S GIÁO D C VÀ ÀO T O K THI TUY N SINH L P 10 THPT

TP.HCM N m h c: 2010 – 2011

CHÍNH TH C MÔN: TOÁN

Th i gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 i m)

Gi i các ph ng trình và h ph ng trình sau:

a) 22 3 2x x 0

b) 4 1

6 2

x y

x y 9

0c) 4 24 13 3x x

d) 22 2 2 1x x 0

Bài 2: (1,5 i m)

a) V th (P) c a hàm s 2

2

xy và ng th ng (D): 1

12

y x trên cùng

m t h tr c to .

b) Tìm to các giao i m c a (P) và (D) b ng phép tính.

Bài 3: (1,5 i m)

Thu g n các bi u th c sau:

12 6 3 21 12 3A 2 2

5 35 2 3 3 5 2 3 3 5

2 2B

Bài 4: (1,5 i m)

Cho ph ng trình (x là n s ) 2 2(3 1) 2 1 0x m x m m

a) Ch ng minh r ng ph ng trình luôn luôn có 2 nghi m phân bi t v i m i giá

tr c a m.

b) G i x1, x2 là các nghi m c a ph ng trình. Tìm m bi u th c sau t giá tr

l n nh t: A = 232 2

1 2 1x x x x . Bài 5: (3,5 i m)

Cho ng tròn tâm O ng kính AB=2R. G i M là m t i m b t k thu c

ng tròn (O) khác A và B. Các ti p tuy n c a (O) t i A và M c t nhau t i E. V MP

vuông góc v i AB (P thu c AB), v MQ vuông góc v i AE (Q thu c AE).

a) Ch ng minh r ng AEMO là t giác n i ti p ng tròn và APMQ là hình ch

nh t.

b) G i I là trung i m c a PQ. Ch ng minh O, I, E th ng hàng.

c) G i K là giao i m c a EB và MP. Ch ng minh hai tam giác EAO và MPB

ng d ng. Suy ra K là trung i m c a MP.

d) t AP = x. Tính MP theo R và x. Tìm v trí c a M trên (O) hình ch nh t

APMQ có di n tích l n nh t.

BÀI GI I

Bài 1: (2 i m)

Gi i các ph ng trình và h ph ng trình sau:

a) 22 3 2x x 0 (1)

9 16 25

(1) 3 5 1 3 52

4 2 4x hay x

b) 4 1

6 2 9 (2

x y

x y

(1)

)

4 1

14 7 ( (2) 2 (1))

x y (1)

x pt pt

3

1

2

y

x

c) 4 24 13 3x x 0 (3), t u = x

2,

ph ng trình thành : 4u2 – 13u + 3 = 0 (4)

(4) có 2169 48 121 11

13 11 1 13 11(4) 3

8 4 8u hay u

Do ó (3) 1

32

x hay x

d) 22 2 2 1x x 0 (5) ' 2 2 4

Do ó (5) 2 2 2 2

2 2x hay x

Bài 2:

a) th : h c sinh t v

L u ý: (P) i qua O(0;0), 1

1; , 2; 22

.

(D) i qua 1

1; , 2; 22

Do ó (P) và (D) có 2 i m chung là : 11; , 2; 2

2.

b) PT hoành giao i m c a (P) và (D) là 2

211 2

2 2

xx x x 0 1 2x hay x

V y to giao i m c u (P) và (D) là 1

1; , 2; 22

.

Bài 3:

12 6 3 21 12 3A 2 2(3 3) 3(2 3) 3 3 (2 3) 3 3

2 2

5 35 2 3 3 5 2 3 3 5

2 2B

2B = 2 2

5 4 2 3 6 2 5 5 4 2 3 6 2 5 3

2 22 2 2 2

5 (1 3) ( 5 1) 5 ( 3 1) ( 5 1) 3

= = 2 2

5 (1 3) ( 5 1) 5 ( 3 1) ( 5 1) 3

= B = 10.5.3 5 20

Bài 4:

a) 2 2 2 2

3 1 8 4 4 2 5 ( 1) 4 0m m m m m m m

Suy ra ph ng trình luôn luôn có 2 nghi m phân bi t v i m i m.

b) Ta có x1 + x2 = 3m + 1 và x1x2 = 2m2 + m – 1

A= 2 2

1 2 13 2x x x x 2

1 2 15 2x x x x

2 2(3 1) 5(2 1)m m m 2 21 16 6 ( )

4 2m m m

225 1( )

4 2m

Do ó giá tr l n nh t c a A là : 25

4. t c khi m =

1

2

Bài 5:

IK

xA

E

Q

O

M

P

I

B

a) Ta có góc = 90O = EMO EAO

=> EAOM n i ti p.

T giác APMQ có 3 góc vuông : o

EAO APM PMQ 90

=> T giác APMQ là hình ch nh t

b) Ta có : I là giao i m c a 2 ng

chéo AM và PQ c a hình ch nh t APMQ

nên I là trung i m c a AM.

Mà E là giao i m c a 2 ti p tuy n t i M và

t i A nên theo nh lý ta có : O, I, E th ng

hàng.

c) Cách 1: hai tam giác AEO và MPB ng

d ng vì chúng là 2 tam giác vuông có 1 góc

b ng nhau là , vì OE // BM AOE ABM

=> AO AE

BP MP (1)

M t khác, vì KP//AE, nên ta có t s KP BP

AE AB (2)

T (1) và (2) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB,

mà AB = 2.OA => MP = 2.KP

V y K là trung i m c a MP.

Cách 2 : Ta có EK AP

EB AB(3) do AE // KP,

m t khác, ta có EI AP

EO AB (4) do 2 tam giác EOA và MAB ng d ng

So sánh (3) & (4), ta có : EK EI

EB EO.

Theo nh lý o Thales => KI // OB, mà I là trung i m AM

=> K là trung i m MP.

d) Ta d dàng ch ng minh c :

abcd

4a b c d

4 (*)

D u “=” x y ra khi và ch khi a = b = c = d

MP = 2 2 2 2

MO OP R (x R) 2Rx x2

Ta có: S = SAPMQ = 2 3MP.AP x 2Rx x (2R x)x

S t max t max x.x.x(2R – x) t max 3

(2R x)x

x x x

. . (2R x)3 3 3

t max

Áp d ng (*) v i a = b = c = x

3

Ta có :

4 4

4

x x x 1 x x x R. . (2R x) (2R x)

3 3 3 4 3 3 3 16

Do ó S t max x

(2R x)3

3

x R2

.

TS. Nguy n Phú Vinh

(TT BDVH và LT H V nh Vi n)

S GIÁO D C VÀ ÀO T O K THI TUY N SINH L P 10 THPT

HÀ N I N m h c: 2010 – 2011

CHÍNH TH C MÔN: TOÁN

Th i gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,5 i m)

Cho bi u th c x 2 x 3x

Ax 9x 3 x 3

9, v i x 0 và x 9

1) Rút g n bi u th c A.

2) Tìm giá tr c a x 1

A3

.

3) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A

Bài II (2,5 i m)

Gi i bài toán sau b ng cách l p ph ng trình:

M t m nh t hình ch nh t có dài ng chéo là 13m và chi u dài l n h n

chi u r ng 7m. Tính chi u dài và chi u r ng c a m nh t ó.

Bài III (1,0 i m)

Cho parabol (P) : y = x2 và ng th ng (d) : y = mx 1

1) Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m thì ng th ng (d) luôn c t parabol (P)

t i hai i m phân bi t.

