x -1 <1 -1< x -1<1

⇔ 0 < x < 2 Do âoï x = 1 (0,5 â)

x = 1 ⇒ 2 1 11 1.2 1

2 2− − = < (nháûn)

Váûy caïc càûp säú phaíi tçm laì (0 ; 0); (2 ; 0) vaì (1 , 1) (0,25 â)Baìi 4 (4 âiãøm)

a) (1,25 â)Ta coï AE = AF (t/c tiãúp tuyãún) vaì OE = OF = R nãn OA

laì âæåìng trung træûc cuía âoaûn thàóng EF. Goüi I laì giao âiãøm cuía AC vaì EF taûi I thç OA ⊥ EF vaì IE = IF

∆ OEA coï ·OEA = 900 (t/c tiãúp tuyãún) vaì EI ⊥ OA

26

nãn OE2 = OI . OA ⇒2 2OE R R

ÞOI = = =OA 2R 2

∆OIE ( ·OIE = 900) nãn EI2 = OE2 - OI2 = R2 -

⇔2 2R 3R 3.R

= Þ EI =4 4 2

EF = 2EI = 3 .R vaì AC = AO + OC = 2R + R = 3R

SAECF = 1

2. AC . EF =

1

2. 3R . 3 . R = 23 3

R2

b) (1,25 â)Ta coï OM // AE (⊥ OE) nãn · ·MOA = OAEmaì · ·OAE = OAM Do âoï · ·MOA = OAMSuy ra ∆OMA cán taûi M ⇒ MO = MA

OAM

OFM

S AM OM= =

S FM FM = ·

1

cos OMFmaì · · ·OMF = EAF = 2EAO

sin ·EAO = ·EAO⇒ 0OE R 1= = Þ = 30

OA 2R 2

Do âoï ·OMF = 600 nãn OAM

OFM

S

S =

0

1

cos 60 =

12

12

=

c) (1,25 â)- Chæïng minh ∆DEQ = ∆OFM Suy ra: QD = OM- Chæïng minh QDMO laì hçnh bçnh haìnhSuy ra QM vaì DO giao nhau taûi trung âiãøm cuía mäùi

âæåìng

Maì I laì trung âiãøm cuía OD (OI = ID = R

2)

nãn I laì trung âiãøm cuía QMVáûy AC, EF vaì QM âäöng quy taûi I.

27

De 7

Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2

b) x2 + 7x + 10

Bài 2 (4đ) Cho 2

2

1 2 2 4

2 7 10 5

x x xA

x x x x

− − −= + −− − + −

a) Rút gọn A. b) Tìm x nguyên để A nguyên.

Bài 3 (4đ). Giải phương trình

) 2 1 3 2a x x+ = −

b) x2 – 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23

Bài 4 (6đ). Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G.

a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC.b) ∆ABC ~ ∆AEFc) EDCFDB ˆˆ =

d) H cách đều các cạnh của tam giác ∆DEF

Bài 5 (1đ). Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1. Chứng minh rằng

Bài 6 (1đ). Giải bất phương trình 20082007 <− x

HẾT

28

HƯỚNG DẪN CHẤM

Gợi ý đáp án Điểm

Bài 1a) 4x2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49=(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7)

(1 đ)(1đ)

Bài 1b)x2+7x+10 =x2+5x+2x+10=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)

(1đ)(1đ)

Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5và x ≠2

2 2

2

2

2

1 2 2 4 1 2 2 4

2 7 10 5 2 ( 5)( 2) 5

5 2 (2 4)( 2)

( 5)( 2)

8 15 ( 5)( 3) 3

( 5)( 2) ( 5)( 2) 2

x x x x x xA

x x x x x x x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x x x x

− − − − − −= + − = + − =− − + − − − − −

− + − − − − −=− −

− + − − − − − += = =− − − − −

(0,5đ)

(2đ)

2b)( 2) 1 1

12 2

xA

x x

− − += = − +− −

, với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi

1

2x −nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.

(1,5đ)

Bài 3a) Ta xét các trường hợp sauTH1:

12 1 0 2 1 3 2

22 1 3 2 3

x x x x

x x x

≥ − ⇔ + ≥ ⇒ + = −

⇔ + = − ⇔ =Ta thấy x=3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình.TH2:

12 1 0 2 1 3 2

22 1 3 2 5 1 0,2

x x x x

x x x x

< − ⇔ + < ⇒ + = −

⇔ − − = − ⇔ = ⇔ =Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng đang xét vậy nó không là nghiệm của phương trình.Kết luận phương trình có nghiệm x=3.