2) G i x1, x2 l n l t là hoành các giao i m c a ng th ng (d) và parabol

(P). Tìm giá tr c a m : 2 2

1 2 2 1 1 2x x x x x x 3

Bài IV (3,5 i m)

Cho ng tròn (O) có ng kính AB = 2R và i m C thu c ng tròn ó (C

khác A, B). L y i m D thu c dây BC (D khác B, C). Tia AD c t cung nh BC t i i m

E, tia AC c t tia BE t i i m F.

1) Ch ng minh FCDE là t giác n i ti p.

2) Ch ng minh DA.DE = DB.DC

3) Ch ng minh CF . G i I là tâm ng tròn ngo i ti p t giác FCDE,

ch ng minh IC là ti p tuy n c a ng tròn (O) .

D OCB

4) Cho bi t DF = R, ch ng minh tg AFB 2 .

Bài V (0,5 i m)

Gi i ph ng trình : 2 2x 4x 7 (x 4) x 7

BÀI GI I

Bài I: (2,5 i m) V i x 0 và x 9 ta có :

1) A = 2 3

93 3

x x x

xx x

9 = ( 3) 2 ( 3) 3

9 9

x x x x x

x x

9

9x

3 2 6 3 9

9

x x x x x

x 3 9

9

x

x

3( 3)

9

x

x

3

3x

2) A = 1

3

3

3x3 9x 6x x = 36

3) A3

3x l n nh t 3x nh nh t 0x x = 0

Bài II: (2,5 i m)

G i x (m) là chi u r ng c a hình ch nh t (x > 0)

chi u dài c a hình ch nh t là x + 7 (m)

Vì ng chéo là 13 (m) nên ta có : 2 2

13 ( 7)x x2 2

2 14 49 169 0x x

x2 + 7x – 60 = 0 (1), (1) có = 49 + 240 = 289 = 17

2

Do ó (1) 7 17

2x (lo i) hay

7 175

2x

V y hình ch nh t có chi u r ng là 5 m và chi u dài là (x + 7) m = 12 m

Bài III: (1,0 i m)

1) Ph ng trình hoành giao i m c a (P) và (d) là:

-x2 = mx – 1 x

2 + mx – 1 = 0 (2), ph ng trình (2) có a.c = -1 < 0 v i m i m

(2) có 2 nghi m phân bi t trái d u v i m i m (d) luôn c t (P) t i 2 i m

phân bi t.

2) x1, x2 là nghi m c a (2) nên ta có :

x1 + x2 = -m và x1x2 = -1

2 2

1 2 2 1 1 2 3x x x x x x 1 2 1 2( 1)x x x x 3 1( 1) 3m F

m + 1 = 3 m = 2

I

A O

D

CE

B

Bài IV: (3,5 i m)

1) T giác FCDE có 2 góc i o

FED 90 FCD

nên chúng n i ti p.

2) Hai tam giác vuông ng d ng ACD và DEB vì

hai góc cùng ch n cung CE, nên ta CAD CBE

có t s : DC DE

DC.DB DA.DEDA DB

3) G i I là tâm vòng tròn ngo i ti p v i t giác

FCDE, ta có CF (cùng ch n cung CD) D CEA

M t khác CEA (cùng ch n cung AC) CBA

và vì tam OCB cân t i O, nên . CFD OCB

Ta có : IC D IDC HDB

và OCD OBD0

HDB OBD 90

nên IC là ti p tuy n v i ng tròn tâm O. 0

OCD DCI 90

T ng t IE là ti p tuy n v i ng tròn tâm O.

4) Ta có 2 tam giác vuông ng d ng ICO và FEA vì có 2 góc nh n

1CAE COE COI

2 (do tính ch t góc n i ti p)

Mà CO R

tg CIO 2RIC

2

tgAFB tgCIO 2.

Bài V: (0,5 i m)

Gi i ph ng trình : 2 2

4 7 ( 4) 7x x x x

t t = 2

7x , ph ng trình ã cho thành : 2

4 ( 4)t x x t

0 0 2

( 4) 4t x t x ( )( 4)t x t t = x hay t = 4,

Do ó ph ng trình ã cho 2 27 4 7x hay x x

x2 + 7 = 16 hay

2 27

7

x x

x x

2 = 9 x = 3

Cách khác : 2 2

4 7 ( 4) 7x x x x 2 2

7 4( 4) 16 ( 4) 7 0x x x x

2 2 2( 4)(4 7) ( 7 4)( 7 4) 0x x x x

2 27 4 0 ( 4) 7 4 0x hay x x

2 27 4 7 x hay x x x2 = 9 x = 3

TS. Nguy n Phú Vinh

(TT BDVH và LT H V nh Vi n)

Së Gi¸o dôc v ® o t¹o KÌ THI TUY N SINH L P 10 THPT TP. HU

Thõa Thiªn HuÕ Khóa ngày 24.6.2010

CHÍNH TH C Môn: TO¸N

Th i gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2,25 i m) Không s d ng máy tính c m tay:

a) Gi i ph ng trình và h ph ng trình sau:

1) . 2) 20

35 7 6x x

2 3 1

3 5 9

x y

x y

b) Rút g n bi u th c: 5

2 55 2

P .

Bài 2: (2,5 i m) Cho hàm s 2y ax .

a) Xác nh h s a bi t r ng th c a hàm s ã cho i qua i m 2; 8 . M

b) V trên cùng m t m t ph ng t a th (P) c a hàm s ã cho v i giá tr a v a tìm

c và ng th ng (d) i qua 2; 8 có h s góc b ng 2 . Tìm t a giao

i m khác M c a (P) và (d).

M

Bài 3: (1,25 i m) Hai ng i i xe p cùng xu t phát t A n B v i v n t c b ng nhau. i

c 3

2 quãng ng AB, ng i th nh t b h ng xe nên d ng l i 20 phút và ón ô tô quay v

A, còn ng i th hai không d ng l i mà ti p t c i v i v n t c c t i B. Bi t r ng kho ng

cách t A n B là 60 km, v n t c ô tô h n v n t c xe p là 48 km/h và khi ng i th hai t i

B thì ng i th nh t ã v A tr c ó 40 phút. Tính v n t c c a xe p.

Bài 4: (2,5 i m) Cho tam giác ABC vuông t i A và AC > AB, D là m t i m trên c nh AC

sao cho CD < AD. V ng tròn (D) tâm D và ti p xúc v i BC t i E. T B v ti p tuy n th

hai c a ng tròn (D) v i F là ti p i m khác E.

a) Ch ng minh r ng n m i m A, B, E, D, F cùng thu c m t ng tròn.

b) G i M là trung i m c a BC. ng th ng BF l n l t c t AM, AE, AD theo th t t i các

i m N, K, I. Ch ng minh: IK AK

IF AF. Suy ra: IF BK IK BF .

c) Ch ng minh r ng tam giác ANF là tam giác cân.

Bài 5: (1,5 i m)

T m t t m thi c hình ch nh t ABCD có chi u r ng AB = 3,6dm, chi u dài AD = 4,85dm,

ng i ta c t m t ph n t m thi c làm m t xung quanh c a m t hình nón v i nh là A và

ng sinh b ng 3,6dm, sao cho di n tích m t xung quanh này l n nh t. M t áy c a hình nón

c c t trong ph n còn l i c a t m thi c hình ch nh t ABCD.

a) Tính th tích c a hình nón c t o thành.

b) Ch ng t r ng có th c t c nguyên v n hình tròn áy mà ch s d ng ph n còn l i

c a t m thi c ABCD sau khi ã c t xong m t xung quanh hình nón nói trên.

H t

SBD thí sinh:................................ Ch ký c a GT 1:...............................................

S GIÁO D C VÀ ÀO T O K THI TUY N SINH L P 10 THPT TP. HU

TH A THIÊN HU Môn: TOÁN - Khóa ngày: 25/6/2010

CHÍNH TH C ÁP ÁN VÀ THANG I M

Bài ý N i dung i m

1

a.1 (0,75)

Gi i ph ng trình 25 7 6x x 0 (1): 249 120 169 13 , 13 ,

1

7 13 3

10 5x v 1

7 132

10x .

V y ph ng trình có hai nghi m: 1 2

3, 2

5x x

0,25 0,25 0,25

a.2 (0,75) Gi¶i hÖ ph ¬ng tr×nh

2 3 1

3 5 9

x y

x y

3:

2 3 13 6 9 39 2 3 1

3 5 9 6 10 18 19 57

x y x y x y

x y x y y

3

3 2

2 9 13 4 3

y x

x y

0,50

0,25

b. (0,75) 5 5 25

2 5 2 55 45 2

P

5 2 5 2 5 5

0,50

0,25

2

2.a (0,75)

+ th (P) c a hàm s 2

y ax ®i qua ®iÓm 2; 8M , nªn:

8 2 . 2

a a 2

VËy: v hàm s ã cho là:2a 22y x

0,50 0,25

2.b (1,75)

+ ng th ng (d) có h s góc b ng 2 , nên có ph ng trình d ng:

2y x b

+ (d) i qua ®iÓm , nªn: 2; 8M 2 b b8 2 4 , ( ) : 2 4d y x

+ V (P)

+ V (d)

+ Hoành giao i m c a (P) và (d) là nghi m c a ph ng trình: 2 2

2 2 4 2x x x x 0 .

+ Ph ng trình có hai nghi m: 1 21; 2x x

Do ó hoành giao i m th hai c a (P) và (d) là 21 2 1x y 2 .

V y giao i m khác M c a (P) và (d) có t a : 1;2N

0,25

0,25

0,50 0,25 0,25 0,25

1

3

G i x (km/h) là v n t c c a xe p, thì x + 48 (km/h) là v n t c c a ô tô. i u

ki n: x > 0.

Hai ng i cùng i xe p m t o n ng 2

403

AC AB km

o n ng còn l i ng i th hai i xe p n B là: CB = AB AC=20 km.

0,25 0,25

Th i gian ng i th nh t i ô tô t C v A là:

40

48x (gi ) và ng i th hai i

t C n B là: 20

x(gi ).

Theo gi thi t, ta có ph ng trình: 40 1 20 2 40 20

148 3 3 48x x x x

Gi i ph ng trình trên:

40 48 20 48x x x x hay 268 960 0x x

Gi i ph ng trình ta c hai nghi m: 1 80 0x (lo i) và . 2 12x

V y v n t c c a xe p là: 12 km/h

0,25

0,25

0,25

4

4.a (1,0)

Hình v úng.

Theo tính ch t ti p tuy n, ta có: 0

90BED BFD

Mà (gi thi t) 0

90BAD BAC

Do ó: 0

90BED BFD BAD

V y: N m i m A,B,E,D,F cùng thu c ng tròn ng kính BD.

0,25 0,25

0,25 0,25

4.b (1,0)

G i (O) là ng tròn ng kính BD. Trong ng tròn (O), ta có:

DE DF (do DE, DF là bán kính ng tròn (D)) AFEAD D

Suy ra: AD là tia phân giác EAF hay AI là tia phân giác c a KAF

Theo tính ch t phân giác ta có IK AK

IF AF (1)

Vì AB AI nên AB là tia phân giác ngoài t i nh A c a KAF.

Theo tính ch t phân giác ta có : BK AK

BF AF (2)

0,25 0,25

0,25

2

T (1) và (2) suy ra :

IK BK

IF BF. V y IF . BK = IK . BF ( pcm) 0,25

4.c (0,5)

Ta có: AM là trung tuy n thu c c nh huy n BC nên AM = MC, do ó AMC

cân t i M, suy ra: MCA MAC .

T ó: (vì AI là tia phân giác c a góc EAF) NAF MAC DAF MCA EAC

Mà (góc ngoài c a tam giác AEC) AEB MCA EAC

Nên NAF AEB

M t khác, (góc n i ti p cùng ch n cung AB) AFB AEB

Suy ra: NAF BFA NFA

V y : ANF cân t i N ( pcm)

0,25 0,25

5

a) Hình khai tri n c a m t xung quanh c a hình nón có nh t i A, ng sinh

là hình qu t tâm A bán kính AB. M t xung quanh này có di n

tích l n nh t khi góc tâm c a hình qu t b ng .

3,6l dm AB090

+ Di n tích hình qu t c ng là di n tích xung quanh c a hình nón có bán kính

áy là nên: r2 2

90

360 4xq

l lS rl

Suy ra: 0,94

lr dm

Do ó th tích c a hình nón c t o ra là: 3

2 2 2 21 1 152,96

3 3 3

rV r h r l r dm

3

m

b) Trên ng chéo AC, v ng tròn tâm I bán kính ngo i ti p

cung qu t tròn t i E. IH và IK là các o n vuông góc k t I n BC và CD.

0,9r d

Ta có: 2 23,6 4,85 (3,6 0,9) 1,54CI AC AI dm

IH//AB 0,91 0,9HI CI AB CI

IH dm rAB AC AC

dm

T ng t : 0,9IK r dm

V y sau khi c t xong m t xung quanh, ph n còn l i c a t m thi c ABCD có th

c t c m t áy c a hình nón.

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

Ghi chú:

H c sinh làm cách khác áp án nh ng úng v n cho i m t i a.

i m toàn bài không làm tròn.

3

S GIÁO D C VÀ ÀO T O K THI TUY N SINH THPT CHUYÊN QU C H C

TH A THIÊN HU Khoá ngày 24.6.2010

CHÍNH TH C Môn: TOÁN Th i gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (1,5 i m)

Xác nh tham s m ph ng trình 21 2 1 2m x m x m 0 có hai nghi m

phân bi t 1 2,x x tho mãn: 1 2 14 7 2x x x x .

Bài 2: (2,0 i m)

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c khi các s th c

x, y thay i. Giá tr nh nh t ó t c t i các giá tr nào c a x và y.

2 22 3 2010P x xy y x y

Bài 3: (2,5 i m)

a) Gi i ph ng trình : 3 33 5x 2x .

b) Gi i h ph ng trình :

1 14 0

1- 4 = 0

x

x yx y

x yxy

y y x

Bài 4: (2,0 i m)

Cho tam giác ABC có BC = 5a, CA = 4a, AB = 3a. ng trung tr c c a o n AC

c t ng phân giác trong c a góc BAC t i K.

a) G i (K) là ng tròn có tâm K và ti p xúc v i ng th ng AB. Ch ng minh

r ng ng tròn (K) ti p xúc v i ng tròn ngo i ti p c a tam giác ABC.

b) Ch ng minh r ng trung i m c a o n AK c ng là tâm ng tròn n i ti p c a

tam giác ABC.

Bài 5: (2,0 i m)

a) V i b s (6 ; 5 ; 2), ta có ng th c úng : 65 5

26 2.