(1đ)

(1đ)

Bài 3b) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 ⇔x2-25=(2x+3)(x+5)⇔(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) ⇔(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0

(2đ)

29


⇔(x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0 ⇔(x+5)(-x-8)=0 ⇔ x-5=0 hoặc x+8 =0 ⇔ x=-5 hoặc x=-8Bài 4a) Ta có BG ⊥AB, CH ⊥AB, nên BG //CH, tương tự: BH ⊥AC, CG ⊥AC, nên BH//CG.tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối sông song nên nó là hình bình hành. Do đó hai đường chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy GH đi qua trung điểm M của BC.

(2đ)

4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác ABE và ACF vuông. Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên

chúng đồng dạng. Từ đây suy ra (1)AB AE AB AF

AC AF AE AC= ⇒ =

Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2). Từ (1) và (2) ta suy ra ∆ABC ~ ∆AEF.

(1,5đ)

4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra ∆BDF~∆DEC⇒ · ·BDF CDE= .

(1,5đ)

4d) Ta có · · · ·

· · · · · ·

0 090 90BDF CDE BDF CDE

AHB BDF AHC CDE ADF ADE

= ⇒ − = −

⇒ − = − ⇒ =Suy ra DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF. Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF.

(1đ)

Bài 5) Ta có x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y)= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z)= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy] = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx

= ( )2 2 2 2 2 212 ( 2 ) ( 2 )

2x xy y y yz z x xz z − + + − + + − +

= ( ) ( ) ( )2 2 21

2x y y z x x − + − + − dpcm

1đ

Bài 6) Điều kiện 0x ≠ , bất phương trình 20082007 <− x

2007 2008

0x

x

+⇔ >

(2008 2007) 0

0

2007

2008

x x

x

x

⇔ + >>

⇔ < −

1đ

30

2007

2008−

0

F

E

M

G

H

D CB

A


Hoặc biểu diễn trên trục số :

Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng, hợp logic thì vẫn cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng.

HẾT

31

De 8

Bài 1: a) Giải phương trình: 4 3 2 11 10 0x x x x- + - + = .

b) Tìm x, y thoả mãn: 2 1 4 4x x y y- - =- + - .

Bài 2. Rút gọn 3 3 3 3

2 3 2 2 2 3 2 2A

- += +

- + + -.

Bài 3. Tìm GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:2 24 12 9 4 20 25P x x x x= + + + - + .

2 22 2 2 2008Q x y xy x= + + - + .

Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối xứng nhau qua O. M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C. Đường thẳng đi qua F song song AB cắt MO, MJ lần lượt tại D và K. Gọi H là trung điểm của FG.

a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được.b) Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

.................................................ĐÁP ÁN

Bài 1: a) 4 3 2 11 10 0x x x x- + - + = .

2( 1)( 2)( 2 5) 0x x x x- - + + =Û ( 1)( 2) 0x x- - =Û (vì 2 2 5 ( 1) 4 0,x x x x+ + = + + > " Î ¡ ).

1

2

x

x

é =êÛ ê =ëb) 2 1 4 4x x y y- - =- + -

2 2( 1 1) ( 4 2) 0x y- - + - - =Û

1 1

4 2

x

y

ìï - =ïïÛ íï - =ïïî

2

8

x

y

ì =ïïÛ íï =ïî

Bài 2.3 3 3 3

2 3 2 2 2 3 2 2A

- += +

- + + -.