Hãy tìm t t c các b s (a ; b ; c) g m các ch s h th p phân a , b, c ôi m t

khác nhau và khác 0 sao cho ng th c ab b

ca c úng.

b) Cho tam giác có s o m t góc b ng trung bình c ng c a s o hai góc còn l i

và dài các c nh a, b, c c a tam giác ó tho mãn: a b c a b c .

Ch ng minh r ng tam giác này là tam giác u.

--------------- H T ---------------

SBD thí sinh: ................. Ch ký GT1: ..............................

S GIÁO D C VÀ ÀO T O K THI TUY N SINH THPT CHUYÊN QU C H C

TH A THIÊN HU Khoá ngày 24.6.2010

CHÍNH TH C Môn: TOÁN

H NG D N CH M Bài N i dung i m

Bài 1 (1,5 )

Ph ng trình có hai nghi m phân bi t 0

0

a

0,25

1 0 1

(*)3 0 3

m m

m m

0,25

Ta có: 1 2

1 2

2( 1)

1

2

1

mx x

m

mx x

m

0,25

1 2 1 2

2 1 24 7 4 7

1 1

m mx x x x

m m

0,25

8 1 7 2m m m 6 Tho mãn (*)

V y: m = 6 tho mãn yêu c u bài toán .

0,5

BÀI 2 (2 )

Ta có: 2 22 3 2010P x y x y y 0,25

22

222

3 20102 4

yyP x y y

0,5

221 3 4 6023

2 24 4 3

P x y y3

0,5

6023

3P v i m i x, y.

0,25

6023

3P khi và ch khi:

12 2 0

34

403

3

x y x

yy

0,25

V y giá tr nh nh t c a P là min

6023

3P t khi

1

3x và

4

3y

0,25

Bài 3 (2,5 )

L p ph ng hai v ph ng trình 3 33 5x 2x (1), ta c:

3 338 3 ( 3)(5 )( 3 5 ) 8x x x x

0,25

Dùng (1) ta có: 3 ( 3)(5 ) 0 (2x x ) 0,25

3.a

(1 )

Gi i (2) và th l i tìm c : 3, 5x x là hai nghi m c a ph ng trình ã cho. 0,5

i u ki n : x 0; y 0 . 0,25

Vi t l i h :

1 14

1 1. 4

x yx y

x yx y

0,5

t : 1

u xx

; 1

v yy

, ta có h : 4

4

u v

uv

0,25

Gi i ra c : . 2; 2u v 0,25

3.b

(1 ,5)

Gi i ra c : x = 1 ; y = 1. H ã cho có nghi m : (x ; y) = ( 1 ; 1). 0,25

BÀI 4

(2 )

Do BC2 = AC

2 + AB

2 nên tam giác ABC vuông t i A.

0,25

ng tròn (O) ngo i ti p ABC có tâm là trung i m O c a BC, có bán kính

5

2r a .

0,25

G i Q là trung i m AC và R là ti p i m c a (K) và AB.

KQAR là hình vuông c nh 2a. ng tròn (K) có bán kính = 2a

0,25

4. a

(1 )

Do OK= KQ – OQ = 2a –3

2a =

1

2a = r – , nên (K) ti p xúc trong v i (O).

0,25

G i I là trung i m AK, n i BI c t OQ t i T. Ta ch ng minh T thu c ng tròn (O). 0,25

Hai tam giác IQT và IRB b ng nhau nên QT = RB = a 0,25

Vì OT = OQ + QT =3

2a + a = r nên T thu c ng tròn (O).

T ó T là trung i m c a cung AC c a ng tròn (O).

0,25

4.b

(1 )

Suy ra BI là phân giác c a góc ABC. Vì v y I là tâm n i ti p c a ABC.

0,25

T

O

I

KR

QC

B

A

BÀI 5 (2 )

5. a

(1 )

Hãy tìm t t c các b s (a ; b ; c) g m các ch s a , b, c khác nhau và khác 0 sao

cho ng th c: ab b

ca c ( 1) úng.

Vi t l i (1): (10a + b)c =(10c + a)b 2.5.c(a – b) = b(a – c).

Suy ra: 5 là c s c a b(a – c).

0,25

Do 5 nguyên t và 1 , nên: , 9;a b c a c

51) ho c b = 5 2) ho c -a c 3) ho c - 5c a

0,25

+ V i b = 5: 2c(a 5) = a c c = 2 9

ac

a

92 1

2 9c

a.

Suy ra: 2a 9 = 3 ; 9 (a 5, do a c)

Tr ng h p này tìm c: (a; b; c) = (6; 5; 2), (9; 5; 1)

+ V i a = c + 5: 2c(c + 5 b) = b b =22 10

2 1

c

c

c . Vi t l i:

92 2 9

2 1b c

c

Suy ra: 2c + 1 = 3 ; 9 (c 0).

Tr ng h p này tìm c: (a; b; c) = (6; 4; 1), (9; 8; 4).

+ V i c = a + 5: 2(a + 5)(a b) = b b =2

2 10

2 9

a a

a .

Vi t l i : 9.19

2 2 192 9

b aa

. Suy ra: b > 9, không xét .

+ V y:

Các b s th a bài toán: (a ; b ; c) = (6 ; 5 ; 2), (9 ; 5 ; 1), (6; 4 ; 1), (9 ; 8 ; 4).

0,5

T gi thi t s o m t góc b ng trung bình c ng c a s o hai góc còn l i, suy ra

tam giác ã cho có ít nh t m t góc b ng 60o .

Ví d : T 2A = B + C suy ra 3A = A + B + C = 180o. Do ó A = 60

o.

0,25

T a b c a b c (*), suy ra tam giác ã cho là tam giác cân.

Th t v y, bình ph ng các v c a (*):

2 2 2a b c a b c ab cb ac 0c c a b a c

0a c b c

Vì v y tam giác này có a = c ho c b = c.

0,5

5.b

(1 )

Tam giác ã cho là tam giác cân và có góc b ng 60o nên là tam giác u. 0,25

G i ý l i gi i môn Toán

K thi tuy n sinh vào l p 10 THPT t i Hà n i

Bài I m)

Cho bi u th c: A = + - , v i x và x 9

1/ Rút g n bi u th c A.

2/ Tìm giá tr c A =

3/ Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A.

L i gi i

1/ A = + -

= = = =

2/ A = = = 9 = 6 x = 36 (T/m)

V y x = 36 thì A = 1/3.

3/ Do => 1.

A 1

Amax = 1 x = 0 (T/m)

m)

Gi i bài toán sau b ng cách l p ph ng trình:

M t m nh t hình ch nh t có dài ng chéo là 13 m và chi u dài l n h n chi u r ng 7 m. Tính

chi u dài và chi u r ng c a m nh t ó.

L i gi i

G i chi u r ng c a hình ch nh t là x (x>0; n v : m)

Chi u dài hình ch nh t là: x+7 (m)

Vì ng chéo hình ch nh ình:

x2+ (x+7)

2 = 169

=> x2 + x2 +14x + 49 = 169

2x2+ 14x-120= 0

x2+7x-60= 0

= 49+240=289

x1= = 5 ; x2 = = -12 (lo i)

V y chi u r ng hình ch nh t là 5m; chi u dài là 12m.

m)

Cho parabol (P): y=-x2

ng th ng (d): y=mx-1

1/ Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m thì ng th ng (d) luôn c t parabol (P) t m phân

bi t

2/ G i x1, x2 l m c ng th ng (d) và parabol (P). Tìm giá tr c a m

: x12x2+x2

2x1-x1x2=3.

L i gi i

ình hoành m (P) và (d): -x2

= mx-1

x2+ mx - 1 = 0 (*)

Có: ac = - ình ã cho có 2 nghi m phân bi t v i m

2/ x12x2 + x2

2x1 - x1x2 = 3

x1x2(x1+x2) - x1x2 = 3 (1)

Vì ình (*) luôn có 2 nghi m v i m nên:

Theo Viét ta có: x1+x2 = = -m; x1x2 = = -1

(1) -1.(-m) + 1 = 3 => m+1 = 3 => m=2.

V y v i m = 2 thì x12x2 + x2

2x1 - x1x2 = 3.

Bài IV ( 3,5 m)

ng tròn (O) có m C thu ng tròn (C khác A, B). L m

D thu c dây BC ( D khác B, C). Tia AD c t cung nh BC t m E, tia AC c t tia BE t m F.

1/ Ch ng minh FCDE là t giác n i ti p.

2/ Ch ng minh DA.DE = DB.DC

3/ Ch ng minh CFD = OCB. G ng tròn ngo i ti p t giác FCDE, ch ng minh IC là ti p

tuy n c ng tròn (O).

4/ Cho bi t DF=R, ch ng minh tg AFB = 2.

L i gi i

1/ AEB = 90o

(góc n i ti p ch ng tròn) => AEF = 90o

ACB = 90o (góc n i ti p ch ng tròn) => FCB = 90o

T giác CFED có: C + E = 180o => t giác CFED n i ti p ( t giác có t ng 2 góc i b ng 180o)

2/ Xét ACD và BED:

C = E = 90o

(1)

A1 = B1 ( 2 góc n i ti p cùng ch n cung CE ) (2)

(1) và (2) => ACD ng d ng BED (góc - góc)

= => AD.DE = BD.CD

3/ * Có D là tr c tâm c a FAB (do AE FB, BC AF) => FD AB t i H.

F1 + FAH = 90o

Mà B2 + FAH = 90o

=> F1 = B2

Có COB cân t i O (CO=OB=R)=> góc C1 = góc B2 => góc C1 = góc F1 ( cùng = góc B2)

* Tâm I c ng tròn ngo i ti p t m c a FD => CI=IF=1/2 FD

(do góc DCF = 90o

tính ch t trung tuy n ng v i c nh huy n)

=> CIF cân t i I => góc C2 = góc F1

Có CAO cân t i O (CO=OA=R) => góc C3 = góc CAO

Mà góc F1 + góc CAO = 90o

=> góc C2 + góc C3 = 90o

=> góc ICO = 90o

=> IC CO, mà C (O) =>

IC là ti p tuy n c ng tròn (O)

4/ Xét ICO và IEO có: IC = IE (cùng b ng bán kính c ng tròn (I)) (3)

CO = OE (=R) (4)

IO chung (5)

T (3), (4) và (5) => ICO = IEO (c.c.c)

góc COI = góc EOI

tâm)

mà góc A1 ( góc A1 là góc n i ti p ch n cung CE )

góc A1 = góc COI.

Xét ACD và OCI có: góc A1 = góc COI (cmt) (6)

Góc ACD = góc OCI ( = 90o) (7)

T (6) và (7) => ACD ng d ng OCI (g.g) => = => = (8)

OCI có CI = R/2 ( do CI = ½ FD ) ; CO = R => = 2 (9)

T giác CFED n i ti p => góc CFE = góc CDA ( góc ngoài c a t giác n i ti p = góc trong t nh

i) (10)

Xét CAD có góc C = 90o

=> tg góc CDA = (11)

T (8) (9) (10) và (11) => tg góc CFE = 2

(hình v c a Bài IV)

Bài V ( 0,5 m)

Gi ình: x2 + 4x + 7 = (x+4)

L i gi i

x2 + 4x + 7 = x + 4

x2 + 7 - 4 + 4x - x = 0

( - 4) - x = 0

( ) = 0

2

3

11

1

2

I

H

D

E

C

OA B

F

1

V y x = là nghi m c ình.

G i ý l i gi i c - ng THCS Gi ng Võ - Hà N i.

KÌ THI TUY N SINH L P 10 TRUNG H C PH THÔNG

KHÓA NGÀY 21 THÁNG 6 N M 2010 t i à N ng

MÔN THI : TOÁN

---------

Bài 1 (2,0 i m)

a) Rút g n bi u th c A ( 20 45 3 5). 5

b) Tính 2B ( 3 1) 3

Bài 2 (2,0 i m)

a) Gi i ph ng trình 4 2

x 13x 30 0

b) Gi i h ph ng trình

3 17

x y

2 18

x y

Bài 3 (2,5 i m)

Cho hai hàm s y = 2x2 có th (P) và y = x + 3 có th (d).

a) V các th (P) và (d) trên cùng m t m t ph ng t a Oxy.

b) G i A là giao i m c a hai th (P) và (d) có hoành âm. Vi t ph ng trình

c a ng th ng ( ) i qua A và có h s góc b ng - 1.

c) ng th ng ( ) c t tr c tung t i C, c t tr c hoành t i D. ng th ng (d) c t

tr c hoành t i B. Tính t s di n tích c a hai tam giác ABC và tam giác ABD.

Bài 4 (3,5 i m)

Cho hai ng tròn (C) tâm O, bán kính R và ng tròn (C') tâm O', bán kính R'

(R > R') c t nhau t i hai i m A và B. V ti p tuy n chung MN c a hai ng tròn (M

(C), N (C')). ng th ng AB c t MN t i I (B n m gi a A và I).

a) Ch ng minh r ng BMN MAB

b) Ch ng minh r ng IN2 = IA.IB

c) ng th ng MA c t ng th ng NB t i Q; ng th ng NA c t ng th ng

MB t i P. Ch ng minh r ng MN song song v i QP.

BÀI GI I

Bài 1: (2 i m)

a) Rút g n bi u th c

( 20 45 3 5). 5A = (2 5 3 5 3 5) 5 10

b) Tính B = 2

( 3 1) 3 3 1 3 1

Bài 2: (2 i m)

a) Gi i ph ng trình : x4 – 13x

2 – 30 = 0 (1)

t u = x2 0 , pt (1) thành : u

2 – 13u – 30 = 0 (2)

(2) có 2169 120 289 17

Do ó (2) 13 17

22

u (lo i) hay 13 17

152

u

Do ó (1) x = 15

b) Gi i h ph ng trình :

3 17

2 18

x y

x y

11

2 18

x

x y

1

110

x

y

1

1

10

x

y

.

Bài 3:

a) th : h c sinh t v

L u ý: (P) i qua O(0;0), 1;2 .