32

KD

H

C

GE

FI J BOA

M

2( 3 3) 2( 3 3)

4 2 3 4 4 2 3 4

- += +

- + + -

2( 3 3) 2( 3 3)

3 1 4 3 1 4

- += +

- + + -

2 22( 3 3) 2( 3 3)

3 9

- + +=

-

24 2

4 26

= =--

Bài 3. 2 24 12 9 4 20 25P x x x x= + + + - +

2 3 5 2 2 3 5 2 8x x x x= + + - + + - =³

Vậy, Pmin=8 khi 3 5

(2 3)(5 2 ) 02 2

x x x+ - -³Û ££

2 22 2 2 2008Q x y xy x= + + - +

2 2

2 2

( ) 2( ) 1 2 1 2006

( 1) ( 1) 2006 2006; ,

x y x y y y

x y y x y

= + - + + + + + +

= + - + + + "³

Vậy, Qmin=2006 khi 1 0 2

1 0 1

x y x

y y

ì ì+ - = =ï ïï ïÛí íï ï+ = =-ï ïî î

Bài 4.

a) Ta có: OI OJ= DF DK=Þ //DH GKÞ · ·HDE GME=Þ

mà · ·GME GFE= · ·HDE GFE=Þ DHEFÞnội tiếp được.

b) Từ câu a suy ra · ·DEH DFH= mà · ·DFH OCH= OHECÞ nội tiếp được · · 090OEC OHC= =Þ . Vậy CE là tiếp tuyến của (O).

33

De 9Baìi 1 (2 âiãøm): Cho biãøu thæïc xxxyyxyA 31031.3103 23 −+−=

a) Phán têch A thaình nhán tæí.

b) Tçm càûp säú x, y thoaí maîn âiãöu kiãûn y - x = 4

3

âäöng thåìi A = 0Baìi 2 (2 âiãøm):

Cho biãøu thæïc M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 våïi x, y, z, t laì caïc säú nguyãn khäng ám. Tçm caïc giaï trë cuía x, y, z, t âãø biãøu thæïc M coï giaï trë nhoí nháút thoaí maîn âiãöu kiãûn:

2x2 - 2y2 + 5t2 = 30x2 + 8y2 + 9z2 = 168


Cho haìm säú f(x) = 2x2x

1x2x2

2

+−+− (x ∈ R)

a) Chæïng minh ràòng våïi hai giaï trë x1 , x2 tuyì yï cuía x sao cho 1≤ x1< x2 thç f(x1) < f(x2)

b) Våïi giaï trë naìo cuía x thç 4

3)x(f

2

1 <<

Baìi 4 (4 âiãøm):Cho tam giaïc cán ABC (AB = AC), âæåìng cao AH. Trãn

caûnh BC láúy 2 âiãøm M vaì E sao cho ME = 2

1 BC (BM <

BE). Qua M keí âæåìng thàóng vuäng goïc våïi BC càõt AB taûi D. Qua E keí âæåìng thàóng vuäng goïc våïi DE càõt âæåìng thàóng AH taûi N.

a) Chæïng minh: BM . BH = MD . HNb) Chæïng toí N laì mäüt âiãøm cäú âënh.c) Biãút AB = 5 cm, BC = 6 cm. Tênh khoaíng caïch

giæîa tám âæåìng troìn näüi tiãúp vaì tám âæåìng troìn ngoaûi tiãúp cuía tam giaïc ABC.

HÆÅÏNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃÖ THI HOÜC SINH GIOÍI NÀM 2006-2007Män: Toaïn - Låïp 9

Baìi 1(2 âiãøm)a) (1 âiãøm)

34

x3x10xy10xy21yx37yx33y3A 223 −++−−= (0,5 â)

( ) ( )23 . 3 7 3 10y x y xy x= − − +

( ) ( )23 . 3 2 3 5 3 10 60y x y x y xy x= − − − + o

(0,5 â)

( ) ( ) ( )3 . 3 2 . 3 5y x y x y x= − − −

b) (1 âiãøm)

x3y0A =⇔= hoàûc3

x2y = hoàûc

3

x5y =

* x3y = 04

3x3x =+− 0

2

3x

2

=

−

4

3x =

3

4y x− =

4

3xy +=

4

3xy +=

2

3y =

* 3

x2y = 0

4

3

3

x2x =+−

21 5

0123

x − + = ÷

3

4y x− =

4

3xy +=

4

3xy +=

* x3

5y = 0

4

3

3

x5x =+− 0

12

16

32

5x

2

=−

−

3

4y x− =

4

3xy +=

4

3xy +=

32

9x =

32

1x =

4

27x =

12

1x =

4

3xy +=

4

3xy +=

2

15y =

6

5y =

Váûy coï 3 càûp säú thoía maîn âiãöu kiãûn A = 0 vaì 3

4y x− = laì:

(4

3x = ;