(d) i qua (0;3), 1;2

b) PT hoành giao i m c a (P) và (d) là: 2

2 3x x 2x2 – x – 3 = 0 3

12

x hay x

V y to giao i m c u (P) và (d) là 3 9

1;2 , ;2 2

A 1;2

Ph ng trình ng th ng ( ) i qua A có h s góc b ng -1 là :

y – 2 = -1 (x + 1) ( ) : y = -x + 1

c) ng th ng ( ) c t tr c tung t i C C có t a (0; 1)

ng th ng ( ) c t tr c hoành t i D D có t a (1; 0)

ng th ng (d) c t tr c hoành t i B B có t a (-3; 0)

Vì xA + xD = 2xC và A, C, D th ng hàng (vì cùng thu c ng th ng ( ))

C là trung i m AD

2 tam giác BAC và BAD có chung ng cao k t nh B và AC =1

2AD

Nên ta có 1

2

ABC

ABD

S AC

S AD

Bài 4:

I

P

A

B N

OO'

Q

M

a) Trong ng tròn tâm O:

Ta có = (cùng ch n cung ) BMN MAB BM

b) Trong ng tròn tâm O':

Ta có IN2 = IA.IB

c) Trong ng tròn tâm O:

(góc ch n cung ) (1) MAB BMN BM

Trong ng tròn tâm O':

(góc ch n cung ) (2) BAN BNM BN

T (1)&(2) => 0

MAB BAN MBN BMN BNM MBN 180

Nên t giác APBQ n i ti p.

=> (góc n i ti p và góc ch n cung) BAP BQP QNM

mà v trí so le trong => PQ // MN QNM và BQP

Võ Lý V n Long

(TT BDVH và LT H V nh Vi n)

I H C QU C GIA TP. HCM THI TUY N SINH L

NG PH U Môn thi: TOÁN (Chuyên)

Th i gian làm bài: 150 phút không k th

Câu 1. a) Cho a, b, c là các s th c th a mãn u ki n 3 3 3 0a b c a b c .

Ch ng minh r ng trong ba s a, b, c có ít nh t m t s b ng 0

b) Gi i h ình:

3 3 3 2 2 2

3

1

6 3

x y z

xy yz xz

x y z x y z

Câu 2. a) Gi ình2 2

2 1 12 2 1x x x

b) Cho tam giác ABC vuông t i A và có di n tích b ng 1. Ch ng minh r ng ta có b t

ng th c 2 2 2BC AB AC

Câu 3. a) Hãy ch ra m t b 4 s bi t mà t ng ba s b t k trong chúng là

m t s nguyên t .

b) Ch ng minh r ng không t n t i 5 s t sao cho t ng ba s b t

k trong chúng là m t s nguyên t .

Câu 4. ng tròn tâm O, bán kính R và dây cung BC c dài 3BC R . A là

m i trên cung l n BC. G i x ng c i

x ng c ng tròn ngo i ti p các tam giác ABE và ACF c t nhau t i K ( K

A).

a) Ch ng minh K luôn thu c m ng tròn c nh

b) nh v tam giác KBC có di n tích l n nh t và tìm giá tr l n nh

theo R.

c) G m c a BE và CF. Ch ng minh r ng d ng v i tam

ng th m c nh.

Câu 5. Trong m t gi i tham d u vòng tròn m i b t k

u v t tr n).

a) Ch ng minh r ng sau 4 vòng u (m n) luôn tìm i

u v i nhau.

b) Kh nh trên còn u m ã n ?

H t

THI TUY N SINH VÀO L P 10 N M H C 2010-2011

ÁP ÁN TOÁN CHUYÊN

Câu 1. a) Cho a, b, c là các s th c tho mãn i u ki n a +b + c = a3 + b

3 + c

3 = 0.

Ch ng minh r ng trong ba s a, b, c có ít nh t m t s b ng 0.

b) Gi i h ph ng trình

)3()(36

)2(1

)1(3

222333 zyxzyx

zxyzxy

zyx

Gi i.

a) (1 i m) T a + b + c = 0 suy ra c = -(a+b). T ó ta có

0 = a3 + b

3 + c

3 = a

3 + b

3 – (a+b)

3 = -3a

2b-3ab

2 = -3ab(a+b) = 3abc.

V y abc = 0, suy ra m t trong 3 s a, b, c b ng 0 ( pcm).

b) (1 i m)

Cách 1. t x = a+1, y = b+1, z = c+1. Thay vào ph ng trình (1) ta c

a + b + c = 0

Thay vào (2) v i chú ý a + b + c = 0, ta c ab + bc + ca = -4 (4)

Thay vào (3) v i chú ý a + b + c = 0, ta c a3 + b

3 + c

3 = 0

Áp d ng câu a), ta suy ra m t trong ba s a, b, c b ng 0. Không m t tính t ng quát, gi s

a = 0. Khi ó b = -c và thay vào (4) ta tìm c b = 2. T ây tìm c x, y, z.

K t lu n : Ph ng trình có nghi m (1 ; -1 ; 3) và các hoán v (6 nghi m).

Cách 2. T ph ng trình (1) và ph ng trình (2) ta suy ra

x2 + y

2 + z

2 = (x+y+z)

2 – 2(xy+yz+zx) = 11

Thay vào ph ng trình (3), ta c

x3 + y

3 + z

3 = 27 (5)

T (1) và (5) ta suy ra 0 = (x+y+z)3 – (x

3+y

3+z

3) = 3(x+y)(y+z)(z+x)

T ó suy ra trong ba s x, y, z có hai s có t ng b ng 0. Không m t tính t ng quát, gi

s x + y = 0. T (1) suy ra z = 3. Thay vào (2) suy ra x = -1, y = 1 ho c x = 1, y = -1.

K t lu n : Ph ng trình có nghi m (1 ; -1 ; 3) và các hoán v (6 nghi m).

Câu 2. a) Gi i ph ng trình .1212)12( 22 xxx .

b) Cho tam giác ABC vuông t i A và có di n tích b ng 2. Ch ng minh r ng ta có

b t ng th c ).1(22 ACABBC

Gi i.

a) (1 i m) i u ki n: x2 – x – 2 0 x - 1 x 2.

Ta bi n i ph ng trình v d ng

2312121441212)12( 222222 xxxxxxxxxxx

t 022 xxt thì t2 = x

2 – x – 2. Thay vào ph ng trình, ta c

t2 + 2 – 3t = 0 t = 1 t = 2

V i t = 1, ta c x2 – x – 3 = 0, suy ra

2

131x .

V i t = 2, ta c x2 – x – 6 = 0, suy ra x = -2, x = 3.

Các nghi m này u th a mãn i u ki n.

V y ph ng trình ã cho có 4 nghi m là: x = -2, x = 3, 2

131x .

b) (1 i m)

t AB = c, AC = b thì theo i u ki n bài, ta có ab = 2. Ngoài ra, theo nh lý

Pythagore, ta có 22 baBC .

V th nh t c a b t ng th c c n ch ng minh có th vi t l i thành

0)(2222222

baabbabaab ( úng, ây có th dùng b t

ng th c Cauchy)

V th hai c a b t ng th c có th vi t l i thành

0)2(044

)2(244)(22

2222222

22222222

bababa

abbababababa

B t ng th c cu i cùng hi n nhiên úng. Bài toán c gi i quy t hoàn toàn.

Câu 3. a) Hãy ch ra m t b 4 s nguyên d ng phân bi t mà t ng ba s b t k trong

chúng là m t s nguyên t .

b) Ch ng minh r ng không t n t i 5 s nguyên d ng phân bi t sao cho t ng ba

s b t k trong chúng là m t s nguyên t .

Gi i.

a) (0,5 i m) Có th ch ra b (1, 3, 7, 9).

b) Do các s nguyên d ng là phân bi t nên t ng ba s b t k l n h n 3. Ta ch ng minh

m t trong các t ng ó chia h t cho 3, t ó không th là s nguyên t , suy ra pcm. Xét

s d trong phép chia các s này cho 3. N u các s d 0, 1, 2 u xu t hi n thì ta l y ba

s t ng ng, ta s c 3 s có t ng chia h t cho 3. N u có 1 s d nào ó không xu t

hi n thì có 5 s và ch có nhi u nh t 2 s d , suy ra t n t i 3 s có cùng s d . Ba s này

s có t ng chia h t cho 3. Bài toán c gi i quy t.

Câu 4. Cho tr ng tròn tâm O, bán kính R và dây cung BC có dài .3RBC A là

m t i m thay i trên cung l n BC. G i E là i m i x ng c a B qua AC và F là i m

i x ng c a C qua AB. Các ng tròn ngo i ti p các tam giác ABE và ACF c t nhau

t i K (K A).

a) Ch ng minh K luôn thu c m t ng tròn c nh.

b) Xác nh v trí c a i m A tam giác KBC có di n tích l n nh t và tìm giá tr

l n nh t ó theo R.

c) G i H là giao i m c a BE và CF. Ch ng minh tam giác ABH ng d ng v i

tam giác AKC và ng th ng AK luôn i qua m t i m c nh.

Gi i.

a) (1 i m) Ta có AKC = AFC (cùng ch n cung AC)

M t khác AFC = FCA (do F i x ng C qua AB) và FCA = 900 - A

Nên ta có AKC = 900 – A.

Hoàn toàn t ng t , ta có AKC = 900 – A.

Suy ra BKC = 1800 – 2A. Suy ra K luôn thu c cung ch a góc nhìn o n BC d i góc

1800 – 2A.

b) (1 i m) Tam giác KBC có áy 3RBC không i và K n m trên cung ch a góc

1800 – 2A nên di n tích tam giác KBC l n nh t khi K là i m gi a K0 c a cung ch a góc,

t c là tam giác KBC cân t i K. Khi ó A chính là trung i m cung l n BC.

tính giá tr l n nh t c a di n tích tam giác K0BC, ta chú ý r ng vì 3RBC nên A =

600. Suy ra BKC = 180

0 – 2A = 60

0. Suy ra tam giác K0BC là tam giác u có c nh

3RBC . V y di n tích l n nh t b ng .4/332

R

c) (1 i m) Kéo dài AC c t ng tròn ngo i ti p tam giác ABE t i C’. Khi ó AC’ là

ng kính. T ng t , kéo dài AB c t ng tròn ngo i ti p ACF t i B’ thì AB’ là ng

kính. Suy ra AK, C’C, B’B là các ng cao trong tam giác AB’C’. Suy ra t giác

B’BCC’ n i ti p và ta có:

AC’B’ = ABC.

Ta có BAH = 900 - ABC = 90

0 - AC’B’ = KAC’ = KAC.

M t khác theo ch ng minh ph n 1, ta ã có AKC = FCA = ABH.

T ây suy ra tam giác ABH ng d ng v i tam giác AKC.

Vì BAH = KAC nên theo m t tính ch t quen thu c trong tam giác, ta có AK i qua

tâm ng tròn ngo i ti p O c a tam giác ABC ( pcm).

Câu 5. Trong m t gi i bóng á có 12 i tham d , thi u vòng tròn m t l t (hai i b t

k thi u v i nhau úng m t tr n).

a) Ch ng minh r ng sau 4 vòng u (m i i thi u úng 4 tr n) luôn tìm c

ba i bóng ôi m t ch a thi u v i nhau.

b) Kh ng nh trên còn úng không n u các i ã thi u 5 tr n?

Gi i.

a) (1 i m) Xét m t i bóng A b t k . Sau 4 vòng u, A ch a u v i 7 i bóng. G i

S là t p h p t t c các i bóng ch a u v i A. Xét m t i bóng B thu c S. Do B m i

u 4 tr n nên B thi u nhi u nh t v i 4 i bóng thu c S. Suy ra B ch a thi u v i ít

nh t 2 i bóng thu c S. Gi s B ch a thi u v i C thu c S. Khi ó A, B, C ôi m t

ch a thi u v i nhau ( pcm).

b) (0,5 i m) K t lu n là không? Ta chia 12 i thành 2 nhóm, m i nhóm 6 i. Cho các

i thi u vòng tròn trong nhóm thì sau n m vòng, 2 i b t k thu c 1 nhóm u ã thi

u v i nhau. L y 3 i bóng b t k , theo nguyên lý Dirichlet có hai i cùng 1 nhóm, và

vì v y các i này ã thi u v i nhau. Suy ra không t n t i 3 i bóng ôi m t ch a thi

u v i nhau.

S GIÁO D C VÀ ÀO T O

QU NG TR

THI TUY N SINH L P 10 THPT CHUYÊN Khóa thi ngày 25 tháng 6 n m 2010

MÔN THI: TOÁN

(Dành cho thí sinh d thi chuyên Toán và chuyên Tin) CHÍNH TH C Th i gian: 150 phút (không k th i gian phát )

Câu 1 (2.0 i m). Cho bi u th c

3 3

3 3.

2 2

2( ) 2 2

2 22 2 a b b

a b a a ba

ab aP

ba b.

1. Tìm i u ki n c a a và b bi u th c P xác nh. Rút g n bi u th c P.

2. Bi t 3

21a và

3

4

1.

2b Tính giá tr c a P (không s d ng máy tính c m tay).

Câu 2 (2.0 i m). Cho ph ng trình 2 0. (1)bx cax

1. Ch ng minh r ng n u các s a, b, c th a mãn i u ki n 4 5 9a b c 0, thì ph ng

trình (1) luôn luôn có nghi m.

2. Cho a = 2, tìm i u ki n c a b và c ph ng trình (1) có hai nghi m 1 2,x x cùng d u

và th a mãn

1 2 1 2 1 2 1 2 2010.x xx x x x x x

Câu 3 (1.0 i m). Tìm s các c p s nguyên (x, y) th a mãn i u ki n 1 2009 2011 .x y xy

Câu 4 (3.0 i m).

1. Cho ng giác l i ABDEC th a mãn các i u ki n AB = AC, BAD CAE DAE và

. ng tròn ngo i ti p tam giác ABD và ng tròn ngo i ti p tam

giác ACE c t nhau t i A và O (O khác A).

0180BDA CEA

a) Ch ng minh ba i m B, O và C th ng hàng.

b) Ch ng minh r ng .AO DE

2. Cho tam giác ABC có và . i m M di ng trên tia AC và i m

N di ng trên tia BC sao cho

045ABC

M

030BAC

N và OM = BN, trong ó O là tâm ng tròn ngo i

ti p tam giác ABC. Trên n a m t ph ng b là AC ch a i m B, l y i m D sao cho tam

giác ACD u.

a) Ch ng minh AB là ng trung tr c c a o n th ng CD.

b) Ch ng minh ba i m D, M và N t o thành m t tam giác cân.

Câu 5 (2.0 i m).

1. M t tam giác có dài ba c nh là a, b, c th a mãn 3 3 3 3 3( ) (( )) .b c a c a b a ca b c b 3

Ch ng minh tam giác ó là tam giác u.

2. Gi i h ph ng trình 3 2

3 2

4 3

6

,

.

7

7

x xy

y x y

y

-------------------------------------------------- H T --------------------------------------------------

H và tên thí sinh:………………………. …… … S báo danh: …………………………

Ch kí giám th 1:……………………….. … Ch kí giám th 2:………………………….

Câu 1. 1. Tìm à rút g P

3 3

3 3.

2 2

2( ) 2 2

2 22 2 a b b

a b a a ba

ab aP

ba b.