2

3y = ) ; (x =

27

4; y =

15

2) vaì (

12

1x = ;

6

5y =

)Baìi 2 (2 âiãøm)

Tæì 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168Suy ra: 3x2 + 6y2 + 9z2 + 5t2 = 198 3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2

35

⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇔ hoÆc ⇔ hoÆc

3M = 198 + 7t2

66t3

766M 2 ≥+=

Giaï trë nhoí nháút cuía M laì 66 khi t = 0Do âoï: 2x2 - 2y2 = 30 (1) vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168 (2)Tæì (1) ⇒ (x + y)(x - y ) = 15 Vç x, y laì caïc säú nguyãn khäng ám, nãn x + y = 15 vaì x

- y = 1 (3)Hoàûc: x + y = 5 vaì x - y = 3 (4)Tæì (3) ⇒ x = 8, y = 7, caïc giaï trë naìy khäng thoía

(2)Tæì (4) ⇒ x = 4, y = 1. Thay vaìo (2) ta coï: 16 + 8 + 9z2 = 168

9z2 = 144 z2 = 16 z = 4 (z = - 4 loaûi)

Váûûy giaï trë nhoí nháút cuía M laì 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t = 0Baìi 3 (2 âiãøm)

a) 1 âiãøm

( ) ( )( ) 11x

1xxf

2

2

+−−=

- Våïi x1 = 1, x2 >1 thç f(x1) = 0, f(x2) > 0 nãn f(x1) < f(x2)

- Nãúu x ≠ 1, ta coï

( )( ) 21x

11

1xf

−+

=

Våïi 1 < x1 < x2 thç 0 < x1 - 1 < x2 - 1 nãn: ( ) 2

1 1x

1

−

> ( ) 2

2 1x

1

−

Do âoï: ( ) 2

1 1x

11

1

−+ <

( ) 2

2 1x

11

1

−+ hay f(x1) < f(x2)

Váûy våïi 1≤ x1 < x2 thç f(x1) < f(x2) b) 1 âiãøm

f(x) > 1

2⇔

2x2x

1x2x2

2

+−+− >

1

22x4x2 2 +−⇔ > x2x2x2x 22 −⇔+− > 0

⇔ x (x - 2) > 0 ⇔ x > 2 hoàûc x < 0 (1)

f(x) <4

3 ⇔2x2x

1x2x2

2

+−+− <

4

3 ⇔ 4x2 - 8x + 4 < 3x2 - 6x + 6

⇔ x2 - 2x - 2 < 0 ⇔ (x - 1)2 - 3 < 0 ⇔ (x -1 + 3 ) (x - 1 - 3 ) < 0

36

⇔ 1 - 3 < x < 1 + 3 (2)

Tæì (1) vaì (2) suy ra 2

1 < f(x) < 4

3 ⇔ 1 - 3 < x < 0

hoàûc 2 < x < 1 + 3 Baìi 4 (4 âiãøm) A

D

a) Xeït ∆ MDE vaì ∆ HEN coï: ·DME = ·EHN = 900

·MDE = ·HEN (goïc coï caûnh tæång æïng vuäng goïc)

nãn ∆MDE ∾ ∆HEN , suy ra: HN

ME

HE

MD =

Hay MD.HN = HE.ME

Do BH = ME ( BC2

1= ) nãn BM = HE

Do âoï: MD.HN = BM.BH (1)

b) Tæì (1) ⇒ HN

BH

BM

MD = (2)

∆ABH coï MD//AH nãn BH

AH

BM

MD = (3)

Tæì (2) vaì (3) ⇒ BH

AH

HN

BH = ⇒ AH

BHHN

2

=

N ∈ AH cäú âënh vaì HN khäng thay âäøi nãn N laì âiãøm cäú âënh.c) A

P

B H C

BC = 6cm ⇒ BH = 3cm∆AHB ( 090H = ) coï AH2 = AB2 - BH2

= 52 - 32 = 16 = 42

⇒ AH = 4cmGoüi K laì tám âæåìng troìn näüi tiãúp ABC, thç BK laì phán giaïc cuía µB vaì K ∈ AH.

Do âoï: 5

3

BA

BH

KA

KH ==

Suy ra: 5,08

4

8

KAKH

5

KA

3

KH ==+==

KH = 1,5cm KA = 2,5cm

Goüi I laì tám dæåìng troìn ngoaûi tiãúp ∆ABC thç IP laì

âæåìng trung træûc cuía caûnh AB vaì I ∈AH nãn 52,5( )

2 2

ABPA cm= = =

.

37

KI

∆ABH ( 090H = ) coï cos ( ·BAH ) 8,05

4

AB

AH === ·cos( ) 0,8PAI⇒ =

∆API ( 090P = ) coï cos ( ·PAI ) AI

AP= ⇒ ·2,5

3,1250,8cos( )

APAI

PAI= = =

Do âoï KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm)Váûy khoaíng caïch giæîa tám âæåìng troìn ngoüai tiãúp vaì tám âæåìng troìn näüi tiãúp cuía tam giaïc ABC laì 0,625cm.

§Ò 10

Bài 1: (2 điểm)

Rút gọn biểu thức

2 2 2 2 2 22 x y x x y y x y ÷ ÷

+ − + − + + với x > 0, y > 0

Bài 2: (4 điểm)

a. Xác định m để phương trình sau vô nghiệm

4 3x xx m x

+ +=+b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = (x – 2y + 1)2 + (2x – 4y + 7)2.

Bài 3: (2 điểm)

Bốn người 1; 2; 3; 4 tham dự một hội nghị. Biết rằng :

a. Mỗi người chỉ biết hai trong bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Việt.

b. Người 1 biết tiếng Nga, không biết tiếng Pháp.

c. Người 2 biết tiếng Anh, không biết tiếng Pháp và phải phiên dịch cho người 1 và người 3.

d. Người 4 không biết tiếng Nga, không biết tiếng Việt nhưng nói chuyện trực tiếp được với người 1.

Hỏi mỗi người biết các thứ tiếng nào ?

Bài 4: (4 điểm)

a. Cho a ≥ b, x ≥ y. Chứng minh (a + b) (x + y) ≤ 2(ax + by) (1)

b. Cho a + b ≥ 2. Chứng minh a2006 + b2006 ≤ a2007 + b2007 (2)

Bài 5: (8 điểm)

Cho đoạn thẳng AB = a .

38

a. Nêu cách dựng và dựng ∆ ABC sao cho · 0BAC 60= và trực tâm H của ∆ ABC là trung điểm của đường cao BD. (2 điểm)

b. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC tại K. Chứng minh OK ⊥ BC. (2 điểm)

c. Chứng minh AOH∆ cân và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo a. (2 điểm)

d. Tính diện tích tam giác ABC theo a. (2 điểm)

De 11

Câu 1/ (1đ) Cho x = 3 3125 125

3 9 3 927 27

+ + − − + + .Chứng minh rằng x là một số

nguyên .

Câu 2/ (1,5đ) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 .

Chứng minh rằng : + + += =

xy 1 yt 1 xt 1NÕu th× x= y= t hoÆc x.y.t =1

y t x .

Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c có nghiệm dương x = m . Chứng minh rằng đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) cũng có nghiệm dương x = n và thỏa mãn m + n 2≥ .

Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình :(m -1)x+ (m -2)y - 1 = 0 (m là tham số) . Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn nhất . Xác định đường thẳng đó .

Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , trong đó A di động , E cố định ( với A ≠ E) . Qua E vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB .a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 không phụ thuộc vị trí điểm A .b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K ) .

c/ (1đ) Trên tia AK đặt một điểm H sao cho AH = 3

2AK . Khi A di động trên đường

tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ?

39

Đáp án và biểu điểm chấm Toán 9Câu Nội dung ĐiểmCâu1

(1đ)

3 3

3 3

3 3 3

3 2

2

125 125a 3 9 vµ b = 3 9

27 27

5Th× a b 6 vµ a.b =

3

x a b x a b 3ab(a b)

x = 6 - 5x (x 1)(x x 6) 0

Mµ x x 6 0(do........).Suy ra x 1.VËy x Z

= + + − + +

− =

= − ⇒ = − − −⇔ − + + =

+ + > = ∈

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

Câu 2

(1,5đ)

Từ đẳng thức với điều kiện do đề bài đã cho suy ra :

1 1 1

x y zy z x

+ = + = + (1)

y z1 1x y

z y zy

1 1 z x(1) y z

x z xz

x y1 1z x

y x xy

−− = − =

−⇒ − = − = − − = − =

(2)