0, 0, 2 .b aa b

Ta có 3 3

3 3 2 .2 2 2 2 2a b a b a b bb a a

Suy ra

3 3

2( ) 22( )

2 2 2 2 22 2

2 2

22

1.

2 2

a b a a ba b a

a ab b a b a ab ba b

a ab b

a ba b a ab b

2

3 3 2 2 2

2 2

2.

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

a b a ab b

b b a

a b

a ba a

ab b

a ab b a ab ba

b b bT

2

21 2. .

2 2 2

a b a b

a b b bP

2. Cho 3

21a và

4

1 3

2b , tính P.

Ta có 1 3 3 1

.2 2 2

.8

1 1a b Suy ra 24

1.b

a

221 4 1 2 1 1 3.

22P

a b aa a

bb

Câu 2. 1. Cho 4 5 9 0a b c , ch ình 2 0 (1)bx cax luôn có nghi

a = 0. N b = 0 thì t 4 5 9 0a b c , ta suy ra c ình (1) nghi

v x .

Còn n 0b ình (1) tr ành 0bx c , có nghic

xb

.

0a ình b 4 5 9 0a b c , ta có 5

4 9a cb . Suy ra

2 2 2 2 2 22 28 12

2

(4 9 ) 16 81 (2

5 25 2

7 24 4

5

) 30

aa c a c a c ca

ab c ac

c.

t.

V

2. Tìm b, c ình 2 0 ( )2 1bx cx có hai nghi 1 2,x x cùng d à

1 2 1 2 1 2 1 2 2010.x xx x x x x x

ình (1) có hai nghi 1 2,x x cùng d à ch 2 8 0b c và 0c .

Nh 0xy thì | | | | | |x y x y .

2 2

2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1

3)

40,

2(

xx x x x

xx x x x x x x x x x x xx ta có

1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 .xxx x x x x x xx x x x x x x xx

M í Vi-et, ta có 1 22

xb

x . Cùng v | | 2010b , hay 2010b .

K 2 8 0b c và 0c ìm là

2010b và 21005

02

c .

Câu 3. Tìm s ên (x, y) th ãn 1 2009 2011 .x y xy

Ta có 2011 1

1 2009 2011 ( 2009) 2011 12009

yx y xy x y y x

y

220102011

2009x

y.

Suy ra, s các c nguyên (x, y) th ãn ki ài ra chính b 22010 .

Phân tích 22010 thành tích các th ên t 2 2 2 2 2.3 .52010 2 .67 . Suy ra m

kì c 22010 .3 .5 .62 7x y z t , v x, y, z, t là các s {0,1,2} .

Do m x, y, z, t ên s 22010 là 22010 là 2.81=162, thành ra có 162 c nguyên (x, y) th ãn

ài ra.

Câu 4. 1. Cho ng ABDEC th ãn các AB = AC, BAD CAE DAE và 0

180BDA CEA òn ngo iác ABD òn ngo ACE c

nhau t A và O (O khác A).

a) Ch B, O và C th àng.

Ta có ,BOA BOA COA CEA (góc n ùng cung). Suy ra

0180BOA COA BDA CEA .

V B, O và C th àng.

O

A

C

B

DE

b) Ch .AO DE

T BAD CAE DAE , ta có 1

2DAE BAC ABC CADO A B . Suy ra

001 1 180

902 2 2

DAE ADO ABC CBB C AA .

V DO AE .

Ch EO AD . V O là tr ADE AO DE .

2. Cho tam giác ABC có 045ABC và 0

30BAC M ên tia AC N ên

tia BC sao cho M N và OM = BN O òn ngo ABC. Trên n

m à AC ch B, l D sao cho tam giác ACD

a) Ch AB CD.

T 045ABC và 0

30BAC , ta suy ra tam giác AOC vuông cân O và tam giác COB

Xét hai tam giác DCB và ACO . Vì AC = DC (tam giác ACD CO = CB (tam giác COB à

060ACO DCB DCO nên DCB = ACO . Suy ra BD = OA = R, d BD = BC (= R)

AD = AC, nên AB CD.

b) Ch D, M và N t ành m

G R òn ngo giác ABC, I AC. Ta có D, O, I th àng, và

62, .

2 2

2,

R RA R D OIC I

Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)DI IM DI O OM OID MRM

O C

D

A

B

IM

N

T DB = BC = R và 090DBC AOC nên

2 2 2 2 2 (3)DN RDB BN BN

T à do OM = BN, ta suy ra DM = DN.

Gi M N và M, N ùng m à OB, trong khi D n òn l

K DM = DN D, M, N t ành tam giác cân t D.

Câu 5. 1. Cho a, b, c ài 3 c ác và th ãn3 3 3 3 3 3( ) (( )) .b c a c a b a ca b c b

Ch a b c .

, ,x b c a y c a b z a b c . Do a, b, c là 3 c ên x, y, z là các s

T , ,2 2 2

y z z x x ya b c . ài tr ành

3 3 3 3 3 3

3 3 3 2 2 2 2 2 2

8

2

( ) ( ) ( )x

x x

y z x y y z z x

y z y xy y z yz z x zx

3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 0y y xy y z y z yz zxx xx z z x

2 2 2( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x y x y y z y z z x z x

,x y z vì x, y, z là các s

T x = y = z, ta d àng suy ra a = b = c.

2. Gi ình

3 2

3 2

4 3

6

7 , (

7 5)

4)

. (

x x yy

y x y

Tr ình c 3 2 3 24 3 7( 1)6x xy y x y y . Phân tích 3 2 3 24 3 6x xy y x y thành nhân t

3 2 3 2 2 24 3 ( )( )6 4 2x xy y x y x y x xy y .

2 2( )(4 ) 7( 1) (6)2x y x xy y y .

T ), ta ph 0y , k ), ta suy ra 0x . D22 2 2

2 34 0x xy y x x y .

Cùng v ), suy ra x y cùng d 1y .

y < 1, y - 1 < 0 , thì x – y < 0, hay x < y. D x < y < 1, và 3 2 76xy y , mâu thu

v 5).

Còn n y > 1, suy ra x > y > 1, và 3 26 7xy y , c 5).

y ch ùng v 6 x = y = 1.

Thay x = y = 1 vào h ã cho, th ãn. V ã cho có m duy nh à (x, y) = (1, 1).

S GD TQU BÌNH VÀO L ÊN

Chuyên Toán,Tin)

a) 2 3 5 13 48

6 2

b) Tìm giá tr 1 2 2 7 6 2x x x x

Tìm t ( ; ; )x y z th ãn h ình

2010 6 6

2010 6 6

2010 6 6

2.

2.

2.

x y z

y z x

z x y

22y x a 2y ax

a a a

1 2,x x

1 2 1 2

2 3

1T

x x x x

Câu 4: (1,0 i) Tìm t ãn :

3( 2)(4 ) 2 4 6 3 30x x x x x x x

òn ( O, R ). T à CD vuông

góc nhau. Ch : PA2 + PB

2 + PC

2 + PD

2 không ph ào v

òn.

Câu 6: (1,5 i m)

Cho tam giác ABC có s o ba c nh là BC = a, CA = b, AB = c và m t i m M n m

trong tam giác. D ng MA' vuông góc BC, MB' vuông góc CA và MC' vuông góc AB

(A', B', C' l l thu BC, CA, AB). Hãy tìm giá tr nh nh t c a t ng:

Z = ' ' '

a b c

MA MB MC

H