(2) ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y z z x x yx y y z z x

zyzxxy

− − −− − − = (3)

Từ (3) = =

=

x y zHäc sinh chøng minh ®- î c r»ng

xyz 1

0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ

0,5 đ

Câu 3

(1,5đ)

Ta có : x = m là nghiệm của đa thức f(x)= ax2 + bx + c

0,25 đ0,25đ

40

+ + =

⇔ + = ⇔ +

+ + =

2

2 2

2

Suy ra am bm c 0 (1), mµ m > 0 (gt)

b c 1 1(1) a + 0 a + b( ) c( ) = 0 (2)

m m m m1

§ ¼ng thøc nµy chøng tá r»ng x= lµ nghiÖm cña m

1®a thøc g(x) = cx bx a 0 VËy x= n = > 0 (do m > 0 ) (3)

m

Ta cã ≥

+ ≥

1 1m+n = m + 2 m. (do ..........)

m mHay m n 2

0,25đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25

Câu 4(2đ)

Nếu m =1 thì d(1) là đường thẳng y= -1 nên khoảng cách từ O đến d(1) là 1Nếu m =2 thì d(2) là đường thẳng x = 1 nên khoảng cách từ O đến d(2) là 1 (1)

Nếu m ≠1 và m≠ 2 thì d(m) cắt trục hoành tại A1

;0m 1

÷−

và cắt trục tung tại

B ÷−

10 ;

m 2Gọi OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có :

2 22 2 2

22

2

2lí n nhÊt

1 1 1(m 1) (m 2)

OH OA OB

1 3 1 12m 6m 5 2 m

OH 2 2 2

3VËy OH 2 OH 2 OH 2 khi m (2)

2

= + = − + −

= − + = − + ≥ ÷

≤ ⇔ ≤ ⇒ = =

Từ (1) và (2) và do 1 < 2 suy ra khoảng cách lớn nhất từ O đến d(m) là 2

Khi đó đường thẳng d có công thức là x - y- 2 = 0

0,25đ0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

Câu 5

Câu a (1,5đ)

G

K

D

MA

C

B

O E

Gọi G là trung điểm BC thì OG ⊥ BC (đl) suy ra GB = GC và GE = GD (đl)

và OG là đường trung bình ∆ ADE nên OG=1

2AE hay AE = 2OG

Ta có EB2+EC2= (BG-EG)2+ (GC+ GD)2=(BG-EG)2+(BG+EG)2 Suy ra EB2+EC2= 2(BG2 +EG2) Áp dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông OGE và OGB ta có :

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

41

Câu b (1,5đ)

Câu c (1đ)

OG2+GE2= r2 và OG2+GB2= R2

Do đó EB2+EC2+EA2=2(BG2 +EG2)+4OG2 =2 (BG2+OG2)+2 (EG2+OG2) = 2R2 +2r2 ( không đổi)

Trường hợp đặc biệt :

GD

M

A

C

B

OE

G E D≡ ≡ Thì chứng minh trên vẫn đúng

Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm

Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định , Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM của ∆ ABC đi qua chính là trọng

tâm của ∆ ADE

Do H thuộc tia AK, mà K là trọng tâm ∆ ADE và AH 3

2= AK nên H trùng

với G ( là trung điểm chung của hai đoạn thẳng DE và BC ) Mà OGE∆ vuông tại E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) ) Vậy khi A di động trên đường tròn (O; r) thì H di động trên đường tròn

đường kính OE

0,25đ

0,25đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,25đ

0,25đ

42

De 12Bài 1: (3 điểm)

a. Cho n là một số nguyên dương. Hãy so sánh:2

1 11 + -

n n+1 ÷

và ( ) 22

1 11 + -

n n+1

b. Tính:

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + 1 + + + 1 + + + ... + 1 + +

2 3 3 4 4 5 2005 2006

Bài 2: (3 điểm) Chứng minh rằng:

n

n 1 1 1 1 + + + ... + n

2 2 3 2 -1⟨ ⟨ với n N∈ và n 1⟩

Bài 3: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M

và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Đường thẳng CN cắt (O) tại I. Chứng minh · 0CMI 90⟨ .

43

44

Documents

11 chuyen de on vao chuyen toan co dap an